Doğrusal fonksiyon denir formül tarafından verilen fonksiyon y = kx + b
, nerede k ve B- herhangi bir gerçek sayı.
Doğrusal bir fonksiyonun grafiği düz bir çizgidir.
Eğer k= 0, sonra fonksiyon y = b sabit denir. Grafiği eksene paralel düz bir çizgidir. Öküz.
Eğer B= 0, sonra formül y = kx doğru orantılı bir ilişki kurar. Böyle bir fonksiyonun grafiği, orijinden geçen düz bir çizgidir.
Bunun tersi de doğrudur - eksene paralel olmayan herhangi bir düz çizgi Oy, bazı doğrusal fonksiyonların grafiğidir.
Sayı k
aranan düz çizginin eğimi
, düz çizgi ile eksenin pozitif yönü arasındaki açının tanjantına eşittir Öküz.
Şekil α açısını göstermektedir.
Bir grafik oluşturun lineer fonksiyon çok kolaydır.
Herhangi bir düz çizginin konumu, noktalarından ikisi belirtilerek benzersiz bir şekilde belirlenir. Bu nedenle, bağımsız değişkenin iki değeri için değerleri belirtilerek doğrusal bir işlev tamamen belirlenir. Örneğin,
| x | 0 | 1 |
| y | B | k + b |
Eğer öğrencimseniz veya bu grafiklerin interaktif versiyonları ile çalışabilirsiniz.
Doğrusal fonksiyon özellikleri NS k ≠ 0, B ≠ 0.
1) Fonksiyonun alanı, tüm gerçek sayıların kümesidir: r veya (−∞; ∞).
2) İşlev y = kx + b ne çift ne de tuhaf.
3) Ne zaman k> 0 fonksiyon monoton olarak artar ve k
Egzersiz:
Şekil 4 düz çizgiyi göstermektedir. Fonksiyon grafikleri olabilirler mi? Eğer öyleyse, hangileri olduğunu belirleyin.
Cevabı görüntüleyin.
Dar veya geniş açıda apsis eksenine eğimli düz çizgiler - doğrusal bir fonksiyonun grafikleri Genel görünüm: y = kx + b. Parametre Bçizginin y ekseni ile kesişme noktası ile belirlenmesi kolaydır ( Oy). Parametre k dar açılar için α açısını içeren veya geniş açılar için ona bitişik bir üçgenin hücrelerinin oluşturulmasıyla tanımlanır. Kesin cevaplar resimdedir.
Apsis eksenine paralel düz bir çizgi (burada - yatay bir çizgi), belirli bir doğrusal fonksiyon formunun grafiğidir. y = b, sabit veya sabit olarak adlandırılır. Bu fonksiyonun değeri değişmez, bu nedenle bir grafik noktasının koordinatları eksene göre her zaman aynı yüksekliktedir. Öküz.
Sonraki düz çizgi herhangi bir fonksiyonun grafiği DEĞİLDİR. Burada bir açıklık yoktur. Eğer x= 6, o zaman y=? Herhangi bir gerçek sayı! Yani, fonksiyonun tanımı onun için yerine getirilmemiştir, yani argümanın her bir değerinin x tek bir işlev değeri eşleşmelidir y... Ancak, örneğin dikey asimptotlar gibi bu tür çizgilerle de karşılaşırız. Bu nedenle, onların denklemini bilmeniz gerekir. x = bir, nerede a- belirli bir sayı.
Talimatlar
Grafik orijinden geçen ve OX ekseni ile α açısı oluşturan düz bir çizgi ise (düz çizginin pozitif OX yarı eksenine eğim açısı). Bu satırı tanımlayan fonksiyon y = kx şeklinde olacaktır. Orantılılık katsayısı k, tan α'ya eşittir. Düz çizgi 2. ve 4. koordinat çeyreklerinden geçiyorsa, k< 0, и является убывающей, если через 1-ю и 3-ю, то k >0 ve fonksiyon artıyor Koordinat eksenlerine göre farklı şekillerde yerleştirilmiş düz bir çizgi olsun. Bu doğrusal bir fonksiyondur ve y = kx + b biçimindedir, burada x ve y değişkenleri birinci derecededir ve k ve b hem pozitif hem de negatif değerler veya sıfıra eşittir. Düz çizgi y = kx düz çizgisine paraleldir ve |b | birimler. Düz çizgi apsis eksenine paralel ise k = 0, ordinat eksenleri ise denklem x = sabit biçimindedir.
