Çözüm.
Değerlerin dağılımının bir ölçüsü olarak rastgele değişken kullanılmış dağılım
Dispersiyon (dağılım kelimesi “saçılma” anlamına gelir) rastgele değişken değerlerinin dağılım ölçüsü onunla ilgili matematiksel beklenti. Dağılım, bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisinden sapmasının karesinin matematiksel beklentisidir.
Rastgele değişken sonsuz ancak sayılabilir bir değerler kümesiyle ayrıksa, o zaman
eşitliğin sağ tarafındaki seriler yakınsaksa.
Dispersiyonun özellikleri.
- 1. Sabit bir değerin varyansı sıfırdır
- 2. Rastgele değişkenlerin toplamının varyansı, varyansların toplamına eşittir
- 3. Sabit faktör kare dağılımın işaretinden çıkarılabilir
Rastgele değişkenlerin farkının varyansı, varyansların toplamına eşittir
Bu özellik ikinci ve üçüncü özelliklerin bir sonucudur. Farklılıklar yalnızca toplanabilir.
Dispersiyonun özelliklerini kullanarak kolayca elde edilebilecek bir formül kullanarak dispersiyonu hesaplamak uygundur.
Varyans her zaman pozitiftir.
Varyans var boyut Rastgele değişkenin kendisinin kare boyutu, ki bu her zaman uygun değildir. Bu nedenle miktar
Ortalama kare sapma Rastgele bir değişkenin (standart sapması veya standardı) denir aritmetik değer varyansının karekökü
2 ve 5 ruble değerinde iki madeni para atın. Madeni para arma olarak düşerse sıfır puan verilir, sayı olarak düşerse madalyonun değerine eşit puan verilir. Nokta sayısının matematiksel beklentisini ve varyansını bulun.
Çözüm.İlk önce X rastgele değişkeninin dağılımını, yani nokta sayısını bulalım. Tüm kombinasyonlar - (2;5),(2;0),(0;5),(0;0) - eşit derecede olasıdır ve dağıtım yasası şöyledir:
Beklenen değer:
Formülü kullanarak varyansı buluyoruz
neden hesaplıyoruz?
Örnek 2.
Bilinmeyen olasılığı bulun R olasılık dağılım tablosuyla belirtilen ayrık bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi ve varyansı
Matematiksel beklenti ve varyansı buluyoruz:
M(X) = 00,0081 + 10,0756 + 20,2646 + 3 0,4116 + +40,2401=2,8
Dağılımı hesaplamak için formül (19.4) kullanıyoruz
D(X) = 020 ,0081 + 120,0756 + 220,2646 + 320,4116 + 420,2401 - 2,82 = 8,68 -
Örnek 3. Eşit derecede güçlü iki sporcu, ya içlerinden birinin ilk zaferine kadar ya da beş oyun oynanıncaya kadar süren bir turnuva düzenliyor. Sporcuların her birinin bir oyunu kazanma olasılığı 0,3, beraberlik olasılığı ise 0,4'tür. Oynanan oyun sayısının dağılım yasasını, matematiksel beklentisini ve dağılımını bulun.
Çözüm. Rastgele değer X- oynanan oyun sayısı 1'den 5'e kadar değerler alır, yani.
Maçın bitme olasılıklarını belirleyelim. Sporculardan birinin kazanması durumunda maç ilk sette sona erecektir. Kazanma olasılığı
R(1) = 0,3+0,3 =0,6.
Beraberlik olması durumunda (beraberlik olasılığı 1 - 0,6 = 0,4) maç devam eder. İlk oyunda beraberlik olması ve ikinciyi birisinin kazanması durumunda maç ikinci oyunda sona erecektir. Olasılık
R(2) = 0,4 0,6=0,24.
Aynı şekilde, eğer arka arkaya iki beraberlik varsa ve yine biri kazanırsa maç üçüncü oyunda sona erecektir.
R(3) = 0,4 0,4 0,6 = 0,096. R(4)= 0,4 0,4 0,4 0,6=0,0384.
Beşinci oyun herhangi bir versiyonun sonuncusudur.
R(5)= 1 - (R(1)+R(2)+R(3)+R(4)) = 0,0256.
Her şeyi bir tabloya koyalım. Rastgele değişken "kazanılan oyun sayısı"nın dağılım yasası şu şekildedir:
Beklenen değer
Varyansı formül (19.4) kullanarak hesaplıyoruz.
Standart ayrık dağılımlar.
Binom dağılımı. Bernoulli'nin deney şemasının uygulanmasına izin verin: N her birinde olay olan özdeş bağımsız deneyler A sabit olasılıkla ortaya çıkabilir P ve muhtemelen görünmeyecek
(bkz. ders 18).
Olayın gerçekleşme sayısı A bunların içinden N deneylerde ayrı bir rastgele değişken var X, olası değerler Hangi:
0; 1; 2; ... ;M; ... ; N.
Oluşma olasılığı M Belirli bir dizi olay A N Böyle bir rastgele değişkenle yapılan deneyler ve bu tür bir rastgele değişkenin dağılım yasası Bernoulli formülüyle verilmektedir (bkz. Ders 18)
 |
Rastgele bir değişkenin sayısal özellikleri X binom kanununa göre dağıtılır:
Eğer N harika (), o zaman formül (19.6) formüle girdiğinde
ve tablolaştırılmış Gauss fonksiyonu (Gauss fonksiyonunun değerleri tablosu 18. dersin sonunda verilmiştir).
Uygulamada çoğu zaman önemli olan olayın gerçekleşme olasılığı değildir. M olaylar A belirli bir dizide N deneyler ve olayın gerçekleşme olasılığı A daha azı görünmeyecek
kez ve en fazla değil, yani X'in değerleri alma olasılığı
Bunu yapmak için olasılıkları toplamamız gerekir.
