Najväčší spoločný deliteľ a najmenší spoločný násobok sú kľúčové aritmetické pojmy, ktoré uľahčujú ovládanie obyčajné zlomky... LCM a sa najčastejšie používajú na nájdenie spoločného menovateľa viacerých zlomkov.
Základné pojmy
Deliteľ celého čísla X je ďalšie celé číslo Y, ktoré delí X bezo zvyšku. Napríklad deliteľ čísla 4 je 2 a 36 je 4, 6, 9. Celočíselný násobok X je číslo Y, ktoré je deliteľné X bezo zvyšku. Napríklad 3 je násobok 15 a 6 je 12.
Pre každú dvojicu čísel môžeme nájsť ich spoločných deliteľov a násobkov. Napríklad pre 6 a 9 je spoločný násobok 18 a spoločný deliteľ je 3. Je zrejmé, že páry môžu mať niekoľko deliteľov a násobkov, takže pri výpočtoch sa používa najväčší deliteľ GCD a najmenší násobok LCM. .
Najmenší deliteľ nedáva zmysel, pretože pre každé číslo je vždy jedna. Najväčší násobok je tiež nezmyselný, pretože postupnosť násobkov má tendenciu k nekonečnu.
Nájdenie GCD
Existuje mnoho metód na nájdenie najväčšieho spoločného deliteľa, z ktorých najznámejšie sú:
- postupné vyčíslenie deliteľov, výber spoločného pre pár a hľadanie najväčšieho z nich;
- rozklad čísel na nedeliteľné faktory;
- Euklidov algoritmus;
- binárny algoritmus.
Dnes o vzdelávacie inštitúcie najpopulárnejšie sú metódy prvočíselného rozkladu a euklidovský algoritmus. Ten sa zase používa na riešenie diofantických rovníc: hľadanie GCD je potrebné na kontrolu rovnice, či je možné ju vyriešiť v celých číslach.
Nájdenie NOC
Najmenší spoločný násobok je tiež určený postupným sčítaním alebo rozkladom na nedeliteľné faktory. Okrem toho je ľahké nájsť LCM, ak už bol určený najväčší deliteľ. Pre čísla X a Y sú LCM a GCD spojené nasledujúcim vzťahom:
LCM (X, Y) = X x Y / GCD (X, Y).
Napríklad, ak GCD (15.18) = 3, potom LCM (15.18) = 15 × 18/3 = 90. Najzrejmejším príkladom použitia LCM je nájdenie spoločného menovateľa, ktorým je najmenší spoločný násobok pre dané zlomky.
Vzájomne prvočísla
Ak dvojica čísel nemá spoločných deliteľov, potom sa takáto dvojica nazýva koprimá. GCD pre takéto páry sa vždy rovná jednej a na základe spojenia medzi deliteľmi a násobkami sa LCM pre coprime rovná ich súčinu. Napríklad čísla 25 a 28 sú relatívne prvočísla, pretože nemajú spoločných deliteľov a LCM (25, 28) = 700, čo zodpovedá ich súčinu. Akékoľvek dve nedeliteľné čísla budú vždy navzájom prvočísla.
Spoločný deliteľ a viacnásobná kalkulačka
Pomocou našej kalkulačky môžete vypočítať GCD a LCM pre ľubovoľný počet čísel, z ktorých si môžete vybrať. Úlohy na výpočet spoločných deliteľov a násobkov sa nachádzajú v aritmetike v ročníkoch 5, 6, avšak GCD a LCM sú kľúčové pojmy v matematike a používajú sa v teórii čísel, planimetrii a komunikačnej algebre.
Príklady zo života
Spoločný menovateľ zlomkov
Najmenší spoločný násobok sa používa na nájdenie spoločného menovateľa viacerých zlomkov. Predpokladajme, že v aritmetickej úlohe je potrebné sčítať 5 zlomkov:
1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.
Na sčítanie zlomkov je potrebné výraz zredukovať na spoločného menovateľa, ktorý je zredukovaný na problém nájdenia LCM. Ak to chcete urobiť, vyberte v kalkulačke 5 čísel a do príslušných buniek zadajte hodnoty menovateľov. Program vypočíta LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Teraz musíte vypočítať dodatočné faktory pre každý zlomok, ktoré sú definované ako pomer LCM k menovateľovi. Ďalšie faktory teda budú vyzerať takto:
- 360/8 = 45
- 360/9 = 40
- 360/12 = 30
- 360/15 = 24
- 360/18 = 20.
