Geometrická postupnosť je spolu s aritmetickou postupnosťou dôležitým číselným radom, ktorý sa študuje v kurze školskej algebry v 9. ročníku. V tomto článku sa pozrieme na menovateľa geometrickej progresie a na to, ako jej hodnota ovplyvňuje jej vlastnosti.
Definícia geometrickej progresie
Najprv si dajme definíciu tohto číselného radu. Geometrická postupnosť je séria racionálnych čísel, ktorá vzniká postupným násobením jej prvého prvku konštantné číslo, nazývaný menovateľ.
Napríklad čísla v rade 3, 6, 12, 24, ... sú geometrickým postupom, pretože ak vynásobíte 3 (prvý prvok) 2, dostanete 6. Ak vynásobíte 6 2, dostanete 12 a tak ďalej.
Členy uvažovanej postupnosti sa zvyčajne označujú symbolom ai, kde i je celé číslo označujúce číslo prvku v rade.
Vyššie uvedená definícia progresie môže byť napísaná v matematickom jazyku takto: an = bn-1 * a1, kde b je menovateľ. Je ľahké skontrolovať tento vzorec: ak n = 1, potom b1-1 = 1 a dostaneme a1 = a1. Ak n = 2, potom an = b * a1 a opäť sa dostávame k definícii príslušného číselného radu. V podobných úvahách možno pokračovať veľké hodnoty n.
Menovateľ geometrickej progresie
Číslo b úplne určuje, aký charakter bude mať celý číselný rad. Menovateľ b môže byť kladný, záporný alebo väčší alebo menší ako jedna. Všetky vyššie uvedené možnosti vedú k rôznym sekvenciám:
- b > 1. Existuje rastúci rad racionálnych čísel. Napríklad 1, 2, 4, 8, ... Ak je prvok a1 záporný, potom sa celá postupnosť zvýši iba v absolútnej hodnote, ale zníži sa v závislosti od znamienka čísel.
- b = 1. Tento prípad sa často nenazýva progresia, pretože existuje obyčajný rad rovnakých racionálnych čísel. Napríklad -4, -4, -4.
Vzorec pre množstvo
Predtým, ako sa pozrieme na konkrétne úlohy Použitím menovateľa uvažovaného typu progresie by sa mal uviesť dôležitý vzorec pre súčet jej prvých n prvkov. Vzorec vyzerá takto: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).
Tento výraz môžete získať sami, ak vezmete do úvahy rekurzívnu postupnosť členov progresie. Všimnite si tiež, že vo vyššie uvedenom vzorci stačí poznať iba prvý prvok a menovateľ, aby ste našli súčet ľubovoľného počtu členov.
Nekonečne klesajúca sekvencia
Vyššie bolo uvedené vysvetlenie, čo to je. Teraz, keď poznáme vzorec pre Sn, aplikujme ho na tento číselný rad. Pretože každé číslo, ktorého modul nepresahuje 1, má sklon k nule, keď sa zvýši na veľké mocniny, to znamená, že b∞ => 0, ak -1
Keďže rozdiel (1 - b) bude vždy kladný, bez ohľadu na hodnotu menovateľa, znamienko súčtu nekonečne klesajúcej geometrickej postupnosti S∞ je jednoznačne určené znamienkom jej prvého prvku a1.
Teraz sa pozrime na niekoľko problémov, kde si ukážeme, ako aplikovať získané poznatky na konkrétnych číslach.
Úloha č. 1. Výpočet neznámych prvkov progresie a súčtu
Pri geometrickej postupnosti je menovateľ postupnosti 2 a jej prvý prvok je 3. Čomu sa bude rovnať jej 7. a 10. člen a aký je súčet jej siedmich počiatočných prvkov?
Podmienka problému je pomerne jednoduchá a zahŕňa priame použitie vyššie uvedených vzorcov. Na výpočet čísla prvku n teda použijeme výraz an = bn-1 * a1. Pre 7. prvok máme: a7 = b6 * a1, dosadením známych údajov dostaneme: a7 = 26 * 3 = 192. To isté urobíme pre 10. člen: a10 = 29 * 3 = 1536.
Použime známy vzorec pre súčet a určme túto hodnotu pre prvých 7 prvkov radu. Máme: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.
Úloha č. 2. Určenie súčtu ľubovoľných prvkov progresie
Nech -2 sa rovná menovateľovi geometrickej postupnosti bn-1 * 4, kde n je celé číslo. Je potrebné určiť súčet od 5. do 10. prvku tohto radu vrátane.
Nastolený problém nemožno vyriešiť priamo pomocou známych vzorcov. Dá sa to riešiť 2 spôsobmi rôzne metódy. Pre úplnosť prezentácie témy uvádzame obe.
Metóda 1. Myšlienka je jednoduchá: musíte vypočítať dva zodpovedajúce súčty prvých výrazov a potom od jedného odpočítať druhý. Vypočítame menšie množstvo: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Teraz poďme počítať veľké množstvo: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Všimnite si, že v poslednom výraze boli sčítané iba 4 výrazy, pretože 5. je už zahrnutý v sume, ktorú je potrebné vypočítať podľa podmienok problému. Nakoniec vezmeme rozdiel: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.
Metóda 2. Pred dosadením čísel a počítaním môžete získať vzorec pre súčet medzi m a n členmi daného radu. Robíme presne to isté ako v metóde 1, len najprv pracujeme so symbolickým znázornením sumy. Máme: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Do výsledného výrazu môžete dosadiť známe čísla a vypočítať konečný výsledok: S105 = 4* ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.
Úloha č. 3. Aký je menovateľ?
Nech a1 = 2, nájdite menovateľa geometrickej postupnosti za predpokladu, že jej nekonečný súčet je 3 a je známe, že ide o klesajúci rad čísel.
Na základe podmienok problému nie je ťažké uhádnuť, ktorý vzorec by sa mal použiť na jeho vyriešenie. Samozrejme, pre súčet progresie nekonečne klesajúci. Máme: S∞ = a1 / (1 - b). Odkiaľ vyjadrujeme menovateľ: b = 1 - a1 / S∞. Zostáva len nahradiť známe hodnoty a získajte požadované číslo: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 alebo -0,333(3). Tento výsledok môžeme kvalitatívne skontrolovať, ak si zapamätáme, že pre tento typ sekvencie by modul b nemal prekročiť 1. Ako je možné vidieť, |-1 / 3|
Úloha č. 4. Obnovenie série čísel
Nech sú dané 2 prvky číselného radu, napríklad 5. sa rovná 30 a 10. sa rovná 60. Z týchto údajov je potrebné rekonštruovať celý rad s vedomím, že spĺňa vlastnosti geometrickej postupnosti.
Ak chcete problém vyriešiť, musíte si najprv zapísať zodpovedajúci výraz pre každý známy výraz. Máme: a5 = b4 * a1 a a10 = b9 * a1. Teraz vydeľte druhý výraz prvým, dostaneme: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Odtiaľ určíme menovateľa tak, že vezmeme piaty odmocninec z pomeru pojmov známych z úlohy, b = 1,148698. Výsledné číslo dosadíme do jedného z výrazov pre známy prvok, dostaneme: a1 = a5 / b4 = 30 / (1,148698)4 = 17,2304966.
Našli sme teda menovateľa progresie bn a geometrickú progresiu bn-1 * 17,2304966 = an, kde b = 1,148698.
Kde sa používajú geometrické postupnosti?