Eğer N harika (), o zaman formül (19.9) yaklaşık bir formüle dönüştüğünde
tablolaştırılmış fonksiyon. Tablolar Ders 18’in sonunda verilmiştir.
Tabloları kullanırken şunu dikkate almak gerekir:
örnek 1. Bir kavşağa yaklaşan bir araba, eşit olasılıkla A, B veya C olmak üzere üç yoldan herhangi birinde ilerlemeye devam edebilir. Kavşağa beş araba yaklaşıyor. A yolunda seyahat edecek ortalama araba sayısını ve B yolunda üç arabanın seyahat etme olasılığını bulun.
Çözüm. Her yoldan geçen araba sayısı rastgele bir değişkendir. Kavşağa yaklaşan tüm arabaların birbirinden bağımsız hareket ettiğini varsayarsak, bu rastgele değişken binom yasasına göre dağıtılır:
N= 5 ve P = .
Buna göre A yolunu takip edecek ortalama araba sayısı (19.7) formülüne göredir.
ve istenilen olasılık
Örnek 2. Her test sırasında cihazın arızalanma olasılığı 0,1'dir. Cihazın 60 testi yapılıyor. Bir cihaz arızasının meydana gelme olasılığı nedir: a) 15 kez; b) en fazla 15 kez mi?
A. Test sayısı 60 olduğu için (19.8) formülünü kullanıyoruz.
Ders 18'in ekindeki tablo 1'e göre şunu buluyoruz:
B. (19.10) formülünü kullanıyoruz.
Ders 18'in ekindeki tablo 2'ye göre
- - 0,495
- 0,49995
Poisson dağılımı) nadir olaylar kanunu). Eğer N Büyük ve R küçük () ve ürün vesaire l ile gösterdiğimiz sabit bir değeri korur,
o zaman formül (19.6) Poisson formülü olur
Poisson dağıtım yasası şu şekildedir:
Açıkçası Poisson yasasının tanımı doğrudur çünkü bir dağıtım serisinin ana özelliği
Bitti çünkü seri toplamı
Fonksiyonun seri açılımı
Teorem. Poisson yasasına göre dağıtılan bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi ve varyansı çakışır ve bu yasanın parametresine eşittir, yani.
Kanıt.
Örnek.Şirket, ürünlerini pazarda tanıtmak için posta kutuları el ilanları. Önceki deneyimler, yaklaşık 2.000 vakadan birinde bir emrin takip edildiğini gösteriyor. 10.000 ilan verildiğinde en az bir siparişin gelme olasılığını, alınan siparişlerin ortalama sayısını ve alınan sipariş sayısının varyansını bulun.
Çözüm. Burada
En az bir siparişin gelme olasılığı şu olasılık ile bulunacaktır: zıt olay yani
Olayların rastgele akışı. Olay akışı, rastgele zamanlarda meydana gelen olaylar dizisidir. Akışların tipik örnekleri, bilgisayar ağlarındaki arızalar, telefon santrallerindeki aramalar, ekipman onarımı için talep akışı vb.'dir.
Akış olaylar denir sabit belirli sayıda olayın belirli bir uzunluktaki zaman aralığına düşme olasılığı yalnızca aralığın uzunluğuna bağlıysa ve zaman aralığının zaman ekseni üzerindeki konumuna bağlı değilse.
Durağanlık koşulu, olasılıksal özellikleri zamana bağlı olmayan taleplerin akışıyla karşılanır. Özellikle sabit bir akış, sabit bir yoğunlukla (birim zaman başına ortalama istek sayısı) karakterize edilir. Uygulamada sıklıkla (en azından sınırlı bir süre için) durağan kabul edilebilecek talep akışları vardır. Örneğin, bir şehir telefon santralindeki 12 ila 13 saatlik zaman dilimindeki çağrı akışı, sabit hat olarak kabul edilebilir. Tüm gün boyunca aynı akışın artık sabit olduğu düşünülemez (geceleri çağrı yoğunluğu gündüze göre önemli ölçüde daha azdır).
Akış olaylara akış denir sonradan etkisi olmayanörtüşmeyen zaman dilimleri için bunlardan birine düşen olayların sayısı diğerlerine düşen olayların sayısına bağlı değilse.
En basit akış için en önemli koşul olan sonradan etkinin olmaması koşulu, uygulamaların sisteme birbirinden bağımsız olarak girmesi anlamına gelir. Örneğin, bir metro istasyonuna giren yolcu akışı, yan etkileri olmayan bir akış olarak düşünülebilir çünkü bireysel bir yolcunun belirli bir anda gelişini belirleyen ve diğerini değil belirleyen nedenler, kural olarak, diğer yolcular için benzer nedenlerle ilgili değildir. . Ancak böyle bir bağımlılığın ortaya çıkması nedeniyle sonradan etki olmaması koşulu kolaylıkla ihlal edilebilir. Örneğin, aynı trene binen yolcuların çıkış anları birbirine bağlı olduğundan, bir metro istasyonundan ayrılan yolcu akışı artık etkisi olmayan bir akış olarak kabul edilemez.
Akış olaylar denir sıradan t kısa zaman aralığında iki veya daha fazla olayın meydana gelme olasılığı, bir olayın meydana gelme olasılığına kıyasla ihmal edilebilir düzeyde ise (bu bağlamda Poisson yasasına nadir olaylar yasası denir).
Sıradanlık koşulu, siparişlerin ikili, üçlü vb. değil, tek tek gelmesi anlamına gelir. varyans sapması Bernoulli dağılımı
Örneğin bir kuaför salonuna giren müşteri akışı neredeyse sıradan sayılabilir. Olağandışı bir akışta uygulamalar yalnızca ikili, yalnızca üçlü vb. olarak gelirse, bu durumda olağanüstü akış kolaylıkla sıradan bir akışa indirgenebilir; Bunu yapmak için, bireysel istekler akışı yerine ikili, üçlü vb. akışı dikkate almak yeterlidir.Her isteğin rastgele ikili, üçlü vb. olması daha zor olacaktır. homojen değil, heterojen olaylar akışıyla uğraşır.
