Štúdium teórie pravdepodobnosti začína riešením úloh na sčítanie a násobenie pravdepodobností. Okamžite stojí za zmienku, že študent pri zvládnutí tejto oblasti vedomostí môže čeliť problému: ak je možné fyzikálne alebo chemické procesy vizualizovať a pochopiť empiricky, potom je úroveň matematickej abstrakcie veľmi vysoká a pochopenie tu prichádza len s skúsenosti.

Táto hra však stojí za sviečku, pretože vzorce - uvedené v tomto článku aj zložitejšie - sa dnes používajú všade a môžu byť užitočné v práci.

Pôvod

Napodiv, impulzom pre rozvoj tejto časti matematiky bol ... hazard. Vskutku, kocky, hod mincou, poker, ruleta sú typickými príkladmi, ktoré využívajú sčítanie a násobenie pravdepodobností. Na príklade úloh v ktorejkoľvek učebnici je to jasne vidieť. Ľudia mali záujem dozvedieť sa, ako zvýšiť svoje šance na výhru a musím povedať, že niektorým sa to aj podarilo.

Napríklad už v 21. storočí jedna osoba, ktorej meno nebudeme prezrádzať, využila tieto stáročia nahromadené poznatky k tomu, aby doslova „vykradla“ kasíno a vyhrala niekoľko desiatok miliónov dolárov v rulete.

Napriek zvýšenému záujmu o túto tému sa však až v 20. storočí vyvinul teoretický základ, vďaka ktorému sa "teorver" stal plnohodnotným. Dnes takmer v každej vede nájdete výpočty pomocou pravdepodobnostných metód.

Použiteľnosť

Dôležitým bodom pri používaní vzorcov na sčítanie a násobenie pravdepodobností, podmienených pravdepodobností je splnenie centrálnej limitnej vety. V opačnom prípade, hoci si to študent nemusí byť vedomý, všetky výpočty, bez ohľadu na to, aké vierohodné sa môžu zdať, budú nesprávne.

Áno, vysoko motivovaný študent je v pokušení využívať nové poznatky vždy, keď je to možné. Ale v v tomto prípade je potrebné trochu spomaliť a striktne načrtnúť rozsah pôsobnosti.

Teória pravdepodobnosti sa zaoberá náhodnými udalosťami, ktoré sú z empirického hľadiska výsledkom experimentov: môžeme hádzať kockou so šiestimi stranami, vytiahnuť kartu z balíčka, predpovedať počet chybných častí v dávke. V niektorých otázkach je však kategoricky nemožné použiť vzorce z tejto časti matematiky. O vlastnostiach zvažovania pravdepodobnosti udalosti, teorémoch sčítania a násobenia udalostí budeme diskutovať na konci článku, ale teraz sa obraciame na príklady.

Základné pojmy

Náhodná udalosť znamená nejaký proces alebo výsledok, ktorý sa môže alebo nemusí objaviť ako výsledok experimentu. Napríklad hodíme sendvič - môže spadnúť olej hore alebo olej dole. Každý z týchto dvoch výsledkov bude náhodný a vopred nevieme, ktorý z nich nastane.

Pri štúdiu sčítania a násobenia pravdepodobností potrebujeme ešte dva pojmy.

Spoločné udalosti sú také udalosti, z ktorých výskyt jednej nevylučuje výskyt inej. Povedzme, že dvaja ľudia strieľajú na cieľ súčasne. Ak je jeden z nich úspešný, neovplyvní to schopnosť druhého zasiahnuť terč alebo minúť.

Nezlučiteľné budú také udalosti, ktorých výskyt je súčasne nemožný. Ak napríklad vytiahnete z krabice iba jednu loptičku, nemôžete získať súčasne modrú aj červenú.

Označenie

Pojem pravdepodobnosti sa označuje latinským veľkým písmenom P. Argumenty označujúce niektoré udalosti sú uvedené v zátvorkách.

Vo vzorcoch vety o sčítaní, podmienenej pravdepodobnosti, vety o násobení uvidíte výrazy v zátvorkách, napríklad: A + B, AB alebo A | B. Budú vypočítané rôzne cesty, teraz sa obrátime na nich.

Doplnenie

Uvažujme o prípadoch, v ktorých sa používajú vzorce na sčítanie a násobenie pravdepodobností.

Pre nekonzistentné udalosti je relevantný najjednoduchší vzorec sčítania: pravdepodobnosť ktoréhokoľvek z náhodných výsledkov sa bude rovnať súčtu pravdepodobností každého z týchto výsledkov.

Predpokladajme, že existuje krabica s 2 modrými, 3 červenými a 5 žltými loptičkami. Celkovo je v krabici 10 položiek. Aká je pravda na tvrdení, že vytiahneme modrú alebo červenú guľu? Bude sa rovnať 2/10 + 3/10, teda päťdesiat percent.

V prípade nekonzistentných udalostí sa vzorec skomplikuje, pretože sa pridáva ďalší výraz. Vráťme sa k tomu v jednom odseku po zvážení iného vzorca.

Násobenie

Sčítanie a násobenie pravdepodobností nie je závislé udalosti použité v rôzne prípady... Ak sme podľa podmienok experimentu spokojní s ktorýmkoľvek z dvoch možných výsledkov, vypočítame sumu; ak chceme získať dva isté výsledky jeden po druhom, uchýlime sa k použitiu iného vzorca.

Ak sa vrátime k príkladu z predchádzajúcej časti, chceme najprv vytiahnuť modrú guľu a potom červenú. Prvé číslo, ktoré poznáme, sú 2/10. Čo bude ďalej? Zostáva 9 loptičiek, stále je medzi nimi toľko červených - tri kusy. Podľa výpočtov dostanete 3/9 alebo 1/3. Ale čo teraz robiť s dvoma číslami? Správna odpoveď je vynásobiť, aby ste dostali 2/30.

Spoločné akcie

Teraz sa môžete vrátiť k sumárnemu vzorcu pre spoločné akcie. Prečo sme odbočili od témy? Ak chcete zistiť, ako sa násobia pravdepodobnosti. Teraz sa nám tieto znalosti budú hodiť.

Už vieme, aké budú prvé dva členy (rovnako ako v predchádzajúcom vzorci sčítania), ale teraz musíme odpočítať súčin pravdepodobností, ktorý sme sa práve naučili počítať. Pre názornosť si napíšme vzorec: P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB). Ukazuje sa, že v jednom výraze sa používa sčítanie aj násobenie pravdepodobností.

Povedzme, že musíme vyriešiť ktorýkoľvek z dvoch problémov, aby sme získali úver. Prvý môžeme vyriešiť s pravdepodobnosťou 0,3 a druhý - 0,6. Riešenie: 0,3 + 0,6 - 0,18 = 0,72. Upozorňujeme, že len zhrnutie čísel tu nebude stačiť.

