Absolútne a relatívne chyby

Pri výpočte hodnôt akýchkoľvek funkcií, alebo pri meraní a spracovaní sa musíme zaoberať približnými číslami fyzikálnych veličín získané ako výsledok experimentov. V oboch prípadoch musíte vedieť správne zapísať hodnoty približných čísel a ich chybu.

Približný počet A zavolal na číslo, ktoré sa mierne líši od presného čísla A a vo výpočtoch nahrádza posledne menované. Ak je to známe A< А , To A sa nazýva približná hodnota čísla A nedostatkom; Ak a > a, - potom v prebytku. Ak A je približná hodnota čísla A, potom píšu a ≈ A.

Pod chybou alebo chybou A približné číslo A sa zvyčajne chápe ako rozdiel medzi zodpovedajúcim presným počtom A a dané približné, t.j.

Ak chcete získať presné číslo A, k približnej hodnote čísla je potrebné pripočítať jeho chybu, t.j.

V mnohých prípadoch je znak chyby neznámy. Vtedy je vhodné použiť absolútnu chybu približného čísla

Z vyššie uvedeného zápisu vyplýva, že absolútna chyba približného čísla A sa nazýva modul rozdielu medzi zodpovedajúcim presným číslom A a jeho približnú hodnotu A, t.j.

Presné číslo A najčastejšie je neznámy, takže nie je možné nájsť chybu alebo absolútnu chybu. V tomto prípade je vhodné namiesto neznámej teoretickej chyby zaviesť jej horný odhad, takzvanú limitnú absolútnu chybu.

Pod limitujúcou absolútnou chybou približného čísla A rozumie sa akékoľvek číslo, ktoré nie je menšie ako absolútna chyba tohto čísla, t.j.

Ak v poslednom zázname namiesto použitia vzorca (1.1), potom môžeme napísať

(1.2)

Z toho vyplýva, že presné číslo A obsiahnuté v medziach

Preto je rozdiel aproximáciou čísla A nedostatkom a - číselná aproximácia A v prebytku. V tomto prípade pre stručnosť používame notáciu

Je jasné, že limitná absolútna chyba je definovaná nejednoznačne: ak je určité číslo limitnou absolútnou chybou, potom každé väčšie ako kladné číslo je aj limitnou absolútnou chybou. V praxi sa snažia vybrať najmenšie a najjednoduchšie číslo, ktoré spĺňa nerovnosť (1,2).

Napríklad, ak ako výsledok merania dostaneme dĺžku segmentu l\u003d 210 cm ± 0,5 cm, potom je tu limitná absolútna chyba = 0,5 cm a presnú hodnotu l segment je uzavretý v hraniciach 209,5 cm ≤l≤ 210,5 cm.

Absolútna chyba nie je dostatočná na charakterizovanie presnosti merania alebo výpočtu. Takže napríklad, ak sa pri meraní dĺžok dvoch tyčí získajú výsledky l 1= 95,6 cm ± 0,1 cm a l 2= 8,3 ± 0,1 cm, potom je napriek zhode medzných absolútnych chýb presnosť prvého merania vyššia ako druhého. To ukazuje, že pre presnosť meraní nie je dôležitejšia absolútna, ale relatívna chyba, ktorá závisí od hodnôt meraných veličín.

Relatívna chyba δ približné číslo A je pomer absolútnej chyby tohto čísla k modulu zodpovedajúceho presného čísla A, tie.

Podobne ako limitná absolútna chyba sa definícia používa aj pre limitnú relatívnu chybu. Limitná relatívna chyba tohto približného čísla A volá sa akékoľvek číslo, ktoré nie je menšie ako relatívna chyba tohto čísla

tie. odkiaľ vyplýva

Teda pre obmedzujúcu absolútnu chybu čísla A možno prijať

Keďže v praxi A≈a, potom sa namiesto vzorca (1.3) často používa vzorec

1.2 Desatinný zápis približných čísel

Akékoľvek kladné desatinné číslo a môže byť reprezentované ako konečný alebo nekonečný zlomok

kde sú desatinné miesta čísla A( = 0,1,2,...,9) a najvyššia číslica a m- počet číslic v celej časti čísla A, A n- počet číslic v zázname zlomkovej časti čísla A. Napríklad:

5214,73... = 5 10 3 + 2 10 2 + 1 10 1 + 4 10 0 +7 10 -1 + 3 10 -2 ... (1,5)

Každá číslica na určitom mieste v čísle A napísaný v tvare (1.4) má svoju váhu. Takže číslo na prvom mieste (t.j.) váži 10 m, v druhom - 10 m-1 atď.

V praxi väčšinou nepoužívame zápis v tvare (1.4), ale používame skrátený zápis čísel v tvare postupnosti koeficientov pri zodpovedajúcich mocninách 10. toto číslo v mocninách 10.

V praxi sa väčšinou musíme zaoberať približnými číslami vo forme konečných desatinných zlomkov. Pre správne porovnanie rôznych výpočtových a experimentálnych výsledkov je zavedený koncept významná číslica vo výsledkovej listine. Všetky uložené desatinné hodnoty ( i = m,m- 1,…, m-n+ 1) iné ako nula a nula, ak je medzi platnými číslicami alebo je zástupcom uloženého desatinného miesta na konci čísla, sa nazývajú významné číslice približného čísla A. V tomto prípade sú to nuly spojené s faktorom 10 n nie sú významné.

S pozičným označením čísla A v systéme desiatkových čísel niekedy musíte na začiatok alebo koniec čísla zadať nuly navyše. Napríklad,

A= 7 10 -3 + 0 10 -4 + 1 10 -5 + 0 10 -6 = 0,00 7010

b= 2 10 9 + 0 10 8 + 0 10 7 + 3 10 6 + 0 10 5 = 2003000000.

Takéto nuly (v príkladoch podčiarknuté) sa nepovažujú za platné číslice.

Významná číslica približného čísla je akákoľvek číslica v jeho desiatkovej reprezentácii, ktorá sa líši od nuly.,ako aj nulu, ak sa nachádza medzi platnými číslicami alebo je zástupcom uloženého desatinného miesta. Všetky ostatné nuly, ktoré sú súčasťou približného čísla a slúžia len na označenie jeho desatinných miest, sa nepočítajú ako významné čísla.

Napríklad v čísle 0,002080 prvé tri nuly nie sú platnými číslicami, pretože slúžia len na určenie desatinných miest ostatných číslic. Zvyšné dve nuly sú platné číslice, pretože prvá z nich je medzi platnými číslicami 2 a 8 a druhá označuje, že desatinné miesto 10-6 je uložené v približnom čísle. V prípade, že v dané číslo 0,002080 posledná číslica nie je významná, potom toto číslo zapíšte ako 0,00208. Z tohto hľadiska čísla 0,002080 a 0,00208 nie sú ekvivalentné, keďže prvé z nich obsahuje štyri platné číslice a druhé iba tri.

Okrem pojmu významná postava, pojem o správne číslo. Treba si uvedomiť, že tento pojem existuje v dvoch definíciách – v úzky A široký zmysel.

Definícia(v širokom zmysle) . To hovoria n prvé platné číslice čísla (počítajúc zľava doprava) sú verný v širokom zmysel, ak absolútna chyba tohto čísla nepresahuje jednu (váha) n- horúci výboj. (Vysvetlenie: 1 10 1 - tu sa váha 1 rovná 10; 1 10 0 - tu sa váha 1 rovná 1; 1 10 -1 - tu sa váha 1 rovná 0,1; 1 10 -2 - tu sa váha 1 rovná do 0,01 a t.d.).

Definícia(V úzky zmysel). To hovoria n prvé platné číslice približného čísla sú správne, ak absolútna chyba tohto čísla nepresiahne polovicu jednotky (hmotnosť) n- horúci výboj. (Vysvetlenie: 1 10 1 - tu je hmotnosť polovice 1 5; 1 10 0 - tu je hmotnosť polovice 1 0,5; 1 10 -1 - 0,05 atď.).

Napríklad v približnom počte Na základe prvej definície sú významné čísla 3, 4 a 5 správne v širšom zmysle a číslo 6 je pochybné. Na základe druhej definície sú významné čísla 3 a 4 správne v užšom zmysle a čísla 5 a 6 sú pochybné. Je dôležité zdôrazniť, že presnosť približného čísla nezávisí od počtu platných číslic, ale od počtu správne platné číslice.

