Bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonları. Rastgele bir değişkenin dağılım fonksiyonu nasıl bulunur? Sürekli rastgele değişken, dağılım fonksiyonu ve olasılık yoğunluğu

Ayrık dağılımların dikkate alınan özelliği, dağılım özelliklerinin tipik sayısal değerlerini doğru bir şekilde korumak imkansız olduğundan, bu tür dağılımların tablolaştırılmasında ve kullanılmasında önemli zorluklar yaratır. Bu, özellikle parametrik olmayan istatistiksel testlerin (aşağıya bakınız) kritik değerleri ve önem düzeyleri için geçerlidir, çünkü bu testlerin istatistiklerinin dağılımları ayrıktır.

Sipariş niceliği istatistikte büyük önem taşır. R= ½. Medyan (rastgele değişken) olarak adlandırılır. X veya dağıtım işlevi D(x)) ve belirtilen Ben(X). Geometride "medyan" kavramı vardır - bir üçgenin tepesinden geçen ve karşı tarafını ikiye bölen düz bir çizgi. Matematiksel istatistikte, medyan üçgenin kenarını değil, rastgele bir değişkenin dağılımını ikiye böler: eşitlik F(x0,5)= 0.5, sola gitme olasılığının olduğu anlamına gelir x0,5 ve doğru olma olasılığı x0,5(veya doğrudan x0,5) birbirine eşittir ve ½'ye eşittir, yani

P(X < X 0,5) = P(X > X 0,5) = ½.

Ortanca, dağılımın "merkezini" gösterir. Modern kavramlardan birinin bakış açısından - kararlı istatistiksel prosedürler teorisi - medyan, rastgele bir değişkenin daha iyi bir özelliğidir. beklenen değer. Ölçüm sonuçları sıralı bir ölçekte işlenirken (ölçüm teorisi ile ilgili bölüme bakın), medyan kullanılabilir, ancak matematiksel beklenti kullanılamaz.

Bir rastgele değişkenin mod olarak böyle bir özelliğinin açık bir anlamı vardır - sürekli bir rastgele değişken için olasılık yoğunluğunun yerel bir maksimumuna veya ayrık bir rastgele için olasılığın yerel bir maksimumuna karşılık gelen bir rastgele değişkenin değeri (veya değerleri). değişken.

Eğer x0 yoğunluğa sahip rastgele bir değişkenin modudur f(x), diferansiyel hesaptan bilindiği gibi, .

Rastgele bir değişkenin birçok modu olabilir. Yani, düzgün dağılım için her nokta (1) Xöyle ki A< x < b , modadır. Ancak bu bir istisnadır. Olasılıksal-istatistiksel karar verme yöntemlerinde ve diğer uygulamalı araştırmalarda kullanılan rastgele değişkenlerin çoğu tek moda sahiptir. Bir modu olan rastgele değişkenler, yoğunluklar, dağılımlar tek modlu olarak adlandırılır.

Sonlu sayıda değere sahip ayrık rastgele değişkenler için matematiksel beklenti "Olaylar ve Olasılıklar" bölümünde ele alınmıştır. Sürekli bir rasgele değişken için X beklenen değer M(X) eşitliği sağlar

"Olaylar ve olasılıklar" bölümünün 2. ifadesindeki formül (5)'in bir benzeridir.

Örnek 5 Düzgün dağılmış bir rasgele değişken için matematiksel beklenti X eşittir

Bu bölümde ele alınan rastgele değişkenler için, sonlu sayıda değere sahip ayrık rastgele değişkenler için daha önce dikkate alınan matematiksel beklentilerin ve varyansların tüm özellikleri doğrudur. Bununla birlikte, olasılıksal-istatistiksel karar verme yöntemlerinin anlaşılması ve nitelikli uygulaması için gerekli olmayan matematiksel inceliklerde derinleşmeyi gerektirdiğinden, bu özelliklerin kanıtlarını sunmuyoruz.

Yorum. Bu ders kitabında, özellikle ölçülebilir kümeler ve ölçülebilir fonksiyonlar, olayların cebiri vb. kavramlarıyla bağlantılı olarak matematiksel inceliklerden kasıtlı olarak kaçınılır. Bu kavramlarda ustalaşmak isteyenler, özel literatüre, özellikle ansiklopediye başvurmalıdır.

Üç özelliğin her biri - matematiksel beklenti, medyan, mod - olasılık dağılımının "merkezini" tanımlar. "Merkez" kavramı farklı şekillerde tanımlanabilir - bu nedenle üç farklı özellik vardır. Bununla birlikte, önemli bir dağılım sınıfı için - simetrik tek modlu - üç özelliğin tümü çakışır.

dağıtım yoğunluğu f(x) bir sayı varsa, simetrik dağılımın yoğunluğudur x 0öyle ki

. (3)

Eşitlik (3), fonksiyonun grafiği anlamına gelir y = f(x) simetri merkezinden geçen dikey bir çizgi etrafında simetrik X = X 0 . (3)'ten, simetrik dağılım fonksiyonunun ilişkiyi karşıladığı sonucu çıkar.

(4)

Tek modlu simetrik bir dağılım için ortalama, ortanca ve mod aynı ve eşittir x 0.

En önemli durum 0'a göre simetridir, yani. x 0= 0. Sonra (3) ve (4) eşitlik olur

(6)

sırasıyla. Yukarıdaki ilişkiler, herkes için simetrik dağılımları tablolaştırmaya gerek olmadığını göstermektedir. X için tabloların olması yeterlidir. X > x0.

Olasılıksal-istatistiksel karar verme yöntemlerinde ve diğer uygulamalı araştırmalarda sürekli olarak kullanılan simetrik dağılımların bir özelliğini daha not ediyoruz. Sürekli bir dağıtım fonksiyonu için

P(|X| < a) = P(-a < X < a) = F(a) – F(-a),

Nerede F rastgele değişkenin dağılım işlevidir X. Eğer dağıtım fonksiyonu F 0'a göre simetriktir, yani formül (6) onun için geçerlidir, o zaman

P(|X| < a) = 2F(a) – 1.

İncelenmekte olan ifadenin başka bir formülasyonu sıklıkla kullanılır: eğer

.

Eğer ve 0'a göre simetrik bir dağılım fonksiyonunun mertebesinin ve sırasıyla (bakınız (2)) nicelikleri ise, o zaman (6)'dan şu sonuç çıkar:

Konumun özelliklerinden - matematiksel beklenti, medyan, mod - rastgele bir değişkenin yayılma özelliklerine geçelim X: varyans , standart sapma ve varyasyon katsayısı v. Kesikli rasgele değişkenler için varyansın tanımı ve özellikleri bir önceki bölümde ele alınmıştı. Sürekli rasgele değişkenler için

Standart sapma, varyansın karekökünün negatif olmayan değeridir:

Varyasyon katsayısı, standart sapmanın matematiksel beklentiye oranıdır:

Varyasyon katsayısı şu durumlarda uygulanır: M(X)> 0. Yayılımı göreli birimlerle ölçerken, standart sapma mutlak birimlerle ölçülür.

Örnek 6 Düzgün dağılmış bir rasgele değişken için X varyansı, standart sapmayı ve varyasyon katsayısını bulun. dağılım:

Değişken ikamesi şunları yazmayı mümkün kılar:

Nerede C = (B – A)/ 2. Bu nedenle, standart sapma eşittir ve varyasyon katsayısı:

Her rastgele değişken için X merkezli üç miktar daha belirleyin Y, normalleştirilmiş V ve verildi sen. Ortalanmış rastgele değişken Y verilen rasgele değişken arasındaki farktır X ve matematiksel beklentisi M(X), onlar. Y = X - M(X). Ortalanmış bir rasgele değişkenin matematiksel beklentisi Y 0'a eşittir ve varyans verilen rastgele değişkenin varyansıdır: M(Y) = 0, D(Y) = D(X). dağıtım işlevi MY(X) merkezli rastgele değişken Y dağıtım fonksiyonu ile ilgili F(X) ilk rasgele değişken X oran:

MY(X) = F(X + M(X)).

Bu rastgele değişkenlerin yoğunlukları için eşitlik

f Y(X) = F(X + M(X)).

Normalleştirilmiş rasgele değişken V bu rastgele değişkenin oranı X standart sapmasına , yani . Normalleştirilmiş bir rasgele değişkenin matematiksel beklentisi ve varyansı Vözelliklerle ifade edilir X Bu yüzden:

,

Nerede v orijinal rasgele değişkenin varyasyon katsayısıdır X. Dağıtım işlevi için F V(X) ve yoğunluk fV(X) normalleştirilmiş rastgele değişken V sahibiz:

Nerede F(X) orijinal rasgele değişkenin dağılım işlevidir X, A F(X) olasılık yoğunluğudur.

Azaltılmış rastgele değişken sen merkezli ve normalleştirilmiş bir rasgele değişkendir:

.

