Nájdenie najväčšieho spoločného deliteľa troch alebo viacerých čísel je možné zredukovať na postupné nájdenie GCD dvoch čísel. Spomenuli sme to pri štúdiu vlastností GCD. Tam sme sformulovali a dokázali vetu: najväčšiu spoločný deliteľ viac čísel a 1, a 2,…, a k rovná číslu d k, ktorý sa nachádza v sekvenčnom výpočte GCD (a 1, a 2) = d 2, GCD (d 2, a 3) = d 3, GCD (d 3, a 4) = d 4, …,GCD (d k-1, a k) = d k.
Pozrime sa, ako vyzerá proces hľadania GCD niekoľkých čísel zvážením riešenia príkladu.
Príklad.
Nájdite najväčšieho spoločného deliteľa štyroch čísel 78 , 294 , 570 a 36 .
Riešenie.
V tomto prípade a 1 = 78, a 2 = 294, a 3 = 570, a 4 = 36.
Najprv pomocou euklidovského algoritmu určíme najväčšieho spoločného deliteľa d 2 prvé dve čísla 78 a 294 ... Pri delení získame rovnosti 294 = 78 3 + 60; 78 = 60 1 + 18;60 = 18 3 + 6 a 18 = 6 3... Preto d2 = gcd (78, 294) = 6.
Teraz poďme počítať d 3 = gcd (d 2, a 3) = gcd (6, 570)... Znovu použijeme Euclidov algoritmus: 570 = 6,95, teda, d3 = gcd (6, 570) = 6.
Zostáva počítať d 4 = gcd (d 3, a 4) = gcd (6, 36)... Pretože 36 deleno 6 potom d 4 = gcd (6, 36) = 6.
Najväčším spoločným deliteľom týchto štyroch čísel je teda d 4 = 6, to znamená, GCD (78, 294, 570, 36) = 6.
Odpoveď:
GCD (78, 294, 570, 36) = 6.
Rozklad čísel na hlavné faktory tiež vám umožňuje vypočítať gcd troch alebo viacerých čísel. V tomto prípade sa najväčší spoločný faktor zistí ako súčin všetkých spoločných prvočiniteľov daných čísel.
Príklad.
Vypočítajte GCD čísel z predchádzajúceho príkladu pomocou ich primárnych faktorizácií.
Riešenie.
Rozviňte čísla 78 , 294 , 570 a 36 podľa primárnych faktorov dostaneme 78 = 2 3 13,294 = 2 3 7 7, 570 = 2 3 5 19, 36 = 2 2 3 3... Spoločným hlavným faktorom všetkých týchto štyroch čísel sú čísla 2 a 3 ... Preto, GCD (78, 294, 570, 36) = 2 3 = 6.
Odpoveď:
GCD (78, 294, 570, 36) = 6.
Späť na začiatok stránky
Nájdenie gcd pre záporné čísla
Ak je jedno, niekoľko alebo všetky čísla, najväčší deliteľ ktoré je potrebné nájsť, sú záporné čísla, potom sa ich GCD rovná najväčšiemu spoločnému deliteľovi absolútnych hodnôt týchto čísel. Dôvodom je, že opačné čísla a a −a majú rovnakých deliteľov, o ktorých sme hovorili pri štúdiu vlastností deliteľnosti.
Príklad.
Nájdite gcd záporných celých čísel −231 a −140 .
Riešenie.
Absolútna hodnota čísla −231 rovná sa 231 a modul čísla −140 rovná sa 140 a GCD (−231, −140) = GCD (231, 140)... Euklidov algoritmus nám dáva nasledujúce rovnosti: 231 = 140 1 + 91; 140 = 91 1 + 49; 91 = 49 1 + 42; 49 = 42 1 + 7 a 42 = 7 6... Preto, GCD (231, 140) = 7... Potom hľadaný najväčší spoločný deliteľ záporných čísel −231 a −140 rovná sa 7 .
Odpoveď:
GCD (−231, −140) = 7.
Príklad.
Určte gcd troch čísel −585 , 81 a −189 .
Riešenie.
Pri hľadaní najväčšieho spoločného deliteľa môžu byť záporné čísla nahradené ich absolútnymi hodnotami, tj. GCD (-585, 81, -189) = GCD (585, 81, 189)... Rozklad čísel 585 , 81 a 189 prvoradými faktormi sú forma 585 = 3 3 5 13, 81 = 3 3 3 3 a 189 = 3 3 3 7... Spoločnými hlavnými faktormi týchto troch čísel sú 3 a 3 ... Potom GCD (585, 81, 189) = 3 3 = 9, teda, GCD (−585, 81, −189) = 9.
