Homogénny systém je vždy vytvorený a má triviálne riešenie. 
. Pre existenciu netrivového riešenia je potrebné, aby sa hodnosť matrice 
bolo menej ako počet neznámych:
.
Základné systémové riešenia
Jednotný systém 
systém riešení volania vo forme vektorov stĺpcov 
ktoré zodpovedajú kanonickému základu, t.j. Základňa, v ktorej ľubovoľná konštantná 
alternatívne spoliehať sa na jednotu, zatiaľ čo zvyšok je vyrovnaný nule.
Potom je všeobecným riešením homogénneho systému:
kde 
- ľubovoľná konštanta. Inými slovami, všeobecným riešením je lineárnou kombináciou základného systému.
Základné roztoky sa teda môžu získať zo všeobecného riešenia, ak je voľný neznámy, ktorý striedavo pripojte hodnotu jednotky, veriť všetku druhú rovnú nulu.
Príklad. Nájdite systémové riešenie
Budeme mať, potom dostaneme riešenie vo forme:
Budeme vybudovať základný systém riešenia:
.
Všeobecné rozhodnutie sa zaznamenáva vo formulári: \\ t
Riešenia systému homogénnych lineárnych rovníc majú vlastnosti:
Inými slovami, akákoľvek lineárna kombinácia roztokov homogénneho systému je opäť riešením.
Riešenie systémov lineárnych rovníc podľa Gauss Metóda
Riešenie systémov lineárnych rovníc sa zaujíma o niekoľko storočí matematikov. Prvé výsledky boli získané v XVIII storočia. V roku 1750, Kramer (1704 -1752) publikoval svoje diela na determinantoch štvorcových matríc a navrhol algoritmus pre nájdenie reverznej matrice. V roku 1809, Gauss načrtol novú metódu riešenia známa ako metóda výnimky.
Metóda gauss, alebo spôsob konzistentného vylúčenia neznámeho, je to, že s pomocou elementárnych transformácií je systém rovníc poháňaný do ekvivalentného systému s postupným (alebo trojuholníkovým) typu. Takéto systémy vám umožňujú dôsledne nájsť všetky neznáme v určitom poradí.
Predpokladajme, že v systéme (1) 
(čo je vždy možné).
(1)
Vynásobte striedavo prvú rovnicu pre tzv. vhodné čísla
a skladaním výsledku násobenia s príslušnými systémovými rovnicami dostaneme ekvivalentný systém, v ktorom nebude vo všetkých iných rovniciach nie je neznámy h. 1
(2)
Vynásobte teraz druhú rovnicu systému (2) na vhodných číslach, veriť, že 
,
a sklopenie s pod zemou, eliminovať premennú 
všetkých rovníc, počnúc tretím.
Pokračujúci tento proces po 
kroky dostaneme:
(3)
Ak aspoň jeden z čísel 
nie je rovná nule, potom zodpovedajúca rovnosť je kontroverzná a systém (1) je neúplný. Späť, pre akékoľvek spoločné číslo systému 
rovná nule. Číslo 
- Toto nie je nič ako hodnosť systému systému (1).
Prechod zo systému (1) až (3) sa nazýva priamy zdvih Gauss Metóda a nájdenie neznámych z (3) - vrátiť sa .
Komentár : Konverzia je vhodnejšia na výrobu samotných rovníc, ale s rozšírenou maticou systému (1).
Príklad. Nájdite systémové riešenie
.
Píšeme rozšírená systémová matica:
.
Pridávame do riadkov 2,3,4 prvé, vynásobené (-2), (-3), (-2), resp.
.
Zmeňte struny 2 a 3 na miestach, potom vo výslednej matice Pridať do riadku 4 String 2 vynásobený 
:
.
Pridať do riadku 4 String 3 Násobený 
:
.
Je to zrejmé 
Systém je preto koordinovaný. Z získaného systému rovníc
nájdeme riešenie náhrady na vrátenie:
,
,
,
.
Príklad 2. Nájsť systémové riešenie:
.
Je zrejmé, že systém je neúplný, pretože 
, ale 
.
Výhody metódy GAUSS :
Menej časovo náročné ako metóda Craver.
Určite vytvorí spoločný systém a umožňuje nájsť riešenie.
Je možné určiť hodnosť akýchkoľvek matíc.