Ak by neexistovala praktická aplikácia tohto číselného radu, potom by sa jeho štúdium zredukovalo na čisto teoretický záujem. Ale taká aplikácia existuje.
Nižšie sú uvedené 3 najznámejšie príklady:
- Zenónov paradox, v ktorom svižný Achilles nestíha pomalú korytnačku, je riešený konceptom nekonečne klesajúcej postupnosti čísel.
- Ak umiestnite pšeničné zrná na každé políčko šachovnice tak, že na 1. políčko dáte 1 zrnko, na 2. - 2, na 3. - 3 atď., potom na vyplnenie všetkých políčok šachovnice budete potrebovať 18446744073709551615 zŕn!
- V hre „Hanojská veža“ je na presun diskov z jednej tyče na druhú potrebné vykonať 2n - 1 operácií, to znamená, že ich počet rastie exponenciálne s počtom n použitých diskov.
Geometrická progresia nemenej dôležité v matematike v porovnaní s aritmetikou. Geometrická postupnosť je postupnosť čísel b1, b2,..., b[n], ktorej každý ďalší člen sa získa vynásobením predchádzajúceho konštantným číslom. Toto číslo, ktoré charakterizuje aj rýchlosť rastu alebo poklesu progresie, sa nazýva menovateľ geometrickej progresie a označujú
Na úplné špecifikovanie geometrickej progresie je okrem menovateľa potrebné poznať alebo určiť jej prvý člen. Pre kladná hodnota progresia menovateľa je monotónna postupnosť a ak táto postupnosť čísel monotónne klesá a ak monotónne rastie. Prípad, keď sa menovateľ rovná jednej, sa v praxi neuvažuje, pretože máme postupnosť rovnakých čísel a ich súčet nie je praktický
Všeobecný pojem geometrickej progresie vypočítané podľa vzorca
Súčet prvých n členov geometrickej postupnosti určený vzorcom
Pozrime sa na riešenia klasických úloh geometrickej postupnosti. Začnime tými najjednoduchšími na pochopenie.
Príklad 1. Prvý člen geometrickej postupnosti je 27 a jej menovateľ je 1/3. Nájdite prvých šesť členov geometrickej postupnosti.
Riešenie: Do formulára napíšme problémový stav
Na výpočty používame vzorec pre n-tý člen geometrickej postupnosti
Na základe toho nájdeme neznáme termíny progresie
Ako vidíte, výpočet podmienok geometrickej progresie nie je zložitý. Samotný postup bude vyzerať takto
Príklad 2. Sú uvedené prvé tri členy geometrickej postupnosti: 6; -12; 24. Nájdite menovateľa a jeho siedmy člen.
Riešenie: Menovateľa geomitrickej progresie vypočítame na základe jeho definície
Získali sme striedavý geometrický postup, ktorého menovateľ sa rovná -2. Siedmy člen sa vypočíta pomocou vzorca
Tým je problém vyriešený.
Príklad 3. Geometrická postupnosť je daná dvoma jej členmi 
. Nájdite desiaty termín postupu.
Riešenie:
Napíšme dané hodnoty pomocou vzorcov
Podľa pravidiel by sme potrebovali nájsť menovateľa a potom hľadať požadovanú hodnotu, ale pre desiaty člen máme
Rovnaký vzorec možno získať na základe jednoduchých manipulácií so vstupnými údajmi. Rozdeľte šiesty termín série druhým a ako výsledok dostaneme
Ak sa výsledná hodnota vynásobí šiestym členom, dostaneme desiaty
Pre takéto úlohy teda pomocou jednoduchých transformácií na rýchly spôsob môžete nájsť správne riešenie.
Príklad 4. Geometrická postupnosť je daná opakujúcimi sa vzorcami
Nájdite menovateľa geometrickej postupnosti a súčet prvých šiestich členov.
Riešenie:
Dané údaje zapíšme vo forme sústavy rovníc
Vyjadrite menovateľ tak, že druhú rovnicu vydelíte prvou
Nájdite prvý člen postupu z prvej rovnice
Vypočítajme nasledujúcich päť členov, aby sme našli súčet geometrickej postupnosti
Matematika je čoľudia ovládajú prírodu a seba.
Sovietsky matematik, akademik A.N. Kolmogorov
Geometrická progresia.
Spolu s problémami o aritmetických postupnostiach sú na prijímacích skúškach z matematiky bežné aj problémy súvisiace s pojmom geometrická postupnosť. Na úspešné vyriešenie takýchto problémov potrebujete poznať vlastnosti geometrických postupností a mať dobré zručnosti pri ich používaní.
Tento článok je venovaný prezentácii základných vlastností geometrickej progresie. Tu sú uvedené aj príklady riešenia typických problémov., požičal z úloh prijímacích skúšok z matematiky.
Najprv si všimnime základné vlastnosti geometrickej postupnosti a pripomeňme si najdôležitejšie vzorce a tvrdenia, spojené s týmto konceptom.
Definícia.Číselná postupnosť sa nazýva geometrická postupnosť, ak sa každé číslo, začínajúce od druhého, rovná predchádzajúcemu, vynásobené rovnakým číslom. Číslo sa nazýva menovateľ geometrickej postupnosti.
Pre geometrický postupvzorce sú platné
, (1)
Kde . Vzorec (1) sa nazýva vzorec všeobecného členu geometrickej postupnosti a vzorec (2) predstavuje hlavnú vlastnosť geometrickej postupnosti: každý člen postupnosti sa zhoduje s geometrickým priemerom susedných členov a .
Poznámka, že práve kvôli tejto vlastnosti sa spomínaná progresia nazýva „geometrická“.
Vyššie uvedené vzorce (1) a (2) sú zovšeobecnené takto:
, (3)
Na výpočet sumy najprv členov geometrickej progresieplatí vzorec
Ak označíme , tak
Kde . Pretože vzorec (6) je zovšeobecnením vzorca (5).
V prípade, keď a geometrický postupnekonečne klesá. Na výpočet sumyzo všetkých členov nekonečne klesajúcej geometrickej progresie sa používa vzorec
. (7)
Napríklad , pomocou vzorca (7) môžeme ukázať, Čo
Kde . Tieto rovnosti sa získajú zo vzorca (7) za podmienky, že , (prvá rovnosť) a , (druhá rovnosť).
Veta. Ak potom
Dôkaz. Ak potom
Veta bola dokázaná.
Poďme ďalej zvážiť príklady riešenia problémov na tému „Geometrický postup“.
Príklad 1 Vzhľadom na to: , a . Nájsť .
Riešenie. Ak použijeme vzorec (5), potom
Odpoveď: .
Príklad 2 Nechaj to tak. Nájsť .
Riešenie. Od a používame vzorce (5), (6) a získame sústavu rovníc
Ak je druhá rovnica sústavy (9) delená prvou, potom alebo . Z toho vyplýva, že . Zoberme si dva prípady.
1. Ak, potom z prvej rovnice sústavy (9) máme.
2. Ak , potom .
Príklad 3 Nechajte , a . Nájsť .
Riešenie. Zo vzorca (2) vyplýva, že alebo . Od , potom alebo .
Podľa podmienok. Avšak, preto. Od a potom tu máme systém rovníc
Ak je druhá rovnica systému delená prvou, potom alebo .
Pretože rovnica má jedinečný vhodný koreň. V tomto prípade to vyplýva z prvej rovnice sústavy.
Ak vezmeme do úvahy vzorec (7), dostaneme.
Odpoveď: .
