Öğretmen daha Yüksek Kategori: Minaichenko N.S., Gymnasium №24, Sevastopol
8. sınıfta ders: "Kare Train ve Kökleri"
Dersin Türü : Yeni bilgi dersi.
Dersin amacı:
Öğrencilerin aktivitelerini, kare üç ayrışmanın doğrusal faktörler üzerindeki ayrıştırılması hakkındaki konsolidasyon ve gelişimi konusundaki faaliyetlerini organize etmek, fraksiyonların azaltılması;
Çarpıcıların tüm ayrışmasının tümü hakkında bilgi kullanımında becerileri geliştirir: Kısaltmaların Kısaltılmış Çarpma Formüllerini Kullanarak Kısaltmaların Eşlenmesi, İçin Hazırlama Amacı için başarılı teslim olma Cebir Sınavı;
konuyla ilgili bilişsel ilginin geliştirilmesi için koşullar oluşturun, oluşum mantıksal düşünme ve çarpanlarda ayrışma kullanırken kendiliğinden kontrol.
Ekipman: Multimedya Projektör, Ekran, Sunum: "Kare Üç Çekim Kökleri", Bulmaca, Test, Dağıtım Malzemesi.
Temel konseptler . Karenin üçlüünün çarpanlara ayrılması.
Öğrencilerin bağımsız faaliyetleri. Teorem'in kare üçerin ayrışmasında, problem çözmede çarpanlara kadar kullanılması.
Ders planı
Görevleri çözme.Öğrencilerin sorularına cevaplar
İv. Bilgi öğrenmenin birincil doğrulanması. Yansıma
Öğretmenin mesajı.
Mesaj öğrencisi
V. Ödev
Tahtaya kayıt
Metodik yorum:
Bu konu bölümde esastır " Özdeş dönüşümler cebirsel ifadeler" Bu nedenle, öğrencilerin yalnızca çarpanlar için ayrışma formülü örneklerinde otomatik olarak göremeleri önemlidir, aynı zamanda bunları da diğer görevlerde uygulamak için: Denklemleri çözmek, ifadelerin dönüşümü, kimliklerin kanıtı gibi.
Bu konuda, netleme, bir karenin üçlüünün çarpanlara ayrışmasıdır:
balta. + BX + C \u003d A (x - x) (X - x
),
nerede x ve x - kökler kare denklemi AX + BX + C \u003d 0.
Bu, öğrencinin görüş alanını genişletmenize izin verir, düşünmesini öğretin standart DurumÇalışan materyalin kullanılması, yani Kare üçlüünün ayrışma formülünü çoğalır.
cebirsel fraksiyonları azaltabilme;
cebirsel ifadeleri basitleştirme yeteneği;
denklemleri çözme yeteneği;
kimlikleri kanıtlama yeteneği.
Dersin ana içeriği:
a) 3x + 5x - 2;
b) -x + 16x - 15;
c) x - 12x + 24;
d) -5x + 6x - 1.
№2. Kesirinizi azaltın:
№3. İfadeyi basitleştirin:
№4. Denkleminize karar verin:
b) 
Sınıflar sırasında:
I. Bilginin gerçekleştirilmesi aşaması.
Eğitim faaliyetlerinin motivasyonu.
a) Tarihten:
b) bulmaca:
Aklın Egzersiz Egzersizi - Bulmaca:
Yatay olarak:
1) İkinci derecenin kökü denir .... (Meydan)
2) Denklemin sadık eşitlik (kök) olduğu değişkenin değerleri
3) Bilinmeyen bir eşitlik denir ... (denklem)
4) Hint bilimcisihangi özetlenen genel kural Kare denklemlerin çözümleri (Brahmagupta)
5) Kare denklemin katsayıları ... (sayılar)
6) Denklemleri çözme (EUCLID) geometrik bir yöntem icat eden eski bir Yunan bilim adamı
7) Kare denkleminin katsayılarını ve köklerini bağlayan teorem (Vieta)
8) "Ayırt edici", kare denkleminin köklerini belirleme - bu ... (ayrımcı)
Bunlara ek olarak:
D\u003e 0 ise, kaç kök? (iki)
D \u003d 0 ise, kaç kök? (bir)
Eğer D<0, сколько корней? (нет действительных корней)
Dersin yatay ve dikey teması: " Kare traj»
b) Motivasyon:
Bu konu "cebirsel ifadelerin özdeş dönüşümleri" bölümünde temeldir. Bu nedenle, otomatik olarak çarpıcılardaki tanım formüllerinin örneklerini otomatik olarak göremezsiniz, aynı zamanda bunları diğer görevlerde uygulamak için: fraksiyonlarda bir azalma, örneğin, denklemleri çözme, ifadelerin dönüşümü, kimliklerin kanıtı gibi .
Bugün, kare trottelerinin çarpanlardaki ayrışmasına odaklanacağız:
II. Yeni bir malzeme okumak.
Konu: Kare tranchlen ve kökleri.
Birçok değişkenin polinomu teorisi, okul kursundan uzaktır. Bu nedenle, kendimizi polinomların bir gerçek değişkenle ve hatta en basit durumlarda bile kısıtlıyoruz. Standart forma verilen bir değişkenin polinomlarını düşünün.
