Zhrnutie: Produkčná funkcia, vlastnosti, elasticita. Produkčné funkcie

produkčná funkcia - závislosť objemov výroby od množstva a kvality dostupných výrobných faktorov, vyjadrená pomocou matematického modelu. Produkčná funkcia umožňuje určiť optimálnu výšku nákladov potrebných na výrobu určitej časti tovaru. Zároveň je funkcia vždy určená pre konkrétnu technológiu – integrácia nového vývoja so sebou nesie potrebu revízie závislosti.

Výrobná funkcia: celkový vzhľad a vlastnosti

Produkčné funkcie majú nasledujúce vlastnosti:

Nárast výkonu v dôsledku jedného výrobného faktora je vždy limitujúci (napr. obmedzený počet špecialistov môže pracovať v jednej miestnosti).

Výrobné faktory sú vzájomne zameniteľné (ľudské zdroje sú nahradené robotmi) a komplementárne (pracovníci potrebujú nástroje a stroje).

IN všeobecný pohľad Produkčná funkcia vyzerá takto:

Q = f (K, M, L, T, N),

Aby bolo možné opísať správanie firmy, je potrebné vedieť, koľko produktu dokáže vyrobiť pomocou zdrojov v rôznych objemoch. Budeme vychádzať z predpokladu, že podnik vyrába homogénny produkt, ktorého množstvo sa meria v naturálnych jednotkách – tonách, kusoch, metroch a pod.. Závislosť množstva produktu, ktorý môže podnik vyrobiť od objemu nákladov na zdroje sa nazýva produkčná funkcia.

Podnik však môže implementovať rôznymi spôsobmi výrobný proces pomocou rôznych technologických metód, rôznych možností organizácie výroby, takže množstvo produktu získaného s rovnakými nákladmi na zdroje môže byť odlišné. Manažéri firiem by mali odmietnuť výrobné možnosti, ktoré poskytujú nižší výnos produktu, ak pri rovnakom vstupe každého typu zdroja možno dosiahnuť vyšší výnos. Podobne musia odmietnuť možnosti, ktoré vyžadujú väčší vstup aspoň jedného zdroja bez zvýšenia výnosu produktu a zníženia nákladov na ostatné zdroje. Možnosti zamietnuté z týchto dôvodov sa nazývajú technicky neefektívne.

Zároveň spotreba všetkých ostatných materiálov, práce, zariadení, elektriny zostane nezmenená. Takáto možnosť výroby, ktorú možno zlepšiť racionálnejším rezaním železa, by sa mala uznať za technicky neefektívnu a zamietnuť.

Technicky efektívne možnosti výroby sú také, ktoré sa nedajú zlepšiť ani zvýšením výroby produktu bez zvýšenia spotreby zdrojov, ani znížením nákladov akéhokoľvek zdroja bez zníženia produkcie a bez zvýšenia nákladov na iné zdroje.

Produkčná funkcia berie do úvahy len technicky efektívne možnosti. Jeho význam je najväčší počet produkt, ktorý môže firma vyrobiť vzhľadom na množstvo spotreby zdrojov.

Najprv zvážte najjednoduchší prípad: podnik vyrába jeden typ produktu a spotrebúva jeden typ zdrojov.

Príklad takejto výroby sa v realite hľadá dosť ťažko. Aj keď vezmeme do úvahy podnik poskytujúci služby u zákazníkov doma bez použitia akéhokoľvek zariadenia a materiálu (masáže, doučovanie) a vynakladajúci len prácu pracovníkov, museli by sme predpokladať, že pracovníci obchádzajú zákazníkov pešo (bez využitia dopravných služieb). ) a rokovať so zákazníkmi bez pomoci pošty a telefónu. Takže podnik, ktorý vynaloží zdroj vo výške x, môže vyrobiť produkt vo výške q.

Produkčná funkcia:

vytvára vzťah medzi týmito veličinami. Všimnite si, že tu, rovnako ako v iných prednáškach, sú všetky objemové veličiny veličinami typu toku: objem nákladov na zdroje sa meria počtom jednotiek zdroja za jednotku času a objem výstupu sa meria počtom jednotiek produktu za jednotku času.

Na obr. 1 je znázornený graf produkčnej funkcie pre posudzovaný prípad. Všetky body na grafe zodpovedajú technicky efektívnym možnostiam, najmä bodom A a B. Bod C zodpovedá neefektívnej možnosti a bod D nedosiahnuteľnej možnosti.

Ryža. 1.

Produkčnú funkciu formulára (1), ktorá stanovuje závislosť objemu produkcie od objemu nákladov na jeden zdroj, možno použiť nielen na ilustráciu. Je to užitočné aj vtedy, keď sa spotreba iba jedného zdroja môže zmeniť a náklady všetkých ostatných zdrojov z jedného alebo druhého dôvodu sa musia považovať za fixné. V týchto prípadoch je zaujímavá závislosť objemu výroby od nákladov na jeden variabilný faktor.

Oveľa väčšia rozmanitosť sa objavuje pri zvažovaní produkčnej funkcie, ktorá závisí od objemov dvoch spotrebovaných zdrojov:

q \u003d f (x 1, x 2) (2)

Analýza takýchto funkcií uľahčuje prechod na všeobecný prípad, keď počet zdrojov môže byť ľubovoľný.

Okrem toho sú v praxi široko používané produkčné funkcie dvoch argumentov, keď sa výskumník zaujíma o závislosť objemu produkcie produktu od najdôležitejších faktorov - nákladov práce (L) a kapitálu (K):

q = f(L, K). (3)

Graf funkcie dvoch premenných nemožno nakresliť v rovine.