Potom vynásobíme všetky zlomky zodpovedajúcim dodatočným faktorom a dostaneme:
45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.
Takéto zlomky ľahko spočítame a výsledok dostaneme v tvare 159/360. Zlomok znížime o 3 a vidíme konečnú odpoveď - 53/120.
Riešenie lineárnych diofantínových rovníc
Lineárne diofantické rovnice sú vyjadrením tvaru ax + by = d. Ak je pomer d / gcd (a, b) celé číslo, potom je rovnica riešiteľná v celých číslach. Pozrime sa na niekoľko rovníc pre celočíselné riešenia. Najprv skontrolujte rovnicu 150x + 8y = 37. Pomocou kalkulačky nájdite GCD (150,8) = 2. Vydeľte 37/2 = 18,5. Číslo nie je celé číslo, preto rovnica nemá korene z celého čísla.
Skontrolujeme rovnicu 1320x + 1760y = 10120. Pomocou kalkulačky nájdite GCD (1320, 1760) = 440. Vydeľte 10120/440 = 23. Výsledkom je celé číslo, preto je rovnica diofantínskeho čísla riešiteľná v koeficienty.
Záver
GCD a LCM zohrávajú veľkú úlohu v teórii čísel a samotné koncepty sú široko používané v rôznych oblastiach matematiky. Použite našu kalkulačku na výpočet najväčších deliteľov a najmenších násobkov ľubovoľného počtu čísel.
Matematické výrazy a úlohy si vyžadujú množstvo ďalších vedomostí. NOC je jedným z hlavných, ktorý sa často používa najmä v téme, ktorá sa študuje na strednej škole, pričom nie je obzvlášť náročná na pochopenie látky, človek, ktorý pozná tituly a násobilku, nebude ťažké vybrať potrebné čísla a nájdite výsledok.
Definícia
Spoločný násobok je číslo, ktoré možno úplne rozdeliť na dve čísla súčasne (a a b). Najčastejšie sa toto číslo získa vynásobením pôvodných čísel a a b. Číslo musí byť deliteľné oboma číslami naraz, bez odchýlok.
NOC je akceptované označenie krátke meno zozbierané z prvých písmen.
Spôsoby, ako získať číslo
Na nájdenie LCM nie je vždy vhodná metóda násobenia čísel, oveľa lepšie sa hodí pre jednoduché jednociferné alebo dvojciferné čísla. je zvykom deliť podľa faktorov, čím väčšie číslo, tým viac faktorov bude.
Príklad č.1
Pre najjednoduchší príklad školy zvyčajne používajú jednoduché, jednociferné alebo dvojciferné čísla. Napríklad musíte vyriešiť nasledujúcu úlohu, nájsť najmenší spoločný násobok čísel 7 a 3, riešenie je celkom jednoduché, stačí ich vynásobiť. Výsledkom je číslo 21, menšie číslo jednoducho neexistuje.
Príklad č.2
Druhý variant úlohy je oveľa náročnejší. Vzhľadom na čísla 300 a 1260 je hľadanie LCM povinné. Na vyriešenie úlohy sa predpokladajú tieto akcie:
Rozklad prvého a druhého čísla na najjednoduchšie faktory. 300 = 2 2 * 3 * 5 2; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Prvá etapa bola dokončená.
Druhá fáza zahŕňa prácu s už prijatými údajmi. Každé zo získaných čísel sa musí podieľať na výpočte konečného výsledku. Pre každý faktor zo zloženia pôvodných čísel najviac veľké číslo výskytov. NOC je celkový počet, preto sa v ňom musia opakovať faktory z čísel všetky do jedného, aj tie, ktoré sú prítomné v jednom exemplári. Obe pôvodné čísla majú vo svojom zložení čísla 2, 3 a 5, in rôzne stupne, 7 je len v jednom prípade.
Ak chcete vypočítať konečný výsledok, musíte vziať každé číslo ako najväčšiu mocninu prezentovanú v rovnici. Zostáva len násobiť a dostať odpoveď, pri správnom vyplnení sa úloha bez vysvetlenia zmestí do dvoch krokov:
1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.
2) LCM = 6300.
To je celý problém, ak sa pokúsite vypočítať požadované číslo vynásobením, odpoveď určite nebude správna, keďže 300 * 1260 = 378 000.
Vyšetrenie:
6300/300 = 21 - pravda;
6300/1260 = 5 - správne.
Správnosť získaného výsledku sa zisťuje kontrolou – delením LCM oboma počiatočnými číslami, ak je číslo v oboch prípadoch celé, tak je odpoveď správna.
