Pri riešení rôznych problémov geometrie, mechaniky, fyziky a iných oblastí vedomostí vznikla potreba použiť rovnaký analytický proces z tejto funkcie y=f(x) získať novú funkciu s názvom derivačná funkcia(alebo jednoducho derivácia) danej funkcie f(x) a je označený symbolom

Proces, ktorým z danej funkcie f(x) získať novú funkciu f" (x), volal diferenciácia a pozostáva z nasledujúcich troch krokov: 1) uveďte argument X prírastok  X a určiť zodpovedajúci prírastok funkcie  y = f(x+ x) -f(x); 2) vytvoriť vzťah

3) počítanie X konštantný a  X0, nájdeme
, ktoré označujeme f" (x), akoby zdôrazňoval, že výsledná funkcia závisí len od hodnoty X, pri ktorej ideme na doraz. Definícia: Derivát y " =f " (x) daná funkcia y=f(x) pre dané x sa nazýva limita pomeru prírastku funkcie k prírastku argumentu za predpokladu, že prírastok argumentu smeruje k nule, ak samozrejme táto limita existuje, t.j. konečný. teda
, alebo

Všimnite si, že ak pre nejakú hodnotu X, napríklad keď x=a, postoj
pri  X0 nesmeruje ku konečnej limite, potom v tomto prípade hovoria, že funkcia f(x) pri x=a(alebo v bode x=a) nemá žiadnu deriváciu alebo nie je v bode diferencovateľná x=a.

2. Geometrický význam derivácie.

Uvažujme graf funkcie y = f (x), diferencovateľnej v blízkosti bodu x 0

f(x)

Uvažujme ľubovoľnú priamku prechádzajúcu bodom na grafe funkcie - bod A(x 0 , f (x 0)) a pretínajúci graf v nejakom bode B(x;f(x)). Takáto čiara (AB) sa nazýva sečna. Z ∆ABC: ​​​​AC = ∆x; ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x.

Od AC || Ox, potom ALO = BAC = β (ako zodpovedá paralelu). Ale ALO je uhol sklonu sečnice AB ku kladnému smeru osi Ox. To znamená, že tanβ = k je sklon priamky AB.

Teraz znížime ∆x, t.j. ∆х→ 0. V tomto prípade sa bod B priblíži k bodu A podľa grafu a sečna AB sa bude otáčať. Limitnou polohou sečnice AB pri ∆x→ 0 bude priamka (a), nazývaná dotyčnica ku grafu funkcie y = f (x) v bode A.

Ak prejdeme na limitu ako ∆x → 0 v rovnosti tgβ =∆y/∆x, dostaneme
ortg =f "(x 0), keďže
-uhol sklonu dotyčnice ku kladnému smeru osi Ox
, podľa definície derivátu. Ale tg = k je uhlový koeficient dotyčnice, čo znamená k = tg = f "(x 0).

Geometrický význam derivátu je teda nasledujúci:

Derivácia funkcie v bode x 0 rovná sklon dotyčnica ku grafu funkcie nakreslenej v bode s os x 0 .

3. Fyzikálny význam derivátu.

Zvážte pohyb bodu pozdĺž priamky. Nech je daná súradnica bodu v ľubovoľnom čase x(t). Je známe (z kurzu fyziky), že priemerná rýchlosť za určité časové obdobie sa rovná pomeru prejdenej vzdialenosti za toto časové obdobie k času, t.j.

Vav = ∆x/∆t. Poďme na limitu v poslednej rovnosti ako ∆t → 0.

lim Vav (t) = (t 0) - okamžitá rýchlosť v čase t 0, ∆t → 0.

a lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (podľa definície derivátu).

Takže (t) =x"(t).

Fyzikálny význam derivácie je nasledovný: derivácia funkcier = f(X) v bodeX 0 je rýchlosť zmeny funkcief(x) v bodeX 0

Derivácia sa používa vo fyzike na nájdenie rýchlosti zo známej funkcie súradníc v závislosti od času, zrýchlenia zo známej funkcie rýchlosti v závislosti od času.