Ako v teoretickej úvahe, tak aj v praktické aplikácie viac uplatnenie nachádza definícia správnej figúry v užšom zmysle.

Teda, ak pre približné číslo a, nahradenie čísla A, je známe, že

(1.6)

potom podľa definície prvý nčísla toto číslo je správne.

Napríklad na presné číslo A= číslo 35,97 A= 36,00 je aproximácia s tromi platnými číslicami. K tomuto výsledku vedie nasledujúca úvaha. Keďže absolútna chyba nášho približného čísla je 0,03, musí podľa definície spĺňať podmienku

(1.7)

V našom približnom čísle 36,00 je 3 prvá platná číslica (t.j. ), takže m= 1. Je teda zrejmé, že podmienka (1.7) bude splnená pre n = 3.

Zvyčajne sa používa pri desiatkovom zápise približného čísla píšte len správne čísla. Ak je známe, že toto približné číslo je napísané správne, potom je možné zo záznamu určiť maximálnu absolútnu chybu. Pri správnom zaznamenávaní absolútna chyba nepresiahne polovicu najmenej významnej číslice, ktorá nasleduje po poslednej správnej číslici (alebo polovicu jednotky poslednej správnej číslice, ktorá je rovnaká)

Napríklad zadané približné čísla napísané správne: a = 3,8; b= 0,0283; c = 4260. Podľa definície budú limitné absolútne chyby týchto čísel: = 0,05; = 0,00005; = 0,5.

Absolútne a relatívne chyby

Absolútna chyba aproximácie

Pri výpočtoch s nekonečnými desatinnými zlomkami je potrebné pre pohodlie vykonať aproximáciu týchto čísel, to znamená zaokrúhliť ich nahor. Z rôznych meraní sa získajú aj približné čísla.

Môže byť užitočné vedieť, ako veľmi sa približná hodnota čísla líši od jeho presnej hodnoty. Je jasné, že čím je tento rozdiel menší, tým lepšie, presnejšie je meranie alebo výpočet vykonaný.

Na určenie presnosti meraní (výpočtov) sa zavádza taký koncept ako chyba aproximácie. Iným spôsobom sa to nazýva absolútna chyba.

Absolútna chyba aproximácia je modul rozdielu medzi presnou hodnotou čísla a jeho približnou hodnotou.

Kde X je presná hodnota čísla, A je jeho približná hodnota.

Napríklad ako výsledok meraní sa získalo číslo. V dôsledku výpočtu podľa vzorca je však presná hodnota tohto čísla. Potom absolútna chyba aproximácie

V prípade nekonečných zlomkov je chyba aproximácie určená rovnakým vzorcom. Na miesto presného čísla sa zapíše samotný nekonečný zlomok. Napríklad, . Tu sa ukazuje, že absolútna chyba aproximácie je vyjadrená iracionálnym číslom.

Aproximáciu možno vykonať ako nedostatkom , a v prebytku .

Rovnaké číslo π pri priblížení sa k nedostatku s presnosťou 0,01 je 3,14 a pri priblížení k prebytku s presnosťou 0,01 je 3,15.

Pravidlo zaokrúhľovania: ak sa prvá číslica, ktorá sa má vyradiť, rovná piatim alebo je väčšia ako päť, vykoná sa nadbytočná aproximácia; ak menej ako päť, tak podľa defektu.

Napríklad preto tretia číslica za desatinnou čiarkou čísla π je 1, potom pri priblížení s presnosťou 0,01 sa vykoná nedostatok.

Vypočítajme absolútne chyby aproximácie do 0,01 čísla π z hľadiska nedostatku a prebytku:

Ako vidíme, absolútna chyba aproximácie nedostatkom je menšia ako nadbytkom. Preto má aproximácia podľa nedostatku v tomto prípade vyššiu presnosť.

Relatívna chyba aproximácie

Absolútna chyba má jednu dôležitá nevýhoda- neumožňuje posúdiť stupeň závažnosti chyby.

Napríklad na trhu kúpime 5 kg zemiakov a neseriózny predajca sa pri meraní hmotnosti pomýlil o 50 g vo svoj prospech. Tie. absolútna chyba bola 50 g.Pre nás bude takéto prehliadnutie obyčajná maličkosť a ani tomu nebudeme venovať pozornosť. Čo ak sa podobná chyba vyskytne pri príprave lieku? Tu bude všetko oveľa vážnejšie. A pri nakladaní nákladného vagóna sa odchýlky pravdepodobne vyskytnú oveľa väčšie ako táto hodnota.

Preto samotná absolútna chyba nie je veľmi informatívna. Okrem nej sa často dodatočne vypočítava relatívna odchýlka.

Relatívna chyba aproximácie je pomer absolútnej chyby k presnej hodnote čísla.

Relatívna chyba je bezrozmerná veličina alebo sa meria v percentách.

Uveďme si pár príkladov.

Príklad 1 V podniku pracuje 1284 pracovníkov a zamestnancov. Zaokrúhlite počet pracovníkov na najbližšie celé číslo s prebytkom a nedostatkom. Nájdite ich absolútne a relatívne chyby (v percentách). Urobte záver.

Takže, .

Absolútna chyba:

Relatívna chyba:

To znamená, že presnosť aproximácie s nevýhodou je vyššia ako presnosť aproximácie s prebytkom.

Príklad 2 Škola má 197 žiakov. Zaokrúhlite počet žiakov na najbližšie celé číslo s prebytkom a nedostatkom. Nájdite ich absolútne a relatívne chyby (v percentách). Urobte záver.

Takže, .

Absolútna chyba:

Relatívna chyba:

To znamená, že presnosť aproximácie s prebytkom je vyššia ako presnosť aproximácie s nevýhodou.

Nájdite absolútnu chybu aproximácie:

Približná hodnota číslaX rovná saA . Nájdite absolútnu chybu aproximácie, ak:

Napíšte ako dvojitú nerovnosť:

Nájdite približnú hodnotu číslaX rovná sa aritmetickému priemeru aproximácií pod a nad, ak:

Dokážte, že aritmetický priemer číselA Ab je približná hodnota každého z týchto čísel až.

Zaokrúhlite čísla:

až jednotiek

až desatiny

až tisíciny

až tisícky

až stotisíciny

až jednotiek

až desiatky

až desatiny

až tisíciny

až stovky

až desaťtisíciny

Predstavte si spoločný zlomok ako desatinné číslo a zaokrúhlite ho na tisíciny a nájdite absolútnu chybu:

Dokážte, že každé z čísel 0,368 a 0,369 je približná hodnota čísla do 0,001. Ktorá z nich je približná hodnota čísla s presnosťou 0,0005?

Dokážte, že každé z čísel 0,38 a 0,39 je približná hodnota čísla do 0,01. Ktorá z nich je približná hodnota čísla s presnosťou 0,005?

Zaokrúhlite číslo na jednotky a nájdite relatívnu chybu zaokrúhľovania:

5,12

9,736

49,54

1,7

9,85

5,314

99,83

Reprezentujte každé z čísel a vo forme desatinný zlomok. Zaokrúhlením výsledných zlomkov na desatiny nájdite absolútne a relatívne chyby aproximácií.

Polomer Zeme je 6380 km s presnosťou 10 km. Odhadnite relatívnu chybu približnej hodnoty.

Najmenšia vzdialenosť Zeme od Mesiaca je 356400 km s presnosťou 100 km. Odhadnite relatívnu chybu aproximácie.

Porovnajte kvality merania hmotnostiM elektrická lokomotíva a hmotyT tablety lieku, ak t (s presnosťou na 0,5 t) a g (s presnosťou na 0,01 g).

Porovnajte kvalitu merania dĺžky rieky Volga a priemeru loptičky na stolný tenis, ak km (s presnosťou na 5 km) a mm (s presnosťou na 1 mm).

Pre priame merania

1. Na voltmetri nech sa raz odmerajú dve napätia U 1 = 10 V, U 2 \u003d 200 V. Voltmeter má nasledujúce charakteristiky: trieda presnosti d trieda t \u003d 0,2, U max = 300 V.

Stanovme absolútne a relatívne chyby týchto meraní.

