Bu makale eşitsizlik sistemleri hakkında ilk bilgi içermektedir. Eşitsizlik sisteminin tanımı burada verilir ve eşitsizlik sisteminin çözeltisinin belirlenmesi. Ayrıca, çoğu zaman okulda Cebir derslerinde çalışan ana türleri listeler ve örnekler verilmiştir.

Gezinme sayfası.

Eşitsizlik sistemi nedir?

Eşitsizlik sistemleri, bir denklem sisteminin tanımını nasıl tanıttığımıza benzer şekilde tanımlanmıştır, yani, yani kayıt ve anlam türüne göre.

Tanım.

Eşitsizlik sistemi - Bu, birbirlerine kaydedilen, sol taşta birleştirilen ve her sistem eşitsizliği için aynı anda çözümleri olan tüm çözümlerin çoğunu belirten bir kayıt olan bir kayıttır.

Eşitsizlik sistemine bir örnek veriyoruz. İki keyfi al, örneğin, 2 · x-3\u003e 0 ve 5 - x≥4 · x-11, onlara diğerinin altında yazıyoruz.
2 · x-3\u003e 0,
5 - x≥4 · X-11
ve sistem işaretini birleştirin - bir figür braketi, sonuç olarak, bu türden bir eşitsizlik sistemi elde ettik:

Benzer şekilde, okul ders kitaplarındaki eşitsizlik fikri verilir. Tanımların daha dar bir şekilde verildiğini belirtmekte fayda var: bir değişkenli eşitsizlikler için veya iki değişken ile.

Ana eşitsizlik türleri

Sonsuz bir şekilde çok şey yapabileceğiniz açıktır. çeşitli sistemler eşitsizlikler. Bu manifolda kaybolmayacak şekilde, kendilerini olan gruplar halinde göz önünde bulundurmanız önerilir. özellikleri. Tüm eşitsizlikler aşağıdaki kriterlere göre gruplara ayrılabilir:

• sistemdeki eşitsizliklerin sayısında;
• kayıtta yer alan değişken sayısı ile;
• eşitsizliğe göre.

Girişte yer alan eşitsizliklerin sayısında, iki, üç, dört sistem vb. Var. eşitsizlikler. Önceki paragrafta, iki eşitsizlik sistemi olan bir sistemin örneğini verdik. Dört eşitsizlik sisteminin başka bir örneğini gösterelim .

Ayrı olarak, bir eşitsizliğin sistemi hakkında konuşmanın hiçbir anlamı olmadığını, bu durumda, aslında, sistem hakkında değil, eşitsizliğin kendisinden bahsediyoruz.

Değişken sayısına bakarsanız, bir, iki, üç, vb. Bir eşitsizlik sistemi vardır. değişkenler (veya başka yerler gibi bilinmiyor). Yukarıdaki iki paragraf tarafından kaydedilen son eşitsizlik sistemine bakın. Bu, x, y ve z üç değişkenli bir sistemdir. İki ilk eşitsizliğinin üç değişkeni de içermediğini, ancak bunlardan yalnızca birini içermediğini lütfen unutmayın. Bu sistem bağlamında, X + 0 · Y + 0 · Z≥-2 ve 0 · Y + 0 · Z≥-2 ve 0 · x + y + 0 · Z≤5, Türlerin üç değişkenine sahip eşitsizlikler olarak anlaşılmalıdır. Okulda ana dikkatin bir değişkenli eşitsizliklere ödendiğini unutmayın.

Sistem kayıtlarında ne tür eşitsizliklerin rol oynadığını tartışmak için kalır. Okul, ağırlıklı olarak iki eşitsizliğin sistemlerini (daha az sıklıkta - üç, daha az sıklıkta - dört veya daha fazla) bir veya iki değişkenle göz önünde bulundurur ve eşitsizlikler genellikle bütün eşitsizlikler Birinci veya ikinci derece (daha az sıklıkta - daha yüksek dereceler veya fraksiyonel rasyonel). Ancak, hazırlık malzemelerinde irrasyonel, logaritmik, gösterge ve diğer eşitsizlikler içeren eşitsizlik sistemlerinde karşılaşmak için şaşırmayın. Örnek olarak, eşitsizlik sistemini veriyoruz O alındı.

Eşitsizlik sisteminin çözümü ne denir?

Eşitsizlik sistemleri ile ilişkili başka bir tanım tanıtıyoruz - eşitsizlik sisteminin çözeltisinin belirlenmesi:

Tanım.

Eşitsizlik sistemini bir değişkenle çözerek Sistem eşitsizliklerini sadıklara ekleyen, diğer bir deyişle, her sistem eşitsizliğinin çözümü olan böyle bir değişken değer denir.

Örneği açıklayalım. Bir değişken ile iki eşitsizlik sistemi alın. X'in 8'e eşit değişkeninin değerini alın, eşitsizlik sistemimizin tanımı gereği çözümüdür, çünkü sistem eşitsizliğinin ikamesi iki sadık sayısal eşitsizlik 8\u003e 7 ve 2-3 · 8≤0 verir. Aksine, ünite sisteme bir çözüm değildir, çünkü bir değişken X yerine ikame edildiğinde, ilk eşitsizlik yanlış sayısal eşitsizliğe 1\u003e 7 olur.

Benzer şekilde, iki, üç ile eşitsizlik sisteminin çözümünün belirlenmesini girebilirsiniz ve Çok sayıda değişkenler:

Tanım.

İki, üç, vb. İle eşitsizlik sisteminin çözümü ile değişkenler buhar, üçlü, vb. Aynı zamanda, bu değişkenlerin değerleri, her bir sistem eşitsizliğinin bir çözümüdür, yani her bir sistem eşitsizliğini doğru sayısal eşitsizliğe çeker.