Jednotné systémy lineárnych algebraických rovníc
V lekciách metóda gauss a Nedokončené systémy / systémy so všeobecným riešenímuvažovali sme sa inhomogénne systémy lineárnych rovníckde voľný péro(čo je zvyčajne správne) aspoň jeden Z rovníc sa líši od nuly.
A teraz, po dobrom tréningu maticaBudeme naďalej brúsiť zariadenie základné transformácie na homogénny systém lineárnych rovníc.
Podľa prvých odsekov sa materiál môže zdať nudný a obyčajný, ale tento dojem je klamný. Okrem ďalších pracovných technických techník bude veľa nových informácií, takže sa snažte zanedbávať príklady tohto článku.
Čo je homogénny systém lineárnych rovníc?
Odpoveď navrhuje. Systém lineárnych rovníc je homogénny, ak je voľný vták každý Systémové rovnice sú nula. Napríklad:
Je to celkom jasné homogénny systém je vždy koordinovanýTo znamená, že má vždy riešenie. A predovšetkým takzvané oko ponáhľa trhavý rozhodnutie 
. Triviálne, pre tých, ktorí nerozumejú význam prídavného mena, čo znamená, že limit. Nie akademické, samozrejme, ale potom je to zrozumiteľné \u003d) ... Čo ísť okolo a o, poďme zistiť, či tento systém má akékoľvek iné riešenia:
Príklad 1.
Rozhodnutie: Vyriešiť homogénny systém, ktorý potrebujete na nahrávanie systémová matica A s pomocou elementárnych transformácií ho viesť k stupňovitej forme. Upozorňujeme, že nie je potrebné zaznamenať vertikálnu čiaru a nulový stĺpec slobodných členov - pretože nerobia s nulami, zostanú Zeros: 
(1) Druhý riadok pridal prvý reťazec vynásobený -2. Na tretí riadok pridal prvý reťazec vynásobený -3.
(2) Na tretí riadok pridal druhý reťazec vynásobený -1.
Zdieľanie tretieho riadku na 3 nerobí veľa zmyslu.
V dôsledku elementárnych transformácií sa získal ekvivalentný homogénny systém. 
A, ktorým sa aplikuje spätný chod metódy Gauss, je ľahké sa uistiť, že riešenie je jedinečné.
Odpoveď:
Vypracujeme zjavné kritérium: Homogénny systém lineárnych rovníc má iba triviálne riešenie, Ak rank Matrix System (V tomto prípade 3) sa rovná počtu premenných (v tomto prípade - 3 ks.).
Predhrejte a utiahnite rádio do vlny základných transformácií:
Príklad 2.
Riešiť homogénny systém lineárnych rovníc 
Z článku Ako nájsť hodnosť matice? Pamätáme na racionálny príjem súvisiacich znížení počtu matricových čísel. V opačnom prípade budete musieť znížiť veľké a často body. Príkladná vzorová vzorová konštrukcia úlohy na konci hodiny.
Zeros sú dobré a pohodlné, avšak v praxi je prípad oveľa bežnejší, keď riadky systémovej matrice lineárne závislé. A potom je vznik všeobecného riešenia nevyhnutný:
Príklad 3.
Riešiť homogénny systém lineárnych rovníc 
Rozhodnutie: Píšeme systémový maticu a pomocou elementárnych transformácií, dávame ho stupňovitým formulárom. Prvá akcia je nasmerovaná nielen na získanie jednej hodnoty, ale aj na zníženie počtu v prvom stĺpci:
(1) Na prvý riadok pridal tretí reťazec vynásobený -1. Druhý riadok pridal tretí reťazec vynásobený -2. Vľavo v hornej časti som dostal jednotku s "mínus", ktorá je často oveľa pohodlnejšia pre ďalšie transformácie.
(2) Prvé dva riadky sú rovnaké, jeden z nich bol odstránený. Úprimne, nezodpovedali rozhodnutie - to sa stalo. Ak vykonáte šablónu konverzie, potom lineárna závislosť Riadky by sa objavili o niečo neskôr.
(3) Na tretí riadok pridal druhý reťazec vynásobený 3.
(4) Prvý riadok zmenil znak.
V dôsledku elementárnych transformácií sa získal ekvivalentný systém: 
Algoritmus funguje rovnakým spôsobom ako nehomogénne systémy. Premenné, "sedieť na krokoch" - hlavná, premenná, ktorá nedostala "kroky" - zadarmo.
