Racionalni korijeni kvadratne jednadžbe. Kvadratne jednadžbe. Iscrpni vodič (2019)

Nastavljamo proučavati temu " rješavanje jednadžbi"" Već smo se sreli s linearnim jednadžbama i otišli na poznanstvo kvadratne jednadžbe.

Prvo ćemo analizirati što je kvadratna jednadžba upisana u općenitoi Dadim povezane definicije, Nakon toga detaljno se detaljno analiziramo koliko su nepotpune kvadratne jednadžbe riješene. Nadalje, obraćamo se rješavanju punih jednadžbi, dobivamo korijenu formulu, upoznat ćemo se s diskriminacijom kvadratne jednadžbe i razmotriti rješenja karakterističnih primjera. Konačno, pratite vezu između korijena i koeficijenata.

Navigacijsku stranicu.

Što je kvadratna jednadžba? Njihove vrste

Prvo morate jasno razumjeti što je kvadratna jednadžba. Stoga je razgovor o kvadratnim jednadžbama logično pokrenut od definicije kvadratne jednadžbe, kao i povezane definicije. Nakon toga možete razmotriti glavne vrste kvadratne jednadžbe: Prikazane i neplaćene, kao i potpune i nepotpune jednadžbe.

Definicija i primjeri kvadratnih jednadžbi

Definicija.

Kvadratna jednadžba - Ovo je jednadžba vrste a · x 2 + b · x + c \u003d 0 gdje je X varijabla, a, b i c - neki brojevi i razne nule.

Odmah, recimo da se kvadratne jednadžbe često nazivaju jednadžbama drugog stupnja. To je zbog činjenice da je kvadratna jednadžba algebarska jednadžba drugi stupanj.

Izražena definicija omogućuje vam da date primjere kvadratnih jednadžbi. SO 2 · X 2 + 6 · X + 1 \u003d 0, 0.2 · x 2 + 2.5 · x + 0.03 \u003d 0, itd. - To su kvadratne jednadžbe.

Definicija.

Brojevi a, b i c koeficijenti kvadratne jednadžbe A. ,

Na primjer, uzimamo kvadratnu jednadžbu obrasca 5 · x 2 -2 · x-3 \u003d 0, ovdje je viši koeficijent je 5, drugi koeficijent je -2, a slobodni član je -3. Napomena Kada su koeficijenti B i / ili C negativni, kao u gornjem primjeru, koristi se kratak oblik Zapisi o kvadratnoj jednadžbi obrasca 5 · x 2 -2 · X-3 \u003d 0, a ne 5 · x 2 + (- 2) · X + (- 3) \u003d 0.

Važno je napomenuti da kada su koeficijenti A i / ili B jednaki 1 ili -1, oni obično nisu prisutni u snimanju kvadratne jednadžbe eksplicitno, što je povezano s značajkama zapisa o takvom. Na primjer, u kvadratnoj jednadžbi Y 2-Y + 3 \u003d 0, viši koeficijent je jedinica, a koeficijent na Y je -1.

Određene i neoženjene kvadratne jednadžbe

Ovisno o vrijednosti starije koeficijenta, razlikuju se gore i neplaćene kvadratne jednadžbe. Datimo odgovarajuće definicije.

Definicija.

Kvadratna jednadžba u kojoj je stariji koeficijent 1, nazvan s obzirom na kvadratnu jednadžbu, Inače je kvadratna jednadžba goli.

Prema ova definicija, kvadratne jednadžbe x 2 -3 · x + 1 \u003d 0, x 2 -x-2/3 \u003d 0, itd. - To, u svakom od njih prvi koeficijent je jednak jednom. 5 · x 2 -X-1 \u003d 0 i slično. - Ne važeće kvadratne jednadžbe, njihovi stariji koeficijenti razlikuju se od 1.

Od bilo koje neplaćene kvadratne jednadžbe dijeljenjem i dijelova na višoj koeficijentu, možete otići na dano. Ova akcija je ekvivalentna transformaciji, koja je, smanjena kvadratna jednadžba dobivena ovom metodom ima iste korijene kao i izvorna jednadžba nepravedno kvadratna jednadžba, ili, kao i nema korijena.

Analizirat ćemo na primjeru, kako se izvodi prijelaz s integralne kvadratne jednadžbe na danu.

Primjer.

Iz jednadžbe 3 · x 2 + 12 · x-7 \u003d 0 idite na odgovarajuću predstavljenu kvadratnu jednadžbu.

Odluka.

Dovoljno je da podijelimo oba dijela početne jednadžbe na viši koeficijent 3, razlikuje se od nule, tako da možemo izvesti ovu akciju. Imamo (3 · x 2 + 12 · x-7): 3 \u003d 0: 3, koji je isti, (3 · x 2): 3+ (12 · x): 3-7: 3 \u003d 0, i Dalje (3: 3) · X2 + (12: 3) · X-7: 3 \u003d 0, odakle. Tako smo dobili određenu kvadratnu jednadžbu, što je ekvivalentno izvoru.

Odgovor:

Potpune i nepotpune kvadratne jednadžbe

U definiciji kvadratne jednadžbe postoji stanje A ≠ 0. Ovo stanje je potrebno kako bi se jednadžba A · X2 + B · X + C \u003d 0 da bude precizno kvadratna, jer na a \u003d 0 zapravo postaje linearna jednadžba oblika b · X + C \u003d 0.

Što se tiče koeficijenata B i C, mogu biti nula, i oboje odvojeno i zajedno. U tim slučajevima, kvadratna jednadžba se naziva nepotpuna.

Definicija.

Kvadratna jednadžba a · x 2 + b · x + c \u003d 0 nepotpunAko barem jedan od koeficijenata B, C je nula.

Zauzvrat

Definicija.

Potpuna kvadratna jednadžba - Ovo je jednadžba da se svi koeficijenti razlikuju od nule.

Takvi naslovi nisu slučajni. Iz sljedećeg razmišljanja postat će jasno.

Ako je koeficijent B nula, kvadratna jednadžba uzima oblik A · x 2 + 0 · x + c \u003d 0, a to je ekvivalentno jednadžbi A · x 2 + c \u003d 0. Ako je c \u003d 0, to jest, kvadratna jednadžba ima oblik A · x 2 + b · x + 0 \u003d 0, zatim se može prepisati kao · x 2 + b · x \u003d 0. A za B \u003d 0 i C \u003d 0, dobivamo kvadratnu jednadžbu A · X 2 \u003d 0. Dobivene jednadžbe razlikuju se od ukupne kvadratne jednadžbe činjenicom da njihovi lijevi dijelovi ne sadrže ni komponentu iz varijable X ili slobodnog člana ili oboje. Stoga im se ime - nepotpune kvadratne jednadžbe.

Tako jednadžbe x 2 + x + 1 \u003d 0 i -2 · x 2 -5 · x + 0,2 \u003d 0 su primjeri kompletnih kvadratnih jednadžbi i x 2 \u003d 0, -2 · x 2 \u003d 0, 5 · x 2 + 3 \u003d 0, -X 2 -5 · x \u003d 0 su nepotpune kvadratne jednadžbe.

Odluka nepotpunih kvadratnih jednadžbi

Iz informacija o prethodnoj točki slijedi da postoji tri vrste nepotpunih kvadratnih jednadžbi:

• a · X 2 \u003d 0, koeficijenti B \u003d 0 i C \u003d 0 odgovaraju njoj;
• a · X2 + C \u003d 0, kada je B \u003d 0;
• i a · x 2 + b · x \u003d 0, kada c \u003d 0.

Analizirat ćemo kako ćemo riješiti nepotpune kvadratne jednadžbe svake od ovih vrsta.

a · x 2 \u003d 0

Počnimo s rješenjem nepotpunih kvadratnih jednadžbi u kojima su koeficijenti B i C nuli, to jest, iz jednadžbi obrasca A · x 2 \u003d 0. Jednadžba A · x 2 \u003d 0 je ekvivalentna jednadžbi x 2 \u003d 0, koja se dobiva iz početne podjele svojih dijelova na broj koji se razlikuje od nule. Očito je da jednadžba x 2 \u003d 0 je nula, kao 0 2 \u003d 0. Ova jednadžba nema drugih korijena, kao što je objašnjeno, doista, za bilo koji drugi broj broja P, nejednakost p 2\u003e 0, od mjesta na kojem slijedi da na p. 0, jednakost p 2 \u003d 0 se nikada ne postiže.

Dakle, nepotpuna kvadratna jednadžba A · x 2 \u003d 0 ima jedini koren X \u003d 0.

Kao primjer, dajemo rješenje nepotpune kvadratne jednadžbe -4 · x 2 \u003d 0. To je ekvivalentno jednadžbi x 2 \u003d 0, njegov jedini korijen je X \u003d 0, dakle, početna jednadžba ima jedini korijen od nule.

Kratko rješenje u ovom slučaju može se izdati na sljedeći način:
-4 · x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x \u003d 0.

a · x 2 + c \u003d 0

Sada razmislite o tome kako su nepotpune kvadratne jednadžbe riješene u kojima je koeficijent B nula, a c ≠ 0, tj. Jednadžbe forme A · X2 + C \u003d 0. Znamo da je prijenos pojma iz jednog dijela jednadžbe na drugi s suprotnim znakom, kao i podjelom oba dijela jednadžbe za različito od nule, broj se daje ekvivalentna jednadžba. Stoga je moguće izvršiti sljedeće ekvivalentne transformacije nepotpune kvadratne jednadžbe A · X2 + C \u003d 0:

• prijenos C u desni dio, koji daje jednadžbu A · x 2 \u003d -C,
• i podijelite oba dijela na a, dobivamo.

Rezultirajuća jednadžba omogućuje vam da izvučete zaključke o njegovim korijenima. Ovisno o vrijednostima A i C, vrijednost ekspresije može biti negativna (na primjer, ako je A \u003d 1 i C \u003d 2, zatim) ili pozitivan, (na primjer, ako je \u003d -2 i C \u003d 6, zatim) , nije nula jer pod uvjetom c ≠ 0. Zasebno analiziramo slučajeve i.

Ako, jednadžba nema korijene. Ova izjava slijedi iz činjenice da je kvadrat bilo kojeg broja broj ne-negativan. Iz toga slijedi da kada, za bilo koji broj p, jednakost ne može biti točna.

Ako je, onda je korijen jednadžbe drugačiji. U tom slučaju, ako se sjećate, korijen jednadžbe odmah postaje odmah postaje broj. Lako je pogoditi da je broj i korijen jednadžbe. Ova jednadžba nema druge korijene, koji se mogu prikazati, na primjer, metodom iz suprotnog. Učinimo to.