Odpoveď:
GCD (−585, 81, −189) = 9.
35. Korene polynómu. Bezoutova veta. (33 a viac)
36. Mnohonásobnosť koreňov, kritérium multiplicity koreňov.
Aby ste pochopili, ako vypočítať LCM, musíte sa najskôr rozhodnúť o význame pojmu „násobok“.
Násobok A je prirodzené číslo, ktoré je deliteľné A. Takže násobky 5 možno považovať za 15, 20, 25 atď.
Deliteľa určitého čísla môže byť obmedzený počet, ale násobkov je nekonečne veľa.
Spoločný násobok prirodzené čísla- číslo, ktoré je možné bezo zvyšku rozdeliť.
Ako nájsť najmenší spoločný násobok čísel
Najmenší spoločný násobok (LCM) čísel (dva, tri alebo viac) je najmenšie prirodzené číslo, ktoré je deliteľné všetkými týmito číslami.
Existuje niekoľko spôsobov, ako nájsť LCM.
Pri malých číslach je vhodné zapísať všetky násobky týchto čísel do riadka, kým medzi nimi nie je spoločný znak. Násobky sú v zázname označené veľkým písmenom K.
Násobky 4 môžu byť napríklad zapísané takto:
K (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)
K (6) = (12, 18, 24, ...)
Môžete teda vidieť, že najmenší spoločný násobok 4 a 6 je 24. Tento záznam sa vykonáva nasledovne:
LCM (4, 6) = 24
Ak sú čísla veľké, nájdite spoločný násobok troch alebo viacerých čísel, potom je lepšie použiť inú metódu výpočtu LCM.
Na dokončenie úlohy musíte rozložiť navrhované čísla na hlavné faktory.
Najprv musíte napísať rozklad najväčšieho z čísel v riadku a pod ním - zvyšok.
Pri rozširovaní každého čísla môže existovať iný počet faktorov.
Rozoberme napríklad čísla 50 a 20 na prvočinitele.
Pri rozšírení menšieho počtu je potrebné zdôrazniť faktory, ktoré pri rozšírení prvého absentujú. Vysoké číslo a potom ich k tomu pridajte. V uvedenom príklade dva chýbajú.
Teraz môžete vypočítať najmenší spoločný násobok 20 a 50.
LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100
Takže súčin prvotných faktorov viac a faktory druhého čísla, ktoré nie sú zahrnuté v rozšírení väčšieho, budú najmenej spoločným násobkom.
Ak chcete nájsť LCM troch alebo viacerých čísel, všetky by mali byť rozložené na hlavné faktory, ako v predchádzajúcom prípade.
Ako príklad nájdite najmenší spoločný násobok 16, 24, 36.
36 = 2 * 2 * 3 * 3
24 = 2 * 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
Faktorizácia väčšieho počtu na faktory nezahŕňala iba dve dve z faktorizácie šestnástich (jedna je vo faktorizácii dvadsaťštyri).
K rozšíreniu väčšieho počtu ich teda treba pridať.
LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9
Existujú špeciálne prípady určenia najmenej spoločného násobku. Ak teda jedno z čísel možno bezo zvyšku rozdeliť druhým, bude väčšie z týchto čísel najmenej spoločným násobkom.
Napríklad LCM dvanástich a dvadsiatich štyroch by bolo dvadsaťštyri.
Ak potrebujete nájsť najmenší spoločný násobok coprime čísel, ktoré nemajú rovnakých deliteľov, potom sa ich LCM bude rovnať ich súčinu.
Napríklad LCM (10, 11) = 110.
Aby ste sa dozvedeli, ako nájsť najväčšieho spoločného deliteľa dvoch alebo viacerých čísel, musíte pochopiť, čo sú prirodzené, prvočíselné a komplexné čísla.
Akékoľvek číslo, ktoré sa používa pri počítaní celých predmetov, sa nazýva prirodzené.
Ak je možné prirodzené číslo rozdeliť iba na jedno a jedno, nazýva sa to prvočíslo.
Všetky prirodzené čísla je možné rozdeliť samostatne na jedno, ale jediné párne prvočíslo je 2, všetky ostatné je možné rozdeliť na dve. Prvotné preto môžu byť iba nepárne čísla.
