Ak chcete úspešne použiť operáciu extrakcie koreňa v praxi, musíte sa oboznámiť s vlastnosťami tejto operácie.
Všetky vlastnosti sú formulované a preukázané len pre nezáporné hodnoty premenných obsiahnutých pod znamienkami koreňov.
Veta 1. N-tá odmocnina (n = 2, 3, 4, ...) súčinu dvoch nezáporných triesok sa rovná súčinu n-tej odmocniny týchto čísel:
komentár:
1.
Veta 1 zostáva v platnosti pre prípad, keď je radikálový výraz súčinom viac ako dvoch nezáporných čísel.
Veta 2.Ak,
a n je prirodzené číslo väčšie ako 1, potom je rovnosť
Stručný(hoci nepresná) formulácia, ktorá je v praxi vhodnejšia: koreň zlomku sa rovná zlomku koreňov.
Veta 1 nám umožňuje vynásobiť m len korene rovnakého stupňa
, t.j. iba korene s rovnakým indexom.
Veta 3 Ak ,k je prirodzené číslo a n je prirodzené číslo väčšie ako 1, potom rovnosť
Inými slovami, na pozdvihnutie koreňa na prirodzenú mieru stačí povýšiť radikálny výraz na tento stupeň.
Je to dôsledok vety 1. Napríklad pre k = 3 dostaneme: Rovnakým spôsobom sa dá uvažovať v prípade akejkoľvek inej prirodzenej hodnoty exponentu k.
Veta 4 Ak ,k, n sú prirodzené čísla väčšie ako 1, potom rovnosť
Inými slovami, na extrahovanie koreňa z koreňa stačí vynásobiť indexy koreňov.
napr.
Buď opatrný! Dozvedeli sme sa, že s koreňmi je možné vykonať štyri operácie: násobenie, delenie, umocňovanie a extrakciu odmocniny (z koreňa). Ale čo sčítanie a odčítanie koreňov? V žiadnom prípade.
Napríklad namiesto toho nie je možné napísať Skutočne, ale je zrejmé, že
Veta 5 Ak indexy koreňa a radikálneho výrazu sa vynásobia alebo vydelia rovnakým prirodzeným číslom, potom sa hodnota koreňa nezmení, t.j.
Príklady riešenia úloh
Príklad 1 Vypočítajte
Riešenie. Pomocou prvej vlastnosti koreňov (Veta 1) dostaneme:
Príklad 2 Vypočítajte
Riešenie. Preveďte zmiešané číslo na nesprávny zlomok.
Máme Použitie druhej vlastnosti koreňov ( Veta 2
), dostaneme:
Príklad 3 Vypočítať: 
Riešenie. Akýkoľvek vzorec v algebre, ako dobre viete, sa používa nielen „zľava doprava“, ale aj „sprava doľava“. Prvá vlastnosť koreňov teda znamená, že môžu byť reprezentované vo forme a naopak, môžu byť nahradené výrazom. To isté platí pre druhú vlastnosť koreňov. S ohľadom na to vykonajte výpočty.
Gratulujeme: dnes budeme skúmať korene - jedna z najzávažnejších tém 8. ročníka. :)
Mnohí sú zmätení, pokiaľ ide o korene, nie preto, že sú zložité (čo je také ťažké - pár definícií a pár vlastností), ale preto, že vo väčšine školských učebníc sú korene určené cez takú džungľu, že iba autori učebníc sami môžu prísť na túto čmáranicu. A aj to len s fľašou dobrej whisky. :)
Preto teraz uvediem najsprávnejšiu a najkompetentnejšiu definíciu koreňa - jedinú, ktorú by ste si skutočne mali pamätať. A až potom vysvetlím: prečo je to všetko potrebné a ako to aplikovať v praxi.
Najprv si však zapamätajte jeden dôležitý bod, na ktorý z nejakého dôvodu mnohí zostavovatelia učebníc „zabúdajú“:
Korene môžu byť párneho stupňa (naše milované $ \ sqrt (a) $, ako aj všetky druhy $ \ sqrt (a) $ a párne $ \ sqrt (a) $) a nepárne stupne (všetky druhy $ \ sqrt (a) $, $ \ sqrt (a) $ atď.). A definícia koreňa nepárneho stupňa je trochu odlišná od párneho.
Tu v tomto posratom "trochu inom" je skrytých pravdepodobne 95% všetkých chýb a nedorozumení spojených s koreňmi. Poďme sa preto raz a navždy vysporiadať s terminológiou:
Definícia. Dokonca aj koreň n od $ a $ je ľubovoľný nezápornéčíslo $ b $ také, že $ ((b) ^ (n)) = a $. A nepárny koreň toho istého čísla $ a $ je vo všeobecnosti akékoľvek číslo $ b $, pre ktoré platí rovnaká rovnosť: $ ((b) ^ (n)) = a $.