Označite jedini izrazirani korijeni jednadžbe kao x 1 i -X 1. Pretpostavimo da jednadžba ima još jedan korijen X 2, različit od navedenih korijena X 1 i -X 1. Poznato je da zamjena jednadžbe umjesto X njegovih korijena privlači jednadžbu na pravu numeričku jednakost. Za X 1 i -X 1 imamo, a za X 2 imamo. Svojstva numeričkih jednakosti mogu se dopustiti da obavljaju oduzimanje tla vjernih numeričkih jednakosti, tako da oduzimanje odgovarajućih dijelova jednakosti i daje X1 2 -X 2 2 \u003d 0. Svojstva djelovanja s brojevima omogućuju vam da prepišete dobivenu jednakost kao (x 1 -X 2) · (x 1 + x 2) \u003d 0. Znamo da je rad od dva broja je nula ako i samo ako je barem jedan od njih nula. Prema tome, iz dobivene jednakosti slijedi da X1-X 2 \u003d 0 i / ili X 1 + X 2 \u003d 0, koji je isti, X 2 \u003d X 1 i / ili X 2 \u003d -X 1. Tako smo došli u kontradikciju, jer smo najprije rekli da je korijen jednadžbe x 2 različit od X 1 i -X 1. To se dokaže da jednadžba nema druge korijene, osim.

Sumiranje informacija ove stavke. Nepotpuna kvadratna jednadžba A · X2 + C \u003d 0 je ekvivalent jednadžba to

• nema korijene ako
• ima dva korijena i, ako.

Razmotrite primjere rješenja nepotpunih kvadratnih jednadžbi forme A · X2 + C \u003d 0.

Počnimo s kvadratnom jednadžbom 9 · x 2 + 7 \u003d 0. Nakon prijenosa slobodnog člana u desni dio jednadžbe, on će se formirati 9 · x 2 \u003d -7. Podijelite oba dijela dobivene jednadžbe do 9, dođite. Budući da je negativan broj ispao u pravom dijelu, ova jednadžba nema korijene, stoga je početna nepotpuna kvadratna jednadžba 9 · x 2 + 7 \u003d 0 nema korijena.

Odlučujem još jednu nepotpunu kvadratnu jednadžbu -X 2 + 9 \u003d 0. Nosimo devet na desnu stranu: -X 2 \u003d -9. Sada dijelimo i dijelove na -1, dobivamo X 2 \u003d 9. Desni dio sadrži pozitivan broj, gdje zaključujemo da ili. Nakon pisanja konačnog odgovora: nepotpuna kvadratna jednadžba -X 2 + 9 \u003d 0 ima dva korijena x \u003d 3 ili x \u003d -3.

a · x 2 + b · x \u003d 0

Ostaje da se bave rješenjem posljednje vrste nepotpunih kvadratnih jednadžbi na c \u003d 0. Nepotpune kvadratne jednadžbe forme A · x 2 + b · x \u003d 0 omogućuje vam da riješite metoda razgradnje multiplikatora, Očito, možemo, nalazi se u lijevom dijelu jednadžbe, za koji je dovoljno da podnese opći multiplikator X za zagrade. To vam omogućuje da se preselite s početne nepotpune kvadratne jednadžbe na ekvivalentnu jednadžbu obrasca X · (a · x + b) \u003d 0. I ta jednadžba je ekvivalentna ukupnosti dviju jednadžbi x \u003d 0 i A · X + B \u003d 0, od kojih je posljednji od kojih je linearan i ima korijen x \u003d -b / a.

Dakle, nepotpuna kvadratna jednadžba A · x 2 + b · x \u003d 0 ima dva korijena x \u003d 0 i x \u003d -b / a.

Da bismo osigurali materijal, analizirat ćemo rješenje specifičan primjer.

Primjer.

Odlučite jednadžbu.

Odluka.

Provodimo X za zagrade, daje jednadžbu. To je ekvivalentno dvije jednadžbe x \u003d 0 i. Riješimo rezultirajuću linearnu jednadžbu: i obavljanjem podjele mješovitog broja uobičajena frakcijaPronaći. Prema tome, korijeni početne jednadžbe su x \u003d 0 i.

Nakon primitka potrebne prakse, rješenja se takve jednadžbe mogu kratko zabilježiti:

Odgovor:

x \u003d 0,.

Diskriminantna, korijena formule kvadratne jednadžbe

Da biste riješili kvadratne jednadžbe, postoje korijeni formula. Pišemo formula korijena kvadratne jednadžbe:, gdje D \u003d b 2 -4 · c - takozvani diskriminantna kvadratna jednadžba, Rekord u suštini znači da.

Korisno je znati kako je dobivena formula korijena i kako se koristi kada se nađu korijeni kvadratnih jednadžbi. Reci mi.

Izlaz korijena kvadratne jednadžbe

Moramo riješiti kvadratnu jednadžbu A · x 2 + b · x + c \u003d 0. Obaviti neke ekvivalentne transformacije:

• Oba dijela ove jednadžbe možemo podijeliti broj drugačije od nule, kao rezultat dobivamo smanjenu kvadratnu jednadžbu.
• Sada istaknuti cijeli kvadrat U lijevom dijelu :. Nakon toga, jednadžba će se oblikovati.
• U ovoj fazi možete prenijeti posljednje dvije komponente na desnu stranu s suprotnim znakom, imamo.
• I još uvijek mijenjamo izraz koji se pokazao u pravom dijelu :.

Kao rezultat toga stižemo na jednadžbu koja je ekvivalentna izvornoj kvadratnoj jednadžbi A · X2 + B · X + C \u003d 0.

Već smo riješili slične u obliku jednadžbe, kada su rastavili. To omogućuje sljedeće zaključke koji se odnose na korijenje jednadžbe:

• ako, jednadžba nema valjana rješenja;
• ako, jednadžba ima oblik, dakle, gdje je vidljiv njegov jedini korijen;
• ako, onda ili to isto ili, to jest, jednadžba ima dva korijena.

Dakle, prisutnost ili odsutnost korijena jednadžbe, što znači početna kvadratna jednadžba ovisi o znaku ekspresije koji stoji na desnoj strani. S druge strane, znak ovog izraza određen je brojem numeratora, budući da je nazivnik 4 · a 2 uvijek pozitivan, odnosno znak ekspresije B2 -4 · A · c. Ovaj izraz B2 -4 · A · C, nazvan diskriminantna kvadratna jednadžba i identificirali pismo D., Odavde je suština diskriminatora jasna - prema njegovoj vrijednosti i znak je zaključen, da li kvadratna jednadžba ima valjani korijen, a ako je to, koji je njihov broj jedan ili dva.

Vraćamo se na jednadžbu, prepisujemo ga pomoću diskriminacijske oznake :. I crpimo zaključke:

• ako d<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• ako d \u003d 0, tada ova jednadžba ima jedini korijen;
• konačno, ako d\u003e 0, jednadžba ima dva korijena ili, što se može prepisati u obliku ili, a nakon otkrivanja i donijeti frakcije na zajednički nazivnik.

Dakle, dobivamo formulu korijena kvadratne jednadžbe, oni imaju oblik gdje se diskriminantni D izračunava formulom D \u003d B2 -4 · C.

Uz njihovu pomoć, s pozitivnim diskriminacijom, mogu se izračunati i valjani korijeni kvadratne jednadžbe. Uz jednaku nultu diskriminaciju, obje formule daju istu vrijednost korijena koja odgovara jedinoj otopini kvadratne jednadžbe. I s negativnim diskriminatorom, kada pokušavate koristiti formulu korijena kvadratne jednadžbe, suočavamo se s vađenjem kvadratnog korijena s negativnog broja, koji nas prikazuje izvan okvira i školskog kurikuluma. S negativnim diskriminacijom, kvadratna jednadžba nema valjane korijene, ali ima par sveobuhvatno konjugira Korijeni koji se mogu naći na istim korijenskim formulama koje smo primili.

Algoritam za rješavanje kvadratnih jednadžbi na korijenskim formulama

U praksi, pri rješavanju kvadratnih jednadžbi, možete odmah upotrijebiti korijensku formulu, s kojima je moguće izračunati njihove vrijednosti. Ali više se odnosi na pronalaženje složenih korijena.

Međutim, u školskoj godini algebra obično ne govorimo o kompleksu, već na važećim korijenima kvadratne jednadžbe. U ovom slučaju, preporučljivo je prije korištenja formula korijena kvadratne jednadžbe kako bi pre-pronašao diskriminant, pobrinite se da je nenegativan (inače se može zaključiti da jednadžba nema valjane korijene), a nakon toga , za izračunavanje korijenskih vrijednosti.

Navedeno razmišljanje omogućuje vam snimanje algoritam rješenja kvadratne jednadžbe, Za rješavanje kvadratne jednadžbe A · X2 + B · X + C \u003d 0, potrebno je:

• u skladu s formulom diskriminantnog d \u003d B2 -4 · C izračunajte njegovu vrijednost;
• zaključiti da kvadratna jednadžba nema valjane korijene ako je diskriminant negativan;
• izračunajte jedini korijen jednadžbe pomoću formule ako d \u003d 0;
• pronađite dva valjana korijena kvadratne jednadžbe na korijeni formule ako je diskriminant pozitivan.

Ovdje primijetite da samo s jednakim diskriminalom nula možete koristiti formulu, ona će dati isto značenje kao.

Možete nastaviti na primjere algoritma za rješavanje kvadratnih jednadžbi.

Primjeri otopina kvadratnih jednadžbi

Razmotrite rješenja tri kvadratne jednadžbe s pozitivnim, negativnim i jednakim neograničenim diskriminantom. Nakon što je shvatio svojim rješenjem, bit će moguće riješiti bilo koju drugu kvadratnu jednadžbu analogijom. Počnimo.

Primjer.

Pronađite korijene jednadžbe x 2 + 2 · x-6 \u003d 0.

Odluka.

U tom slučaju, imamo sljedeće koeficijente kvadratne jednadžbe: A \u003d 1, B \u003d 2 i C \u003d -6. Prema algoritmu, najprije morate izračunati diskriminaciju, za to zamjenjivati \u200b\u200bove A, B i C u diskriminacijskoj formuli, imamo D \u003d B2 -4 · C \u003d 2-4 -4 · 1 · (-6) \u003d 4 + 24 \u003d 28, Od 28\u003e 0, to jest, diskriminant je veći od nule, kvadratna jednadžba ima dva valjana korijena. Nalazimo ih po formuli korijena, dobivamo, ovdje možete pojednostaviti izraze dobivene izvođenjem multiplikator za znak korijena S naknadnim rezanjem frakcije:

Odgovor:

Idite na sljedeći karakteristični primjer.

Primjer.

Odlučite kvadratnu jednadžbu -4 · x 2 + 28 · x-49 \u003d 0.

Odluka.

Počinjemo s pronalaženjem diskriminacije: D \u003d 28 2 -4 · (-4) · (-49) \u003d 784-784 \u003d 0, Posljedično, ova kvadratna jednadžba ima jedini korijen koji nalazimo kao, to jest,

Odgovor:

x \u003d 3.5.

Ostaje razmotriti rješenje kvadratnih jednadžbi s negativnim diskriminacijom.

Primjer.

Odlučite jednadžbu 5 · y 2 + 6 · y + 2 \u003d 0.

Odluka.

