Rovnice na vyššej matematike. Organické početné korene. Schéma GORNER

Ak polynóm

Dôkaz

Nech sú všetky polynómové koeficienty celé čísla a nechať celé číslo a je koreňom tohto polynómu. Odvtedy z toho vyplýva, že koeficient je rozdelený do a.

Komentár. Táto teorem skutočne umožňuje nájsť korene polynómov z najvyšších stupňov v prípade, keď sú koeficienty týchto polynómov celé čísla, a koreň je racionálne číslo. Teorem je možné preformulovať takto: Ak vieme, že koeficienty polynómu sú celé čísla, a jeho korene sú racionálne, tieto racionálne korene môžu byť iba druhy, kde p je delizátorom čísla (slobodné) a číslo q je deliteľ čísla (senior koeficient).

Veta na celom koreňoch,presvedčivý

Ak je celé číslo α koreňom polynómu s celočítkovými koeficientmi, potom α je delič jej slobodného člena.

Dôkazov. Nechajte:

P (x) \u003d A 0 xⁿ + A 1 xⁿ -1 + ... + A N-1 x + A N

polynóm s celočíselnými koeficientmi a celé číslo α je koreň.

Potom sa uskutočňuje rovnosť p (α) \u003d 0;

a 0 αⁿ + A 1 αⁿ -1 + ... + A N - 1 a + N \u003d 0.

Tým, že generálny multiplikátor α pre zátvorky získame rovnosť:

α (A 0 αⁿ -1 + A 1 αⁿ -2 + ... + A N-1) + A N \u003d 0 Z!

n \u003d -α (A 0 αⁿ -1 + A 1 αⁿ -2 + ... + A N-1)

Vzhľadom k tomu, čísla A 0, A 1, ... A N-1, A a A-A, potom v držiaku je celé číslo, a preto je N je rozdelený na α, ktorý bol potrebný na preukázanie.

Osvedčená teorem môže byť formulovaná takto: celé koreň Polynóm s celočíselnými koeficientmi je delič jej slobodného člena.
Veta je založená na algoritme pre nájdenie celých koreňov polynómu s celočíselnými koeficientmi: zapíšte všetky deličky voľného člena a striedavo zapíšte hodnoty týchto čísel.

2. Ďalšia veta na celom koreňoch

Ak je celé číslo a-koreň polynómu P (x) s celočíselnými koeficientmi, potom α-1-denider čísla P (1), α + 1-denider čísla P (-1)

Dôkazov. Z identity

xⁿ-yⁿ \u003d (x - y) (xⁿ -1 + xⁿ -2 y + ... + xyⁿ -2 + yⁿ -1)

Z toho vyplýva, že pre čísla B a C je číslo Bⁿ-Cⁿ rozdelené na B ∙ C. Ale pre akýkoľvek polynómový p rozdiel

P (b) -P (C) \u003d (A 0 Bⁿ + A 1 Bⁿ -1 + ... + A N-1 B + A) - (A 0 Cⁿ + A 1 Cⁿ -1 + ... + A N-1 c + a) \u003d

\u003d 0 (BF-Cⁿ) + A 1 (Bⁿ-1-CHⁿ -1) + ... + A N-1 (B-C)

A preto pre polynóm P s celočíselnými koeficientmi a celé čísla B a C rozdiel P (B) -P (C) je rozdelený na B-C.

Potom: pri b \u003d a, c \u003d 1, p (a) -P (1) \u003d -P (1), a preto p (1) je rozdelený na a-1. Podobne sa uvažuje druhý prípad.

Schéma GORNER

Veta: Nechať nenápadnú frakciu p / q je koreňom rovnice 0 x n + a 1 x n - 1 + + a n - 1 x + a n \u003d 0 C Celé koeficienty, potom číslo q. je to predajca staršieho koeficientu A0 a číslo ročník Je to slobodný člen delíder a n.

Poznámka 1.. Akákoľvek celá rootova rovnica s celočíselnými koeficientmi je deliteľom svojho slobodného člena.

Poznámka 2., Ak je starší koeficient rovnice s celočíselnými koeficientmi 1, potom všetky racionálne korene, ak existujú - celé čísla.

Koreň polynómu. Koreňový polynóm f (x) \u003d 0 x n + a 1 x n - 1 + + a n - 1 x + a n je x \u003d C. tak, že f. C) \u003d 0 .

Poznámka 3.Ak x \u003d C. Koreňový polynóm Polynóm môže byť napísaný vo forme: f (x) \u003d (x - c) q (x) kde Toto je súkromné \u200b\u200bod rozdelenia polynómu f (x) na jedného člena X - C.

Divízia polynómu na jedno-krídlo sa môže vykonávať podľa Horner Scheme:

Ak f (x) \u003d 0 x n + a 1 x n - 1 + + a n - 1 x + a n , a 0 ≠ 0 , g (x) \u003d x-c , potom pri delí f. (X) na g. (X) Súkromné q (x) Má vzhľad q (x) \u003d B 0 x n - 1 + B 1 x N-2 + + B n-2 x + B n-1 kde b 0 \u003d A 0 ,

b K \u003d C B - 1 + A K, K \u003d 1, 2 ,, N-1. Zvyšok r. nachádza sa podľa vzorca r \u003d c b n - 1 + a n

Rozhodnutie:Koeficient vyššej miery je 1, takže musia byť vyhľadávané celé korene rovnice medzi rozvodmi slobodného člena: 1; 2; 3; štyri; 6; 12. Pomocou schémy strelca nájdeme celé korene rovnice:

Ak je zvolený jeden koreň podľa schémy hory. Potom môžete pokračovať v riešení x3-NX2 -8X + 12 \u003d (X-2) (X2 + X-6) \u003d 0 (X-2) 2 (X - 3) \u003d 0 x \u003d 2; X \u003d 3

Otázka o nájdení racionálne korene polynómový f.(x.)Q.[x.] (s racionálnymi koeficientmi) príde na otázku zistenia racionálnych koreňov polynómov k. ∙ f.(x.)Z.[x.] (s celou koeficientmi). Tu je číslo k. Je to najmenšie spoločné viacnásobné menovače koeficientov tohto polynómu.

Nevyhnutné, ale nie dostatočné podmienky pre existenciu racionálnych koreňov polynómu s celočíselnými koeficientmi dávajú nasledujúce teorem.

Veta 6.1 (o racionálnych koreňoch polynómu s celočíselnými koeficientmi). Ak – racionálny koreň polynómuf.(x.) = a. n.  x. n. + + …+ a. 1  x. + a. 0 z celé číslo koeficienty, a(p. \\ t, q.) = 1, potom gombíkp. \\ t je slobodný delíder člen 0 a denominátorq. je predajcom staršieho koeficientu A 0 .

Veta 6.2.Ak Q. ( kde (p. \\ t, q.) = 1) je racionálny koreň polynómu f.(x.) s celé koeficienty
–celé čísla.

Príklad.Nights Rational Cornanchlen

f.(x.) = 6 x. 4 + x. 3 + 2 x. 2 – 4 x +.1.

1. Vector 6.1: ak – racionálny koreň polynómu f.(x.), (kde( p. \\ t, q.) = 1), to a. 0 = 1 p. \\ t, a. n. = 6 q.. teda p. \\ t { 1}, q. (1, 2, 3, 6), to znamená

.

2. Je známe, že (Corollary 5.3) ale je koreňom polynómu f.(x.) Ak a len vtedy, keď f.(x.) deleno ( x - A.).

V dôsledku toho overiť, či sú čísla 1 a -1 korene polynómu f.(x.) Môžete použiť schému strelca:

f.(1) = 60,f.(–1) = 120, teda 1 a -1 nie sú koreňmi polynómu f.(x.).

3. Odrezať časť zostávajúcich čísel
, Používame 6.2 teorém. Ak výrazy alebo
berie celé čísla pre zodpovedajúce hodnoty nuterator. p. \\ t a denominátor q., potom v zodpovedajúcich bunkách tabuľky (pozri nižšie) napíšeme písmeno "C", inak, "DR".

=
=

4. Používanie schémy hory skontrolujeme, či zostávajúce po čísle
korene f.(x.). Spočiatku rozdeľte f.(x.) Na ( h. – ).

V dôsledku toho máme: f.(x.) = (h. – )(6 x. 3 + 4 x. 2 + 4 x -2) a - root f.(x.). Súkromné q.(x.) = 6 x. 3 + 4 x. 2 + 4 x -2 Rozdeľujeme sa ( h. + ).

Ako q. (–) = 30, potom (-) nie je koreňom polynómu q.(x.), čo znamená polynóm f.(x.).

