Kök altından nasıl çıkarılır. Bir karekök çıkarmak

Matematikte, bir kökün nasıl çıkarılacağı sorusu nispeten basit kabul edilir. Doğal serideki sayıları karelersek: 1, 2, 3, 4, 5 ... n, o zaman aşağıdaki kareler satırını elde ederiz: 1, 4, 9, 16 ... n 2. Kareler dizisi sonsuzdur ve ona yakından bakarsanız çok fazla tam sayı içermediğini göreceksiniz. Bu neden böyle, biraz sonra açıklayacağız.

Bir sayının kökü: hesaplama kuralları ve örnekler

Öyleyse, 2 sayısının karesini aldık, yani onu kendisiyle çarptık ve 4 aldık. Ama 4 sayısının kökü nasıl çıkarılır? Diyelim ki kökler kare, kübik ve herhangi bir dereceden sonsuza kadar olabilir.

Kökün gücü her zaman doğal bir sayıdır, yani aşağıdaki denklemi çözemezsiniz: n'nin 3.6 kuvvetinin kökü.

Kare kök

4'ün karekökü nasıl çıkarılır sorusuna geri dönelim. 2 sayısını tam olarak kareye yükselttiğimiz için, karekökü de çıkaracağız. 4'ün kökünü doğru bir şekilde çıkarmak için, karesi alındığında 4 sayısını verecek doğru sayıyı seçmeniz yeterlidir. Ve bu, elbette, 2. Bir örneğe bakın:

• 2 2 =4
• 4 \u003d 2'nin kökü

Bu örnek oldukça basit. 64'ün karekökünü çıkarmaya çalışalım. Kendisiyle çarpıldığında hangi sayı 64 verir? Açıkçası 8.

• 8 2 =64
• 64 \u003d 8'in kökü

Kübik kök

Yukarıda da söylendiği gibi, kökler sadece kare değildir, bir örnek kullanarak küp kökünün veya üçüncü derecenin kökünün nasıl çıkarılacağını daha net bir şekilde açıklamaya çalışacağız. Bir küp kökü çıkarma ilkesi bir karekök ile aynıdır, tek fark, istenen sayının başlangıçta bir değil iki kez kendisiyle çarpılmış olmasıdır. Diyelim ki aşağıdaki örneği aldık:

• 3x3x3 \u003d 27
• Doğal olarak, 27'nin küp kökü üçtür:
• 27'nin kök 3'ü \u003d 3

64'ün küp kökünü bulmanız gerektiğini varsayalım. Bu denklemi çözmek için, üçüncü kuvvete yükseltildiğinde 64 verecek bir sayı bulmak yeterlidir.

• 4 3 =64
• 64'ün Kök 3'ü \u003d 4

Hesap makinesinde bir sayının kökünü çıkarın

Elbette, pratikte kare, kübik ve diğer derece köklerin nasıl çıkarılacağını, birçok örneği çözerek ve kareler ve küçük sayılardan oluşan küplerden oluşan bir tablo ezberleyerek öğrenmek en iyisidir. Gelecekte bu, denklem çözme süresini büyük ölçüde kolaylaştıracak ve kısaltacaktır. Bununla birlikte, bazen, mümkünse, doğru sayının karesini seçmenin çok zor olacağı kadar büyük bir sayının kökünü çıkarmak gerektiğine dikkat edilmelidir. Karekökü çıkarmak için normal bir hesap makinesi gelecek. Bir hesap makinesinde kök nasıl çıkarılır? Sonucu bulmak istediğiniz sayıyı girmek çok basit. Şimdi hesap makinesindeki düğmelere yakından bakın. En basitleri bile kök simgeli bir anahtar içerir. Üzerine tıklayarak, bitmiş sonucu hemen alacaksınız.

Her sayı tam bir kök ile çıkarılamaz, aşağıdaki örneği düşünün:

1859'un kökü \u003d 43.116122 ...

Bu örneği paralel olarak bir hesap makinesinde çözmeye çalışabilirsiniz. Gördüğünüz gibi, ortaya çıkan sayı bir tamsayı değil, ayrıca ondalık noktadan sonraki rakamlar kümesi sonlu değil. Sıradan hesap makinelerinin gösterimi basitçe uymuyorken, özel mühendislik hesaplayıcıları tarafından daha doğru bir sonuç verilebilir. Ve daha önce başlatılan kareler satırına devam ederseniz, içinde 1859 sayısını bulamayacaksınız, çünkü onu elde etmek için karesi alınan sayı bir tamsayı değil.

Üçüncü derecenin kökünü basit bir hesap makinesinde çıkarmanız gerekirse, o zaman kök işaretli düğmeye çift tıklamanız gerekir. Örneğin, yukarıda kullanılan 1859 sayısını alalım ve ondan küp kökünü çıkaralım:

1859'un Kök 3'ü \u003d 6,5662867 ...

Yani, 6.5662867 sayısı üçüncü kuvvete yükseltilirse, yaklaşık 1859 elde ederiz. Dolayısıyla sayılardan kök çıkarmak zor değil, sadece yukarıdaki algoritmaları hatırlamak yeterli.

Ve sende var mı hesap makinesi bağımlılığı? Ya da bir hesap makinesi veya kareler tablosu kullanmak dışında, örneğin hesaplamanın çok zor olduğunu mu düşünüyorsunuz?