V každom prípade je koreň označený takto:
\ (a) \]
Číslo $ n $ v takomto zázname sa nazýva exponent odmocniny a číslo $ a $ sa nazýva radikálny výraz. Najmä pre $ n = 2 $ dostaneme našu „obľúbenú“ druhú odmocninu (mimochodom, toto je párna odmocnina) a pre $ n = 3 $ - kubickú (nepárny stupeň), ktorý sa tiež často vyskytuje v problémoch a rovníc.
Príklady. Klasické príklady odmocnin:
\ [\ begin (align) & \ sqrt (4) = 2; \\ & \ sqrt (81) = 9; \\ & \ sqrt (256) = 16. \\ \ koniec (zarovnanie) \]
Mimochodom, $ \ sqrt (0) = 0 $ a $ \ sqrt (1) = 1 $. Je to celkom logické, keďže $ ((0) ^ (2)) = 0 $ a $ ((1) ^ (2)) = 1 $.
Časté sú aj kubické korene - nebojte sa ich:
\ [\ begin (align) & \ sqrt (27) = 3; \\ & \ sqrt (-64) = - 4; \\ & \ sqrt (343) = 7. \\ \ koniec (zarovnanie) \]
No a pár "exotických príkladov":
\ [\ begin (align) & \ sqrt (81) = 3; \\ & \ sqrt (-32) = - 2. \\ \ koniec (zarovnanie) \]
Ak nerozumiete, aký je rozdiel medzi párnym a nepárnym stupňom, prečítajte si definíciu ešte raz. Je to veľmi dôležité!
Medzitým zvážime jednu nepríjemnú vlastnosť koreňov, kvôli ktorej sme potrebovali zaviesť samostatnú definíciu pre párne a nepárne ukazovatele.
Prečo vôbec potrebujeme korene?
Po prečítaní definície sa mnohí študenti opýtajú: "Čo matematici fajčili, keď na to prišli?" Vskutku: prečo vôbec potrebujeme všetky tieto korene?
Aby sme odpovedali na túto otázku, vráťme sa na chvíľu do základných tried. Pamätajte: v tých vzdialených časoch, keď boli stromy zelenšie a halušky chutnejšie, bolo naším hlavným záujmom správne vynásobiť čísla. No, niečo ako "päť na päť - dvadsať päť", to je všetko. Čísla však môžete násobiť nie v pároch, ale v trojiciach, štvoriciach a vo všeobecnosti v celých súboroch:
\ [\ begin (align) & 5 \ cdot 5 = 25; \\ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 125; \\ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 625; \\ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 3125; \\ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 15 \ 625. \ end (zarovnať) \]
O to však nejde. Trik je iný: matematici sú leniví, a tak museli násobenie desiatich pätiek zapísať takto:
Tak prišli na rad. Prečo nie horný index počtu faktorov namiesto dlhého reťazca? Páči sa ti to:
Je to veľmi pohodlné! Všetky výpočty sú výrazne zredukované a na zapísanie 5 183 nemusíte míňať hromadu hárkov pergamenu v zošitoch. Takýto záznam sa nazýval stupeň čísla, našli v ňom kopu vlastností, ale šťastie sa ukázalo byť krátkodobé.
Po obrovskom chlastaní, ktoré bolo organizované práve o „objavovaní“ stupňov, sa zrazu nejaký obzvlášť tvrdohlavý matematik spýtal: „Čo ak poznáme stupeň čísla, ale nepoznáme samotné číslo?“ Teraz, naozaj, ak vieme, že určité číslo $ b $, napríklad v 5. mocnine dáva 243, ako potom môžeme uhádnuť, čomu sa rovná číslo $ b $?
Tento problém sa ukázal byť oveľa globálnejší, ako by sa na prvý pohľad mohlo zdať. Pretože sa ukázalo, že pre väčšinu „pripravených“ stupňov takéto „počiatočné“ čísla neexistujú. Veď posúďte sami:
\ [\ begin (zarovnať) & ((b) ^ (3)) = 27 \ šípka doprava b = 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ doprava b = 3; \\ & ((b) ^ (3)) = 64 \ šípka doprava b = 4 \ cbodka 4 \ cbodka 4 \ šípka doprava b = 4. \\ \ koniec (zarovnanie) \]
Čo ak $ ((b) ^ (3)) = 50 $? Ukazuje sa, že musíte nájsť určité číslo, ktoré nám po trojnásobnom vynásobení samo osebe dá 50. Čo je však toto číslo? Je zreteľne väčšia ako 3, pretože 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Teda. toto číslo leží niekde medzi tromi a štyrmi, ale čomu sa rovná - figám pochopíte.
Na to matematici vynašli korene $ n $ -tého stupňa. Preto bol zavedený radikálny symbol $ \ sqrt (*) $. Označiť samotné číslo $ b $, ktoré nám v určenej miere poskytne predtým známu hodnotu
\ [\ sqrt [n] (a) = b \ šípka doprava ((b) ^ (n)) = a \]
Nehádam sa: tieto korene sa často ľahko spočítajú - vyššie sme videli niekoľko takýchto príkladov. Napriek tomu vo väčšine prípadov, ak uhádnete ľubovoľné číslo a potom sa z neho pokúsite extrahovať ľubovoľný koreň, čaká vás krutý problém.
