İkinci dereceden bir denklemin rasyonel kökleri. İkinci dereceden denklemler. Kapsamlı rehber (2019)

Konuyu incelemeye devam ediyoruz " denklem çözme". Doğrusal denklemlerle zaten tanıştık ve tanımaya devam ediyoruz. ikinci dereceden denklemler.

İlk olarak, ikinci dereceden bir denklemin ne olduğunu, genel formda nasıl yazıldığını inceleyeceğiz ve ilgili tanımları vereceğiz. Bundan sonra, örnekleri kullanarak, eksik ikinci dereceden denklemlerin nasıl çözüldüğünü ayrıntılı olarak analiz edeceğiz. Daha sonra tüm denklemleri çözmeye, kökler için formülü elde etmeye, ikinci dereceden denklemin ayırt edicisini tanımaya ve tipik örneklerin çözümlerini ele almaya devam ediyoruz. Son olarak, kökler ve katsayılar arasındaki ilişkiyi izleyelim.

Sayfada gezinme.

İkinci Dereceden Denklem nedir? Türleri

İlk önce ikinci dereceden bir denklemin ne olduğunu açıkça anlamanız gerekir. Bu nedenle, ikinci dereceden denklemler hakkında ikinci dereceden bir denklemin tanımıyla ve onunla ilişkili tanımlarla konuşmaya başlamak mantıklıdır. Bundan sonra, ana ikinci dereceden denklem türlerini göz önünde bulundurabilirsiniz: indirgenmiş ve indirgenmemiş, ayrıca tam ve eksik denklemler.

İkinci dereceden denklemlerin tanımı ve örnekleri

Tanım.

İkinci dereceden denklem Formun bir denklemidir bir x 2 + b x + c \u003d 0 , burada x bir değişkendir, a, b ve c bazı sayılardır ve a sıfırdan farklıdır.

Hemen ikinci dereceden denklemlere ikinci derece denklemler dendiğini varsayalım. Bunun nedeni ikinci dereceden denklemin cebirsel denklem ikinci derece.

Sesli tanım, ikinci dereceden denklemlere örnekler vermemize izin verir. Yani 2 x 2 + 6 x + 1 \u003d 0, 0,2 x 2 + 2,5 x + 0,03 \u003d 0, vb. İkinci dereceden denklemlerdir.

Tanım.

Sayılar a, b ve c denir ikinci dereceden denklemin katsayıları a x 2 + b x + c \u003d 0 ve a katsayısı birinci veya en yüksek katsayı olarak adlandırılır veya x 2'deki katsayı, b ikinci katsayı veya x'teki katsayıdır ve c serbest terimdir.

Örneğin, 5 x 2 −2 x - 3 \u003d 0 biçiminde ikinci dereceden bir denklem alalım, burada ana katsayı 5, ikinci katsayı −2 ve kesme noktası −3. Az önce verilen örnekte olduğu gibi b ve / veya c katsayıları negatif olduğunda, ikinci dereceden denklemin kısa biçiminin 5 x 2 + (- 2 değil 5 x 2 −2 x - 3 \u003d 0 olduğuna dikkat edin. ) X + (- 3) \u003d 0.

A ve / veya b katsayıları 1 veya −1'e eşit olduğunda, bu tür yazımın özelliklerinden kaynaklanan ikinci dereceden denklemde genellikle açıkça mevcut olmadıklarına dikkat edilmelidir. Örneğin, ikinci dereceden bir denklemde y 2 −y + 3 \u003d 0, baştaki katsayı birdir ve y'deki katsayı −1'dir.

İndirgenmiş ve indirgenmemiş ikinci dereceden denklemler

İndirgenmiş ve indirgenmemiş ikinci dereceden denklemler, öncü katsayının değerine bağlı olarak ayırt edilir. Karşılık gelen tanımları verelim.

Tanım.

Önde gelen katsayının 1 olduğu ikinci dereceden bir denklem denir indirgenmiş ikinci dereceden denklem... Aksi takdirde ikinci dereceden denklem indirgenmemiş.

Bu tanıma göre, ikinci dereceden denklemler x 2 −3 x + 1 \u003d 0, x 2 −x - 2/3 \u003d 0, vb. - verilen, her birinde ilk katsayı bire eşittir. Ve 5 x 2 −x - 1 \u003d 0, vb. - indirgenmemiş ikinci dereceden denklemler, önde gelen katsayıları 1'den farklıdır.

Herhangi bir indirgenmemiş ikinci dereceden denklemden, her iki parçasını baş katsayısına bölerek, indirgenmiş olana gidebilirsiniz. Bu eylem eşdeğer bir dönüşümdür, yani bu şekilde elde edilen indirgenmiş ikinci dereceden denklem, orijinal indirgenmemiş ikinci dereceden denklemle aynı köklere sahiptir veya bunun gibi kökleri yoktur.

İndirgenmemiş ikinci dereceden bir denklemden indirgenmiş olana geçişin nasıl gerçekleştirildiğini örneklerle analiz edelim.

Misal.

3 x 2 + 12 x - 7 \u003d 0 denkleminden ilgili indirgenmiş ikinci dereceden denkleme gidin.

Karar.

Orijinal denklemin her iki tarafını da ana faktör 3'e bölmemiz gerekiyor, sıfırdan farklıdır, böylece bu eylemi gerçekleştirebiliriz. Elimizde (3 x 2 + 12 x - 7): 3 \u003d 0: 3, bu aynı, (3 x 2): 3+ (12 x): 3−7: 3 \u003d 0 ve daha fazlası (3: 3) x 2 + (12: 3) x - 7: 3 \u003d 0, buradan. Böylece, orjinaline eşdeğer olan indirgenmiş ikinci dereceden denklemi elde ettik.

Cevap:

Tam ve eksik ikinci dereceden denklemler

İkinci dereceden bir denklemin tanımı a 0 koşulunu içerir. Bu koşul, a x 2 + b x + c \u003d 0 denkleminin tam olarak ikinci dereceden olması için gereklidir, çünkü a \u003d 0'da aslında b x + c \u003d 0 biçiminde doğrusal bir denklem haline gelir.

B ve c katsayılarına gelince, hem ayrı ayrı hem de birlikte sıfır olabilirler. Bu durumlarda, ikinci dereceden denklem eksik olarak adlandırılır.

Tanım.

İkinci dereceden denklem a x 2 + b x + c \u003d 0 denir eksikb katsayılarından en az biri, c sıfıra eşittir.

Sırasıyla

Tanım.

Tam ikinci dereceden denklem Tüm katsayıların sıfır olmadığı bir denklemdir.

Bu isimler tesadüfen verilmemiştir. Bu, aşağıdaki hususlardan anlaşılacaktır.

B katsayısı sıfıra eşitse, ikinci dereceden denklem a x 2 + 0 x + c \u003d 0 biçimini alır ve a x 2 + c \u003d 0 denklemine eşdeğerdir. Eğer c \u003d 0 ise, yani ikinci dereceden denklem a x 2 + b x + 0 \u003d 0 biçimindeyse, o zaman x 2 + b x \u003d 0 olarak yeniden yazılabilir. Ve b \u003d 0 ve c \u003d 0 ile, ikinci dereceden denklemi a x 2 \u003d 0 elde ederiz. Ortaya çıkan denklemler, ikinci dereceden tam denklemden farklıdır çünkü sol tarafları, x değişkenli bir terim veya serbest bir terim veya her ikisini birden içermemektedir. Dolayısıyla isimleri - eksik ikinci dereceden denklemler.

Dolayısıyla, x 2 + x + 1 \u003d 0 ve −2 x 2 −5 x + 0,2 \u003d 0 denklemleri, tam ikinci dereceden denklemlere örneklerdir ve x 2 \u003d 0, −2 x 2 \u003d 0,5 x 2 + 3 \u003d 0, −x 2 −5 · x \u003d 0 tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerdir.

Eksik ikinci dereceden denklemleri çözme

Önceki paragraftaki bilgilerden şu sonuca varılır: üç çeşit tamamlanmamış ikinci dereceden denklem:

a x 2 \u003d 0, b \u003d 0 ve c \u003d 0 katsayıları buna karşılık gelir;
b \u003d 0 olduğunda a x 2 + c \u003d 0;
ve c \u003d 0 olduğunda a x 2 + b x \u003d 0.

Bu türlerin her birinin eksik ikinci dereceden denklemlerinin nasıl çözüldüğünü analiz edelim.

bir x 2 \u003d 0

B ve c katsayılarının sıfıra eşit olduğu, yani a · x 2 \u003d 0 formundaki denklemlerle tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çözerek başlayalım. A · x 2 \u003d 0 denklemi x 2 \u003d 0 denklemine denktir; bu, orijinalin her iki parçasını da sıfır olmayan bir a sayısına bölerek elde edilir. Açıkçası, x 2 \u003d 0 denkleminin kökü sıfırdır, çünkü 0 2 \u003d 0. Bu denklemin başka hiçbir kökü yoktur, bu gerçekte sıfır olmayan herhangi bir p sayısı için, p 2\u003e 0 eşitsizliği geçerlidir, bu nedenle p p 0 için eşitlik p 2 \u003d 0 asla elde edilmez.

Yani, tamamlanmamış ikinci dereceden denklemin a · x 2 \u003d 0 tek bir x \u003d 0 kökü vardır.

Örnek olarak, tamamlanmamış ikinci dereceden 4 · x 2 \u003d 0 denkleminin çözümünü verelim. X 2 \u003d 0 denklemine eşdeğerdir, tek kökü x \u003d 0'dır, bu nedenle, orijinal denklemin benzersiz bir kök sıfırı vardır.

Bu durumda kısa bir çözüm şu şekilde formüle edilebilir:
−4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x \u003d 0.

bir x 2 + c \u003d 0

Şimdi tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin nasıl çözüldüğünü düşünelim, burada b katsayısı sıfır ve c ≠ 0, yani a · x 2 + c \u003d 0 formundaki denklemler. Denklemin bir tarafından diğerine zıt işaretli bir terimi transfer etmenin ve denklemin her iki tarafını sıfır olmayan bir sayıya böldüğünün eşdeğer bir denklem verdiğini biliyoruz. Bu nedenle, tamamlanmamış ikinci dereceden denklem a x 2 + c \u003d 0'ın aşağıdaki eşdeğer dönüşümlerini gerçekleştirebiliriz:

c'yi sağa hareket ettirin, bu da denklemi a x 2 \u003d −c verir,
ve her iki parçayı da a ile böldüğümüzde elde ederiz.

Ortaya çıkan denklem, kökleri hakkında sonuçlar çıkarmamıza izin verir. A ve c'nin değerlerine bağlı olarak, ifadenin değeri negatif (örneğin, a \u003d 1 ve c \u003d 2 ise) veya pozitif olabilir (örneğin, a \u003d −2 ve c \u003d 6 ise), sıfıra eşit değildir , c 0 koşuluna göre. Davaları ayrı ayrı inceleyelim ve.

Eğer, o zaman denklemin kökü yoktur. Bu ifade, herhangi bir sayının karesinin negatif olmayan bir sayı olduğu gerçeğinden kaynaklanır. Bundan şu çıkar ki, o zaman herhangi bir p sayısı için eşitlik doğru olamaz.

Eğer, o zaman denklemin kökleriyle ilgili durum farklıdır. Bu durumda, hatırlarsanız, denklemin kökü hemen belli olur, çünkü bu bir sayıdır. Aslında, sayının aynı zamanda denklemin kökü olduğunu tahmin etmek kolaydır. Bu denklemin, örneğin çelişki ile gösterilebilecek başka kökleri yoktur. Haydi Yapalım şunu.