Keďže obe merania boli vykonané na rovnakom zariadení, potom D U 1 = D U 2 a vypočítajú sa podľa vzorca (B.4)

Podľa definície relatívne chyby U 1 a U 2, respektíve rovnaké

ε 1 \u003d 0,6 ∙ V / 10 V \u003d 0,06 \u003d 6 %,

ε 2 \u003d 0,6 ∙ V / 200 V \u003d 0,003 \u003d 0,3 %.

Z vyššie uvedených výsledkov výpočtov pre ε 1 a ε 2 je možné vidieť, že ε 1 je oveľa väčšie ako ε2.

Z toho vyplýva pravidlo: mali by ste si vybrať zariadenie s takým limitom merania, aby boli hodnoty v poslednej tretine stupnice.

2. Nech sa nejaká hodnota mnohokrát zmeria, teda vyprodukuje n jednotlivé merania tejto veličiny A x 1 , A x 2 ,...,A x 3 .

Potom sa na výpočet absolútnej chyby vykonajú nasledujúce operácie:

1) podľa vzorca (B.5) určte priemer aritmetická hodnota A 0 nameraná hodnota;

2) vypočítať súčet druhých mocnín odchýlok jednotlivých meraní od zisteného aritmetického priemeru a pomocou vzorca (B.6) určiť odmocninu, ktorá charakterizuje absolútnu chybu jedného merania pri viacerých priamych meraniach určitej veličiny. ;

3) relatívna chyba ε sa vypočíta podľa vzorca (B.2).

Výpočet absolútnej a relatívnej chyby

Pri nepriamom meraní

Výpočet chýb v nepriamych meraniach - viac náročná úloha, pretože v tomto prípade je požadovaná hodnota funkciou iných pomocných veličín, ktorých meranie je sprevádzané výskytom chýb. Zvyčajne sa pri meraniach, s výnimkou chýb, ukážu náhodné chyby veľmi malé v porovnaní s nameranou hodnotou. Sú také malé, že druhý a vyšší stupeň chýb leží mimo presnosti merania a možno ich zanedbať. Kvôli maličkosti chýb získať vzorec chyby
nepriamo meraná veličina, používajú sa metódy diferenciálneho počtu. V prípade nepriameho merania veličiny, kedy sa priamo merajú veličiny spojené s požadovanou matematickou závislosťou, je vhodnejšie najprv určiť relatívnu chybu a už
cez nájdenú relatívnu chybu vypočítajte absolútnu chybu merania.

Diferenciálny počet poskytuje najjednoduchší spôsob určenia relatívnej chyby v nepriamom meraní.

Nechajte požadovanú hodnotu A funkčne súvisí s viacerými nezávislými priamo meranými veličinami X 1 ,
X 2 , ..., x k, t.j.

A= f(X 1 , X 2 , ..., x k).

Na určenie relatívnej chyby hodnoty A vziať prirodzený logaritmus oboch strán rovnice

ln A=ln f(X 1 , X 2 , ..., x k).

Potom sa vypočíta rozdiel prirodzený logaritmus funkcie
A= f(X 1 ,X 2 , ..., x k),

dln A= dln f(X 1 , X 2 , ..., x k)

Vo výslednom výraze všetko možné algebraické transformácie a zjednodušenie. Potom sú všetky symboly diferenciálov d nahradené chybovými symbolmi D a negatívne znaky pred diferenciálmi nezávislých premenných sú nahradené kladnými, t.j. berie sa najnepriaznivejší prípad, keď sa všetky chyby sčítajú. V tomto prípade sa vypočíta maximálna chyba výsledku.

Vzhľadom na vyššie uvedené

ale ε = D A / A

Tento výraz je vzorcom pre relatívnu chybu množstva A pri nepriamych meraniach určuje relatívnu chybu požadovanej hodnoty prostredníctvom relatívnych chýb nameraných hodnôt. Po výpočte relatívnej chyby podľa vzorca (B.11),
určiť absolútnu chybu hodnoty A ako súčin relatívnej chyby a vypočítanej hodnoty A t.j.

D A = ε A, (AT 12)

kde ε je vyjadrené ako bezrozmerné číslo.

Takže relatívne a absolútne chyby nepriamo meranej veličiny by sa mali vypočítať v nasledujúcom poradí:

1) použije sa vzorec, podľa ktorého sa vypočíta požadovaná hodnota (výpočtový vzorec);

2) berie sa prirodzený logaritmus oboch častí výpočtového vzorca;

3) vypočíta sa celkový diferenciál prirodzeného logaritmu požadovanej hodnoty;

4) vo výslednom výraze sa vykonajú všetky možné algebraické transformácie a zjednodušenia;

5) symbol diferenciálov d sa nahradí symbolom chyby D, pričom všetky záporné znamienka pred diferenciálmi nezávislých premenných sa nahradia kladnými (hodnota relatívnej chyby bude maximálna) a získa sa vzorec relatívnej chyby ;

6) vypočíta sa relatívna chyba nameranej hodnoty;

7) podľa vypočítanej relatívnej chyby sa vypočíta absolútna chyba nepriameho merania podľa vzorca (B.12).

Uvažujme niekoľko príkladov výpočtu relatívnych a absolútnych chýb v nepriamych meraniach.

1. Požadovaná hodnota A súvisiace s priamo meranými veličinami X, pri, z pomer

Kde a A b sú konštantné hodnoty.

2. Vezmite prirodzený logaritmus výrazu (B.13)

3. Vypočítajte celkový diferenciál prirodzeného logaritmu požadovanej hodnoty A, to znamená, že rozlišujeme (B.13)

4. Robíme premeny. Vzhľadom na to, že d A= 0 pretože A= const, cos pri/sin r=ctg r, dostaneme:

5. Symboly diferenciálov nahradíme symbolmi chýb a znamienko mínus pred diferenciálom nahradíme znamienkom plus.

6. Vypočítame relatívnu chybu nameranej hodnoty.

7. Na základe vypočítanej relatívnej chyby sa pomocou vzorca (B.12) vypočíta absolútna chyba nepriameho merania, t.j.

Určuje sa vlnová dĺžka žltá farba spektrálna čiara ortuti pomocou difrakčnej mriežky (s použitím akceptovanej sekvencie na výpočet relatívnych a absolútnych chýb pre žltú vlnovú dĺžku).

1. Vlnová dĺžka žltej farby je v tomto prípade určená vzorcom:

Kde S je konštanta difrakčnej mriežky (nepriamo nameraná hodnota); φ l je difrakčný uhol žltej čiary v danom poradí spektra (priamo nameraná hodnota); K g je poradie spektra, v ktorom bolo uskutočnené pozorovanie.

Konštanta difrakčnej mriežky sa vypočíta podľa vzorca

Kde K h je poradie spektra zelenej čiary; λz - známa vlnová dĺžka zelenej farby (λz - konštanta); φ z je difrakčný uhol zelenej čiary v danom poradí spektra (priamo nameraná hodnota).

Potom, berúc do úvahy výraz (B.15)

(B.16)

Kde K h, K g - pozorovateľné veličiny, ktoré sa považujú za konštantné; φ h, φ l - sú
s priamo merateľnými veličinami.

Výraz (B.16) je výpočtový vzorec pre žltú vlnovú dĺžku určenú pomocou difrakčnej mriežky.

4.d K h = 0; d K f = 0; dλ h = 0, keďže K h, K W a Aw sú konštantné hodnoty;

Potom

5. (B.17)

kde Dφ w, Dφ h sú absolútne chyby pri meraní difrakčného uhla žltej
a zelené čiary spektra.

6. Vypočítajte relatívnu chybu žltej vlnovej dĺžky.

7. Vypočítajte absolútnu chybu žltej vlnovej dĺžky:

Dλ jamka = ελ jamka.

Pri praktickej realizácii procesu merania bez ohľadu na presnosť meracích prístrojov, správnosť metodiky a dôkladnosť
merania sa výsledky merania líšia od skutočnej hodnoty meranej veličiny, t.j. chyby merania sú nevyhnutné. Pri vyhodnocovaní chyby sa namiesto skutočnej hodnoty berie skutočná hodnota; preto je možné uviesť len približný odhad chyby merania. Posúdenie spoľahlivosti výsledku merania, t.j. určenie chyby merania je jednou z hlavných úloh metrológie.
Chyba je odchýlka výsledku merania od skutočnej hodnoty meranej veličiny. Chyby možno podmienečne rozdeliť na chyby meracích prístrojov a chyby výsledku merania.
Chyby meracích prístrojov boli diskutované v kapitole 3.
Chyba merania je číslo označujúce možné hranice neistoty hodnoty meranej veličiny.
Nižšie bude uvedená klasifikácia a budú sa brať do úvahy chyby výsledku merania.
Cestou číselný výraz rozlišovať absolútne a relatívne chyby.
V závislosti od pôvodu sú tam chyby inštrumentálne, metodické, čítania a nastavenia.
Podľa vzorcov prejavu chyby merania sa delia na systematické, progresívne, náhodné a hrubé.
Pozrime sa podrobnejšie na uvedené chyby merania.

