Učitelj, nastavnik, profesor viša kategorija: Minaichenko n.s. Gimnazij №24, Sevastopol
Lekcija u 8. razredu: "Trg tečaja i njegovi korijeni"
Vrsta lekcije : Lekcija novog znanja.
Svrha lekcije:
organizirati aktivnosti studenata o konsolidaciji i razvoju znanja o razgradnji trga tri razgradnje o linearnim čimbenicima, smanjenje frakcija;
razviti vještine u korištenju znanja o svim načinima razgradnje multiplikatora: mapiranje skraćenica, koristeći formule skraćene metode umnožavanja i grupiranja u svrhu pripreme uspješna predaja algebra ispit;
stvoriti uvjete za razvoj kognitivnog interesa za predmet, formiranje logično mišljenje i samokontrola pri korištenju razgradnje na množitelja.
Oprema: Multimedijski projektor, zaslon, prezentacija: "Korijeni kvadratnih tri snimaka", križaljka, test, distribucijski materijal.
Osnovni koncepti . Razgradnja kvadratnog trostrukog do multiplikatora.
Neovisne aktivnosti studenata. Upotreba teorema na raspadanje kvadratnih trostrukog do multiplikatora u rješavanju problema.
Plan učenja
Rješavanje zadataka.Odgovori na pitanja učenika
Iv. Primarna provjera učenja znanja. Odraz
Poruka učitelja.
Student poruka
Vlan Domaća zadaća
Snimanje na ploči
Metodički komentar:
Ova tema je temeljna u odjeljku " Identične transformacije algebarski izrazi"" Stoga je važno da će studenti automatski biti u mogućnosti ne samo vidjeti u primjerima formule razgradnje za množenje, već i primjenjivati \u200b\u200bih u druge zadatke: u skladu s jednadžbama rješavanja, transformacija izraza, dokaz identiteta.
U ovoj temi, fokus je na raspadanju kvadratnih trostrukog do multiplikatora:
sJEKIRA. + Bx + c \u003d a (x - x) (X - x
),
gdje je x i x - Korijeni kvadratna jednadžba AX + BX + C \u003d 0.
To vam omogućuje da proširite polje gledanja učenika, učite ga da razmišlja nestandardna situacijaKoristeći materijal pod studijom, tj. Koristeći formulu razgradnje kvadratnih trostrukih na množitelja:
sposobnost smanjenja algebarskih frakcija;
sposobnost pojednostavljenja algebarskih izraza;
sposobnost rješavanja jednadžbi;
sposobnost dokazivanja identiteta.
Glavni sadržaj lekcije:
a) 3x + 5x - 2;
b) -X + 16x - 15;
c) X - 12x + 24;
d) -5x + 6x - 1.
№2. Smanjite frakciju:
№3. Pojednostavite izraz:
№4. Odlučite jednadžbu:
b 
Tijekom nastave:
I. Faza aktualizacije znanja.
Motivacija obrazovnih aktivnosti.
a) iz povijesti:
b križaljka:
Vježba vježba uma - križaljka:
Vodoravno:
1) korijen drugog stupnja se zove .... (kvadrat)
2) vrijednosti varijable u kojima jednadžba postaje vjerna jednakost (korijeni)
3) jednakost koja sadrži nepoznato se zove ... (jednadžba)
4) Indijski znanstvenikkoji je opisao opće pravilo Rješenja kvadratnih jednadžbi (brahmagupta)
5) Koeficijenti kvadratne jednadžbe su ... (brojevi)
6) drevni grčki znanstvenik koji je izumio geometrijsku metodu rješavanja jednadžbi (EUCLID)
7) teorem koji povezuje koeficijente i korijene kvadratne jednadžbe (Vieta)
8) "razlikovanje", određivanje korijena kvadratne jednadžbe - to je ... (diskriminantno)
Dodatno:
Ako d\u003e 0, koliko korijena? (dva)
Ako d \u003d 0, koliko korijena? (jedan)
Ako je D.<0, сколько корней? (нет действительных корней)
Horizontalno i vertikalna tema lekcije: " Kvadratna težina»
b) Motivacija:
Ova tema je temeljna u odjeljku "Identična transformacije algebarskog izraza". Stoga je važno da automatski ne možete vidjeti samo u primjerima formule definicije na množiteljima, već i da ih primijeniti u druge zadatke: kao što je smanjenje frakcija, rješavanje jednadžbi, transformacija izraza, dokaz identiteta ,
Danas ćemo se usredotočiti na razgradnju kvadratnih trave na množitelja:
Ii. Proučavanje novog materijala.
Tema: Square Tranchlen i njegovi korijeni.
Opća teorija polinoma mnogih varijabli daleko je od školskog tečaja. Stoga se ograničavamo na proučavanje polinoma s jednom stvalnom varijablom, pa čak i tada u najjednostavnijim slučajevima. Razmotrite polinom od jedne varijable dane standardnom obliku.