Denklemin köklerini x 1 ve −x 1 olarak gösterelim. Denklemin, belirtilen x 1 ve −x 1 köklerinden farklı bir tane daha kök x 2'ye sahip olduğunu varsayalım. Köklerinin x yerine bir denklem haline getirilmesinin denklemi gerçek bir sayısal eşitliğe dönüştürdüğü bilinmektedir. X 1 ve −x 1 için, x 2 için biz var. Sayısal eşitliklerin özellikleri, gerçek sayısal eşitliklerin terime göre çıkarılmasını gerçekleştirmemize izin verir, bu nedenle eşitliklerin karşılık gelen kısımlarını çıkarmak x 1 2 −x 2 2 \u003d 0 verir. Sayılarla eylemlerin özellikleri, elde edilen eşitliği (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) \u003d 0 olarak yeniden yazmanıza izin verir. İki sayının çarpımının sıfıra eşit olduğunu, ancak ve ancak bunlardan en az birinin sıfıra eşit olduğunu biliyoruz. Bu nedenle, elde edilen eşitlikten x 1 - x 2 \u003d 0 ve / veya x 1 + x 2 \u003d 0, ki bu aynıdır, x 2 \u003d x 1 ve / veya x 2 \u003d −x 1 çıkar. Bu şekilde bir çelişkiye vardık, çünkü başlangıçta x 2 denkleminin kökünün x 1 ve −x 1'den farklı olduğunu söyledik. Bu, denklemin ve dışında hiçbir kökü olmadığını kanıtlar.

Bu öğenin bilgilerini özetleyelim. Eksik ikinci dereceden denklem a x 2 + c \u003d 0 aşağıdaki denkleme eşdeğerdir:

kökü yoksa,
iki kökü vardır ve eğer.

A · x 2 + c \u003d 0 biçimindeki tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çözme örneklerini düşünün.

İkinci dereceden denklem 9 x 2 + 7 \u003d 0 ile başlayalım. Serbest terimi denklemin sağ tarafına aktardıktan sonra 9 · x 2 \u003d −7 biçimini alacaktır. Elde edilen denklemin iki tarafını da 9'a bölerek ulaşıyoruz. Sağ tarafta negatif bir sayı olduğu için, bu denklemin kökü yoktur, bu nedenle, orijinal tamamlanmamış ikinci dereceden denklem 9 · x 2 + 7 \u003d 0'ın kökü yoktur.

Başka bir tamamlanmamış ikinci dereceden denklemi çözün −x 2 + 9 \u003d 0. Dokuzunu sağa hareket ettirin: −x 2 \u003d −9. Şimdi her iki tarafı da −1'e bölersek, x 2 \u003d 9 elde ederiz. Sağ tarafta pozitif bir sayı var, bunu sonuçlandırıyoruz veya. Sonra son cevabı yazıyoruz: tamamlanmamış ikinci dereceden denklem −x 2 + 9 \u003d 0'ın iki kökü var x \u003d 3 veya x \u003d −3.

bir x 2 + b x \u003d 0

C \u003d 0 için son tip tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin çözümü ile ilgilenmeye devam etmektedir. A x 2 + b x \u003d 0 biçimindeki eksik ikinci dereceden denklemler çözmenize izin verir çarpanlara ayırma yöntemi... Açıkçası, denklemin sol tarafında yer alan, x ortak faktörünü çarpanlarına ayırmak yeterli. Bu, orijinal tamamlanmamış ikinci dereceden denklemden x (ax + b) \u003d 0 formundaki eşdeğer bir denkleme geçmeyi mümkün kılar. Ve bu denklem, sonuncusu doğrusal ve kökü x \u003d −b / a olan, x \u003d 0 ve a x + b \u003d 0 iki denklemin birleşimine eşdeğerdir.

Dolayısıyla, tamamlanmamış ikinci dereceden denklem a x 2 + b x \u003d 0, x \u003d 0 ve x \u003d −b / a olmak üzere iki köke sahiptir.

Malzemeyi pekiştirmek için belirli bir örneğin çözümünü analiz edeceğiz.

Misal.

Denklemi çözün.

Karar.

X'in parantez dışına taşınması denklemi verir. İki denkleme eşittir x \u003d 0 ve. Ortaya çıkan doğrusal denklemi çözüyoruz: ve karışık sayıyı sıradan bir kesire böldükten sonra buluyoruz. Bu nedenle, orijinal denklemin kökleri x \u003d 0 ve.

Gerekli uygulama yapıldıktan sonra bu tür denklemlerin çözümleri kısaca yazılabilir:

Cevap:

x \u003d 0 ,.

Ayrımcı, ikinci dereceden bir denklemin kökleri için formül

İkinci dereceden denklemleri çözmek için bir kök formül var. Hadi yaz ikinci dereceden formül:, nerede D \u003d b 2 −4 bir c - Lafta ikinci dereceden ayırt edici... Gösterim aslında bunun anlamı.

İkinci dereceden denklemlerin köklerini bulmak için kök formülün nasıl elde edildiğini ve nasıl uygulandığını bilmek faydalıdır. Hadi çözelim.

İkinci dereceden bir denklemin kökleri için formülün türetilmesi

A x 2 + b x + c \u003d 0 ikinci dereceden denklemi çözmemiz gerektiğini varsayalım. Bazı eşdeğer dönüşümleri gerçekleştirelim:

Bu denklemin her iki tarafını da sıfır olmayan bir a sayısı ile bölebiliriz, bunun sonucunda indirgenmiş ikinci dereceden denklem elde ederiz.
Şimdi tam bir kare seçin sol tarafında :. Bundan sonra denklem şeklini alacaktır.
Bu aşamada karşımızdaki işaret ile son iki terimin sağ tarafa aktarımını gerçekleştirmek mümkündür.
Ayrıca sağ taraftaki ifadeyi de dönüştürüyoruz:

Sonuç olarak, orijinal ikinci dereceden denklem a x 2 + b x + c \u003d 0'a eşdeğer bir denkleme ulaşırız.

Önceki paragraflarda benzer biçime sahip denklemleri, onları analiz ettiğimizde zaten çözmüştük. Bu, denklemin kökleriyle ilgili aşağıdaki sonuçları çıkarmamıza izin verir:

eğer denklemin gerçek bir çözümü yoksa;
eğer denklem biçime sahipse, bu nedenle tek kökü buradan görülebilir;
eğer, o zaman veya, hangisi aynı ise veya yani, denklemin iki kökü vardır.

Bu nedenle, denklemin köklerinin varlığı veya yokluğu ve dolayısıyla orijinal ikinci dereceden denklem, sağ taraftaki ifadenin işaretine bağlıdır. Sırayla, bu ifadenin işareti pay işareti tarafından belirlenir, çünkü payda 4 · a 2 her zaman pozitiftir, yani b 2 −4 · a · c ifadesinin işareti. Bu ifade b 2 −4 a c olarak adlandırıldı ikinci dereceden denklemin ayırt edici ve harfle işaretlenmiş D... Buradan, ayırt edicinin özü açıktır - değeri ve işaretiyle, ikinci dereceden denklemin gerçek köklere sahip olup olmadığı ve eğer öyleyse, sayıları nedir - bir veya iki.

Denkleme dönersek, onu ayırt edici gösterimi kullanarak yeniden yazıyoruz: Ve sonuçlar çıkarıyoruz:

eğer D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
d \u003d 0 ise, bu denklemin tek bir kökü vardır;
son olarak, eğer D\u003e 0 ise, denklemin iki kökü vardır ya da bu sayede ya da olarak yeniden yazılabilir ve kesirleri genişleyip ortak bir paydaya indirdikten sonra elde ederiz.

Bu yüzden ikinci dereceden bir denklemin kökleri için formül türettik, bunlar, ayırt edici D'nin D \u003d b 2 −4 · a · c formülüyle hesaplandığı biçime sahipler.

Onların yardımıyla, pozitif bir ayrımcı ile, ikinci dereceden denklemin her iki gerçek kökünü de hesaplayabilirsiniz. Ayırıcı sıfıra eşit olduğunda, her iki formül de ikinci dereceden denkleme benzersiz bir çözüme karşılık gelen aynı kök değerini verir. Ve negatif bir ayrımcı ile, ikinci dereceden bir denklemin kökleri için formülü kullanmaya çalışırken, negatif bir sayının karekökünü çıkarmakla karşı karşıya kalırız, bu da bizi okul müfredatının kapsamının ötesine götürür. Negatif bir ayırt edici ile, ikinci dereceden denklemin gerçek kökleri yoktur, ancak bir çifti vardır karmaşık eşlenik elde ettiğimiz aynı kök formülleri kullanılarak bulunabilen kökler.

Kök formüllerini kullanarak ikinci dereceden denklemleri çözmek için algoritma

Pratikte, ikinci dereceden denklemleri çözerken, değerlerini hesaplayabileceğiniz kökler için formülü hemen kullanabilirsiniz. Ancak bu daha çok karmaşık kökler bulmakla ilgili.

Bununla birlikte, cebir dersinde, bu genellikle karmaşık değil, ikinci dereceden bir denklemin gerçek kökleriyle ilgilidir. Bu durumda, ikinci dereceden denklemin kökleri için formülleri kullanmadan önce ayırıcıyı bulmanız, negatif olmadığından emin olmanız (aksi takdirde, denklemin gerçek kökleri olmadığı sonucuna varabiliriz) ve ancak bundan sonra köklerin değerlerini hesaplamanız önerilir.

Yukarıdaki mantık yazmamızı sağlar ikinci dereceden denklem çözücü... İkinci dereceden denklemi a x 2 + b x + c \u003d 0 çözmek için ihtiyacınız olan:

ayırt edici formül D \u003d b 2 −4 · a · c değerini hesaplar;
ayrımcı negatifse ikinci dereceden denklemin gerçek kökleri olmadığı sonucuna varmak;
d \u003d 0 ise denklemin tek kökünü formülle hesaplayın;
ayırıcı pozitifse, kök formülü kullanarak ikinci dereceden bir denklemin iki gerçek kökünü bulun.

Burada, ayırıcı sıfıra eşit olduğunda formülün de kullanılabileceğini, bununla aynı değeri vereceğini not ediyoruz.

İkinci dereceden denklemleri çözmek için algoritma kullanma örneklerine geçebilirsiniz.

İkinci dereceden denklem çözme örnekleri

Pozitif, negatif ve sıfır ayırıcılı üç ikinci dereceden denklemin çözümlerini düşünün. Çözümleriyle uğraştıktan sonra, başka herhangi bir ikinci dereceden denklemi çözmek mümkün olacaktır. Hadi başlayalım.

Misal.

X 2 + 2 x - 6 \u003d 0 denkleminin köklerini bulun.

Karar.

Bu durumda, ikinci dereceden denklemin aşağıdaki katsayılarına sahibiz: a \u003d 1, b \u003d 2 ve c \u003d −6. Algoritmaya göre, önce ayırıcıyı hesaplamanız gerekir, bunun için belirtilen a, b ve c'yi diskriminant formülüne koyarız. D \u003d b 2 −4 a c \u003d 2 2 −4 1 (−6) \u003d 4 + 24 \u003d 28... 28\u003e 0 olduğundan, yani ayırıcı sıfırdan büyük olduğundan, ikinci dereceden denklemin iki gerçek kökü vardır. Onları kök formülü kullanarak buluyoruz, burada yaparak elde edilen ifadeleri basitleştirebilirsiniz kökün işaretini çarpanlarına ayırmak daha sonra kesrin azaltılmasıyla:

Cevap:

Bir sonraki tipik örneğe geçelim.

