En büyük ortak bölen ve en küçük ortak kat, çalışmayı kolaylaştıran temel aritmetik kavramlardır. sıradan kesirler... LCM ve çoğunlukla çoklu kesirlerin ortak paydasını bulmak için kullanılır.
Temel konseptler
Bir X tamsayının böleni, X'i kalansız bölen başka bir Y tamsayıdır. Örneğin, 4'ün böleni 2'dir ve 36, 4, 6, 9'dur. X'in tam katı, X'e kalansız bölünebilen Y sayısıdır. Örneğin, 3, 15'in katıdır ve 6, 12'dir.
Herhangi bir sayı çiftinin ortak bölenlerini ve katlarını bulabiliriz. Örneğin, 6 ve 9 için ortak kat 18'dir ve ortak bölen 3'tür. Açıkçası, çiftlerin birkaç böleni ve katı olabilir, bu nedenle, OBEB'nin en büyük böleni ve LCM'nin en küçük katı kullanılır. hesaplamalar.
Herhangi bir sayı için her zaman bir olduğu için en küçük bölen anlamlı değildir. En büyük kat da anlamsızdır, çünkü katların dizisi sonsuzluğa meyleder.
GCD'yi bulma
En büyük ortak böleni bulmak için birçok yöntem vardır ve bunlardan en ünlüleri şunlardır:
- bölenlerin sıralı sayımı, bir çift için ortak seçimi ve bunların en büyüğünün aranması;
- sayıların bölünemez çarpanlara ayrılması;
- Euclid'in algoritması;
- ikili algoritma.
Bugün Eğitim Kurumları en popülerleri asal çarpanlara ayırma yöntemleri ve Öklid algoritmasıdır. İkincisi, sırayla, Diophantine denklemlerini çözmek için kullanılır: Denklemi tamsayılarda çözme olasılığını kontrol etmek için GCD'nin aranması gerekir.
NOC'yi bulma
En küçük ortak kat ayrıca sıralı numaralandırma veya bölünmez faktörlere çarpanlara ayırma ile belirlenir. Ayrıca, en büyük bölen zaten belirlenmişse, LCM'yi bulmak kolaydır. X ve Y sayıları için, LCM ve GCD aşağıdaki ilişkiyle ilişkilidir:
LCM (X, Y) = X × Y / GCD (X, Y).
Örneğin, OBEB (15.18) = 3 ise, LCM (15.18) = 15 × 18/3 = 90. LCM kullanmanın en bariz örneği, verilen kesirler için en küçük ortak kat olan ortak bir payda bulmaktır.
karşılıklı asal sayılar
Bir sayı çiftinin ortak böleni yoksa, böyle bir sayı çiftine asal denir. Bu tür çiftler için GCD her zaman bire eşittir ve bölenler ve katlar arasındaki bağlantıya dayalı olarak, ortak asal için LCM, bunların çarpımına eşittir. Örneğin, 25 ve 28 sayıları nispeten asaldır, çünkü ortak bölenleri yoktur ve LCM (25, 28) = 700, bunların çarpımına karşılık gelir. Herhangi iki bölünemez sayı her zaman karşılıklı asal olacaktır.
Ortak bölen ve çoklu hesap makinesi
Hesaplayıcımızla, aralarından seçim yapabileceğiniz isteğe bağlı sayıda sayı için GCD ve LCM'yi hesaplayabilirsiniz. Ortak bölenleri ve katları hesaplama görevleri 5, 6. sınıflarda aritmetikte bulunur, ancak GCD ve LCM matematikte anahtar kavramlardır ve sayı teorisi, planimetri ve iletişimsel cebirde kullanılır.
Gerçek hayattan örnekler
Kesirlerin ortak paydası
En küçük ortak kat, çoklu kesirlerin ortak paydasını bulmak için kullanılır. Bir aritmetik probleminde 5 kesrin toplanması gerektiğini varsayalım:
1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.
