U ovoj lekciji i dalje ćemo riješiti racionalne nejednakosti intervalima za složenije nejednakosti. Razmotrite rješenje djelomičnih linearnih i djelomičnih nejednakosti i povezanih zadataka.
Sada se vraćamo u nejednakost
Razmotrite neke povezane zadatke.
Pronaći najmanji rješenje nejednakosti.
Pronađite broj prirodnih rješenja nejednakosti
Pronađite duljinu intervala koje čine mnoga rješenja nejednakosti.
2. Portal Prirodne znanosti ().
3. Elektronski obrazovni i metodički kompleks za pripremu 10-11 razreda na prijemne ispite na računalne znanosti, matematike, ruskom jeziku ().
5. Obrazovni centar "Tehnologija obuke" ().
6. Odjeljak College.ru u matematici ().
1. Mordkovich a.g. i drugi. Algebra 9 Cl.: Zadatak za studente općih obrazovnih ustanova / A. Mordkovich, T. N. Mishoustina, itd. - 4. Ed. - M.: Mnemozina, 2002.-143 s.: Il. №№ 28 (b, b); 29 (b, c); 35 (a, b); 37 (B, C); 38 (a).
Za početak, malo stihova da osjeti problem da interval metoda rješava. Pretpostavimo da trebamo riješiti ovu nejednakost:
(x - 5) (x + 3)\u003e 0
Koje su opcije? Prva stvar koja dolazi na glavu većine studenata je pravila "plus plus daje plus" i "minus za minus daje plus." Stoga je dovoljno razmotriti slučaj kada su obje zagrade pozitivne: X - 5\u003e 0 i X + 3\u003e 0. Zatim razmotrite slučaj kada su obje zagrade negativne: X - 5< 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:
Napredniji učenici će se sjetiti (možda) da je lijevo kvadratna funkcija, čiji je grafikon parabola. Štoviše, ova parabola prelazi os OX na točkama X \u003d 5 i X \u003d -3. Za daljnji rad potrebno je otkriti zagrade. Imamo:
x 2 - 2x - 15\u003e 0
Sada je jasno da su grane parabole usmjerene prema gore, jer Koeficijent A \u003d 1\u003e 0. Pokušajmo nacrtati shemu ove parabole:
Funkcija je veća od nule gdje prolazi iznad osi Ox. U našem slučaju, ovi intervali (-∞ -3) i (5; + ∞) - to je odgovor.
Napomena: Slika pokazuje točno shema funkcije, ne njezin raspored. Budući da za ovu grafiku potrebno je razmotriti koordinate, izračunati raseljavanje i drugo sranje, koje mi smo potpuno ništa.
Zašto su te metode nedjelotvorne?
Dakle, pregledali smo dvije odluke iste nejednakosti. Oboje su bili vrlo nezgrapni. U prvom rješenju nastaje - samo razmišljate o tome! - kombinacija nejednakosti. Drugo rješenje također nije osobito jednostavno: morate zapamtiti grafikon parabole i druge hrpe malih činjenica.
Bila je vrlo jednostavna nejednakost. Ima samo 2 čimbenika. I sada zamislite da neće biti multiplikatora, a najmanje 4 na primjer:
(X - 7) (X - 1) (X + 4) (X + 9)< 0
Kako riješiti takve nejednakosti? Uhvatite sve moguće kombinacije prednosti i minusa? Da, lako ćemo brže nego što pronađemo rješenje. Nacrtajte raspored također nije opcija jer nije jasno kako se takva funkcija ponaša na koordinatnoj ravnini.
Za takve nejednakosti potreban je algoritam posebnog rješenja, koji smo danas i razmotrimo.
Što je metoda intervala
Metoda intervala je poseban algoritam dizajniran za rješavanje složenih nejednakosti obrasca F (x)\u003e 0 i F (x)< 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:
- Riješite jednadžbu F (x) \u003d 0. Tako, umjesto nejednakosti dobivamo jednadžbu koja je riješena mnogo lakše;
- Označite sve dobivene korijene na koordinatnoj izravnoj. Dakle, ravna crta će biti podijeljena u nekoliko intervala;
- Saznajte znak (plus ili minus) Funkcija F (X) na krajnjem desnom intervalu. Da biste to učinili, dovoljno je zamijeniti u F (x) bilo koji broj koji će biti pravo na sve označene korijene;
- Oznake oznake u ostatku intervala. Da biste to učinili, dovoljno je zapamtiti da kada se krećete kroz svaki korijen, znakova se mijenja.
To je sve! Nakon toga, bit će potrebno zapisati samo intervale koje nas zanimaju. Označeni su oznakom "+", ako je nejednakost imala obrazac F (x)\u003e 0, ili "-" znak, ako se nejednakost gleda f (x)< 0.
Na prvi pogled može se činiti da je metoda intervala neka vrsta kositra. Ali u praksi sve će biti vrlo jednostavno. Potrebno je malo vježbati - i sve će postati jasno. Pogledajte primjere - i pobrinite se da ste sami:
Zadatak. Riješite nejednakost:
(x - 2) (x + 7)< 0
Radimo prema metodi intervala. Korak 1: Zamijenite nejednakost na jednadžbu i riješite ga:
(x - 2) (x + 7) \u003d 0
Proizvod je nula ako i samo ako je barem jedan od multiplikatora nula:
x - 2 \u003d 0 ⇒ X \u003d 2;
x + 7 \u003d 0 ⇒ x \u003d -7.
Primili su dva korijena. Idite na korak 2: Primijetimo ove korijene na koordinatnoj izravnoj. Imamo:
Sada korak 3: Nalazimo znak funkcije na krajnjem desnom intervalu (relevantna točka x \u003d 2). Da biste to učinili, uzmite bilo koji broj više brojeva x \u003d 2. Na primjer, uzimamo X \u003d 3 (ali nitko ne zabranjuje uzimanje x \u003d 4, x \u003d 10, pa čak i x \u003d 10.000). Dobivamo:
f (X) \u003d (X - 2) (X + 7);
x \u003d 3;
f (3) \u003d (3-2) (3 + 7) \u003d 1 · 10 \u003d 10;
Dobivamo to F (3) \u003d 10\u003e 0, tako da je u pravom desnom intervalu stavio znak plus.
Idite na posljednju točku - morate napomenuti znakove na preostalim intervalima. Zapamtite da kada se prebacite kroz svaki korijen, znak se treba promijeniti. Na primjer, desno od korijena X \u003d 2 je plus (bili smo uvjereni u to u prethodnom koraku), tako da je lijevo dužan stajati minus.
Ovaj minus se odnosi na cijeli interval (-7; 2), tako da košta pravo na korijen X \u003d -7. Prema tome, lijevo od korijena X \u003d -7 je plus. Ostaje označiti te znakove na koordinatnoj osi. Imamo:
Vratimo se na početnu nejednakost, koja je bila:
(x - 2) (x + 7)< 0
Dakle, funkcija mora biti manja od nule. Dakle, mi smo zainteresirani za minus znak, koji se javlja samo u istom intervalu: (-7; 2). To će odgovoriti.
Zadatak. Riješite nejednakost:
(X + 9) (X - 3) (1 - X)< 0
Korak 1: Ispravljamo lijevu stranu na nulu:
(X + 9) (X - 3) (1 - X) \u003d 0;
x + 9 \u003d 0 ⇒ X \u003d -9;
x - 3 \u003d 0 ⇒ X \u003d 3;
1 - x \u003d 0 ⇒ x \u003d 1.
Zapamtite: proizvod je nula, kada je najmanje jedan od multiplikatora nula. Zato imamo pravo izjednačiti svaki pojedinačni nosač na nulu.
Korak 2: Slavimo sve korijene na koordinatu izravno:
Korak 3: Saznajte znak krajnjeg praksa. Uzimamo bilo koji broj koji je veći od X \u003d 1. Na primjer, možete uzeti x \u003d 10. Imamo:
f (X) \u003d (X + 9) (X - 3) (1 - X);
x \u003d 10;
f (10) \u003d (10 + 9) (10-3) (l - 10) \u003d 19 · 7 · (-9) \u003d - 1197;
f (10) \u003d -1197< 0.