Podmienená pravdepodobnosť

Nakoniec je tu pojem podmienenej pravdepodobnosti, ktorého argumenty sú uvedené v zátvorkách a oddelené zvislými čiarami. Záznam P (A | B) znie takto: "pravdepodobnosť udalosti A danej udalosti B".

Pozrime sa na príklad: priateľ vám dá zariadenie, nech je to telefón. Môže byť pokazený (20 %) alebo prevádzkyschopný (80 %). Akékoľvek zariadenie, ktoré sa vám dostalo do rúk, ste schopní opraviť s pravdepodobnosťou 0,4, alebo to nedokážete (0,6). Nakoniec, ak je zariadenie v prevádzkovom stave, môžete zavolať správna osoba s pravdepodobnosťou 0,7.

Je ľahké vidieť, ako sa v tomto prípade prejavuje podmienená pravdepodobnosť: nemôžete sa dostať k osobe, ak je telefón rozbitý, a ak je prevádzkyschopný, nemusíte ho opravovať. Ak teda chcete získať nejaké výsledky na „druhej úrovni“, musíte zistiť, ktorá udalosť bola vykonaná na prvej.

Výpočty

Uvažujme príklady riešenia problémov sčítania a násobenia pravdepodobností pomocou údajov z predchádzajúceho odseku.

Najprv zistime pravdepodobnosť, že opravíte zariadenie, ktoré ste dostali. Na tento účel musí byť po prvé chybný a po druhé sa musíte vyrovnať s opravou. Toto je typický problém násobenia: dostaneme 0,2 * 0,4 = 0,08.

Aká je pravdepodobnosť, že sa okamžite dostanete k správnej osobe? Jednoduché ako lúskanie hrušiek: 0,8 * 0,7 = 0,56. V tomto prípade ste zistili, že telefón funguje správne a úspešne ste uskutočnili hovor.

Nakoniec zvážte túto možnosť: Máte pokazený telefón, opravili ste ho, potom vytočili číslo a druhá osoba zdvihla telefón. Tu sa už vyžaduje násobenie troch zložiek: 0,2 * 0,4 * 0,7 = 0,056.

Ale čo ak máte dva nefunkčné telefóny naraz? Aká je pravdepodobnosť, že opravíte aspoň jeden z nich? o sčítaní a násobení pravdepodobností, keďže sa používajú spoločné udalosti. Riešenie: 0,4 + 0,4 - 0,4 * 0,4 = 0,8 - 0,16 = 0,64. Ak sa vám teda dostanú do rúk dve pokazené zariadenia, budete ich môcť opraviť v 64 % prípadov.

Opatrné používanie

Ako bolo spomenuté na začiatku článku, použitie teórie pravdepodobnosti by malo byť premyslené a premyslené.

Čím väčšia je séria experimentov, tým viac sa teoreticky predpovedaná hodnota približuje hodnote získanej v praxi. Napríklad si hodíme mincou. Teoreticky, keď vieme o existencii vzorcov na sčítanie a násobenie pravdepodobností, môžeme predpovedať, koľkokrát vyjdú „hlavy“ a „chvosty“, ak experiment vykonáme 10-krát. Uskutočnili sme experiment a zhodou okolností bol pomer klesnutých strán 3 ku 7. Ale ak spustíme sériu 100, 1 000 alebo viac pokusov, ukáže sa, že graf rozdelenia sa čoraz viac približuje k teoretickému : 44 až 56, 482 až 518 atď.

Teraz si predstavte, že tento experiment sa nerobí s mincou, ale s výrobou nejakej najnovšej chemický, ktorej pravdepodobnosť nepoznáme. Uskutočnili by sme 10 experimentov a ak by sme nedosiahli úspešný výsledok, mohli by sme zovšeobecniť: "nie je možné získať látku." Ale ktovie, ak by sme urobili jedenásty pokus, dosiahli by sme cieľ alebo nie?

Ak sa teda obraciate do neznáma, do neprebádanej oblasti, teória pravdepodobnosti nemusí platiť. Každý nasledujúci pokus v tomto prípade môže byť úspešný a zovšeobecnenia ako „X neexistuje“ alebo „X je nemožné“ budú predčasné.

Slovo na záver

Takže sme pokryli dva druhy sčítania, násobenia a podmienených pravdepodobností. Keď budete túto oblasť ďalej skúmať, musíte sa naučiť rozlišovať medzi situáciami, v ktorých sa používa každý konkrétny vzorec. Okrem toho si musíte predstaviť, či sú pravdepodobnostné metódy všeobecne použiteľné na riešenie vášho problému.

Ak cvičíte, po chvíli začnete vykonávať všetky požadované operácie výlučne vo svojej mysli. Pre tých, ktorí sú závislí kartové hry, možno túto zručnosť považovať za mimoriadne cennú – výrazne zvýšite svoje šance na výhru, už len výpočtom pravdepodobnosti konkrétnej karty alebo farby. Získané poznatky však ľahko nájdete aj v iných oblastiach činnosti.

Sčítacie a násobiace vety pre pravdepodobnosti.
Závislé a nezávislé udalosti

Titulok vyzerá strašidelne, no v skutočnosti je veľmi jednoduchý. zapnuté túto lekciu zoznámime sa s teorémami sčítania a násobenia pravdepodobnosti udalostí, ako aj analyzujeme typické problémy, ktoré spolu s problém klasickej definície pravdepodobnosti určite stretnete alebo, čo je pravdepodobnejšie, ste sa už stretli na vašej ceste. Pre efektívne štúdium materiálov v tomto článku musíte poznať a pochopiť základné pojmy teória pravdepodobnosti a byť schopný vykonávať to najjednoduchšie aritmetické operácie... Ako vidíte, vyžaduje sa veľmi málo, a preto je tučné plus v majetku takmer zaručené. Ale na druhej strane opäť varujem pred povrchným postojom k praktickým príkladom – jemností je tiež dosť. Veľa štastia:

Veta o sčítaní pravdepodobností nekonzistentných udalostí: pravdepodobnosť výskytu jedného z týchto dvoch nekonzistentné udalosti resp (nezáleží na tom čo), sa rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí:

Podobná skutočnosť platí pre veľký počet nekonzistentných udalostí, napríklad pre tri nekonzistentné udalosti a:

Snová veta =) Takýto sen však podlieha dokazovaniu, ktoré možno nájsť napr študijná príručka V.E. Gmurman.

Poďme sa zoznámiť s novými, doteraz nepoznanými pojmami:

Závislé a nezávislé udalosti

Začnime nezávislými udalosťami. Udalosti sú nezávislý ak pravdepodobnosť výskytu hociktorý z nich nezávisí od objavenia sa/neobjavenia sa zostávajúcich udalostí posudzovaného súboru (vo všetkých možných kombináciách). ... Ale načo omieľať všeobecné frázy:

Multiplikačná veta pre pravdepodobnosti nezávislých udalostí: pravdepodobnosť spoločného výskytu nezávislých udalostí a rovná sa súčinu pravdepodobností týchto udalostí:

Vráťme sa k najjednoduchšiemu príkladu z 1. lekcie, v ktorom sa hádže dvoma mincami a nasledujúcimi udalosťami:

- hlavy budú padať na 1. minci;
- hlavy budú padať na 2. minci.

