Niekto je obozretný pred slovom „progresia“, ako veľmi zložitým termínom z odvetví vyššej matematiky. Medzitým je najjednoduchším aritmetickým postupom práca taxametra (kde stále zostávajú). A pochopiť podstatu (a v matematike nie je nič dôležitejšie ako „pochopenie podstaty“) aritmetickej postupnosti nie je také ťažké po analýze niekoľkých základných konceptov.
Matematická postupnosť čísel
Je zvykom pomenovať sériu čísel číselnou postupnosťou, z ktorých každé má svoje vlastné číslo.
a 1 - prvý člen sekvencie;
a 2 je druhý člen sekvencie;
a 7 je siedmy člen sekvencie;
a n je n-tý člen sekvencie;
Nás však nezaujíma žiadna ľubovoľná množina čísel a čísel. Pozornosť zameriame na číselnú postupnosť, v ktorej je hodnota n-tého člena spojená s jeho poradovým číslom pomocou jasne matematicky formulovateľnej závislosti. Inými slovami: číselná hodnota n-tého čísla je nejakou funkciou n.
a - hodnota člena číselnej postupnosti;
n je jeho sériové číslo;
f (n) je funkcia, kde ordinál v číselnej postupnosti n je argument.
Definícia
Aritmetická postupnosť sa zvyčajne nazýva číselná postupnosť, v ktorej je každý nasledujúci člen väčší (menší) ako predchádzajúci o rovnaké číslo. Vzorec pre n-tý člen aritmetickej postupnosti je nasledujúci:
a n - hodnota aktuálneho člena aritmetickej progresie;
a n + 1 - vzorec pre ďalšie číslo;
d - rozdiel (určité číslo).
Je ľahké určiť, že ak je rozdiel kladný (d> 0), potom každý nasledujúci člen zvažovaného radu bude väčší ako predchádzajúci a takáto aritmetická progresia sa bude zvyšovať.
V nižšie uvedenom grafe je ľahké vidieť, prečo sa postupnosť čísel nazývala „vzostupne“.
V prípadoch, keď je rozdiel záporný (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
Hodnota zadaného člena
Niekedy je potrebné určiť hodnotu ľubovoľného člena a n aritmetickej progresie. Môžete to urobiť tak, že postupne vypočítate hodnoty všetkých členov aritmetickej progresie, počnúc od prvého po požadovaný. Nie vždy je však táto cesta akceptovateľná, ak je napríklad potrebné nájsť význam päťtisícového či osemmiliónového člena. Tradičný výpočet bude trvať dlho. Špecifický aritmetický postup však možno skúmať pomocou špecifických vzorcov. Existuje aj vzorec pre n-tý člen: hodnotu ktoréhokoľvek člena aritmetickej progresie možno definovať ako súčet prvého člena progresie s rozdielom progresie, vynásobený číslom požadovaného člena, znížený o jeden.
Vzorec je univerzálny pre zvýšenie aj zníženie progresie.
Príklad výpočtu hodnoty daného člena
Vyriešme nasledujúci problém hľadania hodnoty n-tého člena aritmetickej postupnosti.
Podmienka: existuje aritmetická progresia s parametrami:
Prvý člen v poradí je 3;
Rozdiel v číselnom rade je 1,2.
Zadanie: musíte nájsť hodnotu 214 členov
Riešenie: Na určenie hodnoty daného pojmu použijeme vzorec:
a (n) = a1 + d (n-1)
Nahradením údajov z problémového príkazu do výrazu máme:
a (214) = a1 + d (n-1)
a (214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6
Odpoveď: 214. člen v poradí je 258,6.
Výhody tohto spôsobu výpočtu sú zrejmé - celé riešenie nezaberie viac ako 2 riadky.
Súčet daného počtu členov
Veľmi často je v danej aritmetickej sérii potrebné určiť súčet hodnôt určitého jej segmentu. To tiež nevyžaduje výpočet hodnôt každého výrazu a následné sčítanie. Táto metóda je použiteľná, ak je počet členov, ktorých súčet treba nájsť, malý. V iných prípadoch je vhodnejšie použiť nasledujúci vzorec.
Súčet členov aritmetickej postupnosti od 1 do n sa rovná súčtu prvého a n-tého člena, vynásobený číslom člena n a delený dvomi. Ak je vo vzorci hodnota n-tého člena nahradená výrazom z predchádzajúceho odseku článku, dostaneme:
Príklad výpočtu
Vyriešme napríklad problém s nasledujúcimi podmienkami:
Prvý člen v poradí je nula;
Rozdiel je 0,5.
V úlohe musíte určiť súčet členov série od 56 do 101.
Riešenie. Na určenie súčtu progresie použijeme vzorec:
s (n) = (2 ∙ a1 + d ∙ (n-1)) ∙ n / 2
Najprv určíme súčet hodnôt 101 členov progresie, pričom údaje o ich podmienkach nášho problému nahradíme do vzorca:
s 101 = (2 ∙ 0 + 0,5 ∙ (101-1)) ∙ 101/2 = 2 525
Je zrejmé, že na zistenie súčtu členov postupu od 56. do 101. je potrebné odpočítať S 55 od S 101.
s 55 = (2 ∙ 0 + 0,5 ∙ (55-1)) ∙ 55/2 = 742,5
Takže súčet aritmetickej progresie pre tento príklad:
s 101 - s 55 = 2 525 - 742,5 = 1 782,5
Príklad praktickej aplikácie aritmetickej progresie
Na konci článku sa vráťme k príkladu aritmetickej postupnosti uvedenej v prvom odseku - taxameter (počítadlo auta taxislužby). Uvažujme o príklade.
Vstup do taxíka (ktorý zahŕňa 3 km behu) stojí 50 rubľov. Každý nasledujúci kilometer sa platí sadzbou 22 rubľov / km. Dojazd 30 km. Vypočítajte si náklady na cestu.
1. Vyraďme prvé 3 km, ktorých cena je zahrnutá v cene pristátia.
30 - 3 = 27 km.
2. Ďalší výpočet nie je nič iné ako analýza aritmetického číselného radu.
Členské číslo – počet najazdených kilometrov (mínus prvé tri).
Hodnota člena je súčet.
Prvý člen v tejto úlohe sa bude rovnať a 1 = 50 p.
Rozdiel v progresii d = 22 p.
číslo, ktoré nás zaujíma, je hodnota (27 + 1) -tého členu aritmetického postupu - údaj počítadla na konci 27. kilometra je 27,999 ... = 28 km.
a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644
Výpočty kalendárnych údajov za ľubovoľne dlhé obdobie sú založené na vzorcoch popisujúcich určité číselné postupnosti. V astronómii je dĺžka obežnej dráhy geometricky závislá od vzdialenosti nebeského telesa od svietidla. Okrem toho sa rôzne číselné rady úspešne používajú v štatistike a iných aplikovaných odvetviach matematiky.
Iný typ číselnej postupnosti je geometrický
Geometrická progresia sa v porovnaní s aritmetikou vyznačuje veľkými rýchlosťami zmien. Nie je náhoda, že v politike, sociológii, medicíne sa často hovorí, že proces sa vyvíja exponenciálne, aby sa ukázala vysoká miera šírenia tohto alebo toho javu, napríklad choroby počas epidémie.
N-tý člen geometrického číselného radu sa líši od predchádzajúceho v tom, že je vynásobený nejakým konštantným číslom - menovateľ, napríklad prvý člen je 1, menovateľ je 2, potom:
n = 1: 1 ∙ 2 = 2
n = 2: 2 ∙ 2 = 4
n = 3: 4 ∙ 2 = 8
n = 4: 8 ∙ 2 = 16
n = 5: 16 ∙ 2 = 32,
b n - hodnota aktuálneho člena geometrickej progresie;
b n + 1 - vzorec ďalšieho člena geometrickej postupnosti;
q je menovateľ geometrickej postupnosti (konštantné číslo).
Ak je graf aritmetickej progresie priama čiara, potom geometrický graf zobrazuje trochu iný obraz:
Rovnako ako v prípade aritmetiky, geometrická postupnosť má vzorec pre hodnotu ľubovoľného člena. Akýkoľvek n-tý člen geometrickej postupnosti sa rovná súčinu prvého člena menovateľom postupnosti k mocnine n, zníženému o jednu:
Príklad. Máme geometrickú postupnosť s prvým členom rovným 3 a menovateľom postupnosti rovným 1,5. Nájdite 5. termín postupu
b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875
Súčet daného počtu členov sa vypočíta rovnakým spôsobom pomocou špeciálneho vzorca. Súčet prvých n členov geometrickej postupnosti sa rovná rozdielu medzi súčinom n-tého člena postupnosti a jeho menovateľa a prvého člena postupnosti, vydelenému menovateľom zníženým o jednu:
Ak sa b n nahradí pomocou vyššie uvedeného vzorca, hodnota súčtu prvých n členov uvažovaného číselného radu bude mať tvar:
Príklad. Geometrická postupnosť začína prvým členom rovným 1. Menovateľ sa rovná 3. Nájdite súčet prvých ôsmich členov.
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280
I. V. Jakovlev | Matematické materiály | MathUs.ru
Aritmetický postup
Aritmetický postup je špeciálny druh postupnosti. Preto pred definovaním aritmetickej (a potom geometrickej) progresie musíme stručne diskutovať o dôležitom koncepte číselnej postupnosti.
Sekvencia
Predstavte si zariadenie, na ktorého obrazovke sa postupne zobrazujú čísla. Povedzme 2; 7; trinásť; jeden; 6; 0; 3; ::: Táto množina čísel je len príkladom postupnosti.
