Funkcije distribucije slučajne varijable. Kako pronaći funkciju distribucije slučajne varijable. Kontinuirana slučajna varijabla, funkcija distribucije i gustoća vjerojatnosti

Razmotreno svojstvo diskretnih distribucija stvara značajne poteškoće u tabeliranju i korištenju takvih distribucija, jer je nemoguće točno održavati tipične numeričke vrijednosti karakteristika distribucije. Ovo posebno vrijedi za kritične vrijednosti i razine značajnosti neparametarskih statističkih testova (vidi dolje), budući da su distribucije statistike ovih testova diskretne.

Kvantil reda je od velike važnosti u statistici. R= ½. Zove se medijan (slučajna varijabla x odnosno njegovu distribucijsku funkciju F(x)) i označeno Ja (X). U geometriji postoji koncept "medijana" - ravna linija koja prolazi kroz vrh trokuta i dijeli njegovu suprotnu stranu na pola. U matematičkoj statistici, medijan ne raspolavlja stranicu trokuta, već distribuciju slučajne varijable: jednakost F(x0,5)= 0,5 znači da je vjerojatnost skretanja ulijevo x0,5 i vjerojatnost dobivanja prava x0,5(ili izravno na x0,5) međusobno su jednaki i jednaki ½, tj.

P(x < x 0,5) = P(x > x 0,5) = ½.

Medijan označava "središte" distribucije. Sa stajališta jednog od modernih koncepata - teorije stabilnih statističkih postupaka - medijan je bolja karakteristika slučajne varijable od očekivana vrijednost. Kod obrade rezultata mjerenja u ordinalnoj ljestvici (vidi poglavlje o teoriji mjerenja), medijan se može koristiti, ali matematičko očekivanje ne može.

Takva karakteristika slučajne varijable kao mod ima jasno značenje - vrijednost (ili vrijednosti) slučajne varijable koja odgovara lokalnom maksimumu gustoće vjerojatnosti za kontinuiranu slučajnu varijablu ili lokalnom maksimumu vjerojatnosti za diskretnu slučajnu varijabla.

Ako x0 je način slučajne varijable s gustoćom f(x), tada, kao što je poznato iz diferencijalnog računa, .

Slučajna varijabla može imati mnogo načina. Dakle, za jednoliku raspodjelu (1) svaka točka x takav da a< x < b , je moda. Međutim, ovo je iznimka. Većina slučajnih varijabli koje se koriste u probabilističko-statističkim metodama odlučivanja i drugim primijenjenim istraživanjima imaju jedan način. Slučajne varijable, gustoće, distribucije koje imaju jedan mod nazivaju se unimodalne.

Matematičko očekivanje za diskretne slučajne varijable s konačnim brojem vrijednosti razmatra se u poglavlju "Događaji i vjerojatnosti". Za kontinuiranu slučajnu varijablu x očekivana vrijednost M(X) zadovoljava jednakost

koja je analogna formuli (5) iz tvrdnje 2 poglavlja "Događaji i vjerojatnosti".

Primjer 5 Matematičko očekivanje za jednoliko raspodijeljenu slučajnu varijablu x jednaki

Za slučajne varijable koje se razmatraju u ovom poglavlju, sva ona svojstva matematičkih očekivanja i varijanci koja su ranije razmatrana za diskretne slučajne varijable s konačnim brojem vrijednosti su istinita. Međutim, ne dajemo dokaze ovih svojstava, jer zahtijevaju produbljivanje u matematičke suptilnosti, što nije potrebno za razumijevanje i kvalificiranu primjenu probabilističko-statističkih metoda odlučivanja.

Komentar. U ovom udžbeniku namjerno su izbjegnute matematičke suptilnosti, povezane, posebice, s konceptima mjerljivih skupova i mjerljivih funkcija, -algebre događaja i tako dalje. Oni koji žele svladati ove koncepte trebaju se obratiti specijaliziranoj literaturi, posebice enciklopediji.

Svaka od tri karakteristike - matematičko očekivanje, medijan, način - opisuje "središte" distribucije vjerojatnosti. Pojam "centra" može se definirati na različite načine - otud tri različite karakteristike. Međutim, za važnu klasu distribucija - simetrične unimodalne - sve tri karakteristike se podudaraju.

Gustoća distribucije f(x) je gustoća simetrične distribucije, ako postoji broj x 0 takav da

. (3)

Jednakost (3) znači da graf funkcije y = f(x) simetrična u odnosu na okomitu crtu koja prolazi središtem simetrije x = x 0 . Iz (3) slijedi da funkcija simetrične distribucije zadovoljava relaciju

(4)

Za simetričnu distribuciju s jednim modom, srednja vrijednost, medijan i mod su isti i jednaki x 0.

Najvažniji slučaj je simetrija u odnosu na 0, tj. x 0= 0. Tada (3) i (4) postaju jednakosti

(6)

odnosno. Gornje relacije pokazuju da nema potrebe tabelarizirati simetrične distribucije za sve x, dovoljno je imati tablice za x > x0.

Napominjemo još jedno svojstvo simetričnih distribucija, koje se stalno koristi u probabilističko-statističkim metodama odlučivanja i drugim primijenjenim istraživanjima. Za kontinuiranu funkciju raspodjele

P(|X| < a) = P(-a < x < a) = F(a) – F(-a),

Gdje F je funkcija distribucije slučajne varijable x. Ako funkcija distribucije F je simetričan u odnosu na 0, tj. onda za njega vrijedi formula (6).

P(|X| < a) = 2F(a) – 1.

Često se koristi još jedna formulacija iskaza koji se razmatra: ako

.

Ako su i kvantili reda i, odnosno (vidi (2)) funkcije distribucije simetrične u odnosu na 0, tada iz (6) slijedi da

Od karakteristika pozicije - matematičko očekivanje, medijan, mod - prijeđimo na karakteristike širenja slučajne varijable x: varijanca, standardna devijacija i koeficijent varijacije v. Definicija i svojstva varijance za diskretne slučajne varijable razmatrani su u prethodnom poglavlju. Za kontinuirane slučajne varijable

Standardna devijacija je nenegativna vrijednost kvadratnog korijena varijance:

Koeficijent varijacije je omjer standardne devijacije i matematičkog očekivanja:

Koeficijent varijacije se primjenjuje kada M(X)> 0. Mjeri širenje u relativnim jedinicama, dok je standardna devijacija u apsolutnim jedinicama.

Primjer 6 Za jednoliko raspodijeljenu slučajnu varijablu x pronaći varijancu, standardnu ​​devijaciju i koeficijent varijacije. Disperzija je:

Zamjena varijable omogućuje pisanje:

Gdje c = (b – a)/ 2. Prema tome, standardna devijacija je jednaka a koeficijent varijacije je:

Za svaku slučajnu varijablu x odrediti još tri veličine – centrirano Y, normalizirano V i dano U. Centrirana slučajna varijabla Y je razlika između zadane slučajne varijable x i njegovo matematičko očekivanje M(X), oni. Y = X - M(X). Matematičko očekivanje centrirane slučajne varijable Y jednaka je 0, a varijanca je varijanca zadane slučajne varijable: M(Y) = 0, D(Y) = D(x). distribucijska funkcija FG(x) centrirana slučajna varijabla Y vezane uz funkciju distribucije F(x) početna slučajna varijabla x omjer:

FG(x) = F(x + M(x)).

Za gustoće ovih slučajnih varijabli, jednakost

fY(x) = f(x + M(x)).

Normalizirana slučajna varijabla V je omjer ove slučajne varijable x na njegovu standardnu ​​devijaciju, tj. . Matematičko očekivanje i varijanca normalizirane slučajne varijable V izražen kroz karakteristike x Tako:

,

Gdje v je koeficijent varijacije originalne slučajne varijable x. Za distribucijsku funkciju F V(x) i gustoća f V(x) normalizirana slučajna varijabla V imamo:

Gdje F(x) je funkcija distribucije izvorne slučajne varijable x, A f(x) je njegova gustoća vjerojatnosti.

Smanjena slučajna varijabla U je centrirana i normalizirana slučajna varijabla:

.