Produkčnú funkciu formy (2) možno znázorniť v trojrozmernom karteziánskom priestore, ktorého dve súradnice (x 1 a x 2) sú vynesené na vodorovných osiach a zodpovedajú nákladom na zdroje a tretia (q) je vynesená na zvislej osi a zodpovedá výstupu produktu (obr. 2) . Grafom produkčnej funkcie je povrch „kopca“, stúpajúci s rastom každej zo súradníc x 1 a x 2 . Konštrukcia na obr. 1 možno v tomto prípade považovať za zvislý rez "kopcom" rovinou rovnobežnou s osou x 1 a zodpovedajúcou pevnej hodnote druhej súradnice x 2 = x * 2 .

Ryža. 2.

Horizontálny úsek „kopca“ spája výrobné možnosti charakterizované pevným výkonom produktu q = q* s rôzne kombinácie náklady na prvý a druhý zdroj. Ak je horizontálna časť povrchu „kopca“ znázornená oddelene v rovine so súradnicami x 1 a x 2, získa sa krivka, ktorá kombinuje také kombinácie nákladov na zdroje, ktoré umožňujú získať daný pevný objem produktu. výstup (obr. 3). Takáto krivka sa nazýva izokvanta produkčnej funkcie (z gréckeho isoz – to isté a latinského quantum – koľko).

Ryža. 3.

Predpokladajme, že produkčná funkcia popisuje výstup v závislosti od vstupov práce a kapitálu. Rovnaké množstvo výstupu možno získať rôznymi kombináciami vstupov týchto zdrojov.

Je možné použiť malý počet strojov (t. j. vystačiť si s malým kapitálovým nákladom), no zároveň treba vynaložiť veľké množstvo práce; je možné naopak niektoré operácie zmechanizovať, zvýšiť počet strojov a tým znížiť mzdové náklady. Ak pre všetky takéto kombinácie zostane najväčší možný výstup konštantný, potom sú tieto kombinácie reprezentované bodmi ležiacimi na rovnakej izokvante.

Zafixovaním výstupu produktu na inej úrovni dostaneme inú izokvantu tej istej produkčnej funkcie.

Po vykonaní série horizontálnych rezov v rôznych výškach získame takzvanú izokvantovú mapu (obr. 4) - najbežnejšiu grafické znázornenie produkčná funkcia dvoch argumentov. Vyzerá ako geografická mapa, na ktorej je terén znázornený vrstevnicami (inak - izohypsami) - čiarami spájajúcimi body, ktoré ležia v rovnakej výške.

Ryža. 4.

Je ľahké vidieť, že produkčná funkcia je v mnohom podobná funkcii užitočnosti v teórii spotreby, izokvanta je podobná indiferenčnej krivke, izokvantová mapa je podobná indiferenčnej mape. Neskôr uvidíme, že vlastnosti a charakteristiky produkčnej funkcie majú v teórii spotreby mnoho analógií. A nejde len o podobnosť. Vo vzťahu k zdrojom sa firma správa ako spotrebiteľ a produkčná funkcia charakterizuje práve túto stránku výroby - výrobu ako spotrebu. Tento alebo ten súbor zdrojov je užitočný pre výrobu, pokiaľ vám umožňuje získať príslušné množstvo výstupu produktu. Dá sa povedať, že hodnoty produkčnej funkcie vyjadrujú užitočnosť na výrobu zodpovedajúceho súboru zdrojov. Na rozdiel od spotrebiteľského úžitku má tento „úžitok“ presne definovanú kvantitatívnu mieru – určuje ju objem vyrobených produktov.

Skutočnosť, že hodnoty produkčnej funkcie odkazujú na technicky efektívne možnosti a charakterizujú najväčší výkon pri spotrebe daného súboru zdrojov, má obdobu aj v teórii spotreby.

Spotrebiteľ môže nadobudnutý tovar použiť rôznymi spôsobmi. Užitočnosť zakúpeného súboru tovaru je daná spôsobom jeho použitia, pri ktorom sa spotrebiteľovi dostáva najväčšie uspokojenie.

Avšak so všetkými uvedenými podobnosťami medzi spotrebiteľským úžitkom a „úžitkom“, vyjadreným hodnotami produkčnej funkcie, ide o úplne odlišné pojmy. Spotrebiteľ sám len na základe vlastných preferencií určuje, aký užitočný je pre neho ten či onen produkt – jeho kúpou alebo odmietnutím.

Súbor výrobných zdrojov sa v konečnom dôsledku ukáže ako užitočný, pokiaľ produkt vyrobený s použitím týchto zdrojov schváli spotrebiteľ.

Keďže najvšeobecnejšie vlastnosti funkcie užitočnosti sú vlastné produkčnej funkcii, môžeme ďalej uvažovať o jej hlavných vlastnostiach bez opakovania podrobných argumentov uvedených v časti II.

Budeme predpokladať, že zvýšenie nákladov na jeden zo zdrojov, zatiaľ čo náklady na druhý zostanú nezmenené, nám umožňuje zvýšiť produkciu. To znamená, že produkčná funkcia je rastúcou funkciou každého z jej argumentov. Jedna izokvanta prechádza každým bodom roviny zdrojov so súradnicami x 1 , x 2 . Všetky izokvanty majú negatívny sklon. Izokvanta zodpovedajúca vyššiemu výťažku produktu je umiestnená vpravo a nad izokvantou pre nižší výťažok. Nakoniec sa všetky izokvanty budú považovať za konvexné v smere pôvodu.

Na obr. 5 ukazuje niektoré charakterizujúce izokvantové mapy rôzne situácie vznikajúce pri produkčnej spotrebe dvoch zdrojov Obr.1. 5a zodpovedá absolútnej vzájomnej substitúcii zdrojov. V prípade znázornenom na obr. 5b, prvý zdroj môže byť úplne nahradený druhým: izokvantné body umiestnené na osi x2 ukazujú množstvo druhého zdroja, čo umožňuje získať jeden alebo druhý produktový výstup bez použitia prvého zdroja. Použitie prvého zdroja znižuje náklady na druhý, ale nie je možné úplne nahradiť druhý zdroj prvým.