Definícia. Číselná postupnosť je množina čísel, v ktorých každému číslu možno priradiť jedinečné číslo (to znamená priradiť jedno prirodzené číslo) 1. Číslo n sa nazýva n-tý člen postupnosti.
Takže vo vyššie uvedenom príklade má prvé číslo číslo 2, toto je prvý člen postupnosti, ktorý možno označiť a1; číslo päť má číslo 6 toto je piaty člen v poradí, ktorý možno označiť ako a5. Vo všeobecnosti sa n-tý člen v poradí označuje an (alebo bn, cn atď.).
Veľmi výhodná je situácia, keď n-tý člen postupnosti môže byť špecifikovaný nejakým vzorcom. Napríklad vzorec an = 2n 3 definuje postupnosť: 1; jeden; 3; 5; 7; ::: Vzorec an = (1) n definuje postupnosť: 1; jeden; jeden; jeden; :::
Nie každá množina čísel je postupnosť. Takže segment nie je sekvencia; obsahuje „príliš veľa“ čísel na prečíslovanie. Množina R všetkých reálnych čísel tiež nie je postupnosť. Tieto skutočnosti sú dokázané v priebehu matematickej analýzy.
Aritmetická postupnosť: základné definície
Teraz sme pripravení definovať aritmetickú progresiu.
Definícia. Aritmetická postupnosť je postupnosť, ktorej každý člen (počnúc druhým) sa rovná súčtu predchádzajúceho člena a nejakého pevného čísla (nazývaného rozdiel aritmetického postupu).
Napríklad sekvencia 2; 5; osem; jedenásť; ::: je aritmetická postupnosť s prvým členom 2 a rozdielom 3. Postupnosť 7; 2; 3; osem; ::: je aritmetická postupnosť s prvým členom 7 a rozdielom 5. Postupnosť 3; 3; 3; ::: je aritmetický postup s nulovým rozdielom.
Ekvivalentná definícia: postupnosť an sa nazýva aritmetická progresia, ak rozdiel an + 1 an je konštantná hodnota (nezávislá od n).
Aritmetická progresia sa nazýva rastúca, ak je jej rozdiel kladný, a klesajúca, ak je jej rozdiel záporný.
1 A tu je lakonickejšia definícia: postupnosť je funkcia definovaná na množine prirodzených čísel. Napríklad postupnosť reálnych čísel je funkcia f: N! R.
V predvolenom nastavení sa postupnosti považujú za nekonečné, to znamená, že obsahujú nekonečný počet čísel. Ale nikto sa neobťažuje uvažovať aj o konečných postupnostiach; v skutočnosti možno akúkoľvek konečnú množinu čísel nazvať konečnou postupnosťou. Napríklad konečná sekvencia je 1; 2; 3; 4; 5 pozostáva z piatich čísel.
Vzorec n-tého člena aritmetickej postupnosti
Je ľahké pochopiť, že aritmetický postup je úplne určený dvoma číslami: prvým členom a rozdielom. Preto vyvstáva otázka: ako so znalosťou prvého člena a rozdielu nájsť ľubovoľný člen aritmetickej postupnosti?
Nie je ťažké získať požadovaný vzorec pre n-tý člen aritmetickej postupnosti. Nechajte
aritmetická progresia s rozdielom d. Máme: |
|
an + 1 = an + d (n = 1; 2;:: :): |
|
Predovšetkým píšeme: |
|
a2 = a1 + d; |
|
a3 = a2 + d = (al + d) + d = a1 + 2d; |
|
a4 = a3 + d = (al + 2d) + d = a1 + 3d; |
|
a teraz je jasné, že vzorec pre an je: |
|
an = a1 + (n 1) d: |
Úloha 1. V aritmetickom postupe 2; 5; osem; jedenásť; ::: nájdite vzorec pre n-tý člen a vypočítajte stý člen.
Riešenie. Podľa vzorca (1) máme:
an = 2 + 3 (n 1) = 3n 1:
a100 = 3 100 1 = 299:
Vlastnosť a znak aritmetického postupu
Vlastnosť aritmetického postupu. V aritmetickej progresii a pre ľubovoľné
Inými slovami, každý člen aritmetickej postupnosti (počnúc od druhého) je aritmetickým priemerom susedných členov.
Dôkaz. Máme: |
||||
a n 1 + a n + 1 |
(an d) + (an + d) |
|||
podľa potreby.
Vo všeobecnosti platí, že aritmetický postup a spĺňa rovnosť
a n = a n k + a n + k
pre ľubovoľné n> 2 a ľubovoľné prirodzené k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).
Ukazuje sa, že vzorec (2) je nielen nevyhnutnou, ale aj postačujúcou podmienkou, aby postupnosť bola aritmetickou progresiou.
Znak aritmetického postupu. Ak platí rovnosť (2) pre všetky n> 2, potom postupnosť an je aritmetickou progresiou.
Dôkaz. Prepíšme vzorec (2) takto:
a n a n 1 = a n + 1 a n:
To ukazuje, že rozdiel an + 1 an nezávisí od n, a to znamená, že postupnosť an je aritmetická progresia.
Vlastnosť a znak aritmetickej progresie možno formulovať ako jeden výrok; Pre pohodlie to urobíme pre tri čísla (toto je situácia, ktorá sa často vyskytuje pri problémoch).
Charakterizácia aritmetickej progresie. Tri čísla a, b, c tvoria aritmetickú postupnosť práve vtedy, ak 2b = a + c.
Úloha 2. (Moskva štátna univerzita, Ekonomická fakulta, 2007) Tri čísla 8x, 3x2 a 4 v uvedenom poradí tvoria klesajúci aritmetický postup. Nájdite x a označte rozdiel tohto postupu.
Riešenie. Podľa vlastnosti aritmetickej progresie máme:
2 (3 x 2) = 8 x 4, 2 x 2 + 8 x 10 = 0, x2 + 4 x 5 = 0, x = 1; x = 5:
Ak x = 1, potom dostaneme klesajúcu progresiu 8, 2, 4 s rozdielom 6. Ak x = 5, dostaneme rastúcu progresiu 40, 22, 4; tento prípad nebude fungovať.
Odpoveď: x = 1, rozdiel je 6.
Súčet prvých n členov aritmetickej progresie
Legenda hovorí, že jedného dňa učiteľ povedal deťom, aby našli súčet čísel od 1 do 100 a posadili sa, aby si pokojne prečítali noviny. O necelých pár minút však jeden chlapec povedal, že problém vyriešil. Bol to 9-ročný Karl Friedrich Gauss, neskôr jeden z najväčších matematikov histórie.
Nápad malého Gaussa bol takýto. Nechaj
S = 1 + 2 + 3 +::: + 98 + 99 + 100:
Napíšme túto sumu v opačnom poradí:
S = 100 + 99 + 98 +::: + 3 + 2 + 1;
a pridajte tieto dva vzorce:
2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) +::: + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):
Každý výraz v zátvorkách sa rovná 101 a takýchto výrazov je celkovo 100. Preto
2S = 101 100 = 10 100;
Túto myšlienku použijeme na odvodenie súčtového vzorca
S = a1 + a2 +::: + an + a n n: (3)
Užitočnú modifikáciu vzorca (3) získame dosadením vzorca pre n-tý člen an = a1 + (n 1) d do neho:
2a1 + (n 1) d |
|||||
Úloha 3. Nájdite súčet všetkých kladných trojciferných čísel deliteľných 13.
Riešenie. Trojciferné čísla deliteľné 13 tvoria aritmetickú postupnosť s prvým členom 104 a rozdielom 13; N-tý termín tohto postupu je:
an = 104 + 13 (n 1) = 91 + 13n:
Poďme zistiť, koľko členov má naša progresia. Aby sme to dosiahli, riešime nerovnosť:
6 999; 91 + 13n 6 999;
n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:
V našej progresii je teda 69 členov. Pomocou vzorca (4) nájdeme požadovaný súčet:
S = 2 104 + 68 13 69 = 37 674: 2
Napríklad postupnosť \ (2 \); \(5\); \(osem\); \(jedenásť\); \ (14 \) ... je aritmetický postup, pretože každý ďalší prvok sa líši od predchádzajúceho o tri (od predchádzajúceho sa dá získať pridaním trojice):
V tomto postupe je rozdiel \ (d \) kladný (rovná sa \ (3 \)), a preto je každý ďalší člen väčší ako predchádzajúci. Takéto progresie sa nazývajú zvyšujúci sa.
\ (d \) však môže byť aj záporné. napríklad, v aritmetickej postupnosti \ (16 \); \(10\); \(4\); \ (- 2 \); \ (- 8 \) ... rozdiel postupu \ (d \) sa rovná mínus šiestim.
A v tomto prípade bude každý ďalší prvok menší ako predchádzajúci. Tieto progresie sa nazývajú klesajúci.
Zápis aritmetického postupu
Postup je označený malým latinským písmenom.
Nazývajú to čísla tvoriace progresiu členov(alebo prvky).
Označujú sa rovnakým písmenom ako aritmetická postupnosť, ale s číselným indexom rovným číslu prvku v poradí.
Napríklad aritmetický postup \ (a_n = \ vľavo \ (2; 5; 8; 11; 14 ... \ vpravo \) \) pozostáva z prvkov \ (a_1 = 2 \); \ (a_2 = 5 \); \ (a_3 = 8 \) a tak ďalej.