Korijen polinom Vrijednost varijable naziva se vrijednost polinoma je nula. To znači pronaći korijenje polinoma, potrebno je izjednačiti s nulom, tj. Riješite jednadžbu.
Prvi stupanj brojni korijen 
lako za naći 
, Ček: 
.
Korijeni kvadrata tri dece može se naći rješavanjem jednadžbe: 
.
Prema korijena formule kvadratne jednadžbe, nalazimo:
; 
Ako a 
i 
Poznati kvadratni tri shots 
gdje 
≠ 0,
zatim.
Dokaz:
Izvršite sljedeću konverziju kvadratnih triju:
=
=
=
=
=
=
=
=
Od diskriminacije 
Dobit ćemo:
=
=
Primjenjujemo se u zagradama u formuli razlike kvadrata i dobiti:
=
=
,
kao ; , Teorem se dokazuje.
Rezultirajuća formula se naziva formularazgradnja trga je tri razgradnje za množenje.
Iii. Formiranje vještina i vještina.
№1. Proširite se na kvadratni trening:
a) 3x + 5x - 2;Odluka:
Odgovor: 3x + 5x-2 \u003d 3 (X + 2) (X -) \u003d (X + 2) (3x-1)
Na stolu:
b) -5x + 6x - 1;
Dodatno:
c) X - 12x + 24;
d) -X + 16x - 15.
№2. Smanjite frakciju:
ali)
№4. Odlučite jednadžbu:
b
Iv. Primarna provjera učenja znanja.
ali) Test.
Opcija 1.
1. Pronađite korijene kvadratnih triju cipela: 2x 2 -9x-5.
Odgovor:
2. Kakav polinomi mora biti supstituiran umjesto točkica da bi bili vjerni jednakosti:
b) uzajamni test (Odgovori i parametri procjene su ilustrirani).
c) refleksija.
V. Domaći zadatak.
Proučavanje mnogih fizičkih i geometrijskih uzoraka često dovodi do rješavanja problema s parametrima. Neka sveučilišta također uključuju u ispitnim ulaznicama jednadžbe, nejednakosti i njihovim sustavima, koji su često vrlo složeni i zahtijevaju ne-standardni pristup rješenju. U školi je ovaj od najtežih dijelova školske godine algebra smatra se samo nekoliko opcijskih ili predmetnih tečajeva.
Po mom mišljenju, funkcionalno-grafička metoda je zgodan i brz način za rješavanje jednadžbi s parametrom.
Kao što znate, postoje dvije postavke za jednadžbe s parametrima.
- Riješite jednadžbu (za svaku vrijednost parametra kako biste pronašli sva rješenja jednadžbe).
- Pronađite sve vrijednosti parametara, uz svaku od kojih jednadžba rješenja zadovoljavaju navedene uvjete.
U ovom radu smatramo da je zadatak drugog tipa u odnosu na korijenje kvadratnih triju deklizacije, čiji je nalaz smanjen na rješavanje kvadratne jednadžbe.
Autor se nada da će ovaj rad pomoći nastavnicima u razvoju lekcija i prilikom pripreme studenata za ispit.
1. Koji je parametar
Izraz vrste ah 2 + BX + Cu školskoj godini Algebra se zove kvadratna tri melana x,gdje a, b,c - Postavljanje važećih brojeva i a. \u003d / \u003d 0. Vrijednosti varijable X, u kojima se izraz žalbe na nulu naziva korijenje trga tri cipele. Da biste pronašli korijene kvadrata tri dekara, potrebno je riješiti kvadratnu jednadžbu ah 2 + BX + C \u003d0.
Podsjetimo od školske godine osnovne jednadžbe Algebra ah + b \u003d0;
aH2 + BX + C \u003d 0. Kada tražite svoje korijene, varijabilne vrijednosti a, b, c,jednadžba uključena u jednadžbu smatra se fiksnim i specificiranim. Same varijable nazivaju se parametar. Budući da u školskim udžbenicima ne postoji definicija parametra, predlažem da uzmemo sljedeću najjednostavniju opciju kao osnova.
Definicija.Parametar se naziva neovisna varijabla, čija se vrijednost smatra određenim ili proizvoljnim stvarnim brojem ili broj koji pripada unaprijed određenom skupu.
2. Glavne vrste i metode rješavanja problema s parametrima
Među zadacima s parametrima mogu se razlikovati sljedeće glavne vrste zadataka.
- Jednadžbe koje treba riješiti ili za bilo koju vrijednost parametra (parametre) ili za parametarske vrijednosti koje pripadaju unaprijed određenom skupu. Na primjer. Rješavanje jednadžbi: ah \u003d.1, (a -2)x \u003d A. 2 – 4.
- Jednadžbe za koje želite odrediti broj rješenja ovisno o vrijednosti parametra (parametre). Na primjer. Pod koje vrijednosti parametra a.jednadžba 4h. 2 – 4 AH + 1 \u003d 0ima li jedini korijen?
- Jednadžbe za koje, s željenim vrijednostima parametara, skup rješenja zadovoljava određene uvjete u području definicija.