Kesirler eklemek için ifade, LCM'yi bulma sorununa indirgenen ortak bir paydaya indirgenmelidir. Bunu yapmak için hesap makinesinde 5 sayı seçin ve ilgili hücrelere paydaların değerlerini girin. Program LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360'ı hesaplayacaktır. Şimdi, LCM'nin paydaya oranı olarak tanımlanan her kesir için ek faktörleri hesaplamanız gerekiyor. Böylece, ek faktörler şöyle görünecektir:
- 360/8 = 45
- 360/9 = 40
- 360/12 = 30
- 360/15 = 24
- 360/18 = 20.
Bundan sonra, tüm kesirleri karşılık gelen ek faktörle çarparız ve şunu elde ederiz:
45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.
Bu tür kesirleri kolayca toplayabilir ve sonucu 159/360 biçiminde alabiliriz. Kesri 3 azaltıyoruz ve son cevabı görüyoruz - 53/120.
Lineer Diophant Denklemlerini Çözme
Doğrusal Diofant denklemleri, ax + by = d formunun ifadeleridir. d / gcd (a, b) oranı bir tam sayı ise, denklem tam sayılarda çözülebilir. Tamsayı çözümleri için birkaç denklemi kontrol edelim. İlk önce 150x + 8y = 37 denklemini kontrol edin. Hesap makinesini kullanarak OBEB (150.8) = 2'yi bulun. 37/2 = 18.5'i bölün. Sayı bir tam sayı değildir, bu nedenle denklemin tamsayı kökleri yoktur.
1320x + 1760y = 10120 denklemini kontrol edelim. GCD'yi (1320, 1760) = 440 bulmak için hesap makinesini kullanın. 10120/440 = 23'ü bölün. Sonuç olarak, bir tamsayı elde ederiz, bu nedenle Diophant denklemi tamsayı olarak çözülebilir katsayılar.
Çözüm
GCD ve LCM, sayı teorisinde büyük bir rol oynamaktadır ve kavramların kendileri matematiğin çeşitli alanlarında yaygın olarak kullanılmaktadır. Herhangi bir sayının en büyük bölenlerini ve en küçük katlarını hesaplamak için hesap makinemizi kullanın.
Matematiksel ifadeler ve problemler çok fazla ek bilgi gerektirir. NOC, özellikle sık kullanılan ana konulardan biridir. Konu lisede çalışılırken, materyali anlamak özellikle zor olmasa da, derecelere ve çarpım tablosuna aşina olan bir kişi gerekli olanı seçmekte zorlanmayacaktır. sayıları ve sonucu bulun.
Tanım
Ortak kat, aynı anda iki sayıya (a ve b) tamamen bölünebilen bir sayıdır. Çoğu zaman, bu sayı orijinal a ve b sayıları çarpılarak elde edilir. Sayı, sapma olmadan aynı anda her iki sayıya da bölünebilmelidir.
NOC kabul edilen isimdir kısa adı ilk harflerden toplanmıştır.
Numarayı almanın yolları
LCM'yi bulmak için sayıları çarpma yöntemi her zaman uygun değildir; basit tek basamaklı veya iki basamaklı sayılar için çok daha uygundur. Faktörlere bölmek gelenekseldir, sayı ne kadar büyükse, o kadar fazla faktör olacaktır.
Örnek 1
En basit örnek için, okullar genellikle basit, tek veya iki basamaklı sayılar kullanır. Örneğin, aşağıdaki sorunu çözmeniz gerekiyor, 7 ve 3 sayılarının en küçük ortak katını bulmanız gerekiyor, çözüm oldukça basit, çarpmanız yeterli. Sonuç olarak, 21 sayısı vardır, daha küçük bir sayı yoktur.
Örnek 2
Görevin ikinci çeşidi çok daha zor. 300 ve 1260 sayıları göz önüne alındığında, LCM'nin bulunması zorunludur. Görevi çözmek için aşağıdaki eylemler varsayılır:
Birinci ve ikinci sayıların en basit faktörlere ayrıştırılması. 300 = 2 2 * 3 * 5 2; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. İlk etap tamamlandı.