Azaltılmış bir rasgele değişken için

Normalleştirilmiş, ortalanmış ve azaltılmış rasgele değişkenler, hem teorik araştırmalarda hem de algoritmalarda, yazılım ürünlerinde, düzenleyici ve teknik ve öğretici ve metodolojik belgelerde sürekli olarak kullanılmaktadır. Özellikle, çünkü eşitlikler yöntemlerin doğrulanmasını, teorem formülasyonlarını ve hesaplama formüllerini basitleştirmeyi mümkün kılar.

Rastgele değişkenlerin dönüşümleri ve daha genel bir plan kullanılır. Yani eğer Y = aX + B, Nerede A Ve B bazı sayılardır, o zaman

Örnek 7 eğer o zaman Y indirgenmiş rasgele değişkendir ve formüller (8), formüller (7)'ye dönüştürülür.

Her rastgele değişkenle Xçok sayıda rasgele değişken bağlayabilirsiniz Y formül tarafından verilen Y = aX + Bçeşitli A> 0 ve B. Bu küme denir ölçek kaydırma ailesi, rastgele bir değişken tarafından oluşturuldu X. Dağıtım fonksiyonları MY(X) dağılım fonksiyonu tarafından üretilen ölçek kaydırmalı bir dağılım ailesini oluşturur F(X). Yerine Y = aX + B sık kullanılan gösterim

Sayı İle shift parametresi olarak adlandırılır ve sayı D- ölçek parametresi. Formül (9) şunu gösterir: X- belirli bir miktarı ölçmenin sonucu - -de- ölçümün başlangıcı noktaya taşınırsa, aynı değerin ölçümünün sonucu İle ve ardından yeni ölçü birimini kullanın. D eskisinden kat kat fazladır.

Ölçek kaydırma ailesi (9) için, X dağılımı standart olarak adlandırılır. Olasılıksal-istatistiksel karar verme yöntemlerinde ve diğer uygulamalı araştırmalarda, standart normal dağılım, standart Weibull-Gnedenko dağılımı, standart gama dağılımı vb. kullanılır (aşağıya bakınız).

Rastgele değişkenlerin diğer dönüşümleri de kullanılır. Örneğin, pozitif bir rasgele değişken için X dikkate almak Y= günlük X, burada lg X sayının ondalık logaritmasıdır X. eşitlik zinciri

F Y (x) = P( lg X< x) = P(X < 10x) = F( 10X)

dağıtım fonksiyonlarını ilişkilendirir X Ve Y.

Verileri işlerken, rastgele bir değişkenin bu tür özellikleri kullanılır. X düzen anları gibi Q, yani rastgele bir değişkenin matematiksel beklentileri X q, Q= 1, 2, … Dolayısıyla, matematiksel beklentinin kendisi 1. dereceden bir andır. Ayrık bir rasgele değişken için, sıranın anı Q olarak hesaplanabilir

Sürekli bir rasgele değişken için

düzen anları Q siparişin ilk anları olarak da adlandırılır Q, ilgili özelliklerin aksine - düzenin merkezi anları Q, formül tarafından verilen

Bu nedenle, dağılım 2. mertebenin merkezi bir momentidir.

Normal dağılım ve merkezi limit teoremi. Olasılıksal-istatistiksel karar verme yöntemlerinde genellikle normal bir dağılımdan söz edilir. Bazen bunu ilk verilerin dağılımını modellemek için kullanmaya çalışırlar (bu girişimler her zaman haklı değildir - aşağıya bakın). Daha da önemlisi birçok veri işleme yöntemi hesaplanan değerlerin normale yakın dağılımlara sahip olması esasına dayanmaktadır.

İzin vermek X 1 , X 2 ,…, X n M(X ben) = M ve dispersiyonlar D(X ben) = , Ben = 1, 2,…, N,… Önceki bölümün sonuçlarından aşağıdaki gibi,

Azaltılmış rasgele değişkeni düşünün BM toplam için , yani,

Formüllerden (7) aşağıdaki gibi, M(BM) = 0, D(BM) = 1.

(özdeş dağıtılmış terimler için). İzin vermek X 1 , X 2 ,…, X n, … matematiksel beklentilere sahip bağımsız, aynı şekilde dağıtılmış rasgele değişkenlerdir M(X ben) = M ve dispersiyonlar D(X ben) = , Ben = 1, 2,…, N,… O zaman herhangi bir x için bir sınır vardır

Nerede f(x) standart normal dağılım işlevidir.

İşlev hakkında daha fazla bilgi F(x) - aşağıda (“x’ten fi” olarak okunur, çünkü F- Yunanca büyük harf "phi").

Merkezi Limit Teoremi (CLT), adını olasılık teorisinin ve matematiksel istatistiğin merkezi, en sık kullanılan matematiksel sonucu olmasından alır. CLT'nin tarihi yaklaşık 200 yıl sürer - İngiliz matematikçi A. De Moivre'nin (1667-1754) CLT ile ilgili ilk sonucu yayınladığı 1730'dan (Moivre-Laplace teoremi hakkında aşağıya bakın), yirmili - otuzlu yıllara kadar yirminci yüzyılın Finn J.W. Lindeberg, Fransız Paul Levy (1886-1971), Yugoslav V. Feller (1906-1970), Rus A.Ya. Khinchin (1894-1959) ve diğer bilim adamları, klasik merkezi limit teoreminin geçerliliği için gerekli ve yeterli koşulları elde ettiler.

Ele alınan konunun gelişimi burada hiç durmadı - dağılımı olmayan rastgele değişkenleri incelediler, yani. kimin için olanlar

(akademisyen B.V. Gnedenko ve diğerleri), sayılardan daha karmaşık bir yapıya sahip rastgele değişkenlerin (daha doğrusu rastgele öğeler) özetlendiği durum (akademisyenler Yu.V. Prokhorov, A.A. Borovkov ve ortakları), vb.

dağıtım işlevi f(x) eşitlik tarafından verilir

,

oldukça karmaşık bir ifadeye sahip olan standart normal dağılımın yoğunluğu nerede:

.

Burada \u003d 3.1415925 ... geometride bilinen, çevrenin çapa oranına eşit bir sayıdır, e \u003d 2.718281828 ... - doğal logaritmaların temeli (bu sayıyı hatırlamak için, 1828'in yazar Leo Tolstoy'un doğum yılı olduğunu unutmayın). Matematiksel analizden bilindiği gibi,

Gözlem sonuçları işlenirken normal dağılım fonksiyonu yukarıdaki formüllere göre hesaplanmaz, özel tablolar veya bilgisayar programları kullanılarak bulunur. Rusça'daki en iyi “Matematiksel İstatistik Tabloları”, SSCB Bilimler Akademisi L.N. Bolşev ve N.V. Smirnov.

Standart normal dağılımın yoğunluğunun şekli, CLT'nin ispatının yanı sıra burada dikkate alamayacağımız matematiksel teoriden gelir.

Örnek olarak, dağıtım fonksiyonunun küçük tablolarını sunuyoruz. f(x)(Tablo 2) ve nicelikleri (Tablo 3). İşlev f(x) Tablo 2-3'te yansıtılan 0'a göre simetriktir.

Tablo 2.

Standart normal dağılımın işlevi.

Eğer rastgele değişken X bir dağıtım işlevi vardır f(x), O M(X) = 0, D(X) = 1. Bu ifade, olasılık yoğunluğunun formuna dayanan olasılık teorisinde kanıtlanmıştır. İndirgenmiş rasgele değişkenin özellikleri için benzer bir ifadeyle aynı fikirdedir. BM, oldukça doğaldır, çünkü CLT, terim sayısındaki sonsuz artışla birlikte dağıtım işlevinin olduğunu belirtir. BM standart normal dağılım fonksiyonuna eğilimlidir f(x), ve herhangi biri için X.

Tablo 3

Standart normal dağılımın nicelikleri.

Normal dağılım ailesi kavramını tanıtalım. Tanım olarak normal dağılım, rastgele bir değişkenin dağılımıdır. X indirgenmiş rasgele değişkenin dağılımının olduğu F(x).Ölçek kaydırmalı dağılım ailelerinin genel özelliklerinden aşağıdaki gibi (yukarıya bakın), normal dağılım rastgele bir değişkenin dağılımıdır

Nerede X dağılımlı rastgele bir değişkendir F(X), Ve M = M(Y), = D(Y). Shift parametreli normal dağılım M ve ölçek genellikle belirtilir N(M, ) (bazen gösterim N(M, ) ).

(8)'den aşağıdaki gibi, normal dağılımın olasılık yoğunluğu N(M, ) Orada

Normal dağılımlar bir ölçek kaydırma ailesi oluşturur. Bu durumda, ölçek parametresi D= 1/ ve kaydırma parametresi C = - M/ .