Na primjer, pronađite vrijednosti parametra u kojem su korijeni jednadžbe ( a -2)h. 2
–
2ah + a +3 =
0
pozitivan.
Glavni načini rješavanja problema s parametrom: analitički i grafički.
Analitički- To je način takozvanog izravnog rješenja koje ponavlja standardne postupke za pronalaženje odgovora u zadacima bez parametra. Razmotrite primjer takve zadaće.
Broj zadatka 1.
Na koje vrijednosti parametra i jednadžbe H. 2 – 2aH + A. 2 - 1 \u003d 0 ima dva različita korijena pripadnika (1; 5)?
Odluka
h. 2 –
2aH + A. 2 –
1 = 0.
Pod uvjetom problema, jednadžba mora imati dva različita korijena, a to je moguće samo pod uvjetom: d\u003e 0.
Imamo: d \u003d 4 a. 2 – 2(ali 2 - 1) \u003d 4. Kao što vidimo diskriminant ne ovisi o tome, dakle, jednadžba ima dva različita korijena na bilo kojoj vrijednostima parametra A. Pronađite korijene jednadžbe: h. 1 = ali + 1, h. 2
= ali – 1
Korijeni jednadžbe moraju pripadati jaz (1; 5), tj.
Tako, u 2< ali < 4 данное уравнение имеет
два различных корня, принадлежащих промежутку (1;
5)
Odgovor: 2.< ali < 4.
Ovaj pristup rješavanju ciljeva tipa koji se razmatra moguć je i racionalan u slučajevima kada diskriminant kvadratne jednadžbe "dobro", tj. To je točan kvadrat bilo kojeg broja ili izraza ili korijena jednadžbe na teoremu obrnute stanice. Zatim korijeni ne predstavljaju iracionalne izraze. U suprotnom, rješavanje problema ovog tipa povezana je s prilično kompliciranim postupcima s tehničke točke gledišta. Da, i otopina iracionalnih nejednakosti zahtijeva studenta novog znanja.
Grafički - To je metoda na kojoj se grafikoni koriste u koordinatnoj ravnini (X; y) ili (X; a). Vizualost i ljepota ove metode rješenja pomaže u pronalaženju brzog rješavanja problema. Grafički ćemo riješiti problem broj 1.
Kao što je poznato iz tečaja korijena algebre od kvadratne jednadžbe (kvadrat tri komada) nuze odgovarajuće kvadratna funkcija: U \u003d. h. 2
– 2oh + ali 2 - 1. Grafikon funkcije je parabola, grane su usmjerene prema gore (prvi koeficijent je 1). Geometrijski model koji zadovoljava sve zahtjeve zadatka izgleda ovako.
Sada ostaje da "popraviti" parabolu u željenom položaju s potrebnim uvjetima.
- Budući da Parabola ima dvije raskrižje točke s osi h., zatim d\u003e 0.
- Vrh parabole je između okomitog ravnog h. \u003d 1 I. h. \u003d 5, dakle, apscisa od parabole X o pripada jaz (1; 5), tj.
1 <h. oko< 5. - Primijetimo to w.(1) > 0, w.(5) > 0.
Dakle, kreće se iz geometrijskog modela problema na analitičku, dobivamo sustav nejednakosti.
Odgovor: 2.< ali < 4.
Kao što se može vidjeti iz primjera, grafički postupak za rješavanje zadataka razmatranja tipa moguće je u slučaju kada su korijeni "loši", tj. Sadrži parametar pod znakom radikala (u ovom slučaju, diskriminant jednadžbe nije kompletan kvadrat).
Na drugi način, radili smo s koeficijentima jednadžbe i području vrijednosti funkcije w. = h. 2 – 2oh + ali 2
– 1.
Ovo rješenje ne može se nazvati samo grafikom, jer Ovdje morate riješiti sustav nejednakosti. Umjesto toga, ova metoda je kombinirana: funkcionalna grafika. Od ova dva načina, potonji nije samo elegantan, već i najvažniji, kao što se smatra da odnos između svih vrsta matematičkog modela: verbalni opis problema, geometrijski model - grafikon kvadrata tri deklarirana, analitička Model - opis geometrijskog modela nejednakosti sustava.
Dakle, smatramo zadatak u kojem su korijeni trga tri smanjena zadovoljavaju navedene uvjete u području definicije s željenim vrijednostima parametra.
A što drugi mogući uvjeti mogu zadovoljiti korijene trga tri deklazije s željenim vrijednostima parametra?
Pronalaženje korijena kvadrata tri
Ciljevi: predstaviti koncept kvadratnih tri isjeckanih i njegovih korijena; Formirajući sposobnost pronalaženja korijena kvadratnih triju snimaka.
Tijekom nastave
I. Organizacijski trenutak.
Ii. Oralni rad.
Koji brojevi: -2; -jedan; jedan; 2 - Jesu li korijeni jednadžbi?
a) 8. h. + 16 \u003d 0; u) h. 2 + 3h. – 4 = 0;
b) 5. h. 2 - 5 \u003d 0; d) h. 3 – 3h. – 2 = 0.
