Bu derste, daha karmaşık eşitsizlikler için rasyonel eşitsizlikleri aralıklarla çözmeye devam edeceğiz. Kesirli doğrusal ve fraksiyonel kuadratik eşitsizlik ve ilgili görevlerin çözümünü düşünün.
Şimdi eşitsizliğe dönüyoruz
Bazı ilişkili görevleri düşünün.
En küçük eşitsizlik çözümünü bulun.
Doğal çözüm eşitsizliğinin sayısını bulun
Eşitsizliğin birçok çözümünü oluşturan aralıkların uzunluğunu bulun.
2. Portal Doğa Bilimleri ().
3. Bilgisayar bilimi, matematik, Rus dilinde () giriş sınavlarına 10-11 sınıfın hazırlanması için elektronik eğitim ve metodik kompleks.
5. Eğitim Merkezi "Eğitim Teknolojisi" ().
6. Bölüm College.ru Matematikte ().
1. Mordkovich A.G. ve diğerleri. Cebir 9 CL.: GENEL EĞİTİM KURUMLARI / A. MORDKOVICH, T. N. MISHOUSTINA, vb. Öğrenciler için görev. - 4. ed. - m.: Mnemozina, 2002.-143 s.: Il. № (B, B); 29 (b, c); 35 (a, b); 37 (b, c); 38 (a).
Başlamak için, aralık yönteminin çözdüğü sorunu hissetmek için küçük bir şarkı sözü. Bu eşitsizliği çözmemiz gerektiğini varsayalım:
(x - 5) (x + 3)\u003e 0
Seçenekler nedir? Öğrencilerin çoğunluğunun başlığına gelen ilk şey "artı bir artı plus veriyor" ve "eksi için eksi bir artı" kurallarıdır. Bu nedenle, her iki braketin pozitif olduğu durumları göz önünde bulundurmak yeterlidir: x - 5\u003e 0 ve x + 3\u003e 0, her iki parantez negatif olduğunda da durumu göz önünde bulundurun: X - 5< 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:
Daha gelişmiş öğrenciler (belki) solun, grafik parabol olan ikinci dereceden bir fonksiyon olduğunu hatırlayacaktır. Dahası, bu parabol öküz eksenini x \u003d 5 ve x \u003d -3 noktalarında geçer. Daha fazla iş için, parantez ortaya çıkarmak gerekir. Sahibiz:
x 2 - 2x - 15\u003e 0
Şimdi parabol dallarının yönlendirildiği açık, çünkü A \u003d 1\u003e 0. katsayısı, bu parabolun şemasını çizmeye çalışalım:
İşlev, öküz ekseninin üstünde geçtiği sıfırdan büyük. Bizim durumumuzda, bu aralıklar (-∞ -3) ve (5; + ∞) - bu cevaptır.
Lütfen dikkat: Şekil tam olarak gösteriyor fonksiyon şeması, onun programı değil. Çünkü bu grafikler için, yer değiştirmeyi ve yapacağımız hiçbir şeyimiz olmayan yer değiştirmeyi ve diğer saçmalıkları hesaplamak için koordinatları göz önünde bulundurmak gerekir.
Bu yöntemler neden etkisiz?
Öyleyse, aynı eşitsizliğin iki kararını değerlendirdik. Her ikisi de çok hantal. İlk çözümde ortaya çıkıyor - sadece bunu düşünüyorsun! - eşitsizliklerin bir kombinasyonu. İkinci çözüm de özellikle kolay değildir: Parabol grafiğini ve başka bir grup küçük gerçeklerin çizelgesini hatırlamanız gerekir.
Çok basit bir eşitsizlikti. Sadece 2 faktöre sahiptir. Ve şimdi çoğunluk olmadığını ve örneğin en az 4 olmadığını hayal edin:
(x - 7) (x - 1) (x + 4) (x + 9)< 0
Bu tür eşitsizlik nasıl çözülür? Tüm olası avantaj ve eksi kombinasyonlarını yakalayın? Evet, bir çözüm bulduğumuzdan kolayca daha hızlı oluruz. Bir program çizin Ayrıca bir seçenek değildir, çünkü böyle bir fonksiyonun koordinat düzleminde nasıl davrandığı belli değil.
Bu tür eşitsizlikler için, biz bugün olduğumuz ve düşündüğümüz özel bir çözüm algoritması gereklidir.
Aralık yöntemi nedir
Aralık yöntemi, F (x)\u003e 0 ve f (x) formunun karmaşık eşitsizliklerini çözmek için tasarlanmış özel bir algoritmadır.< 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:
- Denklemini Çözme F (x) \u003d 0. Böylece, eşitsizlik yerine, çok daha kolay çözülen denklemi elde ediyoruz;
- Koordinattaki tüm kökleri doğrudan işaretleyin. Böylece, düz çizgi birkaç aralıklara ayrılır;
- Burcu (artı veya eksi) fonksiyonunu F (x) en sağdaki aralıklarla bulun. Bunu yapmak için, tüm işaretli kökler için doğru olacak olan f (x) herhangi bir sayısının yerine geçmesi yeterlidir;
- Aralıkların geri kalanında işaretleri işaretleyin. Bunu yapmak için, her kökten geçerken, işaret değiştiğini hatırlamak yeterlidir.
Bu kadar! Bundan sonra, yalnızca bizi ilgilendiren aralıkları yazmak gerekli olacaktır. Eşitsizlik F (x)\u003e 0 veya "-" işareti olan "+" işareti ile işaretlenirler, eğer eşitsizlik görüntülenirse F (x)< 0.
İlk bakışta, aralık yönteminin bir tür kalay olduğu görülebilir. Ancak pratikte her şey çok basit olacaktır. Biraz pratik yapmak gerekir - ve her şey belli olacak. Örnelere bir göz atın - ve kendinizden emin olun:
Bir görev. Eşitsizliği çözmek:
(x - 2) (x + 7)< 0
Aralık yöntemine göre çalışıyoruz. Adım 1: Eşitsizliği denklem için değiştirin ve çözün:
(x - 2) (x + 7) \u003d 0
Ürün sıfırsa ve yalnızca çarpanlardan en az biri sıfır ise:
x - 2 \u003d 0 ⇒ x \u003d 2;
x + 7 \u003d 0 ⇒ x \u003d -7.
İki kök aldı. 2. adıma gidin: Bu kökleri doğrudan koordinattaki notu not ediyoruz. Sahibiz:
Şimdi Adım 3: Fonksiyonun bir işareti en sağda buluyoruz (ilgili nokta x \u003d 2). Bunu yapmak için, herhangi bir numarayı al daha fazla sayı X \u003d 2. Örneğin, x \u003d 3'ü (ancak X \u003d 4, X \u003d 10 ve hatta x \u003d 10.000) alarak kimsenin yasaklanmamasıdır. Alıyoruz:
f (x) \u003d (x - 2) (x + 7);
x \u003d 3;
f (3) \u003d (3 - 2) (3 + 7) \u003d 1 · 10 \u003d 10;
Bunu f (3) \u003d 10\u003e 0, en sağ aralıkta bir artı işareti koyarız.
Son noktaya gidin - kalan aralıklarla işaretleri not etmeniz gerekir. Her kökten geçerken, işaret değişmesi gerektiğini unutmayın. Örneğin, rootun sağında x \u003d 2 artı (buna önceki adımda ikna edildi), böylece sol eksi durmak zorunda.
Bu eksi tüm aralık için geçerlidir (-7; 2), bu nedenle kök x \u003d -7'nin sağına mal oluyor. Sonuç olarak, kökünün solunda x \u003d -7 artı. Bu işaretleri koordinat ekseninde işaretlemek için kalır. Sahibiz:
Gibi ilk eşitsizliğe dönelim:
(x - 2) (x + 7)< 0
Böylece, işlev sıfırdan az olmalıdır. Böylece, sadece aynı aralıkta meydana gelen bir eksi işaretiyle ilgileniyoruz: (-7; 2). Bu cevap verecektir.
Bir görev. Eşitsizliği çözmek:
(x + 9) (x - 3) (1 - x)< 0
Adım 1: Sol tarafı sıfıra eşitliyoruz:
(x + 9) (x - 3) (1 - x) \u003d 0;
x + 9 \u003d 0 ⇒ x \u003d -9;
x - 3 \u003d 0 ⇒ x \u003d 3;
1 - x \u003d 0 ⇒ x \u003d 1.
Unutmayın: Ürün sıfır, çarpanlardan en az biri sıfır olduğunda. Bu yüzden her bir braketi sıfıra eşitlemeye hakkımız var.
Adım 2: Koordinattaki tüm kökleri doğrudan kutlarız:
Adım 3: En sağdaki boşluğun işaretini bulun. Örneğin, X \u003d 1'den büyük olan herhangi bir numarayı alırız. Örneğin, X \u003d 10'u alabilirsiniz:
f (x) \u003d (x + 9) (x - 3) (1 - x);
x \u003d 10;
f (10) \u003d (10 + 9) (10 - 3) (1 - 10) \u003d 19 · 7 · (-9) \u003d - 1197;
f (10) \u003d -1197< 0.