(t) = x"(t) - rýchlosť,

a(f) = "(t) - zrýchlenie, príp

Ak je známy zákon pohybu hmotného bodu v kruhu, potom je možné nájsť uhlovú rýchlosť a uhlové zrýchlenie počas rotačného pohybu:

φ = φ(t) - zmena uhla v čase,

ω = φ"(t) - uhlová rýchlosť,

ε = φ"(t) - uhlové zrýchlenie, alebo ε = φ"(t).

Ak je známy zákon o rozdelení hmoty nehomogénnej tyče, potom možno nájsť lineárnu hustotu nehomogénnej tyče:

m = m(x) - hmotnosť,

x  , l - dĺžka tyče,

p = m"(x) - lineárna hustota.

Pomocou derivácie sa riešia problémy z teórie pružnosti a harmonických kmitov. Teda podľa Hookovho zákona

F = -kx, x – premenná súradnica, k – koeficient pružnosti pružiny. Ak dáme ω 2 =k/m, dostaneme diferenciálnu rovnicu pružinového kyvadla x"(t) + ω 2 x(t) = 0,

kde ω = √k/√m frekvencia kmitov (l/c), k - tuhosť pružiny (H/m).

Rovnica v tvare y" + ω 2 y = 0 sa nazýva rovnica harmonických kmitov (mechanických, elektrických, elektromagnetických). Riešením takýchto rovníc je funkcia

y = Asin(ωt + φ 0) alebo y = Acos(ωt + φ 0), kde

A - amplitúda kmitov, ω - cyklická frekvencia,

φ 0 - počiatočná fáza.

Čo je derivát?
Definícia a význam derivačnej funkcie

Mnohých prekvapí nečakané umiestnenie tohto článku v mojom autorovom kurze o derivácii funkcie jednej premennej a jej aplikáciách. Ostatne, ako je to od školy: štandardná učebnica v prvom rade dáva definíciu derivátu, jeho geometrický, mechanický význam. Ďalej študenti nachádzajú deriváty funkcií podľa definície a v skutočnosti až potom zdokonaľujú techniku ​​​​používania diferenciácie derivačné tabuľky.

Ale z môjho pohľadu je pragmatickejší nasledujúci prístup: v prvom rade je vhodné DOBRE ROZUMIEŤ limit funkcie, a najmä nekonečne malé množstvá. Faktom je, že definícia derivátu je založená na koncepte limity, čo sa v školskom kurze zle zohľadňuje. Preto značná časť mladých konzumentov granitu vedomostí nerozumie samotnej podstate derivátu. Teda, ak máte málo vedomostí o diferenciálnom počte alebo múdry mozog pre dlhé rokyúspešne sa zbavili tejto batožiny, začnite prosím limity funkcií. Zároveň si osvojte/zapamätajte si ich riešenie.

Rovnaký praktický zmysel diktuje, že je to výhodné ako prvé Naučte sa hľadať deriváty, počítajúc do toho deriváty komplexných funkcií. Teória je teória, ale ako sa hovorí, vždy chcete rozlišovať. V tomto ohľade je lepšie študovať uvedené základné lekcie, a možno sa to stane majster diferenciácie bez toho, aby si uvedomili podstatu svojho konania.

Odporúčam po prečítaní článku začať s materiálmi na tejto stránke. Najjednoduchšie problémy s derivátmi, kde sa uvažuje najmä o probléme dotyčnice ku grafu funkcie. Ale môžete počkať. Faktom je, že mnohé aplikácie derivátu nevyžadujú jeho pochopenie a nie je prekvapujúce, že teoretická lekcia sa objavila dosť neskoro - keď som potreboval vysvetliť nájdenie zväčšujúcich sa/skracujúcich intervalov a extrémov funkcie. Navyše bol na tému dosť dlho. Funkcie a grafy“, až som sa nakoniec rozhodol dať to skôr.