Iii. Objašnjenje novog materijala.
Objašnjenje novog materijala za izvođenje sljedeće od sljedećeg:
1) Unesite koncept korijena polinom.
2) Unesite koncept kvadratnih tri iskrivljenih i njegovih korijena.
3) rastavljajte pitanje mogućeg broja kvadratnih korijena.
Pitanje odabira kvadratnog prepirka od kvadratnih tri decekcija je bolje rastaviti u sljedećoj lekciji.
U svakoj fazi objašnjenja novog materijala potrebno je studentima ponuditi usmeni zadatak za provjeru asimilacije glavnih točaka teorije.
Ca d i n i e 1. Koji brojevi su: -1; jedan; ; 0 - su korijeni polinoma h. 4 + 2h. 2 – 3?
CA D i N i E 2. Koji od sljedećih polinomi su kvadratni tri uloga?
1) 2h. 2 + 5h. – 1; 6) h. 2 – h. – ;
2) 2h. – ; 7) 3 – 4h. + h. 2 ;
3) 4h. 2 + 2h. + h. 3 ; 8) h. + 4h. 2 ;
4) 3h. 2 – ; 9) 
+ 3h. – 6;
5) 5h. 2 – 3h.; 10) 7h. 2 .
Koje kvadratne trojke imaju korijen 0?
W i D A N E E 3. Može li kvadrat tri korijena? Zašto? Koliko korijena ima kvadrat tri h. 2 + h. – 5?
Iv. Formiranje vještina i vještina.
Vježbe:
1. № 55, № 56, № 58.
2. No. 59 (a, b, d), br. 60 (a, b).
U tom zadatku ne morate tražiti kvadratne tristale korijene. Dovoljno je pronaći njihovu diskriminaciju i odgovoriti na pitanje.
a) 5. h. 2 – 8h. + 3 = 0;
D. 1 = 16 – 15 = 1;
D. 1 0, to znači da ovaj kvadrat tri smanjenje ima dva korijena.
b) 9. h. 2 + 6h. + 1 = 0;
D. 1 = 9 – 9 = 0;
D. 1 \u003d 0, to znači da kvadrat tri pad ima jedan korijen.
na 7 h. 2 + 6h. – 2 = 0;
7h. 2 – 6h. + 2 = 0;
D. 1 = 9 – 14 = –5;
Ako vrijeme ostane, možete izvršiti № 63.
Odluka
Neka biti sJEKIRA. 2 + bx. + c. - Ova kvadratna trostruka. Ukoliko a.+ b. +
+ C. \u003d 0, jedan od korijena ove tri se smanjuje 1. Na teoremu Vieta, drugi korijen je jednak. Prema stanju iz = 4ali, tako da je drugi korijen ovog trga tri dece jednaka 
.
O t v e t: 1 i 4.
V. Rezultati lekcije.
U p r o s na h i u i m sa mnom:
- Koji je korijen polinoma?
- Koji su polinomi nazvani kvadratni trokatnici?
- Kako pronaći korijene kvadratnih tri cipele?
- Što je diskriminantni trg tri cipele?
- Koliko korijena može imati kvadratni trobojni? O čemu ovisi?
Domaća zadaća: 57, br. 59 (b, G, e), br. 60 (b, d), br. 62.
Tematska lekcija: "Četvrt tri pola i njezini korijeni."
Svrha lekcije: Upoznati studente s konceptom kvadratnih trostrukih i njegovih korijena, poboljšati svoje vještine i vještine u rješavanju zadataka za odabir kvadrata trga u tri deklazije.
Lekcija uključuje Četiri glavne faze:
Kontrola znanja
Objašnjenje novog materijala
Reproduktivna konsolidacija.
Konsolidacija treninga.
Odraz.
Faza 1. Kontrola znanja.
Učitelj provodi matematičku diktatu "pod kopijom" materijalom prethodnog ciklusa. Za diktat koriste se kartice dvije boje: plava - za 1 opciju, crvena -2 opciju.
Od ovih analitičkih modela funkcija odaberite samo kvadratni.
Izvedba 1. U \u003d AH + 4, Y \u003d 45-4x, y \u003d x² + 4x-5, y \u003d x³ + x²-1.
Izvedba 2. U \u003d 8X-B, Y \u003d 13 + 2x, y \u003d -x² + 4x, y \u003d -x³ + 4x²-1.
Slika shematski kvadratne funkcije. Moguće je nedvosmisleno odrediti položaj kvadratne funkcije na koordinatnoj ravnini. Odgovor pokušajte raspravljati.
Odlučite kvadratne jednadžbe.
