Lekcia na tému: "Čo je to derivát? Definícia derivátu"
Ďalšie materiály
Vážení používatelia, nezabudnite opustiť svoje komentáre, recenzie, priania! Všetky materiály sú kontrolované antivírusovým programom.
Vzdelávacie pomôcky a simulátory v on-line obchode "integrál" pre triedu 10
Algebraické úlohy s parametrami, 9-11 triedami
Softvér Streda "1c: Matematický dizajnér 6.1"
Čo budeme študovať:
1. Úvod do konceptu derivátu.
2. Mierne príbehy.
4. Derivát na grafe funkcie. Geometrický význam derivátu.
6. Diferenciácia funkcie.
7. Príklady.
Úvod do konceptu derivátu
Existuje mnoho úloh úplne odlišných vo význame, ale existujú matematické modely, ktoré vám umožňujú vypočítať riešenia našich úloh rovnakým spôsobom. Ak napríklad takéto úlohy považujete za:A) Tam je nejaký účet v banke, ktorý sa neustále mení raz niekoľko dní, množstvo neustále rastie, je potrebné nájsť, akú rýchlosť je návrh zákona rastie.
b) Rastlina vyrába cukrovinky, tam je nejaký trvalý nárast cukríkového výstupu, zistí, ako rýchlo sa rast sladkostí zvyšuje.
c) rýchlosť vozidla v určitom čase t, ak je pozícia vozidla známa, a pohybuje sa v priamke.
d) Dostali sme harmonogram funkcie a v určitom okamihu bol vykonaný tangent, je potrebné nájsť dotyčnicový uhol sklonu k dotyčni.
Znenie našich úloh je úplne iné, a zdá sa, že sú vyriešené úplne odlišnými spôsobmi, ale matematika prišla s tým, ako vyriešiť všetky tieto úlohy presne rovnakým spôsobom. Zaviedla sa koncepcia derivátu.
Mierne príbehy
Termínový derivát zaviedol veľký matematik - Lagrange, preklad do ruštiny sa získava z francúzskeho slova Deritene, zaviedla aj moderné označenia derivátu, ktoré budeme vyzerať neskôr.Uvažovali sme o koncepcii derivátu v ich dielach Leibniz a Newton, použitie nášho termínu, ktorým sa nachádzajú v geometrii a mechanike.
O niečo neskôr sa dozvieme, že derivát je určený cez limit, ale v histórii matematiky je malý paradox. Matematika naučila zvážiť už skôr derivátu, než je koncept limity zavedený a skutočne pochopil, čo je derivát.
Predpokladajme, že funkcia y \u003d f (x) sa stanoví v určitom intervale obsahujúcom určitý bod x0 vo vnútri. Prírastok argumentu Δx - nevychádza z nášho intervalu. Nájdeme prírastku ΔY a predstavoval pomer ΔY / Δx, ak existuje limit tohto pomeru pri Δx, ktorý sa snaží o nulu, potom sa zadaný limit nazýva derivát funkcie y \u003d f (x) v bode x0 a označuje F '(x0).
Pokúsme sa vysvetliť, čo derivát nie je matematický jazyk:
Na matematickom jazyku: Derivát je limitom postoja funkcie funkcie na prírastku svojho argumentu, keď sa argument zvyšuje na nulu.
V obvyklom jazyku: Derivát - rýchlosť zmeny funkcie v bode x0.
Pozrime sa na grafiku troch funkcií: 
Chlapci, čo si myslíte, ktorý z kriviek rastie rýchlejšie?
Zdá sa, že odpoveď je zrejmá pre všetku 1 krivku rastie rýchlejšie ako zvyšok. Pozeráme sa, aké chlad sa graf funkcie zvýši. Inými slovami, ako rýchlo sa obradia zmeny pri zmene X. Rovnaká funkcia v rôznych bodoch môže mať inú hodnotu derivátu - to znamená, že sa môže zmeniť rýchlejšie alebo pomalšie.
Derivát na grafe funkcie. Geometrický význam derivátu
Pozrime sa teraz, ako nájsť derivát pomocou funkcií funkcie:
Pozrime sa na náš plán funkcie: I kreslím na abscissu x0 bod na grafickú funkciu. Tangenta a harmonogram našej funkcie prichádza do kontaktu v bode A. Musíme vyhodnotiť, ako je graf funkciou. Pohodlná hodnota pre tento - dotyčný uhol sklonu.