Ryža. 5 ,c znázorňuje situáciu, v ktorej sú potrebné oba zdroje a ani jeden nemôže byť úplne nahradený druhým. Nakoniec prípad znázornený na obr. 5d sa vyznačuje absolútnou komplementárnosťou zdrojov.

Ryža. 5.

Produkčná funkcia, ktorá závisí od dvoch argumentov, má pomerne vizuálnu reprezentáciu a dá sa pomerne ľahko vypočítať. Je potrebné poznamenať, že ekonomika využíva výrobné funkcie rôznych objektov - podnikov, priemyselných odvetví, národných a svetových ekonomík. Najčastejšie ide o funkcie formulára (3); niekedy sa pridáva aj tretí argument - cena prírodných zdrojov (N):

q = f(L, K, N). (3)

To dáva zmysel, ak je množstvo prírodných zdrojov zapojených do výrobných činností premenlivé.

V aplikovanom ekonomickom výskume a v ekonomickej teórii sa využívajú produkčné funkcie odlišné typy. O ich vlastnostiach a rozdieloch sa bude diskutovať v časti 3. Pri aplikovaných výpočtoch je v dôsledku požiadaviek praktickej vypočítateľnosti potrebné obmedziť sa na malý počet faktorov a tieto faktory sa zvažujú na rozšírenom základe – „práca“ bez členenia podľa profesie a kvalifikácie, „kapitál“ bez zohľadnenia jeho špecifického zloženia atď.e V teoretickej analýze výroby možno abstrahovať od ťažkostí praktickej vyčísliteľnosti. Teoretický prístup vyžaduje, aby bol každý typ zdroja považovaný za absolútne homogénny. Suroviny rôznych tried je potrebné považovať za rôzne druhy zdrojov, rovnako ako stroje rôznych značiek alebo prácu, ktoré sa líšia odbornými a kvalifikačnými vlastnosťami.

Produkčná funkcia používaná v teórii je teda funkcia Vysoké číslo argumenty:

q \u003d f (x 1, x 2, ..., x n). (4)

Rovnaký prístup bol použitý aj v teórii spotreby, kde počet druhov spotrebovaného tovaru nebol nijako obmedzený.

Všetko, čo už bolo povedané o produkčnej funkcii dvoch argumentov, možno preniesť na funkciu formy (4), samozrejme, s výhradami ohľadom rozmeru.

Izokvanty funkcie (4) nie sú ploché krivky, ale n-rozmerné plochy. Napriek tomu budeme naďalej používať "ploché izokvanty" - na ilustračné účely a ako vhodný prostriedok analýzy v prípadoch, keď sú náklady na dva zdroje variabilné a zvyšok sa považuje za fixný.

Ďalším druhom produkčnej funkcie je lineárna produkčná funkcia, ktorá má nasledujúcu formu:

Q(L,K) = aL + bK

Táto produkčná funkcia je homogénna prvého stupňa, preto má konštantné výnosy z rozsahu. Graficky danú funkciu znázornené na obrázku 1.2, a.

Ekonomický význam lineárnej produkčnej funkcie spočíva v tom, že opisuje výrobu, v ktorej sú faktory vzájomne zameniteľné, to znamená, že nezáleží na tom, či sa používa iba práca alebo iba kapitál. Ale v skutočný život takáto situácia je prakticky nemožná, keďže každý stroj je stále obsluhovaný osobou.

Koeficienty a a b funkcie, ktoré sú v premenných L a K, ukazujú pomery, v ktorých môže byť jeden faktor nahradený iným. Napríklad, ak a=b=1, potom to znamená, že 1 hodina práce môže byť nahradená 1 hodinou strojového času, aby sa vyrobilo rovnaké množstvo výstupu.

Treba si uvedomiť, že pri niektorých druhoch ekonomickej činnosti sa práca a kapitál vôbec nemôžu nahradiť a musia sa využívať v pevnom pomere: 1 pracovník – 2 stroje, 1 autobus – 1 vodič. V tomto prípade je elasticita substitúcie faktorov nulová a výrobná technológia je reprezentovaná Leontiefovou výrobnou funkciou:

Q(L,K) = min(;),

Ak napríklad v každom diaľkovom autobuse musia byť dvaja vodiči, potom ak je vo vozovom parku 50 autobusov a 90 vodičov, môže byť súčasne obsluhovaných iba 45 liniek:
min(90/2;50/1) = 45.

Aplikácia

Príklady riešenia problémov pomocou produkčných funkcií

Úloha 1

Spoločnosť zaoberajúca sa riečnou dopravou využíva pracovnú silu prepravcu (L) a trajekty (K). Produkčná funkcia má formu . Cena jednotky kapitálu je 20, cena jednotky práce je 20. Aký bude sklon izokosty? Koľko práce a kapitálu musí firma prilákať, aby zrealizovala 100 zásielok?

Riešenie

Izokosta je daná rovnicou:

kde C sú celkové náklady (niektoré konštanty). Odtiaľ:

tie. sklon tejto čiary je -1.

Optimálne množstvo práce a kapitálu na 100 zásielok je definované ako dotykový bod izokvanty a izocosty pre niektoré C . Vyriešením izokvantovej rovnice dostaneme:

√(L×K) = 100/10 = 10, potom .

Potom . Keďže celkové náklady by v tomto prípade mali byť minimálne, potom pri minimalizácii C vzhľadom na L nájdeme množstvo práce L: A . Množstvo kapitálu zistíme podľa vzorca .

Odpoveď: Na realizáciu 100 prepráv musí firma prilákať 10 jednotiek práce a 10 jednotiek kapitálu.

Úloha 2

Produkčná funkcia má tvar , kde Y- počet produktov za deň, L- pracovný čas K- strojové hodiny. Predpokladajme, že denne sa vynaloží 9 hodín práce a 9 hodín strojovej práce.

Čo je maximálne množstvo produkty vyrobené za deň? Predpokladajme, že firma zdvojnásobí náklady oboch faktorov. Určte úspory z rozsahu výroby.