Adım 4: Kalan işaretleri ayarlayın. Her kökten geçerken, işaret değişir. Sonuç olarak, resmimiz şöyle görünecek:
Bu kadar. Sadece cevabı yazmak için kalır. Orijinal eşitsizliğe tekrar bir göz atın:
(x + 9) (x - 3) (1 - x)< 0
Bu, F (x) formunun eşitsizliğidir.< 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:
x ∈ (-9; 1) ∪ (3; + ∞)
İşte cevap.
İşlevin belirtileri üzerine not
Uygulama, aralık yöntemindeki en büyük zorlukların son iki adımda gerçekleştiğini göstermektedir. İşaret yerleştirirken. Birçok öğrenci kafası karışmaya başlar: Numaraları ve nerede işaretler koymanız gerektiği.
Sonunda aralık metodunu çözmek için, yapıldığı iki yorumu düşünün:
- Sürekli fonksiyon, işareti yalnızca bu noktalara değiştirir, sıfıra eşit olduğu yer. Bu noktalar, koordinat eksenini, fonksiyon işaretinin asla değişmediği parçalara bölün. Bu yüzden F (x) \u003d 0 denklemini çözüyoruz ve bulunan kökleri düz bir çizgide kutluyoruz. Bulunan sayılar, eksandalların artılarını ayıran "sınır" noktalarıdır.
- İşlevin işaretini herhangi bir aralıkta bulmak için, bu aralıktan herhangi bir sayıyı değiştirmek yeterlidir. Örneğin, aralık için (-5; 6), eğer istiyorsak, x \u003d -4, x \u003d 0, x \u003d 4 ve hatta X \u003d 1,29374 alma hakkına sahibiz. Neden önemlidir? Evet, çünkü birçok öğrenci nibble şüphelere başlar. Eğer x \u003d -4 için artı ve x \u003d 0 - eksi için mi olduğunu söylüyorlar? Ve hiçbir şey - bu asla olmayacak. Aynı aralıktaki tüm noktalar aynı işareti verir. Hatırla bunu.
Aralık yöntemi hakkında bilmeniz gereken tek şey budur. Tabii ki, onu çok parçaladık. basit sürüm. Daha karmaşık eşitsizlikler var - inanılmaz, kesirli ve tekrarlanan kökler. Onlar için, aralık yöntemi de kullanılabilir, ancak bu ayrı bir büyük ders için bir konudur.
Şimdi, aralık metodunu keskin bir şekilde basitleştiren gelişmiş bir resepsiyonu sökmek istiyorum. Daha kesin olarak, basitleştirme sadece üçüncü adımı etkiler - doğrudan doğrudan işaretin hesaplanması. Nedense, bu teknik okullarda geçmiyor (en azından kimse bunu açıklamıyor). Ve boşuna - Sonuçta, aslında, bu algoritma çok basittir.
Yani, sayısal eksenin doğru parçasındaki işlevin işareti. Bu parçanın (A; + ∞) formuna sahiptir, burada A denkleminin en büyük kökü olan, Beyni havaya uçurmayacak şekilde, belirli bir örneği göz önünde bulundurun:
(x - 1) (2 + x) (7 - x)< 0;
f (x) \u003d (x - 1) (2 + x) (7 - x);
(x - 1) (2 + x) (7 - x) \u003d 0;
x - 1 \u003d 0 ⇒ x \u003d 1;
2 + x \u003d 0 ⇒ x \u003d -2;
7 - x \u003d 0 ⇒ x \u003d 7;
3 kök aldık. Onları artan sırada listeliyoruz: x \u003d -2, x \u003d 1 ve x \u003d 7. En büyük kökünün X \u003d 7 olduğu açıktır.
Grafik olarak tartışmayı kolaylaştıranlar için, bu kökleri doğrudan koordinattaki not edeceğim. Bakalım ne olur:
F (x) fonksiyonunun f (x) işlevini en sağ aralıklarla bulması gerekir, yani. üzerinde (7; + ∞). Ancak, belirttiğimiz gibi, işareti belirlemek için bu aralıktan herhangi bir sayı alabilirsiniz. Örneğin, x \u003d 8, x \u003d 150, vb. Alabilirsiniz. Ve şimdi - okullarda geçmeyen çok resepsiyon: Hadi bir sayı olarak sonsuza dek alalım. Daha kesin artı sonsuzluk. + ∞.
"Hile yaptın mı? Sonsuzluğu nasıl değiştirebilirim? " - Sorabilirsin. Ancak düşünün: İşlevin değerine ihtiyacımız yok, sadece bir işarete ihtiyacımız var. Bu nedenle, örneğin, F (x) \u003d -1 ve f (x) \u003d -938 740 576 215 değerleri aynıdır: bu aralıktaki işlev negatiftir. Bu nedenle, sizin için gerekli olan tek şey, sonsuzlukta meydana gelen ve fonksiyonun değeri değil bir işaret bulmaktır.
Aslında, sonsuzluğu değiştirmek için çok basit. Fonksiyonumuza geri dönelim:
f (x) \u003d (x - 1) (2 + x) (7 - x)
X'in çok olduğunu hayal edin büyük sayı. Milyar ya da hatta trilyon. Şimdi her bir brakette ne olacağını görelim.
İLK BRACKET: (x - 1). Bir milyardan bir birim düşerse ne olacak? Özellikle milyardan farklı olmayan bir sayı ortaya çıkar ve bu sayı pozitif olacaktır. Benzer şekilde, ikinci bir braket ile: (2 + x). Bir milyar iki kez eklerseniz, bir penny ile milyarlarca alacağız - bu pozitif bir sayıdır. Son olarak, üçüncü braket: (7 - x). "Unzipped" nin yedi bir formda "açılan" bir milyar eksi olacak. Şunlar. Elde edilen sayı eksi bir milyardan çok farklı değildir - olumsuz olacaktır.
Tüm çalışmaların işaretini bulmak için kalır. İlk parantez içinde bir artı olduğumuz için ve ikincisi - eksi, aşağıdaki tasarıma giriyoruz:
(+) · (+) · (−) = (−)
Final işareti - eksi! Ve işlevin kendisinin değerine eşit olan ne olursa olsun. Asıl şey, bu değerin negatif olduğu, yani Doğru aralıkta eksi işareti var. Aralık metodunun dördüncü basamağını gerçekleştirmek için kalır: Tüm işaretleri genişletmek için. Sahibiz:
Açıklanan ilk eşitsizlik:
(x - 1) (2 + x) (7 - x)< 0
Bu nedenle eksi ile işaretlenmiş aralıklarla ilgileniyoruz. Cevabı yazıyoruz:
x ∈ (-2; 1) ∪ (7; + ∞)
Söylemek istediğim tüm teknik bu. Sonuç olarak, sonsuzluğun katılımıyla aralıklarla çözülen başka bir eşitsizlik. Çözümü görsel olarak azaltmak için, adımların sayısını yazmayacağım ve yorum yapmam. Sadece gerçek görevleri çözerken gerçekten yazmanız gerekenleri yazacağım:
Bir görev. Eşitsizliği çözmek:
x (2x + 8) (x - 3)\u003e 0
Eşitsizliği denklem için değiştiriyoruz ve çözüyoruz:
x (2x + 8) (x - 3) \u003d 0;
x \u003d 0;
2x + 8 \u003d 0 ⇒ x \u003d -4;
x - 3 \u003d 0 ⇒ x \u003d 3.
Koordinat düz hattındaki üç kökünü (hemen işaretlerle) kutlarız:
Sağdaki koordinat ekseni artı, çünkü İşlev formu vardır:
f (x) \u003d x (2x + 8) (x - 3)
Ve eğer sonsuzluğu değiştirirsek (örneğin, bir milyar), üç pozitif braket alırız. İlk ifade sıfırdan büyük olması gerektiğinden, yalnızca avantajlarla ilgileniyoruz. Cevabı yazmak için kalır:
x ∈ (-4; 0) ∪ (3; + ∞)
Aralık yöntemi - Kesirli rasyonel eşitsizlikleri çözmenin basit bir yolu. Böylece değişkene bağlı olarak rasyonel (veya kesirli-rasyonel) ifadeler içeren eşitsizlikler denir.
1. Örneğin, bu eşitsizliği düşünün
Aralık yöntemi, birkaç dakika içinde çözmenizi sağlar.
Bu eşitsizliğin sol tarafında - kesirli bir rasyonel fonksiyon. Rasyonel, çünkü kökleri, ne sinüsler içermez, logaritma yoktur - sadece rasyonel ifadeler. Sağda - sıfır.
Aralık yöntemi, bir fraksiyonel rasyonel fonksiyonun aşağıdaki özelliklerine dayanır.
Kesirli rasyonel fonksiyon, yalnızca sıfır olduğu noktalara olan işareti değiştirebilir veya bulunmuyor.