Preto, milé čajníky, neponáhľajte sa absorbovať esenciu derivátu ako hladné zvieratá, pretože saturácia bude bez chuti a neúplná.

Pojem zvyšovanie, znižovanie, maximum, minimum funkcie

Veľa učebné pomôcky viesť ku konceptu derivácie pomocou niektorých praktických problémov a tiež som prišiel so zaujímavým príkladom. Predstavte si, že sa chystáme cestovať do mesta, do ktorého sa dá dostať rôznymi spôsobmi. Okamžite zahoďme zakrivené kľukaté cesty a zvážme iba priame diaľnice. Aj priame smery sú však odlišné: do mesta sa dostanete po rovinatej diaľnici. Alebo po kopcovitej diaľnici – hore-dole, hore-dole. Iná cesta ide len do kopca a iná stále klesá. Extrémni nadšenci si vyberú trasu roklinou so strmým útesom a strmým stúpaním.

Nech sú však vaše preferencie akékoľvek, je vhodné oblasť poznať alebo ju aspoň lokalizovať topografická mapa. Čo ak takéto informácie chýbajú? Koniec koncov, môžete si vybrať napríklad hladkú cestu, ale vo výsledku zakopnete o zjazdovku s veselými Fínmi. Nie je pravda, že navigátor alebo dokonca satelitná snímka poskytnú spoľahlivé údaje. Preto by bolo pekné formalizovať reliéf cesty pomocou matematiky.

Pozrime sa na nejakú cestu (pohľad zboku):

Pre každý prípad vám pripomínam základný fakt: cestovanie sa deje zľava doprava. Pre jednoduchosť predpokladáme, že funkcia nepretržitý v posudzovanej oblasti.

Aké sú vlastnosti tohto rozvrhu?

V intervaloch funkciu zvyšuje, teda každá jeho ďalšia hodnota viac predchádzajúci. Zhruba povedané, harmonogram je naplnený zdola nahor(lezieme na kopec). A na intervale funkcia klesá– každá ďalšia hodnota menej predchádzajúci a náš plán je zapnutý zhora nadol(ideme dolu svahom).

Venujme pozornosť aj špeciálnym bodom. V bode, ktorý dosiahneme maximálne, teda existuje taký úsek cesty, kde bude hodnota najväčšia (najvyššia). V rovnakom bode sa to dosiahne minimálne, A existuje jeho okolie, v ktorom je hodnota najmenšia (najnižšia).

V triede sa pozrieme na prísnejšiu terminológiu a definície. o extrémy funkcie, ale teraz si preštudujme ešte jednu dôležitá vlastnosť: v intervaloch funkcia sa zvyšuje, ale zvyšuje sa pri rôznych rýchlostiach. A prvá vec, ktorá vás upúta, je, že graf počas intervalu stúpa nahor oveľa viac cool, ako na intervale . Je možné zmerať strmosť cesty pomocou matematických nástrojov?

Rýchlosť zmeny funkcie

Myšlienka je takáto: vezmime si nejakú hodnotu (čítaj "delta x"), ktorú zavoláme prírastok argumentov a začnime to „skúšať“. rôzne body naša cesta:

1) Pozrime sa na bod úplne vľavo: po prejdení vzdialenosti stúpame po svahu do výšky (zelená čiara). Množstvo je tzv prírastok funkcie, a v v tomto prípade tento prírastok je kladný (rozdiel hodnôt pozdĺž osi je väčší ako nula). Vytvorme pomer, ktorý bude meradlom strmosti našej cesty. Je zrejmé, že ide o veľmi špecifické číslo a keďže oba prírastky sú kladné, potom .

Pozor! Označenia sú JEDEN to znamená, že nemôžete „odtrhnúť“ „delta“ od „X“ a zvážiť tieto písmená oddelene. Komentár sa samozrejme týka aj symbolu prírastku funkcie.