4.1. Absolútne a relatívne chyby

Absolútna chyba D je rozdiel medzi nameraným X a skutočným X a hodnotami meranej veličiny. Absolútna chyba je vyjadrená v jednotkách nameranej hodnoty: D = X - Chi.
Keďže skutočnú hodnotu meranej veličiny nie je možné určiť, v praxi sa namiesto nej používa skutočná hodnota meranej veličiny Xd. Skutočná hodnota sa zistí experimentálne, použitím dostatočného množstva presné metódy a meracie prístroje. Len málo sa líši od skutočnej hodnoty a môže sa použiť namiesto nej na vyriešenie problému. Pri overovaní sa ako skutočná hodnota zvyčajne berú odčítania vzorových meracích prístrojov. V praxi sa teda absolútna chyba zistí podľa vzorca D » X - Xd. Relatívna chyba d je pomer absolútnej chyby merania k skutočnej (reálnej) hodnote meranej veličiny (spravidla sa vyjadruje v percentách): .

4.2. Inštrumentálne a metodologické chyby,
hodnoty a nastavenia

inštrumentálne chyby (prístroja alebo hardvéru) sú tie, ktoré patria danému meraciemu prístroju, možno ich zistiť pri jeho testovaní a zapísať do jeho pasu.
Tieto chyby sú spôsobené konštrukčnými a technologickými nedostatkami meracích prístrojov, ako aj následkom ich opotrebovania, starnutia alebo nefunkčnosti. Inštrumentálne chyby, vzhľadom na chyby použitých meracích prístrojov, boli uvažované v kapitole 3.
Okrem inštrumentálnych chýb sa však počas meraní vyskytujú aj také chyby, ktoré nemožno pripísať tomuto zariadeniu, nemožno ich uviesť v jeho pase a sú tzv. metodický, tie. spojené nie so samotným zariadením, ale so spôsobom jeho použitia.
Metodologické chyby môže vzniknúť v dôsledku nedokonalosti rozvoja teórie javov, na ktorých je založená metóda merania, nepresnosti vzťahov použitých na nájdenie odhadu meranej veličiny a tiež v dôsledku nesúladu medzi meranou veličinou a jej modelom.
Zvážte príklady ilustrujúce metodologickú chybu merania.
Predmetom štúdia je zdroj striedavého napätia, ktorého hodnota amplitúdy hm treba merať. Na základe predbežnej štúdie predmetu štúdie bol ako jeho model prijatý generátor sínusového napätia. Pomocou voltmetra určeného na meranie efektívnych hodnôt striedavých napätí a so znalosťou vzťahu medzi efektívnymi a amplitúdovými hodnotami sínusového napätia získame výsledok merania vo forme hm = × UV, Kde UV-čítanie voltmetra. Dôkladnejšie štúdium objektu by mohlo odhaliť, že tvar nameraného napätia sa líši od sínusového a správnejšia súvislosť medzi hodnotou nameranej hodnoty a údajom voltmetra hm =k× UV, Kde k¹ . Nedokonalosť prijatého modelu predmetu skúmania teda vedie k metodickej chybe merania DU= × UV-k× UV.
Táto chyba môže byť znížená buď výpočtom hodnoty k na základe analýzy tvaru krivky meraného napätia alebo výmenou meracieho prístroja za voltmeter určený na meranie hodnôt amplitúd striedavých napätí.
Veľmi častým dôvodom vzniku metodických chýb je fakt, že pri organizovaní meraní sme nútení merať (alebo zámerne merať) nie hodnotu, ktorá by sa merať mala, ale nejakú inú, blízku, no nie rovnú.

Príkladom takejto metodickej chyby je chyba merania napätia voltmetrom s konečným odporom (obr. 4.1).
Vzhľadom na to, že voltmeter posúva časť obvodu, kde sa meria napätie, ukáže sa, že je menšie ako pred pripojením voltmetra. A skutočne, napätie, ktoré ukáže voltmeter, je určené výrazom U=I×Rv. Vzhľadom na to, že prúd v obvode ja=E/(Ri +Rv), To
< .
Preto je pre ten istý voltmeter pripojený k rôznym úsekom skúmaného obvodu táto chyba odlišná: v sekciách s nízkym odporom je zanedbateľná a v sekciách s vysokým odporom môže byť veľmi veľká. Táto chyba by sa dala odstrániť, ak by bol voltmeter neustále pripojený k tejto časti obvodu po celú dobu prevádzky zariadenia (ako na paneli elektrárne), čo je však z mnohých dôvodov nevýhodné.
Časté sú prípady, keď je vo všeobecnosti ťažké určiť metódu merania, ktorá vylučuje metodickú chybu. Nech sa napríklad zmeria teplota horúcich ingotov prichádzajúcich z pece do valcovne. Otázkou je, kam umiestniť snímač teploty (napríklad termočlánok): pod prírez, na bok alebo nad prírez? Kamkoľvek ho umiestnime, nebudeme merať vnútornú teplotu tela polotovaru, t.j. budeme mať značnú metodologickú chybu, pretože nemeriame to, čo je potrebné, ale to, čo je jednoduchšie (nevŕtajte kanál do každého polotovaru, aby ste do jeho stredu umiestnili termočlánok).
Takže hlavné charakteristický znak metodickou chybou je skutočnosť, že ich nemožno uviesť v pase prístroja, ale musí ich vyhodnotiť sám experimentátor pri organizácii zvolenej techniky merania, preto musí jasne rozlišovať medzi skutočným merateľné majú veľkosť na meranie.
Chyba čítania pochádza z nepresných údajov. Je to spôsobené subjektívnymi vlastnosťami pozorovateľa (napríklad chyba interpolácie, t.j. nepresné odčítanie deliacich zlomkov na stupnici prístroja) a typom čítacieho zariadenia (napríklad chyba paralaxy). Pri používaní digitálnych meracích prístrojov nedochádza k chybám v počítaní, čo je jedným z dôvodov ich sľubnej povahy.
Chyba inštalácie je spôsobená odchýlkou podmienok merania od normálu, t.j. podmienky, za ktorých sa vykonávala kalibrácia a overovanie meradiel. Patrí sem napríklad chyba z nesprávnej inštalácie zariadenia v priestore alebo jeho ukazovateľa na nulu, zo zmien teploty, napájacieho napätia a iných ovplyvňujúcich veličín.
Uvažované typy chýb sú rovnako vhodné na charakterizáciu presnosti výsledkov jednotlivých meraní aj meracích prístrojov.