Čo je tam! Dokonca ani najjednoduchšie a najznámejšie $ \ sqrt (2) $ nemôže byť reprezentované v našej bežnej forme - ako celé číslo alebo zlomok. A ak zadáte toto číslo do kalkulačky, uvidíte toto:
\ [\ sqrt (2) = 1,414213562 ... \]
Ako vidíte, za čiarkou je nekonečná postupnosť čísel, ktoré sa neriadia žiadnou logikou. Toto číslo môžete samozrejme zaokrúhliť nahor, aby ste ho mohli rýchlo porovnať s inými číslami. Napríklad:
\ [\ sqrt (2) = 1,4142 ... \ približne 1,4 \ lt 1,5 \]
Alebo tu je ďalší príklad:
\ [\ sqrt (3) = 1,73205 ... \ približne 1,7 \ gt 1,5 \]
Ale všetky tieto zaoblenia sú po prvé dosť hrubé; a po druhé, musíte vedieť pracovať aj s približnými hodnotami, inak môžete zachytiť kopu neprehliadnuteľných chýb (mimochodom, zručnosť porovnávania a zaokrúhľovania sa povinne kontroluje na profilovej skúške).
Preto vo serióznej matematike nemôžete robiť bez koreňov - sú to rovnakí rovnakí predstavitelia množiny všetkých reálnych čísel $ \ mathbb (R) $, ako aj zlomkov a celých čísel, ktoré sú nám už dlho známe.
Nemožnosť reprezentovať koreň ako zlomok tvaru $ \ frac (p) (q) $ znamená, že tento koreň nie je racionálnym číslom. Takéto čísla sa nazývajú iracionálne a nemožno ich presne znázorniť inak ako pomocou radikálu alebo iných špeciálne navrhnutých konštrukcií (logaritmy, stupne, limity atď.). Ale o tom viac inokedy.
Zvážte niekoľko príkladov, kde po všetkých výpočtoch zostanú v odpovedi stále iracionálne čísla.
\ [\ begin (zarovnanie) & \ sqrt (2+ \ sqrt (27)) = \ sqrt (2 + 3) = \ sqrt (5) \ približne 2 236 ... \\ & \ sqrt (\ sqrt (-32 )) = \ sqrt (-2) \ približne -1,2599 ... \\ \ koniec (zarovnanie) \]
Prirodzene, podľa vzhľadu koreňa je takmer nemožné uhádnuť, aké čísla budú nasledovať za desatinnou čiarkou. S kalkulačkou však môžete rátať, no aj tá najdokonalejšia dátumová kalkulačka nám dáva len prvých pár číslic iracionálneho čísla. Preto je oveľa správnejšie písať odpovede v tvare $ \ sqrt (5) $ a $ \ sqrt (-2) $.
Preto boli vynájdené. Na pohodlné zaznamenávanie odpovedí.
Prečo sú potrebné dve definície?
Pozorný čitateľ si už zrejme všimol, že všetky odmocniny uvedené v príkladoch sú odvodené od kladných čísel. No ako posledná možnosť od nuly. Kocky sú však pokojne extrahované z absolútne akéhokoľvek čísla - či už pozitívneho alebo negatívneho.
Prečo sa to deje? Pozrite sa na graf funkcie $ y = ((x) ^ (2)) $:
Graf kvadratickej funkcie dáva dva korene: pozitívny a negatívny Skúsme vypočítať $ \ sqrt (4) $ pomocou tohto grafu. Na tento účel je na grafe nakreslená vodorovná čiara $ y = 4 $ (označená červenou farbou), ktorá sa pretína s parabolou v dvoch bodoch: $ ((x) _ (1)) = 2 $ a $ ((x ) _ (2)) = -2 $. Je to celkom logické, keďže
S prvým číslom je všetko jasné - je kladné, preto je to koreň:
Ale čo potom robiť s druhým bodom? Akoby štyria mali dva korene naraz? Ak totiž odmocníme číslo −2, dostaneme aj 4. Prečo nenapísať $ \ sqrt (4) = - 2 $? A prečo sa učitelia pozerajú na takéto záznamy, akoby ťa chceli zožrať? :)
Problém je v tom, že ak sa neuložia žiadne ďalšie podmienky, štyri budú mať dve odmocniny – pozitívnu a negatívnu. A každé kladné číslo bude mať aj dve. Ale záporné čísla nebudú mať vôbec žiadne korene - to je možné vidieť z rovnakého grafu, pretože parabola nikdy neklesne pod os r, t.j. neprijíma záporné hodnoty.
Podobný problém sa vyskytuje pre všetky korene s párnym exponentom:
- Presne povedané, každé kladné číslo bude mať dva korene s párnym exponentom $ n $;
- Zo záporných čísel sa odmocnina s párnym $ n $ vôbec nevytiahne.
Preto je v definícii odmocniny párnej mocniny $ n $ špeciálne stanovené, že odpoveď musí byť nezáporné číslo. Takto sa zbavíme nejednoznačnosti.