Za smanjenu slučajnu varijablu

Normalizirane, centrirane i reducirane slučajne varijable stalno se koriste kako u teorijskim istraživanjima tako iu algoritmima, programskim proizvodima, regulatorno-tehničkoj i instruktivno-metodičkoj dokumentaciji. Konkretno, jer jednakosti omogućuju pojednostavljenje obrazloženja metoda, formulacija teorema i formula za izračun.

Koriste se transformacije slučajnih varijabli i općenitiji plan. Pa ako Y = sjekira + b, Gdje a I b su neki brojevi, dakle

Primjer 7 Ako tada Y je reducirana slučajna varijabla, a formule (8) se transformiraju u formule (7).

Sa svakom slučajnom varijablom x možete povezati puno slučajnih varijabli Y zadan formulom Y = sjekira + b kod raznih a> 0 i b. Ovaj skup se zove obitelj pomaka na ljestvici, generirana slučajnom varijablom x. Funkcije raspodjele FG(x) čine familiju distribucija s pomakom na skali koju generira funkcija distribucije F(x). Umjesto Y = sjekira + bčesto korišteni zapis

Broj S naziva se parametar posmaka, a broj d- parametar mjerila. Formula (9) to pokazuje x- rezultat mjerenja određene veličine - ulazi u Na- rezultat mjerenja iste vrijednosti, ako se početak mjerenja pomakne na točku S, a zatim upotrijebite novu mjernu jedinicu, in d puta veći od starog.

Za obitelj pomaka na skali (9), distribucija X naziva se standardna. U probabilističko-statističkim metodama odlučivanja i drugim primijenjenim istraživanjima koriste se standardna normalna distribucija, standardna Weibull-Gnedenko distribucija, standardna gama distribucija itd. (vidi dolje).

Također se koriste i druge transformacije slučajnih varijabli. Na primjer, za pozitivnu slučajnu varijablu x smatrati Y= log x, gdje je lg x je decimalni logaritam broja x. Lanac jednakosti

F Y (x) = P( lg x< x) = P(X < 10x) = F( 10x)

povezuje distribucijske funkcije x I Y.

Pri obradi podataka koriste se takve karakteristike slučajne varijable x poput trenutaka reda q, tj. matematička očekivanja slučajne varijable X q, q= 1, 2, … Dakle, samo matematičko očekivanje je trenutak reda 1. Za diskretnu slučajnu varijablu, trenutak reda q može se izračunati kao

Za kontinuiranu slučajnu varijablu

Trenuci reda q također se nazivaju početni trenuci reda q, za razliku od srodnih karakteristika – središnjih momenata reda q, zadan formulom

Dakle, disperzija je središnji moment reda 2.

Normalna distribucija i središnji granični teorem. U probabilističko-statističkim metodama odlučivanja često govorimo o normalnoj distribuciji. Ponekad ga pokušavaju upotrijebiti za modeliranje distribucije početnih podataka (ti pokušaji nisu uvijek opravdani - vidi dolje). Što je još važnije, mnoge metode obrade podataka temelje se na činjenici da izračunate vrijednosti imaju raspodjele koje su bliske normalnim.

Neka x 1 , x 2 ,…, X n M(X i) = m i disperzije D(X i) = , ja = 1, 2,…, n,… Kao što slijedi iz rezultata prethodnog poglavlja,

Razmotrimo smanjenu slučajnu varijablu U n za svotu , naime,

Kao što slijedi iz formula (7), M(U n) = 0, D(U n) = 1.

(za identično raspoređene pojmove). Neka x 1 , x 2 ,…, X n, … su neovisne identično distribuirane slučajne varijable s matematičkim očekivanjima M(X i) = m i disperzije D(X i) = , ja = 1, 2,…, n,… Tada za svaki x postoji granica

Gdje F(x) je standardna funkcija normalne distribucije.

Više o funkciji F(x) - ispod (čita se "fi od x", jer F- grčko veliko slovo "phi").

Središnji granični teorem (CLT) dobio je ime po činjenici da je središnji, najčešće korišteni matematički rezultat teorije vjerojatnosti i matematičke statistike. Povijest CLT-a traje oko 200 godina - od 1730., kada je engleski matematičar A. De Moivre (1667.-1754.) objavio prvi rezultat vezan uz CLT (vidi dolje o Moivre-Laplaceovom teoremu), do dvadesetih i tridesetih godina dvadesetog stoljeća, kada je Finn J.W. Lindeberg, Francuz Paul Levy (1886-1971), Jugoslaven V. Feller (1906-1970), Rus A.Ya. Khinchin (1894-1959) i drugi znanstvenici dobili su potrebne i dovoljne uvjete za valjanost klasičnog središnjeg graničnog teorema.

Razvoj predmeta koji se razmatra nije tu uopće stao - proučavali su slučajne varijable koje nemaju disperziju, tj. oni za koje

(akademik B.V. Gnedenko i dr.), situacija kada se zbrajaju slučajne varijable (točnije, slučajni elementi) složenije prirode od brojeva (akademici Yu.V. Prokhorov, A.A. Borovkov i njihovi suradnici), itd. .d.

distribucijska funkcija F(x) je dana jednakošću

,

gdje je gustoća standardne normalne distribucije, koja ima prilično kompliciran izraz:

.

Ovdje \u003d 3,1415925 ... je broj poznat u geometriji, jednak omjeru opsega i promjera, e \u003d 2,718281828 ... - baza prirodnih logaritama (kako biste zapamtili ovaj broj, imajte na umu da je 1828. godina rođenja pisca Lava Tolstoja). Kao što je poznato iz matematičke analize,

Pri obradi rezultata opažanja funkcija normalne distribucije ne izračunava se prema gornjim formulama, već se pronalazi pomoću posebnih tablica ili računalnih programa. Najbolje ruske "Tablice matematičke statistike" sastavili su dopisni članovi Akademije znanosti SSSR-a L.N. Bolšev i N.V. Smirnov.

Oblik gustoće standardne normalne distribucije slijedi iz matematičke teorije, koju ovdje ne možemo razmatrati, kao ni dokaz CLT-a.

Za ilustraciju donosimo male tablice funkcije distribucije F(x)(tablica 2) i njegove kvantile (tablica 3). Funkcija F(x) je simetričan u odnosu na 0, što se odražava u tablicama 2-3.

Tablica 2.

Funkcija standardne normalne distribucije.

Ako je slučajna varijabla x ima distribucijsku funkciju F(x), Da M(X) = 0, D(x) = 1. Ova se tvrdnja dokazuje u teoriji vjerojatnosti na temelju oblika gustoće vjerojatnosti . Slaže se sa sličnom tvrdnjom za karakteristike reducirane slučajne varijable U n, što je sasvim prirodno, budući da CLT kaže da s beskonačnim povećanjem broja članova funkcija distribucije U n teži standardnoj normalnoj funkciji distribucije F(x), i za bilo koje x.

Tablica 3

Kvantili standardne normalne distribucije.

Uvedimo pojam obitelji normalnih distribucija. Po definiciji, normalna distribucija je distribucija slučajne varijable x, za koju je distribucija reducirane slučajne varijable F(x). Kao što slijedi iz općih svojstava obitelji distribucija pomaka na skali (vidi gore), normalna distribucija je distribucija slučajne varijable

Gdje x je slučajna varijabla s distribucijom F(X), i m = M(Y), = D(Y). Normalna razdioba s parametrima pomaka m a mjerilo se obično označava N(m, ) (ponekad oznaka N(m, ) ).

Kao što slijedi iz (8), gustoća vjerojatnosti normalne distribucije N(m, ) Tamo je

Normalne distribucije tvore obitelj pomaka na skali. U ovom slučaju, parametar razmjera je d= 1/ , i parametar posmaka c = - m/ .

Za središnje momente trećeg i četvrtog reda normalne distribucije jednakosti su točne

Ove jednakosti temelj su klasičnih metoda provjere da rezultati promatranja slijede normalnu distribuciju. Trenutno se obično preporučuje provjera normalnosti pomoću kriterija W Shapiro - Wilka. Problem provjere normalnosti raspravlja se u nastavku.