Kök polinomu Bir değişkenin değeri, polinomun değeri sıfırdır. Polinomun köklerini bulmak anlamına gelir, sıfıra eşitlemek gerekir, yani. denklemi çöz.
Birinci derece çok sayıda kök 
bulması kolay 
. Kontrol: 
.
Kare üç dekar kökleri, denklemi çözerek bulunabilir: 
.
Kare denklemin köklerinin formülüne göre, buluruz:
; 
Eğer bir 
ve 
Bilinen Kare Üç Çekim 
nerede 
≠ 0,
sonra.
Kanıt:
Aşağıdaki kare üç düşüşün dönüşümünü gerçekleştirin:
=
=
=
=
=
=
=
=
Ayrımcılıktan beri 
Alacağız:
=
=
Kareler farkının formülünde parantez içinde başvururuz ve:
=
=
,
gibi ; . Teoremi kanıtlandı.
Elde edilen formül formül olarak adlandırılır.meydanın ayrışması çarpanlar için üç ayrıştırmadir.
III. Beceri ve becerilerin oluşumu.
№1. Çarpıcılar kare trameech'e yayıldı:
a) 3x + 5x - 2;Karar:
Cevap: 3x + 5x-2 \u003d 3 (x + 2) (x -) \u003d (x + 2) (3x-1)
Masada:
b) -5x + 6x - 1;
Bunlara ek olarak:
c) x - 12x + 24;
d) -x + 16x - 15.
№2. Kesirinizi azaltın:
fakat)
№4. Denkleminize karar verin:
b)
İv. Bilgi öğrenmenin birincil doğrulanması.
fakat) Ölçek.
Seçenek 1.
1. Kare üç ayakkabı köklerini bulun: 2 kere 2 -9x-5.
Cevap:
2. Eşitliğe sadık olmak için noktalar yerine bir polinomun ne yapılması gerektiği:
b) karşılıklı test (Yanıtlar ve tahmin parametreleri gösterilir).
c) Yansıma.
V. Ödev.
Birçok fiziksel ve geometrik desenlerin çalışması genellikle parametrelerle ilgili sorunları çözmeye yol açar. Bazı üniversiteler ayrıca sınav biletlerini, eşitsizlikleri ve sistemlerini sıklıkla çok karmaşık olan ve çözüme standart olmayan bir yaklaşım gerektiren içerir. Okulda, bu okul yılı cebirinin en zor bölümlerinden biri sadece birkaç isteğe bağlı veya konu dersinde kabul edilir.
Benim görüşüme göre, işlevsel grafik yöntemi, parametre ile denklemleri çözmek için uygun ve hızlı bir yoldur.
Bildiğiniz gibi, parametrelerle denklemler için iki ayar vardır.
- Denklemi çözün (parametrenin her değeri için, denklemin tüm çözümlerini bulmak için).
- Her birinin belirtilen koşulları yerine getirdiği her birinin tüm parametre değerlerini bulun.
Bu yazıda, ikinci tipin görevini, kare denklemini çözmek için azaltılmış olan kare üç düşüşün kökleri ile ilgili olarak düşünür ve inceler.
Yazar, bu çalışmanın öğretmenlere derslerin geliştirilmesinde ve öğrencileri sınava hazırlarken yardımcı olacağını umuyor.
1. Parametre nedir
Türün ifadesi ah 2 + BX + Cokul yılında cebire kare üç melan denir. x,nerede a, b,c - Geçerli numaraları ayarlayın ve a. \u003d / \u003d 0, ifadenin sıfıra hitap eden X değişkeninin değerleri, kare üç ayakkabının kökleri olarak adlandırılır. Kare üç dekarın köklerini bulmak için, kare denklemini çözmek gerekir. ah 2 + Bx + c \u003d0.
Cebir Temel Denklemlerinin okul yılından hatırlama ah + b \u003d0;
aH2 + BX + C \u003d 0. Köklerini ararken, değişken değerler a, B, C,denklemde bulunan denklem sabit olarak kabul edilir ve belirtilir. Değişkenlerin kendileri parametre denir. OKUL, okulda ders kitaplarında parametrenin bir tanımı yoktur, bir sonraki en basit seçeneği bir temel olarak almanızı öneririm.
Tanım.Parametrenin, belirli bir sabit veya keyfi gerçek numara olarak kabul edilen, değeri, belirli bir sabit veya keyfi gerçek numara olarak kabul edilir veya önceden belirlenmiş bir kümeye ait bir sayı olarak adlandırılır.
2. Parametrelerle ilgili sorunları çözmek için ana tipler ve yöntemler
Parametrelerle olan görevler arasında, aşağıdaki ana görev türleri ayırt edilebilir.
- Parametrenin (parametrelerin) herhangi bir değeri (parametreler) veya önceden belirtilen bir kümeye ait parametre değerleri için çözülmesi gereken denklemler. Örneğin. Denklemleri çözün: ah \u003d.1, (a -2)x \u003d A. 2 – 4.
- Parametrenin değerine (parametre) bağlı olarak çözüm sayısını belirlemek istediğiniz denklemler. Örneğin. Parametrenin değerleri altında a.denklem 4h. 2 – 4 AH + 1 \u003d 0tek kök mi?
- İstenilen parametre değerleri ile, çözeltiler kümesi, tanım alanındaki belirtilen koşulları yerine getirdiği denklemler.