Örneğin, x \u003d 1, y \u003d 2 veya başka bir kayıt (1, 2) bir çift değeri, 1 + 2 olarak, iki değişkenli bir eşitsizlik sisteminin bir çözeltisidir.<7 и 1−2<0 - верные числовые неравенства. А пара (3,5, 3) не является решением этой системы, так как второе неравенство при этих значениях переменных дает неверное числовое неравенство 3,5−3<0 .

Eşitsizlik sistemlerinin çözümleri olmayabilir, sınırlı sayıda çözüm olabilir ve sonsuz sayıda çözüme sahip olabilir. Genellikle eşitsizlik sisteminin çözümleri kümesi hakkında konuşurlar. Sistemin çözümleri olmadığında, çözümlerinin boş bir seti var. Çözümler sonlu bir sayı olduğunda, çözümler kümesi, sonlu sayıda öğe içerir ve çözümler sonsuz bir şekilde çok olduğunda, çözümler kümesi sonsuz sayıda elementten oluşur.

Bazı kaynaklarda, örneğin Mordkovich ders kitaplarında, eşitsizlik sistemlerinin özel ve genel bir çözümünün tanımları tanıtılmaktadır. Altında eşitsizlik sisteminin özel çözümü Onun ayrı bir kararını anlayın. Sırayla eşitsizlik sisteminin genel çözümü - Bütün özel çözümleri budur. Bununla birlikte, bu terimlerle, yalnızca hangi kararın olduğu konusunda net olduğunu vurgulamak gerektiğinde, ancak genellikle bağlamdan açık olduğunu vurgulamanız gerektiğinde, bu kadar çok daha sık "eşitsizlik sisteminin çözülmesi" diyorlar.

Bu makaleye girilen eşitsizlik ve çözümlerin tanımlarından, eşitsizlik sisteminin çözümünün, bu sistemin tüm eşitsizliklerinin çözüm kümelerinin kesişimi olduğunu takip eder.

Bibliyografya.

1. Cebir: Çalışmalar. 8 cl için. Genel Eğitim. kurumlar / [yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorov]; Ed. S. A. TELIKOVSKY. - 16. ed. - M.: Aydınlanma, 2008. - 271 p. : Il. - ISBN 978-5-09-019243-9.
2. Cebir: 9. Sınıf: Çalışmalar. Genel eğitim için. kurumlar / [yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorov]; Ed. S. A. TELIKOVSKY. - 16. ed. - M.: Aydınlanma, 2009. - 271 s. : Il. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. Mordkovich A. G. Cebir. 9. sınıf. 2 TSP'de. 1. Genel Eğitim Kurumları / A. Mordkovich, P. V. Semenov öğrencileri için öğretici. - 13. ed., Hatta. - M.: Mnemozina, 2011. - 222 c .: Il. ISBN 978-5-346-01752-3.
4. Mordkovich A. G. Cebir ve matematiksel analizin başlangıcı. Derece 11. 2 çay kaşığı. 1. Genel Eğitim Kurumları öğrencileri için ders kitabı (Profil Seviyesi) / A. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2. ed., Ched. - m.: Mnemozina, 2008. - 287 p.: Il. ISBN 978-5-346-01027-2.
5. Ege-2013. Matematik: Tipik Sınavlar: 30 Seçenek / Ed. A. L. Semenova, I. V. YASHCHENKO. - m.: Yayınevi "Milli Eğitim", 2012. - 192 p. - (Ege-2013. Fipi Okulu).

Ders Konusu: Çözüm Çözümü doğrusal eşitsizlikler bir değişken ile

Tarih: _______________

Sınıf: 6A, 6b, 6b

Dersin Türü: Yeni malzeme ve birincil konsolidasyon okumak.

Didaktik Hedef: Yeni eğitim bilgilerinin bloğunu farkındalık ve anlayış için koşullar oluşturun.

Amaç: 1) Eğitim: Kavramları tanıtmak: eşitsizlik sistemleri, eşdeğer eşitsizlik sistemleri ve özellikleri; Bir değişkenli en basit eşitsizlik sistemlerini çözerken bu kavramları uygulamayı öğretin.

2) Geliştirme: Öğrencilerin yaratıcı, bağımsız faaliyetlerinin unsurlarının gelişimini teşvik etmek; Konuşmayı geliştirmek, düşünme, analiz etme, özetleme, düşüncelerinizi açıkça, açıkça ifade eder.

3) Eğitim:birbirinize saygı ve öğrenme işine karşı sorumlu tutum eğitimi.

Görevler:

sayısal eşitsizlik ve sayısal aralıklarla teoriyi tekrarlayın;

eşitsizlik sistemi tarafından çözülen bir görevin bir örneğini oluşturun;

eşitsizlik sistemlerinin çözümlerinin örneklerini göz önünde bulundurun;

bağımsız bir iş yapmak.

Eğitim faaliyetlerinin organizasyonu biçimleri: - Frontal - Kolektif - Birey.

Yöntemler: Açıkça - açıklayıcı.

Ders planı:

1. Örgütsel Moment, Motivasyon, Amaç

2. Konunun çalışmasının gerçekleştirilmesi

3. Yeni bir malzeme okumak

4. Birincil sabitleme ve yeni malzemenin uygulanması

5. Bağımsız işin performansı

7. Dersi toplayın. Yansıma.

Sınıflar sırasında:

1. Örgütsel Moment

Eşitsizlik iyi bir yardımcı olabilir. Sadece yardım için aramak için ne zaman gerekli olduğunu bilmeniz gerekir. Eşitsizliklerin dili, birçok matematik uygulamasında görevleri belirleyerek formüle edilir. Örneğin, birçok ekonomik görevin doğrusal eşitsizliklerin çalışmasına indirgenir. Bu nedenle, eşitsizlikleri çözmek önemlidir. Ve "eşitsizlik sistemini çözmek" ne anlama geliyor? Bu, bugün derste analiz edeceğiz.