Farklı mahallelerde bulunan ve orijine göre simetrik iki koldan oluşan bir eğri, bir hiperbol. Bu grafik, y ile x değişkeninin ters ilişkisidir ve y = k / x denklemi ile tanımlanır. Burada k ≠ 0 orantı katsayısıdır. Ayrıca k> 0 ise fonksiyon azalır; eğer k< 0 - функция возрастает. Таким образом, областью определения функции является вся числовая прямая, кроме x = 0. Ветви приближаются к осям координат как к своим асимптотам. С уменьшением |k| ветки гиперболы все больше «вдавливаются» в координатные углы.
İkinci dereceden fonksiyon a, b ve c sabit ve a 0 olmak üzere y = ax2 + bx + c formuna sahiptir. b = c = 0 koşulu olduğunda, fonksiyonun denklemi y = ax2 (en basit durum) gibi görünür ve grafiği orijinden geçen bir paraboldür. y = ax2 + bx + с fonksiyonunun grafiği, fonksiyonun en basit hali ile aynı şekle sahiptir, ancak tepe noktası (OY ekseni ile kesişme noktası) orijinde değildir.
Grafik aynı zamanda bir paraboldür. güç fonksiyonu n varsa, y = xⁿ denklemi ile ifade edilir çift sayı... n herhangi bir tek sayı ise, böyle bir güç fonksiyonunun grafiği kübik bir parabol gibi görünecektir.
n varsa, fonksiyonun denklemi şu şekli alır. Tek n için fonksiyonun grafiği bir hiperbol olacak ve hatta n için dalları OY ekseni etrafında simetrik olacaktır.
Okul yıllarında bile fonksiyonlar ayrıntılı olarak incelenir ve programları oluşturulur. Ancak ne yazık ki, bir fonksiyonun grafiğinin nasıl okunacağını ve sunulan çizimden türünü bulmayı pratik olarak öğretmiyorlar. Temel işlev türlerini hatırlarsanız, aslında oldukça basittir.
Talimatlar
Sunulan grafik orijinden geçen ve OX ekseni ile α açısı (bu, düz çizginin pozitif yarım eksene olan eğim açısıdır) ise, böyle bir düz çizgiyi tanımlayan fonksiyon y = kx olarak temsil edilecektir. Bu durumda, orantı katsayısı k, α açısının tanjantına eşittir.
Verilen doğru ikinci ve dördüncü koordinat çeyreklerinden geçerse, k 0'a eşittir ve fonksiyon artar. Sunulan grafiğin, koordinat eksenlerine göre herhangi bir şekilde yerleştirilmiş düz bir çizgi olmasına izin verin. Daha sonra böyle bir işlevi grafik y = kx + b formuyla temsil edilen lineer olacaktır, burada y ve x değişkenleri birincidir ve b ve k hem negatif hem de pozitif değerler veya .
Düz çizgi, y = kx grafiğine sahip düz çizgiye paralelse ve ordinat ekseninde b birimleri kesiyorsa, denklem x = const biçimindedir, eğer grafik apsis eksenine paralelse, o zaman k = 0 .
Orijine göre simetrik olan ve farklı mahallelerde bulunan iki koldan oluşan eğri bir çizgi hiperboldür. Böyle bir grafik, y değişkeninin x değişkenine ters bağımlılığını gösterir ve y = k / x biçimindeki bir denklemle tanımlanır, burada k, bir ters orantılılık katsayısı olduğu için sıfıra eşit olmamalıdır. Ayrıca, k'nin değeri sıfırdan büyükse fonksiyon azalır; k sıfırdan küçükse artar.
Önerilen grafik orijinden geçen bir parabol ise, b = c = 0 koşulundaki fonksiyonu y = ax2 şeklinde olacaktır. Bu, ikinci dereceden bir fonksiyonun en basit halidir. y = ax2 + bx + с biçimindeki bir fonksiyonun grafiği, en basit durumdakiyle aynı görünüme sahip olacaktır, ancak tepe noktası (grafiğin ordinat ekseniyle kesiştiği nokta) orijinde olmayacaktır. y = ax2 + bx + с şeklinde temsil edilen ikinci dereceden bir fonksiyonda, a, b ve c değerleri sabittir, a ise sıfıra eşit değildir.