İkinci aşama, önceden alınmış verilerle çalışmayı içerir. Elde edilen sayıların her biri, nihai sonucun hesaplanmasına katılmalıdır. Orijinal sayıların bileşimindeki her faktör için en çok Büyük sayı olaylar. NOC toplam sayısı, bu nedenle, sayılardan gelen faktörler, bir kopyada bulunanlar bile, hepsinde bire tekrarlanmalıdır. Her iki orijinal sayı da bileşimlerinde 2, 3 ve 5 sayılarına sahiptir. farklı dereceler, 7 sadece bir durumda.
Nihai sonucu hesaplamak için, denklemde sunulan güçlerin en büyüğündeki her sayıyı almanız gerekir. Geriye kalan tek şey çarpmak ve doğru doldurma ile cevabı almaktır, görev açıklama yapmadan iki adıma sığar:
1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.
2) LCM = 6300.
Bütün sorun bu, gerekli sayıyı çarparak hesaplamaya çalışırsanız, 300 * 1260 = 378.000 olduğundan cevap kesinlikle doğru olmayacaktır.
muayene:
6300/300 = 21 - doğru;
6300/1260 = 5 - doğru.
Elde edilen sonucun doğruluğu kontrol edilerek belirlenir - LCM'nin her iki ilk sayıya bölünmesi, sayı her iki durumda da bir tam sayı ise, cevap doğrudur.
LCM matematikte ne anlama geliyor?
Bildiğiniz gibi, matematikte işe yaramaz tek bir fonksiyon yoktur, bu bir istisna değildir. Bu sayının en yaygın kullanımı, kesirleri ortak bir paydaya getirmektir. Genellikle 5-6. sınıflarda öğrenilenler lise... Ayrıca, problemde bu tür koşullar varsa, tüm katlar için ortak bir bölendir. Benzer bir ifade, yalnızca iki sayının katını değil, aynı zamanda çok daha büyük bir sayıyı da bulabilir - üç, beş vb. Nasıl daha fazla sayı- görevde daha fazla eylem var, ancak karmaşıklık bundan artmıyor.
Örneğin, 250, 600 ve 1500 sayıları verildiğinde, bunların toplam LCM'sini bulmanız gerekir:
1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 - bu örnek, çarpanlara ayırmayı iptal etmeden ayrıntılı olarak açıklar.
2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;
3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;
Bir ifade oluşturabilmek için tüm faktörlerin belirtilmesi gerekir, bu durumda 2, 5, 3 verilmiştir, - tüm bu sayılar için maksimum derecenin belirlenmesi gerekir.
Dikkat: Tüm çarpanlar, mümkünse, tek değerli olanlar düzeyine genişletilerek, eksiksiz sadeleştirmeye getirilmelidir.
muayene:
1) 3000/250 = 12 - doğru;
2) 3000/600 = 5 - doğru;
3) 3000/1500 = 2 - doğru.
Bu yöntem herhangi bir hile veya dahi düzeyinde yetenek gerektirmez, her şey basit ve anlaşılır.
Diğer yol
Matematikte çok şey bağlantılıdır, çok şey iki veya daha fazla şekilde çözülebilir, aynısı en küçük ortak kat olan LCM'yi bulmak için de geçerlidir. Basit iki basamaklı ve tek basamaklı sayılar durumunda aşağıdaki yöntem kullanılabilir. Çarpanın dikey, çarpanın yatay olarak girildiği ve ürünün sütunun kesişen hücrelerinde gösterildiği bir tablo derlenir. Tabloyu bir çizgi yardımıyla yansıtabilirsiniz, bir sayı alınır ve bu sayıyı 1'den sonsuza kadar tam sayılarla çarpmanın sonuçları arka arkaya yazılır, bazen 3-5 puan yeterlidir, ikinci ve sonraki sayılar aynı hesaplama işlemine tabi tutulmuştur. Ortak kat bulunana kadar her şey olur.
30, 35, 42 sayıları verildiğinde, tüm sayıları birleştiren LCM'yi bulmanız gerekir:
1) 30'un katları: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250, vb.