Definícia. Derivát funkcie v bode x0 sa rovná dotyčke uhla dotykového dotyku, ktorý sa uskutočňuje na graf funkcie v tomto bode.
Uhol sklonu je zvolený ako uhol medzi dotyčnicou a pozitívnym smerom osi osi abscisy.
A tak je derivát našej funkcie rovný:
A tak je derivát v bode x0 rovný dotyčnici uhla sklonu, je to geometrický význam derivátu.
Algoritmus pre nájdenie derivátovej funkcie y \u003d f (x).
a) Opravte hodnotu X, nájsť F (x).
b) Nájdite prírastok argumentu X + AX \u200b\u200ba zvýšenie hodnoty funkcie F (x + Δx).
c) Nájdite prírastok funkcie ΔY \u003d F (x + Δx) -f (x).
D) uskutočniť vzťah: ΔY / Δx
D) vypočítať
Toto je derivát našej funkcie.
Diferenciácia funkcie
Ak funkcie y \u003d f (x) má derivát v bode X, nazýva sa diferencovateľné v bode x. Proces nájsť derivát sa nazýva diferenciácia funkcie y \u003d f (x).Vráťme sa k otázke kontinuity funkcie. Ak je funkcia v určitom bode diferencovateľná, potom funkcia funkcie v tomto bode môže byť zapustaná, funkcia nemôže mať medzeru v tomto bode, potom jednoducho všimnite, že nie je možné vykonať dotyčnicu.
A tak napíšte vyššie uvedenú definíciu:
Definícia. Ak je funkcia diferencovateľná v bode X, je to kontinuálne v tomto bode.
Ak je však funkcia kontinuálna v bode, neznamená to, že sa v tomto bode diferencuje. Napríklad funkcia y \u003d | x | V bode x \u003d 0 je kontinuálne, ale dotyčnica sa nedá vykonať, čo znamená, že neexistuje žiadny derivát.
Príklady derivátu
Nájdite odvodnú funkciu: y \u003d 3xRozhodnutie:
Budeme používať vyhľadávací algoritmus derivát.
1) Pre pevnú hodnotu x, hodnota funkcie y \u003d 3x
2) V bode X + AX, Y \u003d F (X + AX) \u003d 3 (X + AX) \u003d 3X + 3 AX
3) Nájdite prírastok funkcie: ΔY \u003d F (x + Δx) -f (x) \u003d 3x + 3 Δx-3x \u003d 3δ
Ak budete nasledovať definíciu, derivát funkcie v bode je limitom vzťahu prírastku funkcie δ y. prírastku argumentu δ x.:
Zdá sa, že všetko je jasné. Skúste však vypočítať podľa tohto vzorca, povedzme, derivátová funkcia f.(x.) = x. 2 + (2x. + 3) · e. x. Hriech x.. Ak urobíte všetko podľa definície, potom po niekoľkých výpočtových stránkach len padnete. Preto existujú jednoduchšie a efektívne spôsoby.
Zaznamenávame, že tzv. Základné funkcie možno odlíšiť od rôznych funkcií. Sú to relatívne jednoduché výrazy, ktorých deriváty už dlho vypočítajú a sú uvedené v tabuľke. Takéto funkcie jednoducho si pamätajú - spolu s ich derivátmi.
Deriváty elementárnych funkcií
Základné funkcie sú uvedené nižšie. Deriváty týchto funkcií by mali byť známe srdcom. Okrem toho ich zapamätať si celkom jednoduché - sú elementárne.
Takže deriváty elementárnych funkcií:
| názov | Funkcia | Derivát |
| Konštantný | f.(x.) = C., C. ∈ R. | 0 (áno áno, nula!) |
| Racionálny | f.(x.) = x. n. | n. · x. n. − 1 |
| Sinus | f.(x.) \u003d hriech. x. | cos. x. |
| Cosine | f.(x.) \u003d Cos. x. | - hriech x. (mínus sinus) |
| Dotyčnica | f.(x.) \u003d TG. x. | 1 / cos 2 x. |
| Cotangent | f.(x.) \u003d CTG. x. | - 1 / SIN 2 x. |
| Prirodzený logaritmus | f.(x.) \u003d Ln. x. | 1/x. |
| Ľubovoľný logaritmus | f.(x.) \u003d Log. a. x. | 1/(x. · Ln. a.) |
| Exponenciálna funkcia | f.(x.) = e. x. | e. x. (nič sa nezmenilo) |
Ak je elementárna funkcia vynásobená ľubovoľnou konštantnou kondenzáciou, derivát novej funkcie sa tiež ľahko zvažuje:
(C. · f.)’ = C. · f. ’.