Ako slučajne varijable X 1 I X 2 imaju distribucijske funkcije N(m 1 , 1) I N(m 2 , 2) odnosno, tada X 1+ X 2 ima distribuciju Prema tome, ako slučajne varijable x 1 , x 2 ,…, X n N(m, ) , zatim njihova aritmetička sredina

ima distribuciju N(m, ) . Ova svojstva normalne razdiobe stalno se koriste u različitim probabilističko-statističkim metodama odlučivanja, posebice u statističkoj kontroli tehnoloških procesa iu statističkoj kontroli prihvatljivosti po kvantitativnom atributu.

Normalna distribucija definira tri distribucije koje se danas često koriste u statističkoj obradi podataka.

Distribucija (chi - kvadrat) - distribucija slučajne varijable

gdje slučajne varijable x 1 , x 2 ,…, X n nezavisni su i imaju istu distribuciju N(0,1). U ovom slučaju broj termina, tj. n, naziva se "broj stupnjeva slobode" distribucije hi-kvadrat.

Distribucija t Student je distribucija slučajne varijable

gdje slučajne varijable U I x neovisan, U ima standardnu ​​normalnu distribuciju N(0,1) i x– raspodjela chi – kvadrat sa n stupnjevi slobode. pri čemu n naziva se "broj stupnjeva slobode" Studentove distribucije. Ovu raspodjelu uveo je 1908. engleski statističar W. Gosset, koji je radio u tvornici piva. Za donošenje ekonomskih i tehničkih odluka u ovoj tvornici korištene su probabilističko-statističke metode, pa je njezino vodstvo zabranilo V. Gossetu objavljivanje znanstvenih članaka pod svojim imenom. Na taj način je zaštićena poslovna tajna, "know-how" u obliku probabilističko-statističkih metoda koje je razvio W. Gosset. No, mogao je objavljivati ​​pod pseudonimom "Student". Povijest Gosseta - Studenta pokazuje da je još stotinjak godina velika ekonomska učinkovitost probabilističko-statističkih metoda odlučivanja bila očita britanskim menadžerima.

Fisherova distribucija je distribucija slučajne varijable

gdje slučajne varijable X 1 I X 2 neovisni su i imaju chi distribucije – kvadrat s brojem stupnjeva slobode k 1 I k 2 odnosno. U isto vrijeme, par (k 1 , k 2 ) je par "brojeva stupnjeva slobode" Fisherove distribucije, naime, k 1 je broj stupnjeva slobode brojnika, i k 2 je broj stupnjeva slobode nazivnika. Distribucija slučajne varijable F nazvana je po velikom engleskom statističaru R. Fisheru (1890.-1962.), koji ju je aktivno koristio u svom radu.

Izrazi za funkcije distribucije hi-kvadrata, Studenta i Fishera, njihove gustoće i karakteristike, kao i tablice mogu se naći u specijalnoj literaturi (vidi, na primjer,).

Kao što je već navedeno, normalne distribucije trenutno se često koriste u probabilističkim modelima u raznim primijenjenim područjima. Zašto je ova obitelj distribucija s dva parametra toliko raširena? Pojašnjava ga sljedeći teorem.

Centralni granični teorem(za različito raspoređene pojmove). Neka x 1 , x 2 ,…, X n,… su neovisne slučajne varijable s matematičkim očekivanjima M(x 1 ), M(x 2 ),…, M(x n), … i disperzije D(x 1 ), D(x 2 ),…, D(x n), … odnosno. Neka

Zatim, pod valjanošću određenih uvjeta koji osiguravaju maleni doprinos bilo kojeg od uvjeta u U n,

za bilo koga x.

Predmetni uvjeti ovdje neće biti formulirani. Mogu se naći u specijaliziranoj literaturi (vidi, na primjer,). "Pojašnjavanje uvjeta pod kojima CPT djeluje zasluga je izvanrednih ruskih znanstvenika A.A. Markova (1857.-1922.) i, posebno, A.M. Lyapunova (1857.-1918.)" .

Središnji granični teorem pokazuje da u slučaju kada je rezultat mjerenja (opažanja) formiran pod utjecajem mnogih razloga, svaki od njih daje samo mali doprinos, a kumulativni rezultat je određen aditivno, tj. zbrajanjem, tada je distribucija rezultata mjerenja (opažanja) bliska normalnoj.

Ponekad se vjeruje da je za normalnu distribuciju dovoljno da rezultat mjerenja (opažanja) x nastala pod utjecajem mnogih uzroka, od kojih svaki ima mali učinak. To je pogrešno. Važno je kako ti uzroci djeluju. Ako je aditiv, onda x ima približno normalnu distribuciju. Ako višestruko(tj. djelovanja pojedinih uzroka množe se, a ne zbrajaju), zatim raspodjela x ne blizu normalnog, nego tzv. logaritamski normalan, tj. Ne x, a lg X ima približno normalnu distribuciju. Ako nema razloga vjerovati da djeluje jedan od ova dva mehanizma za formiranje konačnog rezultata (ili neki drugi dobro definirani mehanizam), onda o distribuciji x ne može se ništa određeno reći.

Iz rečenog proizlazi da se u konkretnom primijenjenom problemu normalnost rezultata mjerenja (promatranja) u pravilu ne može utvrditi iz općih razmatranja, već je treba provjeriti pomoću statističkih kriterija. Ili koristiti neparametarske statističke metode koje se ne temelje na pretpostavkama o funkcijama distribucije rezultata mjerenja (opažanja) koji pripadaju jednoj ili drugoj parametarskoj obitelji.

Kontinuirane distribucije koje se koriste u probabilističko-statističkim metodama odlučivanja. Uz familiju normalnih distribucija s pomakom na skali, naširoko se koriste brojne druge obitelji distribucija - logaritamski normalna, eksponencijalna, Weibull-Gnedenko, gama distribucija. Pogledajmo ove obitelji.

Slučajna vrijednost x ima log-normalnu distribuciju ako je slučajna varijabla Y= log x ima normalnu distribuciju. Zatim Z=ln x = 2,3026…Y također ima normalnu distribuciju N(a 1 ,σ 1), gdje je ln x- prirodni logaritam x. Gustoća logaritamske normalne distribucije je:

Iz središnjeg graničnog teorema slijedi da je produkt x = x 1 x 2 … X n nezavisne pozitivne slučajne varijable X i, ja = 1, 2,…, n, u cjelini n može se aproksimirati logaritamskom normalnom distribucijom. Konkretno, multiplikativni model formiranja plaća ili dohotka dovodi do preporuke da se raspodjele plaća i dohotka aproksimiraju logaritamski normalnim zakonima. Za Rusiju se ova preporuka pokazala opravdanom - statistika to potvrđuje.

Postoje i drugi probabilistički modeli koji vode do logaritamskog normalnog zakona. Klasičan primjer takvog modela daje A.N. mlinovi s kuglicama imaju logaritamsku normalnu raspodjelu.

Prijeđimo na drugu obitelj distribucija, široko korištenu u raznim probabilističko-statističkim metodama odlučivanja i drugim primijenjenim istraživanjima, obitelj eksponencijalnih distribucija. Počnimo s probabilističkim modelom koji dovodi do takvih distribucija. Da biste to učinili, razmotrite "tok događaja", tj. slijed događaja koji se događaju jedan za drugim u nekom trenutku u vremenu. Primjeri su: protok poziva na telefonskoj centrali; tijek kvarova opreme u tehnološkom lancu; tijek kvarova proizvoda tijekom ispitivanja proizvoda; tijek zahtjeva klijenata do poslovnice banke; tok kupaca koji se prijavljuju za robu i usluge itd. U teoriji tokova događaja vrijedi teorem sličan središnjem graničnom teoremu, ali se ne bavi zbrajanjem slučajnih varijabli, već zbrajanjem tokova događaja. Promatramo ukupni tok sastavljen od velikog broja neovisnih tokova, od kojih nijedan nema dominantan učinak na ukupni tok. Na primjer, tok poziva koji pristižu na telefonsku centralu sastoji se od velikog broja neovisnih tokova poziva koji potječu od pojedinačnih pretplatnika. Dokazano je da se u slučaju kada karakteristike strujanja ne ovise o vremenu, ukupni protok u potpunosti opisuje jednim brojem - intenzitetom strujanja. Za ukupni protok, uzmite u obzir slučajnu varijablu x- duljina vremenskog intervala između uzastopnih događaja. Njegova distribucijska funkcija ima oblik

(10)

Ova se distribucija naziva eksponencijalnom distribucijom jer formula (10) uključuje eksponencijalnu funkciju e -λ x. Vrijednost 1/λ je parametar skale. Ponekad se uvodi i parametar pomaka S, eksponencijalna je distribucija slučajne varijable X + c, gdje je distribucija x dana je formulom (10).