Nakoniec rozdelíme polynóm q.(x.) = 6 x. 3 + 4 x. 2 + + 4 x -2 h. – ).

Prijaté: q. () \u003d 0, t.j. root q.(x.), Tak, - root f. (x.). Teda polynóm f. (x.) Má dva racionálne koreň: a.

Oslobodenie od algebraickej iracionality v denomotéri

V školskom kurze, pri riešení niektorých typov úloh na oslobodenie od iracionality v denominátori, je frakcia dostatočná na násobenie čitateľa a menovateľa frakcie pre počet konjugátov denominátor.

Príklady.1.t. =
.

Tu v denominátori sa spustí vzorec skrátenej množenia (rozdiel štvorcov), ktorý vám umožní oslobodiť sa od iracionality v denominátore.

2. Často z iracionality v denníku

t. =
. Výraz - neúplný rozdiel štvorcových ale=
a b. \u003d 1. Využívanie vzorec skrátenej množenia ale 3 – b. 3 = (a +.b.) · ( a. 2 – abs + b. 2 ), môžete definovať multiplikátor m. = (a +.b.) =
+ 1, na ktorom by sa mal zlúčiť čitateľ a menovateľ t.Zbaviť sa iracionality v Denomoter Denomoter t.. Touto cestou,

V situáciách, keď vzorce skrátenej multiplikácie nefungujú, môžete použiť iné techniky. Nižšie uvedená tormem bude formulovaná teorem, ktorej dôkaz, ktorý umožňuje nájsť algoritmus na uvoľnenie iracionality v denníku frakcie v zložitejších situáciách.

Definícia 6.1.Číslo z. zavolaný algebraic nad ihriskom F.Ak je polynóm f.(x.) F.[x.] ktorých koreň je z.inak číslo z. zavolaný transcendentálny nad ihriskomF..

Definícia 6.2.Stupeň algebraického nad poľa F. čísla z. nazývaný stupeň nezvyčajného poľa F. polynómový p. \\ t(x.)F.[x.] Ktoré koreň je číslo z..

Príklad.Ukážeme, že number \u003d
je algebraický nad ihriskom Q.a nájsť jej titul.

Nájdite ireducibilné pole Q. polynómový p. \\ t(h.) Ktorý koreň je x. =
. Postaviť obe časti rovnosti x. =
vo štvrtom stupni dostaneme h. 4 \u003d 2 alebo h. 4 – 2 \u003d 0. 0 p. \\ t(h.) = h. 4 – 2 a stupeň počtu z. rovný prejsť p. \\ t(h.) = 4.

Veta 6.3. (o uvoľnení algebraickej iracionality v denomotéri).Byťz. - algebraické číslo cez poleF. stupeňn.. Vyjadrenie typut. = ,kde f.(x.), (x.)F.[x.], (z) 0

jediný spôsob môže byť zastúpený ako:

t. = z n. -1 z. n. -1 + c. n. -2 z. n. -2 + … + c. 1 z. + c. 0 , c. i. F..

Algoritmus pre oslobodenie od iracionality v denníku frakcie Špecifický príklad.

Príklad. Často z iracionality v Denomotéri označovač:

t. =

1. Dannel frakcie je hodnota polynómu (h.) = h. 2 – h. +1 h. =
. V predchádzajúcom príklade sa to ukázalo
- algebraické číslo cez pole Q. stupeň 4, pretože je to koreň iRredrikkovateľného Q. polynómový p. \\ t(h.) = h. 4 – 2.

2. Nájdite lineárny rozklad uzla ( (h.), p. \\ t(x.)) S pomocou euklidského algoritmu.

_ X. 4 – 2 | x. 2 - X. + 1

x. 4 - X. 3 + X. 2 X. 2 + x \u003d q 1 (x.)

_ x. 3 - X. 2 – 2

x. 3 - X. 2 + X.

x. 2 - X. + 1 | – x. –2 = r. 1 (x. )

x. 2 + 2 x. - X +. 3 = q. 2 (x.)

_–3x.+ 1

–3 x. – 6

_ – x. –2 |7 = r. 2

– x. –2 -x. - =q. 3 (x.)

Takže, NOD ( (h.), p. \\ t(x.)) = r. 2 = 7. Nájdeme svoj lineárny rozklad.

Píšeme sekvenciu EUCLIDEUS pomocou polynómových označení.

p. \\ t(x.) = (x.) · q. 1 (x.) + r. 1 (x.)
R. 1 (x.) = P. \\ t(x.) – (x.) · q. 1 (x.)

Pri riešení rovníc a nerovností je často potrebné rozkladať polynómy na multiplikátoroch, ktorých stupeň sa rovná trom alebo vyšším. V tomto článku sa pozrieme na to, ako to uľahčiť.

Ako obvykle, obráťme sa na pomoc teórii.

Veta Bezu Tvrdí, že zvyšok z rozdelenia polynómu na bicktón je rovnaký.

Ale samotná teorém je pre nás dôležitá, ale dôsledok toho:

Ak je číslo koreňom polynómu, potom sa polynóm rozdelí bez zvyšku, aby sa odrazil.

Stretávame sa s úlohou nejakým spôsobom, aby sme našli aspoň jeden koreň polynómu, potom rozdeľte polynóm, kde - koreň polynómu. V dôsledku toho dostaneme polynóm, ktorých stupeň je menší ako stupeň zdroja. A potom, ak je to potrebné, môžete tento proces opakovať.

Táto úloha sa rozpadá do dvoch: ako nájsť koreň polynómu a ako rozdeliť polynóm na bicktón.

Dajte nám prebývať viac o týchto momentoch.

1. Ako nájsť koreň polynómu.

Najprv skontrolujeme, či sú čísla 1 a -1 korene polynómu.

Tu vám pomôžeme tieto skutočnosti:

Ak je súčet všetkých polynómnych koeficientov nula, potom číslo je koreňom polynómu.

Napríklad v polynómoch je súčet koeficientov nulový :. Je ľahké skontrolovať, že je koreňom polynómu.

Ak je súčet polynómnych koeficientov v rovnomernom stupni rovná množstvu koeficientov s nepárnymi stupňami, potom je číslo koreňom polynómu. Voľný termín sa považuje za koeficient v dokonšom stupni, pretože A - párne číslo.

Napríklad v polynómoch, súčet koeficientov v rovnomernom stupni: a súčet nepárnych koeficientov:. Je ľahké skontrolovať, že je koreňom polynómu.

Ak ani 1, ani -1 nie sú korene polynómu, potom sa pohybujú.

Pre daný polynómový stupeň (t.j. polynóm, v ktorom je koeficient - koeficient je rovný jednému) je platný pre vietový vzorec:

Kde - korene polynómu.

Stále existuje vzorec VieteA týkajúci sa zostávajúcich polynómových koeficientov, ale máme o to záujem.

Z tohto vzorca Vietea to vyplýva ak sú korene početné celé číslo, potom sú deliteľmi svojho slobodného člena, čo je tiež celé číslo.

Na základe toho, musíme rozkladať voľný člen polynómov na multiplikátoroch, a konzistentne, od menej do viac, skontrolujte, ktoré multiplikátory je koreňom polynómu.

Zvážte napríklad polynómový

Voľný člen členov:; ; \\ T ; \\ T

Súčet všetkých koeficientov polynómu je rovnaká, preto číslo 1 nie je koreňom polynómu.

Súčet koeficientov v rovnomernom čase:

Množstvo koeficientov pre nepárne tituly:

V dôsledku toho nie je číslo -1 tiež koreňom polynómu.

Skontrolujte, či je číslo 2 koreňom polynómu: preto je číslo 2 koreňom polynómu. Takže, na teorem, mouture, polynóm je rozdelený bez zvyšku na odraz.

2. Ako rozdeliť polynóm, aby sa odrazil.

Polynóm môže byť rozdelený na stĺpec.

Rozdeľujeme polynóm na odrazení podľa javiska:

Existuje ďalší spôsob, ako rozdeliť polynóm na odrazu - Gorner schéma.

Pozrite sa na toto video, aby ste pochopili ako rozdeliť polynóm na bounded stĺpikom as pomocou schémy strelca.

Všimol si, že ak pri rozdelení stĺpca, nejaký stupeň neznámy v pôvodnom polynómovom je neprítomný, na svojom mieste píšeme 0 - rovnako ako pri vypracovaní tabuľky pre schému hory.

Takže, ak potrebujeme rozdeliť polynóm na biccoon a v dôsledku divízií, dostaneme polynóm, potom koeficienty polynómu môžeme nájsť podľa Hornerovej schémy:

Môžeme tiež použiť schéma gorner Skontrolovať, či toto číslo Koreň z polynómu: ak je číslo koreňom polynómu, zvyšok z rozdelenia polynómu je nula, to znamená, že v poslednom stĺpci druhého radu horskej schémy dostaneme 0.