Misal.

İkinci dereceden denklemi −4x2 + 28x - 49 \u003d 0 çözün.

Karar.

Ayrımcıyı bularak başlıyoruz: D \u003d 28 2 −4 (−4) (−49) \u003d 784−784 \u003d 0... Bu nedenle, bu ikinci dereceden denklemin tek bir kökü var, yani şu şekilde buluyoruz:

Cevap:

x \u003d 3.5.

Negatif ayrımcı ile ikinci dereceden denklemlerin çözümünü düşünmeye devam ediyor.

Misal.

5 y 2 + 6 y + 2 \u003d 0 denklemini çözün.

Karar.

İkinci dereceden denklemin katsayıları: a \u003d 5, b \u003d 6 ve c \u003d 2. Bu değerleri diskriminant formülüne koyarsak, elimizde D \u003d b 2 −4 a c \u003d 6 2 −4 5 2 \u003d 36−40 \u003d −4... Ayırıcı negatiftir, bu nedenle bu ikinci dereceden denklemin gerçek kökleri yoktur.

Karmaşık kökleri belirtmeniz gerekiyorsa, ikinci dereceden denklemin kökleri için iyi bilinen formülü uygularız ve gerçekleştiririz karmaşık sayı işlemleri:

Cevap:

gerçek kökler yoktur, karmaşık kökler aşağıdaki gibidir:

İkinci dereceden bir denklemin ayırt edicisi negatifse, o zaman okulda genellikle gerçek kök olmadığını ve karmaşık kökler bulamadıklarını belirttikleri cevabı hemen yazarlar.

Hatta ikinci katsayılar için kök formülü

İkinci dereceden bir denklemin kökleri için formül, burada D \u003d b 2 −4 a c, ikinci dereceden denklemlerin x'de çift katsayılı (veya basitçe 2 n formundaki bir katsayıyla, örneğin, veya 14) çözülmesine izin veren daha kompakt bir formül elde etmesine izin verir. ln5 \u003d 2 7 ln5). Hadi çıkaralım.

Diyelim ki, a x 2 + 2 n x + c \u003d 0 biçimindeki ikinci dereceden bir denklemi çözmemiz gerekiyor. Köklerini bildiğimiz formülü kullanarak bulalım. Bunu yapmak için ayrımcıyı hesaplayın D \u003d (2 n) 2 −4 a c \u003d 4 n 2 −4 a c \u003d 4 (n 2 −a c)ve sonra kök formülü kullanın:

N 2 −a · c ifadesini D 1 olarak gösterelim (bazen D "ile gösterilir). Ardından ikinci katsayısı 2 n olan ikinci dereceden denklemin kökleri formülü şeklini alır. , burada D 1 \u003d n 2 - a · c.

D \u003d 4 · D 1 veya D 1 \u003d D / 4 olduğunu görmek kolaydır. Başka bir deyişle, D 1, ayrımcının dördüncü kısmıdır. D 1'in işaretinin D'nin işareti ile aynı olduğu açıktır. Yani, D1'in işareti aynı zamanda ikinci dereceden bir denklemin köklerinin varlığının veya yokluğunun bir göstergesidir.

Dolayısıyla, ikinci katsayı 2 n ile ikinci dereceden denklemi çözmek için,

D 1 \u003d n 2 −a · c'yi hesaplayın;
D 1 ise<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
D 1 \u003d 0 ise, denklemin tek kökünü formülle hesaplayın;
D 1\u003e 0 ise, formüle göre iki gerçek kök bulun.

Bu paragrafta elde edilen kök formülü kullanarak bir örnek çözmeyi düşünün.

Misal.

İkinci dereceden denklemi 5x2 −6x - 32 \u003d 0 çözün.

Karar.

Bu denklemin ikinci katsayısı 2 · (−3) olarak temsil edilebilir. Yani, orijinal ikinci dereceden denklemi 5 x 2 + 2 (−3) x - 32 \u003d 0, burada a \u003d 5, n \u003d −3 ve c \u003d −32 biçiminde yeniden yazabilir ve ayırıcının dördüncü bölümünü hesaplayabilirsiniz: D 1 \u003d n 2 −a c \u003d (- 3) 2 −5 (−32) \u003d 9 + 160 \u003d 169... Değeri pozitif olduğu için denklemin iki gerçek kökü vardır. Bunları karşılık gelen kök formülü kullanarak bulalım:

İkinci dereceden bir denklemin kökleri için olağan formülü kullanmanın mümkün olduğunu, ancak bu durumda daha fazla hesaplama çalışması yapılması gerekeceğini unutmayın.

Cevap:

İkinci Dereceden Denklemlerin Görünümünü Basitleştirme

Bazen, ikinci dereceden bir denklemin köklerini formüllerle hesaplamaya başlamadan önce şu soruyu sormaktan zarar gelmez: "Bu denklemin şeklini basitleştirmek mümkün müdür?" Hesaplamalar açısından, 11 · x 2 −4 · x - 6 \u003d 0 ikinci dereceden denklemi çözmenin 1100 · x 2 −400 · x - 600 \u003d 0'dan daha kolay olacağını kabul edin.

Genellikle, ikinci dereceden bir denklem biçiminin basitleştirilmesi, her iki parçasını da bir sayı ile çarparak veya bölerek elde edilir. Örneğin, önceki paragrafta, 1100x2 −400x - 600 \u003d 0 denklemini her iki tarafı 100'e bölerek basitleştirmeyi başardık.

Benzer bir dönüşüm, katsayıları olmayan ikinci dereceden denklemlerle gerçekleştirilir. Bu durumda, denklemin her iki tarafı genellikle katsayılarının mutlak değerlerine bölünür. Örneğin, 12 x 2 −42 x + 48 \u003d 0 ikinci dereceden denklemi alalım. katsayılarının mutlak değerleri: OBEB (12, 42, 48) \u003d OBEB (OBEB (12, 42), 48) \u003d OBEB (6, 48) \u003d 6. Orijinal ikinci dereceden denklemin her iki tarafını da 6'ya bölerek, eşdeğer ikinci dereceden denklem 2 x 2 −7 x + 8 \u003d 0'a ulaşırız.

Ve ikinci dereceden bir denklemin her iki tarafının çarpımı genellikle kesirli katsayılardan kurtulmak için yapılır. Bu durumda, çarpma, katsayılarının paydaları tarafından gerçekleştirilir. Örneğin, ikinci dereceden denklemin her iki tarafı LCM (6, 3, 1) \u003d 6 ile çarpılırsa, daha basit bir x 2 + 4 x - 18 \u003d 0 formunu alacaktır.

Bu noktanın sonucunda, hemen hemen her zaman ikinci dereceden denklemin baş katsayısındaki eksi değerinden kurtulduğumuzu, tüm terimlerin işaretlerini değiştirerek her iki parçayı da −1 ile çarpmaya (veya bölmeye) karşılık geldiğini not ediyoruz. Örneğin, genellikle −2x2 −3x + 7 \u003d 0 ikinci dereceden denkleminden biri 2x2 + 3x - 7 \u003d 0 çözümüne gider.

İkinci dereceden bir denklemin kökleri ve katsayıları arasındaki ilişki

İkinci dereceden bir denklemin kökleri için formül, bir denklemin köklerini katsayıları cinsinden ifade eder. Kök formüle bağlı olarak, kökler ve katsayılar arasında başka bağımlılıklar elde edebilirsiniz.

En ünlü ve uygulanabilir formüller Vieta'nın form teoremindendir ve. Özellikle verilen ikinci dereceden denklem için, köklerin toplamı zıt işaretli ikinci katsayıya eşittir ve köklerin çarpımı serbest terime eşittir. Örneğin, ikinci dereceden denklem 3 x 2 −7 x + 22 \u003d 0 şeklinde, hemen köklerinin toplamının 7/3 ve köklerin çarpımının 22/3 olduğu söylenebilir.

Önceden yazılmış formülleri kullanarak, ikinci dereceden denklemin kökleri ve katsayıları arasında bir dizi başka ilişki elde edebilirsiniz. Örneğin, ikinci dereceden bir denklemin köklerinin karelerinin toplamını katsayıları aracılığıyla ifade edebilirsiniz:

Referans listesi.

Cebir: ders çalışma. 8 cl için. Genel Eğitim. kurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - 16. baskı. - M .: Eğitim, 2008. - 271 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-019243-9.
A. G. Mordkovich Cebir. 8. sınıf. Öğleden sonra 2'de Bölüm 1. Eğitim kurumları öğrencileri için ders kitabı / A. G. Mordkovich. - 11. baskı, Silindi. - M: Mnemozina, 2009. - 215 s .: hasta. Mayıs ISBN 978-5-346-01155-2.

Sadece. Formüller ve açık, basit kurallarla. İlk aşamada

verilen denklemi standart bir forma getirmek gerekir, yani. bakmak:

Denklem zaten size bu formda verilmişse ilk adımı atmanıza gerek yoktur. En önemli şey doğru

tüm katsayıları belirle, ve, b ve c.

İkinci dereceden bir denklemin köklerini bulmak için formül.

Kök işaretinin altındaki bir ifade denir ayrımcı ... Gördüğünüz gibi, x'i bulmak için

kullanım sadece a, b ve c. Şunlar. katsayıları ikinci dereceden denklem... Sadece dikkatlice değiştirin

anlam a, b ve c bu formüle girin ve sayın. İle ikame onlar tarafından işaretler!

Örneğin, denklemde:

ve =1; b = 3; c = -4.

Değerleri değiştirin ve şunu yazın:

Örnek neredeyse çözüldü:

Cevap bu.

En yaygın hatalar, anlam işaretleriyle karışıklıktır. a, bve itibaren... Aksine, ikame ile

kökleri hesaplamak için formüle negatif değerler. Burada formülün ayrıntılı bir gösterimi kaydeder

belirli sayılarla. Hesaplama problemleriniz varsa, yapın!

Bu örneği çözmeniz gerektiğini varsayalım:

Buraya a = -6; b = -5; c = -1

Tüm işaret ve köşeli parantezlerde hiçbir şeyi gözden kaçırmadan her şeyi detaylı bir şekilde boyarız:

İkinci dereceden denklemler genellikle biraz farklı görünür. Örneğin, bunun gibi:

Şimdilik, hataları önemli ölçüde azaltacak en iyi uygulamaları not edin.

İlk resepsiyon... Daha önce tembel olma ikinci dereceden denklemin çözümü standart forma getirin.

Ne anlama geliyor?

Diyelim ki herhangi bir dönüşümden sonra aşağıdaki denklemi elde ettiniz:

Kök formülü yazmak için acele etmeyin! Neredeyse kesinlikle olasılıkları karıştıracaksınız. a, b ve c.

Örneği doğru bir şekilde oluşturun. Önce X'in karesi alınır, sonra kare olmadan, sonra serbest üye. Bunun gibi:

Eksi kurtulun. Nasıl? Bütün denklemi -1 ile çarpmalısın. Biz alırız:

Ama şimdi köklerin formülünü güvenle yazabilir, ayırıcıyı hesaplayabilir ve örneği tamamlayabilirsiniz.

Kendin Yap. 2 ve -1 köklerine sahip olmalısınız.

Alım ikinci. Kökleri kontrol edin! Tarafından vieta teoremi.

Verilen ikinci dereceden denklemleri çözmek için, yani katsayı ise

x 2 + bx + c \u003d 0,

sonra x 1 x 2 \u003d c

x 1 + x 2 \u003d -b

Tam bir ikinci dereceden denklem için a ≠ 1:

x 2 +bx +c=0,

tüm denklemi şuna bölün: ve:

→ →

nerede x 1 ve x 2 - denklemin kökleri.