Eksponencijalne distribucije poseban su slučaj tzv. Weibull - Gnedenko distribucije. Nazvane su po inženjeru W. Weibullu, koji je ove distribucije uveo u praksu analize rezultata testova zamora, i matematičaru B. V. Gnedenku (1912.-1995.), koji je takve distribucije dobio kao granične pri proučavanju maksimuma testa. rezultate. Neka x– slučajna varijabla koja karakterizira trajanje rada proizvoda, složenog sustava, elementa (tj. resursa, vrijeme rada do graničnog stanja i sl.), trajanje rada poduzeća ili život živog bića, itd. Stopa neuspjeha igra važnu ulogu

(11)

Gdje F(x) I f(x) - funkcija distribucije i gustoća slučajne varijable x.

Opišimo tipično ponašanje stope neuspjeha. Cijeli vremenski interval može se podijeliti u tri razdoblja. Na prvom od njih, funkcija λ(x) ima visoke vrijednosti i jasnu tendenciju pada (najčešće se monotono smanjuje). To se može objasniti prisutnošću u šarži koja se razmatra jedinica proizvoda s očitim i latentnim nedostacima, što dovodi do relativno brzog kvara tih jedinica proizvoda. Prvo razdoblje naziva se razdoblje "provale" (ili "provale"). To je obično pokriveno jamstvenim rokom.

Zatim dolazi razdoblje normalnog rada, karakterizirano približno konstantnom i relativno niskom stopom kvarova. Priroda kvarova u tom razdoblju je iznenadne prirode (nesreće, greške operativnog osoblja, itd.) i ne ovisi o trajanju rada jedinice proizvoda.

Konačno, posljednje razdoblje rada je razdoblje starenja i trošenja. Priroda kvarova tijekom ovog razdoblja je u nepovratnim fizičkim, mehaničkim i kemijskim promjenama u materijalima, što dovodi do progresivnog pogoršanja kvalitete jedinice proizvodnje i njenog konačnog kvara.

Svako razdoblje ima svoju vrstu funkcije λ(x). Razmotrite klasu ovisnosti o snazi

λ(h) = λ0bxb -1 , (12)

Gdje λ 0 > 0 i b> 0 - neki numerički parametri. Vrijednosti b < 1, b= 0 i b> 1 odgovaraju vrsti stope kvarova tijekom razdoblja uhodavanja, normalnog rada i starenja.

Relacija (11) za danu stopu kvarova λ(x)- diferencijalna jednadžba s obzirom na funkciju F(x). Iz teorije diferencijalne jednadžbe slijedi to

(13)

Zamjenom (12) u (13) dobivamo to

(14)

Distribucija dana formulom (14) naziva se Weibull-Gnedenkova distribucija. Jer

onda iz formule (14) proizlazi da je količina A, dan formulom (15), je parametar skaliranja. Ponekad se uvodi i parametar pomaka, tj. Weibull - Gnedenko funkcije distribucije nazivaju se F(x - c), Gdje F(x) dana je formulom (14) za neki λ 0 i b.

Gustoća Weibull - Gnedenkove distribucije ima oblik

(16)

Gdje a> 0 - parametar skale, b> 0 - parametar obrasca, S- parametar pomaka. U ovom slučaju, parametar A iz formule (16) povezan je s parametrom λ 0 iz formule (14) omjerom navedenim u formuli (15).

Eksponencijalna razdioba vrlo je poseban slučaj Weibull-Gnedenkove razdiobe, koja odgovara vrijednosti parametra oblika b = 1.

Weibull - Gnedenkova distribucija također se koristi u konstrukciji probabilističkih modela situacija u kojima je ponašanje objekta određeno "najslabijom karikom". Podrazumijeva se analogija s lancem, čiju sigurnost određuje ona karika koja ima najmanju snagu. Drugim riječima, neka x 1 , x 2 ,…, X n su neovisne identično distribuirane slučajne varijable,

X(1)=min( X 1 , X 2 ,…, X n), X(n)=max( X 1 , X 2 ,…, X n).

U nizu primijenjenih problema važnu ulogu igra x(1) I x(n) , posebno, kada se proučavaju maksimalne moguće vrijednosti ("zapisi") određenih vrijednosti, na primjer, plaćanja osiguranja ili gubici zbog komercijalnih rizika, kada se proučavaju granice elastičnosti i izdržljivosti čelika, niz karakteristika pouzdanosti, itd. Pokazuje se da za velike n raspodjele x(1) I x(n) , u pravilu, dobro opisuju Weibull - Gnedenko distribucije. Temeljni doprinos proučavanju distribucija x(1) I x(n) uveo je sovjetski matematičar B.V. Gnedenko. Radovi V. Weibulla, E. Gumbela, V.B. Nevzorova, E.M. Kudlaev i mnogi drugi stručnjaci.

Prijeđimo na obitelj gama distribucija. Imaju široku primjenu u ekonomiji i menadžmentu, teoriji i praksi pouzdanosti i ispitivanja, u raznim područjima tehnologije, meteorologije itd. Konkretno, u mnogim situacijama, gama distribucija je podložna takvim veličinama kao što su ukupni životni vijek proizvoda, duljina lanca vodljivih čestica prašine, vrijeme koje je proizvodu potrebno da postigne granično stanje tijekom korozije, radni vrijeme do k odbijanje, k= 1, 2, … itd. Očekivano trajanje života pacijenata kronična bolest, vrijeme za postizanje određenog učinka u liječenju u nekim slučajevima ima gama distribuciju. Ova distribucija je najadekvatnija za opisivanje potražnje u ekonomskim i matematičkim modelima upravljanja zalihama (logistike).

Gustoća gama distribucije ima oblik

(17)

Gustoću vjerojatnosti u formuli (17) određuju tri parametra a, b, c, Gdje a>0, b>0. pri čemu a je parametar obrasca, b- parametar mjerila i S- parametar pomaka. Faktor 1/Γ(a) je normalizacija, uvodi se kako bi se

Ovdje Γ(a)- onaj koji se koristi u matematici posebne funkcije, tzv. "gama funkcija", po kojoj je i nazvana distribucija dana formulom (17),

Na fiksnom A formula (17) definira familiju distribucija generiranih distribucijom s gustoćom

(18)

Distribucija oblika (18) naziva se standardna gama distribucija. Dobiva se iz formule (17) s b= 1 i S= 0.

Poseban slučaj gama distribucije na A= 1 su eksponencijalne distribucije (s λ = 1/b). S prirodnim A I S=0 gama distribucije nazivaju se Erlangove distribucije. Iz radova danskog znanstvenika K.A.Erlanga (1878.-1929.), zaposlenika kopenhagenske telefonske kompanije, koji je studirao 1908.-1922. funkcioniranja telefonskih mreža, započeo je razvoj teorije čekanja u redu. Ova teorija bavi se probabilističko-statističkim modeliranjem sustava u kojima se servisira tok zahtjeva radi donošenja optimalnih odluka. Erlangove distribucije koriste se u istim područjima primjene kao i eksponencijalne distribucije. Ovo se temelji na sljedećoj matematičkoj činjenici: zbroj k nezavisnih slučajnih varijabli eksponencijalno distribuiranih s istim parametrima λ i S, ima gama distribuciju s parametrom oblika a =k, parametar mjerila b= 1/λ i parametar pomaka kc. Na S= 0 dobivamo Erlangovu distribuciju.

Ako je slučajna varijabla x ima gama distribuciju s parametrom oblika A takav da d = 2 a- cijeli broj, b= 1 i S= 0, zatim 2 x ima hi-kvadrat distribuciju sa d stupnjevi slobode.