4.3. Systematické, progresívne, náhodné a hrubé chyby

Systematická chyba merania Dc je zložka chyby merania, ktorá zostáva konštantná alebo sa pravidelne mení počas opakovaných meraní rovnakej hodnoty.
Príčiny výskytu systematických chýb možno zvyčajne zistiť počas prípravy a vykonávania meraní. Tieto dôvody sú veľmi rôznorodé: nedokonalosť meracích prístrojov a použitých metód, nesprávna inštalácia meracieho prístroja, vplyv vonkajšie faktory(ovplyvňujúce veličiny) na parametroch meracích prístrojov a na samotnom objekte merania, nedostatky metódy merania (metodické chyby), individuálnych charakteristík operátor (subjektívne chyby) atď. Podľa charakteru prejavu sa systematické chyby delia na konštantné a premenlivé. Medzi konštanty patria napríklad chyby v dôsledku nepresnosti osadenia hodnoty miery, nesprávne odstupňovanie stupnice prístroja, nesprávna inštalácia prístroja voči smeru magnetických polí a pod. Premenlivé systematické chyby vznikajú vplyvom ovplyvňujúcich veličín na proces merania a môžu nastať napríklad pri zmene napätia zdroja energie prístroja, vonkajších magnetických poliach, frekvencii meraného striedavého napätia a pod. vlastnosťou systematických chýb je, že ich závislosť od ovplyvňujúcich veličín podlieha určitému zákonu. Tento zákon je možné študovať a výsledok merania možno spresniť vykonaním zmien, ak sa určia číselné hodnoty týchto chýb. Ďalším spôsobom, ako znížiť vplyv systematických chýb, je použitie takých metód merania, ktoré umožňujú vylúčiť vplyv systematických chýb bez určenia ich hodnôt (napríklad substitučná metóda).
Výsledok merania je tým bližšie k skutočnej hodnote meranej veličiny, čím menšie sú zostávajúce nevylúčené systematické chyby. Prítomnosť vylúčených systematických chýb určuje správnosť meraní, kvalitu, ktorá odráža blízkosť systematických chýb k nule. Výsledok merania bude taký správny, nakoľko nie je skreslený systematickými chybami a čím je správnejší, tým sú tieto chyby menšie.
progresívne(alebo drift) sa nazývajú nepredvídateľné chyby, ktoré sa v priebehu času pomaly menia. Tieto chyby sú spravidla spôsobené procesmi starnutia určitých častí zariadenia (vybíjanie napájacích zdrojov, starnutie odporov, kondenzátorov, deformácia mechanických častí, zmršťovanie papierovej pásky v samonahrávacích prístrojoch atď.). Charakteristickým rysom progresívnych chýb je, že sa dajú opraviť zavedením opravy iba v danom časovom bode a potom sa opäť nepredvídateľne zvýšia. Preto na rozdiel od systematických chýb, ktoré je možné opraviť korekciou zistenou raz za celú životnosť zariadenia, progresívne chyby vyžadujú priebežné opakovanie opravy a čím častejšie, tým menšia by mala byť ich zostatková hodnota. Ďalšou črtou progresívnych chýb je, že ich zmena v čase je nestacionárnym náhodným procesom a preto ich v rámci dobre rozvinutej teórie stacionárnych náhodných procesov možno popísať len s výhradami.
Náhodná chyba merania je zložka chyby merania, ktorá sa pri opakovaných meraniach tej istej veličiny náhodne mení. Hodnotu a znamienko náhodných chýb nie je možné určiť, nemožno ich priamo zohľadniť pre ich chaotickú zmenu v dôsledku súčasného vplyvu rôznych na sebe nezávislých faktorov na výsledok merania. Náhodné chyby sa nachádzajú pri viacerých meraniach tej istej veličiny (v tomto prípade sa jednotlivé merania nazývajú pozorovaniami) tými istými meracími prístrojmi za rovnakých podmienok tým istým pozorovateľom, t.j. pri rovnako presných (ekvidispergovaných) meraniach. Vplyv náhodných chýb na výsledok merania zohľadňujú metódy matematickej štatistiky a teórie pravdepodobnosti.
Hrubé chyby merania - náhodné chyby merania výrazne prevyšujúce chyby očakávané za daných chybových podmienok.
Hrubé chyby (chyby) sú zvyčajne spôsobené nesprávnymi údajmi na prístroji, chybou pri zaznamenávaní pozorovaní, prítomnosťou silne ovplyvňujúcej veličiny, poruchou meracích prístrojov a inými príčinami. Výsledky meraní obsahujúce hrubé chyby sa spravidla neberú do úvahy, takže hrubé chyby majú malý vplyv na presnosť merania. Nájsť miss nie je vždy jednoduché, najmä pri jedinom meraní; často je ťažké rozlíšiť hrubú chybu od veľkej náhodnej chyby. Ak sú hrubé chyby bežné, spochybníme všetky výsledky meraní. Preto hrubé chyby ovplyvňujú platnosť meraní.
Na záver popísaného delenia chýb priemerov a výsledkov meraní na náhodnú, progresívnu a systematickú zložku je potrebné venovať pozornosť tomu, že takéto delenie je veľmi zjednodušenou metódou ich analýzy. Preto by sme mali vždy pamätať na to, že v skutočnosti sa tieto zložky chyby objavujú spolu a tvoria jeden nestacionárny náhodný proces. V tomto prípade môže byť chyba výsledku merania reprezentovaná ako súčet náhodných a systematických Dc chýb: D = Dc +. Chyba merania zahŕňa náhodnú zložku, preto ju treba zvážiť náhodná premenná.
Úvaha o povahe prejavu chýb merania nám ukazuje, že jediný správny spôsob vyhodnocovania chýb nám dáva teória pravdepodobnosti a matematická štatistika.

4.4. Pravdepodobný prístup k popisu chýb

Zákony rozdelenia náhodných chýb. Náhodné chyby sa zistia počas série meraní rovnakej hodnoty. V tomto prípade sa výsledky merania spravidla nezhodujú, pretože v dôsledku celkového vplyvu mnohých rôznych faktorov, ktoré nemožno vziať do úvahy, každé nové meranie tiež dáva novú náhodnú hodnotu meranej veličiny. Pri správnych meraniach, ich dostatočnom počte a vylúčení systematických chýb a vynechaní možno tvrdiť, že skutočná hodnota meranej veličiny nepresahuje hodnoty získané pri týchto meraniach. Zostáva neznáma, kým nie je určená teoreticky pravdepodobná hodnota náhodnej chyby.
Nech sa zmeria hodnota A P krát a pozorovali hodnoty a1, a2, a3,…,a i,...,an. Náhodná absolútna chyba jedného merania je určená rozdielom
Di = ai - A . (4.1)
Graficky sú výsledky jednotlivých meraní prezentované na obr. 4.2.
Keď dosť veľké čísla P rovnaké chyby, ak majú množstvo diskrétnych hodnôt, sa opakujú a preto je možné stanoviť relatívnu frekvenciu (frekvenciu) ich výskytu, t.j. pomer počtu prijatých identických údajov mi Komu celkový počet vykonané merania P. Ako merania pokračujú, množstvá A táto frekvencia sa nezmení, takže ju možno považovať za pravdepodobnosť chyby v týchto meraniach: p(AI) = mi / n.

Štatistická závislosť pravdepodobnosti výskytu náhodných chýb od ich hodnoty sa nazýva zákon o rozdelení chýb resp zákon rozdelenia pravdepodobnosti. Tento zákon určuje povahu vzhľadu rozdielne výsledky jednotlivé merania. Existujú dva typy opisu distribučných zákonov: integrálne A diferenciál.
integrálny zákon, alebo funkcia rozdelenia pravdepodobnostiF( D ) náhodná chyba Di Vi-tý skúsenosť, volajú funkciu, ktorej hodnota pre každé D je pravdepodobnosť udalosti R(D), ktorá spočíva v tom, že náhodná chyba Di nadobúda hodnoty menšie ako nejaká hodnota D, t.j. funkciu F( D ) = P[ Di < D ]. Táto funkcia, keď sa D zmení z -¥ na +¥, nadobúda hodnoty od 0 do 1 a neklesá. Existuje pre všetky náhodné premenné, diskrétne aj spojité (obrázok 4.3 a).
Ak F(D) symetrické okolo bodu A, zodpovedajúca pravdepodobnosť 0,5, potom bude rozdelenie výsledkov pozorovania symetrické vzhľadom na skutočnú hodnotu A. V tomto prípade je vhodné F(D) posun pozdĺž úsečky o hodnotu DA, t.j. vylúčiť systematickú zložku chyby (DA =Dc) a získajte distribučnú funkciu náhodnej zložky chyby D=(obr. 4.3 b). Funkcia rozdelenia pravdepodobnosti chýb D sa od funkcie rozdelenia pravdepodobnosti náhodnej zložky chyby líši iba posunom pozdĺž osi x o hodnotu systematickej zložky chyby DC.
diferenciálneho zákona rozdelenia pravdepodobnosti pre náhodnú chybu so spojitou a diferencovateľnou distribučnou funkciou F(D) zavolajte funkciu . Táto závislosť je hustota rozdelenia pravdepodobnosti. Graf hustoty pravdepodobnosti môže mať iný tvar v závislosti od zákona o rozdelení chýb. Pre F(D) znázornené na obr. 4,3 b, distribučná krivka f(D) má tvar blízky tvaru zvonu (obr. 4.3 c).
Pravdepodobnosť výskytu náhodných chýb je určená oblasťou ohraničenou krivkou f(D) alebo jeho časť a os x (obr. 4.3 c). V závislosti od uvažovaného intervalu chýb .