Üçüncü resepsiyon... Denkleminiz kesirli katsayılar içeriyorsa, kesirlerden kurtulun! Çarpmak

ortak bir payda için denklem.

Sonuç. Pratik tavsiye:

1. Çözmeden önce, ikinci dereceden denklemi standart forma getiriyoruz, inşa ediyoruz doğru şekilde.

2. Karede x'in önünde negatif bir katsayı varsa, toplamı çarparak onu eliyoruz

-1 ile denklemler.

3. Katsayılar kesirli ise, tüm denklemi karşılık gelen ile çarparak kesirleri eliyoruz

faktör.

4. Eğer x kare safsa, katsayısı bire eşitse, çözüm ile kolaylıkla kontrol edilebilir.

İkinci dereceden denklemler 8. sınıfta incelenir, bu nedenle burada karmaşık hiçbir şey yoktur. Bunları çözme yeteneği kesinlikle gereklidir.

İkinci dereceden bir denklem, a, b ve c katsayılarının rastgele sayılar ve a ≠ 0 olduğu, ax 2 + bx + c \u003d 0 formundaki bir denklemdir.

Çözme için belirli yöntemleri incelemeden önce, tüm ikinci dereceden denklemlerin koşullu olarak üç sınıfa ayrılabileceğini not ediyoruz:

Kökleri yok;
Tam olarak bir köke sahip olun;
İki farklı kökleri var.

Bu, kökün her zaman var olduğu ve benzersiz olduğu ikinci dereceden ve doğrusal denklemler arasındaki önemli bir farktır. Bir denklemin kaç tane kökü olduğunu nasıl belirlersiniz? Bunun için harika bir şey var - ayrımcı.

Ayrımcı

İkinci dereceden bir denklem ax 2 + bx + c \u003d 0 verilsin, o zaman ayırıcı sadece D \u003d b 2 - 4ac sayısıdır.

Bu formülü ezbere bilmeniz gerekir. Nereden geldiği - şimdi önemi yok. Başka bir şey daha önemlidir: Ayırımcının işaretiyle, ikinci dereceden denklemin kaç köke sahip olduğunu belirleyebilirsiniz. Yani:

D ise< 0, корней нет;
D \u003d 0 ise, tam olarak bir kök vardır;
D\u003e 0 ise, iki kök olacaktır.

Lütfen dikkat: ayrımcı, birçoğunun bir nedenden ötürü inandığı gibi, köklerin sayısını gösterir ve işaretlerini değil. Örneklere bir göz atın - ve kendiniz her şeyi anlayacaksınız:

Bir görev. İkinci dereceden denklemlerin kaç tane kökü vardır:

x 2 - 8x + 12 \u003d 0;

5x 2 + 3x + 7 \u003d 0;

x 2 - 6x + 9 \u003d 0.

İlk denklemin katsayılarını yazalım ve ayırıcıyı bulalım:
a \u003d 1, b \u003d −8, c \u003d 12;
D \u003d (−8) 2-4 1 12 \u003d 64 - 48 \u003d 16

Yani, ayırıcı pozitiftir, dolayısıyla denklemin iki farklı kökü vardır. İkinci denklemi benzer şekilde analiz ediyoruz:
a \u003d 5; b \u003d 3; c \u003d 7;
D \u003d 3 2-4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d −131.

Ayrımcı olumsuzdur, kök yoktur. Son denklem kalır:
a \u003d 1; b \u003d −6; c \u003d 9;
D \u003d (−6) 2-4 1 9 \u003d 36-36 \u003d 0.

Ayrımcı sıfırdır - bir kök olacaktır.

Her denklem için katsayıların yazıldığına dikkat edin. Evet, uzun, evet, sıkıcı - ama katsayıları karıştırmayacaksınız ve aptalca hatalar yapmayacaksınız. Kendiniz seçin: hız veya kalite.

Bu arada, "elini doldurursan", bir süre sonra artık tüm katsayıları yazmana gerek kalmayacak. Bu tür işlemleri kafanızda gerçekleştireceksiniz. Çoğu insan bunu 50-70 denklem çözüldükten sonra bir yerde yapmaya başlar - genel olarak o kadar değil.

Kuadratik Kökler

Şimdi çözüme geçelim. Ayrımcı D\u003e 0 ise, kökler aşağıdaki formüllerle bulunabilir:

İkinci dereceden bir denklemin kökleri için temel formül

D \u003d 0 olduğunda, bu formüllerden herhangi birini kullanabilirsiniz - aynı sayıyı elde edersiniz, bu da cevap olacaktır. Son olarak, eğer D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

x 2 - 2x - 3 \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 12x + 36 \u003d 0.

İlk denklem:
x 2 - 2x - 3 \u003d 0 ⇒ a \u003d 1; b \u003d −2; c \u003d −3;
D \u003d (−2) 2-4 1 (−3) \u003d 16.

D\u003e 0 ⇒ denklemin iki kökü vardır. Onları bulalım:

İkinci denklem:
15 - 2x - x 2 \u003d 0 ⇒ a \u003d −1; b \u003d −2; c \u003d 15;
D \u003d (−2) 2-4 (−1) 15 \u003d 64.

D\u003e 0 ⇒ denklemin yine iki kökü vardır. Onları bulalım

\\ [\\ begin (hizala) & ((x) _ (1)) \u003d \\ frac (2+ \\ sqrt (64)) (2 \\ cdot \\ left (-1 \\ right)) \u003d - 5; \\\\ & ((x) _ (2)) \u003d \\ frac (2- \\ sqrt (64)) (2 \\ cdot \\ left (-1 \\ right)) \u003d 3. \\\\ \\ end (hizala) \\]

Son olarak, üçüncü denklem:
x 2 + 12x + 36 \u003d 0 ⇒ a \u003d 1; b \u003d 12; c \u003d 36;
D \u003d 12 2-4 · 1 · 36 \u003d 0.

D \u003d 0 ⇒ denklemin bir kökü vardır. Herhangi bir formül kullanılabilir. Örneğin, ilki:

Örneklerden de görebileceğiniz gibi, her şey çok basit. Formülleri bilir ve sayabilirseniz, hiçbir sorun olmayacaktır. Çoğu zaman, formüldeki negatif katsayıları değiştirirken hatalar oluşur. Burada yine, yukarıda açıklanan teknik yardımcı olacaktır: formüle tam anlamıyla bakın, her adımı tanımlayın - ve çok yakında hatalardan kurtulacaksınız.

Eksik ikinci dereceden denklemler

İkinci dereceden denklemin tanımda verilenden biraz farklı olduğu görülür. Örneğin:

x 2 + 9x \u003d 0;
x 2 - 16 \u003d 0.

Bu denklemlerde terimlerden birinin eksik olduğunu görmek kolaydır. Bu tür ikinci dereceden denklemlerin çözülmesi standart olanlardan daha kolaydır: Ayrımcıyı hesaplamaları bile gerekmez. Öyleyse yeni bir konsept sunalım:

Ax 2 + bx + c \u003d 0 denklemi, b \u003d 0 veya c \u003d 0 ise tamamlanmamış ikinci dereceden denklem olarak adlandırılır, yani değişken x veya serbest elemandaki katsayı sıfıra eşittir.

Elbette, bu katsayıların her ikisi de sıfıra eşit olduğunda çok zor bir durum mümkündür: b \u003d c \u003d 0. Bu durumda, denklem ax 2 \u003d 0 biçimini alır. Açıktır ki, böyle bir denklemin tek bir kökü vardır: x \u003d 0.

Diğer davaları ele alalım. B \u003d 0 olsun, o zaman ax 2 + c \u003d 0 biçiminde tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklem elde ederiz. Biraz değiştirelim:

Aritmetik karekök yalnızca negatif olmayan bir sayıdan geldiğinden, son eşitlik yalnızca (−c / a) ≥ 0 için anlamlıdır. Sonuç:

Eşitsizlik (−c / a) ≥ 0, ax 2 + c \u003d 0 biçiminde eksik ikinci dereceden bir denklemde tutulursa, iki kök olacaktır. Formül yukarıda verilmiştir;
Eğer (−c / a)< 0, корней нет.

Gördüğünüz gibi, ayırt edici gerekli değildi - tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerde hiç karmaşık hesaplamalar yoktur. Aslında, eşitsizliği (−c / a) ≥ 0'ı hatırlamak bile gerekli değildir. X 2 değerini ifade etmek ve eşittir işaretinin diğer tarafında ne olduğunu görmek yeterlidir. Pozitif bir sayı varsa, iki kök olacaktır. Negatifse, hiçbir kök olmayacak.

Şimdi, serbest elemanın sıfıra eşit olduğu ax 2 + bx \u003d 0 formundaki denklemleri ele alalım. Burada her şey basit: her zaman iki kök olacaktır. Polinomu çarpanlarına ayırmak yeterlidir:

Ortak bir faktörün parantez içine alınması

Faktörlerden en az biri sıfıra eşit olduğunda ürün sıfıra eşittir. Buradan kökler. Sonuç olarak, bu tür birkaç denklemi analiz edeceğiz:

Bir görev. İkinci dereceden denklemleri çözün:

x 2 - 7x \u003d 0;

5x 2 + 30 \u003d 0;

4x 2-9 \u003d 0.

x 2 - 7x \u003d 0 ⇒ x (x - 7) \u003d 0 ⇒ x 1 \u003d 0; x 2 \u003d - (- 7) / 1 \u003d 7.

5x 2 + 30 \u003d 0 ⇒ 5x 2 \u003d −30 ⇒ x 2 \u003d −6. Kök yok çünkü bir kare negatif bir sayıya eşit olamaz.

4x 2-9 \u003d 0 ⇒ 4x 2 \u003d 9 ⇒ x 2 \u003d 9/4 ⇒ x 1 \u003d 3/2 \u003d 1.5; x 2 \u003d -1,5.

"Denklemleri Çözme" konusuna devam ederek, bu makaledeki materyal size ikinci dereceden denklemleri tanıtacaktır.

Her şeyi ayrıntılı olarak ele alalım: ikinci dereceden denklemin özü ve yazımı, ilgili terimleri belirleyeceğiz, eksik ve tam denklemleri çözmek için şemayı analiz edeceğiz, köklerin formülü ve ayrımcı ile tanışacağız, kökler ve katsayılar arasında bağlantılar kuracağız ve tabii ki pratik örneklerin görsel bir çözümünü vereceğiz.

Yandex.RTB R-A-339285-1

İkinci dereceden denklem, türleri

Tanım 1

İkinci dereceden denklem Şu şekilde yazılmış bir denklem mi bir x 2 + b x + c \u003d 0nerede x - değişken, a, b ve c - bazı numaralar asıfır değil.

Çoğunlukla ikinci dereceden denklemlere ikinci derece denklemler de denir, çünkü özünde ikinci dereceden bir denklem ikinci derecenin cebirsel bir denklemidir.

Verilen tanımı açıklamak için bir örnek: 9 · x 2 + 16 · x + 2 \u003d 0; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 \u003d 0, vb. İkinci dereceden denklemlerdir.

Tanım 2

A, b ve c İkinci dereceden denklemin katsayıları bir x 2 + b x + c \u003d 0katsayı ise a birinci veya kıdemli veya katsayı olarak adlandırılır x 2, b - ikinci katsayı veya katsayı x, ve c ücretsiz üye aradı.