Bir parabol, sadece n herhangi bir çift sayıysa, y = xⁿ biçimindeki bir denklemle ifade edilen bir güç fonksiyonunun grafiği de olabilir. n'nin değeri tek bir sayıysa, güç fonksiyonunun böyle bir grafiği kübik bir parabol ile temsil edilecektir. n değişkeni herhangi bir negatif sayı ise, fonksiyon denklemi şu şekli alır.
İlgili videolar
Düzlemdeki kesinlikle herhangi bir noktanın koordinatı, iki değeri tarafından belirlenir: apsis ve ordinat. Bu tür birçok noktanın toplanması, fonksiyonun grafiğidir. Buradan X değerindeki değişime göre Y değerinin nasıl değiştiğini görebilir, fonksiyonun hangi bölümde (aralık) arttığını ve hangisinde azaldığını da belirleyebilirsiniz.
Talimatlar
Grafiği düz bir çizgi ise bir fonksiyona ne dersiniz? Bu çizginin koordinatların orijinden geçip geçmediğine bakın (yani, X ve Y değerlerinin 0'a eşit olduğu). Geçerse, böyle bir fonksiyon y = kx denklemi ile tanımlanır. K'nin değeri ne kadar büyük olursa, bu çizginin ordinata o kadar yakın olacağını anlamak kolaydır. Ve Y ekseninin kendisi aslında sonsuzluğa karşılık gelir. büyük önem k.
1) İşlev alanı ve işlev alanı.
İşlev kapsamı, tüm geçerli geçerli bağımsız değişken değerlerinin kümesidir. x(değişken x) hangi işlev için y = f(x) tanımlı. Bir fonksiyonun değer aralığı, tüm gerçek değerlerin kümesidir. y fonksiyonun kabul ettiğini belirtir.
İlköğretim matematikte, fonksiyonlar sadece gerçek sayılar kümesi üzerinde incelenir.
2) Fonksiyon sıfırları.
Sıfır işlevi, işlev değerinin sıfıra eşit olduğu bir bağımsız değişken değeridir.
3) İşlev sabitliği aralıkları.
Bir işlevin sabit işaretinin aralıkları, işlevin değerlerinin yalnızca pozitif veya yalnızca negatif olduğu bu tür argüman değerleri kümeleridir.
4) Fonksiyonun monotonluğu.
Artan bir fonksiyon (belirli bir aralıkta), bunun için bir fonksiyondur. daha fazla anlam bu aralıktaki argüman, fonksiyonun daha büyük değerine karşılık gelir.
Azalan işlev (belirli bir aralıkta) - bu aralıktaki argümanın daha büyük değerinin, işlevin daha küçük değerine karşılık geldiği bir işlev.
5) Parite (tek) işlevi.
Çift fonksiyon, tanım alanı orijine göre simetrik olan bir fonksiyondur. NS etki alanından, eşitlik f(-x) = f(x)... Takvim eşit işlev ordinat eksenine göre simetriktir.
Tek fonksiyon, tanım alanı orijine göre simetrik olan bir fonksiyondur. NS tanım alanından, eşitlik f (-x) = - f (x). Tek bir fonksiyonun grafiği orijine göre simetriktir.
6) Sınırlı ve sınırsız işlevler.
Böyle bir pozitif M sayısı varsa, bir fonksiyon sınırlı olarak adlandırılır, öyle ki |f (x) | x'in tüm değerleri için ≤ M. Böyle bir sayı yoksa, işlev sınırsızdır.
7) Fonksiyonun periyodikliği.
f (x) fonksiyonu, fonksiyonun tanım kümesinden herhangi bir x için aşağıdakilerin geçerli olduğu sıfırdan farklı bir T sayısı varsa periyodiktir: f (x + T) = f (x). Bu en küçük sayıya fonksiyonun periyodu denir. Her şey trigonometrik fonksiyonlar periyodiktir. (Trigonometrik formüller).
19. Temel temel fonksiyonlar, özellikleri ve grafikleri. Fonksiyonların ekonomide uygulanması.
Temel temel fonksiyonlar. Özellikleri ve grafikleri
1. Doğrusal fonksiyon.
Doğrusal fonksiyon formun bir fonksiyonu olarak adlandırılır, burada x bir değişkendir, a ve b gerçek sayılardır.