Inými slovami, pre postup \ (a_n = \ vľavo \ (2; 5; 8; 11; 14 ... \ vpravo \) \)
Riešenie problémov pre aritmetický postup
V zásade už vyššie uvedené informácie postačujú na vyriešenie takmer akéhokoľvek problému pre aritmetický postup (vrátane tých, ktoré ponúka OGE).
Príklad (OGE).
Aritmetický postup je určený podmienkami \ (b_1 = 7; d = 4 \). Nájsť \ (b_5 \).
Riešenie:
odpoveď: \ (b_5 = 23 \)
Príklad (OGE).
Sú uvedené prvé tri členy aritmetickej progresie: \ (62; 49; 36 ... \) Nájdite hodnotu prvého záporného člena tejto progresie ..
Riešenie:
|
Sú nám dané prvé prvky postupnosti a vieme, že ide o aritmetický postup. To znamená, že každý prvok sa líši od susedného o rovnaké číslo. Zistite, ktorý z nich, odčítaním predchádzajúceho od nasledujúceho prvku: \ (d = 49-62 = -13 \). |
|
|
Teraz môžeme obnoviť náš postup k (prvému negatívnemu) prvku, ktorý potrebujeme. |
|
|
Pripravený. Môžete napísať odpoveď. |
odpoveď: \(-3\)
Príklad (OGE).
Je uvedených niekoľko po sebe nasledujúcich prvkov aritmetického postupu: \ (… 5; x; 10; 12,5 ... \) Nájdite hodnotu prvku označenú písmenom \ (x \).
Riešenie:
|
|
Aby sme našli \ (x \), potrebujeme vedieť, ako veľmi sa líši nasledujúci prvok od predchádzajúceho, inými slovami - rozdiel postupu. Nájdite to z dvoch známych susedných prvkov: \ (d = 12,5-10 = 2,5 \). |
|
|
A teraz bez problémov nájdeme požadovaný: \ (x = 5 + 2,5 = 7,5 \). |
|
|
Pripravený. Môžete napísať odpoveď. |
odpoveď: \(7,5\).
Príklad (OGE).
Aritmetický postup je určený nasledujúcimi podmienkami: \ (a_1 = -11 \); \ (a_ (n + 1) = a_n + 5 \) Nájdite súčet prvých šiestich členov tejto postupnosti.
Riešenie:
|
Musíme nájsť súčet prvých šiestich členov postupu. Ale ich význam nepoznáme, je nám daný len prvý prvok. Preto najprv vypočítame hodnoty postupne pomocou toho, čo máme: \ (n = 1 \); \ (a_ (1 + 1) = a_1 + 5 = -11 + 5 = -6 \) |
|
|
\ (S_6 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = \) |
Hľadaná suma bola nájdená. |
odpoveď: \ (S_6 = 9 \).
Príklad (OGE).
V aritmetickom postupe \ (a_ (12) = 23 \); \ (a_ (16) = 51 \). Nájdite rozdiel medzi týmto vývojom.
Riešenie:
odpoveď: \ (d = 7 \).
Dôležité vzorce pre aritmetický postup
Ako vidíte, mnohé problémy s aritmetickou progresiou možno vyriešiť jednoducho pochopením hlavnej veci - že aritmetická progresia je reťazec čísel a každý ďalší prvok v tomto reťazci sa získa pridaním rovnakého čísla k predchádzajúcemu (rozdiel progresie).
Niekedy však nastanú situácie, kedy je veľmi nepohodlné rozhodnúť sa „hlavou“. Predstavte si napríklad, že v úplne prvom príklade potrebujeme nájsť nie piaty prvok \ (b_5 \), ale tristoosemdesiaty šiesty \ (b_ (386) \). Čo je to, \ (385 \) krát sčítame štyri? Alebo si predstavte, že v predposlednom príklade potrebujete nájsť súčet prvých sedemdesiatich troch prvkov. Budete mučení, aby ste počítali...
Preto v takýchto prípadoch neriešia „hlavou“, ale používajú špeciálne vzorce odvodené pre aritmetický postup. A hlavné sú vzorec pre n-tý člen postupnosti a vzorec pre súčet \ (n \) prvých členov.
Vzorec \ (n \) - tý člen: \ (a_n = a_1 + (n-1) d \), kde \ (a_1 \) je prvý člen postupnosti;
\ (n \) - číslo hľadaného prvku;
\ (a_n \) je členom postupnosti s číslom \ (n \).
Tento vzorec nám umožňuje rýchlo nájsť aspoň tristotý, dokonca aj miliónty prvok, pričom poznáme iba prvý a rozdiel postupu.
Príklad.
Aritmetický postup je určený podmienkami: \ (b_1 = -159 \); \ (d = 8,2 \). Nájsť \ (b_ (246) \).
Riešenie:
odpoveď: \ (b_ (246) = 1850 \).
Vzorec pre súčet prvých n členov: \ (S_n = \ frac (a_1 + a_n) (2) \ cdot n \), kde
\ (a_n \) - posledný sčítaný člen;
Príklad (OGE).
Aritmetický postup je určený podmienkami \ (a_n = 3,4n-0,6 \). Nájdite súčet prvých \ (25 \) členov tohto postupu.
Riešenie:
|
\ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 \) |
Na výpočet súčtu prvých dvadsiatich piatich prvkov potrebujeme poznať hodnotu prvého a dvadsiateho piateho člena. |
|
|
\ (n = 1; \) \ (a_1 = 3,4 1-0,6 = 2,8 \) |
Teraz nájdeme dvadsiaty piaty člen, ktorý nahradí dvadsaťpäť namiesto \ (n \). |
|
|
\ (n = 25; \) \ (a_ (25) = 3,4 25-0,6 = 84,4 \) |
No a teraz už vieme bez problémov vypočítať požadovanú sumu. |
|
|
\ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 = \) |
Odpoveď je pripravená. |
odpoveď: \ (S_ (25) = 1090 \).
Pre súčet \ (n \) prvých výrazov môžete získať ďalší vzorec: stačí \ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 \ ) namiesto \ (a_n \) dosaďte vzorec \ (a_n = a_1 + (n-1) d \). Dostaneme:
Vzorec pre súčet prvých n členov: \ (S_n = \) \ (\ frac (2a_1 + (n-1) d) (2) \) \ (\ cdot n \), kde
\ (S_n \) - požadovaný súčet \ (n \) prvých prvkov;
\ (a_1 \) - prvý sčítaný člen;
\ (d \) - progresívny rozdiel;
\ (n \) - počet prvkov v súčte.
Príklad.
Nájdite súčet prvých \ (33 \) - bývalých členov aritmetickej postupnosti: \ (17 \); \ (15,5 \); \(14\)…
Riešenie:
odpoveď: \ (S_ (33) = - 231 \).
Zložitejšie problémy aritmetického postupu
Teraz máte všetky informácie, ktoré potrebujete na vyriešenie takmer akéhokoľvek problému s aritmetickým postupom. Tému uzatvárame úvahami o problémoch, pri ktorých je potrebné nielen aplikovať vzorce, ale aj trochu premýšľať (v matematike to môže byť užitočné ☺)
Príklad (OGE).
Nájdite súčet všetkých záporných členov progresie: \ (- 19,3 \); \(-devätnásť\); \ (- 18,7 \) ...
Riešenie:
|
\ (S_n = \) \ (\ frac (2a_1 + (n-1) d) (2) \) \ (\ cdot n \) |
Úloha je veľmi podobná predchádzajúcej. Začneme tiež riešiť: najprv nájdeme \ (d \). |
|
|
\ (d = a_2-a_1 = -19 - (- 19,3) = 0,3 \) |
Teraz by sme vo vzorci pre súčet dosadili \ (d \) ... a tu sa objaví malá nuansa - nevieme \ (n \). Inými slovami, nevieme, koľko výrazov bude potrebné pridať. Ako to zistiť? zamyslime sa. Pridávanie prvkov zastavíme, keď sa dostaneme k prvému pozitívnemu prvku. To znamená, že musíte zistiť číslo tohto prvku. ako? Zapíšme si vzorec na výpočet ľubovoľného prvku aritmetickej postupnosti: \ (a_n = a_1 + (n-1) d \) pre náš prípad. |
|
|
\ (a_n = a_1 + (n-1) d \) |
||
|
\ (a_n = -19,3 + (n-1) 0,3 \) |
Potrebujeme, aby \ (a_n \) bolo väčšie ako nula. Poďme zistiť, čo \ (n \) sa to stane. |
|
|
\ (- 19,3+ (n-1) 0,3> 0 \) |
||
|
\ ((n-1) 0,3> 19,3 \) \ (|: 0,3 \) |
Obe strany nerovnosti vydelíme \ (0,3 \). |
|
|
\ (n-1> \) \ (\ frac (19,3) (0,3) \) |
Pohybujte sa mínus jedna, nezabudnite zmeniť znamienka |
|
|
\ (n> \) \ (\ frac (19,3) (0,3) \) \ (+ 1 \) |
Počítame... |
|
|
\ (n> 65 333 ... \) |
... a ukáže sa, že prvý kladný prvok bude mať číslo \ (66 \). Podľa toho má posledný zápor \ (n = 65 \). Pre každý prípad to skontrolujeme. |
|
|
\ (n = 65; \) \ (a_ (65) = - 19,3+ (65-1) 0,3 = -0,1 \) |
Preto musíme pridať prvých \ (65 \) prvkov. |
|
|
\ (S_ (65) = \) \ (\ frac (2 \ cdot (-19,3) + (65-1) 0,3) (2) \)\ (\ cdot 65 \) |
Odpoveď je pripravená. |
odpoveď: \ (S_ (65) = - 630,5 \).
Príklad (OGE).