Örneğin, ikinci dereceden bir denklemde 6 x 2 - 2 x - 11 \u003d 0 kıdemli katsayı 6, ikinci katsayı − 2 ve ücretsiz terim − 11 ... Katsayıların ne zaman bve / veya c negatiftir, ardından kısa bir gösterim biçimi 6 x 2 - 2 x - 11 \u003d 0, Ama değil 6 x 2 + (- 2) x + (- 11) \u003d 0.

Bu yönü de açıklığa kavuşturalım: eğer katsayılar a ve / veya b eşittir 1 veya − 1 , bu durumda, belirtilen sayısal katsayıları kaydetme özellikleriyle açıklanan ikinci dereceden denklemin kaydına açık bir şekilde katılmayabilirler. Örneğin, ikinci dereceden bir denklemde y 2 - y + 7 \u003d 0 en yüksek katsayı 1 ve ikinci katsayı − 1 .

İndirgenmiş ve indirgenmemiş ikinci dereceden denklemler

İlk katsayının değerine göre, ikinci dereceden denklemler indirgenmiş ve indirgenmemiş olanlara bölünmüştür.

Tanım 3

Azaltılmış ikinci dereceden denklem Önde gelen katsayının 1 olduğu ikinci dereceden bir denklemdir. Önde gelen katsayının diğer değerleri için, ikinci dereceden denklem azaltılmaz.

İşte örnekler: ikinci dereceden denklemler x 2 - 4 x + 3 \u003d 0, x 2 - x - 4 5 \u003d 0, her birinde baş katsayısı 1 olan indirgenmiştir.

9 x 2 - x - 2 \u003d 0 - indirgenmemiş ikinci dereceden denklem, burada ilk katsayı farklıdır 1 .

Herhangi bir indirgenmemiş ikinci dereceden denklem, her iki bölümü de ilk katsayıya (eşdeğer dönüşüm) bölerek indirgenmiş bir denkleme dönüştürülebilir. Dönüştürülmüş denklem, verilen indirgenmemiş denklemle aynı köklere sahip olacak ya da hiç kökü olmayacaktır.

Spesifik bir örneğin dikkate alınması, indirgenmemiş ikinci dereceden bir denklemden indirgenmiş olana geçişin uygulanmasını açıkça göstermemize izin verecektir.

örnek 1

Denklem 6 x 2 + 18 x - 7 \u003d 0 . Orijinal denklemi indirgenmiş forma dönüştürmek gerekir.

Karar

Yukarıdaki şemaya göre, orijinal denklemin her iki tarafını da lider katsayı 6'ya böleriz. Sonra alırız: (6 x 2 + 18 x - 7): 3 \u003d 0: 3ve bu şununla aynıdır: (6 x 2): 3 + (18 x): 3-7: 3 \u003d 0 ve Ötesi: (6: 6) x 2 + (18: 6) x - 7: 6 \u003d 0. Dolayısıyla: x 2 + 3 x - 1 1 6 \u003d 0. Böylece verilene eşdeğer bir denklem elde edilir.

Cevap: x 2 + 3 x - 1 1 6 \u003d 0.

Tam ve eksik ikinci dereceden denklemler

İkinci dereceden bir denklemin tanımına dönelim. İçinde bunu belirttik a ≠ 0... Denklem için benzer bir koşul gereklidir bir x 2 + b x + c \u003d 0 çünkü tam olarak kare idi a \u003d 0 esasen doğrusal bir denkleme dönüşür b x + c \u003d 0.

Katsayıların olduğu durumda b ve csıfıra eşit (bu, hem ayrı ayrı hem de birlikte mümkündür), ikinci dereceden denklem eksik olarak adlandırılır.

Tanım 4

Eksik ikinci dereceden denklem Böyle ikinci dereceden bir denklem mi bir x 2 + b x + c \u003d 0,katsayılardan en az biri bve c(veya her ikisi) sıfırdır.

Tam ikinci dereceden denklem - tüm sayısal katsayıların sıfıra eşit olmadığı ikinci dereceden bir denklem.

İkinci dereceden denklem türlerine neden tam olarak bu tür adlar verildiğini tartışalım.

B \u003d 0 için ikinci dereceden denklem şu şekildedir: bir x 2 + 0 x + c \u003d 0aynı olan bir x 2 + c \u003d 0... Ne zaman c \u003d 0 ikinci dereceden denklem şu şekilde yazılır bir x 2 + b x + 0 \u003d 0eşdeğer olan bir x 2 + b x \u003d 0... Ne zaman b \u003d 0 ve c \u003d 0 denklem olur bir x 2 \u003d 0... Elde ettiğimiz denklemler, tam ikinci dereceden denklemden farklıdır çünkü sol tarafları, x değişkenli bir terim veya serbest bir terim veya her ikisini birden içermemektedir. Aslında, bu gerçek, bu tür denklemlere isim verdi - eksik.

Örneğin, x 2 + 3 x + 4 \u003d 0 ve - 7 x 2 - 2 x + 1, 3 \u003d 0 tam ikinci dereceden denklemlerdir; x 2 \u003d 0, - 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 \u003d 0, - x 2-6 x \u003d 0 - eksik ikinci dereceden denklemler.

Eksik ikinci dereceden denklemleri çözme

Yukarıdaki tanım, aşağıdaki eksik ikinci dereceden denklem türlerini ayırt etmeyi mümkün kılar:

bir x 2 \u003d 0, böyle bir denklem katsayılara karşılık gelir b \u003d 0 ve c \u003d 0;
b \u003d 0 için a x 2 + c \u003d 0;
a x 2 + b x \u003d 0, c \u003d 0'da.

Her bir eksik ikinci dereceden denklemin çözümünü sırayla ele alalım.

A x 2 \u003d 0 denkleminin çözümü

Yukarıda bahsedildiği gibi, bu denklem katsayılara karşılık gelir b ve csıfıra eşit. Denklem bir x 2 \u003d 0 eşdeğer bir denkleme dönüştürmek mümkündür x 2 \u003d 0orijinal denklemin her iki tarafını da sayıya bölerek elde ettiğimiz asıfıra eşit değil. Açık bir gerçektir ki denklemin kökü x 2 \u003d 0 sıfır çünkü 0 2 = 0 ... Bu denklemin, derecenin özellikleriyle açıklanabilecek başka kökleri yoktur: herhangi bir sayı için p,sıfıra eşit değil, eşitsizlik doğrudur p 2\u003e 0bunu takip ettiği p ≠ 0 eşitlik p 2 \u003d 0asla başarılamayacak.

Tanım 5

Dolayısıyla, tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklem için a x 2 \u003d 0, benzersiz bir kök vardır x \u003d 0.

Örnek 2

Örneğin, tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklem çözelim - 3 x 2 \u003d 0... Denkleme eşdeğerdir x 2 \u003d 0, tek kökü x \u003d 0, o zaman orijinal denklemin de tek bir kökü vardır - sıfır.

Kısaca karar şu şekilde veriliyor:

- 3 x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.

A x 2 + c \u003d 0 denkleminin çözümü

Bir sonraki adım, tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin çözümüdür, burada b \u003d 0, c ≠ 0, yani formun denklemleri bir x 2 + c \u003d 0... Bu denklemi, terimi denklemin bir tarafından diğerine aktararak, işareti tersine değiştirerek ve denklemin her iki tarafını sıfıra eşit olmayan bir sayıya bölerek dönüştürüyoruz:

nakletmek c sağa, denklemi verir bir x 2 \u003d - c;
denklemin her iki tarafını da böleriz asonuç olarak x \u003d - c a elde ederiz.

Dönüşümlerimiz sırasıyla eşdeğerdir, ortaya çıkan denklem de orijinal denklem ile eşdeğerdir ve bu gerçek denklemin kökleri hakkında bir sonuç çıkarmayı mümkün kılar. Değerlerin ne olduğundan a ve cifadenin değeri - c a bağlıdır: bir eksi işareti olabilir (örneğin, a \u003d 1 ve c \u003d 2, sonra - c a \u003d - 2 1 \u003d - 2) veya bir artı işareti (örneğin, eğer a \u003d - 2 ve c \u003d 6, o zaman - c a \u003d - 6-2 \u003d 3); sıfıra eşit değildir çünkü c ≠ 0... Şu durumlarda daha ayrıntılı olarak duralım - c a< 0 и - c a > 0 .

- c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа p p 2 \u003d - c a eşitliği doğru olamaz.

- c a\u003e 0 olduğunda her şey farklıdır: karekökü hatırlayın ve x 2 \u003d - c a denkleminin kökünün - c a sayısı olacağı açık olacaktır, çünkü - c a 2 \u003d - c a. - - c a sayısının aynı zamanda x 2 \u003d - c a denkleminin kökü olduğunu anlamak kolaydır: gerçekten, - - c a 2 \u003d - c a.

Denklemin başka kökleri olmayacak. Bunu çelişkili yöntemle gösterebiliriz. Başlangıç \u200b\u200bolarak, yukarıda bulunan köklerin gösterimini şu şekilde tanımlarız: x 1 ve - x 1... X 2 \u003d - c a denkleminin de bir kökü olduğunu varsayalım. x 2köklerden farklı olan x 1 ve - x 1... Bunun yerine denklemde ikame ederek biliyoruz x kökleri, denklemi adil bir sayısal eşitliğe dönüştürür.

İçin x 1 ve - x 1 yazıyoruz: x 1 2 \u003d - c a ve için x 2 - x 2 2 \u003d - c a. Sayısal eşitliklerin özelliklerine dayanarak, bir gerçek eşitliği diğer terimden terimle çıkarırız ve bu bize şunu verir: x 1 2 - x 2 2 \u003d 0... Son eşitliği yeniden yazmak için sayılar üzerindeki eylemlerin özelliklerini kullanıyoruz: (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) \u003d 0... İki sayının çarpımının ancak ve ancak sayılardan en az birinin sıfır olması durumunda sıfır olduğu bilinmektedir. Söylenene göre bunu takip ediyor x 1 - x 2 \u003d 0 ve / veya x 1 + x 2 \u003d 0hangisi aynı x 2 \u003d x 1 ve / veya x 2 \u003d - x 1... Açık bir çelişki ortaya çıktı, çünkü ilk başta denklemin kökünün x 2 farklı x 1 ve - x 1... Dolayısıyla, denklemin x \u003d - c a ve x \u003d - - c a dışında başka kökü olmadığını kanıtladık.

Yukarıdaki tüm muhakemeleri özetleyelim.

Tanım 6

Eksik ikinci dereceden denklem bir x 2 + c \u003d 0 x 2 \u003d - c a denklemine eşdeğerdir, ki:

- c a için kökleri olmayacak< 0 ;
x \u003d - c a ve x \u003d - - c a for - c a\u003e 0 olmak üzere iki köke sahip olacaktır.

Denklemleri çözme örnekleri verelim bir x 2 + c \u003d 0.

Örnek 3

Verilen ikinci dereceden denklem 9 x 2 + 7 \u003d 0.Çözümünü bulmak gerekiyor.

Karar

Serbest terimi denklemin sağ tarafına aktarıyoruz, sonra denklem şekli alıyor 9 x 2 \u003d - 7.
Elde edilen denklemin her iki tarafını da böleriz 9 x 2 \u003d - 7 9'a ulaşıyoruz. Sağ tarafta, eksi işaretli bir sayı görüyoruz, bunun anlamı: verilen denklemin kökü yok. Sonra orijinal tamamlanmamış ikinci dereceden denklem 9 x 2 + 7 \u003d 0 kökleri olmayacak.

Cevap: denklem 9 x 2 + 7 \u003d 0kökleri yoktur.

Örnek 4

Denklemi çözmek gerekiyor - x 2 + 36 \u003d 0.