Čo znamená LCM v matematike
Ako viete, v matematike neexistuje jediná zbytočná funkcia, toto nie je výnimkou. Najbežnejšie použitie tohto čísla je priviesť zlomky k spoločnému menovateľovi. Čo sa zvyčajne študuje v ročníkoch 5.-6 stredná škola... Je to tiež dodatočný spoločný deliteľ pre všetky násobky, ak sú takéto podmienky v probléme. Podobný výraz môže nájsť násobok nielen dvoch čísel, ale aj oveľa väčšieho čísla - tri, päť atď. Ako viac čísel- čím viac akcií je v úlohe, ale zložitosť sa tým nezvyšuje.
Napríklad pri číslach 250, 600 a 1500 musíte nájsť ich celkový LCM:
1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 - tento príklad podrobne popisuje faktorizáciu bez zrušenia.
2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;
3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;
Na zostavenie výrazu je potrebné uviesť všetky faktory, v tomto prípade sú uvedené 2, 5, 3, - pre všetky tieto čísla je potrebné určiť maximálny stupeň.
Pozor: všetky multiplikátory treba doviesť k úplnému zjednodušeniu, pokiaľ je to možné, k rozšíreniu na úroveň jednohodnotových.
Vyšetrenie:
1) 3000/250 = 12 - pravda;
2) 3000/600 = 5 - pravda;
3) 3000/1500 = 2 - pravda.
Táto metóda nevyžaduje žiadne triky ani schopnosti na úrovni génia, všetko je jednoduché a priamočiare.
Inač
V matematike veľa súvisí, veľa sa dá vyriešiť dvoma alebo viacerými spôsobmi, to isté platí aj o hľadaní najmenšieho spoločného násobku, LCM. V prípade jednoduchých dvojciferných a jednociferných čísel možno použiť nasledujúci spôsob. Zostaví sa tabuľka, do ktorej sa zapíše násobiteľ vertikálne, násobiteľ horizontálne a v pretínajúcich sa bunkách stĺpca sa uvedie súčin. Tabuľku môžete zobraziť pomocou čiary, vezme sa číslo a výsledky vynásobenia tohto čísla celými číslami od 1 do nekonečna sa zapíšu do radu, niekedy stačí 3-5 bodov, druhé a ďalšie čísla sú podrobené rovnakému výpočtovému procesu. Všetko sa deje, kým sa nenájde spoločný násobok.
Vzhľadom na čísla 30, 35, 42 musíte nájsť LCM spájajúce všetky čísla:
1) Násobky 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 atď.
2) Násobky 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245 atď.
3) Násobky 42: 84, 126, 168, 210, 252 atď.
Je zrejmé, že všetky čísla sú dosť odlišné, jediné spoločné číslo medzi nimi je 210, takže to bude LCM. Medzi procesmi spojenými s týmto výpočtom existuje aj najväčší spoločný deliteľ, ktorý sa počíta podľa podobných princípov a často sa s ním stretávame v susedných problémoch. Rozdiel je malý, ale dostatočne významný, LCM predpokladá výpočet čísla, ktoré je delené všetkými danými počiatočnými hodnotami a GCD predpokladá výpočet najväčšiu hodnotu ktorými sa pôvodné čísla delia.
Pokračujme v rozprávaní o najmenšom spoločnom násobku, ktorý sme začali v časti „LCM – Najmenší spoločný násobok, definícia, príklady“. V tejto téme sa pozrieme na spôsoby, ako nájsť LCM pre tri alebo viac čísel, analyzujeme otázku, ako nájsť LCM záporného čísla.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Výpočet najmenšieho spoločného násobku (LCM) z hľadiska gcd
Vzťah medzi najmenším spoločným násobkom a najväčším spoločným deliteľom sme už stanovili. Teraz sa naučíme, ako určiť LCM z hľadiska GCD. Poďme najprv zistiť, ako to urobiť pre kladné čísla.
Definícia 1
Najmenší spoločný násobok z hľadiska najväčšieho spoločného deliteľa nájdete podľa vzorca LCM (a, b) = a b: GCD (a, b).
Príklad 1
Nájdite LCM čísel 126 a 70.
Riešenie
Zoberme si a = 126, b = 70. Dosaďte hodnoty vo vzorci na výpočet najmenšieho spoločného násobku cez najväčšieho spoločného deliteľa LCM (a, b) = a b: GCD (a, b).
Nájde gcd čísel 70 a 126. Na to potrebujeme Euklidov algoritmus: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, teda GCD (126 , 70) = 14 .