2) 35'in katları: 70, 105, 140, 175, 210, 245, vb.
3) 42'nin katları: 84, 126, 168, 210, 252, vb.
Tüm sayıların oldukça farklı olduğu dikkat çekiyor, aralarındaki tek ortak sayı 210, yani LCM olacak. Bu hesaplama ile ilgili işlemler arasında, benzer ilkelere göre hesaplanan ve komşu problemlerde sıklıkla karşılaşılan en büyük ortak bölen de vardır. Fark küçüktür, ancak yeterince önemlidir, LCM verilen tüm başlangıç değerlerine bölünen bir sayının hesaplanmasını varsayar ve GCD hesaplamayı varsayar. en büyük değer hangi orijinal sayılar bölünür.
"LCM - En Küçük Ortak Kat, Tanım, Örnekler" bölümünde başladığımız en küçük ortak kattan bahsetmeye devam edelim. Bu konumuzda, üç veya daha fazla sayı için LCM'yi bulmanın yollarına bakacağız, negatif bir sayının LCM'sini nasıl bulacağımız sorusunu analiz edeceğiz.
Yandex.RTB R-A-339285-1
En küçük ortak katın (LCM) gcd cinsinden hesaplanması
En küçük ortak kat ile en büyük ortak bölen arasındaki ilişkiyi zaten kurduk. Şimdi LCM'nin GCD açısından nasıl belirleneceğini öğreneceğiz. Önce pozitif sayılar için bunu nasıl yapacağımızı bulalım.
tanım 1
En küçük ortak katı, en büyük ortak bölen cinsinden LCM (a, b) = a b: OBEB (a, b) formülüyle bulabilirsiniz.
örnek 1
126 ve 70 sayılarının LCM'sini bulun.
Çözüm
a = 126, b = 70 alalım. En büyük ortak bölen LCM (a, b) = a b: OBEB (a, b) aracılığıyla en küçük ortak katı hesaplamak için formüldeki değerleri değiştirin.
70 ve 126 sayılarının gcd'sini bulur. Bunun için Euclid'in algoritmasına ihtiyacımız var: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, dolayısıyla GCD (126 , 70) = 14 .
LCM'yi hesaplıyoruz: LCM (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.
Yanıt vermek: LCM (126, 70) = 630.
Örnek 2
68 ve 34 numaralarının vuruşunu bulun.
Çözüm
GCD'de bu durumda 68, 34'e tam bölünebildiği için zor değil. En küçük ortak katı aşağıdaki formülü kullanarak hesaplıyoruz: LCM (68, 34) = 68 34: OBEB (68, 34) = 68 34: 34 = 68.
Yanıt vermek: LCM (68, 34) = 68.
Bu örnekte, a ve b pozitif tam sayıları için en küçük ortak katı bulma kuralını kullandık: ilk sayı ikinciye bölünebiliyorsa, bu sayıların LCM'si ilk sayıya eşit olacaktır.
Asal çarpanlara ayırma kullanarak LCM'yi bulma
Şimdi sayıları asal çarpanlara ayırmaya dayanan LCM'yi bulmanın bir yoluna bakalım.
tanım 2
En küçük ortak katı bulmak için birkaç basit adım uygulamamız gerekir:
- hepsinin ürününü oluştur asal faktörler LCM'yi bulmamız gereken sayılar;
- elde edilen ürünlerden tüm ana faktörleri hariç tutuyoruz;
- ortak asal çarpanlar çıkarıldıktan sonra elde edilen ürün bu sayıların LCM'sine eşit olacaktır.
Bu en küçük ortak katı bulma yöntemi, LCM (a, b) = a b: OBEB (a, b) eşitliğine dayanmaktadır. Formüle bakarsanız, netleşir: a ve b sayılarının çarpımı, bu iki sayının ayrışmasında yer alan tüm faktörlerin çarpımına eşittir. Bu durumda, iki sayının EBOB'u, bu iki sayının çarpanlarına ayırmalarında aynı anda bulunan tüm asal çarpanların çarpımına eşittir.