Karar

36'yı sağ tarafa hareket ettirin: - x 2 \u003d - 36.
Her iki parçayı da ikiye ayıralım − 1 , anlıyoruz x 2 \u003d 36... Sağ tarafta pozitif bir sayı var ve buradan şu sonuca varabiliriz: x \u003d 36 veya x \u003d - 36.
Kökü çıkarın ve nihai sonucu yazın: tamamlanmamış ikinci dereceden denklem - x 2 + 36 \u003d 0 iki kökü var x \u003d 6 veya x \u003d - 6.

Cevap: x \u003d 6 veya x \u003d - 6.

A x 2 + b x \u003d 0 denkleminin çözümü

Üçüncü tür tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri düşünelim. c \u003d 0... Eksik ikinci dereceden bir denkleme bir çözüm bulmak için bir x 2 + b x \u003d 0, çarpanlara ayırma yöntemini kullanıyoruz. Denklemin sol tarafındaki polinomu parantez dışındaki ortak faktörü çıkararak çıkarıyoruz. x... Bu adım, orijinal tamamlanmamış ikinci dereceden denklemi eşdeğerine dönüştürmeyi mümkün kılacaktır. x (bir x + b) \u003d 0... Ve bu denklem sırayla bir dizi denkleme eşdeğerdir x \u003d 0 ve a x + b \u003d 0... Denklem a x + b \u003d 0 doğrusal ve kökü: x \u003d - b a.

Tanım 7

Böylece, tamamlanmamış ikinci dereceden denklem bir x 2 + b x \u003d 0 iki köke sahip olacak x \u003d 0 ve x \u003d - b a.

Malzemeyi bir örnekle düzeltelim.

Örnek 5

2 3 x 2 - 2 2 7 x \u003d 0 denklemine bir çözüm bulmak gerekir.

Karar

Çıkarmak x parantez ve x · 2 3 · x - 2 2 7 \u003d 0 denklemini alın. Bu denklem denklemlere eşdeğerdir x \u003d 0 ve 2 3 x - 2 2 7 \u003d 0. Şimdi ortaya çıkan doğrusal denklemi çözmeniz gerekiyor: 2 3 · x \u003d 2 2 7, x \u003d 2 2 7 2 3.

Çözümü denklemin kısaca şu şekilde yazıyoruz:

2 3 x 2 - 2 2 7 x \u003d 0 x 2 3 x - 2 2 7 \u003d 0

x \u003d 0 veya 2 3 x - 2 2 7 \u003d 0

x \u003d 0 veya x \u003d 3 3 7

Cevap: x \u003d 0, x \u003d 3 3 7.

Ayrımcı, ikinci dereceden bir denklemin kökleri için formül

İkinci dereceden denklemlere bir çözüm bulmak için bir kök formül var:

Tanım 8

x \u003d - b ± D 2 a, nerede D \u003d b 2-4 bir c - ikinci dereceden denklemin sözde ayırıcısı.

X \u003d - b ± D 2 · a gösterimi esasen x 1 \u003d - b + D 2 · a, x 2 \u003d - b - D 2 · a anlamına gelir.

Belirtilen formülün nasıl türetildiğini ve nasıl uygulanacağını anlamak faydalı olacaktır.

İkinci dereceden bir denklemin kökleri için formülün türetilmesi

İkinci dereceden bir denklem çözme göreviyle yüzleşelim bir x 2 + b x + c \u003d 0... Birkaç eşdeğer dönüşüm gerçekleştirelim:

denklemin her iki tarafını sayıya böl a, sıfır olmayan, indirgenmiş ikinci dereceden denklemi elde ederiz: x 2 + b a · x + c a \u003d 0;
elde edilen denklemin sol tarafındaki tam kareyi seçin:
x 2 + ba x + ca \u003d x 2 + 2 b 2 bir x + b 2 bir 2 - b 2 bir 2 + ca \u003d \u003d x + b 2 bir 2 - b 2 bir 2 + CA
Bundan sonra denklem şu şekilde olacaktır: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a \u003d 0;
şimdi işareti tersine çevirerek son iki terimi sağ tarafa aktarmak mümkündür, bundan sonra şunu elde ederiz: x + b 2 · a 2 \u003d b 2 · a 2 - c a;
son olarak, son eşitliğin sağ tarafında yazılan ifadeyi dönüştürüyoruz:
b 2 bir 2 - c a \u003d b 2 4 bir 2 - c a \u003d b 2 4 bir 2 - 4 a c 4 bir 2 \u003d b 2 - 4 bir c 4 bir 2.

Böylece, orijinal denkleme eşdeğer olan x + b 2 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2 denklemine geldik bir x 2 + b x + c \u003d 0.

Önceki paragraflarda bu tür denklemlerin çözümünü analiz ettik (tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin çözümü). Zaten kazanılan deneyim, x + b 2 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2 denkleminin köklerine ilişkin bir sonuç çıkarmayı mümkün kılar:

b 2 - 4'te c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
b 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d 0 için denklem x + b 2 a 2 \u003d 0, sonra x + b 2 a \u003d 0 biçimindedir.

Dolayısıyla, tek kökü x \u003d - b 2 · a;

b 2 - 4 a c 4 a 2\u003e 0 için doğru olacaktır: x + b 2 a \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2 veya x \u003d b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2, x + - b 2 a \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2 veya x \u003d - b 2 a - b 2 - 4 a ile aynıdır c 4 a 2, yani denklemin iki kökü vardır.

X + b 2 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2 denkleminin (ve dolayısıyla orijinal denklemin) varlığının veya yokluğunun, b 2 - 4 a c 4 ifadesinin işaretine bağlı olduğu sonucuna varmak mümkündür. · Sağ tarafta yazılı bir 2. Ve bu ifadenin işareti, pay işaretinin (payda 4 bir 2 her zaman olumlu olacaktır), yani ifadenin işareti b 2-4 a c... Bu ifade b 2-4 a c isim verilir - kare denklemin ayırt edici özelliği ve D harfi onun ataması olarak tanımlanır. Burada ayırt edicinin özünü yazabilirsiniz - değeri ve işareti ile, ikinci dereceden denklemin gerçek köklere sahip olup olmayacağı ve eğer öyleyse, kök sayısı nedir - bir veya iki.

X + b 2 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2 denklemine geri dönelim. Ayırıcı için notasyonu kullanarak yeniden yazıyoruz: x + b 2 · a 2 \u003d D 4 · a 2.

Sonuçları tekrar formüle edelim:

Tanım 9

-de D< 0 denklemin gerçek kökleri yoktur;
-de D \u003d 0 denklemin tek bir kökü vardır x \u003d - b 2 · a;
-de D\u003e 0 denklemin iki kökü vardır: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 veya x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. Radikallerin özelliklerine göre bu kökler şu şekilde yazılabilir: x \u003d - b 2 a + D 2 a veya - b 2 a - D 2 a. Ve modülleri açıp kesirleri ortak bir paydaya indirgediğimizde, şunu elde ederiz: x \u003d - b + D 2 · a, x \u003d - b - D 2 · a.

Dolayısıyla, akıl yürütmemizin sonucu, ikinci dereceden denklemin kökleri için formülün türetilmesiydi:

x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a, ayırıcı D formülle hesaplandı D \u003d b 2-4 bir c.

Bu formüller, sıfırdan büyük bir ayırıcı ile her iki gerçek kökü belirlemeyi mümkün kılar. Ayırıcı sıfır olduğunda, her iki formülün uygulanması ikinci dereceden denklemin tek çözümü olarak aynı kökü verecektir. Ayrımcının negatif olması durumunda, karekök formülünü kullanmaya çalışırken, negatif bir sayının karekökünü çıkarma ihtiyacı ile karşı karşıya kalacağız, bu da bizi gerçek sayıların ötesine götürecek. Negatif bir ayırt edici ile, ikinci dereceden denklemin gerçek kökleri olmayacaktır, ancak elde ettiğimiz aynı kök formüllerle belirlenen bir çift karmaşık eşlenik kök mümkündür.

Kök formüllerini kullanarak ikinci dereceden denklemleri çözmek için algoritma

İkinci dereceden denklemi hemen kök formülü kullanarak çözmek mümkündür, ancak temelde bu, karmaşık köklerin bulunması gerektiğinde yapılır.

Çoğu durumda, genellikle karmaşık değil, ikinci dereceden bir denklemin gerçek köklerini aramak içindir. Daha sonra, ikinci dereceden denklemin kökleri için formülleri kullanmadan önce, önce ayırıcıyı belirleyin ve negatif olmadığından emin olun (aksi takdirde, denklemin gerçek kökleri olmadığı sonucuna varacağız) ve ardından köklerin değerlerini hesaplamaya devam edeceğiz.

Yukarıdaki mantık, ikinci dereceden bir denklemi çözmek için bir algoritma formüle etmeyi mümkün kılar.

Tanım 10

İkinci dereceden bir denklem çözmek için bir x 2 + b x + c \u003d 0, bu gerekli:

formüle göre D \u003d b 2-4 bir c ayrımcının değerini bulun;
d'de< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
d \u003d 0 için, denklemin x \u003d - b 2 · a formülüyle tek kökünü bulun;
d\u003e 0 için, ikinci dereceden denklemin iki gerçek kökünü x \u003d - b ± D 2 · a formülüyle belirleyin.

Ayrımcı sıfır olduğunda, x \u003d - b ± D 2 · a formülünü kullanabileceğinizi, bunun x \u003d - b 2 · a formülüyle aynı sonucu vereceğini unutmayın.

Bazı örnekleri ele alalım.

İkinci dereceden denklem çözme örnekleri

Ayrımcının farklı değerleri için örneklerden bir çözüm verelim.

Örnek 6

Denklemin köklerini bulmak gerekiyor x 2 + 2 x - 6 \u003d 0.

Karar

İkinci dereceden denklemin sayısal katsayılarını yazalım: a \u003d 1, b \u003d 2 ve c \u003d - 6... Ardından, algoritmaya göre hareket ediyoruz, yani a, b katsayılarını yerine koyduğumuz ayırt ediciyi hesaplamaya başlayalım ve c ayrımcı formülde: D \u003d b 2-4 a c \u003d 2 2-4 1 (- 6) \u003d 4 + 24 \u003d 28.

Yani, D\u003e 0 elde ettik, bu da orijinal denklemin iki gerçek köke sahip olacağı anlamına geliyor.
Bunları bulmak için, x \u003d - b ± D 2 · a kök formülünü kullanırız ve karşılık gelen değerleri değiştirerek şunu elde ederiz: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Faktörü kök işaretinin dışına alarak ve ardından kesri azaltarak ortaya çıkan ifadeyi basitleştirelim:

x \u003d - 2 ± 2 7 2

x \u003d - 2 + 2 7 2 veya x \u003d - 2 - 2 7 2

x \u003d - 1 + 7 veya x \u003d - 1-7

Cevap: x \u003d - 1 + 7, x \u003d - 1-7.

Örnek 7

İkinci dereceden denklemi çözmek gerekiyor - 4 x 2 + 28 x - 49 \u003d 0.

Karar

Ayrımcıyı tanımlayalım: D \u003d 28 2-4 (- 4) (- 49) \u003d 784 - 784 \u003d 0... Ayırıcının bu değeri ile, orijinal denklem, x \u003d - b 2 · a formülüyle belirlenen tek bir köke sahip olacaktır.

x \u003d - 28 2 (- 4) x \u003d 3, 5

Cevap: x \u003d 3, 5.