Okul çocukları bir hesap makinesine bağlanır ve hatta sevilen düğmelere basarak 0,7 ile 0,5'i çarparlar. Diyorlar ki, nasıl hesaplayacağımı hala biliyorum, ama şimdi zaman kazanacağım ... Bir sınav olacak ... sonra zorlayacağım ...

Öyleyse gerçek şu ki sınavda zaten bol miktarda "stresli an" olacak ... Dedikleri gibi, su bir taşı aşındırıyor. Yani sınavda, küçük şeyler, eğer çok varsa, yere serebilir ...

Olası sorun miktarını en aza indirelim.

Büyük bir sayının karekökünü çıkarmak

Şimdi sadece bir karekök çıkarmanın sonucunun bir tamsayı olduğu durumdan bahsedeceğiz.

Dava 1.

Öyleyse, ne pahasına olursa olsun (örneğin, ayırıcıyı hesaplarken) 86436'nın karekökünü hesaplamamız gerekir.

86436 sayısını asal çarpanlar olarak genişleteceğiz. 2'ye bölün - 43218 elde ederiz; tekrar 2'ye böl, - 21609 elde ederiz. Sayı 2'ye daha bölünemez. Ancak rakamların toplamı 3'e bölünebildiğinden, sayının kendisi 3'e bölünebilir (genel olarak konuşursak, 9'a bölünebildiği açıktır). ... Tekrar 3'e bölün, - 2401 elde ederiz. 2401, 3'e bölünemez. Beşe bölünemez (0 veya 5 rakamı ile bitmez).

7'ye bölünebilirlikten şüpheleniyoruz. Aslında, a,

Yani, Tam düzen!

Durum 2.

Diyelim ki hesaplamamız gerekiyor. Yukarıda anlatılanla aynı şekilde hareket etmek sakıncalıdır. Asal faktörlere ayrılmaya çalışılıyor ...

1849 sayısı 2'ye bölünemez (çift değildir) ...

3'e bölünemez (rakamların toplamı 3'ün katı değildir) ...

Tamamen 5'e bölünemez (son rakam 5 veya 0 değildir) ...

Tamamen 7'ye bölünemez, 11'e bölünemez, 13'e bölünemez ... Peki tüm asal sayıları ayırmak ne kadar sürer?

Biraz farklı düşüneceğiz.

Bunu anlıyoruz

Aramamızı daralttık. Şimdi 41'den 49'a kadar olan sayıları gözden geçiriyoruz. Üstelik, sayının son basamağı 9 olduğu için, 43 veya 47 numaralı seçeneklerde durmaya değer olduğu açıktır - sadece bu sayıların karesi son basamağı 9'u verecektir.

Elbette burada 43'te duruyoruz. Gerçekten,

Not: Ksatati, 0.7'yi 0.5 ile nasıl çarparız?

Sıfırları ve işaretleri göz ardı ederek 5 ile 7'yi çarpmalı ve ardından sağdan sola giderek iki virgül ayırmalısınız. 0.35 alıyoruz.

Parçalama zamanı kök çıkarma yöntemleri... Köklerin özelliklerine, özellikle de herhangi bir negatif olmayan sayı için geçerli olan eşitliğe dayanırlar. B.

Aşağıda sırayla ana kök çıkarma yöntemlerine bir göz atacağız.

En basit durumla başlayalım - bir kare tablosu, bir küp tablosu vb. Kullanarak doğal sayılardan kök çıkarmak.

Kareler, küpler vb. Tablolar el altında değil, o zaman, radikal sayının asal çarpanlara ayrışmasını ifade eden kökü çıkarma yöntemini kullanmak mantıklıdır.

Ayrı olarak, garip endekslere sahip kökler için neyin mümkün olduğu üzerinde durmaya değer.

Son olarak, kök değerinin rakamlarını tutarlı bir şekilde bulmanın bir yolunu inceleyelim.

Başlayalım.

Bir kareler tablosu, bir küp tablosu vb.

En basit durumlarda, kökleri çıkarmak için kare, küp vb. Tabloları kullanabilirsiniz. Bu tablolar nedir?

0'dan 99'a kadar olan tam sayıların kareleri tablosu (aşağıda gösterilmiştir) iki bölgeden oluşur. Tablonun ilk bölgesi gri bir arka plan üzerinde bulunur, belirli bir satırı ve belirli bir sütunu seçerek 0'dan 99'a kadar bir sayı oluşturmanıza olanak sağlar. Örneğin, 8. satır onlarca ve 3. sütunu seçelim, bununla 83 sayısını düzelttik. İkinci bölge masanın geri kalanını kaplar. Hücrelerinin her biri, belirli bir satır ve belirli bir sütunun kesişme noktasında bulunur ve 0'dan 99'a kadar karşılık gelen sayının karesini içerir. Seçtiğimiz 8 onluk satır ile 3 birimlik sütunun kesişme noktasında 83'ün karesi olan 6 889 numaralı hücre var.

Küp tabloları, 0'dan 99'a kadar sayıların dördüncü üslerinin tabloları vb. Kareler tablosuna benzer, sadece ikinci bölgede küpler, dördüncü kuvvetler vb. İçerirler. karşılık gelen numaralar.

Kareler, küpler, dördüncü dereceler vb. Tablolar karekök, küp kök, dördüncü kök vb. çıkarmanıza izin verir. bu tablolardaki sayılardan sırasıyla. Kökleri çıkarırken uygulamalarının ilkesini açıklayalım.