Ale pre nepárne $ n $ takýto problém neexistuje. Aby sme si to overili, pozrime sa na graf funkcie $ y = ((x) ^ (3)) $:
Kubická parabola má akúkoľvek hodnotu, takže odmocnina kocky je extrahovaná z ľubovoľného čísla Z tohto grafu možno vyvodiť dva závery:
- Vetvy kubickej paraboly, na rozdiel od bežnej, idú do nekonečna oboma smermi – hore aj dole. Preto, v akejkoľvek výške nakreslíme vodorovnú čiaru, táto čiara sa nevyhnutne pretína s naším grafom. V dôsledku toho môže byť kocka vždy extrahovaná z absolútne akéhokoľvek čísla;
- Navyše, takýto priesečník bude vždy jediný, takže netreba rozmýšľať, ktoré číslo považovať za „správny“ koreň, a ktoré číslo bodovať. Preto je definícia koreňov pre nepárny stupeň jednoduchšia ako pre párny (neexistuje požiadavka na nezápornosť).
Je škoda, že tieto jednoduché veci nie sú vysvetlené vo väčšine učebníc. Namiesto toho sa k nám začne vznášať mozog so všetkými možnými aritmetickými koreňmi a ich vlastnosťami.
Áno, nehovorím: čo je aritmetický koreň - musíte tiež vedieť. A tomu sa budem podrobne venovať v samostatnom návode. Dnes si o nej tiež povieme, pretože bez nej by boli všetky úvahy o koreňoch $ n $ -tej multiplicity neúplné.
Najprv však musíte jasne pochopiť definíciu, ktorú som uviedol vyššie. V opačnom prípade sa vám v dôsledku množstva pojmov začne v hlave taký chaos, že nakoniec nebudete rozumieť vôbec ničomu.
Všetko, čo musíte urobiť, je pochopiť rozdiel medzi párnymi a nepárnymi ukazovateľmi. Takže ešte raz, poďme dokopy všetko, čo naozaj potrebujete vedieť o koreňoch:
- Párny koreň existuje len od nezáporného čísla a sám je vždy nezáporným číslom. Pre záporné čísla nie je takýto koreň definovaný.
- Odmocnina nepárneho stupňa však existuje z ľubovoľného čísla a môže byť ľubovoľným číslom: pre kladné čísla je kladné a pre záporné, ako naznačuje viečko, záporné.
Je to zložité? Nie, nie ťažké. Jasný? Áno, vo všeobecnosti je to zrejmé! Takže teraz si precvičíme niekoľko výpočtov.
Základné vlastnosti a obmedzenia
Korene majú veľa zvláštnych vlastností a obmedzení - o tom bude samostatná lekcia. Preto teraz zvážime len najdôležitejší „trik“, ktorý platí len pre korene s párnym exponentom. Zapíšme túto vlastnosť vo forme vzorca:
\ [\ sqrt (((x) ^ (2n))) = \ vľavo | x \ vpravo | \]
Inými slovami, ak zvýšite číslo na párnu mocninu a potom z toho vytiahnete odmocninu tej istej mocniny, nedostaneme pôvodné číslo, ale jeho modul. Toto je jednoduchá veta, ktorú možno ľahko dokázať (stačí zvážiť samostatne nezáporné $ x $ a potom samostatne - negatívne). Učitelia o tom neustále hovoria, uvádzajú to v každej školskej učebnici. Akonáhle však dôjde k riešeniu iracionálnych rovníc (t. j. rovníc obsahujúcich znamienko radikálu), študenti na tento vzorec priateľsky zabudnú.
Aby sme otázku porozumeli detailne, zabudnime na minútu všetky vzorce a skúsme spočítať dve čísla rovno:
\ [\ sqrt (((3) ^ (4))) =? \ quad \ sqrt (((\ vľavo (-3 \ vpravo)) ^ (4))) =? \]
Toto sú veľmi jednoduché príklady. Prvý príklad vyrieši väčšina ľudí, ale na druhom sa mnohí budú držať. Ak chcete takéto svinstvo vyriešiť bez problémov, vždy zvážte poradie akcií:
- Najprv sa číslo zvýši na štvrtú mocninu. No je to akési jednoduché. Dostanete nové číslo, ktoré nájdete aj v násobilke;
- A teraz z tohto nového čísla je potrebné extrahovať štvrtý koreň. Tie. nedochádza k "zmenšovaniu" koreňov a stupňov - ide o postupné akcie.