2. Bilginin gerçekleştirilmesi.

Oral iş sınıf ile bireysel kartlarda üç öğrenci çalışması.

"Eşitsizlik ve özellikleri" teorisinin teorisini tekrarlamak için, bu konunun teorisi üzerine yapılan test ve konuşmalarla test yaptık. Testin her görevi "Evet" cevabını içerir - figür, "Hayır" - Şekil ____

Testin bir sonucu olarak, bir tür figür olmalıdır.

(Cevap :).

Eşitsizlik ve Sayısal Gap arasında uyum sağlamak

1. (– ; – 0,3)

2. (3; 18)

3. [ 12; + )

4. (– 4; 0]

5. [ 4; 12]

6. [ 2,5; 10)

"Matematik, zorlukların üstesinden gelmeyi ve kendi hatalarını düzeltmeyi öğretiyor."Eşitsizliği çözmede bir hata bulun, bir hatanın neden yapıldığını açıklayın, dizüstü bilgisayara doğru çözümü yazın.

2 kere<8-6

x\u003e -1

3. Yeni bir malzeme okumak.

Sence eşitsizlik sisteminin çözümü denir?

(Bir değişkenli eşitsizlik sisteminin çözümü, sistemin her birinin her birinin) her birinin) değerinin değeridir) doğrudur)

"Eşitsizlik sistemini çözmek" ne anlama geliyor?

(Eşitsizlik sistemini çözmek - tüm kararlarını bulmak veya çözüm olmadığını kanıtlamak demektir)

Soruyu cevaplamak için ne yapılması gerekiyor? "Belirtilen sayıdır

eşitsizlik sistemini çözerek? "

(Sistemin her iki eşitsizliklerinde bu sayının yerini almak için, sadık eşitsizlikler elde edilirse, belirtilen sayı eşitsizlik sisteminin çözümüdür, eğer yanlış eşitsizlikler elde edilirse, belirtilen sayı eşitsizlik sisteminin çözümü değildir)

Algoritma çözümlerini eşitsizlik sistemlerine formüle edin

1. Her sistem eşitsizliğini çözün.

2. Koordinattaki her eşitsizliği grafiksel olarak çözmeyi canlandırmak.

3. Koordinattaki eşitsizliklerin kesişilmesini doğrudan bulabilirsiniz.

4. Cevabı sayısal bir boşluk biçiminde kaydedin.

Örnekleri düşünün:

Cevap:

Cevap: Çözüm yok

4. Konuyu sabitleme.

Ders kitabı № 1016, № 1018, № 1018, № 1022

5. Bağımsız işseçeneklere göre (tablolardaki öğrenciler için görevler)

Bağımsız iş

seçenek 1

Eşitsizlik sistemine karar vermek:

Doğrusal, kare ve kesirli eşitsizlikleri çözme programı sadece cevap görevini vermez, açıklamalarla ayrıntılı bir çözüm yol açar, yani. Matematik ve / veya cebir bilgisini izlemek için çözüm sürecini görüntüler.

Ayrıca, eşitsizlikten birini çözme işleminde, örneğin bir kare denklemi çözmek için gereklidir, daha sonra ayrıntılı çözümü de görüntülenir (spoilerde yatıyor).

Bu program, lise öğrencileri için test çalışmaları için hazırlıklar, ebeveynler çocuklarının eşitsizlik kararını kontrol etmeleri için faydalı olabilir.

Bu program, sınav öncesi bilgiyi kontrol ederken, Matematik ve Cebirteki birçok problemin çözümünü izleyen ebeveynler, sınav ve sınavlar için lise öğrencileri için faydalı olabilir. Ya da belki bir öğretmen kiralamak ya da yeni ders kitapları satın almak için çok pahalısınız? Ya da sadece ödevini matematikte ya da cebirinde mümkün olduğunca mı yapmak istiyorsun? Bu durumda, programlarımızı ayrıntılı bir çözümle de kullanabilirsiniz.

Böylece, genç erkek veya kız kardeşlerinizin kendi eğitim ve / veya eğitiminizi yapabilirsinizken, çözülmüş görevler alanındaki eğitim seviyesi artar.

Giriş Kuralları Eşitsizliği

Bir değişken olarak herhangi bir Latin harfi olabilir.
Örneğin: \\ (x, y, z, a, b, c, o, p, q \\), vb.

Sayılar bütün veya kesirli girebilir.
Ayrıca, fraksiyonel sayılar sadece ondalık olarak değil, sıradan bir kesir biçiminde de uygulanabilir.

Ondalık kesirlere girme kuralları.
Ondalık fraksiyonlarda, bütünün kesirli kısmı bir nokta ve virgül olarak ayrılabilir.
Örneğin, böyle ondalık kesirleri girebilirsiniz: 2.5x - 3.5x ^ 2

Sıradan kesirlere girme kuralları.
Sadece bir tamsayı, bir numberatör, payda ve kesirin bir parçası olarak hareket edebilir.

Payda negatif olamaz.

Sayısal bir kesir girerken, sayısal payda paydanın fisyon işaretine ayrılmıştır: /
Bütün kısım, Fraraty Amper ve işaretinden ayrılır: &
Giriş: 3 ve 1/3 - 5 & 6 / 5Y + 1 / 7Y ^ 2
Sonuç: \\ (3 \\ Frac (1) (3) - 5 \\ Frac (6) (5) Y + \\ Frac (1) (7) Y ^ 2 \\)

İfadeler girerken, parantez kullanabilirsiniz. Bu durumda, ifadenin eşitsizliğini çözerken, ilk olarak basitleştirilir.
Örneğin: 5 (A + 1) ^ 2 + 2 ve 3/5 + A\u003e 0.6 (A-2) (A + 3)

İstediğiniz eşitsizlik işaretini seçin ve polinomları aşağıdaki alanlara girin.