Nájdite pravdepodobnosť udalosti (na 1. minci sa objaví orol a na 2. minci sa objaví orol - pamätáme si, ako sa číta produkcia podujatí!) ... Pravdepodobnosť získania hláv na jednej minci nijako nezávisí od výsledku hodu inej mince, preto sú udalosti nezávislé.

Podobne:
- pravdepodobnosť, že 1. minca pristane na chvoste a na 2. chvostoch;
- pravdepodobnosť, že sa na 1. minci objaví orol a na 2. chvostoch;
- pravdepodobnosť, že sa na 1. minci objavia chvosty a na 2. orla.

Všimnite si, že udalosti sa tvoria celá skupina a súčet ich pravdepodobností sa rovná jednej:.

Veta o násobení sa samozrejme vzťahuje na veľký počet nezávislých udalostí, takže napríklad, ak sú udalosti nezávislé, pravdepodobnosť ich spoločného výskytu sa rovná:. Poďme cvičiť ďalej konkrétne príklady:

Problém 3

Každá z troch krabičiek obsahuje 10 dielov. V prvom boxe je 8 štandardných dielov, v druhom - 7, v treťom - 9. Z každého boxu sa náhodne vyberie jeden diel. Nájdite pravdepodobnosť, že všetky podrobnosti budú štandardné.

Riešenie: pravdepodobnosť získania štandardnej alebo neštandardnej časti z ľubovoľného boxu nezávisí od toho, ktoré diely sú získané z iných boxov, preto sa problém týka nezávislých udalostí. Zvážte nasledujúce nezávislé udalosti:

- z 1. krabice bola odstránená štandardná časť;
- z 2. krabice bola odstránená štandardná časť;
- z 3. krabice bola odstránená štandardná časť.

Podľa klasickej definície:
- zodpovedajúce pravdepodobnosti.

Udalosť, ktorá nás zaujíma (štandardná časť bude odstránená z 1. boxu a od 2. štandardu a od 3. štandardu) vyjadrené produktom.

Podľa vety o násobení pravdepodobnosti nezávislých udalostí:

- pravdepodobnosť, že z troch škatúľ bude odstránený jeden štandardný diel.

Odpoveď: 0,504

Po povzbudzujúcich cvičeniach s krabicami nás čakajú nemenej zaujímavé urny:

Problém 4

Tri urny obsahujú 6 bielych a 4 čierne gule. Z každej urny sa náhodne vyberie jedna loptička. Nájdite pravdepodobnosť, že: a) všetky tri loptičky budú biele; b) všetky tri loptičky budú rovnakej farby.

Na základe získaných informácií hádajte, ako naložiť s bodom "bla" ;-) Vzorová vzorka riešenie je navrhnuté v akademickom štýle s podrobným zoznamom všetkých podujatí.

Závislé udalosti... Podujatie sa volá závislý ak je jeho pravdepodobnosť závisí z jednej alebo viacerých udalostí, ktoré sa už vyskytli. Pre príklady nemusíte chodiť ďaleko – stačí sa dostať do najbližšieho obchodu:

- zajtra o 19.00 bude v predaji čerstvý chlieb.

Pravdepodobnosť tejto udalosti závisí od mnohých ďalších udalostí: či zajtra bude doručený čerstvý chlieb, či bude vypredaný do 19:00 alebo nie atď. V závislosti od rôznych okolností môže byť táto udalosť istá alebo nemožná. Udalosť teda je závislý.

Chlieb ... a, ako Rimania požadovali, okuliare:

- študent dostane jednoduchý lístok na skúšku.

Ak nepôjdete prvý, potom bude udalosť závisieť, pretože jej pravdepodobnosť bude závisieť od toho, ktoré lístky už vyžrebovali spolužiaci.

Ako definovať závislosť / nezávislosť udalosti?

Niekedy je to priamo uvedené vo vyhlásení o probléme, ale častejšie musíte vykonať nezávislú analýzu. Neexistuje tu jednoznačný referenčný bod a skutočnosť závislosti alebo nezávislosti udalostí vyplýva z prirodzeného logického uvažovania.

Aby sa všetko nehádzalo dokopy, úlohy pre závislé udalosti Zdôrazním nasledujúcu lekciu, ale zatiaľ zvážime najbežnejšie v praxi veľa teorémov:

Problémy o adičných teorémoch pre pravdepodobnosti nekonzistentných
a znásobením pravdepodobnosti nezávislých udalostí

Tento tandem podľa môjho subjektívneho hodnotenia funguje asi v 80% úloh na zvažovanú tému. Hity a skutočná klasika teórie pravdepodobnosti:

Problém 5

Dvaja strelci vypálili jednu strelu na cieľ. Pravdepodobnosť zásahu pre prvého strelca je 0,8, pre druhého - 0,6. Nájdite pravdepodobnosť, že:

a) terč zasiahne iba jeden strelec;
b) aspoň jeden zo strelcov zasiahne terč.

Riešenie: Pravdepodobnosť zasiahnutia/minutia jedného strelca zjavne nezávisí od výkonu druhého strelca.

Zvážte udalosti:
- prvý strelec zasiahne cieľ;
- 2. strelec zasiahne cieľ.

Podľa podmienok: .

Nájdite pravdepodobnosť opačných udalostí - že zodpovedajúce šípky nebudú chýbať:

a) Zvážte udalosť: - terč zasiahne iba jeden strelec. Táto udalosť pozostáva z dvoch nekonzistentných výsledkov:

Prvý strelec zasiahne a 2. bude chýbať
alebo
1. bude chýbať a 2. zasiahne.

V jazyku algebry udalostí táto skutočnosť sa zapíše do nasledujúceho vzorca:

Najprv použijeme vetu o sčítaní pravdepodobností nekonzistentných udalostí, potom vetu o násobení pravdepodobností nezávislých udalostí:

- pravdepodobnosť, že bude iba jeden zásah.

b) Zvážte udalosť: - aspoň jeden zo strelcov zasiahne terč.

V prvom rade SA ZAMYSLEME – čo znamená podmienka „Aspoň JEDEN“? V tomto prípade to znamená, že buď zasiahne 1. strelec (druhý minie) alebo 2. (prvá chyba) alebo obe šípky naraz - spolu 3 nekonzistentné výsledky.

Metóda jedna: vzhľadom na pohotovosť z predchádzajúceho odseku je vhodné prezentovať udalosť ako súčet nasledujúcich nekonzistentných udalostí:

jeden dostane (udalosť pozostávajúca postupne z 2 nekonzistentných výsledkov) alebo
zasiahnu obe šípky - označme túto udalosť písmenom.

takto:

Podľa vety o násobení pravdepodobnosti nezávislých udalostí:
- pravdepodobnosť, že zasiahne 1. strelec a 2. strelec zasiahne.