Príklad 4. Vzhľadom na to: a . Nájsť .
Riešenie. Odvtedy.
Od , potom resp
Podľa vzorca (2) máme . V tomto smere z rovnosti (10) získame alebo .
Avšak podľa podmienok teda.
Príklad 5. Je známe, že . Nájsť .
Riešenie. Podľa vety máme dve rovnosti
Od , potom alebo . Pretože teda.
Odpoveď: .
Príklad 6. Vzhľadom na to: a . Nájsť .
Riešenie. Ak vezmeme do úvahy vzorec (5), dostaneme
Odvtedy. Od , a , potom .
Príklad 7. Nechaj to tak. Nájsť .
Riešenie. Podľa vzorca (1) môžeme písať
Preto máme alebo . Je známe, že a preto a .
Odpoveď: .
Príklad 8. Nájdite menovateľa nekonečnej klesajúcej geometrickej postupnosti, ak
A .
Riešenie. Zo vzorca (7) to vyplýva A . Odtiaľ a z podmienok úlohy získame sústavu rovníc
Ak je prvá rovnica systému druhá mocnina, a potom výslednú rovnicu vydeľte druhou rovnicou, potom dostaneme
Alebo .
Odpoveď: .
Príklad 9. Nájdite všetky hodnoty, pre ktoré je postupnosť , , geometrickou progresiou.
Riešenie. Nechajte , a . Podľa vzorca (2), ktorý definuje hlavnú vlastnosť geometrickej postupnosti, môžeme písať alebo .
Odtiaľ dostaneme kvadratickú rovnicu, ktorých korene sú A .
Skontrolujeme: ak, potom , a ; ak , potom , a .
V prvom prípade máme a , a v druhom – a .
Odpoveď: ,.
Príklad 10.Vyriešte rovnicu
, (11)
kde a .
Riešenie. Ľavá strana rovnice (11) je súčtom nekonečnej klesajúcej geometrickej postupnosti, v ktorej a , s výhradou: a .
Zo vzorca (7) to vyplýva, Čo . V tomto ohľade má rovnica (11) tvar alebo . Vhodný koreň kvadratická rovnica je
Odpoveď: .
Príklad 11. P postupnosť kladných číseltvorí aritmetický postup, A - geometrický postup, čo to má spoločné s . Nájsť .
Riešenie. Pretože aritmetická postupnosť, To (hlavná nehnuteľnosť aritmetická progresia). Pretože, potom alebo . To znamená, že geometrická postupnosť má tvar. Podľa vzorca (2), potom to zapíšeme .
Odvtedy a potom . V tomto prípade výraz má podobu alebo . Podľa podmienok, takže z rov.získame jedinečné riešenie uvažovaného problému, t.j. .
Odpoveď: .
Príklad 12. Vypočítajte súčet
. (12)
Riešenie. Vynásobte obe strany rovnosti (12) 5 a získajte
Ak od výsledného výrazu odčítame (12)., To
alebo .
Na výpočet nahradíme hodnoty do vzorca (7) a získame . Odvtedy.
Odpoveď: .
Tu uvedené príklady riešenia problémov budú užitočné pre žiadateľov pri príprave prijímacie skúšky. Pre hlbšie štúdium metód riešenia problémov, súvisí s geometrickou progresiou, môže byť použité učebné pomôcky zo zoznamu odporúčanej literatúry.
1. Zbierka úloh z matematiky pre uchádzačov na vysoké školy / Ed. M.I. Scanavi. – M.: Mir a vzdelávanie, 2013. – 608 s.
2. Suprun V.P. Matematika pre stredoškolákov: doplnkové časti školské osnovy. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 s.
3. Medýnsky M.M. Celý kurz elementárna matematika v úlohách a cvičeniach. Kniha 2: Číselné postupnosti a postupnosti. – M.: Editus, 2015. – 208 s.
Stále máte otázky?
Ak chcete získať pomoc od tútora, zaregistrujte sa.
webová stránka, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti je potrebný odkaz na zdroj.
ČÍSELNÉ POSTUPNOSTI VI
§ l48. Súčet nekonečne klesajúcej geometrickej progresie
Doteraz sme pri sumách vždy predpokladali, že počet členov v týchto sumách je konečný (napríklad 2, 15, 1000 atď.). Ale pri riešení niektorých problémov (najmä vyššia matematika) treba sa vysporiadať so súčtom nekonečného počtu členov
S= a 1 + a 2 + ... + a n + ... . (1)
Aké sú tieto sumy? A-priorstvo súčet nekonečného počtu členov a 1 , a 2 , ..., a n , ... sa nazýva hranica sumy S n najprv P čísla kedy P -> ∞ :
S=S n = (a 1 + a 2 + ... + a n ). (2)
Limit (2) samozrejme môže alebo nemusí existovať. V súlade s tým hovoria, že súčet (1) existuje alebo neexistuje.
Ako môžeme zistiť, či v každom konkrétnom prípade existuje súčet (1)? Všeobecné riešenie tohto problému ďaleko presahuje rámec nášho programu. Teraz však musíme zvážiť jeden dôležitý špeciálny prípad. Budeme hovoriť o sčítaní členov nekonečne klesajúcej geometrickej progresie.
Nechaj a 1 , a 1 q , a 1 q 2, ... je nekonečne klesajúca geometrická postupnosť. To znamená, že | q |< 1. Сумма первых P podmienky tohto postupu sú rovnaké
Zo základných viet o limitách premenných (pozri § 136) dostaneme:
Ale 1 = 1, a qn = 0. Preto
Súčet nekonečne klesajúcej geometrickej postupnosti sa teda rovná prvému členu tejto postupnosti vydelenému jednou mínus menovateľ tejto postupnosti.
1) Súčet geometrickej postupnosti 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... sa rovná
a súčet geometrickej postupnosti je 12; -6; 3; - 3/2, ... rovné
2) Preveďte jednoduchý periodický zlomok 0,454545 ... na obyčajný.
Na vyriešenie tohto problému si predstavte tento zlomok ako nekonečný súčet:
Pravá strana tejto rovnosti je súčtom nekonečne klesajúcej geometrickej postupnosti, ktorej prvý člen sa rovná 45/100 a menovateľ je 1/100. Preto
Pomocou opísanej metódy sa dá tiež získať všeobecné pravidlo prevod jednoduchých periodických zlomkov na obyčajné (pozri kapitolu II, § 38):
Ak chcete previesť jednoduchý periodický zlomok na obyčajný zlomok, musíte urobiť nasledovné: do čitateľa zadajte periódu desatinného zlomku a do menovateľa - číslo pozostávajúce z deviatok, koľkokrát je číslic v tomto období. desatinného zlomku.
3) Preveďte zmiešaný periodický zlomok 0,58333 .... na obyčajný zlomok.
Predstavme si tento zlomok ako nekonečný súčet:
Na pravej strane tejto rovnosti tvoria všetky členy počnúc 3/1000 nekonečne klesajúcu geometrickú postupnosť, ktorej prvý člen sa rovná 3/1000 a menovateľ je 1/10. Preto
Pomocou opísanej metódy možno získať všeobecné pravidlo premeny zmiešaných periodických frakcií na bežné frakcie (pozri kapitolu II, § 38). Zámerne ho tu neuvádzame. Nie je potrebné pamätať na toto ťažkopádne pravidlo. Je oveľa užitočnejšie vedieť, že akýkoľvek zmiešaný periodický zlomok môže byť reprezentovaný ako súčet nekonečne klesajúcej geometrickej progresie a určitého čísla. A vzorec
na súčet nekonečne klesajúcej geometrickej progresie si, samozrejme, musíte pamätať.