Slučajna vrijednost x s gvmma-distribucijom ima sljedeće karakteristike:

Očekivana vrijednost M(X) =ab + c,

disperzija D(x) = σ 2 = ab 2 ,

Koeficijent varijacije

asimetrija

Višak

Normalna distribucija je ekstremni slučaj gama distribucije. Preciznije, neka je Z slučajna varijabla sa standardnom gama distribucijom danom formulom (18). Zatim

za bilo koji realni broj x, Gdje F(x)- standardna funkcija normalne distribucije N(0,1).

U primijenjenim istraživanjima koriste se i druge parametarske obitelji distribucija, od kojih su najpoznatiji Pearsonov sustav krivulja, Edgeworthov i Charlierov niz. Oni se ovdje ne razmatraju.

Diskretna distribucije koje se koriste u probabilističko-statističkim metodama odlučivanja. Najčešće se koriste tri obitelji diskretnih distribucija - binomna, hipergeometrijska i Poissonova, kao i neke druge obitelji - geometrijska, negativna binomna, multinomna, negativna hipergeometrijska itd.

Kao što je već spomenuto, binomna distribucija odvija se u neovisnim pokusima, u svakom od njih s vjerojatnošću R pojavljuje se događaj A. Ako ukupni broj testovi n dano, zatim broj pokušaja Y, u kojem se pojavio događaj A, ima binomnu distribuciju. Za binomnu distribuciju, vjerojatnost da bude prihvaćena kao slučajna varijabla Y vrijednosti g određuje se formulom

Broj kombinacija od n elementi po g poznat iz kombinatorike. Za sve g, osim 0, 1, 2, …, n, imamo P(Y= g)= 0. Binomna distribucija s fiksnom veličinom uzorka n postavlja se parametrom str, tj. binomne distribucije čine jednoparametarsku obitelj. Koriste se u analizi podataka istraživanja uzoraka, posebice u proučavanju preferencija potrošača, selektivnoj kontroli kvalitete proizvoda prema planovima jednostupanjske kontrole, pri ispitivanju populacije pojedinaca u demografiji, sociologiji, medicini, biologiji itd.

Ako Y 1 I Y 2 - nezavisne binomne slučajne varijable s istim parametrom str 0 određeno uzorcima s volumenima n 1 I n 2 odnosno, tada Y 1 + Y 2 - binomna slučajna varijabla s distribucijom (19) sa R = str 0 I n = n 1 + n 2 . Ova napomena proširuje primjenjivost binomne distribucije, omogućujući vam kombiniranje rezultata nekoliko skupina testova, kada postoji razlog za vjerovanje da isti parametar odgovara svim tim skupinama.

Ranije su izračunate karakteristike binomne distribucije:

M(Y) = np, D(Y) = np( 1- str).

U odjeljku "Događaji i vjerojatnosti" za binomnu slučajnu varijablu dokazuje se zakon velikih brojeva:

za bilo koga . Uz pomoć središnjeg graničnog teorema, zakon velikih brojeva može se precizirati pokazujući kako Y/ n razlikuje se od R.

De Moivre-Laplaceov teorem. Za bilo koje brojeve a i b, a< b, imamo

Gdje F(x) je standardna funkcija normalne distribucije sa sredinom 0 i varijancom 1.

Da bismo to dokazali, dovoljno je upotrijebiti prikaz Y kao zbroj neovisnih slučajnih varijabli koje odgovaraju ishodima pojedinačnih ispitivanja, formule za M(Y) I D(Y) i središnji granični teorem.

Ovaj teorem je za slučaj R= ½ dokazao je engleski matematičar A. Moivre (1667-1754) 1730. U gornjoj formulaciji to je 1810. dokazao francuski matematičar Pierre Simon Laplace (1749-1827).

Hipergeometrijska distribucija odvija se tijekom selektivne kontrole konačnog skupa objekata volumena N prema alternativnom atributu. Svaki kontrolirani objekt klasificiran je kao da ima atribut A, ili kao da ne posjeduje ovu značajku. Hipergeometrijska distribucija ima slučajnu varijablu Y, jednak broju objekti koji imaju atribut A u slučajnom uzorku volumena n, Gdje n< N. Na primjer, broj Y neispravne jedinice proizvoda u slučajnom uzorku volumena n iz volumena serije N ima hipergeometrijsku raspodjelu ako n< N. Drugi primjer je lutrija. Neka znak A listić je znak "dobitka". Neka sve karte N, a neka osoba je stekla n od njih. Tada broj dobitnih listića za tu osobu ima hipergeometrijsku distribuciju.

Za hipergeometrijsku distribuciju, vjerojatnost da slučajna varijabla Y poprimi vrijednost y ima oblik

(20)

Gdje D je broj objekata koji imaju atribut A, u razmatranom skupu volumena N. pri čemu g uzima vrijednosti od max(0, n - (N - D)) do min( n, D), s drugim g vjerojatnost u formuli (20) jednaka je 0. Dakle, hipergeometrijsku razdiobu određuju tri parametra - volumen populacija N, broj objekata D u njemu, posjedujući razmatranu značajku A i veličina uzorka n.

Jednostavno nasumično uzorkovanje n od ukupnog volumena N naziva se uzorak dobiven kao rezultat slučajnog odabira, u kojem je bilo koji od skupova iz n objekti imaju istu vjerojatnost da budu odabrani. Metode slučajnog odabira uzoraka ispitanika (ispitanika) ili jedinica komadnih proizvoda razmatraju se u instruktivno-metodičkim i normativno-tehničkim dokumentima. Jedna od metoda odabira je sljedeća: objekti se biraju jedan iz drugog, au svakom koraku svaki od preostalih objekata u skupu ima jednaku šansu da bude odabran. U literaturi se za razmatranu vrstu uzoraka koriste i pojmovi "slučajni uzorak", "slučajni uzorak bez zamjene".

Budući da su količine opće populacije (partije) N i uzorci n su opće poznati, tada je parametar hipergeometrijske distribucije koji treba procijeniti D. U statističkim metodama upravljanja kvalitetom proizvoda D- obično broj neispravnih jedinica u seriji. Zanimljiva je i karakteristika distribucije D/ N- razina kvara.

Za hipergeometrijsku raspodjelu

Posljednji faktor u izrazu varijance je blizu 1 ako N>10 n. Ako u isto vrijeme izvršimo zamjenu str = D/ N, tada će se izrazi za matematičko očekivanje i varijancu hipergeometrijske distribucije pretvoriti u izraze za matematičko očekivanje i varijancu binomne distribucije. Ovo nije slučajnost. Može se pokazati da

na N>10 n, Gdje str = D/ N. Vrijedi granični omjer

a ovaj ograničavajući odnos može se koristiti za N>10 n.

Treća široko korištena diskretna distribucija je Poissonova distribucija. Slučajna varijabla Y ima Poissonovu distribuciju ako

,

gdje je λ parametar Poissonove distribucije, i P(Y= g)= 0 za sve ostale g(za y=0 označava se 0!=1). Za Poissonovu distribuciju

M(Y) = λ, D(Y) = λ.

Ova je distribucija nazvana po francuskom matematičaru C. D. Poissonu (1781.-1840.), koji ju je prvi izveo 1837. Poissonova distribucija je ekstremni slučaj binomne distribucije, gdje je vjerojatnost R provedba događaja je mala, ali broj suđenja n super, i np= λ. Točnije, granična relacija

Stoga se Poissonova distribucija (u staroj terminologiji "distribucijski zakon") često naziva i "zakon rijetkih događaja".

Poissonova distribucija javlja se u teoriji tokova događaja (vidi gore). Dokazano je da je za najjednostavniji tok konstantnog intenziteta Λ broj događaja (poziva) koji su se dogodili tijekom vremena t, ima Poissonovu distribuciju s parametrom λ = Λ t. Stoga je vjerojatnost da u vremenu t nijedan događaj se neće dogoditi e - Λ t, tj. funkcija raspodjele duljine intervala između događaja je eksponencijalna.