Çarpanlara katlandığından, karenin üçü azaldığı, yani formun ifadesi olduğunu hatırlatırız.
Nerede ve - kökler kare denklemi.
Ekseni çizeriz ve sayısının ve payın sıfıra uygulandığı noktaları ayarlıyoruz.
Korominatörün sıfırları ve - anlamsız noktaları, çünkü bu noktalarda eşitsizliğin sol tarafındaki fonksiyon tanımlanmadı (sıfıra bölünemez). Numor'un eşitsizliği olarak rakamın sıfırları ve boyanmış. Her iki kısım da sıfır olduğundan, eşitsizliğimiz gerçekleştirilir.
Bu noktalar ekseni boşluklara kırar.
Bu boşlukların her birinde eşitsizliğimizin sol tarafındaki bir fraksiyonel rasyonel fonksiyonun işaretini belirleyin. Kesirli bir rasyonel fonksiyonun işaretini yalnızca sıfır olduğu noktalara değiştirebileceğini veya bulunmadığını hatırlıyoruz. Bu, numberator veya paymin sıfıra dönüştüğü noktalar arasındaki boşlukların her birinde, eşitsizliğin sol tarafındaki ifade işareti kalıcı olacaktır - ya "artı" veya "eksi" olacaktır.
Bu nedenle, fonksiyonun her bir aralıktaki işaretini belirlemek için bu boşluğa ait herhangi bir noktaya geliriz. ABD'nin uygun olduğu.
. Örneğin, eşitsizliğin sol tarafındaki ifadenin işaretini kontrol edin. "Parantez" nin her biri negatiftir. Sol tarafın bir işareti var.
Sonraki Boşluk:. İşareti kontrol edin. Sol parçanın oturum açmayı değiştirdiğini anlıyoruz.
Almak. Olumlu ifade ederken, sonuç olarak tüm aralıkta olumludur.
Eşitsizliğin solunda negatiftir.
Ve nihayet, sınıf \u003d "tex" alt \u003d "(! Lang: x\u003e 7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}
İfadenin hangi dönemlerde pozitif olduğunu bulduk. Cevabı yazmak için kalır:
Cevap:.
Lütfen dikkat: Aralıklarla işaretler değiştirilir. Oldu çünkü her noktadan geçerken, tam olarak doğrusal çarpanlardan biri işaretini değiştirdi ve gerisi değişmeden tuttu.
Aralık metodunun çok basit olduğunu görüyoruz. Kesirli rasyonel eşitsizlik aralıklarını çözmek için, aklınıza getirin:
Veya Sınıf \u003d "Tex" alt \u003d "(! Lang: \\ genfrac () () () (0) (\\ DisplayStyle P \\ Sol (x \\ sağ)) (\\ DisplayStyle Q \\ Sol (x \\ sağ))\u003e 0"> !}, yada yada .
(Sol tarafta - bir kesirli rasyonel fonksiyon, sağda sıfır).
Sonra - Sayısal veya payderinizin sıfıra uygulandığı sayısal bir noktaya dikkat edin.
Bu noktalar, her birinin fraksiyonel rasyonel fonksiyonun işaretini kaydettiği tüm numaraları doğrudan boşlukları kırar.
Sadece her aralıkta işaretini bulmak için kalır.
Bunu, bu boşluğa ait olan her yerdeki ifadenin işaretini kontrol ederek yapıyoruz. Bundan sonra cevabı yazın. Bu kadar.
Ancak soru ortaya çıkıyor: her zaman alternatif imzalar var mı? Hayır her zaman değil! Dikkatli olmak ve mekanik ve zihinsiz işaretler düzenlememek gerekir.
2. Başka bir eşitsizlik düşünün.
Sınıf \u003d "Tex" Alt \u003d "(! Lang: \\ genfrac () () () (0) (\\ DisplayStyle \\ Sol (x-2 \\ sağ) ^ 2) (\\ DisplayStyle \\ Sol (x-1 \\ sağ) \\ Sol (x-3 \\ sağ))\u003e 0"> !}
Eksen üzerinde tekrar noktaları açık. Puanlar ve - taranır, çünkü payderinin sıfırlarıdır. Nokta da boyanmış, çünkü eşitsizlik katıdır.
Numarator pozitif, hem payda çarpanı da negatif. Örneğin, bu aralıktan herhangi bir sayı alarak kontrol etmek kolaydır. Sol tarafın bir işareti var:
Bir rakam ile pozitiftir; Korominatördeki ilk faktör pozitif, ikinci faktör negatiftir. Sol tarafın bir işareti var:
Durum aynı! Numarator pozitiftir, payda ilk faktör pozitif, ikincisi negatiftir. Sol tarafın bir işareti var:
Sonunda, sınıf \u003d "tex" alt \u003d "ile (! Lang: x\u003e 3">
все множители положительны, и левая часть имеет знак :!} 
Cevap:.
İşaretlerin alternasyonu neden? Çünkü onun çarpanı için "sorumlu" noktasından geçerken işareti değiştirmedi. Sonuç olarak, işaretini ve tüm solunağımızı değiştirmedi.
Çıktı: doğrusal çarpanı açık bir derecedeyse (örneğin, bir karede), o zaman noktanın üzerinden geçerken, sol kısımdaki ifade işareti değişmez. Sık sık bir işaret olması durumunda, elbette, değişiklikler.
3. Daha fazla düşünmek zor durumda. Önceki kişiden, eşitsizliğin eşitsiz olduğu gerçeğiyle ayırt edilir:
Sol kısmı önceki görevdeki ile aynıdır. Aynısı işaretlerin resmi olacak:
Belki de cevap aynı olacak? Değil! Çözelti, solda ve eşitsizliğin sağ kısımları sıfırdır, bu nedenle, bu nokta bir çözümdür.
Cevap:.
Matematikte sınavın görevinde, bu durum yaygındır. Burada, başvuru sahipleri tuzağa düşer ve puanları kaybeder. Dikkatli ol!
4. Nazik veya küçük payda doğrusal çarpanlar üzerinde ayrışmazsa? Böyle eşitsizliği düşünün:
Kare üç tanesi ayrıştırmak imkansızdır: Ayrımcı negatiftir, kök yoktur. Ama bu iyi! Bu, ifadenin her yerindeki işaretinin aynı olduğu ve spesifik olarak - pozitif olduğu anlamına gelir. Kuadratik fonksiyonun özellikleri hakkındaki makalede bunun hakkında daha fazla bilgi edinebilirsiniz.
Ve şimdi eşitsizliğimizin her iki bölümünü de olumlu bir değer için paylaşabiliriz. Eşdeğer eşitsizliğe gelin:
Bu aralık yöntemiyle kolayca çözülür.
Lütfen dikkat edin - her iki eşitsizliği de tam olarak olumlu olduğunu bildikleri miktarda paylaştık. Tabii ki, genel olarak, işareti bilinmeyen bir değişken değerine çarpma veya bölme gerekli değildir.
5 . Başka bir eşitsizliği düşünün, oldukça basittir:
Bu yüzden çoğalmak istiyorum. Ama biz zaten akıllıyız ve bunu yapmayacağız. Gerçekten de, hem olumlu hem de olumsuz olabilir. Ve her iki eşitsizliğin de negatif bir değerle çarpıldığını biliyoruz - eşitsizlik değişikliğinin işareti.
Biz farklı yapacağız - bir kısmında her şeyi toplayacağız ve genel paydayı vereceğiz. Sağ kısım sıfır kalacak:
Sınıf \u003d "Tex" Alt \u003d "(! Lang: \\ genfrac () () () (0) (\\ DisplayStyle X-2) (\\ DisplayStyle x)\u003e 0"> !}
Ve ondan sonra - uygulanabilir aralık yöntemi.
Önemli yorumlar!
1. Formüller yerine Abracadabra'yı görürseniz, önbelleği temizleyin. Bunun tarayıcınızda nasıl yapılır burada yazılır:
2. Bir makale okumaya başlamadan önce, en çok navigasyonumuza dikkat edin. faydalı kaynak için
Bu yöntem sadece beş parmakınız olarak anlamanız ve bilmeniz gerekir! Keşke rasyonel eşitsizlikleri çözmek için kullanıldığı için ve bu yöntemi bilerek, bu yöntemi bilerek, bu eşitsizlikleri şaşırtıcı derecede basitçe çözün. Biraz daha sonra, birkaç sırrı, bu eşitsizlikleri çözme konusunda zamandan nasıl tasarruf edeceğim. İyi, meraklısı mı? Sonra biz gittik!
İmzanın özü, çarpanların eşitsizliğinin (konuyu değiştirin) ve OTZ'nin tanımı ve fabrikanın belirtisi, şimdi her şeyi açıklayacağım. En basit örneği alın :.
Bölge İzin verilen değerler () Burada yazmak gerekli değildir, çünkü değişken üzerinde bir bölüm yoktur ve radikaller (kökler) burada gözlenmedi. Buradaki faktörler hepimiz için ayrılmıştır. Ancak rahatlamayın, her şey temelleri hatırlatmak ve özü anlamak için!