Korak 4: Postavite preostale znakove. Zapamtite da kada se prebacite kroz svaki korijen, znak se mijenja. Kao rezultat toga, naša će slika izgledati ovako:
To je sve. Ostaje samo napisati odgovor. Pogledajte ponovno na izvornu nejednakost:
(X + 9) (X - 3) (1 - X)< 0
To je nejednakost obrasca F (x)< 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:
x ∈ (-9; 1) ∪ (3; + ∞)
To je odgovor.
Napomena o znakovima funkcije
Praksa pokazuje da se najveće poteškoće u intervalnoj metodi javljaju u posljednja dva koraka, tj. Prilikom postavljanja znakova. Mnogi učenici počinju biti zbunjeni: ono što trebate uzeti brojeve i gdje staviti znakove.
Da biste konačno riješili metodu intervala, razmotrite dva komentara na kojima je izgrađena:
- Kontinuirana funkcija mijenja znak samo na tim točkama, gdje je jednaka nuli, Takve točke razbijaju koordinatnu os na komade, unutar koje se funkcija znak nikada ne mijenja. Zato riješimo jednadžbu F (x) \u003d 0 i proslavite pronađene korijene na ravnoj liniji. Pronađeni brojevi su "granični" bodovi koji razdvajaju prednosti minusa.
- Da biste saznali znak funkcije na bilo kojem intervalu, dovoljno je zamijeniti bilo koji broj iz ovog intervala. Na primjer, za interval (-5; 6), imamo pravo uzeti x \u003d -4, x \u003d 0, x \u003d 4, pa čak i x \u003d 1,29374, ako želimo. Zašto je to važno? Da, jer mnogi učenici počinju grickati sumnje. Kažu da ako za X \u003d -4 dobivamo plus, a za X \u003d 0 - minus? I ništa - to nikada neće biti. Sve točke na istom intervalu daju isti znak. Zapamtite ovo.
To je sve što trebate znati o metodi intervala. Naravno, rastavili smo ga u vrlo jednostavna verzija, Postoje složenije nejednakosti - nevjerojatni, djelomični i ponovljeni korijeni. Za njih se može koristiti i interval metoda, ali to je tema za zasebnu veliku lekciju.
Sada bih želio rastavljati napredni prijem, koji oštro pojednostavljuje metodu intervala. Točnije, pojednostavljenje utječe samo u treći korak - izračun znaka na desnom komadu izravnog. Iz nekog razloga ova tehnika ne prolazi u školama (barem, nitko ne objašnjava ovo). I uzalud - nakon svega, ovaj algoritam je vrlo jednostavan.
Dakle, znak funkcije na desnom komadu numeričke osi. Ovaj komad ima oblik (a; + ∞), gdje je A najveći korijen jednadžbe f (x) \u003d 0. Da ne bi raznijeli mozak, razmislite o određenom primjeru:
(X - 1) (2 + X) (7 - X)< 0;
f (X) \u003d (X - 1) (2 + X) (7-2);
(X - 1) (2 + X) (7 - X) \u003d 0;
x - 1 \u003d 0 ⇒ X \u003d 1;
2 + x \u003d 0 ⇒ x \u003d -2;
7 - x \u003d 0 ⇒ x \u003d 7;
Imamo 3 korijena. Mi ih navodimo u uzlaznom redoslijedu: x \u003d -2, x \u003d 1 i x \u003d 7. Očito je da je najveći korijen X \u003d 7.
Za one koji lakše argupiraju grafički, primijetit ću ove korijene na koordinatno izravno. Da vidimo što će se dogoditi:
Potrebno je pronaći funkciju funkcije F (X) na krajnjem desnom intervalu, tj. na (7; + ∞). Ali kao što smo već primijetili, možete uzeti bilo koji broj iz ovog intervala kako biste odredili znak. Na primjer, možete uzeti x \u003d 8, x \u003d 150, itd. A sada - vrlo recepcija koja ne prolazi u školama: Uzmimo beskonačnost kao broj. Točnije plus beskonačnost, + ∞.
- Jeste li varali? Kako mogu zamijeniti beskonačnost? " - Možeš pitati. Ali mislim: ne trebamo vrijednost funkcije, trebamo samo znak. Stoga, na primjer, vrijednosti F (X) \u003d -1 i F (X) \u003d -938 740 576 215 znači isto: funkcija u ovom intervalu je negativna. Stoga je sve što je potrebno od vas je pronaći znak koji se javlja na beskonačnosti, a ne vrijednost funkcije.
Zapravo, zamijenite beskonačnost vrlo jednostavno. Vratimo se na našu funkciju:
f (X) \u003d (X - 1) (2 + X) (7 - X)
Zamislite da je X vrlo veliki broj, Milijardi ili čak trilijun. Sada ćemo vidjeti što će se dogoditi u svakom držaču.
Prvi nosač: (x - 1). Što će se dogoditi ako od milijarde odbija jedinicu? Ispada broj koji se ne razlikuje od milijardi, a taj će broj biti pozitivan. Slično tome, s drugim nosačem: (2 + x). Ako dodate milijardu na dvaput, dobit ćemo milijardu s peni - to je pozitivan broj. Konačno, treći nosač: (7 - x). Bit će milijardu minus, od kojih se "raspakira" jadan komad u obliku sedam. Oni. Dobiveni broj se ne razlikuje mnogo od minus milijarde - to će biti negativan.
Ostaje pronaći znak svih posla. Budući da smo imali plus u prvim zagradama, a u potonjem - minus dobivamo sljedeći dizajn:
(+) · (+) · (−) = (−)
Završni znak - minus! I bez obzira na to što je jednako vrijednosti same funkcije. Glavna stvar je da je ova vrijednost negativna, tj. U pravom intervalu nalazi se minus znak. Ostaje za izvođenje četvrtog koraka intervala: proširiti sve znakove. Imamo:
Opisana početna nejednakost:
(X - 1) (2 + X) (7 - X)< 0
Stoga smo zainteresirani za intervale obilježene minusom. Pišemo odgovor:
x ∈ (-2; 1) ∪ (7; + ∞)
To je cijela tehnika koju sam htjela reći. U zaključku, još jedna nejednakost koja se rješava metodom intervala s uključivanjem beskonačnosti. Da biste vizualno smanjili rješenje, neću napisati broj koraka i raspoređenih komentara. Pisat ću samo ono što stvarno trebate pisati pri rješavanju stvarnih zadataka:
Zadatak. Riješite nejednakost:
x (2x + 8) (X - 3)\u003e 0
Zamijenimo nejednakost na jednadžbu i riješimo ga:
x (2x + 8) (X - 3) \u003d 0;
x \u003d 0;
2x + 8 \u003d 0 ⇒ X \u003d -4;
x - 3 \u003d 0 ⇒ x \u003d 3.
Slavimo sva tri korijena na koordinatnoj ravnoj liniji (odmah sa znakovima):
Na desnoj strani koordinatne osi je plus, jer Funkcija ima obrazac:
f (X) \u003d X (2x + 8) (X - 3)
A ako zamijenimo beskonačnost (na primjer, milijardu), dobivamo tri pozitivne zagrade. Budući da bi početni izraz trebao biti veći od nule, zainteresirani smo samo za prednosti. Ostaje napisati odgovor:
x ∈ (-4; 0) ∪ (3; + ∞)
Metoda intervala - jednostavan način rješavanja djelomičnih racionalnih nejednakosti. Takozvane nejednakosti koje sadrže racionalne (ili frakcijsko-racionalne) izraze ovisno o varijabli.
1. Razmotriti, na primjer, takve nejednakosti
Metoda intervala omogućuje vam da ga riješite za nekoliko minuta.
Na lijevoj strani ove nejednakosti - frakcijska racionalna funkcija. Racionalno, jer ne sadrži korijene, ni sinuse, nema logaritama - samo racionalni izrazi. U desnoj strani.
Metoda intervala temelji se na sljedećem vlasništvu frakcijskog racionalne funkcije.
