Ortalama değer, bir olgunun tipik seviyesini karakterize eden genel bir göstergedir. Popülasyonun birimi başına bir özelliğin değerini ifade eder.

Ortalama değer:

1) popülasyon için özelliğin en tipik değeri;

2) Nüfusun birimleri arasında eşit olarak dağıtılan nüfus özelliğinin hacmi.

Ortalama değerin hesaplandığı özelliğe istatistiklerde “ortalama” denir.

Ortalama her zaman bir özelliğin niceliksel değişimini genelleştirir; ortalama değerlerde popülasyondaki birimler arasında rastgele durumlardan kaynaklanan bireysel farklılıklar ortadan kaldırılır. Ortalamanın aksine, bir popülasyonun bireysel bir biriminin bir özelliğinin seviyesini karakterize eden mutlak değer, bir özelliğin değerlerinin farklı popülasyonlara ait birimler arasında karşılaştırılmasına izin vermez. Dolayısıyla, iki işletmedeki işçilerin ücret düzeylerini karşılaştırmanız gerekiyorsa, karşılaştıramazsınız. bu karakteristik farklı şirketlerden iki işçi. Karşılaştırma için seçilen işçilerin ücretleri bu işletmeler için tipik olmayabilir. Söz konusu işletmelerdeki ücret fonlarının büyüklüğünü karşılaştırırsak, çalışan sayısı dikkate alınmaz ve bu nedenle ücret düzeyinin nerede daha yüksek olduğunu belirlemek imkansızdır. Sonuçta yalnızca ortalama göstergeler karşılaştırılabilir; Her işletmede bir çalışan ortalama ne kadar kazanıyor? Yani hesaplamaya ihtiyaç var ortalama boyut Nüfusun genelleştirici bir özelliği olarak.

Ortalama alma işlemi sırasında, nitelik seviyelerinin toplam değerinin veya nihai değerinin (bir dinamik seride ortalama seviyelerin hesaplanması durumunda) değişmeden kalması gerektiğine dikkat etmek önemlidir. Başka bir deyişle ortalama değer hesaplanırken incelenen özelliğin hacminin bozulmaması ve ortalama hesaplanırken derlenen ifadelerin mutlaka anlamlı olması gerekir.

Ortalamanın hesaplanması yaygın genelleme tekniklerinden biridir; ortalama gösterge, incelenen popülasyonun tüm birimleri için ortak (tipik) olanı reddederken, aynı zamanda bireysel birimlerin farklılıklarını da göz ardı eder. Her olguda ve onun gelişiminde tesadüf ve zorunluluğun bir birleşimi vardır. Kanun gereği ortalamalar hesaplanırken büyük sayılar kazalar iptal edilir, dengelenir, böylece olgunun önemsiz özelliklerinden, her bir özel durumda niteliğin niceliksel değerlerinden soyutlamak mümkündür. Bireysel değerlerin ve dalgalanmaların rastgeleliğinden soyutlama yeteneği, toplamların genelleştirici özellikleri olarak ortalamaların bilimsel değerinde yatmaktadır.

Ortalamanın gerçek anlamda temsili olabilmesi için belirli ilkeler dikkate alınarak hesaplanması gerekir.

Bazılarına bakalım Genel İlkeler ortalama değerlerin uygulanması.

1. Niteliksel olarak homojen birimlerden oluşan popülasyonlar için ortalama belirlenmelidir.

2. Ortalama, yeterli sayıda nüfustan oluşan bir nüfus için hesaplanmalıdır. çok sayıda birimler.

3. Ortalama, birimleri normal, doğal durumda olan bir nüfus için hesaplanmalıdır.

4. Ortalama, incelenen göstergenin ekonomik içeriği dikkate alınarak hesaplanmalıdır.

5.2. Ortalama türleri ve bunları hesaplama yöntemleri

Şimdi ortalama değer türlerini, hesaplamalarının özelliklerini ve uygulama alanlarını ele alalım. Ortalama değerler iki büyük sınıfa ayrılır: güç ortalamaları, yapısal ortalamalar.

Kuvvet ortalamaları geometrik ortalama, aritmetik ortalama ve kare ortalama gibi en bilinen ve en sık kullanılan türleri içerir.

Mod ve medyan yapısal ortalamalar olarak kabul edilir.

Güç ortalamalarına odaklanalım. Kaynak verinin sunumuna bağlı olarak güç ortalamaları basit veya ağırlıklı olabilir. Basit ortalama Gruplandırılmamış verilere dayanarak hesaplanır ve aşağıdaki genel forma sahiptir:

burada Xi, ortalaması alınan özelliğin değişkenidir (değeri);

n – sayı seçeneği.

Ağırlıklı ortalama gruplandırılmış verilere göre hesaplanır ve genel bir görünüme sahiptir

burada Xi, ortalaması alınan özelliğin varyantı (değeri) veya varyantın ölçüldüğü aralığın orta değeridir;

m – ortalama derece indeksi;

f i – kaç kez meydana geldiğini gösteren frekans i-e değeri ortalama özelliği.

Aynı başlangıç verileri için tüm ortalama türlerini hesaplarsanız, değerleri farklı olacaktır. Ortalamaların çoğunluğu kuralı burada geçerlidir: m üssü arttıkça karşılık gelen ortalama değer de artar:

İstatistiksel uygulamada, aritmetik ortalamalar ve harmonik ağırlıklı ortalamalar, diğer ağırlıklı ortalama türlerinden daha sık kullanılır.

Güç türleri

Bir tür güç ortalama	Dizin derece (m)	Hesaplama formülü
Bir tür güç ortalama	Dizin derece (m)	Basit	Ağırlıklı
Harmonik
Geometrik
Aritmetik
İkinci dereceden
kübik

Harmonik ortalama, aritmetik ortalamaya göre daha karmaşık bir yapıya sahiptir. Harmonik ortalama, popülasyonun birimleri (karakteristiğin taşıyıcıları) ağırlık olarak kullanılmadığında, ancak bu birimlerin karakteristik değerlerine göre çarpımı (yani m = Xf) kullanıldığında hesaplamalar için kullanılır. Örneğin, iki (üç, dört vb.) işletme, imalatta çalışan işçiler için ortalama işçilik maliyeti, zaman, üretim birimi başına malzeme, bir parça başına ortalama maliyetin belirlenmesi durumunda ortalama harmonik basite başvurulmalıdır. aynı tür ürün, aynı parça, ürün.

Ortalama değerin hesaplanmasına yönelik formülün temel gereksinimi, hesaplamanın tüm aşamalarının gerçekten anlamlı bir gerekçeye sahip olmasıdır; ortaya çıkan ortalama değer, bireysel ve özet göstergeler arasındaki bağlantıyı bozmadan, her nesne için özniteliğin bireysel değerlerinin yerini almalıdır. Başka bir deyişle, ortalama değer, ortalama göstergenin her bir değeri kendi ortalama değeri ile değiştirildiğinde, ortalama göstergeye şu veya bu şekilde bağlanan bazı nihai özet göstergeler değişmeden kalacak şekilde hesaplanmalıdır. Bu toplam denir tanımlayan bireysel değerlerle olan ilişkisinin niteliği, ortalama değeri hesaplamak için özel formülü belirlediğinden. Geometrik ortalama örneğini kullanarak bu kuralı gösterelim.

Geometrik ortalama formülü

Bireysel göreceli dinamiklere dayalı ortalama değer hesaplanırken en sık kullanılır.

Geometrik ortalama, örneğin bir önceki yılın seviyesine kıyasla üretim hacmindeki artışı gösteren bir dizi göreceli zincir dinamiği verilirse kullanılır: i 1, i 2, i 3,…, i n. Açıkçası, geçen yılki üretim hacmi, başlangıç seviyesine (q 0) ve yıllar içindeki müteakip artışa göre belirlenir:

q n =q 0 × ben 1 × ben 2 ×…×i n .

Qn'yi belirleyici gösterge olarak alıp dinamik göstergelerin bireysel değerlerini ortalama değerlerle değiştirerek ilişkiye ulaşıyoruz

Buradan

Çalışmak için özel bir ortalama türü (yapısal ortalamalar) kullanılır iç yapı hesaplaması mevcut istatistiksel verilere göre gerçekleştirilemiyorsa (örneğin, ele alınan örnekte hem hacim hem de hacim hakkında veri yoksa), ortalama değerin (güç türü) tahmin edilmesinin yanı sıra, nitelik değerlerinin bir dizi dağılımı işletme grupları için üretim ve maliyet miktarı).

Göstergeler çoğunlukla yapısal ortalamalar olarak kullanılır moda -özelliğin en sık tekrarlanan değeri – ve medyanlar – değerlerinin sıralı sırasını iki eşit parçaya bölen bir özelliğin değeri. Sonuç olarak popülasyondaki birimlerin yarısı için niteliğin değeri medyan düzeyini aşmaz, diğer yarısı için de medyan düzeyini aşmaz.

İncelenen karakteristik ayrık değerlere sahipse, o zaman özel zorluklar Hesaplarken mod veya medyan yoktur. X özelliğinin değerlerine ilişkin veriler, değişiminin sıralı aralıkları (aralık serisi) şeklinde sunulursa, mod ve medyanın hesaplanması biraz daha karmaşık hale gelir. Medyan değer tüm popülasyonu iki eşit parçaya böldüğü için X karakteristiğinin aralıklarından birinde sona erer. Enterpolasyon kullanılarak medyan değeri bu medyan aralıkta bulunur:

burada X Me medyan aralığının alt sınırıdır;

h Ben – değeri;

(Toplam m)/2 – toplam gözlem sayısının yarısı veya ortalama değerin hesaplanmasına yönelik formüllerde ağırlıklandırma olarak kullanılan göstergenin hacminin yarısı (mutlak veya göreceli olarak);

S Me-1 – medyan aralığın başlangıcından önce biriken gözlemlerin toplamı (veya ağırlıklandırma özelliğinin hacmi);

m Me – medyan aralıktaki gözlem sayısı veya ağırlıklandırma karakteristiğinin hacmi (aynı zamanda mutlak veya göreceli olarak).

Bir aralık serisinin verilerine dayanarak bir karakteristiğin modal değerini hesaplarken, X karakteristiğinin değerlerinin tekrarlanabilirlik göstergesi buna bağlı olduğundan aralıkların aynı olmasına dikkat etmek gerekir. eşit aralıklarla bir aralık serisi, modun büyüklüğü şu şekilde belirlenir:

burada X Mo modal aralığın alt değeridir;

m Mo – modal aralıktaki gözlem sayısı veya ağırlıklandırma karakteristiğinin hacmi (mutlak veya göreceli olarak);

m Mo-1 – modal olandan önceki aralık için aynı;

m Mo+1 – modal olanı takip eden aralık için aynı;

h – gruplardaki karakteristik değişim aralığının değeri.

GÖREV 1

Raporlama yılı için sanayi işletmeleri grubu için aşağıdaki veriler mevcuttur:

№ işletmeler	Ürün hacmi, milyon ruble.		Ortalama çalışan sayısı, kişi.	Kâr, bin ruble
	197,7	10,0		13,5
		22,8	1500	136,2
	465,5	18,4	1412	97,6
	296,2	12,6	1200	44,4
	584,1	22,0	1485	146,0
	480,0	119,0	1420	110,4
	57805	21,6	1390	138,7
	204,7			30,6
	466,8	19,4	1375	111,8
	292,2	113,6	1200	49,6
	423,1	17,6	1365	105,8
	192,6			30,7
	360,5	14,0	1290	64,8
	280,3	10,2		33,3

Ürün alışverişi için işletmelerin aşağıdaki aralıklarla gruplandırılması gerekmektedir:

200 milyon rubleye kadar

200 ila 400 milyon ruble.

400 ila 600 milyon ruble.

Her grup için ve hep birlikte işletme sayısını, üretim hacmini, ortalama çalışan sayısını, çalışan başına ortalama çıktıyı belirleyin. Gruplandırma sonuçlarını istatistiksel bir tablo biçiminde sunun. Bir sonuç formüle edin.

ÇÖZÜM

İşletmeleri ürün alışverişine göre gruplandıracağız, basit ortalama formülü kullanarak işletme sayısını, üretim hacmini ve ortalama çalışan sayısını hesaplayacağız. Gruplandırma ve hesaplamaların sonuçları bir tabloda özetlenmiştir.

Ürün hacmine göre gruplar	№ işletmeler	Ürün hacmi, milyon ruble.	Sabit varlıkların ortalama yıllık maliyeti, milyon ruble.	Orta uyku çok sayıda çalışan, insan.	Kâr, bin ruble	Çalışan başına ortalama çıktı
1 grup 200 milyon rubleye kadar	1,8,12	197,7 204,7 192,6	10,0 9,4 8,8	900 817	13,5 30,6 30,7
			28,2	2567	74,8	0,23
Ortalama seviye		198,3			24,9
2. grup 200 ila 400 milyon ruble.	4,10,13,14	196,2 292,2 360,5 280,3	12,6 113,6 14,0 10,2	1200 1200 1290	44,4 49,6 64,8 33,3
		1129,2	150,4	4590	192,1	0,25
Ortalama seviye		282,3	37,6	1530	64,0
3 grup 400'den 600 milyon	2,3,5,6,7,9,11	592 465,5 584,1 480,0 578,5 466,8 423,1	22,8 18,4 22,0 119,0 21,6 19,4 17,6	1500 1412 1485 1420 1390 1375 1365	136,2 97,6 146,0 110,4 138,7 111,8 105,8
		3590	240,8	9974	846,5	0,36
Ortalama seviye		512,9	34,4	1421	120,9
Toplam toplam		5314,2	419,4	17131	1113,4	0,31
Ortalamada		379,6	59,9	1223,6	79,5

Çözüm. Dolayısıyla, söz konusu nüfusta, üretim hacmi açısından en fazla sayıda işletme üçüncü gruba (işletmelerin yedisi veya yarısı) girmiştir. Sabit varlıkların ortalama yıllık maliyeti ve ortalama çalışan sayısı - 9974 kişi - bu gruptadır; ilk gruptaki işletmeler en az karlı olanlardır.

GÖREV 2

Şirketin işletmelerine ilişkin aşağıdaki veriler mevcuttur:

Şirkete dahil olan işletme sayısı	çeyreklik	II çeyrek
	Ürün çıktısı, bin ruble.	İşçilerin çalıştığı adam-gün sayısı	İşçi başına günlük ortalama çıktı, ovmak.
	59390,13

ortalama değer- bu, niteliksel olarak homojen bir nüfusu belirli bir niceliksel özelliğe göre karakterize eden genel bir göstergedir. Örneğin, ortalama yaş hırsızlık suçundan hüküm giymiş kişiler.

Adli istatistiklerde ortalama değerler aşağıdakileri karakterize etmek için kullanılır:

Bu kategorideki vakaların değerlendirilmesi için ortalama süre;

Ortalama talep büyüklüğü;

Dava başına ortalama sanık sayısı;

Ortalama hasar;

Hakimlerin ortalama iş yükü vb.

Ortalama her zaman adlandırılmış bir değerdir ve popülasyonun bireysel biriminin özelliği ile aynı boyuta sahiptir. Her ortalama değer, üzerinde çalışılan popülasyonu değişen herhangi bir özelliğe göre karakterize eder; bu nedenle, her ortalama değerin arkasında, bu popülasyonun birimlerinin, çalışılan özelliğe göre bir dizi dağılımı yatar. Ortalama türünün seçimi, göstergenin içeriğine ve ortalama değerin hesaplanmasına yönelik ilk verilere göre belirlenir.

İstatistiksel araştırmalarda kullanılan tüm ortalama türleri iki kategoriye ayrılır:

1) güç ortalamaları;

2) yapısal ortalamalar.