Normal dağılımın üçüncü ve dördüncü mertebesinin merkezi momentleri için eşitlikler doğrudur.

Bu eşitlikler, gözlem sonuçlarının normal bir dağılım izleyip izlemediğini kontrol etmenin klasik yöntemlerinin temelini oluşturur. Şu anda, normalliğin genellikle kriter tarafından kontrol edilmesi önerilir. W Shapiro - Wilka. Normallik kontrolü sorunu aşağıda tartışılmaktadır.

Eğer rastgele değişkenler X 1 Ve X 2 dağıtım işlevlerine sahip olmak N(M 1 , 1) Ve N(M 2 , 2) sırasıyla, o zaman X 1+ X 2 dağılımı var Bu nedenle, eğer rastgele değişkenler X 1 , X 2 ,…, X n N(M, ) , sonra aritmetik ortalamaları

dağılımı var N(M, ) . Normal dağılımın bu özellikleri, çeşitli olasılıksal-istatistiksel karar verme yöntemlerinde, özellikle teknolojik süreçlerin istatistiksel kontrolünde ve niceliksel bir nitelikle istatistiksel kabul kontrolünde sürekli olarak kullanılmaktadır.

Normal dağılım, artık istatistiksel veri işlemede yaygın olarak kullanılan üç dağılımı tanımlar.

Dağılım (ki - kare) - rastgele bir değişkenin dağılımı

nerede rastgele değişkenler X 1 , X 2 ,…, X n bağımsızdır ve aynı dağılıma sahiptir N(0.1). Bu durumda, terim sayısı, yani. N, ki-kare dağılımının "serbestlik derecesi sayısı" olarak adlandırılır.

Dağıtım TÖğrenci rastgele bir değişkenin dağılımıdır

nerede rastgele değişkenler sen Ve X bağımsız, sen standart bir normal dağılıma sahiptir N(0,1) ve X– dağıtım ki – ile kare Nözgürlük derecesi. nerede N Student dağılımının "serbestlik derecesi sayısı" olarak adlandırılır. Bu dağıtım, 1908'de bir bira fabrikasında çalışan İngiliz istatistikçi W. Gosset tarafından tanıtıldı. Bu fabrikada ekonomik ve teknik kararlar almak için olasılıksal-istatistiksel yöntemler kullanıldı, bu nedenle fabrika yönetimi V. Gosset'in kendi adı altında bilimsel makaleler yayınlamasını yasakladı. Bu şekilde bir ticari sır, W. Gosset tarafından geliştirilen olasılıksal-istatistiksel yöntemler biçimindeki "know-how" korunmuştur. Ancak "Öğrenci" takma adıyla yayın yapabildi. Gosset - Student'ın tarihi, olasılıksal-istatistiksel karar verme yöntemlerinin büyük ekonomik verimliliğinin bir yüz yıl daha İngiliz yöneticiler için açık olduğunu gösteriyor.

Fisher dağılımı, rastgele bir değişkenin dağılımıdır

nerede rastgele değişkenler X 1 Ve X 2 bağımsızdır ve ki dağılımlarına sahiptir - serbestlik dereceli kare k 1 Ve k 2 sırasıyla. Aynı zamanda bir çift (k 1 , k 2 ) Fisher dağılımının bir çift "serbestlik derecesi sayısı", yani, k 1 payın serbestlik derecesi sayısıdır ve k 2 paydanın serbestlik derecesi sayısıdır. Rastgele değişken F'nin dağılımı, adını çalışmalarında aktif olarak kullanan büyük İngiliz istatistikçi R. Fisher'dan (1890-1962) almıştır.

Ki-kare, Student ve Fisher'ın dağılım fonksiyonları, yoğunlukları ve özellikleri ile tablolar için ifadeler özel literatürde bulunabilir (örneğin bakınız).

Daha önce belirtildiği gibi, normal dağılımlar şu anda çeşitli uygulamalı alanlarda olasılıksal modellerde sıklıkla kullanılmaktadır. Bu iki parametreli dağılım ailesi neden bu kadar yaygın? Aşağıdaki teorem ile açıklanır.

Merkezi Limit Teoremi(farklı dağıtılmış terimler için). İzin vermek X 1 , X 2 ,…, X n,… matematiksel beklentileri olan bağımsız rastgele değişkenlerdir M(X 1 ), M(X 2 ),…, M(X n), … ve dağılımlar D(X 1 ), D(X 2 ),…, D(X n), … sırasıyla. İzin vermek

Daha sonra, terimlerden herhangi birinin katkısının küçüklüğünü sağlayan belirli koşulların geçerliliği altında BM,

herkes için X.

Söz konusu koşullar burada formüle edilmeyecektir. Özel literatürde bulunabilirler (örneğin bakınız). "CPT'nin faaliyet gösterdiği koşulların açıklığa kavuşturulması, seçkin Rus bilim adamları A.A. Markov'un (1857-1922) ve özellikle A.M. Lyapunov'un (1857-1918) erdemidir" .

Merkezi limit teoremi, ölçüm sonucunun (gözlem) birçok nedenin etkisi altında oluştuğu durumda, her birinin yalnızca küçük bir katkı yaptığını ve kümülatif sonucun şu şekilde belirlendiğini gösterir: ek olarak, yani ek olarak, o zaman ölçüm (gözlem) sonucunun dağılımı normale yakındır.

Bazen dağılımın normal olması için yapılan ölçüm (gözlem) sonucunun yeterli olduğuna inanılmaktadır. X her birinin küçük bir etkisi olan birçok nedenin etkisi altında oluşur. Bu yanlış. Önemli olan bu nedenlerin nasıl çalıştığıdır. Katkı maddesi ise, o zaman X yaklaşık olarak normal bir dağılıma sahiptir. Eğer çoğalarak(yani, bireysel nedenlerin eylemleri çarpılır, eklenmez), sonra dağıtım X normale yakın değil, sözde. logaritmik olarak normal, yani Olumsuz X, ve lg X yaklaşık olarak normal bir dağılıma sahiptir. Nihai sonucun (veya iyi tanımlanmış başka bir mekanizmanın) oluşumu için bu iki mekanizmadan birinin çalıştığına inanmak için hiçbir neden yoksa, o zaman dağıtım hakkında X kesin bir şey söylenemez.

Söylenenlerden, belirli bir uygulamalı problemde, ölçüm sonuçlarının (gözlemler) normalliğinin kural olarak genel değerlendirmelerden kurulamayacağı, istatistiksel kriterler kullanılarak kontrol edilmesi gerektiği sonucu çıkar. Veya bir veya başka bir parametrik aileye ait ölçüm sonuçlarının (gözlemler) dağılım fonksiyonları hakkındaki varsayımlara dayanmayan parametrik olmayan istatistiksel yöntemler kullanın.

Olasılıksal-istatistiksel karar verme yöntemlerinde kullanılan sürekli dağılımlar.Ölçek kaydırmalı normal dağılım ailesine ek olarak, bir dizi başka dağıtım ailesi de yaygın olarak kullanılmaktadır - logaritmik olarak normal, üstel, Weibull-Gnedenko, gama dağılımları. Gelin bu ailelere bir göz atalım.

rastgele değer X rastgele değişken ise bir log-normal dağılıma sahiptir Y= günlük X normal dağılıma sahiptir. Daha sonra Z=ln X = 2,3026…Y ayrıca normal dağılıma sahiptir N(A 1 ,σ 1), nerede X- doğal logaritma X. Log-normal dağılımın yoğunluğu:

Merkezi limit teoreminden, ürünün X = X 1 X 2 … X n bağımsız pozitif rastgele değişkenler X ben, Ben = 1, 2,…, N genel olarak N log-normal dağılımla yaklaşık olarak hesaplanabilir. Özellikle, ücretlerin veya gelir oluşumunun çarpımsal modeli, ücret ve gelir dağılımlarının logaritmik olarak normal yasalara göre yaklaşık olarak hesaplanması tavsiyesine yol açar. Rusya için bu tavsiyenin haklı olduğu ortaya çıktı - istatistikler bunu doğruluyor.

Log-normal yasasına götüren başka olasılıksal modeller de vardır. Böyle bir modelin klasik bir örneği A.N. bilyalı değirmenler log-normal dağılıma sahiptir.

