Ovaj članak daje uvod u sustave nejednakosti. Ovdje se daju definicija sustava nejednakosti i definicija rješenja sustava nejednakosti. Navodi se i glavne vrste sustava s kojima najčešće morate raditi na satovima algebre u školi i navesti primjere.

Navigacija stranicama.

Što je sustav nejednakosti?

Prikladno je definirati sustave nejednakosti na isti način kao što smo uveli definiciju sustava jednadžbi, odnosno prema vrsti notacije i značenju ugrađenom u nju.

Definicija.

Sustav nejednakosti Oznaka koja predstavlja niz nejednakosti napisanih jedna ispod druge, objedinjena kovrčavom zagradom na lijevoj strani i koja označava skup svih rješenja koja su istovremeno rješenja svake nejednakosti u sustavu.

Navedimo primjer sustava nejednakosti. Uzmimo dva proizvoljna, na primjer, 2 x - 3\u003e 0 i 5 - x≥4 x - 11, napiši ih jedno ispod drugoga
2 x - 3\u003e 0,
5 - x≥4 x - 11
i ujedinimo se znakom sustava - kovrčavom zagradom, kao rezultat dobivamo sustav nejednakosti sljedećeg oblika:

Ideja o sustavima nejednakosti u školskim udžbenicima je također data. Treba napomenuti da su u njima definicije date uže: za nejednakosti s jednom varijablom ili s dvije varijable.

Glavne vrste sustava nejednakosti

Jasno je da se može sastaviti beskonačno mnogo različitih sustava nejednakosti. Da se ne izgubite u ovoj raznolikosti, preporučljivo je razmotriti ih u skupinama koje imaju svoja posebna obilježja. Svi sustavi nejednakosti mogu se podijeliti u skupine prema sljedećim kriterijima:

• prema broju nejednakosti u sustavu;
• prema broju varijabli koje sudjeluju u zapisu;
• po obliku samih nejednakosti.

Prema broju nejednakosti uključenih u zapis, razlikuju se sustavi od dvije, tri, četiri itd. nejednakosti. U prethodnom smo paragrafu dali primjer sustava koji je sustav dviju nejednakosti. Pokažimo još jedan primjer sustava četiri nejednakosti .

Zasebno ćemo reći da nema smisla govoriti o sustavu jedne nejednakosti, u ovom slučaju, u suštini, govorimo o samoj nejednakosti, a ne o sustavu.

Ako pogledamo broj varijabli, tada imamo sustave nejednakosti s jednom, dvije, tri, itd. varijable (ili, kako kažu, nepoznato). Pogledajte zadnji sustav nejednakosti napisan dva paragrafa gore. To je sustav s tri varijable x, y i z. Napominjemo da njegove prve dvije nejednakosti ne sadrže sve tri varijable, već samo jednu. U kontekstu ovog sustava treba ih shvatiti kao nejednakosti s tri varijable oblika x + 0 y + 0 z≥ - 2 i 0 x + y + 0 z≤5. Imajte na umu da se škola fokusira na nejednake nejednakosti.

Ostaje raspravljati koje su vrste nejednakosti uključene u sustave za snimanje. U školi se uglavnom razmatraju sustavi dviju nejednakosti (rjeđe - tri, još rjeđe - četiri ili više) s jednom ili dvije varijable, a same nejednakosti obično čitave nejednakosti prvog ili drugog stupnja (rjeđe - viših stupnjeva ili frakcijski racionalnog). Ali nemojte se iznenaditi ako u materijalima za pripremu OGE naiđete na sustave nejednakosti koji sadrže neracionalne, logaritamske, eksponencijalne i druge nejednakosti. Kao primjer navodimo sustav nejednakosti , preuzet je iz.

Što se naziva rješenjem nejednakosti?

Uvedimo još jednu definiciju koja se odnosi na sustave nejednakosti - definiciju rješenja sustava nejednakosti:

Definicija.

Rješavanjem sustava nejednakosti s jednom varijablom naziva se takva vrijednost varijable koja svaku nejednakost sustava pretvara u istinitu, drugim riječima, koja je rješenje svake nejednakosti u sustavu.

Objasnimo nam primjerom. Uzmimo sustav od dvije nejednakosti s jednom varijablom. Uzmimo li vrijednost varijable x jednaku 8, ona je rješenje za naš sustav nejednakosti po definiciji, budući da njezina supstitucija u nejednakosti sustava daje dvije prave brojčane nejednakosti 8\u003e 7 i 2- 3 · 8≤0. Suprotno tome, jedno nije rješenje sustava, jer kada se supstituira za varijablu x, prva će se nejednakost pretvoriti u pogrešnu brojčanu nejednakost 1\u003e 7.

Slično tome, možemo uvesti definiciju rješenja u sustav nejednakosti s dvije, tri ili više varijabli:

Definicija.

Rješavanjem sustava nejednakosti s dvije, tri itd. varijable nazivaju par, troje itd. vrijednosti ovih varijabli, što je istodobno rješenje svake nejednakosti u sustavu, odnosno pretvara svaku nejednakost u sustavu u istinsku brojčanu nejednakost.