A sayısı n'inci güç tablosunda yer alırken, a sayısının n'inci kökünü çıkarmamız gerektiğini varsayalım. Bu tablodan a \u003d b n olacak şekilde bir b sayısı buluyoruz. Sonra bu nedenle, b sayısı istenen n'inci kök olacaktır.

Örnek olarak, 19.683 küp kökünün bir küp tablosu kullanılarak nasıl türetildiğini göstereceğiz. Küp tablosunda 19683 sayısını buluyoruz, ondan bu sayının 27 sayısının küpü olduğunu buluyoruz, bu nedenle, .

N'inci güç tablolarının kök çıkarmak için çok uygun olduğu açıktır. Bununla birlikte, genellikle el altında değildirler ve derlenmeleri belirli bir süre gerektirir. Dahası, genellikle karşılık gelen tablolarda bulunmayan sayılardan kök çıkarmak gerekir. Bu durumlarda, diğer kök çıkarma yöntemlerine başvurmanız gerekir.

Radikal bir sayının asal çarpanlara ayrılması

Kökü doğal bir sayıdan çıkarmanın oldukça uygun bir yolu (tabii ki kök çıkarılmışsa), radikal sayının asal çarpanlara genişletilmesidir. O öz aşağıdaki gibidir: İstenilen üs ile bir güç biçiminde temsil etmek yeterince kolay olduktan sonra, bu kökün değerini almanızı sağlar. Bu noktayı açıklayalım.

N'inci kök, doğal sayıdan a çıkarılsın ve değeri b'ye eşit olsun. Bu durumda, eşitlik a \u003d b n doğrudur. Herhangi bir doğal sayı olarak b sayısı, tüm asal çarpanları p 1, p 2, ..., pm'nin çarpımı olarak p 1 p 2 ... pm biçiminde temsil edilebilir ve bu durumda a radikal sayısı (p 1 p 2 ·… · pm) n. Bir sayının asal çarpanlara ayrışması benzersiz olduğundan, a radikal sayısının asal çarpanlara ayrışması (p 1 · p 2 ·… · p m) n biçiminde olacaktır, bu da kökün değerini şu şekilde hesaplamayı mümkün kılar.

Bir a radikal sayısının çarpanlara ayrılması (p 1 · p 2 ·… · p m) n biçiminde temsil edilemiyorsa, böyle bir a sayısının n'inci kökü tamamen ayıklanmaz.

Örnekleri çözerken bununla ilgilenelim.

Misal.

144'ün karekökünü alın.

Karar.

Bir önceki paragrafta verilen kareler tablosuna dönersek, 144 \u003d 12 2 olduğu açıkça görülmektedir ki bundan 144'ün karekökünün 12 olduğu açıktır.

Ancak bu noktanın ışığında 144 radikal sayısının asal çarpanlara ayrıştırılarak kökün nasıl çıkarıldığıyla ilgileniyoruz. Bu çözümü analiz edelim.

Genişlet 144 asal faktörlere göre:

Yani 144 \u003d 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3. Elde edilen ayrıştırmaya bağlı olarak, aşağıdaki dönüşümler gerçekleştirilebilir: 144 \u003d 2 2 2 2 3 3 \u003d (2 2) 2 3 2 \u003d (2 2 3) 2 \u003d 12 2... Sonuç olarak, .

Köklerin derecesinin ve özelliklerinin özelliklerini kullanarak, çözüm biraz farklı bir şekilde formüle edilebilir:

Cevap:

Malzemeyi pekiştirmek için iki örneğin daha çözümlerini düşünün.

Misal.

Kök değerini hesaplayın.

Karar.

243 radikal sayısının asal çarpanlara ayırması 243 \u003d 3 5'tir. Böylece, .

Cevap:

Misal.

Kök değeri bir tam sayı mı?

Karar.

Bu soruyu cevaplamak için, radikal sayıyı asal çarpanlara ayıralım ve bir tamsayının küpü olarak temsil edilip edilemeyeceğini görelim.

Elimizde 285768 \u003d 2 3 3 6 7 2 var. Bir asal faktör 7'nin gücü üçün katı olmadığından, sonuçta ortaya çıkan ayrışma bir tamsayı küpü olarak temsil edilmez. Bu nedenle 285 768 sayısının küp kökü tamamen çıkarılmamıştır.

Cevap:

Hayır.

Kesirli sayılardan kök çıkarma

Kesirli bir sayıdan kökün nasıl çıkarıldığını anlamanın zamanı geldi. Kesirli radikal sayı p / q olarak yazılsın. Bölümün kökünün özelliğine göre aşağıdaki eşitlik doğrudur. Bu eşitlik ima eder kesirli kök kuralı: Kesrin kökü, payın kökünü paydanın köküne bölme bölümüne eşittir.

Kesirden kök çıkarma örneğine bakalım.

Misal.

25/169 ortak kesirinin karekökü nedir.

Karar.

Kareler tablosundan, orijinal kesrin payının karekökünün 5 ve paydanın karekökünün 13 olduğunu buluyoruz. Sonra ... Bu, 25/169 ortak fraksiyonundan kökün ekstraksiyonunu tamamlar.

Cevap:

Ondalık veya karma sayının kökü, radikal sayıları sıradan kesirlerle değiştirdikten sonra çıkarılır.

Misal.

474.552 ondalık küpün küp kökünü çıkarın.

Karar.