Aritmetický postup je určený podmienkami: \ (a_1 = -33 \); \ (a_ (n + 1) = a_n + 4 \). Nájdite súčet od \ (26 \) do \ (42 \) prvku vrátane.
Riešenie:
|
\ (a_1 = -33; \) \ (a_ (n + 1) = a_n + 4 \) |
V tomto probléme musíte tiež nájsť súčet prvkov, ale nie od prvého, ale od \ (26 \) - th. Pre takýto prípad nemáme žiadny vzorec. ako sa rozhodnúť? |
|
|
Pre náš postup \ (a_1 = -33 \) a rozdiel \ (d = 4 \) (napokon k predchádzajúcemu prvku pridáme štyri, aby sme našli ďalší). Keď to vieme, nájdeme súčet prvých \ (42 \) - yh prvkov. |
|
\ (S_ (42) = \) \ (\ frac (2 \ cdot (-33) + (42-1) 4) (2) \)\ (\ cdot 42 = \) |
Teraz súčet prvých \ (25 \) - ty prvkov. |
|
\ (S_ (25) = \) \ (\ frac (2 \ cdot (-33) + (25-1) 4) (2) \)\ (\ cdot 25 = \) |
Nakoniec vypočítame odpoveď. |
|
\ (S = S_ (42) -S_ (25) = 2058-375 = 1683 \) |
odpoveď: \ (S = 1683 \).
Existuje niekoľko ďalších vzorcov pre aritmetickú progresiu, ktoré sme v tomto článku nezohľadnili kvôli ich nízkej praktickej užitočnosti. Môžete ich však ľahko nájsť.
Áno, áno: aritmetický postup nie je pre vás hračka :) No, priatelia, ak čítate tento text, potom mi vnútorná čiapočka-zrejmosť hovorí, že ešte neviete, čo je to aritmetická progresia, ale naozaj to (nie, takto: TÁÁÁÁÁÁ!) chcete vedieť. Nebudem vás preto mučiť dlhými úvodmi a hneď sa pustím do veci.
Začnime niekoľkými príkladmi. Zvážte niekoľko sád čísel:
- 1; 2; 3; 4; ...
- 15; 20; 25; 30; ...
- $ \ sqrt (2); \ 2 \ sqrt (2); \ 3 \ sqrt (2); ... $
Čo majú všetky tieto súpravy spoločné? Na prvý pohľad nič. Ale v skutočnosti tam niečo je. menovite: každý nasledujúci prvok sa líši od predchádzajúceho o rovnaké číslo.
Veď posúďte sami. Prvá množina sú jednoducho po sebe idúce čísla, každé ďalšie je o jedno viac ako predchádzajúce. V druhom prípade je rozdiel medzi susednými číslami už päť, ale tento rozdiel je stále konštantný. V treťom prípade korene vo všeobecnosti. Avšak $ 2 \ sqrt (2) = \ sqrt (2) + \ sqrt (2) $ a $ 3 \ sqrt (2) = 2 \ sqrt (2) + \ sqrt (2) $, t.j. av tomto prípade sa každý ďalší prvok jednoducho zvýši o $ \ sqrt (2) $ (a nebojte sa, že toto číslo je iracionálne).
Takže: všetky takéto postupnosti sa nazývajú aritmetické postupnosti. Dajme presnú definíciu:
Definícia. Postupnosť čísel, v ktorých sa každé nasledujúce líši od predchádzajúceho presne o rovnakú hodnotu, sa nazýva aritmetická postupnosť. Samotná suma, o ktorú sa čísla líšia, sa nazýva rozdiel progresie a najčastejšie sa označuje písmenom $ d $.
Označenie: $ \ vľavo (((a) _ (n)) \ vpravo) $ - samotná progresia, $ d $ - jej rozdiel.
A len pár dôležitých poznámok. Po prvé, iba usporiadaný poradie čísel: môžu sa čítať striktne v poradí, v akom sú napísané - a nič iné. Čísla nemôžete preusporiadať ani vymeniť.
Po druhé, samotná postupnosť môže byť buď konečná, alebo nekonečná. Napríklad množina (1; 2; 3) je zjavne konečná aritmetická postupnosť. Ale ak napíšete niečo v duchu (1; 2; 3; 4; ...) - to je už nekonečný postup. Elipsa za štvorkou ako keby naznačovala, že stále existuje pomerne veľa čísel. Napríklad nekonečne veľa. :)
Chcel by som tiež poznamenať, že pokroky sa zvyšujú a znižujú. Tie pribúdajúce sme už videli - rovnakú množinu (1; 2; 3; 4; ...). A tu sú príklady klesajúcej progresie:
- 49; 41; 33; 25; 17; ...
- 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
- $ \ sqrt (5); \ \ sqrt (5) -1; \ \ sqrt (5) -2; \ \ sqrt (5) -3; ... $
Dobre, dobre: tento posledný príklad sa môže zdať príliš komplikovaný. Ale zvyšok je vám, myslím, jasný. Preto zavedieme nové definície:
Definícia. Aritmetický postup sa nazýva:
- vzostupne, ak je každý ďalší prvok väčší ako predchádzajúci;
- klesajúci, ak je naopak každý nasledujúci prvok menší ako predchádzajúci.
Okrem toho existujú takzvané "stacionárne" sekvencie - pozostávajú z rovnakého opakujúceho sa čísla. Napríklad (3; 3; 3; ...).
Zostáva len jedna otázka: ako rozlíšiť rastúcu progresiu od klesajúcej? Našťastie všetko závisí od znamienka čísla $ d $, t.j. vývoj rozdielov:
- Ak $ d \ gt 0 $, potom sa progresia zvyšuje;
- Ak $ d \ lt 0 $, potom progresia zjavne klesá;
- Nakoniec je tu prípad $ d = 0 $ - v tomto prípade je celá postupnosť redukovaná na stacionárnu postupnosť rovnakých čísel: (1; 1; 1; 1; ...) atď.
Skúsme vypočítať rozdiel $ d $ pre tri klesajúce priebehy uvedené vyššie. Na tento účel stačí vziať ľubovoľné dva susedné prvky (napríklad prvý a druhý) a odpočítať číslo vľavo od čísla vpravo. Bude to vyzerať takto:
- 41−49=−8;
- 12−17,5=−5,5;
- $ \ sqrt (5) -1- \ sqrt (5) = - 1 $.
Ako vidíte, vo všetkých troch prípadoch sa rozdiel skutočne ukázal ako negatívny. A teraz, keď sme už viac-menej prišli na definície, je čas prísť na to, ako sa popisujú progresie a aké sú ich vlastnosti.
Členovia progresie a opakujúci sa vzorec
Keďže prvky našich sekvencií nemožno zamieňať, možno ich očíslovať:
\ [\ vľavo (((a) _ (n)) \ vpravo) = \ vľavo \ (((a) _ (1)), \ ((a) _ (2)), ((a) _ (3 )), ... \ správny \) \]
Jednotlivé prvky tohto súboru sa nazývajú členovia progresie. Sú označené číslom: prvý termín, druhý termín atď.
Okrem toho, ako už vieme, susedné členy progresie súvisia podľa vzorca:
\ [((a) _ (n)) - ((a) _ (n-1)) = d \ Šípka doprava ((a) _ (n)) = ((a) _ (n-1)) + d \]
Stručne povedané, aby ste našli $ n $ tý výraz v postupnosti, musíte poznať $ n-1 $ tý výraz a rozdiel $ d $. Takýto vzorec sa nazýva opakujúci sa, pretože s jeho pomocou môžete nájsť ľubovoľné číslo, iba ak poznáte predchádzajúce (a v skutočnosti všetky predchádzajúce). To je veľmi nepohodlné, takže existuje zložitejší vzorec, ktorý znižuje akékoľvek výpočty na prvý výraz a rozdiel:
\ [((a) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ vľavo (n-1 \ vpravo) d \]
Určite ste sa už s týmto vzorcom stretli. Radi to dávajú vo všetkých druhoch referenčných kníh a reshebnikov. A v každej rozumnej učebnici matematiky je jedna z prvých.
Navrhujem však, aby sme si trochu zacvičili.
Problém číslo 1. Napíšte prvé tri členy aritmetickej postupnosti $ \ vľavo (((a) _ (n)) \ vpravo) $, ak $ ((a) _ (1)) = 8, d = -5 $.
Riešenie. Poznáme teda prvý člen $ ((a) _ (1)) = 8 $ a rozdiel progresie $ d = -5 $. Použime práve uvedený vzorec a nahraďme $ n = 1 $, $ n = 2 $ a $ n = 3 $:
\ [\ begin (zarovnať) & ((a) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ vľavo (n-1 \ vpravo) d; \\ & ((a) _ (1)) = ((a) _ (1)) + \ vľavo (1-1 \ vpravo) d = ((a) _ (1)) = 8; \\ & ((a) _ (2)) = ((a) _ (1)) + \ vľavo (2-1 \ vpravo) d = ((a) _ (1)) + d = 8-5 = 3; \\ & ((a) _ (3)) = ((a) _ (1)) + \ vľavo (3-1 \ vpravo) d = ((a) _ (1)) + 2d = 8-10 = -2. \\ \ koniec (zarovnanie) \]
Odpoveď: (8; 3; −2)
To je všetko! Poznámka: náš postup sa znižuje.
Samozrejme, $ n = 1 $ sa nedalo nahradiť - prvý výraz je nám už známy. Nahradením jedného sme sa však uistili, že náš vzorec funguje aj na prvý termín. V iných prípadoch sa to všetko scvrklo na triviálnu aritmetiku.