Çeşitli olasılıksal-istatistiksel karar verme yöntemlerinde ve diğer uygulamalı araştırmalarda yaygın olarak kullanılan bir başka dağılım ailesine, üstel dağılımlar ailesine geçelim. Bu tür dağılımlara yol açan olasılıksal bir modelle başlayalım. Bunu yapmak için "olay akışını" düşünün, yani. belirli bir zamanda birbiri ardına meydana gelen olaylar dizisi. Örnekler: telefon santralindeki arama akışı; teknolojik zincirdeki ekipman arızalarının akışı; ürün testi sırasında ürün arızalarının akışı; müşteri taleplerinin banka şubesine akışı; mal ve hizmetler için başvuran alıcıların akışı vb. Olay akışları teorisinde, merkezi limit teoremine benzer bir teorem geçerlidir, ancak rastgele değişkenlerin toplamı ile değil, olay akışlarının toplamı ile ilgilenir. Hiçbirinin toplam akış üzerinde baskın bir etkisi olmayan çok sayıda bağımsız akıştan oluşan bir toplam akışı ele alıyoruz. Örneğin, telefon santraline gelen arama akışı, bireysel abonelerden kaynaklanan çok sayıda bağımsız arama akışından oluşur. Akışların özelliklerinin zamana bağlı olmadığı durumlarda, toplam akışın tamamen bir sayı ile - akışın yoğunluğu - tanımlandığı kanıtlanmıştır. Toplam akış için rastgele bir değişken düşünün X- ardışık olaylar arasındaki zaman aralığının uzunluğu. Dağıtım işlevi şu şekildedir:

(10)

Bu dağılıma üstel dağılım denir çünkü formül (10) üstel işlevi içerir e -λ X. 1/λ değeri bir ölçek parametresidir. Bazen bir kaydırma parametresi de eklenir İle, üstel rastgele bir değişkenin dağılımıdır X + c, nerede dağıtım X formül (10) ile verilir.

Üstel dağılımlar sözde özel bir durumdur. Weibull - Gnedenko dağıtımları. Adlarını, bu dağılımları yorgunluk testlerinin sonuçlarını analiz etme pratiğine sokan mühendis W. Weibull ve testin maksimumunu incelerken bu tür dağılımları sınırlayıcı dağılımlar olarak alan matematikçi B.V. Gnedenko'nun (1912-1995) adını almıştır. sonuçlar. İzin vermek X- bir ürünün, karmaşık sistemin, unsurun (yani kaynak, son duruma kadar çalışma süresi vb.), bir işletmenin çalışma süresini veya canlı bir varlığın ömrünü karakterize eden rastgele bir değişken, vesaire. Başarısızlık oranı önemli bir rol oynar

(11)

Nerede F(X) Ve F(X) - rastgele bir değişkenin dağılım fonksiyonu ve yoğunluğu X.

Başarısızlık oranının tipik davranışını tanımlayalım. Tüm zaman aralığı üç döneme ayrılabilir. Bunlardan ilkinde, işlev λ(x) yüksek değerlere ve net bir azalma eğilimine sahiptir (çoğu zaman monoton olarak azalır). Bu, söz konusu ürün birimlerinin nispeten hızlı bir şekilde arızalanmasına yol açan bariz ve gizli kusurlara sahip ürün birimlerinin incelenmekte olan partideki varlığı ile açıklanabilir. İlk dönem, "hırsızlık" (veya "hırsızlık") dönemi olarak adlandırılır. Bu genellikle garanti süresi kapsamındadır.

Ardından, yaklaşık olarak sabit ve nispeten düşük bir arıza oranı ile karakterize edilen normal çalışma dönemi gelir. Bu dönemdeki arızaların doğası birdenbire ortaya çıkar (kazalar, işletme personelinin hataları vb.) ve bir ürün biriminin çalışma süresine bağlı değildir.

Son olarak, son çalışma dönemi eskime ve yıpranma dönemidir. Bu dönemdeki arızaların doğası, bir üretim biriminin kalitesinde ilerleyici bir bozulmaya ve nihai arızaya yol açan, malzemelerde geri dönüşü olmayan fiziksel, mekanik ve kimyasal değişikliklerdir.

Her dönemin kendi işlev türü vardır λ(x). Güç bağımlılıkları sınıfını göz önünde bulundurun

λ(х) = λ0bxb -1 , (12)

Nerede λ 0 > 0 ve B> 0 - bazı sayısal parametreler. Değerler B < 1, B= 0 ve B> 1, sırasıyla alıştırma, normal çalışma ve eskime dönemlerindeki arıza oranına karşılık gelir.

Belirli bir başarısızlık oranı için ilişki (11) λ(x)- fonksiyona göre diferansiyel denklem F(X). teoriden diferansiyel denklemler bunu takip eder

(13)

(12)'yi (13)'e yazarsak, bunu elde ederiz.

(14)

Formül (14) ile verilen dağılıma Weibull - Gnedenko dağılımı denir. Çünkü

o zaman formül (14)'ten miktarın A, formül (15) tarafından verilen bir ölçekleme parametresidir. Bazen bir kaydırma parametresi de eklenir, örn. Weibull - Gnedenko dağıtım işlevleri çağrılır F(X - C), Nerede F(X) bazı λ 0 için formül (14) ile verilir ve B.

Weibull - Gnedenko dağılımının yoğunluğu şu şekildedir:

(16)

Nerede A> 0 - ölçek parametresi, B> 0 - form parametresi, İle- kaydırma parametresi. Bu durumda, parametre A formülden (16) parametre ile ilgilidir λ formül (14)'ten formül (15)'te belirtilen oranla 0.

Üstel dağılım, şekil parametresinin değerine karşılık gelen Weibull - Gnedenko dağılımının çok özel bir durumudur. B = 1.

Weibull - Gnedenko dağılımı, bir nesnenin davranışının "en zayıf halka" tarafından belirlendiği durumların olasılıksal modellerinin yapımında da kullanılır. Güvenliği en düşük güce sahip bağlantı tarafından belirlenen bir zincirle bir benzetme ima edilir. Başka bir deyişle, izin ver X 1 , X 2 ,…, X n bağımsız, aynı şekilde dağıtılmış rasgele değişkenlerdir,

X(1)=dk( X 1 , X 2 ,…, X n), X(n)=maks( X 1 , X 2 ,…, X n).

Bir dizi uygulamalı problemde, aşağıdakiler önemli bir rol oynar: X(1) Ve X(N) , özellikle, örneğin sigorta ödemeleri veya ticari risklerden kaynaklanan kayıplar gibi belirli değerlerin mümkün olan maksimum değerlerini ("kayıtlar") incelerken, çeliğin esneklik ve dayanıklılık sınırlarını, bir dizi güvenilirlik özelliğini incelerken, vesaire. Büyük n dağılımları için gösterilmiştir. X(1) Ve X(N) , kural olarak, Weibull - Gnedenko dağılımları tarafından iyi tanımlanmıştır. Dağılım çalışmalarına temel katkılar X(1) Ve X(N) Sovyet matematikçi B.V. Gnedenko tarafından tanıtıldı. V. Weibull, E. Gumbel, V.B. Nevzorova, E.M. Kudlaev ve diğer birçok uzman.

Gama dağılımları ailesine geçelim. Ekonomi ve yönetimde, güvenilirlik ve test teorisi ve pratiğinde, teknolojinin çeşitli alanlarında, meteorolojide vb. yaygın olarak kullanılırlar. Özellikle birçok durumda gama dağılımı, ürünün toplam hizmet ömrü, iletken toz parçacıkları zincirinin uzunluğu, ürünün korozyon sırasında sınır duruma ulaşması için geçen süre, çalışma süresi gibi niceliklere tabidir. kadar zaman k ret, k= 1, 2, …, vb. Hastaların yaşam beklentisi kronik hastalıklar, bazı durumlarda tedavide belirli bir etkinin elde edilmesi için geçen sürede bir gama dağılımı vardır. Bu dağılım, envanter yönetiminin (lojistik) ekonomik ve matematiksel modellerindeki talebi tanımlamak için en uygun olanıdır.

Gama dağılımının yoğunluğu şu şekildedir:

(17)

Formül (17)'deki olasılık yoğunluğu üç parametre ile belirlenir A, B, C, Nerede A>0, B>0. nerede A bir form parametresidir, B- ölçek parametresi ve İle- kaydırma parametresi. faktör 1/Γ(а) bir normalleştirmedir,

Burada Γ(bir)- matematikte kullanılan biri özel fonksiyonlar, sözde "gama işlevi", bundan sonra formül (17) ile verilen dağılımın adı da verilir,

sabit bir A formül (17), yoğunluğa sahip bir dağılım tarafından üretilen bir ölçek kaydırmalı dağılım ailesini tanımlar

(18)

Formun (18) dağılımına standart gama dağılımı denir. ile formül (17)'den elde edilir. B= 1 ve İle= 0.

gama dağılımlarının özel bir durumu A= 1, üstel dağılımlardır (ile λ = 1/B). doğal ile A Ve İle=0 gama dağılımlarına Erlang dağılımları denir. Kopenhag telefon şirketinin bir çalışanı olan ve 1908-1922'de okuyan Danimarkalı bilim adamı K.A. Erlang'ın (1878-1929) çalışmalarından. telefon ağlarının işleyişi, kuyruk teorisinin gelişimi başladı. Bu teori, optimum kararlar almak için talep akışına hizmet verilen sistemlerin olasılıksal-istatistiksel modellemesiyle ilgilenir. Erlang dağılımları, üstel dağılımlarla aynı uygulama alanlarında kullanılmaktadır. Bu, aşağıdaki matematiksel gerçeğe dayanmaktadır: aynı parametreler λ ile üstel olarak dağıtılan k bağımsız rasgele değişkenin toplamı ve İle, şekil parametreli bir gama dağılımına sahiptir bir =k, ölçek parametresi B= 1/λ ve kaydırma parametresi kc. -de İle= 0 Erlang dağılımını elde ederiz.

