Riešenie rozšírenej matice Gaussovou metódou. Obráťte Gaussovu metódu

Gaussova metóda je jednoduchá! Prečo? Slávny nemecký matematik Johann Karl Friedrich Gauss bol počas svojho života uznávaný ako najväčší matematik všetkých čias, génius a dokonca prezývka „kráľ matematiky“. A všetko geniálne, ako viete, je jednoduché! Mimochodom, za peniaze dostávajú peniaze nielen blázni, ale aj géniovia - Gaussov portrét bol na bankovke 10 Deutschmark (pred zavedením eura) a Gauss sa na Nemcov z bežných poštových známok stále záhadne usmieva.

Gaussova metóda je jednoduchá v tom, že znalosti 5-ročného študenta DOSŤ stačí ich zvládnuť. Musíte byť schopní pridávať a množiť sa! Nie je náhoda, že učitelia často zvažujú metódu postupného odstraňovania neznámych na školských matematických voliteľných predmetoch. Gaussova metóda je pre študentov paradoxne najťažšia. Niet divu - celý bod je v metodológii a pokúsim sa vám priblížiť prístupový algoritmus k tejto metóde.

Najprv trochu systematizujeme znalosti o systémoch. lineárne rovnice... Systém lineárnych rovníc môže:

1) Majte jedinečné riešenie.
2) Majte nekonečne veľa riešení.
3) Nemajte žiadne riešenia (napr nekonzistentné).

Gaussova metóda je najmocnejším a najvšestrannejším nástrojom na nájdenie riešenia akýkoľvek sústavy lineárnych rovníc. Ako si pamätáme Cramerovo pravidlo a maticová metóda nevhodné v prípadoch, keď má systém nekonečne veľa riešení alebo je nekompatibilný. A metóda postupnej eliminácie neznámych aj tak nás dovedie k odpovedi! Zapnuté túto lekciu opäť zvážime Gaussovu metódu pre prípad č. 1 (jediné riešenie systému), článok je vyhradený pre situáciu položiek č. 2-3. Všimnite si toho, že samotný algoritmus metódy funguje rovnako vo všetkých troch prípadoch.

Späť k najjednoduchší systém z hodiny Ako vyriešiť systém lineárnych rovníc?
a vyriešiť to Gaussovou metódou.

V prvej fáze musíte napísať matica rozšíreného systému:
... Myslím si, že na akom princípe sú koeficienty napísané. Zvislá čiara vo vnútri matice nemá žiadny matematický význam - je to len podčiarknutie jednoduchosti dizajnu.

odkaz :Odporúčam zapamätať si podmienky lineárna algebra. Systémová matica Je matica zložená iba z koeficientov s neznámymi, v tomto prípade je to matica systému :. Rozšírená systémová matica Je rovnaká matica systému plus stĺpec voľných členov v tento prípad:. Ktorúkoľvek z matíc je možné pre stručnosť nazvať jednoducho maticou.

Po zapísaní rozšírenej matice systému je potrebné s ňou vykonať niektoré akcie, ktoré sa tiež nazývajú elementárne transformácie.

Existujú nasledujúce elementárne transformácie:

1) Struny matrice môcť preskupiť Miesta. Napríklad v uvažovanej matici môžete bezbolestne usporiadať prvý a druhý riadok:

2) Ak matica obsahuje (alebo sa javí) proporcionálne (ako špeciálny prípad - to isté) riadky, potom to nasleduje vymazať z matice všetky tieto riadky okrem jedného. Uvažujme napríklad o matici ... V tejto matici sú posledné tri riadky proporcionálne, takže stačí nechať iba jeden z nich: .

3) Ak sa počas transformácií v matici objavil nulový riadok, potom to tiež nasleduje vymazať... Nebudem kresliť, samozrejme, nulová čiara je čiara, v ktorej jedna nula.

4) Riadok matice môže byť znásobiť (rozdeliť) akýmkoľvek číslom, nenulové... Uvažujme napríklad o matici. Tu je vhodné rozdeliť prvý riadok na –3 a druhý na násobenie 2: ... Táto akcia je veľmi užitočná, pretože zjednodušuje ďalšie transformácie matice.

5) Táto transformácia je najťažšia, ale v skutočnosti nie je ani nič zložité. Do riadka matice môžete pridajte ďalší reťazec vynásobený číslom nenulové. Zoberme si našu maticu z praktického príkladu:. Najprv popíšem konverziu veľmi podrobne. Vynásobte prvý riadok číslom –2: a do druhého riadku pridajte prvý riadok vynásobený –2: ... Teraz je možné prvý riadok rozdeliť „späť“ na –2 :. Ako vidíte, riadok, ktorý PRIDAJ LEE – nezmenilo sa. Je vždy mení riadok NA KTORÉ DODATOK UT.

V praxi samozrejme neopisujú tak podrobne, ale píšu kratšie:

Ešte raz: do druhého riadku pridal sa prvý riadok vynásobený –2... Reťazec sa zvyčajne násobí ústne alebo na koncepte, pričom mentálny priebeh výpočtov je asi takýto:

„Prepíšem maticu a prepíšem prvý riadok: »

"Najprv prvý stĺpec." V spodnej časti potrebujem dostať nulu. Preto vynásobím jednotku hore -2 :, a prvú pridám do druhého riadka: 2 + (–2) = 0. Výsledok napíšem do druhého riadku: »

"Teraz k druhému stĺpcu." Nad –1 vynásobené –2 :. Prvý pridám do druhého riadka: 1 + 2 = 3. Výsledok napíšem do druhého riadka: »

"A tretí stĺpec." Nad –5 vynásobené –2 :. Prvý pridám do druhého riadka: –7 + 10 = 3. Výsledok napíšem do druhého riadka: »

Pozorne pochopte tento príklad a pochopte sekvenčný algoritmus výpočtov, ak tomu rozumiete, potom je Gaussova metóda prakticky „vo vrecku“. Na tejto transformácii však, samozrejme, zapracujeme.

Elementárne transformácie nemenia riešenie sústavy rovníc

! POZOR: považované za manipulácie nemôže používať, ak vám bude ponúknutá úloha, kde sú matice dané „samy“. Napríklad s „klasickým“ akcie s maticami V žiadnom prípade by ste nemali niečo usporiadať vo vnútri matríc!

Vráťme sa k nášmu systému. Prakticky je rozobratý na kúsky.

Zapíšeme si rozšírenú maticu systému a pomocou elementárnych transformácií ju zredukujeme na stupňovitý pohľad:

(1) Do druhého riadku bol pridaný prvý riadok vynásobený –2. A znova: prečo je prvý riadok vynásobený presne –2? Ak chcete získať nulu v spodnej časti, čo znamená zbaviť sa jednej premennej v druhom riadku.

(2) Druhý rad vydelíme 3.

Cieľ elementárnych transformácií – priveďte maticu do stupňovitej formy: ... Pri návrhu úlohy je „rebrík“ vyznačený jednoduchou ceruzkou a čísla, ktoré sa nachádzajú na „schodíkoch“, sú zakrúžkované. Samotný pojem „krokový typ“ nie je úplne teoretický, vo vedeckej a vzdelávacej literatúre sa mu často hovorí lichobežníkový pohľad alebo trojuholníkový pohľad.

V dôsledku elementárnych transformácií sme získali ekvivalent pôvodný systém rovníc:

Teraz je potrebné systém „odkrútiť“ opačným smerom - zdola nahor sa tento proces nazýva zaostalá Gaussova metóda.

V spodnej rovnici už máme hotový výsledok :.

Zoberme si prvú rovnicu systému a už do nej nahraďme známy význam"Hra":

Uvažujme o najbežnejšej situácii, keď Gaussova metóda vyžaduje riešenie systému troch lineárnych rovníc s tromi neznámymi.

Príklad 1

Vyriešte sústavu rovníc Gaussovou metódou:

Zapíšte si rozšírenú maticu systému:

Teraz ihneď nakreslím výsledok, ku ktorému prídeme v priebehu riešenia:

A opäť je naším cieľom priviesť maticu do stupňovitej formy pomocou elementárnych transformácií. Kde začať akciu?

Najprv sa pozrieme na číslo vľavo hore:

Takmer vždy by to tu malo byť jednotka... Všeobecne platí, že –1 bude v poriadku (a niekedy aj iné čísla), ale nejako sa to stalo tak tradične, že sa tam zvyčajne umiestňuje jednotka. Ako zorganizovať jednotku? Pozeráme sa na prvý stĺpec - máme hotovú jednotku! Prvá transformácia: vymeňte prvý a tretí riadok:

Teraz prvý riadok zostane nezmenený až do konca riešenia.... Teraz dobre.