Poďme zmysluplnejšie preskúmať povahu výsledného zlomku. Buďme spočiatku vo výške 20 metrov (v ľavom čiernom bode). Po prejdení vzdialenosti metrov (ľavá červená čiara) sa ocitneme v nadmorskej výške 60 metrov. Potom bude prírastok funkcie metrov (zelená čiara) a: . teda na každom metri tento úsek cesty výška sa zvyšuje priemer o 4 metre...zabudli ste si horolezeckú výstroj? =) Inými slovami, zostrojený vzťah charakterizuje PRIEMERNÚ RÝCHLOSŤ ZMENY (v tomto prípade rastu) funkcie.

Poznámka : Číselné hodnoty príslušného príkladu zodpovedajú len približne proporciám výkresu.

2) Teraz poďme v rovnakej vzdialenosti od čierneho bodu úplne vpravo. Tu je vzostup pozvoľnejší, takže prírastok (karmínová čiara) je relatívne malý a pomer v porovnaní s predchádzajúcim prípadom bude veľmi mierny. Relatívne povedané, metrov a rýchlosť rastu funkcie je . To znamená, že tu je každý meter cesty priemer pol metra stúpania.

3) Malé dobrodružstvo na úbočí hôr. Pozrime sa na vrch čierna bodka, ktorý sa nachádza na zvislej osi. Predpokladajme, že ide o značku 50 metrov. Opäť prekonávame vzdialenosť, v dôsledku čoho sa ocitáme nižšie – na úrovni 30 metrov. Keďže pohyb sa vykonáva zhora nadol(v protismere osi), potom konečná prírastok funkcie (výška) bude záporný: metrov (hnedý segment na výkrese). A v tomto prípade už hovoríme miera poklesu Vlastnosti: , teda s každým metrom dráhy tohto úseku sa výška zmenšuje priemer o 2 metre. Postarajte sa o svoje oblečenie v piatom bode.

Teraz si položme otázku: akú hodnotu „meracieho etalónu“ je najlepšie použiť? Je to úplne pochopiteľné, 10 metrov je veľmi drsných. Bez problémov sa na ne zmestí dobrý tucet humienkov. Bez ohľadu na hrbole, dole môže byť hlboká roklina a po pár metroch je jej druhá strana s ďalším strmým stúpaním. S desaťmetrom teda nedostaneme zrozumiteľný popis takýchto úsekov cesty cez pomer .

Z vyššie uvedenej diskusie vyplýva nasledujúci záver: ako menšiu hodnotu , tým presnejšie popisujeme cestnú topografiu. Okrem toho sú pravdivé nasledujúce skutočnosti:

– Pre hocikoho zdvíhacie body môžete vybrať hodnotu (aj keď veľmi malú), ktorá zapadá do hraníc konkrétneho nárastu. To znamená, že príslušný výškový prírastok bude zaručene kladný a nerovnosť bude správne indikovať rast funkcie v každom bode týchto intervalov.

- tak isto, pre akékoľvek sklonový bod je hodnota, ktorá sa úplne zmestí na tento svah. Zodpovedajúci nárast výšky je teda jednoznačne záporný a nerovnosť správne ukáže pokles funkcie v každom bode daného intervalu.

– Zvlášť zaujímavý je prípad, keď je rýchlosť zmeny funkcie nulová: . Po prvé, nulový prírastok výšky () je znakom hladkej cesty. A po druhé, existujú ďalšie zaujímavé situácie, ktorých príklady vidíte na obrázku. Predstavte si, že nás osud zavial na samý vrchol kopca so vznášajúcimi sa orlami alebo na dno rokliny s kvákajúcimi žabami. Ak urobíte malý krok ktorýmkoľvek smerom, zmena výšky bude zanedbateľná a môžeme povedať, že rýchlosť zmeny funkcie je v skutočnosti nulová. To je presne ten obraz pozorovaný na bodoch.

Dostali sme sa teda k úžasnej príležitosti dokonale presne charakterizovať rýchlosť zmeny funkcie. Koniec koncov, matematická analýza umožňuje nasmerovať prírastok argumentu na nulu: , to znamená, aby bol nekonečne malý.