Örnek 8

Denklemi çözmek gerekiyor 5 y 2 + 6 y + 2 \u003d 0

Karar

Bu denklemin sayısal katsayıları: a \u003d 5, b \u003d 6 ve c \u003d 2 olacaktır. Ayrıştırıcıyı bulmak için bu değerleri kullanırız: D \u003d b 2 - 4 · a · c \u003d 6 2 - 4 · 5 · 2 \u003d 36 - 40 \u003d - 4. Hesaplanan ayırt edici negatiftir, bu nedenle orijinal ikinci dereceden denklemin gerçek kökleri yoktur.

Görevin karmaşık kökleri göstermesi durumunda, kökler için formülü uygulayarak karmaşık sayılarla eylemler gerçekleştiriyoruz:

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 i 10 veya x \u003d - 6 - 2 i 10,

x \u003d - 3 5 + 1 5 · i veya x \u003d - 3 5 - 1 5 · i.

Cevap: geçerli kök yok; karmaşık kökler aşağıdaki gibidir: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

Okul müfredatında, karmaşık kökleri aramak için standart bir gereklilik yoktur, bu nedenle, çözüm sırasında ayrımcının olumsuz olduğu belirlenirse, gerçek kökün olmadığı cevabı hemen kaydedilir.

Hatta ikinci katsayılar için kök formülü

X \u003d - b ± D 2 a (D \u003d b 2 - 4 a c) kök formülü, daha kompakt olan başka bir formül elde etmeyi mümkün kılar ve birinin x'de eşit katsayılı (veya 2 formunun bir katsayısı ile ikinci dereceden denklemlerin çözümlerini bulmasını sağlar n, örneğin, 2 · 3 veya 14 · ln 5 \u003d 2 · 7 · ln 5). Bu formülün nasıl elde edildiğini gösterelim.

A x 2 + 2 n x + c \u003d 0 ikinci dereceden denklemine bir çözüm bulma göreviyle karşı karşıya olduğumuzu varsayalım. Algoritmaya göre hareket ediyoruz: D \u003d (2 n) 2 - 4 a c \u003d 4 n 2 - 4 a c \u003d 4 (n 2 - a c) ayırıcıyı belirliyoruz ve sonra kök formülü kullanıyoruz:

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - bir c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - bir c 2 a, x \u003d - n ± n 2 - a ca.

N 2 - a · c ifadesi D 1 olarak gösterilsin (bazen D "ile gösterilir). Ardından ikinci katsayısı 2 n olan ikinci dereceden denklemin kökleri için formül şu şekli alacaktır:

x \u003d - n ± D 1 a, burada D 1 \u003d n 2 - a · c.

D \u003d 4 · D 1 veya D 1 \u003d D 4 olduğunu görmek kolaydır. Başka bir deyişle, D 1, ayrımcının dörtte biridir. Açıktır ki, D1'in işareti D'nin işareti ile aynıdır, bu da D1'in işaretinin ikinci dereceden bir denklemin köklerinin varlığının veya yokluğunun bir göstergesi olarak da hizmet edebileceği anlamına gelir.

Tanım 11

Bu nedenle, ikinci katsayısı 2 n olan ikinci dereceden denkleme bir çözüm bulmak için gereklidir:

d 1 \u003d n 2 - a · c'yi bulun;
d 1'de< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
d 1 \u003d 0 olduğunda, denklemin tek kökünü x \u003d - n a formülüyle belirleyin;
d 1\u003e 0 için x \u003d - n ± D 1 a formülüyle iki gerçek kök tanımlayın.

Örnek 9

İkinci dereceden denklem 5 x 2 - 6 x - 32 \u003d 0'ı çözmek gerekir.

Karar

Verilen denklemin ikinci katsayısı 2 · (- 3) olarak temsil edilebilir. Sonra verilen ikinci dereceden denklemi 5 x 2 + 2 (- 3) x - 32 \u003d 0 olarak yeniden yazarız, burada a \u003d 5, n \u003d - 3 ve c \u003d - 32.

Ayrıştırıcının dördüncü bölümünü hesaplıyoruz: D 1 \u003d n 2 - a c \u003d (- 3) 2-5 (- 32) \u003d 9 + 160 \u003d 169. Ortaya çıkan değer pozitiftir, yani denklemin iki gerçek kökü vardır. Bunları ilgili kök formülüne göre tanımlayalım:

x \u003d - n ± D 1 a, x \u003d - - 3 ± 169 5, x \u003d 3 ± 13 5,

x \u003d 3 + 13 5 veya x \u003d 3-13 5

x \u003d 3 1 5 veya x \u003d - 2

İkinci dereceden bir denklemin kökleri için olağan formülü kullanarak hesaplamalar yapmak mümkün olabilir, ancak bu durumda çözüm daha külfetli olacaktır.

Cevap: x \u003d 3 1 5 veya x \u003d - 2.

İkinci Dereceden Denklemlerin Görünümünü Basitleştirme

Bazen orijinal denklemin şeklini optimize etmek mümkündür, bu da köklerin hesaplanma sürecini basitleştirir.

Örneğin, 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 ikinci dereceden denklemi çözmek için 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0'dan açıkça daha uygundur.

Daha sık olarak, ikinci dereceden bir denklem biçiminin basitleştirilmesi, her iki bölümünü de belirli bir sayı ile çarparak veya bölerek gerçekleştirilir. Örneğin, yukarıda, her iki parçasını 100'e bölerek elde edilen 1200 x 2-400 x - 700 \u003d 0 denkleminin basitleştirilmiş bir gösterimini gösterdik.

Böyle bir dönüşüm, ikinci dereceden denklemin katsayıları eş asal sayılar olmadığında mümkündür. Daha sonra, genellikle, denklemin her iki tarafı, katsayılarının mutlak değerlerinin en büyük ortak bölenine bölünür.

Örnek olarak, 12 x 2 - 42 x + 48 \u003d 0 ikinci dereceden denklemi kullanıyoruz. OBEB katsayılarının mutlak değerlerinin OBEB değerini tanımlıyoruz: OBEB (12, 42, 48) \u003d OBEB (OBEB (12, 42), 48) \u003d OBEB (6, 48) \u003d 6. Orijinal ikinci dereceden denklemin her iki tarafını da 6'ya böldük ve eşdeğer ikinci dereceden denklem 2 x 2 - 7 x + 8 \u003d 0 elde edelim.

İkinci dereceden denklemin her iki tarafını çarparak, genellikle kesirli katsayılardan kurtulursunuz. Bu durumda, katsayılarının paydalarının en küçük ortak katı ile çarpın. Örneğin, ikinci dereceden denklem 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0'ın her bir parçası LCM (6, 3, 1) \u003d 6 ile çarpılırsa, daha basit bir biçimde yazılacaktır x 2 + 4 x - 18 \u003d 0.

Son olarak, hemen hemen her zaman ikinci dereceden denklemin ilk katsayısındaki eksi noktasından, denklemin her bir teriminin işaretlerini değiştirerek, her iki parçayı - 1 ile çarparak (veya bölerek) elde ettiğimizi not ederiz. Örneğin, ikinci dereceden denklem - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0'dan, basitleştirilmiş bir versiyonuna 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0 gidebilirsiniz.

Kökler ve katsayılar arasındaki ilişki

İkinci dereceden denklemlerin kökleri için zaten bilinen formül x \u003d - b ± D 2 · a, denklemin köklerini sayısal katsayıları cinsinden ifade eder. Bu formüle dayanarak, kökler ve katsayılar arasındaki diğer bağımlılıkları belirleyebiliyoruz.

En ünlü ve uygulanabilir olanı Vieta teoremi formülleridir:

x 1 + x 2 \u003d - b bir ve x 2 \u003d c a.

Özellikle, verilen ikinci dereceden denklem için, köklerin toplamı zıt işaretli ikinci katsayıdır ve köklerin çarpımı serbest terime eşittir. Örneğin, 3 x 2 - 7 x + 22 \u003d 0 ikinci dereceden denklem formuyla, köklerinin toplamının 7 3 ve köklerin çarpımının 22 3 olduğunu hemen belirlemek mümkündür.

İkinci dereceden denklemin kökleri ve katsayıları arasında bir dizi başka ilişki de bulabilirsiniz. Örneğin, ikinci dereceden bir denklemin köklerinin karelerinin toplamı katsayılar cinsinden ifade edilebilir:

x 1 2 + x 2 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 \u003d - ba 2 - 2 ca \u003d b 2 a 2 - 2 ca \u003d b 2 - 2 a ca 2.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen seçin ve Ctrl + Enter tuşlarına basın

Modern toplumda, değişken kare içeren denklemlerle eylem gerçekleştirme yeteneği, birçok faaliyet alanında yararlı olabilir ve pratikte bilimsel ve teknik gelişmelerde yaygın olarak kullanılır. Bu, deniz ve nehir gemilerinin, uçakların ve füzelerin tasarımıyla kanıtlanmaktadır. Bu tür hesaplamalar yardımıyla, uzay nesneleri de dahil olmak üzere çeşitli cisimlerin hareket yörüngeleri belirlenir. İkinci dereceden denklemlerin çözümüne ilişkin örnekler sadece ekonomik tahminlerde, binaların tasarımında ve yapımında değil, aynı zamanda en sıradan günlük koşullarda da kullanılır. Kamp gezilerinde, spor etkinliklerinde, alışveriş yaparken mağazalarda ve diğer çok yaygın durumlarda ihtiyaç duyulabilir.

İfadeyi kurucu faktörlere ayıralım

Bir denklemin derecesi, ifadenin içerdiği değişkenin derecesinin maksimum değeri ile belirlenir. 2'ye eşitse, böyle bir denklem sadece kare olarak adlandırılır.

Formüllerin dilini kullanırsak, bu ifadeler, nasıl görünürlerse görünsün, sol tarafı üç terimden oluştuğunda her zaman forma indirgenebilir. Bunlar arasında: ax 2 (yani, katsayısı ile karesi alınmış bir değişken), bx (katsayısı ile karesi olmayan bilinmeyen) ve c (serbest bir bileşen, yani sıradan bir sayı). Sağ taraftaki tüm bunlar 0'a eşittir. Benzer bir polinomun kendisini oluşturan terimlerden birinin eksik olması durumunda, eksen 2 haricinde, buna tamamlanmamış ikinci dereceden denklem denir. Bu tür problemlerin çözümü ile ilgili örnekler, bulunması kolay değişkenlerin değeri öncelikle düşünülmelidir.

İfade, ifadenin sağ tarafında iki terim, daha doğrusu ax 2 ve bx olacak şekilde görünüyorsa, x'i parantezlerin dışına yerleştirerek bulmak en kolay yoldur. Şimdi denklemimiz şöyle görünecek: x (ax + b). Ayrıca, ya x \u003d 0 olduğu ya da problemin aşağıdaki ifadeden bir değişken bulmaya indirgendiği açıktır: ax + b \u003d 0. Bu, çarpmanın özelliklerinden biri tarafından belirlenir. Kural, iki faktörün çarpımının yalnızca birinin sıfıra eşit olması durumunda 0 ile sonuçlanmasıdır.

Misal

x \u003d 0 veya 8x - 3 \u003d 0

Sonuç olarak, denklemin iki kökünü elde ederiz: 0 ve 0.375.

Bu tür denklemler, başlangıç \u200b\u200bolarak alınan belirli bir noktadan hareket etmeye başlayan yerçekimi etkisi altındaki cisimlerin hareketini tanımlayabilir. Burada matematiksel gösterim şu biçimi alır: y \u003d v 0 t + gt 2/2. Gerekli değerleri değiştirerek, sağ tarafı 0'a eşitleyerek ve olası bilinmeyenleri bularak, vücudun yükseldiği andan düştüğü ana kadar geçen süreyi ve diğer birçok miktarı öğrenebilirsiniz. Ama bunun hakkında daha sonra konuşacağız.