Jednotka vľavo hore je usporiadaná. Teraz musíte na týchto miestach získať nuly:

Nuly získame práve pomocou „ťažkej“ transformácie. Najprv sa zaoberáme druhým riadkom (2, –1, 3, 13). Čo je potrebné urobiť, aby ste na prvej pozícii získali nulu? Nevyhnutné do druhého riadku pridajte prvý riadok vynásobený –2... Psychicky alebo na koncepte vynásobte prvý riadok číslom –2: (–2, –4, 2, –18). Dôsledne vykonávame (opäť mentálne alebo na návrh) pridanie, do druhého riadku pridajte prvý riadok už vynásobený –2:

Výsledok zapíšeme do druhého riadka:

Rovnakým spôsobom sa zaoberáme tretím riadkom (3, 2, –5, –1). Ak chcete získať nulu na prvej pozícii, potrebujete do tretieho riadku pridajte prvý riadok vynásobený –3... Psychicky alebo na koncepte vynásobte prvý riadok číslom –3: (–3, –6, 3, –27). A do tretieho riadku pridajte prvý riadok vynásobený –3:

Výsledok napíšeme do tretieho riadka:

V praxi sa tieto akcie zvyčajne vykonávajú ústne a zaznamenávajú sa v jednom kroku:

Nie je potrebné počítať všetko naraz a súčasne... Poradie výpočtov a „písanie“ výsledkov konzistentný a zvyčajne takto: najskôr prepíšeme prvý riadok a nafúkneme sa šibalsky - SEKVENCIÁLNE a POZORNE:

A už som vyššie preskúmal mentálny priebeh samotných výpočtov.

V tomto prípade je to jednoduché. Rozdelíme druhý riadok na –5 (pretože všetky čísla sú deliteľné 5 bezo zvyšku). Súčasne delíme tretí riadok o –2, pretože čo menšie číslo, takže jednoduchšie riešenie:

Zapnuté konečná fáza elementárne transformácie, tu musíte získať ďalšiu nulu:

Pre to do tretieho riadku pridajte druhý riadok vynásobený –2:

Skúste túto akciu analyzovať sami - mentálne vynásobte druhý riadok číslom –2 a pridajte.

Poslednou vykonanou akciou je účes výsledku, tretí rad rozdeľte o 3.

V dôsledku elementárnych transformácií bol získaný ekvivalentný počiatočný systém lineárnych rovníc:

V pohode

Teraz prichádza na rad rub Gaussovej metódy. Rovnice sa „odvíjajú“ zdola nahor.

V tretej rovnici už máme hotový výsledok:

Pozrime sa na druhú rovnicu :. Význam „z“ je už známy, takže:

A na záver prvá rovnica :. „Ygrek“ a „z“ sú známe, záležitosť je malá:

Odpoveď:

Ako už bolo mnohokrát poznamenané, pre každý systém rovníc je možné a nevyhnutné skontrolovať nájdené riešenie, našťastie je to jednoduché a rýchle.

Príklad 2

Toto je príklad pre nezávislé rozhodnutie, ukážka dokončenia a odpoveď na konci hodiny.

Treba poznamenať, že váš rozhodovací kurz sa nemusí zhodovať s mojím rozhodnutím, a to je vlastnosť Gaussovej metódy... Ale odpovede musia byť rovnaké!

Príklad 3

Vyriešte sústavu lineárnych rovníc pomocou Gaussovej metódy

Zapíšeme si rozšírenú maticu systému a pomocou elementárnych transformácií ju uvedieme do postupnej podoby:

Pozeráme sa na ľavý horný „schod“. Mali by sme tam mať jednotku. Problém je, že v prvom stĺpci nie sú vôbec žiadne, takže prestavanie riadkov nič nevyrieši. V takýchto prípadoch musí byť jednotka organizovaná pomocou elementárnej transformácie. Obvykle sa to dá urobiť niekoľkými spôsobmi. Urobil som toto:
(1) K prvému riadku pripočítajte druhý riadok vynásobený -1... To znamená, že sme druhý riadok mentálne vynásobili –1 a pridali prvý a druhý riadok, zatiaľ čo druhý riadok sa nezmenil.

Teraz vľavo hore „mínus jedna“, čo nám úplne vyhovuje. Každý, kto chce získať +1, môže vykonať ďalší pohyb tela: vynásobte prvý riadok číslom –1 (zmeňte jeho znamienko).

(2) Do druhého riadku sa pridal prvý riadok vynásobený 5. Do tretieho riadku sa pridal prvý riadok vynásobený 3.

(3) Prvý riadok bol vynásobený -1, v zásade je to pre krásu. Zmenili sme tiež znamienko tretieho riadku a posunuli ho na druhé miesto, takže na druhom „kroku máme požadovanú jednotku.

(4) Druhý rad vynásobený 2 sa pridal do tretieho radu.

(5) Tretí riadok bol delený 3.

Zlý znak, ktorý naznačuje chybu vo výpočtoch (menej často - preklep), je „zlý“ konečný výsledok. To znamená, že ak v spodnej časti dostaneme niečo podobné, a teda , potom s vysokou pravdepodobnosťou je možné tvrdiť, že došlo k chybe v priebehu elementárnych transformácií.

Účtujeme spätný zdvih, pri navrhovaní príkladov sa samotný systém často neprepisuje a rovnice „sa preberajú priamo z danej matice“. Spätný pohyb, pripomínam, funguje zdola nahor. Áno, tu bol darček:

Odpoveď: .

Príklad 4

Vyriešte sústavu lineárnych rovníc pomocou Gaussovej metódy

Toto je príklad nezávislého riešenia, je to o niečo komplikovanejšie. Je v poriadku, ak je niekto zmätený. Kompletné riešenie a ukážkový návrh na konci hodiny. Vaše riešenie sa môže líšiť od môjho.

V poslednej časti sa budeme zaoberať niektorými funkciami Gaussovho algoritmu.
Prvá vlastnosť je, že niekedy v rovniciach systému chýbajú niektoré premenné, napríklad:

Ako správne napísať rozšírenú systémovú maticu? O tomto momente som už hovoril v lekcii. Cramerovo pravidlo. Maticová metóda... V rozšírenej matici systému namiesto chýbajúcich premenných vložíme nuly:

Mimochodom, je to celkom ľahký príklad, pretože v prvom stĺpci je už jedna nula a je potrebné vykonať menej elementárnych transformácií.

Druhá funkcia je nasledovná. Vo všetkých uvažovaných príkladoch sme na „kroky“ umiestnili buď –1 alebo +1. Mohli by tam byť aj iné čísla? V niektorých prípadoch môžu. Zvážte systém: .

Tu v ľavom hornom „kroku“ máme dvojku. Všimli sme si však, že všetky čísla v prvom stĺpci sú deliteľné 2 bezo zvyšku - a ostatných dvoch a šiestich. A dvojka vľavo hore nám pristane! V prvom kroku musíte vykonať nasledujúce transformácie: pridajte prvý riadok vynásobený –1 do druhého riadka; do tretieho riadku pridajte prvý riadok vynásobený –3. To nám poskytne požadované nuly v prvom stĺpci.

Alebo iný podmienený príklad: ... Tu nám tiež vyhovuje trojka na druhom „kroku“, pretože 12 (miesto, kde potrebujeme získať nulu) je deliteľné 3 bezo zvyšku. Je potrebné vykonať nasledujúcu transformáciu: do tretieho riadku pridajte druhý riadok vynásobený –4, v dôsledku čoho sa získa nula, ktorú potrebujeme.

Gaussova metóda je univerzálna, ale je tu jedna zvláštnosť. Sebavedomo sa môžete naučiť, ako riešiť systémy inými metódami (Cramerova metóda, maticová metóda) doslova prvýkrát - existuje veľmi rigidný algoritmus. Aby ste sa však v Gaussovej metóde cítili sebaisto, mali by ste „vyplniť ruku“ a vyriešiť najmenej 5-10 systémov. Preto sú spočiatku možné zmätky, chyby vo výpočtoch a nie je na tom nič neobvyklé ani tragické.