Podľa vety o sčítaní pravdepodobnosti nekonzistentných udalostí:
- pravdepodobnosť aspoň jedného zásahu do cieľa.

Metóda dva: zvážte opačnú udalosť: - obe šípky minuli.

Podľa vety o násobení pravdepodobnosti nezávislých udalostí:

Ako výsledok:

Osobitná pozornosť venujte pozornosť druhej metóde - vo všeobecnosti je racionálnejšia.

Okrem toho existuje alternatívny, tretí spôsob riešenia, založený na teoréme sčítania spoločných udalostí, ktorý nebol spomenutý vyššie.

! Ak čítate materiál prvýkrát, je lepšie preskočiť nasledujúci odsek, aby ste sa vyhli nejasnostiam.

Metóda tri : udalosti sú spoločné, čo znamená, že ich súčet vyjadruje udalosť "aspoň jeden strelec zasiahne cieľ" (viď. algebra udalostí). Autor: sčítacia veta pre pravdepodobnosti spoločných udalostí a veta o násobení pravdepodobnosti nezávislých udalostí:

Pozrime sa: udalosti a (0, 1 a 2 prístupy v tomto poradí) tvoria úplnú skupinu, takže súčet ich pravdepodobností by sa mal rovnať jednej:
, ktorý bolo potrebné overiť.

Odpoveď:

Pri dôkladnom preštudovaní teórie pravdepodobnosti narazíte na desiatky militaristických problémov, a čo je typické, potom už nebudete chcieť nikoho zastreliť – problémy sú takmer darčekové. Prečo nezjednodušiť aj šablónu? Skrátime zápis:

Riešenie: podľa podmienky:, je pravdepodobnosť zasiahnutia zodpovedajúcich strelcov. Potom sú pravdepodobnosti ich nezdaru:

a) Podľa teorémov o sčítaní pravdepodobností nekonzistentných a násobení pravdepodobností nezávislých udalostí:
- pravdepodobnosť, že len jeden strelec zasiahne cieľ.

b) Podľa vety o násobení pravdepodobnosti nezávislých udalostí:
- pravdepodobnosť, že obaja strelci netrafia.

Potom: - pravdepodobnosť, že aspoň jeden zo strelcov zasiahne cieľ.

Odpoveď:

V praxi môžete použiť akúkoľvek možnosť dizajnu. Samozrejme, oveľa častejšie chodia skratkou, ale netreba zabúdať na 1. spôsob - je síce dlhší, ale je zmysluplnejší - je prehľadnejší, čo, prečo a prečo sčítava a násobí. V niektorých prípadoch je vhodný hybridný štýl, keď je vhodné označiť len niektoré udalosti veľkými písmenami.

Podobné úlohy pre nezávislé rozhodnutie:

Problém 6

Pre požiarny poplach sú nainštalované dva nezávisle fungujúce senzory. Pravdepodobnosť, že sa senzor spustí v prípade požiaru, je 0,5 a 0,7 pre prvý a druhý senzor. Nájdite pravdepodobnosť, že v prípade požiaru:

a) oba snímače zlyhajú;
b) oba snímače budú fungovať.
c) Používanie teorém o sčítaní pravdepodobností udalostí tvoriacich úplnú grupu nájdite pravdepodobnosť, že v prípade požiaru sa spustí iba jeden senzor. Skontrolujte výsledok priamym výpočtom tejto pravdepodobnosti (pomocou vety o sčítaní a násobení).

Tu je nezávislosť zariadení priamo vyjadrená v stave, čo je mimochodom dôležité objasnenie. Vzorové riešenie je navrhnuté v akademickom štýle.

Čo ak sú v podobnom probléme uvedené rovnaké pravdepodobnosti, napríklad 0,9 a 0,9? Musíte sa rozhodnúť presne rovnakým spôsobom! (čo už bolo v skutočnosti demonštrované na príklade s dvoma mincami)

Problém 7

Pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa prvým strelcom jednou ranou je 0,8. Pravdepodobnosť, že cieľ nebude zasiahnutý po tom, čo prvý a druhý strelec vystrelili jeden výstrel, je 0,08. Aká je pravdepodobnosť, že druhý strelec zasiahne cieľ jednou ranou?

A toto je malý hlavolam, ktorý je orámovaný krátkym spôsobom. Podmienka sa dá preformulovať aj výstižnejšie, ale nebudem prerábať originál – v praxi sa musíte hrabať v vyšperkovanejších výmysloch.

Zoznámte sa - je to ten, kto vám nastavil nemerateľné množstvo detailov =):

Problém 8

Pracovník obsluhuje tri stroje. Pravdepodobnosť, že počas zmeny bude prvý stroj vyžadovať nastavenie, je 0,3, druhý je 0,75 a tretí 0,4. Nájdite pravdepodobnosť, že počas zmeny:

a) všetky stroje budú vyžadovať nastavenie;
b) nastavenie bude vyžadovať iba jeden stroj;
c) aspoň jeden stroj bude vyžadovať nastavenie.

Riešenie: keďže podmienka nehovorí nič o jedinom technologickom procese, potom treba prácu každého stroja považovať za nezávislú od práce ostatných strojov.

Analogicky k úlohe č. 5 tu môžete brať do úvahy udalosti, ktoré si príslušné stroje budú vyžadovať úpravu počas zmeny, zapísať pravdepodobnosti, nájsť pravdepodobnosti opačných udalostí atď. Ale s tromi objektmi sa mi veľmi nechce navrhovať úlohu takto - ukáže sa to ako zdĺhavé a únavné. Preto je tu oveľa výhodnejšie použiť „rýchly“ štýl:

Podľa podmienky: - pravdepodobnosť, že počas zmeny budú príslušné stroje vyžadovať tinktúru. Potom pravdepodobnosti, že nebudú vyžadovať pozornosť, sú:

Jeden z čitateľov tu našiel super preklep, ani ho nebudem opravovať =)

a) Podľa vety o násobení pravdepodobnosti nezávislých udalostí:
- pravdepodobnosť, že počas zmeny budú všetky tri stroje vyžadovať nastavenie.

b) Udalosť „Počas zmeny bude vyžadovať nastavenie iba jeden stroj“ pozostáva z troch nekonzistentných výsledkov:

1) 1. stroj bude vyžadovať pozornosť a 2. stroj nebude vyžadovať a 3. stroj nebude vyžadovať
alebo:
2) 1. stroj nebude vyžadovať pozornosť a 2. stroj bude vyžadovať a 3. stroj nebude vyžadovať
alebo:
3) 1. stroj nebude vyžadovať pozornosť a 2. stroj nebude vyžadovať a 3. stroj bude vyžadovať.

Podľa teorémov na sčítanie pravdepodobností nekonzistentných a násobenia pravdepodobností nezávislých udalostí:

- pravdepodobnosť, že iba jeden stroj bude vyžadovať nastavenie počas zmeny.