Frakcijska racionalna funkcija može promijeniti znak samo na tim točkama u kojima je nula ili ne postoji.
Podsjetit ćemo, jer je presavijeni na množitelja, trg tri se smanjuje, to jest, ekspresija oblika.
Gdje i - korijeni kvadratna jednadžba.
Nacrtamo osovinu i postavili točke u kojima se numerator i nazivnik primjenjuju na nulu.
Zero-a denominatora i - neozbiljne točke, jer na tim točkama funkcija na lijevoj strani nejednakosti nije definirana (ne može se podijeliti na nulu). Zeros brojčanika i - oslikana, kao nejednakost Nestora. U i naša se nejednakost izvodi, budući da su oba dijela nula.
Ove točke razbijaju osovinu u praznine.
Odredite znak frakcijske racionalne funkcije na lijevoj strani naše nejednakosti na svakom od tih praznina. Sjetimo se da frakcijska racionalna funkcija može promijeniti znak samo na tim točkama u kojima je nula ili ne postoji. To znači da na svakoj od praznina između točaka, gdje se brojčanik ili nazivnik pretvara u nulu, znak izražavanja na lijevoj strani nejednakosti bit će trajan - ili "plus" ili "minus".
I stoga, odrediti znak funkcije u svakom takvom intervalu, uzimamo bilo koju točku koja pripada ovom razmaku. Onaj koji smo nam zgodan.
, Uzmite, na primjer, i provjerite znak izraza na lijevoj strani nejednakosti. Svaki od "nosača" je negativan. Lijeva strana ima znak.
Sljedeći razmak :. Provjerite znak na. Dobivamo da je lijevi dio promijenio znak.
Uzeti. Prilikom izražavanja pozitivno, to je pozitivno u cijelom rasponu od do.
Na lijevom dijelu nejednakosti je negativan.
I konačno, klasa \u003d "Tex" alt \u003d "(! Lang: X\u003e 7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}
Pronašli smo u kojim razdobljima izraz je pozitivan. Ostaje napisati odgovor:
Odgovor:.
Napomena: Znakovi na intervalima alternativni. To se dogodilo kada se krećete kroz svaku točku, točno jedan od linearni multiplikatora promijenilo je znak, a ostatak ga je zadržao nepromijenjen.
Vidimo da je metoda intervala vrlo jednostavna. Da biste riješili frakcijsku racionalnu metodu intervala, predajte mu:
Ili klasa \u003d "Tex" alt \u003d "(! Lang: Genfrac () () () (0) (DisplayStyle P Light (X res)) (DisplayStyle Q (X res))\u003e 0"> !}ili ili.
(Na lijevoj strani - frakcijska racionalna funkcija, u desnom - nulu).
Zatim - napomena na brojčanoj izravnoj točki u kojoj se nulerator ili nazivnik primjenjuje na nulu.
Ove točke razbijaju cijeli broj izravno na praznine, na svakom od kojih frakcijska racionalna funkcija štedi svoj znak.
Ostaje samo da sazna svoj znak u svakom intervalu.
To činimo time što provjeravamo znak izraza bilo gdje pripadaju ovom razmaku. Nakon toga upišite odgovor. To je sve.
No, postavlja se pitanje: postoji li uvijek znakove alternativne? Ne ne uvijek! Potrebno je biti pažljivo i da ne organizirate znakove mehanički i bezumne.
2. Razmotrite drugu nejednakost.
Class \u003d "Tex" alt \u003d "(! Lang: genfrac () () () (0) (Displaysyle lijevo (X-2 desno) ^ 2) (Lijevo X-1) Ostavite (X-3))\u003e 0"> !}
Ponovno otvorene točke na osi. Bodovi i - puzali su, jer je zeros denominatora. Poanta je također obojana, jer je nejednakost stroga.
Brojčanik je pozitivan, a multiplikator u nazivniku su negativni. Lako je provjeriti uzimanje bilo kojeg broja iz ovog intervala, na primjer. Lijeva strana ima znak:
S brojem je pozitivan; Prvi čimbenik u denominatoru je pozitivan, drugi faktor je negativan. Lijeva strana ima znak:
Uz situaciju isto! Brojmerator je pozitivan, prvi čimbenik u denominatoru je pozitivan, drugi je negativan. Lijeva strana ima znak:
Konačno, s razredom \u003d "Tex" alt \u003d "(! Lang: X\u003e 3">
все множители положительны, и левая часть имеет знак :!} 
Odgovor:.
Zašto je bila izmjena znakova? Jer kada se kreće kroz točku "odgovoran" za njezin multiplikator nije promijenio znak, Prema tome, nije promijenio znak i cijeli lijevi dio naše nejednakosti.
Izlaz: ako je linearni multiplikator na jasnom stupnju (na primjer, na kvadratu), kada se prebacite kroz točku, znak ekspresije u lijevom dijelu ne mijenja se, U slučaju čestih znakova, naravno, promjene.
3. Razmotriti više težak slučaj, Od prethodnog, odlikuje se činjenicom da je nejednakost nejednakost:
Lijevi dio je isti kao u prethodnom zadatku. Isto će biti slika znakova:
Možda će odgovor biti isti? Ne! Otopina se dodaje jer, s lijeve strane, a desni dijelovi nejednakosti su nula - dakle, ova točka je rješenje.
Odgovor:.
U zadatku ispita u matematici, ta situacija je uobičajena. Ovdje kandidati spadaju u zamku i gubite bodove. Budi oprezan!
4. Što ako se brojčanik ili nazivnik ne razgrađuje na linearni multiplikatori? Razmotrite takvu nejednakost:
Trg tročada za razgradnju je nemoguće: diskriminant je negativan, nema korijena. Ali dobro je! To znači da je znak izraza uopće isti, a posebno je pozitivan. Više o tome možete pročitati u članku o svojstvima kvadratne funkcije.
A sada možemo podijeliti oba dijela naše nejednakosti za pozitivnu vrijednost. Dođite na jednaku nejednakost:
Koji se lako rješava metodom intervala.
Imajte na umu - dijelili smo oba dijela nejednakosti po količini koju su znali točno da je to pozitivno. Naravno, općenito, nije potrebno umnožiti ili podijeliti nejednakost na varijabilnu vrijednost, čiji je znak nepoznat.
5 , Razmotrite drugu nejednakost, vrlo je jednostavno:
Tako da ga želim umnožiti. Ali mi smo već pametni, a mi to nećemo učiniti. Doista, to može biti i pozitivno i negativno. I znamo da su oba dijela nejednakosti pomnožena s negativnom vrijednošću - znak nejednakosti promjene.
Radit ćemo drugačije - prikupljat ćemo sve u jednom dijelu i dajemo generalnom denominatoru. Desni dio će ostati nula:
Klasa \u003d "Tex" alt \u003d "(! Lang: Genfrac () () () (0) (DisplayStyle X-2) (DisplayStyle X)\u003e 0"> !}
I nakon toga - primjenjivo metoda intervala.
Važni komentari!
1. Ako umjesto formula vidite Abracadabra, očistite predmemoriju. Kako to učiniti u vašem pregledniku napisan je ovdje:
2. Prije nego počnete čitati članak, obratite pažnju na naš navigator u najviše koristan resurs za
Ova metoda koju trebate samo razumjeti i znati kao pet prstiju! Ako je samo zato što se koristi za rješavanje racionalnih nejednakosti i jer, znajući ovu metodu kao što bi trebalo riješiti te nejednakosti jednostavno jednostavno. Malo kasnije otkrit ću nekoliko tajni, kako uštedjeti vrijeme na rješavanju tih nejednakosti. Pa, zaintrigira se? Onda smo otišli!
Suština metode u razgradnji nejednakosti multiplikatora (zamijeniti temu) i definiciju OTZ-a i znaka tvornice, sada ću objasniti sve. Uzmite najjednostavniji primjer :.
Regija dopuštene vrijednosti () Nije potrebno pisati ovdje, jer ne postoje podjele o varijabilu, a radikali (korijeni) ovdje se ne uočavaju. Čimbenici su ovdje tako razgrađeni za nas. Ali nemojte se opustiti, sve je to podsjetiti osnove i razumjeti suštinu!