Ovdje takvi koeficijenti kvadratne jednadžbe: A \u003d 5, B \u003d 6 i C \u003d 2. Zamijenimo te vrijednosti u diskriminacijskoj formuli, imamo D \u003d B2 -4 · C \u003d 6 2 -4,5 · 2 \u003d 36-40 \u003d -4, Diskriminant je negativan, dakle, ova kvadratna jednadžba nema valjane korijene.

Ako trebate odrediti složene korijene, koristimo dobro poznatu formulu korijena kvadratne jednadžbe i izvodite akcije sa složenim brojevima:

Odgovor:

nema valjanih korijena, složeni korijeni su sljedeći :.

Još jednom napominjemo da ako je diskriminant negativan, škola obično odmah zapisuje odgovor, što ukazuje da ne postoje valjani korijeni, a ne postoje složeni korijeni.

Korijeni formule za čak i drugi koeficijenti

Korijen formula kvadratne jednadžbe, gdje D \u003d B2 -4 · C · C omogućuje da se dobije formula kompaktniju formu koji vam omogućuje rješavanje kvadratnih jednadžbi s čak i koeficijent na X (ili jednostavno s faktorom koji ima a Obrazac 2 · N, na primjer ili 14 · l5 \u003d 2 · 7 · lN5). Dati.

Pretpostavimo da trebamo riješiti kvadratnu jednadžbu obrasca A · X2 + 2 · n · X + C \u003d 0. Pronađite njegove korijene koristeći formulu poznatu. Da biste to učinili, izračunajte diskriminaciju D \u003d (2 · N) 2 -4 · C \u003d 4-4 -4 · A · C \u003d 4 · (N 2-A C), a zatim upotrijebite korijenu formulu:

Označiti ekspresiju N2-a kao D1 (ponekad d "). Zatim je jezgra formula kvadratne jednadžbe koja se razmatra s drugim koeficijent 2 · n će se oblikovati , gdje D1 \u003d N2-A · c.

Lako je vidjeti da d \u003d 4 · d1, ili d 1 \u003d d / 4. Drugim riječima, D1 je četvrti dio diskriminacije. Jasno je da je znak D 1 isti kao i znak D. To jest, znak D1 je također pokazatelj prisutnosti ili odsutnosti korijena kvadratne jednadžbe.

Dakle, riješiti kvadratnu jednadžbu s drugim koeficijentom 2 · n, potrebno je

• Izračunati D1 \u003d N2-A · C;
• Ako d 1.<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Ako d 1 \u003d 0, zatim izračunajte jedini korijen jednadžbe pomoću formule;
• Ako d 1\u003e 0, onda pronađite dva valjana korijena formulom.

Razmislite o otopinu primjera upotrebom korijenske formule dobivene u ovom paragrafu.

Primjer.

Odlučite kvadratnu jednadžbu 5 · x 2 -6 · x-32 \u003d 0.

Odluka.

Drugi koeficijent ove jednadžbe može biti predstavljen kao 2 · (-3). To jest, možete prepisati izvorne kvadratne jednadžbe u obliku 5 · x 2 + 2 · (-3) · X-32 \u003d 0, ovdje A \u003d 5, N \u003d -3 i C \u003d -32 i izračunati četvrti dio diskriminacije: D1 \u003d N2 -A · C \u003d (- 3) 2 -5 · (-32) \u003d 9 + 160 \u003d 169, Budući da je njezina vrijednost pozitivna, jednadžba ima dva valjana korijena. Pronađite ih pomoću odgovarajuće korijenske formule:

Imajte na umu da je moguće koristiti uobičajenu formulu korijena kvadratne jednadžbe, ali u ovom slučaju mora postojati veći volumen računalnog rada.

Odgovor:

Pojednostavljenje vrsta kvadratnih jednadžbi

Ponekad, prije odlaska na izračun korijena kvadratne jednadžbe prema formulama, neće spriječiti pitanje: "Je li moguće pojednostaviti izgled ove jednadžbe"? Slažem se da je u smislu izračuna lakše riješiti kvadratnu jednadžbu 11 · x 2 -4 · x-6 \u003d 0 od 1100 · x 2 -400 · x-600 \u003d 0.

Obično pojednostavljenje vrste kvadratne jednadžbe postiže se množenjem ili dijeljenjem i dijelovima po broju. Na primjer, u prethodnom odlomku moguće je pojednostaviti jednadžbu 1100 · x 2 -400 · x-600 \u003d 0, odvajanje oba dijela za 100.

Takva transformacija se provodi s kvadratnim jednadžbama čiji koeficijenti nisu. Istodobno su i dio jednadžbe na apsolutnim vrijednostima njegovih koeficijenata obično podijeljeni. Na primjer, uzmite kvadratnu jednadžbu 12 · x 2 -42 · x + 48 \u003d 0. Apsolutne vrijednosti svojih koeficijenata: čvor (12, 42, 48) \u003d čvor (čvor (12, 42), 48) \u003d čvor (6, 48) \u003d 6. Podjelom oba dijela izvorne četvrt jednadžbe do 6, doći ćemo do ekvivalentne kvadratne jednadžbe 2 · x 2 -7 · x + 8 \u003d 0.

I množenje oba dijela kvadratne jednadžbe obično se dobije da se riješe frakcijskih koeficijenata. U tom slučaju, množenje se provodi na denominatorima njegovih koeficijenata. Na primjer, ako su oba dijela kvadratne jednadžbe pomnožena s NOC (6, 3, 1) \u003d 6, tada će se pojaviti jednostavniji oblik X 2 + 4 · X-18 \u003d 0.

U zaključku ovog stavka, napominjemo da se gotovo uvijek dobije osloboditi od minusa s višim koeficijentom kvadratne jednadžbe, mijenjajući znakove svih članova, što odgovara množenju (ili podjeli) oba dijela na -1. Na primjer, obično iz kvadratne jednadžbe -2 · x 2 -3 · x + 7 \u003d 0, oni idu u otopinu 2 · x 2 + 3 · x-7 \u003d 0.

Komunikacija između korijena i koeficijenata kvadratne jednadžbe

Formula korijena kvadratne jednadžbe izražava korijenje jednadžbe kroz njegove koeficijente. Skidanje iz korijenske formule, možete dobiti druge ovisnosti između korijena i koeficijenata.

Najpoznatije i najpoželjnije formule iz Vieta View Teorem i najviše su dobro. Konkretno, za smanjenu kvadratnu jednadžbu, količina korijena jednaka je drugom koeficijentu s suprotnim znakom, a proizvod korijena je slobodan član. Na primjer, prema vrsti kvadratne jednadžbe 3 · x 2 -7 · x + 22 \u003d 0, moguće je odmah reći da je zbroj njegovih korijena 7/3, a proizvod korijena je 22 / 3.

Koristeći već snimljene formule, mogu se dobiti broj drugih veza između korijena i koeficijenata kvadratne jednadžbe. Na primjer, možete izraziti zbroj kvadrata korijena kvadratne jednadžbe kroz njegove koeficijente :.

Bibliografija.

• Algebra: studije. Za 8 cl. opće obrazovanje. Institucije / [yu. N. MAKARYCHEV, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorov]; Ed. S.a. Telikovsky. - 16. ed. - m.: Prosvjetljenje, 2008. - 271 str. : Il. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. 8. razred. U 2 TSP. 1. Tutorial za studente općih obrazovnih ustanova / A. Mordkovich. - 11. ed., Ched. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: Il. ISBN 978-5-346-01155-2.

Jednostavno. Prema formulama i jasno jednostavnim pravilima. U prvoj fazi

potrebno je da navedena jednadžba dovede do standardnog oblika, tj. Na um:

Ako je jednadžba dana u ovom obliku - prva faza nije potrebna. Najvažnije je ispravno

odrediti sve koeficijente ali, b. i c..

Formula za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe.

Izraz pod znakom korijena se zove diskriminirajući , Kao što možete vidjeti, za pronalaženje Iqua, mi

upotreba samo a, b i sa. Oni. Koeficijenti iz kvadratna jednadžba, Samo uredno supstituiran

vrijednost a, b i sa U ovoj formuli i smatramo. Zamijeniti tako zločest Znakovi!

na primjer, u jednadžbi:

ali =1; b. = 3; c. = -4.

Zamijenimo vrijednosti i pišemo:

Primjer je praktički riješen:

To je odgovor.

Najčešće pogreške - zbunjenost znakovima vrijednosti a, B.i iz, Radije, uz zamjenu

negativne vrijednosti u formuli za izračun korijena. Ovdje omeknite detaljan unos formule

s određenim brojevima. Ako postoje problemi s računalom, učinite to!

Pretpostavimo da je potrebno riješiti takav primjer:

Ovdje a. = -6; b. = -5; c. = -1

Opisujemo sve detaljno, pažljivo, ne propuštam ništa sa svim znakovima i nosačima:

Često, kvadratne jednadžbe izgledaju malo drugačije. Na primjer, ovako:

I sada uzeti u obzir praktične tehnike koje dramatično smanjuju broj pogrešaka.

Prvo prijem, Nemojte biti lijeni prije rješavanjem kvadratne jednadžbe donijeti je na standardni obrazac.

Što to znači?

Pretpostavimo, nakon svih transformacija primili ste takvu jednadžbu:

Nemojte žuriti da napišete korijensku formulu! Gotovo vjerojatno zbunite koeficijente a, b i s.

Izraditi primjer ispravno. Prvo, X je na trgu, a zatim bez kvadrata, zatim slobodni kurac. Kao ovo:

Riješite se minusa. Kako? Potrebno je umnožiti cijelu jednadžbu na -1. Dobivamo:

Ali sada možete sigurno snimiti formulu za korijene, razmotriti diskriminant i primjer.

Dora sebe. Morate imati korijene 2 i -1.

Prijem dva. Provjerite korijene! Po vieta teorem.

Za rješavanje navedenih kvadratnih jednadžbi, tj. Ako koeficijent

x2 + BX + C \u003d 0,

zatim x 1 x 2 \u003d c

x 1 + x 2 \u003d -b.

Za potpunu kvadratnu jednadžbu u kojoj ≠ 1.:

x 2 +.b.x +.c.=0,

podijelimo svu jednadžbu ali:

→ →

gdje x 1 i x. 2 - jednadžba korijenja.

Uzimanje treće, Ako postoje frakcijski koeficijenti u vašoj jednadžbi, - riješite se frakcija! Komidž

jednadžba na zajedničkom nazivnom nazivnom.

Izlaz. Praktični savjeti:

1. Prije rješavanja dajemo kvadratnu jednadžbu u standardni obrazac, izgradite ga pravo.

2. Ako negativni koeficijent stoji na kvadratu na kvadratu na kvadratu, eliminira ga s množenjem

jednadžbe na -1.

3. ako frakcijski koeficijenti uklanjaju frakciju množenjem cijele jednadžbe s odgovarajućim

faktor.

4. Ako je X na kvadratu - čist, koeficijent je jednak jednom, rješenje se može lako provjeriti

Square jednadžbe studiraju se u 8. razredu, tako da ovdje ne postoji ništa teško. Sposobnost njihovog rješavanja apsolutno je potrebna.