Orijinal ondalık kesiri sıradan bir kesir olarak gösterelim: 474.552 \u003d 474552/1000. Sonra ... Elde edilen fraksiyonun payında ve paydasında bulunan küp köklerini çıkarmak için kalır. Çünkü 474552 \u003d 2 2 2 3 3 3 13 13 13 \u003d (2 3 13) 3 \u003d 78 3 ve 1000 \u003d 10 3, sonra ve ... Sadece hesaplamaları tamamlamak için kalır .

Cevap:

.

Negatif bir sayının kökünü çıkarmak

Ayrı olarak, köklerin negatif sayılardan çıkarılması üzerinde durmaya değer. Kökleri incelerken, kök üs tek sayı olduğunda, kök işaretinin altında negatif bir sayının olabileceğini söylemiştik. Bu tür girdilere şu anlamı verdik: negatif bir −a sayısı ve 2n - 1 kökünün tek bir üssü için, ... Bu eşitlik verir negatif sayılardan tek kökleri çıkarma kuralı: Negatif bir sayının kökünü çıkarmak için, karşıt pozitif sayının kökünü çıkarmanız ve sonucun önüne bir eksi işareti koymanız gerekir.

Bir örneğin çözümünü ele alalım.

Misal.

Kök değerini bulun.

Karar.

Orijinal ifadeyi, kök işaretinin altında pozitif bir sayı olacak şekilde değiştirelim: ... Şimdi karışık sayıyı sıradan bir kesirle değiştiriyoruz: ... Sıradan bir kesirden bir kök çıkarma kuralını uyguluyoruz: ... Ortaya çıkan fraksiyonun payındaki ve paydasındaki kökleri hesaplamaya devam eder: .

İşte çözümün kısa bir kaydı: .

Cevap:

.

Kademeli olarak kök değerini bulma

Genel durumda, kök altında, yukarıda tartışılan teknikler kullanılarak herhangi bir sayının n'inci kuvveti olarak temsil edilemeyen bir sayı vardır. Ancak bu durumda, belirli bir kökün anlamını, en azından belirli bir işarete kadar doğrulukla bilmek gerekir. Bu durumda, kökü çıkarmak için, istenen sayının basamaklarının yeterli sayıda değerini sırayla elde etmenize izin veren bir algoritma kullanabilirsiniz.

Bu algoritmanın ilk adımında, kök değerinin en önemli bitinin ne olduğunu bulmanız gerekir. Bunun için 0, 10, 100, ... sayıları, radikal sayıyı aşan bir sayı alınana kadar sırayla n üssüne yükseltilir. Daha sonra, önceki adımda n kuvvetine yükselttiğimiz sayı, karşılık gelen en önemli biti gösterecektir.

Örneğin, beşin karekökünü çıkarırken algoritmanın bu adımını düşünün. 0, 10, 100, ... sayılarını alır ve 5'ten büyük bir sayı elde edene kadar bunların karesini alırız. 0 2 \u003d 0 var<5 , 10 2 =100>5, bu, en önemli bitin birler biti olacağı anlamına gelir. Bu bitin değeri ve daha düşük olanlar, kök çıkarma algoritmasının sonraki adımlarında bulunacaktır.

Algoritmanın sonraki adımlarının tümü, kökün istenen değerinin sonraki basamaklarının değerlerinin, en yüksekten başlayarak ve en düşük olanlara doğru hareket etmesi nedeniyle, kökün değerini sıralı olarak rafine etmeyi amaçlamaktadır. Örneğin, ilk adımda kök değeri 2, ikinci adımda - 2,2, üçüncü adımda - 2,23 vb. 2.236067977…. Rakamların nasıl bulunduğunu anlatalım.

Basamakların bulunması olası değerleri 0, 1, 2,…, 9 numaralandırılarak gerçekleştirilir. Bu durumda karşılık gelen sayıların n'inci üsleri paralel olarak hesaplanır ve radikal sayı ile karşılaştırılır. Bir aşamada derecenin değeri radikal sayıyı aşarsa, o zaman önceki değere karşılık gelen rakamın değeri bulunur ve kök çıkarma algoritmasının bir sonraki adımına geçiş yapılır, bu olmazsa, o zaman bu rakamın değeri 9'dur.

Bu noktaları, beşin karekökünü çıkardığımız aynı örnekle açıklayalım.

Önce birler basamağının değerini buluyoruz. Kök numarası 5'ten daha büyük bir değer elde edene kadar sırasıyla 0 2, 1 2,…, 9 2 hesaplayarak 0, 1, 2,…, 9 değerleri üzerinde yineleme yapacağız. Tüm bu hesaplamalar uygun bir şekilde bir tablo şeklinde sunulur:

Yani birler basamağının değeri 2'dir (çünkü 2 2<5 , а 2 3 >beş). Onuncu sıranın değerini bulmaya geçiyoruz. Bu durumda, elde edilen değerleri radikal sayı 5 ile karşılaştırarak 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9 sayılarının karesini alacağız:

2.2 2'den beri<5 , а 2,3 2 >5, ondalık basamak değeri 2'dir. Yüzüncü basamağın değerini bulmaya gidebilirsiniz:

Böylece beşin kökünün bir sonraki değeri bulundu, bu 2.23'tür. Ve böylece değerleri bulmaya devam edebilirsiniz: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Malzemeyi pekiştirmek için, dikkate alınan algoritmayı kullanarak kökün çıkarılmasını yüzlerce doğrulukla analiz edeceğiz.