Örneğin, denklemin köklerinin (aşağıdaki parametrenin değerlerini bulun ( a -2)h. 2
–
2aH + A +3 =
0
pozitif.
Parametre ile ilgili sorunları çözmenin ana yolları: analitik ve grafik.
Analitik- Bu, parametre olmadan görevlerde bir cevap bulmak için standart prosedürleri tekrarlayan bir şekilde doğrudan çözümün bir yoludur. Böyle bir görevin bir örneğini düşünün.
Görev numarası 1.
Parametrenin ve denklemin hangi değerlerinde H. 2 – 2aH + A. 2 - 1 \u003d 0, boşluğa (1; 5) ait iki farklı kök var mı?
Karar
h. 2 –
2aH + A. 2 –
1 = 0.
Sorunun durumu altında, denklemin iki farklı kök olması gerekir ve bu sadece şart altında mümkündür: D\u003e 0.
Biz var: D \u003d 4 a. 2 – 2(fakat 2 - 1) \u003d 4. Gördüğümüz gibi, ayrımcılığın A'ya bağlı olmadığını, bu nedenle, denklemin A parametresinin herhangi bir değerinde iki farklı kök vardır. Denklemin köklerini bulun: h. 1 = fakat + 1, h. 2
= fakat – 1
Denklemin kökleri boşluğa (1; 5), yani
Yani, 2'de< fakat < 4 данное уравнение имеет
два различных корня, принадлежащих промежутку (1;
5)
Cevap: 2.< fakat < 4.
Söz konusu türün hedeflerini çözmek için bu yaklaşım, kare denkleminin ayrımcısının "iyi" olduğu durumlarda mümkündür ve rasyoneldir. Ters istasyonun teoreminde herhangi bir sayının veya ekspresyonun veya ocağın kökününün tam bir karesidir. Ardından, kökler irrasyonel ifadeleri temsil etmiyor. Aksi takdirde, bu türdeki problemleri çözme, teknik bir bakış açısıyla oldukça karmaşık prosedürlerle ilişkilidir. Evet ve irrasyonel eşitsizliklerin çözümü yeni bir bilgi öğrencisi gerektirir.
Grafik - Bu, grafiklerin koordinat düzleminde (x; y) veya (x; a) kullanıldığı bir yöntemdir. Bu çözüm yönteminin görselliği ve güzelliği, sorunu çözmenin hızlı bir yolunu bulmaya yardımcı olur. Sorunu 1 numaralı numarayı grafiksel olarak çözeceğiz.
Kare denklemin cebir kökleri boyunca bilindiği gibi (kare üç parçalı kare), karşılık gelenlerin sıfırlarıdır. İkinci dereceden fonksiyon: U \u003d. h. 2
– 2oh + fakat 2 - 1. İşlevin grafiği parabol, dallar yukarı doğru yönlendirilir (ilk katsayısı 1). Görevin tüm gereksinimlerini karşılayan geometrik model böyle görünüyor.
Şimdi bir parabol'ı gerekli koşullarla istenen pozisyonda "düzeltmek" kalır.
- Parabola eksenli iki kavşak noktasına sahip olduğundan h., sonra d\u003e 0.
- Parabolun üst kısmı dikey düz arasında h. \u003d 1 I. h. \u003d 5, bu nedenle, Parabol X O Verinx'in abscısası boşluğa (1; 5), yani
1 <h. hakkında< 5. - Bunu fark ettik w.(1) > 0, w.(5) > 0.
Öyleyse, sorunun geometrik modelinden analitik hale getirerek, bir eşitsizlik sistemi alıyoruz.
Cevap: 2.< fakat < 4.
Örnekte görülebileceği gibi, söz konusu olan türün görevlerini çözmek için grafik yöntemi, köklerin "kötü" olduğu durumlarda mümkündür. Radikalin işareti altındaki parametreyi içerir (bu durumda, denklemin ayrımcılığı tam bir kare değildir).
İkinci yolda, denklem katsayıları ve fonksiyon değerinin alanıyla çalıştık. w. = h. 2 – 2oh + fakat 2
– 1.
Bu çözüm sadece grafik olarak adlandırılamaz, çünkü Burada eşitsizlik sistemini çözmelisin. Aksine, bu yöntem birleştirilir: fonksiyonel grafik. Bu iki yoldan, ikincisi sadece zarif değil, aynı zamanda en önemli değil, her türlü matematiksel model arasındaki ilişki tarafından görüldüğü için de en önemlisi: Sorunun sözlü bir açıklaması, bir geometrik model - kare üç ilan edilen bir grafik, analitik Model - Eşitsizlik sisteminin geometrik modelinin açıklaması.
Bu nedenle, kare üçünün köklerinin azaldığı görevi, tanım alanındaki belirtilen koşulları, parametrenin istenen değerleri ile karşıladığını düşündük.
Ve diğer olası koşullar, parametrenin istenen değerleri ile kare üç düşüşün köklerini tatmin edebilir?
Üç kare köklerini bulmak
Hedefler: ikinci dereceden üç parçalanmış ve kökleri kavramını tanıtmak; Kare üç çekimin köklerini bulma yeteneğinin oluşturulması.