Pretpostavimo da ne znate metodu intervala, kako biste odlučili ovu nejednakost? Dođite logički i nacrtajte ono što već znate. Prvo, lijeva strana će biti veća od nule ako su oba izraza u zagradama više nula ili manje nula, jer Osim toga, plus daje "plus" i "minus" na "minus" daje "plus", zar ne? I ako su znakovi u izrazima u zagradama različiti, tada na kraju lijevi dio će biti manji od nule. A što trebamo znati značenja u kojima će izrazi u uglatim zagradama biti negativni ili pozitivni?
Moramo riješiti jednadžbu, to je točno kao i nejednakost, samo umjesto znaka bit će znak, korijeni ove jednadžbe omogućit će vam da odredite te granične vrijednosti, tijekom povlačenja iz koje će multiplikatori biti veći ili manje od nule.
A sada se intervali. Koji je interval? Ovo je numerička ravna crta, koja je, svi mogući brojevi zaključeni između dvaju brojeva su krajevi intervala. Ovi intervali nisu tako jednostavni za slanje, tako da se intervali uzimaju za crtanje, sada znanstvene.
Nacrtamo osovinu, sadrži cijelu numeričku seriju od i na. Na osi se primjenjuju točke, najzljediji nuli funkcija, vrijednosti u kojima je izraz je nula. Ove točke "izvaljuju" što znači da se ne primjenjuju na broj tih vrijednosti u kojima je nejednakost istinita. U ovaj slučaj, izvađuju se jer Znak nejednakosti, a ne, to jest, strogo veći i više ili jednaki.
Želim reći da nije potrebno zabilježiti nulu, on je bez krugova ovdje, i tako, za razumijevanje i orijentaciju duž osi. U redu, oslikana je os, bodovi (točnije krig), daljnje što, kako bi mi pomoglo u rješavanju? - Pitaš te. Sada samo uzmite vrijednost za ICA iz intervala u red i podnespodne ih u vašu nejednakost i vidite koji će znak biti kao rezultat množenja.
Ukratko, samo uzmite, na primjer, zamjenjujemo ga ovdje, to će se ispasti, a to znači na cijelom intervalu (tijekom cijelog intervala) od kojih smo uzeli, nejednakost će biti poštena. Drugim riječima, ako je X od prije, onda je nejednakost istinita.
Isto radim s intervalom od prije, uzimamo ili, na primjer, zamjenjujemo, definiramo znak, oznaka će biti "minus". I isto radimo s poslijediplomskim, trećim intervalom od, gdje će znak biti "plus". Takav je mnogo teksta izašlo, ali je prava jasnoća istinita?
Gledajući još jednom za nejednakost.
Sada se sve također primjenjuje na istu os i znakove koji će rezultirati rezultatom. Slomljena linija, u mom primjeru ukazuje na pozitivne i negativne dijelove osi.
Pogledajte nejednakost - na crtežu, opet za nejednakost - i opet na crtežJe nešto jasno? Pokušajte sada reći u kakvim intervalima ICA, nejednakost će biti istina. Tako je, od nejednakosti će biti istina i od prije, iu intervalu od nejednakosti nule, a ta razlika je malo interesa, jer imamo znak nejednakosti.
Pa, budući da ste to shvatili, onda je malo - za pisanje odgovora! Kao odgovor na to, pišemo te praznine na kojima je lijeva strana više od nule, koja se čita kao X-line pripada minus beskonačnosti na minus jedan i dva do plus beskonačnosti. Vrijedi razjasniti da zagrade znače da vrijednosti ograničene intervalom nisu rješenja nejednakosti, odnosno nisu uključene u odgovor, ali samo sugeriraju da prije, na primjer, ali ne i rješenje.
Sada primjer u kojem ćete imati ne samo interval za crtanje:
Što mislite, što treba učiniti prije točke na osovini da se prijavi? Da, čimbenici se razgrađuju:
Izvlačimo intervale i postavili znakove, primijetimo da su točke od nas zamrznute, jer je znak strogo manji od nule:
Vrijeme je da vam otkrijete jednu tajnu, koju sam obećao na početku ove teme! A što ako vam kažem da ne možete zamijeniti vrijednosti iz svakog intervala kako biste odredili znak, ali možete definirati znak u jednom od intervala, au ostalima samo alternativni znakovi!
Dakle, mi smo uštedjeli malo vremena na pričvršćivanju likova - mislim da je ovaj put pobijedio na ispitu ne sprječava!
Pišemo odgovor:
Sada razmotrite primjer frakcijske racionalne nejednakosti - nejednakosti, oba dijela koji su racionalni izrazi (vidi).
Što možete reći o ovoj nejednakosti? I gledate ga kao frakcijsku racionalnu jednadžbu, što prvo radimo? Odmah vidimo da nema korijena, to znači definitivno racionalno, ali odmah frakcija, pa čak i s nepoznatim u imenocu!
Istina, Otz je potrebno!
Dalje, daljnje je otišao, ovdje svi čimbenici, osim jednog ima varijable prvog stupnja, ali postoji množitelj u kojem je X drugi stupanj. Obično se znak promijenio nakon prijelaza kroz jednu od točaka u kojima lijevi dio nejednakosti uzima nultu vrijednost, za koju smo odredili ono što je X jednako bivši u svakom multiplikaciji. I ovdje, tako da je uvijek pozitivno, jer Bilo koji broj u kvadratu\u003e nula i pozitivan uvjeti.
Što mislite da će utjecati na značenje nejednakosti? Desno - neće utjecati! Možemo sigurno podijeliti na oba dijela nejednakosti i time ukloniti ovaj multiplikator tako da oči ne nazivaju.
bilo je vrijeme za crtanje intervala za crtanje, za to je potrebno definirati te granične vrijednosti, tijekom povlačenja iz koje će multiplikatori biti veći i manje od nule. Ali obratite pažnju da ovdje znak znači točka u kojoj je lijevi dio nejednakosti uzima nulu vrijednost, nećemo ispumpavati, to je među rješenjima, takva točka koju imamo, je točka u kojoj je X jednak jedan. A točka u kojoj je nazivnik negativan u jezgru? - Naravno da ne!
Denominator ne bi trebao biti nula, tako da će interval izgledati ovako:
Za ovu shemu možete jednostavno napisati odgovor, samo kažem da sada imate na raspolaganju postoji novi nosač tipa - kvadrat! Ovdje je takav nosač [ Kaže da je vrijednost uključena u interval rješenja, tj. To je dio odgovora, ovaj nosač odgovara oslikanoj (ne oslikanoj) točki na osi.
Ovdje, - jeste li dobili isti odgovor?
Mi se raspadamo na čimbenicima i prenosimo sve u jednom smjeru, samo trebamo ostati nadesno, da usporedite s njom:
Pratim vašu pozornost da u posljednjoj transformaciji, kako bi se umetnite umetra kao u denominatoru, pomnožim oba dijela nejednakosti. Zapamtite da kada se umnožavaju oba dijela nejednakosti, znak nejednakosti se mijenja u suprotno !!!
Pišemo ...
Inače, nazivnik će se okrenuti na nulu, a na nuli, kao što se sjećate, nemoguće je podijeliti!
Slažem se, u dobivenoj nejednakosti, mahnito je rezati u numeritoru i nazivnicu! Nemoguće je to učiniti, možete izgubiti neke od odluka ili ...
Sada pokušajte primijeniti bodove na osi. Napomim samo da prilikom primjene točaka potrebno je obratiti pozornost na činjenicu da je točka s vrijednošću koja se od znakova naizgled trebala primijeniti na os-poput oslikana, neće biti obojana, bit će se raspitivati! Zašto pitaš? A ti se čak sjećaš, nećeš ga dijeliti za nulu?
Zapamtite, posjedovanje je gotovo sve! Ako sve nejednakosti i znakovi jednakosti kažu jednu stvar, i Otz je još jedan, povjerenje ost, sjajno i moćno! Pa, izgradili ste intervali, siguran sam da ste iskoristili moj savjet o izmjeni i učinili ste to ovako (pogledajte crtež ispod) i sada ste pušili, i ne ponovite ovu pogrešku više! Kakvu pogrešku? - Pitaš te.