Daždivé jesenné počasie za oknom .... Preto pre každého, kto chce viac komplexný príklad za nezávislé riešenie:

Príklad 5

Vyriešte sústavu štyroch lineárnych rovníc so štyrmi neznámymi pomocou Gaussovej metódy.

Takáto úloha v praxi nie je taká vzácna. Myslím si, že aj čajník, ktorý si túto stránku dôkladne preštudoval, algoritmus na riešenie takéhoto systému je intuitívne jasný. V zásade je všetko rovnaké - existuje len viac akcií.

V lekcii Nekompatibilné systémy a systémy so spoločným riešením sa uvažuje o prípadoch, keď systém nemá žiadne riešenia (nekonzistentné) alebo má nekonečne veľa riešení. Uvažovaný algoritmus Gaussovej metódy tam môže byť tiež opravený.

Prajem vám úspech!

Riešenia a odpovede:

Príklad 2: Riešenie : Zapíšeme si rozšírenú maticu systému a pomocou elementárnych transformácií ju uvedieme do postupnej podoby.

Vykonané elementárne transformácie:
(1) Do druhého riadku bol pridaný prvý riadok vynásobený –2. Do tretieho riadku bol pridaný prvý riadok vynásobený -1. Pozor! Tu môže byť lákavé odpočítať prvý od tretieho riadku, od odčítania veľmi neodporúčam - riziko chyby sa výrazne zvyšuje. Stačí sčítať!
(2) Znak druhého riadka bol zmenený (vynásobený –1). Druhý a tretí riadok boli prehodené. Poznámkaže na „schodoch“ sme spokojní nielen s jedným, ale aj –1, čo je ešte pohodlnejšie.
(3) Druhý rad bol pridaný do tretieho radu vynásobený 5.
(4) Znak druhého riadka bol zmenený (vynásobený –1). Tretí riadok bol rozdelený na 14.

Vzad:

Odpoveď: .

Príklad 4: Riešenie : Zapíšeme si rozšírenú maticu systému a pomocou elementárnych transformácií ju uvedieme do postupnej podoby:

Vykonané konverzie:
(1) Do prvého riadku sa pridal druhý. Požadovaná jednotka je teda usporiadaná v ľavom hornom „kroku“.
(2) Do druhého riadku sa pridal prvý riadok vynásobený číslom 7. Do tretieho riadku sa pridal prvý riadok vynásobený číslom 6.

Druhý krok sa zhoršuje „Kandidátmi“ sú čísla 17 a 23 a potrebujeme buď jedno, alebo -1. Transformácie (3) a (4) budú zamerané na získanie požadovanej jednotky

(3) Druhý riadok bol pridaný k tretiemu riadku vynásobený –1.
(4) Tretí riadok bol pridaný k druhému riadku vynásobený –3.
(3) Druhý riadok sa pridal k tretiemu riadku vynásobený 4. Druhý riadok sa pridal k štvrtému riadku vynásobený –1.
(4) Znak druhého riadku bol zmenený. Štvrtý riadok bol rozdelený na 3 a umiestnený na miesto tretieho riadku.
(5) Tretí riadok vynásobený –5 sa pridal k štvrtému riadku.

Vzad:

Dva systémy lineárnych rovníc sa považujú za ekvivalentné, ak sa množina všetkých ich riešení zhoduje.

Elementárne transformácie systému rovníc sú:

Vylúčenie triviálnych rovníc zo systému, t.j. tie, v ktorých sú všetky koeficienty rovné nule;

Násobenie akejkoľvek rovnice číslom iným ako nula;

Sčítanie do akejkoľvek i -tej rovnice akejkoľvek j -tej rovnice vynásobené ľubovoľným číslom.

Premenná x i sa nazýva voľná, ak táto premenná nie je povolená a je povolený celý systém rovníc.

Veta. Elementárne transformácie transformujú systém rovníc na ekvivalentný.

Význam Gaussovej metódy je transformácia pôvodného systému rovníc a získanie ekvivalentného vyriešeného alebo ekvivalentného nekonzistentného systému.

Gaussova metóda teda pozostáva z nasledujúcich krokov:

Zvážte prvú rovnicu. Vyberieme prvý nenulový koeficient a vydelíme ním celú rovnicu. Dostaňme rovnicu, do ktorej vstupuje nejaká premenná x i s koeficientom 1;
Odpočítajme túto rovnicu od všetkých ostatných a vynásobme ju takými číslami, aby koeficienty premennej x i vo zvyšných rovniciach boli nulové. Získame systém, ktorý je vyriešený vzhľadom na premennú x i a je ekvivalentný pôvodnému systému;
Ak vzniknú triviálne rovnice (zriedka, ale stane sa to; napríklad 0 = 0), vymažeme ich zo systému. Výsledkom je, že rovnice sa stanú o jednu menšou;
Predchádzajúce kroky opakujeme maximálne n -krát, kde n je počet rovníc v systéme. Zakaždým vyberieme novú premennú na „spracovanie“. Ak vzniknú konfliktné rovnice (napríklad 0 = 8), systém je nekonzistentný.

Výsledkom je, že po niekoľkých krokoch dostaneme buď povolený systém (možno s voľnými premennými), alebo nekompatibilný. Povolené systémy spadajú do dvoch prípadov:

Počet premenných sa rovná počtu rovníc. To znamená, že systém je definovaný;
Počet premenných je väčší ako počet rovníc. Vpravo zhromažďujeme všetky voľné premenné - získame vzorce pre povolené premenné. Tieto vzorce sú napísané v odpovedi.

To je všetko! Systém lineárnych rovníc je vyriešený! Toto je pomerne jednoduchý algoritmus a na jeho zvládnutie nie je potrebné kontaktovať stredoškolského matematického učiteľa. Uvažujme o príklade:

Úloha. Vyriešte sústavu rovníc:

Popis krokov:

Odpočítajte prvú rovnicu od druhej a tretej - dostaneme povolenú premennú x 1;
Druhú rovnicu vynásobíme (−1), a tretiu rovnicu delíme (−3) - získame dve rovnice, v ktorých sa premenná x 2 vyskytuje s koeficientom 1;
Druhú rovnicu sčítame s prvou a od tretej odčítame. Zoberme si povolenú premennú x 2;
Nakoniec tretiu rovnicu odpočítame od prvej - dostaneme povolenú premennú x 3;
Dostali sme autorizovaný systém, odpoveď zapisujeme.

Všeobecné riešenie spoločného systému lineárnych rovníc je nový systém, ekvivalentný pôvodnému, v ktorom sú všetky povolené premenné vyjadrené voľnými.

Kedy môže byť potrebné všeobecné riešenie? Ak musíte urobiť menej krokov ako k (k je počet rovníc). Dôvody, prečo sa proces v určitom kroku l končí< k , может быть две:

Po l -tom kroku sme dostali systém, ktorý neobsahuje rovnicu s číslom (l + 1). To je vlastne dobré, pretože povolený systém bol aj tak prijatý - dokonca o niekoľko krokov skôr.
Po l -tom kroku bola získaná rovnica, v ktorej sú všetky koeficienty pre premenné rovné nule a voľný koeficient je nenulový. Ide o protirečivú rovnicu, a preto je systém nekonzistentný.

Je dôležité pochopiť, že výskyt rozporuplnej Gaussovej rovnice je dostatočným dôvodom na nesúlad. Zároveň si všimnite, že v dôsledku l -tého kroku nemôžu existovať žiadne triviálne rovnice - všetky sa priamo v procese odstránia.

Popis krokov:

Od druhej odpočítajte prvú rovnicu vynásobenú 4. A tiež pridáme prvú rovnicu k tretej - dostaneme povolenú premennú x 1;
Odčítaním tretej rovnice vynásobenej 2 od druhej dostaneme protichodnú rovnicu 0 = −5.

Systém je teda nekonzistentný, pretože sa nachádza protichodná rovnica.

Úloha. Preskúmajte kompatibilitu a nájdite spoločné riešenie systému:

Popis krokov:

Odpočítajte prvú rovnicu od druhej (predtým vynásobenej dvoma) a tretej - dostaneme povolenú premennú x 1;
Odpočítajte druhú rovnicu od tretej. Pretože všetky koeficienty v týchto rovniciach sú rovnaké, tretia rovnica sa stáva triviálnou. Súčasne vynásobíme druhú rovnicu (−1);
Odpočítajte druhú od prvej rovnice - dostaneme povolenú premennú x 2. Teraz je vyriešený aj celý systém rovníc;
Pretože premenné x 3 a x 4 sú voľné, posunieme ich doprava, aby vyjadrili povolené premenné. Toto je odpoveď.