Sistemin ilk eşitsizliği.

İlk eşitsizliğin türünü değiştirmek için düğmeye tıklayın.

> >= < <=

Eşitsizlik sistemini çözmek

Bu görevi çözmek için gereken bazı komut dosyalarının yüklenmediği ve program çalışmayacağı bulunmuştur.
ADBLOCK dahil olabilir.
Bu durumda, bağlantısını kesin ve sayfayı güncelleyin.

Tarayıcınızda JavaScript uygulamanız var.
Çözeltinin görünmesini sağlamak için, JavaScript'i etkinleştirmeniz gerekir.
İşte Talimatlar, tarayıcınızda JavaScript nasıl etkinleştirilir.

Çünkü Görevi çözmek isteyen çok fazla, isteğiniz doğrultusunda.
Birkaç saniye sonra, çözüm aşağıda görünecektir.
Lütfen bekle ...

Eğer sen çözmede bir hata farkettimBu konuda geri bildirim formunda yazabilirsiniz.
Unutma hangi görevi belirtin Karar verirsin ve ne sahaya girin.

Oyunlarımız, Bulmacalar, Emulatörler:

Biraz teori.

Bilinmeyen eşitsizlik sistemleri. Sayısal aralıklarla

Sistem kavramı ile 7. sınıfta tanıştınız ve iki bilinmeyen ile doğrusal denklem sistemlerinin nasıl çözüleceğini öğrendiniz. Daha sonra, bilinmeyen bir tanesi olan doğrusal eşitsizlikler dikkate alınacaktır. Birden fazla eşitsizlik çözeltisi, boşluklar (aralıklar, yarı aralıklar, segmentler, ışınlar) kullanılarak kaydedilebilir. Ayrıca, sayısal aralıkların tanımlarıyla tanışın.

Eşitsizlikler \\ (4x\u003e 2000 \\) ve \\ (5x \\ LEQ 4000 \\) ise, bilinmeyen numara aynıdır, daha sonra bu eşitsizlikler ortak olarak kabul edilir ve eşitsizlik sistemini oluşturduklarını söyler: $$ \\ tome \\ BAŞLANGIÇ (Dizi) (L) 4x\u003e 2000 \\\\ 5x \\ LEQ 4000 \\ \\ \\\\ 5x \\ LEQ 4000 \\ \\ \\ \\ 5x \\ sağ. $$

Kıvırcık Brace, her iki sistem eşitsizliğinin de doğru sayısal eşitsizliklerde tedavi edildiği bu tür X değerlerini bulmanın gerekli olduğunu göstermektedir. Bu sistem, bilinmeyen biriyle doğrusal eşitsizlik sisteminin bir örneğidir.

Bilinmeyen eşitsizlik sisteminin çözümü, tüm sistem eşitsizliklerinin doğru sayısal eşitsizliklerle tedavi edildiği bilinmeyen bir bilinmeyen değeri olarak adlandırılır. Eşitsizlik sistemini çözmek, bu sistemin tüm çözümlerini bulmak veya olmadıklarını belirlemektir.

Eşitsizlik \\ (x \\ GEQ -2 \\) ve \\ (x \\ leq 3 \\), çift eşitsizlik biçiminde yazılabilir: \\ (- 2 \\ leq x \\ leq 3 \\).

Bir bilinmeyen olan eşitsizlik sistemlerinin çözümleri çeşitlidir sayısal Set. Bu setlerin isimleri var. Böylece, sayısal eksende, \\ (- 2 \\ LEQ X \\ LEQ 3 \\) gibi X sayıları, uçları -2 ve 3'teki uçları olan bir segmentle tasvir edilmiştir.

-2

3

Eğer \\ (bir segment gösterilir [a; b]

Eğer \\ (bir aralık belirtilmiştir (a; b)

Rakamları \\ (x \\), eşitsizlikler \\ (a \\ leq x yarı aralıklarla ve [a; b) ve (a; b] belirlenmiştir.

Segmentler, aralıklar, yarı aralıklar ve ışınlar denir sayısal aralıklarla.

Böylece, sayısal boşluklar eşitsizlikler şeklinde ayarlanabilir.

İki bilinmeyen olan eşitsizliklerin çözümü, bu eşitsizliği doğru sayısal eşitsizliğe ekleyen bir çift sayıdır (X; Y). Eşitsizliği çözmek, tüm çözümlerinin çoğunu bulmaktır. Böylece, çözümler eşitsizliği X\u003e Y, örneğin, sayı (5; 3), (-1; -1), çünkü \\ (5 \\ GEQ 3 \\) ve \\ (- 1 \\ GEQ -1 \\)

Eşitsizlik sistemlerini çözme

Doğrusal eşitsizlikleri bilinmeyen biriyle çözmeyi zaten öğrendiniz. Eşitsizliklerin ve sistem çözümü sisteminin ne olduğunu bilirsiniz. Bu nedenle, bilinmeyen biriyle eşitsizlik sistemlerini çözme sürecinin herhangi bir zorluğa neden olmayacaktır.

Ve yine de hatırlatacağız: Eşitsizlik sistemini çözmek için, her eşitsizliği ayrı ayrı çözmeniz ve ardından bu çözümlerin kesişimini bulmanız gerekir.

Örneğin, ilk eşitsizlik sistemi akla gösterildi:
$$ \\ sol \\ (\\ başlar (dizi) (l) x \\ geq -2 \\\\ x \\ leq 3 \\ ucu (dizi) \\ right. $$

Bu eşitsizlik sistemini çözmek için, sayısal eksen üzerindeki her eşitsizliğin çözümünü not ederiz ve kavşaklarını buluruz:

-2

3

Kavşak segmentidir [-2; 3] - Bu, ilk eşitsizlik sisteminin çözümüdür.