Všeobecne možno konštanty môžu byť vyrobené pre znamenie derivátu. Napríklad:
(2x. 3) '\u003d 2 · ( x. 3) '\u003d 2 · 3 x. 2 = 6x. 2 .
Samozrejme, elementárne funkcie môžu byť navzájom zložené, znásobené, rozdeliť - a oveľa viac. Takže nové funkcie sa objavia, že už nie sú elementárne, ale aj diferencovateľné podľa určitých pravidiel. Tieto pravidlá sú diskutované nižšie.
Derivácia množstva a rozdielu
Nech sú funkcie uvedené f.(x.) I. g.(x.), deriváty, o ktorých sme známi. Môžete napríklad podniknúť základné funkcie, ktoré sú diskutované vyššie. Potom môžete nájsť derivát sumy a rozdielu týchto funkcií:
- (f. + g.)’ = f. ’ + g. ’
- (f. − g.)’ = f. ’ − g. ’
Derivát množstva (rozdiel) týchto dvoch funkcií sa teda rovná množstvu (rozdiel) derivátov. Komponenty môžu byť väčšie. Napríklad, ( f. + g. + h.)’ = f. ’ + g. ’ + h. ’.
Stručne povedané, v algebre neexistuje koncepcia "odčítania". Existuje koncepcia "negatívny prvok". Preto rozdiel f. − g. môže prepísať ako sumu f. + (-1) · g.A potom zostane len jeden vzorec - derivát sumy.
f.(x.) = x. 2 + SIN X; g.(x.) = x. 4 + 2x. 2 − 3.
Funkcia f.(x.) - Toto je súčet dvoch základných funkcií, takže:
f. ’(x.) = (x. 2 + hriech. x.)’ = (x. 2) '+ (hriech x.)’ = 2x. + Cos x;
Podobne argumentujeme pre funkciu g.(x.). Existujú už tri pojmy (z hľadiska algebry):
g. ’(x.) = (x. 4 + 2x. 2 − 3)’ = (x. 4 + 2x. 2 + (−3))’ = (x. 4)’ + (2x. 2)’ + (−3)’ = 4x. 3 + 4x. + 0 = 4x. · ( x. 2 + 1).
Odpoveď:
f. ’(x.) = 2x. + Cos x;
g. ’(x.) = 4x. · ( x.
2 + 1).
Odvodená práca
Matematika - veda je logická, takže mnohí sa domnievajú, že ak je derivácia sumy rovná množstvu derivátov, potom derivát práce Štrajk."\u003e sa rovná produktu derivátov. Ale obr. Ty! Derivát práce je považovaný za docela na inom vzorec.
(f. · g.) ’ = f. ’ · g. + f. · g. ’
Vzorec je jednoduchý, ale často sa zabudol. A nielen školáci, ale aj študenti. Výsledok je nesprávne riešený úlohy.
Úloha. Nájdite odvodené funkcie: f.(x.) = x. 3 · cos x; g.(x.) = (x. 2 + 7x. - 7) · e. x. .
Funkcia f.(x.) Je to produkt dvoch elementárnych funkcií, takže všetko je jednoduché:
f. ’(x.) = (x. 3 · cos. x.)’ = (x. 3) '· cos x. + x. 3 · (cos x.)’ = 3x. 2 · cos. x. + x. 3 · (- hriech x.) = x. 2 · (3cos x. − x. Hriech x.)
Funkcia g.(x.) Prvý faktor je o niečo komplikovanejší, ale všeobecná schéma sa z toho nezmení. Je zrejmé, že prvá faktorová funkcia g.(x.) Je to polynóm a jeho derivát je derivátom množstva. Máme:
g. ’(x.) = ((x. 2 + 7x. - 7) · e. x.)’ = (x. 2 + 7x. - 7) '· e. x. + (x. 2 + 7x. - 7) · e. x.)’ = (2x. + 7) · e. x. + (x. 2 + 7x. - 7) · e. x. = e. x. · (2. x. + 7 + x. 2 + 7x. −7) = (x. 2 + 9x.) · e. x. = x.(x. + 9) · e. x. .