Vyjadrite základné premenné prostredníctvom bezplatnej premennej: 
Odpoveď: Spoločné rozhodnutie: 
Triviálny roztok je zahrnutý vo všeobecnom vzorci a napíše ho samostatne zbytočne.
Kontrola sa vykonáva aj v obvyklej schéme: Výsledný všeobecný roztok musí byť nahradený do ľavej časti každej rovnice systému a získať legitímnu nulu pri všetkých substitúciach.
To by mohlo byť ticho dokončené, ale riešenie homogénneho systému rovníc je často potrebné na odoslanie vo forme vektora cez základné systémové riešenia. Zabudnite analytická geometria, Odkedy to bude o vektoroch vo všeobecnom algebraickom zmysle, o ktorom som mal trochu v článku matica. Terminológia nemusí byť kontrolovaná, všetko je celkom jednoduché.
Lineárne homogénne rovnice - Má formulár σa k i x \u003d 0. kde m\u003e n alebo m, homogénny systém lineárnych rovníc je vždy koordinovaný, pretože RangA \u003d ROGB. Vie, že riešenie pozostávajúce z nuly, ktoré sa nazýva trhavý.Menovanie služby. Online kalkulačka je navrhnutá tak, aby našla non-triviálne a základné riešenie spoločnosti Slava. Výsledný roztok sa uloží do súboru slov (pozri príkladný roztok).
Inštrukcie. Vyberte rozmer matice:
Vlastnosti systémov lineárnych homogénnych rovníc
Aby systém netriviálne riešeniaJe to potrebné a dosť na hodnosť jej matricu byť nižšia ako počet neznámych.Teorem. Systém v prípade M \u003d N má netriviálny roztok, ak je len vtedy, ak je determinant tohto systému nulový.
Teorem. Akákoľvek lineárna kombinácia systémových riešení je tiež riešením tohto systému.
Definícia. Súbor riešení systému lineárnych homogénnych rovníc sa nazýva základné systémové riešeniaAk sa táto kombinácia skladá z lineárne nezávislých riešení a akékoľvek riešenie systému je lineárnou kombináciou týchto roztokov.
Teorem. Ak je Rank R systému Matrix menšia ako číslo n Neznáme, potom existuje základný systém riešenia pozostávajúci z (N-R) roztokov.
Algoritmus na riešenie systémov lineárnych homogénnych rovníc
- Nájdeme hodnosť matice.
- Zdôrazňujeme základné menšie. Prideľujeme závislé (základné) a zadarmo neznáme.
- Vyháňam tieto systémovú rovnicu, ktorých koeficienty nie sú zahrnuté v základnej menšej miere, pretože sú dôsledkami zvyšku (podľa základne menšej teoremity).
- Členovia rovníc, ktoré obsahujú bezplatné neznáme osoby prenosom na pravej strane. V dôsledku toho získame systém z R Equaces s R o neznámy, čo je ekvivalentné, ktorých determinant sa líši od nuly.
- Výsledný systém vyriešime vylúčením neznámeho. Nájdeme vzťahy vyjadrujúce závislé premenné prostredníctvom slobodného.
- Ak sa RAG z matrice nie je rovná počtu premenných, potom nájdeme základné riešenie systému.
- V prípade ROG \u003d N máme triviálne riešenie.
Príklad. Nájdite základy systému vektorov (A 1, A 2, ..., A a M), Rank a Express Vektory založené na základni. Ak A 1 \u003d (0,0,1, -1), a 2 \u003d (1,1,2,0) a 3 \u003d (1,1,1,1), a 4 \u003d (3,2,1, 4 ) a 5 \u003d (2,1,0,3).
Zapíšeme hlavnú systémovú maticu:
Vynásobte 3. riadku na (-3). Pridajte 4. riadok do 3.:
| 0 | 0 | 1 | -1 |
| 0 | 0 | -1 | 1 |
| 0 | -1 | -2 | 1 |
| 3 | 2 | 1 | 4 |
| 2 | 1 | 0 | 3 |
Vynásobte 4 reťazec na (-2). Vynásobte 5RD na (3). Pridajte 5. riadok na 4. mieste:
Pridajte druhý reťazec na 1. mieste:
Nájdeme hodnosť matice.