Sınıflar sırasında
I. Organizasyon anı.
II. Oral iş.
Hangi sayılar: -2; -bir; bir; 2 - denklemlerin kökleri mi?
a) 8. h. + 16 \u003d 0; içinde) h. 2 + 3h. – 4 = 0;
b) 5. h. 2 - 5 \u003d 0; d) h. 3 – 3h. – 2 = 0.
III. Yeni bir malzemenin açıklaması.
Aşağıdakilerden aşağıdakileri yapmak için yeni malzemenin açıklaması:
1) Polinomun kökü kavramını girin.
2) kare üç parçalı ve kökleri kavramını girin.
3) Olası kare üç parçalı köklerin sorusunu sökün.
Kare üç düşüşten bir Bıçak karesinin seçimi sorusu, bir sonraki derste sökülmek daha iyidir.
Yeni malzemenin açıklamasının her aşamasında, öğrencilere teorinin ana noktalarının asimilasyonunu kontrol etmek için sözlü bir görev sunmak gerekir.
CA D ve N ve E 1. Hangi sayılar: -1; bir; ; 0 - polinomun kökleridir h. 4 + 2h. 2 – 3?
CA D ve N ve E 2. Aşağıdaki polinomlardan hangisi kare üç hisseleridir?
1) 2h. 2 + 5h. – 1; 6) h. 2 – h. – ;
2) 2h. – ; 7) 3 – 4h. + h. 2 ;
3) 4h. 2 + 2h. + h. 3 ; 8) h. + 4h. 2 ;
4) 3h. 2 – ; 9) 
+ 3h. – 6;
5) 5h. 2 – 3h.; 10) 7h. 2 .
Kare üçlülerin hangisi kök 0 var?
W ve d a n e e 3. Üç kare üç köklü olabilir mi? Neden? Kaç tane kök kare var h. 2 + h. – 5?
İv. Beceri ve becerilerin oluşumu.
Egzersizler:
1. № 55, № 56, № 58.
2. No. 59 (A, B, D), No. 60 (A, B).
Bu görevde, üç bayatlı kökleri aramanıza gerek yoktur. Ayrımcılarını bulmak ve soruyu cevaplamak yeterlidir.
a) 5. h. 2 – 8h. + 3 = 0;
D. 1 = 16 – 15 = 1;
D. 1 0, bu kare üç azalmanın iki kökleri olduğu anlamına gelir.
b) 9. h. 2 + 6h. + 1 = 0;
D. 1 = 9 – 9 = 0;
D. 1 \u003d 0, kare üç düşüşün bir kök olması anlamına gelir.
7'de h. 2 + 6h. – 2 = 0;
7h. 2 – 6h. + 2 = 0;
D. 1 = 9 – 14 = –5;
Zaman kalırsa, № 63'ü uygulayabilirsiniz.
Karar
İzin vermek balta. 2 + bX. + c. - Bu kare üçlü. Gibi a.+ b. +
+ C. \u003d 0, sonra bu üçün köklerinden biri azalır 1. Vieta teoreminde, ikinci kök eşittir. Koşuya göre dan = 4fakat, bu yüzden bu kare üç dekarın ikinci kökü eşittir 
.
O t v e t: 1 ve 4.
V. Dersin sonuçları.
H ve bende ve m de benimle birlikte:
- Polinomun kökü nedir?
- Üç vuruşta meydana gelen polinom nelerdir?
- Kare üç ayakkabı köklerini nasıl bulabilirsiniz?
- Ayrımcı kare üç ayakkabı nedir?
- Kaç tane kök kare üç bayat alabilir? Bu neye bağlıdır?
Ödev: 57, No. 59 (B, G, E), No. 60 (B, D), No. 62.
Tema dersi: "Üç yarısı ve köklerini kare."
Dersin amacı: Öğrencileri üç parçalı kare ve kökleri kavramıyla tanıştırmak, karenin kare karesinin meydanının seçiminde görevlerini çözme becerilerini ve becerilerini geliştirmek.
Dersin İçeriği dört ana aşama:
Bilgi kontrolü
Yeni malzemenin açıklaması
Üreme konsolidasyonu.
Eğitim konsolidasyonu.
Yansıma.
1. Aşama. Bilgi kontrolü.
Öğretmen, önceki dönemin materyali tarafından "Kopyalama altında" bir matematiksel dikte yapar. Dikte için, iki renkteki kartlar kullanılır: Mavi - 1 seçenek için, kırmızı -2 seçeneği.
Bu analitik işlev modellerinden, yalnızca ikinci dereceden birini seçin.
Düzenleme 1. U \u003d AH + 4, Y \u003d 45-4X, Y \u003d X² + 4x-5, Y \u003d X³ + X²-1.
Düzenleme 2. U \u003d 8X-B, Y \u003d 13 + 2X, Y \u003d -X² + 4X, Y \u003d -X³ + 4X²-1.
Resim şematik ikinci dereceden fonksiyonlar. Kuordinasyon düzlemindeki ikinci dereceden fonksiyonun konumunu açıkça belirlemek mümkündür. Cevap tartışmaya çalışın.
Kare denklemlere karar ver.