Problém číslo 2. Napíšte prvé tri členy aritmetickej postupnosti, ak jej siedmy člen je -40 a sedemnásty člen je -50.
Riešenie. Zapíšme si stav problému obvyklými výrazmi:
\ [((a) _ (7)) = - 40; \ quad ((a) _ (17)) = - 50. \]
\ [\ vľavo \ (\ začiatok (zarovnať) & ((a) _ (7)) = ((a) _ (1)) + 6d \\ & ((a) _ (17)) = ((a) _ (1)) + 16d \\ \ koniec (zarovnať) \ vpravo. \]
\ [\ vľavo \ (\ začiatok (zarovnanie) & ((a) _ (1)) + 6d = -40 \\ & ((a) _ (1)) + 16d = -50 \\ \ koniec (zarovnanie) \ správny. \]
Označil som systém, pretože tieto požiadavky musia byť splnené súčasne. A teraz si všimnite, že ak odpočítame prvú od druhej rovnice (máme na to právo, keďže máme systém), dostaneme toto:
\ [\ begin (zarovnať) & ((a) _ (1)) + 16d- \ vľavo (((a) _ (1)) + 6d \ vpravo) = - 50- \ vľavo (-40 \ vpravo); \\ & ((a) _ (1)) + 16d - ((a) _ (1)) - 6d = -50 + 40; \\ & 10d = -10; \\ & d = -1. \\ \ koniec (zarovnanie) \]
Takto ľahko sme našli rozdiel v postupe! Nájdené číslo zostáva dosadiť do ktorejkoľvek z rovníc sústavy. Napríklad v prvom:
\ [\ begin (matica) ((a) _ (1)) + 6d = -40; \ quad d = -1 \\ \ Šipka nadol \\ ((a) _ (1)) - 6 = -40; \\ ((a) _ (1)) = -40 + 6 = -34. \\ \ koniec (matica) \]
Teraz, keď poznáme prvý výraz a rozdiel, zostáva nájsť druhý a tretí výraz:
\ [\ begin (align) & ((a) _ (2)) = ((a) _ (1)) + d = -34-1 = -35; \\ & ((a) _ (3)) = ((a) _ (1)) + 2d = -34-2 = -36. \\ \ koniec (zarovnanie) \]
Pripravený! Problém bol vyriešený.
Odpoveď: (-34; -35; -36)
Venujte pozornosť zaujímavej vlastnosti progresie, ktorú sme objavili: ak vezmeme $ n $ tý a $ m $ tý člen a odpočítame ich od seba, dostaneme rozdiel progresie vynásobený číslom $ n-m $:
\ [((a) _ (n)) - ((a) _ (m)) = d \ cdot \ vľavo (n-m \ vpravo) \]
Jednoduchá, ale veľmi užitočná vlastnosť, ktorú určite potrebujete vedieť - s jej pomocou môžete výrazne urýchliť riešenie mnohých problémov v postupoch. Tu je ukážkový príklad:
Problém číslo 3. Piaty člen aritmetického postupu je 8,4 a jeho desiaty člen je 14,4. Nájdite pätnásty termín tohto postupu.
Riešenie. Keďže $ ((a) _ (5)) = 8,4 $, $ ((a) _ (10)) = 14,4 $ a musíte nájsť $ ((a) _ (15)) $, berieme na vedomie nasledovné :
\ [\ begin (align) & ((a) _ (15)) - ((a) _ (10)) = 5d; \\ & ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) = 5d. \\ \ koniec (zarovnanie) \]
Ale podľa podmienky $ ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) = 14,4-8,4 = 6 $, teda $ 5d = 6 $, odkiaľ máme:
\ [\ begin (align) & ((a) _ (15)) - 14,4 = 6; \\ & ((a) _ (15)) = 6 + 14,4 = 20,4. \\ \ koniec (zarovnanie) \]
Odpoveď: 20.4
To je všetko! Nepotrebovali sme skladať nejaké sústavy rovníc a počítať prvý člen a rozdiel – všetko bolo vyriešené v niekoľkých riadkoch.
Teraz zvážme ďalší typ úloh - nájsť negatívnych a pozitívnych členov progresie. Nie je žiadnym tajomstvom, že ak sa progresia zvyšuje, kým prvý termín je negatívny, potom sa v ňom skôr či neskôr objavia pozitívne termíny. A naopak: členovia klesajúcej progresie sa skôr či neskôr stanú negatívnymi.
Zároveň nie je vždy možné tápať v tomto momente „hlavou“ a postupne prechádzať prvkami. Často sú problémy navrhnuté tak, že bez znalosti vzorcov by výpočty zabrali niekoľko listov – jednoducho by sme zaspali, kým by sme našli odpoveď. Preto sa pokúsime tieto problémy vyriešiť rýchlejšie.
Problém číslo 4. Koľko záporných členov je v aritmetickej progresii -38,5; -35,8; ...?
Riešenie. Takže $ ((a) _ (1)) = - 38,5 $, $ ((a) _ (2)) = - 35,8 $, odkiaľ okamžite nájdeme rozdiel:
Všimnite si, že rozdiel je pozitívny, takže progresia sa zvyšuje. Prvý člen je záporný, takže v určitom bode skutočne narazíme na kladné čísla. Jedinou otázkou je, kedy sa tak stane.
Skúsme zistiť: ako dlho (t. j. do akého prirodzeného čísla $ n $) sa zachováva negativita pojmov:
\ [\ begin (align) & ((a) _ (n)) \ lt 0 \ Rightarrow ((a) _ (1)) + \ left (n-1 \ right) d \ lt 0; \\ & -38,5+ \ vľavo (n-1 \ vpravo) \ cdot 2,7 \ lt 0; \ quad \ vľavo | \ cdot 10 \ vpravo. \\ & -385 + 27 \ cdot \ vľavo (n-1 \ vpravo) \ lt 0; \\ & -385 + 27n-27 \ lt 0; \\ & 27n \ lt 412; \\ & n \ lt 15 \ frac (7) (27) \ Šípka doprava ((n) _ (\ max)) = 15. \\ \ koniec (zarovnanie) \]
Posledný riadok potrebuje vysvetlenie. Takže vieme, že $ n \ lt 15 \ frac (7) (27) $. Na druhej strane sa uspokojíme len s celočíselnými hodnotami čísla (navyše: $ n \ in \ mathbb (N) $), takže najväčšie povolené číslo je presne $ n = 15 $ a v žiadnom prípade je 16.
Problém číslo 5. V aritmetickom postupe $ (() _ (5)) = - 150, (() _ (6)) = - 147 $. Nájdite číslo prvého kladného termínu tejto progresie.
Bol by to presne ten istý problém ako ten predchádzajúci, ale nevieme $ ((a) _ (1)) $. Ale susedné výrazy sú známe: $ ((a) _ (5)) $ a $ ((a) _ (6)) $, takže môžeme ľahko nájsť rozdiel v postupnosti:
Okrem toho sa pokúsime vyjadriť piaty člen z hľadiska prvého a rozdielu podľa štandardného vzorca:
\ [\ begin (align) & ((a) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ left (n-1 \ right) \ cdot d; \\ & ((a) _ (5)) = ((a) _ (1)) + 4d; \\ & -150 = ((a) _ (1)) + 4 \ cdot 3; \\ & ((a) _ (1)) = -150-12 = -162. \\ \ koniec (zarovnanie) \]
Teraz pokračujeme analogicky s predchádzajúcou úlohou. Zisťujeme, v ktorom bode v našej sekvencii budú kladné čísla:
\ [\ begin (zarovnať) & ((a) _ (n)) = - 162+ \ vľavo (n-1 \ vpravo) \ cdot 3 \ gt 0; \\ & -162 + 3n-3 \ gt 0; \\ & 3n \ gt 165; \\ & n \ gt 55 \ šípka doprava ((n) _ (\ min)) = 56. \\ \ koniec (zarovnanie) \]
Najmenšie celočíselné riešenie tejto nerovnosti je 56.
Poznámka: v poslednej úlohe bolo všetko zredukované na prísnu nerovnosť, takže možnosť $ n = 55 $ nám nebude vyhovovať.
Teraz, keď sme sa naučili riešiť jednoduché problémy, prejdime k zložitejším. Najprv si však preštudujme ďalšiu veľmi užitočnú vlastnosť aritmetických postupností, ktorá nám v budúcnosti ušetrí veľa času a nerovnakých buniek. :)
Aritmetický priemer a rovnaké zarážky
Uvažujme niekoľko po sebe nasledujúcich členov rastúcej aritmetickej progresie $ \ vľavo (((a) _ (n)) \ vpravo) $. Skúsme ich označiť na číselnej osi:
Členovia aritmetického postupu na číselnej osiKonkrétne som si všimol ľubovoľné výrazy $ ((a) _ (n-3)), ..., ((a) _ (n + 3)) $, nie žiadne $ ((a) _ (1)) , \ ( (a) _ (2)), \ ((a) _ (3)) $ atď. Pretože pravidlo, o ktorom teraz budem hovoriť, funguje rovnako pre akékoľvek „segmenty“.