Poissonova distribucija koristi se u analizi rezultata selektivnih marketinških istraživanja potrošača, izračunu operativnih karakteristika planova statističke kontrole prihvatljivosti u slučaju malih vrijednosti razine prihvatljivosti neispravnosti, za opisivanje broja kvarova statistički kontroliranog tehnološkog procesa u jedinici vremena, broj "zahtjeva za uslugu" koji pristižu u jedinici vremena u sustav čekanja, statističke pravilnosti akcidenata i rijetke bolesti itd.

Opis ostalih parametarskih obitelji diskretnih distribucija i njihovih mogućnosti praktičnu upotrebu razmatran u literaturi.

U nekim slučajevima, na primjer, kada se proučavaju cijene, obujmi proizvodnje ili ukupno vrijeme između kvarova u problemima pouzdanosti, funkcije distribucije su konstantne u određenim intervalima u koje vrijednosti slučajnih varijabli koje se proučavaju ne mogu pasti.

3. Funkcija distribucije je neopadajući: ako tada

4. Funkcija distribucije lijevo kontinuirano: za bilo koga.

Bilješka. Posljednje svojstvo pokazuje koje vrijednosti funkcija distribucije uzima na prijelomnim točkama. Ponekad se definicija funkcije distribucije formulira pomoću nestriktne nejednakosti: . U ovom slučaju, kontinuitet s lijeve strane zamjenjuje se kontinuitetom s desne strane: za . Nikakva sadržajna svojstva funkcije distribucije se u ovom slučaju ne mijenjaju, pa je ovo pitanje samo terminološko.

Svojstva 1-4 su karakteristična, tj. svaka funkcija koja zadovoljava ta svojstva je funkcija distribucije neke slučajne varijable.

Funkcija distribucije definira distribuciju vjerojatnosti slučajne varijable na jedinstven način. Zapravo, to je najuniverzalniji i najilustrativniji način da se opiše ova distribucija.

Što jače raste funkcija distribucije na određenom intervalu numeričke osi, veća je vjerojatnost da će slučajna varijabla pasti u taj interval. Ako je vjerojatnost upadanja u interval jednaka nuli, tada je funkcija distribucije na njemu konstantna.

Konkretno, vjerojatnost da će slučajna varijabla poprimiti zadanu vrijednost jednaka je skoku funkcije distribucije u zadanoj točki:

Ako je funkcija distribucije kontinuirana u točki , tada je vjerojatnost uzimanja ove vrijednosti za slučajnu varijablu nula. Konkretno, ako je funkcija distribucije kontinuirana na cijeloj realnoj osi (u ovom slučaju se odgovarajuća distribucija također naziva stalan), tada je vjerojatnost prihvaćanja bilo koje zadane vrijednosti nula.

Iz definicije funkcije distribucije proizlazi da je vjerojatnost da slučajna varijabla padne u interval zatvoren s lijeve i otvoren s desne strane jednaka:

Koristeći ovu formulu i gornju metodu za pronalaženje vjerojatnosti pogađanja bilo koje zadane točke, lako se određuju vjerojatnosti pogađanja slučajne varijable u intervalima drugih vrsta: , i . Nadalje, pomoću teorema proširenja mjere, može se jedinstveno proširiti mjera na sve Borelove skupove realne linije. Da bi se primijenio ovaj teorem, potrebno je pokazati da je tako definirana mjera na intervalima sigma-aditivna na intervalima; svojstva 1-4 koriste se točno u dokazu ovoga (konkretno, svojstvo kontinuiteta lijevo je 4, pa se ne može ispustiti).

Generiranje slučajne varijable sa zadanom distribucijom

Razmotrimo slučajnu varijablu s funkcijom distribucije. Hajdemo to pretvarati stalan. Razmotrimo slučajnu varijablu

Lako je pokazati da će tada imati jednoliku raspodjelu na intervalu.

Definicija funkcije slučajnih varijabli. Funkcija diskretnog slučajnog argumenta i njegove numeričke karakteristike. Funkcija kontinuiranog slučajnog argumenta i njegove numeričke karakteristike. Funkcije dva slučajna argumenta. Određivanje funkcije distribucije vjerojatnosti i gustoće za funkciju dvaju slučajnih argumenata.

Zakon distribucije vjerojatnosti za funkciju jedne slučajne varijable

Pri rješavanju problema vezanih uz procjenu točnosti rada raznih automatskih sustava, točnosti izrade pojedinih elemenata sustava i sl. često je potrebno razmotriti funkcije jedne ili više slučajnih varijabli. Takve funkcije su također slučajne varijable. Stoga je pri rješavanju problema potrebno poznavati zakone raspodjele slučajnih varijabli koje se pojavljuju u problemu. U tom slučaju obično su poznati zakon raspodjele sustava slučajnih argumenata i funkcionalna ovisnost.

Stoga se javlja problem koji se može formulirati na sljedeći način.

Zadan je sustav slučajnih varijabli (X_1,X_2,\ltočke,X_n), čiji je zakon raspodjele poznat. Neka slučajna varijabla Y smatra se funkcijom ovih slučajnih varijabli:

Y=\varphi(X_1,X_2,\ldots,X_n).

Potrebno je odrediti zakon raspodjele slučajne varijable Y , poznavajući oblik funkcija (6.1) i zakon zajedničke raspodjele njezinih argumenata.

Razmotrimo problem zakona distribucije funkcije jednog slučajnog argumenta

Y=\varphi(X).

\begin(niz)(|c|c|c|c|c|)\hline(X)&x_1&x_2&\cdots&x_n\\\hline(P)&p_1&p_2&\cdots&p_n\\\hline\end(niz)

Tada je Y=\varphi(X) također diskretna slučajna varijabla s mogućim vrijednostima. Ako sve vrijednosti y_1,y_2,\ltočkice,y_n su različiti, tada za svaki k=1,2,\ldots,n događaji \(X=x_k\) i \(Y=y_k=\varphi(x_k)\) su identični. Stoga,

P\(Y=y_k\)=P\(X=x_k\)=p_k

\begin(array)(|c|c|c|c|c|)\hline(Y)&y_1=\varphi(x_1)&y_2=\varphi(x_2)&\cdots&y_n=\varphi(x_n)\\\hline (P)&p_1&p_2&\cdots&p_n\\\hline\end(niz)

Ako među brojevima y_1=\varphi(x_1),y_2=\varphi(x_2),\ldots,y_n=\varphi(x_n) su identični, tada se svakoj grupi identičnih vrijednosti y_k=\varphi(x_k) mora dodijeliti jedan stupac u tablici i treba dodati odgovarajuće vjerojatnosti.

Za kontinuirane slučajne varijable, problem je formuliran na sljedeći način: znajući gustoću distribucije f(x) slučajne varijable X, pronaći gustoću distribucije g(y) slučajne varijable Y=\varphi(X) . Prilikom rješavanja problema razmatramo dva slučaja.

Pretpostavimo prvo da je funkcija y=\varphi(x) monotono rastuća, kontinuirana i diferencijabilna na intervalu (a;b) koji sadrži sve moguće vrijednosti X vrijednosti. Tada inverzna funkcija x=\psi(y) postoji i također je monotono rastuća, kontinuirana i diferencijabilna. U ovom slučaju dobivamo

G(y)=f\bigl(\psi(y)\bigr)\cdot |\psi"(y)|.

Primjer 1. Slučajna varijabla X raspoređena je gustoćom

F(x)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))e^(-x^2/2)

Pronađite zakon raspodjele slučajne varijable Y pridružene vrijednosti X ovisnošću Y=X^3 .

Riješenje. Budući da je funkcija y=x^3 monotona na intervalu (-\infty;+\infty) , može se primijeniti formula (6.2). Inverzna funkcija s obzirom na funkciju \varphi(x)=x^3 je \psi(y)=\sqrt(y) , njezina derivacija \psi"(y)=\frac(1)(3\sqrt(y^2)). Stoga,

G(y)=\frac(1)(3\sqrt(2\pi))e^(-\sqrt(y^2)/2)\frac(1)(\sqrt(y^2))

Razmotrimo slučaj nemonotone funkcije. Neka je funkcija y=\varphi(x) takva da je inverzna funkcija x=\psi(y) višeznačna, tj. jedna vrijednost y odgovara nekoliko vrijednosti argumenta x , koje označavamo x_1=\psi_1(y),x_2=\psi_2(y),\ldots,x_n=\psi_n(y), gdje je n broj segmenata u kojima se funkcija y=\varphi(x) monotono mijenja. Zatim

G(y)=\sum\limits_(k=1)^(n)f\bigl(\psi_k(y)\bigr)\cdot |\psi"_k(y)|.