Ako cvičenie vám odporúčame, aby ste sa okrem nižšie uvedených problémov č. 995-1000 ešte raz obrátili na problém č. 301 § 38.
Cvičenia
995. Ako sa nazýva súčet nekonečne klesajúcej geometrickej progresie?
996. Nájdite súčty nekonečne klesajúcich geometrických postupností:
997. Pri akých hodnotách X progresie
nekonečne klesá? Nájdite súčet takejto progresie.
998. V rovnostrannom trojuholníku so stranou A nový trojuholník je vpísaný spojením stredov jeho strán; do tohto trojuholníka sa rovnakým spôsobom vpíše nový trojuholník a tak ďalej do nekonečna.
a) súčet obvodov všetkých týchto trojuholníkov;
b) súčet ich plôch.
999. Štvorec so stranou A nový štvorec je vpísaný spojením stredov jeho strán; do tohto štvorca sa rovnakým spôsobom vpíše štvorec a tak ďalej do nekonečna. Nájdite súčet obvodov všetkých týchto štvorcov a súčet ich plôch.
1000. Zostavte nekonečne klesajúcu geometrickú postupnosť tak, že jej súčet sa rovná 25/4 a súčet druhých mocnín jej členov sa rovná 625/24.
Dôležité poznámky!
1. Ak sa namiesto vzorcov zobrazuje gobbledygook, vymažte vyrovnávaciu pamäť. Ako to urobiť vo vašom prehliadači je napísané tu:
2. Skôr ako začnete čítať článok, venujte pozornosť nášmu navigátorovi užitočný zdroj Pre
Poradie čísel
Tak si sadnime a začnime písať nejaké čísla. Napríklad:
Môžete napísať ľubovoľné čísla a môže ich byť toľko, koľko chcete (v našom prípade ich je). Bez ohľadu na to, koľko čísel napíšeme, vždy vieme povedať, ktoré je prvé, ktoré druhé a tak ďalej až do posledného, čiže ich vieme očíslovať. Toto je príklad číselnej postupnosti:
Poradie čísel je množina čísel, z ktorých každému možno priradiť jedinečné číslo.
Napríklad pre našu postupnosť:
Priradené číslo je špecifické len pre jedno číslo v poradí. Inými slovami, v poradí nie sú žiadne tri sekundové čísla. Druhé číslo (ako te číslo) je vždy rovnaké.
Číslo s číslom sa nazýva n-tý člen postupnosti.
Celú postupnosť zvyčajne nazývame nejakým písmenom (napríklad) a každý člen tejto postupnosti je rovnaké písmeno s indexom rovným číslu tohto člena: .
V našom prípade:
Najbežnejšie typy progresie sú aritmetické a geometrické. V tejto téme budeme hovoriť o druhom type - geometrický postup.
Prečo je potrebná geometrická progresia a jej história?
Už v staroveku sa taliansky matematický mních Leonardo z Pisy (známejší ako Fibonacci) zaoberal praktickými potrebami obchodu. Mních stál pred úlohou určiť, aký najmenší počet závaží je možné použiť na odváženie produktu? Fibonacci vo svojich prácach dokazuje, že takýto systém váh je optimálny: Toto je jedna z prvých situácií, v ktorej sa ľudia museli vysporiadať s geometrickou progresiou, o ktorej ste už určite počuli a máte ju minimálne všeobecný pojem. Keď úplne pochopíte tému, zamyslite sa nad tým, prečo je takýto systém optimálny?
V súčasnosti sa v životnej praxi prejavuje geometrická progresia pri investovaní peňazí v banke, kedy sa výška úroku pripisuje k sume naakumulovanej na účte za predchádzajúce obdobie. Inými slovami, ak vložíte peniaze na termínovaný vklad do sporiteľne, tak po roku sa vklad navýši o pôvodnú sumu, t.j. nová suma sa bude rovnať príspevku vynásobenému o. V ďalšom roku sa táto suma zvýši o, t.j. suma získaná v tom čase sa opäť vynásobí atď. Podobná situácia je popísaná v úlohách výpočtu tzv zložené úročenie- percento sa vždy berie zo sumy, ktorá je na účte, pričom sa zohľadňuje predchádzajúci úrok. O týchto úlohách si povieme trochu neskôr.
Existuje oveľa viac jednoduchých prípadov, keď sa uplatňuje geometrická progresia. Napríklad šírenie chrípky: jeden človek nakazil druhého človeka, ten zasa nakazil ďalšieho človeka, a teda druhou vlnou nákazy je človek a ten zasa nakazil ďalšieho... a tak ďalej... .
Mimochodom, finančná pyramída, to isté MMM, je jednoduchý a suchý výpočet založený na vlastnostiach geometrickej progresie. zaujímavé? Poďme na to.
Geometrická progresia.
Povedzme, že máme číselná postupnosť:
Hneď odpoviete, že je to jednoduché a názov takejto sekvencie je s rozdielom jej členov. A čo toto:
Ak odčítate predchádzajúce číslo od nasledujúceho čísla, uvidíte, že zakaždým dostanete nový rozdiel (a tak ďalej), ale postupnosť určite existuje a je ľahké si ju všimnúť – každé nasledujúce číslo je krát väčšie ako predchádzajúce!
Tento typ číselnej postupnosti sa nazýva geometrický postup a je určený.
Geometrická postupnosť () je číselná postupnosť, ktorej prvý člen sa líši od nuly a každý člen, počnúc druhým, sa rovná predchádzajúcemu, vynásobený rovnakým číslom. Toto číslo sa nazýva menovateľ geometrickej progresie.
Obmedzenia, že prvý člen ( ) nie je rovnaký a nie sú náhodné. Predpokladajme, že neexistujú žiadne a prvý člen je stále rovnaký a q sa rovná, hmm.. nech je to tak, potom to dopadne:
Súhlaste s tým, že toto už nie je progresia.
Ako ste pochopili, dostaneme rovnaké výsledky, ak existuje akékoľvek iné číslo ako nula, a. V týchto prípadoch jednoducho nedôjde k progresii, pretože celý číselný rad bude buď všetky nuly, alebo jedno číslo a všetky ostatné budú nuly.
Povedzme si teraz podrobnejšie o menovateľovi geometrickej postupnosti, teda o.
Zopakujme si: - toto je číslo koľkokrát sa každý nasledujúci výraz zmení? geometrický postup.
Čo si myslíte, že by to mohlo byť? To je správne, pozitívne a negatívne, ale nie nulové (o tomto sme hovorili trochu vyššie).
Predpokladajme, že ten náš je pozitívny. Nech v našom prípade a. Akú hodnotu má druhý termín a? Na to môžete ľahko odpovedať:
To je správne. Preto, ak, potom všetky nasledujúce podmienky progresie majú rovnaké znamienko - oni sú pozitívne.
Čo ak je to negatívne? Napríklad a. Akú hodnotu má druhý termín a?
Toto je úplne iný príbeh
Skúste spočítať podmienky tohto postupu. Koľko ste dostali? Mám. Ak teda, potom sa striedajú znaky členov geometrickej progresie. To znamená, že ak vidíte progresiu so striedajúcimi sa znakmi pre jej členov, potom je jej menovateľ záporný. Tieto znalosti vám môžu pomôcť otestovať sa pri riešení problémov na túto tému.