Kvadratna jednadžba je jednadžba oblika AX 2 + BX + C \u003d 0, gdje su koeficijenti A, B i C proizvoljni brojevi, a a ≠ 0.

Prije nego što proučavaju određene metode odlučivanja, napominjemo da se sve kvadratne jednadžbe mogu podijeliti u tri razreda:

1. Nemaju korijene;
2. Imati točno jedan korijen;
3. Imaju dva različita korijena.

To je važna razlika između kvadratnih jednadžbi od linearnog, gdje korijen uvijek postoji i jedinstven je. Kako odrediti koliko korijena ima jednadžbu? Za ovo postoji prekrasna stvar - diskriminirajući.

Diskriminirajući

Neka kvadratna jednadžba sjekira 2 + BX + C \u003d 0. Zatim je diskriminant samo broj D \u003d B2 - 4AC.

Ova formula mora biti poznata po srcu. Gdje ona uzima - sada nije važno. Drugo je važno: diskriminacijski znak može se odrediti koliko korijena ima kvadratnu jednadžbu. Naime:

1. Ako d< 0, корней нет;
2. Ako d \u003d 0, postoji točno jedan korijen;
3. Ako d\u003e 0, bit će dva korijena.

Imajte na umu: diskriminant ukazuje na broj korijena, a ne na sve na svojim znakovima, kao iz nekog razloga, mnogi razmatraju. Pogledajte primjere - i sve ćete razumjeti:

Zadatak. Koliko korijena su kvadratne jednadžbe:

1. x 2 - 8x + 12 \u003d 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 \u003d 0;
3. x 2 - 6x + 9 \u003d 0.

Odbijamo koeficijente za prvu jednadžbu i pronađite diskriminaciju:
a \u003d 1, B \u003d -8, C \u003d 12;
D \u003d (-8) 2 - 4 · l · 12 \u003d 64 - 48 \u003d 16

Dakle, diskriminant je pozitivan, tako da jednadžba ima dva različita korijena. Slično tome, rastavite drugu jednadžbu:
a \u003d 5; b \u003d 3; C \u003d 7;
D \u003d 3 2 - 4 · 5 · 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Diskriminant je negativan, bez korijena. Posljednja jednadžba ostaje:
a \u003d 1; b \u003d -6; C \u003d 9;
D \u003d (-6) 2 - 4 · l · 9 \u003d 36 - 36 \u003d 0.

Diskriminant je nula - korijen će biti jedan.

Imajte na umu da za svaku jednadžbu koeficijenti su otpušteni. Da, dugo je vrijeme, da, to je dosadno - ali nećete zbuniti koeficijente i ne dopustiti glupi pogreške. Odaberite sebe: brzinu ili kvalitetu.

Usput, ako "napuni ruku", nakon nekog vremena više ne moraš napisati sve koeficijente. Takve operacije ćete biti izvedeni u vašoj glavi. Većina ljudi počinje to činiti negdje nakon 50-70 riješenih jednadžbi - općenito, ne toliko.

Jednadžba korijena

Sada se okrećemo, zapravo, do odluke. Ako diskriminantni d\u003e 0, korijeni mogu pronaći formule:

Osnovnu formulu korijena kvadratne jednadžbe

Kada d \u003d 0, možete koristiti bilo koju od ovih formula - to će biti isti broj koji će biti odgovor. Konačno, ako d< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 \u003d 0;
2. 15 - 2x - x 2 \u003d 0;
3. x 2 + 12x + 36 \u003d 0.

Prva jednadžba:
x 2 - 2x - 3 \u003d 0 ⇒ a \u003d 1; b \u003d -2; c \u003d -3;
D \u003d (-2) 2 - 4 · 1 · (-3) \u003d 16.

D\u003e 0 ⇒ Jednadžba ima dva korijena. Nađi ih:

Druga jednadžba:
15 - 2x - x 2 \u003d 0 ⇒ a \u003d -1; b \u003d -2; C \u003d 15;
D \u003d (-2) 2 - 4 · (-1) · 15 \u003d 64.

D\u003e 0 ⇒ Jednadžba ponovno ima dva korijena. Nalazimo ih

[Port (poravnanje) i (X) _ (1)) \u003d Frac (2+ SQRT (64)) (2 \\ t & ((x) _ (2)) \u003d frac (2- sqrt (64)) (2 cDot lijevo (-1 desno)) \u003d 3. Kraju (poravnanje)] \\ t

Konačno, treća jednadžba:
x 2 + 12x + 36 \u003d 0 ⇒ a \u003d 1; b \u003d 12; C \u003d 36;
D \u003d 12 2 - 4 · 1 · 36 \u003d 0.

D \u003d 0 ⇒ jednadžba ima jedan korijen. Možete koristiti bilo koju formulu. Na primjer, prvi:

Kao što se može vidjeti iz primjera, sve je vrlo jednostavno. Ako znate formulu i biti u mogućnosti razmotriti, neće biti problema. Najčešće se pojavljuju pogreške tijekom zamjene u formuli negativnih koeficijenata. Ovdje, opet, gore opisani recepcija pomoći će: Pogledati na formulu doslovno, obojite svaki korak - i vrlo brzo se riješite pogrešaka.

Nepotpune kvadratne jednadžbe

Događa se da je kvadratna jednadžba nešto drugačija od onoga što se daje u definiciji. Na primjer:

1. x 2 + 9x \u003d 0;
2. x 2 - 16 \u003d 0.

Lako je vidjeti da u tim jednadžbama ne postoji ni jedan od uvjeta. Takve kvadratne jednadžbe su još lakše od standarda: oni čak ne moraju smatrati diskriminantnim. Dakle, uvozimo novi koncept:

AX 2 + BX + C \u003d 0 jednadžba naziva se nepotpuna kvadratna jednadžba ako je B \u003d 0 ili c \u003d 0, tj. Koeficijent s varijabilnim X ili slobodnim elementom je nula.

Naravno, moguće je potpuno teško slučaj kada su oba ova koeficijenta nula: b \u003d c \u003d 0. U ovom slučaju, jednadžba uzima oblik 2 \u003d 0. Očito, takva jednadžba ima jedan korijen: x \u003d 0 ,

Razmotriti preostale slučajeve. Neka B \u003d 0 bude 0, onda dobivamo nepotpunu kvadratnu jednadžbu oblika AX 2 + c \u003d 0. Mi ga pretvoriti malo:

Od aritmetičke korijen Postoji samo ne-negativan broj, a posljednja jednakost ima smisla isključivo na (-C / a) ≥ 0. Zaključak:

1. Ako je u nepotpunoj kvadratnoj jednadžbi obrasca 2 + c \u003d 0, nejednakost (-C / a) se izvodi ≥ 0, bit će dva korijena. Je navedena formula;
2. Ako (-C / a)< 0, корней нет.

Kao što možete vidjeti, diskriminant nije trebala - u nepotpunim kvadratnim jednadžbama nema složeni izračuni, Zapravo, čak nije potrebno zapamtiti nejednakost (-C / a) ≥ 0. Dovoljno je izraziti vrijednost x 2 i vidjeti što stoji s druge strane znaka jednakosti. Ako postoji pozitivan broj - korijeni će biti dva. Ako je negativan - korijeni neće biti uopće.

Sada ćemo razumjeti s jednadžbama obrasca 2 + bx \u003d 0, u kojoj je slobodan element nula. Sve je ovdje jednostavno: korijeni će uvijek biti dva. Dovoljno je razgraditi polinom na množitelja:

Multiplikator za nosač

Rad je nula, kada je barem jedan od multiplikatora nula. Odavde su korijeni. U zaključku, analizirat ćemo nekoliko takvih jednadžbi:

Zadatak. Kvadratne kvadratne jednadžbe:

1. x 2 - 7x \u003d 0;
2. 5x 2 + 30 \u003d 0;
3. 4x 2 - 9 \u003d 0.

x 2 - 7x \u003d 0 ⇒ X · (X - 7) \u003d 0 ⇒ X 1 \u003d 0; X 2 \u003d - (- 7) / 1 \u003d 7.

5x 2 + 30 \u003d 0 ⇒ 5x 2 \u003d -30 ⇒ X 2 \u003d -6. Nema korijena, jer Kvadrat ne može biti jednak negativnom broju.

4x 2 - 9 \u003d 0 ⇒ 4x 2 \u003d 9 ⇒ X 2 \u003d 9/4 ⇒ X 1 \u003d 3/2 \u003d 1,5; x 2 \u003d -1.5.

U nastavku tema "Odluka jednadžbi", materijal ovog članka će vas upoznati s kvadratnim jednadžbama.

Razmotrite sve u detaljima: bit i zapis o kvadratnoj jednadžbi, postavite prateći uvjete, analizirat ćemo shemu za rješenje nepotpunih i potpunih jednadžbi, upoznavanje s formulom korijena i diskriminantnog, uspostaviti veze između korijena i koeficijenata, I naravno damo vizualno rješenje praktičnih primjera.

Yandex.rtB r-a-339285-1

Kvadratna jednadžba, njegovi tipovi

Definicija 1.

Kvadratna jednadžba - Ovo je jednadžba zabilježena kao a · x 2 + b · x + c \u003d 0gdje X. - varijabla, a, b i C. - Neki brojevi, dok a.nema nule.

Često su kvadratne jednadžbe također nose naziv jednadžbi drugog stupnja, jer u stvari postoji kvadratna jednadžba algebarska jednadžba drugi stupanj.

Dajemo primjer da ilustrira određenu definiciju: 9 · x 2 + 16 · x + 2 \u003d 0; 7, 5 · x 2 + 3, 1 x + 0, 11 \u003d 0, itd. - To su kvadratne jednadžbe.

Definicija 2.

Brojevi A, B i C. - To su koeficijenti kvadratne jednadžbe a · x 2 + b · x + c \u003d 0, s koeficijentom A. Zove se prvi, ili stariji ili koeficijent na X2, B - drugi koeficijent ili koeficijent kada X., ali C. Pozovite slobodan član.

Na primjer, u kvadratnoj jednadžbi 6 · x 2 - 2 · x - 11 \u003d 0 Viši koeficijent je 6, drugi koeficijent je − 2 i slobodan član je jednak − 11 , Obratite pozornost na činjenicu da kada su koeficijenti B.i / ili c su negativni, zatim se koristi kratak oblik snimke prikaza. 6 · x 2 - 2 · x - 11 \u003d 0, ali ne 6 · x 2 + (- 2) · x + (- 11) \u003d 0.

Također razjašnjavate ovaj aspekt: \u200b\u200bako koeficijenti A. i / ili B. jednak 1 ili − 1 , zatim eksplicitno sudjelovanje u snimanju kvadratne jednadžbe, ne smiju se uzeti, što se objašnjava značajkama zapisa ovih numeričkih koeficijenata. Na primjer, u kvadratnoj jednadžbi Y 2 - Y + 7 \u003d 0 Viši koeficijent je 1, a drugi koeficijent je − 1 .

Određene i neoženjene kvadratne jednadžbe

Prema vrijednosti prvog koeficijenta, kvadratne jednadžbe su podijeljene na gore i neplaćeni.