İlk önce en önemli kısmı belirliyoruz. Bunu yapmak için 0, 10, 100 vb. Sayıları küpleriz. 2,151,186'dan büyük bir sayı elde edene kadar. 0 3 \u003d 0 var<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186, dolayısıyla en önemli basamak onlar basamağıdır.

Anlamını tanımlayalım.

10 3'ten beri<2 151,186 , а 20 3 >2 151.186, sonra onlar basamağının değeri 1'dir. Birimlere geçelim.

Böylece, birler basamağının değeri 2'dir. Onda birine geçiyoruz.

12.9 3 bile 2 151.186 radikal sayısından küçük olduğundan, onuncu hanenin değeri 9'dur. Algoritmanın son adımını gerçekleştirmeye devam ediyor, bize gerekli doğrulukta kökün değerini verecektir.

Bu aşamada, kökün değeri yüzdelik bir doğrulukla bulunur: .

Bu makalenin sonunda, kök çıkarmanın başka birçok yolu olduğunu söylemek isterim. Ancak çoğu görev için yukarıda çalıştıklarımız yeterlidir.

Kaynakça.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Cebir: 8. sınıf ders kitabı Eğitim Kurumları.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. ve diğerleri Cebir ve analizin başlangıcı: Eğitim kurumlarının 10 - 11. sınıfları için ders kitabı.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (teknik okullara başvuranlar için bir rehber).

Hesap makinelerinin ortaya çıkmasından önce, öğrenciler ve öğretmenler karekökleri elle hesaplıyorlardı. Bir sayının karekökünü manuel olarak hesaplamanın birkaç yolu vardır. Bazıları yalnızca yaklaşık bir çözüm sunar, diğerleri ise kesin bir yanıt verir.

Adımlar

Asal çarpanlara ayırma

Kare olan radikal sayıyı çarpanlarına ayırın. Kök numarasına bağlı olarak, yaklaşık veya tam bir cevap alacaksınız. Kare sayılar, tam bir karekök çıkarabileceğiniz sayılardır. Çarpanlar, çarpıldığında orijinal sayıyı veren sayılardır. Örneğin, 8'in çarpanları 2 ve 4'tür, çünkü 2 x 4 \u003d 8, 25, 36, 49 kare sayılardır, çünkü √25 \u003d 5, √36 \u003d 6, √49 \u003d 7'dir. kare sayılar. İlk önce, kök sayının karesini almaya çalışın.

• Örneğin, 400'ün karekökünü hesaplayın (elle). Önce 400'ün karesini almaya çalışın. 400, bir kare sayı olan 25'e bölünebilen 100'ün bir katıdır. 400'ü 25'e bölerseniz 16 elde edersiniz. 16 da bir kare sayıdır. Böylece, 400, 25 ve 16'nın kare faktörlerine, yani 25 x 16 \u003d 400'e çarpanlarına ayrılabilir.
• Şu şekilde yazılabilir: √400 \u003d √ (25 x 16).

1. Bazı terimlerin çarpımının karekökü, her terimin kareköklerinin ürününe eşittir, yani √ (a x b) \u003d √a x √b. Bu kuralı kullanın ve her bir kare faktörün karekökünü alın ve cevabınızı bulmak için sonuçları çarpın.

   • Örneğimizde, 25 ve 16'nın kökünü çıkarın.
     • √ (25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 \u003d 20

2. Radikal sayı iki kare çarpana ayrılmazsa (ve bu çoğu durumda meydana gelirse), kesin yanıtı bir tamsayı biçiminde bulamazsınız. Ancak, kök sayısını bir kare çarpana ve sıradan bir çarpana (tüm karekökün çıkarılamayacağı bir sayı) çarpanlarına ayırarak sorunu basitleştirebilirsiniz. Sonra kare çarpanın karekökünü alacaksınız ve sıradan çarpanın kökünü alacaksınız.

   • Örneğin, 147 sayısının karekökünü hesaplayın. 147 sayısı iki kare çarpana bölünemez, ancak aşağıdaki çarpanlara ayrılabilir: 49 ve 3. Sorunu aşağıdaki gibi çözün:
     • \u003d √ (49 x 3)
     • \u003d √49 x √3
     • = 7√3

3. Gerekirse kök değerini tahmin edin. Şimdi, kökün değerini, kök sayıya en yakın (sayı doğrusunda her iki tarafta) kare sayıların köklerinin değerleriyle karşılaştırarak tahmin edebilirsiniz (yaklaşık bir değer bulun). Kök değerini, kök işaretinin arkasındaki sayı ile çarpılması gereken ondalık kesir olarak alacaksınız.

   • Örneğimize geri dönelim. Radikal sayı 3. Ona en yakın kare sayılar 1 (√1 \u003d 1) ve 4 (√4 \u003d 2) sayıları olacaktır. Yani √3 1 ile 2 arasındadır. √3 muhtemelen 1'den 2'ye daha yakın olduğundan, tahminimiz √3 \u003d 1.7'dir. Bu değeri kök işaretindeki sayı ile çarparız: 7 x 1,7 \u003d 11,9. Hesaplamaları bir hesap makinesinde yaparsanız, cevabımıza oldukça yakın olan 12.13 elde edersiniz.
     • Bu yöntem aynı zamanda büyük sayılarla da çalışır. Örneğin, √35'i düşünün. Kök numarası 35'tir. Ona en yakın kare sayılar 25 (√25 \u003d 5) ve 36 (√36 \u003d 6) sayıları olacaktır. Yani √35, 5 ile 6 arasındadır. √35, 6'ya 5'ten çok daha yakın olduğu için (çünkü 35, 36'dan sadece 1 küçüktür), √35'in 6'dan biraz daha küçük olduğunu söyleyebiliriz. bize 5.92 cevabı veriyor - haklıydık.