Bir olay akışı üç özelliğin tümüne sahipse (yani durağan, sıradan ve herhangi bir sonradan etkisi yoksa), o zaman buna basit (veya durağan Poisson) akışı denir. "Poisson" adı, listelenen koşulların karşılanması durumunda herhangi bir sabit zaman aralığına düşen olay sayısının dağıtılacağı gerçeğinden kaynaklanmaktadır. Poisson yasası
İşte ortalama olay sayısı A, zaman birimi başına görünen.
Bu yasa tek parametrelidir, yani. ayarlamak için yalnızca bir parametreyi bilmeniz gerekir. Poisson yasasındaki beklenti ve varyansın sayısal olarak eşit olduğu gösterilebilir:
Örnek. Diyelim ki iş gününün ortasında ortalama istek sayısı saniyede 2. 1) Bir saniyede hiç başvuru alınmaması, 2) İki saniyede 10 başvurunun gelme olasılığı nedir?
Çözüm. Poisson yasasının uygulamasının geçerliliği şüphe götürmez olduğundan ve parametresi (= 2) verildiğinden, problemin çözümü Poisson formülünün (19.11) uygulanmasına indirgenir.
1) T = 1, M = 0:
2) T = 2, M = 10:
Kanun büyük sayılar. Bir rastgele değişkenin değerlerinin bazı sabit değerler etrafında kümelenmesinin matematiksel temeli büyük sayılar kanunudur.
Tarihsel olarak büyük sayılar yasasının ilk formülasyonu Bernoulli teoremiydi:
"Aynı ve bağımsız n deneylerinin sayısındaki sınırsız artışla, A olayının meydana gelme sıklığı olasılık açısından olasılığına yakınsar", yani.
n deneyde A olayının meydana gelme sıklığı nerede,
Özünde, (19.10) ifadesi şu anlama gelir: çok sayıda Bir olayın meydana gelme sıklığını deneyler A bu olayın bilinmeyen olasılığının yerini alabilir ve gerçekleştirilen deney sayısı ne kadar fazla olursa, p* p'ye o kadar yakın olur. İlginç tarihsel gerçek. K. Pearson 12.000 kez yazı tura attı ve arması 6.019 kez ortaya çıktı (frekans 0.5016). Aynı parayı 24.000 kez attığında 12.012 arma elde etti; frekans 0,5005.
Büyük sayılar yasasının en önemli biçimi Chebyshev teoremidir: sonlu varyansa sahip ve aynı koşullar altında yürütülen bağımsız deneylerin sayısındaki sınırsız artışla, rastgele değişkenin gözlemlenen değerlerinin aritmetik ortalaması, olasılık açısından matematiksel beklentisine yakınsar. Analitik formda bu teorem şu şekilde yazılabilir:
Chebyshev teoremi, temel teorik önemine ek olarak, aynı zamanda önemli bir öneme sahiptir. pratik kullanımörneğin ölçüm teorisinde. Belirli bir miktarın n ölçümünü aldıktan sonra X, farklı eşleşmeyen değerler elde edin X 1, X 2, ..., xn. Ölçülen miktarın yaklaşık değeri için X gözlenen değerlerin aritmetik ortalamasını alın
burada, Ne kadar çok deney yapılırsa sonuç o kadar doğru olur. Gerçek şu ki, yapılan deney sayısı arttıkça miktarın dağılımı azalıyor çünkü
D(X 1) = D(X 2)=…= D(xn) D(X) , O
İlişki (19.13), ölçüm cihazlarının yüksek yanlışlığında (büyük değer) bile, ölçüm sayısını artırarak, keyfi olarak yüksek doğrulukta bir sonuç elde etmenin mümkün olduğunu göstermektedir.
Formül (19.10)'u kullanarak istatistiksel frekansın olasılıktan en fazla sapma olasılığını bulabilirsiniz.
Örnek. Her denemede bir olayın olasılığı 0,4'tür. Bir olayın bağıl sıklığının mutlak değerdeki olasılıktan 0,01'den daha az sapmasını 0,8'den az olmayan bir olasılıkla beklemek için kaç test yapmanız gerekir?
Çözüm. Formül (19.14)'e göre
dolayısıyla tabloya göre iki uygulama var
buradan, N 3932.
İstatistiklerdeki dağılım, bir özelliğin bireysel değerlerinin karesinin aritmetik ortalamadan standart sapması olarak tanımlanır. Seçeneklerin ortalamadan sapmalarının karesini hesaplamak ve daha sonra bunların ortalamasını almak için yaygın bir yöntem.
Ekonomik istatistiksel analizde, bir özelliğin değişimini çoğunlukla standart sapmayı kullanarak değerlendirmek gelenekseldir; bu, varyansın kareköküdür.
(3)
Değişen bir özelliğin değerlerinin mutlak dalgalanmasını karakterize eder ve seçeneklerle aynı ölçü birimlerinde ifade edilir. İstatistiklerde sıklıkla farklı özelliklerin varyasyonlarının karşılaştırılması ihtiyacı vardır. Bu tür karşılaştırmalar için, göreceli bir değişim ölçüsü olan değişim katsayısı kullanılır.
Dispersiyon özellikleri:
1) Tüm seçeneklerden herhangi bir sayıyı çıkarırsanız varyans değişmeyecektir;
2) seçeneğin tüm değerleri herhangi bir b sayısına bölünürse varyans b^2 kat azalacaktır, yani.