Ortalamaların ilk kategorisi şunları içerir: aritmetik ortalama, harmonik ortalama, geometrik ortalama Ve Kök kare ortalama . İkinci kategori ise moda Ve medyan. Ayrıca, listelenen güç ortalama türlerinin her birinin iki biçimi olabilir: basit Ve ağırlıklı . Ortalamanın basit formu, hesaplama gruplanmamış istatistiksel veriler üzerinde yapıldığında veya toplamdaki her seçeneğin yalnızca bir kez ortaya çıktığı durumlarda, incelenen özelliğin ortalama değerini elde etmek için kullanılır. Ağırlıklı ortalamalar, nitelik değerlerinin varyantlarının farklı sayılara sahip olabileceğini ve bu nedenle her varyantın karşılık gelen frekansla çarpılması gerektiğini dikkate alan değerlerdir. Başka bir deyişle, her seçenek sıklığına göre "ağırlıklandırılır". Frekansa istatistiksel ağırlık denir.

Basit aritmetik ortalama- en yaygın ortalama türü. Karakteristiğin bireysel değerlerinin toplamına bölünerek eşittir. toplam sayısı bu değerler:

Nerede x 1 ,x 2 , … ,xN değişen karakteristiklerin (varyantların) bireysel değerleridir ve N, popülasyondaki birimlerin sayısıdır.

Aritmetik ortalama ağırlıklı Verilerin dağılım serileri veya gruplamalar şeklinde sunulduğu durumlarda kullanılır. Seçeneklerin çarpımlarının ve bunlara karşılık gelen frekansların toplamının, tüm seçeneklerin frekanslarının toplamına bölünmesiyle hesaplanır:

Nerede x ben- Anlam Benözelliğin varyantları; ben- sıklık Ben seçenekleri.

Bu nedenle, her değişkenin değeri frekansına göre ağırlıklandırılır; bu nedenle frekanslara bazen istatistiksel ağırlıklar da denir.

Yorum. Türünü belirtmeden aritmetik ortalamadan bahsettiğimizde basit aritmetik ortalamayı kastediyoruz.

Tablo 12.

Çözüm. Hesaplamak için ağırlıklı aritmetik ortalama formülünü kullanırız:

Yani her ceza davasında ortalama iki sanık bulunmaktadır.

Ortalama değerin hesaplanması, aralık dağılım serisi şeklinde gruplandırılmış veriler kullanılarak gerçekleştiriliyorsa, önce her x"i aralığının orta değerlerini belirlemeniz ve ardından aritmetik ağırlıklı ortalamayı kullanarak ortalama değeri hesaplamanız gerekir. xi yerine x"i'nin değiştirildiği formül.

Örnek. Hırsızlıktan hüküm giymiş suçluların yaşına ilişkin veriler tabloda sunulmaktadır:

Tablo 13.

Hırsızlıktan hüküm giymiş suçluların ortalama yaşını belirleyin.

Çözüm. Bir aralık varyasyon serisine göre suçluların ortalama yaşını belirlemek için öncelikle aralıkların orta değerlerini bulmak gerekir. İlk ve son açık aralıkları olan bir aralık serisi verildiğinden bu aralıkların değerleri bitişik kapalı aralıkların değerlerine eşit olarak alınır. Bizim durumumuzda ilk ve son aralıkların değerleri 10'a eşittir.

Şimdi ağırlıklı aritmetik ortalama formülünü kullanarak suçluların ortalama yaşını buluyoruz:

Yani hırsızlık suçundan hüküm giymiş suçluların ortalama yaşı yaklaşık 27'dir.

Ortalama harmonik basit özelliğin ters değerlerinin aritmetik ortalamasının tersini temsil eder:

nerede 1/ x ben seçeneklerin ters değerleridir ve N, popülasyondaki birim sayısıdır.

Örnek. Ceza davaları değerlendirilirken bölge mahkemesi hakimlerinin ortalama yıllık iş yükünü belirlemek için bu mahkemenin 5 hakiminin iş yüküne ilişkin bir çalışma yapıldı. Ankete katılan hakimlerin her biri için bir ceza davasına harcanan ortalama sürenin eşit olduğu ortaya çıktı (gün olarak): 6, 0, 5, 6, 6, 3, 4, 9, 5, 4. Bir ceza davasının ortalama maliyetini bulun. ceza davası ve belirli bir bölge mahkemesindeki hakimlerin ceza davalarını değerlendirirken üzerindeki ortalama yıllık iş yükü.

Çözüm. Bir ceza davasına harcanan ortalama süreyi belirlemek için harmonik ortalama formülünü kullanırız:

Hesaplamaları basitleştirmek için, örnekte, hafta sonları da dahil olmak üzere bir yıldaki gün sayısını 365 olarak alıyoruz (bu, hesaplama metodolojisini etkilemez ve pratikte benzer bir göstergeyi hesaplarken, çalışma sayısını değiştirmek gerekir) 365 gün yerine belirli bir yılın günleri). Bu durumda, ceza davalarını değerlendirirken belirli bir bölge mahkemesindeki hakimlerin ortalama yıllık iş yükü şu şekilde olacaktır: 365 (gün): 5,56 ≈ 65,6 (dava).

Bir ceza davasına harcanan ortalama süreyi belirlemek için basit aritmetik ortalama formülünü kullanırsak şunu elde ederiz:

365 (gün): 5,64 ≈ 64,7 (vaka), yani. hakimlerin ortalama iş yükünün daha az olduğu ortaya çıktı.

Bu yaklaşımın geçerliliğini kontrol edelim. Bunu yapmak için, her hakimin bir ceza davası için harcadığı süreye ilişkin verileri kullanacak ve her bir hakimin yıllık olarak ele aldığı ceza davası sayısını hesaplayacağız.

buna göre alıyoruz:

365(gün) : 6 ≈ 61 (vaka), 365(gün) : 5,6 ≈ 65,2 (vaka), 365(gün) : 6,3 ≈ 58 (vaka),

365(gün) : 4,9 ≈ 74,5 (vaka), 365(gün) : 5,4 ≈ 68 (vaka).

Şimdi ceza davalarını değerlendirirken belirli bir bölge mahkemesindeki hakimlerin ortalama yıllık iş yükünü hesaplayalım:

Onlar. ortalama yıllık yük, harmonik ortalama kullanıldığındakiyle aynıdır.

Bu nedenle aritmetik ortalamayı kullanarak bu durumda yasadışı.

Bir özelliğin varyantlarının ve bunların hacimsel değerlerinin (varyantların ve frekansın çarpımı) bilindiği ancak frekansların bilinmediği durumlarda ağırlıklı harmonik ortalama formülü kullanılır:

Nerede x benözellik seçeneklerinin değerleri ve w i seçeneklerin hacimsel değerleridir ( w ben = x ben f ben).

Örnek. Ceza sisteminin çeşitli kurumları tarafından üretilen aynı tip ürünün birim fiyatı ve satış hacmine ilişkin veriler Tablo 14'te verilmektedir.

Tablo 14

Ürünün ortalama satış fiyatını bulun.

Çözüm. Ortalama fiyatı hesaplarken satış tutarının satılan adet sayısına oranını kullanmalıyız. Satılan adet sayısını bilmiyoruz ama mal satış miktarını biliyoruz. Bu nedenle satılan malların ortalama fiyatını bulmak için ağırlıklı harmonik ortalama formülünü kullanacağız. Aldık

Burada aritmetik ortalama formülünü kullanırsanız gerçekçi olmayacak bir ortalama fiyat elde edebilirsiniz:

Geometrik ortalamaözellik değişkenlerinin tüm değerlerinin çarpımından N derecesinin kökü çıkarılarak hesaplanır:

Nerede x 1 ,x 2 , … ,xN- değişen karakteristiklerin (varyantların) bireysel değerleri ve

N- popülasyondaki birim sayısı.

Bu ortalama türü, zaman serilerinin ortalama büyüme oranlarını hesaplamak için kullanılır.

Ortalama kare varyasyonun bir göstergesi olan standart sapmayı hesaplamak için kullanılır ve aşağıda tartışılacaktır.

Nüfusun yapısını belirlemek için özel ortalama göstergeler kullanılır; medyan Ve moda veya sözde yapısal ortalamalar. Aritmetik ortalama, nitelik değerlerinin tüm değişkenlerinin kullanımına dayalı olarak hesaplanırsa, medyan ve mod, sıralanmış (sıralı) seride belirli bir ortalama konumu işgal eden değişkenin değerini karakterize eder. İstatistiksel bir popülasyonun birimleri, incelenen özelliğin varyantlarının artan veya azalan sırasına göre sıralanabilir.

Medyan (Ben)- bu, sıralanan serinin ortasında yer alan seçeneğe karşılık gelen değerdir. Dolayısıyla medyan, sıralanmış serinin her iki tarafında da eşit sayıda nüfus birimi olması gereken versiyonudur.

Medyanı bulmak için öncelikle aşağıdaki formülü kullanarak sıralanmış serideki seri numarasını belirlemeniz gerekir:

burada N serinin hacmidir (popülasyondaki birim sayısı).

Seri tek sayıda terimden oluşuyorsa medyan N Me numaralı seçeneğe eşittir. Seri çift sayıda terimden oluşuyorsa ortanca, ortada yer alan iki bitişik seçeneğin aritmetik ortalaması olarak tanımlanır.

Örnek. 1, 2, 3, 3, 6, 7, 9, 9, 10 şeklinde sıralanmış bir seri veriliyor. Serinin hacmi N = 9, yani N Me = (9 + 1) / 2 = 5. Dolayısıyla Me = 6, yani . beşinci seçenek. Satıra 1, 5, 7, 9, 11, 14, 15, 16 verilirse, yani. çift sayıda terimi olan seri (N = 8), o zaman N Me = (8 + 1) / 2 = 4,5. Bu, medyanın dördüncü ve beşinci seçeneklerin toplamının yarısına eşit olduğu anlamına gelir; Ben = (9 + 11) / 2 = 10.

Ayrık bir varyasyon serisinde medyan, birikmiş frekanslar tarafından belirlenir. Seçeneğin frekansları, ilkinden başlayarak medyan sayıyı geçinceye kadar toplanır. Son toplanan seçeneklerin değeri medyan olacaktır.

Örnek. Tablo 12'deki verileri kullanarak ceza davası başına ortalama sanık sayısını bulun.

Çözüm. Bu durumda varyasyon serisinin hacmi N = 154, dolayısıyla N Me = (154 + 1) / 2 = 77,5 olur. Birinci ve ikinci seçeneklerin frekanslarını topladıktan sonra şunu elde ederiz: 75 + 43 = 118, yani. ortalama rakamı aştık. Yani Ben = 2.

Bir aralık varyasyon serisinde dağılım ilk olarak medyanın yer alacağı aralığı belirtir. O aradı medyan . Bu, birikmiş frekansı aralık değişim serisinin hacminin yarısını aşan ilk aralıktır. Daha sonra medyanın sayısal değeri aşağıdaki formülle belirlenir:

Nerede x ben- ortanca aralığın alt sınırı; i medyan aralığın değeridir; S Me-1- medyandan önceki aralığın birikmiş frekansı; f ben- medyan aralığın frekansı.

Örnek. Tablo 13'te sunulan istatistiklere dayanarak hırsızlıktan hüküm giymiş suçluların ortalama yaşını bulun.

Çözüm.İstatistiksel veriler bir aralık varyasyon serisiyle sunulur; bu, ilk önce medyan aralığını belirlediğimiz anlamına gelir. Popülasyonun hacmi N = 162 olduğundan medyan aralık 18-28 aralığıdır çünkü bu, birikmiş frekansı (15 + 90 = 105) aralık değişim serisinin hacminin yarısını (162: 2 = 81) aşan ilk aralıktır. Şimdi yukarıdaki formülü kullanarak medyanın sayısal değerini belirliyoruz:

Yani hırsızlık suçundan hüküm giyenlerin yarısı 25 yaşın altındadır.

Moda (Ay) Nüfusun birimlerinde en sık bulunan bir özelliğin değerini çağırırlar. Moda, en yaygın olan bir özelliğin değerini belirlemek için kullanılır. Ayrık bir seri için mod, en yüksek frekansa sahip seçenek olacaktır. Örneğin Tablo 3'te sunulan ayrık seriler için Ay= 1, çünkü bu değer en yüksek frekansa (75) karşılık gelir. Aralık serisinin modunu belirlemek için önce şunu belirleyin: modal aralık (en yüksek frekansa sahip aralık). Daha sonra bu aralık içerisinde mod olabilecek özelliğin değeri bulunur.

Değeri aşağıdaki formül kullanılarak bulunur:

Nerede x Ay- modal aralığın alt sınırı; i modal aralığın değeridir; f Mo- modal aralığın frekansı; f Mo-1- modal olandan önceki aralığın frekansı; fMo+1- modal olanı takip eden aralığın frekansı.

Örnek. Verileri Tablo 13'te sunulan hırsızlık suçundan hüküm giymiş suçluların yaşını bulun.

Çözüm. En yüksek frekans 18-28 aralığına karşılık gelir, bu nedenle modun bu aralıkta olması gerekir. Değeri yukarıdaki formülle belirlenir:

Bu nedenle hırsızlıktan hüküm giyen en fazla suçlu 24 yaşındadır.

Ortalama değer, incelenen olgunun tamamının genel bir özelliğini sağlar. Bununla birlikte, aynı ortalama değerlere sahip iki popülasyon, incelenen özelliğin değerindeki dalgalanma (varyasyon) derecesi açısından birbirinden önemli ölçüde farklı olabilir. Örneğin bir mahkemede şu hapis cezaları uygulandı: 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 12, 12, 15 yıl ve diğerinde - 5, 5, 6, 6, 7, 7 , 7, 8, 8, 8 yaşında. Her iki durumda da aritmetik ortalama 6,7 yıldır. Bununla birlikte, bu popülasyonlar, belirlenen hapis cezasının bireysel değerlerinin ortalama değere göre yayılması açısından birbirinden önemli ölçüde farklılık göstermektedir.

Bu yayılmanın oldukça büyük olduğu ilk mahkeme için ise ortalama hapis cezası nüfusun tamamını yansıtmıyor. Dolayısıyla, bir özelliğin bireysel değerleri birbirinden çok az farklıysa, o zaman aritmetik ortalama, belirli bir popülasyonun özelliklerinin oldukça gösterge niteliğinde bir özelliği olacaktır. Aksi takdirde aritmetik ortalama bu popülasyon için güvenilmez bir özellik olacak ve pratikte kullanımı etkisiz olacaktır. Bu nedenle çalışılan özelliğin değerlerindeki değişimi dikkate almak gerekir.

varyasyon- bunlar, aynı dönemde veya zamanda belirli bir popülasyonun farklı birimleri arasındaki herhangi bir özelliğin değerlerindeki farklılıklardır. “Varyasyon” terimi Latince kökenli olup, farklılık, değişim, dalgalanma anlamına gelen variatio'dur. Bir özelliğin bireysel değerlerinin, her birinde farklı şekilde birleştirilen çeşitli faktörlerin (koşulların) birleşik etkisi altında oluşması sonucu ortaya çıkar. özel durum. Bir özelliğin değişimini ölçmek için çeşitli mutlak ve göreceli göstergeler kullanılır.

Değişimin ana göstergeleri aşağıdakileri içerir:

1) varyasyonun kapsamı;

2) ortalama doğrusal sapma;

3) dağılım;

4) standart sapma;

5) varyasyon katsayısı.

Her birine kısaca bakalım.

Varyasyon aralığı R, belirli bir popülasyonun birimleri için bir özelliğin en büyük ve en küçük değerleri arasındaki fark olarak tanımlanan, hesaplama kolaylığı açısından en erişilebilir mutlak göstergedir:

Değişim aralığı (dalgalanma aralığı) - önemli gösterge işaretin değişkenliği, ancak yalnızca aşırı sapmaların görülmesini mümkün kılar, bu da uygulamasının kapsamını sınırlar. Bir özelliğin değişkenliğini, değişkenliğine dayalı olarak daha doğru bir şekilde karakterize etmek için diğer göstergeler kullanılır.