Seçenek 1. a) x² + 11x-12 \u003d 0
B) x² + 11x \u003d 0
Seçenek 2. a) x² -9x + 20 \u003d 0
B) x 20 x \u003d 0
4. Denklemleri çözmemek, kökleri olup olmadığını öğrenin.
Seçenek 1. a) x² + x + 12 \u003d 0
Seçenek 2. a) x² + x - 12 \u003d 0
Öğretmenin cevapları ilk iki çiftini kontrol eder. Alınan yanlış cevaplar tüm sınıf tarafından tartışılmaktadır.
| Seçenek 1. | Seçenek 2. |
| 1. y \u003d x² + 4x-5 | 1. y \u003d -x² + 4x |
| 2. Dallar yukarı, ancak pozisyonun kesinlikle yeterli veri olmadığını belirlemek mümkün değildir. | dallar aşağı, ancak kesinlikle pozisyonun veri yok olamayacağını kesinlikle belirler. |
| 3. a) -12; 1 b) -11; 0 | 3. a) 4; 5 b) 9; 0 |
| 4. D0, iki kök var |
2. aşama. Bir küme yapalım. Kare üç melan düşünürken hangi dernekleriniz var?
Küme derlemesi.
Olası cevaplar:
kare üç kazak, rütbeyi göz önünde bulundurmak için kullanılır. İşlevler;
zeros SQ'u bulabilirsiniz. Fonksiyonlar
ayrımcının değeri kök sayısını tahmin eder.
Gerçek süreçleri tarif eder.
Yeni bir malzemenin açıklaması.
Paragraf 2. Madde 3 s. 19-22.
İfadeler göz önünde bulundurulur ve üç parçalı karenin tanımı ve polinomun kökü (daha önce incelenen ifadelerin tartışılması sırasında)
Polinomun kökünün belirlenmesi formüle edilir.
Beyan edilen kare kare tanımı formüle edilmiştir.
Üç kararın çözeltisinin örnekleri ayırt edilir:
Kare üç ayakkabı köklerini bulun.
Kare üç dekarın fedainin karesini vurguluyoruz.
3x²-36x + 140 \u003d 0.
Tahmini eylem temelinin bir diyagramı hazırlanır.
Kare üç dekaletin bükülmüş serbest bırakılması için algoritma.
1. Eski kare katsayısının sayısal değerini yerleştirin Üç.
2. Aynı şekilde yapın ve 2. Bir ifadeyi dönüştürün,
formül kullanarak eşdeğer dönüşümler
(Parantezlerin arkasında ortak bir faktör yapmak; kare miktarı ve fark.
parantez içinde ifadeyi dönüştürün
toplamın toplamının toplamına tamamlamak
veya fark)
a² + 2AV + C² \u003d (A + C) ² A²-2AV + C² \u003d (A-B) ²
3 aşama. Tipik görevlerin çözümü (60 A, B; 61 A, 64 A, B; 61 A, 64 A, B) tahtada yapılır ve yorum yapılır.
4 aşama. 2Variant'ta bağımsız iş (No. 60A, B; 65 A, B). Öğrenciler, tahtadaki örnek çözümlerle kontrol edilir.
Ödev: s.3 (öğrenmeyi öğrenme, № 56, 61g, 64 g)
Yansıma. Öğretmen görevi verir: Çizimi kullanarak dersin her aşamasında ilerlemenizi değerlendirmek ve öğretmeni geçmek. (Görev ayrı sayfalarda yapılır, numune verilir).
Örneklem: 
Kullanımı, Şekildeki elemanların sırasını kullanarak, cehaletinizin ne aşamasında hangi aşamada geçerli olduğunu belirleyin. Bu aşamayı kırmızı olarak vurgulayın.
Matematik incelemelerinin uygulaması, parametrelerle olan görevlerin hem mantıksal hem de teknik planda en büyük karmaşıklığı temsil ettiğini ve dolayısıyla, bunları büyük ölçüde önceden belirleme yeteneğini, herhangi bir seviye sınavının başarılı incelemesini çözme yeteneğini göstermektedir.
Parametreleri olan görevlerde, bilinmeyen değerlerle birlikte, değerler dahil edilir, bunun, özel olarak belirtilmemesine rağmen, bazı sayısal setlerde bilinen ve belirtilen sayısal değerler olarak kabul edilir. Bu durumda, duruma dahil olan parametreler çözümün mantıksal ve teknik seyrini önemli ölçüde etkilemektedir. Bu tür görevler, temel matematikte literatürdeki "514 görevleri" kitabında bulunabilir. Ancak çoğu, dar bir sorun yelpazesini kapsar, formülasyonun ana vurgusunu ve problemlerin çözülmesi mantığında değil. Ek olarak, kitaplardan en başarılı olanlar uzun zamandır bibliyografik nadirdir. İşin sonunda, bir kitap listesi, makalelerin bir listesi, iş konusundaki iddiaların sınıflandırılmasını çizer. En önemlisi, Shamester A. KH'nin ödeneğidir. Denklemler ve parametrelerle eşitsizlikler.
Bu çalışmanın temel amacı, ana yemek cebirinin bazı anlamlı boşluklarının yenilenmesidir ve ikinci dereceden fonksiyonun özelliklerinin kullanımını oluşturan, bu, köklerinin bulunduğu yerlerin bulunduğu sorunların çözümünü önemli ölçüde kolaylaştırmayı mümkün kılan. bazı karakteristik noktalara göre kare denklemi.