Definicija 3.

Smanjena kvadratna jednadžba - Ovo je kvadratna jednadžba gdje je stariji koeficijent jednak 1. Za druge vrijednosti starije koeficijente, kvadratna jednadžba nije nevažeća.

Dajemo primjere: kvadratne jednadžbe x 2 - 4 · x + 3 \u003d 0, x 2 - x - 4 5 \u003d 0 prikazani su u svakom od kojih je stariji koeficijent 1.

9 · x 2 - x - 2 \u003d 0 - integralna kvadratna jednadžba, gdje se prvi koeficijent razlikuje od 1 .

Bilo koja neprobavljena kvadratna jednadžba je moguće pretvoriti u određenu jednadžbu ako je podijeljena s oba dijela na prvi koeficijent (ekvivalentna transformacija). Transformirana jednadžba imat će iste korijene kao navedenu inteligentnu jednadžbu ili da uopće nema korijene.

Razmatranje određenog primjera omogućit će nam da jasno pokažemo prijelaz iz integralne kvadratne jednadžbe na danu.

Primjer 1.

Jednadžba je postavljena 6 · x 2 + 18 · x - 7 \u003d 0 . Potrebno je pretvoriti početnu jednadžbu u gornji obrazac.

Odluka

Shema navedenog gore odvojena je oba dijela početne jednadžbe na višoj koeficijentu 6. Onda dobivamo: (6 · x 2 + 18 · x - 7): 3 \u003d 0: 3I to je isto kao: (6 · x 2): 3 + (18 · x): 3 - 7: 3 \u003d 0 I dalje: (6: 6) · x 2 + (18: 6) · x - 7: 6 \u003d 0. Odavde: x 2 + 3 · x - 1 1 6 \u003d 0. Dakle, smatra se da je jednadžba navedena.

Odgovor: x 2 + 3 · x - 1 1 6 \u003d 0.

Potpune i nepotpune kvadratne jednadžbe

Okrenite se definiciji kvadratne jednadžbe. U njemu smo to pojasnili A ≠ 0., Takvo stanje je potrebno za jednadžbu a · x 2 + b · x + c \u003d 0 bio je točno kvadrat jer a \u003d 0 U suštini se pretvara u linearnu jednadžbu b · x + c \u003d 0.

U slučaju kada su koeficijenti B. i C.jednaka nuli (što je moguće, pojedinačno i zajedno), kvadratna jednadžba naziva se nepotpuna.

Definicija 4.

Nepotpuna kvadratna jednadžba - takva kvadratna jednadžba a · x 2 + b · x + c \u003d 0,gdje barem jedan od koeficijenata B.i C.(ili oboje) je nula.

Potpuna kvadratna jednadžba - kvadratna jednadžba u kojoj svi numerički koeficijenti nisu nula.

Prepuštamo se zašto su vrste kvadratnih jednadžbi dati točno imena.

Za B \u003d 0 kvadratna jednadžba zauzima pogled A · x 2 + 0 · x + c \u003d 0da je to ista stvar a · x 2 + c \u003d 0, Za C \u003d 0. Kvadratna jednadžba je zabilježena kao a · x 2 + b · x + 0 \u003d 0To je ekvivalentno a · x 2 + b · x \u003d 0, Za B \u003d 0. i C \u003d 0. Jednadžba će polagati pogled a · x 2 \u003d 0, Jednadžbe koje smo primili razlikuju se od pune kvadratne jednadžbe u tome što njihovi lijevi dijelovi nisu sadržani ili komponenta iz X varijabla ili slobodnog člana ili odjednom odjednom. Zapravo, ta činjenica je postavljena ime takve vrste jednadžbi - nepotpuna.

Na primjer, X2 + 3 · X + 4 \u003d 0 i - 7 · x 2 - 2 · X + 1, 3 \u003d 0 su kompletne kvadratne jednadžbe; X 2 \u003d 0, - 5 · x 2 \u003d 0; 11 · x 2 + 2 \u003d 0, - x 2 - 6 · x \u003d 0 - nepotpune kvadratne jednadžbe.

Odluka nepotpunih kvadratnih jednadžbi

Gornja definicija omogućuje razlikovanje sljedećih vrsta nepotpunih kvadratnih jednadžbi:

• a · x 2 \u003d 0, ova jednadžba odgovara koeficijentima B \u003d 0. i c \u003d 0;
• a · X2 + C \u003d 0 za B \u003d 0;
• a · X2 + B · X \u003d 0 na c \u003d 0.

Razmotrite odluku svake vrste nepotpune kvadratne jednadžbe.

Rješenje jednadžbe A · X 2 \u003d 0

Kao što je gore spomenuto, jednadžba odgovara koeficijentima B. i C.jednaka nuli. Jednadžba a · x 2 \u003d 0 Moguće je pretvoriti jednadžbu na ekvivalentno x 2 \u003d 0koju dobivamo, dijelimo oba dijela izvorne jednadžbe za broj A.nije jednaka nuli. Očita činjenica da je korijen jednadžbe x 2 \u003d 0 Ovo je nula jer 0 2 = 0 , Ostali korijeni, ova jednadžba nema, što je objašnjeno svojstvima stupnja: za bilo koji broj p,nije jednaka nuli, vjerna nejednakost P 2\u003e 0što slijedi kada P ≠ 0. jednakost P 2 \u003d 0nikada neće biti postignut.

Definicija 5.

Dakle, za nepotpunu kvadratnu jednadžbu A · x 2 \u003d 0 postoji jedini korijen x \u003d 0..

Primjer 2.

Na primjer, riješimo nepotpunu kvadratnu jednadžbu - 3 · x 2 \u003d 0, Ekvivalent je jednadžbi x 2 \u003d 0, njegov jedini korijen je x \u003d 0., Onda početna jednadžba ima jedini korijen - nula.

Ukratko se odluka čini tako:

- 3 · x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.

Otopina jednadžbe A · x 2 + c \u003d 0

Na redu - rješenje nepotpunih kvadratnih jednadžbi, gdje je B \u003d 0, c ≠ 0, to jest, jednadžbama oblika a · x 2 + c \u003d 0, Mi transformiramo ovu jednadžbu provodimo pojam iz jednog dijela jednadžbe u drugi, mijenjajući znak na suprotno i dijeljenje oba dijela jednadžbe na broj, koji nije jednak nuli:

• prijenos C. u pravom dijelu, koji daje jednadžbu A · x 2 \u003d - c;
• podijelimo oba dijela jednadžbe A., Dobivam na kraju X \u003d - C a.

Naše transformacije su ekvivalentne, odnosno, dobivena jednadžba je također ekvivalentna izvoru, a ta činjenica omogućuje zaključivanje korijena jednadžbe. Od kojih su značenja A. i C.vrijednost izraza ovisi - C O: Može imati minus znak (recimo ako a \u003d 1. i C \u003d 2., zatim - C a \u003d - 2 1 \u003d - 2) ili znak plus (na primjer, ako A \u003d - 2 i C \u003d 6., zatim - C a \u003d - 6 - 2 \u003d 3); Nije nula jer C ≠ 0., Neka nas prebivamo detaljnije u situacijama kada - c a< 0 и - c a > 0 .

U slučaju kada - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа P. Jednakost P 2 \u003d - C ne može biti istinita.

Sve u suprotnosti, kada - c a\u003e 0: prisjetiti se kvadratnog korijena, i to će biti očito da je jednadžba x 2 \u003d - C a će biti broj - C a, od - C a 2 \u003d - c a. Nije teško shvatiti da je broj - C a je također korijen jednadžbe x 2 \u003d - c a: doista, - - C a 2 \u003d - c a.

Ostale jednadžba korijena neće imati. Možemo to pokazati pomoću gadne metode. Za početak, postavite oznake iznad korijena kao x 1 i - x 1., Predlažet ću da jednadžba x 2 \u003d - C a je također korijen x 2koji se razlikuje od korijena x 1 i - x 1., Znamo da umjesto toga zamjenjuje jednadžbu X. Njezini korijeni, transformiramo jednadžbu u fer numeričku jednakost.

Za x 1 i - x 1. Pišemo: X 1 2 \u003d - C a i za x 2 - x 2 2 \u003d - C a. Oslanjajući se na svojstva numeričkih jednakosti, prepunite jednu pravu jednakost od drugog, što će nam dati: x 1 2 - x 2 2 \u003d 0, Koristite svojstva akcija s brojevima za prepisivanje najnovije jednakosti kao (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) \u003d 0, Poznato je da je rad dva broja je nula i samo ako je barem jedan od brojeva nula. Iz rečeno da slijedi to x 1 - x 2 \u003d 0 i / ili x 1 + x 2 \u003d 0da je ista stvar x 2 \u003d x 1 i / ili x 2 \u003d - x 1, Bilo je očigledne kontradikcije, jer je u početku dogovoreno da je korijen jednadžbe x 2 razlikuje se od x 1 i - x 1., Dakle, dokazali smo da jednadžba nema druge korijene, osim X \u003d - C a i X \u003d - - c a.

Sažimamo sve razmišljanje gore.

Definicija 6.

Nepotpuna kvadratna jednadžba a · x 2 + c \u003d 0 ekvivalentno jednadžbi x 2 \u003d - C a, koji:

• neće imati korijene kada - c a< 0 ;
• bit će dva korijena x \u003d - C a i x \u003d - - c a s - c a\u003e 0.

Dajemo primjere rješavanja jednadžbi a · x 2 + c \u003d 0.

Primjer 3.

Navedena je kvadratna jednadžba 9 · x 2 + 7 \u003d 0.Potrebno je pronaći njegovu odluku.

Odluka

Mi prenosimo slobodan član u desni dio jednadžbe, a zatim jednadžba će uzeti oblik 9 · x 2 \u003d - 7.
Podijelimo oba dijela dobivene jednadžbe 9 , dođite na x 2 \u003d - 7 9. U desnom dijelu vidimo broj s minus znakom, što znači: određena jednadžba nema korijena. Zatim izvorna nepotpuna kvadratna jednadžba 9 · x 2 + 7 \u003d 0 Neće imati korijene.

Odgovor: jednadžba 9 · x 2 + 7 \u003d 0nema korijena.

Primjer 4.

Potrebno je riješiti jednadžbu - x 2 + 36 \u003d 0.

Odluka

Premještamo 36 na desnu stranu: - x 2 \u003d - 36.
Podijelili smo oba dijela − 1 , dobiti x 2 \u003d 36, U desnom dijelu - pozitivan broj, odavde možemo zaključiti x \u003d 36 ili X \u003d - 36.
Uklonite korijen i zapišite konačni rezultat: nepotpuna kvadratna jednadžba - x 2 + 36 \u003d 0 Ima dva korijena x \u003d 6. ili x \u003d - 6.

Odgovor: x \u003d 6. ili x \u003d - 6.