Örnek 3
75 ve 210 olmak üzere iki numaramız var. Bunları şu şekilde çarpanlarına ayırabiliriz: 75 = 3 5 5 ve 210 = 2 3 5 7... İki orijinal sayının tüm çarpanlarının çarpımını oluşturursanız, şunu elde edersiniz: 2 3 3 5 5 5 7.
Her iki sayı için ortak olan 3 ve 5 çarpanlarını hariç tutarsak, aşağıdaki biçimde bir ürün elde ederiz: 2 3 5 5 7 = 1050... Bu ürün, 75 ve 210 numaralar için LCM'miz olacaktır.
Örnek 4
Sayıların LCM'sini bulun 441 ve 700 her iki sayıyı da asal çarpanlarına genişleterek.
Çözüm
Bu durumda verilen sayıların tüm asal çarpanlarını bulalım:
441 147 49 7 1 3 3 7 7
700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7
İki sayı zinciri elde ederiz: 441 = 3 · 3 · 7 · 7 ve 700 = 2 · 2 · 5 · 5 · 7.
Bu sayıların ayrıştırılmasına katılan tüm faktörlerin ürünü şu şekilde olacaktır: 2 2 3 3 5 5 7 7 7... Ortak çarpanları bulun. Bu sayı 7'dir. Genel çalışmanın dışında bırakalım: 2 2 3 3 5 5 7 7... Görünüşe göre NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.
Yanıt vermek: LCM (441, 700) = 44 100.
Sayıları asal çarpanlara ayırarak LCM'yi bulma yönteminin bir formülünü daha verelim.
tanım 3
Daha önce, her iki sayı için ortak olan toplam faktör sayısından çıkarmıştık. Şimdi bunu farklı yapacağız:
- Her iki sayıyı da asal çarpanlarına ayıralım:
- ikinci sayının eksik çarpanlarını birinci sayının asal çarpanlarının çarpımına ekleyin;
- iki sayının istenen LCM'si olacak ürünü elde ederiz.
Örnek 5
Önceki örneklerden birinde LCM'yi aradığımız 75 ve 210 sayılarına geri dönelim. Bunları asal faktörlere ayıralım: 75 = 3 5 5 ve 210 = 2 3 5 7... 3, 5 ve faktörlerin çarpımına 5 75 sayısı eksik faktörleri ekler 2 ve 7 210 numara. Alırız: 2 · 3 · 5 · 5 · 7. Bu, 75 ve 210 numaralarının LCM'sidir.
Örnek 6
84 ve 648 sayılarının LCM'sini hesaplayın.
Çözüm
Koşuldaki sayıları asal çarpanlarına ayıralım: 84 = 2 2 3 7 ve 648 = 2 2 2 3 3 3 3... Ürüne 2, 2, 3 ve çarpanlarını ekleyin. 7
84 numaralı eksik çarpanlar 2, 3, 3 ve
3
648 numara. işi alırız 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. Bu, 84 ve 648'in en küçük ortak katıdır.
Yanıt vermek: LCM (84, 648) = 4,536.
Üç veya daha fazla sayının LCM'sini bulma
Kaç sayı ile uğraştığımıza bakılmaksızın, eylemlerimizin algoritması her zaman aynı olacaktır: sırayla iki sayının LCM'sini bulacağız. Bu durum için bir teorem var.
teorem 1
Diyelim ki tamsayılarımız var bir 1, bir 2,…, bir k... NOC mk bu sayılardan m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3),…, m k = LCM (m k - 1, a k) sıralı olarak hesaplanarak bulunur.
Şimdi teoremi belirli problemleri çözmek için nasıl uygulayabileceğinize bakalım.
Örnek 7
140, 9, 54 ve dört sayının en küçük ortak katını hesaplayın 250 .