3) Eşit olmayan bir aritmetik ortalamaya sahip herhangi bir sayıdan sapmaların ortalama karesini hesaplarsanız, bu, varyanstan daha büyük olacaktır. Aynı zamanda kare başına iyi tanımlanmış bir değer ile ortalama değer arasındaki fark c.
Dağılım, ortalamanın karesi ile ortalamanın karesi arasındaki fark olarak tanımlanabilir.
17. Grup ve gruplar arası farklılıklar. Varyans ekleme kuralı
İstatistiksel bir popülasyon, incelenen özelliğe göre gruplara veya parçalara ayrılırsa, böyle bir popülasyon için aşağıdaki dağılım türleri hesaplanabilir: grup (özel), grup ortalaması (özel) ve gruplar arası.
Toplam varyans– belirli bir istatistiksel popülasyonda geçerli olan tüm koşullar ve nedenlere bağlı olarak bir özelliğin değişimini yansıtır. 
Grup varyansı- bir grup içindeki bir özelliğin bireysel değerlerinin, grup ortalaması olarak adlandırılan bu grubun aritmetik ortalamasından sapmalarının ortalama karesine eşittir. Ancak grup ortalaması tüm nüfusun genel ortalamasıyla örtüşmemektedir.
Grup varyansı, bir özelliğin yalnızca grup içinde geçerli olan koşullar ve nedenlere bağlı olarak değişmesini yansıtır.
Grup varyanslarının ortalaması- grup varyanslarının ağırlıklı aritmetik ortalaması olarak tanımlanır; ağırlıklar grup hacimleridir.
Gruplararası varyans- grup ortalamalarının genel ortalamadan sapmalarının ortalama karesine eşittir.
Gruplar arası dağılım, gruplama özelliğine bağlı olarak ortaya çıkan özelliğin değişimini karakterize eder.
Dikkate alınan dağılım türleri arasında belirli bir ilişki vardır: toplam dağılım, ortalama grup ve gruplar arası dağılımın toplamına eşittir.
Bu ilişkiye varyans toplama kuralı denir.
18. Dinamik seriler ve bileşenleri. Zaman serisi türleri.
İstatistiklerde satır- bu, bir olgudaki zaman veya mekandaki değişiklikleri gösteren ve olayların hem zaman içinde hem de gelişim sürecinde istatistiksel olarak karşılaştırılmasını mümkün kılan dijital verilerdir. çeşitli formlar ve süreç türleri. Bu sayede fenomenlerin karşılıklı bağımlılığını tespit etmek mümkündür.
İstatistikte, sosyal olayların zaman içindeki hareketinin gelişme sürecine genellikle dinamik denir. Dinamikleri görüntülemek için, istatistiksel bir göstergenin (örneğin, 10 yıl boyunca hüküm giymiş kişilerin sayısı) zamanla değişen değerleri dizisi olan dinamik seriler (kronolojik, zaman) oluşturulur. kronolojik sıralama. Bunları oluşturan unsurlar, belirli bir göstergenin dijital değerleri ve ilgili oldukları zaman dilimleri veya noktalarıdır.
Dinamik serilerin en önemli özelliği- belirli bir dönemde veya belirli bir anda elde edilen belirli bir olgunun boyutları (hacim, büyüklük). Buna göre dinamik serinin terimlerinin büyüklüğü onun düzeyidir. Ayırt etmek Dinamik serinin başlangıç, orta ve son seviyeleri. İlk seviye serinin ilk, son - son teriminin değerini gösterir. Ortalama seviye ortalama kronolojik değişim aralığını temsil eder ve dinamik serinin aralıklı veya anlık olmasına bağlı olarak hesaplanır.
Dinamik serinin bir diğer önemli özelliği- İlk gözlemden son gözleme kadar geçen süre veya bu tür gözlemlerin sayısı.
Zaman serilerinin farklı türleri vardır; bunlar aşağıdaki kriterlere göre sınıflandırılabilir.
1) Seviyeleri ifade etme yöntemine bağlı olarak dinamik seriler, mutlak ve türev göstergeler (göreceli ve ortalama değerler) serisine ayrılır.
2) Serilerin düzeyleri, olgunun belirli zaman noktalarındaki durumunu (ay başında, çeyrek, yıl vb.) veya belirli zaman aralıklarındaki değerini (örneğin, günlük, günlük) nasıl ifade ettiğine bağlı olarak ay, yıl, vb.) vb.), sırasıyla moment ve aralık dinamik serilerini ayırt eder. Moment serileri kolluk kuvvetlerinin analitik çalışmalarında nispeten nadiren kullanılır.
İstatistik teorisinde dinamikler bir dizi başka sınıflandırma kriterine göre ayırt edilir: seviyeler arasındaki mesafeye bağlı olarak - zaman içinde eşit seviyeler ve eşit olmayan seviyeler; incelenen sürecin ana eğiliminin varlığına bağlı olarak - durağan ve durağan olmayan. Zaman serileri analiz edilirken şu yola başvurulur; serinin seviyeleri bileşenler halinde sunulur:
Y t = TP + E (t)
Burada TP, zaman veya trend içindeki genel değişim eğilimini belirleyen deterministik bir bileşendir.
E(t), seviyelerde dalgalanmalara neden olan rastgele bir bileşendir.