Ortalama doğrusal sapma bir özelliğin bireysel değerlerinin ortalamadan sapmalarının mutlak değerlerinin aritmetik ortalamasını temsil eder ve formüllerle belirlenir:

1) İçin gruplanmamış veriler

2) İçin varyasyon serisi

Ancak en yaygın kullanılan değişkenlik ölçüsü dağılım . İncelenen özelliğin değerlerinin ortalama değerine göre dağılım ölçüsünü karakterize eder. Dağılım, sapmaların karelerinin ortalaması olarak tanımlanır.

Basit varyans gruplanmamış veriler için:

Varyans ağırlıklı varyasyon serisi için:

Yorum. Pratikte varyansı hesaplamak için aşağıdaki formülleri kullanmak daha iyidir:

Basit varyans için

Ağırlıklı varyans için

Standart sapma varyansın kareköküdür:

Standart sapma ortalamanın güvenilirliğinin bir ölçüsüdür. Standart sapma ne kadar küçük olursa popülasyon o kadar homojen olur ve aritmetik ortalama tüm popülasyonu daha iyi yansıtır.

Yukarıda tartışılan saçılma ölçüleri (değişim aralığı, dağılım, standart sapma) mutlak göstergelerdir ve bir özelliğin değişkenlik derecesini yargılamak her zaman mümkün değildir. Bazı problemlerde bağıl saçılma indekslerinin kullanılması gerekli olabilir. varyasyon katsayısı.

Değişim katsayısı- yüzde olarak ifade edilen standart sapmanın aritmetik ortalamaya oranı:

Varyasyon katsayısı, yalnızca farklı popülasyonlardaki farklı özelliklerin veya aynı özelliğin varyasyonunun karşılaştırmalı bir değerlendirmesi için değil, aynı zamanda popülasyonun homojenliğini karakterize etmek için de kullanılır. Eğer varyasyon katsayısı %33'ü geçmiyorsa (normal dağılıma yakın dağılımlar için), istatistiksel bir popülasyonun niceliksel olarak homojen olduğu kabul edilir.

Örnek. Ceza infaz kurumunda mahkemece verilen cezayı çekmek üzere teslim edilen 50 hükümlünün hapis cezalarına ilişkin şu veriler mevcut: 5, 4, 2, 1, 6, 3, 4, 3, 2, 2 , 5, 6, 4, 3 , 10, 5, 4, 1, 2, 3, 3, 4, 1, 6, 5, 3, 4, 3, 5, 12, 4, 3, 2, 4, 6 , 4, 4, 3, 1 , 5, 4, 3, 12, 6, 7, 3, 4, 5, 5, 3.

1. Hapis cezasına göre bir dizi dağılım oluşturun.

2. Ortalamayı, varyansı ve standart sapmayı bulun.

3. Varyasyon katsayısını hesaplayın ve incelenen popülasyonun homojenliği veya heterojenliği hakkında bir sonuca varın.

Çözüm. Ayrık bir dağılım serisi oluşturmak için seçeneklerin ve frekansların belirlenmesi gerekir. Bu problemdeki seçenek hapis cezası, sıklığı ise bireysel seçeneklerin sayısıdır. Frekansları hesapladıktan sonra aşağıdaki ayrık dağılım serisini elde ederiz:

Ortalamayı ve varyansı bulalım. İstatistiksel veriler ayrı bir varyasyon serisiyle temsil edildiğinden, bunları hesaplamak için ağırlıklı aritmetik ortalama ve dağılım formüllerini kullanacağız. Şunu elde ederiz:

= = 4,1;

= 5,21.

Şimdi standart sapmayı hesaplıyoruz:

Değişim katsayısının bulunması:

Sonuç olarak, istatistiksel popülasyon niceliksel olarak heterojendir.

Disiplin: İstatistik

Seçenek No.2

İstatistiklerde kullanılan ortalama değerler

Giriş………………………………………………………………………………….3

Teorik görev

İstatistikte ortalama değer, özü ve uygulama koşulları.

1.1. Ortalama büyüklüğün özü ve kullanım koşulları………….4

1.2. Ortalama türleri………………………………………………………8

Pratik görev

Görev 1,2,3…………………………………………………………………………………14

Sonuç………………………………………………………………………………….21

Referans listesi………………………………………………………...23

giriiş

Bu sınav teorik ve pratik olmak üzere iki bölümden oluşmaktadır. Teorik kısımda, ortalama değer gibi önemli bir istatistiksel kategori, özünü ve uygulama koşullarını belirlemek, ayrıca ortalama türlerini ve bunların hesaplanmasına yönelik yöntemleri vurgulamak için ayrıntılı olarak incelenecektir.

İstatistikler, bildiğimiz gibi, devasa sosyo-ekonomik olayları inceliyor. Bu fenomenlerin her biri aynı özelliğin farklı niceliksel ifadesine sahip olabilir. Örneğin aynı meslekten çalışanların ücretleri veya aynı ürünün piyasa fiyatları vb. Ortalama değerler ticari faaliyetin niteliksel göstergelerini karakterize eder: dağıtım maliyetleri, kar, karlılık vb.

Herhangi bir popülasyonu değişen (nicel olarak değişen) özelliklere göre incelemek için istatistikler ortalama değerleri kullanır.

Orta ölçekli varlık

Ortalama değer, değişen bir özelliğe dayanan bir dizi benzer olgunun genelleştirici niceliksel özelliğidir. Ekonomik uygulamada ortalama değerler olarak hesaplanan çok çeşitli göstergeler kullanılır.

Ortalama değerin en önemli özelliği, popülasyonun bireysel birimlerindeki niceliksel farklılıklara rağmen, tüm popülasyondaki belirli bir özelliğin değerini tek bir sayı ile temsil etmesi ve incelenen popülasyonun tüm birimleri için ortak olanı ifade etmesidir. . Böylece, bir popülasyon biriminin özellikleri aracılığıyla, tüm popülasyonu bir bütün olarak karakterize eder.

Ortalama değerler büyük sayılar kanunuyla ilgilidir. Bu bağlantının özü, ortalama alma sırasında, büyük sayılar yasasının etkisiyle bireysel değerlerdeki rastgele sapmaların birbirini iptal etmesi ve ortalamada ana gelişme eğiliminin, gerekliliğin ve kalıbın ortaya çıkmasıdır. Ortalama değerler, farklı birim sayılarına sahip popülasyonlara ilişkin göstergeleri karşılaştırmanıza olanak tanır.

Ekonomideki piyasa ilişkilerinin modern gelişim koşullarında ortalamalar, sosyo-ekonomik olayların nesnel kalıplarını incelemek için bir araç görevi görür. Ancak, ekonomik analiz Genel olumlu ortalamalar, bireysel ekonomik varlıkların faaliyetlerindeki büyük ciddi eksiklikleri ve yeni, ilerici bir büyümenin filizlerini gizleyebileceğinden, kişi kendisini yalnızca ortalama göstergelerle sınırlayamaz. Örneğin nüfusun gelire göre dağılımı yeni nesillerin oluşumunu tespit etmeyi mümkün kılmaktadır. sosyal gruplar. Bu nedenle, ortalama istatistiksel verilerle birlikte nüfusun bireysel birimlerinin özelliklerini de hesaba katmak gerekir.

Ortalama değer, incelenen olguyu etkileyen tüm faktörlerin sonucudur. Yani, ortalama değerleri hesaplarken rastgele (pertürbasyon, bireysel) faktörlerin etkisi ortadan kalkar ve böylece incelenen olgunun doğasında bulunan modeli belirlemek mümkündür. Adolphe Quetelet, ortalamalar yönteminin öneminin bireyselden genele, rastgeleden düzenliye geçiş imkânı olduğunu, ortalamaların varlığının nesnel gerçekliğin bir kategorisi olduğunu vurguladı.

İstatistik kütle olaylarını ve süreçlerini inceler. Bu fenomenlerin her biri hem tüm küme için ortak hem de özel, bireysel özelliklere sahiptir. Bireysel olaylar arasındaki farka varyasyon denir. Kitlesel fenomenlerin bir başka özelliği de, bireysel fenomenlerin özelliklerinin içsel benzerliğidir. Dolayısıyla, bir kümenin elemanlarının etkileşimi, özelliklerinin en azından bir kısmındaki varyasyonun sınırlandırılmasına yol açar. Bu eğilim nesnel olarak mevcuttur. Ortalama değerlerin pratikte ve teoride en geniş şekilde kullanılmasının nedeni nesnelliğinde yatmaktadır.

İstatistiklerdeki ortalama değer, niteliksel olarak homojen bir nüfusun birimi başına değişen bir özelliğin değerini yansıtan, belirli yer ve zaman koşullarında bir olgunun tipik seviyesini karakterize eden genel bir göstergedir.

Ekonomik uygulamada ortalama değerler olarak hesaplanan çok çeşitli göstergeler kullanılır.

İstatistikler ortalama yöntemini kullanarak birçok sorunu çözer.

Ortalamaların temel önemi, genelleştirme işlevlerinde, yani bir özelliğin birçok farklı bireysel değerinin, tüm fenomen kümesini karakterize eden ortalama bir değerle değiştirilmesinde yatmaktadır.

Ortalama değer, bir özelliğin niteliksel olarak homojen değerlerini genelleştirirse, bu, belirli bir popülasyondaki özelliğin tipik bir özelliğidir.

Bununla birlikte, ortalama değerlerin rolünü yalnızca belirli bir özellik için homojen olan popülasyonlardaki karakteristiklerin tipik değerlerinin karakterizasyonuna indirgemek yanlıştır. Uygulamada, modern istatistikler çok daha sık olarak homojen olayları açıkça genelleştiren ortalama değerleri kullanır.

Kişi başına ortalama milli gelir, ülke genelinde ortalama tahıl verimi, ortalama tüketim farklı ürünler beslenme - bunlar tek bir ulusal ekonomik sistem olarak devletin özellikleridir, bunlar sözde sistem ortalamalarıdır.

Sistem ortalamaları, aynı anda var olan hem mekansal hem de nesne sistemlerini (devlet, endüstri, bölge, Dünya gezegeni vb.) karakterize edebilir ve dinamik sistemler, zaman içinde uzatılmış (yıl, on yıl, sezon vb.).

Ortalama değerin en önemli özelliği, incelenen popülasyonun tüm birimleri için ortak olanı yansıtmasıdır. Nüfusun bireysel birimlerinin nitelik değerleri, aralarında hem temel hem de rastgele olabilecek birçok faktörün etkisi altında bir yönde veya başka bir yönde dalgalanır. Örneğin bir şirketin hisse senedi fiyatı bir bütün olarak mali durumuna göre belirlenir. Aynı zamanda belirli günlerde ve belirli borsalarda bu paylar, içinde bulunulan şartlara bağlı olarak daha yüksek veya daha düşük bir fiyattan satılabilmektedir. Ortalamanın özü, popülasyonun bireysel birimlerinin karakteristik değerlerinde rastgele faktörlerin eyleminin neden olduğu sapmaları iptal etmesi ve ana faktörlerin eyleminin neden olduğu değişiklikleri dikkate almasıdır. Bu, ortalamanın özelliğin tipik düzeyini yansıtmasına ve bireysel özellikler, bireysel birimlerin doğasında var.

Ortalamanın hesaplanması en yaygın genelleme tekniklerinden biridir; ortalama gösterge, incelenen popülasyonun tüm birimleri için ortak olanı (tipik) yansıtırken aynı zamanda bireysel birimlerin farklılıklarını da göz ardı eder. Her olguda ve onun gelişiminde tesadüf ve zorunluluğun bir birleşimi vardır.

Ortalama, gerçekleştiği koşullardaki süreç yasalarının özet bir özelliğidir.

Her ortalama, incelenen popülasyonu herhangi bir özelliğe göre karakterize eder, ancak herhangi bir popülasyonu karakterize etmek, tipik özelliklerini ve niteliksel özelliklerini tanımlamak için bir ortalama göstergeler sistemine ihtiyaç vardır. Bu nedenle, yerel istatistik uygulamasında sosyo-ekonomik olayları incelemek için kural olarak bir ortalama göstergeler sistemi hesaplanır. Örneğin, ortalama ücret göstergesi, ortalama çıktı, sermaye-emek oranı ve enerji-emek oranı, işin mekanizasyon derecesi ve otomasyonu vb. göstergelerle birlikte değerlendirilir.

Ortalama, incelenen göstergenin ekonomik içeriği dikkate alınarak hesaplanmalıdır. Bu nedenle sosyo-ekonomik analizde kullanılan belirli bir gösterge için bilimsel hesaplama yöntemine göre ortalamanın yalnızca bir gerçek değeri hesaplanabilir.

Ortalama değer, niceliksel olarak değişen bazı özelliklere göre bir dizi benzer olguyu karakterize eden en önemli genelleştirici istatistiksel göstergelerden biridir. İstatistiklerdeki ortalamalar genel göstergelerdir; niceliksel olarak değişen bir özelliğe göre sosyal olayların tipik karakteristik boyutlarını ifade eden sayılardır.

Ortalama türleri

Ortalama değer türleri öncelikle hangi özelliğe göre farklılık gösterir, özelliğin bireysel değerlerinin başlangıçta değişen kütlesinin hangi parametresinin değişmeden tutulması gerekir.

Aritmetik ortalama

Aritmetik ortalama, hesaplama sırasında özelliğin toplam hacminin değişmeden kaldığı, özelliğin ortalama değeridir. Aksi takdirde aritmetik ortalamanın ortalama terim olduğunu söyleyebiliriz. Bunu hesaplarken, özelliğin toplam hacmi zihinsel olarak nüfusun tüm birimleri arasında eşit olarak dağıtılır.

Aritmetik ortalama, ortalaması alınan özelliğin değerleri (x) ve belirli bir karakteristik değere (f) sahip popülasyon birimlerinin sayısı biliniyorsa kullanılır.

Aritmetik ortalama basit veya ağırlıklı olabilir.

Basit aritmetik ortalama

Basit, x özelliğinin her değeri bir kez ortaya çıkıyorsa kullanılır; her x için özniteliğin değeri f=1 ise veya kaynak veri sıralanmamışsa ve kaç birimin belirli öznitelik değerlerine sahip olduğu bilinmiyorsa.

Aritmetik ortalamanın formülü basittir:

ortalama değer nerede; x – ortalama özelliğin değeri (varyant), – incelenen popülasyonun birim sayısı.

Aritmetik ortalama ağırlıklı

Basit ortalamadan farklı olarak, x özelliğinin her bir değeri birkaç kez tekrarlanıyorsa ağırlıklı aritmetik ortalama kullanılır; f≠1 özelliğinin her değeri için. Bu ortalama, ayrık bir dağılım serisine dayalı ortalamanın hesaplanmasında yaygın olarak kullanılır:

burada grup sayısı, x ortalaması alınan özelliğin değeri, f karakteristik değerin ağırlığı (f popülasyondaki birim sayısı ise frekans; f seçenekli birimlerin oranı ise frekans) Nüfusun toplam hacminde x).

Harmonik ortalama

İstatistikler, aritmetik ortalamanın yanı sıra, özelliğin ters değerlerinin aritmetik ortalamasının tersi olan harmonik ortalamayı da kullanır. Aritmetik ortalama gibi basit ve ağırlıklı olabilir. Başlangıç verilerindeki gerekli ağırlıklar (fi) doğrudan belirtilmediğinde, ancak mevcut göstergelerden birine bir faktör olarak dahil edildiğinde (yani, ortalamanın başlangıç oranının payı bilindiğinde, ancak paydası bilindiğinde) kullanılır. bilinmeyen).

Harmonik ortalama ağırlıklı

xf çarpımı, bir dizi birim için ortalama x karakteristiğinin hacmini verir ve w ile gösterilir. Kaynak veriler, ortalaması alınan x karakteristiğinin değerlerini ve ortalaması alınan özelliğin hacmini içeriyorsa, ortalamayı hesaplamak için harmonik ağırlıklı yöntem kullanılır:

burada x, ortalama x karakteristiğinin (değişken) değeridir; w – x değişkenlerinin ağırlığı, ortalama özelliğin hacmi.