Odpoveď:
f. ’(x.) = x. 2 · (3cos x. − x. Hriech x.);
g. ’(x.) = x.(x. + 9) · e.
x.
.
Upozorňujeme, že v poslednom kroku, derivát klesá na multiplikátory. Formálne to nie je potrebné robiť, ale väčšina derivátov sa vypočítavajú sami, ale preskúmať funkciu. Ďalej bude derivát v porovnaní s nulou, jeho označenia budú objasnené a tak ďalej. Pre takýto prípad je lepšie mať výraz stanovený na multiplikátoroch.
Ak existujú dve funkcie f.(x.) I. g.(x.) a g.(x.) ≠ 0 Na súpravu záujmu nám môžete definovať novú funkciu h.(x.) = f.(x.)/g.(x.). Pre takúto funkciu môžete nájsť aj derivát:
NOTLABO, ÁNO? Odkiaľ pochádza mínus? Prečo g. 2? To je ako! Toto je jeden z najťažších vzorcov - bez fľaše nebude dispergovať. Preto je lepšie ju študovať na konkrétnych príkladoch.
Úloha. Nájdite odvodené funkcie:
V čitateľovi a menovateľovi každej frakcie existujú základné funkcie, takže všetko, čo potrebujeme, je vzorec súkromného derivátu:
Tradíciou, šíriť čitateľa do multiplikátorov - to výrazne zjednodušuje odpoveď:
Komplexná funkcia nie je nevyhnutne dĺžka vzorca v polovičnom akcikoometri. Napríklad je to dosť na to, aby ste mohli vykonávať funkciu f.(x.) \u003d hriech. x. a nahradiť premennú x., povedzme x. 2 + LN. x.. Kedykoľvek f.(x.) \u003d hriech ( x. 2 + LN. x.) - Toto je komplexná funkcia. Má tiež derivát, ale nebude možné ho nájsť podľa vyššie uvedených pravidiel.
Ako byť? V takýchto prípadoch pomáha nahradiť premennú a vzorec komplexnej funkcie derivátu:
f. ’(x.) = f. ’(t.) · t. ', Ak x. Nahradené t.(x.).
Spravidla, s pochopením tohto vzorca, situácia je ešte bohužiaľ ako so súkromným derivátom. Preto je tiež lepšie vysvetliť konkrétne príklady, s podrobným opisom každého kroku.
Úloha. Nájdite odvodené funkcie: f.(x.) = e. 2x. + 3 ; g.(x.) \u003d hriech ( x. 2 + LN. x.)
Všimnite si, že ak je vo funkcii f.(x.) namiesto výrazu 2 x. + 3 bude len x.Potom sa ukáže základnú funkciu f.(x.) = e. x. . Preto urobíme náhradu: Nech 2 x. + 3 = t., f.(x.) = f.(t.) = e. t. . Hľadáme derivát komplexnej funkcie podľa vzorca:
f. ’(x.) = f. ’(t.) · t. ’ = (e. t.)’ · t. ’ = e. t. · t. ’
A teraz - pozornosť! Vykonajte spätnú výmenu: t. = 2x. + 3. Dostaneme:
f. ’(x.) = e. t. · t. ’ = e. 2x. + 3 · (2 x. + 3)’ = e. 2x. + 3 · 2 \u003d 2 · e. 2x. + 3
Teraz sa budeme zaoberať funkciou g.(x.). Samozrejme, musíte nahradiť x. 2 + LN. x. = t.. Máme:
g. ’(x.) = g. ’(t.) · t. '\u003d (Hriech t.)’ · t. '\u003d Cos. t. · t. ’
Reverzná výmena: t. = x. 2 + LN. x.. Potom:
g. ’(x.) \u003d Cos ( x. 2 + LN. x.) · ( x. 2 + LN. x.) '\u003d Cos ( x. 2 + LN. x.) · (2 x. + 1/x.).
To je všetko! Ako je možné vidieť z posledného výrazu, celá úloha sa zníži na výpočet derivátu.
Odpoveď:
f. ’(x.) \u003d 2 · e.
2x. + 3 ;
g. ’(x.) = (2x. + 1/x.) · COS ( x. 2 + LN. x.).
Veľmi často vo svojich lekciách namiesto termínu "derivát" používam slovo "bar". Napríklad tyč zo sumy sa rovná súčtu ťahov. Tak jasnejšie? No to je dobre.