İşin Görevleri:
Sayısal çizgide kare üç dekarın köklerinin yerlerinin olası vakalarını belirlemek;
Kare denklemleri, karenin köklerinin yerlerinin bir parametreyle çözmenize izin veren algoritmaları tanımlamanızı, sayısal düz çizgide üçündeki üç azalma;
Zorunlu seviyeye, karmaşıklığa kıyasla daha yüksek problemleri çözmeyi öğrenin; Serbest kullanım düzeyinde bir dizi teknik ve akıllı matematiksel beceri; Matematik Cezası'nın bir parçası olarak matematik kültürünü geliştirin.
Çalışmanın Nesnesi: Meydanın köklerinin yeri, doğrudan koordinatta ilan edildi.
Araştırma Konusu: parametre ile kare denklemler.
Araştırma yöntemleri. Parametre ile görevleri incelemek için ana yollar: analitik, grafik ve kombine (fonksiyonel - grafik). Analitik, parametre olmadan görevlere standart tepkileri tekrarlayan bir sözde doğrudan çözümün bir yoludur. Grafik, grafiklerin koordinat düzleminde (x; Y) kullandığı bir yöntemdir. Grafik yolun netliği, sorunu çözmek için hızlı bir yol bulmaya yardımcı olur. Bu iki yoldan, ikincisi sadece zarif değil, aynı zamanda en önemli değil, her türlü matematiksel model arasındaki ilişki tarafından görüldüğü için: sorunun sözlü bir açıklaması, bir geometrik model - bir kare üç parçalı grafik, bir Analitik Model - Kuadratik bir fonksiyon programında tanımlanan temel matematiksel ifadelerde derlenen eşitsizlik sisteminin geometrik modelinin bir açıklaması.
Çoğu durumda, parametre ile kare denklemlerin çözümü hacimli dönüşümlere yol açar. Hipotez: Kuadratik bir fonksiyonun özelliklerinin kullanımı, rasyonel eşitsizlikleri çözmek için azaltarak kararı önemli ölçüde kolaylaştırır.
Ana bölüm. Koordinattaki kare üç dekarın köklerinin yeri doğrudan
Kariyerinin köklerinin konumu ile ilişkili bazı iddiaların, f (x) \u003d AX2 + BX + C, sayısal doğrudan correidat noktalarındaki M ve P gibi m)
x1 ve X2 - kare üç parçalı kökler,
D \u003d B2-4AC- Ayrımcı kare üç beyan edildi, d≥0.
m, N, M1, M2, N1, N2 - SET numaraları.
Tüm akıl yürütme A\u003e 0 için kabul edilir,
İfade ilk
M sayı için, kare üç ayakkabının kökleri arasında bulunur (X1
Kanıt.
x1 durumunun altında.
Geometrik yorumlama
X1 ve X2, denklemin kökleri olsun. Ne zaman bir\u003e 0 f (x)
Görev 1. K eş denkleminin x2- (2k + 1) x + 3k-4 \u003d 0 değerlerinin hangi değerlerine sahip olduğu, biri 2'den az olan iki kök vardır, diğeri ise 2'den fazla?
Karar. f (x) \u003d x2- (2k + 1) x + 3k-4; x1.
K\u003e -2, Denklem X2- (2K + 1) X + 3K-4 \u003d 0, biri 2'den az olan iki kök vardır, diğeri ise 2'den fazla.
Cevap: K\u003e -2.
Görev 2. KX2 + (3K-2) X + K-3 \u003d 0 değerlerinin hangi değerlerinde farklı işaretlerin köklerine sahiptir?
Bu görev şu şekilde formüle edilebilir: K'nin hangi değerlerinde, 0 numarası bu denklemin kökleri arasında yatıyor.
Çözelti (1 yöntem) F (x) \u003d kx2 + (3k-2) x + k-3; x1.
2 Çözüm yöntemi (Vieta teoremini kullanarak). Kare denklemin bir kök (D\u003e 0) ve C / A'ları varsa
Görev 3. K eş denkleminin (K2-2) X2 + (K2 + K-1) X - K3 + K2 \u003d 0 değerlerine göre, biri k'den daha az ve diğer K?
f (x) \u003d (K2-2) X2 + (K2 + K-1) X - K3 + K2; X1 Kokun değerlerini değiştirilen ayarlanan setten değiştirin, bu değerler K D\u003e 0 ile olduğundan emin olun.
İkinci onay (a)
Kare üç ayakkabı kökleri için daha az sayı M (x1.
Kanıt: x1-m\u003e 0, x2-m 0; M2-MX1-MX2 + X1X2\u003e 0; M2- (X1 + X2) M + X1X2
Görev 4. Denklemin kökünün parametresinin hangi değerlerinde X2- (3K + 1) X + 2K2 + 4K-6 \u003d 0 daha az -1?
D≥0; (3k + 1) 2-4 (2k2 + 4k-6) ≥0; (K-5) 2≥0; k- herhangi biri; x0-3 / 2; K0. 1+ (3k + 1) + (2k2 + 4k-6)\u003e 0. 2 (K + 4) (K-1/2)\u003e 0. K1 / 2.
Onay İkinci (b)
Kare üç ayakkabı kökleri için daha fazla sayı M (M.
D ≥0; x0\u003e m; AF (m)\u003e 0.