Činjenica je da se u ovoj nejednakosti množitelj ponavlja dvaput (sjetite se kako ste ga i dalje požurili?). Dakle, ako se množitelj ponavlja u nejednakosti, čak i broj puta, zatim kada se prebacite kroz točku na osi, koja crpi ovaj multiplikator na nulu (u ovom slučaju, točka) neće promijeniti znak, ako je neparan, zatim Znak se mijenja!
Bit će vjerna sljedećoj osi s intervalima i znakovima:
I obratite pažnju da znak ne zanima ne onu koja je na početku (kada smo samo vidjeli nejednakost, znak je bio), nakon transformacije, znak je promijenjen u, što znači da smo zainteresirani za praznine s a znak.
Odgovor:
Reći ću da postoje situacije u kojima postoje korijeni nejednakosti koji nisu uključeni u bilo koji interval, kao odgovor na kovrčave zagrade, ovako, na primjer:., Više o takvim situacijama možete pročitati u članku srednje razine.
Sažetimo kako riješiti nejednakosti pomoću metode intervala:
- Sve nosimo u lijevi dio, ostavljamo samo nulu na desnoj strani;
- Pronašli smo ...
- Primjenjujemo se na osi sve korijene nejednakosti;
- Uzimamo proizvoljno od jednog od praznina i odredite znak u intervalu na koji korijen pripada, alternativni znakovi, obraćajući pozornost na korijene, ponavljajući nejednakost nekoliko puta, od pariteta ili broji iznos njihovog ponavljanja, mijenja znak kada kroz njih ili ne;
- Kao odgovor na to, pišemo intervale, promatrajući točku i ne boju (vidi OTZ), stavljajući potrebne vrste nosača između njih.
Pa, konačno, naš omiljeni naslov, "učini to sami"!
Primjeri:
Odgovori:
Metoda intervala. Prosječna razina
Linearna funkcija
Linearno se naziva funkcija oblika. Razmotrite funkciju na primjer. Pozitivan je i negativan kada. Točka je nula funkcija (). Pokažimo znakove ove funkcije na brojčanoj osi:
Kažemo da "funkcija mijenja znak kada se kreće kroz točku."
Može se vidjeti da funkcije funkcije odgovaraju položaju funkcije funkcije: ako je raspored iznad osi, znak "", ako je ispod - "".
Ako generaliziramo rezultirajuće pravilo proizvoljnim linearna funkcija, Dobivam takav algoritam:
- Nalazimo nulte funkcije;
- Napominjemo ga o numeričkoj osi;
- Odredite znak funkcije na različitim stranama nule.
Kvadratna funkcija
Nadam se da ćete se sjetiti kako su riješene kvadratne nejednakosti? Ako ne, pročitajte temu. Podsjećam opći prikaz kvadratna funkcija: .
Zapamtite da znakovi primaju kvadratnu funkciju. Njegov grafikon - parabola, a funkcija uzima znak "" s takvim u kojem je parabola iznad osi, i "" - ako je parabola ispod osi:
Ako funkcija ima nule (vrijednosti u kojima), Parabola prelazi osovinu na dvije točke - korijeni odgovarajuće kvadratne jednadžbe. Dakle, os je podijeljena u tri intervala, a znakovi funkcije naizmjenično se mijenjaju kada se kreće kroz svaki korijen.
Je li moguće odrediti znakove bez crtanja svaki put kad je parabola?
Sjetite se da se kvadrat tri smanjenja može razgraditi na čimbenicima:
Na primjer: .
Napomena korijenje na osi:
Sjeti se da se znak funkcije može mijenjati samo kada se kreće kroz korijen. Koristimo tu činjenicu: za svaki od tri intervala na koje je osi podijeljena s korijenima, dovoljno je odrediti funkciju funkcije samo u jednoj proizvoljno odabranoj točki: na drugim točkama intervala znak će biti isti ,
U našem primjeru: kada su oba izraza u zagradama pozitivna (zamjenjujemo, na primjer :). Stavili smo znak osi "":
Pa, kada (dostave, na primjer,) obje zagrade su negativne, to znači da je rad pozitivan:
To je ono što je metoda intervala: Znajući znakove čimbenika u svakom intervalu, definiramo znak svih posla.
Razmotrite i slučajeve kada nema nula funkcije, ili je samo jedan.
Ako nema, onda nema korijena. Dakle, neće biti "prijelaza kroz korijen". Dakle, funkcija na cijeloj numeričkoj osi traje samo jedan znak. Lako je odrediti, zamjenjujući u funkciju.
Ako je korijen samo jedan, parabol se dodiruje osi, tako da se znak funkcije ne mijenja kada se kreće kroz korijen. Koje će pravilo doći do takvih situacija?
Ako se razgradite takvu funkciju na množitelja, dva identična multiplikatora će se ispasti:
I bilo koji izraz na trgu je nenegativan! Stoga se funkcija funkcije ne mijenja. U takvim slučajevima, ćemo dodijeliti korijen, kada se krećemo kroz koji se znak ne mijenja, zaokružio je kvadratom:
Takav će korijen biti više nazvan.
Interval metoda u nejednakostima
Sada bilo koja kvadratna nejednakost može se riješiti bez crtanja parabole. Dovoljno je samo postaviti znakove kvadratne funkcije na os i odabrati intervale ovisno o znaku nejednakosti. Na primjer:
Korijeni uma na osi i laici znakovi:
Trebamo dio osi s znakom ""; Od nejednakosti nemira, sami korijeni su također uključeni u rješenje:
Sada razmotrite racionalnu nejednakost - nejednakost, oba dijela su racionalni izrazi (vidi).
Primjer:
Svi čimbenici osim jednog - ovdje "linearni", to jest, sadrže varijablu samo u prvom stupnju. Takvi linearni multiplikatori su potrebni za primjenu metode intervala - znak kada se kreće kroz njihove korijene promjene. Ali multiplikator uopće nema korijene. To znači da je uvijek pozitivno (provjerite sami) i stoga ne utječe na znak sve nejednakosti. To znači da se može podijeliti s lijevom i desnom stranom nejednakosti i tako se riješiti:
Sada je sve isto kao i kvadratne nejednakosti: Odredite koje točke svaki od multiplikatora dodati na nulu, označite ove točke na osi i dogovoriti znakove. Obraćam pažnju vrlo važnu činjenicu:
Odgovor:. Primjer:.
Primijeniti metodu intervala, potrebno je da je u jednom od dijelova nejednakosti bio. Stoga prenosimo desnu stranu ulijevo:
U numeritoru i nazivnicu, isti multiplikator, ali ne u žurbi da ga izreže! Uostalom, onda možemo zaboraviti kupiti ovu točku. Bolje je napomenuti ovaj korijen kao višestruki, to jest, kada se kreće kroz njega, znak se neće promijeniti: 
Odgovor:.
I još jedan vrlo demonstracijski primjer:
Opet, ne smanjujemo iste multiplikatore numerizatora i nazivnika, jer ako smanjimo, morat ćemo specifično zapamtiti da trebate kupiti točku.
- : ponavlja vrijeme;
- : puta;
- : puta (u numeritoru i jedan u nazivnicu).
U slučaju paran broj, radimo isto kao i prije: Mi isporučujemo točku na trgu i ne mijenjajte znak kada se krećete kroz korijen. No, u slučaju neparne količine, ovo pravilo se ne izvršava: znak će se i dalje mijenjati tijekom tranzicije kroz korijen. Stoga, s takvim korijenima, mi ne činimo ništa, kao da to nije višestruke. Navedena pravila odnose se na sve i neparne stupnjeve. 
Što pišemo u odgovoru?
Ako postoji povreda alternativa znakova, potrebno je biti vrlo pažljivo, jer s nerazumnom nejednakošću u odgovoru sve oslikane točke, No, neki od NaH često stoje vila, to jest, ne uključena u oslikano područje. U tom slučaju, dodamo ih na odgovor kao izolirane točke (u kovrčavim zagradama):
Primjeri (rješavanje sebe):
Odgovori:
- Ako je među multiplikatorima jednostavno korijen, jer se može predstavljati kao.