Na primjer, par vrijednosti x \u003d 1, y \u003d 2 ili u drugoj notaciji (1, 2) rješenje je sustava nejednakosti s dvije varijable, budući da je 1 + 2<7 и 1−2<0 - верные числовые неравенства. А пара (3,5, 3) не является решением этой системы, так как второе неравенство при этих значениях переменных дает неверное числовое неравенство 3,5−3<0 .

Sustavi nejednakosti možda nemaju rješenja, mogu imati ograničen broj rješenja ili mogu imati beskonačno mnogo rješenja. Često razgovaramo o skupu rješenja sustava nejednakosti. Kad sustav nema rješenja, prazan je skup njegovih rješenja. Kada postoji konačan broj rješenja, tada skup rješenja sadrži konačan broj elemenata, a kada postoji beskonačno mnogo rješenja, tada se skup rješenja sastoji i od beskonačnog broja elemenata.

Neki izvori uvode definicije određenog i općeg rješenja sustava nejednakosti, kao što je to, na primjer, u Mordkovičevim udžbenicima. Pod, ispod posebno rješenje sustava nejednakosti razumjeti njezino jedno odvojeno rješenje. S druge strane opće rješenje sustava nejednakosti - sve su to njezine posebne odluke. Međutim, ovi pojmovi imaju smisla samo kada je potrebno naglasiti o kojem se rješenju govori, ali obično je to jasno iz konteksta, pa puno češće kažu jednostavno „rješenje sustava nejednakosti“.

Iz definicija sustava nejednakosti i njegovih rješenja uvedenih u ovom članku proizlazi da je rješenje sustava nejednakosti sjecište skupa rješenja svih nejednakosti ovog sustava.

Popis referenci.

1. Algebra: studija. za 8 cl. opće obrazovanje. institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - 16. izd. - M .: Obrazovanje, 2008. - 271 str. : bolestan. - ISBN 978-5-09-019243-9.
2. Algebra: 9. razred: udžbenik. za opće obrazovanje. institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - 16. izd. - M .: Obrazovanje, 2009. - 271 str. : bolestan. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. A. G. Mordkovich Algebra. 9. razred U 14.00 sati 1. udžbenik za učenike obrazovnih ustanova / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. izd., Izbrisano. - M .: Mnemozina, 2011. - 222 str .: Ill. ISBN 978-5-346-01752-3.
4. A. G. Mordkovich Algebra i početak matematičke analize. 11. razred U 14.00 sati 1. udžbenik za učenike obrazovnih ustanova (razina profila) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2. izd., Izbrisano. - M .: Mnemosina, 2008 .-- 287 str .: bolestan. ISBN 978-5-346-01027-2.
5. Jedinstveni državni ispit-2013. Matematika: tipične mogućnosti ispitivanja: 30 opcija / ed. A. L. Semenova, I. V. Jaščenko. - M .: Izdavačka kuća "Nacionalno obrazovanje", 2012. - 192 str. - (EGE-2013. FIPI - škola).

Tema lekcije: Rješavanje sustava linearnih nejednakosti s jednom varijablom

Datum: _______________

Razred: 6a, 6b, 6c

Vrsta lekcije: proučavanje novog materijala i početna konsolidacija.

Didaktički cilj: stvoriti uvjete za razumijevanje i razumijevanje bloka novih obrazovnih informacija.

Ciljevi: 1) Obrazovni: uvesti pojmove: rješenje sustava nejednakosti, ekvivalentni sustavi nejednakosti i njihova svojstva; naučiti kako primijeniti ove koncepte pri rješavanju najjednostavnijih sustava nejednakosti s jednom varijablom.

2) Razvoj: doprinijeti razvoju elemenata kreativne, neovisne aktivnosti učenika; razvijaju govor, sposobnost razmišljanja, analize, generalizacije, izražavanja svojih misli jasno, sažeto.

3) Obrazovni:njegovanje uvažavajućeg odnosa jednih prema drugima i odgovornog odnosa prema obrazovnom radu.

zadaci:

pregledati teoriju o nejednakostima broja tema i brojevima intervala;

dati primjer problema koji se rješava sustavom nejednakosti;

razmotrite primjere rješavanja sustava nejednakosti;

obavljati samostalni rad.

Oblici organiziranja obrazovnih aktivnosti: - frontalno - kolektivno - pojedinačno.

metode: objašnjenje - ilustrativno.

Plan učenja:

1. Organizacijski trenutak, motivacija, postavljanje ciljeva

2. Aktualizacija proučavanja teme

3. Učenje novog materijala

4. Početno učvršćivanje i primjena novog materijala

5. Samostalni rad

7. Rezimiranje lekcije. Odraz.

Tijekom nastave:

1. Organizacijski trenutak

Nejednakost može biti dobar pomoćnik. Samo trebate znati kada se obratiti za pomoć. Izjava o problemima u mnogim primjenama matematike često je formulirana jezikom nejednakosti. Na primjer, mnogi se ekonomski problemi svode na proučavanje sustava linearnih nejednakosti. Stoga je važno biti u stanju riješiti sustave nejednakosti. A što znači "riješiti sustav nejednakosti"? To ćemo danas analizirati u lekciji.