Riešenie

V podmienkach úlohy za deň sa vykonáva výrobných jednotiek. Ak sa vstupy oboch faktorov zdvojnásobia, potom sa výstup rovná , t.j. aj zdvojené. Potom sa účinok zmeny v rozsahu výroby, určený z podmienky , rovná jednej.

Úloha 3

IN krátkodobý produkčná funkcia firmy má tvar: , kde L je počet pracovníkov. Pri akej úrovni zamestnanosti sa maximalizuje celkový výkon?

Riešenie

Aby ste odpovedali na otázku problému, musíte nájsť maximálny bod funkcie Y(L) . Diferencujeme ho vzhľadom na L a deriváciu prirovnáme k nule: . Dostaneme kvadratická rovnica, ktorého diskriminant je , a korene sú . Keďže jeden z koreňov je negatívny, berieme . Počet pracovníkov je celé číslo, preto po zaokrúhlení nahor dostaneme .

Záver

Zdroje v ekonomike pôsobia ako výrobné faktory, medzi ktoré patria:

2. zem ( Prírodné zdroje);

3. kapitál;

4. podnikateľské schopnosti;

5. vedecko-technický pokrok.

Všetky tieto faktory spolu úzko súvisia.

Produkčná funkcia je matematický vzťah medzi maximálnym výstupom za jednotku času a kombináciou faktorov, ktoré ho vytvárajú, vzhľadom na súčasnú úroveň poznania a technológie. Zároveň je hlavnou úlohou matematickej ekonómie z praktického hľadiska identifikovať túto závislosť, teda vybudovať produkčnú funkciu pre konkrétne odvetvie alebo konkrétny podnik.

Vo výrobnej teórii používajú hlavne dvojfaktorovú výrobnú funkciu, ktorá vo všeobecnosti vyzerá takto:

Q = f (K, L), kde Q je objem výroby; K - kapitál; L - práca.

Otázka pomeru nákladov výrobných faktorov, ktoré sa navzájom nahrádzajú, je riešená takou koncepciou, ako je napr elasticita substitúcie výrobných faktorov.

Elasticita substitúcie je pomer nákladov na nahradenie výrobných faktorov pri konštantnom výstupe. Ide o druh koeficientu, ktorý ukazuje stupeň efektívnosti pri nahrádzaní jedného výrobného faktora iným.

Mierou vzájomnej zameniteľnosti výrobných faktorov je hraničná miera technickej substitúcie MRTS, ktorá ukazuje, o koľko jednotiek jeden z faktorov možno znížiť zvýšením druhého faktora o jeden, pričom výstup zostane nezmenený.

Izokvanta je krivka predstavujúca všetky možné kombinácie dvoch nákladov, ktoré poskytujú daný konštantný výstup.

Financovanie je zvyčajne obmedzené. Čiara tvorená množinou bodov, ktoré ukazujú, koľko kombinovaných výrobných faktorov alebo zdrojov je možné kúpiť za dostupné peniaze, sa nazýva izokosta. Optimálnou kombináciou faktorov pre konkrétny podnik je teda všeobecné riešenie rovníc izokosty a izokvanty. Graficky je to bod kontaktu čiar izokosty a izokvanty.

Produkčnú funkciu možno zapísať v rôznych algebraických formách. Ekonómovia spravidla pracujú s lineárne homogénnymi produkčnými funkciami.

Práca tiež zvažovala konkrétne príklady riešenie problémov pomocou výrobných funkcií, čo umožnilo dospieť k záveru, že majú veľký praktický význam v hospodárskej činnosti každého podniku.

Bibliografia

1. Dougherty K. Úvod do ekonometrie. - M.: Financie a štatistika, 2001.

2. Zamkov O.O., Tolstopyatenko A.V., Cheremnykh Yu.P. Matematické metódy v ekonómii: Učebnica. – M.: Ed. "DIS", 1997.

3. Kurz ekonomickej teórie: učebnica. - Kirov: ASA, 1999.

4. Mikroekonómia. Ed. Na túto tému sa vyjadril prof. Yakovleva E.B. – M.: SPb. Vyhľadávanie, 2002.

5. Salmanov O. Matematická ekonómia. – M.: BHV, 2003.

6. Churakov E.P. Matematické metódy spracovania experimentálnych údajov v ekonómii. - M.: Financie a štatistika, 2004.

7. Shelobaev S.I. Matematické metódy a modely v ekonomike, financiách, obchode. – M.: Unity-Dana, 2000.

1 Veľký komerčný slovník./Edited by Ryabova T.F. - M .: Vojna a mier, 1996. S. 241.

výroby nazýva akúkoľvek ľudskú činnosť na premenu obmedzených zdrojov – materiálnych, pracovných, prírodných – na hotové výrobky. Produkčná funkcia charakterizuje vzťah medzi množstvom použitých zdrojov (výrobných faktorov) a maximálnym možným výstupom, ktorý možno dosiahnuť za predpokladu, že všetky dostupné zdroje sa využívajú najracionálnejším spôsobom.

Produkčná funkcia má nasledujúce vlastnosti:

1 Zvýšenie produkcie, ktoré možno dosiahnuť zvýšením jedného zdroja a udržiavaním konštantných ostatných zdrojov, je obmedzené. Ak napríklad v poľnohospodárstvo zvýšiť množstvo práce konštantným množstvom kapitálu a pôdy, potom skôr či neskôr príde bod, kedy výstup prestane rásť.

2 Zdroje sa navzájom dopĺňajú, ale v určitých medziach je možná aj ich zameniteľnosť bez zníženia produkcie. Napríklad manuálna práca môže byť nahradená používaním viacerých strojov a naopak.