Bir İfadeyi Faktoring

Yukarıda açıklanan kural, bu sorunları daha karmaşık durumlarda çözmeyi mümkün kılar. Bu türden ikinci dereceden denklemlerin çözümü ile örnekleri ele alalım.

X 2 - 33x + 200 \u003d 0

Bu kare üç terimli tamamlandı. İlk önce ifadeyi dönüştürelim ve çarpanlarına ayıralım. İki tane var: (x-8) ve (x-25) \u003d 0. Sonuç olarak, 8 ve 25 olmak üzere iki kökümüz var.

9. sınıftaki ikinci dereceden denklemlerin çözümüne ilişkin örnekler, bu yöntemin sadece ikinci sıradaki ifadelerde değil, üçüncü ve dördüncü mertebeden bile bir değişken bulmasına izin verir.

Örneğin: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 \u003d 0. Sağ tarafı değişkenli faktörlere ayırırken, üç tane var, yani (x + 1), (x-3) ve (x + 3).

Sonuç olarak, bu denklemin üç köke sahip olduğu ortaya çıkıyor: -3; -1; 3.

Karekökün çıkarılması

Tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklemin bir başka durumu, harflerin dilinde, sağ tarafın eksen 2 ve c bileşenlerinden oluşturulacak şekilde temsil edilen bir ifadedir. Burada değişkenin değerini elde etmek için serbest terim sağ tarafa aktarılır ve ardından eşitliğin her iki tarafından karekök çıkarılır. Bu durumda, genellikle denklemin iki kökü olduğu unutulmamalıdır. Tek istisna, c terimini hiç içermeyen, değişkenin sıfıra eşit olduğu eşitlikler ve sağ taraf negatif olduğunda ifade varyantlarıdır. İkinci durumda, yukarıdaki eylemler köklerle yapılamayacağından hiçbir çözüm yoktur. Bu türden ikinci dereceden denklemlerin çözüm örnekleri dikkate alınmalıdır.

Bu durumda denklemin kökleri -4 ve 4 sayıları olacaktır.

Arazi alanının hesaplanması

Bu tür hesaplamalara duyulan ihtiyaç eski zamanlarda ortaya çıktı, çünkü bu uzak zamanlarda matematiğin birçok yönden gelişmesi, arazi parsellerinin alanlarını ve çevresini en büyük doğrulukla belirleme ihtiyacından kaynaklanıyordu.

Bu tür problemlere dayanan ikinci dereceden denklem çözme örnekleri bizim tarafımızdan düşünülmelidir.

Diyelim ki genişliğinden 16 metre daha uzun dikdörtgen bir arazi parçası var. Alanının 612 m 2 olduğunu biliyorsanız, sitenin uzunluğunu, genişliğini ve çevresini bulun.

İşe dönerken, önce gerekli denklemi çizelim. Bölümün genişliğini x ile gösterelim, sonra uzunluğu (x + 16) olacaktır. Yazılanlara göre alan, problemimizin durumuna göre 612 olan x (x + 16) ifadesi tarafından belirlenir. Bu x (x + 16) \u003d 612 anlamına gelir.

Tam ikinci dereceden denklemlerin çözümü ve bu ifade tam da bu, aynı şekilde yapılamaz. Neden? Sol tarafı hala iki faktör içermesine rağmen, ürün hiç 0 değildir, bu nedenle burada diğer yöntemler geçerlidir.

Ayrımcı

Öncelikle gerekli dönüşümleri yapacağız, sonra bu ifadenin görünümü şöyle görünecek: x 2 + 16x - 612 \u003d 0. Bu, daha önce belirtilen standarda karşılık gelen formda bir ifade aldığımız anlamına gelir, burada a \u003d 1, b \u003d 16, c \u003d -612.

Bu, ikinci dereceden denklemleri ayırıcı yoluyla çözmenin bir örneği olabilir. Burada şemaya göre gerekli hesaplamalar yapılır: D \u003d b 2 - 4ac. Bu yardımcı miktar, yalnızca ikinci dereceden denklemde gerekli miktarların bulunmasını mümkün kılmakla kalmaz, olası seçeneklerin sayısını da belirler. D\u003e 0 ise iki tane var; D \u003d 0 için bir kök vardır. D ise<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Kökler ve formülleri hakkında

Bizim durumumuzda ayırt edici: 256 - 4 (-612) \u003d 2704. Bu, sorunumuzun bir cevabı olduğunu gösterir. Biliyorsanız, k, ikinci dereceden denklemlerin çözümüne aşağıdaki formül kullanılarak devam edilmelidir. Kökleri hesaplamanıza izin verir.

Bu, sunulan durumda şu anlama gelir: x 1 \u003d 18, x 2 \u003d -34. Bu ikilemde ikinci seçenek çözüm olamaz, çünkü arsanın boyutları negatif değerlerle ölçülemez, yani x (yani arsanın genişliği) 18 m'dir Buradan uzunluğu hesaplıyoruz: 18 + 16 \u003d 34 ve çevre 2 (34+ 18) \u003d 104 (m2).

Örnekler ve görevler

İkinci dereceden denklemleri incelemeye devam ediyoruz. Örnekler ve bunlardan birkaçı için ayrıntılı bir çözüm aşağıda verilecektir.

1) 15x 2 + 20x + 5 \u003d 12x 2 + 27x + 1

Her şeyi eşitliğin sol tarafına aktaralım, bir dönüşüm yapalım, yani genellikle standart denilen denklemin şeklini alalım ve sıfıra eşitleyelim.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 \u003d 0

Benzerlerini ekleyerek ayırıcıyı tanımlıyoruz: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Yani denklemimizin iki kökü olacak. Bunları yukarıdaki formüle göre hesaplayalım, yani ilki 4/3, ikincisi 1 olacak.

2) Şimdi farklı türden bilmeceleri ortaya çıkaracağız.

Burada x 2 - 4x + 5 \u003d 1'de herhangi bir kök olup olmadığını öğrenelim. Kapsamlı bir cevap elde etmek için, polinomu uygun bilindik biçime getirelim ve ayırıcıyı hesaplayalım. Bu örnekte, ikinci dereceden denklemin çözümü gerekli değildir, çünkü sorunun özü hiç de bu değildir. Bu durumda, D \u003d 16 - 20 \u003d -4, bu da gerçekten kök olmadığı anlamına gelir.

Vieta teoremi

İkinci dereceden denklemleri yukarıdaki formüllerle çözmek ve karekök ikincisinin değerinden çıkarıldığında ayırt etmek uygundur. Ancak bu her zaman böyle değildir. Bununla birlikte, bu durumda değişkenlerin değerlerini almanın birçok yolu vardır. Örnek: İkinci dereceden denklemleri Vieta teoremi ile çözme. Adını, 16. yüzyıl Fransa'sında yaşayan ve matematiksel yeteneği ve mahkemedeki bağlantıları sayesinde parlak bir kariyer yapan bir adamın adını almıştır. Makalesinde portresi görülebilir.

Ünlü Fransız'ın fark ettiği desen aşağıdaki gibiydi. Toplamdaki denklemin köklerinin sayısal olarak -p \u003d b / a'ya eşit olduğunu ve bunların çarpımının q \u003d c / a'ya karşılık geldiğini kanıtladı.

Şimdi belirli görevlere bakalım.

3x 2 + 21x - 54 \u003d 0

Basit olması için ifadeyi dönüştürüyoruz:

x 2 + 7x - 18 \u003d 0

Vieta teoremini kullanacağız, bu bize şunu verecek: köklerin toplamı -7 ve çarpımları -18. Buradan denklemin köklerinin -9 ve 2 sayıları olduğunu anlıyoruz. Bir kontrol yaptıktan sonra, değişkenlerin bu değerlerinin ifadeye gerçekten uyduğundan emin olacağız.

Parabol grafiği ve denklemi

İkinci dereceden fonksiyon ve ikinci dereceden denklem kavramları yakından ilişkilidir. Bunun örnekleri daha önce verilmiştir. Şimdi matematik bulmacalarından bazılarına daha yakından bakalım. Tanımlanan tipteki herhangi bir denklem görselleştirilebilir. Grafik şeklinde çizilen böyle bir bağımlılığa parabol denir. Çeşitli türleri aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

Herhangi bir parabolün bir tepe noktası vardır, yani dallarının ortaya çıktığı bir nokta. Eğer a\u003e 0 ise, yüksekten sonsuza giderler ve a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Fonksiyonların görsel temsilleri, ikinci dereceden olanlar da dahil olmak üzere herhangi bir denklemin çözülmesine yardımcı olur. Bu yönteme grafik denir. Ve x değişkeninin değeri, grafik çizgisinin 0x ile kesiştiği noktalardaki apsis koordinatıdır. Köşe koordinatları, az önce verilen x 0 \u003d -b / 2a formülüyle bulunabilir. Ve elde edilen değeri fonksiyonun orijinal denklemine yerleştirerek, y 0'ı, yani ordinat eksenine ait olan parabolün tepe noktasının ikinci koordinatını öğrenebilirsiniz.

Parabolün dallarının apsis ekseni ile kesişimi

İkinci dereceden denklemlerin çözümü ile ilgili birçok örnek var, ancak genel modeller de var. Onları düşünelim. A\u003e 0 için grafiğin 0x ekseni ile kesişmesinin ancak y 0 negatif değerler alması durumunda mümkün olduğu açıktır. Ve bir<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Aksi takdirde, D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Kökler ayrıca parabol grafiğinden de belirlenebilir. Bunun tersi de doğrudur. Yani, ikinci dereceden bir fonksiyonun görsel bir görüntüsünü elde etmek kolay değilse, ifadenin sağ tarafını 0'a eşitleyebilir ve elde edilen denklemi çözebilirsiniz. Ve 0x ekseni ile kesişme noktalarını bilmek, bir grafik oluşturmak daha kolaydır.

Tarihten

Değişken kare içeren denklemlerin yardımıyla eski günlerde sadece matematiksel hesaplamalar yapıp geometrik şekillerin alanlarını belirlemiyorlardı. Kadim insanlar, fizik ve astronomi alanındaki görkemli keşifler ve astrolojik tahminler yapmak için bu tür hesaplamalara ihtiyaç duyuyordu.

Modern bilim adamlarının varsaydığı gibi, Babil sakinleri ikinci dereceden denklemleri ilk çözenler arasındaydı. Çağımızdan dört asır önce oldu. Elbette, hesaplamaları şu anda kabul edilenlerden temelde farklıydı ve çok daha ilkel olduğu ortaya çıktı. Örneğin Mezopotamya matematikçilerinin negatif sayıların varlığı hakkında hiçbir fikri yoktu. Ayrıca, zamanımızın herhangi bir okul çocuğunun bildiği diğer inceliklere aşina değillerdi.

Belki de Babil bilim adamlarından daha önce, Hindistan Baudhayama'dan gelen bilge ikinci dereceden denklemlerin çözümünü ele aldı. Mesih çağının ortaya çıkmasından yaklaşık sekiz yüzyıl önce oldu. Doğru, ikinci mertebeden denklemler, verdiği çözme yöntemleri en basitiydi. Eski günlerde kendisine ek olarak Çinli matematikçiler de benzer sorularla ilgileniyorlardı. Avrupa'da kuadratik denklemler ancak 13. yüzyılın başında çözülmeye başlandı, ancak daha sonra Newton, Descartes ve diğerleri gibi büyük bilim adamları tarafından çalışmalarında kullanıldılar.