Systém je teda kompatibilný a neurčitý, pretože existujú dve povolené premenné (x 1 a x 2) a dve voľné (x 3 a x 4).

1. Lineárny systém algebraické rovnice

1.1 Pojem sústavy lineárnych algebraických rovníc

Systém rovníc je stav, ktorý spočíva v simultánnom vykonaní niekoľkých rovníc vo viacerých premenných. Systém lineárnych algebraických rovníc (ďalej len - SLAE) obsahujúci m rovníc a n neznámych je systém tvaru:

kde čísla a ij sa nazývajú koeficienty systému, čísla b i sú voľné termíny, a ij a b i(i = 1, ..., m; b = 1, ..., n) sú niektoré známe čísla a x 1, ..., x n- neznámy. Pri označení koeficientov a ij prvý dolný index i označuje číslo rovnice a druhý j - počet neznámych, na ktorých tento koeficient stojí. Ak chcete nájsť číslo x n. Je vhodné napísať takýto systém v kompaktnej maticovej forme: AX = B. Tu A je matica koeficientov systému, ktorá sa nazýva hlavná matica;

Je stĺpcový vektor neznámych xj.
Je stĺpcový vektor voľných výrazov bi.

Súčin matíc A * X je definovaný, pretože v matici A je toľko stĺpcov, koľko riadkov je v matici X (n kusov).

Rozšírená matica systému je matica A systému, doplnená stĺpcom voľných výrazov

1.2 Riešenie sústavy lineárnych algebraických rovníc

Riešením systému rovníc je usporiadaná množina čísel (hodnôt premenných), keď sa nahradí namiesto premenných, každá z rovníc systému sa zmení na skutočnú rovnosť.

Riešenie systému sa nazýva n hodnôt neznámych х1 = c1, x2 = c2, ..., xn = cn, pri ktorých substitúcii sa všetky rovnice systému premenia na skutočné rovnosti. Akékoľvek riešenie systému môže byť zapísané vo forme stĺpcovej matice

Systém rovníc sa nazýva konzistentný, ak má aspoň jedno riešenie, a nekompatibilný, ak nemá riešenie.

Spoločný systém sa nazýva definitívny, ak má jediné riešenie, a neurčitý, ak má viac ako jedno riešenie. V druhom prípade sa každé z jeho riešení nazýva konkrétne riešenie systému. Súhrn všetkých konkrétnych riešení sa nazýva všeobecné riešenie.

Riešenie systému je zistiť, či je kompatibilný alebo nekonzistentný. Ak je systém kompatibilný, nájdite jeho všeobecné riešenie.

Dva systémy sa nazývajú ekvivalentné (ekvivalentné), ak majú rovnaké všeobecné riešenie. Inými slovami, systémy sú ekvivalentné, ak každé riešenie jedného z nich je riešením druhého a naopak.

Transformácia, ktorej aplikácia premení systém na nový systém ekvivalentný pôvodnému, sa nazýva ekvivalentná alebo ekvivalentná transformácia. Príkladmi ekvivalentných transformácií sú nasledujúce transformácie: permutácia dvoch rovníc systému, permutácia dvoch neznámych spolu s koeficientmi všetkých rovníc, vynásobenie oboch častí akejkoľvek rovnice systému nenulovým číslom.

Systém lineárnych rovníc sa nazýva homogénny, ak sú všetky voľné výrazy rovné nule:

Homogénny systém je vždy kompatibilný, pretože x1 = x2 = x3 =… = xn = 0 je riešením systému. Toto riešenie sa nazýva nulové alebo triviálne.

2. Gaussova eliminačná metóda

2.1 Podstata Gaussovej eliminačnej metódy

Klasickou metódou na riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc je metóda postupnej eliminácie neznámych - Gaussova metóda(nazývaná aj Gaussova eliminačná metóda). Ide o metódu postupnej eliminácie premenných, keď sa pomocou elementárnych transformácií sústava rovníc zredukuje na ekvivalentnú sústavu stupňovitej (alebo trojuholníkovej) formy, z ktorej sa postupne nachádzajú všetky ostatné premenné, začínajúc poslednou ( počet) premenné.

Gaussov proces riešenia pozostáva z dvoch fáz: pohyby dopredu a dozadu.

1. Priamy kurz.

V prvej fáze sa vykonáva takzvaný priamy pohyb, keď sa systém pomocou elementárnych transformácií cez čiary uvedie do stupňovitého alebo trojuholníkového tvaru alebo sa zistí, že systém je nekompatibilný. Konkrétne, medzi prvkami prvého stĺpca matice vyberte nenulový, presuňte ho na najvyššiu pozíciu permutáciou riadkov a zo zvyšných riadkov odčítajte prvý riadok získaný po permutácii a vynásobte ho hodnotou rovnou pomer prvého prvku každého z týchto riadkov k prvému prvku prvého radu, čím sa vynuluje stĺpec pod ním.

Po vykonaní uvedených transformácií sa prvý riadok a prvý stĺpec mentálne prečiarknu a pokračuje, kým matica nezostane nulová veľkosť... Ak pri niektorých iteráciách medzi prvkami prvého stĺpca nie je nájdené nenulové číslo, prejdite na nasledujúci stĺpec a vykonajte podobnú operáciu.

V prvej fáze (priamy pohyb) sa systém zredukuje na stupňovitú (najmä trojuholníkovú) formu.

Nasledujúci systém je stupňovaný:

Koeficienty aii sa nazývajú hlavné (vedúce) prvky systému.

(ak a11 = 0, usporiadame riadky matice tak, aby a 11 sa nerovnalo 0. To je vždy možné, pretože inak matica obsahuje nulový stĺpec, jeho determinant je nula a systém je nekonzistentný).

Systém transformujeme vylúčením neznámeho x1 vo všetkých rovniciach okrem prvej (pomocou elementárnych transformácií systému). Za týmto účelom vynásobte obe strany prvej rovnice

a sčítajte ho termín za termínom s druhou rovnicou systému (alebo prvú rovnicu odpočítame od druhej rovnice vynásobenej). Potom vynásobíme obe strany prvej rovnice a pridáme ich do tretej rovnice systému (alebo od tretej odpočítame prvú vynásobenú). Prvý riadok teda postupne vynásobíme číslom a pridáme do i ten riadok, pre i = 2, 3, …,n.

Pokračovaním v tomto procese získame ekvivalentný systém:

- nové hodnoty koeficientov pre neznáme a voľné termíny v posledných m-1 rovniciach systému, ktoré sú určené vzorcami:

V prvom kroku teda budú všetky koeficienty, ktoré ležia pod prvým otočným prvkom a 11

0, v druhom kroku sú prvky, ktoré ležia pod druhým vedúcim prvkom a 22 (1) (ak je 22 (1) 0) zničené, atď. Pokračovaním tohto procesu ďalej v kroku (m-1) redukujeme pôvodný systém na trojuholníkový.

Ak sa v procese redukcie systému na postupnú formu objavia nulové rovnice, t.j. rovnosti tvaru 0 = 0, sa zahodia. Ak sa zobrazí rovnica tvaru

potom to naznačuje nekompatibilitu systému.

Tu sa priamy priebeh Gaussovej metódy končí.

2. Spätný chod.

V druhej fáze sa vykonáva takzvaný reverzný pohyb, ktorého podstatou je vyjadrenie všetkých výsledných základných premenných z hľadiska nepodstatných a zostrojenie základného systému riešení, alebo ak sú všetky premenné základné, potom vyjadrenie v numerickej forme jediné riešenie sústavy lineárnych rovníc.

Tento postup začína poslednou rovnicou, z ktorej je vyjadrená zodpovedajúca základná premenná (je v nej iba jedna) a ktorá je nahradená predchádzajúcimi rovnicami atď., Pokračovaním v „krokoch“.

Každý riadok zodpovedá presne jednej základnej premennej, preto v každom kroku, okrem posledného (najvyššieho), situácia presne opakuje prípad posledného riadka.

Poznámka: v praxi je výhodnejšie nepracovať so systémom, ale s jeho rozšírenou maticou a vykonávať všetky elementárne transformácie v jeho radoch. Je vhodné, aby sa koeficient a11 rovnal 1 (usporiadajte rovnice alebo rozdeľte obe strany rovnice a11).