2. Ažuriranje znanja.

Usmeni rad s klasom, tri učenika rade na pojedinačnim karticama.

Da bismo ponovili teoriju teme "Nejednakosti i njihova svojstva", provest ćemo testiranje, nakon čega slijedi provjera i rasprava o teoriji ove teme. Svaki testni predmet pretpostavlja odgovor "Da" - brojka, "Ne" - broj ____

Rezultat testa trebao bi biti neka vrsta figure.

(odgovor:).

Usklađivanje nejednakosti i numeričkog raspona

1. (– ; – 0,3)

2. (3; 18)

3. [ 12; + )

4. (– 4; 0]

5. [ 4; 12]

6. [ 2,5; 10)

"Matematika vas uči da prevladavate poteškoće i ispravite vlastite pogreške."Pronađite pogrešku u rješavanju nejednakosti, objasnite zašto je pogreška napravljena, ispravno rješenje zapišite u bilježnicu.

2x<8-6

x\u003e -1

3. Učenje novog materijala.

Što mislite kako se naziva rješavanjem sustava nejednakosti?

(Rješenje sustava nejednakosti s jednom varijablom je vrijednost varijable u kojoj je svaka od nejednakosti sustava istinita)

Što znači "Riješiti sustav nejednakosti"?

(Riješiti sustav nejednakosti znači pronaći sva njegova rješenja ili dokazati da nema rješenja)

Ono što treba učiniti kako bi se odgovorilo na pitanje „jest dati broj

rješavanjem sustava nejednakosti? "

(Zamijenite ovaj broj u obje nejednakosti sustava. Ako se dobiju ispravne nejednakosti, tada je navedeni broj rješenje sustava nejednakosti. Ako se dobiju pogrešne nejednakosti, tada navedeni broj nije rješenje sustava nejednakosti)

Formulirajte algoritam za rješavanje sustava nejednakosti

1. Riješite svaku nejednakost u sustavu.

2. Nacrtajte grafički rješenja svake nejednakosti na koordinatnoj liniji.

3. Na koordinatnoj liniji pronađite sjecište rješenja nejednakosti.

4. Odgovor zapišite u obliku intervala broja.

Razmotrimo primjere:

Odgovor:

Odgovor: nema rješenja

4. Stvaranje teme.

Rad s udžbenikom br. 1016, br. 1018, br. 1022

5. Samostalni radpo opcijama (Karte - zadaci za studente na stolovima)

Samostalni rad

opcija 1

Riješite sustav nejednakosti:

Program za rješavanje linearnih, kvadratnih i frakcijskih nejednakosti ne daje samo odgovor na problem, već daje detaljno rješenje s objašnjenjima, tj. prikazuje postupak rješenja kako bi provjerio znanje iz matematike i / ili algebre.

Štoviše, ako je u procesu rješavanja jedne od nejednakosti potrebno riješiti, primjerice, kvadratnu jednadžbu, tada se prikazuje i njezino detaljno rješenje (nalazi se u spojleru).

Ovaj program može biti koristan za srednjoškolce u pripremi za testne radove, kako bi roditelji mogli kontrolirati rješenje nejednakosti od strane svoje djece.

Ovaj program može biti koristan starijim učenicima srednjih škola u pripremi za testove i ispite, prilikom provjere znanja prije ispita, kako bi roditelji mogli kontrolirati rješenje mnogih problema iz matematike i algebre. Ili vam je možda preskupo zaposliti mentora ili kupiti nove udžbenike? Ili samo želite što prije riješiti domaće zadaće iz matematike ili algebre? U ovom slučaju možete koristiti i naše programe s detaljnim rješenjem.

Na taj način možete voditi vlastito učenje i / ili podučavanje svoje mlađe braće ili sestara, dok se razina obrazovanja u području problema koji se rješavaju povećava.

Pravila unosa nejednakosti

Bilo koja latinična slova mogu se koristiti kao varijabla.
Na primjer: \\ (x, y, z, a, b, c, o, p, q \\) itd.

Brojevi se mogu unijeti kao cjelobrojni ili frakcijski brojevi.
Štoviše, frakcijski brojevi mogu se upisati ne samo u obliku decimalnog, već i u obliku običnog ulomaka.

Pravila za unos decimalnih ulomaka.
U decimalnim ulozima, frakcijski dio od cjeline može se odvojiti točkom ili zarezom.
Na primjer, možete unijeti decimale na ovaj način: 2,5x - 3,5x ^ 2

Pravila za unos običnih frakcija.
Kao čitač, nazivnik i cijeli dio ulomaka može se koristiti cijeli broj.

Imenik ne može biti negativan.

Kod unosa numeričkog udjela, brojnik se odvaja od nazivnika znakom dijeljenja: /
Čitav dio je odvojen od frakcije s ampersandom: &
Ulaz: 3 i 1/3 - 5 & 6 / 5y + 1 / 7y ^ 2
Rezultat: \\ (3 \\ frac (1) (3) - 5 \\ frac (6) (5) y + \\ frac (1) (7) y ^ 2 \\)

U zagradama možete koristiti zagrade. U ovom slučaju pri rješavanju nejednakosti izrazi se najprije pojednostavljuju.
Na primjer: 5 (a + 1) ^ 2 + 2 i 3/5 + a\u003e 0,6 (a-2) (a + 3)

Odaberite željeni znak nejednakosti i unesite polinom u polja ispod.