Výpočet derivátu sa teda zbaví, aby sa zbavili týchto sprievodcov podľa vyššie uvedených pravidiel. Ako posledný príklad sa vrátime na derivátový titul s racionálnym ukazovateľom:
(x. n.)’ = n. · x. n. − 1
Málo vie, čo je v n. Môže dobre pôsobiť frakčné číslo. Napríklad, koreň je x. 0,5. A čo keď pod koreňom bude niečo zložité? Znovu sa získa komplexná funkcia - takéto štruktúry lásku dávajú v testoch a skúškach.
Úloha. Nájdite derivátovú funkciu:
Začať, prepísať koreň vo forme stupňa s racionálnym ukazovateľom:
f.(x.) = (x. 2 + 8x. − 7) 0,5 .
Teraz urobíme náhradu: nechať x. 2 + 8x. − 7 = t.. Nájdite derivát vzorca:
f. ’(x.) = f. ’(t.) · t. ’ = (t. 0,5) '· t. '\u003d 0,5 · t. -0,5 · t. ’.
Robíme výmenu: t. = x. 2 + 8x. - 7. Máme:
f. ’(x.) \u003d 0,5 · x. 2 + 8x. - 7) -0,5 · x. 2 + 8x. - 7) '\u003d 0,5 · (2 x. + 8) · x. 2 + 8x. − 7) −0,5 .
Nakoniec sa vrátime k koreňom:
Derivát
Výpočet derivátu matematickej funkcie (diferenciácie) je veľmi častou úlohou pri riešení najvyššej matematiky. Pre jednoduché (elementárne) matematické funkcie je to pomerne jednoduchá záležitosť, pretože tabuľky derivátov na elementárne funkcie boli pripravené a ľahko dostupné. Zistenie derivátovej komplexnej matematickej funkcie však nie je triviálna úloha a často si vyžaduje značné úsilie a časové náklady.
Nájdite derivát online
Naša online služba vám umožňuje zbaviť sa nezmyselného dlhého výpočtu a nájdite derivát online Na jeden okamih. A pomocou našej služby umiestnenej na stránke www.syt.môžete vypočítať online derivát z základnej funkcie aj z veľmi zložitého, nie riešenia v analytickej forme. Hlavné výhody našich stránok v porovnaní s ostatnými sú: 1) Neexistujú žiadne prísne požiadavky na spôsob zadania matematickej funkcie na výpočet derivátu (napríklad pri vstupe do funkcie Xinus, môžete ho zadať ako hriech X alebo SIN (napr. x) alebo hriech [x] a t. d.); 2) Derivátový online výpočet nastáva okamžite v režime on-line A absolútne je zadarmo; \\ T 3) Umožňujeme vám nájsť derivát funkcie akéhokoľvek príkazuZmena poradia derivátu je veľmi jednoduché a zrozumiteľné; 4) Umožňujeme vám nájsť derivát takmer z akejkoľvek matematickej funkcie online, dokonca aj veľmi ťažké, neprístupné pre riešenie iných služieb. Odpoveď je vždy presná a nemôže obsahovať chyby.
Pomocou nášho servera vám umožní 1) vypočítať derivát online pre vás, keď ste uložili z dlhej a únavnej výpočty, počas ktorého by ste mohli urobiť chybu alebo preklep; 2) Ak vypočítate derivát matematickej funkcie sami, potom vám poskytneme schopnosť porovnať výsledok s výpočtom našej služby a uistite sa, že riešenie je LOYRTAIN alebo nájsť zlomenú chybu; 3) Použite našu službu namiesto použitia tabuliek rôznych funkcií, kde je často potrebné nájsť požadovanú funkciu.
Všetko, čo potrebujete nájdite derivát online - Používa sa naša služba
Pamätajte si veľmi jednoduché.
No, nejdeme ďaleko, okamžite zvážime reverznú funkciu. Akú funkciu je reverzná pre indikatívnu funkciu? Logaritmus:
V našom prípade je základom číslo:
Takýto logaritmus (to znamená, že logaritmus s bázou) sa nazýva "prirodzený", a pre to používame špeciálne označenie: namiesto písania.
Čo sa rovná? Samozrejme, .
Derivát prirodzeného logaritmu je tiež veľmi jednoduchý:
PRÍKLADY:
- Nájsť odvodené funkcie.
- Čo je to odvodená funkcia?