Význam f(D)dD existuje prvok pravdepodobnosti rovný ploche obdĺžnika so základňou dD aúsečka D1,D2, nazývané kvantily. Pretože F(+¥)= 1, potom rovnosť ,
tie. oblasť pod krivkou f(D) podľa normalizačného pravidla sa rovná jednej a odráža pravdepodobnosť všetkých možných udalostí.
V praxi elektrické merania jeden z najbežnejších zákonov o rozdelení náhodných chýb je normálny zákon(Gauss).
Matematické vyjadrenie normálneho zákona má tvar
,
Kde f(D)- hustota pravdepodobnosti náhodnej chyby D = aja-A; s - smerodajná odchýlka. Smerodajná odchýlka môže byť vyjadrená ako náhodné odchýlky výsledkov pozorovania Di (pozri vzorec (4.1)):
.
Charakter kriviek opísaných touto rovnicou pre dve hodnoty s je znázornený na obr. 4.4. Z týchto kriviek je vidieť, že čím menšie s, tým častejšie sa vyskytujú malé náhodné chyby, t.j. tým presnejšie sú merania. V praxi meraní existujú ďalšie distribučné zákony, ktoré sa dajú stanoviť na základe štatistického spracovania.

experimentálne údaje. Niektoré z najbežnejších distribučných zákonov sú uvedené v GOST 8.011-84 "Ukazovatele presnosti merania a formy prezentácie výsledkov merania."
Hlavnými charakteristikami distribučných zákonov sú očakávaná hodnota A disperzia.
Matematické očakávanie náhodnej premennej je jeho hodnota, okolo ktorej sú zoskupené výsledky jednotlivých pozorovaní. Matematické očakávanie diskrétnej náhodnej premennej M[X] je definovaný ako súčet súčinov všetkých možné hodnoty náhodná premenná na pravdepodobnosť týchto hodnôt .
Pre spojité náhodné premenné sa treba uchýliť k integrácii, pre ktorú je potrebné poznať závislosť hustoty pravdepodobnosti od X, t.j. f(x), Kde x=D. Potom .
Tento výraz znamená, že matematické očakávanie sa rovná súčtu nekonečného počtu produktov všetkých možných hodnôt náhodnej premennej X nad nekonečne malými plochami f(x)dx, Kde f(x) - ordináty pre každého X, a dx - elementárne segmenty osi x.
Ak existuje normálne rozdelenie náhodných chýb, potom je matematické očakávanie náhodnej chyby nulové (obr. 4.4). Ak uvažujeme normálne rozdelenie výsledkov, potom matematické očakávanie bude zodpovedať skutočnej hodnote meranej veličiny, ktorú označíme A.
Systematickou chybou je v tomto prípade odchýlka matematické očakávanie pozorovacie výsledky zo skutočnej hodnoty A meraná hodnota: DC = M[X]-A a náhodná chyba je rozdiel medzi výsledkom jedného pozorovania a matematickým očakávaním: .
Rozptyl série pozorovaní charakterizuje stupeň rozptylu (rozptyl) výsledkov jednotlivých pozorovaní okolo matematického očakávania:
D[X] =Dx=M[(ai-mx)2].
Čím menší rozptyl, tým menší rozptyl jednotlivých výsledkov, tým presnejšie merania. Disperzia sa však vyjadruje v jednotkách na štvorec meranej veličiny. Preto sa ako charakteristika presnosti série pozorovaní najčastejšie používa štandardná odchýlka (RMS), ktorá sa rovná druhej odmocnine rozptylu: .
Uvažované normálne rozdelenie náhodných premenných, vrátane náhodných chýb, je teoretické, preto treba popísané normálne rozdelenie považovať za „ideálne“, t.j. teoretický základštudovať náhodné chyby a ich vplyv na výsledok merania.
Ďalej sú načrtnuté spôsoby aplikácie tohto rozdelenia v praxi s rôznym stupňom priblíženia. Uvažuje sa aj o inom rozdelení (Studentovo rozdelenie), ktoré sa používa pre malé počty pozorovaní.
Odhady chýb vo výsledkoch priamych meraní. Nech sa drží P priame merania rovnakej veličiny. Vo všeobecnom prípade bude chyba pri každom meracom úkone iná:
Di =ai-A,
kde Di je chyba i-tého merania; ai- výsledok i-teho merania.
Keďže skutočná hodnota meranej veličiny A je neznáma, náhodnú absolútnu chybu nemožno vypočítať priamo. V praktických výpočtoch namiesto A použiť jeho skóre. Zvyčajne sa predpokladá, že skutočná hodnota je aritmetický priemer série meraní:
. (4.2)
Kde Aja- výsledky jednotlivých meraní; P - počet meraní.
Teraz, podobne ako vo výraze (4.1), môžeme určiť odchýlku výsledku každého merania od priemernej hodnoty :
(4.3)
Kde v i- odchýlka výsledku jednotlivého merania od priemernej hodnoty. Treba pripomenúť, že súčet odchýlok výsledku merania od strednej hodnoty je nulový a súčet ich štvorcov je minimálny, t.j.
a min.
Tieto vlastnosti sa využívajú pri spracovaní výsledkov meraní na kontrolu správnosti výpočtov.
Potom vypočítajte odhad hodnoty stredná kvadratická chyba pre danú sériu meraní

. (4.4)
Podľa teórie pravdepodobnosti je pre dostatočne veľký počet meraní s nezávislými náhodnými chybami odhad S konverguje v pravdepodobnosti k s. teda

. (4.5)
Od aritmetického priemeru je tiež náhodná veličina, pojem priemer dáva zmysel smerodajná odchýlka aritmetický priemer. Táto hodnota bude označená symbolom sav. Dá sa ukázať, že pre nezávislé chyby
. (4.6)
Hodnota sav charakterizuje stupeň rozptylu . Ako je uvedené vyššie, pôsobí ako odhad skutočnej hodnoty nameranej hodnoty, t.j. je konečný výsledok vykonaných meraní. Preto sa sav nazýva aj stredná kvadratická chyba výsledku merania.
V praxi sa hodnota s vypočítaná vzorcom (4.5) používa, ak je potrebné charakterizovať presnosť použitej metódy merania: ak je metóda presná, potom je rozptyl výsledkov jednotlivých meraní malý, t.j. malá s hodnota . Hodnota sp , vypočítaná podľa (4.6) slúži na charakterizáciu presnosti výsledku merania určitej veličiny, t.j. výsledok získaný matematickým spracovaním výsledkov množstva jednotlivých priamych meraní.
Pri vyhodnocovaní výsledkov meraní sa niekedy používa pojem maximálne alebo najväčšia dovolená chyba, ktorých hodnota je určená v podieloch s alebo S . V súčasnosti existujú rôzne kritériá na stanovenie maximálnej chyby, t.j. limity tolerančného poľa ±D, do ktorých sa musia zmestiť náhodné chyby. Definícia maximálnej chyby D = 3s (alebo 3 S). IN V poslednej dobe Profesor P. V. Novitsky na základe informačnej teórie meraní odporúča použiť hodnotu D = 2s.
Teraz uvádzame dôležité pojmy úroveň sebavedomia A interval spoľahlivosti. Ako je uvedené vyššie, aritmetický priemer , získaný ako výsledok niektorých sérií meraní je odhadom skutočnej hodnoty A a spravidla sa s ním nezhoduje, ale líši sa hodnotou chyby. Nechaj Rd je tu možnosť, že sa líši od A najviac D, t.j. R(-D< A< + D)=Rd. Pravdepodobnosť Rd volal pravdepodobnosť spoľahlivosti, a rozsah hodnôt nameranej hodnoty od - D až + D- interval spoľahlivosti.
Vyššie uvedené nerovnosti znamenajú, že s pravdepodobnosťou Rd interval spoľahlivosti od - D až + D obsahuje skutočný význam A. Aby sme teda náhodnú chybu celkom úplne charakterizovali, je potrebné mať dve čísla – pravdepodobnosť spoľahlivosti a jej zodpovedajúci interval spoľahlivosti. Ak je známy distribučný zákon pravdepodobností chýb, potom na určenie intervalu spoľahlivosti možno použiť daný interval spoľahlivosti. Najmä pre dostatočne veľký počet meraní je často opodstatnené použiť normálny zákon, zatiaľ čo pre malý počet meraní (P< 20), ktorých výsledky patria do normálneho rozdelenia, treba použiť Študentovo rozdelenie. Toto rozdelenie má hustotu pravdepodobnosti, ktorá sa prakticky zhoduje s normálnou pre veľké P, ale výrazne odlišné od normálneho pri malom P.
V tabuľke. 4.1 ukazuje takzvané kvantily Studentovho rozdelenia ½ t(n)½ Rd pre počet meraní P= 2 - 20 a pravdepodobnosti spoľahlivosti R = 0,5 - 0,999.
Upozorňujeme však, že zvyčajne nie sú uvedené študentské tabuľky rozdelenia hodnôt P A Rd, a pre hodnoty m =n-1 A a \u003d 1 - Rd,čo treba zvážiť pri ich používaní. Na určenie intervalu spoľahlivosti je potrebné pre údaje P A Rd nájdite kvantil ½ t(n)½Rd a vypočítajte hodnoty An = - sp× ½ t(n)½ Rdi Av = + sp× ½ t(n)½Rd, čo bude nižšia a horné hranice interval spoľahlivosti.