Primjer 2. Pod uvjetima iz primjera 1, pronaći distribuciju slučajne varijable Y=X^2 .

Riješenje. Inverzna funkcija x=\psi(y) je višeznačna. Jedna vrijednost argumenta y odgovara dvjema vrijednostima funkcije x

\begin(gathered)g(y)=f(\psi_1(y))|\psi"_1(y)|+f(\psi_2(y))|\psi"_2(y)|=\\\\ =\frac(1)(\sqrt(2\pi))\,e^(-\lijevo(-\sqrt(y^2)\desno)^2/2)\!\lijevo|-\frac(1 )(2\sqrt(y))\desno|+\frac(1)(\sqrt(2\pi))\,e^(-\lijevo(\sqrt(y^2)\desno)^2/2 )\!\lijevo|\frac(1)(2\sqrt(y))\desno|=\frac(1)(\sqrt(2\pi(y)))\,e^(-y/2) .\kraj(sakupljeno)

Zakon raspodjele funkcije dviju slučajnih varijabli

Neka je slučajna varijabla Y funkcija dviju slučajnih varijabli koje tvore sustav (X_1;X_2), tj. Y=\varphi(X_1;X_2). Zadatak je pronaći distribuciju slučajne varijable Y iz poznate distribucije sustava (X_1;X_2).

Neka je f(x_1;x_2) gustoća distribucije sustava slučajnih varijabli (X_1;X_2) . Uvedimo novu vrijednost Y_1 jednaku X_1 i razmotrimo sustav jednadžbi

Pretpostavit ćemo da je ovaj sustav jedinstveno rješiv u odnosu na x_1,x_2

Gustoća distribucije slučajne varijable Y

G_1(y)=\int\limits_(-\infty)^(+\infty)f(x_1;\psi(y;x_1))\!\lijevo|\frac(\partial\psi(y;x_1)) (\partial(y))\right|dx_1.

Imajte na umu da se obrazloženje ne mijenja ako se uvedena nova vrijednost Y_1 postavi jednakom X_2.

Matematičko očekivanje funkcije slučajnih varijabli

U praksi su česti slučajevi kada nema posebne potrebe potpuno odrediti zakon raspodjele funkcije slučajnih varijabli, već je dovoljno samo naznačiti njezina numerička svojstva. Stoga se javlja problem određivanja numeričkih karakteristika funkcija slučajnih varijabli pored zakona raspodjele tih funkcija.

Neka je slučajna varijabla Y funkcija slučajnog argumenta X sa zadanim zakonom distribucije

Y=\varphi(X).

Potrebno je, bez nalaženja zakona raspodjele veličine Y , odrediti njezino matematičko očekivanje

M(Y)=M[\varphi(X)].

Neka je X diskretna slučajna varijabla s nizom distribucije

\begin(array)(|c|c|c|c|c|)\hline(x_i)&x_1&x_2&\cdots&x_n\\\hline(p_i)&p_1&p_2&\cdots&p_n\\\hline\end(array)

Napravimo tablicu Y vrijednosti i vjerojatnosti tih vrijednosti:

\begin(array)(|c|c|c|c|c|)\hline(y_i=\varphi(x_i))&y_1=\varphi(x_1)&y_2=\varphi(x_2)&\cdots&y_n=\varphi( x_n)\\\hline(p_i)&p_1&p_2&\cdots&p_n\\\hline\end(niz)

Ova tablica nije niz distribucije slučajne varijable Y, budući da se u općem slučaju neke vrijednosti mogu podudarati jedna s drugom, a vrijednosti u gornjem retku ne moraju nužno ići uzlaznim redoslijedom. Međutim, matematičko očekivanje slučajne varijable Y može se odrediti formulom

M[\varphi(X)]=\sum\limits_(i=1)^(n)\varphi(x_i)p_i,

Formula (6.4) ne sadrži eksplicitno zakon raspodjele same funkcije \varphi(X), već sadrži samo zakon raspodjele argumenta X . Dakle, za određivanje matematičkog očekivanja funkcije Y=\varphi(X) uopće nije potrebno poznavati zakon raspodjele funkcije \varphi(X), već je dovoljno poznavati zakon raspodjele argumenta X .

Za kontinuiranu slučajnu varijablu matematičko očekivanje izračunava se formulom

M[\varphi(X)]=\int\limits_(-\infty)^(+\infty)\varphi(x)f(x)\,dx,

Razmotrimo slučajeve kada, da bi se našlo matematičko očekivanje funkcije slučajnih argumenata, nije potrebno poznavati čak ni zakone raspodjele argumenata, već je dovoljno poznavati samo neke njihove numeričke karakteristike. Formulirajmo te slučajeve u obliku teorema.

Teorem 6.1. Matematičko očekivanje zbroja zavisnih i neovisnih dviju slučajnih varijabli jednako je zbroju matematičkih očekivanja ovih varijabli:

M(X+Y)=M(X)+M(Y).

Teorem 6.2. Matematičko očekivanje umnoška dviju slučajnih varijabli jednako je umnošku njihovih matematičkih očekivanja plus korelacijski moment:

M(XY)=M(X)M(Y)+\mu_(xy).

Korolar 6.1. Matematičko očekivanje umnoška dviju nekoreliranih slučajnih varijabli jednako je umnošku njihovih matematičkih očekivanja.

Korolar 6.2. Matematičko očekivanje umnoška dviju neovisnih slučajnih varijabli jednako je umnošku njihovih matematičkih očekivanja.

Varijanca funkcije slučajnih varijabli

Prema definiciji disperzije, imamo D[Y]=M[(Y-M(Y))^2].. Stoga,

D[\varphi(x)]=M[(\varphi(x)-M(\varphi(x)))^2], Gdje .

Dajemo formule za izračun samo za slučaj kontinuiranih slučajnih argumenata. Za funkciju jednog slučajnog argumenta Y=\varphi(X), varijanca se izražava formulom

D[\varphi(x)]=\int\limits_(-\infty)^(+\infty)(\varphi(x)-M(\varphi(x)))^2f(x)\,dx,

Gdje M(\varphi(x))=M[\varphi(X)]- matematičko očekivanje funkcije \varphi(X) ; f(x) - gustoća raspodjele veličine X .

Formula (6.5) može se zamijeniti sljedećim:

D[\varphi(x)]=\int\limits_(-\infty)^(+\infty)\varphi^2(x)f(x)\,dx-M^2(X)

Smatrati disperzijski teoremi, koji igraju važnu ulogu u teoriji vjerojatnosti i njezinim primjenama.

Teorem 6.3. Varijanca zbroja slučajnih varijabli jednaka je zbroju varijanci tih varijabli plus dvostrukom zbroju korelacijskih momenata svakog člana sa svim sljedećim:

D\!\lijevo[\sum\limits_(i=1)^(n)X_i\desno]=\sum\limits_(i=1)^(n)D+2\sum\limits_(i

Korolar 6.3. Varijanca zbroja nekoreliranih slučajnih varijabli jednaka je zbroju varijanci članova:

D\!\lijevo[\sum\limits_(i=1)^(n)X_i\desno]=\sum\limits_(i=1)^(n)D\mu_(y_1y_2)= M(Y_1Y_2)-M(Y_1)M(Y_2).

\mu_(y_1y_2)=M(\varphi_1(X)\varphi_2(X))-M(\varphi_1(X))M(\varphi_2(X)).

Razmotrite glavno svojstva korelacijskog momenta i koeficijenta korelacije.

Svojstvo 1. Od dodavanja konstantnih vrijednosti slučajnim varijablama, korelacijski moment i koeficijent korelacije se ne mijenjaju.