2.2 Príklady riešenia SLAE Gaussovou metódou

V tejto časti pomocou troch rôznych príkladov ukážeme, ako je možné Gaussovu metódu použiť na riešenie SLAE.

Príklad 1. Vyriešte SLAE 3. rádu.

Vynulujme koeficienty na

v druhom a treťom riadku. Za týmto účelom ich vynásobte 2/3 a 1 a pridajte ich do prvého riadka:

V tomto článku je metóda považovaná za spôsob riešenia systémov lineárnych rovníc (SLAE). Táto metóda je analytická, to znamená, že vám umožňuje napísať do nej algoritmus riešenia všeobecný pohľad, a potom tam nahraďte hodnoty z konkrétnych príkladov. Na rozdiel od maticovej metódy alebo Cramerových vzorcov pri riešení sústavy lineárnych rovníc Gaussovou metódou môžete pracovať s tými, ktoré majú nekonečne veľa riešení. Alebo ho vôbec nemáte.

Čo to znamená riešiť Gaussovou metódou?

Najprv musíte napísať náš systém rovníc do položky Vyzerá to takto. Systém sa preberá:

Koeficienty sú napísané vo forme tabuľky a vpravo v samostatnom stĺpci - voľné výrazy. Stĺpec s voľnými členmi je pre pohodlie oddelený. Matica obsahujúca tento stĺpec sa nazýva rozšírený.

Ďalej musí byť hlavná matica s koeficientmi redukovaná na horný trojuholníkový tvar. Toto je hlavný bod riešenia systému pomocou Gaussovej metódy. Jednoducho povedané, po určitých manipuláciách by mala matica vyzerať tak, aby v jej spodnej ľavej časti boli iba nuly:

Potom, ak znova zapíšete novú maticu ako sústavu rovníc, môžete si všimnúť, že posledný riadok už obsahuje hodnotu jedného z koreňov, ktorý je potom nahradený vyššie uvedenou rovnicou, nájde sa ďalší koreň atď. .

Toto je popis riešenia Gaussovou metódou vo väčšine všeobecný prehľad... Čo sa stane, ak systém zrazu nemá riešenie? Alebo ich je nekonečne veľa? Na zodpovedanie týchto a mnohých ďalších otázok je potrebné samostatne zvážiť všetky prvky použité pri riešení Gaussovej metódy.

Matice, ich vlastnosti

V matici nie je žiadny skrytý význam. Je to len pohodlný spôsob zaznamenávania údajov pre neskoršiu manipuláciu. Ani školáci sa ich nemusia báť.

Matica je vždy obdĺžniková, pretože je to tak pohodlnejšie. Dokonca aj pri Gaussovej metóde, kde všetko závisí od konštrukcie trojuholníkovej matice, sa v zázname objaví obdĺžnik, iba s nulami v mieste, kde nie sú žiadne čísla. Nuly nie je potrebné písať, ale sú implikované.

Matrica je dimenzovaná. Jeho „šírka“ je počet riadkov (m), „dĺžka“ je počet stĺpcov (n). Potom veľkosť matice A (zvyčajne sa označujú kapitálom) písmená) sa označí ako A m × n. Ak m = n, potom je táto matica štvorcová a m = n je jej poradie. Preto každý prvok matice A môže byť označený číslom jeho riadka a stĺpca: a xy; x - číslo riadka, meniace sa, y - číslo stĺpca, zmena.

B nie je hlavným bodom rozhodnutia. V zásade je možné všetky operácie vykonávať priamo so samotnými rovnicami, ale záznam sa ukáže byť oveľa ťažkopádnejší a bude oveľa jednoduchšie sa v ňom zameniť.

Determinant

Matica má tiež determinant. Toto je veľmi dôležitá vlastnosť. Nestojí za to teraz zisťovať jeho význam, môžete len ukázať, ako sa počíta, a potom povedať, aké vlastnosti matice definuje. Determinant nájdete najľahšie cez uhlopriečky. V matici sú nakreslené imaginárne uhlopriečky; prvky na každom z nich sa vynásobia a potom sa pridajú výsledné produkty: uhlopriečky so sklonom vpravo - so znamienkom plus, so sklonom vľavo - so znamienkom mínus.

Je mimoriadne dôležité poznamenať, že determinant je možné vypočítať iba pre štvorcovú maticu. V prípade obdĺžnikovej matice môžete urobiť nasledovné: zvoľte najmenší počet riadkov a počet stĺpcov (nech je k) a potom ľubovoľným spôsobom označte k stĺpcov a k riadkov v matici. Prvky na priesečníku vybraných stĺpcov a riadkov vytvoria nový štvorcová matica... Ak je determinantom takejto matice nenulové číslo, bude sa nazývať základnou minoritou pôvodnej obdĺžnikovej matice.

Predtým, ako pristúpime k riešeniu sústavy rovníc Gaussovou metódou, nezasahuje do výpočtu determinantu. Ak sa ukáže ako nula, môžeme okamžite povedať, že matica má buď nekonečný počet riešení, alebo neexistujú žiadne. V takom smutnom prípade musíte ísť ďalej a informovať sa o hodnosti matice.

Klasifikácia systému

Existuje niečo také ako hodnosť matice. Toto je maximálne poradie jeho nenulového determinantu (ak si spomenieme na základnú minoritu, môžeme povedať, že hodnosť matice je poradie základnej minority).

Mimochodom, SLAE možno rozdeliť na:

Kĺb. Mať kompatibilných systémov sa hodnosť hlavnej matice (pozostávajúcej iba z koeficientov) zhoduje s hodnosťou rozšírenej (so stĺpcom voľných členov). Takéto systémy majú riešenie, ale nie nevyhnutne jedno, preto sú kĺbové systémy dodatočne rozdelené na:
- istý- mať jediné riešenie. V niektorých systémoch je hodnosť matice a počet neznámych (alebo počet stĺpcov, ktoré sú rovnaké) rovnaké;
- nedefinované - s nekonečným počtom riešení. Poradie matíc pre tieto systémy je menšie ako počet neznámych.
Nekompatibilné. Mať takýchto systémov sa rady hlavných a rozšírených matíc nezhodujú. Nekompatibilné systémy nemajú riešenia.

Gaussova metóda je dobrá, pretože umožňuje získať buď jednoznačný dôkaz o nezlučiteľnosti systému (bez výpočtu determinantov veľkých matíc), alebo všeobecné riešenie pre systém s nekonečným počtom riešení.

Elementárne transformácie

Predtým, ako pristúpite priamo k riešeniu systému, ho môžete urobiť menej ťažkopádnym a pohodlnejším pre výpočty. To sa dosiahne elementárnymi transformáciami - tak, že ich implementácia nijako nezmení konečnú odpoveď. Je potrebné poznamenať, že niektoré z vyššie uvedených elementárnych transformácií platia iba pre matice, ktorých zdrojom bol práve SLAE. Tu je zoznam týchto transformácií:

Permutácia čiar. Je zrejmé, že ak zmeníte poradie rovníc v zápise systému, potom to nijako neovplyvní riešenie. V dôsledku toho v matici tohto systému môžete tiež vymieňať riadky, pričom samozrejme nezabúdate na stĺpec voľných členov.
Násobenie všetkých prvkov riadka nejakým faktorom. Veľmi nápomocný! Dá sa použiť na skrátenie veľké počty v matici alebo odstráňte nuly. Mnoho riešení sa, ako obvykle, nezmení a ďalšie operácie budú pohodlnejšie. Hlavná vec je, že koeficient nie je rovný nule.
Odstráňte riadky s proporcionálnymi koeficientmi. To čiastočne vyplýva z predchádzajúceho bodu. Ak dva alebo viac riadkov v matici má proporcionálne koeficienty, potom pri vynásobení / delení jedného z riadkov koeficientom proporcionality získame dva (alebo opäť viac) absolútne identických riadkov a ďalšie riadky môžete odstrániť, pričom zostane iba jeden.
Odstránenie nulovej čiary. Ak sa počas transformácií niekde ukázal reťazec, v ktorom sú všetky prvky vrátane voľného výrazu nulové, potom takýto reťazec možno nazvať nulovým a vyhodiť z matice.
Sčítanie k prvkom jedného radu prvkov druhého (podľa zodpovedajúcich stĺpcov), vynásobené určitým koeficientom. Najnezrejmejšie a najviac dôležitá transformácia zo všetkých. Stojí za to sa ním podrobnejšie zaoberať.