Eğer rastgele değişken Xşekil parametreli bir gama dağılımına sahiptir Aöyle ki D = 2 A- Bir tam sayı, B= 1 ve İle= 0, sonra 2 X ile bir ki-kare dağılımına sahiptir Dözgürlük derecesi.

rastgele değer X gvmma-dağılımı ile aşağıdaki özelliklere sahiptir:

Beklenen değer M(X) =ab + C,

dağılım D(X) = σ 2 = ab 2 ,

varyasyon katsayısı

asimetri

Aşırı

Normal dağılım, gama dağılımının aşırı bir halidir. Daha kesin olarak, Z'nin formül (18) ile verilen standart bir gama dağılımına sahip rastgele bir değişken olmasına izin verin. Daha sonra

herhangi bir gerçek sayı için X, Nerede f(x)- standart normal dağılım işlevi N(0,1).

Uygulamalı araştırmalarda, en iyi bilinenleri Pearson eğri sistemi, Edgeworth ve Charlier serileri olan diğer parametrik dağılım aileleri de kullanılır. Burada dikkate alınmazlar.

Ayrık olasılıksal-istatistiksel karar verme yöntemlerinde kullanılan dağılımlar.Çoğu zaman, üç ayrık dağılım ailesi kullanılır - binom, hipergeometrik ve Poisson ve diğer bazı aileler - geometrik, negatif binom, multinomial, negatif hipergeometrik, vb.

Daha önce bahsedildiği gibi, binom dağılımı, her birinde bir olasılıkla bağımsız denemelerde gerçekleşir. R olay görünür A. Eğer toplam sayısı testler N verildikten sonra deneme sayısı Y, olayın ortaya çıktığı yer A, bir binom dağılımına sahiptir. Binom dağılımı için rastgele değişken olarak kabul edilme olasılığı Y değerler y formül tarafından belirlenir

kombinasyon sayısı N tarafından elemanlar y kombinatorikten bilinir. Hepsi için y 0, 1, 2, … hariç, N, sahibiz P(Y= y)= 0. Sabit bir örneklem büyüklüğü ile iki terimli dağılım N parametre tarafından ayarlanır P, yani binom dağılımları tek parametreli bir aile oluşturur. Örnek araştırma verilerinin analizinde, özellikle tüketici tercihlerinin incelenmesinde, tek aşamalı kontrol planlarına göre ürün kalitesinin seçici kontrolünde, demografi, sosyoloji, tıp, biyoloji vb. alanlardaki bireylerin popülasyonlarını test ederken kullanılırlar.

Eğer Y 1 Ve Y 2 - aynı parametreye sahip bağımsız iki terimli rasgele değişkenler P 0 hacimli numuneler tarafından belirlenir N 1 Ve N 2 sırasıyla, o zaman Y 1 + Y 2 - dağılımlı (19) iki terimli rasgele değişken R = P 0 Ve N = N 1 + N 2 . Bu açıklama, iki terimli dağılımın uygulanabilirliğini genişleterek, aynı parametrenin tüm bu gruplara karşılık geldiğine inanmak için bir neden olduğunda, birkaç test grubunun sonuçlarını birleştirmenize izin verir.

Binom dağılımının özellikleri daha önce hesaplanmıştı:

M(Y) = np, D(Y) = np( 1- P).

Binom rasgele değişkeni için "Olaylar ve olasılıklar" bölümünde, büyük sayılar yasası kanıtlanmıştır:

herkes için . Merkezi limit teoreminin yardımıyla, büyük sayılar kanunu, nasıl olduğunu belirterek rafine edilebilir. Y/ N farklıdır R.

De Moivre-Laplace teoremi. Herhangi bir sayı için a ve B, A< B, sahibiz

Nerede F(X), ortalama 0 ve varyans 1 olan standart bir normal dağılım işlevidir.

Bunu kanıtlamak için temsili kullanmak yeterlidir. Y bireysel denemelerin sonuçlarına karşılık gelen bağımsız rasgele değişkenlerin toplamı olarak, formüller M(Y) Ve D(Y) ve merkezi limit teoremi.

Bu teorem durum içindir R= ½, 1730'da İngiliz matematikçi A. Moivre (1667-1754) tarafından ispatlandı. Yukarıdaki formülasyonda, 1810'da Fransız matematikçi Pierre Simon Laplace (1749-1827) tarafından ispatlandı.

Hipergeometrik dağılım, alternatif bir özniteliğe göre N hacimli sonlu bir nesne kümesinin seçici kontrolü sırasında gerçekleşir. Kontrol edilen her nesne, ya özniteliğe sahip olarak sınıflandırılır. A veya bu özelliğe sahip olmadığı için. Hipergeometrik dağılımın rastgele bir değişkeni vardır Y, sayıya eşitözniteliği olan nesneler A rastgele bir hacim örneğinde N, Nerede N< N. Örneğin, sayı Y rastgele bir hacim örneğindeki kusurlu ürün birimleri N parti hacminden N eğer hipergeometrik bir dağılıma sahipse N< N. Başka bir örnek de piyango. işaret olsun A bilet “kazanmanın” bir işaretidir. Tüm biletlere izin ver N, ve bir kişi satın aldı N onlardan. O halde bu kişi için kazanan bilet sayısı hipergeometrik bir dağılıma sahiptir.

Hipergeometrik bir dağılım için, rastgele bir değişken Y'nin y değerini alma olasılığı şu şekildedir:

(20)

Nerede Dözniteliğe sahip nesnelerin sayısıdır A, dikkate alınan hacim kümesinde N. nerede y max(0, N - (N - D) ile min( N, D), diğeriyle y formül (20)'deki olasılık 0'a eşittir. Böylece, hipergeometrik dağılım üç parametre ile belirlenir - hacim nüfus N, nesne sayısı D içinde, dikkate alınan özelliğe sahip A ve örneklem büyüklüğü N.

Basit rastgele örnekleme N toplam hacimden N rastgele seçim sonucunda elde edilen, kümelerden herhangi birinin bulunduğu bir örneğe denir. N nesnelerin seçilme olasılığı aynıdır. Ankete katılanlardan (görüşme yapılan kişiler) veya parça ürün birimlerinden rastgele seçim yöntemleri, öğretici-yöntemsel ve normatif-teknik belgelerde ele alınmaktadır. Seçim yöntemlerinden biri şu şekildedir: nesneler birbirinden seçilir ve her adımda kümede kalan nesnelerin her biri aynı seçilme şansına sahiptir. Literatürde, incelenen numune türleri için “rastgele numune”, “yerine koymadan rastgele numune” terimleri de kullanılmaktadır.

Genel popülasyonun hacimleri (lotlar) N ve örnekler N yaygın olarak biliniyorsa, tahmin edilecek hipergeometrik dağılım parametresi D. Ürün kalite yönetiminin istatistiksel yöntemlerinde D- genellikle partideki kusurlu birimlerin sayısı. İlgi çekici olan aynı zamanda dağılımın karakteristiğidir. D/ N- kusur seviyesi.

Hipergeometrik dağılım için

Varyans ifadesindeki son faktör, eğer 1'e yakınsa N>10 N. Aynı zamanda oyuncu değişikliği yaparsak P = D/ N, daha sonra hipergeometrik dağılımın matematiksel beklenti ve varyansına ilişkin ifadeler, binom dağılımının matematiksel beklenti ve varyansına yönelik ifadelere dönüşecektir. Bu tesadüf değil. gösterilebilir ki

de N>10 N, Nerede P = D/ N. Sınırlama oranı geçerlidir

ve bu sınırlayıcı ilişki için kullanılabilir N>10 N.

Üçüncü yaygın olarak kullanılan ayrık dağılım, Poisson dağılımıdır. Bir rasgele değişken Y, şu durumlarda bir Poisson dağılımına sahiptir:

,

burada λ, Poisson dağılım parametresidir ve P(Y= y)= diğerleri için 0 y(y=0 için 0!=1 gösterilir). Poisson dağılımı için

M(Y) = λ, D(Y) = λ.

Bu dağılım, adını ilk kez 1837'de türeten Fransız matematikçi CD Poisson'dan (1781-1840) almıştır. Poisson dağılımı, binom dağılımının aşırı bir durumudur; R olayın uygulanması az ama deneme sayısı N harika ve np= λ. Daha doğrusu, sınır ilişkisi

Bu nedenle, Poisson dağılımı (eski terminolojide "dağıtım yasası") genellikle "nadir olaylar yasası" olarak da adlandırılır.