.
Metoda intervala. Ukratko o glavnoj stvari
Metoda intervala koristi se za rješavanje racionalnih nejednakosti. Leži u određivanju znaka rada na znakovima čimbenika u različitim intervalima.
Algoritam za rješavanje racionalnih nejednakosti po intervalima.
- Sve nosimo u lijevi dio, ostavljamo samo nulu na desnoj strani;
- Pronašli smo ...
- Primjenjujemo se na osi sve korijene nejednakosti;
- Uzimamo proizvoljno od jednog od praznina i odredite znak u intervalu na koji korijen pripada, alternativni znakovi, obraćajući pozornost na korijene, ponavljajući nejednakost nekoliko puta, od pariteta ili broji iznos njihovog ponavljanja, mijenja znak kada kroz njih ili ne;
- Kao odgovor na to, pišemo intervale, promatrajući točku i ne boju (vidi OTZ), stavljajući potrebne vrste nosača između njih.
Pa, tema je završena. Ako čitate ove linije, onda ste vrlo cool.
Jer samo 5% ljudi može svladati nešto sami. A ako čitate na kraju, onda ste ušli u ovih 5%!
Sada najvažnija stvar.
Shvatili ste teoriju o ovoj temi. I ponavljam, to ... to je samo super! Ti si bolji od apsolutne većine svojih vršnjaka.
Problem je u tome što to možda nije dovoljno ...
Za što?
Za uspješna isporuka Ege, za upis u Institut o proračunu i, što je najvažnije, za život.
Neću vas ništa uvjeriti, samo ću reći jednu stvar ...
Ljudi koji su primili dobro obrazovanjeStroj mnogo više od onih koji ga nisu primili. To su statistika.
Ali to nije glavna stvar.
Glavna stvar je da su sretniji (postoje takva istraživanja). Možda zato što ima mnogo više mogućnosti u korist od njih i život postaje svjetliji? Ne znam...
Ali, razmislite o sebi ...
Što trebate biti sigurni da budete bolji od drugih na ispitu i biti u konačnici ... sretniji?
Napunite ruku rješavanjem zadataka na ovoj temi.
Nećete pitati teoriju na ispitu.
Trebat će vam rješavanje zadataka neko vrijeme.
A ako ih niste riješili (puno!), Definitivno budite glupo pogrešni ili jednostavno nemate vremena.
To je kao u sportu - morate ponoviti mnogo puta kako biste bili sigurni.
Naći gdje želite zbirku, nužno s rješenjima, detaljna analiza I odlučiti, odlučiti, odlučiti!
Možete koristiti naše zadatke (ne nužno) i mi, naravno, preporučujemo ih.
Da biste ispunili ruku uz pomoć naših zadataka, morate pomoći produžiti život u udžbenik youcever, koji sada čitate.
Kako? Postoje dvije opcije:
- Otvoreni pristup svim skrivenim zadacima u ovom članku -
- Otvoreni pristup svim skrivenim zadacima u svih 99 članaka udžbenika - Kupi udžbenik - 499 rubalja
Da, imamo 99 takvih članaka u našem udžbeniku i pristup za sve zadatke i svi skriveni tekstovi mogu se odmah otvoriti.
Pristup svim skrivenim zadacima pruža se za cijelo postojanje stranice.
U zaključku...
Ako naši zadaci ne vole, pronađite druge. Samo nemojte prestati na teoriji.
"Razumijem" i "mogu odlučiti" potpuno različite vještine. Trebate oboje.
Pronađite zadatak i odlučite!
Pretpostavlja se da je intervalna metoda univerzalna za rješavanje nejednakosti. Ponekad se ova metoda također naziva metodom intervala. Primjenjujemo i kako bi riješili racionalne nejednakosti s jednom varijabli i za nejednakosti drugih vrsta. U našem materijalu pokušali smo obratiti pozornost na sve aspekte problema.
Što vas čeka u ovom odjeljku? Mi ćemo analizirati metodu praznina i razmotriti algoritme za solvatifikaciju s njom. Towrin teoretski aspektina kojem se temelji uporaba metode.
Posebnu pozornost posvećujemo niskim nijansama koje obično ne utječe na Školski program, Na primjer, razmotrite pravila za postavljanje znakova u intervalima i samostalnoj metodi u intervalu u općenito Bez obvezujućeg na racionalne nejednakosti.
Yandex.rtB r-a-339285-1
Algoritam
Tko se sjeća kako se upoznat s metodom praznina u školskoj godini algebra? Obično sve počinje rješenjem nejednakosti obrasca F (x)< 0 (знак неравенства может быть использован любой другой, например, ≤ , > ili ≥). Ovdje F (x) može biti polinomlni ili polinomlni omjer. Polinomi, pak, mogu biti predstavljeni kao:
- proizvod linearnih biccina s koeficijentom 1 s promjenjivom X;
- sastav kvadratni trostruki S višim koeficijentom 1 i negativnim diskriminacijom njihovih korijena.
Dajemo nekoliko primjera takvih nejednakosti:
(X + 3) · (X 2 - X + 1) · (X + 2) 3 ≥ 0,
(X - 2) · (X + 5) X + 3\u003e 0,
(X - 5) · (X + 5) ≤ 0,
(x 2 + 2 · X + 7) · (X - 1) 2 (x 2 - 7) 5 · (X - 1) · (X - 3) 7 ≤ 0.
Pišemo algoritam kako bismo riješili nejednakosti ove vrste, kao što smo vodili u primjerima, metodi intervala:
- nalazimo Zeros brojčanika i nazivnika, za ovaj brojnik i nazivnik izraza na lijevoj strani nejednakosti jednake na nulu i riješiti dobivene jednadžbe;
- određujemo točke koje odgovaraju pronađenim nulama i označavaju ih u osi koordinata;
- odrediti znakove izražavanja f (x) s lijeve strane nejednakosti koju treba riješiti u svakom intervalu i staviti ih na grafikon;
- nanesite izlećivanje na željene dijelove rasporeda, vođeni sljedeće pravilo: U slučaju da nejednakost ima znakove< или ≤ изображается, штрихуются «минусовые» промежутки, если же мы работаем с неравенством, имеющим знаки > ili ≥, onda označite područja moždanog udara označena oznakom "+".
Cellrezh s kojim ćemo raditi može imati shematski pogled. Nepotrebni detalji mogu preopteretiti crtež i otežati riješiti. Bit ćemo malo zainteresirani za razmjeru. To će biti dovoljno da se pridržava pravo mjesto Bodova kao vrijednosti njihovih koordinata rastu.
Kada radite s strogim nejednakostima, koristit ćemo oznaku točke u obliku kruga s nezrelim (praznim) središtem. U slučaju nevjerojatnih nejednakosti, točke koje odgovaraju nulama denominatora, bit ćemo prikazani praznim, a svi ostali su obični crni.
Navedene točke podijelile su koordinatu izravno u nekoliko numeričkih praznina. To nam omogućuje da dobijemo geometrijsku zastupljenost numeričkog skupa, koji je zapravo rješenje za ovu nejednakost.
Znanstvene osnove metode intervala
Na temelju metode praznina, na temelju sljedećeg nekretnina. kontinuirana funkcija: Funkcija zadržava trajni znak na intervalu (a, b), na kojem je ova funkcija kontinuirana i ne primjenjuje se na nulu. Ova nekretnina je karakteristična za numeričke zrake (- ∞, a) i (a, + ∞).
Navedena funkcija funkcije potvrđuje teorem Bolzano-Cauchy, koji se daje u mnogim priručnicima za pripremu za uvodne testove.
Opravdajte postojanost znaka u intervalima također se mogu temeljiti na svojstvima numeričkih nejednakosti. Na primjer, uzimamo nejednakost X - 5 x + 1\u003e 0. Ako pronađemo nule brojnik i nazivnika i dovedemo ih na numerički izravni, dobivamo red praznina: (− ∞ , − 1) , (- 1, 5) i (5, + ∞).