Çözüm
Şu gösterimi tanıtalım: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.
m 2 = LCM (a 1, a 2) = LCM (140, 9) hesaplayarak başlayalım. 140 ve 9 sayılarının GCD'sini hesaplamak için Euclid'in algoritmasını uyguluyoruz: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Şunu elde ederiz: OBEB (140, 9) = 1, LCM (140, 9) = 140 9: OBEB (140, 9) = 140 9: 1 = 1 260. Bu nedenle, m2 = 1.260.
Şimdi aynı algoritma ile hesaplıyoruz m 3 = LCM (m 2, a 3) = LCM (1 260, 54). Hesaplamalar sırasında m 3 = 3 780 elde ederiz.
Geriye m 4 = LCM (m 3, a 4) = LCM (3 780, 250) hesaplamak kalıyor. Aynı algoritmayı takip ediyoruz. m4 = 94.500 elde ederiz.
Örnek koşuldaki dört sayının LCM'si 94500'dür.
Yanıt vermek: LCM (140, 9, 54, 250) = 94.500.
Gördüğünüz gibi, hesaplamalar basit ama oldukça zahmetli. Zaman kazanmak için diğer tarafa gidebilirsiniz.
tanım 4
Size aşağıdaki eylem algoritmasını sunuyoruz:
- tüm sayıları asal çarpanlara ayırın;
- birinci sayının çarpanlarının çarpımına, ikinci sayının çarpımından eksik çarpanları ekleyin;
- önceki aşamada elde edilen ürüne üçüncü sayının eksik çarpanlarını ekleyin, vb.;
- elde edilen ürün, koşuldaki tüm sayıların en küçük ortak katı olacaktır.
Örnek 8
84, 6, 48, 7, 143 numaralı beş sayının LCM'sini bulmak gerekir.
Çözüm
Beş sayıyı da asal çarpanlarına ayıralım: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. 7 sayısı olan asal sayılar asal çarpanlarına ayrılamaz. Bu tür sayılar asal çarpanlarına ayırma ile çakışır.
Şimdi 84'ün 2, 2, 3 ve 7 asal çarpanlarının çarpımını alın ve ikinci sayının eksik çarpanlarını bunlara ekleyin. 6 sayısını 2 ve 3'e böldük. Bu faktörler zaten ilk sayının ürünündedir. Bu nedenle, onları atlıyoruz.
Eksik faktörleri eklemeye devam ediyoruz. 2 ve 2'yi aldığımız asal çarpanlarının çarpımından 48 sayısına geçiyoruz. Ardından dördüncü sayının 7 asal çarpanını ve beşinci sayının 11 ve 13 çarpanlarını ekleyin. Şunu elde ederiz: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48 048. Bu, orijinal beş sayının en küçük ortak katıdır.
Yanıt vermek: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48.048.
Negatif Sayıların En Küçük Ortak Katını Bulma
Negatif sayıların en küçük ortak katını bulmak için önce bu sayıların zıt işaretli sayılarla yer değiştirmesi ve daha sonra yukarıdaki algoritmalar kullanılarak hesaplamaların yapılması gerekir.
Örnek 9
LCM (54, - 34) = LCM (54, 34) ve LCM (- 622, - 46, - 54, - 888) = LCM (622, 46, 54, 888).
Bu tür eylemlere izin verilir, çünkü bunu kabul edersek a ve - a- zıt sayılar,
sonra katlar kümesi a katlar kümesiyle eşleşir - a.
Örnek 10
Negatif sayıların LCM'sini hesaplamak gerekir − 145 ve − 45 .
Çözüm
sayıları değiştirelim − 145 ve − 45 zıt sayılarda 145 ve 45 ... Şimdi, algoritmaya göre, daha önce Öklid algoritmasına göre GCD'yi belirlemiş olan LCM (145, 45) = 145 45: GCD (145, 45) = 145 45: 5 = 1 305'i hesaplıyoruz.
Sayıların LCM'sinin 145 olduğunu ve − 45 eşittir 1 305 .
Yanıt vermek: LCM (- 145, - 45) = 1.305.
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen seçin ve Ctrl + Enter tuşlarına basın