Prva nejednakost sustava.

Kliknite gumb za promjenu vrste prve nejednakosti.

> >= < <=

Riješite sustav nejednakosti

Utvrđeno je da neke skripte potrebne za rješavanje ovog problema nisu učitane i program možda neće raditi.
Možda vam je omogućen AdBlock.
U tom slučaju onemogućite je i osvježite stranicu.

JavaScript je onemogućen u vašem pregledniku.
Da bi se rješenje pojavilo, morate omogućiti JavaScript.
Ovdje su upute kako omogućiti JavaScript u svom pregledniku.

Jer Ima puno ljudi koji su voljni riješiti problem, vaš zahtjev je na čekanju.
Nakon nekoliko sekundi, rješenje će se pojaviti u nastavku.
Molimo pričekajte sek ...

Ako ti primijetili pogrešku u odluci, o tome možete pisati u obrascu za povratne informacije.
Ne zaboravi odredite koji zadatak vi odlučite i što unesite u polja.

Naše igre, zagonetke, emulatori:

Malo teorije.

Sustavi nejednakosti s jednom nepoznatom. Broj raspona

Upoznali ste se s konceptom sustava u 7. razredu i naučili kako riješiti sustave linearnih jednadžbi u dvije nepoznanice. Ispod ćemo razmotriti sustave linearnih nejednakosti s jednom nepoznatom. Skupovi rješenja sustava nejednakosti mogu se napisati pomoću intervala (intervali, polu-intervali, segmenti, zrake). Upoznat ćete i s oznakama numeričkih intervala.

Ako je u nejednakostima \\ (4x\u003e 2000 \\) i \\ (5x \\ leq 4000 \\) nepoznati broj x jednak, onda se te nejednakosti smatraju zajedno i kažu da tvore sustav nejednakosti: $$ \\ left \\ (\\ begin ( niz) (l) 4x\u003e 2000 \\\\ 5x \\ leq 4000 \\ end (niz) \\ right. $$

Kovrčava zagrada označava da trebate pronaći takve vrijednosti x pri kojima se obje nejednakosti u sustavu pretvaraju u prave numeričke nejednakosti. Ovaj je sustav primjer sustava linearnih nejednakosti s jednom nepoznatom.

Rješenje sustava nejednakosti s jednom nepoznanicom je vrijednost nepoznanice pri kojoj se sve nejednakosti u sustavu pretvaraju u istinske numeričke nejednakosti. Riješiti sustav nejednakosti znači pronaći sva rješenja ovog sustava ili utvrditi da ona ne postoje.

Nejednakosti \\ (x \\ geq -2 \\) i \\ (x \\ leq 3 \\) mogu se napisati kao dvostruka nejednakost: \\ (- 2 \\ leq x \\ leq 3 \\).

Različiti numerički skupovi su rješenja sustava nejednakosti s jednom nepoznanicom. Ovi skupovi imaju imena. Dakle, na numeričkoj osi skup brojeva x, takav da je \\ (- 2 \\ leq x \\ leq 3 \\), prikazan segmentom s krajevima u točkama -2 i 3.

-2

3

Ako je \\ (a segment i označen je sa [a; b]

Ako je \\ (a interval i označen je s (a; b)

Skupovi brojeva \\ (x \\) koji zadovoljavaju nejednakosti \\ (a \\ leq x s polovičnim intervalima i označavaju se s [a; b) i (a; b]

Pozvani su odjeljci, intervali, polu-intervali i zrake numerički intervali.

Tako se numerički intervali mogu navesti kao nejednakosti.

Rješenje nejednakosti s dvije nepoznanice je par brojeva (x; y) koji tu nejednakost pretvara u pravu brojčanu nejednakost. Rješavanje nejednakosti znači pronalaženje skupa svih njegovih rješenja. Dakle, rješenja nejednakosti x\u003e y su, na primjer, parovi brojeva (5; 3), (-1; -1), budući da \\ (5 \\ geq 3 \\) i \\ (- 1 \\ geq -1 \\)

Rješavanje sustava nejednakosti

Već ste naučili kako riješiti linearne nejednakosti s jednom nepoznatom. Znate što je sustav nejednakosti i rješenje za sustav. Stoga proces rješavanja sustava nejednakosti s jednom nepoznatom neće vam stvarati poteškoće.

Pa ipak, podsjetite se da da biste riješili sustav nejednakosti, trebate riješiti svaku nejednakost zasebno, a zatim pronaći sjecište tih rješenja.

Na primjer, izvorni sustav nejednakosti sveden je na oblik:
$$ \\ left \\ (\\ početak (niz) (l) x \\ geq -2 \\\\ x \\ leq 3 \\ end (niz) \\ desno. $$

Da biste riješili ovaj sustav nejednakosti, označite rješenje svake nejednakosti na osi brojeva i pronađite njihovo sjecište:

-2

3

Sjecište je segment [-2; 3] - ovo je rješenje izvornog sustava nejednakosti.