Opcija 1. a) x² + 11x-12 \u003d 0
B) x² + 11x \u003d 0
Opcija 2. a) x² -9x + 20 \u003d 0
B) x 20 x \u003d 0
4. Ne rješava jednadžbe, saznajte je li to korijenje.
Opcija 1. a) x² + x + 12 \u003d 0
Opcija 2. a) x² + x - 12 \u003d 0
Odgovori učitelja primili su provjerava prva dva para. Netočne primljene odgovore raspravljaju se cijelom razredom.
| Opcija 1. | Opcija 2. |
| 1. y \u003d x² + 4x-5 | 1. y \u003d -x² + 4x |
| 2. Podružnice, ali nije moguće definitivno odrediti položaj nije dovoljan podatak. | grane, ali definitivno određuje položaj ne može nedostajati podataka. |
| 3. a) -12; 1 b) -11; 0 | 3. a) 4; 5 b) 9; 0 |
| 4. D0, postoje dva korijena |
Faza 2. Napravimo skupinu. Koje udruge imate pri razmatranju kvadratnih tri melana?
Kompilacija klastera.
Mogući odgovori:
square tri ulozi koriste se za razmatranje ranga. funkcije;
možete pronaći Zeros Sq. Funkcije
vrijednost diskriminacije procjenjuje broj korijena.
Opisati stvarne procese itd.
Objašnjenje novog materijala.
Stavak 2. Klauzula 3 str. 19-22.
Razmatraju se izrazi i definicija kvadratnog trostruka i korijena polinoma (tijekom rasprave o prethodno pregledanim izrazima)
Određivanje korijena polinoma je formuliran.
Formulirana je definicija kvadrata tri deklarirana.
Primjeri rješenja triju odluka se razlikuju:
Pronađite korijene kvadratnih tri cipele.
Mi naglašavaju kvadrat odbacivača trga tri dekara.
3x²-36x + 140 \u003d 0.
Napravljen je dijagram procijenjene osnove djelovanja.
Algoritam za oslobađanje iskrivljenog kvadrata tri deterstranta.
1. Stavite numeričku vrijednost starijeg kvadratnog koeficijenta tri.
2. obaviti identičan i 2. pretvoriti izraz,
ekvivalentne transformacije pomoću formule
(Da bi zajednički čimbenik iza uglata; kvadratna količina i razlika.
pretvoriti izraz u zagrade
dovršavajući ga na zbroj zbroja iznosa
ili razlika)
a² + 2AV + c² \u003d (a + c) ² a²-2Av + c² \u003d (a-b) ²
3 faza. Otopinu tipičnih zadataka iz udžbenika (br. 60 A, B; 61 A, 64 A, B) se izrađuju na ploči i komentar.
4 faza. Nezavisni rad na 2Variantu (br. 60a, B; 65 a, b). Studenti se provjeravaju s uzorka rješenja na ploči.
Domaća zadaća: str.3 (učenje za učenje, № 56, 61g, 64 g)
Odraz. Učitelj daje zadatku: procijeniti vaš napredak u svakoj fazi lekcije koristeći crtež i proći nastavnika. (Zadatak se obavlja na zasebnim listovima, uzorak se izdaje).
Uzorak: 
Koristeći, redoslijed elemenata na slici, odrediti u kojoj fazi lekcije prevladao je vaše neznanje. Označite ovu fazu crvena.
Praksa pregleda matematike pokazuje da zadaci s parametrima predstavljaju najveću složenost u logičkom i tehničkom planu te stoga sposobnost da ih u velikoj mjeri ne predodređuje uspješno ispitivanje ispita bilo koje razine.
U zadacima s parametrima, zajedno s nepoznatim vrijednostima, su uključene vrijednosti, čije se numeričke vrijednosti, iako nisu specifično navedene, smatraju se poznatim i specificirane na nekom numeričkom skupu. U tom slučaju, parametri uključeni u stanje značajno utječu na logičan i tehnički tijek rješenja i oblik odgovora. Takvi se zadaci mogu naći u knjizi "514 zadatke s parametrima" u literaturi o osnovnoj matematici mnogo udžbenika, zadataka, smjernica, gdje se daju zadaci s parametrima. No, većina njih pokriva uski raspon problema, čineći glavni naglasak na formulaciji, a ne na logiku rješavanja problema. Osim toga, najuspješniji iz knjiga dugo postaju bibliografska rijetkost. Na kraju rada, popis knjiga, čiji je članci pomogli izraditi klasifikaciju navoda na temu rada. Najznačajniji je naknada šamestera A. KH. Jednadžbe i nejednakosti s parametrima.
Glavna svrha ovog rada je nadopunjavanje nekih smislenih nedostataka glavnog tečaja algebre i uspostavljanje uporabe svojstava kvadratne funkcije, što omogućuje značajno pojednostavljenje rješenja problema povezanih s mjestom korijena kvadratna jednadžba u odnosu na neke karakteristične točke.
Zadaci rada:
Uspostaviti moguće slučajeve mjesta korijena kvadrata tri dece na numeričkoj liniji;
Identificirati algoritme koji vam omogućuju rješavanje kvadratnih jednadžbi s parametrom na temelju korištenja mjesta korijena trga tri se smanjuje na numeričkoj ravnoj liniji;
Naučiti rješavati probleme više, u usporedbi s obveznom razinom, složenosti; Ozbiljan broj tehničkih i inteligentnih matematičkih vještina na razini besplatne uporabe; Poboljšati matematičku kulturu kao dio školske hrabrosti matematike.