V dôsledku toho vzniká ďalšia logická otázka: je možné nájsť cestu a jej harmonogram inú funkciu, ktorý by nám dal vedieť o všetkých rovinatých úsekoch, stúpaniach, klesaniach, vrcholoch, údoliach, ako aj o rýchlosti rastu/poklesu v každom bode cesty?

Čo je derivát? Definícia derivátu.
Geometrický význam derivácie a diferenciálu

Prečítajte si pozorne a nie príliš rýchlo - materiál je jednoduchý a prístupný každému! Nevadí, ak sa vám na niektorých miestach niečo nezdá veľmi jasné, vždy sa môžete k článku vrátiť neskôr. Poviem viac, je užitočné študovať teóriu niekoľkokrát, aby ste dôkladne porozumeli všetkým bodom (rady sú relevantné najmä pre „technických“ študentov, pre ktorých hrá vyššia matematika významnú úlohu vo vzdelávacom procese).

Prirodzene, v samotnej definícii derivátu ho v určitom bode nahradíme:

k čomu sme dospeli? A prišli sme na to, že na funkciu podľa zákona sa dáva do súladu inú funkciu, ktorá sa volá derivačná funkcia(alebo jednoducho derivát).

Derivát charakterizuje rýchlosť zmeny funkcie Ako? Myšlienka sa tiahne ako červená niť už od začiatku článku. Uvažujme o nejakom bode doména definície funkcie Nech je funkcia v danom bode diferencovateľná. potom:

1) Ak , potom sa funkcia zvýši v bode . A očividne existuje interval(aj veľmi malý), obsahujúci bod, v ktorom funkcia rastie a jej graf ide „zdola nahor“.

2) Ak , potom funkcia klesá v bode . A existuje interval obsahujúci bod, v ktorom funkcia klesá (graf ide „zhora nadol“).

3) Ak , tak nekonečne blízko v blízkosti bodu funkcia udržiava konštantnú rýchlosť. To sa deje, ako bolo uvedené, s konštantnou funkciou a v kritických bodoch funkcie, najmä na minimálny a maximálny počet bodov.

Trochu sémantiky. Čo znamená sloveso „rozlišovať“ v širšom zmysle? Odlíšiť znamená zvýrazniť vlastnosť. Diferencovaním funkcie „izolujeme“ rýchlosť jej zmeny vo forme derivácie funkcie. Čo, mimochodom, znamená slovo „derivát“? Funkcia Stalo z funkcie.

Termíny sú veľmi úspešne interpretované mechanickým významom derivátu :
Uvažujme zákon zmeny súradníc tela v závislosti od času a funkcie rýchlosti pohybu dané telo. Funkcia charakterizuje rýchlosť zmeny súradníc telesa, preto je prvou deriváciou funkcie vzhľadom na čas: . Ak by pojem „pohyb tela“ v prírode neexistoval, neexistoval by derivát pojem „rýchlosť tela“.

Zrýchlenie telesa je rýchlosť zmeny rýchlosti, preto: . Ak by v prírode neexistovali pôvodné pojmy „pohyb tela“ a „rýchlosť tela“, potom by neexistovali derivát pojem „zrýchlenie tela“.

Dátum: 20.11.2014

Čo je derivát?

Tabuľka derivátov.

Derivát je jedným z hlavných pojmov vyššia matematika. V tejto lekcii predstavíme tento pojem. Spoznávajme sa, bez striktných matematických formulácií a dôkazov.

Toto zoznámenie vám umožní:

Pochopiť podstatu jednoduchých úloh s odvodeninami;

Úspešne vyriešiť práve tieto problémy ťažké úlohy;

Pripravte sa na vážnejšie lekcie o derivátoch.

Po prvé - príjemné prekvapenie.)