Pomocou schémy strelca, "zabíjame dva zajace": Súčasne skontrolujte, či je číslo koreňom polynómu a rozdeľuje tento polynóm na skrútené.

Príklad. Riešiť rovnicu:

1. Pite slobodných oddielov člena a budeme hľadať korene polynómu medzi rozdielom voľného členského člena.

Číslo 24 Diferencov:

2. Skontrolujte, či je číslo 1 koreňom polynómu.

Súčet koeficientov polynómu, preto je číslo 1 koreňom polynómu.

3. Originálny polynóm rozdelíme na odrazy pomocou schémy strelca.

A) piť zdrojové polynómové koeficienty v prvom rade.

Vzhľadom k tomu, že člen, ktorý obsahuje chýba, v stĺpci stola, v ktorom by mal koeficient postaviť pri písaní 0. Na ľavej strane, napíšeme koreňové zistené: číslo 1.

B) Vyplňte prvý riadok tabuľky.

V poslednom stĺpci, ako sa očakávalo, máme nulové, rozdelili sme originálne polynóm, aby sme sa odrazili bez zvyšku. Koeficienty polynómu získaného v dôsledku rozdelenia sú uvedené v modrej farbe v druhom riadku tabuľky:

Je ľahké overiť, či čísla 1 a -1 nie sú koreňmi polynómu

C) Pokračujeme v tabuľke. Skontrolujte, či je číslo 2 koreňom polynómu:

Tak stupeň polynómu, ktorý sa získa v dôsledku delenia na jednotku menšiu ako stupeň zdrojového polynómu, preto počet koeficientov a počet stĺpcov na jednotku menej.

V poslednom stĺpci sme dostali -40 - číslo, ktoré nie je rovné nule, preto je polynóm rozdelený na skrútené zvyškom a číslo 2 nie je koreňom polynómu.

C) Skontrolujte, či číslo -2 koreň polynómu. Od predchádzajúceho pokusu nebolo neúspešné, takže neexistoval žiadny zmätok s koeficientmi, vymažem reťazec zodpovedajúci tomuto pokusu:

Výborný! V zvyšku sme sa dostali nulová, preto sa polynóm rozdelil do skrútenej bez zvyšku, preto je číslo -2 koreňom polynómu. Koeficienty polynómu, ktoré sa získajú v dôsledku rozdelenia polynómu na bouncer v tabuľke, sú znázornené na zelenej farbe.

V dôsledku divízie sme dostali Štvorcový threechlen Ktoré korene sa ľahko nachádzajú na VieTA teorem:

Takže korene zdrojovej rovnice:

{}

Odpoveď: ( }

Ako sme už zaznamenali, jedným z najdôležitejších úloh v teórii polynómov je úlohou nájsť svoje korene. Ak chcete vyriešiť tento problém, môžete použiť metódu výberu, t.j. Urobte si náhodné číslo a skontrolujte, či je to koreň tohto polynómu.

Zároveň je možné rýchlo "naraziť" do koreňa a nikdy ho nemôžete nájsť. Koniec koncov, nie je možné skontrolovať všetky čísla, pretože sú nekonečne veľa.

Ďalšia vec, ak sa nám podarilo zúžiť vyhľadávaciu oblasť, napríklad, aby sme vedeli, že sa nachádzajú požadované korene, hovoria, medzi tridsiatimi číslami. A za tridsaťkrát je možné skontrolovať. V súvislosti so všetkými vyššie uvedenými je takéto schválenie tiež dôležité a zaujímavé.

Ak nenápadná frakcia L / M (L, M je celé čísla) je koreňom polynómu F (x) s celočíselnými koeficientmi, seniorový koeficient tohto polynómu je rozdelený na M, a voľný člen je 1.

V skutočnosti, ak f (x) \u003d anxn + an-1xn-1 + ... + A1X + A0, A? 0, kde, AN-1, ..., A1, A0 sú celé čísla, potom f (l / M) \u003d 0, tj (l / m) n + an-1 (l / m) n-1 + ... + A1L / M + A0 \u003d 0.

Vynásobte obe časti tejto rovnosti na Mn. Získame ANLN + A-1LN-1M + ... + A1LMN-1 + A0MN \u003d 0.

To znamená:

aNLN \u003d M (-AN-1LN-1 -... - A1LMN-2-A0MN-1).

Vidíme, že UNLNS je rozdelený do m. Ale l / m je nekonzistentná frakcia, t.j. Čísla L a M sú vzájomne jednoduché a potom, ako je známe z teórie deliteľnosti celých čísel, čísla LN a M sú tiež vzájomne jednoduché. Takže ANLN je rozdelený na M a M vzájomne jednoduché s LN, to znamená, že ANL je rozdelený m.

Osvedčená téma môže výrazne zúžiť oblasť vyhľadávania racionálnych koreňov polynómu s celočíselnými koeficientmi. Ukazujeme to v konkrétnom príklade. Nájdeme racionálne korene polynómu F (x) \u003d 6x4 + 13x2-24x2-8X + 8. Podľa teorem, racionálne korene tohto polynómu sú medzi nenápadnými frakciami formy L / m, kde L je free-termín delič A0 \u003d 8 a M je predajcom staršieho koeficientu A4 \u003d 6. Zároveň, ak je frakcia L / m negatívna, potom sa znamienko "-" pripisuje čitateľovi. Napríklad - (1/3) \u003d (-1) / 3. Takže môžeme povedať, že L je delider čísla 8 a m je pozitívny delider čísla 6.

Vzhľadom k tomu, deliaci číslo 8 je ± 1, ± 2, ± 4, ± 8 a pozitívne rozdeľovače čísla 6 bude 1, 2, 3, 6, racionálne korene posudzovaného polynómu sú medzi číslami ± 1, ± 1/2, ± 1/3, ± 1/6, ± 2, ± 2/3, ± 4, ± 4/3, ± 8, ± 8/3. Pripomeňme, že sme vypúšťali iba nenápadné frakcie.

Máme teda dvadsaťkrát - "kandidáti" v koreňoch. Zostáva len kontrola každého z nich a vybrať tie, ktoré sú naozaj korene. Ale znova musíte urobiť dosť veľa kontrol. Ale ďalšia teorem zjednodušuje túto prácu.

Ak je nenápadná frakcia L / M koreňom polynómnej f (x) s celočíselnými koeficientmi, potom f (k) je rozdelená na L-km pre akékoľvek celé číslo K, za predpokladu, že L-Km? 0.

Ak chcete dokázať túto teorem, rozdelíme f (x) na X-K so zvyškom. Získame F. (X) = (X - K) s. (X) + F. k). Vzhľadom k tomu, f (x) je polynóm s celočítkovými koeficientmi, potom je to polynómia S (x) a f (k) je celé číslo. Nech S (X) \u003d BN-1 + BN-2 + ... + B1X + B0. Potom f (x) - f (k) \u003d (X - K) (BN-1XN-1 + BN-2XN-2 + ... + B1X + B0). V tejto rovnosti x \u003d l / m. Vzhľadom na to, že f (l / m) \u003d 0, dostaneme

f (K) \u003d ((L / m) - K) (BN-1 (L / m) N-1 + BN-2 (L / M) N-2 + ... + B1 (L / M) + B0).

Vynásobte obe časti poslednej rovnosti na MN:

mNF (K) \u003d (1 km) (BN-1LN-1 + BN-2LN-2M + ... + B1LMN-2 + B0MN-1).

Z toho vyplýva, že celé číslo MNF (K) je rozdelené na 1 km. Ale pretože l a m sú vzájomne jednoduché, potom MN a L-km sú tiež vzájomne jednoduché, a preto f (k) je rozdelená na 1 km. Theorem sa dokáže.

Vráťme sa teraz k nášmu príkladu a pomocou osvedčenej teorem, ešte viac Suzizim kruh vyhľadávania racionálnych koreňov. Aplikujte zadanú teorem na K \u003d 1 a K \u003d -1, t.j. Ak nie je koreňový frakcia L / M koreňom polynómu F (x), potom F (1) / (L-M) a F (-1) / (L + M). Ľahko zistím, že v našom prípade F (1) \u003d -5 a F (-1) \u003d -15. Všimnite si, že zároveň sme boli vylúčení z úvahy ± 1.

Racionálne korene nášho polynómu by sa mali vidieť medzi číslami ± 1/2, ± 1/3, ± 1/6, ± 2, ± 2/3, ± 4, ± 4/3, ± 8, ± 8/3 .