Dağılım BEN
Dispersiyon (Latince dispersio'dan - saçılma)
matematiksel istatistik ve olasılık teorisinde en sık kullanılan dağılım ölçüsü, yani ortalamadan sapma. İstatistiksel anlamda D. değerlerin kare sapmalarının aritmetik ortalamasıdır x ben aritmetik ortalamalarından Olasılık teorisinde rastgele bir değişkenin D.'si X Matematiksel beklenti E ( X - m x) 2 kare sapma X matematiksel beklentisinden m x= E ( X). D. rastgele değişken X D ile gösterilir ( X) veya σ aracılığıyla 2 KERE. D.'nin kareköküne (yani, D. σ 2 ise σ) standart sapma denir (bkz. Kare sapma). Rastgele bir değişken için Xİle sürekli dağıtım olasılık yoğunluğuyla karakterize edilen olasılıklar (Bkz. Olasılık yoğunluğu) R(X), D. formülle hesaplanır Olasılık teorisinde büyük önem teoremi vardır: D. bağımsız terimlerin toplamı, D'lerinin toplamına eşittir. Chebyshev eşitsizliği daha az önemli değildir; bu, rastgele bir değişkenin büyük sapma olasılığını tahmin etmeye izin verir. X matematiksel beklentisinden. D dalgalarının varlığı, ortamda yayıldıkça sinyallerin şeklinin bozulmasına yol açar. Bu, harmonik dalgaların oluşmasıyla açıklanmaktadır. farklı frekanslar Sinyalin ayrıştırılabileceği farklı hızlarda yayılır (daha fazla ayrıntı için bkz. Dalgalar, Grup hızı). Işığın şeffaf bir prizmada yayıldığı sırada dağılması, beyaz ışığın bir spektruma ayrışmasına yol açar (bkz. Işığın Dağılımı).
Büyük Sovyet ansiklopedisi. - M .: Sovyet Ansiklopedisi. 1969-1978 .
Eş anlamlı:Diğer sözlüklerde “Varyans”ın ne olduğuna bakın:
dağılım- Bir şey saçıyorum. Matematikte dağılım, niceliklerin ortalama değerden sapmasını tanımlar. Beyaz ışığın dağılması, bileşenlere ayrışmasına yol açar. Sesin dağılması yayılmasına neden olur. Saklanan verilerin dağıtılması... ... Teknik Çevirmen Kılavuzu
Modern ansiklopedi
- (varyans) Veri dağılımının ölçüsü. N üyeden oluşan bir kümenin varyansı, ortalamadan sapmalarının kareleri toplanıp N'ye bölünerek bulunur. Bu nedenle, eğer üyeler i = 1, 2,..., N için xi ise ve ortalamaları m ise , varyans... ... Ekonomik sözlük
Dağılım- (Latince dağılım saçılımından) dalgaların, bir maddedeki dalgaların yayılma hızının dalga boyuna (frekans) bağımlılığı. Varyans belirlendi fiziki ozellikleri dalgaların yayıldığı ortam. Örneğin, boşlukta... ... resimli ansiklopedik sözlük
- (Latince dağılım saçılımından) matematiksel istatistik ve olasılık teorisinde, dağılım ölçüsü (ortalamadan sapma). İstatistikte dağılım, rastgele bir sayının gözlenen değerlerinin (x1, x2,...,xn) sapmalarının karelerinin aritmetik ortalamasıdır. Büyük Ansiklopedik Sözlük
Olasılık teorisinde ortalamadan sapmanın en yaygın kullanılan ölçüsü dağılım ölçüsüdür. İngilizce: Dispersiyon Eşanlamlılar: İstatistiksel dağılım İngilizce eşanlamlılar: İstatistiksel dağılım Ayrıca bakınız: Örnek Popülasyonlar Parasal... ... Finansal Sözlük
- [enlem. dağılmış, dağılmış] 1) saçılma; 2) kimya, fizik. bir maddenin çok küçük parçacıklara ayrılması. D. beyaz ışığın bir prizma kullanılarak bir spektruma ayrıştırılması; 3) mat. ortalamadan sapma. Sözlük yabancı kelimeler. Komlev N.G.,... ... Rus dilinin yabancı kelimeler sözlüğü
dağılım- Bu verilerin aritmetik ortalamadan sapmasının ortalama karesine karşılık gelen veri dağılımının (varyans) göstergesi. kareye eşit standart sapma. Sözlük pratik psikolog. M.: AST, Hasat. S.Yu.Golovin. 1998... Büyük psikolojik ansiklopedi
Saçılma, saçılma Rusça eşanlamlılar sözlüğü. dispersiyon adı, eşanlamlı sayısı: 6 nanodispersiyon (1) ... Eşanlamlılar sözlüğü
Dağılım- ortalama değerden sapmalarının karesi ile ölçülen (d2 ile gösterilir) rastgele bir değişkenin değerlerinin dağılımının karakteristiği. D. teorik (sürekli veya ayrık) ve ampirik (aynı zamanda sürekli ve... ... Ekonomik-matematiksel sözlük
Dağılım- * dağılım * dağılım 1. Dağılım; dağılım; varyasyon (bkz.). 2. Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisinden sapmasının ölçüsünü karakterize eden teorik olasılık kavramı. Biyometrik uygulamada kullanılır örnek varyans s2... Genetik. ansiklopedik sözlük
Kitabın
- Geniş soğurma bantlarında anormal dağılım, D.S. Noel. Orijinal yazarın 1934 baskısının yazımıyla çoğaltılmıştır ('SSCB Bilimler Akademisi İzvestia' yayınevi). İÇİNDE…
Olasılık teorisi, yalnızca yüksek öğretim kurumlarının öğrencileri tarafından incelenen özel bir matematik dalıdır. Hesaplamaları ve formülleri sever misiniz? Ayrık bir rastgele değişkenin normal dağılımı, topluluk entropisi, matematiksel beklenti ve dağılımı hakkında bilgi sahibi olma ihtimalinden korkmuyor musunuz? O zaman bu konu sizin için çok ilginç olacak. Bu bilim dalının en önemli temel kavramlarından birkaçını tanıyalım.
Temelleri hatırlayalım
En çok hatırlasan bile basit kavramlar Olasılık teorisi, makalenin ilk paragraflarını ihmal etmeyin. Önemli olan şu ki, onsuz anlaşılır Temel konularda aşağıda tartışılan formüllerle çalışamazsınız.