Vypočítame LCM: LCM (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70 : 14 = 630.
odpoveď: LCM (126, 70) = 630.
Príklad 2
Nájdite úder čísel 68 a 34.
Riešenie
GCD v v tomto prípade Nie je to ťažké, pretože 68 je deliteľné 34. Najmenší spoločný násobok vypočítame pomocou vzorca: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.
odpoveď: LCM (68, 34) = 68.
V tomto príklade sme použili pravidlo hľadania najmenšieho spoločného násobku pre kladné celé čísla a a b: ak je prvé číslo deliteľné druhým, LCM týchto čísel sa bude rovnať prvému číslu.
Nájdenie LCM rozdelením čísel na prvočísla
Teraz sa pozrime na spôsob, ako nájsť LCM, ktorý je založený na faktorizácii čísel na prvočísla.
Definícia 2
Aby sme našli najmenší spoločný násobok, musíme vykonať niekoľko jednoduchých krokov:
- zostaviť produkt všetkých hlavné faktoryčísla, pre ktoré musíme nájsť LCM;
- zo získaných produktov vylúčime všetky prvotné faktory;
- produkt získaný po odstránení spoločných prvočísel sa bude rovnať LCM týchto čísel.
Táto metóda hľadania najmenšieho spoločného násobku je založená na rovnosti LCM (a, b) = a b: GCD (a, b). Ak sa pozriete na vzorec, je jasné: súčin čísel a a b sa rovná súčinu všetkých faktorov, ktoré sa podieľajú na rozklade týchto dvoch čísel. V tomto prípade sa GCD dvoch čísel rovná súčinu všetkých prvočísel, ktoré sú súčasne prítomné v rozkladoch týchto dvoch čísel.
Príklad 3
Máme dve čísla, 75 a 210. Môžeme ich rozpočítať takto: 75 = 3 5 5 a 210 = 2 3 5 7... Ak poskladáte súčin všetkých faktorov dvoch pôvodných čísel, dostanete: 2 3 3 5 5 5 7.
Ak vylúčime faktory 3 a 5 spoločné pre obe čísla, dostaneme súčin v nasledujúcom tvare: 2 3 5 5 7 = 1050... Tento produkt bude naším LCM pre čísla 75 a 210.
Príklad 4
Nájdite LCM čísel 441 a 700 rozšírením oboch čísel na prvočísla.
Riešenie
Nájdite všetky prvočísla čísel uvedených v podmienke:
441 147 49 7 1 3 3 7 7
700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7
Získame dva reťazce čísel: 441 = 3 · 3 · 7 · 7 a 700 = 2 · 2 · 5 · 5 · 7.
Súčin všetkých faktorov, ktoré sa podieľali na rozklade týchto čísel, bude mať tvar: 2 2 3 3 5 5 7 7 7... Nájdite spoločné faktory. Toto číslo je 7. Vylúčme to zo všeobecnej práce: 2 2 3 3 5 5 7 7... Ukazuje sa, že NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.
odpoveď: LCM (441, 700) = 44 100.
Uveďme ešte jednu formuláciu metódy na nájdenie LCM rozkladom čísel na prvočiniteľa.
Definícia 3
Predtým sme z celkového počtu vylúčili faktory spoločné pre obe čísla. Teraz to urobíme inak:
- Rozložme obe čísla na prvočiniteľa:
- pridať chýbajúce faktory druhého čísla k súčinu prvočísel prvého čísla;
- dostaneme súčin, ktorým bude požadovaná LCM dvoch čísel.
Príklad 5
Vráťme sa k číslam 75 a 210, pre ktoré sme už LCM hľadali v jednom z predchádzajúcich príkladov. Poďme si ich rozložiť na hlavné faktory: 75 = 3 5 5 a 210 = 2 3 5 7... Na súčin faktorov 3, 5 a 5 číslo 75 pridajte chýbajúce faktory 2 a 7 číslo 210. Dostaneme: 2 · 3 · 5 · 5 · 7. Toto je LCM čísel 75 a 210.
Príklad 6
Vypočítajte LCM čísel 84 a 648.
Riešenie
Rozložme čísla z podmienky na prvočísla: 84 = 2 2 3 7 a 648 = 2 2 2 3 3 3 3... Pridajte k produktu faktory 2, 2, 3 a 7
číslo 84 chýbajúce faktory 2, 3, 3 a
3
číslo 648. Dostávame prácu 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. Toto je najmenší spoločný násobok 84 a 648.
odpoveď: LCM (84, 648) = 4,536.