Objekt studija: Mjesto korijena trga je tri deklarirana na koordinatnoj izravnoj.
Tema istraživanja: kvadratne jednadžbe s parametrom.
Metode istraživanja. Glavni načini za proučavanje zadataka s parametrom: analitički, grafički i kombinirani (funkcionalni - grafički). Analitički je način takozvanog izravnog rješenja koji ponavlja standardne odgovore na zadatke bez parametra. Grafički je metoda na kojoj grafikoni koriste u koordinatnoj ravnini (x; y). Jasnoća grafičkog načina pomaže u pronalaženju brzog rješavanja problema. Od ova dva načina, potonji nije samo elegantan, ali i najvažnije, kao što se smatra da odnos između svih vrsta matematičkog modela: verbalni opis problema, geometrijski model - kvadrat s tri rasipa Analitički model - opis geometrijskog modela nejednakosti sustava sastavljen na temelju matematičkih izjava identificiranih na rasporedu kvadratne funkcije.
U mnogim slučajevima, otopina kvadratnih jednadžbi s parametrom dovodi do glomaznih transformacija. Hipoteza: Korištenje svojstava kvadratne funkcije značajno će pojednostaviti odluku, smanjujući ga na rješavanje racionalnih nejednakosti.
Glavni dio. Mjesto korijena trga tri dekara na koordinatnoj izravnoj
Razmotrite neke od tvrdnji povezanih s mjestom korijena trga tri smanjuje F (x) \u003d Ax2 + BX + C na numeričkim izravnim korporatidatskim točkama m i p takav da m
x1 i X2 - kvadratni korijeni,
D \u003d B2-4ac- diskriminantni kvadrat tri deklarirana, d≥0.
m, N, M1, M2, N1, N2 - set brojevi.
Sva obrazloženja se razmatra za\u003e 0, slučaj za a
Izjava je najprije
Da bi se broj m nalazi između korijena trga tri cipele (X1
Dokaz.
pod uvjetom x1.
Geometrijska interpretacija
Neka X1 i X2 budu korijeni jednadžbe. Kada je\u003e 0 f (x)
Zadatak 1. Na koje vrijednosti K jednadžba X2- (2K + 1) X + 3K-4 \u003d 0 ima dva korijena, od kojih je jedan manji od 2, a drugi je više od 2?
Odluka. f (X) \u003d X2- (2k + 1) X + 3K-4; x1
Kada K\u003e -2, jednadžba X2- (2k + 1) X + 3K-4 \u003d 0 ima dva korijena, od kojih je jedan manji od 2, a drugi je više od 2.
Odgovor: K\u003e -2.
Zadatak 2. Na koje vrijednosti K jednadžba KX2 + (3K-2) X + K-3 \u003d 0 ima korijene različitih znakova?
Taj se zadatak može formulirati na sljedeći način: na koje vrijednosti K, broj 0 leži između korijena ove jednadžbe.
Otopina (1 metoda) F (X) \u003d KX2 + (3K-2) X + K-3; x1
2 Metoda otopine (pomoću teorema Vieta). Ako kvadratna jednadžba ima korijen (d\u003e 0) i c / a
Zadatak 3. Na koje vrijednosti K jednadžba (K2-2) X2 + (K2 + K-1) X - K3 + K2 \u003d 0 ima dva korijena, od kojih je jedan manji od k, a drugi k?
f (X) \u003d (K2-2) X2 + (K2 + K-1) X - K3 + K2; X1 Zaštita vrijednosti K iz pronađenog skupa, provjerite jeste li s ovim vrijednostima K d\u003e 0.
Drugi odobrenje (a)
Da bi korijeni kvadratnih triju cipele manje broj M (x1.
Dokaz: X1-M\u003e 0, X2-M 0; M2-MX1-MX2 + X1x2\u003e 0; M2- (x1 + x2) m + x1x2
Zadatak 4. Na koje vrijednosti parametra korijena jednadžbe X2- (3K + 1) x + 2K2 + 4K-6 \u003d 0 manje -1?
D≥0; (3K + 1) 2-4 (2k2 + 4K-6) ≥0; (K-5) 2≥0; k- bilo koji; X0-3 / 2; K0. 1+ (3K + 1) + (2K2 + 4K-6)\u003e 0. 2 (K + 4) (K-1/2)\u003e 0. K1 / 2.
Drugi odobrenje (b)
Da bi korijeni kvadratnih triju cipele više brojeva M (M.
D ≥0; x0\u003e m; AF (m)\u003e 0.
Ako je uvjet m m zadovoljni. Budući da m ne pripada jaz (X1; X2), zatim f (m)\u003e o kada je\u003e 0 i f (m)
Leđa, neka se provede sustav nejednakosti. Iz uvjeta d\u003e 0, postojanje korijena X1 i X2 (x1 m.