Podnik však môže vykonávať výrobný proces rôznymi spôsobmi, s použitím rôznych technologických metód, rôznych možností organizácie výroby, takže množstvo produktu získaného s rovnakými nákladmi na zdroje môže byť odlišné. Manažéri firiem by mali odmietnuť výrobné možnosti, ktoré poskytujú nižší výnos produktu, ak pri rovnakom vstupe každého typu zdroja možno dosiahnuť vyšší výnos. Podobne musia odmietnuť možnosti, ktoré vyžadujú väčší vstup aspoň jedného zdroja bez zvýšenia výnosu produktu a zníženia nákladov na ostatné zdroje. Opcie zamietnuté z týchto dôvodov sú tzv technicky neefektívne.

Povedzme, že vaša spoločnosť vyrába chladničky. Na výrobu puzdra je potrebné odrezať plech. V závislosti od toho, ako je štandardný plech označený a vyrezaný, možno z neho vyrezať viac alebo menej častí; preto na výrobu určitého počtu chladničiek bude potrebných menej alebo viac štandardných plechov železa. Zároveň spotreba všetkých ostatných materiálov, práce, zariadení, elektriny zostane nezmenená. Takáto možnosť výroby, ktorú možno zlepšiť racionálnejším rezaním železa, by sa mala uznať za technicky neefektívnu a zamietnuť.

technicky efektívne sa nazývajú výrobné možnosti, ktoré nemožno zlepšiť ani zvýšením výroby produktu bez zvýšenia spotreby zdrojov, ani znížením nákladov na akýkoľvek zdroj bez zníženia produkcie a bez zvýšenia nákladov na iné zdroje. Produkčná funkcia berie do úvahy len technicky efektívne možnosti. Jeho význam je najväčší množstvo produktu, ktoré môže podnik vyrobiť vzhľadom na objem spotreby zdrojov.

Najprv zvážte najjednoduchší prípad: podnik vyrába jeden typ produktu a spotrebúva jeden typ zdrojov. Príklad takejto výroby sa v realite hľadá dosť ťažko. Aj keď vezmeme do úvahy podnik poskytujúci služby u zákazníkov doma bez použitia akéhokoľvek zariadenia a materiálu (masáže, doučovanie) a vynakladajúci len prácu pracovníkov, museli by sme predpokladať, že pracovníci obchádzajú zákazníkov pešo (bez využitia dopravných služieb). ) a rokovať so zákazníkmi bez pomoci pošty a telefónu.

produkčná funkcia- ukazuje závislosť množstva produktu, ktorý môže podnik vyrobiť od objemu nákladov použitých faktorov

Q= f(x1, x2...xn)

Q= f(K, L),

Kde Q- výstupná hlasitosť

x1, x2…xn– objemy aplikovaných faktorov

K- objem kapitálového faktora

L- objem faktora práce

Takže podnik vynakladá prostriedky vo výške X, môže vyrobiť produkt v množstve q. produkčná funkcia

Výroba nemôže vytvárať produkty z ničoho. Výrobný proces je spojený so spotrebou rôznych zdrojov. Počet zdrojov zahŕňa všetko, čo je potrebné pre výrobné činnosti - suroviny, energiu, prácu, vybavenie a priestor. Aby bolo možné opísať správanie firmy, je potrebné vedieť, koľko produktu dokáže vyrobiť pomocou zdrojov v rôznych objemoch. Budeme vychádzať z predpokladu, že podnik vyrába homogénny produkt, ktorého množstvo sa meria v naturálnych jednotkách – tonách, kusoch, metroch a pod.. Závislosť množstva produktu, ktorý môže podnik vyrobiť od objemu nákladov na zdroje sa volá produkčná funkcia.

Úvaha o koncepte „výrobnej funkcie“ začne najjednoduchším prípadom, keď je produkcia spôsobená iba jedným faktorom. V tomto prípade produkčná funkcia - ide o funkciu, ktorej nezávislá premenná naberá hodnoty použitého zdroja (výrobného faktora) a závislá premenná - hodnoty objemu produkcie y=f(x).

V tomto vzorci je y funkciou jednej premennej x. V tomto ohľade sa produkčná funkcia (PF) nazýva jednozdrojová alebo jednofaktorová. Jeho doménou definície je množina nezáporných reálnych čísel. Symbol f je charakteristika výrobný systém A, ktoré konvertuje zdroj na problém.

Príklad 1. Vezmite produkčnú funkciu f v tvare f(x)=ax b , kde x je hodnota vynaloženého zdroja (napríklad pracovný čas), f(x) je objem produkcie (napríklad číslo chladničiek pripravených na odoslanie). Hodnoty a a b sú parametre produkčnej funkcie f. Tu a a b sú kladné čísla a číslo b1, vektor parametra je dvojrozmerný vektor (a,b). Produkčná funkcia y=ax b je typickým predstaviteľom širokej triedy jednofaktorových PF.

Ryža. 1.

Graf ukazuje, že s nárastom hodnoty vynaloženého zdroja rastie y. Zároveň však každá ďalšia jednotka zdroja poskytuje čoraz menší nárast objemu y produkcie. Uvedená okolnosť (zvýšenie objemu y a zníženie zväčšenia objemu y so zvýšením hodnoty x) odráža fundamentálne postavenie ekonomickej teórie (dobre potvrdené praxou), nazývané zákon zmenšovania. efektívnosť (zníženie produktivity alebo klesajúca návratnosť).

PF môžu mať rôzne oblasti použitia. Princíp input-output môže byť implementovaný na mikro- aj makroekonomickej úrovni. Zamerajme sa najskôr na mikroekonomickú rovinu. PF y=ax b , o ktorom sme hovorili vyššie, možno použiť na opísanie vzťahu medzi hodnotou vynaložených alebo použitých zdrojov x počas roka v samostatnom podniku (firme) a ročnou produkciou tohto podniku (firmy). Úlohu výrobného systému tu zohráva samostatný podnik (firma) – máme mikroekonomický PF (MIPF). Na mikroekonomickej úrovni môže ako výrobný systém pôsobiť aj odvetvie, medzisektorový výrobný komplex. MIPF sú postavené a používané hlavne na riešenie problémov analýzy a plánovania, ako aj problémov prognózovania.