1. Bir değişken ile eşitsizlik kavramı

2. Eşitsizlik ekipmanları. Eşitsizlik eşitliği hakkında teoremler

3. Bir değişkenli eşitsizliklerin çözümü

4. Bir değişkenli eşitsizliklerin grafik çözümü

5. Modül belirtisi altında bir değişken içeren eşitsizlikler

6. Temel Sonuçlar

Tek değişkenli eşitsizlikler

2 teklifler. h. + 7 > 10, x 2 + 7x< 2,(х + 2)(2х-3)> 0, bir değişken ile eşitsizlik denir.

İÇİNDE genel Bu kavram aşağıdaki gibi belirlenir:

Tanım. F (x) ve g (x), X'in değişkeninden ve X'in tanım alanından iki ifadedir. Sonra F (x)\u003e g (x) veya f (x) formunun eşitsizliği< g(х) называется неравенством с одной переменной. Мно­жество X называется областью его определения.

Değişken değer x. Setten Xeşitsizliğin gerçek sayısal eşitsizliğe hitap ettiği karar.Eşitsizliği çözmek, birçok çözüm bulmaktır.

Yani, eşitsizlik kararıyla 2 X. + 7 > 10 -Х.? R. sayı mı x. \u003d 5, 2 · 5 + 7\u003e 10 - 5 - Gerçek sayısal eşitsizlik. Ve çözeltilerinin seti, eşitsizliğin dönüşümünü yerine getirerek bulunan aralıktır (1, ∞): 2 X. + 7 > 10- X. => 3 X. >3 => x. >1.

Eşdeğer eşitsizlikler. Eşitsizlik eşitliği hakkında teoremler

Bir değişkenli eşitsizliklerin çözümü, eşdeğerlik kavramıdır.

Tanım. İki eşitsizlik, setleri eşitse eşdeğer denir.

Örneğin, eşitsizlikler 2 x. + 7\u003e 10 ve 2 X. \u003e 3 eşdeğerdir, çünkü çözelti kümeleri eşittir ve bir boşluğu temsil eder (2/3, ∞).

Eşitsizliklerin eşitliği üzerindeki teoremler ve bunların sonuçları, denklemlerin eşitliği üzerindeki uygun teoremlere benzer. Kanıtlarıyla, gerçek sayısal eşitsizliklerin özellikleri kullanılır.

Teorem 3. Eşitsizlik sağlamak f (x)\u003e g (x)ayarlamak X.ve h.(x.) - Aynı sette tanımlanan ifade. Sonra eşitsizlik f (x)\u003e g (x) ve f (x) + h (x)\u003e g (x) + h (x)sette eşdeğerdir X.

Bu teoremin, sonuçları genellikle eşitsizlikleri çözmede kullanılan ölçülür:

1) Her iki eşitsizlikte de f (x)\u003e g (x)bir ve aynı sayı ekle d,eşitsizliği alıyorum f (x) + d\u003e g (x) + d,eşdeğer kaynak.

2) Herhangi bir terim (değişkenli sayısal ifade veya ifade) bir eşitsizliğin bir kısmından diğerine geçerse, bileşenin işaretini tersine değiştirirse, buna eşdeğer olan eşitsizlik elde ederiz.

Theorem 4. Eşitsizlik sağlamak F (x)\u003e g (x) ayarlamak X.ve h.(h. h.setten X.ifade h (x)kabul etmek olumlu anlamlar. Sonra eşitsizlik f (x)\u003e g (x) ve f (x) · h (x)\u003e g (x) · h (x)sette eşdeğerdir X.

f (x)\u003e g (x)aynı pozitif sayıya çarpın d,eşitsizliği alıyorum f (x) · D\u003e g (x) · D,buna eşdeğer.

Teorem 5. Eşitsizlik sağlamak f (x)\u003e g (x)ayarlamak X.ve h.(h.) - Aynı sette ve herkes için tanımlanan ifade h. Setleri X.ifade h.(h.) Kabul etmek negatif değerler. Sonra eşitsizlik f (x)\u003e g (x) ve f (x) · h (x)\u003e g (x) · h (x)sette eşdeğerdir X..

Corollary bu teorikten takip eder: eğer eşitsizliğin her iki kısmı f (x)\u003e g (x)aynı negatif sayıya çarp d.ve eşitsizlik işareti tam tersi, sonra eşitsizlik elde ediyoruz f (x) · D\u003e g (x) · D,buna eşdeğer.

Bir değişkenli eşitsizliklerin çözümü

Eşitsizliği çözeceğim 5. h. - 5 < 2х - 16, h.? R.ve çözüm sürecinde gerçekleştireceğimiz tüm dönüşümleri haklı çıkar.

Eşitsizlik kararı ile h. < 7 является промежуток (-∞, 7) и, сле­довательно, множеством решений неравенства 5h. - 5 < 2x +.16 aralıktır (-∞, 7).

Egzersizler

1. Aşağıdaki girişlerden hangisinin bir değişkenli eşitsizlikler olduğunu yükleyin:

a) -12 - 7 h.< 3x. + 8; d) 12. x +.3(h.- 2);

b) 15 ( x. + 2)\u003e 4; e) 17-12 · 8;

c) 17- (13 + 8)< 14-9; е) 2x2.+ 3x.-4> 0.

2. Eşitsizliğin çözümü ile 3 sayısı 6 (2x +7) < 15(h. + 2), h.? R.? Ve 4.25 numaralı?

3. Gerçek sayılardaki eşitsizliklerin aşağıdaki çiftleridir:

a) -17 h.< -51 и h. > 3;

b) (3 x.-1) / 4\u003e 0 ve 3 h.-1>0;

c) 6-5 x. \u003e -4 I. h.<2?

4. Aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur:

a) -7. h. < -28 => x.>4;

b) x. < 6 => x. < 5;

içinde) h.< 6 => h.< 20?

5. Eşitsizliği çözme (3) ( x. - 2) - 4(h. + 1) < 2(х - 3) - 2 ve aynı anda gerçekleştireceğiniz tüm dönüşümleri haklı çıkarın.

6. Eşitsizlik kararını kanıtlamak 2 (H.+ 1) + 5 > 3 - (1 - 2h.) geçerli bir sayıdır.

7. Bir eşitsizliğin çözümü olacağı geçerli bir numara olmadığını kanıtlayın (2 - h.) - 2 > 5 - 3h..

8. Üçgenin bir tarafı 5 cm ve başka bir 8 cm'dir. Üçgenin çevresi ise, üçüncü tarafın uzunluğu ne olabilir:

a) 22 cm'den az;

b) 17 cm'den fazla?

Bir değişkenli eşitsizliklerin grafik çözümü.İçin grafik Çözümü eşitsizlikler f (x)\u003e g (x) fonksiyonların grafiklerini oluşturmanız gerekir

y \u003d f (x) \u003d g (x)ve fonksiyonun grafiğinin üzerindeki abscissa ekseni boşluklarını seçin y \u003d f (x)y \u003d fonksiyonunun grafiğinin üstünde bulunur \u003d g (x).

Örnek 17.8.Grafiksel eşitsizliğe karar vermek x 2- 4 > 3x.

Y - X * - 4

Karar.İşlevlerin grafiklerinin koordinatlarının bir sisteminde inşa edeceğiz

y \u003d x 2 -4 I. y \u003dZh (Şekil 17.5). Şekilden itibaren, fonksiyonların grafiklerinin olduğu açıktır. w.= x 2- 4 Y \u003d 3 fonksiyonunun grafiğinin üstünde yer alan h.için h.< -1 I. x\u003e4, yani İlk eşitsizliğin birçok çözümü çok

(- ¥; -1) è (4; + oo) .

Cevap: x î(- oo; -1) ve (4; + oo).

Zamanlamak İkinci dereceden fonksiyon w.= aH 2 + BX + ileeğer şubeleri yönlendiren bir parabol a\u003e.0 ve aşağı ise fakat< 0. Bu durumda, üç olgu mümkündür: Parabola ekseni geçer Oh(yani denklem ah 2.+ bX.+ c \u003d.0 iki farklı kök var); Parabola eksene dokunur h.(yani denklem aH 2 + BX+ C \u003d 0 bir kökü vardır); Parabol ekseni geçmez Oh(yani denklem ah 2.+ bX.+ c \u003d.0 kök yoktur). Böylece, Y \u003d işlevinin bir grafiği olarak hizmet veren altı pozisyon parabol ah 2.+ B. x + S.(Şek. 17.6). Bu çizimleri kullanarak, kare eşitsizlikleri çözebilirsiniz.

Örnek 17.9.Eşitsizliği çözün: a) 2 x G.+ 5x - 3\u003e 0; b) -zh 2 - 2 kere- 6 < 0.

Karar,a) denklem 2x2 + 5x -3 \u003d 0 iki köktür: x, \u003d -3, x 2 \u003d0.5. PARABOLA, PROGRAM FONKSİYONU w.= 2x2.Şekil 2'de gösterilen + 5x -3. fakat.Eşitsizlik 2x2.+ 5X -3\u003e 0, bu değerlerde gerçekleştirilir x,hangi noktalarda parabollar eksenin üstünde yatıyor Oh:olacak h.< х х yada ... için h.> x r\u003eşunlar. için h.< -3 veya ne zaman x\u003e0.5. Orijinal eşitsizliğin birçok çözeltisinin ayarlandığı anlamına gelir (- ¥; -3) ve (0.5; + ¥).

b) denklem -zh 2 + 2 kere6 \u003d 0 geçerli köklere sahip değil. PARABOLA, PROGRAM FONKSİYONU w.= - 3x 2 - 2x -Şekil 6, Şekil 2'de gösterilmiştir. 17.6 Eşitsizlik -3x2 - 2x -6 < О выполняется при тех значениях x,hangi noktalarda parabollar eksenin altında yatar Oh.Bütün parabol eksenin altında yattığından Oh,o zaman orijinal eşitsizliğin çözümleri kümesi çok fazla r vardır. .

Modül belirtisi altında bir değişken içeren eşitsizlikler.Bu eşitsizlikleri çözerken, aklınızda bulundurulması gerekir:

| F (x) | =

f (x) , Eğer bir f (x) ³ 0,

- f (x) , Eğer bir f (x) < 0,

Bu bölgede İzin verilen değerler Eşitsizlik, her birinin modülün işareti altındaki ifadelerin her birinde, bir işaretini koruyarak aralıklara ayrılmalıdır. Ardından, modülleri (ifadelerin işaretlerini dikkate alarak) açarak, her aralıkta eşitsizliği çözmek gerekir ve elde edilen kararlar ilk eşitsizliğin birçok çözeltisine birleştirilir.

Örnek 17.10.Eşitsizliği çözmek:

| X -1 | + | 2- x | \u003e 3 + x.

Karar. X \u003d 1 ve X \u003d 2 noktalar, sayısal bir eksenle bölünür (ODZ eşitsizliği (17.9) üç aralık için: x< 1, 1 £ х £.2, х > 2. Bu eşitsizliği her birinde çözeceğim. H.< 1, то х - 1 < 0 и 2 – х > 0; Bu nedenle | x -1 | \u003d - (x - i), | 2 - x | \u003d 2 - x. Eşitsizliğin (17.9) formunu aldığı anlamına gelir: 1- x + 2 - x\u003e 3 + x, yani. H.< 0. Таким образом, в этом случае решениями неравенства (17.9) являются все отрицательные числа.