Otopina jednadžbe a · x 2 + b · x \u003d 0

Ispitat ćemo treću vrstu nepotpunih kvadratnih jednadžbi kada C \u003d 0., Pronaći odluku nepotpune kvadratne jednadžbe a · x 2 + b · x \u003d 0, Koristimo metodu razgradnje na množiteljima. Proširila se na množitelja polinoma, koji je u lijevom dijelu jednadžbe, izradom općeg multiplikatora za zagrade X., Ovaj korak će pružiti priliku da pretvori izvorno nepotpunu kvadratnu jednadžbu na ekvivalent x · (a · x + b) \u003d 0, I ta jednadžba, zauzvrat, ekvivalentna ukupnosti jednadžbi x \u003d 0. i A · x + b \u003d 0, Jednadžba A · x + b \u003d 0 Linearni i njegov korijen: x \u003d - b a.

Definicija 7.

Dakle, nepotpuna kvadratna jednadžba a · x 2 + b · x \u003d 0 će imati dva korijena x \u003d 0. i x \u003d - b a.

Pričvrstite materijal primjerom.

Primjer 5.

Potrebno je pronaći otopinu jednadžbe 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x \u003d 0.

Odluka

Let's vodimo X. Za zagrade i dobivanje jednadžbe x · 2 3 · x - 2 2 7 \u003d 0. Ova jednadžba je jednaka jednadžbama x \u003d 0. i 2 3 · x - 2 2 7 \u003d 0. Sada je potrebno riješiti dobivenu linearnu jednadžbu: 2 3 · x \u003d 2 2 7, x \u003d 2 2 7 2 2 3.

Ukratko rješavanje jednadžbe za pisanje na ovaj način:

2 3 · x 2 - 2 2 7 · x \u003d 0 x · 2 3 · x - 2 2 7 \u003d 0

x \u003d 0 ili 2 3 · x - 2 2 7 \u003d 0

x \u003d 0 ili x \u003d 3 3 7

Odgovor: X \u003d 0, X \u003d 3 3 7.

Diskriminantna, korijena formule kvadratne jednadžbe

Da biste pronašli rješenje kvadratnih jednadžbi, postoji formula za korijenje:

Definicija 8.

x \u003d - B ± D 2 · A gdje D \u003d b 2 - 4 · c - takozvani diskriminant kvadratne jednadžbe.

Snimanje X \u003d - B ± D 2 · A u suštini znači da X1 \u003d - B + D 2 · A, X 2 \u003d - B - D 2 · a.

Bit će korisno razumjeti kako je izvedena specificirana formula i kako ga primijeniti.

Izlaz korijena kvadratne jednadžbe

Biti izazvani rješavanju kvadratne jednadžbe a · x 2 + b · x + c \u003d 0, Obaviti brojne ekvivalentne transformacije:

• podijelili smo oba dijela jednadžbe za broj a.Osim nule, dobivamo smanjenu kvadratnu jednadžbu: x 2 + b a · X + C a \u003d 0;
• označavamo cijeli kvadrat na lijevoj strani primljene jednadžbe:
  X2 + BA · X + CA \u003d X 2 + 2 · B 2 · A · X + B2 · A 2 - B2 · A 2 + CA \u003d X + B 2 · A 2 - B 2 · A 2 + CA ,
  Nakon toga, jednadžba će se oblikovati: X + B2 · A 2 - B2 · A2 + C a \u003d 0;
• sada je moguće napraviti prijenos posljednje dvije pojmove u desnu stranu, mijenjajući znak na suprotno, nakon čega dobivamo: X + B2 · a 2 \u003d B2 · a 2 - C a;
• konačno, transformiramo izraz zabilježen na desnoj strani posljednje jednakosti:
  B2 · A 2 - C a \u003d 4 · A 2 - C a \u003d B2 4 · A 2 - 4 · A · C 4 · A 2 \u003d B 2 - 4 · C 4 · A 2.

Dakle, došli smo do jednadžbe X + B2 · A 2 \u003d B2 - 4 · A · C 4 · 2, ekvivalentna izvorna jednadžba a · x 2 + b · x + c \u003d 0.

Shvatili smo rješenje takvih jednadžbi u prethodnim paragrafima (odluka nepotpunih kvadratnih jednadžbi). Doživljaj je moguće zaključiti o korijenima jednadžbe X + B2 · A 2 \u003d B 2 - 4 · C 4 · A 2:

• na b2 - 4 · · c 4 · a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• za B2 - 4 · · C 4 \u003d 0, jednadžba ima oblik X + B2 · a 2 \u003d 0, zatim X + B 2 · A \u003d 0.

Stoga je jedini korijen X \u003d - B 2 · A je očigledan;

• za B2 - 4 · A · C 4 · A 2\u003e 0, to će biti točno: X + B 2 · A \u003d B2 - 4 · A · C 4 · A 2 ili X \u003d B2 · A - B2 - 4 · C 4 · A2, koji je isti kao X + - B2 · A \u003d B2 - 4 · A · C 4 · A 2 ili X \u003d - B2 · A-B 2 - 4 · A · c 4 · a 2, tj. Jednadžba ima dva korijena.

Moguće je zaključiti da prisutnost ili odsutnost korijena jednadžbe X + B2 · A 2 \u003d B2 - 4 · A · C 4 · A 2 (i stoga početna jednadžba) ovisi o znaku ekspresije B 2 - 4 · · C 4 · a 2, snimljena na desnoj strani. I znak ovog izraza postavljen je brojem broja brojeva (denominator) 4 · A 2 uvijek će biti pozitivan), to jest, znak izražavanja B 2 - 4 · · c, Ovaj izraz B 2 - 4 · · c Ime je diskriminant kvadratne evakuacije i definira se kao njegova oznaka slova D. Ovdje možete zabilježiti suštinu diskriminantnog - po svojoj vrijednosti i znak se zaključuje da li će kvadratna jednadžba imati valjane korijene, a ako je to, koji je broj korijena - jedan ili dva.

Povratak na jednadžbu X + B2 · A 2 \u003d B2 - 4 · A · C 4 · A 2. Prepravljam ga pomoću diskriminacijske oznake: X + B 2 · A 2 \u003d D 4 · A 2.

Ponovno ćemo formulirati zaključke:

Definicija 9.

• za D.< 0 Jednadžba nema valjane korijene;
• za D \u003d 0. Jednadžba ima jedini korijen X \u003d - B2 · a;
• za D\u003e 0 Jednadžba ima dva korijena: X \u003d - B2 · A + D 4 · A 2 ili X \u003d - B 2 · A - D 4 · A 2. Ovi korijeni na temelju svojstava radikala mogu se napisati u obliku: X \u003d - B2 · A + D 2 · A ili - B 2 · A - D 2 · a. A kada otkrijemo module i dali frakcije zajedničkim nazivnicu, dobivamo: X \u003d - B + D 2 · A, X \u003d - B - D 2 · a.

Dakle, rezultat našeg razmišljanja bio je uklanjanje formule korijena kvadratne jednadžbe:

x \u003d - B + D 2 · A, X \u003d - B - D 2 · Diskriminant D. Izračunate formulom D \u003d b 2 - 4 · c.

Ove formule omogućuju da je diskriminirana veća za određivanje valjanih korijena. Kada je diskriminant nula, upotreba oba formula će dati isti korijen kao jedinu otopinu kvadratne jednadžbe. U slučaju kada je diskriminant negativan, pokušavajući iskoristiti korijenu formule kvadratne jednadžbe, suočit ćemo se s potrebom za uklanjanjem kvadratnog korijena s negativnog broja, koji će nas odvesti izvan stvarnih brojeva. S negativnim diskriminacijom, kvadratna jednadžba neće biti valjana korijena, ali par sveobuhvatno konjugiranih korijena, određenih istim korijenskim formulama dobivenim od nas je moguć.

Algoritam za rješavanje kvadratnih jednadžbi na korijenskim formulama

Moguće je riješiti kvadratnu jednadžbu, odmah biciklirati formulu korijena, ali u osnovi to čine, ako je potrebno, pronađe složene korijene.

U glavnoj masi slučajeva obično se podrazumijeva za potragu za ne-složenim, ali valjanim korijenima kvadratne jednadžbe. Zatim optimalno prije korištenja formula korijena kvadratne jednadžbe, najprije odredite diskriminant i pobrinite se da to nije negativno (inače zaključujemo da jednadžba nema valjane korijene), a zatim nastavite na izračunavanje vrijednosti korijena.

Gore navedeni argumenti pružaju sposobnost formuliranja algoritma za rješavanje kvadratne jednadžbe.

Definicija 10.

Za rješavanje kvadratne jednadžbe a · x 2 + b · x + c \u003d 0, nužno je:

• prema formuli D \u003d b 2 - 4 · c pronaći vrijednost diskriminatora;
• s D.< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• na d \u003d 0 pronađite jedini korijen jednadžbe prema formuli X \u003d - B2 · a;
• za d\u003e 0 odrediti dva valjana korijena kvadratne jednadžbe u skladu s formulom X \u003d - B ± D2 · a.

Imajte na umu da kada je diskriminant nula, možete koristiti formulu X \u003d - B ± D 2 · A, dat će isti rezultat kao i formula X \u003d - B2 · a.

Razmotrite primjere.

Primjeri otopina kvadratnih jednadžbi

Dajemo rješenje primjera kada različite vrijednosti diskriminirajući.

Primjer 6.

Potrebno je pronaći korijene jednadžbe x 2 + 2 · x - 6 \u003d 0.

Odluka

Pišemo koeficijente broja kvadratne jednadžbe: a \u003d 1, b \u003d 2 i C \u003d - 6, Zatim se ponašamo na algoritmu, tj. Nastavit ćemo izračunati diskriminant, za koji ćemo zamijeniti koeficijente a, b i C. U formuli diskriminacije: D \u003d B2 - 4 · A · C \u003d 2 - 4 · 1 · (- 6) \u003d 4 + 24 \u003d 28.

Dakle, dobili smo d\u003e 0, a to znači da će početna jednadžba imati dva valjana korijena.
Da bismo ih pronašli, koristimo korijensku formulu X \u003d - B ± D 2 · A i, zamjenjujući odgovarajuće vrijednosti, dobivamo: X \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Pojednostavljujemo nastali izraz, stvarajući množitelj za korijenski znak, nakon čega slijedi rezanje frakcije:

x \u003d - 2 ± 2 · 7 2

x \u003d - 2 + 2 · 7 2 ili X \u003d - 2 - 2 · 7 2 2

x \u003d - 1 + 7 ili X \u003d - 1 - 7

Odgovor: X \u003d - 1 + 7, X \u003d - 1 - 7.

Primjer 7.

Potrebno je riješiti kvadratnu jednadžbu - 4 · x 2 + 28 · x - 49 \u003d 0.

Odluka

Odrediti diskriminant: D \u003d 28 2 - 4 · (- 4) · (- 49) \u003d 784 - 784 \u003d 0, S ovom diskriminantnom vrijednošću, početna jednadžba imat će samo jedan korijen definiran formulom X \u003d - B 2 · a.

x \u003d - 28 2 · (- 4) x \u003d 3, 5

Odgovor: x \u003d 3, 5.

Primjer 8.