PF možno použiť na opísanie vzťahu medzi ročnými nákladmi práce regiónu alebo krajiny ako celku a ročným konečným výstupom (alebo príjmom) tohto regiónu alebo krajiny ako celku. Tu pôsobí región alebo krajina ako celok ako produkčný systém – máme makroekonomickú úroveň a makroekonomický PF (MAPF). MAFF sú zostavené a aktívne používané na riešenie všetkých troch typov problémov (analýza, plánovanie a prognózovanie).

Teraz prejdeme k úvahe o produkčných funkciách niekoľkých premenných.

Produkčná funkcia viacerých premenných je funkcia, ktorej nezávislé premenné nadobúdajú hodnoty objemov vynaložených alebo použitých zdrojov (počet premenných n sa rovná počtu zdrojov) a hodnota funkcie má význam hodnôt výstupu objemy:

y=f(x)=f(x1,…,хn).

Vo vzorci je y (y0) skalár a x je vektorová veličina, x 1 ,…,x n sú súradnice vektora x, to znamená, že f(x 1 ,…,x n) je numerická funkcia niekoľko premenných x 1 ,…,x n. V tomto ohľade sa PF f(x 1 ,…,х n) nazýva viaczdrojový alebo viacfaktorový. Správnejšia je taká symbolika f(x 1 ,…, x n ,a), kde a je vektor parametrov PF.

Z ekonomického hľadiska sú všetky premenné tejto funkcie nezáporné, preto doménou definície multifaktoriálnej PF je množina n-rozmerných vektorov x, z ktorých všetky súradnice x 1 ,…, x n sú nezáporné. čísla.

Graf funkcie dvoch premenných nemožno nakresliť v rovine. Produkčnú funkciu niekoľkých premenných je možné znázorniť v trojrozmernom karteziánskom priestore, ktorého dve súradnice (x1 a x2) sú vynesené na vodorovných osiach a zodpovedajú nákladom na zdroje a tretia (q) na zvislej osi. a zodpovedá výstupu produktu (obr. 2). Grafom produkčnej funkcie je povrch „kopca“, ktorý stúpa s rastom každej zo súradníc x1 a x2.

Pre samostatný podnik (firmu), ktorý vyrába homogénny produkt, môže PF f (x 1 ,…, x n) spájať objem produkcie s nákladmi na pracovný čas pre rôzne druhy pracovnej činnosti, rôzne druhy suroviny, komponenty, energie, fixný kapitál. PF tohto typu charakterizujú súčasnú technológiu podniku (firmy).

Pri konštrukcii PF pre región alebo krajinu ako celok sa súhrnný produkt (dôchodok) regiónu alebo krajiny, zvyčajne vypočítaný v stálych a nie bežných cenách, berie ako hodnota ročnej produkcie Y, zvyčajne fixný kapitál (x 1 (= K) sa považuje za zdroj - objem fixného kapitálu použitého počas roka) a živej práce (x 2 (= L) - počet jednotiek živej práce vynaloženej počas roka), zvyčajne počítané v hodnotovom vyjadrení. Takto sa zostaví dvojfaktorový PF Y=f(K,L). Z dvojfaktorového PF sa prechádza na trojfaktorový. Okrem toho, ak je PF skonštruovaný z údajov časových radov, potom technologický pokrok možno zahrnúť ako špeciálny faktor rastu produkcie.

Volá sa PF y=f(x 1 ,x 2). statické, ak jej parametre a jej charakteristika f nezávisia od času t, hoci objem zdrojov a objem produkcie môžu závisieť od času t, to znamená, že môžu byť vyjadrené vo forme časových radov: x 1 (0) x 1 (1),... x 1 (T); x 2 (0), x 2 (1), ..., x 2 (T); y(0), y(1),...,y(T); y(t)=f(x1(t), x2(t)). Tu t je číslo roku, t=0,1,…,Т; t= 0 - základný rok časového intervalu pokrývajúceho roky 1,2,…,T.

Príklad2. Na modelovanie konkrétneho regiónu alebo krajiny ako celku (teda na riešenie problémov na makroekonomickej, ale aj mikroekonomickej úrovni) sa často používa PF tvaru y=, kde a 0 , a 1 a 2 sú parametre PF. Sú to kladné konštanty (často a 1 a a 2 sú také, že a 1 + a 2 = 1). PF práve uvedenej formy sa nazýva Cobb-Douglas PF (CPKD) podľa dvoch amerických ekonómov, ktorí navrhli jeho použitie v roku 1929.

PPCD sa aktívne používa na riešenie rôznych teoretických a aplikovaných problémov vďaka svojej štrukturálnej jednoduchosti. PFKD patrí do triedy takzvaných multiplikatívnych PF (MPF). V aplikáciách sa PFKD x 1 = K rovná objemu použitého fixného kapitálu (objemu použitého investičného majetku - v domácej terminológii), - nákladom na životnú prácu, potom PFKD nadobúda podobu často používanú v literatúre:

Príklad 3. Lineárny PF (LPF) má tvar: (dvojfaktorový) a (multifaktorový). PSF patrí do triedy takzvaných aditívnych PF (APF). Prechod z multiplikatívneho PF na aditívny sa vykonáva pomocou logaritmickej operácie. Pre dvojfaktorový multiplikačný PF

tento prechod vyzerá takto: . Zavedením vhodnej substitúcie získame aditívum PF.

Na výrobu konkrétneho produktu je potrebná kombinácia rôznych faktorov. Napriek tomu majú rôzne výrobné funkcie množstvo spoločných vlastností.