Eğer 1 £ x £ .2, daha sonra x - 1 ³ 0 ve 2 - x ³ 0; Bu nedenle | X- 1 | \u003d x - 1, | 2 - x | \u003d 2 - x. . Uygun, sistem gerçekleşir:

x - 1 + 2 - X\u003e 3 + x,

Elde edilen eşitsizlik çözeltilerinin sistemi çözümü yoktur. Bu nedenle, aralıkta [1; 2] Birçok eşitsizlik çözümü (17.9) boş.

Eğer x\u003e 2, x - 1\u003e 0 ve 2 - x ise<0; поэтому | х - 1| = х- 1, |2-х| = -(2- х). Значит, имеет место система:

x -1 + x - 2\u003e 3 + x,

x\u003e 6 veya

Bulunan çözümlerin OI eşitsizliğinin (17.9) tüm bölümlerinde birleştirilmesi, çözümünü elde ediyoruz - seti (- ¥; 0) è (6; + oo).

Bazen, gerçek sayı modülünün geometrik yorumundan yararlanmak faydalı olur. A | Noktanın bir koordinatının doğrudan referansın başından itibaren mesafesi anlamına gelir. A - B | Koordinattaki A ve B noktaları arasındaki mesafe anlamına gelir. Ek olarak, her iki eşitsizliğin karesini oluşturma yöntemini kullanabilirsiniz.

Teorem 17.5. Eğer ifadeler f (x) ve g (x)herhangi bir X ile sadece olumsuz olmayan değerler alın, daha sonra eşitsizlikler f (x)\u003e g (x)ve f (x) ²\u003e g (x) ²eşdeğer.

58. Temel Sonuçlar § 12

Bu paragrafta aşağıdakileri belirledik kavramlar:

Sayısal ifade;

Değer vermek sayısal ifade;

İfade etmeyen ifade;

Değişkenli ifade (değişken);

İfadenin kapsamı;

Aynı şekilde eşit ifadeler;

Kimlik;

Özdeş dönüşüm ifade;

Sayısal eşitlik;

Sayısal eşitsizlik;

Bir değişken ile denklem;

Denklemin kökü;

Denklemi çözmek ne demektir;

Eşdeğer denklemler;

Bir değişken ile eşitsizlik;

Eşitsizlik çözeltisi;

Eşitsizliği çözmek ne demektir;

Eşdeğer eşitsizlikler.

Ayrıca, teoremleri, çözümlerinin ve eşitsizliklerin eşitliği üzerindeki, çözümlerinin temelini oluşturduk.

Yukarıdaki tüm kavramların tanımlarının ve denklemlerin ve eşitsizliklerin eşitliği üzerindeki teoremlerin tanımları - Önkoşul ile metodik olarak yetkili çalışma genç Schoolchildren Cebirsel malzeme.

Günümüzde, derste, eşitsizlik sistemlerini çözme ve eşitsizliklerin kararını incelemek için bilgilerimizi genelleştiriyoruz.

İlk tanımı.

Bir değişkenli birkaç eşitsizliğin, eğer belirtilen eşitsizliklerin tüm genel çözümlerini bulmak için bir eşitsizlik sistemi oluşturduğu söylenir.

Sistemdeki eşitsizliklerin her birinin doğru sayısal eşitsizliğin giderildiği değişkenin değeri, eşitsizlik sisteminin özel bir çözümü olarak adlandırılır.

Eşitsizlik sistemlerinin tüm özel çözümlerinin kümesi, eşitsizlik sisteminin genel bir çözümüdür (daha sık basitçe söylüyorlar - eşitsizlik sisteminin çözümü).

Eşitsizlik sistemini çözmek - tüm özel kararlarını bulmak veya bu sistemin çözümleri olmadığını kanıtlamak demektir.

Hatırlamak! Eşitsizlik sisteminin çözümü, sistemdeki eşitsizliklerin çözümlerinin kesişimidir.

Sisteme dahil olan eşitsizlikler kıvırcık bir braketle birleştirilir.

Bir değişkenli eşitsizlik sistemini çözmek için algoritma:

Pero - ayrı ayrı her eşitsizliği çözün.

İkinci - Bulunan çözümlerin kesişimini bulmak için.

Bu kavşak, eşitsizlik sisteminin çok sayıda

1. Egzersiz

Eşitsizlik sistemini çözmek yedi x eksi kırk iki daha az veya sıfır ve iki x eksi yedi sıfıra eşittir.

İlk eşitsizliğin kararı - X, altı ya da altı eşittir, ikinci eşitsizlik - X yedi saniyeden fazla. Koordinattaki bu boşlukları doğrudan not ederiz. İlk eşitsizliğin kararı, alttan tarama ile işaretlenmiştir, ikinci eşitsizlik yukarıdan çıkıyor. Eşitsizlik sisteminin çözeltisi, eşitsizliklerin kesişmesini, yani, yani iki kuluçkanın da çakıştığı boşluk. Sonunda, altı da dahil olmak üzere yedi saniyeye kadar yarı aralıklar elde ediyoruz.

Görev 2.

Eşitsizlikler sistemini çözün: X Square Plus x Eksi altı daha sıfır ve X Square Plus X artı altı daha sıfır.

Karar

İlk eşitsizliğe karar verdim - X Square Plus X eksi altı sıfır.