Potrebno je riješiti jednadžbu 5 · Y 2 + 6 · Y + 2 \u003d 0

Odluka

Numerički koeficijenti ove jednadžbe bit će: A \u003d 5, B \u003d 6 i C \u003d 2. Koristimo te vrijednosti kako bismo pronašli diskriminaciju: d \u003d B2 - 4 · A · C \u003d 6 - 4 · 5 · 2 \u003d 36 - 40 \u003d - 4. Izračunati diskriminant je negativan, dakle, početna kvadratna jednadžba nema valjane korijene.

U slučaju kada je zadatak odrediti složene korijene, primijeniti korijensku formulu, obavljanje radnji sa složenim brojevima:

x \u003d - 6 ± - 4 2,5,

x \u003d - 6 + 2 · i 10 ili x \u003d - 6 - 2 · i 10,

x \u003d - 3 5 + 1 5 · I ili X \u003d - 3 5 - 1 5 · ja.

Odgovor: Nema valjanih korijena; Složeni korijeni su sljedeći: - 3 5 + 1 5 · I, - 3 5 - 1 5 · I.

U Školski program Standardno ne postoji zahtjev za traženje složenih korijena, pa ako je tijekom rješenja diskriminant definiran kao negativan, odgovor je odmah zabilježen da nema valjanih korijena.

Korijeni formule za čak i drugi koeficijenti

Formula korijena X \u003d - B ± D 2 · A (D \u003d B2 - 4 · A · C) omogućuje dobivanje druge formule, više kompaktnije, omogućujući pronalaženje otopina kvadratnih jednadžbi s čak i koeficijent na X (ili s koeficijentom tipa 2 · N, na primjer, 2,3 ili 14 · lN 5 \u003d 2 · 7 · lN 5). Pokazujemo kako se prikazuje ova formula.

Budimo zadatak pronalaženja rješenja kvadratne jednadžbe A · X2 + 2 · X + C \u003d 0. Djelujemo na algoritmu: Odredite diskriminantni D \u003d (2 · N) 2 - 4 · A · C \u003d 4 - 4 · A · C \u003d 4 · (N 2 - A · C), a zatim upotrijebite korijenska formula:

x \u003d - 2 · N ± D 2 · a, X \u003d - 2 · N ± 4 · N2 - a · C2 · A, X \u003d - 2 · N ± 2 N 2 - A · C2 · A, X \u003d - n ± n 2 - a · ca.

Dopustite da je ekspresija N2 - a · C označen kao D1 (ponekad d "). Zatim se formula korijena kvadratne jednadžbe razmatranje s drugim koeficijent 2 · n će se oblikovati:

x \u003d - N ± D 1 A, gdje D1 \u003d N 2 - A · c.

Lako je vidjeti da je D \u003d 4 · D1 ili D 1 \u003d D 4. Drugim riječima, D1 je četvrtina diskriminatora. Očito je da je znak D 1 isti kao znak D, što znači da znak D1 može poslužiti kao pokazatelj prisutnosti ili odsutnosti korijena kvadratne jednadžbe.

Definicija 11.

Dakle, pronaći otopinu kvadratne jednadžbe s drugim koeficijentom 2 · n, potrebno je:

• pronaći d 1 \u003d n 2 - a · c;
• s d 1.< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• za d 1 \u003d 0, odrediti jedini korijen jednadžbe prema formuli X \u003d - N a;
• za D1\u003e 0 odredite dva valjana korijena u skladu s formulom X \u003d - N ± D 1 a.

Primjer 9.

Potrebno je riješiti kvadratnu jednadžbu 5 · x 2 - 6 x - 32 \u003d 0.

Odluka

Drugi koeficijent određene jednadžbe može biti predstavljen kao 2 · (- 3). Zatim prepišite navedenu kvadratnu jednadžbu kao 5 · x 2 + 2 · (- 3) · X - 32 \u003d 0, gdje A \u003d 5, N \u003d - 3 i C \u003d - 32.

Izračunavamo četvrti dio diskriminacije: D 1 \u003d N2 - a · C \u003d (- 3) 2 - 5 · (- 32) \u003d 9 + 160 \u003d 169. Vrijednost dobivena pozitivno, to znači da jednadžba ima dva valjana korijena. Definiramo ih prema odgovarajućoj korijenskoj formuli:

x \u003d - N ± D 1 A, X \u003d - - 3 ± 169 5, X \u003d 3 ± 13 5,

x \u003d 3 + 13 5 ili x \u003d 3 - 13 5

x \u003d 3 1 5 ili x \u003d - 2

Bilo bi moguće napraviti izračune i uobičajenu formulu korijena kvadratne jednadžbe, ali u ovom slučaju rješenje bi bilo više glomaznije.

Odgovor: x \u003d 3 1 5 ili x \u003d - 2.

Pojednostavljenje vrsta kvadratnih jednadžbi

Ponekad je moguće optimizirati vrstu izvorne jednadžbe koja će pojednostaviti proces izračuna korijena.

Na primjer, kvadratna jednadžba 12 · x 2 - 4 · x - 7 \u003d 0 je očito prikladnije za rješavanje od 1200 · x 2 - 400 · x - 700 \u003d 0.

Češće pojednostavljenje vrste kvadratne jednadžbe obavlja se mnoštvom ili podjelom svojih dijelova u neku vrstu broja. Na primjer, pokazali smo pojednostavljeni zapis o jednadžbi 1200 · x 2 - 400 · x - 700 \u003d 0, dobiveni dijeljenjem oba dijela za 100.

Takva konverzija je moguća kada koeficijenti kvadratne jednadžbe nisu međusobno jednostavni brojevi. Zatim obično dijele oba dijela jednadžbe s najvećim generalni divisor apsolutne vrijednosti njegovih koeficijenata.

Kao primjer, koristite kvadratnu jednadžbu 12 · x 2 - 42 · x + 48 \u003d 0. Određujemo čvor apsolutnih vrijednosti svojih koeficijenata: čvorovi (12, 42, 48) \u003d čvor (čvor (12, 42), 48) \u003d čvor (6, 48) \u003d 6. Mi ćemo podijeliti dva dijela izvorne kvadratne jednadžbe do 6 i dobivamo ekvivalentnu kvadratnu jednadžbu 2 · x 2 - 7 · x + 8 \u003d 0.

Razmnožavanje oba dijela kvadratne jednadžbe obično se riješiti frakcijskih koeficijenata. U isto vrijeme pomnoženo s najmanjim generalnim višestrukim nazivnim koeficijentima. Na primjer, ako je svaki dio kvadratne jednadžbe 1 6 · x 2 + 2 3 · x - 3 \u003d 0 pomnoženo s NOC (6, 3, 1) \u003d 6, tada će se zabilježiti u više jednostavan prizor x 2 + 4 · x - 18 \u003d 0.

Naposljetku, napominjemo da se gotovo uvijek dobije osloboditi od minusa na prvom koeficijentu kvadratne jednadžbe, mijenjajući znakove svakog člana jednadžbe, koji se postiže množenjem (ili podjela) oba dijela 1. Na primjer, s kvadratne jednadžbe - 2 · x 2 - 3 · x + 7 \u003d 0, možete otići na pojednostavljenu verziju 2 · x 2 + 3 · x - 7 \u003d 0.

Komunikacija između korijena i koeficijenata

Formula korijena kvadratnih jednadžbi X \u003d - B ± D 2 · Već poznat nama izražava korijenje jednadžbe kroz numeričke koeficijente. Oslanjajući se na ovu formulu, imamo priliku postaviti druge ovisnosti između korijena i koeficijenata.

Najpoznatiji i primjenjiviji su formule teorema Vieta:

x 1 + X 2 \u003d - B A i X 2 \u003d C a.

Konkretno, za smanjenu kvadratnu jednadžbu, količina korijena je drugi koeficijent s suprotnim znakom, a proizvod korijena je besplatan. Na primjer, prema vrsti kvadratne jednadžbe 3 · x 2 - 7 · x + 22 \u003d 0, moguće je odmah odrediti da je zbroj njegovih korijena 7 3, a proizvod korijena je 22 3.

Također možete pronaći niz drugih veza između korijena i koeficijenata kvadratne jednadžbe. Na primjer, zbroj kvadrata korijena kvadratne jednadžbe može se izraziti kroz koeficijente:

x 1 2 + X 2 2 \u003d (X 1 + X 2) 2 - 2 · X 1 · x 2 \u003d - BA 2 - 2 · CA \u003d B 2 A 2 - 2 · CA \u003d B 2 - 2 · A · CA 2.

Ako primijetite pogrešku u tekstu, odaberite ga i pritisnite Ctrl + Enter

U modernom društvu, sposobnost obavljanja radnji s jednadžbama koje sadrže varijablu koja se podiže na trg može biti korisna u mnogim područjima djelovanja i široko se koristi u praksi u znanstvenim i tehničkim razvojima. Dokazi o tome mogu služiti dizajnu morskih i riječnih plovila, zrakoplova i raketa. S takvim izračunima, trajektorije premještanja najviše drugačiji tel, uključujući prostorne objekte. Primjeri s otopinom kvadratnih jednadžbi koriste se ne samo u ekonomskoj prognozi, u dizajnu i izgradnji zgrada, nego iu najnižnim svakodnevnim okolnostima. Mogu biti potrebni u turističkim kampanjama, u sportu, u trgovačkim dućanima iu drugim vrlo uobičajenim situacijama.

Izrežili smo izraz na komponentama multiplikatora

Određuje se stupanj jednadžbe maksimalna vrijednost Stupanj varijable koju ovaj izraz sadrži. U slučaju da je 2, tada se takva jednadžba samo zove kvadrat.

Ako jezik formula izražava, tada naznačenih izraza, bez obzira na to kako izgledaju, uvijek mogu biti uzrokovani obrascem kada se lijevi dio izraza sastoji od tri termina. Među njima: AX 2 (to jest, varijabla podignuta na kvadrat sa svojim koeficijentom), BX (nepoznat bez kvadrata sa svojim koeficijentom) i C (slobodna komponenta, koja je normalan broj). Sve to na desnoj strani jednaka je 0. U slučaju kada ne postoji ni jedan od njegovih komponenti pojmova, s iznimkom AX 2, naziva se nepotpuna kvadratna jednadžba. Primjeri s rješavanjem takvih zadataka, vrijednost varijabli u kojima je lako pronaći, treba razmotriti prvo.

Ako se izraz pojavljuje u obliku izgleda na takav način da dva, točnije, AX 2 i BX, izraz na izrazu na izrazu na desnoj strani, najlakši je pronaći varijablu za zagrade. Sada će naša jednadžba izgledati ovako: x (AX + B). Zatim postaje očito da ili x \u003d 0, ili se zadatak smanjuje na pronalaženje varijable od sljedećeg izraza: AX + B \u003d 0. Određena diktirana jedna od svojstava množenja. Pravilo kaže da proizvod dvaju čimbenika daje kao rezultat 0 samo ako je jedan od njih nula.