1. Pojam nejednakosti s jednom varijablom

2. ekvivalentne nejednakosti. Teoreme o jednakosti za nejednakosti

3. Rješavanje nejednakosti s jednom varijablom

4. Grafičko rješenje nejednakosti s jednom varijablom

5. Nejednakosti koje sadrže varijablu pod znakom modula

6. Ključni nalazi

Pojedine varijabilne nejednakosti

Ponude 2 x + 7 > 10x, x 2 + 7x< 2,(х + 2)(2х-3)> 0 se nazivaju nejednakosti s jednom varijablom.

Općenito govoreći, ovaj je koncept definiran na sljedeći način:

Definicija. Neka su f (x) i g (x) dva izraza sa promjenjivom x i domenom X. Tada je nejednakost oblika f (x)\u003e g (x) ili f (x)< g(х) называется неравенством с одной переменной. Мно­жество X называется областью его определения.

Promjenjiva vrijednost x od mnoštva X,pri kojoj se nejednakost pretvara u istinsku brojčanu nejednakost naziva se svojom odluka.Rješavanje nejednakosti znači pronalaženje mnogih njezinih rješenja.

Dakle, rješenje nejednakosti 2 x + 7 > 10 -x, x? R je broj x \u003d 5, jer je 2 · 5 + 7\u003e 10 - 5 istinska brojčana nejednakost. A skup njegovih rješenja je interval (1, ∞), koji se pronalazi provođenjem transformacije nejednakosti: 2 x + 7 > 10- x => 3 x >3 => x >1.

Ekvivalentne nejednakosti. Teoreme o jednakosti za nejednakosti

Rješenje nejednakosti s jednom varijablom temelji se na konceptu ekvivalencije.

Definicija. Dvije nejednakosti kažu da su jednake ako su njihovi skupovi rješenja jednaki.

Na primjer, nejednakosti 2 x + 7\u003e 10 i 2 x \u003e 3 su ekvivalentna, jer su njihovi skupovi rješenja jednaki i predstavljaju interval (2/3, ∞).

Teoreme o ekvivalenciji nejednakosti i njihovim posljedicama slične su odgovarajućim teoremima o ekvivalenciji jednadžbi. Njihov dokaz koristi svojstva istinskih numeričkih nejednakosti.

Teorem 3. Neka nejednakost f (x)\u003e g (x)dano na setu xi h(x) je izraz definiran na istom skupu. Tada nejednakosti f (x)\u003e g (x) i f (x) + h (x)\u003e g (x) + h (x)su ekvivalentne na setu X.

Ova teorema podrazumijeva posljedice koje se često koriste za rješavanje nejednakosti:

1) Ako na obje strane nejednakosti f (x)\u003e g (x)dodaj isti broj dtada dobivamo nejednakost f (x) + d\u003e g (x) + d,ekvivalent originalu.

2) Ako bilo koji pojam (numerički izraz ili izraz sa varijablom) prenesemo iz jednog dijela nejednakosti u drugi, mijenjajući znak pojma u suprotan, dobivamo nejednakost koja je jednaka ovom.

Teorem 4. Neka nejednakost f (x)\u003e g (x) dano na setu xi h(x xod mnoštva xizraz h (x)uzima pozitivne vrijednosti. Tada nejednakosti f (x)\u003e g (x) i f (x) h (x)\u003e g (x) h (x)su ekvivalentne na setu X.

f (x)\u003e g (x)pomnožiti s istim pozitivnim brojem dtada dobivamo nejednakost f (x) d\u003e g (x) d,ekvivalentno datoj.

Teorem 5. Neka nejednakost f (x)\u003e g (x)dano na setu xi h(x) izraz je definiran na istom skupu i za sve x njihove mnoštvo xizraz h(x) uzima negativne vrijednosti. Tada nejednakosti f (x)\u003e g (x) i f (x) h (x)\u003e g (x) h (x)su ekvivalentne na setu x.

Ovaj teorem podrazumijeva i posljedicu: ako su obje strane nejednakosti f (x)\u003e g (x)pomnožiti s istim negativnim brojem da znak nejednakosti promijenimo u suprotno, tada dobivamo nejednakost f (x) d\u003e g (x) d,ekvivalentno datoj.

Rješavanje nepromjenjivih nejednakosti

Riješite nejednakost 5 x - 5 < 2х - 16, x? Ri opravdati sve transformacije koje ćemo izvesti u procesu rješenja.

Rješavanje nejednakosti x < 7 является промежуток (-∞, 7) и, сле­довательно, множеством решений неравенства 5x - 5 < 2x +16 je raspon (-∞, 7).

vježbe

1. Utvrdite koji su od sljedećih unosa nejednakosti s jednom varijablom:

a) -12 - 7 x< 3x + 8; d) 12 x +3(x- 2);

b) 15 ( x + 2)\u003e 4; e) 17-12 8;

c) 17- (13 + 8)< 14-9; е) 2x 2+ 3x-4> 0.

2. Je li broj 3 rješenje nejednakosti 6 (2x +)7) < 15(x + 2), x? R? A broj 4.25?

3. Jesu li sljedeći parovi nejednakosti jednaki na skupu realnih brojeva:

a) -17 x< -51 и x > 3;

b) (3 x-1) / 4\u003e 0 i 3 x-1>0;

c) 6-5 x \u003e -4 i x<2?