Uzmite bilo koju od praznina i pokažite da u cijeloj rasponu izraz s lijeve strane nejednakosti imat će trajni znak. Neka bude jaz (- ∞, - 1). Uzmite bilo koji broj t iz ovog jaza. Zadovoljit će uvjete t< − 1 , и так как − 1 < 5 , то по свойству транзитивности, оно же будет удовлетворять и неравенству t < 5 .
Koristeći i dobivene nejednakosti i vlasništvo numeričkih nejednakosti, možemo pretpostaviti da je t + 1< 0 и t − 5 < 0 . Это значит, что t + 1 и t − 5 – это отрицательные числа независимо от значения t. U intervalu (- ∞, - 1).
Koristeći pravilo o odbitku negativnih brojeva, možemo tvrditi da će vrijednost izraza t - 5 t + 1 biti pozitivna. To znači da će vrijednost ekspresije X - 5 x + 1 biti pozitivna u bilo kojem smislu x.iz praznine (− ∞ , − 1) , Sve to nam omogućuje da tvrdimo da u intervalu, uzeti za primjer, izraz ima trajni znak. U našem slučaju, to je znak "+".
Pronalaženje Zecles of numerator i denominator
Algoritam za pronalaženje nula je jednostavan: izjednačiti izraze od numeratora i nazivnika na nulu i rješavati dobivene jednadžbe. U slučaju poteškoća, moguće je uputiti se na temu "Otopinu jednadžbi metodom raspadanja na množiteljima". U ovom odjeljku, mi ćemo ograničiti samo razmatranje primjera.
Razmislite o frakciji X · (X - 0, 6) X 7 · (X2 + 2 · X + 7) 2 · (X + 5) 3. Kako bismo pronašli nulls brojčanika i nazivnika, izjednačavamo ih na nulu kako bismo dobili i riješili jednadžbe: x · (x - 0, 6) \u003d 0 i X 7 · (X2 + 2 · X + 7) 2 · (X + 5) 3 \u003d 0.
U prvom slučaju, možemo se preseliti na kombinaciju dviju jednadžbi x \u003d 0 i x - 0, 6 \u003d 0, što nam daje dva korijena 0 i 0, 6. To su nule numeratora.
Druga jednadžba je jednaka ukupnosti triju jednadžbi x 7 \u003d 0, (x 2 + 2 · x + 7) 2 \u003d 0, (x + 5) 3 \u003d 0. Provodimo seriju transformacija i dobivamo X \u003d 0, X2 + 2 · x + 7 \u003d 0, X + 5 \u003d 0. Korijen prve jednadžbe 0, u drugoj jednadžbi nema korijena, jer ima negativan diskriminantni, korijen treće jednadžbe je 5. Ovo je Zeros deneminatora.
0 U tom slučaju, to je istovremeno i nula brojnik, i nula nazivnika.
Općenito, kada je u lijevom dijelu nejednakosti, frakcija koja nije nužno racionalna, brojnik i nazivnik su također jednaki nuli da biste dobili jednadžbe. Otopina jednadžbi omogućuje vam da pronađete nule brojača i nazivnika.
Odrediti znak intervala jednostavno. Da biste to učinili, možete pronaći vrijednost izraza s lijeve strane nejednakosti za bilo koju proizvoljno odabranu točku iz ovog intervala. Rezultirajuća znakova vrijednost ekspresije u proizvoljno odabranoj točki jaza poklapat će se s znakom cijelog jaza.
Razmotrite ovu izjavu o primjeru.
Uzmite nejednakost X 2 - X + 4 x + 3 ≥ 0. Zero-ovi iz ekspresije brojača koji se nalazi na lijevoj strani nejednakosti nemaju nulu. Zero denominator će biti broj - 3. Dobivamo dvije praznine na numeričkom ravnoj (− ∞ , − 3) i (- 3, + ∞).
Da bismo odredili oznake praznina, izračunavamo vrijednost ekspresije X 2 - X + 4 x + 3 za točke snimljene proizvoljno na svakoj od praznina.
Iz prvog intervala (− ∞ , − 3) Uzmi - 4. Za x \u003d - 4 Imamo (- 4) 2 - (- 4) + 4 (- 4) + 3 \u003d - 24. Dobili smo negativno značenjeTako će cijeli interval biti s znakom "-".
Za prazninu (− 3 , + ∞) izrežite izračune s točkom koja ima nultu koordinatu. Na x \u003d 0 imamo 0 2 - 0 + 4 0 + 3 \u003d 4 3. Primljen pozitivna vrijednostIako to znači da će cijeli interval imati znak "+".
Možete koristiti drugi način identificiranja znakova. Da biste to učinili, možemo pronaći znak na jednom od intervala i spremiti ga ili je promijeniti tijekom prijelaza kroz nulu. Da bi se sve učinio ispravno, potrebno je slijediti pravilo: prilikom prebacivanja kroz nulu nazivnika, ali ne i brojnik, ili brojnik, ali ne i nazivnik, možemo promijeniti znak na suprotno ako je stupanj izraza Davanje ove nule, neparno i ne može promijeniti znak ako je stupanj čak i. Ako smo dobili točku, koji je istovremeno nula brojnik i nazivnik, onda možete promijeniti znak na suprotnoj liniji ako zbroj stupnjeva izraza koji daju ovu nulu je neparan.
Ako se sjetimo nejednakosti koju smo razmotrili na početku prve točke ovog materijala, zatim na ekstremno pravo pravog intervala možemo staviti znak "+".
Sada ćemo se obratiti primjerima.
Uzmite nejednakost (X - 2) · (X - 3) 3 · (X - 4) 2 (X - 1) 4 · (X - 3) 5 · (X - 4) · 0 i rješava ga pomoću metode intervala , Da bismo to učinili, moramo pronaći nule brojnik i nazivnika i zabilježiti ih na koordinatnoj izravnoj. Zero-a od numerira bit će bodovi 2 , 3 , 4 , točka denominatora 1 , 3 , četiri. Napominjemo ih na osi koordinatnih nevaženja.
Zeros nazivnika bilježi prazne točke.
Budući da se bavimo nevjerojatnom nejednakošću, onda preostale crtice zamjenjuju uobičajene točke.
Sada stavite točke u intervalima. Ekstremni desni praznin (4, + ∞) će biti +.
Kretanje na desno na lijevo, podići ćemo znakove ostalih intervala. Prođite kroz točku s koordinatom 4. To je istovremeno nula brojnik i nazivnik. Ukupno, ovi nule daju izraze (x - 4) 2 i X - 4., Pomiješajte njihove stupnjeve 2 + 1 \u003d 3 i dobivamo neparan broj. To znači da se znak kada se kreće u ovom slučaju mijenja u suprotno. Interval (3, 4) bit će znak minus.
Idite u interval (2, 3) kroz točku s koordinatom 3. To je također nula i numerator, a denominator. Dobili smo ga zahvaljujući dva izraza (X - 3) 3 i (X - 3) 5, zbroj stupnjeva je 3 + 5 \u003d 8. Dobivanje ravnog broja omogućuje nam da ostavimo znak intervala nepromijenjenim.
Pokazina s koordinatom 2 je nula broja brojila. Stupanj ekspresije X - 2 je 1 (neparan). To znači da prilikom prebacivanja kroz ovu točku, znak mora biti promijenjen na suprotno.
Ostavili smo posljednji interval (- ∞, 1). Točka s koordinatom 1 je nula denominator. Dobiva se iz izraza (x - 1) 4s ravnomjernim 4 , Prema tome, znak ostaje isti. Konačni crtež će imati ovu vrstu:
Korištenje intervala je posebno učinkovit u slučajevima kada je izračun vrijednosti ekspresije povezana s velikom količinom rada. Primjer može biti potreba za izračunavanjem vrijednosti ekspresije.
x + 3 - 3 4 3 · x 2 + 6 · X + 11 2 · X + 2 - 3 4 (X - 1) 2 · X - 2 3 5 · (X - 12)
u bilo kojem trenutku intervala 3 - 3 4, 3 - 2 4.