Zvážte l / m \u003d 1/2. Potom sa do tohto čísla rozdelí L-M \u003d -1 a F (1) \u003d -5. Ďalej, L + M \u003d 3 a F (1) \u003d -15 je tiež rozdelené do 3. Prostriedky Frakcia 1/2 zostáva medzi "kandidátmi" v koreňoch.

Teraz nechať LM \u003d - (1/2) \u003d (-1) / 2. V tomto prípade, L-M \u003d -3 a F (1) \u003d -5 nie je rozdelený na - 3. Takže frakcia - 1/2 nemôže byť koreňom tohto polynómu a vylučujeme ho z ďalšieho zváženia. Vykonáme kontrolu každého z vyššie uvedených frakcií, získavame, že požadované korene patríme medzi číslami 1/2, ± 2/3, 2, - 4.

Tak pekné jednoduchý príjem Významne sme zúžili oblasť hľadania racionálnych koreňov posudzovaného polynómu. No, a skontrolovať zostávajúce čísla, aplikujeme Horner Schema:

Tabuľka 10.

Získa sa, že zvyšok v deliacich g (x) na X-2/3 je - 80/9, t.j.e..2 / 3 nie je koreňom polynómu g (x), a preto f (x).

Ďalej je ľahké zistiť, že - 2/3 - koreň polynómu g (x) a g (x) \u003d (3x + 2) (X2 + 2x-4). Potom f (x) \u003d (2x-1) (3x + 2) (X2 + 2X-4). Ďalšia kontrola sa môže uskutočniť pre polynóm X2 + 2X-4, ktorý je samozrejme jednoduchší ako pre G (x) alebo ešte viac pre F (X). V dôsledku toho dostaneme tieto čísla 2 a - 4 nie sú korene.

Takže polynóm f (x) \u003d 6x4 + 13x3-24x2-8x + 8 má dva racionálne korene: 1/2 a - 2/3.

Pripomeňme, že vyššie opísaná metóda umožňuje nájsť iba racionálne korene polynómu s celočíselnými koeficientmi. Medzitým môže mať polynóm iracionálne korene. Napríklad polynóm uvažovaný v príklade má dva ďalšie koreň: - 1 ± V5 (toto sú korene X2 + 2x-4). A všeobecne hovoria, že polynóm nesmie mať racionálne korene vôbec.

Poďme teraz dať nejaké tipy.

Pri testovaní "kandidátov" v koreňoch polynómu F (x), s pomocou druhého z vyššie uvedených teoremov, sa zvyčajne používa na prípady K \u003d ± 1. Inými slovami, ak je L / M je "kandidát" v koreňoch, potom skontrolujte, či f (1) a f (-1) je rozdelená na L-M a L + M. Môže sa však stať, že napríklad f (1) \u003d 0, t.j. root, a potom f (1) je rozdelený na ľubovoľné číslo a naša kontrola stráca jej význam. V tomto prípade by F (X) mala byť rozdelená na X-1, t.j. Získajte f (x) \u003d (x - 1) S (x) a test pre polynóm S (X). Zároveň by sme nemali zabúdať, že jeden koreň polynómu f (x) - x1 \u003d 1 - sme už našli. Ak pri kontrole "kandidátov" v koreňoch, ktoré zostali po použití druhej vety na racionálne korene, získame to, že napríklad L / M je koreň, potom by sa mal nájsť. Ak sa rovná, povedzme, k, potom f (x) \u003d (X-l / m) ks (x) a ďalšia kontrola môže byť vykonaná pre S (X), čo znižuje výpočty.

Preto sme sa naučili nájsť racionálne korene polynómu s celočíselnými koeficientmi. Ukazuje sa, že sme sa naučili nájsť iracionálne korene polynómu s racionálnymi koeficientmi. V skutočnosti, ak máme napríklad polynómové f (x) \u003d x4 + 2 / 3x3 + 5 / 6x2 + 3 / 8x + 2, potom prinášajú koeficienty na všeobecný menovateľ a robiť ho na zátvorkách, získavame f (x) \u003d 1/2 24 (24x4 + 16x3-20x2 + 9x + 48). Je zrejmé, že korene polynómu f (x) sa zhodujú s koreňmi polynómových stojacich v zátvorkách a má koeficienty - celé čísla. Dokážeme napríklad, že SIN100 je číslo, ktoré je iracionálne. Používame dobre známy vzorec Sin3? \u003d 3sin? -4sin3?. Preto SIN300 \u003d 3SIN100-4SIN3100. Vzhľadom na to, že SIN300 \u003d 0,5 a vedenie jednoduchých transformácií získame 8SIN3100-6SIN100 + 1 \u003d 0. V dôsledku toho je SIN100 koreňom polynómu F (x) \u003d 8x3-6X + 1. Ak hľadáme racionálne korene tohto polynómu, je presvedčený, že nie sú. Takže koreň Sin100 nie je racionálne číslo, t.j. SIN100 - Číslo je iracionálne.

Polynóm premennej sa nazýva expresia formy: ANXN + A-1 xn-1 +. . . + 1 x + A 0, kde n je prirodzené číslo; \\ T , A-1 ,. . . , 1, 0 - akékoľvek čísla nazývané koeficienty tohto polynómu. ANXN výrazy, AN-1 xn-1 ,. . . , 1 x, 0 sa nazýva členovia polynómu a 0 - voľný člen. A je koeficient v XN, AN-1 - koeficient v XN-1, atď Polynomiálny, v ktorom sú všetky koeficienty nula, sa nazýva nula. Napríklad polynóm 0 x2 + 0 x + 0 je nula. Z nahrávania polynómu je jasné, že pozostáva z niekoľkých členov. Termín \u003c\u003c polynómy \u003e\u003e (mnoho členov) došlo. Niekedy sa polynóm nazýva polynóm. Tento termín pochádza z gréckych slov πολι - veľa a νομχ - Dick.

Polynóm z jednej premennej X je označený :. F (x), g (x), H (x), atď., Napríklad, ak prvé polynómy uvedené na označenie f (x), potom môže byť napísané: f (x) \u003d x 4 + 2 x 3+ (- 3) x 2 + 3/7 x + √ 2. 1. Polynóm H (X) sa nazýva najväčší spoločný delič z polynómov F (x) a g (x), ak rozdeľuje F (x), g (x) a každý z nich všeobecný delič. 2. Polynóm F (x) s koeficientmi z poľa C. stupňa P sa nazýva p (x), g (x) Î p [x], stupeň menšie nominácie, stupeň menšieho stupňa menšieho ako n ( X) \u003d h (x) g (x).

Ak je polynóm f (x) \u003d ANXN + A-1 xn-1 +. . . + A 1 x + A 0 a ≠ 0, potom číslo n sa nazýva stupeň polynómu F (x) (alebo uvedený: F (x) - nočný stupeň) A napíšte umenie. f (x) \u003d n. V tomto prípade sa nazýva starší koeficient a ANXN je seniorom tohto polynómu. Napríklad, ak f (x) \u003d 5 x 4 -2 x + 3, potom umenie. f (x) \u003d 4, senior koeficient - 5, senior-člen - 5 x4. Stupeň polynómu je najväčší z čísel jeho koeficientov iných ako nula. Početný nulový stupeň - tieto sú čísla iné ako nula. nulový polynóm nemá žiadny stupeň; Polynóm F (X) \u003d A, kde A je číslo iné ako nula, má stupeň 0; Stupeň akéhokoľvek iného polynómu sa rovná najväčšiemu indikátoru stupňa premennej X, koeficient, na ktorom je nula.

Rovnosť polynómov. Dva polynómy F (x) a g (x) sa považujú za rovnocenné, ak sa ich koeficienty rovnajú rovnakým stupňom variabilných X a voľných členov (ich príslušné koeficienty sú rovnaké). f (x) \u003d g (x). Napríklad polynómy F (x) \u003d x 3 + 2 x 2 -3 x + 1 a g (x) \u003d 2 x 23 x + 1 nie sú rovnaké, v prvom, z ktorých je koeficient v X3 1, a Druhá je nula (podľa Dohovoru, môžeme písať: g (x) \u003d 0 x 3 + 2 x 2 -3 x + 1. V tomto prípade: F (x) ≠ g (x). Nie sú rovnaké a polynómy : H (x) \u003d 2 x 2 -3 x + 5, S (X) \u003d 2 x 2 + 3 x + 5, pretože majú koeficienty v X Rôzne.