Pracujeme s prvým výrazom: $ \ sqrt (((3) ^ (4))) $. Je zrejmé, že najprv musíte vypočítať výraz pod koreňom:
\ [((3) ^ (4)) = 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 3 = 81 \]
Potom extrahujte štvrtý koreň čísla 81:
Teraz urobme to isté s druhým výrazom. Najprv zvýšime číslo −3 na štvrtú mocninu, pre ktorú ho musíme vynásobiť 4-krát:
\ [((\ vľavo (-3 \ vpravo)) ^ (4)) = \ vľavo (-3 \ vpravo) \ cdot \ vľavo (-3 \ vpravo) \ cdot \ vľavo (-3 \ vpravo) \ cdot \ vľavo (-3 \ vpravo) = 81 \]
Dostali sme kladné číslo, keďže celkový počet mínusov v práci je 4 kusy a všetky sa navzájom zničia (napokon mínus po mínus dáva plus). Potom znova extrahujeme koreň:
Tento riadok v zásade nemohol byť napísaný, keďže odpoveď bude rovnaká, je jasné. Tie. párny koreň tej istej párnej sily „vypáli“ mínusy a v tomto zmysle je výsledok nerozoznateľný od bežného modulu:
\ [\ begin (align) & \ sqrt (((3) ^ (4))) = \ left | 3 \ vpravo | = 3; \\ & \ sqrt (((\ vľavo (-3 \ vpravo)) ^ (4))) = \ vľavo | -3 \ vpravo | = 3. \\ \ koniec (zarovnanie) \]
Tieto výpočty sú v dobrej zhode s definíciou párneho koreňa: výsledok je vždy nezáporný a pod znamienkom radikálu je vždy nezáporné číslo. V opačnom prípade je koreň nedefinovaný.
Poznámka k postupu
- Zápis $ \ sqrt (((a) ^ (2))) $ znamená, že najprv odmocníme číslo $ a $ a potom z výslednej hodnoty vyberieme druhú odmocninu. Preto si môžeme byť istí, že nezáporné číslo vždy leží pod znamienkom odmocniny, pretože $ ((a) ^ (2)) \ ge 0 $ v každom prípade;
- Ale záznam $ ((\ vľavo (\ sqrt (a) \ vpravo)) ^ (2)) $ naopak znamená, že najskôr vytiahneme odmocninu z určitého čísla $ a $ a až potom výsledok odmocníme. Preto číslo $ a $ nemôže byť v žiadnom prípade záporné - je to povinná požiadavka v definícii.
V žiadnom prípade by ste teda nemali bezmyšlienkovite zmenšovať korene a stupne, čím si vraj „zjednodušíte“ pôvodný výraz. Pretože ak je pod odmocninou záporné číslo a jeho exponent je párny, dostaneme kopu problémov.
Všetky tieto problémy sú však relevantné len pre párne ukazovatele.
Odstránenie mínus z koreňového znamienka
Prirodzene, korene s nepárnymi ukazovateľmi majú tiež svoje vlastné počítadlo, ktoré v zásade neexistuje pre párne. menovite:
\ [\ sqrt (-a) = - \ sqrt (a) \]
Stručne povedané, môžete vytiahnuť mínus spod znamenia koreňov nepárneho stupňa. Toto je veľmi užitočná vlastnosť, ktorá vám umožní „vyhodiť“ všetky mínusy:
\ [\ begin (align) & \ sqrt (-8) = - \ sqrt (8) = - 2; \\ & \ sqrt (-27) \ cdot \ sqrt (-32) = - \ sqrt (27) \ cdot \ vľavo (- \ sqrt (32) \ vpravo) = \\ & = \ sqrt (27) \ cdot \ sqrt (32) = \\ & = 3 \ cdot 2 = 6. \ koniec (zarovnať) \]
Táto jednoduchá vlastnosť značne zjednodušuje mnohé výpočty. Teraz nie je potrebné sa obávať: zrazu sa pod koreň vkradol negatívny výraz a stupeň v koreni sa ukáže byť rovnomerný? Stačí len „vyhodiť“ všetky mínusy mimo koreňov, po ktorých sa môžu navzájom množiť, deliť a celkovo robiť veľa podozrivých vecí, ktoré nás v prípade „klasických“ koreňov zaručene vedú. k omylu.
A tu vstupuje do hry ďalšia definícia – práve tá, ktorou sa na väčšine škôl začína štúdium iracionálnych výrazov. A bez toho by naša úvaha bola neúplná. Prosím Vítajte!
Aritmetický koreň
Predpokladajme na chvíľu, že pod znamienkom odmocniny môžu byť len kladné čísla, maximálne nula. Zabudnime na párne / nepárne ukazovatele, zabudnime na všetky vyššie uvedené definície - budeme pracovať iba s nezápornými číslami. Čo potom?
A potom dostaneme aritmetický koreň - čiastočne sa prekrýva s našimi "štandardnými" definíciami, ale stále sa od nich líši.
Definícia. Aritmetický koreň $ n $ tého stupňa nezáporného čísla $ a $ je nezáporné číslo $ b $ také, že $ ((b) ^ (n)) = a $.
Ako vidíte, parita nás už nezaujíma. Namiesto toho sa objavilo nové obmedzenie: radikálny výraz je teraz vždy nezáporný a samotný koreň je tiež nezáporný.
Aby ste lepšie pochopili, ako sa aritmetický koreň líši od bežného, pozrite sa na už známe štvorcové a kubické parabolické grafy:
Oblasť vyhľadávania aritmetického koreňa - nezáporné čísla Ako vidíte, odteraz nás zaujímajú len tie časti grafov, ktoré sa nachádzajú v prvej súradnicovej štvrtine – kde sú súradnice $ x $ a $ y $ kladné (alebo aspoň nulové). Už sa nemusíte pozerať na indikátor, aby ste pochopili, či máme právo odmocniť záporné číslo alebo nie. Pretože so zápornými číslami sa už v zásade nepočíta.