Aralıkların yöntemini bilmediğinizi varsayalım, bu eşitsizliğe nasıl karar verirsiniz? Mantıklı gelin ve zaten bildiklerinizi çizin. Birincisi, eğer parantez içindeki her iki ifadenin de sıfır veya daha az sıfır olması durumunda sol taraf sıfırdan büyük olacaktır, çünkü Ayrıca artı "artı" ve "eksi" "eksi" "artı" verir, doğru mu? Eğer parantez içindeki ifadelerdeki işaretler farklıysa, sonunda sol kısım sıfırdan az olacaktır. Peki parantez içindeki ifadelerin olumsuz ya da olumlu olacağı anlamları neye ihtiyacımız var?
Denklemi çözmemiz gerekiyor, tam olarak eşitsizlik ile aynı, sadece bir işaret yerine bir işaret olacak, bu denklemin kökleri, çarpıcıların daha büyük olacağı geri çekilme sırasında bu sınır değerlerini belirlemenize izin verecektir. Sıfırdan daha az.
Ve şimdi aralıklar kendileri. Aralık nedir? Bu, sayısal bir düz çizgidir, yani, iki sayı arasında sonuçlanan tüm olası sayılar aralığın sonlarıdır. Bu aralıklar göndermek çok kolay değildir, bu nedenle aralıklar artık bilimsel olarak çizilir.
Ekseni çiziyoruz, tüm sayısal seriyi ve içinden içeriği içerir. Eksende, noktalar uygulanır, fonksiyonların en çok sözde sıfırları, ifadenin sıfır olduğu değerler. Bu noktalar "yuvarlanır", bu da eşitsizliğin doğru olduğu değerlerin sayısı için geçerli olmadıkları anlamına gelir. İÇİNDE bu durum, çıkarlar çünkü Eşitsizlik içinde bir işaret, yani, kesinlikle daha büyük ve daha fazla ya da eşit değildir.
Sıfır not etmenin gerekli olmadığını söylemek istiyorum, burada daire olmadan ve böylece eksen boyunca anlayış ve yönlendirme için. Tamam, eksen boyandı, puanlar (daha kesin bir kupa) koydu, daha sonra ne, nasıl çözülmeme yardım eder? - Sana soruyorsun. Artık sadece ICA'yı aralıklarla sırayla değere çıkarın ve bunları eşitsizliğinize sokun ve hangi işaretin çarpma sonucu olduğunu görün.
Kısacası, sadece, örneğin, burada ikame ettik, ortaya çıkacak, ortaya çıkacak ve tüm aralık (aralık boyunca) aldığımızdan, eşitsizlik adil olacaktır. Başka bir deyişle, eğer x daha önce ise, eşitsizlik doğrudur.
Aynı şeyi, daha önce aralıklarla yaparım, aldık ya da örneğin ikame ediyoruz, işaretini tanımlıyoruz, işaret "eksi" olacak. Ve aynı şeyi lisansüstü, üçüncü aralıkla, işaretin "artı" olacağı. Böyle bir çok metin çıktı, ancak küçük bir netlik doğru mu?
Eşitsizlik için bir kez daha bakıyorum.
Şimdi her şey aynı eksene ve sonuçlara neden olacak işaretlere uygulanır. Kırık çizgi, örneğimde, eksenin olumlu ve olumsuz bölümlerini belirtiriz.
Eşitsizliğe bakın - çizimde, tekrar eşitsizlik için - tekrar çizimeAçık bir şey mi? Şimdi, ICA'nın hangi aralıklarında söylemeyi deneyin, eşitsizlik doğru olacaktır. Doğru, eşitsizliğe kadar doğru ve daha önce ve sıfırdan eşitsizliğin aralığından ve bu boşluk çok az ilgi alanlarıdır, çünkü eşitsizliğe sahibiz.
Bunu çözdüğünden beri, o zaman küçük - cevabı yazmak için! Buna cevaben, sol tarafın sıfır olduğu yerdeki boşlukları yazıyoruz, bu da bir X-Line gibi sonsuzluğun eksi eksi bir ve iki artı sonsuzluğa ait. Parantezlerin, aralıklarla sınırlı değerlerin eşitsizliğin çözümü olmadığı, yani, yanıt olarak dahil olmadığı, ancak yalnızca daha önce, örneğin bir çözüm olmadığını öne sürdüğü anlamına gelmez.
Şimdi sadece çizmek için bir aralık olmayacağınız bir örnek:
Ne düşünüyorsun, eksendeki noktanın başlamasından önce ne yapılması gerekiyor? Evet, faktörler ayrışır:
Aralıkları çizer ve işaretleri belirleriz, Dondurulacak noktalara dikkat edin, çünkü işaretin kesinlikle sıfırdan az olduğu için:
Size bu konunun başlangıcında söz verdiğim bir sırrı açıklama zamanı! Ve eğer size işaretini belirlemek için her aralıktan gelen değerleri değiştiremediğinizi söylersem, ancak aralıklardan birinde bir işaret tanımlayabilirsiniz ve diğerlerinde sadece alternatif işaretler!
Böylece, karakterlerin bir kaybolmasına biraz zaman kazandık - bence bu sefer sınavda kazanmayı engellemiyor!
Cevabı yazıyoruz:
Şimdi, her iki bölümden de rasyonel ifadeler olan (bkz.) Kesirli Rasyonel Eşitsizlik - Eşitsizliğin bir örneğini göz önünde bulundurun.
Bu eşitsizlik hakkında ne söyleyebilirsin? Ve ona kesirli bir rasyonel denklem olarak bakıyorsunuz, ilk önce ne yapıyoruz? Hemen kök olmadığını görüyoruz, kesinlikle rasyonel demektir, ancak hemen kesir ve hatta payda bilinmeyen!
Doğru, OTZ ihtiyacı!
Böylece, daha da geçti, burada birinin dışındaki tüm faktörler birinci derece değişken var, ancak X'in ikinci derece olduğu bir çarpan var. Genellikle, imzanın, eşitsizliğin sol kısmının sıfır değeri aldığı noktalardan biriyle değiştirildikten sonra değiştirildikten sonra, bunun için X'in her çarpanlığında EX'ye eşit olduğunu belirlediğimiz sıfır değeri alır. Ve burada, bu yüzden her zaman olumludur, çünkü Kare\u003e sıfır ve pozitif terimlerde herhangi bir sayı.
Sence eşitsizliğin anlamını neylendirecek? Doğru - etkilemeyecek! Her iki eşitsizlikte de güvenle birleştirebiliriz ve böylece gözler aramayacak şekilde bu çarpanı kaldırabiliriz.
Çizilecek aralıkları çizmek zamanındaydı, bunun için çarpıcıların daha büyük ve sıfırdan daha az olacağı geri çekilme sırasında bu sınır değerlerini tanımlamak için gereklidir. Ancak, burada işaretin, eşitsizliğin sol kısmının sıfır değeri aldığı noktaya, pompalayamayacağımız nokta, bu, sahip olduğumuz bir nokta, X'in eşit olduğu noktadır. bir. Ve payderinin çekirdeğe negatif olduğu nokta? - Tabii ki değil!
Payın sıfır olmamalıdır, bu nedenle aralık böyle görünecek:
Bu şema için, kolayca bir cevap yazabilirsiniz, sadece şimdi emrinizde olduğunuzu söyleyebilirim, yeni bir braket tipi var - kare! İşte böyle bir braket [ Değerin çözüm aralığına dahil olduğunu söylüyor, yani. Cevabın bir parçasıdır, bu braket, eksen üzerindeki boyalı (boyalı olmayan) noktaya karşılık gelir.
Burada, - aynı cevabı aldın mı?
Faktörler üzerinde ayrışırız ve her şeyi bir yöne aktarıyoruz, sadece sağa sola gitmemiz gerekir:
Dikkatinizi son dönüşümde, Numarator'da payda olduğu gibi, her iki eşitsizliği de çarptığım için öderim. Hem eşitsizliğin her iki bölümünü çarptığında, eşitsizliğin işareti tersine değiştiğini unutmayın !!!
Biz yazarız ...
Aksi takdirde, payda sıfıra döner ve sıfıra, hatırladığınız gibi, paylaşmak imkansızdır!
Katılıyorum, sonuçta olan eşitsizlikte, bir rakam ve paydayı kesmek için sallandı! Bunu yapmak imkansız, bazı kararları kaybedebilirsiniz ya da ...
Şimdi eksende noktaları uygulamaya çalışın. Sadece puan uygulanırken, işaretten çıkan bir değere sahip olan noktadan, boyanmış gibi bir eksene uygulanacağı gerçeğine dikkat etmek gerekli olduğuna dikkat edin, boyanmayacak, sorulacak! Neden soruyorsun? Ve hatta hatırlıyorsun, sıfır için paylaşmayacaksın?