Systém s koeficientmi tejto matrice je ekvivalentný zdrojovému systému a má formu:
- x 3 \u003d - x 4
- x 2 - 2x 3 \u003d - x 4
2x 1 + x 2 \u003d - 3x 4
Okrem neznámych, nájdeme netriviálne riešenie:
Prijaté vzťahy vyjadrujúce závislé premenné x 1, x 2, x 3 prostredníctvom voľného x 4, to znamená, že zistili všeobecné riešenie:
x 3 \u003d x 4
x 2 \u003d - X 4
x 1 \u003d - x 4
Dana matici
Nájsť: 1) AA - BB,
Rozhodnutie: 1) Nájdite postupne pomocou pravidiel množenia matrice na číslo a pridanie matríc.
2. Nájdite A * B, ak
Rozhodnutie: Použite multiplikačné pravidlo matríc
Odpoveď: 
3. Pre danú matricu nájdite menšie M 31 a vypočítajte determinant.
Rozhodnutie: Minor M 31 je determinant matrici, ktorý sa získa
po prekročení reťazca 3 a stĺpca 1. Nájdite
1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.
Transformujeme matricu A, bez toho, aby sme zmenili jeho determinant (robia nuly v riadku 1)
| -3*, -, -4* | |||
| -10 | -15 | ||
| -20 | -25 | ||
| -4 | -5 |
Teraz vypočítame determinant matrice a rozkladu na riadku 1
Odpoveď: M 31 \u003d 0, Deta \u003d 0
Snáď metódou gauss a metóda cramer.
2x 1 + x 2 + x 3 \u003d 2
x 1 + x 2 + 3x 3 \u003d 6
2x 1 + x 2 + 2x 3 \u003d 5
Rozhodnutie: Skontrolujte
Môžete použiť metódu Craver
Riešenie roztoku: X1 \u003d D 1 / D \u003d 2, X2 \u003d D2 / D \u003d -5, X3 \u003d D 3 / D \u003d 3
Aplikujte metódu Gaussa.
Rozšírená systémová matica poskytuje trojuholníkový formulár.
Pre pohodlie výpočtovej techniky zmeňte riadky na miestach:
Vynásobte 2 riadok na (K \u003d -1 / 2 \u003d -1 / 2 ) A pridať do 3.:
| 1 / 2 | 7 / 2 |
Vynásobte 1 riadok na (K \u003d -2 / 2 \u003d -1 ) A pridať do 2.:
Teraz môže byť zdrojový systém napísaný ako:
x 1 \u003d 1 - (1/2 x 2 + 1/2 x 3)
x 2 \u003d 13 - (6x 3)
Z 2. riadkov Express
Z prvého riadku vyjadrujeme
Riešenie toho istého.
Odpoveď: (2; -5; 3)
Nájdite všeobecné riešenie systému a FSR
13x 1 - 4x 2 - x 3 - 4x 4 - 6x 5 \u003d 0
11x 1 - 2x 2 + x 3 - 2x 4 - 3x 5 \u003d 0
5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 4x 4 + 6x 5 \u003d 0
7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 \u003d 0
Rozhodnutie: Aplikujte metódu Gaussa. Rozšírená systémová matica poskytuje trojuholníkový formulár.
| -4 | -1 | -4 | -6 | |
| -2 | -2 | -3 | ||
| X 1 | x 2 | x 3. | x 4. | x 5. |
Vynásobte 1. riadku na (-11). Vynásobte 2 riadok na (13). Pridajte 2. riadok do 1.:
| -2 | -2 | -3 | ||
Vynásobte 2 riadok na (-5). Vynásobte 3. riadku na (11). Pridávame 3. riadok na 2.:
Vynásobte 3. riadku na (-7). Vynásobte 4. riadok na (5). Pridajte 4 reťazec na 3.:
Druhá rovnica je lineárnou kombináciou zvyšku
Nájdeme hodnosť matice.
| -18 | -24 | -18 | -27 | |
| X 1 | x 2 | x 3. | x 4. | x 5. |
Pridelené menšie má najvyššiu objednávku (z možných baníkov) a líši sa od nuly (je rovná produktu prvkov na reverznom uhlopriečke), preto zazvonil (A) \u003d 2.
Táto menšia je základná. Zahŕňa koeficienty v neznámej x 1, x 2, čo znamená neznámy X 1, X 2 - závislý (BASIC) a X 3, X 4, X 5 sú zadarmo.