Odpovede: Vystavovateľ a prirodzený logaritmus - funkcie sú jednoznačne jednoduché z hľadiska derivátu. Výmena a logaritmické funkcie s akoukoľvek inou základňou bude mať ďalší derivát, ktorý budeme analyzovať neskôr s vami, po absolvovaní pravidiel diferenciácie.
Pravidlá diferenciácie
Pravidlá Čo? Opäť nový termín, opäť?!
Diferenciácia - Toto je proces nájdenia derivátu.
A len všetko. A ako inak vymenovať tento proces jedným slovom? Nie je to výroba ... Rozdiel matematiky sa nazýva najviac prírastku funkcie na. Tento termín sa deje z latinskej diferencie - rozdiel. Tu.
Pri zobrazovaní všetkých týchto pravidiel použijeme napríklad dve funkcie a. Budeme tiež potrebovať vzorce pre ich prírastky:
Celkom existuje 5 pravidiel.
Konštanta je vyrobená zo znaku derivátu.
Ak - nejaký druh konštantného čísla (konštantný), potom.
Je zrejmé, že toto pravidlo funguje pre rozdiel :.
Dokážeme. Alebo jednoduchšie.
Príklady.
Nájdite odvodené funkcie:
- v bode;
- v bode;
- v bode;
- v bode.
Riešenia:
- (Derivát je rovnaký vo všetkých bodoch, pretože ide o lineárnu funkciu, pamätajte?);
Odvodená práca
Tu všetko je podobné: zavádzame novú funkciu a nájdeme jeho prírastok:
Derivát:
PRÍKLADY:
- Nájsť deriváty funkcií a;
- Nájdite funkciu derivát v bode.
Riešenia:
Derivátová indikatívna funkcia
Teraz vaše vedomosti stačí naučiť sa nájsť derivát akejkoľvek indikatívnej funkcie, a nie len vystavovateľov (nezabudli to, čo to je?).
Takže, kde je niektoré číslo.
Sme už poznáme derivátovú funkciu, takže sa pokúsnime priniesť našu funkciu na novú základňu:
Aby sme to urobili, používame jednoduché pravidlo :. Potom:
Ukázalo sa, že to bolo. Teraz sa pokúste nájsť derivát a nezabudnite, že táto funkcia je zložitá.
Stalo?
Skontrolujte si sami:
Vzorec sa ukázal ako veľmi podobný derivátovej expozícii: Ako to bolo, zostalo, objavil sa len multiplikátor, ktorý je len číslo, ale nie premenná.
PRÍKLADY:
Nájdite odvodené funkcie:
Odpovede:
Toto je len číslo, ktoré sa nedá spočítať bez kalkulačky, to znamená, že nie je zaznamenávať v jednoduchšej forme. Preto v reakcii v tejto forme a odchod.
Všimnite si, že tu sú súkromné \u200b\u200bdve funkcie, preto uplatňujú príslušné pravidlo diferenciácie:
V tomto príklade produkt dvoch funkcií:
Derivátová logaritmická funkcia
Tu je podobný: už poznáte derivát z prirodzeného logaritmu:
Preto nájsť ľubovoľné z logaritmu s iným dôvodom: \\ t
Túto logaritmus musíte priniesť na základňu. A ako zmeniť základ logaritmu? Dúfam, že si spomeniete na tento vzorec:
Len teraz napíšeme:
V denominátore sa ukázalo len konštantné (konštantné číslo bez premennej). Derivát je veľmi jednoduchý:
Deriváty indikatívnych a logaritmických funkcií sa takmer nenachádzajú v skúške, ale nebude to zbytočné, aby ich poznali.
Funkcia derivátového komplexu.
Čo je to "komplexná funkcia"? Nie, to nie je logaritmus, a nie arcthangence. Tieto funkcie môžu byť zložité pre porozumenie (aj keď sa zdá, že logaritmus sa zdá ťažké, prečítajte si tému "Logaritms" a všetko prejde), ale z hľadiska matematiky Slovo "komplex" neznamená "zložité".
Predstavte si malý dopravník: dvaja ľudia sedia a majú nejaký druh akcií s niektorými objektmi. Napríklad, prvé zábaly čokolády v obale, a druhá to znamená stuhu. Ukazuje sa, že takýto integrálny objekt: čokoláda, zabalená a lemovaná páskou. Ak chcete jesť čokoládu, musíte urobiť reverzné akcie v opačnom poradí.