Poisson dağılımı, olay akışları teorisinde ortaya çıkar (yukarıya bakın). Sabit yoğunluk Λ ile en basit akış için, zaman içinde meydana gelen olayların (çağrıların) sayısının olduğu kanıtlanmıştır. T, λ = Λ parametresiyle bir Poisson dağılımına sahiptir T. Bu nedenle, zaman içinde olma olasılığı T hiçbir olay olmayacak e - Λ T, yani olaylar arasındaki aralığın uzunluğunun dağılım işlevi üsteldir.

Poisson dağılımı, tüketicilerin seçici pazarlama anketlerinin sonuçlarının analizinde, kusurlu kabul seviyesinin küçük değerleri durumunda istatistiksel kabul kontrol planlarının operasyonel özelliklerinin hesaplanmasında, arıza sayısını tanımlamak için kullanılır. Birim zamanda istatistiksel olarak kontrol edilen bir teknolojik sürecin, Kuyruk sisteminde birim zamanda gelen "hizmet gereksinimlerinin" sayısı, Kazaların istatistiksel düzenliliği ve nadir hastalıklar, vesaire.

Ayrık dağılımların diğer parametrik ailelerinin ve olasılıklarının açıklaması pratik kullanım literatürde ele alınmıştır.

Bazı durumlarda, örneğin, güvenilirlik problemlerinde fiyatlar, çıktı hacimleri veya başarısızlıklar arasındaki toplam süre incelenirken, dağılım fonksiyonları, incelenen rastgele değişkenlerin değerlerinin düşemeyeceği belirli aralıklarda sabittir.

3. Dağılım işlevi azalmayan: eğer , öyleyse

4. Dağıtım işlevi sol sürekli: herkes için .

Not. Son özellik, dağıtım işlevinin kesme noktalarında hangi değerleri aldığını gösterir. Bazen dağıtım işlevinin tanımı katı olmayan bir eşitsizlik kullanılarak formüle edilir: . Bu durumda, soldaki süreklilik sağdaki süreklilikle değiştirilir: için . Bu durumda dağılım fonksiyonunun asli özellikleri değişmez, dolayısıyla bu soru sadece terminolojik bir sorudur.

Özellikler 1-4 karakteristiktir, yani bu özellikleri karşılayan herhangi bir işlev, bazı rasgele değişkenlerin dağılım işlevidir.

Dağılım fonksiyonu, rastgele bir değişkenin olasılık dağılımını benzersiz bir şekilde tanımlar. Aslında, bu dağılımı tanımlamanın en evrensel ve en açıklayıcı yolu budur.

Dağılım fonksiyonu, sayısal eksenin belirli bir aralığında ne kadar güçlü büyürse, rastgele bir değişkenin bu aralığa düşme olasılığı o kadar yüksek olur. Bir aralığa düşme olasılığı sıfır ise, o zaman onun üzerindeki dağılım fonksiyonu sabittir.

Özellikle, rastgele bir değişkenin belirli bir değeri alma olasılığı, belirli bir noktadaki dağılım işlevindeki sıçramaya eşittir:

Dağılım fonksiyonu noktasında sürekli ise, bu değeri bir rasgele değişken için alma olasılığı sıfırdır. Özellikle, dağılım fonksiyonu tüm gerçek eksende sürekli ise (bu durumda karşılık gelen dağılım aynı zamanda sürekli), o zaman verilen herhangi bir değeri kabul etme olasılığı sıfırdır.

Dağılım fonksiyonunun tanımından, rastgele bir değişkenin solda kapalı ve sağda açık bir aralığa düşme olasılığının şuna eşit olduğu sonucu çıkar:

Herhangi bir noktaya ulaşma olasılığını bulmak için bu formülü ve yukarıdaki yöntemi kullanarak, diğer tür aralıklarda rastgele bir değişkene ulaşma olasılıkları kolayca belirlenir: , ve . Ayrıca, ölçü uzatma teoremi ile ölçü, gerçek çizginin tüm Borel kümelerine benzersiz bir şekilde genişletilebilir. Bu teoremi uygulamak için, aralıklarda bu şekilde tanımlanan ölçümün aralıklarda sigma toplamlı olduğunu göstermek gerekir; 1-4 arası özellikler tam olarak bunun ispatında kullanılır (özellikle soldaki süreklilik özelliği 4'tür yani düşürülemez).

Belirli bir dağılıma sahip rastgele bir değişkenin üretilmesi

Dağılım işlevine sahip bir rasgele değişken düşünün. Hadi öyleymiş gibi yapalım sürekli. Rastgele bir değişken düşünün

Aralık üzerinde düzgün bir dağılıma sahip olacağını göstermek kolaydır.

Rastgele değişkenli bir fonksiyonun tanımı. Ayrık bir rasgele argümanın işlevi ve sayısal özellikleri. Sürekli bir rasgele argümanın işlevi ve sayısal özellikleri. İki rastgele bağımsız değişkenin işlevleri. İki rasgele argümanın bir fonksiyonu için olasılık dağılım fonksiyonunun ve yoğunluğunun belirlenmesi.

Bir rasgele değişkenin fonksiyonu için olasılık dağılım yasası

Çeşitli otomatik sistemlerin çalışmasının doğruluğunun, sistemlerin bireysel öğelerinin üretiminin doğruluğunun vb. değerlendirilmesiyle ilgili sorunları çözerken, genellikle bir veya daha fazla rasgele değişkenin işlevlerini dikkate almak gerekir. Bu tür işlevler aynı zamanda rastgele değişkenlerdir. Bu nedenle, problemleri çözerken, problemde görünen rastgele değişkenlerin dağılım yasalarını bilmek gerekir. Bu durumda, rastgele bağımsız değişkenler sisteminin dağıtım yasası ve işlevsel bağımlılık genellikle bilinir.

Böylece, aşağıdaki gibi formüle edilebilecek bir problem ortaya çıkar.

Rastgele değişkenler sistemi verildiğinde (X_1,X_2,\ldots,X_n), dağıtım kanunu bilinen. Bazı rasgele değişken Y, şu rasgele değişkenlerin bir fonksiyonu olarak kabul edilir:

Y=\varphi(X_1,X_2,\ldots,X_n).

Fonksiyonların biçimini (6.1) ve bağımsız değişkenlerinin ortak dağılım yasasını bilerek Y rasgele değişkeninin dağılım yasasını belirlemek gerekir.

Rastgele bir bağımsız değişkenin işlevinin dağılım yasası sorununu ele alalım.

Y=\varphi(X).

\begin(array)(|c|c|c|c|c|)\hline(X)&x_1&x_2&\cdots&x_n\\\hline(P)&p_1&p_2&\cdots&p_n\\\hline\end(dizi)

O zaman Y=\varphi(X) ayrıca olası değerlere sahip ayrık bir rasgele değişkendir. Eğer tüm değerler y_1,y_2,\ldots,y_n farklıdır, o zaman her k=1,2,\ldots,n olayı için \(X=x_k\) ve \(Y=y_k=\varphi(x_k)\)Özdeş. Buradan,

P\(Y=y_k\)=P\(X=x_k\)=p_k

\begin(array)(|c|c|c|c|c|)\hline(Y)&y_1=\varphi(x_1)&y_2=\varphi(x_2)&\cdots&y_n=\varphi(x_n)\\\hline (P)&p_1&p_2&\cdots&p_n\\\hline\end(dizi)

Sayılar arasında ise y_1=\varphi(x_1),y_2=\varphi(x_2),\ldots,y_n=\varphi(x_n)özdeşse, o zaman aynı değerlerin her grubuna y_k=\varphi(x_k) tabloda bir sütun atanmalı ve karşılık gelen olasılıklar eklenmelidir.

Sürekli rasgele değişkenler için problem şu şekilde formüle edilir: X rasgele değişkeninin dağılım yoğunluğunu f(x) bilerek, Y=\varphi(X) rasgele değişkeninin dağılım yoğunluğunu g(y) bulun. Problemi çözerken iki durumu ele alıyoruz.

Önce y=\varphi(x) fonksiyonunun tümünü içeren (a;b) aralığında monoton artan, sürekli ve türevlenebilir olduğunu varsayalım. olası değerler X değerleri. O zaman ters fonksiyon x=\psi(y) vardır ve aynı zamanda monoton olarak artan, sürekli ve türevlenebilirdir. Bu durumda,

G(y)=f\bigl(\psi(y)\bigr)\cdot |\psi"(y)|.

Örnek 1. Rastgele değişken X, yoğunlukla dağıtılır

F(x)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))e^(-x^2/2)

Y=X^3 bağımlılığıyla X değeriyle ilişkili Y rasgele değişkeninin dağılım yasasını bulun.