Nájdenie LCM troch alebo viacerých čísel
Bez ohľadu na to, s koľkými číslami máme čo do činenia, algoritmus našich akcií bude vždy rovnaký: postupne nájdeme LCM dvoch čísel. Pre tento prípad existuje veta.
Veta 1
Predpokladajme, že máme celé čísla a 1, a 2,…, a k... NOC m k z týchto čísel sa zistí postupným výpočtom m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3),…, m k = LCM (m k - 1, ak).
Teraz sa pozrime na to, ako môžete použiť vetu na riešenie konkrétnych problémov.
Príklad 7
Vypočítajte najmenší spoločný násobok štyroch čísel 140, 9, 54 a 250 .
Riešenie
Zavedme zápis: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.
Začnime výpočtom m 2 = LCM (a 1, a 2) = LCM (140, 9). Na výpočet GCD čísel 140 a 9 použijeme Euklidov algoritmus: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Získame: GCD (140, 9) = 1, LCM (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1 260. Preto m 2 = 1 260.
Teraz vypočítame pomocou rovnakého algoritmu m 3 = LCM (m 2, a 3) = LCM (1 260, 54). V priebehu výpočtov dostaneme m 3 = 3 780.
Zostáva nám vypočítať m 4 = LCM (m 3, a 4) = LCM (3 780, 250). Postupujeme podľa rovnakého algoritmu. Dostaneme m 4 = 94 500.
LCM štyroch čísel z príkladu podmienky je 94500.
odpoveď: LCM (140, 9, 54, 250) = 94 500.
Ako vidíte, výpočty sú jednoduché, ale dosť pracné. Ak chcete ušetriť čas, môžete ísť iným spôsobom.
Definícia 4
Ponúkame vám nasledujúci algoritmus akcií:
- rozložiť všetky čísla na prvočísla;
- k súčinu faktorov prvého čísla doplňte chýbajúce faktory súčinu druhého čísla;
- pridať chýbajúce faktory tretieho čísla k produktu získanému v predchádzajúcej fáze atď.;
- výsledný súčin bude najmenší spoločný násobok všetkých čísel z podmienky.
Príklad 8
Je potrebné nájsť LCM piatich čísel 84, 6, 48, 7, 143.
Riešenie
Rozložme všetkých päť čísel na prvočísla: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Prvočísla, čo je číslo 7, sa nedajú rozložiť na prvočísla. Takéto čísla sa zhodujú s ich prvočíselným rozkladom.
Teraz zoberte súčin prvočiniteľov 2, 2, 3 a 7 z 84 a pridajte k nim chýbajúce faktory druhého čísla. Rozdelili sme číslo 6 na 2 a 3. Tieto faktory sú už v súčine prvého čísla. Preto ich vynechávame.
Pokračujeme v pridávaní chýbajúcich faktorov. Prejdeme k číslu 48, zo súčinu prvočiniteľov, z ktorých vezmeme 2 a 2. Potom pridajte prvočíslo 7 štvrtého čísla a faktory 11 a 13 pre piate. Získame: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48 048. Ide o najmenší spoločný násobok pôvodných piatich čísel.
odpoveď: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48 048.
Nájdenie najmenšieho spoločného násobku záporných čísel
Aby sa našiel najmenší spoločný násobok záporných čísel, musia sa tieto čísla najskôr nahradiť číslami s opačným znamienkom a potom sa musia vykonať výpočty pomocou vyššie uvedených algoritmov.
Príklad 9
LCM (54, - 34) = LCM (54, 34) a LCM (- 622, - 46, - 54, - 888) = LCM (622, 46, 54, 888).
Takéto akcie sú prípustné vzhľadom na skutočnosť, že ak to prijmeme a a - a- opačné čísla,
potom množina násobkov a zodpovedá množine násobkov - a.
Príklad 10
Je potrebné vypočítať LCM záporných čísel − 145 a − 45 .
Riešenie
Nahradíme čísla − 145 a − 45 na opačných číslach 145 a 45 ... Teraz podľa algoritmu vypočítame LCM (145, 45) = 145 45: GCD (145, 45) = 145 45: 5 = 1 305, pričom sme predtým určili GCD podľa euklidovského algoritmu.
Dostaneme, že LCM čísel je 145 a − 45 rovná sa 1 305 .
odpoveď: LCM (- 145, - 45) = 1 305.
Ak si všimnete chybu v texte, vyberte ju a stlačte Ctrl + Enter