4. Başka bir yol da, radikal sayıyı asal çarpanlara çarpmaktır. Asal çarpanlar, yalnızca 1'e ve kendilerine bölünebilen sayılardır. Asal çarpanları arka arkaya yazın ve aynı çarpanların çiftlerini bulun. Bu tür faktörler, kök işaretinin ötesine çıkarılabilir.

   • Örneğin, 45'in karekökünü hesaplayın. Radikal sayıyı asal çarpanlara ayırıyoruz: 45 \u003d 9 x 5 ve 9 \u003d 3 x 3. Böylece, √45 \u003d √ (3 x 3 x 5). 3 kök işaretinin dışına alınabilir: √45 \u003d 3√5. Şimdi √5'i tahmin edebilirsiniz.
   • Başka bir örneği ele alalım: √88.
     • \u003d √ (2 x 44)
     • \u003d √ (2 x 4 x 11)
     • \u003d √ (2 x 2 x 2 x 11). 2'nin üç çarpanı var; birkaçını alın ve kök işaretinin dışına yerleştirin.
     • \u003d 2√ (2 x 11) \u003d 2√2 x √11. Şimdi √2 ve √11'i değerlendirebilir ve kaba bir yanıt bulabilirsiniz.

   Karekökü manuel olarak hesaplamak

   Uzun bölünme

   1. Bu yöntem, uzun bölmeye benzer bir süreci içerir ve kesin cevabı verir. Önce, sayfayı ikiye bölen dikey bir çizgi çizin ve ardından sağ tarafa ve sayfanın üst kenarının biraz altına dikey çizgiye yatay bir çizgi çizin. Şimdi radikalleştirilmiş sayıyı, ondalık noktadan sonraki kesirli kısımdan başlayarak sayı çiftlerine bölün. Dolayısıyla 79520789182.47897 numarası "7 95 20 78 91 82, 47 89 70" olarak yazılır.

      • Örnek olarak 780.14'ün karekökünü hesaplayalım. İki çizgi çizin (resimde gösterildiği gibi) ve sol üst tarafa bu sayıyı "7 80, 14" olarak yazın. Soldaki ilk basamağın eşleşmemiş bir basamak olması normaldir. Cevap (verilen sayının kökü) sağ üst köşeye yazılacaktır.

   2. Soldaki ilk sayı çifti (veya bir sayı) için, karesi söz konusu sayı çiftinden (veya bir sayıdan) küçük veya ona eşit olan en büyük n tamsayısını bulun. Başka bir deyişle, soldaki ilk sayı çiftine (veya bir sayı) en yakın ancak ondan küçük olan kare sayıyı bulun ve bu kare sayının karekökünü çıkarın; numarayı alırsın Bulunan n'yi sağ üst köşeye, sağ alttaki n karesini yazın.

      • Bizim durumumuzda soldaki ilk sayı 7 olacaktır. Sonra, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Az önce bulduğunuz n sayısının karesini soldaki ilk sayı çiftinden (veya bir sayıdan) çıkarın. Çıkarılanın altına hesaplamanın sonucunu yazın (n sayısının karesi).

      • Örneğimizde, 3'ü elde etmek için 7'den 4'ü çıkarın.

   4. İkinci sayı çiftini aşağı çekin ve önceki adımda elde edilen değerin yakınına yazın. Ardından sağ üstteki sayıyı ikiye katlayın ve sonucunuzu sağ alt kısma "_ × _ \u003d" ekleyerek yazın.

      • Örneğimizde, ikinci sayı çifti "80" dir. 3'ün arkasına "80" yazın. Ardından, sağ üstteki sayıyı ikiye katlayın 4. Sağ alta "4_ × _ \u003d" yazın.

   5. Sağdaki çizgileri doldurun.

      • Bizim durumumuzda, tire yerine 8 sayısını koyarsak, 48 x 8 \u003d 384, ki bu 380'den fazladır. Bu nedenle, 8 çok büyük bir sayıdır, ancak 7 yeterli olacaktır. Kısa çizgiler yerine 7 yazın ve şunu elde edin: 47 x 7 \u003d 329. Sağ üstten 7 yazın - bu, 780.14'ün gerekli karekökündeki ikinci basamaktır.

   6. Ortaya çıkan sayıyı soldaki geçerli sayıdan çıkarın. Önceki adımın sonucunu soldaki geçerli sayının altına kaydedin, farkı bulun ve çıkarılanın altına yazın.

      • Örneğimizde, 380'den 329 çıkar, yani 51.

   7. 4. adımı tekrarlayın. Yıkılan sayı çifti orijinal sayının kesirli kısmı ise, tamsayı ve kesirli kısımların ayırıcısını (virgül) sağ üstten istenen karekök içine koyun. Solda, sonraki sayı çiftini aşağı sürükleyin. Sağ üstteki sayıyı ikiye katlayın ve sonucunuzu sağ alt köşeye "_ × _ \u003d" ekleyerek yazın.