Unutma, kendi başına var! Tüm eşitsizlik ve eşitlik belirtileri bir şey söylüyorsa, OTZ bir başka, güven, büyük ve güçlü bir şeydir! Aralıklar inşa ettiniz, alternasyon hakkındaki ipucumdan faydalandığınızdan eminim ve böyle yaptınız (aşağıdaki çizime bakın) ve şimdi sigara içiyorsunuz ve bu hatayı tekrar etmeyin! Ne hata? - Sana soruyorsun.
Gerçek şu ki, bu eşitsizlikte çarpanının iki kez tekrarlandığı (hala nasıl koştuğunuzu hatırladın?). Öyleyse, bir çarpan eşitsizlikte tekrarlanırsa, bu, bu çarpanı sıfıra çeken eksenin üzerindeki nokta boyunca geçerken (bu durumda, nokta), bir tuhaf ise, işareti değiştirmeyecektir. İşaret değişir!
Aşağıdaki eksene aralıklarla ve işaretler ile sadık olacaktır:
Ve, işaretin başında olmayan biriyle ilgilenmediğine dikkat edin (sadece eşitsizliği gördüğümüzde, işareti) dönüşümlerden sonra, işaret değiştirildi, bu da boşluklarla ilgilendiğimiz anlamına geliyor. işaret.
Cevap:
Herhangi bir aralıkta bulunmayan eşitsizliklerin köklerinin olduğu, örneğin, bunun gibi kıvırcık parantezlerde kaydedildikleri durumların bulunduğu durumlar olduğunu söyleyeceğim. Orta seviye makalesindeki bu durumlar hakkında daha fazla bilgi edinebilirsiniz.
Aralık yöntemiyle eşitsizliklerin nasıl çözüleceğini özetleyelim:
- Her şeyi sol tarafa taşıyoruz, sağda sadece sıfır bırakıyoruz;
- Bulduk ...
- Tüm eşitsizlik köklerini eksene uyguluyoruz;
- Boşluklardan birinden keyfi alıyoruz ve kökün ait olduğu, işaretlerin, köklere dikkat edilmesi, eşitsizliğin dikkatini çeken, pariteden tekrarlayan, parite veya tekrarların miktarını saymak, onlardan geçen ya da değil;
- Cevap olarak, aralıkları yazıyoruz, çalkalayıcıyı gözlemleyerek (Bkz. OTZ), aralarında gerekli parantez türlerini koyarız.
Sonunda, favori başlığımız, "kendin yap"!
Örnekler:
Yanıtlar:
Aralık yöntemi. Ortalama seviye
Doğrusal fonksiyon
Doğrusal formun işlevi denir. Örneğin işlevi düşünün. Olumlu ve ne zaman olumsuz. Nokta sıfır işlevidir (). Sayısal eksendeki bu fonksiyonun işaretlerini gösterelim:
"İşlevin, noktadan geçerken işaretini değiştirdiğini" söylüyoruz.
İşlevin fonksiyonlarının, fonksiyonun işlevinin konumuna karşılık geldiği görülebilir: eğer zamanlama eksenin üstünde ise, "", eğer aşağısa "işareti" ".
Elde edilen kuralı keyfi olarak genelleştirirsek doğrusal fonksiyon, Böyle bir algoritmayı alıyorum:
- Sıfır işlev bulduk;
- Sayısal eksende not ediyoruz;
- Fonksiyonun işaretini sıfırın farklı taraflarında belirleyin.
İkinci dereceden fonksiyon
Umarım kare eşitsizliklerin nasıl çözüldüğünü hatırlıyorsunuzdur? Değilse, konuyu okuyun. Genel bir görünümü hatırlatırım İkinci dereceden fonksiyon: .
Şimdi hangi işaretlerin ikinci dereceden bir işlev aldığını hatırlayalım. Grafiği - parabol ve fonksiyon "" eksenin üstünde olduğu gibi "" ile "" işaretini alır ve "" - Parabola eksenin altında ise:
Fonksiyonun sıfırlara sahip olması durumunda (), parabol, ekseni iki noktada geçerse - karşılık gelen kare denklemin kökleri. Böylece, eksen üç aralıklara ayrılır ve fonksiyonun belirtileri her kökten geçerken dönüşümlü olarak değişir.
Bir parabola her zaman çizmeden işaretleri tanımlamak mümkün mü?
Kare üç düşüşün faktörlerde ayrıştırılabileceğini hatırlayın:
Örneğin: .
Eksendeki kökleri not:
İşlev işaretinin yalnızca kökten geçerken değişebileceğini hatırlıyoruz. Bu gerçeği kullanıyoruz: Eksenin köklere ayrıldığı üç aralıkların her biri için, fonksiyonun işlevini yalnızca keyfi olarak seçilen bir noktada belirlemek yeterlidir: İşaretin diğer noktalarında, işaret aynı olacaktır .
Örneğimizde: Braketlerdeki her iki ifade de pozitif olduğunda (örneğin, örneğin :). Eksen tabelasını yaptık "":
Peki, (örneğin, örneğin,) her iki parantez negatif olduğunda, işin olumlu olduğu anlamına gelir:
Bu öyle aralık yöntemi: Her aralıktaki faktörlerin belirtilerini bilmek, tüm işlerin işaretini tanımlarız.
Ayrıca, fonksiyonun sıfırları olmadığı durumlarda da durumlar veya sadece bir tanedir.
Hayır ise, o zaman kök yoktur. Bu yüzden, "kökten geçiş" olmayacak. Böylece, sayısal eksendeki fonksiyon sadece bir işaret alır. İşlevin yerine koymak, belirlemek kolaydır.
Kök yalnızca bir ise, parabol eksen tarafından dokunulur, bu nedenle kökten hareket ederken işlev işareti değişmez. Bu tür durumlar için hangi kural gelecek?
Çarpırlarda böyle bir işlevi parçalaşırsanız, iki özdeş çarpan ortaya çıkacak:
Ve meydandaki herhangi bir ifade nihayetindedir! Bu nedenle, fonksiyonun işlevi değişmez. Bu gibi durumlarda, imzanın değişmediği, bir kare ile daire içine alındığında kök tahsis edeceğiz:
Böyle bir kök çoklu denir.
Eşitsizliklerde aralık yöntemi
Şimdi herhangi bir kare eşitsizlik, parabol çizmeden çözülebilir. Sadece eksendeki ikinci dereceden fonksiyonun işaretlerini yerleştirmek için yeterlidir ve eşitsizlik belirtisine bağlı olarak aralıkları seçin. Örneğin:
Eksendeki zihin kökleri ve levhalar:
"" İşaretiyle eksenin bir kısmına ihtiyacımız var; Haksızlığın eşitsizliğinden bu yana, kökleri de çözümlere dahil edilir:
Şimdi rasyonel eşitsizlik - eşitsizlik, her iki bölümden de rasyonel ifadeler (bkz.).
Misal:
Biri hariç tüm faktörler - - burada "doğrusal", yani, yalnızca birinci derecede bir değişken içerir. Bu tür lineer çarpanları, aralık yöntemini uygulamak için gereklidir - kökleri değişirken bir işaret. Ancak çarpanı hiç kök yoktur. Bu, her zaman olumlu olduğu anlamına gelir (kendiniz kontrol edin) ve bu nedenle tüm eşitsizliklerin işaretini etkilemez. Bu, eşitsizliğin sol ve sağ tarafına bölünebileceği anlamına gelir ve böylece ondan kurtulun:
Şimdi her şey olduğu gibi aynı kare eşitsizlik: Çarpanların her birinin her birinin sıfıra eklediğini belirleyin, bu noktaları eksendeki işaretler ve işaretler düzenleyin. Dikkatimi çok önemli gerçeğe göre öderim:
Cevap:. Misal:.
Aralıkların yöntemini uygulamak için, eşitsizliğin parçalarından birinde olması gerekir. Bu nedenle, sağ tarafı sola aktarırız:
Bir rakam ve payda, aynı çarpanı, ancak azaltmak için aceleyle değil! Sonuçta, o zaman bu noktayı satın almayı unutabiliriz. Bu kökünün birden fazla olarak not etmek daha iyidir, yani, onun içinden geçerken, işaret değişmeyecek: 
Cevap:.
Ve bir tane daha gösteriş örneği:
Yine, numberatörün aynı çarpanlarını ve paydayı azaltmıyoruz, çünkü azalırsak, bir nokta satın almanız gerektiğini özellikle ezberlemeliyiz.
- : tekrarlar;
- : zamanlar;
- : Times (bir rakamda, biri payda).
Düz bir numara durumunda, daha önce olduğu gibi aynı şeyi yapıyoruz: noktayı karenin yanında tedarik ediyoruz ve kökten geçerken işaretini değiştirmeyin. Ancak garip bir miktar durumunda, bu kural yürütülmez: İşaret hala kök boyunca geçiş sırasında değiştirilecektir. Bu nedenle, böyle bir kökü ile, birden fazla değilmiş gibi, hiçbir şey yapmıyoruz. Yukarıdaki kurallar, hepsi eşit ve garip derecelerle ilgilidir. 
Cevabında ne yazdık?