Môžete sa opýtať: "No, prečo potrebujeme takú kastrovanú definíciu?" Alebo: "Prečo si nemôžeš vystačiť so štandardnou definíciou uvedenou vyššie?"
Uvediem len jednu vlastnosť, kvôli ktorej sa nová definícia stáva vhodnou. Napríklad pravidlo pre umocňovanie je:
\ [\ sqrt [n] (a) = \ sqrt (((a) ^ (k))) \]
Poznámka: radikálny výraz môžeme zvýšiť na ľubovoľnú mocninu a súčasne vynásobiť koreňový exponent rovnakou mocninou – a výsledkom bude rovnaké číslo! Tu je niekoľko príkladov:
\ [\ begin (zarovnať) & \ sqrt (5) = \ sqrt (((5) ^ (2))) = \ sqrt (25) \\ & \ sqrt (2) = \ sqrt (((2) ^ (4))) = \ sqrt (16) \\ \ koniec (zarovnať) \]
O čo teda ide? Prečo sme to nemohli urobiť skôr? Tu je dôvod. Zoberme si jednoduchý výraz: $ \ sqrt (-2) $ - toto číslo je v našom klasickom zmysle celkom normálne, ale z hľadiska aritmetického koreňa absolútne neprijateľné. Skúsme to transformovať:
$ \ begin (align) & \ sqrt (-2) = - \ sqrt (2) = - \ sqrt (((2) ^ (2))) = - \ sqrt (4) \ lt 0; \\ & \ sqrt (-2) = \ sqrt (((\ vľavo (-2 \ vpravo)) ^ (2))) = \ sqrt (4) \ gt 0. \\ \ end (zarovnať) $
Ako vidíte, v prvom prípade sme odstránili mínus spod radikálu (máme plné právo, pretože indikátor je nepárny) av druhom prípade sme použili vyššie uvedený vzorec. Tie. z pohľadu matematiky sa všetko robí podľa pravidiel.
WTF?! Ako môže byť rovnaké číslo kladné aj záporné? V žiadnom prípade. Ide len o to, že vzorec umocňovania, ktorý skvele funguje pre kladné čísla a nulu, začína byť pri záporných číslach kacírsky.
Aby sa zbavili takejto nejednoznačnosti, prišli s aritmetickými koreňmi. Je im venovaná samostatná veľká lekcia, kde podrobne zvážime všetky ich vlastnosti. Takže teraz sa nimi nebudeme zaoberať - lekcia sa už ukázala ako príliš dlhá.
Algebraický koreň: pre tých, ktorí chcú vedieť viac
Dlho som rozmýšľal, či dať túto tému do samostatného odseku alebo nie. Nakoniec som sa rozhodol odísť odtiaľto. Tento materiál je určený pre tých, ktorí chcú ešte lepšie pochopiť korene – nie na priemernej „školskej“ úrovni, ale na úrovni blízkej úrovni olympiády.
Takže: okrem „klasickej“ definície $ n $ -tej odmocniny čísla a súvisiaceho delenia na párne a nepárne ukazovatele existuje aj „dospelejšia“ definícia, ktorá vôbec nezávisí od parity a iných jemností. . Toto sa nazýva algebraický koreň.
Definícia. Algebraický koreň $ n $ tého stupňa ľubovoľného $ a $ je množina všetkých čísel $ b $ takých, že $ ((b) ^ (n)) = a $. Pre takéto korene neexistuje zavedené označenie, takže navrch dáme pomlčku:
\ [\ overline (\ sqrt [n] (a)) = \ vľavo \ (b \ vľavo | b \ v \ mathbb (R); ((b) ^ (n)) = a \ vpravo. \ vpravo \) \]
Základný rozdiel oproti štandardnej definícii uvedenej na začiatku lekcie je v tom, že algebraický koreň nie je konkrétne číslo, ale množina. A keďže pracujeme s reálnymi číslami, existujú iba tri typy tejto množiny:
- Prázdna súprava. Vyskytuje sa, keď je potrebné nájsť algebraický koreň párneho stupňa zo záporného čísla;
- Sada pozostávajúca z jedného prvku. Do tejto kategórie patria všetky korene nepárnych stupňov, ako aj korene párnych stupňov od nuly;
- Nakoniec môže množina obsahovať dve čísla – rovnaké $ ((x) _ (1)) $ a $ ((x) _ (2)) = - ((x) _ (1)) $, ktoré sme videli na grafová kvadratická funkcia. V súlade s tým je takéto zarovnanie možné len pri extrakcii párneho koreňa z kladného čísla.
Posledný prípad si zaslúži podrobnejšie posúdenie. Poďme si spočítať pár príkladov, aby sme pochopili rozdiel.