4. Koja je od sljedećih tvrdnji istinita:

a) -7 x < -28 => x>4;

b) x < 6 => x < 5;

u) x< 6 => x< 20?

5. Riješite nejednakost 3 ( x - 2) - 4(x + 1) < 2(х - 3) - 2 i opravdajte sve transformacije koje ćete istodobno izvoditi.

6. Dokažite to rješavanjem nejednakosti 2 (x+ 1) + 5 > 3 - (1 - 2x) je bilo koji stvarni broj.

7. Dokazati da nema stvarnog broja koji bi bio rješenje za nejednakost 3 (2 - x) - 2 > 5 - 3x.

8. Jedna strana trokuta iznosi 5 cm, a druga 8 cm. Kolika može biti duljina treće strane ako je obod trokuta:

a) manje od 22 cm;

b) više od 17 cm?

GRAFIČNO RJEŠENJE NEVJEROVOSTI S JEDNOM PROMJENJIVANJEM.Da grafički riješimo nejednakost f (x)\u003e g (x) trebate sastaviti grafikone funkcija

y \u003d f (x) \u003d g (x)i odaberite one intervale osi apscesi na kojima je graf funkcije y \u003d f (x)smješten iznad grafa funkcije y \u003d g (x).

Primjer 17.8.Riješite nejednakosti grafički x 2- 4 > 3x.

Y - x * - 4

Odluka.Konstruirajmo u jednom koordinatnom sustavu grafove funkcija

y \u003d x 2 -4 i y \u003dZx (sl. 17.5). Na slici je prikazano da su grafovi funkcija na= x 2- 4 se nalazi iznad grafa funkcije y \u003d 3 xna x< -1 i x\u003e4, tj. skup rješenja izvorne nejednakosti je skup

(- ¥; -1) È (4; + oo) .

Odgovor: x Î(- oo; -1) i (4; + oo).

Graf kvadratne funkcije na= sjekira 2 + bx + cje parabola s gornjim granama ako a\u003e0, a prema dolje ako i< 0. U ovom su slučaju moguća tri slučaja: parabola presijeca os Oh(tj. jednadžba ah 2+ bx+ c \u003d0 ima dva različita korijena); parabola dodiruje osovinu x(tj. jednadžba sjekira 2 + bx+ c \u003d 0 ima jedan korijen); parabola ne presijeca os Oh(tj. jednadžba ah 2+ bx+ c \u003d0 nema korijena). Dakle, moguće je šest pozicija parabole koja služi kao graf funkcije y \u003d ah 2+ b x + c(Fig.17.6). Pomoću ovih ilustracija možete riješiti kvadratne nejednakosti.

Primjer 17.9.Riješite nejednakost: a) 2 x g+ 5x - 3\u003e 0; b) -3x 2 - 2x- 6 < 0.

Odluka,a) Jednadžba 2x 2 + 5x -3 \u003d 0 ima dva korijena: x, \u003d -3, x 2 \u003d0.5. Parabola koja služi kao graf funkcije na= 2x 2+ 5x -3, prikazano na sl. i.Nejednakost 2x 2+ 5x -3\u003e 0 se izvodi pri tim vrijednostima x,na kojem točke parabole leže iznad osi Oh:bit će na x< х х ili kod x> x r\u003eoni. na x< -3 ili at x\u003e0.5. Dakle, skup rješenja izvorne nejednakosti je skup (- ¥; -3) i (0,5; + ¥).

b) Jednadžba -3x 2 + 2x-6 \u003d 0 nema valjane korijene. Parabola koja služi kao graf funkcije na= - 3x 2 - 2x -6 je prikazano na Sl. 17.6 Nejednakost -3x 2 - 2x -6 < О выполняется при тех значениях x,na kojem točke parabole leže ispod osi Oh.Budući da cijela parabola leži ispod osi Oh,tada je skup rješenja izvorne nejednakosti skup R .

NEPOVREDNOSTI KOJE SADRŽAJU PROMENJIVOST PRIJAVE MODULA.Pri rješavanju ovih nejednakosti treba imati na umu da:

| f (x) | =

f (x) , ako a f (x) ³ 0,

- f (x) , ako a f (x) < 0,

U ovom slučaju, raspon dopuštenih vrijednosti nejednakosti treba podijeliti u intervale, pri čemu svaki izraz pod modulovim znakom zadržava svoj znak. Zatim, proširujući module (uzimajući u obzir znakove izraza), potrebno je riješiti nejednakost na svakom intervalu i kombinirati dobivena rješenja u skup rješenja izvorne nejednakosti.

Primjer 17.10.Riješite nejednakost:

| x -1 | + | 2- x | \u003e 3 + x.

Odluka. Točke x \u003d 1 i x \u003d 2 dijele numeričku os (ODZ nejednakosti (17.9) u tri intervala: x< 1, 1 £ х £.2, х > 2. Riješimo ovu nejednakost za svakog od njih. Ako je x< 1, то х - 1 < 0 и 2 – х > 0; dakle | x -1 | \u003d - (x - I), | 2 - x | \u003d 2 - x. Dakle, nejednakost (17.9) ima oblik: 1- x + 2 - x\u003e 3 + x, tj. x< 0. Таким образом, в этом случае решениями неравенства (17.9) являются все отрицательные числа.