A pravidlo je veľmi jednoduché. Zapamätajme si rekurzný vzorec a zapíšme si ho pre všetky označené členy:
\ [\ begin (align) & ((a) _ (n-2)) = ((a) _ (n-3)) + d; \\ & ((a) _ (n-1)) = ((a) _ (n-2)) + d; \\ & ((a) _ (n)) = ((a) _ (n-1)) + d; \\ & ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n + 1)) + d; \\ \ koniec (zarovnanie) \]
Tieto rovnosti však možno prepísať inak:
\ [\ begin (align) & ((a) _ (n-1)) = ((a) _ (n)) - d; \\ & ((a) _ (n-2)) = ((a) _ (n)) - 2d; \\ & ((a) _ (n-3)) = ((a) _ (n)) - 3d; \\ & ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n)) + 2d; \\ & ((a) _ (n + 3)) = ((a) _ (n)) + 3d; \\ \ koniec (zarovnanie) \]
No a čo? A skutočnosť, že výrazy $ ((a) _ (n-1)) $ a $ ((a) _ (n + 1)) $ ležia v rovnakej vzdialenosti od $ ((a) _ (n)) $ . A táto vzdialenosť sa rovná $ d $. To isté možno povedať o výrazoch $ ((a) _ (n-2)) $ a $ ((a) _ (n + 2)) $ - sú tiež odstránené z $ ((a) _ (n) ) $ rovnakú vzdialenosť rovnajúcu sa $ 2d $. Môžete pokračovať donekonečna, ale význam je dobre znázornený na obrázku.
Členovia progresie ležia v rovnakej vzdialenosti od stredu Čo to pre nás znamená? To znamená, že môžete nájsť $ ((a) _ (n)) $, ak sú susedné čísla známe:
\ [((a) _ (n)) = \ frac (((a) _ (n-1)) + ((a) _ (n + 1))) (2) \]
Vydedukovali sme vynikajúce tvrdenie: každý člen aritmetickej postupnosti sa rovná aritmetickému priemeru susedných členov! Navyše: od našich $ ((a) _ (n)) $ vľavo a vpravo sa môžeme odchýliť nie o jeden krok, ale o $ k $ krokov - a vzorec bude stále správny:
\ [((a) _ (n)) = \ frac (((a) _ (n-k)) + ((a) _ (n + k))) (2) \]
Tie. môžeme ľahko nájsť nejaké $ ((a) _ (150)) $, ak poznáme $ ((a) _ (100)) $ a $ ((a) _ (200)) $, pretože $ (( a) _ (150)) = \ frac (((a) _ (100)) + ((a) _ (200))) (2) $. Na prvý pohľad sa môže zdať, že táto skutočnosť nám nedáva nič užitočné. V praxi sa však mnohé problémy špeciálne „vyostrujú“ na použitie aritmetického priemeru. Pozri sa:
Problém číslo 6. Nájdite všetky hodnoty $ x $, pre ktoré sú čísla $ -6 ((x) ^ (2)) $, $ x + 1 $ a $ 14 + 4 ((x) ^ (2)) $ po sebe idúce členy aritmetického postupu (v poradí).
Riešenie. Keďže uvedené čísla sú členmi progresie, je pre ne splnená podmienka aritmetického priemeru: centrálny prvok $ x + 1 $ možno vyjadriť pomocou susedných prvkov:
\ [\ begin (align) & x + 1 = \ frac (-6 ((x) ^ (2)) + 14 + 4 ((x) ^ (2))) (2); \\ & x + 1 = \ frac (14-2 ((x) ^ (2))) (2); \\ & x + 1 = 7 - ((x) ^ (2)); \\ & ((x) ^ (2)) + x-6 = 0. \\ \ koniec (zarovnanie) \]
Výsledkom je klasická kvadratická rovnica. Jeho korene: $ x = 2 $ a $ x = -3 $ - to sú odpovede.
Odpoveď: −3; 2.
Problém číslo 7. Nájdite hodnoty $$, pre ktoré čísla $ -1; 4-3; (() ^ (2)) + 1 $ tvoria aritmetickú postupnosť (v tomto poradí).
Riešenie. Opäť vyjadrujeme stredný člen z hľadiska aritmetického priemeru susedných členov:
\ [\ begin (align) & 4x-3 = \ frac (x-1 + ((x) ^ (2)) + 1) (2); \\ & 4x-3 = \ frac (((x) ^ (2)) + x) (2); \ quad \ left | \ cdot 2 \ vpravo .; \\ & 8x-6 = ((x) ^ (2)) + x; \\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 6 = 0. \\ \ koniec (zarovnanie) \]
Opäť kvadratická rovnica. A opäť existujú dva korene: $ x = 6 $ a $ x = 1 $.
Odpoveď: 1; 6.
Ak v procese riešenia problému dostanete nejaké brutálne čísla alebo si nie ste úplne istí správnosťou nájdených odpovedí, potom existuje skvelá technika, ktorá vám umožní skontrolovať: vyriešili sme problém správne?
Napríklad v úlohe č.6 sme dostali odpovede -3 a 2. Ako skontrolovať, či sú tieto odpovede správne? Zapojme ich do počiatočného stavu a uvidíme, čo sa stane. Dovoľte mi pripomenúť, že máme tri čísla ($ -6 (() ^ (2)) $, $ + 1 $ a $ 14 + 4 (() ^ (2)) $), ktoré musia tvoriť aritmetickú postupnosť. Nahradiť $ x = -3 $:
\ [\ begin (zarovnať) & x = -3 \ šípka doprava \\ & -6 ((x) ^ (2)) = - 54; \\ & x + 1 = -2; \\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) = 50. \ koniec (zarovnať) \]
Prijaté čísla -54; -2; 50, ktoré sa líšia o 52, je nepochybne aritmetickým postupom. To isté sa stane pre $ x = 2 $:
\ [\ begin (zarovnať) & x = 2 \ šípka doprava \\ & -6 ((x) ^ (2)) = - 24; \\ & x + 1 = 3; \\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) = 30. \ koniec (zarovnať) \]
Opäť postup, ale s rozdielom 27. Úloha je teda vyriešená správne. Druhý problém si môžu záujemcovia skontrolovať sami, ale hneď poviem: aj tam je všetko správne.
Vo všeobecnosti sme pri riešení posledných problémov narazili na ďalšiu zaujímavú skutočnosť, ktorú je tiež potrebné pamätať:
Ak sú tri čísla také, že druhé je aritmetickým priemerom prvého a posledného, potom tieto čísla tvoria aritmetickú postupnosť.
Pochopenie tohto tvrdenia nám v budúcnosti umožní doslova „konštruovať“ potrebné progresie na základe stavu problému. Kým sa ale pustíme do takejto „stavby“, mali by sme venovať pozornosť ešte jednej skutočnosti, ktorá priamo vyplýva z už uvažovaného.
Zoskupovanie a súčet prvkov
Vráťme sa opäť na číselnú os. Všimnime si tam niekoľko členov progresie, medzi ktorými možno. je tu veľa ďalších členov:
Číselný rad má označených 6 prvkovSkúsme vyjadriť „ľavý chvost“ pomocou $ ((a) _ (n)) $ a $ d $ a „pravý chvost“ pomocou $ ((a) _ (k)) $ a $ d $ . Je to veľmi jednoduché:
\ [\ begin (align) & ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n)) + 2d; \\ & ((a) _ (k-1)) = ((a) _ (k)) - d; \\ & ((a) _ (k-2)) = ((a) _ (k)) - 2d. \\ \ koniec (zarovnanie) \]
Teraz si všimnite, že nasledujúce sumy sú rovnaké:
\ [\ begin (align) & ((a) _ (n)) + ((a) _ (k)) = S; \\ & ((a) _ (n + 1)) + ((a) _ (k-1)) = ((a) _ (n)) + d + ((a) _ (k)) - d = S; \\ & ((a) _ (n + 2)) + ((a) _ (k-2)) = ((a) _ (n)) + 2d + ((a) _ (k)) - 2d = S. \ koniec (zarovnať) \]
Zjednodušene povedané, ak za začiatok považujeme dva prvky postupu, ktoré sa celkovo rovnajú nejakému $ S $ číslu, a potom začneme od týchto prvkov kráčať opačnými smermi (k sebe alebo naopak, aby sme sa vzdialili) , potom sumy prvkov, o ktoré narazíme, budú tiež rovnaké$ S $. Najjasnejšie to možno znázorniť graficky:
Rovnaké odsadenie dáva rovnaké množstvá Pochopenie tejto skutočnosti nám umožní riešiť problémy zásadne vyššej úrovne zložitosti ako tie, ktoré sme uvažovali vyššie. Napríklad takéto:
Problém číslo 8. Určte rozdiel aritmetickej postupnosti, v ktorej je prvý člen 66 a súčin druhého a dvanásteho člena je najmenší možný.