Yani bazı şeyler oluyor rastgele olay, bir çeşit deney. Yaptığımız eylemlerin sonucunda çeşitli sonuçlar elde edebiliriz; bunlardan bazıları daha sık, bazıları ise daha az sıklıkla meydana gelir. Bir olayın olasılığı, bir türden gerçekten elde edilen sonuçların sayısının, toplam sayısı olası. Yalnızca bu kavramın klasik tanımını bilerek, sürekli rastgele değişkenlerin matematiksel beklentisini ve dağılımını incelemeye başlayabilirsiniz.
Ortalama
Okula döndüğünüzde matematik dersleri sırasında aritmetik ortalamayla çalışmaya başladınız. Bu kavram olasılık teorisinde yaygın olarak kullanılmaktadır ve bu nedenle göz ardı edilemez. Bizim için asıl önemli olan şu an bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi ve dağılımına ilişkin formüllerde bununla karşılaşacağımızdır.
Bir dizi sayımız var ve aritmetik ortalamayı bulmak istiyoruz. Bizden istenen tek şey, mevcut olan her şeyi toplamak ve dizideki öğe sayısına bölmektir. 1'den 9'a kadar sayımız olsun. Elementlerin toplamı 45 olacak, bu değeri 9'a böleceğiz. Cevap: - 5.
Dağılım
Bilimsel açıdan dağılım, bir özelliğin elde edilen değerlerinin aritmetik ortalamadan sapmalarının ortalama karesidir. Tek büyük Latin harfi D ile gösterilir. Hesaplamak için ne gereklidir? Dizinin her elemanı için mevcut sayı ile aritmetik ortalama arasındaki farkı hesaplayıp karesini alıyoruz. Düşündüğümüz olaya ilişkin sonuçların olabileceği kadar değer olacaktır. Daha sonra, alınan her şeyi özetliyoruz ve dizideki öğe sayısına bölüyoruz. Beş olası sonucumuz varsa, o zaman beşe bölün.
Dispersiyonun problem çözerken kullanılabilmesi için hatırlanması gereken özellikleri de vardır. Örneğin, bir rastgele değişken X kat artırıldığında, varyans X kare kat artar (yani X*X). Hiçbir zaman sıfırdan küçük değildir ve değerlerin eşit miktarlarda yukarı veya aşağı kaydırılmasına bağlı değildir. Ayrıca bağımsız denemelerde toplamın varyansı, varyansların toplamına eşittir.
Şimdi kesinlikle ayrık bir rastgele değişkenin varyansı ve matematiksel beklenti örneklerini dikkate almamız gerekiyor.
Diyelim ki 21 deney yaptık ve 7 farklı sonuç elde ettik. Her birini sırasıyla 1, 2, 2, 3, 4, 4 ve 5 kez gözlemledik. Varyans neye eşit olacak?
Öncelikle aritmetik ortalamayı hesaplayalım: elemanların toplamı elbette 21'dir. Bunu 7'ye bölerek 3 elde ederiz. Şimdi orijinal dizideki her sayıdan 3 çıkarın, her değerin karesini alın ve sonuçları toplayın. Sonuç 12. Şimdi tek yapmamız gereken sayıyı element sayısına bölmek ve öyle görünüyor ki hepsi bu. Ama bir sorun var! Bunu tartışalım.
Deney sayısına bağımlılık
Varyansı hesaplarken paydanın iki sayıdan birini içerebileceği ortaya çıktı: N veya N-1. Burada N, gerçekleştirilen deneylerin sayısı veya dizideki öğelerin sayısıdır (ki bu aslında aynı şeydir). Bu neye bağlıdır?
Test sayısı yüzlerce olarak ölçülürse paydaya N koymalıyız, birim olarak ise N-1. Bilim adamları sınırı oldukça sembolik olarak çizmeye karar verdiler: bugün 30 sayısını geçiyor. 30'dan az deney yaptıysak, miktarı N-1'e, daha fazlaysa N'ye böleceğiz.
Görev
Varyans problemini ve matematiksel beklentiyi çözme örneğimize dönelim. N veya N-1'e bölünmesi gereken bir ara sayı olan 12'ye sahibiz. 21 deney yaptığımız için (30'dan az) ikinci seçeneği seçeceğiz. Yani cevap şu: varyans 12/2 = 2.
Beklenen değer
Bu yazıda dikkate almamız gereken ikinci kavrama geçelim. Matematiksel beklenti, tüm olası sonuçların karşılık gelen olasılıklarla çarpılmasının sonucudur. Elde edilen değerin ve varyansın hesaplanması sonucunun, içinde kaç sonuç dikkate alınırsa alınsın, tüm problem için yalnızca bir kez elde edildiğini anlamak önemlidir.
Matematiksel beklentinin formülü oldukça basittir: Sonucu alırız, olasılığıyla çarparız, aynısını ikinci, üçüncü sonuç için ekleriz vb. Bu kavramla ilgili her şeyin hesaplanması zor değildir. Örneğin beklenen değerlerin toplamı, toplamın beklenen değerine eşittir. Aynı durum iş için de geçerlidir. Çok basit işlemler Olasılık teorisindeki her nicelik bunu yapmanıza izin vermez. Problemi ele alalım ve incelediğimiz iki kavramın anlamını aynı anda hesaplayalım. Üstelik teori dikkatimizi dağıtmıştı; şimdi pratik yapma zamanı.
Bir örnek daha
50 deneme yaptık ve farklı yüzdelerde görünen 10 tür sonuç (0'dan 9'a kadar sayılar) elde ettik. Bunlar sırasıyla: %2, %10, %4, %14, %2, %18, %6, %16, %10, %18. Olasılıkları elde etmek için yüzde değerlerini 100'e bölmeniz gerektiğini hatırlayın. Böylece 0,02 elde ederiz; 0.1 vb. Rastgele bir değişkenin varyansı ve matematiksel beklenti problemini çözmeye yönelik bir örnek sunalım.