Po zistení intervalov spoľahlivosti pre danú pravdepodobnosť spoľahlivosti podľa vyššie uvedenej metodiky sa výsledok merania zaznamená do formulára ; D=Dn¸ Dv; Rd,
Kde - posúdenie skutočnej hodnoty výsledku merania v jednotkách nameranej hodnoty; D - chyba merania; Dv = + sp× ½ t(n)½Рд a Dн = - sp× ½ t(n)½Rd - horná a dolná hranica chyby merania; Rd - pravdepodobnosť spoľahlivosti.

Tabuľka 4.1

	Hodnoty kvantilov Studentovho rozdelenia t(n) s istotou pravdepodobnosti Rd

Odhad chýb vo výsledkoch nepriamych meraní. Pri nepriamych meraniach požadovaná hodnota A funkčne súvisiace s jednou alebo viacerými priamo meranými veličinami: X,r,..., t. Uvažujme o najjednoduchšom prípade určenia chyby pre jednu premennú, kedy A= F(X). Označuje absolútnu chybu merania veličiny X cez ±Dx dostaneme A+ D A= F(x± D X).
Rozšírením pravej strany tejto rovnosti do Taylorovho radu a zanedbaním expanzných členov obsahujúcich Dx na mocninu vyššiu ako prvý dostaneme
A+DA » F(x) ± Dx alebo DA » ± Dx.
Relatívna chyba merania funkcie sa určí z výrazu
.
Ak je nameraná hodnota A je funkciou niekoľkých premenných: A=F(X,y,...,t), potom absolútna chyba výsledku nepriamych meraní
.
Čiastočné relatívne chyby nepriameho merania sú určené vzorcami ; atď. Relatívna chyba výsledku merania
.
Zastavme sa aj pri vlastnostiach odhadu výsledku nepriameho merania za prítomnosti náhodnej chyby.
Odhadnúť náhodnú chybu výsledkov nepriamych meraní veličiny A budeme predpokladať, že systematické chyby v meraniach veličín x, y,…, t sú vylúčené a náhodné chyby pri meraní rovnakých veličín navzájom nezávisia.
Pri nepriamych meraniach sa hodnota meranej veličiny zistí podľa vzorca ,
kde sú priemerné alebo vážené priemerné hodnoty veličín x, y,…, t .
Na výpočet smerodajnej odchýlky nameranej hodnoty A odporúča sa použiť štandardné odchýlky získané počas meraní x, y,…, t .
IN všeobecný pohľad na určenie smerodajnej odchýlky s nepriameho merania sa používa tento vzorec:
, (4.7)
Kde Dx ;D Y ;…;Dt- takzvané čiastkové chyby nepriameho merania ; ; …; ; ; ; … ; — parciálne deriváty A Autor: x, y,..., t;sx; sy,…,st,…— smerodajné odchýlky výsledkov meraní x, y,…, t .
Uvažujme o niektorých špeciálnych prípadoch aplikácie rovnice (4.7), keď je funkčná závislosť medzi nepriamo a priamo meranými veličinami vyjadrená vzorcom A=k× Xa× rb× zg , Kde k-číselný koeficient (bezrozmerný).
V tomto prípade má vzorec (4.7) nasledujúcu formu:
.
Ak a =b=g = 1 A A=k× X× r× z, potom sa vzorec relatívnej chyby zjednoduší do formulára .
Tento vzorec je použiteľný napríklad na výpočet štandardnej odchýlky merania objemu od meraní výšky, šírky a hĺbky kvádrovej nádrže.

4.5. Pravidlá pre sčítanie náhodných a systematických chýb
Chyba zložitých meracích prístrojov závisí od chýb ich jednotlivých uzlov (blokov). Chyby sú zhrnuté podľa určitých pravidiel.
Nech sa napríklad merací prístroj skladá z m bloky, z ktorých každý má nezávislé náhodné chyby. Zároveň absolútne hodnoty odmocniny sk alebo maximum Mk chyba pre každý blok.
Aritmetický súčet alebo udáva maximálnu chybu zariadenia, ktorá má zanedbateľnú pravdepodobnosť, a preto sa zriedka používa na posúdenie presnosti zariadenia ako celku. Podľa teórie chýb je výsledná chyba sres and Mrez určuje sa kvadratickým sčítaním alebo .
Výsledná relatívna chyba merania sa určí podobne: . (4.8)
Vzťahom (4.8) možno určiť dovolené chyby jednotlivých blokov vyvíjaných zariadení s danou celkovou chybou merania. Pri navrhovaní zariadenia sa zvyčajne uvádzajú rovnaké chyby pre jednotlivé bloky, ktoré sú v ňom zahrnuté. Ak existuje viacero zdrojov chyby, že konečný výsledok merania ovplyvňujú rôzne (alebo zariadenie pozostáva z niekoľkých blokov s rôznymi chybami), do vzorca (4.8) by sa mali zaviesť váhové koeficienty. ki :
, (4.9)
kde d1, d2, …, dm sú relatívne chyby jednotlivých jednotiek (blokov) meracieho prístroja; k1,k2, …,km- koeficienty, ktoré zohľadňujú mieru vplyvu náhodnej chyby tohto bloku na výsledok merania.
Ak má meracie zariadenie (alebo jeho bloky) aj systematické chyby, celková chyba je určená ich súčtom: Rovnaký prístup platí pre viac komponentov.
Pri hodnotení vplyvu čiastkových chýb treba brať do úvahy, že presnosť meraní závisí najmä od chýb, ktoré sú veľké v absolútnej hodnote a niektoré najmenšie chyby možno vôbec ignorovať. Čiastková chyba sa odhaduje na základe tzv kritérium zanedbateľnej chyby,čo je nasledovné. Predpokladajme, že celková chyba dres je určená vzorcom (4.8) so zohľadnením všetkých mčiastkové chyby, medzi ktorými má niektorá chyba di malú hodnotu. Ak sa celková chyba d¢res, vypočítaná bez zohľadnenia chyby di, nelíši od dresu o viac ako 5 %, t.j. drez-d¢rez< 0,05×dрез или 0,95×dрезV praxi technických výpočtov sa často používa menej prísne kritérium - do týchto vzorcov sa zavádza koeficient 0,4.