Riešenie. Zapíšme si všetko, čo vieme:
\ [\ begin (align) & ((a) _ (1)) = 66; \\ & d =? \\ & ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) = \ min. \ koniec (zarovnať) \]
Takže nepoznáme rozdiel v progresii $ d $. V skutočnosti bude celé riešenie postavené na rozdiele, pretože produkt $ ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) $ možno prepísať takto:
\ [\ begin (align) & ((a) _ (2)) = ((a) _ (1)) + d = 66 + d; \\ & ((a) _ (12)) = ((a) _ (1)) + 11d = 66 + 11d; \\ & ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) = \ vľavo (66 + d \ vpravo) \ cdot \ vľavo (66 + 11d \ vpravo) = \\ & = 11 \ cdot \ vľavo (d + 66 \ vpravo) \ cdot \ vľavo (d + 6 \ vpravo). \ koniec (zarovnať) \]
Pre tých v nádrži: Z druhej zátvorky som vybral spoločný faktor 11. Hľadaný súčin je teda kvadratická funkcia vzhľadom na premennú $ d $. Zvážte preto funkciu $ f \ vľavo (d \ vpravo) = 11 \ vľavo (d + 66 \ vpravo) \ vľavo (d + 6 \ vpravo) $ - jej graf bude parabola s vetvami nahor, pretože ak rozbalíme zátvorky, dostaneme:
\ [\ začiatok (zarovnanie) & f \ vľavo (d \ vpravo) = 11 \ vľavo (((d) ^ (2)) + 66d + 6d + 66 \ cdot 6 \ vpravo) = \\ & = 11 (( d) ^ (2)) + 11 \ cdot 72d + 11 \ cdot 66 \ cdot 6 \ koniec (zarovnať) \]
Ako vidíte, koeficient pre vedúci člen je 11 - to je kladné číslo, takže skutočne máme do činenia s parabolou s vetvami nahor:
graf kvadratickej funkcie - parabola
Venujte pozornosť: táto parabola má svoju minimálnu hodnotu vo svojom vrchole s osou $ ((d) _ (0)) $. Samozrejme, môžeme túto úsečku vypočítať podľa štandardnej schémy (existuje aj vzorec $ ((d) _ (0)) = (- b) / (2a) \; $), ale bolo by oveľa rozumnejšie všimnúť si, že požadovaný vrchol leží na osovej symetrii paraboly, takže bod $ ((d) _ (0)) $ je rovnako vzdialený od koreňov rovnice $ f \ vľavo (d \ vpravo) = 0 $:
\ [\ začať (zarovnať) & f \ vľavo (d \ vpravo) = 0; \\ & 11 \ cdot \ vľavo (d + 66 \ vpravo) \ cdot \ vľavo (d + 6 \ vpravo) = 0; \\ & ((d) _ (1)) = - 66; \ quad ((d) _ (2)) = - 6. \\ \ koniec (zarovnanie) \]
Preto som sa s otváraním zátvoriek neponáhľal: v pôvodnej podobe sa korene dali veľmi, veľmi ľahko nájsť. Preto sa úsečka rovná aritmetickému priemeru čísel -66 a -6:
\ [((d) _ (0)) = \ frac (-66-6) (2) = - 36 \]
Čo nám nájdené číslo dáva? S ním požadovaný produkt nadobúda najmenšiu hodnotu (mimochodom, nepočítali sme $ ((y) _ (\ min)) $ - to sa od nás nevyžaduje). Toto číslo je zároveň rozdielom medzi pôvodnou progresiou, t.j. našli sme odpoveď. :)
Odpoveď: -36
Problém číslo 9. Medzi čísla $ - \ frac (1) (2) $ a $ - \ frac (1) (6) $ vložte tri čísla tak, aby spolu s danými číslami tvorili aritmetickú postupnosť.
Riešenie. V podstate musíme vytvoriť postupnosť piatich čísel, pričom prvé a posledné číslo je už známe. Chýbajúce čísla označme premennými $ x $, $ y $ a $ z $:
\ [\ vľavo (((a) _ (n)) \ vpravo) = \ vľavo \ (- \ frac (1) (2); x; y; z; - \ frac (1) (6) \ vpravo \ ) \]
Všimnite si, že číslo $ y $ je "stred" našej postupnosti - je rovnako vzdialené od čísel $ x $ a $ z $ a od čísel $ - \ frac (1) (2) $ a $ - \ frac (1) (6) $. A ak momentálne nemôžeme získať $ y $ z čísel $ x $ a $ z $, potom je situácia iná s koncami progresie. Pamätajte na aritmetický priemer:
Teraz, keď poznáme $ y $, nájdeme zostávajúce čísla. Všimnite si, že $ x $ leží medzi práve nájdenými číslami $ - \ frac (1) (2) $ a $ y = - \ frac (1) (3) $. Takže
Podobne zistíme zostávajúce číslo:
Pripravený! Našli sme všetky tri čísla. Zapíšme si ich do odpovede v poradí, v akom majú byť vložené medzi pôvodné čísla.
Odpoveď: $ - \ frac (5) (12); \ - \ frac (1) (3); \ - \ frac (1) (4) $
Problém číslo 10. Medzi čísla 2 a 42 vložte niekoľko čísel, ktoré spolu s týmito číslami tvoria aritmetickú postupnosť, ak viete, že súčet prvého, druhého a posledného z vložených čísel je 56.
Riešenie. Ešte ťažšia úloha, ktorá sa však rieši podľa rovnakej schémy ako predchádzajúce - aritmetickým priemerom. Problém je v tom, že nevieme presne koľko čísel vložiť. Preto pre istotu predpokladajme, že po vložení všetkého bude presne $ n $ čísel a prvé z nich je 2 a posledné je 42. V tomto prípade môže byť požadovaný aritmetický postup reprezentovaný ako:
\ [\ vľavo (((a) _ (n)) \ vpravo) = \ vľavo \ (2; ((a) _ (2)); ((a) _ (3)); ...; (( a) _ (n-1)); 42 \ vpravo \) \]
\ [((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) = 56 \]
Všimnite si však, že čísla $ ((a) _ (2)) $ a $ ((a) _ (n-1)) $ získame z čísel 2 a 42 na hranách o krok k sebe, tj... do stredu sekvencie. To znamená, že
\ [((a) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) = 2 + 42 = 44 \]
Ale potom výraz napísaný vyššie možno prepísať takto:
\ [\ begin (align) & ((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) = 56; \\ & \ vľavo (((a) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) \ vpravo) + ((a) _ (3)) = 56; \\ & 44 + ((a) _ (3)) = 56; \\ & ((a) _ (3)) = 56-44 = 12. \\ \ koniec (zarovnanie) \]
Keď poznáme $ ((a) _ (3)) $ a $ ((a) _ (1)) $, môžeme ľahko nájsť rozdiel v progresii:
\ [\ begin (align) & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) = 12 - 2 = 10; \\ & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) = \ vľavo (3-1 \ vpravo) \ cdot d = 2d; \\ & 2d = 10 \ Šípka doprava d = 5. \\ \ koniec (zarovnanie) \]
Zostáva len nájsť ostatných členov:
\ [\ begin (align) & ((a) _ (1)) = 2; \\ & ((a) _ (2)) = 2 + 5 = 7; \\ & ((a) _ (3)) = 12; \\ & ((a) _ (4)) = 2 + 3 \ cdot 5 = 17; \\ & ((a) _ (5)) = 2 + 4 \ cdot 5 = 22; \\ & ((a) _ (6)) = 2 + 5 \ cdot 5 = 27; \\ & ((a) _ (7)) = 2 + 6 \ cdot 5 = 32; \\ & ((a) _ (8)) = 2 + 7 \ cdot 5 = 37; \\ & ((a) _ (9)) = 2 + 8 \ cdot 5 = 42; \\ \ koniec (zarovnanie) \]
Takto sa už v 9. kroku dostaneme na ľavý koniec sekvencie - číslo 42. Celkovo bolo potrebné vložiť len 7 čísel: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.
Odpoveď: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37
Slovné úlohy s postupmi
Na záver by som rád zvážil niekoľko relatívne jednoduchých problémov. Nuž, aké jednoduché: väčšine študentov, ktorí študujú matematiku v škole a nečítali vyššie napísané, sa tieto úlohy môžu zdať ako plechovka. Práve na takéto problémy sa však v OGE a USE v matematike vyskytujú, preto vám odporúčam, aby ste sa s nimi oboznámili.
Problém číslo 11. Brigáda vyrobila v januári 62 dielov a v každom ďalšom mesiaci vyrobila o 14 dielov viac ako v predchádzajúcom. Koľko dielov tím vyrobil v novembri?
Riešenie. Je zrejmé, že počet častí naplánovaných podľa mesiacov bude predstavovať rastúci aritmetický postup. Navyše:
\ [\ begin (align) & ((a) _ (1)) = 62; \ quad d = 14; \\ & ((a) _ (n)) = 62+ \ vľavo (n-1 \ vpravo) \ cbodka 14. \\ \ koniec (zarovnanie) \]
November je 11. mesiac v roku, takže musíme nájsť $ ((a) _ (11)) $:
\ [((a) _ (11)) = 62 + 10 \ cdot 14 = 202 \]
V novembri sa tak vyrobí 202 dielov.
Problém číslo 12. Viazacia dielňa zviazala v januári 216 kníh a každý mesiac zviazala o 4 knihy viac ako predchádzajúca. Koľko kníh zviazal workshop v decembri?
Riešenie. Všetky rovnaké:
$ \ begin (align) & ((a) _ (1)) = 216; \ quad d = 4; \\ & ((a) _ (n)) = 216+ \ vľavo (n-1 \ vpravo) \ cdot 4. \\ \ koniec (zarovnanie) $
December je posledný, 12. mesiac v roku, takže hľadáme $ ((a) _ (12)) $:
\ [((a) _ (12)) = 216 + 11 \ cdot 4 = 260 \]
Toto je odpoveď – v decembri bude zviazaných 260 kníh.
Ak ste sa dočítali až sem, ponáhľam sa vám zablahoželať: úspešne ste dokončili „Kurz mladých bojovníkov“ v aritmetických postupoch. Môžete bezpečne prejsť na ďalšiu lekciu, kde budeme študovať vzorec pre súčet progresie, ako aj dôležité a veľmi užitočné dôsledky z nej.
Pozor!
Existujú ďalšie
materiály v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí sú veľmi "nie veľmi ..."
A pre tých, ktorí sú „veľmi vyrovnaní...“)
Aritmetická postupnosť je séria čísel, v ktorých je každé číslo väčšie (alebo menšie) ako predchádzajúce o rovnakú hodnotu.