Çözüm. y=x^3 fonksiyonu (-\infty;+\infty) aralığında monoton olduğu için formül (6.2) uygulanabilir. Ters fonksiyon\varphi(x)=x^3 işlevine göre \psi(y)=\sqrt(y) türevidir \psi"(y)=\frac(1)(3\sqrt(y^2)). Buradan,

G(y)=\frac(1)(3\sqrt(2\pi))e^(-\sqrt(y^2)/2)\frac(1)(\sqrt(y^2))

Monoton olmayan bir fonksiyonun durumunu düşünün. y=\varphi(x) işlevi, x=\psi(y) ters işlevi belirsiz olacak şekilde olsun, yani, y'nin bir değeri, x argümanının birkaç değerine karşılık gelir, bunu belirtiriz x_1=\psi_1(y),x_2=\psi_2(y),\ldots,x_n=\psi_n(y) burada n, y=\varphi(x) fonksiyonunun monoton olarak değiştiği parça sayısıdır. Daha sonra

G(y)=\topla\limits_(k=1)^(n)f\bigl(\psi_k(y)\bigr)\cdot |\psi"_k(y)|.

Örnek 2. Örnek 1'in koşulları altında, Y=X^2 rastgele değişkeninin dağılımını bulun.

Çözüm. x=\psi(y) ters işlevi belirsizdir. y bağımsız değişkeninin bir değeri, x işlevinin iki değerine karşılık gelir

\begin(toplanan)g(y)=f(\psi_1(y))|\psi"_1(y)|+f(\psi_2(y))|\psi"_2(y)|=\\\\ =\frac(1)(\sqrt(2\pi))\,e^(-\left(-\sqrt(y^2)\sağ)^2/2)\!\left|-\frac(1) )(2\sqrt(y))\sağ|+\frac(1)(\sqrt(2\pi))\,e^(-\left(\sqrt(y^2)\sağ)^2/2 )\!\left|\frac(1)(2\sqrt(y))\right|=\frac(1)(\sqrt(2\pi(y)))\,e^(-y/2) .\end(toplandı)

İki rastgele değişkenli bir fonksiyonun dağılım yasası

Y rasgele değişkeninin, sistemi oluşturan iki rasgele değişkenin bir fonksiyonu olmasına izin verin (X_1;X_2), yani Y=\varphi(X_1;X_2). Görev, sistemin bilinen dağılımından (X_1;X_2) rasgele değişken Y'nin dağılımını bulmaktır.

f(x_1;x_2) rastgele değişkenler sisteminin (X_1;X_2) dağılım yoğunluğu olsun. X_1'e eşit yeni bir Y_1 değeri verelim ve denklem sistemini ele alalım

Bu sistemin x_1,x_2'ye göre benzersiz bir şekilde çözülebilir olduğunu varsayacağız.

Rastgele değişken Y'nin dağılım yoğunluğu

G_1(y)=\int\limits_(-\infty)^(+\infty)f(x_1;\psi(y;x_1))\!\left|\frac(\partial\psi(y;x_1)) (\partial(y))\sağ|dx_1.

Tanıtılan yeni değer Y_1, X_2'ye eşitlenirse, mantığın değişmediğini unutmayın.

Rastgele değişkenlerin bir fonksiyonunun matematiksel beklentisi

Uygulamada, rastgele değişkenlerin bir fonksiyonunun dağılım yasasını tam olarak belirlemeye özel bir ihtiyacın olmadığı, ancak sadece sayısal özelliklerini belirtmek için yeterli olduğu durumlar vardır. Böylece, rasgele değişkenli fonksiyonların sayısal özelliklerinin yanı sıra bu fonksiyonların dağılım yasalarının belirlenmesi sorunu ortaya çıkmaktadır.

Bir rasgele değişken Y'nin, belirli bir dağıtım yasasına sahip rasgele bir bağımsız değişken X'in bir işlevi olmasına izin verin

Y=\varphi(X).

Y miktarının dağılım yasasını bulmadan matematiksel beklentisini belirlemek gerekir.

M(Y)=M[\varphi(X)].

X, dağılım serisine sahip ayrık bir rasgele değişken olsun

\begin(array)(|c|c|c|c|c|)\hline(x_i)&x_1&x_2&\cdots&x_n\\\hline(p_i)&p_1&p_2&\cdots&p_n\\\hline\end(array)

Y değerleri ve bu değerlerin olasılıklarını içeren bir tablo yapalım:

\begin(dizi)(|c|c|c|c|c|)\hline(y_i=\varphi(x_i))&y_1=\varphi(x_1)&y_2=\varphi(x_2)&\cdots&y_n=\varphi( x_n)\\\hline(p_i)&p_1&p_2&\cdots&p_n\\\hline\end(dizi)

Bu tablo, Y rasgele değişkeninin bir dağılım dizisi değildir, çünkü genel durumda bazı değerler birbiriyle çakışabilir ve üst sıradaki değerler mutlaka artan sırada gitmez. Bununla birlikte, bir rastgele değişken Y'nin matematiksel beklentisi aşağıdaki formülle belirlenebilir:

M[\varphi(X)]=\sum\limits_(i=1)^(n)\varphi(x_i)p_i,

Formül (6.4), \varphi(X) işlevinin dağıtım yasasını açıkça içermez, yalnızca X bağımsız değişkeninin dağıtım yasasını içerir. Bu nedenle, Y=\varphi(X) fonksiyonunun matematiksel beklentisini belirlemek için \varphi(X) fonksiyonunun dağılım yasasını bilmek gerekli değildir, ancak X bağımsız değişkeninin dağılım yasasını bilmek yeterlidir. .

Sürekli bir rasgele değişken için matematiksel beklenti aşağıdaki formülle hesaplanır:

M[\varphi(X)]=\int\limits_(-\infty)^(+\infty)\varphi(x)f(x)\,dx,

Rastgele argümanların bir fonksiyonunun matematiksel beklentisini bulmak için argümanların dağılım yasalarını bile bilmenin gerekli olmadığı, ancak bunların yalnızca bazı sayısal özelliklerini bilmenin yeterli olduğu durumları ele alalım. Bu durumları teoremler şeklinde formüle edelim.

Teorem 6.1. Hem bağımlı hem de bağımsız iki rastgele değişkenin toplamının matematiksel beklentisi, bu değişkenlerin matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir:

M(X+Y)=M(X)+M(Y).

Teorem 6.2. İki rasgele değişkenin çarpımının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentileri artı korelasyon momentinin çarpımına eşittir:

M(XY)=M(X)M(Y)+\mu_(xy).

Sonuç 6.1. İlişkisiz iki rasgele değişkenin çarpımının matematiksel beklentisi, bunların matematiksel beklentilerinin çarpımına eşittir.

Sonuç 6.2. İki bağımsız rasgele değişkenin çarpımının matematiksel beklentisi, onların matematiksel beklentilerinin ürününe eşittir.

Rastgele değişkenlerin bir fonksiyonunun varyansı

Dağılımın tanımı gereği, G[Y]=M[(Y-M(Y))^2].. Buradan,

D[\varphi(x)]=M[(\varphi(x)-M(\varphi(x)))^2], Nerede .

Hesaplama formüllerini sadece sürekli rasgele argümanlar için veriyoruz. Bir rasgele bağımsız değişken olan Y=\varphi(X)'in bir fonksiyonu için, varyans aşağıdaki formülle ifade edilir:

D[\varphi(x)]=\int\limits_(-\infty)^(+\infty)(\varphi(x)-M(\varphi(x)))^2f(x)\,dx,

Nerede M(\varphi(x))=M[\varphi(X)]- \varphi(X) fonksiyonunun matematiksel beklentisi; f(x) - X miktarının dağılım yoğunluğu .

Formül (6.5) aşağıdakilerle değiştirilebilir:

D[\varphi(x)]=\int\limits_(-\infty)^(+\infty)\varphi^2(x)f(x)\,dx-M^2(X)

Dikkate almak dağılım teoremleri Olasılık teorisi ve uygulamalarında önemli bir rol oynayan .

Teorem 6.3. Rastgele değişkenlerin toplamının varyansı, bu değişkenlerin varyanslarının toplamı artı terimlerin her birinin sonraki tüm terimlerle korelasyon momentlerinin toplamının iki katına eşittir:

D\!\left[\sum\limits_(i=1)^(n)X_i\right]=\sum\limits_(i=1)^(n)D+2\sum\limits_(i

Sonuç 6.3. İlişkisiz rastgele değişkenlerin toplamının varyansı, terimlerin varyanslarının toplamına eşittir:

D\!\left[\topla\limits_(i=1)^(n)X_i\sağ]=\topla\limits_(i=1)^(n)D\mu_(y_1y_2)= M(Y_1Y_2)-M(Y_1)M(Y_2).