Ale polynómy F 1 (X) \u003d 2 x 5 + 3 x 3 + BX + 3 a G1 (X) \u003d 2 x 5 + AX \u200b\u200b3 -2 x + 3 sú rovnaké a len vtedy, ak A \u003d 3, a B \u003d -2. Nechajte sa podať polynóm f (x) \u003d ANXN + A-1 XN-1 +. . . + 1 x + A 0 a niektoré číslo C. Číslo F (C) \u003d ANCN + A-1 CN-1 +. . . + A 1 C + A 0 sa nazýva hodnota polynómu F (x) v X \u003d S. Teda nájsť f (c), v polynóm namiesto X, je potrebné nahradiť a vykonávať potrebné výpočty. Napríklad, ak f (x) \u003d 2 x 3 + 3 x 2-X + 5, potom F (-2) \u003d 2 (-2) 3+ (-2) 2 - (-2) + 5 \u003d 3. Polynóm pri rôznych hodnotách premennej X môže mať rôzne hodnoty. Číslo C sa nazýva koreň polynómu f (x), ak f (c) \u003d 0.

Upozorňujeme na rozdiel medzi týmito dvoma vyhláseniami: "Polynóm F (x) je nula (alebo, že to isté, polynóm f (x) je nula)" a "hodnota polynómu f (x) v x \u003d C je nula. " Napríklad polynóm f (x) \u003d x 2-1 nie je nula, má nenulové koeficienty a jeho hodnota pri X \u003d 1 je nula. f (x) ≠ 0 a f (1) \u003d 0. Existuje úzky vzťah medzi koncepciami rovnosti polynómov a hodnota polynómu. Ak sú dve rovnaké polynómy podávané F (x) a g (x), ich zodpovedajúce koeficienty sú rovnaké, a preto f (c) \u003d g (c) pre každé číslo.

Operácie na polynóstés z polynómov môžu byť pridané, odpočítať a vynásobené obvyklými pravidlami pre zverejnenie zátvoriek a priviesť podobných členov. V tomto prípade je výsledkom opäť polynóm. Tieto operácie majú známe vlastnosti: f (x) + g (x) \u003d g (x) + f (x), f (x) + (g (x) + h (x)) \u003d (f (x) + g (x)) + h (x), f (x) g (x) \u003d g (x) f (x), f (x) (g (x) H (x)) \u003d (f (x) g ( x)) H (x), f (x) (g (x) + H (x)) \u003d f (x) g (x) + f (x) h (x).

Nech dve polynómy F (x) \u003d ANXN + A-1 xn-1 +. . . + A 1 x + A 0, ≠ 0 a G (X) \u003d BMXM + BM-1 XM-1 +. . . + B 1 x + BM ≠ 0. Je jasné, že umenie. f (x) \u003d n a st. G (x) \u003d m. Ak ste získali tieto dva polynómy, získa sa polynóm formy F (x) g (X) \u003d ANBMXM + N +. . . + A 0 B 0. Pretože ≠ 0 a BN ≠ 0, potom ANBM ≠ 0, a preto umenie. (f (x) g (x) \u003d m + n. Preto dôležité vyhlásenie.

Stupeň produktu dvoch nenulových polynómov sa rovná množstvu stupňov faktorov, čl. (F (x) g (x)) \u003d umenie. f (x) + umenie. G (x). Vyšší člen (koeficient) práce dvoch nenulových polynómov sa rovná práci vyšších členov (koeficientov) faktorov. Voľný člen práce dvoch polynómov sa rovná práci slobodných členov faktorov. Stupne polynómov F (x), g (x) a f (x) ± g (x) sú spojené nasledujúcim pomerom: Art. (f (x) ± g (x)) ≤ max (čl. F (x), čl. G (x)).

Nazýva sa superpozícia polynómov F (x) a g (x). Polynóm, označený f (g (x)), ktorý sa získa, ak je v polynómovom F (X) namiesto náhradu polynómu G (X). Napríklad, ak f (x) \u003d x 2 + 2 x-1 a g (x) \u003d 2 x + 3, potom f (g (x)) \u003d f (2 x + 3) \u003d (2 x + 3) 2 +2 (2 x + 3) -1 \u003d 4 x 2 + 16 x + 14, g (f (x)) \u003d g (x 2 + 2 x-1) \u003d 2 (x 2 + 2 x-1) + 3 \u003d 2 x 2 + 4 x + 1. Je možné vidieť, že f (g (x)) ≠ g (f (x)), tj superpozícia polynómov F (x), g (x) a superpozície polynómov g (x), f (x) sú iné. Superpozícia teda nemá vlastnosť pohybu.

, Algoritmus rozdelenia s zvyškom pre všetky f (x), g (x) existujú Q (x) (súkromné) a R (x) (zvyšok), takže f (x) \u003d g (x) q (x) ) + R (X) a stupeň R (X)

Divízy polynómového rozdelenia polynómu F (x) je polynóm g (x), takže f (x) \u003d g (x) q (x). Najväčší spoločný delič dvoch polynómov Najväčší všeobecný delič polynómu F (x) a G (x) je taký všeobecný delič D (x), ktorý je rozdelený na iné iné ako ich spoločný rozdeľovač.

EUCLIDEA Algorithm (sekvenčná divízia algoritmus) Nájdenie najväčšieho všeobecného deliča polynómov F (x) a G (x) potom - najväčší spoločný delič F (X) a G (X).

Znížte frakciu riešenia: Nájdeme uzol týchto polynómov, aplikovanie algoritmu euklidu 1) x3 + 6 x2 + 11 x + 6 x3 + 7 x2 + 14 x + 8 1 - x2 - 3 x - 2 2) x3 + 7 x2 + 14 x + 8 x 3 + 3 x2 + 2 x - x2 - 3 x - 2-X- 4 4 x2 + 12 x + 8 0 V dôsledku toho je polynóm (X2 - 3 x - 2) je uzol Numerátor a menovateľ tejto frakcie. Je známy výsledok delenia denominátora k tomuto polynómu.

Nájdeme výsledok delenia čitateľa. x 3 + 6 x2 + 11 x + 6 - x2 - 3 x - 2 x3 + 3 x2 + 2 x - 3 3 x2 + 9 x + 6 0 Takže odpoveď je:

Gorner Scheme na rozdelenie zvyškom polynómu F (x) na nonzo polynómovej g (x) - to znamená, že reprezentovať f (x), ako f (x) \u003d g (x) s (x) + R (x) , kde S (x) a R (x) sú a buď R (x) \u003d 0 alebo umenie. R (x)

Polynómy stojace vľavo a vpravo od tohto vzťahu sú rovnaké, a preto sú ich príslušné koeficienty rovnaké. Vyrovnávame ich, otvoríme predbežné zátvorky a prinášame podobných členov v správnej časti tejto rovnosti. Získame: A \u003d BN-1, A-1 \u003d BN-2 - CBN-1, A-2 \u003d BN-3 - CBN-2, A2 \u003d B 1 - CB 2, A 1 \u003d B 0 - CB 1 , 0 \u003d r - cb 0. Pripomeňme, že je potrebné nájsť neúplné súkromné, t.j. jeho koeficienty a zvyšok. Vyjadrite ich z získaných rovníc: BN-1 \u003d A, BN-2 \u003d CBN-1 + A-1, BN-3 \u003d CBN-2 + A N-2, B1 \u003d CB 2 + A 2, B 0 \u003d CB 1 + A 1, R \u003d CB 0 + A 0. Našli sme vzorce, pre ktoré môžete vypočítať koeficienty neúplného súkromného S (x) a zvyšok R. V tomto prípade sa výpočty uskutočňujú vo forme nasledujúcej tabuľky; Nazýva sa hora.

Tabuľka 1. Koeficienty F (x) C an BN-1 AN-1 BN-2 \u003d CBN-1 + A-1 A-2 BN-3 \u003d CBN-2 + A-2 ... A 0 R \u003d CB 0 + A 0 Koeficienty S (X) Zvyšok v prvom reťazci tejto tabuľky sú napísané v rade všetky koeficienty F (x), takže prvá bunka zadarmo. V druhom riadku v prvej bunke sa zaznamená číslo C. Zostávajúce bunky tohto potrubia sú naplnené, výpočet jeden jedným z nekompletných súkromných koeficientov s (x) a zvyšok R. V druhej bunke sa zaznamenáva koeficient BN-1, ktorý sme nainštalovali, sa rovná.