Aritmetik ortalamayı hatırladığımız formülü kullanarak hesaplıyoruz. ilkokul: 50/10 = 5.
Şimdi saymayı kolaylaştırmak için olasılıkları “parçalar halinde” sonuç sayısına dönüştürelim. 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 ve 9 elde ederiz. Elde edilen her değerden aritmetik ortalamayı çıkarırız ve ardından elde edilen sonuçların her birinin karesini alırız. Örnek olarak ilk öğeyi kullanarak bunu nasıl yapacağınızı görün: 1 - 5 = (-4). Sonraki: (-4) * (-4) = 16. Diğer değerler için bu işlemleri kendiniz yapın. Her şeyi doğru yaptıysanız, hepsini topladıktan sonra 90 elde edeceksiniz.
90'ı N'ye bölerek varyansı ve beklenen değeri hesaplamaya devam edelim. Neden N-1 yerine N'yi seçiyoruz? Doğru, çünkü yapılan deney sayısı 30'u geçiyor. Yani: 90/10 = 9. Varyansı bulduk. Farklı bir numara alırsanız umutsuzluğa kapılmayın. Büyük ihtimalle hesaplamalarda basit bir hata yaptınız. Yazdıklarınızı bir kez daha kontrol edin, muhtemelen her şey yerine oturacaktır.
Son olarak matematiksel beklenti formülünü hatırlayın. Tüm hesaplamaları vermeyeceğiz, yalnızca gerekli tüm prosedürleri tamamladıktan sonra kontrol edebileceğiniz bir cevap yazacağız. Beklenen değer 5,48 olacaktır. İlk elemanları örnek olarak kullanarak yalnızca işlemlerin nasıl gerçekleştirileceğini hatırlayalım: 0*0,02 + 1*0,1... vb. Gördüğünüz gibi, sonuç değerini olasılığıyla çarpıyoruz.
Sapma
Dağılım ve matematiksel beklentiyle yakından ilişkili bir diğer kavram ise standart sapmadır. O da belirlenmiş Latin harfleriyle sd veya Yunanca küçük harf "sigma". Bu kavram değerlerin ortalama olarak ne kadar saptığını gösterir. Merkezi özellik. Değerini bulmak için hesaplamanız gerekir Kare kök dağılımdan.
Eğer komplo kurarsan normal dağılım ve onu doğrudan görmek istiyorum kare sapma, bu birkaç aşamada yapılabilir. Görüntünün yarısını modanın soluna veya sağına alın ( merkezi önem), ortaya çıkan şekillerin alanları eşit olacak şekilde yatay eksene dik bir çizin. Dağılımın ortası ile yatay eksen üzerindeki sonuç projeksiyonu arasındaki bölümün boyutu standart sapmayı temsil edecektir.
Yazılım
Formüllerin açıklamalarından ve sunulan örneklerden de görülebileceği gibi, varyansın ve matematiksel beklentinin hesaplanması aritmetik açıdan en basit prosedür değildir. Zaman kaybetmemek için yükseköğretimde kullanılan programı kullanmak mantıklıdır. Eğitim Kurumları- buna "R" denir. İstatistik ve olasılık teorisinden birçok kavrama ilişkin değerleri hesaplamanıza olanak sağlayan işlevlere sahiptir.
Örneğin, değerlerin bir vektörünü belirtirsiniz. Bu şu şekilde yapılır: vektör<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.
Nihayet
Dağılım ve matematiksel beklenti olmadan gelecekte herhangi bir şeyi hesaplamak zordur. Üniversitelerdeki derslerin ana derslerinde, konuyu incelemenin ilk aylarında zaten tartışılıyorlar. Tam olarak bu basit kavramların anlaşılmaması ve hesaplanamaması nedeniyle birçok öğrenci programda hemen geri kalmaya başlıyor ve daha sonra oturumun sonunda kötü notlar alıyor ve bu da onları burslardan mahrum bırakıyor.
Bu makalede sunulanlara benzer görevleri çözerek en az bir hafta, günde yarım saat pratik yapın. Daha sonra, olasılık teorisindeki herhangi bir testte, gereksiz ipuçları ve hileler olmadan örneklerle baş edebileceksiniz.
Dağılımrastgele değişken- belirli bir yayılmanın ölçüsü rastgele değişken yani onun sapmalar matematiksel beklentiden. İstatistiklerde, dağılımı belirtmek için genellikle gösterim (sigma kare) kullanılır. Varyansın kareköküne eşit olana denir standart sapma veya standart yayılma. Standart sapma, rastgele değişkenin kendisi ile aynı birimlerle ölçülür ve varyans, bu birimin kareleriyle ölçülür.
Örneklemin tamamını tahmin etmek için yalnızca tek bir değerin (ortalama veya mod ve medyan gibi) kullanılması çok uygun olmasına rağmen, bu yaklaşım kolaylıkla yanlış sonuçlara yol açabilir. Bu durumun nedeni değerin kendisinde değil, tek bir değerin veri değerlerinin yayılımını hiçbir şekilde yansıtmamasından kaynaklanmaktadır.
Örneğin, örnekte:
ortalama değer 5'tir.
Ancak örneklemin kendisinde değeri 5 olan tek bir element bile yok. Örnekteki her bir elementin ortalama değerine yakınlık derecesini bilmeniz gerekebilir. Veya başka bir deyişle değerlerin varyansını bilmeniz gerekecektir. Verilerdeki değişimin derecesini bilerek daha iyi yorumlayabilirsiniz ortalama değer, medyan Ve moda. Örnek değerlerinin ne ölçüde değiştiği, varyansları ve standart sapmaları hesaplanarak belirlenir.