\mu_(y_1y_2)=M(\varphi_1(X)\varphi_2(X))-M(\varphi_1(X))M(\varphi_2(X))).

Ana düşünün korelasyon momenti ve korelasyon katsayısının özellikleri.

Özellik 1. Rastgele değişkenlere sabit değerlerin eklenmesinden, korelasyon momenti ve korelasyon katsayısı değişmez.

Özellik 2. Herhangi bir X ve Y rasgele değişkeni için, korelasyon momentinin mutlak değeri, bu niceliklerin dağılımlarının geometrik ortalamasını aşmaz:

|\mu_(xy)|\leqslant\sqrt(D[X]\cdot D[Y])=\sigma_x\cdot \sigma_y,

Rastgele değişken çeşitli koşullara bağlı olarak belirli değerleri alabilen bir değişkendir ve rastgele değişkene sürekli denir , bazı sınırlı veya sınırsız aralıklardan herhangi bir değer alabilirse. Sürekli bir rasgele değişken için olası tüm değerleri belirtmek imkansızdır, bu nedenle bu değerlerin belirli olasılıklarla ilişkilendirilen aralıkları belirtilir.

Sürekli rasgele değişkenlerin örnekleri şunlardır: belirli bir boyuta döndürülen bir parçanın çapı, bir kişinin boyu, bir merminin menzili, vb.

Sürekli rasgele değişkenler için fonksiyon F(X), Farklı ayrık rasgele değişkenler, hiçbir yerde atlama yapmazsa, sürekli bir rasgele değişkenin herhangi bir tek değerinin olasılığı sıfıra eşittir.

Bu, sürekli bir rasgele değişken için değerleri arasındaki olasılık dağılımı hakkında konuşmanın anlamsız olduğu anlamına gelir: her birinin sıfır olasılığı vardır. Bununla birlikte, bir anlamda, sürekli bir rasgele değişkenin değerleri arasında "az ya da çok olası" vardır. Örneğin, rastgele bir değişkenin değerinin - rastgele karşılaşılan bir kişinin boyu - 170 cm - pratikte biri ve diğeri ortaya çıkabilmesine rağmen, 220 cm'den daha olası olduğundan kimsenin şüphe duyması pek olası değildir.

Sürekli bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu ve olasılık yoğunluğu

Yalnızca sürekli rasgele değişkenler için anlam ifade eden bir dağılım yasası olarak, dağılım yoğunluğu veya olasılık yoğunluğu kavramı tanıtılır. Sürekli bir rasgele değişken ve ayrı bir rasgele değişken için dağılım fonksiyonunun anlamını karşılaştırarak buna yaklaşalım.

Dolayısıyla, rastgele bir değişkenin (hem ayrık hem de sürekli) dağılım işlevi veya integral fonksiyon rastgele bir değişkenin değerinin olma olasılığını belirleyen fonksiyona denir. X sınır değerden küçük veya ona eşit X.

Değerlerinin noktalarında ayrı bir rasgele değişken için X1 , X 2 , ..., X Ben ,... yoğunlaşmış olasılık kütleleri P1 , P 2 , ..., P Ben ,..., ve tüm kütlelerin toplamı 1'e eşittir. Bu yorumu sürekli rastgele değişken durumuna aktaralım. 1'e eşit bir kütlenin ayrı noktalarda yoğunlaşmadığını, x ekseni boyunca sürekli olarak "bulaştığını" hayal edin. Öküz bazı düzensiz yoğunluk ile. Herhangi bir sitede rasgele bir değişkene ulaşma olasılığı Δ X bu bölüme atfedilebilen kütle olarak ve bu bölümdeki ortalama yoğunluk - kütlenin uzunluğa oranı olarak yorumlanacaktır. Az önce olasılık teorisinde önemli bir kavramı tanıttık: dağılım yoğunluğu.

Olasılık Yoğunluğu F(X) sürekli bir rasgele değişkenin dağılım fonksiyonunun türevidir:

.

Yoğunluk fonksiyonunu bilerek, sürekli bir rastgele değişkenin değerinin kapalı aralığa ait olma olasılığını bulabiliriz [ A; B]:

sürekli bir rasgele değişkenin olma olasılığı X[ aralığından herhangi bir değer alacaktır. A; B], aralığındaki olasılık yoğunluğunun belirli bir integraline eşittir. Aönce B:

.

Bu durumda fonksiyonun genel formülü F(X) yoğunluk fonksiyonu biliniyorsa kullanılabilen sürekli bir rasgele değişkenin olasılık dağılımı F(X) :

.

Sürekli bir rasgele değişkenin olasılık yoğunluğunun grafiğine dağılım eğrisi denir (aşağıdaki şekil).

Şeklin alanı (şekilde gölgeli), bir eğri ile sınırlanmış, noktalardan çizilen düz çizgiler A Ve B apsis eksenine dik ve eksen Ah, sürekli bir rasgele değişkenin değerinin olma olasılığını grafiksel olarak gösterir. X aralığı içinde Aönce B.

Sürekli bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonunun özellikleri

1. Rastgele bir değişkenin aralıktan (ve fonksiyonun grafiğiyle sınırlı olan şeklin alanından) herhangi bir değer alma olasılığı F(X) ve eksen Ah) bire eşittir:

2. Olasılık yoğunluk fonksiyonu negatif değerler alamaz:

ve dağılımın varlığı dışında değeri sıfırdır

dağıtım yoğunluğu F(X) ve dağıtım işlevi F(X), dağıtım yasasının biçimlerinden biridir, ancak dağıtım işlevinin aksine evrensel değildir: dağıtım yoğunluğu yalnızca sürekli rasgele değişkenler için mevcuttur.

Sürekli bir rasgele değişkenin pratikte en önemli iki dağılım türünden bahsedelim.

Dağılım yoğunluğu fonksiyonu ise F(X) bazı sonlu aralıklarda sürekli bir rasgele değişken [ A; B] sabit bir değer alır C ve aralığın dışında sıfıra eşit bir değer alır, o zaman bu dağılıma üniform denir .

Dağılım yoğunluğu fonksiyonunun grafiği merkeze göre simetrik ise, ortalama değerler merkeze yakın yerlerde yoğunlaşır ve merkezden uzaklaştıkça ortalamalardan daha farklı toplanır (fonksiyonun grafiği bir kesite benzer) bir zil), sonra bu dağılıma normal denir .

örnek 1 Sürekli bir rasgele değişkenin olasılık dağılım fonksiyonu şu şekilde bilinir:

Bir özellik bul F(X) sürekli bir rasgele değişkenin olasılık yoğunluğu. Her iki fonksiyon için grafikler çizin. Sürekli bir rastgele değişkenin 4 ila 8 aralığında herhangi bir değer alma olasılığını bulun: .

Çözüm. Olasılık dağılım fonksiyonunun türevini bularak olasılık yoğunluk fonksiyonunu elde ederiz:

Fonksiyon Grafiği F(X) - parabol:

Fonksiyon Grafiği F(X) - düz:

Sürekli bir rastgele değişkenin 4 ile 8 arasında herhangi bir değer alma olasılığını bulalım:

Örnek 2 Sürekli bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu şu şekilde verilir:

faktörü hesapla C. Bir özellik bul F(X) sürekli bir rastgele değişkenin olasılık dağılımı. Her iki fonksiyon için grafikler çizin. Sürekli bir rastgele değişkenin 0 ile 5 arasında herhangi bir değer alma olasılığını bulun: .

Çözüm. katsayı C olasılık yoğunluk fonksiyonunun 1. özelliğini kullanarak şunu buluruz:

Dolayısıyla, sürekli bir rasgele değişkenin olasılık yoğunluk işlevi şu şekildedir:

Entegre ederek işlevi buluyoruz F(X) olasılık dağılımları. Eğer X < 0 , то F(X) = 0 0 ise< X < 10 , то

.

X> 10 , sonra F(X) = 1 .

Böylece, tam kayıt olasılık dağılım fonksiyonları:

Fonksiyon Grafiği F(X) :

Fonksiyon Grafiği F(X) :

Sürekli bir rastgele değişkenin 0 ile 5 arasında herhangi bir değer alma olasılığını bulalım:

Örnek 3 Sürekli bir rasgele değişkenin olasılık yoğunluğu X eşitlikle verilirken . katsayı bul A, sürekli bir rasgele değişkenin olma olasılığı X sürekli bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu olan ]0, 5[ aralığından bir değer alır X.

Çözüm. Koşullu olarak, eşitliğe varıyoruz

Bu nedenle, nereden . Bu yüzden,

.

Şimdi sürekli bir rasgele değişkenin olma olasılığını buluyoruz. X]0, 5[ aralığından herhangi bir değer alır:

Şimdi bu rasgele değişkenin dağılım fonksiyonunu elde ediyoruz:

Örnek 4 Sürekli bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluğunu bulun X yalnızca negatif olmayan değerleri alan ve dağıtım işlevi .