Striktná definícia derivátu vychádza z teórie limitov a vec je dosť komplikovaná. Toto je znepokojujúce. Praktická aplikácia derivátov však spravidla nevyžaduje také rozsiahle a hlboké znalosti!

Na úspešné splnenie väčšiny úloh v škole a na univerzite stačí vedieť len pár termínov- porozumieť úlohe a len pár pravidiel- vyriešiť to. To je všetko. Toto ma robí šťastným.

Začnime sa zoznamovať?)

Termíny a označenia.

V elementárnej matematike existuje veľa rôznych matematických operácií. Sčítanie, odčítanie, násobenie, umocňovanie, logaritmus atď. Ak k týmto operáciám pridáte ešte jednu operáciu, elementárna matematika bude vyššia. Toto nová prevádzka volal diferenciácia. Definíciu a význam tejto operácie budeme diskutovať v samostatných lekciách.

Tu je dôležité pochopiť, že diferenciácia je jednoducho matematická operácia s funkciou. Berieme akúkoľvek funkciu a podľa určité pravidlá, transformovať to. Výsledkom bude Nová funkcia. Táto nová funkcia sa nazýva: derivát.

Diferenciácia- pôsobenie na funkciu.

Derivát- výsledok tejto akcie.

Tak ako napr. súčet- výsledok sčítania. Alebo súkromné- výsledok delenia.

Keď poznáte pojmy, môžete aspoň porozumieť úlohám.) Formulácie sú nasledovné: nájsť deriváciu funkcie; vziať derivát; rozlíšiť funkciu; vypočítať deriváciu a tak ďalej. To je všetko rovnaký. Samozrejme, existujú aj zložitejšie úlohy, kde nájdenie derivácie (diferenciácie) bude len jedným z krokov pri riešení úlohy.

Derivácia je označená pomlčkou v pravom hornom rohu funkcie. Páči sa ti to: y" alebo f"(x) alebo S"(t) a tak ďalej.

Čítanie ťah igrek, ťah ef od x, ťah es od te, no chápeš...)

Prvočíslo môže tiež označovať deriváciu konkrétnej funkcie, napríklad: (2x+3)", (X 3 )" , (sinx)" atď. Deriváty sa často označujú pomocou diferenciálov, ale v tejto lekcii sa takýmto zápisom nebudeme zaoberať.

Predpokladajme, že sme sa naučili chápať úlohy. Zostáva len naučiť sa ich riešiť.) Ešte raz vám pripomeniem: nájsť deriváciu je transformácia funkcie podľa určitých pravidiel. Prekvapivo je týchto pravidiel veľmi málo.

Ak chcete nájsť deriváciu funkcie, potrebujete vedieť iba tri veci. Tri piliere, na ktorých stojí všetka diferenciácia. Tu sú tieto tri piliere:

1. Tabuľka derivátov (diferenciačné vzorce).

3. Derivát komplexná funkcia.

Začnime pekne po poriadku. V tejto lekcii sa pozrieme na tabuľku derivátov.

Tabuľka derivátov.

Na svete existuje nekonečné množstvo funkcií. Medzi touto odrodou sú funkcie, ktoré sú najdôležitejšie praktické uplatnenie. Tieto funkcie sa nachádzajú vo všetkých prírodných zákonoch. Z týchto funkcií, podobne ako z tehál, môžete postaviť všetky ostatné. Táto trieda funkcií sa nazýva elementárne funkcie. Práve tieto funkcie sa študujú v škole - lineárne, kvadratické, hyperbola atď.

Diferenciácia funkcií „od nuly“, t.j. Na základe definície derivácie a teórie limitov ide o pomerne pracnú vec. A matematici sú tiež ľudia, áno, áno!) Zjednodušili si teda život (aj nám). Pred nami vypočítali derivácie elementárnych funkcií. Výsledkom je tabuľka derivátov, kde je všetko pripravené.)

Tu je táto doska pre najobľúbenejšie funkcie. Vľavo je elementárna funkcia, vpravo jej derivácia.