Ako je 1 £ x £ .2, tada x - 1 ³ 0 i 2 - x ³ 0; dakle | x- 1 | \u003d x - 1, | 2 - x | \u003d 2 - x. . Dakle, postoji sustav:

x - 1 + 2 - x\u003e 3 + x,

Nastali sustav nejednakosti nema rješenja. Stoga na intervalu [1; 2] skup rješenja nejednakosti (17.9) je prazan.

Ako je x\u003e 2, tada je x - 1\u003e 0 i 2 - x<0; поэтому | х - 1| = х- 1, |2-х| = -(2- х). Значит, имеет место система:

x -1 + x - 2\u003e 3 + x,

x\u003e 6 ili

Kombinirajući pronađena rješenja na svim dijelovima GDL-a nejednakosti (17.9), dobivamo njegovo rješenje - skup (- ¥; 0) È (6; + oo).

Ponekad je korisno koristiti geometrijsku interpretaciju modula stvarnog broja prema kojem | i | znači udaljenost točke a koordinatne crte od podrijetla O, i | a - b | znači udaljenost između točaka a i b na koordinatnoj liniji. Alternativno, možete koristiti metodu ocjenjivanja obje strane nejednakosti.

Teorem 17.5. Ako izrazi f (x) i g (x)za bilo koji x uzimamo samo negativne vrijednosti, tada su nejednakosti f (x)\u003e g (x)i f (x) ²\u003e g (x) ²su ekvivalentni.

58. Glavni nalazi § 12

U ovom smo paragrafu definirali sljedeće koncepti:

Numerički izraz;

Vrijednost numeričkog izraza;

Izraz koji nema smisla;

Izraz s varijablama;

Opseg izraza;

Identično jednaki izrazi;

Identitet;

Identična pretvorba izraza;

Numerička jednakost;

Numerička nejednakost;

Jednadžba s jednom varijablom;

Korijen jednadžbe;

Što znači riješiti jednadžbu;

Ekvivalentne jednadžbe;

Nejednakost s jednom varijablom;

Rješavanje nejednakosti;

Što znači riješiti nejednakost;

Ekvivalentne nejednakosti.

Pored toga, razmatrali smo teoreme o ekvivalenciji jednadžbi i nejednakosti, koji su osnova za njihovo rješavanje.

Poznavanje definicija svih gore navedenih pojmova i teorema o ekvivalentnosti jednadžbi i nejednakosti nužan je uvjet za metodološki kompetentno proučavanje algebarske građe s mlađim učenicima.

Danas ćemo u lekciji sažeti svoje znanje u rješavanju sustava nejednakosti i proučiti rješenje skupa sustava nejednakosti.

Prva definicija.

Kaže se da nekoliko nejednakosti s jednom varijablom formira sustav nejednakosti ako je zadatak pronaći sva općenita rješenja danih nejednakosti.

Vrijednost varijable u kojoj se svaka nejednakost sustava pretvara u istinsku brojčanu nejednakost naziva se određenim rješenjem sustava nejednakosti.

Skup svih određenih rješenja sustava nejednakosti općenito je rješenje sustava nejednakosti (češće kažu jednostavno - rješenje sustava nejednakosti).

Riješiti sustav nejednakosti znači pronaći sva njegova posebna rješenja ili dokazati da ovaj sustav nema rješenja.

Zapamtiti! Rješenje sustava nejednakosti je sjecište rješenja nejednakosti uključenih u sustav.

Nejednakosti u sustavu kombiniraju se s kovrčavim zagradama.

Algoritam za rješavanje sustava nejednakosti s jednom varijablom:

Prva je rješavanje svake nejednakosti odvojeno.

Drugi je pronalazak sjecišta pronađenih rješenja.

Ovo sjecište je skup rješenja sustava nejednakosti

Vježba 1

Riješite sustav nejednakosti sedam x minus četrdeset dva je manji ili jednak nuli, a dva x minus sedam je veća od nule.

Rješenje prve nejednakosti - x je manje ili jednako šest, druge nejednakosti - x je više od sedam sekundi. Označimo ove intervale na koordinatnoj liniji. Rješenje prve nejednakosti označeno je sjenom odozdo, a drugu nejednakošću - zasjenjenom odozgo. Rješenje sustava nejednakosti bit će sjecište rješenja nejednakosti, odnosno interval na kojem se obje šupljine podudaraju. Kao rezultat toga, dobivamo pola intervala od sedam sekundi do šest, uključujući šest.

Dodjela 2

Riješite sustav nejednakosti: x kvadrat plus x minus šest je veći od nule, a x kvadrat plus x plus šest je veći od nule.

Odluka

Riješimo prvu nejednakost - x kvadrat plus x minus šest je veći od nule.