Príklad. Hodnotiť výrazy:
\ [\ overline (\ sqrt (4)); \ quad \ overline (\ sqrt (-27)); \ quad \ overline (\ sqrt (-16)). \]
Riešenie. Prvý výraz je jednoduchý:
\ [\ overline (\ sqrt (4)) = \ vľavo \ (2; -2 \ vpravo \) \]
Sú to dve čísla, ktoré tvoria množinu. Pretože každý z nich na námestí dáva štvorku.
\ [\ overline (\ sqrt (-27)) = \ vľavo \ (-3 \ vpravo \) \]
Tu vidíme množinu pozostávajúcu iba z jedného čísla. Je to celkom logické, keďže koreňový exponent je nepárny.
Nakoniec posledný výraz:
\ [\ overline (\ sqrt (-16)) = \ varnothing \]
Máme prázdny set. Pretože neexistuje jediné reálne číslo, ktoré po zvýšení na štvrtý (t. j. párny!) stupeň nám dá záporné číslo -16.
Záverečná poznámka. Poznámka: nie náhodou som všade poznamenal, že pracujeme s reálnymi číslami. Pretože existujú aj komplexné čísla - tam je celkom možné počítať $ \ sqrt (-16) $ a mnoho ďalších podivných vecí.
V modernom školskom kurze matematiky sa však komplexné čísla takmer nikdy nenachádzajú. Z väčšiny učebníc boli vymazané, pretože naši úradníci považujú túto tému za „príliš ťažko pochopiteľnú“.
To je všetko. V ďalšej lekcii sa pozrieme na všetky kľúčové vlastnosti koreňov a nakoniec sa naučíme, ako zjednodušiť iracionálne výrazy. :)
Lekcia a prezentácia na tému: "Vlastnosti n-tej odmocniny. Vety"
Dodatočné materiály
Vážení používatelia, nezabudnite zanechať svoje komentáre, recenzie, priania! Všetky materiály boli skontrolované antivírusovým programom.
Učebné pomôcky a simulátory v internetovom obchode Integral pre 11. ročník
Interaktívna príručka pre ročníky 9-11 „Trigonometria“
Interaktívna príručka pre ročníky 10-11 "Logaritmy"
Vlastnosti n-tej odmocniny. Vety
Chlapci, pokračujeme v štúdiu n-tých koreňov skutočného čísla. Ako takmer všetky matematické objekty, aj korene n-tého stupňa majú niektoré vlastnosti, dnes ich budeme študovať.Všetky vlastnosti, ktoré budeme uvažovať, sú formulované a preukázané len pre nezáporné hodnoty premenných obsiahnutých pod koreňovým znakom.
V prípade nepárneho koreňového exponentu sa vykonávajú aj pre záporné premenné.
Veta 1. N-tá odmocnina súčinu dvoch nezáporných čísel sa rovná súčinu n-tej odmocniny týchto čísel: $ \ sqrt [n] (a * b) = \ sqrt [n] (a) * \ sqrt [ n] (b) $.
Dokážme vetu.
Dôkaz. Chlapci, na dôkaz teorému predstavme nové premenné, označte:
$ \ sqrt [n] (a * b) = x $.
$ \ sqrt [n] (a) = y $.
$ \ sqrt [n] (b) = z $.
Musíme dokázať, že $ x = y * z $.
Všimnite si, že platia nasledujúce identity:
$ a * b = x ^ n $.
$ a = y ^ n $.
$ b = z ^ n $.
Potom platí nasledujúca identita: $ x ^ n = y ^ n * z ^ n = (y * z) ^ n $.
Mocniny dvoch nezáporných čísel a ich exponenty sú rovnaké, potom sú rovnaké aj základy mocnin. Preto $ x = y * z $, čo bolo potrebné preukázať.
Veta 2. Ak $ a≥0 $, $ b> 0 $ a n je prirodzené číslo väčšie ako 1, potom platí nasledujúca rovnosť: $ \ sqrt [n] (\ frac (a) (b)) = \ frac (\ sqrt [ n] (a)) (\ sqrt [n] (b)) $.
To znamená, že koreň n-tého stupňa kvocientu sa rovná podielu koreňov n-tého stupňa.
Dôkaz.
Na dôkaz použijeme zjednodušenú schému podobnú tabuľke:
Príklady výpočtu odmocniny n-tej mocniny
Príklad.Vypočítajte: $ \ sqrt (16 * 81 * 256) $.
Riešenie. Použime vetu 1: $ \ sqrt (16 * 81 * 256) = \ sqrt (16) * \ sqrt (81) * \ sqrt (256) = 2 * 3 * 4 = 24 $.
Príklad.
Vypočítajte: $ \ sqrt (7 \ frac (19) (32)) $.
Riešenie. Predstavme si radikálny výraz ako nevlastný zlomok: $ 7 \ frac (19) (32) = \ frac (7 * 32 + 19) (32) = \ frac (243) (32) $.
Použime vetu 2: $ \ sqrt (\ frac (243) (32)) = \ frac (\ sqrt (243)) (\ sqrt (32)) = \ frac (3) (2) = 1 \ frac (1 ) (2) $.