Teraz si poďme trochu precvičiť: skúste určiť, ktoré číselné postupnosti sú geometrickou postupnosťou a ktoré aritmetickou postupnosťou:
Mám to? Porovnajme naše odpovede:
- Geometrická postupnosť - 3, 6.
- Aritmetický postup - 2, 4.
- Nie je to ani aritmetika, ani geometrická postupnosť – 1, 5, 7.
Vráťme sa k nášmu poslednému postupu a skúsme nájsť jeho člena, rovnako ako v aritmetickom. Ako ste možno uhádli, existujú dva spôsoby, ako ho nájsť.
Každý výraz postupne násobíme o.
Čiže tý člen opísanej geometrickej postupnosti sa rovná.
Ako ste už uhádli, teraz sami odvodíte vzorec, ktorý vám pomôže nájsť ľubovoľného člena geometrickej progresie. Alebo ste ho už vyvinuli pre seba a popísali, ako krok za krokom nájsť th člena? Ak áno, skontrolujte správnosť svojich úvah.
Ilustrujme to na príklade hľadania druhého člena tejto postupnosti:
Inými slovami:
Sami nájdite hodnotu člena danej geometrickej postupnosti.
Stalo? Porovnajme naše odpovede:
Upozorňujeme, že ste dostali presne rovnaké číslo ako v predchádzajúcej metóde, keď sme postupne násobili každým predchádzajúcim členom geometrickej postupnosti.
Pokúsme sa „depersonalizovať“ tento vzorec - dajme to všeobecne a získajme:
Odvodený vzorec platí pre všetky hodnoty – kladné aj záporné. Overte si to sami výpočtom členov geometrickej postupnosti s nasledujúcimi podmienkami: , a.
Počítal si? Porovnajme výsledky:
Súhlaste s tým, že by bolo možné nájsť termín progresie rovnakým spôsobom ako termín, existuje však možnosť nesprávneho výpočtu. A ak sme už našli tý člen geometrickej postupnosti, čo môže byť jednoduchšie ako použiť „skrátenú“ časť vzorca.
Nekonečne klesajúca geometrická progresia.
Nedávno sme hovorili o tom, že môže byť väčšia alebo menšia ako nula, existujú však špeciálne hodnoty, pre ktoré sa geometrická progresia nazýva nekonečne klesajúci.
Prečo si myslíte, že je daný tento názov?
Najprv si napíšme nejaký geometrický postup pozostávajúci z pojmov.
Povedzme teda:
Vidíme, že každý nasledujúci člen je o faktor menší ako predchádzajúci, ale bude tam nejaké číslo? Okamžite odpoviete - "nie". Preto nekonečne klesá - klesá a klesá, ale nikdy sa nestane nulou.
Aby sme jasne pochopili, ako to vyzerá vizuálne, skúsme nakresliť graf nášho postupu. Takže v našom prípade má vzorec nasledujúcu formu:
Na grafoch, na ktoré sme zvyknutí vykresľovať závislosť, teda:
Podstata výrazu sa nezmenila: v prvom vstupe sme ukázali závislosť hodnoty člena geometrickej postupnosti od jeho poradového čísla a v druhom vstupe sme jednoducho zobrali hodnotu člena geometrickej postupnosti ako , a poradové číslo označil nie ako, ale ako. Zostáva už len zostaviť graf.
Pozrime sa, čo máš. Tu je graf, ktorý som vymyslel:
Vidíš? Funkcia klesá, má tendenciu k nule, ale nikdy ju neprekročí, takže nekonečne klesá. Vyznačme si na grafe naše body a zároveň, čo súradnica a znamená:
Skúste schematicky znázorniť graf geometrickej progresie, ak je jej prvý člen rovnaký. Analyzujte, aký je rozdiel od nášho predchádzajúceho grafu?
Zvládli ste to? Tu je graf, ktorý som vymyslel:
Teraz, keď ste úplne pochopili základy témy geometrickej postupnosti: viete, čo to je, viete nájsť jej pojem a tiež viete, čo je nekonečne klesajúca geometrická postupnosť, prejdime k jej hlavnej vlastnosti.
Vlastnosť geometrickej progresie.
Pamätáte si na vlastnosť členov aritmetického postupu? Áno, áno, ako nájsť hodnotu určitého počtu progresie, keď existujú predchádzajúce a nasledujúce hodnoty podmienok tejto progresie. Pamätáš si? toto:
Teraz stojíme pred presne tou istou otázkou pre podmienky geometrickej progresie. Aby sme odvodili takýto vzorec, začnime kresliť a uvažovať. Uvidíte, je to veľmi jednoduché a ak zabudnete, môžete to dostať von sami.
Zoberme si ďalšiu jednoduchú geometrickú postupnosť, v ktorej poznáme a. Ako nájsť? S aritmetickým postupom je to ľahké a jednoduché, ale čo tu? V skutočnosti nie je nič zložité ani v geometrii - stačí zapísať každú hodnotu, ktorá nám bola pridelená, podľa vzorca.
Môžete sa opýtať, čo by sme s tým teraz mali robiť? Áno, veľmi jednoduché. Najprv znázornime tieto vzorce na obrázku a pokúsme sa s nimi urobiť rôzne manipulácie dospieť k hodnote.
Abstrahujme od čísel, ktoré sú nám dané, sústreďme sa len na ich vyjadrenie prostredníctvom vzorca. Musíme nájsť zvýraznenú hodnotu oranžová, poznajúc členov susediacich s ním. Pokúsme sa s nimi vykonávať rôzne akcie, v dôsledku ktorých môžeme získať.
Doplnenie.
Skúsme pridať dva výrazy a dostaneme:
Z tohto výrazu, ako vidíte, ho nevieme nijako vyjadriť, preto skúsime inú možnosť - odčítanie.
Odčítanie.
Ako vidíte, ani to nevieme vyjadriť, preto skúsme tieto výrazy navzájom znásobiť.
Násobenie.
Teraz sa pozorne pozrite na to, čo máme, vynásobením podmienok geometrickej progresie v porovnaní s tým, čo je potrebné nájsť:
Hádajte, o čom hovorím? To je pravda, aby sme zistili, že musíme vziať Odmocnina z čísel geometrickej postupnosti susediacich s požadovaným vynásobeným navzájom:
Nech sa páči. Sami ste odvodili vlastnosť geometrickej progresie. Skúste napísať tento vzorec všeobecný pohľad. Stalo?
Zabudli ste na podmienku? Zamyslite sa nad tým, prečo je to dôležité, skúste si to napríklad vypočítať sami. Čo sa stane v tomto prípade? To je pravda, úplný nezmysel, pretože vzorec vyzerá takto:
Preto nezabudnite na toto obmedzenie.
Teraz vypočítajme, čo sa rovná
Správna odpoveď - ! Ak ste pri výpočte nezabudli na tú druhú možný význam, tak si skvelý človek a môžeš hneď prejsť na tréning, a ak si zabudol, prečítaj si, o čom je reč nižšie, a venuj pozornosť tomu, prečo je potrebné do odpovede zapísať oba korene.
Nakreslite obe naše geometrické postupnosti – jednu s hodnotou a druhú s hodnotou a skontrolujeme, či obe majú právo na existenciu:
Aby sme skontrolovali, či takáto geometrická postupnosť existuje alebo nie, je potrebné zistiť, či sú všetky jej dané členy rovnaké? Vypočítajte q pre prvý a druhý prípad.