M m koşulu tatmin olursa. M boşluğuna (x1; x2) ait olmadığından, bir\u003e 0 ve f (m) olduğunda f (m)\u003e o
Geri, eşitsizlik sisteminin gerçekleştirilmesine izin verin. D\u003e 0 durumundan, X1 ve X2 köklerinin varlığı (x1 m.
X1\u003e m olduğunu göstermek için kalır. D \u003d 0 ise, sonra x1 \u003d x2\u003e m. D\u003e 0, daha sonra F (X0) \u003d -D / 4A ve AF (X0) O ise, X0 ve M noktalarında, fonksiyon zıt karakterlerin değerlerini alır ve X1 boşluğa aittir (M; X0 ).
Görev 5. X2- (3M + 1) X + 2M2 + 4M-6 \u003d 0 A'nın kökünün M parametresinin hangi değerlerinde 1'den büyük? b) daha az -1?
Çözüm a) d≥0; D≥0; (3M + 1) 2-4 (2m2 + 4m-6) ≥0; x0\u003e m; X0\u003e 1; ½ (3M + 1)\u003e 1; F (m)\u003e 0. F (1)\u003e 0. 1- (3M + 1) + (2m2 + 4m-6)\u003e 0.
(M-5) 2≥0; M - herhangi bir m\u003e 1/3; M\u003e 1/3;
(2km-3) (m + 2)\u003e 0. M3 / 2. Cevap: m\u003e 3/2.
b) d≥0; (3M + 1) 2-4 (2m2 + 4m-6) ≥0; (M-5) 2 ≥0; M - herhangi bir x0-3 / 2; M0. 1+ (3M + 1) + (2m2 + 4m-6)\u003e 0. 2 (M + 4) (M-1/2)\u003e 0. M1 / 2.
Görev 6. Kök parametresinin hangi değerleri altında KX2- (2K + 1) x + 3 K -1 \u003d 0'dan fazla?
Karar. Açıkçası, görev aşağıdakilere eşdeğerdir: kare kökünün m parametresinin neye değerleri, üç dekaletin kökünün m'si 1'den fazla?
D≥0; D≥0 (2K + 1) 2-4K (3K-1) ≥0; 8k2-8k-1≤0; x0\u003e m; X0\u003e 1 (2K + 1) / (2k)\u003e 1; 2k + 1\u003e 2k; AF (m)\u003e 0. AF (1)\u003e 0. K (K- (2K + 1) + (3K-1))\u003e 0. 2k2-2k\u003e 0.
Bu sisteme karar vermek, bunu buluruz
Üçüncü ifade
Kare üç parçaların köklerinin m ve daha az n (m) daha büyük olması için
D ≥0; M 0 af (n)\u003e 0.
Not Özel özellikler grafikler.
1) Denklemin bir kökü vardır, bu da d\u003e 0 anlamına gelir.
2) Simetrinin ekseni, doğrudan x \u003d m ve x \u003d n arasında bulunur;
3) x \u003d m ve x \u003d n noktalarında, grafik eksen'in üzerinde bulunur, bu nedenle F (m)\u003e 0 ve f (n)\u003e 0 (M'de
Yukarıda listelenen koşullar (1; 2; 3) istenen parametre değerleri için gereklidir ve yeterlidir.
Görev 7. Hangi M X2-2MX + M2-2M + 5 \u003d 0, sayılar 4 modülü geçmez mi?
Karar. Sorunun durumu aşağıdaki gibi formüle edilebilir: M oranı gerçekleştirildiği
V sistemden bulunan değerler
D\u003e 0; M2 - (M2 - 2M + 5) ≥ 0;
4 ≤ X0 ≤ 4; -4 ≤ m≤ 4; F (-4) ≥ 0; 16 + 8m + m2 - 2m + 5 ≥ 0; f (4) ≥0; 16-8m + m2-2m + 5 ≥0; Çözümü bir segmenttir. Cevap: m.
Görev 8. Değerlerin hangi değerleri altında üç ayakkabıdır
(2m - 2) x2 + (m + 1) x + 1 daha fazla -1, ancak 0'dan az?
Karar. M değerleri sistemden bulunabilir
D≥0; (M + 1) 2-4 (2M-2) ≥ 0;
(2m - 2) / (- 1)\u003e 0 (2m -2) (2m -2 -m -1 + 1)\u003e 0;
(2m-2) f (0)\u003e 0; (2M-2)\u003e 0;
Cevap: m\u003e 2.
Dördüncü iddia (a)
Kare üç adımın daha küçük kökü için aralık (M; N) ve daha büyük biriydi (m)
D ≥0; AF (m)\u003e 0 af (n)
Kuadratik üç parçaların grafiği, bir kez tam olarak bir kez ekseni (M; N) ile geçer. Bu, X \u003d M ve X \u003d N, karenin üçünün değerin değerinden farklı olduğu anlamına gelir.
Görev 10. parametrenin hangi değerleri altında, ancak kare denkleminin sadece daha küçük bir kökü x2 + 2ach + a \u003d 0, X (0; 3) aralığına aittir.
Karar. (X) \u003d x2-2ach + a'daki üç eski kareyi düşünün. Program parabol. Parabol dalları yönlendirilir. X1, üç dekarın kökünden daha küçük olmasına izin verin. Görevin durumu altında, X1 boşluğa aittir (0; 3). Sorunun koşullarını karşılayan problemin geometrik modelini göstereceğim.
Eşitsizlik sistemine dönelim.