Harmonik ortalama ağırlıklandırılmamış (basit)

Çok daha az sıklıkla kullanılan bu orta form aşağıdaki forma sahiptir:

burada x, ortalaması alınan özelliğin değeridir; n – x değerlerinin sayısı.

Onlar. bu, özelliğin karşılıklı değerlerinin basit aritmetik ortalamasının tersidir.

Uygulamada, popülasyon birimleri için w değerlerinin eşit olduğu durumlarda harmonik basit ortalama nadiren kullanılır.

Ortalama kare ve ortalama kübik

Ekonomik uygulamada bazı durumlarda, kare veya kübik ölçü birimleriyle ifade edilen bir özelliğin ortalama boyutunun hesaplanmasına ihtiyaç vardır. Daha sonra ortalama kare (örneğin, yan ve kare bölümlerin ortalama boyutunu, boruların, kanalların vb. ortalama çapını hesaplamak için) ve ortalama kübik (örneğin, bir kenarın ortalama uzunluğunu belirlerken) kullanılır ve küpler).

Bir özelliğin bireysel değerlerini ortalama bir değerle değiştirirken, orijinal değerlerin karelerinin toplamını değiştirmeden tutmak gerekiyorsa, ortalama, basit veya ağırlıklı ikinci dereceden bir ortalama değer olacaktır.

Basit ortalama kare

Basit, x niteliğinin her değeri bir kez ortaya çıkıyorsa kullanılır; genel olarak şu biçimdedir:

ortalaması alınan karakteristik değerlerinin karesi nerede; - popülasyondaki birim sayısı.

Ağırlıklı ortalama kare

Ortalamalı x karakteristiğinin her değeri f kez meydana gelirse ağırlıklı ortalama kare uygulanır:

f, x seçeneklerinin ağırlığıdır.

Kübik ortalama basit ve ağırlıklı

Ortalama kübik asal, bireysel nitelik değerlerinin küplerinin toplamını sayılarına bölme bölümünün küp köküdür:

özelliğin değerleri nerede, n onların sayısıdır.

Ortalama kübik ağırlıklı:

f, x seçeneklerinin ağırlığıdır.

Kare ve kübik ortalamaların istatistiksel uygulamada kullanımı sınırlıdır. Ortalama kareler istatistiği yaygın olarak kullanılır, ancak seçeneklerin kendisinde kullanılmaz x , ve varyasyon endeksleri hesaplanırken ortalamadan sapmaları.

Ortalama, tümü için değil, popülasyondaki birimlerin bir kısmı için hesaplanabilir. Böyle bir ortalamanın bir örneği, herkes için değil, yalnızca “en iyi” için (örneğin, bireysel ortalamaların üstünde veya altında göstergeler için) hesaplanan, kısmi ortalamalardan biri olan aşamalı ortalama olabilir.

Geometrik ortalama

Ortalaması alınan özelliğin değerleri birbirinden önemli ölçüde farklıysa veya katsayılar (büyüme oranları, fiyat endeksleri) ile belirtilmişse, hesaplama için geometrik ortalama kullanılır.

Geometrik ortalama, derecenin kökü ve bireysel değerlerin çarpımlarından (karakteristiğin değişkenleri) çıkarılarak hesaplanır. X:

burada n seçenek sayısıdır; P - ürün işareti.

Geometrik ortalama, en yaygın olarak dinamik serilerdeki ve dağılım serilerindeki ortalama değişim oranını belirlemek için kullanılır.

Ortalama değerler, genel koşulların etkisinin ve incelenen olgunun modelinin ifade edildiği genel göstergelerdir. İstatistiksel ortalamalar, istatistiksel olarak doğru şekilde organize edilmiş kütle gözlemlerinden (sürekli veya örnek) elde edilen kütle verilerine dayanarak hesaplanır. Bununla birlikte, istatistiksel ortalama, niteliksel olarak homojen bir nüfusa (kitle olgusu) ilişkin kitle verilerinden hesaplanırsa nesnel ve tipik olacaktır. Ortalamaların kullanımı, genel ve bireysel, kitle ve birey kategorilerinin diyalektik bir anlayışından yola çıkmalıdır.

Genel araçların grup ortalamalarıyla birleşimi, niteliksel olarak homojen popülasyonların sınırlandırılmasını mümkün kılar. Şu veya bu karmaşık fenomeni oluşturan nesne kütlesini dahili olarak homojen ancak niteliksel olarak farklı gruplara bölerek, her bir grubu ortalamasıyla karakterize ederek, ortaya çıkan yeni bir kalite sürecinin rezervlerini ortaya çıkarmak mümkündür. Örneğin nüfusun gelire göre dağılımı, yeni sosyal grupların oluşumunu tespit etmemizi sağlar. Analitik kısımda ortalama değerin kullanımına ilişkin belirli bir örneğe baktık. Özetlemek gerekirse istatistikte ortalamaların kapsamı ve kullanımının oldukça geniş olduğunu söyleyebiliriz.

Pratik görev

Görev No.1

Bir ve ABD Doları ortalama satın alma oranını ve ortalama satış oranını belirleyin

Ortalama satın alma oranı

Ortalama satış oranı

Görev No.2

1996-2004 yılları arasında Çelyabinsk bölgesindeki kendi halka açık catering ürünlerinin hacminin dinamikleri, karşılaştırılabilir fiyatlarla (milyon ruble) tabloda sunulmaktadır.

A ve B satırlarını bağlayın. Üretim dinamikleri serisini analiz etmek için bitmiş ürün hesaplamak:

1. Mutlak büyüme, zincirleme ve temel büyüme ve büyüme oranları

2. Bitmiş ürünlerin ortalama yıllık üretimi

3. Şirketin ürünlerindeki ortalama yıllık büyüme oranı ve artış

4. Dinamik serilerin analitik uyumunu gerçekleştirin ve 2005 yılı tahminini hesaplayın

5. Bir dizi dinamiği grafiksel olarak tasvir edin

6. Dinamik sonuçlara dayanarak bir sonuç çıkarın

1) yi B = yi-y1 yi C = yi-y1

y2 B = 2,175 – 2,04 y2 C = 2,175 – 2,04 = 0,135

y3B = 2,505 – 2,04 y3 C = 2,505 – 2,175 = 0,33

y4 B = 2,73 – 2,04 y4 C = 2,73 – 2,505 = 0,225

y5 B = 1,5 – 2,04 y5 C = 1,5 – 2,73 = 1,23

y6 B = 3,34 – 2,04 y6 C = 3,34 – 1,5 = 1,84

y7 B = 3,6 3 – 2,04 y7 C = 3,6 3 – 3,34 = 0,29

y8 B = 3,96 – 2,04 y8 C = 3,96 – 3,63 = 0,33

y9 B = 4,41–2,04 y9 C = 4,41 – 3,96 = 0,45

TR B2 TR Ts2

TR B3 Tr Ts3

TR B4 Tr Ts4

TR B5 TR Ts5

TR B6 Tr Ts6

TR B7 Tr Ts7

TR B8 TR Ts8

TR B9 Tr Ts9

Tr B = (TprB *%100) – %100

Tr B2 = (%1,066*100) – %100 = %6,6

Tr Ts3 = (%1,151*100) – %100 = %15,1

2)y milyon ruble – ortalama ürün verimliliği

2,921 + 0,294*(-4) = 2,921-1,176 = 1,745

2,921 + 0,294*(-3) = 2,921-0,882 = 2,039

(yt-y) = (1,745-2,04) = 0,087

(yt-yt) = (1,745-2,921) = 1,382

(y-yt) = (2,04-2,921) = 0,776

İle

y2005=2,921+1,496*4=2,921+5,984=8,905

8,905+2,306*1,496=12,354

8,905-2,306*1,496=5,456

5,456 2005 12,354

Görev No.3

Bölgenin 2003 ve 2004 yıllarına ait toptan gıda ve gıda dışı ürün tedariği ve perakende ticaret ağına ilişkin istatistiksel veriler ilgili grafiklerde sunulmaktadır.

Tablo 1 ve 2'ye göre gerekli

1. Gıda ürünlerinin toptan arzının genel endeksini gerçek fiyatlarla bulun;

2. Gerçek gıda arzı hacminin genel endeksini bulun;

3. Genel endeksleri karşılaştırın ve uygun sonuca varın;

4. Gıda dışı ürünlerin genel arz endeksini gerçek fiyatlarla bulun;

5. Gıda dışı ürünlerin fiziksel arz hacminin genel endeksini bulun;

6. Elde edilen endeksleri karşılaştırın ve gıda dışı ürünlerle ilgili sonuçlar çıkarın;

7. Tüm emtia kitlesinin konsolide genel arz endekslerini gerçek fiyatlarla bulun;

8. Konsolide genel fiziksel hacim endeksini bulun (tüm mal kütlesi için);

9. Ortaya çıkan özet endeksleri karşılaştırın ve uygun sonuca varın.

Temel dönem		Raporlama dönemi (2004)	Temel dönem fiyatlarından raporlama dönemine ait tedarikler
			Temel dönem fiyatlarından raporlama dönemine ait tedarikler



	1,291-0,681=0,61= - 39 Çözüm Sonuç olarak özetleyelim. Ortalama değerler, genel koşulların etkisinin ve incelenen olgunun modelinin ifade edildiği genel göstergelerdir. İstatistiksel ortalamalar, istatistiksel olarak doğru şekilde organize edilmiş kütle gözlemlerinden (sürekli veya örnek) elde edilen kütle verilerine dayanarak hesaplanır. Bununla birlikte, istatistiksel ortalama, niteliksel olarak homojen bir nüfusa (kitle olgusu) ilişkin kitle verilerinden hesaplanırsa nesnel ve tipik olacaktır. Ortalamaların kullanımı, genel ve bireysel, kitle ve birey kategorilerinin diyalektik bir anlayışından yola çıkmalıdır. Ortalama, her bireyde, bireysel nesnede ortak olanı yansıtır; bu nedenle, kitlesel toplumsal olayların doğasında var olan ve bireysel olaylarda görünmeyen kalıpları tanımlamak için ortalama büyük önem kazanır. Bireyin genelden sapması gelişim sürecinin bir tezahürüdür. Bazı münferit durumlarda, yeninin, gelişmişin unsurları ortaya konabilir. Bu durumda, geliştirme sürecini karakterize eden, ortalama değerlerin arka planına karşı alınan belirli faktörlerdir. Bu nedenle ortalama, incelenen olgunun karakteristik, tipik, gerçek düzeyini yansıtır. Bu seviyelerin özellikleri, zaman ve mekandaki değişimleri ortalamaların temel sorunlarından biridir. Böylece, örneğin ortalamalar aracılığıyla, ekonomik gelişmenin belirli bir aşamasındaki işletmelerin özellikleri ortaya çıkar; Nüfusun refahındaki değişiklikler ortalama ücretlere, genel olarak aile gelirine ve bireysel sosyal gruplara ve ürünlerin, malların ve hizmetlerin tüketim düzeyine yansır. Ortalama gösterge tipik bir değerdir (sıradan, normal, bir bütün olarak hakim), ancak bir bütün olarak ele alındığında belirli bir kitle olgusunun varlığının normal, doğal koşullarında oluştuğu için böyledir. Ortalama, olgunun nesnel özelliğini yansıtır. Gerçekte, genellikle yalnızca sapkın fenomenler vardır ve bir fenomenin tipikliği kavramı gerçeklikten ödünç alınmış olmasına rağmen, bir fenomen olarak ortalama var olmayabilir. Ortalama değer, incelenen özelliğin değerinin bir yansımasıdır ve dolayısıyla bu özellik ile aynı boyutta ölçülür. Ancak, çeşitli yollar Birbirleriyle doğrudan karşılaştırılamayan özet özelliklerin karşılaştırılması için nüfus dağılım seviyesinin yaklaşık olarak belirlenmesi, örneğin bölgeye göre ortalama nüfus (ortalama nüfus yoğunluğu). Hangi faktörün elenmesi gerektiğine bağlı olarak ortalamanın içeriği de belirlenecektir. Genel araçların grup ortalamalarıyla birleşimi, niteliksel olarak homojen popülasyonların sınırlandırılmasını mümkün kılar. Şu veya bu karmaşık fenomeni oluşturan nesne kütlesini dahili olarak homojen ancak niteliksel olarak farklı gruplara bölerek, her bir grubu ortalamasıyla karakterize ederek, ortaya çıkan yeni bir kalite sürecinin rezervlerini ortaya çıkarmak mümkündür. Örneğin nüfusun gelire göre dağılımı, yeni sosyal grupların oluşumunu tespit etmemizi sağlar. Analitik kısımda ortalama değerin kullanımına ilişkin belirli bir örneğe baktık. Özetlemek gerekirse istatistikte ortalamaların kapsamı ve kullanımının oldukça geniş olduğunu söyleyebiliriz. Kaynakça 1. Gusarov, V.M. Kaliteye göre istatistik teorisi [Metin]: ders kitabı. ödenek / V.M. Gusarov üniversiteler için el kitabı. - M., 1998 2. Edronova, N.N. Genel istatistik teorisi [Metin]: ders kitabı / Ed. N.N. Edronova - M .: Finans ve İstatistik 2001 - 648 s. 3. Eliseeva I.I., Yuzbashev M.M. Genel istatistik teorisi [Metin]: Ders Kitabı / Ed. Sorumlu üye RAS II Eliseeva. – 4. baskı, revize edildi. ve ek - M.: Finans ve İstatistik, 1999. - 480 s.: hasta. 4. Efimova M.R., Petrova E.V., Rumyantsev V.N. Genel istatistik teorisi: [Metin]: Ders Kitabı. - M.: INFRA-M, 1996. - 416 s. 5. Ryauzova, N.N. Genel istatistik teorisi [Metin]: ders kitabı / Ed. N.N. Ryauzova - M .: Finans ve İstatistik, 1984. Gusarov V.M. İstatistik teorisi: Ders kitabı. Üniversiteler için bir el kitabı. - M., 1998.-S.60. Eliseeva I.I., Yuzbashev M.M. Genel istatistik teorisi. - M., 1999.-S.76. Gusarov V.M. İstatistik teorisi: Ders kitabı. Üniversiteler için bir el kitabı. -M., 1998.-S.61.

Ortalama değerler, kitlesel sosyal olayların özet (nihai) özelliğini sağlayan genel istatistiksel göstergeleri ifade eder, çünkü bunlar, değişen özelliklere sahip çok sayıda bireysel değer temel alınarak oluşturulmuştur. Ortalama değerin özünü açıklığa kavuşturmak için, ortalama değerin hesaplandığı verilere göre, bu fenomenlerin işaretlerinin değerlerinin oluşumunun özelliklerini dikkate almak gerekir.

Her kütle olgusunun birimlerinin çok sayıda özelliğe sahip olduğu bilinmektedir. Bu özelliklerden hangisini alırsak alalım, değerleri her birim için farklı olacaktır; değişir veya istatistiklerde söylendiği gibi bir birimden diğerine değişir. Örneğin bir çalışanın maaşı, onun niteliklerine, yaptığı işin niteliğine, hizmet süresine ve diğer birçok faktöre göre belirlenmekte ve bu nedenle çok geniş sınırlar içerisinde değişiklik göstermektedir. Tüm faktörlerin birleşik etkisi, her çalışanın kazanç miktarını belirler, ancak ekonominin farklı sektörlerindeki çalışanların ortalama aylık maaşından bahsedebiliriz. Burada, büyük bir popülasyonun bir birimine atanan, değişen bir özelliğin tipik, karakteristik değeriyle çalışıyoruz.