Vytvorme podobný matematický dopravník: Najprv nájdeme Cosine z čísla a potom výsledné číslo, ktoré sa má postaviť na štvorcový. Takže, dávame číslo (čokoláda), nájdem jeho kosínus (Wrap), a potom budete postavení tým, čo som urobil, na námestí (kravatu na pásku). Čo sa stalo? Funkcie. Je to príklad komplexnej funkcie: keď nájdete jeho významy, vykonávame prvú akciu priamo s premennou a potom ďalšia činnosť s tým, čo sa stalo v dôsledku prvého.
Inými slovami, komplexná funkcia je funkcia, ktorej argument je ďalšou funkciou.: .
Pre náš príklad.
Môžeme úplne urobiť rovnaké akcie a v opačnom poradí: Najprv budete postavení do námestia, a potom hľadám Cosine z výsledného čísla :. Je ľahké uhádnuť, že výsledok bude takmer vždy iný. Dôležitým rysom zložitých funkcií: Keď sa zmení postup, funkcie sa mení.
Druhý príklad: (rovnaký). .
Akcia, ktorú robíme, že tieto bude volať Funkcia "External"a akcia vykonaná prvá - resp. "Interná" funkcia (Toto sú neformálne názvy, používam ich len na vysvetlenie materiálu v jednoduchom jazyku).
Snažte sa určiť, akú funkciu je externá a ktorá je interná:
Odpovede:Oddelenie vnútorných a vonkajších funkcií je veľmi podobné výmene premenných: napríklad vo funkcii
- Najprv vykonáme aké kroky? Po prvé, zvážte sínus, ale až potom postavený do kocky. Teda vnútorná funkcia a externá.
A počiatočná funkcia je ich zloženie :. - Interné:; Externé :.
Skontrolujte :. - Interné:; Externé :.
Skontrolujte :. - Interné:; Externé :.
Skontrolujte :. - Interné:; Externé :.
Skontrolujte :.
vyrábame výmenu premenných a získame funkciu.
No, teraz získame našu čokoládovú čokoládu - hľadanie derivátu. Postup je vždy reverzný: Najprv hľadáme externý derivát funkcie, potom vynásobte výsledok na derivát vnútornej funkcie. S ohľadom na pôvodný príklad, vyzerá to takto:
Ďalší príklad:
Nakoniec formulujeme oficiálne pravidlo:
Algoritmus na nájdenie komplexnej funkcie derivátu:
Zdá sa, že všetko je jednoduché, áno?
Skontrolujte príklady:
Riešenia:
1) interné:;
Externé:;
2) interné:;
(Len si nemyslite teraz, aby ste sa rozrezali! Zo Cosine sa nič neurobí, nezabudnite?)
3) interné:;
Externé:;
Je okamžite zrejmé, že tu je tu trojnásobná komplexná funkcia: Koniec koncov, je to už samotná komplexná funkcia, a stále odstraňuje koreň z neho, to znamená, že vykonávame tretiu akciu (čokoládu v obale a s stuha vložená do portfólia). Neexistuje však žiadny dôvod, prečo sa báť: všetky rovnaké "Rozbaľte" túto funkciu bude v rovnakom poradí ako obvykle: od konca.
To znamená, že najprv použite koreň, potom Cosine a až potom expresiu v zátvorkách. A potom všetky tieto premenné.
V takýchto prípadoch je vhodné očíslovať akcie. To je, predstavte si, že sme známi. Akú objednávku vykonáme akcie na výpočet hodnoty tohto výrazu? Skúmame na príklade:
Čím neskôr akcia prebieha, tým viac "externé" bude zodpovedajúca funkcia. Sekvencia akcií - ako predtým:
Tu je hniezdenie všeobecne 4-úrovňou. Určite postup.
1. Nútený výraz. .
2. root. .
3. SINUS. .
4. Square. .
5. Zbierame všetko v partii:
Derivát. Stručne o hlavnej veci
Odvodená funkcia - pomer prírastku funkcie k prírastku argumentu s nekonečne malým prírastkom argumentu:
Základné deriváty:
Pravidlá diferenciácie:
Konštanta je vytvorená pre znamenie derivátu:
Odvodená čiastka:
Výrobná práca:
Súkromný derivát:
Derivátová komplexná funkcia:
Algoritmus na nájdenie derivátu komplexnej funkcie:
- Definujeme "internú" funkciu, nájdeme jeho derivát.
- Definujeme "externú" funkciu, nájdeme jeho derivát.
- Vynásobte výsledky prvých a druhých položiek.