Koeficient s každej ďalšej bunke sa vypočíta takýmito pravidlom: Číslo C sa vynásobí číslom v predchádzajúcej bunke, a výsledkom je číslo, ktoré stoja nad naplnenou bunkou. Pamätajte si, že piata bunka, to znamená, že nájsť koeficient-stojatný koeficient, musíte sa vynásobiť číslom v štvrtej bunke, a pridať číslo po piatej bunke k výsledku. Rozdeľujeme napríklad polynóm f (x) \u003d 3 x 4 -5 x 2 + 3 x-1 na X-2 so zvyškom pomocou schémy strelca. Pri plnení prvého riadku tejto schémy nemôžete zabudnúť na nulové polynómové koeficienty. Takže f (x) koeficienty sú čísla 3, 0, - 5, 3, - 1. A malo by sa tiež pripomenúť, že stupeň nie je plný súkromného na jednotku je menší ako stupeň polynómu f (x).

Takže, vykonávame divíziu podľa Horner Schéma: Tabuľka 2. 2 3 3 0 6 -5 7 3 17 -1 33 Získavame neúplné súkromné \u200b\u200bS (X) \u003d 3 x 3 + 6 x 2 + 7 x + 17 a zvyšok R \u003d 33. Všimnite si, že súčasne sme vypočítali hodnotu polynómu F (2) \u003d 33. Teraz rozdelíme rovnaký polynóm f (x) na X + 2 so zvyškom. V tomto prípade c \u003d -2. Získame: Tabuľka 3 -2 3 3 0 -6 -5 7 3 -11 -1 21 V dôsledku toho máme f (x) \u003d (x + 2) (3 x 3 -6 x 2 + 7 x- 11) +21.

Korene polynómov nechajte C1, C2, ..., cm - rôzne korene polynómu f (x). Potom sa f (x) rozdelí na X-C1, t.j. F (x) \u003d (X - C1) S 1 (X). V tejto rovnosti X \u003d C2. Získame F (C 2) \u003d (C2-C1) S 1 (C 2) a tak f (C 2) \u003d 0, potom (C2-C1) S 1 (C2) \u003d 0. Ale C2 ≠ C1, t.j. C2-C1 ≠ 0, a preto S1 (C 2) \u003d 0. C2 je teda koreňom polynómu S 1 (X). Z toho vyplýva, že S 1 (X) je rozdelený na X-C2, t.j. S 1 (x) \u003d (X-C2) S2 (X). Výsledný výraz S 1 (x) nahrádzame do rovnosti F (x) \u003d (X - C1) S 1 (X). Máme f (x) \u003d (X - C1) (X-C2) S 2 (X). Putovanie do poslednej rovnosti X \u003d C3, berúc do úvahy skutočnosť, že F (C 3) \u003d 0, C3 ≠ C1, C3 ≠ C2, získame, že C3 je koreňom polynómu S2 (X). SO, S 2 (X) \u003d (XC 3) S3 (X) a potom F (X) \u003d (XC 1) (XC2) (XC 3) S3 (X) atď. Pokračovaním týchto argumentov Zostávajúce korene C4, C5, ..., CM, konečne získavame F (x) \u003d (XC 1) (XC 2) ... (X-cm) SM (X), tj tvrdenia formulované nižšie sú preukázané .

Ak C1, C2, ..., cm - rôzne korene polynómu F (x), potom f (x) môžu byť reprezentované ako f (x) \u003d (X - C1) (XC 2) ... ( X-cm) SM (x). Z toho vyplýva, že nasleduje dôležitý dôsledok. Ak C1, C2, ..., CM- Rôzne korene polynómu F (x), potom f (x) sa rozdelí na polynóm (X-C1) (X-C2) ... (x-cm). Počet rôznych koreňov nenulového polynómu f (x) nie je viac ako jeho stupeň. V skutočnosti, ak f (x) korene nemá, je zrejmé, že veta je správna, pretože umenie. f (x) ≥ 0. Teraz nechajte f (x) mať m roots C1, C2, ..., cm a všetky z nich sú odlišné. Potom podľa novo osvedčených F (x) je rozdelená do (X-C1) (x-С2) ... (x-cm). V tomto prípade umenie. F (x) •. ((X-C1) (X-C2) ... (x-cm)) \u003d Art. (X-C1) + ART. (X-C2) + ... + ART. (x-cm) \u003d m, t.j. umenie. f (x) ≥m a m je počet koreňov posudzovaného polynómu. Ale nulový polynóm je nekonečne veľa koreňov, pretože jeho hodnota pre ľubovoľnú X je rovná 0. Najmä z tohto dôvodu, nepredpisuje žiadny zvláštny rozsah. Osvedčenej teorem.

Ak polynóm f (x) nie je polynómom do stupňa, väčší ako N, a má viac ako n koreňov, potom f (x) je nulový polynóm. V skutočnosti, z podmienok tohto tvrdenia vyplýva, že - s f (x) - nulovým polynómom alebo umením. f (x) ≤ň. Ak predpokladáme, že polynóm f (x) nie je nula, potom umenie. f (x) ≤n a potom f (x) nemá viac ako n koreňov. Rozpor. Takže f (x) - nonzero polynóm. Nech f (x) a g (x) ne-nulové, nie viac ako n. Ak tieto polynómy užívajú rovnaké hodnoty pri n + 1, hodnota premennej x, potom f (x) \u003d g (x).

Na dôkaz zvážte polynóm H (x) \u003d F (x) - g (x). Je jasné, že - buď h (x) \u003d 0 alebo umenie. H (x) ≤ň, t.j. h (x) nie je polynómový stupeň, väčší ako N. Teraz nechajte číslo tak, že f (c) \u003d g (c). Potom h (c) \u003d f (c) - g (c) \u003d 0, t.j. C - koreň polynómu H (X). V dôsledku toho má polynóm H (x) n + 1 koreň, a keď bol, ako bol preukázaný, h (x) \u003d 0, t.j. f (x) \u003d g (x). Ak f (x) a g (x) majú rovnaké hodnoty pri všetkých hodnotách premennej X, potom tieto polynómy sú rovnaké

Viacnásobné korene polynómu Ak je číslo C koreňom polynómu F (X), je známe, že tento polynóm je známe, že je rozdelený na X-C. Môže sa stať, že f (x) je rozdelená do určitej miery polynóm X-S, t.j. na (x-s) k, k\u003e 1. V tomto prípade sa C nazýva viac koreňov. Vypracujeme definíciu jasnejšie. Číslo C sa nazýva koreň multiplicity K (K-fold root) polynómu F (X), ak je polynóm rozdelený na (X-С) K, K\u003e 1 (K - prírodné číslo), ale je to nie je rozdelené na (xs) k + jeden. Ak k \u003d 1, potom C sa nazýva jednoduchý koreň, a ak k\u003e 1, je viacročný koreň polynómu f (x).

Ak sa polynóm f (x) prezentuje vo forme F (x) \u003d (xc) mg (x), m - prirodzené číslo, potom sa rozdelí na (xc) M + 1, ak a len ak g (x) je rozdelený na X-S. V skutočnosti, ak G (x) je rozdelený na X-C, t.j. g (x) \u003d (xc) s (x), potom f (x) \u003d (xc) m + 1 s (x), a tak f (x) je rozdelený na (xc) m + 1. Späť, ak F (x) je rozdelený na (X-C) M + 1, potom F (X) \u003d (X-C) M + S (X). Potom (x-c) mg (x) \u003d (x-c) m + 1 S (x) a po redukcii na (x-s) m, získame g (x) \u003d (x-c) s (x). Z toho vyplýva, že G (X) je rozdelený do X-S.

Zistili sme napríklad, či je číslo 2 koreňom polynómu F (x) \u003d x 5 -5 x 4 + 3 x 3 + 22 x 2 -44 x + 24, a ak áno, nájdeme jeho Multiplicity. Ak chcete odpovedať na prvú otázku, skontrolujte pomocou mestskej schémy, či f (x) je rozdelená na X-2. Máme: Tabuľka 4. 2 1 -5 -5 -3 3 -3 22 16 -44 -12 24 0 Ako vidíme, zvyšok v deliacim f (x) na X-2 je 0, to znamená, že je rozdelený do X-2. Tak, 2-kine tohto polynómu. Okrem toho sme dostali, že f (x) \u003d (x-2) (x 4 -3 x 3 až 3 x 2 + 16 x-12). Teraz zistite, či f (x) na (x-2) 2. Záleží na tom, ako sme sa práve preukázali, z delikovateľnosti polynómového g (x) \u003d x 4 -3 x 3 -3 x 2 + 16 x- 12 x-2.

Budeme používať schému strelca: tabuľka 5. 1 -3 -3 16 -12 2 1 až 1 -5 6 0 Prijatá, že G (x) sa rozdelí na X-2 a G (X) \u003d (X-2) ( x 3 -x 2 -5 x + 6). Potom f (x) \u003d (x-2) 2 (x 3-X 2-5 x + 6). Takže f (x) je rozdelené do (x-2) 2, teraz je potrebné zistiť, či f (x) je rozdelená do (X-2) 3. Na tento účel skontrolujte, či h (x) \u003d x 3 -x 2 -5 x + 6 je rozdelené do X-2: Tabuľka 6. 1 -1 -5 6 2 1 -3 0 Získame, že H (X) je rozdelený na X-2, čo znamená, že f (x) sa rozdelí na (x - 2) 3 a f (x) \u003d (x-2) 3 (x 2 + x-3).