Vidíte, prečo musíme napísať dve odpovede? Pretože znamienko hľadaného výrazu závisí od toho, či je pozitívne alebo negatívne! A keďže nevieme, čo to je, musíme obidve odpovede napísať s plusom a mínusom.
Teraz, keď ste zvládli hlavné body a odvodili vzorec pre vlastnosť geometrickej postupnosti, nájdite, poznáte a
Porovnajte svoje odpovede so správnymi:
Čo si myslíte, čo keby sme dostali nie hodnoty členov geometrickej progresie susediace s požadovaným číslom, ale v rovnakej vzdialenosti od neho. Napríklad musíme nájsť, a dané a. Môžeme v tomto prípade použiť vzorec, ktorý sme odvodili? Pokúste sa potvrdiť alebo vyvrátiť túto možnosť rovnakým spôsobom, opíšte, z čoho pozostáva každá hodnota, ako ste to urobili, keď ste pôvodne odvodili vzorec, at.
Čo si dostal?
Teraz sa znova pozorne pozrite.
a zodpovedajúcim spôsobom:
Z toho môžeme usúdiť, že vzorec funguje nielen so susednými s požadovanými podmienkami geometrickej progresie, ale aj s v rovnakej vzdialenosti z toho, čo členovia hľadajú.
Náš počiatočný vzorec má teda tvar:
To znamená, že ak sme to v prvom prípade povedali, teraz hovoríme, že sa to môže rovnať hociktorému prirodzené číslo, ktorá je menšia. Hlavná vec je, že je rovnaká pre obe uvedené čísla.
Cvičte ďalej konkrétne príklady, len si dávajte veľký pozor!
- , . Nájsť.
- , . Nájsť.
- , . Nájsť.
Rozhodnuté? Dúfam, že ste boli mimoriadne pozorní a všimli ste si malý háčik.
Porovnajme výsledky.
V prvých dvoch prípadoch pokojne použijeme vyššie uvedený vzorec a získame nasledujúce hodnoty:
V treťom prípade pri bližšom skúmaní sériové číslačísla, ktoré nám boli zadané, chápeme, že nie sú v rovnakej vzdialenosti od čísla, ktoré hľadáme: je to predchádzajúce číslo, ale je odstránené na pozícii, takže nie je možné použiť vzorec.
Ako to vyriešiť? V skutočnosti to nie je také ťažké, ako sa zdá! Zapíšme si, z čoho sa skladá každé číslo, ktoré nám bolo dané, a číslo, ktoré hľadáme.
Takže máme a. Pozrime sa, čo s nimi môžeme urobiť? Navrhujem deliť podľa. Dostaneme:
Naše údaje dosadíme do vzorca:
Ďalším krokom, ktorý môžeme nájsť, je - na to musíme vziať odmocninu z výsledného čísla.
Teraz sa znova pozrime na to, čo máme. Máme to, ale musíme to nájsť, a to sa zase rovná:
Zistili sme všetky potrebné údaje pre výpočet. Dosaďte do vzorca:
Naša odpoveď: .
Skúste sami vyriešiť iný podobný problém:
Vzhľadom na to: ,
Nájsť:
Koľko ste dostali? Mám - .
Ako vidíte, v podstate potrebujete zapamätaj si len jeden vzorec- . Všetko ostatné si môžete kedykoľvek bez problémov stiahnuť sami. Ak to chcete urobiť, jednoducho napíšte najjednoduchšiu geometrickú postupnosť na kus papiera a zapíšte si, čomu sa každé z jej čísel rovná, podľa vzorca opísaného vyššie.
Súčet členov geometrickej postupnosti.
Teraz sa pozrime na vzorce, ktoré nám umožňujú rýchlo vypočítať súčet členov geometrickej progresie v danom intervale:
Ak chcete odvodiť vzorec pre súčet členov konečnej geometrickej postupnosti, vynásobte všetky časti vyššie uvedenej rovnice číslom. Dostaneme:
Pozrite sa pozorne: čo majú posledné dva vzorce spoločné? Presne tak, napríklad spoloční členovia a podobne, okrem prvého a posledného člena. Skúsme odčítať 1. od 2. rovnice. Čo si dostal?
Teraz vyjadrite výraz geometrickej postupnosti cez vzorec a dosaďte výsledný výraz do nášho posledného vzorca:
Zoskupte výraz. Mali by ste dostať:
Zostáva len vyjadriť:
Podľa toho v tomto prípade.
Čo ak? Aký vzorec potom funguje? Predstavte si geometrickú postupnosť pri. Aká je? Séria identických čísel je správna, takže vzorec bude vyzerať takto:
Existuje veľa legiend o aritmetickom aj geometrickom postupe. Jednou z nich je legenda o Setovi, tvorcovi šachu.
Mnoho ľudí vie, že šachová hra bola vynájdená v Indii. Keď ju hinduistický kráľ stretol, bol potešený jej dôvtipom a rozmanitosťou pozícií, ktoré v nej boli možné. Keď sa kráľ dozvedel, že ho vynašiel jeden z jeho poddaných, rozhodol sa ho osobne odmeniť. Zavolal si vynálezcu k sebe a prikázal mu, aby si od neho vypýtal všetko, čo chce, pričom sľúbil, že splní aj tú najšikovnejšiu túžbu.
Seta požiadal o čas na rozmyslenie, a keď na druhý deň Seta predstúpil pred kráľa, prekvapil kráľa nevídanou skromnosťou svojej žiadosti. Požiadal, aby dal pšeničné zrno za prvé pole šachovnice, pšeničné zrno za druhé, pšeničné zrno za tretie, štvrté atď.
Kráľ sa nahneval a zahnal Setha so slovami, že žiadosť sluhu nie je hodná kráľovej štedrosti, ale sľúbil, že sluha dostane svoje obilie za všetky políčka dosky.
A teraz otázka: pomocou vzorca pre súčet členov geometrickej progresie vypočítajte, koľko zŕn by mal Seth dostať?
Začnime uvažovať. Keďže podľa podmienky Seth požiadal o pšeničné zrno na prvé pole šachovnice, na druhé, na tretie, na štvrté atď., potom vidíme, že problém je v geometrickom postupe. Čomu sa to v tomto prípade rovná?
Správny.
Celkový počet polí na šachovnici. Respektíve, . Všetky údaje máme, zostáva ich už len zapojiť do vzorca a vypočítať.
Predstaviť si aspoň približne „mierku“ dané číslo, transformovať pomocou vlastností stupňa:
Samozrejme, ak chcete, môžete si vziať kalkulačku a vypočítať, s akým číslom skončíte, a ak nie, musíte mi dať za slovo: konečná hodnota výrazu bude.
To je:
kvintilión kvadrilión bilión miliárd miliónov miliónov tisíc.
Fíha) Ak si chcete predstaviť obrovské množstvo tohto čísla, odhadnite, aká veľká stodola by bola potrebná na umiestnenie celého množstva obilia.
Ak je stodola m vysoká a m široká, jej dĺžka by musela siahať na km, t.j. dvakrát tak ďaleko ako od Zeme k Slnku.
Ak by bol kráľ silný v matematike, mohol pozvať samotného vedca, aby počítal zrnká, pretože na spočítanie milióna zrniek by potreboval aspoň deň neúnavného počítania a vzhľadom na to, že je potrebné počítať kvintilióny, zrniečka sa bude musieť počítať počas celého jeho života.
Teraz vyriešme jednoduchý problém zahŕňajúci súčet členov geometrickej progresie.