      • Örneğimizde, yıkılacak bir sonraki sayı çifti 780.14 sayısının kesirli kısmı olacaktır, bu yüzden tamsayı ve kesirli kısımların ayırıcısını istenen karekök sağ üste koyun. 14'ü indirin ve sol alt tarafa yazın. Sağ üstteki ikiye katlanmış sayı (27) 54'tür, bu nedenle sağ alt tarafa "54_ × _ \u003d" yazın.

   8. 5. ve 6. adımları tekrarlayın. Sağdaki tirelerin yerine en büyük sayıyı bulun (kısa çizgiler yerine, aynı sayıyı değiştirmeniz gerekir), böylece çarpma sonucu soldaki geçerli sayıdan küçük veya ona eşit olur.

      • Örneğimizde 549 x 9 \u003d 4941, soldaki geçerli sayıdan (5114) daha küçüktür. Sağ üste 9 yazın ve çarpımı soldaki geçerli sayıdan çıkarın: 5114 - 4941 \u003d 173.

   9. Karekök için daha fazla ondalık basamak bulmanız gerekiyorsa, soldaki geçerli sayıya birkaç sıfır yazın ve 4, 5 ve 6. adımları tekrarlayın. İstediğiniz kesinliği elde edene kadar (ondalık basamak sayısı) adımları tekrarlayın.

   Süreci anlamak

   Bu yöntemde ustalaşmak için, karekökü bir S karenin alanı olarak bulunacak sayıyı hayal edin. Bu durumda, böyle bir karenin L kenarının uzunluğunu arayacaksınız. L² \u003d S olan L değerini hesaplıyoruz.

   Cevaptaki her basamak için bir harf verin. L değerindeki ilk basamağı (gerekli karekök) A ile gösterelim. B ikinci hane, C üçüncü hane olacak ve bu böyle devam edecek.

   Baştaki her basamak çifti için bir harf belirtin. S değerindeki ilk basamak çiftini S a ile, Sb ile - ikinci basamak çiftini vb. Gösteririz.

   Bu yöntemin uzun bölünmeyle ilişkisini anlayın. Bölme işleminde olduğu gibi, her seferinde temettü payının sadece bir sonraki basamağıyla ilgilendiğimizde, karekökü hesaplarken, bir çift basamakla sırayla çalışırız (karekök değerinde bir sonraki basamak elde etmek için).

   1. S sayısının (örneğimizde Sa \u003d 7) ilk Sa çiftini düşünün ve karekökünü bulun. Bu durumda, istenen karekök değerinin ilk rakamı A, karesi S a'dan küçük veya ona eşit olan bir rakam olacaktır (yani, A² ≤ Sa eşitsizliği olacak şekilde bir A arıyoruz.< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Diyelim ki 88962'yi 7'ye bölmek istiyorsunuz; burada ilk adım benzer olacaktır: 88962 (8) bölünebilir sayının ilk basamağını dikkate alırız ve 7 ile çarpıldığında 8'den küçük veya 8'e eşit bir değer veren en büyük sayıyı seçeriz.< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. Alanını hesaplamanız gereken bir kare düşünün. L'yi arıyorsunuz, yani alanı S olan bir karenin kenar uzunluğu. A, B, C L sayısındaki rakamlardır. Farklı şekilde yazabilirsiniz: 10A + B \u003d L (iki basamaklı bir sayı için) veya 100A + 10B + C \u003d L (için üç basamaklı sayı) vb.

      • İzin vermek (10A + B) ² \u003d L² \u003d S \u003d 100A² + 2 × 10A × B + B²... 10A + B'nin, B'nin birler ve A'nın onlar için olduğu bir sayı olduğunu unutmayın. Örneğin, eğer A \u003d 1 ve B \u003d 2 ise, 10A + B 12'ye eşittir. (10A + B) ² tüm karenin alanı, 100A² - büyük iç meydanın alanı, B² - küçük iç karenin alanı, 10A × B iki dikdörtgenin her birinin alanıdır. Açıklanan şekillerin alanlarını ekleyerek, orijinal karenin alanını bulacaksınız.

Talimatlar

Radikal sayı için alttan kaldırılan bir faktör seçin kök geçerli ifade - aksi takdirde işlem kaybedilir. Örneğin, işaretin altındaysa kök üçe eşit üslü (küp kökü) numara 128, sonra işaretin altından örneğin çıkarabilirsin, numara 5. Aynı zamanda numara 128'in küpü 5'e bölünmesi gerekir: ³√128 \u003d 5 ∗ ³√ (128 / 5³) \u003d 5 ∗ ³√ (128/125) \u003d 5 ∗ ³√1.024. İşaretin altında kesirli bir sayının varlığı kök sorunun koşullarıyla çelişmiyorsa, bu şekilde mümkündür. Daha basit bir versiyona ihtiyacınız varsa, önce radikal ifadeyi tamsayı faktörlerine ayırın, bunlardan birinin küp kökü bir tamsayı olacak numaram. Örneğin: ³√128 \u003d ³√ (64 ∗ 2) \u003d ³√ (4³ ∗ 2) \u003d 4 ∗ ³√2.