İşaretlerin alternasyonunun ihlal edilmesi durumunda, çok özenli olması gerekir, çünkü yanıt olarak anlaşılmaz eşitsizlik ile tüm boyalı noktalar. Ancak Nah'ın bazıları genellikle boyalı bölgeye dahil olmayan bir konakta durur. Bu durumda, onları yalıtımlı noktalar olarak (kıvırcık parantez içinde) cevaplara ekleriz:
Örnekler (kendinizi çözme):
Yanıtlar:
- Çarpanlar arasında sadece kök ise, çünkü olarak temsil edilebilir.
.
Aralık yöntemi. Ana şey hakkında kısaca
Aralık yöntemi, rasyonel eşitsizlikleri çözmek için kullanılır. Çeşitli aralıklarla ilgili faktörlerin belirtileri üzerindeki çalışmanın işaretini belirlemede yatıyor.
Aralıklarla rasyonel eşitsizlikleri çözmek için algoritma.
- Her şeyi sol tarafa taşıyoruz, sağda sadece sıfır bırakıyoruz;
- Bulduk ...
- Tüm eşitsizlik köklerini eksene uyguluyoruz;
- Boşluklardan birinden keyfi alıyoruz ve kökün ait olduğu, işaretlerin, köklere dikkat edilmesi, eşitsizliğin dikkatini çeken, pariteden tekrarlayan, parite veya tekrarların miktarını saymak, onlardan geçen ya da değil;
- Cevap olarak, aralıkları yazıyoruz, çalkalayıcıyı gözlemleyerek (Bkz. OTZ), aralarında gerekli parantez türlerini koyarız.
Konu bitti. Bu satırları okursanız, o zaman çok havalısınız.
Çünkü insanların sadece% 5'i kendi başlarına bir şey ustalaşabiliyorlar. Ve eğer sonuna kadar okursanız, bu% 5'e girdiniz!
Şimdi en önemli şey.
Bu konudaki teoriyi çözdünüz. Ve ben tekrar ediyorum, ... sadece süper! Akranların mutlak çoğunluğundan daha iyisin.
Sorun şu ki, bunun yeterli olmayabilir ...
Ne için?
İçin başarılı teslimat Ege, bütçe enstitüsüne giriş ve en önemlisi yaşam için.
Sana bir şey ikna etmeyeceğim, sadece bir şey söyleyeceğim ...
Alılan insanlar iyi bir eğitimMakine, onu almayanlardan çok daha fazla. Bunlar istatistiklerdir.
Ama bu ana şey değil.
Asıl şey, daha mutlu olmalarıdır (bu araştırmalar var). Belki de onların lehine daha fazla fırsat var ve hayat daha parlak olur? Bilmiyorum...
Ama kendimi düşünün ...
Sınavdaki diğerlerinden daha iyi olduğundan emin olmak ve nihayetinde olmak için neye ihtiyacınız var?
Bu konudaki görevleri çözerek bir elinizi doldurun.
Teoriyi sınavda sormayacaksın.
İhtiyacın olacak bir süre için görevleri çözün.
Ve eğer onları çözmediyseniz (çok!), Kesinlikle aptalca bir yanılıyordun ya da sadece zamanınız yok.
Sporda gibiydi - Kazanmak için birçok kez tekrarlamanız gerekir.
Bir koleksiyon ne istediğinizi bulun, mutlaka çözümlerle, detaylı analiz Ve karar ver, karar ver!
Görevlerimizi (mutlaka değil) kullanabilirsiniz ve elbette, onları tavsiye ederiz.
Elini görevlerimizin yardımıyla doldurmak için, şimdi okuduğunuz Ders Kitabı YouCever için hayatı uzatmanıza yardımcı olmalısınız.
Nasıl? İki seçenek var:
- Bu makaledeki tüm gizli görevlere açık erişim -
- Ders Kitabının 99 makalesindeki tüm Gizli Görevlere Açık Erişim - Satın Alma Kitabı - 499 Ruble
Evet, ders kitabımızda 99 makalemiz var ve tüm görevler için erişim ve tüm Gizli metinler hemen açılabilir.
Sitenin tüm varlığı için tüm gizli görevlere erişim sağlanır.
Sonuç olarak...
Görevlerimiz beğenmediyse, başkalarını bulurlar. Sadece teoriyi durdurmayın.
"Anlıyorum" ve "karar verebilirim" tamamen farklı becerilerdir. İkisine ihtiyacın var.
Görevi bul ve karar ver!
Aralık metodunun, eşitsizlikleri çözmek için evrensel olduğu varsayılmaktadır. Bazen bu yöntem de aralık yöntemleri olarak adlandırılır. Hem rasyonel eşitsizlikleri bir değişkenle ve diğer türlerin eşitsizlikleri için her ikisini de uyguluyoruz. Malzememizde, konunun tüm yönlerine dikkat etmeye çalıştık.
Bu bölümde sizi ne bekliyor? Boşluk yöntemini analiz edeceğiz ve onunla çözelti için algoritmaları düşüneceğiz. Kulübe teorik yönlerYöntemin kullanımının dayandığı.
Genellikle içinde etkilenmeyen konulara özel önem veriyoruz. okul programı. Örneğin, işaretlerin aralıklarla yerleştirilmesi için kuralları ve aralık metodundaki genel Rasyonel eşitsizliklere bağlanmadan.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Algoritma
Kim okul yılı cebirinde boşluklar yöntemiyle nasıl tanışacağını hatırlıyor? Genellikle her şey F formunun eşitsizliklerin çözümü ile başlar (x)< 0 (знак неравенства может быть использован любой другой, например, ≤ , > veya ≥). Burada F (x) bir polinom veya polinom oranı olabilir. Polinom, sırayla şöyle temsil edilebilir:
- bir değişken X ile 1 katsayısı ile doğrusal biccinlerin ürünü;
- kompozisyon kare threesties Kıdemli katsayılı 1 ve köklerinin negatif ayrımcılığıyla.
Bu tür eşitsizliklerin birkaç örneğini veriyoruz:
(x + 3) · (x 2 - x + 1) · (x + 2) 3 ≥ 0,
(x - 2) · (x + 5) x + 3\u003e 0,
(x - 5) · (x + 5) ≤ 0,
(x 2 + 2 · x + 7) · (x - 1) 2 (x 2 - 7) 5 · (x - 1) · (x - 3) 7 ≤ 0.
Bu türün eşitsizliklerini çözmek için algoritmayı yazıyoruz, örneklerde, aralıkların yöntemi:
- bu sayısal ve payderinin sıfırlarını, bu sayısal ve eşitsizliğin sol tarafındaki ifadenin denominatorunu buluruz, sıfıra eşittir ve elde edilen denklemleri çözer;
- bulunan sıfırlara karşılık gelen ve bunları koordinatların ekseninde işaretleyen noktaları belirliyoruz;
- İfade belirtilerini belirlemek f (x) eşitsizliğin sol tarafından her aralıkta çözülmesi ve grafiğe koyması;
- programın istenen kısımları üzerinde tarama uygulayın, sonraki kural: Eşitsizliğin işaretleri olması durumunda< или ≤ изображается, штрихуются «минусовые» промежутки, если же мы работаем с неравенством, имеющим знаки > veya ≥, sonra "+" işareti ile işaretlenmiş inme alanlarını vurguluyoruz.
Çalışacağımız Celrezh, şematik bir manzaraya sahip olabilir. Gereksiz ayrıntılar çizimi aşırı yükleyebilir ve çözmeyi zorlaştırabilir. Ölçekle biraz ilgileneceğiz. Yapışmak için yeterli olacaktır doğru yer Koordinatlarının değerleri arttıkça puan.
Sıkı eşitsizliklerle çalışırken, olgunlaşmamış (boş) bir merkez olan bir daire şeklinde noktanın belirlenmesini kullanacağız. İnanılmaz eşitsizlikler durumunda, payda sıfırlarına karşılık gelen noktalar, boşaltılacağımız ve diğerleri sıradan siyahtır.
Not edilen noktalar koordinatı doğrudan birkaç sayısal boşluğa bölünmüştür. Bu, bu eşitsizliğin aslında bir çözümü olan sayısal bir setin geometrik bir gösterimini elde etmemize izin verir.
Aralıkların Metodunun Bilimsel Bazları
Aşağıdaki özelliğe dayanarak, boşlukların yöntemine dayanarak. sürekli fonksiyon: İşlev, bu fonksiyonun sürekli olduğu ve sıfıra uygulanmadığı aralığında kalıcı bir işaret tutun. Bu özellik, sayısal ışınların karakteristik özelliğidir (- ∞, a) ve (A, + ∞).
İşlevin belirtilen işlevi, tanıtım testlerine hazırlanmak için birçok kılavuzda verilen Bolzano-Cauchy Theorem tarafından onaylanır.