Sayı a düz bir çizginin eğimi denir, bu düz çizginin eğim açısının apsis ekseninin pozitif yönüne tanjantına eşittir. Doğrusal bir fonksiyonun grafiği düz bir çizgidir. İki nokta ile tanımlanır.
Doğrusal fonksiyon özellikleri
1. Tanım alanı - tüm gerçek sayılar kümesi: D (y) = R
2. Değerler kümesi, tüm gerçek sayıların kümesidir: E (y) = R
3. İşlev veya için sıfır değeri alır.
4. İşlev, tüm tanım alanı boyunca artar (azalır).
5. Doğrusal fonksiyon tüm tanım alanında sürekli, türevlenebilir ve.
2. İkinci dereceden fonksiyon.
x'in bir değişken olduğu, a, b, c katsayılarının gerçek sayılar olduğu formun bir fonksiyonuna denir. ikinci dereceden.
Doğrusal bir fonksiyonun tanımı
Doğrusal bir fonksiyonun tanımını verelim
Tanım
$ k $'ın sıfırdan farklı olduğu $ y = kx + b $ biçimindeki bir fonksiyona doğrusal fonksiyon denir.
Doğrusal fonksiyon grafiği - düz çizgi. $ k $ sayısına doğrunun eğimi denir.
$ b = 0 $ için doğrusal fonksiyona doğrudan orantılılık fonksiyonu $ y = kx $ denir.
Şekil 1'i düşünün.
Pirinç. 1. Düz bir çizginin eğiminin geometrik anlamı
Bir ABC üçgeni düşünün. $ ВС = kx_0 + b $ olduğunu görüyoruz. $ y = kx + b $ düz çizgisinin $ Ox $ ekseniyle kesişme noktasını bulun:
\ \
Dolayısıyla $AC = x_0 + \ frac (b) (k) $. Bu partilerin oranını bulalım:
\ [\ frak (BC) (AC) = \ frak (kx_0 + b) (x_0 + \ frak (b) (k)) = \ frak (k (kx_0 + b)) ((kx) _0 + b) = k \]
Öte yandan, $\frac (BC) (AC) = tg\açı A $.
Böylece, aşağıdaki sonuç çıkarılabilir:
Çıktı
geometrik anlam katsayısı $ k $. Eğim$ k $ düz çizgisi, bu düz çizginin $ Ox $ eksenine olan eğim açısının tanjantına eşittir.
$ f \ left (x \ right) = kx + b $ doğrusal fonksiyonunun ve grafiğinin incelenmesi
İlk olarak, $ f \ left (x \ right) = kx + b $ işlevini düşünün, burada $ k> 0 $.
- $ f "\ sol (x \ sağ) = (\ sol (kx + b \ sağ))" = k> 0 $. Buradan, bu işlev tüm tanım alanı boyunca artar. Ekstremum noktaları yoktur.
- $ (\ mathop (lim) _ (x \ to - \ infty) kx \) = - \ infty $, $ (\ mathop (lim) _ (x \ to + \ infty) kx \) = + \ infty $
- Grafik (Şekil 2).
Pirinç. 2. $ k> 0 $ için $ y = kx + b $ fonksiyonunun grafikleri.
Şimdi $ f \ left (x \ right) = kx $ fonksiyonunu düşünün, burada $ k
- Kapsam tüm sayılardır.
- Aralık tüm sayılardır.
- $ f \ sol (-x \ sağ) = - kx + b $. Fonksiyon ne çift ne de tektir.
- $ x = 0 için f \ sol (0 \ sağ) = b $. $ y = 0,0 = kx + b için, \ x = - \ frac (b) (k) $.
Koordinat eksenli kesişim noktaları: $ \ sol (- \ frac (b) (k), 0 \ sağ) $ ve $ \ sol (0, \ b \ sağ) $
- $ f "\ sol (x \ sağ) = (\ sol (kx \ sağ))" = k
- $ f ^ ("") \ sol (x \ sağ) = k "= 0 $. Bu nedenle, fonksiyonun bükülme noktası yoktur.
- $ (\ mathop (lim) _ (x \ to - \ infty) kx \) = + \ infty $, $ (\ mathop (lim) _ (x \ to + \ infty) kx \) = - \ infty $
- Grafik (Şekil 3).