Kafanızdaki bir sayının üslerini hesaplamak mümkün değilse, çarpanları seçmek için radikal sayıyı kullanın. Bu özellikle kökikiden büyük üslü m. İnternete erişiminiz varsa, Google ve Nigma arama motorlarında yerleşik hesaplayıcılarla hesaplamalar yapabilirsiniz. Örneğin, kübik işaretten çıkarılabilecek en büyük tamsayı faktörünü bulmanız gerekiyorsa kök 250 sayısı için Google sitesine gidin ve işaretten kaldırmanın mümkün olup olmadığını kontrol etmek için "6 ^ 3" sorgusunu girin kök altı. Arama motoru 216'ya eşit bir sonuç gösterecektir. Ne yazık ki, 250 bununla tamamen bölünemez numara... Ardından 5 ^ 3 sorgusunu girin. Sonuç 125 olacak ve bu, 250'yi 125 ve 2'nin çarpanlarına ayırmanıza ve böylece işaretin altından çıkarmanıza olanak tanır. kök numara 5 oradan ayrılıyor numara 2.

Kaynaklar:

• kök altından nasıl çıkılır
• Bir ürünün karekökü

Alttan çıkar kök matematiksel bir ifadeyi basitleştirmeniz gereken durumlarda faktörlerden biri gereklidir. Hesap makinesi kullanarak gerekli hesaplamaları yapmanın imkansız olduğu zamanlar vardır. Örneğin, sayılar yerine değişken harfler kullanılıyorsa.

Talimatlar

Radikal ifadeyi basit faktörlere genişletin. Göstergelerde belirtilen aynı sayıda hangi faktörün tekrarlandığını görün kök, yada daha fazla. Örneğin, a'nın dördüncü kökünü almak istediğinizi varsayalım. Bu durumda, sayı a * a * a * a \u003d a * (a * a * a) \u003d a * a3 olarak temsil edilebilir. Gösterge kök bu durumda karşılık gelecek faktör a3. İşaret için de yapılması gerekiyor.

Elde edilen kök köklerinin kökünü mümkün olduğunca ayrı ayrı çıkarın. Alınıyor kök üs almanın ters cebirsel eylemidir. Alınıyor kök bir sayıdan keyfi bir dereceye kadar, bu keyfi güce yükseltildiğinde belirli bir sayı ile sonuçlanacak bir sayı bulun. Çıkarma kök üretmek imkansız, radikal ifadeyi işaretin altında bırakmak kök olduğu gibi. Listelenen eylemlerin bir sonucu olarak, altından bir kaldırma yapacaksınız. işaret kök.

İlgili videolar

Not

Radikal ifadeyi faktörler biçiminde yazarken dikkatli olun - bu aşamadaki bir hata yanlış sonuçlara yol açacaktır.

Faydalı tavsiye

Kökleri çıkarırken, özel tablolar veya logaritmik kök tabloları kullanmak uygundur - bu, doğru çözümü bulma süresini önemli ölçüde azaltacaktır.

Kaynaklar:

• 2019'da kök çıkarma işareti

Cebirsel ifadelerin basitleştirilmesi, matematiğin birçok alanında daha yüksek dereceli denklemlerin çözülmesi, farklılaştırma ve entegrasyon dahil olmak üzere gereklidir. Çarpanlara ayırma dahil çeşitli yöntemler kullanır. Bu yöntemi uygulamak için bir ortak bulmanız ve yapmanız gerekir. faktör başına parantez.

Talimatlar

Ortak faktörün yerine getirilmesi parantez En yaygın ayrışma yollarından biridir. Bu teknik, uzun cebirsel ifadelerin yapısını basitleştirmek için kullanılır, örn. polinomlar. Genel bir sayı, tek terimli veya iki terimli olabilir ve çarpmanın dağıtım özelliği onu bulmak için kullanılır.

Sayı: Aynı sayıya bölünüp bölünemeyeceklerini görmek için her polinomdaki katsayılara dikkatlice bakın. Örneğin, 12 z³ + 16 z² - 4 ifadesinde bariz olan faktör 4. Dönüşümden sonra 4 (3 z³ + 4 z² - 1) elde edersiniz. Aksi takdirde, bu sayı tüm katsayıların en küçük tam sayı bölenidir.

Monomial - Aynı değişkenin polinom terimlerinin her birinde olup olmadığını belirleyin. Durumun böyle olduğunu varsayarak, şimdi önceki durumdaki gibi katsayılara bakın. Örnek: 9 z ^ 4 - 6 z³ + 15 z² - 3 z.

Bu polinomun her bir elemanı bir değişken z içerir. Üstelik tüm katsayılar 3'ün katlarıdır. Bu nedenle, ortak faktör tek terimli 3 z: 3 z (3 z³ - 2 z² + 5 z - 1) olacaktır.

Binom. İçin parantez genel faktör iki, bir değişken ve bir sayı, ortak bir polinomdur. Bu nedenle, eğer faktör-ses açık değilse, en az bir kök bulmanız gerekir. Polinomun serbest terimini seçin, bu değişken içermeyen bir katsayıdır. Şimdi ikame yöntemini kesişimin tüm tamsayı bölenlerinin ortak ifadesine uygulayın.

Şunu düşünün: z ^ 4 - 2 z³ + z² - 4 z + 4. 4 z ^ 4 - 2 z³ + z² - 4 z + 4 \u003d 0'ın tamsayı bölenlerinden herhangi birinin olup olmadığını kontrol edin. Z1'i bulun \u003d 1 ve z2 \u003d 2, dolayısıyla, sonra parantez (z - 1) ve (z - 2) binomlarını çıkarabilirsin. Kalan ifadeyi bulmak için ardışık uzun bölme kullanın.