Systém s koeficientmi tejto matrice je ekvivalentný zdrojovému systému a má formu:
18x 2 \u003d 24x 3 + 18x 4 + 27x 5
7x 1 + 2x 2 \u003d - 5x 3 - 2x 4 - 3x 5
Metóda vylúčenia neznámeho nájdeme spoločné rozhodnutie:
x 2 \u003d - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5
x 1 \u003d - 1/3 x 3
Nachádzame systém základných riešení (FSW), ktorý sa skladá z (N-R) riešenia. V našom prípade N \u003d 5, R \u003d 2, preto základný systém riešení pozostáva z 3 roztokov a tieto riešenia musia byť lineárne nezávislé.
Aby boli čiary lineárne nezávislé, je potrebné a dostatočné, že hodnosť matrice, zloženej z prvkov radov, sa rovná počtu riadkov, to znamená 3.
Stačí dať voľný neznámy x 3, x 4, x 5 z radov determinantu 3. objednávky, odlišný od nuly a vypočítať X 1, X2.
Najjednoduchší determinant iný ako nula je jediná matrica.
Ale je to vhodnejšie vziať
Nájdite pomocou všeobecného riešenia:
a) x 3 \u003d 6, x 4 \u003d 0, x 5 \u003d 0 þ x 1 \u003d - 1/3 x 3 \u003d -2, x 2 \u003d - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 \u003d - 4 þ
I Rozhodnutie FSR: (-2; -4; 6; 0; 0)
b) x 3 \u003d 0, x 4 \u003d 6, x 5 \u003d 0 þ x 1 \u003d - 1/3 x 3 \u003d 0, x 2 \u003d - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 \u003d - 6 Þ
II ROZHODNUTIE FSR: (0; -6; 0; 6; 0)
c) X3 \u003d 0, X4 \u003d 0, X5 \u003d 6 þ X1 \u003d - 1/3 x 3 \u003d 0, X2 \u003d - 4/3 x 3 - X 4 - 3/2 x 5 \u003d -9 Þ
III Rozhodnutie FSR: (0; - 9; 0; 0; 6)
Þ FSR: (-2; -4; 6; 0; 0), (0; -6; 0; 0), (0; - 9; 0; 0; 6)
6. Dana: Z1 \u003d -4 + 5i, Z2 \u003d 2 - 4i. Nájsť: a) z 1 - 2Z 2 b) z 1 z 2 c) z 1 / z 2
Rozhodnutie: A) Z1 - 2Z 2 \u003d -4 + 5i + 2 (2-4I) \u003d -4 + 5i + 4-8I \u003d -3I
b) Z 1 Z2 \u003d (-4 + 5i) (2-4I) \u003d -8 + 10I + 16I-20I 2 \u003d (I 2 \u003d -1) \u003d 12 + 26I
Odpoveď: A) -3i b) 12 + 26i c) -1,4 - 0,3i
V škole každý z nás študoval rovnice a určite systém rovníc. Ale nie veľa vedieť, že existuje niekoľko spôsobov, ako ich vyriešiť. Dnes budeme analyzovať všetky metódy riešenia systému lineárnych algebraických rovníc, ktoré pozostávajú viac ako dve rovnosti.
História
K dnešnému dňu je známe, že umenie riešenia rovníc a ich systémov vznikol v starovekom Babylonu a Egypte. Avšak, rovnosť v ich obvyklej forme sa objavila po znamení rovnosti "\u003d", ktorá bola zavedená v roku 1556 anglickým matematikmi. Mimochodom, toto znamenie nebolo možné zvolené: to znamená dva paralelné rovnaké segmenty. A pravda, najlepší príklad rovnosti neprichádza.
Zakladateľ moderných listov neznámych a príznakov stupňov je francúzsky matematik, avšak jeho označenia sa výrazne líšia. Napríklad námestie neznámeho čísla uviedlo písmeno Q (LAT "" QUADRATUS ") a CUBE C (LAT" CUBUS "). Tieto označenia sa teraz zdajú byť nepríjemné, ale potom to bol najrozsěvnejší spôsob, ako nahrávať systém lineárnych algebraických rovníc.
Nevýhodou v priebehu spôsobov riešení však bolo, že matematika bola považovaná za pozitívne korene. Možno je to kvôli tomu, že negatívne hodnoty nemali žiadnu praktickú aplikáciu. Jedným alebo iným spôsobom, ale prvý, kto zvážila negatívne korene, boli talianski matematici Niccolo Tartalia, Jerolamo Cardano a Rafael Bombelly v 16. storočí. A moderný vzhľad, hlavná metóda riešenia (prostredníctvom diskriminácie) bola vytvorená len v 17. storočí vďaka dielam Descartes a Newton.