Sčítanie riadka vynásobeného faktorom

Aby sa uľahčilo pochopenie, stojí za to vykonať tento postup krok za krokom. Z matice sú odobraté dva riadky:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Predpokladajme, že musíte pridať prvý k druhému vynásobený koeficientom „-2“.

a "21 = a 21 + -2 × a 11

a "22 = a 22 + -2 × a 12

a "2n = a 2n + -2 × a 1n

Potom je v matici druhý riadok nahradený novým a prvý zostáva nezmenený.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a "21 a" 22 ... a "2n | b 2

Je potrebné poznamenať, že multiplikačný faktor môže byť zvolený tak, že v dôsledku sčítania dvoch riadkov sa jeden z prvkov nového riadku rovná nule. Preto môžete získať rovnicu v systéme, kde bude o jednu menej neznámej. A ak dostanete dve takéto rovnice, potom je možné operáciu vykonať znova a získať rovnicu, ktorá už bude obsahovať dve neznáme menej. A ak zakaždým, keď prejdete na nula jeden koeficient pre všetky riadky, ktoré sú nižšie ako pôvodné, potom môžete, podobne ako kroky, ísť až na úplné dno matice a získať rovnicu s jednou neznámou. Hovorí sa tomu riešenie systému pomocou Gaussovej metódy.

Všeobecne

Nechajte systém existovať. Má m rovníc a n neznámych koreňov. Dá sa to napísať nasledovne:

Hlavná matica sa skladá zo systémových koeficientov. K rozšírenej matici je pridaný stĺpec voľných členov a pre pohodlie je oddelený stĺpcom.

prvý riadok matice sa vynásobí koeficientom k = (-a 21 / a 11);
pridá sa prvý upravený riadok a druhý riadok matice;
namiesto druhého riadku sa do matice vloží výsledok sčítania z predchádzajúceho odseku;
teraz je prvý koeficient v novom druhom rade a 11 × (-a 21 / a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Teraz sa vykonáva rovnaká séria transformácií, ide iba o prvý a tretí riadok. V súlade s tým je v každom kroku algoritmu prvok a 21 nahradený 31. Potom sa všetko zopakuje pre 41, ... a m1. Výsledkom je matica, kde prvý prvok v riadkoch je rovný nule. Teraz musíme zabudnúť na riadok číslo jedna a vykonať rovnaký algoritmus, počínajúc druhým riadkom:

koeficient k = (-a 32 / a 22);
druhý upravený riadok sa pridá k „aktuálnemu“ riadku;
výsledok sčítania sa nahradí tretím, štvrtým a podobne na riadkoch, pričom prvý a druhý zostanú nezmenené;
v riadkoch matice sa prvé dva prvky už rovnajú nule.

Algoritmus sa musí opakovať, kým sa nezobrazí koeficient k = (-a m, m-1 / a mm). To znamená, že naposledy bol algoritmus vykonaný iba pre dolnú rovnicu. Matica teraz vyzerá ako trojuholník alebo má stupňovitý tvar. Spodný riadok obsahuje rovnosť a mn × x n = b m. Koeficient a intercept sú známe a koreň je vyjadrený prostredníctvom nich: x n = b m / a mn. Výsledný koreň je nahradený do horného radu, aby našiel x n-1 = (b m-1-a m-1, n × (b m / a mn)) ÷ a m-1, n-1. A podobne analogicky: v každom nasledujúcom riadku je nový koreň, a keď sa dostanete na „vrchol“ systému, môžete nájsť mnoho riešení. Bude to jediný.

Keď neexistujú žiadne riešenia

Ak sú v jednom z riadkov matice všetky prvky, okrem voľného výrazu, rovné nule, potom rovnica zodpovedajúca tomuto riadku vyzerá ako 0 = b. Nemá to riešenie. A keďže je taká rovnica uzavretá v systéme, potom je množina riešení celého systému prázdna, to znamená, že je zdegenerovaná.

Keď sú riešenia nekonečné

Môže sa ukázať, že v redukovanej trojuholníkovej matici nie sú žiadne riadky s jedným koeficientom prvku rovnice a jedným voľným výrazom. Existujú iba také riadky, ktoré by po prepísaní mali formu rovnice s dvoma alebo viacerými premennými. To znamená, že systém má nekonečné množstvo riešení. V tomto prípade môže byť odpoveď poskytnutá vo forme všeobecného riešenia. Ako to spraviť?

Všetky premenné v matici sú rozdelené na základné a bezplatné. Základné sú tie, ktoré sú „na okraji“ riadkov v stupňovitej matici. Ostatné sú zadarmo. Vo všeobecnom riešení sú základné premenné zapísané prostredníctvom voľných.

Pre pohodlie je matica najskôr prepísaná späť do systému rovníc. Potom v poslednom z nich, kde zostáva presne jedna základná premenná, zostane na jednej strane a všetko ostatné sa prenesie na druhú. To sa robí pre každú rovnicu s jednou základnou premennou. Potom, ak je to možné, výraz, ktorý je preň získaný, je namiesto základnej premennej nahradený, ak je to možné, zvyšnými rovnicami. Ak sa vo výsledku opäť objaví výraz obsahujúci iba jednu základnú premennú, je znova vyjadrený odtiaľ a tak ďalej, kým nie je každá základná premenná zapísaná ako výraz s voľnými premennými. Toto je všeobecné riešenie SLAE.

Môžete tiež nájsť základné riešenie systému - dať ľubovoľným hodnotám voľné premenné a potom v tomto konkrétnom prípade vypočítať hodnoty základných premenných. Súkromných riešení je nekonečne veľa.

Riešenie na základe konkrétnych príkladov

Tu je systém rovníc.

Pre pohodlie je lepšie ihneď zostaviť jeho maticu

Je známe, že pri riešení Gaussovou metódou zostane rovnica zodpovedajúca prvému riadku na konci transformácií nezmenená. Preto bude výnosnejšie, ak je ľavý horný prvok matice najmenší - potom prvé prvky zostávajúcich riadkov po operáciách zmiznú. To znamená, že v kompilovanej matici bude výhodné dať druhú na miesto prvého radu.

druhý riadok: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3

a "21 = a 21 + k × a 11 = 3 + (-3) × 1 = 0

a "22 = a 22 + k × a 12 = -1 + (-3) × 2 = -7

a "23 = a 23 + k × a 13 = 1 + (-3) × 4 = -11

b "2 = b 2 + k × b 1 = 12 + (-3) × 12 = -24

tretí riadok: k = (-a 3 1 / a 11) = (-5/1) = -5

a "3 1 = a 3 1 + k × a 11 = 5 + (-5) × 1 = 0

a "3 2 = a 3 2 + k × a 12 = 1 + (-5) × 2 = -9

a "3 3 = a 33 + k × a 13 = 2 + (-5) × 4 = -18

b "3 = b 3 + k × b 1 = 3 + (-5) × 12 = -57

Aby sme sa nenechali zmiasť, je potrebné napísať maticu so strednými výsledkami transformácií.

Je zrejmé, že takáto matica môže byť pomocou niektorých operácií čitateľnejšia. Môžete napríklad odstrániť všetky „mínusy“ z druhého riadka vynásobením každého prvku číslom „-1“.

Za zmienku tiež stojí, že v treťom riadku sú všetky prvky násobky troch. Potom môžete reťazec skrátiť o toto číslo tak, že každý prvok vynásobíte „-1/3“ (mínus - súčasne odstránite záporné hodnoty).

Vyzerá to oveľa krajšie. Teraz musíme nechať prvý riadok na pokoji a pracovať s druhým a tretím. Úlohou je pridať do tretieho riadka druhý, vynásobený takým koeficientom, aby sa prvok a 32 rovnal nule.

k = (-a 32 / a 22) = (-3/7) = -3 / 7 bežná frakcia, a až potom, keď dostanete odpovede, rozhodnite sa, či stojí za to zaokrúhliť a preložiť do inej formy zápisu)

a "32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a "33 = a 33 + k × a 23 = 6 + (-3/7) × 11 = -9/7

b "3 = b 3 + k × b 2 = 19 + (-3/7) × 24 = -61/7

Matica je opäť zapísaná s novými hodnotami.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Ako vidíte, výsledná matica už má stupňovitú formu. Preto nie sú potrebné ďalšie transformácie systému Gaussovou metódou. Tu môžete odstrániť celkový koeficient „-1/7“ z tretieho radu.