İşaretin sürekli olarak aralıklarla sabitlenmesi, sayısal eşitsizliklerin özelliklerine de dayanabilir. Örneğin, X - 5 x + 1\u003e 0 eşitsizliğini alırız. Numarator ve payderinin sıfırlarını bulursak ve bunları sayısal doğrudan getirirsek, bir sıra boşluk alırız: (− ∞ , − 1) , (- 1, 5) ve (5, + ∞).
Boşluklardan herhangi birini alın ve tüm aralıkta, eşitsizliğin sol tarafındaki ifadenin kalıcı bir işarete sahip olacağını göstermektedir. Bir boşluk bırakın (- ∞, - 1). Bu boşluğa herhangi bir numarayı alın. T koşullarını tatmin edecek< − 1 , и так как − 1 < 5 , то по свойству транзитивности, оно же будет удовлетворять и неравенству t < 5 .
Elde edilen eşitsizlikleri ve sayısal eşitsizliklerin özelliğini kullanarak, t + 1 olduğunu varsayabiliriz.< 0 и t − 5 < 0 . Это значит, что t + 1 и t − 5 – это отрицательные числа независимо от значения t. Aralıkta (- ∞, - 1).
Negatif sayıların kesinti kuralını kullanarak, T - 5 T + 1 ifadesinin değerinin pozitif olacağını iddia edebiliriz. Bu, X - 5 x + 1 ifadesinin değerinin herhangi bir anlamda pozitif olacağı anlamına gelir. x.boşluktan (− ∞ , − 1) . Bütün bunlar, örneğin, ifadenin kalıcı bir işarete sahip olduğu aralıkta olduğunu iddia etmemize izin verir. Bizim durumumuzda, bu "+" işaretidir.
Sayısal ve paydaşın sıfırlarını bulma
Zeroları bulmak için algoritma basittir: sayısından ve paydadaki ifadeleri sıfıra eşitlemek ve elde edilen denklemleri çözmek. Zorluk durumunda, "Çarpıcılar üzerine ayrışma yöntemiyle denklemlerin çözümü" konusuna atıfta bulunmak mümkündür. Bu bölümde, yalnızca örneğin sadece dikkate alınacağını sınırlayacağız.
Kesir x · (x - 0, 6) x 7 · (x 2 + 2 · x + 7) 2 · (x + 5) 3. Numarator ve payderinin nullalarını bulmak için, denklemleri elde etmek ve çözmek için onları sıfıra eşittir: x · (x - 0, 6) \u003d 0 ve x 7 · (x 2 + 2 · x + 7) 2 · (x + 5) 3 \u003d 0.
İlk durumda, bize iki kök 0 ve 0, 6'yı veren, x \u003d 0 ve x - 0, 6 \u003d 0'lik iki denklemin kombinasyonuna geçebiliriz. Bunlar sayısalın sıfırlarıdır.
İkinci denklem, üç denklemin toplamına eşdeğerdir x 7 \u003d 0, (x 2 + 2 · x + 7) 2 \u003d 0, (x + 5) 3 \u003d 0. Bir dizi dönüşüm yaparız ve x \u003d 0, x 2 + 2 · x + 7 \u003d 0, x + 5 \u003d 0 elde ediyoruz. İlk denklemin kökü 0, ikinci denklemde kök yoktur, negatif bir ayrımcılığa sahip olduğu için, üçüncü denklemin kökü 5'dir. Bu, payderinin sıfırlarıdır.
0 Bu durumda, aynı anda ve rakamın sıfıra ve sıfır tarafından sıfıra sıfırdır.
Genel olarak, eşitsizliğin sol kısmında, mutlaka rasyonel olmayan fraksiyon, sayısal ve payda denklemler elde etmek için sıfıra eşittir. Denklemlerin çözeltisi, sayısal ve payderinin sıfırlarını bulmanızı sağlar.
Aralığın işaretini basitçe belirleyin. Bunu yapmak için, ifadenin değerini, bu aralıktan keyfi olarak seçilen herhangi bir nokta için eşitsizliğin sol tarafından bulabilirsiniz. Ekspresyonun keyfi olarak seçilen bir noktasında ortaya çıkan işaret değeri, tüm boşluğun işaretiyle çakışacaktır.
Örnek üzerine bu ifadeyi düşünün.
Eşitsizliği alın x 2 - x + 4 x + 3 ≥ 0. Eşitsizliğin sol tarafında bulunan numeratör ekspresyonunun sıfırları sıfır yoktur. Sıfır küçük payda numara olacaktır - 3. Sayısal bir düz iki boşluk alırız (− ∞ , − 3) ve (- 3, + ∞).
Boşlukların işaretlerini belirlemek için, boşlukların her birinde keyfi olarak alınan noktalar için X2 - X + 4 x + 3 ifadesinin değerini hesaplarız.
İlk aralıktan (− ∞ , − 3) Al - 4. İçin x \u003d - 4 Biz (- 4) 2 - (- 4) + 4 (- 4) + 3 \u003d - 24'e sahibiz. Aldık olumsuz anlamBöylece tüm aralık "-" işareti ile olacaktır.
Boşluk için (− 3 , + ∞) hesaplamaları sıfır koordinata sahip bir nokta ile kesin. X \u003d 0 0 2 - 0 + 4 0 + 3 \u003d 4 3 var. Alınan olumlu değerBununla birlikte, bütün aralığın bir "+" işaretine sahip olacağı anlamına gelir.
İşaretleri tanımlamak için başka bir yol kullanabilirsiniz. Bunu yapmak için, aralıklardan birinde bir işaret bulabilir ve kaydetebilir ya da sıfır geçiş sırasında değiştirebiliriz. Her şeyi doğru bir şekilde yapmak için, kuralı takip etmek gerekir: payınızın sıfırını geçerken, ancak bir sayısal veya bir sayısal değil, ancak bir paydayı değil, ifade derecesi düzeltmesi durumunda işaretini değiştirebiliriz. Bu sıfırı vermek, tuhaf ve dereceyi bile değiştiremez. Numarayı ve paydayı aynı anda sıfır olan bir nokta aldıysak, bu sıfırı veren ifadelerin toplamı tuhaf ise, işareti tersine çevirebilirsiniz.
Bu maddenin ilk noktasının başlangıcında düşündüğümüz eşitsizliği hatırlarsak, o zaman doğru aralığın aşırı sağında "+" işaretini koyabiliriz.
Şimdi örnekleri dönelim.
Eşitsizliği (x - 2) · (x - 3) 3 · (x - 4) 2 (x - 1) 4 · (x - 3) 5 · (x - 4) ≥ 0 ve aralık yöntemiyle çözer . Bunu yapmak için, sayısalın ve payderinin sıfırlarını bulmamız ve doğrudan koordinatta not etmeliyiz. Sayısalın sıfırları puan olacak 2 , 3 , 4 , paynator noktası 1 , 3 dördü. Onları koordinat işgallerinin ekseni üzerinde not ediyoruz.
Payın sıfırları boş noktaları not edin.
İnanılmaz eşitsizlikle uğraştığımızdan beri, kalan kısa çizgiler normal puanları değiştiriyoruz.
Şimdi noktaları aralıklarla yerleştirin. Aşırı sağ boşluk (4, + ∞) A + olacaktır.
Sola doğru hareket ederken, aralıkların geri kalanının işaretlerini kaldıracağız. Koordinat 4 ile bir noktadan geçin. Bu aynı anda sayısal ve paydayı sıfırdır. Toplamda, bu sıfırlar ifadeler verir (x - 4) 2 ve X - 4.. Derecelerini 2 + 1 \u003d 3 karıştırın ve tek bir numara alırız. Bu, bu durumda hareket ederken işaretin tam tersi olduğu anlamına gelir. Aralık (3, 4) eksi işareti olacaktır.
Koordinat 3 ile olan noktadan aralığa (2, 3) gidin. Bu aynı zamanda sıfır ve numeratör ve paydadır. İki ifadeyle (x - 3) 3 ve (X - 3) 5, derecelerin toplamı 3 + 5 \u003d 8. Çift bir numara elde etmek, aralığın işaretini değişmeden bırakmamızı sağlar.
Koordinat 2 ile olan nokta, sayısının sıfırdır. X - 2 ifadesinin derecesi 1 (tuhaf). Bu, bu nokta üzerinden geçerken, işaretin tersi olarak değiştirilmesi gerektiği anlamına gelir.
Son aralığı terk ettik (- ∞, 1). Koordinat 1 ile olan nokta sıfır paydadır. İfadeden elde edildi (x - 1) 4eşit derecede 4 . Sonuç olarak, işaret aynı kalır. Son çizim bu tür olacak:
Aralık metodunun kullanımı özellikle ifade değerinin hesaplanmasının büyük miktarda işle ilişkili olduğu durumlarda özellikle etkilidir. Bir örnek, ifade değerini hesaplama ihtiyacı olabilir.
x + 3 - 3 4 3 · x 2 + 6 · x + 11 2 · x + 2 - 3 4 (x - 1) 2 · x - 2 3 5 · (x - 12)
aralıkın herhangi bir noktasında 3 - 3 4, 3 - 2 4.
Şimdi, kazandığı bilgi kullanımı ve pratikte becerilerle ilgileneceğiz.