Ortalama değer bunu yansıtır genel, Bu, incelenen popülasyonun tüm birimleri için tipiktir. Aynı zamanda, nüfusun bireysel birimlerinin özelliklerinin değerine etki eden tüm faktörlerin etkisini sanki karşılıklı olarak söndürüyormuş gibi dengeler. Herhangi bir sosyal olgunun düzeyi (veya boyutu) iki grup faktörün eylemiyle belirlenir. Bazıları genel ve temeldir, sürekli çalışır, incelenen olgunun veya sürecin doğasıyla yakından ilgilidir ve tipik incelenen popülasyonun tüm birimleri için ortalama değere yansıtılan. Diğerleri bireysel, etkileri daha az belirgindir ve epizodik, rastgeledir. Ters yönde hareket ederek popülasyonun bireysel birimlerinin niceliksel özellikleri arasında farklılıklara neden olurlar ve incelenen özelliklerin sabit değerini değiştirmeye çalışırlar. Bireysel özelliklerin etkisi ortalama değerde söner. Genel özelliklerde dengeli ve karşılıklı olarak iptal edilen tipik ve bireysel faktörlerin birleşik etkisinde, matematiksel istatistiklerden bilinen temel prensip genel biçimde ortaya çıkar. büyük sayılar kanunu.

Toplamda, özelliklerin bireysel değerleri ortak bir kütle halinde birleşir ve olduğu gibi çözülür. Buradan ortalama değer hiçbiriyle niceliksel olarak örtüşmeden, özelliklerin bireysel değerlerinden sapabilen “kişisel olmayan” gibi davranır. Ortalama değer, bireysel birimlerinin özellikleri arasındaki rastgele, atipik farklılıkların karşılıklı iptali nedeniyle tüm popülasyon için genel, karakteristik ve tipik olanı yansıtır, çünkü değeri sanki tüm nedenlerin ortak sonucu tarafından belirlenir.

Ancak ortalama değerin bir özelliğin en tipik değerini yansıtabilmesi için herhangi bir popülasyon için değil, yalnızca niteliksel olarak homojen birimlerden oluşan popülasyonlar için belirlenmesi gerekir. Bu gereklilik, ortalamaların bilimsel temelli kullanımının temel koşuludur ve sosyo-ekonomik olayların analizinde ortalama yöntemi ile gruplama yöntemi arasında yakın bir bağlantı olduğunu ima eder. Sonuç olarak, ortalama değer, belirli yer ve zaman koşulları altında homojen bir popülasyonun birimi başına değişen bir özelliğin tipik düzeyini karakterize eden genel bir göstergedir.

Ortalama değerlerin özünü bu şekilde tanımlarken, herhangi bir ortalama değerin doğru hesaplanmasının aşağıdaki şartların yerine getirilmesini gerektirdiğini vurgulamak gerekir:

ortalama değerin hesaplandığı nüfusun niteliksel homojenliği. Bu, ortalama değerlerin hesaplanmasının, homojen, benzer olayların tanımlanmasını sağlayan gruplandırma yöntemine dayanması gerektiği anlamına gelir;
ortalama değerin hesaplanmasında rastgele, tamamen bireysel nedenlerin ve faktörlerin etkisi hariç. Bu, ortalamanın hesaplanmasının, büyük sayılar yasasının etkisinin ortaya çıktığı ve tüm rastgeleliğin iptal edildiği yeterince büyük malzemeye dayandığı durumda elde edilir;
Ortalama değeri hesaplarken, hesaplamanın amacını ve sözde değeri belirlemek önemlidir. belirleyici gösterge(özellik) yönlendirilmesi gereken yer.

Tanımlayıcı gösterge, ortalaması alınan özelliğin değerlerinin toplamı, ters değerlerinin toplamı, değerlerinin çarpımı vb. olarak hareket edebilir. Tanımlayıcı gösterge ile ortalama değer arasındaki ilişki aşağıdaki şekilde ifade edilir: ortalaması alınan özelliğin tüm değerleri ortalama değerle değiştirilirse, bu durumda bunların toplamı veya çarpımı tanımlayıcı göstergeyi değiştirmeyecektir. Tanımlayıcı gösterge ile ortalama değer arasındaki bu bağlantıya dayanarak, ortalama değerin doğrudan hesaplanması için bir başlangıç niceliksel ilişki oluşturulur. Ortalama değerlerin istatistiksel popülasyonların özelliklerini koruma yeteneğine denir özelliği tanımlamaktadır.

Nüfusun tamamı için hesaplanan ortalama değere ne ad verilir? genel ortalama; her grup için hesaplanan ortalama değerler - grup ortalamaları. Genel ortalama yansıtır ortak özellikler incelenen fenomen, grup ortalaması, belirli bir grubun belirli koşulları altında gelişen olgunun bir özelliğini verir.

Hesaplama yöntemleri farklı olabilir, bu nedenle istatistikte çeşitli ortalama türleri vardır; bunların başlıcaları aritmetik ortalama, harmonik ortalama ve geometrik ortalamadır.

Ekonomik analizde ortalamaların kullanılması, bilimsel ve teknolojik ilerlemenin, sosyal olayların sonuçlarını değerlendirmenin ve ekonomik kalkınma için rezerv aramanın ana aracıdır. Aynı zamanda, ortalama göstergelere aşırı güvenmenin, ekonomik ve istatistiksel analizler yapılırken taraflı sonuçlara yol açabileceği de unutulmamalıdır. Bunun nedeni, genel göstergeler olan ortalama değerlerin, nüfusun bireysel birimlerinin niceliksel özelliklerinde gerçekte var olan ve bağımsız ilgi uyandırabilecek bu farklılıkları ortadan kaldırması ve görmezden gelmesidir.

Ortalama türleri

İstatistiklerde iki büyük sınıfa ayrılan çeşitli ortalama türleri kullanılır:

güç araçları (harmonik ortalama, geometrik ortalama, aritmetik ortalama, ikinci dereceden ortalama, kübik ortalama);
yapısal araçlar (mod, medyan).

Hesaplamak güç ortalamaları mevcut tüm karakteristik değerlerin kullanılması gereklidir. Moda Ve medyan yalnızca dağılımın yapısı tarafından belirlenir, bu nedenle bunlara yapısal, konumsal ortalamalar denir. Medyan ve mod sıklıkla şu şekilde kullanılır: ortalama karakteristik ortalama güç yasasını hesaplamanın imkansız veya pratik olmadığı popülasyonlarda.

En yaygın ortalama türü aritmetik ortalamadır. Altında aritmetik ortalama bir özelliğin tüm değerlerinin toplamının popülasyonun tüm birimleri arasında eşit olarak dağıtılması durumunda popülasyonun her biriminin sahip olacağı bir özelliğin değeri olarak anlaşılmaktadır. Bu değerin hesaplanması, değişen özelliğin tüm değerlerinin toplanmasına ve elde edilen miktarın popülasyondaki toplam birim sayısına bölünmesine dayanır. Örneğin, beş işçi parça üretimi için bir siparişi yerine getirirken, ilki 5 parça, ikincisi 7, üçüncüsü 4, dördüncüsü 10, beşincisi 12 parça üretti. Kaynak verilerde her birinin değeri olduğundan seçeneği yalnızca bir kez gerçekleştiğinden, bir işçinin ortalama çıktısını belirlemek için basit aritmetik ortalama formülü uygulanmalıdır:

yani örneğimizde bir işçinin ortalama çıktısı şuna eşittir:

Basit aritmetik ortalamanın yanı sıra, çalışıyorlar ağırlıklı aritmetik ortalama.Örneğin, yaşları 18 ile 22 arasında değişen 20 kişilik bir gruptaki öğrencilerin ortalama yaşını hesaplayalım; xi- ortalaması alınan özelliğin çeşitleri, fi- kaç kez meydana geldiğini gösteren frekans i-th toplam değer (Tablo 5.1).

Tablo 5.1

Öğrencilerin ortalama yaşı

Ağırlıklı aritmetik ortalama formülünü uygulayarak şunu elde ederiz:

Ağırlıklı aritmetik ortalamayı seçmek için belirli kural: biri için hesaplanması gereken iki göstergeye ilişkin bir dizi veri varsa

ortalama değer ve aynı zamanda mantıksal formülünün paydasının sayısal değerleri biliniyor ve payın değerleri bilinmiyor, ancak bu göstergelerin ürünü olarak bulunabilir, o zaman ortalama değer olmalıdır aritmetik ağırlıklı ortalama formülü kullanılarak hesaplanır.

Bazı durumlarda, başlangıçtaki istatistiksel verilerin doğası öyledir ki, aritmetik ortalamanın hesaplanması anlamını yitirir ve tek genelleştirici gösterge yalnızca başka tür bir ortalama olabilir - harmonik ortalama.Şu anda, aritmetik ortalamanın hesaplama özellikleri, elektronik hesaplama teknolojisinin yaygın olarak kullanılmaya başlanması nedeniyle genel istatistiksel göstergelerin hesaplanmasındaki ilgisini kaybetmiştir. Basit ve ağırlıklı da olabilen harmonik ortalama değer, pratikte büyük önem kazanmıştır. Mantıksal bir formülün payının sayısal değerleri biliniyorsa ve paydanın değerleri bilinmiyorsa, ancak bir göstergenin diğerine kısmi bölümü olarak bulunabiliyorsa, ortalama değer harmonik kullanılarak hesaplanır. ağırlıklı ortalama formülü

Örneğin otomobilin ilk 210 km'yi 70 km/saat hızla, kalan 150 km'yi ise 75 km/saat hızla kat ettiği bilinsin. Aritmetik ortalama formülünü kullanarak bir arabanın 360 km'lik yolculuğun tamamındaki ortalama hızını belirlemek imkansızdır. Seçenekler ayrı bölümlerdeki hızlar olduğundan xj= 70 km/saat ve X2= 75 km/saat ise ve ağırlıklar (fi) yolun karşılık gelen bölümleri olarak kabul edilirse, bu durumda seçenekler ve ağırlıkların çarpımının ne fiziksel ne de ekonomik bir anlamı olacaktır. Bu durumda, bölümler yolun bölümlerini karşılık gelen hızlara (seçenekler xi) bölmekten, yani yolun ayrı bölümlerini geçmek için harcanan zamana (fi) bölmekten anlam kazanır. / xi). Yolun bölümleri fi ile gösterilirse yolun tamamı Σfi, yolun tamamında harcanan süre ise Σ fi olarak ifade edilir. / xi , Daha sonra ortalama hız, tüm yolun harcanan toplam süreye bölümü olarak bulunabilir:

Örneğimizde şunu elde ederiz:

Harmonik ortalamayı kullanırken tüm seçeneklerin (f) ağırlıkları eşitse, ağırlıklı olan yerine kullanabilirsiniz basit (ağırlıklandırılmamış) harmonik ortalama:

burada xi bireysel seçeneklerdir; N- ortalama karakteristiğin değişken sayısı. Hız örneğinde, farklı hızlarda kat edilen yol bölümleri eşitse basit harmonik ortalama uygulanabilir.

Herhangi bir ortalama değer, ortalama özelliğin her bir varyantının yerini aldığında, ortalama göstergeyle ilişkili bazı nihai, genel göstergelerin değerinin değişmeyeceği şekilde hesaplanmalıdır. Bu nedenle, rotanın ayrı bölümlerindeki gerçek hızları ortalama değerle (ortalama hız) değiştirirken, toplam mesafe değişmemelidir.

Ortalama değerin formu (formülü), bu son göstergenin ortalama değerle ilişkisinin doğası (mekanizması) ile belirlenir, bu nedenle, seçenekleri ortalama değerleriyle değiştirirken değeri değişmemesi gereken son gösterge, isminde belirleyici gösterge. Ortalama formülünü türetmek için, ortalama gösterge ile belirleyici gösterge arasındaki ilişkiyi kullanarak bir denklem oluşturmanız ve çözmeniz gerekir. Bu denklem, ortalaması alınan özelliğin (göstergenin) değişkenlerinin ortalama değerleri ile değiştirilmesiyle oluşturulur.

İstatistiklerde aritmetik ortalama ve harmonik ortalamanın yanı sıra diğer ortalama türleri (formları) da kullanılır. Hepsi özel durumlar güç ortalaması. Aynı veri için tüm güç ortalama türlerini hesaplarsak, o zaman değerler

aynı olacaklar, kural burada geçerli büyük oran ortalama. Ortalamanın üssü arttıkça ortalama değerin kendisi de artar. Pratik araştırmalarda en sık kullanılan hesaplama formülleri çeşitli türler güç ortalama değerleri tabloda sunulmaktadır. 5.2.

Tablo 5.2

Geometrik ortalama şu durumlarda kullanılır: N büyüme katsayıları, özelliğin bireysel değerleri ise kural olarak, göreceli değerler Dinamikler, bir dizi dinamikte her düzeyin bir önceki düzeyine oran olarak, değerler zinciri şeklinde inşa edilmiştir. Dolayısıyla ortalama, ortalama büyüme oranını karakterize eder. Ortalama geometrik basit formülle hesaplanır

Formül ağırlıklı geometrik ortalama aşağıdaki forma sahiptir:

Yukarıdaki formüller aynıdır, ancak biri mevcut katsayılara veya büyüme oranlarına, ikincisi ise seri seviyelerinin mutlak değerlerine uygulanır.

Ortalama kare ikinci dereceden fonksiyonların değerleriyle yapılan hesaplamalarda kullanılır, bir özelliğin bireysel değerlerinin dağılım serisindeki aritmetik ortalama etrafındaki dalgalanma derecesini ölçmek için kullanılır ve formülle hesaplanır

Ağırlıklı ortalama kare başka bir formül kullanılarak hesaplanır:

Ortalama kübik kübik fonksiyonların değerleriyle hesaplanırken kullanılır ve formülle hesaplanır

ortalama kübik ağırlıklı:

Yukarıda tartışılan tüm ortalama değerler genel bir formül olarak sunulabilir:

ortalama değer nerede; - bireysel anlam; N- incelenen popülasyonun birim sayısı; k- ortalamanın türünü belirleyen üs.

Aynı kaynak verilerini kullanırken, daha fazla k genel güç ortalaması formülünde ortalama değer ne kadar büyük olursa. Bundan, güç ortalamalarının değerleri arasında doğal bir ilişki olduğu anlaşılmaktadır:

Yukarıda açıklanan ortalama değerler, incelenen nüfus hakkında genel bir fikir verir ve bu açıdan bunların teorik, uygulamalı ve eğitimsel önemi tartışılmaz. Ancak ortalama değerin gerçekte var olan seçeneklerin hiçbiriyle örtüşmediği görülür, bu nedenle, istatistiksel analizde, dikkate alınan ortalamalara ek olarak, çok özel bir konumu işgal eden belirli seçeneklerin değerlerinin kullanılması tavsiye edilir. sıralı (sıralanmış) nitelik değerleri serisi. Bu miktarlar arasında en sık kullanılanlar şunlardır: yapısal, veya tanımlayıcı, ortalama- mod (Mo) ve medyan (Me).

Moda- Belirli bir popülasyonda en sık bulunan bir özelliğin değeri. Bir varyasyon serisi ile ilgili olarak mod, sıralanan seride en sık tekrarlanan değer yani en yüksek frekansa sahip seçenektir. Moda, daha sık ziyaret edilen mağazaların, herhangi bir ürünün en yaygın fiyatının belirlenmesinde kullanılabilir. Popülasyonun önemli bir kısmının özellik karakteristiğinin boyutunu gösterir ve formülle belirlenir.

burada x0 aralığın alt sınırıdır; H- aralık boyutu; fm- aralık frekansı; fm_ 1 - önceki aralığın sıklığı; fm+ 1 - bir sonraki aralığın frekansı.