Teraz je všetko krásne. Vec je malá - znova napísať maticu vo forme sústavy rovníc a vypočítať korene

x + 2y + 4z = 12 (1)

7r + 11z = 24 (2)

Algoritmus, pomocou ktorého teraz nájdeme korene, sa v Gaussovej metóde nazýva spätný pohyb. Rovnica (3) obsahuje hodnotu z:

y = (24 - 11 × (61/9))/7 = -65/9

A prvá rovnica vám umožní nájsť x:

x = (12 - 4z - 2r)/1 = 12 - 4 × (61/9) - 2 × (-65/9) = -6/9 = -2/3

Máme právo nazvať takýto systém spoločným, a dokonca definitívnym, to znamená mať jedinečné riešenie. Odpoveď je napísaná v tomto formáte:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Príklad nedefinovaného systému

Analyzoval sa variant riešenia určitého systému Gaussovou metódou, teraz je potrebné zvážiť prípad, ak je systém neurčitý, to znamená, že preň možno nájsť nekonečne veľa riešení.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Už samotná forma systému je alarmujúca, pretože počet neznámych n = 5 a poradie matice systému je už presne menšie ako toto číslo, pretože počet riadkov je m = 4, to znamená, že najväčší poriadok určujúceho štvorca je 4. Preto existuje nekonečne veľa riešení a je potrebné hľadať jeho celkový vzhľad. Gaussova metóda pre lineárne rovnice vám to umožňuje.

Najprv sa ako obvykle zostaví rozšírená matica.

Druhý riadok: koeficient k = (-a 21 / a 11) = -3. V treťom riadku je prvý prvok ešte pred transformáciami, takže sa nemusíte ničoho dotýkať, musíte to nechať tak, ako to je. Štvrtý riadok: k = (-a 4 1 / a 11) = -5

Vynásobením prvkov prvého riadka každým z ich koeficientov a ich sčítaním s požadovanými riadkami získame maticu nasledujúceho tvaru:

Ako vidíte, druhý, tretí a štvrtý riadok sa skladajú z navzájom proporcionálnych prvkov. Druhý a štvrtý sú spravidla rovnaké, takže jeden z nich je možné odstrániť naraz a zvyšný je možné vynásobiť koeficientom „-1“ a získať riadok číslo 3. A znova nechajte jeden z dvoch rovnakých riadkov .

Výsledkom je taká matica. Systém ešte nebol napísaný, je potrebné určiť základné premenné - stojace s koeficientmi a 11 = 1 a a 22 = 1 a voľné - všetky ostatné.

V druhej rovnici je iba jedna základná premenná - x 2. Preto ho možno odtiaľ vyjadriť zápisom pomocou premenných x 3, x 4, x 5, ktoré sú bezplatné.

Výsledný výraz dosaďte do prvej rovnice.

Výsledkom je rovnica, v ktorej je jedinou základnou premennou x 1. Urobme s ním to isté ako s x 2.

Všetky základné premenné, z ktorých existujú dve, sú vyjadrené pomocou troch voľných, teraz môžete odpoveď napísať vo všeobecnej forme.

Môžete tiež zadať jedno z konkrétnych riešení systému. V takýchto prípadoch sú ako hodnoty pre voľné premenné spravidla zvolené nuly. Potom by odpoveď bola:

16, 23, 0, 0, 0.

Príklad nekonzistentného systému

Riešenie nekonzistentných sústav rovníc Gaussovou metódou je najrýchlejšie. Končí sa akonáhle je v jednom z fáz získaná rovnica, ktorá nemá riešenie. To znamená, že fáza s výpočtom koreňov, ktorá je dosť dlhá a bezútešná, zmizne. Uvažuje sa o nasledujúcom systéme:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Ako obvykle sa vypracuje matica:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

A zmenší sa na stupňovité zobrazenie:

k 1 = -2k2 = -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Po prvej transformácii obsahuje tretí riadok rovnicu tvaru

nemať riešenie. Preto je systém nekonzistentný a odpoveďou je prázdna množina.

Výhody a nevýhody metódy

Ak si vyberiete, akým spôsobom budete riešiť SLAE na papieri perom, potom metóda diskutovaná v tomto článku vyzerá najatraktívnejšie. Elementárne transformácie sa dajú oveľa ťažšie zmiasť, ako keď musíte ručne hľadať determinant alebo nejakú múdru inverznú maticu. Ak však používate programy na prácu s údajmi tohto typu, napríklad tabuľky, ukazuje sa, že tieto programy už majú algoritmy na výpočet hlavných parametrov matíc - determinant, neplnoleté, inverzné atď. A ak ste si istí, že tieto hodnoty si stroj sám vypočíta a nemýli sa, je účelnejšie použiť maticovú metódu alebo Cramerove vzorce, pretože ich aplikácia začína a končí výpočtom determinantov a inverzné matice.

Aplikácia

Pretože Gaussovo riešenie je algoritmus a matica je v skutočnosti dvojrozmerné pole, možno ho použiť v programovaní. Ale keďže sa článok uvádza ako vodítko „pre atrapy“, malo by sa povedať, že najjednoduchším miestom, kde je možné metódu vložiť, sú tabuľky, napríklad Excel. Opäť platí, že akékoľvek SLAE zadané do tabuľky vo forme matice bude Excel považovať za dvojrozmerné pole. A pre operácie s nimi existuje mnoho pekných príkazov: sčítanie (je možné pridať iba matice rovnakej veľkosti!), Násobenie číslom, násobenie matice (tiež s určitými obmedzeniami), nájdenie inverzných a transponovaných matíc a väčšina dôležité, výpočet determinantu. Ak je táto namáhavá úloha nahradená jedným príkazom, je možné určiť hodnosť matice oveľa rýchlejšie, a teda stanoviť jej kompatibilitu alebo nekonzistentnosť.

V tomto článku je metóda považovaná za spôsob riešenia systémov lineárnych rovníc (SLAE). Metóda je analytická, to znamená, že vám umožňuje napísať algoritmus riešenia vo všeobecnej forme a potom tam nahradiť hodnoty z konkrétnych príkladov. Na rozdiel od maticovej metódy alebo Cramerových vzorcov pri riešení sústavy lineárnych rovníc Gaussovou metódou môžete pracovať s tými, ktoré majú nekonečne veľa riešení. Alebo ho vôbec nemáte.

Čo to znamená riešiť Gaussovou metódou?

Najprv musíte napísať náš systém rovníc do položky Vyzerá to takto. Systém sa preberá:

Toto je veľmi všeobecný popis Gaussovho riešenia. Čo sa stane, ak systém zrazu nemá riešenie? Alebo ich je nekonečne veľa? Na zodpovedanie týchto a mnohých ďalších otázok je potrebné samostatne zvážiť všetky prvky použité pri riešení Gaussovej metódy.

Matice, ich vlastnosti

V matici nie je žiadny skrytý význam. Je to len pohodlný spôsob zaznamenávania údajov pre neskoršiu manipuláciu. Ani školáci sa ich nemusia báť.

Matrica je dimenzovaná. Jeho „šírka“ je počet riadkov (m), „dĺžka“ je počet stĺpcov (n). Potom bude veľkosť matice A (na ich označenie sa zvyčajne používajú veľké latinské písmena) označená ako A m × n. Ak m = n, potom je táto matica štvorcová a m = n je jej poradie. Preto každý prvok matice A môže byť označený číslom jeho riadka a stĺpca: a xy; x - číslo riadka, meniace sa, y - číslo stĺpca, zmena.

Determinant

Je mimoriadne dôležité poznamenať, že determinant je možné vypočítať iba pre štvorcovú maticu. V prípade obdĺžnikovej matice môžete urobiť nasledovné: zvoľte najmenší počet riadkov a počet stĺpcov (nech je k) a potom ľubovoľným spôsobom označte k stĺpcov a k riadkov v matici. Prvky na priesečníku vybraných stĺpcov a riadkov vytvoria novú štvorcovú maticu. Ak je determinantom takejto matice nenulové číslo, bude sa nazývať základnou minoritou pôvodnej obdĺžnikovej matice.