Myslím, že už by vám malo byť jasné, odkiaľ ten výraz pochádza

c) Vypočítame pravdepodobnosť, že stroje nebudú vyžadovať úpravu, a potom - pravdepodobnosť opačnej udalosti:
- že aspoň jeden stroj bude vyžadovať nastavenie.

Odpoveď:

Položku „ve“ je možné riešiť aj cez množstvo, kde je pravdepodobnosť, že počas zmeny budú vyžadovať úpravu len dva stroje. Táto udalosť zase obsahuje 3 nekonzistentné výsledky, ktoré sú podpísané analogicky s klauzulou „byť“. Pokúste sa sami nájsť pravdepodobnosť, že otestujete celý problém pomocou rovnosti.

Problém 9

Tri delá vystrelili salvu na cieľ. Pravdepodobnosť zásahu jednou ranou iba z prvej zbrane je 0,7, od druhej - 0,6, od tretej - 0,8. Nájdite pravdepodobnosť, že: 1) aspoň jeden projektil zasiahne cieľ; 2) iba dva projektily zasiahnu cieľ; 3) cieľ bude zasiahnutý aspoň dvakrát.

Riešenie a odpoveď na konci hodiny.

A opäť o náhodách: v prípade, že sa podľa podmienky zhodujú dve alebo dokonca všetky hodnoty počiatočných pravdepodobností (napríklad 0,7; 0,7 a 0,7), potom by ste sa mali držať presne rovnakého algoritmu riešenia.

Na konci článku sa pozrime na ďalšiu spoločnú hádanku:

Problém 10

Strelec pri každom výstrele zasiahne cieľ s rovnakou pravdepodobnosťou. Aká je táto pravdepodobnosť, ak pravdepodobnosť aspoň jedného zásahu tromi výstrelmi je 0,973.

Riešenie: označuje - pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa pri každom výstrele.
a po - pravdepodobnosť netrafenia pri každom výstrele.

A ešte si zapíšme udalosti:
- pri 3 výstreloch strelec zasiahne terč aspoň raz;
- strelec 3 krát minie.

Podľa podmienky je potom pravdepodobnosť opačnej udalosti:

Na druhej strane pomocou násobiacej vety pre pravdepodobnosti nezávislých udalostí:

takto:

- pravdepodobnosť netrafenia pri každom výstrele.

Ako výsledok:
- pravdepodobnosť zásahu pri každom výstrele.

Odpoveď: 0,7

Jednoduché a elegantné.

V uvažovanom probléme je možné položiť ďalšie otázky o pravdepodobnosti iba jedného zásahu, iba dvoch zásahov a pravdepodobnosti troch zásahov do cieľa. Schéma riešenia bude presne rovnaká ako v dvoch predchádzajúcich príkladoch:

Zásadný podstatný rozdiel je však v tom opakované nezávislé testy, ktoré sa vykonávajú postupne, nezávisle od seba a s rovnakou pravdepodobnosťou výsledkov.

Môže byť ťažké priamo spočítať prípady priaznivé pre danú udalosť. Preto na určenie pravdepodobnosti udalosti môže byť výhodné prezentovať túto udalosť ako kombináciu niektorých ďalších, viac jednoduché udalosti... V tomto prípade však treba poznať pravidlá, ktorými sa riadia pravdepodobnosti kombinácie udalostí. Práve na tieto pravidlá sa vzťahujú vety uvedené v názve tejto časti.

Prvý z nich sa týka výpočtu pravdepodobnosti, že nastane aspoň jedna z niekoľkých udalostí.

Sčítací teorém.

Nech A a B sú dve nezlučiteľné udalosti. Potom sa pravdepodobnosť, že nastane aspoň jedna z týchto dvoch udalostí, rovná súčtu ich pravdepodobností:

Dôkaz. Nech je kompletná skupina párovo nekompatibilných udalostí. Ak potom medzi týmito elementárnymi udalosťami sú práve udalosti priaznivé pre A a práve udalosti priaznivé pre B. Keďže udalosti A a B sú nezlučiteľné, potom žiadna z udalostí nemôže priaznivo ovplyvniť obe tieto udalosti. Udalosť (A alebo B), ktorá spočíva v tom, že nastane aspoň jedna z týchto dvoch udalostí, samozrejme podporuje obe udalosti priaznivé pre A, ako aj každú z udalostí

Priaznivá V. Preto celkový počet udalosti priaznivé pre udalosť (A alebo B) sa rovná súčtu, ktorý nasleduje:

Q.E.D.

Je ľahké vidieť, že teorém o sčítaní formulovaný vyššie pre prípad dvoch udalostí sa dá ľahko preniesť na prípad akéhokoľvek konečného počtu z nich. Konkrétne, ak párovo nekompatibilné udalosti, potom

Napríklad v prípade troch udalostí sa dá napísať

Dôležitým dôsledkom vety o sčítaní je tvrdenie: ak sú udalosti párovo nekonzistentné a jednoznačne možné, potom

Udalosť je skutočne buď alebo alebo predpokladom spoľahlivá a jej pravdepodobnosť, ako je uvedené v § 1, sa rovná jednej. Najmä, ak znamenajú dve navzájom opačné udalosti, potom

Ilustrujme vetu o sčítaní na príkladoch.

Príklad 1. Pri streľbe na terč je pravdepodobnosť dokonalého výstrelu 0,3 a pravdepodobnosť výstrelu s hodnotením „dobrý“ je 0,4. Aká je pravdepodobnosť získania hodnotenia prinajmenšom „dobré“ za strelu?

Riešenie. Ak udalosť A znamená získať známku „vynikajúca“ a udalosť B znamená získať známku „dobrá“, potom

Príklad 2. V urne s bielymi, červenými a čiernymi guľôčkami sú biele gule a ja červená. Aká je pravdepodobnosť vytiahnutia lopty, ktorá nie je čierna?

Riešenie. Ak udalosť A spočíva vo výskyte bielej gule a udalosť B - červená guľa, potom vzhľad lopty nie je čierny.

znamená vzhľad buď bielej alebo červenej gule. Keďže podľa definície pravdepodobnosti

potom podľa vety o sčítaní sa pravdepodobnosť výskytu lopty, ktorá nie je čierna, rovná;

Tento problém sa dá vyriešiť takto. Nech udalosť C spočíva vo vzhľade čiernej gule. Počet čiernych guľôčok sa rovná tak, že P (C) Vzhľad gule, ktorá nie je čierna, je opačnou udalosťou C, preto na základe vyššie uvedeného dôsledku z vety o sčítaní máme:

ako predtým.

Príklad 3. V peňažnej lotérii o sériu 1000 tiketov je 120 peňažných a 80 vecných výhier. Aká je pravdepodobnosť výhry na jeden tiket lotérie?