Medyan sıralanan satırın ortasında bulunan seçenek çağrılır. Ortanca, seriyi her iki tarafında da aynı sayıda nüfus birimi olacak şekilde iki eşit parçaya böler. Bu durumda popülasyondaki birimlerin yarısı değişkenlik özelliğinin değerine medyandan küçük, diğer yarısı ise medyandan daha büyük bir değere sahiptir. Medyan, değeri bir dağılım serisinin elemanlarının yarısından büyük veya eşit veya aynı zamanda yarısından küçük veya eşit olan bir eleman incelenirken kullanılır. Medyan verir Genel fikir niteliğin değerlerinin nerede yoğunlaştığı, yani merkezlerinin nerede olduğu ile ilgilidir.

Medyanın tanımlayıcı doğası, popülasyondaki birimlerin yarısının sahip olduğu değişken bir özelliğin değerlerinin niceliksel sınırını karakterize etmesiyle ortaya çıkar. Ayrık bir varyasyon serisi için medyanı bulma problemi kolaylıkla çözülebilir. Serinin tüm birimlerine seri numarası verilmişse, medyan seçeneğinin seri numarası, n'nin tek üye sayısıyla (n + 1) / 2 olarak belirlenir. Serinin üye sayısı çift sayı ise, , bu durumda medyan, seri numarasına sahip iki seçeneğin ortalama değeri olacaktır. N/ 2 ve N / 2 + 1.

Aralık değişim serilerinde medyanı belirlerken öncelikle içinde bulunduğu aralığı (medyan aralığı) belirleyin. Bu aralık, birikmiş frekans toplamının serinin tüm frekanslarının toplamına eşit veya yarısına eşit olmasıyla karakterize edilir. Bir aralık varyasyon serisinin medyanı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

Nerede X0- aralığın alt sınırı; H- aralık boyutu; fm- aralık frekansı; F- serinin üye sayısı;

∫m-1 verilen seriden önceki serinin birleştirilmiş terimlerinin toplamıdır.

İncelenen popülasyonun yapısını daha iyi karakterize etmek için medyanın yanı sıra sıralanan seride çok özel bir konuma sahip olan diğer seçenek değerleri de kullanılır. Bunlar şunları içerir: çeyrekler Ve ondalık.Çeyrekler, seriyi frekansların toplamına göre 4 eşit parçaya ve ondalık dilimleri 10 eşit parçaya böler. Üç çeyrek ve dokuz ondalık dilim vardır.

Medyan ve mod, aritmetik ortalamanın aksine, değişken bir özelliğin değerlerindeki bireysel farklılıkları ortadan kaldırmaz ve bu nedenle istatistiksel popülasyonun ek ve çok önemli özellikleridir. Uygulamada sıklıkla ortalamanın yerine veya onunla birlikte kullanılırlar. İncelenen popülasyonun, değişen karakteristiklerin çok büyük veya çok küçük değerlerine sahip belirli sayıda birim içerdiği durumlarda medyan ve modun hesaplanması özellikle tavsiye edilir. Popülasyonun pek karakteristik özelliği olmayan seçeneklerin bu değerleri, aritmetik ortalamanın değerini etkilerken, medyan ve mod değerlerini etkilemez, bu da ikincisini ekonomik ve istatistiksel açıdan çok değerli göstergeler haline getirir. analiz.

Değişim göstergeleri

İstatistiksel araştırmanın amacı, incelenen istatistiksel popülasyonun temel özelliklerini ve kalıplarını tanımlamaktır. İstatistiksel gözlem verilerinin özet olarak işlenmesi sürecinde, dağıtım serisi. Gruplamaya esas alınan özelliğin niteliksel veya niceliksel olmasına bağlı olarak, niteliksel ve değişken olmak üzere iki tür dağılım serisi vardır.

Varyasyonel niceliksel olarak oluşturulan dağılım serilerine denir. Nüfusun bireysel birimlerindeki niceliksel özelliklerin değerleri sabit değildir, birbirlerinden az çok farklıdırlar. Bir özelliğin değerindeki bu farka denir. varyasyonlar.İncelenen popülasyonda bulunan bir özelliğin bireysel sayısal değerlerine denir değerlerin çeşitleri. Popülasyonun bireysel birimlerindeki varyasyonun varlığı, çok sayıda faktörün özelliğin düzeyinin oluşumu üzerindeki etkisinden kaynaklanmaktadır. Nüfusun bireysel birimlerindeki özelliklerin doğası ve çeşitlilik derecesinin incelenmesi, herhangi bir istatistiksel araştırmanın en önemli konusudur. Özellik değişkenliğinin ölçüsünü tanımlamak için varyasyon indeksleri kullanılır.

İstatistiksel araştırmanın bir diğer önemli görevi, popülasyonun belirli özelliklerinin değişmesinde bireysel faktörlerin veya gruplarının rolünü belirlemektir. Bu sorunu çözmek için istatistikler, varyasyonun ölçüldüğü bir göstergeler sisteminin kullanımına dayanan, varyasyonu incelemek için özel yöntemler kullanır. Uygulamada, bir araştırmacı, birimlerin toplamdaki nitelik değerine göre dağılımı hakkında bir fikir vermeyen oldukça fazla sayıda nitelik değeri varyantıyla karşı karşıyadır. Bunu yapmak için, karakteristik değerlerin tüm çeşitlerini artan veya azalan sırada düzenleyin. Bu süreç denir diziyi sıralıyoruz. Sıralanan seri, özelliğin toplamda aldığı değerler hakkında hemen genel bir fikir verir.

Nüfusun kapsamlı bir açıklaması için ortalama değerin yetersizliği, bizi, incelenen özelliğin değişkenliğini (değişimini) ölçerek bu ortalamaların tipikliğini değerlendirmemize olanak tanıyan göstergelerle ortalama değerleri tamamlamaya zorlar. Bu varyasyon göstergelerinin kullanılması, istatistiksel analizin daha eksiksiz ve anlamlı olmasını ve böylece incelenen sosyal olgunun özüne ilişkin daha derin bir anlayış kazanmayı mümkün kılar.

Değişimin en basit belirtileri şunlardır: minimum Ve maksimum - bu, özelliğin toplamdaki en küçük ve en büyük değeridir. Karakteristik değerlerin bireysel varyantlarının tekrar sayısına denir tekrarlama sıklığı Nitelik değerinin tekrarlanma sıklığını gösterelim fi, incelenen popülasyonun hacmine eşit frekansların toplamı şöyle olacaktır:

Nerede k- özellik değerleri için seçenek sayısı. Frekansları frekanslarla değiştirmek uygundur - wi. Sıklık- göreceli frekans göstergesi - bir birimin kesirleri veya yüzde olarak ifade edilebilir ve varyasyon serilerini farklı gözlem sayılarıyla karşılaştırmanıza olanak tanır. Resmi olarak elimizde:

Bir özelliğin değişimini ölçmek için çeşitli mutlak ve göreceli göstergeler kullanılır. Mutlak varyasyon göstergeleri arasında ortalama doğrusal sapma, varyasyon aralığı, dağılım ve standart sapma yer alır.

Varyasyon aralığı(R), incelenen popülasyondaki özelliğin maksimum ve minimum değerleri arasındaki farkı temsil eder: R= Xmax - Xmin. Bu gösterge, yalnızca seçeneklerin maksimum değerleri arasındaki farkı gösterdiğinden, incelenen özelliğin değişkenliği hakkında yalnızca en genel fikri verir. Değişim serisindeki frekanslarla, yani dağılımın doğasıyla tamamen ilgisizdir ve bağımlılığı, yalnızca özelliğin aşırı değerlerinde kararsız, rastgele bir karakter verebilir. Varyasyon aralığı, incelenen popülasyonların özellikleri hakkında herhangi bir bilgi sağlamaz ve elde edilen ortalama değerlerin tipiklik derecesini değerlendirmemize izin vermez. Bu göstergenin uygulama kapsamı oldukça homojen popülasyonlarla sınırlıdır; daha doğrusu, bir özelliğin tüm değerlerinin değişkenliğini hesaba katmaya dayanan bir gösterge olan bir özelliğin varyasyonunu karakterize eder.

Bir özelliğin varyasyonunu karakterize etmek için, tüm değerlerin, incelenen popülasyon için tipik olan herhangi bir değerden sapmalarını genelleştirmek gerekir. Bu tür göstergeler

ortalama doğrusal sapma, dağılım ve standart sapma gibi varyasyonlar, popülasyonun bireysel birimlerinin karakteristik değerlerinin aritmetik ortalamadan sapmalarının dikkate alınmasına dayanır.

Ortalama doğrusal sapma bireysel seçeneklerin aritmetik ortalamalarından sapmalarının mutlak değerlerinin aritmetik ortalamasını temsil eder:

Varyantın aritmetik ortalamadan sapmasının mutlak değeri (modülü); F- sıklık.

İlk formül, seçeneklerin her biri toplamda yalnızca bir kez ortaya çıkarsa ve ikincisi eşit olmayan frekanslarla seri halinde uygulanırsa uygulanır.

Seçeneklerin aritmetik ortalamadan sapmalarının ortalamasını almanın başka bir yolu daha vardır. İstatistikteki bu çok yaygın yöntem, seçeneklerin ortalama değerden sapmalarının karelerinin ve sonraki ortalamalarının hesaplanmasına dayanır. Bu durumda yeni bir varyasyon göstergesi elde ederiz - dağılım.

Dağılım(σ 2) - nitelik değeri seçeneklerinin ortalama değerlerinden kare sapmalarının ortalaması:

Seçeneklerin kendi ağırlıkları (veya varyasyon serisinin frekansları) varsa ikinci formül uygulanır.

Ekonomik ve istatistiksel analizde, bir özelliğin değişimini çoğunlukla standart sapmayı kullanarak değerlendirmek gelenekseldir. Standart sapma(σ) varyansın kareköküdür:

Ortalama doğrusal ve standart sapmalar, bir özelliğin değerinin, incelenen popülasyonun birimleri arasında ortalama olarak ne kadar dalgalandığını gösterir ve seçeneklerle aynı ölçüm birimleriyle ifade edilir.

İstatistiksel uygulamada sıklıkla farklı özelliklerin varyasyonlarını karşılaştırmaya ihtiyaç vardır. Örneğin, personelin yaşı ve nitelikleri, hizmet süresi ve ücretleri vb. değişkenleri karşılaştırmak büyük ilgi görmektedir. Bu tür karşılaştırmalar için, özelliklerin mutlak değişkenliğine ilişkin göstergeler (doğrusal ortalama ve standart sapma) uygun değildir. Aslında, yıllarla ifade edilen hizmet süresindeki dalgalanmayı, ruble ve kopekle ifade edilen ücretlerdeki dalgalanmayla karşılaştırmak imkansızdır.

Çeşitli özelliklerin değişkenliğini birlikte karşılaştırırken, göreceli değişkenlik ölçülerini kullanmak uygundur. Bu göstergeler mutlak göstergelerin aritmetik ortalamaya (veya medyana) oranı olarak hesaplanır. Mutlak bir varyasyon göstergesi olarak varyasyon aralığını, ortalama doğrusal sapmayı ve standart sapmayı kullanarak, göreceli değişkenlik göstergeleri elde edilir:

Popülasyonun homojenliğini karakterize eden, göreceli değişkenliğin en yaygın kullanılan göstergesi. Normale yakın dağılımlar için varyasyon katsayısı %33'ü geçmiyorsa popülasyon homojen kabul edilir.

Çoğu durumda veriler merkezi bir nokta etrafında yoğunlaşır. Bu nedenle herhangi bir veri kümesini tanımlamak için ortalama değeri belirtmek yeterlidir. Dağılımın ortalama değerini tahmin etmek için kullanılan üç sayısal özelliği sırasıyla ele alalım: aritmetik ortalama, medyan ve mod.

Ortalama

Aritmetik ortalama (genellikle basitçe ortalama olarak adlandırılır), bir dağılımın ortalamasının en yaygın tahminidir. Gözlenen tüm sayısal değerlerin toplamının sayılarına bölünmesi sonucudur. Sayılardan oluşan bir örnek için X 1, X 2,…, XN, örnek ortalama (ile gösterilir) ) eşittir = (X 1 + X 2 + … + XN) / N, veya

örnek ortalaması nerede, N- örnek boyut, XBen – i'inci elemanörnekler.

Notu veya formatında indirin, formattaki örnekler

15 yatırım fonunun beş yıllık ortalama yıllık getirilerinin aritmetik ortalamasını çok yüksek bir değerle hesaplamayı düşünün. yüksek seviye risk (Şekil 1).

Pirinç. 1. Çok yüksek riskli 15 yatırım fonunun ortalama yıllık getirisi

Örnek ortalaması şu şekilde hesaplanır:

Bu, özellikle banka veya kredi birliği mevduat sahiplerinin aynı dönemde aldıkları %3-4'lük getiriyle karşılaştırıldığında iyi bir getiridir. Getirileri sıraladığımızda sekiz fonun ortalamanın üzerinde, yedi fonun ise ortalamanın altında getiri sağladığını görmek kolay. Aritmetik ortalama denge noktası görevi görür, böylece düşük getirili fonlar yüksek getirili fonları dengeler. Ortalamanın hesaplanmasında numunenin tüm unsurları yer alır. Bir dağılımın ortalamasına ilişkin diğer tahminlerin hiçbiri bu özelliğe sahip değildir.

Aritmetik ortalamayı ne zaman hesaplamanız gerekir? Aritmetik ortalama örnekteki tüm elemanlara bağlı olduğundan uç değerlerin varlığı sonucu önemli ölçüde etkiler. Bu gibi durumlarda aritmetik ortalama, sayısal verilerin anlamını bozabilir. Bu nedenle uç değerler içeren bir veri seti açıklanırken medyanın veya aritmetik ortalamanın ve medyanın belirtilmesi gerekir. Örneğin RS Emerging Growth fonunun getirilerini örneklemden çıkarırsak, 14 fonun örneklem ortalaması neredeyse %1 azalarak %5,19'a düşüyor.

Medyan

Medyan temsil eder medyan değer sıralı sayı dizisi. Dizi yinelenen sayılar içermiyorsa, elemanlarının yarısı ortancadan küçük, yarısı da büyük olacaktır. Örnek aşırı değerler içeriyorsa, ortalamayı tahmin etmek için aritmetik ortalama yerine ortancayı kullanmak daha iyidir. Bir örneğin medyanını hesaplamak için önce sıralanması gerekir.

Bu formül belirsizdir. Sonuç, sayının çift mi yoksa tek mi olduğuna bağlıdır N:

Örnek tek sayıda öğe içeriyorsa, medyan (n+1)/2-'inci eleman.
Örnek çift sayıda öğe içeriyorsa, medyan, örneğin ortadaki iki öğesi arasında yer alır ve bu iki öğe üzerinden hesaplanan aritmetik ortalamaya eşittir.

Çok yüksek riskli 15 yatırım fonunun getirilerini içeren bir örneğin medyanını hesaplamak için öncelikle ham verileri sıralamanız gerekir (Şekil 2). Daha sonra medyan, numunenin ortadaki elemanının sayısının karşısında olacaktır; 8 numaralı örneğimizde. Excel'in sırasız dizilerle de çalışan özel bir işlevi =MEDIAN() vardır.

Pirinç. 2. Ortalama 15 fon

Dolayısıyla medyan 6,5'tir. Bu, çok yüksek riskli fonların bir yarısının getirisinin 6,5'u geçmediği, diğer yarısının getirisinin ise onu aştığı anlamına geliyor. 6,5'lik medyanın 6,08'lik ortalamadan çok da büyük olmadığını unutmayın.

Örneklemden RS Emerging Growth fonunun getirisini çıkarırsak kalan 14 fonun medyanı %6,2'ye düşüyor, yani aritmetik ortalama kadar anlamlı değil (Şekil 3).