Študent triedy 5A Vasya ochorel na chrípku, ale naďalej chodí do školy. Každý deň Vasya infikuje dvoch ľudí, ktorí zase infikujú ďalších dvoch ľudí atď. V triede sú len ľudia. Za koľko dní bude celá trieda chorá na chrípku?
Prvým pojmom geometrickej progresie je teda Vasya, teda osoba. Termínom geometrickej progresie sú dvaja ľudia, ktorých nakazil v prvý deň svojho príchodu. Celkový súčet postupových termínov sa rovná počtu študentov 5A. V súlade s tým hovoríme o progresii, v ktorej:
Dosaďte naše údaje do vzorca pre súčet členov geometrickej progresie:
Do niekoľkých dní ochorie celá trieda. Neveríte vzorcom a číslam? Skúste sami vykresliť „infekciu“ študentov. Stalo? Pozrite sa, ako to vyzerá u mňa:
Spočítajte si sami, koľko dní by trvalo, kým by žiaci ochoreli na chrípku, ak by každý nakazil jedného človeka a v triede by bol iba jeden človek.
Akú hodnotu ste získali? Ukázalo sa, že všetci začali byť chorí po dni.
Ako vidíte, takáto úloha a jej kresba pripomínajú pyramídu, v ktorej každá ďalšia „prináša“ nových ľudí. Skôr či neskôr však príde moment, keď ten druhý nedokáže nikoho zaujať. V našom prípade, ak si predstavíme, že trieda je izolovaná, osoba z uzavrie reťazec (). Ak teda bola osoba zapojená do finančná pyramída, v ktorej boli poskytnuté peniaze, ak by ste priviedli dvoch ďalších účastníkov, potom by osoba (alebo vo všeobecnosti) nepriviedla nikoho, a preto by stratila všetko, čo investovala do tohto finančného podvodu.
Všetko, čo bolo povedané vyššie, sa týka klesajúceho alebo rastúceho geometrického postupu, ale ako si pamätáte, máme špeciálny druh- nekonečne klesajúci geometrický postup. Ako vypočítať súčet jeho členov? A prečo má tento typ progresie určité vlastnosti? Poďme na to spolu.
Najprv sa teda pozrime znova na tento výkres nekonečne klesajúcej geometrickej progresie z nášho príkladu:
Teraz sa pozrime na vzorec pre súčet geometrickej progresie, odvodený o niečo skôr:
alebo
O čo sa usilujeme? Je to tak, graf ukazuje, že má tendenciu k nule. To znamená, že at, bude takmer rovnaký, respektíve, pri výpočte výrazu dostaneme takmer. V tejto súvislosti sa domnievame, že pri výpočte súčtu nekonečne klesajúcej geometrickej progresie možno túto zátvorku zanedbať, pretože bude rovnaká.
- vzorec je súčet členov nekonečne klesajúcej geometrickej progresie.
DÔLEŽITÉ! Vzorec pre súčet členov nekonečne klesajúcej geometrickej postupnosti používame iba vtedy, ak podmienka výslovne uvádza, že potrebujeme nájsť súčet nekonečné počet členov.
Ak je zadané konkrétne číslo n, potom použijeme vzorec pre súčet n členov, aj keď alebo.
Teraz poďme cvičiť.
- Nájdite súčet prvých členov geometrickej postupnosti s a.
- Nájdite súčet členov nekonečne klesajúcej geometrickej postupnosti s a.
Dúfam, že ste boli veľmi opatrní. Porovnajme naše odpovede:
Teraz viete všetko o geometrickom postupe a je čas prejsť od teórie k praxi. Najbežnejšími problémami geometrickej progresie, s ktorými sa pri skúške stretávame, sú problémy s výpočtom zloženého úroku. To sú tie, o ktorých budeme hovoriť.
Problémy s výpočtom zloženého úroku.
Určite ste už počuli o takzvanom vzorci zloženého úroku. Rozumiete, čo to znamená? Ak nie, poďme na to, pretože akonáhle pochopíte samotný proces, okamžite pochopíte, čo s tým má geometrická progresia spoločné.
Všetci chodíme do banky a vieme, že existujú rôzne podmienky pre vklady: to zahŕňa termín, doplnkové služby a úrok s dvoma rôzne cesty jeho výpočty - jednoduché a zložité.
S jednoduchý záujem všetko je viac-menej jasné: úrok sa pripisuje raz na konci doby vkladu. To znamená, že ak povieme, že vložíme 100 rubľov na rok, budú pripísané až na konci roka. Na konci vkladu teda dostaneme ruble.
Zložené úročenie- toto je možnosť, pri ktorej sa vyskytuje kapitalizácia úrokov, t.j. ich pripočítanie k výške vkladu a následný výpočet príjmu nie z počiatočnej, ale z naakumulovanej sumy vkladu. Veľké písmená sa nevyskytujú neustále, ale s určitou frekvenciou. Spravidla sú takéto obdobia rovnaké a najčastejšie banky používajú mesiac, štvrťrok alebo rok.
Predpokladajme, že ukladáme rovnaké ruble ročne, ale s mesačnou kapitalizáciou vkladu. Čo robíme?
Rozumieš tu všetkému? Ak nie, poďme na to prísť krok za krokom.
Priniesli sme ruble do banky. Do konca mesiaca by sme mali mať na účte sumu pozostávajúcu z našich rubľov plus úrok z nich, teda:
súhlasíte?
Môžeme to vyňať zo zátvoriek a potom dostaneme:
Súhlasíte, tento vzorec je už viac podobný tomu, čo sme napísali na začiatku. Zostáva len zistiť percentá
Vo vyhlásení o probléme sú uvedené ročné sadzby. Ako viete, nenásobíme - konvertujeme percentá na desatinné miesta, teda:
Správny? Teraz sa môžete opýtať, odkiaľ pochádza číslo? Veľmi jednoduché!
Opakujem: problémové vyhlásenie hovorí o VÝROČNÝúrok, ktorý narastá MESAČNE. Ako viete, za rok mesiacov nám banka bude účtovať časť ročného úroku za mesiac:
Uvedomil si to? Teraz skúste napísať, ako by táto časť vzorca vyzerala, keby som povedal, že úroky sa počítajú denne.
Zvládli ste to? Porovnajme výsledky:
Výborne! Vráťme sa k našej úlohe: napíšte, koľko sa pripíše na náš účet v druhom mesiaci, berúc do úvahy, že z akumulovanej sumy vkladu sa hromadí úrok.
Tu je to, čo som dostal:
Alebo inak povedané:
Myslím, že ste si už všimli vzor a videli ste v tom všetkom geometrický pokrok. Napíšte, koľko sa bude jeho člen rovnať, alebo inak povedané, akú sumu peňazí dostaneme na konci mesiaca.
urobil? Skontrolujme to!
Ako vidíte, ak vložíte peniaze do banky na rok s jednoduchou úrokovou sadzbou, dostanete ruble, a ak so zloženou úrokovou sadzbou, dostanete ruble. Prínos je malý, ale stáva sa to iba počas tého roka, ale na dlhšie obdobie je kapitalizácia oveľa výnosnejšia:
Pozrime sa na iný typ problému týkajúceho sa zloženého úročenia. Po tom, čo ste prišli na to, to bude pre vás elementárne. Takže úloha:
Spoločnosť Zvezda začala do odvetvia investovať v roku 2000 s kapitálom v dolároch. Od roku 2001 každoročne dosahuje zisk, ktorý sa rovná kapitálu predchádzajúceho roka. Aký zisk bude mať spoločnosť Zvezda na konci roka 2003, ak by zisky neboli stiahnuté z obehu?