V polovici 18. storočia našiel švajčiarsky matematik GABRIEL KRAMER nový spôsob, ako uľahčiť riešenie lineárnych rovníc. Táto metóda bola následne pomenovaná po ňom a dodnes ich používame. Ale budeme hovoriť o metóde Driveman o niečo neskôr, ale teraz budeme prediskutovať lineárne rovnice a metódy na riešenie samostatne od systému.
Lineárne rovnice
Lineárne rovnice sú najjednoduchšie vyrovnanie s variabilnou (premennou). Predpokladá sa, že algebraické. Sú zaznamenané vo všeobecnosti: A 1 * X 1 + A 2 * X 2 + ... A N * X N \u003d B. Ich zastúpenie v tomto formulári bude potrebné pri ďalšom zostavovaní systémov a matríc.
Lineárne algebraické systémy rovníc
Definíciou tohto termínu je: Toto je kombinácia rovníc, ktoré majú spoločné neznáme hodnoty a všeobecné riešenie. Spravidla v škole, všetko rieši systémy s dvoma alebo dokonca tromi rovnicami. Ale existujú systémy so štyrmi alebo viacerými komponentmi. Poďme zistiť, ako ich zaznamenať tak, že v budúcnosti je vhodné rozhodnúť. Po prvé, systém lineárnych algebraických rovníc bude vyzerať lepšie, ak sú všetky premenné zaznamenané ako X s príslušným indexom: 1,2,3 a tak ďalej. Po druhé, všetky rovnice kánonického vzhľadu by mali byť uvedené: 1 * x 1 + A 2 * x 2 + ... a n * x n \u003d b.
Po všetkých týchto akciách môžeme začať rozprávať, ako nájsť riešenia systémov lineárnych rovníc. Veľmi pre to budeme používať maticu.
Matriánsky
Matrica je tabuľka, ktorá sa skladá z radov a stĺpcov a jeho prvky sa nachádzajú na ich križovatke. Môžu to byť špecifické hodnoty alebo premenné. Najčastejšie sa označuje prvky, nižšie indexy sú umiestnené pod nimi (napríklad 11 alebo a 23). Prvý index znamená číslo riadku a druhý stĺpec. Cez matematiku, ako nad ktorýmkoľvek iný matematický prvok, môžete vykonať rôzne operácie. Môžete teda:
2) Vynásobte maticu na ľubovoľné číslo alebo vektor.
3) Transponovať: Otočte čiary matrice do stĺpcov a stĺpce sú v riadkoch.
4) Vynásobte maticu, ak sa počet riadkov jednej z nich rovná počtu stĺpcov iného.
Diskutujeme o všetky tieto techniky podrobnejšie, pretože prídu k nám neskôr. Odčítanie a pridanie matríc sa vyskytujú veľmi jednoduché. Vzhľadom k tomu, že berieme matricu rovnakej veľkosti, každý prvok tej istej tabuľky zodpovedá každému prvku iného. Tak sme zložili (odčítali) dva z týchto prvkov (je dôležité, aby dosiahli na rovnakých miestach v ich matriciach). Pri násobení matrice na číslo alebo vektor ste jednoducho znásobili každý matricový prvok na toto číslo (alebo vektor). Transpozícia je veľmi zaujímavý proces. Je veľmi zaujímavé, že ho niekedy vidieť v reálnom živote, napríklad pri zmene orientácie tabletu alebo telefónu. Ikony na pracovnej ploche sú maticou, a keď sa pozícia zmení, je transponovaná a stáva sa širšou, ale zníži výšku.
Takáto proces budeme analyzovať, ako hoci to nie je pre nás užitočné, ale bude to užitočné vedieť to tak ako tak. Vynásobte dva matrice môžu byť vynásobené len pod podmienkou, že počet stĺpcov jednej tabuľky sa rovná počtu rôznych línií. Teraz berieme prvky čiar jednej matrice a prvky zodpovedajúceho stĺpca druhého. Premiestnite ich na seba a potom položte (to znamená, že je napríklad produkt prvkov A 11 a 12 na B 12 a B22: A 11 * B 12 + A 12 * B22). Získa sa teda jeden prvok tabuľky a je naplnený v rovnakom spôsobe ďalej.
Teraz môžeme pokračovať, aby sme zvážili, ako je vyriešený systém lineárnych rovníc.