Ostaje pokazati da x1\u003e m. Ako d \u003d 0, zatim x1 \u003d x2\u003e m. Ako d\u003e 0, zatim f (x0) \u003d -D / 4a i AF (X0) o, dakle, na točkama x0 i m, funkcija uzima vrijednosti suprotnih znakova i X1 pripadaju prazninu (M; x0 ).
Zadatak 5. Na koje vrijednosti parametra m korijena X2- (3M + 1) x + 2m2 + 4m-6 \u003d 0 a) je veće od 1? b) manje -1?
Rješenje a) D≥0; D≥0; (3M + 1) 2-4 (2m2 + 4M-6)\u003e 0; x0\u003e m; X0\u003e 1; ½ (3m + 1)\u003e 1; F (m)\u003e 0. F (1)\u003e 0. 1- (3M + 1) + (2m2 + 4M-6)\u003e 0.
(M-5) 2≥0; m - bilo koji m\u003e 1/3; M\u003e 1/3;
(2km-3) (M + 2)\u003e 0. M3 / 2. Odgovor: m\u003e 3/2.
b) d≥0; (3M + 1) 2-4 (2m2 + 4M-6)\u003e 0; (M-5) 2 ≥0; M - bilo koji X0-3 / 2; M0. 1+ (3M + 1) + (2m2 + 4M-6)\u003e 0. 2 (M + 4) (M-1/2)\u003e 0. M1 / 2.
Zadatak 6. Pod koje vrijednosti root parametra KX2- (2k +1) X + 3 K -1 \u003d 0 više od 1?
Odluka. Očito je da je zadatak ekvivalentan sljedećim: po koje vrijednosti parametara m od korijena kvadrata tri odvaljava više od 1?
D≥0; D≥0 (2k + l) 2-4k (3k-1) ≥0; 8K2-8k-1≤0; x0\u003e m; X0\u003e 1 (2k + 1) / (2k)\u003e 1; 2k + 1\u003e 2k; AF (m)\u003e 0. AF (1)\u003e 0. K (K- (2k + 1) + (3K-1))\u003e 0. 2K2-2k\u003e 0.
Odlučujući ovaj sustav, to smatramo
Treća izjava
Kako bi korijeni kvadratnih tri komada veći od broja m i manje n (m
D ≥0; M 0 AF (n)\u003e 0.
Bilješka specifične osobine grafika.
1) Jednadžba ima korijen, što znači d\u003e 0.
2) Osovina simetrije nalazi se između ravnog X \u003d m i X \u003d N, što znači m
3) na točkama x \u003d m i x \u003d n, graf se nalazi iznad osi OH, dakle F (m)\u003e 0 i F (n)\u003e 0 (na m
Uvjeti navedeni iznad (1; 2; 3) su potrebni i dovoljni za željene vrijednosti parametra.
Zadatak 7. Na kojem M X2-2MX + M2-2M + 5 \u003d 0, brojevi 4 ne prelaze modul?
Odluka. Stanje problema može se formulirati na sljedeći način: na kojem se vrši omjer M
V vrijednosti pronađene iz sustava
D\u003e 0; M2 - (M2 - 2M + 5) ≥ 0;
4 ≤ X0 \u003c4; -4 ≤ m≤ 4; f (-4) ≥ 0; 16 + 8m + m2 - 2m + 5 ≥ 0; f (4) ≥0; 16-8m + m2-2 m + 5 ≥0; Otopina koja je segment. Odgovor: m.
Zadatak 8. Pod kojim vrijednostima m korijeni su tri cipele
(2M - 2) X2 + (M + 1) x + 1 više -1, ali manje od 0?
Odluka. Vrijednosti m mogu se naći iz sustava
D≥0; (M + l) 2-4 (2m-2) ≥ 0;
(2m - 2) / (- 1)\u003e 0 (2m -2) (2M -2-m -l + 1)\u003e 0;
(2m-2) f (0)\u003e 0; (2m-2)\u003e 0;
Odgovor: m\u003e 2.
Četvrta tvrdnja (a)
Kako bi manji korijen trga tri koraka do intervala (m; n), a veći pripadao (m
D ≥0; AF (m)\u003e 0 AF (n)
Grafikon kvadratnih tri komada točno jednom prelazi osovinu OH na intervalu (m; n). To znači da u točkama X \u003d m i X \u003d n, trg tri se smanjuje različito od vrijednosti vrijednosti.
Zadatak 10. Pod koje vrijednosti parametra, ali samo manji korijen kvadratne jednadžbe X2 + 2ACH + A \u003d 0 pripada intervalu X (0; 3).
Odluka. Razmislite o kvadratu tri ustajale u (x) \u003d x2-ach + a. Raspored je parabola. Podružnice parabole usmjerene su prema gore. Neka X1 bude manji od korijena kvadratnog tri dekara. Pod uvjetom zadatka X1 pripada jaz (0; 3). Pokazat ću geometrijski model problema koji zadovoljava uvjete problema.
Okrenimo se sustavu nejednakosti.