Ďalej je to podobné ako v (x-2) 4, to znamená, či je S (x) \u003d x 2 + x-3 na x-2 je rozdelené: tabuľka 7. 2 1 1 1 3 -3 3 Zvyšok v delení S (x) na X-2 je 3, to znamená, že S (X) nie je rozdelený na X-2. Takže f (x) nie je rozdelené do (x - 2) 4. Tak, f (x) sa rozdelí na (X-2) 3, ale nie je rozdelený na (X-2) 4. V dôsledku toho je číslo 2 koreň multiplicity 3 polynómu F (X).

Zvyčajne sa kontrola koreňov vykoná v tej istej tabuľke. Pre tento príklad má táto tabuľka nasledujúci formulár: tabuľka 8. 1 -5 3 22 -44 -24 2 2 1 až 3 -1 1 3 -3 -5 -3 3 16 6 0 -12 0 0 Inými slovami Podľa schémy je rozdelenie polynómu F (x) na X-2, v druhom riadku získame koeficienty polynómu g (X). Potom tento druhý riadok považujeme prvú líniu nového systému mesta a vykonajte divíziu G (x) až X-2 atď., Pokračujte v počítaní, kým nedostaneme zvyšok iné ako nula. V tomto prípade sa žiarenie koreňa rovná počtu získaných nulových zvyškov. String obsahujúci posledný nenulový zvyšok je tiež koeficientmi súkromného počas divízie f (x) až (x-2) 3.

Teraz, s použitím navrhovanej schémy kontroly root pre multiplicity, vyriešime nasledujúcu úlohu. Na to, čo A a B je polynóm f (x) \u003d x 4 + 2 x 3 + AX2 + (A + B) X + 2, má číslo - 2 surového 2? Takže žiarenie koreňa - 2 by malo byť rovné 2, potom vykonávať rozdelenie na X + 2 navrhovaným systémom, musíme získať zvyšok 0 a tretíkrát - zvyšok iný ako nula. Máme: Tabuľka 9. -2 -2 -2 1 1 2 0 -2 -4 A A + 4 A + 12 A + B -3 A + B-8 2 A-2 B + 2

Číslo - 2 je teda koreň multiplikácie 2 zdrojového polynómu, ak a len vtedy, keď

Racionálne korene polynómu, ak nenápadná frakcia L / m (L, M je celé čísla), je koreňom polynómu F (x) s celočíselnými koeficientmi, že starší koeficient tohto polynómu je rozdelený do M, a voľný člen je na 1. V skutočnosti, ak f (x) \u003d anxn + A-1 xn-1 + ... + A 1 x + A 0, ≠ 0, kde, AN-1 ,. . . , 1, 0 - celé čísla, potom f (l / m) \u003d 0, t.j. a (L / m) n + A-1 (L / m) N-1 +. . . + A 1 l / m + A 0 \u003d 0. Vynásobte obe časti tejto rovnosti na Mn. Získame ANLN + A-1 LN-1 M +. . . + 1 LMN-1 + A 0 MN \u003d 0. ANLN \u003d M (-AN-1 LN-1 - ... - A 1 LMN-2 -A 0 MN-1).

Vidíme, že UNLNS je rozdelený do m. Ale l / m je nenápadná frakcia, to znamená, že čísla L a m sú vzájomne jednoduché, a potom, ako je známe z teórie deliteľnosti celých čísel, čísla LN a m sú tiež vzájomne jednoduché. Takže ANLN je rozdelený na M a M vzájomne jednoduché s LN, to znamená, že ANL je rozdelený m. Nájdeme racionálne korene polynómu F (x) \u003d 6 x 4 + 13 x 2 -24 x 2 -8 x + 8. Podľa teorem, racionálne korene tohto polynómu sú medzi nenápadnými frakciami formy L / m, kde L je delič z voľného člena A 0 \u003d 8 a M je predajcom staršieho koeficientu A 4 \u003d 6. Zároveň, ak je frakcia L / m negatívna, potom sa znamienko "-" pripisuje čitateľovi. Napríklad - (1/3) \u003d (-1) / 3. Takže môžeme povedať, že L je delider čísla 8 a m je pozitívny delider čísla 6.

Vzhľadom k tomu, že rozdiely číslo 8 je ± 1, ± 2, ± 4, ± 8 a pozitívne rozdeľovače čísla 6 bude 1, 2, 3, 6, racionálne korene posudzovaného polynómu sú medzi číslami ± 1, \\ t ± 1/2, ± 1/3, ± 1/6, ± 2/3, ± 4, ± 4/3, ± 8/3. Pripomeňme, že sme vypúšťali iba nenápadné frakcie. Máme teda dvadsaťkrát - "kandidáti" v koreňoch. Zostáva len kontrola každého z nich a vybrať tie, ktoré sú naozaj korene. Nasledujúca veta zjednodušuje túto prácu. Ak je nenápadná frakcia L / M koreňom polynómu f (x) s celočíselnými koeficientmi, potom f (k) je rozdelená na L-km pre akékoľvek celé číslo K, za predpokladu, že L-KM ≠ 0.

Ak chcete dokázať túto teorem, rozdelíme f (x) na X-K so zvyškom. Získame f (x) \u003d (x - k) s (x) + f (k). Vzhľadom k tomu, f (x) je polynóm s celočítkovými koeficientmi, potom je to polynómia S (x) a f (k) je celé číslo. Nech S (X) \u003d BN-1 + BN-2 + ... + B 1 x + B 0 potom F (X) -F (K) \u003d (XK) (BNXN-1 + BN-2 XN-2 + ... + B 1 x + B 0). V tejto rovnosti 1 x \u003d l / m. Vzhľadom na to, že f (l / m) \u003d 0, získame F (K) \u003d ((L / m) -K) (BN-1 (L / M) N-1 + BN-2 (L / M) N- 2 + ... + B 1 (L / M) + B 0). Vynásobte obe časti poslednej rovnosti na MN: MNF (K) \u003d (1 km) (BN-1 LN-1 + BN-2 LN-2 M + ... + B1 LMN-2 + B 0 MN- 1). Z toho vyplýva, že celé číslo MNF (K) je rozdelené na 1 km. Ale pretože l a m sú vzájomne jednoduché, potom MN a L-km sú tiež vzájomne jednoduché, a preto f (k) je rozdelená na 1 km. Theorem sa dokáže.

Vráťme sa do nášho príkladu a pomocou osvedčenej teorem, ešte viac Suzim kruh vyhľadávania racionálnych koreňov. Naneste špecifikovanú teorem na K \u003d 1 a K \u003d -1, to znamená, že ak nie je koreňový frakcia L / M koreňom polynómu F (x), potom F (1) / (LM) a F (-1 ) / (L + m). Je ľahké zistiť, že v našom prípade F (1) \u003d - 5 a F (-1) \u003d -15. Všimnite si, že súčasne sme z úvahy ± 1. Takže racionálne korene nášho polynómu by sa mali hľadať medzi číslami ± 1/2, ± 1/3, ± 1/6, ± 2, ± 2/3, ± 4, ± 4 / 3, ± 8/3. Zvážte l / m \u003d 1/2. Potom sa do tohto čísla rozdelí L-M \u003d -1 a F (1) \u003d -5. Ďalej, L + M \u003d 3 a F (1) \u003d -15 je tiež rozdelené do 3. Prostriedky Frakcia 1/2 zostáva medzi "kandidátmi" v koreňoch.