Klasifikácia systému

Mimochodom, SLAE možno rozdeliť na:

Kĺb. Mať kompatibilných systémov sa hodnosť hlavnej matice (pozostávajúcej iba z koeficientov) zhoduje s hodnosťou rozšírenej (so stĺpcom voľných členov). Takéto systémy majú riešenie, ale nie nevyhnutne jedno, preto sú kĺbové systémy dodatočne rozdelené na:
- istý- mať jediné riešenie. V niektorých systémoch je hodnosť matice a počet neznámych (alebo počet stĺpcov, ktoré sú rovnaké) rovnaké;
- nedefinované - s nekonečným počtom riešení. Poradie matíc pre tieto systémy je menšie ako počet neznámych.
Nekompatibilné. Mať takýchto systémov sa rady hlavných a rozšírených matíc nezhodujú. Nekompatibilné systémy nemajú riešenia.

Elementárne transformácie

Permutácia čiar. Je zrejmé, že ak zmeníte poradie rovníc v zápise systému, potom to nijako neovplyvní riešenie. V dôsledku toho v matici tohto systému môžete tiež vymieňať riadky, pričom samozrejme nezabúdate na stĺpec voľných členov.
Násobenie všetkých prvkov riadka nejakým faktorom. Veľmi nápomocný! Môže byť použitý na zníženie veľkého počtu v matici alebo odstránenie núl. Mnoho riešení sa, ako obvykle, nezmení a ďalšie operácie budú pohodlnejšie. Hlavná vec je, že koeficient nie je rovný nule.
Odstráňte riadky s proporcionálnymi koeficientmi. To čiastočne vyplýva z predchádzajúceho bodu. Ak dva alebo viac riadkov v matici má proporcionálne koeficienty, potom pri vynásobení / delení jedného z riadkov koeficientom proporcionality získame dva (alebo opäť viac) absolútne identických riadkov a ďalšie riadky môžete odstrániť, pričom zostane iba jeden.
Odstránenie nulovej čiary. Ak sa počas transformácií niekde ukázal reťazec, v ktorom sú všetky prvky vrátane voľného výrazu nulové, potom takýto reťazec možno nazvať nulovým a vyhodiť z matice.
Sčítanie k prvkom jedného radu prvkov druhého (podľa zodpovedajúcich stĺpcov), vynásobené určitým koeficientom. Najjemnejšia a najdôležitejšia transformácia zo všetkých. Stojí za to sa ním podrobnejšie zaoberať.

Sčítanie riadka vynásobeného faktorom

Aby sa uľahčilo pochopenie, stojí za to vykonať tento postup krok za krokom. Z matice sú odobraté dva riadky:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Predpokladajme, že musíte pridať prvý k druhému vynásobený koeficientom „-2“.

a "21 = a 21 + -2 × a 11

a "22 = a 22 + -2 × a 12

a "2n = a 2n + -2 × a 1n

Potom je v matici druhý riadok nahradený novým a prvý zostáva nezmenený.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a "21 a" 22 ... a "2n | b 2

Všeobecne

Nechajte systém existovať. Má m rovníc a n neznámych koreňov. Dá sa to napísať nasledovne:

Hlavná matica sa skladá zo systémových koeficientov. K rozšírenej matici je pridaný stĺpec voľných členov a pre pohodlie je oddelený stĺpcom.

prvý riadok matice sa vynásobí koeficientom k = (-a 21 / a 11);
pridá sa prvý upravený riadok a druhý riadok matice;
namiesto druhého riadku sa do matice vloží výsledok sčítania z predchádzajúceho odseku;
teraz je prvý koeficient v novom druhom rade a 11 × (-a 21 / a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

koeficient k = (-a 32 / a 22);
druhý upravený riadok sa pridá k „aktuálnemu“ riadku;
výsledok sčítania sa nahradí tretím, štvrtým a podobne na riadkoch, pričom prvý a druhý zostanú nezmenené;
v riadkoch matice sa prvé dva prvky už rovnajú nule.

Keď neexistujú žiadne riešenia

Keď sú riešenia nekonečné

Riešenie na základe konkrétnych príkladov

Tu je systém rovníc.

Pre pohodlie je lepšie ihneď zostaviť jeho maticu

druhý riadok: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3

a "21 = a 21 + k × a 11 = 3 + (-3) × 1 = 0

a "22 = a 22 + k × a 12 = -1 + (-3) × 2 = -7

a "23 = a 23 + k × a 13 = 1 + (-3) × 4 = -11

b "2 = b 2 + k × b 1 = 12 + (-3) × 12 = -24

tretí riadok: k = (-a 3 1 / a 11) = (-5/1) = -5

a "3 1 = a 3 1 + k × a 11 = 5 + (-5) × 1 = 0

a "3 2 = a 3 2 + k × a 12 = 1 + (-5) × 2 = -9

a "3 3 = a 33 + k × a 13 = 2 + (-5) × 4 = -18

b "3 = b 3 + k × b 1 = 3 + (-5) × 12 = -57

Aby sme sa nenechali zmiasť, je potrebné napísať maticu so strednými výsledkami transformácií.

k = (-a 32/a 22) = (-3/7) = -3/7 zlomky, a až potom, keď dostanete odpovede, rozhodnite sa, či stojí za to zaokrúhliť a preložiť do inej formy zápisu)

a "32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a "33 = a 33 + k × a 23 = 6 + (-3/7) × 11 = -9/7

b "3 = b 3 + k × b 2 = 19 + (-3/7) × 24 = -61/7

Matica je opäť zapísaná s novými hodnotami.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Teraz je všetko krásne. Vec je malá - znova napísať maticu vo forme sústavy rovníc a vypočítať korene

x + 2y + 4z = 12 (1)

7r + 11z = 24 (2)

Algoritmus, pomocou ktorého teraz nájdeme korene, sa v Gaussovej metóde nazýva spätný pohyb. Rovnica (3) obsahuje hodnotu z:

y = (24 - 11 × (61/9))/7 = -65/9

A prvá rovnica vám umožní nájsť x:

x = (12 - 4z - 2r)/1 = 12 - 4 × (61/9) - 2 × (-65/9) = -6/9 = -2/3

Máme právo nazvať takýto systém spoločným, a dokonca definitívnym, to znamená mať jedinečné riešenie. Odpoveď je napísaná v tomto formáte:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Príklad nedefinovaného systému

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Najprv sa ako obvykle zostaví rozšírená matica.

Vynásobením prvkov prvého riadka každým z ich koeficientov a ich sčítaním s požadovanými riadkami získame maticu nasledujúceho tvaru:

Výsledkom je taká matica. Systém ešte nebol napísaný, je potrebné určiť základné premenné - stojace s koeficientmi a 11 = 1 a a 22 = 1 a voľné - všetky ostatné.

V druhej rovnici je iba jedna základná premenná - x 2. Preto ho možno odtiaľ vyjadriť zápisom pomocou premenných x 3, x 4, x 5, ktoré sú bezplatné.

Výsledný výraz dosaďte do prvej rovnice.

Výsledkom je rovnica, v ktorej je jedinou základnou premennou x 1. Urobme s ním to isté ako s x 2.

Všetky základné premenné, z ktorých existujú dve, sú vyjadrené pomocou troch voľných, teraz môžete odpoveď napísať vo všeobecnej forme.

Môžete tiež zadať jedno z konkrétnych riešení systému. V takýchto prípadoch sú ako hodnoty pre voľné premenné spravidla zvolené nuly. Potom by odpoveď bola:

16, 23, 0, 0, 0.

Príklad nekonzistentného systému

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Ako obvykle sa vypracuje matica:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

A zmenší sa na stupňovité zobrazenie:

k 1 = -2k2 = -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Po prvej transformácii obsahuje tretí riadok rovnicu tvaru

nemať riešenie. Preto je systém nekonzistentný a odpoveďou je prázdna množina.

Výhody a nevýhody metódy

Ak si vyberiete, akým spôsobom budete riešiť SLAE na papieri perom, potom metóda diskutovaná v tomto článku vyzerá najatraktívnejšie. Elementárne transformácie sa dajú oveľa ťažšie zmiasť, ako keď musíte ručne hľadať determinant alebo nejakú múdru inverznú maticu. Ak však používate programy na prácu s údajmi tohto typu, napríklad tabuľky, ukazuje sa, že tieto programy už majú algoritmy na výpočet hlavných parametrov matíc - determinant, neplnoleté, inverzné atď. A ak ste si istí, že stroj tieto hodnoty sám vypočíta a nemýli sa, je účelnejšie použiť maticovú metódu alebo Cramerove vzorce, pretože ich aplikácia začína a končí výpočtom determinantov a inverzných matíc.