4.6. Formy prezentácie výsledkov meraní

Výsledok merania je cenný len vtedy, keď sa dá odhadnúť jeho interval neistoty, t.j. stupeň spoľahlivosti. Preto výsledok merania musí obsahovať hodnotu meranej veličiny a charakteristiku presnosti tejto hodnoty, ktorou sú systematické a náhodné chyby. Kvantitatívne ukazovatele chýb, spôsoby ich vyjadrenia, ako aj formy prezentácie výsledkov meraní upravuje GOST 8.011-72 "Ukazovatele presnosti merania a formy prezentácie výsledkov merania". Pozrime sa na hlavné formy prezentácie výsledkov meraní.
Chyba výsledku priameho jednotlivého merania závisí od mnohých faktorov, ale je primárne určená chybou použitých meracích prístrojov. Preto pri prvej aproximácii môže byť chyba výsledku merania považovaná za rovnakú
chyba, ktorá v danom bode meracieho rozsahu charakterizuje použitý merací prístroj.
Chyby meracích prístrojov sa líšia v rozsahu meraní. Preto je v každom prípade pre každé meranie potrebné vypočítať chybu výsledku merania pomocou vzorcov (3.19) - (3.21) normalizácie chyby zodpovedajúceho meracieho prístroja. Mali by sa vypočítať absolútne aj relatívne chyby výsledku merania, pretože prvá z nich je potrebná na zaokrúhlenie výsledku a jeho správne zaznamenanie a druhá na jednoznačnú porovnávaciu charakteristiku jeho presnosti.
Pre rôzne charakteristiky normalizácie chýb SI sa tieto výpočty vykonávajú rôznymi spôsobmi, preto zvážime tri typické prípady.
1. Trieda zariadenia sa uvádza ako jedno číslo q, uzavretý v kruhu. Potom relatívna chyba výsledku (v percentách) g = q, a jeho absolútna chyba D x =q× X/ 100.
2. Trieda zariadenia je označená jedným číslom p(bez kruhu). Potom absolútna chyba výsledku merania D x =p× xk / 100 kde Xk- limit merania, pri ktorom sa vykonalo, a relatívna chyba merania (v percentách) sa zistí podľa vzorca ,
teda v tomto prípade pri meraní, okrem odčítania nameranej hodnoty X musí byť pevne stanovená a hranica meraní Xk , v opačnom prípade nebude možné neskôr vypočítať chybu výsledku.
3. Trieda zariadenia je vo formulári označená dvoma číslami c/d. V tomto prípade je vhodnejšie vypočítať relatívnu chybu d výsledok podľa vzorca (3.21), a až potom nájsť absolútnu chybu ako Dx=d× x/100.
Po vykonaní výpočtov chyby sa použije jeden z formulárov na prezentáciu výsledku merania v tejto forme: X;± D A d, Kde X- meraná hodnota; D- absolútna chyba merania; d-relatívna chyba merania. Urobí sa napríklad nasledujúci záznam: „Meranie bolo vykonané s relatívnou chybou d= … %. meraná hodnota x = (A± D), Kde A- výsledok merania.
Jednoznačnejšie je však uviesť hranice intervalu neistoty nameranej hodnoty v tvare: x = (A-D)¸(A+D) alebo (A-D)< х < (A+D) s uvedením merných jednotiek.
Iná forma prezentácie výsledku merania je nastavená takto: X; D od Dn predtým Dv; R, Kde X- výsledok merania v jednotkách meranej veličiny; D,Dн,Dv- chyba merania s jej dolnou a hornou hranicou v rovnakých jednotkách; R- pravdepodobnosť, s ktorou je chyba merania v rámci týchto limitov.
GOST 8.011-72 umožňuje aj iné formy prezentácie výsledkov merania, ktoré sa líšia od vyššie uvedených foriem tým, že oddelene označujú charakteristiky systematickej a náhodnej zložky chyby merania. Zároveň sú pre systematickú chybu uvedené jej pravdepodobnostné charakteristiky. V tomto prípade sú hlavnými charakteristikami systematickej chyby matematické očakávanie M [ Dxc], smerodajná odchýlka s[ Dxc] a jeho interval spoľahlivosti. Priradenie systematických a náhodných zložiek chyby je vhodné, ak sa výsledok merania použije pri ďalšom spracovaní údajov, napríklad pri určovaní výsledku nepriamych meraní a posudzovaní jeho presnosti, pri sčítavaní chýb atď.

Akákoľvek z foriem prezentácie výsledku merania podľa GOST 8.011-72 musí obsahovať potrebné údaje, na základe ktorých možno určiť interval spoľahlivosti pre chybu výsledku merania. Vo všeobecnom prípade možno interval spoľahlivosti stanoviť, ak je známa forma zákona o rozdelení chýb a hlavné numerické charakteristiky tohto zákona.

V našej dobe človek vynašiel a používa obrovské množstvo rôznych meracích prístrojov. Ale bez ohľadu na to, aká dokonalá je technológia ich výroby, všetky majú väčšiu či menšiu chybu. Tento parameter je spravidla uvedený na samotnom prístroji a na posúdenie presnosti stanovenej hodnoty je potrebné pochopiť, čo znamenajú čísla uvedené na označení. Okrem toho v zložitých matematických výpočtoch nevyhnutne vznikajú relatívne a absolútne chyby. Je široko používaný v štatistike, priemysle (kontrola kvality) a v mnohých ďalších oblastiach. Ako sa táto hodnota vypočíta a ako interpretovať jej hodnotu - to je presne to, o čom sa bude diskutovať v tomto článku.

Absolútna chyba

Označme x približnú hodnotu veličiny získanú napríklad jedným meraním a x 0 jej presnú hodnotu. Teraz vypočítajme modul rozdielu medzi týmito dvoma číslami. Absolútna chyba je presne tá hodnota, ktorú sme dostali ako výsledok tejto jednoduchej operácie. Vyjadrené v jazyku vzorcov možno túto definíciu napísať takto: Δ x = | x - x0 |.

Relatívna chyba

Absolútna odchýlka má jednu dôležitú nevýhodu – neumožňuje nám posúdiť mieru dôležitosti chyby. Napríklad na trhu kúpime 5 kg zemiakov a neseriózny predajca sa pri meraní hmotnosti pomýlil o 50 gramov vo svoj prospech. To znamená, že absolútna chyba bola 50 gramov. Pre nás bude takéto nedopatrenie len maličkosťou a ani mu nebudeme venovať pozornosť. A predstavte si, čo by sa stalo, keby sa podobná chyba stala pri príprave lieku? Tu bude všetko oveľa vážnejšie. A pri nakladaní nákladného vagóna sa odchýlky pravdepodobne vyskytnú oveľa väčšie ako táto hodnota. Preto samotná absolútna chyba nie je veľmi informatívna. Okrem toho sa veľmi často dodatočne vypočítava relatívna odchýlka, ktorá sa rovná pomeru absolútnej chyby k presnej hodnote čísla. To je napísané v nasledujúcom vzorci: δ = Δ x / x 0 .

Chybové vlastnosti

Predpokladajme, že máme dve nezávislé veličiny: x a y. Musíme vypočítať odchýlku približnej hodnoty ich súčtu. V tomto prípade môžeme absolútnu chybu vypočítať ako súčet vopred vypočítaných absolútnych odchýlok každého z nich. Pri niektorých meraniach sa môže stať, že chyby v určovaní hodnôt x a y sa navzájom rušia. A tiež sa môže stať, že v dôsledku sčítania sa odchýlky maximálne zvýšia. Preto by sa pri výpočte celkovej absolútnej chyby mal brať do úvahy najhorší prípad. To isté platí pre chybový rozdiel niekoľkých hodnôt. Táto vlastnosť je charakteristická len pre absolútnu chybu a nemožno ju použiť na relatívnu odchýlku, pretože to nevyhnutne povedie k nesprávnemu výsledku. Zoberme si túto situáciu v nasledujúcom príklade.

Predpokladajme, že merania vo vnútri valca ukázali, že vnútorný polomer (R 1) je 97 mm a vonkajší (R 2) je 100 mm. Je potrebné určiť hrúbku jeho steny. Najprv nájdite rozdiel: h \u003d R 2 - R 1 \u003d 3 mm. Ak úloha neuvádza, čomu sa rovná absolútna chyba, potom sa berie ako polovičný dielik stupnice meracieho prístroja. Teda Δ (R 2) \u003d Δ (R 1) \u003d 0,5 mm. Celková absolútna chyba je: Δ(h) = Δ(R 2) + Δ(R 1) = 1 mm. Teraz vypočítame relatívnu odchýlku všetkých veličín:

δ(R 1) \u003d 0,5 / 100 \u003d 0,005,

δ(R 1) \u003d 0,5 / 97 ≈ 0,0052,

5(h) = Δ(h)/h = 1/3 = 0,3333>> 5(R1).

Ako vidíte, chyba pri meraní oboch polomerov nepresahuje 5,2 % a chyba vo výpočte ich rozdielu – hrúbky steny valca – bola až 33,(3) %!

Nasledujúca vlastnosť hovorí: relatívna odchýlka súčinu viacerých čísel sa približne rovná súčtu relatívnych odchýlok jednotlivých faktorov:

δ(xy) ≈ δ(x) + δ(y).

Navyše toto pravidlo platí bez ohľadu na počet odhadovaných hodnôt. Treťou a poslednou vlastnosťou relatívnej chyby je relatívny odhad čísla k-tá stupňa približne v | k | krát väčšia ako relatívna chyba pôvodného čísla.