Pre istotu sa obmedzíme na produkčné funkcie dvoch premenných. V prvom rade si treba uvedomiť, že takáto produkčná funkcia je definovaná v nezápornom orthante dvojrozmernej roviny, teda at. PF spĺňa nasledujúci súbor vlastností:

1) nie je výstup bez zdrojov, t.j. f(0,0,a)=0;
2) pri absencii aspoň jedného zo zdrojov nie je výstup, t.j. ;
3) so zvýšením nákladov na aspoň jeden zdroj sa objem produkcie zvyšuje;

4) s rastom nákladov na jeden zdroj pri konštantnom množstve iného zdroja sa zvyšuje objem produkcie, t.j. ak x > 0, potom;

5) pri náraste nákladov jedného zdroja pri konštantnom množstve iného zdroja sa hodnota zvýšenia výkonu pre každú ďalšiu jednotku i-tého zdroja nezvýši (zákon klesajúcej efektívnosti), t.j. Ak potom;

6) s rastom jedného zdroja sa zvyšuje hraničná efektívnosť iného zdroja, t.j. ak x > 0, potom;
7) PF je homogénna funkcia, t.j. ; pri p>1 máme zvýšenie efektivity výroby v dôsledku zvýšenia rozsahu výroby; u p

Produkčné funkcie nám umožňujú kvantitatívne analyzovať najdôležitejšie ekonomické závislosti vo sfére výroby. Umožňujú odhadnúť priemernú a hraničnú efektívnosť rôznych výrobných zdrojov, elasticitu výstupu pre rôzne zdroje, hraničné miery substitúcie zdrojov, vplyv rozsahu výroby a mnohé ďalšie.

Úloha 1. Nech je daná výrobná funkcia, ktorá dáva do súvisu objem produkcie podniku s počtom pracovníkov, výrobných aktív a objemom spotrebovaných strojohodín

Je potrebné určiť maximálny výkon v rámci obmedzení

Riešenie. Na vyriešenie problému zostavíme Lagrangeovu funkciu

diferencujeme ho vzhľadom na premenné a výsledné výrazy prirovnáme k nule:

Z prvej a tretej rovnice teda vyplýva, že

čím dostaneme riešenie, pre ktoré y=2. Keďže napríklad bod (0,2,0) patrí do prípustnej oblasti a y=0 v nej, usúdime, že bod (1,1,1) je globálny maximálny bod. Ekonomické dôsledky výsledného riešenia sú zrejmé.

Treba tiež poznamenať, že produkčná funkcia opisuje súbor technických efektívnymi spôsobmi výroba (technológie). Každá technológia sa vyznačuje určitou kombináciou zdrojov potrebných na získanie jednotky výstupu. Aj keď sú výrobné funkcie odlišné pre odlišné typy odvetvia, všetky majú spoločné vlastnosti:

1. Zvýšenie produkcie, ktoré možno dosiahnuť zvýšením nákladov na jeden zdroj, je limitované, pričom všetky ostatné veci sú rovnaké. To znamená, že vo firme s daným počtom strojov a priemyselné priestory existuje limit na zvyšovanie výroby privádzaním ďalších pracovníkov. Nárast produkcie s rastom počtu zamestnaných sa priblíži k nule.
2. Existuje určitá komplementárnosť (komplementárnosť) výrobných faktorov, ale bez zníženia objemov výroby je možná aj určitá vzájomná súvislosť týchto faktorov. Napríklad práca pracovníkov je efektívna, ak majú k dispozícii všetky potrebné nástroje. Pri absencii takýchto nástrojov je možné objem znížiť alebo zvýšiť s nárastom počtu zamestnancov. IN tento prípad jeden zdroj je nahradený iným.
3. Spôsob výroby A považované za technicky efektívnejšie ako B, ak to zahŕňa použitie aspoň jedného zdroja v menej, a všetky ostatné - nie vo viac ako metóda B. Technicky neefektívne metódy racionálni výrobcovia nepoužívajú.
4. Ak cesta A zahŕňa použitie niektorých zdrojov vo viacerých a iných - v menšom množstve ako metóda B, sú tieto metódy z hľadiska technickej efektívnosti neporovnateľné. V tomto prípade sa oba spôsoby považujú za technicky efektívne a sú zahrnuté vo výrobnej funkcii. Ktorý z nich si vybrať, závisí od pomeru ceny použitých zdrojov. Tento výber je založený na kritériách efektívnosti nákladov. Technická efektívnosť teda nie je totožná s ekonomickou efektívnosťou.

Technická efektívnosť je maximálny možný objem výroby dosiahnutý v dôsledku využitia dostupných zdrojov. Ekonomická efektívnosť je produkcia daného množstva produkcie pri najnižších možných nákladoch. Vo výrobnej teórii sa tradične používa dvojfaktorová výrobná funkcia, v ktorej je objem výroby funkciou použitia práce a kapitálových zdrojov:

Graficky možno každý spôsob výroby (technológie) znázorniť bodom, ktorý charakterizuje minimálny požadovaný súbor dvoch faktorov potrebných na produkciu daného objemu produkcie (obr. 3).

Obrázok ukazuje rôznymi spôsobmi výroba (technológia): T 1, T 2, T 3, charakterizovaná rôznymi pomermi vo využití práce a kapitálu: T 1 = L 1 K 1; T2 = L2K2; T3 = L3K3. sklon lúča ukazuje veľkosť aplikácie rôznych zdrojov. Čím vyšší je uhol sklonu lúča, tým väčšie sú náklady na kapitál a tým nižšie sú náklady na prácu. Technológia T 1 je kapitálovo náročnejšia ako technológia T 2 .

Ryža. 3.

Ak spojíte linkou rôzne technológie, získate obraz produkčnej funkcie (linka rovnakého výkonu), ktorá je tzv izokvanty. Obrázok ukazuje, že objem produkcie Q je možné dosiahnuť rôznymi kombináciami výrobných faktorov (T 1, T 2, T 3 atď.). Horná časť izokvanty odráža kapitálovo náročné technológie, zatiaľ čo spodná časť odráža technológie náročné na prácu.