Riešenie. Ak označíme A udalosť spočívajúcu v strate peňažného zisku a B - vec, potom z definície pravdepodobnosti vyplýva

Udalosť, ktorá nás zaujíma, predstavuje (A alebo B), preto z toho vyplýva adičná veta

Pravdepodobnosť akejkoľvek výhry je teda 0,2.

Predtým, ako prejdete na ďalšiu vetu, musíte sa oboznámiť s dôležitým novým konceptom - konceptom podmienenej pravdepodobnosti. Za týmto účelom začneme pohľadom na nasledujúci príklad.

Predpokladajme, že v sklade je 400 žiaroviek vyrobených v dvoch rôznych továrňach, pričom prvá vyrába 75 % všetkých žiaroviek a druhá 25 %. Predpokladajme, že spomedzi žiaroviek vyrobených v prvom závode 83 % spĺňa podmienky určitej normy a pre produkty druhého závodu je toto percento 63. Stanovme pravdepodobnosť, že žiarovka náhodne odobratá zo skladu spĺňať podmienky normy.

Upozorňujeme, že celkový počet dostupných štandardných žiaroviek pozostáva z prvých vyrobených žiaroviek.

továreň a 63 žiaroviek vyrobených v druhej továrni, teda rovných 312. Keďže výber akejkoľvek žiarovky by sa mal považovať za rovnako možný, máme 312 priaznivých prípadov zo 400, takže

kde udalosť B je, že žiarovka, ktorú sme vybrali, je štandardná.

Pri tomto výpočte neboli urobené žiadne predpoklady o tom, do ktorej rastliny patrí vybraná žiarovka. Ak sa vytvoria nejaké predpoklady tohto druhu, potom je zrejmé, že pravdepodobnosť, ktorá nás bude zaujímať, sa môže zmeniť. Takže ak je napríklad známe, že vybraná žiarovka bola vyrobená v prvom závode (udalosť A), tak pravdepodobnosť, že je štandardná, už nebude 0,78, ale 0,83.

Tento druh pravdepodobnosti, teda pravdepodobnosť udalosti B, za predpokladu, že dôjde k udalosti A, sa nazýva podmienená pravdepodobnosť udalosti B za predpokladu, že nastane udalosť A a je označená

Ak v predchádzajúcom príklade označíme A udalosť, že vybraná žiarovka je vyrobená v prvej továrni, potom môžeme napísať

Teraz môžeme sformulovať dôležitú vetu súvisiacu s výpočtom pravdepodobnosti zhody udalostí.

Multiplikačná veta.

Pravdepodobnosť zhodujúcich sa udalostí A a B sa rovná súčinu pravdepodobnosti jednej z udalostí a podmienenej pravdepodobnosti druhej, za predpokladu, že sa stala prvá:

V tomto prípade kombinácia udalostí A a B znamená začiatok každého z nich, to znamená začiatok oboch udalostí A a B.

Dôkaz. Zvážte kompletnú skupinu rovnako možných párovo nekompatibilných udalostí, z ktorých každá môže byť priaznivá alebo nepriaznivá pre udalosť A aj udalosť B.

Rozdeľme všetky tieto udalosti do štyroch rôznych skupín nasledovne. Prvá skupina zahŕňa tie z udalostí, ktoré uprednostňujú udalosť A aj udalosť B; do druhej a tretej skupiny priradíme také udalosti, ktoré zvýhodňujú jednu z dvoch udalostí, ktoré nás zaujímajú a druhú nezvýhodňujú, napr. do druhej skupiny - tie, ktoré zvýhodňujú A, ale nezvýhodňujú B, a do tretí - tí, ktorí uprednostňujú B, ale nie A; konečne k

štvrtá skupina bude zahŕňať tie udalosti, ktoré nezvýhodňujú ani A ani B.

Keďže na číslovaní udalostí nezáleží, dá sa predpokladať, že toto rozdelenie do štyroch skupín vyzerá takto:

Skupina I:

Skupina II:

Skupina III:

IV skupina:

Medzi rovnako možnými a párovo nezlučiteľnými udalosťami sú teda udalosti priaznivé pre udalosť A aj udalosť B, udalosti I, priaznivé pre udalosť A, ale nepriaznivé pre udalosť udalostí priaznivých pre B, ale nepriaznivé pre A, a nakoniec udalosti, ktoré nie sú priaznivé ani pre A, ani pre B.

Všimnite si, mimochodom, že žiadna zo štyroch skupín, ktoré sme uvažovali (a dokonca ani jedna), nemusí obsahovať ani jednu udalosť. V tomto prípade sa zodpovedajúce číslo označujúce počet udalostí v takejto skupine bude rovnať nule.

Nami vykonané rozdelenie do skupín vám umožňuje okamžite písať

pretože kombinácia udalostí A a B je zvýhodnená udalosťami prvej skupiny a iba oni. Celkový počet udalostí priaznivých pre A sa rovná celkovému počtu udalostí v prvej a druhej skupine a udalostí priaznivých pre B sa rovná celkovému počtu udalostí v prvej a tretej skupine.

Vypočítajme teraz pravdepodobnosť, teda pravdepodobnosť udalosti B, za predpokladu, že udalosť A nastala. Teraz udalosti zahrnuté v tretej a štvrtej skupine zmiznú, pretože ich výskyt by bol v rozpore s nástupom udalosti A a počet možných prípadov sa už nerovná. Z nich udalosť B uprednostňujú iba udalosti prvej skupiny, takže dostaneme:

Na preukázanie vety teraz stačí napísať zjavnú identitu:

a nahradiť všetky tri zlomky v ňom pravdepodobnosťami vypočítanými vyššie. Dostávame sa k rovnosti potvrdenej vo vete:

Je jasné, že identita, ktorú sme napísali vyššie, má zmysel iba vtedy, ak je vždy pravdivá, pokiaľ A nie je nemožná udalosť.

Keďže udalosti A a B sú rovnaké, ich zámenou dostaneme inú formu vety o násobení:

Túto rovnosť však možno získať rovnakým spôsobom ako predošlú, ak si všimneme, že používame identitu

Porovnaním pravých strán dvoch výrazov pre pravdepodobnosť P (A a B) dostaneme užitočnú rovnosť:

Uvažujme teraz o príkladoch ilustrujúcich teorém o násobení.

Príklad 4. Vo výrobkoch určitého podniku je 96 % výrobkov uznaných ako vhodných (udalosť A). Ukazuje sa, že prvá trieda (udalosť B) patrí 75 položkám z každých sto dobrých. Určte pravdepodobnosť, že náhodne vybraný výrobok bude vhodný a bude patriť do prvého ročníka.

Riešenie. Požadovaná pravdepodobnosť je pravdepodobnosť zhody udalostí A a B. Podľa podmienky máme:. Preto veta o násobení dáva

Príklad 5. Pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa jednou ranou (udalosť A) je 0,2. Aká je pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa, ak zlyhajú 2 % rozbušiek (t. j. v 2 % prípadov výstrel nie je

Riešenie. Nech udalosť B znamená, že k výstrelu dôjde, a B znamená opačnú udalosť. Potom pomocou hypotézy a následkom vety o sčítaní. Ďalej podľa podmienok.