Razmotrimo funkciju koja je y jednaka x kvadrat plus x minus šest. Funkcije nula: x prva je jednaka minus tri, x druga jednaka je dvije. Nacrtavši parabolu shematski, nalazimo da je rješenje prve nejednakosti spoj otvorenih brojeva zraka od minus beskonačnosti do minus tri i od dva do plus beskonačnosti.

Riješimo drugu nejednakost sustava x kvadrat plus x plus šest veća je od nule.

Razmotrimo funkciju koja je y jednaka x kvadratu plus x plus šest. Diskriminacija je minus dvadeset i tri manje od nule, što znači da funkcija nema nula. Parabola nema zajedničke točke s osi Ox. Skicirajući parabolu, nalazimo da je rješenje nejednakosti skup svih brojeva.

Predložimo rješenja nejednakosti sustava na koordinatnoj liniji.

Iz slike se vidi da je rješenje sustava spajanje zračenja otvorenog broja od minus beskonačnosti do minus tri i od dvije do plus beskonačnosti.

Odgovor: sjedinjenje otvorenih brojeva zraka od minus beskonačnosti do minus tri i od dvije do plus beskonačnosti.

Zapamtiti! Ako je u sustavu više nejednakosti jedna posljedica druge (ili druge), tada se nejednakost-posljedica može odbaciti.

Razmotrimo primjer rješavanja nejednakosti u sustavu.

Zadatak 3

Riješite logaritam nejednakosti izraza x kvadrat minus trinaest x plus četrdeset i dva u bazi dva veći je ili jednak.

Odluka

ODZ nejednakost je dana uvjetom x kvadrat minus minus trinaest x plus četrdeset dva veći je od nule. Zamislimo broj jedan kao logaritam dva na bazi dva i dobivamo nejednakost - logaritam izraza x kvadrat minus trinaest x plus četrdeset i dva do baze dva veći je ili jednak logaritmu dva do baze dva.

Vidimo da je osnova logaritma jednaka dvije više od jedne, tada dolazimo do ekvivalentne nejednakosti x kvadrat minus trinaest x plus četrdeset i dva veća je ili jednaka dva. Prema tome, rješavanje ove logaritamske nejednakosti svodi se na rješavanje sustava dviju kvadratnih nejednakosti.

Štoviše, lako je vidjeti da ako vrijedi druga nejednakost, tada vrijedi veća prva nejednakost. Stoga je prva nejednakost posljedica druge i ona se može odbaciti. Transformiramo drugu nejednakost i zapisujemo je u obliku: x kvadrat minus trinaest x plus četrdeset je veći od nule. Njegovo rješenje je kombinirati dvije numeričke zrake od minus beskonačnosti do pet i od osam do plus beskonačnosti.

Odgovor: sjedinjenje dvije numeričke zrake od minus beskonačnosti do pet i od osam do plus beskonačnosti.

otvorene brojčane zrake

Druga definicija.

Kaže se da nekoliko nejednakosti s jednom varijablom tvori skup nejednakosti ako je zadatak pronaći sve takve vrijednosti varijable, od kojih je svaka rješenje barem jedne od datih nejednakosti.

Svaka takva vrijednost varijable naziva se određenim rješenjem skupa nejednakosti.

Skup svih određenih rješenja za skup nejednakosti je općenito rješenje skupa nejednakosti.

Zapamtiti! Rješenje skupa nejednakosti je sjedinjenje rješenja nejednakosti uključenih u skup.

Nejednakosti obuhvaćene populacijom kombiniraju se s kvadratnim zagradom.

Algoritam rješavanja skupa nejednakosti:

Prvi je rješavanje svake nejednakosti odvojeno.

Drugo je pronaći zajednicu pronađenih rješenja.

Ova unija je rješenje za skup nejednakosti.

Zadatak 4

nulta točka dva puta je razlika između dva x i tri manja od x minus dva;

pet x minus sedam više x minus šest.

Odluka

Preobrazimo svaku nejednakost. Dobijamo ekvivalentni skup

x je više od sedam trećina;

x je više od jedne četvrtine.

Za prvu nejednakost skup rješenja je interval od sedam trećina do plus beskonačnosti, a za drugi interval od jedne četvrte do plus beskonačnosti.

Predstavljamo na koordinatnoj liniji skup brojeva koji zadovoljavaju nejednakosti x veći su od sedam trećina i x je veći od jedne četvrtine.

Doznajemo da sjedinjenjem tih skupova, tj. rješenje za ovaj skup nejednakosti je otvoreni broj zraka od jedne četvrte do plus beskonačnosti.

Odgovor: otvorena zračna brojka od jedne četvrtine do plus beskonačnosti.

Zadatak 5

Riješite skup nejednakosti:

dva x minus jedan manji od tri, a tri x minus dva veća je ili jednaka deset.

Odluka

Preobrazimo svaku nejednakost. Dobivamo ekvivalentni skup nejednakosti: x je veće od dvije i x je veće od ili jednako četiri.

Nacrtajmo na koordinatnoj liniji skup brojeva koji zadovoljavaju ove nejednakosti.

Doznajemo da sjedinjenjem tih skupova, tj. rješenje za ovaj skup nejednakosti je otvoreni broj zraka od dvije do plus beskonačnosti.

Odgovor: otvorena zračna brojka od dva do plus beskonačna.