Standart sapma olarak adlandırılan varyans ve varyansın karekökü, numune ortalamasından ortalama sapmayı karakterize eder. Bu iki büyüklük arasında en önemlisi standart sapma. Bu değer, elemanların numunenin orta elemanına olan ortalama uzaklığı olarak düşünülebilir.
Varyansın anlamlı bir şekilde yorumlanması zordur. Ancak bu değerin karekökü standart sapmadır ve kolaylıkla yorumlanabilir.
Standart sapma, önce varyansın belirlenmesi, ardından varyansın karekökünün alınmasıyla hesaplanır.
Örneğin şekilde gösterilen veri dizisi için aşağıdaki değerler elde edilecektir:
Resim 1
Burada kare farkların ortalama değeri 717,43'tür. Standart sapmayı bulmak için geriye kalan tek şey bu sayının karekökünü almaktır.
Sonuç yaklaşık 26.78 olacaktır.
Standart sapmanın, öğelerin örnek ortalamasından ortalama uzaklığı olarak yorumlandığını unutmayın.
Standart sapma, ortalamanın tüm örneği ne kadar iyi tanımladığını ölçer.
Diyelim ki bir PC montaj üretim departmanının başkanısınız. Üç aylık rapor, son çeyrekte üretimin 2.500 adet olduğunu belirtiyor. Bu iyi mi kötü mü? Raporda bu verilere ilişkin standart sapmanın görüntülenmesini istediniz (veya raporda bu sütun zaten mevcut). Örneğin standart sapma rakamı 2000'dir. Departman başkanı olarak üretim hattının daha iyi yönetim gerektirdiğini (bir araya getirilen bilgisayar sayısında çok büyük sapmalar) açıkça anlıyorsunuz.
Standart sapma büyük olduğunda verilerin ortalama etrafında geniş bir şekilde dağıldığını, standart sapma küçük olduğunda ise ortalamaya yakın kümelendiğini hatırlayın.
Dört istatistiksel fonksiyon VAR(), VAR(), STDSAPMA() ve STDSAPMA(), bir hücre aralığındaki sayıların varyansını ve standart sapmasını hesaplamak için tasarlanmıştır. Bir veri kümesinin varyansını ve standart sapmasını hesaplamadan önce, verilerin bir popülasyonu mu yoksa bir popülasyon örneğini mi temsil ettiğini belirlemeniz gerekir. Genel popülasyondan bir örnek olması durumunda, VAR() ve STDSAPMA() işlevlerini, genel popülasyon durumunda ise VAR() ve STDSAPMA() işlevlerini kullanmalısınız:
| Nüfus | İşlev |
 | DISPR() |
 | STANDOTLONP() |
| Örnek | |
 | DISP() |
 | STDSAPMA() |
Dağılım (standart sapmanın yanı sıra), belirttiğimiz gibi, veri setinde yer alan değerlerin aritmetik ortalama etrafında ne kadar dağıldığını gösterir.
Varyans veya standart sapmanın küçük bir değeri, tüm verilerin aritmetik ortalama etrafında yoğunlaştığını, bu değerlerin büyük bir değeri ise verilerin geniş bir değer aralığına dağıldığını gösterir.
Dağılımın anlamlı bir şekilde yorumlanması oldukça zordur (küçük değer, büyük değer ne anlama gelir?). Verim Görevler 3 bir veri kümesi için varyansın anlamını grafik üzerinde görsel olarak göstermenize olanak sağlar.
Görevler
· 1. Egzersiz.
· 2.1. Kavramları verin: dağılım ve standart sapma; istatistiksel veri işleme için sembolik tanımları.
· 2.2. Çalışma sayfasını Şekil 1'e göre doldurunuz ve gerekli hesaplamaları yapınız.
· 2.3. Hesaplamalarda kullanılan temel formülleri verin
· 2.4. Tüm tanımlamaları açıklayın ( , , )
· 2.5. Dağılım ve standart sapma kavramlarının pratik anlamını açıklayın.
Görev 2.
1.1. Kavramları verin: genel popülasyon ve örneklem; matematiksel beklenti ve bunların aritmetik ortalamaları, istatistiksel veri işleme için sembolik atamalardır.
1.2. Şekil 2'ye uygun olarak bir çalışma sayfası hazırlayın ve hesaplamaları yapın.
1.3. Hesaplamalarda kullanılan temel formülleri sağlayın (genel popülasyon ve örnek için).
şekil 2
1.4. Örneklerde 46.43 ve 48.78 gibi aritmetik ortalama değerleri elde etmenin neden mümkün olduğunu açıklayın (bkz. Dosya Ek). Sonuca varmak.
Görev 3.
Farklı veri kümelerine sahip iki örnek vardır ancak bunların ortalaması aynı olacaktır:
Figür 3
3.1. Çalışma sayfasını Şekil 3'e göre doldurunuz ve gerekli hesaplamaları yapınız.
3.2. Temel hesaplama formüllerini verin.
3.3. Grafikleri Şekil 4, 5'e göre oluşturun.
3.4. Elde edilen bağımlılıkları açıklayın.
3.5. İki örneğin verileri için benzer hesaplamalar yapın.
Orijinal örnek 11119999
İkinci numunenin değerlerini, ikinci numunenin aritmetik ortalaması aynı olacak şekilde seçin, örneğin:
İkinci numunenin değerlerini kendiniz seçin. Hesaplamaları ve grafikleri Şekil 3, 4, 5'e benzer şekilde düzenleyin. Hesaplamalarda kullanılan temel formülleri gösterin.
Uygun sonuçları çıkarın.
Gerekli tüm resimleri, grafikleri, formülleri ve kısa açıklamaları içeren tüm görevleri bir rapor şeklinde hazırlayın.
Not: Grafiklerin yapısı çizimlerle ve kısa açıklamalarla anlatılmalıdır.