Porážka cieľa znamená kombináciu udalostí A a B (dôjde k výstrelu a zasiahne), preto podľa vety o násobení

Dôležitý špeciálny prípad vety o násobení možno získať použitím pojmu nezávislosti udalostí.

Dve udalosti sa nazývajú nezávislé, ak sa pravdepodobnosť jednej z nich nemení v dôsledku výskytu druhej.

Príkladmi nezávislých udalostí je vypadnutie iného počtu bodov, keď sa kocka alebo jedna alebo druhá strana mince hádžu znova, keď sa minca hodí, pretože je zrejmé, že pravdepodobnosť pádu erbu na druhý hod je rovnaký bez ohľadu na to, či erb padol alebo nepadol v prvom.

Podobne pravdepodobnosť odstránenia bielej gule z urny s bielymi a čiernymi guľôčkami druhýkrát, ak sa predtým odstránená lopta vráti, nezávisí od toho, či bola biela alebo čierna guľa odstránená prvýkrát. Preto sú výsledky prvého a druhého stiahnutia navzájom nezávislé. Naopak, ak sa loptička vytiahnutá ako prvá nevráti do urny, potom výsledok druhého odstránenia závisí od prvého, pretože zloženie loptičiek v urne po prvom odobratí sa mení v závislosti od jeho výsledku. Tu máme príklad závislých udalostí.

Pomocou notácie prijatej pre podmienené pravdepodobnosti môžeme zapísať podmienku nezávislosti udalostí A a B v tvare

Pomocou týchto rovníc môžeme redukovať násobiacu vetu pre nezávislé udalosti do nasledujúcej podoby.

Ak sú udalosti A a B nezávislé, potom sa pravdepodobnosť ich kombinácie rovná súčinu pravdepodobností týchto udalostí:

Vskutku, stačí v pôvodnom vyjadrení vety o násobení predpokladať, čo vyplýva z nezávislosti udalostí, a získame požadovanú rovnosť.

Uvažujme teraz o niekoľkých udalostiach: Budeme ich nazývať nezávislé v súhrne, ak pravdepodobnosť výskytu niektorej z nich nezávisí od toho, či nastali alebo nenastali nejaké ďalšie udalosti.

V prípade udalostí, ktoré sú v súhrne nezávislé, možno vetu o násobení rozšíriť na ľubovoľný ich konečný počet, vďaka čomu ju možno formulovať takto:

Pravdepodobnosť kombinácie nezávislých udalostí v súhrne sa rovná súčinu pravdepodobností týchto udalostí:

Príklad 6. Pracovník obsluhuje tri automatické stroje, ku ktorým je potrebné pristúpiť, aby sa odstránila porucha, ak sa stroj zastaví. Pravdepodobnosť, že sa prvý stroj do hodiny nezastaví, je 0,9. Rovnaká pravdepodobnosť pre druhý stroj je 0,8 a pre tretí 0,7. Určte pravdepodobnosť, že do hodiny sa pracovník nebude musieť priblížiť k žiadnemu zo strojov, ktoré udržiava.

Príklad 7. Pravdepodobnosť zostrelenia lietadla výstrelom z pušky Aká je pravdepodobnosť zničenia nepriateľského lietadla pri streľbe z 250 pušiek súčasne?

Riešenie. Pravdepodobnosť, že lietadlo nebude zostrelené jediným výstrelom, sa rovná sčítacej vete. Potom pomocou vety o násobení môžeme vypočítať pravdepodobnosť, že lietadlo nebude zostrelené po 250 výstreloch, ako pravdepodobnosť zhody okolností udalostí. Rovná sa Potom môžeme opäť použiť vetu o sčítaní a nájsť pravdepodobnosť, že lietadlo zasiahne, ako pravdepodobnosť opačného javu

Z toho vidno, že hoci pravdepodobnosť zostrelenia lietadla jedným výstrelom z pušky je mizivá, predsa len pri streľbe z 250 pušiek je už pravdepodobnosť zostrelenia lietadla celkom hmatateľná. Výrazne sa zvyšuje, ak sa zvýši počet pušiek. Takže pri streľbe z 500 pušiek je pravdepodobnosť zostrelenia lietadla, ako sa dá ľahko vypočítať, rovnaká pri streľbe z 1000 pušiek - dokonca.

Vyššie dokázaná veta o násobení nám umožňuje trochu rozšíriť vetu o sčítaní jej rozšírením na prípad kompatibilných udalostí. Je jasné, že ak sú udalosti A a B kompatibilné, tak pravdepodobnosť výskytu aspoň jedného z nich sa nerovná súčtu ich pravdepodobností. Napríklad, ak udalosť A znamená výskyt párneho

počet bodov pri hode kockou a udalosť B je vypadnutie z počtu bodov, ktorý je násobkom troch, potom udalosť (A alebo B) uprednostňuje padanie 2, 3, 4 a 6 bodov, že je

Na druhej strane, to je. Takže v tomto prípade

Preto je jasné, že v prípade kompatibilných udalostí sa veta o sčítaní pravdepodobnosti musí zmeniť. Ako teraz uvidíme, dá sa formulovať tak, že platí pre kompatibilné aj nezlučiteľné udalosti, takže predtým uvažovaná veta o sčítaní sa ukáže ako špeciálny prípad novej.

Udalosti, ktoré A nie sú priaznivé.

Všetky elementárne udalosti, ktoré uprednostňujú udalosť (A alebo B), by mali uprednostňovať buď iba A, alebo iba B, alebo obe A aj B. Celkový počet takýchto udalostí je teda

a pravdepodobnosť

Q.E.D.

Aplikovaním vzorca (9) na vyššie uvedený príklad výpadku počtu bodov pri hode kockou dostaneme:

čo je rovnaké ako výsledok priameho počítania.

Je zrejmé, že vzorec (1) je špeciálny prípad (9). Ak sú udalosti A a B nekonzistentné, potom je pravdepodobnosť zhody okolností

Príklad. V elektrický obvod dve poistky sú zapojené do série. Pravdepodobnosť zlyhania prvej poistky je 0,6 a druhej 0,2. Stanovme pravdepodobnosť výpadku prúdu v dôsledku poruchy aspoň jednej z týchto poistiek.

Riešenie. Keďže udalosti A a B, spočívajúce v zlyhaní prvej a druhej poistky, sú kompatibilné, požadovaná pravdepodobnosť je určená vzorcom (9):

Cvičenia

Prednáška 7. Teória pravdepodobnosti

DÔSLEDKY ADIČNÝCH A MULTIPLIKAČNÝCH TEÓR

Sčítací teorém pre pravdepodobnosti spoločných udalostí

Uvažovalo sa o sčítacej vete nekonzistentné diania. Tu uvedieme vetu o sčítaní pre kĺb diania.