Primjer

x \u003d 0 ili 8x - 3 \u003d 0

Kao rezultat toga, dobivamo dva korijena jednadžbe: 0 i 0,375.

Jednadžbe takve vrste mogu opisati kretanje tijela pod utjecajem gravitacije, koji je počeo kretanje od određene točke usvojen na početku koordinata. Ovdje matematički zapis ima sljedeći oblik: y \u003d v 0 t + gt 2/2. Zamjena potrebnih vrijednosti, izjednačavanje desne strane 0 i pronalaženje mogućih nepoznanica, možete saznati vrijeme prolazeći od trenutka rasta tijela do pada, kao i mnoge druge vrijednosti. Ali o tome ćemo razgovarati kasnije.

Razgradnja izraza na multiplikatorima

Gore opisano pravilo omogućuje vam da riješite navedene zadatke i više složeni slučajevi, Razmotrite primjere s rješavanjem kvadratnih jednadžbi ovog tipa.

X 2 - 33x + 200 \u003d 0

Ovaj kvadratni treslanje To je dovršeno. Za početak, transformiramo izraz i razgrađujemo ga za množitelje. Dobivaju se dva: (X-8) i (X-25) \u003d 0. Kao rezultat toga, imamo dva korijena 8 i 25.

Primjeri s rješavanjem kvadratnih jednadžbi u 9. razreda omogućuju ovu metodu da pronađe varijablu u izrazima ne samo drugi, već i treći i četvrti nalozi.

Na primjer: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 \u003d 0. Uz raspadanje desnog dijela multiplikatora s varijablom, dobiveni su tri, to jest, (X + 1), (X-3) i ( x + 3).

Kao rezultat toga, postaje očito da ova jednadžba ima tri korijena: -3; -jedan; 3.

Ekstrakt kvadratnog korijena

Drugi slučaj nepotpuna jednadžba Drugi nalog je izraz, na jeziku slova predstavljenih na takav način da je desna strana izgrađena od komponenti AX 2 i C. Ovdje, za vrijednost varijable, slobodni član se prenosi na desna stranaI zatim kvadratni korijen se ekstrahira iz oba dijela jednakosti. Pozornost treba platiti kao u ovaj slučaj Korijeni jednadžbe obično su dva. Iznimka može biti jednaka jednakosti, općenito ne sadrži pojam C, gdje je varijabla nula, kao i opcije za izraze, kada se ispostavi da je desna strana negativna. U potonjem slučaju, rješenja uopće ne postoje, budući da se gore navedena radnja ne može proizvesti s korijenima. Primjeri otopina kvadratnih jednadžbi ovog tipa moraju se uzeti u obzir.

U ovom slučaju, korijeni jednadžbe će biti -4 i 4.

Izračun zemljišne parcele

Potreba za takvim izračunima pojavila se u dubokoj antici, jer je razvoj matematike u mnogim aspektima u tim udaljenim vremenima bio zbog potrebe za određivanjem najtočnijeg područja i perimetra kopnenih parcela.

Primjeri s rješavanjem kvadratnih jednadžbi sastavljenih na temelju zadataka ove vrste trebala bi biti razmotriti nam.

Dakle, recimo da postoji pravokutna zemljište, od čega je udaljena 16 metara više od širine. Trebalo bi se naći duljina, širina i obod stranice, ako je poznato da je njegovo područje jednako 612 m 2.

Pokretanje stvar, prvo napravite potrebnu jednadžbu. Označite X širinu web-lokacije, a zatim će biti duljina (X + 16). Od pisanog slijedi da je područje određeno izrazom X (X + 16), koji je, prema stanju našeg problema, 612. godine. To znači da X (X + 16) \u003d 612.

Otopina kompletnih kvadratnih jednadžbi, i ovaj izraz je upravo takva, ne može se provesti na isti način. Zašto? Iako lijeva strana još uvijek sadrži dva čimbenika, proizvod uopće nije jednak 0, tako da se ovdje koriste druge metode.

Diskriminirajući

Prije svega, mi ćemo proizvesti potrebnu konverziju, onda će izgled ovog izraza izgledati ovako: x 2 + 16x - 612 \u003d 0. To znači da smo dobili izraz u obliku koji odgovara prethodno navedenom standardu, gdje je a \u003d 1, b \u003d 16, c \u003d -612.

To može biti primjer rješavanja kvadratnih jednadžbi kroz diskriminaciju. Ovdje su potrebni izračuni izvršeni prema shemi: d \u003d b 2 - 4ac. Ova pomoćna vrijednost ne čini samo moguće pronaći željene vrijednosti u jednadžbi drugog reda, ona određuje broj mogućih opcija. U slučaju D\u003e 0, postoje dva; Kada d \u003d 0 postoji jedan korijen. U slučaju d<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

O korijenima i njihovoj formuli

U našem slučaju, diskriminant je: 256-4 (-612) \u003d 2704. To sugerira da postoji odgovor našeg zadatka. Ako znate, K, otopina kvadratnih jednadžbi mora se nastaviti pomoću formule ispod. To vam omogućuje da izračunate korijene.

To znači da u slučaju prikazane: x 1 \u003d 18, x 2 \u003d -34. Druga verzija u ovoj dilemi ne može biti rješenje, jer se dimenzije zemljišta ne može mjeriti u negativnim vrijednostima, to znači X (tj. Širina stranice) je 18 m. Odavde, izračunavamo duljinu: 18 + 16 \u003d 34 i perimetar 2 (34+ 18) \u003d 104 (m2).

Primjeri i ciljevi

Nastavljamo proučavati kvadratne jednadžbe. Primjeri i detaljno rješenje nekoliko njih bit će dana kasnije.

1) 15x 2 + 20x + 5 \u003d 12x 2 + 27x + 1

Sve prelazimo na lijevi dio jednakosti, napravit ćemo transformaciju, to jest, dobivamo oblik jednadžbe koja se zove standard i izjednačio ga s nulom.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 \u003d 0

Nakon preklapanja, definiramo diskriminaciju: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Dakle, naša jednadžba će imati dva korijena. Izračunavamo ih prema gornjoj formuli, što znači da je prvi od njih 4/3, a drugi.

2) Sada otkrijte zagonetke druge vrste.

Saznajte, ima li korijena ovdje x 2 - 4x + 5 \u003d 1? Da bismo dobili sveobuhvatan odgovor, dajemo polinom na odgovarajuće poznavanje i izračunavanje diskriminatora. U navedenom primjeru, otopina kvadratne jednadžbe nije potrebno, jer je bit zadatka uopće nije to. U ovom slučaju, d \u003d 16 - 20 \u003d 4, što znači da stvarno nema korijena.

Vieta teorem

Kvadratne jednadžbe se prikladno rješavaju kroz gore navedene formule i diskriminantne kada se kvadratni korijen ekstrahira iz posljednje vrijednosti. Ali to se ne događa uvijek. Međutim, postoji mnogo načina za dobivanje varijabli u ovom slučaju. Primjer: Rješenja kvadratnih jednadžbi na teoremi Vieta. Nazvana je po kojoj je živjela u XVI. Stoljeću u Francuskoj i napravila briljantnu karijeru zbog matematičkog talenta i dvorišta. Portret se može vidjeti u članku.

Uzorak koji je poznati francuski primijetio bio je sljedeći. Pokazao je da su korijeni jednadžbe u iznosu numerički jednaki -p \u003d b / a, a njihov proizvod odgovara q \u003d c / a.

Sada razmotrite određene zadatke.

3x 2 + 21x - 54 \u003d 0

Za jednostavnost transformiramo izraz:

x 2 + 7x - 18 \u003d 0

Koristimo teoremu Vieta, dat će nam sljedeće: količina korijena je -7 i njihov rad -18. Odavde dobivamo da su korijeni jednadžbe brojevi -9 i 2. Nakon što je napravio ček, pobrinite se da su te vrijednosti varijabli doista prikladne u izrazu.

Grafikon i jednadžba parabole

Koncepti Kvadratna funkcija i kvadratne jednadžbe su usko povezani. Primjeri to već su prikazani ranije. Sada malo više razmotrite neke matematičke zagonetke. Može se zamisliti svaku jednadžbu opisanog tipa. Slična ovisnost nacrtana u obliku grafikona naziva se parabola. Njezine različite vrste prikazane su na slici ispod.

Svaka parabola ima vrh, to jest, točka iz koje se izlaze njegove grane. U slučaju a 0, ostavljaju visoko u beskonačnosti i kada a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Vizualne slike funkcija pomažu u rješavanju bilo kakve jednadžbe, uključujući kvadrat. Ova metoda se naziva grafički. A vrijednost varijable X je koordinata apscisa na točkama gdje grafikon grafikona prelazi iz 0x. Koordinate vrhova mogu se naći u skladu s jedinom formulom X 0 \u003d -B / 2a. I, zamjenjujući rezultirajuću vrijednost na početnu jednadžbu funkcije, možete naučiti Y 0, odnosno druga koordinata Pedabol Vertexa koji pripada uninilnoj osi.

Prelazak grana parabole s Abscissom osi

Primjeri s otopinama kvadratnih jednadžbi su vrlo mnogo, ali postoje opći uzorci. Razmotriti ih. Jasno je da je sjecište grafikona s osi 0x na\u003e 0 mogući samo ako dobije 0 negativne vrijednosti, I za A.<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Inače d<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Prema grafikonu, parabola se može odrediti i korijenje. Također je istina. To jest, ako dobijete vizualnu sliku kvadratne funkcije nije lako, možete izjednačiti desnu stranu izraza na 0 i riješiti dobivenu jednadžbu. I znajući bodove raskrižje s 0x osi, lakše je izgraditi raspored.

Iz povijesti

Uz pomoć jednadžbi koje sadrže varijablu koja se podiže na trg, u starim danima ne samo da je napravio matematičke izračune i odredio područje geometrijskih figura. Slični izračuni drevnog bili su potrebni za velika otkrića u području fizike i astronomije, kao i kompilirati astrološke prognoze.

Kao što su sugeriraju moderne znanosti, među prvim rješenjima kvadratnih jednadžbi, stanovnici Babilona zauzeli su se. To se dogodilo u četiri stoljeća prije početka naše ere. Naravno, njihovi se izračuni u korijenu razlikovali od sada usvojenog i ispostavilo se da su mnogo primitivni. Na primjer, mezopotamski matematičari nisu imali pojma o postojanju negativnih brojeva. Stranci su također imali druge suptilnosti od onih koji poznaju bilo kojeg studenta našeg vremena.

Možda čak i raniji znanstvenici babilona, \u200b\u200brješenje kvadratnih jednadžbi, kadulja Indije Budhoyama bila je angažirana. To se dogodilo za oko osam stoljeća prije Kristove ere. Istina, jednadžba drugog reda, metode rješavanja koje je vodio bio je najsustok. Osim njega, takva pitanja su bili zainteresirani za stare i kineske matematičare. U Europi su kvadratne jednadžbe počele rješavati samo u ranom XIII. Stoljeću, ali kasnije su se koristili u svom radu kao što su veliki znanstvenici kao Newton, Descartes i mnogi drugi.