Sada ćemo se baviti upotrebom znanja i vještina u praksi.
Primjer 1.
Riješite nejednakost (X - 1) · (X + 5) 2 (X - 7) · (X - 1) 3 ≤ 0.
Odluka
Preporučljivo je primijeniti metodu intervala za rješavanje nejednakosti. Nalazimo nule numeritora i nazivnika. Zeros brojčanika 1 i - 5, nula denominatora 7 i 1. Napominjemo ih na numeričkom ravnoj. Bavimo se nevjerojatnom nejednakošću, stoga Zeros deneminatora, bilježimo prazne bodove, nula brojnik - 5, imamo uobičajene oslikane točke.
Prvobitno oznake praznina koriste pravila za promjenu znaka prilikom kretanja kroz nulu. Počnimo s ekstremnim pravim jazom za koje izračunava vrijednost izraza s lijeve strane nejednakosti na točki koja je proizvoljno preuzeta iz praznine. Dobivamo znak "+". Dopustite nam da prođemo uzastopce kroz sve točke na koordinatno izravno, organiziranje znakova i dobivamo:
Radimo s nevjerojatnom nejednakošću koja ima znak ≤. To znači da trebamo zabilježiti zasjenjene praznine označene znakom "-".
Odgovor: (- ∞ , 1) ∪ (1 , 7) .
Otopina racionalnih nejednakosti u većini slučajeva zahtijeva njihovu preliminarnu transformaciju slušanje, Tek nakon toga se pojavi mogućnost korištenja metode intervala. Algoritmi za provođenje takvih transformacija razmatraju se u materijalu "Odluka racionalnih nejednakosti".
Razmotrite primjer konverzije kvadratnih tri uloga u snimanju nejednakosti.
Primjer 2.
Pronađite rješenje nejednakosti (x 2 + 3 x + 3) (X + 3) x 2 + 2 · x - 8\u003e 0.
Odluka
Da vidimo je li diskriminanti uistinu četvrtasti tri uloga u snimanju nejednakosti su negativne. To će nam omogućiti da utvrdimo da li vrsta nejednakosti omogućuje rješavanje metode intervala.
Izračunati diskriminaciju za trostruko X2 + 3 · X + 3: D \u003d 3 2 - 4 · 3 \u003d - 3< 0 . Sada izračunavamo diskriminant za tri shots x 2 + 2 · x - 8: d \u003d 1 2 - 1 · (- 8) \u003d 9\u003e 0. Kao što možete vidjeti, nejednakost zahtijeva preliminarnu transformaciju. Da biste to učinili, zamislite tri faze x 2 + 2 · x - 8 kao (x + 4) · (x - 2), i onda primjenjujemo metodu intervala za rješavanje nejednakosti (X2 + 3 · x + 3) · (X + 3) (X + 4) · (X - 2)\u003e 0.
Odgovor: (- 4 , - 3) ∪ (2 , + ∞) .
Generalizirana metoda intervala koristi se za rješavanje nejednakosti obrasca F (x)< 0 (≤ , > , ≥), gdje je F (x) proizvoljan izraz s jednom varijabli X..
Sve aktivnosti provode se prema specifičnom algoritmu. U isto vrijeme, algoritam za sounenifikacijsko rješenje za opće metode intervala bit će nešto drugačiji od onoga što smo rastavili ranije:
- nalazimo područje određivanja funkcije F i zerosa ove funkcije;
- napominjemo o graničnim točkama koordinatne osi;
- primjenjujemo se na numerički izravni zeros funkcija;
- odrediti znakove praznina;
- primijeniti izlegavanje;
- zabilježite odgovor.
Na numeričkom izravnom, potrebno je primijetiti pojedinačne točke područja definicije. Na primjer, raspon definiranja funkcije je skup (- 5, 1] \u200b\u200b(3) ∪ [4, 7) ∪ (10) . To znači da trebamo primijetiti točke s koordinatama - 5, 1, 3, 4 , 7 i 10 , Bodovi − 5 i 7 će biti prazan, ostatak se može izolirati olovkom u boji kako bi se razlikovali od nula iz nule funkcije.
Nula funkcija u slučaju nevjerojatnih nejednakosti primjenjuju se konvencionalnim (obojenim) točkicama, strogim - praznim točkama. Ako se Zeros podudara s graničnim bodovima ili odvojenim točkama područja definicija, mogu se preraditi u crno, prazno ili obojeno ovisno o vrsti nejednakosti.
Odgovor snimanja je numerički skupkoje uključuje:
- staje s izležnim;
- odvojene točke područja definicije s oznakom plus, ako se radi o nejednakosti, znak kojih\u003e ili ≥ ili s minus znakom, ako postoje znakovi u nejednakosti< или ≤ .
Sada je postalo jasno da je algoritam koji smo vodili na samom početku teme je poseban slučaj algoritam za primjenu opće metode intervala.
Razmotrite primjer primjene metode generaliziranog intervala.
Primjer 3.
Odlučite nejednakosti x 2 + 2 · x - 24 - 3 4 · x - 3 x - 7< 0 .
Odluka
Ulazimo u funkciju F tako da f (x) \u003d x 2 + 2 · x - 24 - 3 4 · x - 3 x - 7. Pronađite područje definiranja funkcije F.:
x 2 + 2 · X - 24 ≥ 0 X ≠ 7 d (f) \u003d (- ∞, - 6] [4, 7) ∪ (7, + ∞).
Sada nalazimo nule funkcije. Da bismo to učinili, vodit ćemo rješenje iracionalne jednadžbe:
x 2 + 2 · x - 24 - 3 4 · x - 3 \u003d 0
Dobivamo korijen x \u003d 12.
Odrediti granične točke na koordinatnim osima koje koristimo narančasta boja, Bodovi - 6, 4 Mi ćemo biti obojani, a 7 ostavlja prazno. Dobivamo:
Napomena Nulte funkcije s praznom točkom crne boje, dok radimo s strogom nejednakošću.
Odrediti znakove u pojedinačnim intervalima. Da biste to učinili, uzmite u jednom trenutku iz svakog intervala, na primjer, 16 , 8 , 6 i − 8 i izračunati vrijednost funkcije F.:
f (16) \u003d 16 2 + 2 · 16 - 24 - 3 4 · 16 - 3 16 - 7 \u003d 264 - 15 9\u003e 0 F (8) \u003d 8 2 + 2 · 8 - 24 - 3 4 · 8 - 3 8 - 7 \u003d 56-9< 0 f (6) = 6 2 + 2 · 6 - 24 - 3 4 · 6 - 3 6 - 7 = 24 - 15 2 - 1 = = 15 - 2 · 24 2 = 225 - 96 2 > 0 F (- 8) \u003d - 8 2 + 2 · (- 8) - 24 - 3 4 · (- 8) - 3 - 8 - 7 \u003d 24 + 3 - 15< 0
Definiramo samo određene znakove i primjenjujemo izleganje u intervale s minus znakom:
Odgovor će biti unija dva intervala s znakom "-": (- ∞, - 6] ∪ (7, 12).
Kao odgovor na to, uključili smo se na točku s koordinatom - 6. To nije nulta funkcija koju ne bismo bili uključeni u odgovor pri rješavanju stroge nejednakosti i granične točke područja definicije koja ulazi u područje definicije. Vrijednost funkcije u ovom trenutku je negativna, to znači da zadovoljava nejednakost.
Točka 4 nismo u odgovoru, baš kao što nisu uključivali cijeli interval [4, 7). U ovom trenutku, kao i na cijelom specificiranom jaz, vrijednost funkcije je pozitivna, što ne zadovoljava nejednakost koja se rješava.
Ponovno ga pišemo za više jasno razumijevanje: Bodovi boje moraju biti uključene u odgovoru u sljedećim slučajevima:
- ove točke su dio jaza s izležnim,
- ove točke su odvojene točke funkcije određivanja funkcije, vrijednosti funkcije u kojoj su zadovoljne nejednakosti.
Odgovor: (− ∞ , − 6 ] ∪ (7 , 12) .
Ako primijetite pogrešku u tekstu, odaberite ga i pritisnite Ctrl + Enter