Teraz nechať LM \u003d - (1/2) \u003d (- 1) / 2. V tomto prípade L-M \u003d -3 a F (1) \u003d -5 nie je rozdelený na - 3. Takže frakcia -1/2 nemôže byť koreňom tohto polynómu a vylučujeme ho z ďalšieho zváženia. Vykonáme kontrolu pre každú z vyššie uvedených frakcií, získavame, že požadované korene sú medzi číslami 1/2, ± 2/3, 2, - 4, teda pomerne jednoduché užívanie, výrazne zúžili vyhľadávaciu oblasť Racionálne korene posudzovaného polynómu. No, na kontrolu zostávajúcich čísel, aplikujeme schému strelca: tabuľka 10. 6 13 -24 -8 8 1/2 6 16 -16 0

Vidíme, že 1/2 je koreňom polynómu F (x) a F (x) \u003d (X-1/2) (6 x 3 + 16 x 2 -16 x-16) \u003d (2 x-1) (3 x 3 + 8 x 2 -8 x-8). Je zrejmé, že všetky ostatné korene polynómu f (x) sa zhodujú s koreňmi polynómu G (X) \u003d 3 x 3 + 8 x 2 -8 x-8, a tým aj ďalší test "kandidátov" v Korene sa už môžu vykonávať pre tento polynóm. Nájdeme: Tabuľka 11. 3 8 -8 -8 2/3 3 10 -4/3 -80/9 Získa sa, že zvyšok pri deliacim g (x) na X-2/3 sa rovná - 80/9 , To znamená, že 2/3 nie je koreňom polynómu g (x), a preto f (x). Ďalej nájdeme, že - 2/3 je koreňom polynómového g (x) a g (x) \u003d (3 x + 2) (x 2 + 2 x-4).

Potom f (x) \u003d (2 x - 1) (3 x + 2) (x 2 + 2 x-4). Ďalšia kontrola sa môže uskutočniť pre polynóm X2 + 2 x-4, ktorý je samozrejme jednoduchší ako pre G (x), alebo ešte viac pre F (X). V dôsledku toho dostaneme tieto čísla 2 a - 4 nie sú korene. Tak, polynóm f (x) \u003d 6 x 4 + 13 x 3 -24 x 2 -8 x + 8 má dva racionálne korene: 1/2 a - 2/3. Táto metóda umožňuje nájsť iba racionálne korene polynómu s celočíselnými koeficientmi. Medzitým môže mať polynóm iracionálne korene. Napríklad polynóm považovaný v príklade má dva ďalšie koreňové: - 1 ± √ 5 (toto sú korene polynómu X2 + 2 x-4). Polynóm nesmie mať racionálne korene vôbec.

Pri testovaní "kandidátov" v koreňoch polynómu F (X), s pomocou druhého z vyššie uvedených teorems, posledný pre prípady K \u003d ± 1. Inými slovami, ak je L / M "kandidát" V koreňoch potom skontrolujte, či f (1) a f (-1) na LM a L + M. Môže sa však stať, že napríklad f (1) \u003d 0, t.j. 1 - root, a potom f (1) je rozdelený na ľubovoľné číslo a naša kontrola stráca jej význam. V tomto prípade by f (x) mala byť rozdelená na X-1, to znamená, že získa F (x) \u003d (X - 1) S (X) a test pre polynóm S (X). Nemalo by zabúdať, že jeden koreň polynómu f (x) -X 1 \u003d 1 - už sme našli. Ak inšpekcia "kandidátov" v koreňoch zostáva po použití druhej vety na racionálne korene, podľa mesta mesta, získame to, že napríklad L / M je koreň, potom by sa mal nájsť v jeho množstvu. Ak sa rovná, povedzme, k, potom f (x) \u003d (X-l / m) ks (x) a ďalšia kontrola môže byť vykonaná pre S (X), čo znižuje výpočty.

Rozhodnutia. Nahradením variabilného y \u003d 2 x sa obrátime na polynóm s koeficientom rovnakého s vyšším stupňom. Ak to chcete urobiť, najprv prvá vyjadrenie člena na 4. Ak výsledná funkcia má celé korene, potom sú medzi voľným členom rozdelenia. Píšeme ich: ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 5, ± 6, ± 10, ± 12, ± 15 ±, ± 20, ± 30, ± 60

Vypočítajte postupne hodnoty funkcie G (Y) v týchto bodoch na nulu. To znamená, že y \u003d -5 je koreňom, je koreňom pôvodnej funkcie. Budeme vykonať rozdelenie príspevku (rohu) polynómu na bikom

Kontrola zostávajúcich rozdeľovačov Pokračujte nevhodné, pretože je ľahšie rozkladať na faktoroch získaných štvorcových trestov, \\ t

Použitie vzorcov skrátenej násobenia a beinómu Newtona na rozloženie polynómu na multiplikátory niekedy vzhľad polynómu naznačuje spôsob jeho rozkladu multiplikátorov. Napríklad po jednoduchých transformáciách sú koeficienty zabudované do riadku z Pascal's Trojuholník pre Newton Binomic Coeficients. Príklad. Odosielacie polynómy na multiplikátory.

Rozhodnutia. Transformujeme výraz do formulára: Sekvencia koeficientov množstva v zátvorkách explicitne naznačuje, že ide o to, že je to teraz aplikovateľné na vzorec štvorcového rozdielu: výraz v druhej konzole nemá platné korene a pre Polynóm z prvej konzoly ešte raz použijeme štvorcový rozdiel vzorca

VieTA vzorce vyjadrujúce koeficienty polynómu cez svoje korene. Tieto vzorce sú vhodné na použitie na overenie správnosti koreňov polynómu, ako aj na zostavovanie polynómu na svojich vopred určených koreňoch. Znenie, ak sú ninomály početné, koeficienty sú vyjadrené vo forme symetrických polynómov z koreňov, menovite

Inými slovami, AK sa rovná súčtu všetkých možných prác z KOROU KROKU. V prípade, že starší koeficient je polynóm, potom na použitie vzorca VieteA je potrebné predviesť všetky koeficienty na 0. V tomto prípade, vzorec VieteA poskytujú expresiu pre vzťah všetkých koeficientov starším. Z posledného vzorca Vietu z toho vyplýva, že ak sú korene početné celé číslo, potom sú deliteľmi jeho slobodného člena, ktorý je tiež určený. Dôkaz sa vykonáva z hľadiska rovnosti získanej rozkladom polynómu na koreňoch, vzhľadom na to, že 0 \u003d 1 vyrovnávanie koeficientov s rovnakými stupňami X, získavame vzor vzorec vína.

Riešenie rovnice X 6 - 5 x 3 + 4 \u003d 0 Riešenie. Označujú y \u003d x 3, potom počiatočná rovnica má formu y 2 - 5 y + 4 \u003d 0, ktorý rozhoduje, čo dostávame Y1 \u003d 1; Y2 \u003d 4 Tak je počiatočná rovnica ekvivalentná kombinácii rovníc: X3 \u003d 1 alebo x 3 \u003d 4, t.j. x 1 \u003d 1 alebo x 2 \u003d odpoveď: 1;

Definícia Theorem Definícia 1. Prvok sa nazýva koreň polynómu, ak f (c) \u003d 0. Teorem. Zvyšok rozdelenia polynómového PN (x) na biccoon (X-A) sa rovná hodnote tohto polynómu v X \u003d A. Dôkazov. Na základe rozdielu algoritmu f (x) \u003d (xc) q (x) + R (x), kde alebo r (x) \u003d 0, alebo preto. Tak, f (x) \u003d (xc) q (x) + R, preto f (c) \u003d (cc) q (c) + R \u003d R, a preto f (x) \u003d (xc) q (x) + F (c).

Corollary 1: Zvyšok z rozdelenia polynómového PN (X) na biccoon AX + B sa rovná hodnote tohto polynómu v X \u003d -B / A, to znamená R \u003d PN (-B / A). Corollary 2: Ak číslo A je koreňom polynómu P (X), potom sa tento polynóm rozdelí na (X-A) bez zvyšku. Corollary 3: Ak polynóm P (X) má pár rôznych koreňov A 1, A 2, ..., A, potom je rozdelený do práce (X-A 1) ... (X-A) bez zvyšku. Corollary 4: Polynómový stupeň n nemá viac ako n rôznych koreňov. Corollary 5: Pre akékoľvek polynómové p (x) a číslo A, rozdiel (p (x) -p (A)) je rozdelený bez zvyšku pre biccoulelen (X-A). Corollary 6: Číslo A je koreňom polynómového p (x) stupeň, ktorý nie je nižší ako prvý, potom a len ak p (x) je rozdelený na (X-A) bez zvyšku.

Rozklad racionálnej frakcie na najjednoduchšie ukazuje, že akákoľvek správna racionálna frakcia sa môže rozložiť na súčet najjednoduchších frakcií. Nechajte sa uviesť správna racionálna frakcia (1).

Theorem 1. Nech X \u003d A sú koreňom navigátora dýchavičnosti krátkosti k, t.j. kde f (a) ≠ 0, potom táto správna frakcia môže byť reprezentovaná ako súčet ostatných dvoch správne frakcie nasledovne: (2), kde sa trvalé nie je rovné nule, a F1 (x) je polynóm, ktorých stupeň je nižší ako stupeň menšieho množstva

kde polynómný stupeň, ktorý je nižší ako stupeň denominátora. A podobne ako predchádzajúci vzorec, môžete získať: (5)