Mapa izokvant je množina izokvant, ktoré odrážajú maximálnu dosiahnuteľnú úroveň výstupu pre daný súbor výrobných faktorov. Čím ďalej je izokvanta od počiatku, tým väčší je výstup. Izokvanty môžu prechádzať akýmkoľvek bodom v priestore, kde sú dva výrobné faktory. Význam mapy izokvant je podobný významu mapy indiferenčnej krivky pre spotrebiteľov.

Obr.4.

Izokvanty majú nasledovné vlastnosti:

1. Izokvanty sa nepretínajú.
2. Väčšia vzdialenosť izokvanty od počiatku zodpovedá vyššej úrovni výstupu.
3. Izokvanty - klesajúce krivky, majú negatívny sklon.

Izokvanty sú podobné indiferenčným krivkám len s tým rozdielom, že odrážajú situáciu nie vo sfére spotreby, ale vo sfére výroby.

Negatívny sklon izokvantov sa vysvetľuje skutočnosťou, že zvýšenie použitia jedného faktora pri určitom objeme produkcie produktu bude vždy sprevádzané znížením množstva iného faktora.

Zvážte možné izokvantové mapy

Na obr. Obrázok 5 zobrazuje niektoré izokvantové mapy, ktoré charakterizujú rôzne situácie, ktoré vznikajú, keď sa pri výrobe spotrebujú dva zdroje. Ryža. 5a zodpovedá absolútnej vzájomnej substitúcii zdrojov. V prípade znázornenom na obr. 5b, prvý zdroj môže byť úplne nahradený druhým: izokvantné body umiestnené na osi x2 ukazujú množstvo druhého zdroja, čo umožňuje získať jeden alebo druhý výstup produktu bez použitia prvého zdroja. Použitie prvého zdroja znižuje náklady na druhý, ale nie je možné úplne nahradiť druhý zdroj prvým. Ryža. 5c znázorňuje situáciu, v ktorej sú potrebné oba zdroje a ani jeden nemôže byť úplne nahradený druhým. Nakoniec prípad znázornený na obr. 5d sa vyznačuje absolútnou komplementárnosťou zdrojov.

Ryža. 5. Príklady izokvantových máp

Na vysvetlenie produkčnej funkcie je zavedený pojem náklady.

V najvšeobecnejšej podobe možno náklady definovať ako súbor nákladov, ktoré výrobcovi vznikajú pri výrobe určitého objemu produkcie.

Existuje ich klasifikácia podľa časových období, počas ktorých spoločnosť jedno alebo druhé akceptuje výrobné riešenie. Na zmenu objemu výroby musí firma upraviť výšku a skladbu svojich nákladov. Niektoré náklady sa dajú zmeniť pomerne rýchlo, zatiaľ čo iné si vyžadujú určitý čas.

Krátkodobé obdobie je časový interval nedostatočný na modernizáciu alebo uvedenie nového do prevádzky výrobná kapacita podnikov. V tomto období však môže podnik zvýšiť výkon zvýšením miery intenzity využívania existujúcich výrobných kapacít (napríklad prijať ďalších pracovníkov, nakúpiť viac surovín, zvýšiť zmenový pomer údržby zariadení a pod.). Z toho vyplýva, že v krátkodobom horizonte môžu byť náklady fixné alebo variabilné.

Fixné náklady (TFC) sú súhrnom nákladov, ktoré nezávisia od zmien objemu výroby. Fixné náklady sú spojené so samotnou existenciou firmy a musia byť zaplatené, aj keď firma nič nevyrába. Zahŕňajú odpisy budov a zariadení; daň z nehnuteľnosti; poistné platby; náklady na opravy a údržbu; dlhopisové platby; platy vrcholového manažmentu atď.

Variabilné náklady (TVC) sú náklady na zdroje, ktoré sa priamo používajú na výrobu daného výstupu. Prvky variabilných nákladov sú náklady na suroviny, palivo, energiu; platba za prepravné služby; platba za väčšinu pracovné zdroje (mzda). Na rozdiel od fixných nákladov závisia variabilné náklady od objemu produkcie. Treba si však uvedomiť, že nárast množstva variabilných nákladov spojených so zvýšením produkcie o 1 jednotku nie je konštantný.

Na začiatku procesu zvyšovania produkcie sa budú variabilné náklady určitý čas zvyšovať klesajúcim tempom; a tak to bude pokračovať až do konkrétnej hodnoty objemu produkcie. Potom začnú variabilné náklady rásť rastúcim tempom na každú nasledujúcu jednotku výstupu. Toto správanie variabilných nákladov je určené zákonom klesajúcich výnosov. Nárast hraničného produktu v priebehu času spôsobí menšie a menšie prírastky variabilných zdrojov na výrobu každej ďalšej jednotky výstupu.

A keďže sa všetky jednotky variabilných zdrojov nakupujú za rovnakú cenu, znamená to, že súčet variabilných nákladov sa bude zvyšovať klesajúcim tempom. Ale keďže hraničná produktivita začína klesať v súlade so zákonom klesajúcich výnosov, na výrobu každej následnej jednotky výstupu sa bude musieť použiť stále viac dodatočných variabilných zdrojov. Súčet variabilných nákladov tak bude rásť zrýchľujúcim sa tempom.

Súčet fixných a variabilných nákladov spojených s produkciou určitého množstva výstupu sa nazýva celkové náklady (TC). Dostaneme teda nasledujúcu rovnosť:

TC - TFC + TVC.

Na záver poznamenávame, že produkčné funkcie možno použiť na extrapoláciu ekonomického efektu výroby v danom období budúcnosti. Rovnako ako v prípade konvenčných ekonometrických modelov, ekonomická predpoveď začína hodnotením predpokladaných hodnôt výrobných faktorov. V tomto prípade môžete použiť najvhodnejšie v každom samostatný prípad spôsob ekonomického prognózovania.