1) (0)\u003e 0 ve (3) 0. olduğunu fark ettik. Bu nedenle, bu durum eşitsizlik sisteminde kaydetmek için gerekli değildir.
Bu yüzden, aşağıdaki eşitsizlik sistemini alıyoruz:
Cevap: A\u003e 1.8.
Dördüncü iddia (b)
Kare üç ayakkabının daha büyük kökü için aralıklara (M; N) ve daha küçük değildi (X1)
D ≥0; AF (m) 0.
Dördüncü İfadesi (Kombine)
Yorum Yap. Görev, denklemin bir kökü olan parametrenin bir kökü değerlerinin (B; T) hangi değerlerine ait olduğu şekilde formüle edilmiş olduğunu varsayalım. Bu sorunu çözmek için, iki altlaştırıcı arasında ayrım yapmak gerekli değildir, cevap eşitsizlikten F (M) · f (n)
D ≥0; F (m) · f (n)
Görev 11. X2-MX + 6 \u003d 0 denkleminin sadece bir kökü olan 2
Karar. 4 (b) değerine dayanarak, M değerleri F (2) F (5) (10 - 2m) (10 - 2m) (31 - 5m) M2 - 24 \u003d 0, yani M \u003d ± 2√ durumundan bulunur. 6, M \u003d -2√6 x \u003d - √6, aralığa (2; 5), aralığa (2; 5) ait olan M \u003d 2√6 x \u003d √6 ile ait değildir.
Cevap: m (2√6) u (5; 31/5).
Beşinci iddia
Karenin kökleri için üç azalma ilişkiyi karşılamaktadır (X1)
D ≥0; AF (M) Görev 12. Eşitsizliğin X2 + 2 (M-3) X + M2-6M'nin tümünü bulun.
Karar. Aralıklı durumun altında (0; 2), m - + 2 (m - 3) x + m2 - 6m'lik, M'nin 5 değerlerine dayanarak, m2 + 2 (m - 3) x + m2 - 6m, sistemden bulduğumuzda bulunmalıdır. eşitsizliklerin f (0) ≤ 0; m2-6m ≤ 0; M F (2) ≤ 0.4 + 4 (M-3) + M2-6M ≤ 0. M [-2; 4], M.
Cevap: m.
Altıncı beyanı
Kare üç ayakkabının daha küçük kökü için aralıklara (M1; M2) ve daha büyük aralığa (N1; N2) (M2)
D ≥0; AF (M1)\u003e 0; AF (M2) Bu ifade, 4A ve 4B iddiaların bir kombinasyonudur. İlk iki eşitsizlik, X1'in (M1, N1) ve son iki eşitsizliğin X2 (M2, N2),
Görev 13. NO ile, X2 - (2M + L) x + m2 + m-2 \u003d 0, denklemin köklerinden biri ile 1 ve 3 numaralar arasındadır ve ikincisi - 4 ve 6 numaraları arasında mı?
Karar. 1 yol. A \u003d 1, M değerlerinin F (1)\u003e 0 sisteminden bulunduğunu göz önünde bulundurarak; 1 -2M- 1 + M2 + T-2\u003e 0; M2-M-2\u003e 0 m (-∞; -1) u (2; + ∞) f (3)
4 (4) 0; 36-12M-6 + M2 + M-2 0 m (-∞; 4) u (7; + ∞), burada m (2; 4).
Cevap: m (2; 4).
Böylece, karenin köklerinin konumu ile ilişkili iddiaları, f (x) \u003d AX2 + BX + sayısal doğrudan Correid ve bazı noktalarda.
Sonuç
Çalışma sırasında, ücretsiz kullanım düzeyinde bir dizi teknik ve matematiksel beceriye sahip oldum ve Matematik Okul Kursu çerçevesinde matematiksel kültürü artırdı.
İşin performansının bir sonucu olarak, set tamamlandı: Kuadratik fonksiyonun özellikleri kuruldu; bu, bazı karakteristik noktalarda kare denklemin köklerinin yeriyle ilgili sorunların çözümünü önemli ölçüde kolaylaştırmayı mümkün kılar. . Sayısal hatta üç dekarın köklerinin yerlerinin olası vakaları. Algoritmalar, kare üç dekarın köklerinin, karenin köklerinin yerini sayısal düz üzerinde kullanımına dayanan bir parametre ile çözmek için ortaya çıkar. Çözülen görevler, zorunlu seviyeye, karmaşıklığa kıyasla daha yüksektir. Kağıt, sınırlı sayıda iş sayfası ışığında yalnızca 12 görevin çözümünü sunar. Tabii ki, işte gözlenen görevler diğer şekillerde çözülebilir: kare denklemin kök formüllerini kullanarak, kök özelliğini (Vieta teoremi) uygulamak.
Aslında, önemli sayıda görev çözüldü. Bu nedenle, tasarım çalışmaları konusundaki bir iş koleksiyonu oluşturmaya karar verildi "Reshebnik Görevleri, köklerinin Koordinat Direct'teki yerlerinin konumu ile ilişkili kare üç kararnamenin özelliklerini uygulamak için". Ek olarak, işin sonucu (tasarım çalışmalarının ürünü), elektriksel konu sınıfında "parametrelerle görevlerin çözümü" sınıfında kullanılabilecek bir bilgisayar sunumudur.