Existuje veľa prvočísel kompletný zoznam neexistujú. Na nájdenie GCD je vhodné použiť špeciálne tabuľky s takýmito číslami.
Väčšina prirodzených čísel môže byť deliteľná nielen jedným, ale aj inými číslami. Napríklad číslo 15 môže byť delené 3 a 5. Všetky sa nazývajú deliteľmi čísla 15.
Deliteľ akéhokoľvek A je číslo, pomocou ktorého ho možno bezo zvyšku rozdeliť. Ak má číslo viac ako dvoch prirodzených deliteľov, nazýva sa to zložené.
Číslo 30 je možné rozlíšiť takými faktormi ako 1, 3, 5, 6, 15, 30.
Môžete vidieť, že 15 a 30 majú rovnakých deliteľov 1, 3, 5, 15. Najväčším spoločným deliteľom týchto dvoch čísel je 15.
Spoločným deliteľom čísel A a B je teda číslo, pomocou ktorého ich možno úplne rozdeliť. Za najväčšie možno považovať maximálny celkový počet, ktorým ich možno rozdeliť.
Na riešenie problémov sa používa nasledujúci skrátený nápis:
GCD (A; B).
Napríklad GCD (15; 30) = 30.
Na zápis všetkých deliteľov prirodzeného čísla sa používa nasledujúci zápis:
D (15) = (1, 3, 5, 15)
GCD (9; 15) = 1
V tomto prípade majú prirodzené čísla iba jedného spoločného deliteľa. Hovorí sa im coprime a je ich najväčším spoločným deliteľom.
Ako nájsť najväčšieho spoločného deliteľa čísel
Na nájdenie GCD niekoľkých čísel potrebujete:
Nájdite všetkých deliteľov každého prirodzeného čísla oddelene, to znamená, rozdeľte ich na faktory (prvočísla);
Vyberte všetky rovnaké faktory pre dané čísla;
Vynásobte ich spolu.
Napríklad na výpočet najväčšieho spoločného deliteľa 30 a 56 by ste napísali toto:
Aby nedošlo k zámene, je vhodné zapísať multiplikátory do zvislých stĺpcov. Na ľavej strane riadku musíte umiestniť dividendu a na pravej strane deliteľa. Výsledný kvocient by mal byť uvedený pod dividendou.
V pravom stĺpci teda budú všetky faktory potrebné pre riešenie.
Pre pohodlie je možné zdôrazniť rovnakých deliteľov (nájdené faktory). Mali by byť prepísané a vynásobené a zapísaný najväčší spoločný deliteľ.
GCD (30; 56) = 2 * 5 = 10
Takto jednoducho je skutočne možné nájsť najväčšieho spoločného deliteľa čísel. S trochou praxe sa to dá urobiť takmer automaticky.
Online kalkulačka vám umožní rýchlo nájsť najväčší spoločný faktor a najmenší spoločný násobok pre dve alebo akékoľvek iné čísla.
Kalkulačka na hľadanie GCD a LCM
Nájdite GCD a LCM
Nájdené GCD a NOC: 5806
Ako používať kalkulačku
- Zadajte čísla do vstupného poľa
- Ak zadáte nesprávne znaky, vstupné pole sa zvýrazní červenou farbou
- kliknite na tlačidlo „Nájsť GCD a LCM“
Ako zadávať čísla
- Čísla sa zadávajú oddelené medzerou, bodkou alebo čiarkou
- Dĺžka zadaných čísel nie je obmedzená, takže nájdenie GCD a LCM dlhých čísel nebude ťažké
Čo sú to GCD a NOC?
Najväčší spoločný deliteľ viacnásobné čísla je najväčšie prirodzené číslo, ktorým sú všetky pôvodné čísla deliteľné bezo zvyšku. Najväčší spoločný faktor je skrátený ako Gcd.
Najmenej spoločný násobok viacnásobné čísla je najmenšie číslo, ktoré je deliteľné každým z pôvodných čísel bezo zvyšku. Najmenší spoločný násobok je skrátený ako NOC.
Ako skontrolovať, či je číslo deliteľné iným číslom bezo zvyšku?
Ak chcete zistiť, či je jedno číslo deliteľné druhým číslom bezo zvyšku, môžete použiť niektoré z vlastností deliteľnosti čísel. Potom ich kombináciou môžete skontrolovať deliteľnosť na niektoré z nich a ich kombinácie.