Príklad.
Vypočítať:
a) $ \ sqrt (24) * \ sqrt (54) $.
b) $ \ frac (\ sqrt (256)) (\ sqrt (4)) $.
Riešenie:
a) $ \ sqrt (24) * \ sqrt (54) = \ sqrt (24 * 54) = \ sqrt (8 * 3 * 2 * 27) = \ sqrt (16 * 81) = \ sqrt (16) * \ sqrt (81) = 2 * 3 = 6 $.
b) $ \ frac (\ sqrt (256)) (\ sqrt (4)) = \ sqrt (\ frac (256) (4)) = \ sqrt (64) = 24 $.
Veta 3. Ak $ a≥0 $, k a n sú prirodzené čísla väčšie ako 1, potom platí rovnosť: $ (\ sqrt [n] (a)) ^ k = \ sqrt [n] (a ^ k) $.
Na pozdvihnutie koreňa na prirodzenú mieru stačí povýšiť radikálny výraz na tento stupeň.
Dôkaz.
Uvažujme špeciálny prípad pre $ k = 3 $. Použijeme vetu 1.
$ (\ sqrt [n] (a)) ^ k = \ sqrt [n] (a) * \ sqrt [n] (a) * \ sqrt [n] (a) = \ sqrt [n] (a * a * a) = \ sqrt [n] (a ^ 3) $.
To isté možno dokázať v akomkoľvek inom prípade. Chlapci, dokážte to sami pre prípad, keď $ k = 4 $ a $ k = 6 $.
Veta 4. Ak $ a≥0 $ b n, k sú prirodzené čísla väčšie ako 1, potom platí rovnosť: $ \ sqrt [n] (\ sqrt [k] (a)) = \ sqrt (a) $.
Na extrakciu koreňa z koreňa stačí vynásobiť indexy koreňov.
Dôkaz.
Dokážme ešte raz stručne pomocou tabuľky. Na dôkaz použijeme zjednodušenú schému podobnú tabuľke: 
Príklad.
$ \ sqrt (\ sqrt (a)) = \ sqrt (a) $.
$ \ sqrt (\ sqrt (a)) = \ sqrt (a) $.
$ \ sqrt (\ sqrt (a)) = \ sqrt (a) $.
Veta 5. Ak sa exponenty odmocniny a radikálneho výrazu vynásobia rovnakým prirodzeným číslom, potom sa hodnota odmocniny nezmení: $ \ sqrt (a ^ (kp)) = \ sqrt [n] (a) $.
Dôkaz.
Princíp dôkazu našej vety je rovnaký ako v iných príkladoch. Predstavme si nové premenné:
$ \ sqrt (a ^ (k * p)) = x => a ^ (k * p) = x ^ (n * p) $ (podľa definície).
$ \ sqrt [n] (a ^ k) = y => y ^ n = a ^ k $ (podľa definície).
Zvyšujeme poslednú rovnosť na mocninu p
$ (y ^ n) ^ p = y ^ (n * p) = (a ^ k) ^ p = a ^ (k * p) $.
Prijaté:
$ y ^ (n * p) = a ^ (k * p) = x ^ (n * p) => x = y $.
To znamená $ \ sqrt (a ^ (k * p)) = \ sqrt [n] (a ^ k) $ podľa potreby.
Príklady:
$ \ sqrt (a ^ 5) = \ sqrt (a) $ (delené 5).
$ \ sqrt (a ^ (22)) = \ sqrt (a ^ (11)) $ (delené 2).
$ \ sqrt (a ^ 4) = \ sqrt (a ^ (12)) $ (vynásobené 3).
Príklad.
Vykonajte akcie: $ \ sqrt (a) * \ sqrt (a) $.
Riešenie.
Exponenty koreňov sú rôzne čísla, takže nemôžeme použiť vetu 1, ale použitím vety 5 môžeme získať rovnaké exponenty.
$ \ sqrt (a) = \ sqrt (a ^ 3) $ (vynásobené 3).
$ \ sqrt (a) = \ sqrt (a ^ 4) $ (vynásobené 4).
$ \ sqrt (a) * \ sqrt (a) = \ sqrt (a ^ 3) * \ sqrt (a ^ 4) = \ sqrt (a ^ 3 * a ^ 4) = \ sqrt (a ^ 7) $.
Úlohy na samostatné riešenie
1. Vypočítajte: $ \ sqrt (32 * 243 * 1024) $.2. Vypočítajte: $ \ sqrt (7 \ frac (58) (81)) $.
3. Vypočítajte:
a) $ \ sqrt (81) * \ sqrt (72) $.
b) $ \ frac (\ sqrt (1215)) (\ sqrt (5)) $.
4. Zjednodušte:
a) $ \ sqrt (\ sqrt (a)) $.
b) $ \ sqrt (\ sqrt (a)) $.
c) $ \ sqrt (\ sqrt (a)) $.
5. Vykonajte akcie: $ \ sqrt (a ^ 2) * \ sqrt (a ^ 4) $.