	Funkcia r	Derivácia funkcie y y"
1	C (konštantná hodnota)	C" = 0
2	X	x" = 1
3	x n (n - ľubovoľné číslo)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	hriech x	(hriech x)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - hriech x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctan x
	arcctg x
4	a X
	e X
5	log a X
	ln x ( a = e)

Odporúčam venovať pozornosť tretej skupine funkcií v tejto tabuľke derivácií. Derivát výkonová funkcia- jeden z najbežnejších vzorcov, ak nie najbežnejší! Chápete?) Áno, je vhodné poznať tabuľku derivátov naspamäť. Mimochodom, nie je to také ťažké, ako by sa mohlo zdať. Skúste vyriešiť viac príkladov, samotná tabuľka sa zapamätá!)

Ako viete, nájsť tabuľkovú hodnotu derivátu nie je najťažšia úloha. Preto veľmi často v takýchto úlohách existujú ďalšie čipy. Buď v znení úlohy, alebo v pôvodnej funkcii, ktorá v tabuľke akoby nebola...

Pozrime sa na niekoľko príkladov:

1. Nájdite deriváciu funkcie y = x 3

Takáto funkcia v tabuľke nie je. Existuje však derivát výkonovej funkcie všeobecný pohľad(tretia skupina). V našom prípade n=3. Namiesto n teda dosadíme tri a pozorne zapíšeme výsledok:

(X 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

To je všetko.

odpoveď: y" = 3x 2

2. Nájdite hodnotu derivácie funkcie y = sinx v bode x = 0.

Táto úloha znamená, že najprv musíte nájsť deriváciu sínusu a potom nahradiť hodnotu x = 0 do toho istého derivátu. Presne v tomto poradí! V opačnom prípade sa stane, že do pôvodnej funkcie okamžite dosadia nulu... Sme vyzvaní nájsť nie hodnotu pôvodnej funkcie, ale hodnotu jeho derivát. Pripomínam vám, že derivácia je nová funkcia.

Pomocou tabuľky nájdeme sínus a zodpovedajúcu deriváciu:

y" = (hriech x)" = cosx

Do derivácie dosadíme nulu:

y"(0) = cos 0 = 1

Toto bude odpoveď.

3. Diferencujte funkciu:

Čo, inšpiruje?) V tabuľke derivátov takáto funkcia nie je.

Dovoľte mi pripomenúť, že diferencovať funkciu znamená jednoducho nájsť deriváciu tejto funkcie. Ak zabudnete na elementárnu trigonometriu, hľadanie derivácie našej funkcie je dosť problematické. Tabuľka nepomôže...

Ale ak vidíme, že naša funkcia je dvojitý uhol kosínus, potom sa všetko hneď zlepší!

Áno áno! Pamätajte, že transformácia pôvodnej funkcie pred diferenciáciou celkom prijateľné! A stáva sa, že to značne uľahčuje život. Použitie kosínusového vzorca s dvojitým uhlom:

Tie. naša zložitá funkcia nie je nič iné ako y = cosx. A toto je tabuľková funkcia. Okamžite dostaneme:

odpoveď: y" = - hriech x.

Príklad pre pokročilých absolventov a študentov:

4. Nájdite deriváciu funkcie:

V tabuľke derivátov, samozrejme, takáto funkcia neexistuje. Ale ak si pamätáte elementárnu matematiku, operácie s mocninami... Potom je celkom možné túto funkciu zjednodušiť. Páči sa ti to:

A x v mocnine jednej desatiny je už tabuľková funkcia! Tretia skupina, n=1/10. Píšeme priamo podľa vzorca:

To je všetko. Toto bude odpoveď.

Dúfam, že s prvým pilierom diferenciácie - tabuľkou derivátov je všetko jasné. Zostáva sa vysporiadať s dvoma zostávajúcimi veľrybami. V ďalšej lekcii sa naučíme pravidlá rozlišovania.