Svojstvo 2. Za bilo koju slučajnu varijablu X i Y, apsolutna vrijednost korelacijskog momenta ne prelazi geometrijsku sredinu disperzija ovih veličina:

|\mu_(xy)|\leqslant\sqrt(D[X]\cdot D[Y])=\sigma_x\cdot \sigma_y,

Nasumična varijabla je varijabla koja može poprimiti određene vrijednosti ovisno o različitim okolnostima, te slučajnu varijablu nazivamo kontinuiranom , ako može uzeti bilo koju vrijednost iz nekog ograničenog ili neograničenog intervala. Za kontinuiranu slučajnu varijablu nemoguće je navesti sve moguće vrijednosti, stoga su označeni intervali tih vrijednosti koji su povezani s određenim vjerojatnostima.

Primjeri kontinuiranih slučajnih varijabli su: promjer dijela okrenutog na zadanu veličinu, visina osobe, domet projektila itd.

Budući da za kontinuirane slučajne varijable funkcija F(x), Za razliku od diskretne slučajne varijable, nema nigdje skokova, tada je vjerojatnost bilo koje pojedinačne vrijednosti kontinuirane slučajne varijable jednaka nuli.

To znači da za kontinuiranu slučajnu varijablu nema smisla govoriti o raspodjeli vjerojatnosti između njezinih vrijednosti: svaka od njih ima nultu vjerojatnost. Međutim, u određenom smislu, među vrijednostima kontinuirane slučajne varijable postoje "više i manje vjerojatne". Na primjer, malo je vjerojatno da će itko sumnjati da je vrijednost slučajne varijable - visina slučajno sretne osobe - 170 cm - vjerojatnija od 220 cm, iako se u praksi može pojaviti i jedna i druga vrijednost.

Funkcija distribucije kontinuirane slučajne varijable i gustoća vjerojatnosti

Kao zakon distribucije, koji ima smisla samo za kontinuirane slučajne varijable, uvodi se pojam gustoće distribucije ili gustoće vjerojatnosti. Pristupimo tome uspoređujući značenje funkcije distribucije za kontinuiranu slučajnu varijablu i za diskretnu slučajnu varijablu.

Dakle, funkcija distribucije slučajne varijable (i diskretna i kontinuirana) odn integralna funkcija naziva se funkcija koja određuje vjerojatnost da vrijednost slučajne varijable x manja ili jednaka graničnoj vrijednosti x.

Za diskretnu slučajnu varijablu u točkama njezinih vrijednosti x1 , x 2 , ..., x ja,... koncentrirane mase vjerojatnosti str1 , str 2 , ..., str ja,..., a zbroj svih masa jednak je 1. Prenesimo ovu interpretaciju na slučaj kontinuirane slučajne varijable. Zamislite da masa jednaka 1 nije koncentrirana u odvojenim točkama, već je kontinuirano "razmazana" duž x-osi Vol s nekom neravnomjernom gustoćom. Vjerojatnost pogađanja slučajne varijable na bilo kojem mjestu Δ x tumačit će se kao masa koja se može pripisati ovom dijelu, a prosječna gustoća u ovom dijelu - kao omjer mase i duljine. Upravo smo predstavili važan koncept u teoriji vjerojatnosti: gustoću distribucije.

Gustoća vjerojatnosti f(x) kontinuirane slučajne varijable je derivacija njezine funkcije distribucije:

.

Poznavajući funkciju gustoće, možemo pronaći vjerojatnost da vrijednost kontinuirane slučajne varijable pripada zatvorenom intervalu [ a; b]:

vjerojatnost da kontinuirana slučajna varijabla xće uzeti bilo koju vrijednost iz intervala [ a; b], jednak je određenom integralu svoje gustoće vjerojatnosti u rasponu od a prije b:

.

U ovom slučaju, opća formula funkcije F(x) distribucija vjerojatnosti kontinuirane slučajne varijable, koja se može koristiti ako je poznata funkcija gustoće f(x) :

.

Grafikon gustoće vjerojatnosti kontinuirane slučajne varijable naziva se krivulja njezine distribucije (slika dolje).

Područje figure (osjenčano na slici), omeđeno krivuljom, ravnim linijama izvučenim iz točaka a I b okomito na os apscisa, a os Oh, grafički prikazuje vjerojatnost da vrijednost kontinuirane slučajne varijable x je unutar raspona od a prije b.

Svojstva funkcije gustoće vjerojatnosti kontinuirane slučajne varijable

1. Vjerojatnost da će slučajna varijabla uzeti bilo koju vrijednost iz intervala (i područje figure, koje je ograničeno grafom funkcije f(x) i os Oh) jednako je jedan:

2. Funkcija gustoće vjerojatnosti ne može imati negativne vrijednosti:

a izvan postojanja distribucije, njegova vrijednost je nula

Gustoća distribucije f(x), kao i funkcija raspodjele F(x), jedan je od oblika zakona distribucije, ali za razliku od funkcije distribucije, nije univerzalan: gustoća distribucije postoji samo za kontinuirane slučajne varijable.

Spomenimo dva u praksi najvažnija tipa distribucije kontinuirane slučajne varijable.

Ako funkcija gustoće distribucije f(x) kontinuirana slučajna varijabla u nekom konačnom intervalu [ a; b] ima konstantnu vrijednost C, a izvan intervala poprima vrijednost jednaku nuli, tada ovo raspodjela se naziva ravnomjerna .

Ako je graf funkcije gustoće distribucije simetričan u odnosu na središte, prosječne vrijednosti su koncentrirane blizu središta, a kada se odmiču od središta, skuplja se više različitih od prosjeka (graf funkcije nalikuje rezu zvono), zatim ovo raspodjela se naziva normalnom .

Primjer 1 Poznata je funkcija distribucije vjerojatnosti kontinuirane slučajne varijable:

Pronađite značajku f(x) gustoća vjerojatnosti kontinuirane slučajne varijable. Iscrtajte grafove za obje funkcije. Odredite vjerojatnost da će kontinuirana slučajna varijabla poprimiti bilo koju vrijednost u rasponu od 4 do 8: .

Riješenje. Funkciju gustoće vjerojatnosti dobivamo pronalaženjem derivacije funkcije distribucije vjerojatnosti:

Grafikon funkcije F(x) - parabola:

Grafikon funkcije f(x) - ravna crta:

Nađimo vjerojatnost da će kontinuirana slučajna varijabla poprimiti bilo koju vrijednost u rasponu od 4 do 8:

Primjer 2 Funkcija gustoće vjerojatnosti kontinuirane slučajne varijable dana je kao:

Izračunajte faktor C. Pronađite značajku F(x) distribucija vjerojatnosti kontinuirane slučajne varijable. Iscrtajte grafove za obje funkcije. Odredite vjerojatnost da će kontinuirana slučajna varijabla poprimiti bilo koju vrijednost u rasponu od 0 do 5: .

Riješenje. Koeficijent C nalazimo, koristeći svojstvo 1 funkcije gustoće vjerojatnosti:

Dakle, funkcija gustoće vjerojatnosti kontinuirane slučajne varijable je:

Integrirajući, nalazimo funkciju F(x) distribucije vjerojatnosti. Ako x < 0 , то F(x) = 0 . Ako je 0< x < 10 , то

.

x> 10, dakle F(x) = 1 .

Tako, kompletan zapisnik funkcije distribucije vjerojatnosti:

Grafikon funkcije f(x) :

Grafikon funkcije F(x) :

Nađimo vjerojatnost da će kontinuirana slučajna varijabla poprimiti bilo koju vrijednost u rasponu od 0 do 5:

Primjer 3 Gustoća vjerojatnosti kontinuirane slučajne varijable x je dana jednakošću , dok je . Pronađite koeficijent A, vjerojatnost da kontinuirana slučajna varijabla x uzima neku vrijednost iz intervala ]0, 5[, funkcije raspodjele kontinuirane slučajne varijable x.

Riješenje. Uvjetom dolazimo do jednakosti

Prema tome, odakle. Tako,

.

Sada nalazimo vjerojatnost da kontinuirana slučajna varijabla xće uzeti bilo koju vrijednost iz intervala ]0, 5[:

Sada dobivamo funkciju distribucije ove slučajne varijable:

Primjer 4 Odredite gustoću vjerojatnosti kontinuirane slučajne varijable x, koji uzima samo nenegativne vrijednosti, i njegovu funkciju distribucije .