Nazývajú sa dve udalosti kĺb ak účasť jedného z nich nevylučuje účasť druhého v tom istom konaní.

Príklad 1 ... A - vzhľad štyroch bodov pri hode kockou; B - vzhľad párneho počtu bodov. Udalosti A a B sú spoločné podujatia.

Nech sú udalosti A a B spoločné a uvedú sa pravdepodobnosti týchto udalostí a pravdepodobnosť ich spoločného výskytu. Ako zistiť pravdepodobnosť udalosti A + B, ktorá spočíva v tom, že sa objaví aspoň jedna z udalostí A a B? Odpoveď na túto otázku dáva sčítacia veta pre pravdepodobnosti spoločných udalostí.

Veta... Pravdepodobnosť výskytu aspoň jednej z dvoch spoločných udalostí sa rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí bez pravdepodobnosti ich spoločného výskytu: P (A + B) = P (A) + P (B) - P ( AB).

Dôkaz ... Keďže udalosti A a B sú podľa podmienky spojené, udalosť A + B nastane, ak nastane jedna z nasledujúcich troch nezlučiteľných udalostí:. Podľa vety o sčítaní pravdepodobností nekonzistentných udalostí máme:

P (A + B) = P (A) + P (B) + P (AB).(*)

Udalosť A nastane, ak nastane jedna z dvoch nekonzistentných udalostí: A
alebo AB. Podľa vety o sčítaní pravdepodobností nekonzistentných udalostí máme

P (A) = P (A) + P (AB).

P (A) = P (A) - P (AB).(**)

Podobne to máme aj my

P (B) = P (ĀB) + P (AB).

P (ĀB) = P (B) - P (AB).(***)

Nahradením (**) a (***) za (*) konečne dostaneme

P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB).(****)

Q.E.D.

Poznámka 1. Pri použití výsledného vzorca treba mať na pamäti, že udalosti A a B môžu byť ako nezávislý a závislý.

Na nezávislé podujatia

P (A + B) = P (A) + P (B) - P (A) * P (B);

Pre závislé udalosti

P (A + B) = P (A) + P (B) - P (A) * PA (B).

Poznámka 2. Ak udalosti A a B nekonzistentné, potom je ich kombinácia nemožná udalosť, a preto P (AB) = 0.

Vzorec (****) pre nekonzistentné udalosti má tvar

P (A + B) = P (A) + P (B).

Opäť sme získali vetu o sčítaní pre nekonzistentné udalosti. Vzorec (****) teda platí pre spoločné aj nezlučiteľné udalosti.

Príklad 2 Pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa pri streľbe z prvého a druhého dela je rovnaká: p 1 = 0,7; p2 = 0,8. Nájdite pravdepodobnosť zásahu jednou salvou
(z oboch zbraní) s aspoň jednou zo zbraní.

Riešenie ... Pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa každou z pištolí nezávisí od výsledku streľby z druhej pištole, preto sú udalosti A (zásah prvou pištoľou) a B (zásah druhou pištoľou) nezávislé.

Pravdepodobnosť udalosti AB (zasiahnuté obe zbrane)

P (AB) = P (A) * P (B) = 0,7 * 0,8 = 0,56.

Požadovaná pravdepodobnosť je P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB) = 0,7 + 0,8 - 0,56 = 0,94.

Poznámka 3. Pretože v tomto príklade sú udalosti A a B nezávislé, bolo možné použiť vzorec P = 1 - q 1 q 2

Skutočne, pravdepodobnosti udalostí opačné udalosti A a B, t.j. pravdepodobnosti nezdarov sú:

qi = 1 - p1 = 1 - 0,7 = 0,3;

q2 = 1 - p2 = 1 - 0,8 = 0,2;

Hľadanie pravdepodobnosti, že jednou salvou zasiahne aspoň jedna zbraň, sa rovná

P = 1 - q 1 q 2 = 1 - 0,3 * 0,2 = 1 - 0,06 = 0,94.

Ako môžete očakávať, dosiahnete rovnaký výsledok.

Nechajte udalosti A a V- nekonzistentné a pravdepodobnosti týchto udalostí sú známe. Otázka znie: ako zistiť pravdepodobnosť, že nastane jedna z týchto nekonzistentných udalostí? Na túto otázku odpovedá adičná veta.

Veta.Pravdepodobnosť výskytu jednej z dvoch nezlučiteľných udalostí sa rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí:

p(A + V) = p(A) + p(V) (1.6)

Dôkaz. Skutočne, nech n- celkový počet všetkých rovnako možných a nekonzistentných (t.j. elementárnych) výsledkov. Nechajte udalosť A zvýhodnený m 1 výsledky a udalosť V – m 2 výsledky. Potom, podľa klasickej definície, pravdepodobnosti týchto udalostí sú: p(A) = m 1 / n, p(B) = m 2 / n .

Od udalostí A a V nekonzistentné, potom žiadny z výsledkov nie je priaznivý pre danú udalosť A, ktoré neprispievajú k udalosti V(pozri diagram nižšie).

Preto udalosť A+V bude uprednostňovať m 1 + m 2 výsledky. Preto pre pravdepodobnosť p(A + B) dostaneme:

Dôsledok 1. Súčet pravdepodobností udalostí tvoriacich úplnú skupinu sa rovná jednej:

p(A) + p(V) + p(S) + … + p(D) = 1.

Vskutku, nech udalosti A,V,S, … , D vytvoriť kompletnú skupinu. Z tohto dôvodu sú nekompatibilné a jediné možné. Preto udalosť A + B + C + ... +D, spočívajúci v objavení sa (v dôsledku testovania) aspoň jednej z týchto udalostí, je spoľahlivý, t.j. A + B + C + ... +D = a p(A + B + C + ... +D) = 1.

Z dôvodu nezlučiteľnosti udalostí A,V,S, … , D platí vzorec:

p(A + B + C + ... +D) = p(A) + p(V) + p(S) + … + p(D) = 1.

Príklad. V urne je 30 loptičiek, z toho 10 červených, 5 modrých a 15 bielych. Nájdite pravdepodobnosť odstránenia červenej alebo modrej gule za predpokladu, že z urny bola odstránená iba jedna guľa.

Riešenie. Nechajte udalosť A 1 - extrakcia červenej gule a udalosť A 2 - extrakcia modrej gule. Tieto udalosti sú nekonzistentné a p(A 1) = 10 / 30 = 1 / 3; p(A 2) = 5/30 = 1/6. Pomocou vety o sčítaní dostaneme:

p(A 1 + A 2) = p(A 1) + p(A 2) = 1 / 3 + 1 / 6 = 1 / 2.

Poznámka 1. Zdôraznime, že v zmysle problému je potrebné predovšetkým zistiť povahu uvažovaných udalostí – či sú nezlučiteľné. Ak sa vyššie uvedená veta použije na spoločné udalosti, výsledok bude nesprávny.