Riešenie fyzikálnych úloh alebo príkladov v matematike je úplne nemožné bez znalosti derivácie a metód na jej výpočet. Derivát je jedným z najdôležitejších pojmov matematická analýza. Dnešný článok sme sa rozhodli venovať tejto zásadnej téme. Čo je to derivácia, aký je jej fyzikálny a geometrický význam, ako vypočítať deriváciu funkcie? Všetky tieto otázky možno spojiť do jednej: ako porozumieť derivátu?

Geometrický a fyzikálny význam derivácie

Nech existuje funkcia f(x) , špecifikované v určitom intervale (a, b) . Do tohto intervalu patria body x a x0. Keď sa zmení x, zmení sa aj samotná funkcia. Zmena argumentu - rozdiel v jeho hodnotách x-x0 . Tento rozdiel je napísaný ako delta x a nazýva sa prírastok argumentov. Zmena alebo prírastok funkcie je rozdiel medzi hodnotami funkcie v dvoch bodoch. Definícia derivátu:

Derivácia funkcie v bode je limitom pomeru prírastku funkcie v danom bode k prírastku argumentu, keď ten má tendenciu k nule.

Inak sa to dá napísať aj takto:

Aký má zmysel nájsť takúto hranicu? A tu je to, čo to je:

derivácia funkcie v bode sa rovná dotyčnici uhla medzi osou OX a dotyčnici ku grafu funkcie v danom bode.

Fyzický význam derivát: derivácia dráhy vzhľadom na čas sa rovná rýchlosti priamočiareho pohybu.

V skutočnosti už od školských čias každý vie, že rýchlosť je osobitná cesta x=f(t) a čas t . Priemerná rýchlosť za určité časové obdobie:

Ak chcete zistiť rýchlosť pohybu v danom okamihu t0 musíte vypočítať limit:

Pravidlo jedna: nastavte konštantu

Konštantu možno vyňať z derivačného znamienka. Okrem toho sa to musí urobiť. Pri riešení príkladov v matematike to berte ako pravidlo - Ak môžete zjednodušiť výraz, určite ho zjednodušte .

Príklad. Vypočítajme deriváciu:

Pravidlo dva: derivácia súčtu funkcií

Derivácia súčtu dvoch funkcií sa rovná súčtu derivácií týchto funkcií. To isté platí pre deriváciu rozdielu funkcií.

Nebudeme dávať dôkazy o tejto vete, ale uvažujme skôr o praktickom príklade.

Nájdite deriváciu funkcie:

Pravidlo tri: derivácia súčinu funkcií

Derivácia súčinu dvoch diferencovateľných funkcií sa vypočíta podľa vzorca:

Príklad: nájdite deriváciu funkcie:

Riešenie:

Tu je dôležité hovoriť o výpočte derivátov komplexných funkcií. Derivácia komplexnej funkcie sa rovná súčinu derivácie tejto funkcie vzhľadom na stredný argument a derivácie stredného argumentu vzhľadom na nezávislú premennú.

Vo vyššie uvedenom príklade sa stretneme s výrazom:

V tomto prípade je stredný argument 8-násobok ku piatej mocnine. Aby sme mohli vypočítať deriváciu takéhoto výrazu, najprv vypočítame deriváciu externej funkcie vzhľadom na stredný argument a potom vynásobíme deriváciou samotného stredného argumentu vzhľadom na nezávislú premennú.

Pravidlo štyri: derivácia podielu dvoch funkcií

Vzorec na určenie derivácie podielu dvoch funkcií:

Snažili sme sa hovoriť o derivátoch pre figuríny od začiatku. Táto téma nie je taká jednoduchá, ako sa zdá, takže buďte upozornení: v príkladoch sa často vyskytujú úskalia, preto buďte opatrní pri výpočte derivátov.

Ak máte akékoľvek otázky k tejto alebo inej téme, môžete sa obrátiť študentská služba. V krátkom čase vám pomôžeme vyriešiť najťažší test a pochopiť úlohy, aj keď ste ešte nikdy nerobili derivačné výpočty.