Pirinç. 3. Ortalama 14 fon

Moda

Terim ilk kez 1894'te Pearson tarafından icat edildi. Moda, bir örnekte en sık görülen (en moda olan) sayıdır. Moda, örneğin sürücülerin trafik ışığı sinyaline hareket etmeyi bırakma yönündeki tipik tepkisini çok iyi tanımlıyor. Moda kullanımının klasik bir örneği, ayakkabı bedeninin veya duvar kağıdının renginin seçimidir. Bir dağıtımın birden fazla modu varsa, bu durumda multimodal veya multimodal (iki veya daha fazla "zirveye" sahip) olduğu söylenir. Çok modlu dağıtım şunları sağlar önemli bilgi incelenen değişkenin doğası hakkında. Örneğin, sosyolojik araştırmalarda, eğer bir değişken bir şeye yönelik bir tercihi veya tutumu temsil ediyorsa, o zaman çok modluluk, birden fazla farklı seçeneğin olduğu anlamına gelebilir. farklı görüşler. Çok modluluk aynı zamanda numunenin homojen olmadığının ve gözlemlerin iki veya daha fazla "örtüşen" dağılım tarafından üretilebileceğinin bir göstergesi olarak da hizmet eder. Aritmetik ortalamanın aksine aykırı değerler modu etkilemez. Yatırım fonlarının ortalama yıllık getirisi gibi sürekli dağıtılan rastgele değişkenler için bu mod bazen mevcut olmayabilir (veya hiçbir anlam ifade etmeyebilir). Bu göstergeler çok farklı değerler alabildiğinden tekrarlanan değerler son derece nadirdir.

Çeyrekler

Çeyrekler, büyük sayısal örneklerin özelliklerini açıklarken veri dağılımını değerlendirmek için en sık kullanılan metriklerdir. Medyan, sıralı diziyi ikiye bölerken (dizinin öğelerinin %50'si medyandan küçük ve %50'si büyüktür), çeyrekler sıralı veri kümesini dört parçaya böler. Q 1 , medyan ve Q 3 değerleri sırasıyla 25., 50. ve 75. yüzdelik dilimlerdir. İlk çeyrek Q1, numuneyi iki parçaya bölen bir sayıdır: öğelerin %25'i ilk çeyrekten küçüktür ve %75'i büyüktür.

Üçüncü çeyrek Q3 aynı zamanda numuneyi iki parçaya bölen bir sayıdır: Elementlerin %75'i daha küçüktür ve %25'i - üçten fazlaçeyreklik

Excel'in 2007'den önceki sürümlerinde çeyrekleri hesaplamak için =QUARTILE(array,part) işlevini kullanın. Excel 2010'dan itibaren iki işlev kullanılmaktadır:

=QUARTILE.ON(dizi, parça)
=QUARTILE.HRC(dizi, parça)

Bu iki fonksiyon çok az şey verir Farklı anlamlar(Şekil 4). Örneğin, çok yüksek riskli 15 yatırım fonunun ortalama yıllık getirilerini içeren bir örneğin çeyrekleri hesaplanırken, QUARTILE.IN ve QUARTILE.EX için sırasıyla Q 1 = 1,8 veya –0,7. Bu arada, daha önce kullanılan QUARTILE işlevi modern QUARTILE.ON işlevine karşılık gelir. Yukarıdaki formülleri kullanarak Excel'de çeyrekleri hesaplamak için veri dizisinin sıralanmasına gerek yoktur.

Pirinç. 4. Excel'de çeyrekleri hesaplamak

Tekrar vurgulayalım. Excel, tek değişkenli bir değişken için çeyrekleri hesaplayabilir ayrık seri değerleri içeren rastgele değişken. Frekans bazlı bir dağılım için çeyreklerin hesaplanması aşağıdaki bölümde verilmiştir.

Geometrik ortalama

Aritmetik ortalamanın aksine geometrik ortalama, bir değişkenin zaman içindeki değişim derecesini tahmin etmenize olanak tanır. Geometrik ortalama köktür N işten elde edilen derece N miktarlar (Excel'de =SRGEOM işlevi kullanılır):

G= (X 1 * X 2 * … * X n) 1/n

Benzer bir parametre - kâr oranının geometrik ortalama değeri - aşağıdaki formülle belirlenir:

G = [(1 + R 1) * (1 + R 2) * … * (1 + R n)] 1/n – 1,

Nerede Ri– kar oranı Ben zaman dilimi.

Örneğin, ilk yatırımın 100.000$ olduğunu varsayalım, ilk yılın sonunda 50.000$'a düşüyor, ikinci yılın sonunda ise toparlanarak 100.000$'a yükseliyor. -yıllık dönem, başlangıç ve son fon tutarları birbirine eşit olduğundan 0'a eşittir. Ancak yıllık getiri oranlarının aritmetik ortalaması = (–0,5 + 1) / 2 = 0,25 veya %25 olur, çünkü ilk yıldaki getiri oranı R 1 = (50.000 – 100.000) / 100.000 = –0,5 , ve ikincisinde R 2 = (100.000 – 50.000) / 50.000 = 1. Aynı zamanda, kâr oranının iki yıllık geometrik ortalama değeri şuna eşittir: G = [(1–0,5) * (1+ 1 )] 1/2 – 1 = ½ – 1 = 1 – 1 = 0. Dolayısıyla geometrik ortalama, iki yıllık bir süre boyunca yatırım hacmindeki değişimi (daha kesin olarak değişiklik yokluğunu) daha doğru bir şekilde yansıtır. aritmetik ortalama.

İlginç gerçekler. Birincisi, geometrik ortalama her zaman aynı sayıların aritmetik ortalamasından küçük olacaktır. Alınan tüm sayıların birbirine eşit olduğu durum hariç. İkinci olarak, dik üçgenin özelliklerini dikkate alarak ortalamanın neden geometrik olarak adlandırıldığını anlayabilirsiniz. Hipotenüse indirilen bir dik üçgenin yüksekliği, bacakların hipotenüse izdüşümleri arasındaki ortalama orantılıdır ve her bacak, hipotenüs ile hipotenüse izdüşümü arasındaki ortalama orantılıdır (Şekil 5). Bu, iki (uzunluk) parçanın geometrik ortalamasını oluşturmak için geometrik bir yol sağlar: çap olarak bu iki parçanın toplamı üzerinde bir daire oluşturmanız, ardından bunların daire ile kesişme noktasına bağlantı noktasından yüksekliği geri yüklemeniz gerekir. istenen değeri verecektir:

Pirinç. 5. Geometrik ortalamanın geometrik doğası (Wikipedia'dan şekil)

Sayısal verilerin ikinci önemli özelliği ise varyasyon, veri dağılım derecesini karakterize eder. İki farklı örnek hem ortalama hem de varyans açısından farklı olabilir. Ancak Şekil 2'de gösterildiği gibi. Şekil 6 ve 7'de, iki numune aynı varyasyonlara ancak farklı ortalamalara veya aynı ortalamaya ve tamamen farklı varyasyonlara sahip olabilir. Şekil 2'deki B poligonuna karşılık gelen veriler. Şekil 7'deki gibi, A poligonunun oluşturulduğu verilere göre çok daha az değişiklik olur.

Pirinç. 6. Aynı yayılma ve farklı ortalama değerlere sahip iki simetrik çan şeklindeki dağılım

Pirinç. 7. Aynı ortalama değerlere ve farklı spreadlere sahip iki simetrik çan şeklindeki dağılım

Veri değişimine ilişkin beş tahmin vardır:

kapsam,
çeyrekler arası aralık,
dağılım,
standart sapma,
varyasyon katsayısı.

Kapsam

Aralık, numunenin en büyük ve en küçük elemanları arasındaki farktır:

Aralık = XMaksimum – XMin.

15 adet çok yüksek riskli yatırım fonunun ortalama yıllık getirilerini içeren bir örneklemin aralığı, sıralı dizi kullanılarak hesaplanabilir (bkz. Şekil 4): Aralık = 18,5 – (–6,1) = 24,6. Bu da çok yüksek riskli fonların en yüksek ve en düşük ortalama yıllık getirileri arasındaki farkın %24,6 olduğu anlamına geliyor.

Aralık, verilerin genel yayılımını ölçer. Örnek aralığı, verilerin genel yayılımına ilişkin çok basit bir tahmin olmasına rağmen zayıflığı, verilerin minimum ve maksimum öğeler arasında nasıl dağıldığını tam olarak hesaba katmamasıdır. Bu etki Şekil 2'de açıkça görülmektedir. Şekil 8, aynı aralığa sahip numuneleri göstermektedir. Ölçek B, bir numunenin en az bir uç değer içermesi durumunda numune aralığının, verilerin yayılmasına ilişkin oldukça kesin olmayan bir tahmin olduğunu göstermektedir.

Pirinç. 8. Aynı aralığa sahip üç numunenin karşılaştırılması; üçgen ölçeğin desteğini sembolize eder ve konumu örnek ortalamaya karşılık gelir

Çeyrekler arası aralık

Çeyrekler arası veya ortalama aralık, numunenin üçüncü ve birinci çeyrekleri arasındaki farktır:

Çeyrekler arası aralık = Q 3 – Q 1

Bu değer, aşırı elementlerin etkisini hesaba katmadan elementlerin %50'sinin dağılımını tahmin etmemizi sağlar. Çok yüksek riskli 15 yatırım fonunun ortalama yıllık getirilerini içeren bir örneklemin çeyrekler arası aralığı, Şekil 1'deki veriler kullanılarak hesaplanabilir. 4 (örneğin, QUARTILE.EXC işlevi için): Çeyrekler arası aralık = 9,8 – (–0,7) = 10,5. 9,8 ve -0,7 sayılarıyla sınırlanan aralığa genellikle orta yarı denir.

Q 1 ve Q 3 değerlerinin ve dolayısıyla çeyrekler arası aralığın, aykırı değerlerin varlığına bağlı olmadığına dikkat edilmelidir, çünkü hesaplamaları Q 1'den küçük veya daha büyük herhangi bir değeri hesaba katmaz. Q 3'ten daha. Aykırı değerlerden etkilenmeyen medyan, birinci ve üçüncü çeyrekler ve çeyrekler arası aralık gibi özet ölçümlere sağlam ölçümler denir.

Aralık ve çeyrekler arası aralık sırasıyla bir numunenin genel ve ortalama yayılımına ilişkin tahminler sağlasa da, bu tahminlerin hiçbiri verilerin tam olarak nasıl dağıtıldığını hesaba katmaz. Varyans ve standart sapma bu dezavantajdan yoksundur. Bu göstergeler, verilerin ortalama değer etrafında ne ölçüde dalgalandığını değerlendirmenize olanak tanır. Örnek varyans her bir örnek öğe ile örnek ortalaması arasındaki farkların karelerinden hesaplanan aritmetik ortalamanın bir yaklaşımıdır. Bir X 1, X 2, ... X n örneği için örnek varyansı (S2 sembolüyle gösterilir) aşağıdaki formülle verilir:

Genel olarak numune varyansı, numune öğeleri ile numune ortalaması arasındaki farkların karelerinin toplamının numune boyutundan bir eksiğine eşit bir değere bölünmesiyle elde edilir:

Nerede - aritmetik ortalama, N- örnek boyut, X ben - Ben inci seçim öğesi X. Excel'de sürüm 2007'den önce, örnek varyansını hesaplamak için =VARIN() işlevi kullanılıyordu; sürüm 2010'dan bu yana =VARIAN() işlevi kullanılıyor.

Verilerin yayılmasına ilişkin en pratik ve yaygın olarak kabul edilen tahmin şu şekildedir: Numune standart sapması. Bu gösterge S sembolüyle gösterilir ve şuna eşittir: kare kökörnek varyansından:

Excel'de sürüm 2007'den önce, standart örnek sapmayı hesaplamak için =STDEV.() işlevi kullanılıyordu; sürüm 2010'dan bu yana =STDEV.V() işlevi kullanılıyor. Bu işlevleri hesaplamak için veri dizisi sırasız olabilir.

Ne örneklem varyansı ne de örneklem standart sapması negatif olamaz. S 2 ve S göstergelerinin sıfır olabileceği tek durum, numunenin tüm elemanlarının birbirine eşit olmasıdır. Tamamen olasılık dışı olan bu durumda aralık ve çeyrekler arası aralık da sıfırdır.

Sayısal veriler doğası gereği değişkendir. Herhangi bir değişken birçok şey alabilir Farklı anlamlar. Örneğin, farklı yatırım fonlarının farklı getiri ve zarar oranları vardır. Sayısal verilerin değişkenliği nedeniyle, yalnızca doğası gereği özet olan ortalama tahminlerini değil, aynı zamanda verilerin yayılmasını karakterize eden varyans tahminlerini de incelemek çok önemlidir.

Dağılım ve standart sapma, verilerin ortalama değer etrafındaki yayılımını değerlendirmenize, başka bir deyişle kaç örnek öğenin ortalamadan küçük, kaçının büyük olduğunu belirlemenize olanak tanır. Dispersiyonun bazı değerli matematiksel özellikleri vardır. Ancak değeri ölçü biriminin karesidir - yüzde kare, dolar kare, inç kare vb. Bu nedenle, dağılımın doğal ölçüsü, ortak gelir birimleri yüzdesi, dolar veya inç cinsinden ifade edilen standart sapmadır.

Standart sapma, örnek öğelerin ortalama değer etrafındaki değişim miktarını tahmin etmenize olanak tanır. Hemen hemen tüm durumlarda, gözlemlenen değerlerin çoğunluğu, ortalamadan artı veya eksi bir standart sapma aralığında yer alır. Sonuç olarak, örnek elemanların aritmetik ortalamasını ve standart örnek sapmasını bilerek, veri büyük kısmının ait olduğu aralığı belirlemek mümkündür.

Çok yüksek riskli 15 yatırım fonunun getirilerinin standart sapması 6,6'dır (Şekil 9). Bu, fonların büyük kısmının karlılığının ortalama değerden %6,6'dan fazla farklılık göstermediği anlamına gelir (yani, - S= 6,2 – 6,6 = –0,4 ila +S= 12.8). Aslında fonların beş yıllık ortalama yıllık getirisi %53,3 (15 üzerinden 8) bu aralıkta yer alıyor.

Pirinç. 9. Örnek standart sapma

Kareleri alınmış farkları toplarken, ortalamadan daha uzakta olan örnek öğelerin, ortalamaya daha yakın olan öğelere göre daha fazla ağırlıklandırıldığını unutmayın. Bu özellik, bir dağılımın ortalamasını tahmin etmek için aritmetik ortalamanın en sık kullanılmasının ana nedenidir.

Değişim katsayısı

Önceki dağılım tahminlerinin aksine, varyasyon katsayısı göreceli bir tahmindir. Orijinal verilerin birimlerinde değil, her zaman yüzde olarak ölçülür. CV simgeleriyle gösterilen varyasyon katsayısı, verilerin ortalama etrafındaki dağılımını ölçer. Değişim katsayısı, standart sapmanın aritmetik ortalamaya bölünmesi ve %100 ile çarpılmasına eşittir:

Nerede S- standart numune sapması, - örnek ortalaması.

Değişim katsayısı, elemanları farklı ölçü birimleriyle ifade edilen iki örneği karşılaştırmanıza olanak tanır. Örneğin, bir posta dağıtım hizmetinin yöneticisi, kamyon filosunu yenilemeyi planlıyor. Paketleri yüklerken dikkate alınması gereken iki kısıtlama vardır: her paketin ağırlığı (pound cinsinden) ve hacmi (fit küp cinsinden). 200 torba içeren bir numunede ortalama ağırlığın 26,0 pound, ağırlığın standart sapmasının 3,9 pound, ortalama torba hacminin 8,8 fit küp ve hacmin standart sapmasının 2,2 fit küp olduğunu varsayalım. Paketlerin ağırlık ve hacmindeki farklılıklar nasıl karşılaştırılır?

Ağırlık ve hacim ölçü birimleri birbirinden farklı olduğundan, yöneticinin bu miktarların göreceli yayılımını karşılaştırması gerekir. Ağırlık değişim katsayısı CV W = 3,9 / 26,0 * %100 = %15 ve hacim değişim katsayısı CV V = 2,2 / 8,8 * %100 = %25'tir. Dolayısıyla paketlerin hacmindeki göreceli değişiklik, ağırlıklarındaki göreceli değişiklikten çok daha fazladır.