Metóda gauss
Táto téma sa začína konať v škole. Dobre poznáme koncepciu "systému dvoch lineárnych rovníc" a môže ich vyriešiť. Ale čo robiť, ak je počet rovníc viac ako dva? To nám pomôže
Samozrejme, táto metóda je vhodná na použitie, ak urobíte matricu zo systému. Ale nemôžete ho premeniť a vyriešiť ho v čistej forme.
Tak, ako je táto metóda riešená touto metódou systému lineárnych gaussových rovníc? Mimochodom, aspoň táto metóda je pomenovaná po ňom, ale otvorili ho v staroveku. Gauss ponúka nasledovné: Vykonajte operácie s rovnicami, aby sa konečne viedli celú celkovú úplnosť na postupne. To znamená, že zhora nadol (ak je správne umiestnená) z prvej rovnice k druhej klesá o jeden neznámy. Inými slovami, musíte to urobiť tak, aby sme uspieť, povedzme tri rovnice: v prvom - tri neznáme, v druhej - dva, v treťom mieste. Potom z poslednej rovnice nájdeme prvý neznámy, nahrádzame svoju hodnotu do druhej alebo prvej rovnice a potom nájdete zostávajúce dve premenné.
Metóda Cramer
Na zvládnutie tejto metódy je nevyhnutné vlastniť zručnosti pridávania, odčítania matríc, a tiež potrebujú byť schopní nájsť determinanty. Preto, ak to naozaj nerobíte všetko, alebo vôbec, budete sa musieť učiť a praktizovať.
Aká je podstata tejto metódy a ako urobiť systém lineárnych korenín? Všetko je veľmi jednoduché. Musíme stavať matricu z numerických (prakticky) koeficientov systému lineárnych algebraických rovníc. Aby sme to urobili, jednoducho vezmeme čísla pred neznámym a vložte do tabuľky v objednávke, ako sú zaznamenané v systéme. Ak existuje znak "-" pred číslom, potom napíšte negatívny koeficient. Takže sme predstavovali prvú maticu koeficientov na neznámej, nezahrnutej čísla po známkach rovnosti (je prirodzené, že rovnica musí byť uvedená na kanonickú formu, keď sa nachádza len číslo, a na ľavej strane - všetko neznáme s koeficientmi). Potom musíte urobiť niekoľko ďalších matríc - jeden pre každú premennú. Aby sme to urobili, vymeníme v prvej matrici v zmení každého stĺpca s koeficientom stĺpec čísel po znamení rovnosti. Dostaneme teda niekoľko matíc a potom ich nájdete determinanty.
Potom, čo sme našli determinanty, je to malé. Máme počiatočnú matricu a získajú sa niekoľko matríc, ktoré zodpovedajú rôznym premenným. Ak chcete získať systémové riešenia, rozdelíme determinant tabuľky prijatého na determinant pôvodnej tabuľky. Výsledné číslo je jedným z premenných. Podobne nájdeme všetko neznáme.
Iné metódy
Existuje niekoľko ďalších metód, aby sa získali riešenia systémov lineárnych rovníc. Napríklad takzvaná metóda Gauss-Jordan, ktorá sa používa na nájdenie riešení systému štvorcových rovníc a je tiež spojené s používaním matríc. K dispozícii je tiež metóda Jacobi na riešenie systému lineárnych algebraických rovníc. Je to jednoduchšie prispôsobené pre počítač a používa sa pri výpočte.
Komplexné prípady
Komplexnosť sa zvyčajne vyskytuje, ak je počet rovníc menší ako počet premenných. Potom môžete určite povedať, že alebo systém je nepochopiteľný (to znamená, že nemá korene), alebo množstvo jej roztokov má tendenciu nekonečno. Ak máme druhý prípad - potom musíte zapísať všeobecné riešenie systému lineárnych rovníc. Bude obsahovať aspoň jednu premennú.
Záver
Tak sme skončili. Dovoľte nám zhrnúť: rozobrame sa, aký systém a maticu sa dozvedeli nájsť všeobecné riešenie systému lineárnych rovníc. Okrem toho boli preskúmané iné možnosti. Zistilo sa, ako je vyriešený systém lineárnych rovníc: Gauss Metóda a hovoril o komplexných prípadoch a iných spôsoboch, ako nájsť riešenia.
V skutočnosti je táto téma oveľa rozsiahlejšia, a ak chcete v ňom lepšie postaviť, odporúčame vám čítať ďalej špecializovanú literatúru.