Örnek 1.
Eşitsizliği çözün (x - 1) · (x + 5) 2 (x - 7) · (x - 1) 3 ≤ 0.
Karar
Eşitsizliği çözmek için aralık yönteminin uygulanması tavsiye edilir. Numarator ve payderinin sıfırlarını buluruz. Numarator 1 ve - 5'in sıfırları, mezhepatın sıfırları 7 ve 1. Onları sayısal bir düz olarak not ederiz. İnanılmaz eşitsizlikle uğraşıyoruz, bu nedenle payderinin sıfırları, boş noktaları not ediyoruz, sayısal numarayı sıfır - 5, olağan boyalı noktaya dikkat ediyoruz.
Sıfırla hareket ederken işareti değiştirmek için kuralları kullanarak boşlukların olağanüstü işaretleri. Ekspresyonun değerini, eşitsizliğin sol tarafından boşluktan keyfi olarak alınan şeyin sol tarafından hesapladığımız aşırı sağ boşlukla başlayalım. "+" İşareti alıyoruz. Doğrudan koordinattaki tüm noktalardan art arda geçelim, işaretler düzenliyor ve biz:
Bir işarete sahip inanılmaz eşitsizlik ile çalışıyoruz. Bu, "-" işareti ile işaretlenmiş tarama boşluklarını not etmemiz gerektiği anlamına gelir.
Cevap: (- ∞ , 1) ∪ (1 , 7) .
Çoğu durumda rasyonel eşitsizliklerin çözümü, ön dönüşümlerini gerektirir. dinleme. Sadece bundan sonra aralık yöntemini kullanma yeteneği belirir. Bu tür dönüşümlerin yürütülmesi için algoritmalar, "rasyonel eşitsizliklerin kararı" malzemesinde dikkate alınır.
Eşitsizliklerin kaydındaki kare üçkeki kare dönüşümünün bir örneğini göz önünde bulundurun.
Örnek 2.
Eşitsizlik çözeltisini bulun (x 2 + 3 x + 3) (x + 3) x 2 + 2 · x - 8\u003e 0.
Karar
Bakalım, ayrımcıların gerçekten eşitsizlik kaydındaki kare üçkeki kare olumsuz olup olmadığını görelim. Bu, eşitsizlik türünün aralık metodunu çözmemizi sağlayıp belirtmemize izin verecektir.
Üçlü için ayrımcılığı hesaplayın x 2 + 3 · x + 3: d \u003d 3 2 - 4 · 1 · 3 \u003d - 3< 0 . Şimdi üç fotoğraflı x 2 + 2 · x - 8: d '\u003d 1 2 - 1 (- 8) \u003d 9\u003e 0 için ayrımcılığı hesaplıyoruz. Gördüğünüz gibi, eşitsizlik ön dönüşüm gerektirir. Bunu yapmak için, üç aşamayı hayal edin x 2 + 2 · x - 8 (x + 4) · (x - 2)ve sonra eşitsizliği çözmek için aralık yöntemini uyguluyoruz (x 2 + 3 · x + 3) · (x + 3) (x + 4) · (x - 2)\u003e 0.
Cevap: (- 4 , - 3) ∪ (2 , + ∞) .
Genelleştirilmiş aralıklarla F (x) formunun eşitsizliklerini çözmek için kullanılır.< 0 (≤ , > , ≥), f (x) bir değişkenli keyfi bir ifadedir. X..
Tüm eylemler belirli bir algoritmaya göre gerçekleştirilir. Aynı zamanda, genelleştirilmiş aralıklarla çözelti yöntemlerine ilişkin algoritma, daha önce demonte ettiğimizden biraz farklı olacaktır:
- f ve bu fonksiyonun sıfırları işlevini belirleme alanını buluyoruz;
- koordinat eksen kenarlık noktalarını not ediyoruz;
- sayısal doğrudan fonksiyonların sıfırları için başvuruyoruz;
- boşlukların belirtilerini belirlemek;
- tarama uygulayın;
- cevabı kaydedin.
Sayısal doğrudan, tanım alanının bireysel noktalarına dikkat çekmek gerekir. Örneğin, fonksiyonun tanımı aralığı set (- 5, 1] \u200b\u200b∪ (3) ∪ [4, 7) ∪ (10) . Bu, koordinatlarla noktalara dikkat etmesi gerektiği anlamına gelir - 5, 1, 3, 4 , 7 ve 10 . Puan − 5 ve 7 boş olacak, gerisi, fonksiyonun sıfırlarından ayırt etmek için renkli bir kalemle izole edilebilir.
İnanılmaz eşitsizlikler durumunda sıfır işlev, geleneksel (boyalı) noktalar, katı boş noktalarla uygulanır. Sıfır noktaları veya tanım alanının ayrı noktaları ile çakışırsa, eşitsizliğin türüne bağlı olarak siyah olarak boyanabilir veya boyanabilirler.
Kayıt Cevabı sayısal setiçerir:
- kuluçkalıklı Ahırlar;
- bir artı işareti ile tanımı alanın ayrı noktalarını, eşitsizliğe uğratıyorsak,\u003e ya da ≥ ya da eksi işaretli, eşitsizlik belirtileri varsa,< или ≤ .
Şimdi, konunun başında liderlik ettiğimiz algoritmanın, genelleştirilmiş bir aralık yöntemi uygulamak için özel bir algoritmanın özel bir durumu olduğu açıkça ortaya çıktı.
Genelleştirilmiş bir aralık yöntemi uygulanmasının bir örneğini düşünün.
Örnek 3.
Eşitsizliğe karar ver x 2 + 2 · x - 24 - 3 4 · x - 3 x - 7< 0 .
Karar
F (x) \u003d x 2 + 2 · x - 24 - 3 4 · x - 3 x - 7 gibi F işlevini giriyoruz. İşlev tanım alanını bulun F.:
x 2 + 2 · x - 24 ≥ 0 x ≠ 7 d (f) \u003d (- ∞, - 6] ∪ [4, 7) ∪ (7, + ∞).
Şimdi fonksiyonun sıfırlarını buluyoruz. Bunu yapmak için, irrasyonel denklemin bir çözümü yapacağız:
x 2 + 2 · x - 24 - 3 4 · x - 3 \u003d 0
Kök x \u003d 12 alıyoruz.
Koordinat eksenlerinde sınır noktaları belirlemek için kullandığımız turuncu renk. Puan - 6, 4 Boyalı olacak ve 7 boş bırakılır. Alıyoruz:
Katı eşitsizlikle çalışırken sıfır fonksiyonu siyah renkli bir nokta ile not edin.
Bireysel aralıklarla işaretleri belirleyin. Bunu yapmak için, her aralıktan bir noktaya çıkarın, örneğin, 16 , 8 , 6 ve − 8 ve fonksiyonun değerini hesaplar F.:
f (16) \u003d 16 2 + 2 · 16 - 24 - 3 4 · 16 - 3 16 - 7 \u003d 264 - 15 9\u003e 0 F (8) \u003d 8 2 + 2 · 8 - 24 - 3 4 · 8 - 3 8 - 7 \u003d 56 - 9< 0 f (6) = 6 2 + 2 · 6 - 24 - 3 4 · 6 - 3 6 - 7 = 24 - 15 2 - 1 = = 15 - 2 · 24 2 = 225 - 96 2 > 0 f (- 8) \u003d - 8 2 + 2 · (- 8) - 24 - 3 4 · (- 8) - 3 - 8 - 7 \u003d 24 + 3 - 15< 0
Sadece bazı işaretleri tanımlarız ve eksi işareti olan aralıklarla bir tarama uyguluyoruz:
Cevap, "-" işaretiyle iki aralıklı bir birlik olacaktır: (- ∞, - 6] ∪ (7, 12).
Cevap olarak, koordinatla olan noktayı açtık - 6. Bu, sıkı eşitsizliği çözerken yanıt olarak dahil edilmeyeceğimiz bir sıfır işlev değildir ve tanım alanına giren tanım alanının sınır noktası. Bu noktadaki işlevin değeri negatiftir, bu eşitsizliği tatmin ettiği anlamına gelir.
Nokta 4. Bahsedildik, tıpkı tüm aralığı içermedikleri gibi [4, 7). Bu noktada, tam olarak belirtilen boşlukta olduğu gibi, fonksiyonun değeri pozitiftir, bu da çözülmesi gereken eşitsizliği sağlamaz.
Daha fazlası için tekrar yazıyoruz anlaşılır: Aşağıdaki durumlarda yanıt olarak renk noktaları dahil edilmelidir:
- bu noktalar, kuluçka ile boşluğun bir parçasıdır,
- bu noktalar, fonksiyonun belirlenmesi fonksiyonunun ayrı noktalar, eşitsizlikten memnun olan fonksiyonun değerleri.
Cevap: (− ∞ , − 6 ] ∪ (7 , 12) .
Metinde bir hata görürseniz, lütfen seçin ve Ctrl + Enter tuşuna basın.