Kapitál spoločnosti Zvezda v roku 2000.
- kapitál spoločnosti Zvezda v roku 2001.
- kapitál spoločnosti Zvezda v roku 2002.
- kapitál spoločnosti Zvezda v roku 2003.
Alebo stručne napíšeme:
Pre náš prípad:
2000, 2001, 2002 a 2003.
Respektíve:
rubľov
Upozorňujeme, že v tomto probléme nemáme delenie ani podľa ani podľa, keďže percentá sa uvádzajú ROČNE a počítajú sa ROČNE. To znamená, že pri čítaní problému o zloženom úroku si dávajte pozor na to, aké percento je uvedené a v akom období sa počíta, a až potom prejdite na výpočty.
Teraz viete všetko o geometrickom postupe.
Školenie.
- Nájdite člen geometrickej postupnosti, ak je známe, že a
- Nájdite súčet prvých členov geometrickej postupnosti, ak je známe, že a
- Spoločnosť MDM Capital začala investovať do tohto odvetvia v roku 2003 s kapitálom v dolároch. Od roku 2004 každoročne dosahuje zisk, ktorý sa rovná kapitálu predchádzajúceho roka. Spoločnosť MSK Peňažné toky„začal investovať do odvetvia v roku 2005 vo výške 10 000 USD, pričom v roku 2006 začal dosahovať zisk vo výške. O koľko dolárov je kapitál jednej spoločnosti väčší ako druhej na konci roka 2007, ak by zisky neboli stiahnuté z obehu?
Odpovede:
- Keďže problémový výrok nehovorí, že progresia je nekonečná a je potrebné nájsť súčet určitého počtu jej členov, výpočet sa vykoná podľa vzorca:
Spoločnosť MDM Capital:2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
- zvýši sa o 100 %, to znamená 2-krát.
Respektíve:
rubľov
Spoločnosť MSK Cash Flows:2005, 2006, 2007.
- zvyšuje o, teda o časy.
Respektíve:
rubľov
rubľov
Poďme si to zhrnúť.
1) Geometrická postupnosť ( ) je číselná postupnosť, ktorej prvý člen je odlišný od nuly a každý člen, začínajúc od druhého, sa rovná predchádzajúcemu, vynásobený rovnakým číslom. Toto číslo sa nazýva menovateľ geometrickej progresie.
2) Rovnica členov geometrickej postupnosti je .
3) môže nadobúdať akékoľvek hodnoty okrem a.
- ak, potom všetky nasledujúce termíny progresie majú rovnaké znamienko - oni sú pozitívne;
- ak, potom všetky nasledujúce podmienky postupu alternatívne znaky;
- keď - progresia sa nazýva nekonečne klesajúca.
4) , s - vlastnosť geometrickej postupnosti (susedné členy)
alebo
, v (ekvidistantné výrazy)
Keď to nájdete, nezabudnite na to mali by byť dve odpovede.
Napríklad,
5) Súčet členov geometrickej progresie sa vypočíta podľa vzorca:
alebo
alebo
DÔLEŽITÉ! Vzorec pre súčet členov nekonečne klesajúcej geometrickej postupnosti použijeme iba vtedy, ak podmienka výslovne uvádza, že potrebujeme nájsť súčet nekonečného počtu členov.
6) Problémy so zloženým úrokom sa tiež vypočítajú pomocou vzorca tého členu geometrickej progresie za predpokladu, že finančné prostriedky neboli stiahnuté z obehu:
GEOMETRICKÁ PROGRESIA. STRUČNE O HLAVNÝCH VECIACH
Geometrická progresia( ) je číselná postupnosť, ktorej prvý člen je odlišný od nuly a každý člen, počnúc druhým, sa rovná predchádzajúcemu, vynásobený rovnakým číslom. Toto číslo sa volá menovateľ geometrickej postupnosti.
Menovateľ geometrickej progresie môže mať akúkoľvek hodnotu okrem a.
- Ak potom všetky nasledujúce termíny progresie majú rovnaké znamienko - sú pozitívne;
- ak, potom sa všetky nasledujúce členy progresie striedajú so znakmi;
- keď - progresia sa nazýva nekonečne klesajúca.
Rovnica členov geometrickej postupnosti - .
Súčet členov geometrickej postupnosti vypočítané podľa vzorca:
alebo
Ak sa progresia nekonečne znižuje, potom:
No, téma je ukončená. Ak čítate tieto riadky, znamená to, že ste veľmi cool.
Pretože len 5% ľudí je schopných niečo zvládnuť sami. A ak dočítate až do konca, tak ste v týchto 5%!
Teraz to najdôležitejšie.
Pochopili ste teóriu na túto tému. A opakujem, toto... toto je proste super! Už teraz ste lepší ako drvivá väčšina vašich rovesníkov.
Problém je, že to nemusí stačiť...
Prečo?
Pre úspešné ukončenie Jednotná štátna skúška na prijatie na vysokú školu s obmedzeným rozpočtom a HLAVNE na celý život.
nebudem ta o nicom presviedcat, poviem len jedno...
Ľudia, ktorí dostali dobré vzdelanie, zarábajú oveľa viac ako tí, ktorí ho nedostali. Toto je štatistika.
Ale to nie je to hlavné.
Hlavne, že sú ŠŤASTNEJŠÍ (existujú také štúdie). Možno preto, že sa pred nimi otvára oveľa viac príležitostí a život sa stáva jasnejším? neviem...
Ale zamysli sa nad sebou...
Čo je potrebné na to, aby ste boli na jednotnej štátnej skúške lepší ako ostatní a nakoniec boli... šťastnejší?
ZÍSKAJTE SI RUKU RIEŠENÍM PROBLÉMOV V TEJTO TÉME.
Počas skúšky sa vás nebudú pýtať na teóriu.
Budete potrebovať riešiť problémy s časom.
A ak ste ich nevyriešili (VEĽA!), určite niekde urobíte hlúpu chybu alebo jednoducho nebudete mať čas.
Je to ako v športe – treba to veľakrát zopakovať, aby ste vyhrali.
Nájdite kolekciu kdekoľvek chcete, nevyhnutne s riešeniami, podrobná analýza a rozhodni sa, rozhodni sa, rozhodni sa!
Môžete využiť naše úlohy (voliteľné) a my ich, samozrejme, odporúčame.
Aby ste mohli lepšie využívať naše úlohy, musíte pomôcť predĺžiť životnosť učebnice YouClever, ktorú práve čítate.
Ako? Sú dve možnosti:
- Odomknite všetky skryté úlohy v tomto článku -
- Odomknite prístup ku všetkým skrytým úlohám vo všetkých 99 článkoch učebnice - Kúpte si učebnicu - 499 RUR
Áno, takýchto článkov máme v našej učebnici 99 a prístup ku všetkým úlohám a všetkým skrytým textom v nich je možné okamžite otvoriť.
Prístup ku všetkým skrytým úlohám je poskytovaný po CELÚ životnosť stránky.
Na záver...
Ak sa vám nepáčia naše úlohy, nájdite si iné. Len neostávajte pri teórii.
„Rozumiem“ a „Viem vyriešiť“ sú úplne odlišné zručnosti. Potrebujete oboje.
Nájdite problémy a riešte ich!