1) Primjećujemo da (0)\u003e 0 i (3) 0. Stoga, ovaj uvjet nije potrebno zabilježiti u sustavu nejednakosti.
Dakle, dobivamo sljedeći sustav nejednakosti:
Odgovor: a\u003e 1.8.
Četvrta tvrdnja (b)
Kako bi veći korijen trga tri cipele u intervalu (m; n), a manji nije pripadao (x1
D ≥0; AF (m) 0.
Četvrta izjava (kombinirana)
Komentar. Pretpostavimo da je zadatak formuliran na sljedeći način na koje vrijednosti parametra jedan korijen jednadžbe pripada intervalu (B; t), a drugi ne pripada? Da biste riješili ovaj problem, nije potrebno razlikovati dva sublleris, odgovor se nalazi iz nejednakosti F (m) · f (n)
D ≥0; f (m) · f (n)
Zadatak 11. Na kojem m samo jedan korijen X2-MX + 6 \u003d 0 jednadžbe zadovoljava stanje 2
Odluka. Na temelju tvrdnje 4 (b), vrijednosti m se nalaze iz uvjeta F (2) F (5) (10 - 2m) (31 - 5m) m2 - 24 \u003d 0, tj. Na m \u003d ± 2√. 6, s m \u003d -2√6 x \u003d - √6, koji ne pripada intervalu (2; 5), na M \u003d 2√6 x \u003d √6, koji pripada intervalu (2; 5).
Odgovor: m (2√6) u (5; 31/5).
Peta tvrdnja
Da bi korijeni trga tri smanjuju zadovoljavaju odnos (X1
D ≥0; AF (M) Zadatak 12. Nađi sve vrijednosti M na kojoj je nejednakost X2 + 2 (M-3) X + M2-6m
Odluka. U skladu s intervalnim stanjem (0; 2) mora biti sadržano u postavljenim rješenjima nejednakosti X2 + 2 (M - 3) x + m2 - 6m na temelju vrijednosti m, nalazimo se iz sustava nejednakosti f (0) ≤ 0; m2-6m ≤ 0; M f (2) ≤ 0 4 + 4 (m-3) + m2-6m ≤ 0 m [-2; 4], gdje je M.
Odgovor: m.
Šesta izjava
Kako bi se manji korijen trga tri cipele u intervalu (M1; m2), a veći pripadao intervalu (N1; n2) (m2
D ≥0; AF (M1)\u003e 0; AF (m2) Ova izjava je kombinacija optužbi 4a i 4b. Prve dvije nejednakosti osiguravaju da X1 (M1, N1) i posljednje dvije nejednakosti je da X2 (M2, N2),
Zadatak 13. Bez ne, jedan od korijena jednadžbe X2 - (2m + L) X + M2 + M- 2 \u003d 0 je između brojeva 1 i 3, a drugi - između brojeva 4 i 6?
Odluka. 1 način. S obzirom na to da se vrijednosti A \u003d 1, mogu se naći iz sustava F (1)\u003e 0; L -2m- l + m2 + t-2\u003e 0; M2-M-2\u003e 0 m (-∞; -1) u (2; + ∞) f (3)
4 (4) 0; 36-12m-6 + m2 + m-2 0 m (-∞; 4) u (7; + ∞), od čega m (2; 4).
Odgovor: m (2; 4).
Dakle, postavljamo tvrdnje povezane s mjestom korijena trga tri smanjuje F (x) \u003d AX2 + BX + na numeričkom izravnom korpuid i nekim točkama.
Zaključak
Tijekom rada preuzeo sam brojne tehničke i matematičke vještine na razini slobodne uporabe i povećane matematičke kulture u okviru školskog tečaja matematike.
Kao rezultat obavljanja radova, postavljen je set: utvrđena su svojstva kvadratne funkcije, što je moguće značajno pojednostaviti rješenje problema povezanih s položajem korijena kvadratne jednadžbe na nekim karakterističnim točkama , Mogući slučajevi mjesta korijena kvadrata tri dekara na numeričkoj liniji. Algoritmi se otkrivaju rješavanju kvadratnih jednadžbi s parametrom na temelju korištenja mjesta korijena trga tri dece na numeričkom ravnoj; Riješeni zadaci veći, u usporedbi s obveznom razinom, složenosti. U radu je prikazano rješenje samo 12 zadataka s obzirom na ograničen broj stranica rada. Naravno, zadaci koji se razmatraju u radu mogu se riješiti na druge načine: koristeći korijenske formule kvadratne jednadžbe, primjenjujući korijenski objekt (vieta teorem).
Zapravo, riješen je značajan broj zadataka. Stoga je odlučeno da stvori zbirku zadataka na temu dizajnerskog rada "Reshebnik zadataka za primjenu svojstava kvadrata tri uredbe povezane s mjestom svojih korijena na koordinatnoj izravnoj". Osim toga, rezultat rada (proizvod dizajna) je računalna prezentacija koja se može koristiti u klasi električne teme "rješenje zadataka s parametrima".