Dağıtım formu

Bir numunenin üçüncü önemli özelliği dağılımının şeklidir. Bu dağılım simetrik veya asimetrik olabilir. Bir dağılımın şeklini tanımlamak için ortalamasını ve medyanını hesaplamak gerekir. İkisi aynıysa değişkenin simetrik olarak dağıldığı kabul edilir. Bir değişkenin ortalama değeri ortancadan büyükse dağılımı pozitif çarpıklığa sahiptir (Şekil 10). Medyan ortalamadan büyükse değişkenin dağılımı negatif çarpıktır. Ortalama olağandışı yüksek değerlere yükseldiğinde pozitif çarpıklık meydana gelir. Ortalama alışılmadık derecede küçük değerlere düştüğünde negatif çarpıklık ortaya çıkar. Bir değişken her iki yönde de uç değerler almıyorsa simetrik olarak dağılmıştır, böylece değişkenin büyük ve küçük değerleri birbirini iptal eder.

Pirinç. 10. Üç tür dağıtım

A ölçeğinde gösterilen veriler negatif çarpıktır. Bu şekil, alışılmadık derecede küçük değerlerin varlığından kaynaklanan uzun bir kuyruğu ve sola doğru bir eğimi göstermektedir. Bu son derece küçük değerler ortalama değeri sola kaydırarak medyandan daha küçük hale getirir. B ölçeğinde gösterilen veriler simetrik olarak dağıtılmıştır. Dağılımın sol ve sağ yarıları kendilerinin ayna görüntüleridir. Büyük ve küçük değerler birbirini dengeler ve ortalama ile medyan eşittir. B ölçeğinde gösterilen veriler pozitif olarak çarpıktır. Bu şekil, alışılmadık derecede yüksek değerlerin varlığından kaynaklanan uzun bir kuyruğu ve sağa doğru bir eğimi göstermektedir. Bu çok büyük değerler ortalamayı sağa kaydırarak medyandan daha büyük hale getirir.

Excel'de bir eklenti kullanılarak tanımlayıcı istatistikler elde edilebilir. Analiz paketi. Menüde gezinme Veri → Veri analizi, açılan pencerede satırı seçin Tanımlayıcı istatistikler ve tıklayın Tamam. Pencerede Tanımlayıcı istatistikler mutlaka belirtin Giriş aralığı(Şekil 11). Açıklayıcı istatistikleri orijinal verilerle aynı sayfada görmek istiyorsanız radyo düğmesini seçin. Çıkış aralığı ve görüntülenen istatistiklerin sol üst köşesinin yerleştirileceği hücreyi belirtin (örneğimizde $C$1). Verileri yeni bir sayfaya veya yeni bir çalışma kitabına çıkarmak istiyorsanız uygun radyo düğmesini seçmeniz yeterlidir. yanındaki kutuyu işaretleyin Özet istatistikler. İstenirse siz de seçebilirsiniz Zorluk seviyesi,en küçük veen büyük k..

Eğer depozito varsa Veri bölgede Analiz simgeyi görmüyorsun Veri analizi, önce eklentiyi yüklemeniz gerekiyor Analiz paketi(örneğin bkz.).

Pirinç. 11. Çok yüksek risk seviyesine sahip fonların eklenti kullanılarak hesaplanan beş yıllık ortalama yıllık getirilerine ilişkin tanımlayıcı istatistikler Veri analizi Excel programları

Excel yukarıda tartışılan bir dizi istatistiği hesaplar: ortalama, medyan, mod, standart sapma, varyans, aralık ( aralık), minimum, maksimum ve örneklem büyüklüğü ( kontrol etmek). Excel ayrıca bizim için yeni olan bazı istatistikleri de hesaplar: standart hata, basıklık ve çarpıklık. Standart hata standart sapmanın örneklem büyüklüğünün kareköküne bölünmesine eşittir. Asimetri dağılımın simetrisinden sapmayı karakterize eder ve örnek öğeler ile ortalama değer arasındaki farkların küpüne bağlı bir fonksiyondur. Basıklık, dağılımın kuyruklarına kıyasla ortalama etrafındaki göreceli veri konsantrasyonunun bir ölçüsüdür ve örnek öğeler ile dördüncü kuvvete yükseltilen ortalama arasındaki farklara bağlıdır.

Tanımlayıcı istatistikleri hesaplayın nüfus

Yukarıda tartışılan dağılımın ortalaması, yayılımı ve şekli örneklemden belirlenen özelliklerdir. Ancak veri seti tüm popülasyonun sayısal ölçümlerini içeriyorsa parametreleri hesaplanabilir. Bu parametreler popülasyonun beklenen değerini, dağılımını ve standart sapmasını içerir.

Beklenen değer popülasyondaki tüm değerlerin toplamının popülasyon büyüklüğüne bölünmesine eşittir:

Nerede µ - beklenen değer, XBen- Ben değişkenin gözlemlenmesi X, N- genel nüfusun hacmi. Hesaplama için Excel'de matematiksel beklenti Aritmetik ortalama için kullanılan fonksiyonun aynısı kullanılır: =ORTALAMA().

Nüfus değişimi genel popülasyonun unsurları ile mat arasındaki farkların karelerinin toplamına eşittir. beklentinin nüfus büyüklüğüne bölümü:

Nerede σ2– genel nüfusun dağılımı. Sürüm 2007'den önceki Excel'de, =VARP() işlevi, sürüm 2010 =VARP()'dan başlayarak bir popülasyonun varyansını hesaplamak için kullanılıyordu.

Nüfus standart sapması popülasyon varyansının kareköküne eşittir:

2007 sürümünden önceki Excel'de, =STDEV() işlevi, 2010 =STDEV.Y() sürümünden başlayarak bir popülasyonun standart sapmasını hesaplamak için kullanılıyordu. Popülasyon varyansı ve standart sapmaya ilişkin formüllerin, örneklem varyansı ve standart sapmanın hesaplanmasına ilişkin formüllerden farklı olduğunu unutmayın. Örnek istatistikleri hesaplarken S2 Ve S kesrin paydası n – 1 ve parametreleri hesaplarken σ2 Ve σ - genel nüfusun hacmi N.

Temel kural

Çoğu durumda, gözlemlerin büyük bir kısmı medyan çevresinde yoğunlaşarak bir küme oluşturur. Pozitif çarpıklık içeren veri setlerinde bu küme matematiksel beklentinin solunda (yani altında), negatif çarpıklık bulunan kümelerde ise bu küme matematiksel beklentinin sağında (yani üstünde) yer alır. Simetrik veriler için ortalama ve medyan aynıdır ve gözlemler ortalamanın etrafında toplanarak çan şeklinde bir dağılım oluşturur. Dağılım açıkça çarpık değilse ve veriler bir ağırlık merkezi etrafında yoğunlaşmışsa, değişkenliği tahmin etmek için kullanılabilecek genel kural şudur: Veriler çan şeklinde bir dağılıma sahipse, gözlemlerin yaklaşık %68'i bu aralıktadır. Beklenen değerin bir standart sapması Gözlemlerin yaklaşık %95'i matematiksel beklentiden en fazla iki standart sapma uzaktadır ve gözlemlerin %99,7'si matematiksel beklentiden en fazla üç standart sapma uzaktadır.

Böylece, beklenen değer etrafındaki ortalama değişimin bir tahmini olan standart sapma, gözlemlerin nasıl dağıldığını anlamaya ve aykırı değerleri belirlemeye yardımcı olur. Temel kural, çan şeklindeki dağılımlarda yalnızca yirmi değerden birinin matematiksel beklentiden iki standart sapmadan fazla farklı olduğudur. Bu nedenle aralığın dışındaki değerler u ± 2σ, aykırı değerler olarak kabul edilebilir. Ayrıca 1000 gözlemden yalnızca üçü matematiksel beklentiden üç standart sapmadan fazla farklılık göstermektedir. Böylece aralığın dışındaki değerler u ± 3σ neredeyse her zaman aykırıdır. Oldukça çarpık veya çan şeklinde olmayan dağılımlar için Bienamay-Chebyshev temel kuralı uygulanabilir.

Yüz yıldan fazla bir süre önce matematikçiler Bienamay ve Chebyshev bağımsız olarak standart sapmanın faydalı özelliğini keşfettiler. Herhangi bir veri seti için, dağılımın şekline bakılmaksızın, belirli bir mesafede bulunan gözlemlerin yüzdesinin, k matematiksel beklentiden standart sapmalar, daha az değil (1 – 1/ k 2)*100%.

Örneğin, eğer k= 2, Bienname-Chebyshev kuralı, gözlemlerin en az (1 – (1/2) 2) x %100 = %75'inin aralıkta yer alması gerektiğini belirtir u ± 2σ. Bu kural her şey için geçerlidir k, birini aşıyor. Bienamay-Chebyshev kuralı çok geneldir ve her tür dağılım için geçerlidir. Minimum gözlem sayısını, matematiksel beklentiye olan mesafenin belirli bir değeri aşmadığını belirtir. Bununla birlikte, eğer dağılım çan şeklindeyse, temel kural, verilerin beklenen değer etrafındaki konsantrasyonunu daha doğru bir şekilde tahmin eder.

Frekans Tabanlı Bir Dağılım için Tanımlayıcı İstatistiklerin Hesaplanması

Orijinal veriler mevcut değilse frekans dağılımı tek bilgi kaynağı haline gelir. Bu gibi durumlarda, aritmetik ortalama, standart sapma ve çeyrekler gibi dağılımın niceliksel göstergelerinin yaklaşık değerlerini hesaplamak mümkündür.

Örnek veriler bir frekans dağılımı olarak temsil edilirse, her sınıftaki tüm değerlerin sınıfın orta noktasında yoğunlaştığı varsayılarak aritmetik ortalamanın bir tahmini hesaplanabilir:

Nerede - örnek ortalaması, N- gözlem sayısı veya örneklem büyüklüğü, İle- frekans dağılımındaki sınıf sayısı, mj- orta nokta J sınıf, FJ- karşılık gelen frekans J-inci sınıf.

Bir frekans dağılımından standart sapmayı hesaplamak için, her sınıftaki tüm değerlerin sınıfın orta noktasında yoğunlaştığı da varsayılır.

Bir serinin çeyreklerinin frekanslara göre nasıl belirlendiğini anlamak için, Rus nüfusunun kişi başına düşen ortalama parasal gelire göre dağılımına ilişkin 2013 verilerine dayanarak alt çeyreğin hesaplanmasını düşünün (Şekil 12).

Pirinç. 12. Kişi başına aylık ortalama nakit geliri olan Rus nüfusunun payı, ruble

Bir aralık varyasyon serisinin ilk çeyreğini hesaplamak için aşağıdaki formülü kullanabilirsiniz:

burada Q1, birinci çeyreğin değeridir, xQ1, birinci çeyreği içeren aralığın alt sınırıdır (aralık, ilk olarak %25'i aşan birikmiş frekans tarafından belirlenir); i – aralık değeri; Σf – tüm numunenin frekanslarının toplamı; muhtemelen her zaman %100'e eşittir; SQ1–1 – alt çeyreği içeren aralıktan önceki aralığın birikmiş frekansı; fQ1 – alt çeyreği içeren aralığın frekansı. Üçüncü çeyreğin formülü, her yerde Q1 yerine Q3 kullanmanız ve ¼ yerine ¾ kullanmanız gerektiği açısından farklılık gösterir.

Örneğimizde (Şekil 12), alt çeyrek 7000,1 – 10.000 aralığındadır ve bunun toplam frekansı %26,4'tür. Bu aralığın alt sınırı 7000 ruble, aralığın değeri 3000 ruble, alt çeyreği içeren aralıktan önceki aralığın toplam frekansı %13,4, alt çeyreği içeren aralığın frekansı %13,0'dır. Böylece: Q1 = 7000 + 3000 * (¼ * 100 – 13,4) / 13 = 9677 ovma.

Tanımlayıcı İstatistiklerle İlişkili Tuzaklar

Bu yazıda, bir veri kümesinin ortalamasını, yayılmasını ve dağılımını değerlendiren çeşitli istatistikleri kullanarak nasıl tanımlanabileceğine baktık. Bir sonraki adım veri analizi ve yorumlamadır. Şimdiye kadar verilerin nesnel özelliklerini inceledik ve şimdi öznel yorumlarına geçiyoruz. Araştırmacı iki hatayla karşı karşıyadır: yanlış seçilmiş bir analiz konusu ve sonuçların yanlış yorumlanması.

Çok yüksek riskli 15 yatırım fonunun getirilerinin analizi oldukça tarafsızdır. Tamamen nesnel sonuçlara varmıştır: tüm yatırım fonlarının farklı getirileri vardır, fon getirilerinin dağılımı -6,1 ile 18,5 arasında değişmektedir ve ortalama getiri 6,08'dir. Veri analizinin nesnelliği, özet niceliksel dağılım göstergelerinin doğru seçimiyle sağlanır. Verilerin ortalamasını ve dağılımını tahmin etmek için çeşitli yöntemler dikkate alındı ve bunların avantajları ve dezavantajları belirtildi. Objektif ve tarafsız bir analiz sağlamak için doğru istatistikleri nasıl seçersiniz? Veri dağılımı biraz çarpıksa ortalama yerine medyanı mı seçmelisiniz? Hangi gösterge verinin yayılmasını daha doğru şekilde karakterize eder: standart sapma mı yoksa aralık mı? Dağılımın pozitif çarpık olduğunu belirtmeli miyiz?

Öte yandan veri yorumlama subjektif bir süreçtir. Farklı insanlar Aynı sonuçları yorumlarken farklı sonuçlara varmak. Herkesin kendi bakış açısı vardır. Birisi çok yüksek risk seviyesine sahip 15 fonun toplam ortalama yıllık getirisinin iyi olduğunu düşünüyor ve elde edilen gelirden oldukça memnun. Diğerleri bu fonların getirisinin çok düşük olduğunu düşünebilir. Bu nedenle öznellik, dürüstlük, tarafsızlık ve sonuçların netliği ile telafi edilmelidir.

Etik konular

Veri analizi ayrılmaz bir şekilde etik konularla bağlantılıdır. Gazeteler, radyo, televizyon ve internet aracılığıyla yayılan bilgileri eleştirmelisiniz. Zamanla yalnızca sonuçlara değil, aynı zamanda araştırmanın hedeflerine, konusuna ve nesnelliğine de şüpheyle yaklaşmayı öğreneceksiniz. Ünlü İngiliz siyasetçi Benjamin Disraeli bunu en iyi şekilde ifade etmiştir: "Üç tür yalan vardır: yalanlar, kahrolası yalanlar ve istatistikler."

Notta belirtildiği gibi, raporda sunulması gereken sonuçların seçiminde etik sorunlar ortaya çıkmaktadır. Hem olumlu hem de olumlu yayınlamalısınız. olumsuz sonuçlar. Ayrıca bir rapor veya yazılı rapor hazırlarken sonuçların dürüst, tarafsız ve objektif bir şekilde sunulması gerekir. Başarısız ve dürüst olmayan sunumlar arasında yapılması gereken bir ayrım vardır. Bunu yapmak için konuşmacının niyetinin ne olduğunu belirlemek gerekir. Bazen konuşmacı önemli bilgileri bilgisizliğinden atlar ve bazen de bu kasıtlıdır (örneğin, istenen sonucu elde etmek için açıkça çarpık verilerin ortalamasını tahmin etmek için aritmetik ortalamayı kullanırsa). Araştırmacının bakış açısına uymayan sonuçların gizlenmesi de dürüstlüktür.

Levin ve arkadaşlarının Yönetici İstatistikleri kitabından materyaller kullanılmıştır. – M.: Williams, 2004. – s. 178–209

DÖRTTEBİRLİK işlevi, Excel'in önceki sürümleriyle uyumluluk amacıyla korunmuştur.