Niektoré znaky deliteľnosti čísel
1. Kritérium deliteľnosti čísla 2
Ak chcete zistiť, či je číslo deliteľné dvoma (či je párne), stačí sa pozrieť na poslednú číslicu tohto čísla: ak je 0, 2, 4, 6 alebo 8, potom je číslo párne, čo to znamená, že je deliteľné 2.
Príklad: určiť, či je číslo 34938 deliteľné 2.
Riešenie: pozrite sa na poslednú číslicu: 8 - číslo je teda deliteľné dvoma.
2. Znak deliteľnosti čísla číslom 3
Číslo je deliteľné 3, keď súčet jeho číslic je deliteľný tromi. Aby ste teda zistili, či je číslo deliteľné 3, musíte vypočítať súčet číslic a skontrolovať, či je deliteľné číslom 3. Aj keď je súčet číslic veľmi veľký, rovnaký postup môžete zopakovať znova.
Príklad: určiť, či je číslo 34938 deliteľné 3.
Riešenie: spočítame súčet číslic: 3 + 4 + 9 + 3 + 8 = 27,27 je deliteľné 3, čo znamená, že číslo je deliteľné tromi.
3. Znak deliteľnosti čísla číslom 5
Číslo je deliteľné piatimi, ak je jeho posledná číslica nula alebo päť.
Príklad: určiť, či je číslo 34938 deliteľné číslom 5.
Riešenie: pozrite sa na poslednú číslicu: 8 znamená, že číslo NIE je deliteľné piatimi.
4. Znak deliteľnosti čísla číslom 9
Táto funkcia je veľmi podobná deliteľnosti tromi: číslo je deliteľné 9, keď je súčet jeho číslic deliteľný 9.
Príklad: určiť, či je číslo 34938 deliteľné číslom 9.
Riešenie: spočítame súčet číslic: 3 + 4 + 9 + 3 + 8 = 27,27 je deliteľné 9, čo znamená, že číslo je deliteľné deviatimi.
Ako nájsť GCD a LCM dvoch čísel
Ako nájsť gcd dvoch čísel
Väčšina jednoduchým spôsobom výpočet najväčšieho spoločného deliteľa dvoch čísel je nájdenie všetkých možných deliteľov týchto čísel a výber toho najväčšieho.
Uvažujme o tejto metóde na príklade nájdenia GCD (28, 36):
- Súčinte obe čísla: 28 = 1 2 2 7, 36 = 1 2 2 3 3
- Nájdeme spoločné faktory, tj. Tie, ktoré majú obe čísla: 1, 2 a 2.
- Vypočítame súčin týchto faktorov: 1 · 2 · 2 = 4 - to je najväčší spoločný deliteľ čísel 28 a 36.
Ako nájsť LCM dvoch čísel
Existujú dva najbežnejšie spôsoby, ako nájsť najmenší násobok dvoch čísel. Prvý spôsob je, že môžete napísať prvé násobky dvoch čísel a potom medzi nimi vybrať také číslo, ktoré bude spoločné pre obe čísla a zároveň najmenšie. A druhým je nájsť GCD týchto čísel. Uvažujme len o tom.
Na výpočet LCM musíte vypočítať súčin pôvodných čísel a potom ho rozdeliť podľa predtým nájdeného GCD. Nájdite LCM pre rovnaké čísla 28 a 36:
- Nájdite súčin čísel 28 a 36: 28 36 = 1008
- GCD (28, 36), ako je už známe, sa rovná 4
- LCM (28, 36) = 1008/4 = 252.
Nájdenie GCD a LCM pre niekoľko čísel
Najväčší spoločný faktor možno nájsť pre niekoľko čísel, nielen pre dve. Za týmto účelom sa čísla, ktoré sa majú hľadať s najväčším spoločným faktorom, rozložia na prvočinitele, potom sa nájde súčin spoločných prvočiniteľov týchto čísel. Na nájdenie GCD niekoľkých čísel môžete použiť aj nasledujúci vzťah: Gcd (a, b, c) = gcd (gcd (a, b), c).
Podobný vzťah platí pre najmenej spoločný násobok čísel: LCM (a, b, c) = LCM (LCM (a, b), c)
Príklad: vyhľadajte GCD a LCM pre čísla 12, 32 a 36.
- Najprv spočítajte čísla: 12 = 1 2 2 3, 32 = 1 2 2 2 2 2 2, 36 = 1 2 2 3 3 3.