Igrek'in fonksiyonlarını X Square Plus X eksi altı ile eşit olarak düşünün. Fonksiyonların sıfırları: X eksi üçe eşittir, ikincisi ikiye iki eşittir. Şematik bir Parabola'yı tasvir etmek, ilk eşitsizliğin çözümünün eksi sonsuzluktan eksi üç ve iki artı sonsuzluğa kadar açık sayısal ışınları birleştirmek olduğunu buluyoruz.

X kare sisteminin ikinci eşitsizliğine artı x artı altı daha sıfıra karar verdim.

Igrek'in X Square Plus X artı altı ile eşit olduğunu düşünün. Ayrımcı eksi yirmi üç sıfırdan daha azdır, işlevin sıfır olmadığı anlamına gelir. Parabola eksen ile ortak noktalara sahip değil. Şematik bir parabola gösteren, eşitsizliğin çözümünün tüm sayıların seti olduğunu görüyoruz.

Sistemin eşitsizliklerinin koordinatında doğrudan çözümünde gösterilecektir.

Sistemin çözeltisinin, açık sayısal ışınları eksi sonsuzluğundan eksi üç ve iki artı sonsuzluğa birleştirmek olduğu şekilde görülebilir.

Cevap: Açık sayısal ışınların sonsuzluğun eksi eksiden eksi üç ve iki artı sonsuzluğundan birleştirilmesi.

Hatırlamak! Biri, birkaç eşitsizlik sisteminde bir başkasının (veya başka birinin) bir sonucu ise, eşitsizlik soruşturması atılabilir.

Sistem tarafından eşitsizliği çözme örneğini düşünün.

Görev 3.

X Meydanı eksi on üç x artı kırk iki ekspresyonunun logaritmasının eşitsizliğini, üstte iki daha eşittir.

Karar

ONZE eşitsizliği x kare eksi on üç x artı kırk iki sıfır durumuyla verilir. İki numarayı ikisinin bir logaritması olarak hayal edin ve eşitsizliği aldık - X Meydanı eksi on üç x artı kırk ikisinin tuvaletinin logaritması, iki kişiden daha fazla dayanan logaritmaya eşittir. iki temel.

Logaritmun tabanının birden fazla birine eşit olduğunu görüyoruz, daha sonra X Meydanı eksi on üç x artı kırk iki daha eşit eşdeğer bir eşitsizliğe geliyoruz. Sonuç olarak, bu logaritmik eşitsizliğin çözümü, iki kare eşitsizlik sistemini çözmek için azaltılır.

Ayrıca, ikinci eşitsizliğin yerine getirilip yerine getirildiğinde, ilk eşitsizlik gerçekleştirildiğinde farketmek kolaydır. Bu nedenle, ilk eşitsizlik, ikincisinin araştırılmasıdır ve atılabilir. İkinci eşitsizlik, formda dönüştürülür ve yazıyor: x kare eksi on üç x artı kırk daha sıfır. Bunun çözümü, iki sayısal ışın, eksi sonsuzluktan beşe kadar ve sekizden artı sonsuzluğa birleştirmektir.

Cevap: İki sayısal ışın, eksi sonsuzluğundan beş ve sekize kadar artı sonsuzluğa birleştirin.

sayısal ışınları aç

İkinci tanımı.

Bir değişkenli birkaç eşitsizlik, her biri, her biri belirlenen eşitsizliklerden en az biri olan değişkenin tüm değerlerini bulmak için ayarlanırsa, bir değişken bir dizi eşitsizlik oluşturduğu söylenir.

Değişkenin her türlü değeri, eşitsizliklerin birleşiminin özel bir çözümü denir.

Eşitsizliklerin toplamının tüm özel çözümlerinin kümesidir. eşitsizlik koleksiyonunun genel çözümü.

Hatırlamak! Eşitsizliklerin toplanması kararı, eşitsizlik kararlarını toplamda birleştirmektir.

Toplamda yer alan eşitsizlikler, kare bir braketle birleştirilir.

Eşitsizliklerin birleşimini çözmek için algoritma:

Birincisi, her eşitsizliği ayrı ayrı çözmektir.

İkinci - Bulunan çözümlerin birleşimini bulmak için.

Bu dernektir ve eşitsizliklerin birleşimine bir çözümdür.

Görev 4.

sıfır, iki onuncu, iki x ve üçten daha az x eksi iki ile çarpılır;

beş x eksi yedi daha fazla x eksi altı.

Karar

Her bir eşitsizliklerin her birini dönüştürüyoruz. Bütünlüğe eşdeğeriz

x, yediden fazla üçte;

x, bir dördüncüden fazla.

Birinci eşitsizlik için, çok sayıda çözüm, yedi üçte bir artı sonsuzluğun arzına ve ikincisi için bir boşluk sunar.

X-eşitlikleri yediden fazla thirds'tan daha fazla olan ve X'in bir dördüncüden fazla olan X-eşitlikleri olan koordinatta doğrudan sayıda gösterilecektir.

Bu setlerin birliğinin, yani Bu eşitsizlik setinin çözeltisi ile, bir dördüncü artı sonsuzluğa kadar açık bir sayısal ışındır.

Cevap: Sayısal ışını dördüncü olarak artı sonsuzluğa açın.

Görev 5.

Eşitsizliklerin birleşimini çözmek:

Üç ve üç xten daha az olan iki x eksi, eksi iki kişiye eşittir.

Karar

Her bir eşitsizliklerin her birini dönüştürüyoruz. Eşdeğer bir eşitsizlik seti alıyoruz: X ikiden fazla ve x daha fazlasına dört eşittir.

Bu eşitsizlikleri karşılayan koordinat doğrudan sayı kümesinde gösterilecektir.

Bu setlerin birliğinin, yani Bu eşitsizlik setinin çözeltisi ile, iki artı sonsuzluğa açık bir sayısal ışındır.

Cevap: Dış mekan sayısal kiriş, artı sonsuzluğa kadar.