- Poďme nájsť spoločné faktory: 1, 2 a 2.
- Ich súčin poskytne GCD: 1 2 2 = 4
- Teraz nájdeme LCM: na to najskôr nájdeme LCM (12, 32): 12 · 32/4 = 96.
- Ak chcete nájsť LCM všetkých troch čísel, musíte nájsť GCD (96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 2 2 3, 36 = 1 2 2 3 3, GCD = 1 2 2 3 = 12.
- LCM (12, 32, 36) = 96 36/12 = 288.
2 |
5 |
||||||
2 |
5 |
||||||
3 |
3 |
||||||
5 |
|||||||
60=2*2*3*5
75=3*5*5
2) Vypíšeme faktory zahrnuté v rozklade prvého z týchto čísel a pripočítame k nim chýbajúci faktor 5 z rozkladu druhého čísla. Dostaneme: 2 * 2 * 3 * 5 * 5 = 300. Našiel NOC, t.j. toto množstvo = 300. Nezabudnite na rozmer a napíšte odpoveď:
Odpoveď: Mama dáva po 300 rubľov.
Definícia GCD: Najväčší spoločný deliteľ (GCD) prirodzené čísla a a v zavolajte na najväčšie prirodzené číslo c na ktorom a a a b sú rozdelené bezo zvyšku. Títo. c je najväčšie prirodzené číslo, pre ktoré a a a b sú násobky.
Poznámka: Existujú dva prístupy k určovaniu prirodzených čísel
- čísla používané v: zozname (číslovaní) položiek (prvá, druhá, tretia, ...); - v školách, väčšinou takto.
- označenie počtu položiek (žiadny pokémon - nula, jeden pokémon, dva pokémoni, ...).
Záporné a necelé čísla (racionálne, skutočné, ...) čísla nie sú prirodzené. Niektorí autori zahrnujú nulu do množiny prirodzených čísel, iní nie. Množina všetkých prirodzených čísel je zvyčajne označená symbolom N.
Poznámka: Deliteľ prirodzeného čísla a zavolaj na číslo b, na ktorých a deliteľné bezo zvyšku. Viacnásobné prirodzené číslo b nazývané prirodzené číslo a ktorý je deliteľný b bezo zvyšku. Ak číslo b- deliteľ čísel a potom a násobok b... Príklad: 2 je deliteľ 4 a 4 je násobok dvoch. 3 je deliteľ 12 a 12 je násobok 3.
Poznámka: Prirodzené čísla sa nazývajú prvočíselné, ak sú deliteľné bezo zvyšku iba samy sebou a číslom 1. Vzájomne prvočísla sú tie, ktoré majú iba jedného spoločného deliteľa rovného 1.
Definícia toho, ako nájsť GCD vo všeobecnom prípade: Nájdenie GCD (najväčší spoločný deliteľ) potrebujete niekoľko prirodzených čísel:
1) Rozložte ich na hlavné faktory. (Tabuľka prvočísel môže byť na to veľmi užitočná.)
2) Napíšte faktory zahrnuté v rozšírení jedného z nich.
3) Škrtnite tie, ktoré nie sú zahrnuté v rozklade zvyšných čísel.
4) Vynásobte faktory získané v kroku 3).
Problém 2 pre (NOC): Na nový rok Kolya Puzatov kúpil v meste 48 škrečkov a 36 kanvíc. Fyokla Dormidontova ako najúprimnejšie dievča v triede mala za úlohu rozdeliť tento majetok na čo najväčší počet darčekových setov pre učiteľov. Koľko sád ste dostali? Aké je zloženie súprav?
Príklad 2.1. riešenie problému nájdenia GCD. Hľadanie GCD výberom.
Riešenie: Každé z čísiel 48 a 36 musí byť deliteľné počtom darčekov.
1) Vypíšeme delitele 48: 48, 24, 16, 12
, 8, 6, 3, 2, 1
2) Vypíšeme delitele 36: 36, 18, 12
, 9, 6, 3, 2, 1 Vyberte najväčší spoločný faktor. Ups-la-la! Našiel sa tento počet sád 12 kusov.
3) Rozdeľte 48 na 12, získajte 4, delte 36 na 12, získajte 3. Nezabudnite na rozmer a napíšte odpoveď:
Odpoveď: V každej sade dostanete 12 sád 4 škrečkov a 3 kávové kanvice.