Táto téma je často ťažká a nepochopiteľná. Indexy pre písmená, n-tý člen progresie, rozdiel v progresii - to všetko je nejako trápne, áno ... Poďme zistiť význam aritmetickej progresie a všetko bude fungovať hneď.)
Koncept aritmetického postupu.
Aritmetický postup je veľmi jednoduchý a jasný koncept. pochybnosti? Márne.) Presvedčte sa sami.
Napíšem nedokončenú sériu čísel:
1, 2, 3, 4, 5, ...
Môžete rozšíriť tento riadok? Aké čísla budú nasledovať po päťke? Každý ... uh-uh ..., skrátka každý si uvedomí, že ďalej pôjdu čísla 6, 7, 8, 9 atď.
Skomplikujme si úlohu. Dávam nedokončenú sériu čísel:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Budete môcť zachytiť vzor, predĺžiť sériu a pomenovať siedmyčíslo riadku?
Ak ste zistili, že toto číslo je 20 - blahoželám vám! Nielenže ste cítili kľúčové body aritmetického postupu, ale úspešne ich využíval aj v podnikaní! Ak ste na to neprišli, čítajte ďalej.
Teraz si preložme kľúčové body zo senzácie do matematiky.)
Prvý kľúčový bod.
Aritmetická postupnosť sa zaoberá radom čísel. Toto je spočiatku mätúce. Sme zvyknutí riešiť rovnice, vykresľovať grafy a to všetko ... A potom predĺžiť sériu, nájsť číslo radu ...
Nič zlé. Ide len o to, že progresie sú prvým zoznámením sa s novým odvetvím matematiky. Sekcia sa nazýva "Riadky" a pracuje so sériami čísel a výrazov. Zvyknúť si na to.)
Druhý kľúčový bod.
V aritmetickej postupnosti sa akékoľvek číslo líši od predchádzajúceho o rovnakú sumu.
V prvom príklade je tento rozdiel jeden. Nech si vezmete akékoľvek číslo, je o jedno viac ako to predchádzajúce. V druhom - tri. Akékoľvek číslo väčšie ako predchádzajúce o tri. V skutočnosti je to tento moment, ktorý nám dáva príležitosť zachytiť vzor a vypočítať nasledujúce čísla.
Tretí kľúčový bod.
Tento moment nie je nápadný, áno... Ale je veľmi, veľmi dôležitý. Tu je: každé číslo v postupnosti stojí na svojom mieste. Je tu prvé číslo, je siedme, je štyridsiate piate atď. Ak ich náhodne zmiešate, vzor zmizne. Aritmetický postup tiež zmizne. Zostane len rad čísel.
To je celá podstata.
V novej téme sa samozrejme objavujú nové pojmy a označenia. Treba ich poznať. Inak nepochopíte úlohu. Napríklad, musíte sa rozhodnúť niečo ako:
Napíšte prvých šesť členov aritmetickej postupnosti (a n), ak a 2 = 5, d = -2,5.
Inšpiruje?) Listy, nejaké indexy... A tá úloha, mimochodom, nemôže byť jednoduchšia. Musíte len pochopiť význam pojmov a označení. Teraz zvládneme tento obchod a vrátime sa k úlohe.
Termíny a označenia.
Aritmetický postup je séria čísel, v ktorých je každé číslo iné ako predchádzajúce o rovnakú sumu.
Toto množstvo sa nazýva ... Poďme sa tomuto konceptu venovať podrobnejšie.
Rozdiel v aritmetickej progresii.
Rozdiel v aritmetickej progresii je množstvo, o ktoré je ľubovoľné číslo progresie viac ten predchádzajúci.
Jeden dôležitý bod. Venujte prosím pozornosť slovu „viac“. Matematicky to znamená, že sa získa každé číslo v postupnosti pridávanie rozdiel aritmetického postupu k predchádzajúcemu číslu.
Pre výpočet, povedzme druhýčíslo série, je potrebné prvýčíslo pridať tento istý rozdiel aritmetického postupu. Pre výpočet piaty- rozdiel je nutný pridať Komu štvrtý, dobre, atď.
Rozdiel v aritmetickej progresii možno pozitívny, potom sa skutočne ukáže každé číslo radu viac ako predchádzajúca. Táto progresia sa nazýva zvyšujúci sa. Napríklad:
8; 13; 18; 23; 28; .....
Tu sa získa každé číslo pridávanie kladné číslo, +5 k predchádzajúcemu.
Rozdiel môže byť negatívny, potom bude každé číslo v riadku menej ako predchádzajúca. Takáto progresia sa nazýva (neuveríte!) klesajúci.
Napríklad:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Aj tu sa získa každé číslo pridávanie na predchádzajúce, ale už záporné číslo, -5.
Mimochodom, pri práci s progresiou je veľmi užitočné okamžite určiť jej povahu - či sa zvyšuje alebo znižuje. Veľmi pomáha orientovať sa v riešení, odhaliť svoje chyby a opraviť ich skôr, než bude neskoro.
Rozdiel v aritmetickej progresii označované spravidla písmenom d.
Ako nájsť d? Veľmi jednoduché. Je potrebné odpočítať od ľubovoľného čísla série predchádzajúcečíslo. Odčítať. Mimochodom, výsledok odčítania sa nazýva „rozdiel“.)
Definujme napr. d na zvýšenie aritmetického postupu:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Zoberieme ľubovoľné číslo riadku, ktoré chceme, napríklad 11. Odčítame z neho predchádzajúce číslo, tie. osem:
Toto je správna odpoveď. Pre tento aritmetický postup je rozdiel tri.
Môžete si vziať presne ľubovoľný počet progresií, odkedy pre konkrétny postup d -vždy to isté. Aspoň niekde na začiatku radu, aspoň v strede, aspoň kdekoľvek. Nemôžete vziať len prvé číslo. Už len kvôli prvému číslu neexistuje žiadna predchádzajúca.)
Mimochodom, vedieť to d = 3, je veľmi ľahké nájsť siedme číslo tohto postupu. Pridajte 3 k piatemu číslu - dostaneme šieste, bude to 17. Pridajte tri k šiestemu číslu, dostaneme siedme číslo - dvadsať.
Definujeme d pre klesajúci aritmetický postup:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Pripomínam, že bez ohľadu na znamenia určiť d je potrebné z akéhokoľvek čísla odobrať predchádzajúce. Zvolíme ľubovoľné číslo progresie, napríklad -7. Predchádzajúca je -2. potom:
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
Rozdiel v aritmetickej progresii môže byť ľubovoľné číslo: celé, zlomkové, iracionálne, čokoľvek.
Iné termíny a označenia.
Každé číslo v rade sa volá člen aritmetického postupu.
Každý člen progresu má svoje číslo.Čísla sú prísne v poriadku, bez akýchkoľvek trikov. Prvý, druhý, tretí, štvrtý atď. Napríklad v postupnosti 2, 5, 8, 11, 14, ... dva je prvý termín, päť je druhý, jedenásť je štvrtý, dobre, chápete ...) Pochopte prosím jasne - samotné čísla môže byť úplne akýkoľvek, celý, zlomkový, negatívny, akýkoľvek, ale číslovanie čísel- prísne v poriadku!
Ako zaznamenať všeobecný vývoj? Žiaden problém! Každé číslo v riadku je napísané ako písmeno. Písmeno sa spravidla používa na označenie aritmetického postupu a... Číslo člena je označené indexom vpravo dole. Členy píšeme oddelené čiarkami (alebo bodkočiarkami) takto:
1, 2, 3, 4, 5, .....
1 je prvé číslo, a 3- tretí atď. Nič zložité. Túto sériu môžete stručne napísať takto: (a n).
Pokroky sú konečný a nekonečný.
Konečným postup má obmedzený počet členov. Päť, tridsaťosem, čokoľvek. Ale - konečný počet.
Nekonečné progresia - má nekonečný počet členov, ako by ste mohli hádať.)
Môžete napísať konečný postup cez sériu, ako je táto, všetkých členov a bodku na konci:
1, 2, 3, 4, 5.
Alebo tak, ak je veľa členov:
1, 2, ... 14, 15.
V krátkom zázname budete musieť dodatočne uviesť počet členov. Napríklad (pre dvadsať členov) takto:
(a n), n = 20
Nekonečný postup možno rozpoznať podľa elipsy na konci riadku, ako v príkladoch v tejto lekcii.
Teraz môžete riešiť úlohy. Úlohy sú jednoduché, čisto na pochopenie významu aritmetického postupu.
Príklady úloh na aritmetický postup.
Poďme podrobne analyzovať úlohu, ktorá je uvedená vyššie:
1. Napíšte prvých šesť členov aritmetickej postupnosti (a n), ak a 2 = 5, d = -2,5.
Úlohu preložíme do zrozumiteľného jazyka. Je daný nekonečný aritmetický postup. Druhé číslo tohto postupu je známe: a 2 = 5. Rozdiel v progresii je známy: d = -2,5. Je potrebné nájsť prvého, tretieho, štvrtého, piateho a šiesteho člena tohto postupu.
Pre názornosť napíšem sériu podľa stavu problému. Prvých šesť termínov, kde druhý termín je päť:
a 1, 5, a 3, a 4, a 5, a 6, ....
a 3 = a 2 + d
Nahradiť vo výraze a 2 = 5 a d = -2,5... Nezabudnite na mínus!
a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
Tretí termín je menší ako druhý. Všetko je logické. Ak je číslo väčšie ako predchádzajúce o negatívne hodnotu, potom sa samotné číslo ukáže byť menšie ako predchádzajúce. Progresia sa znižuje. Dobre, zoberme to do úvahy.) Uvažujeme o štvrtom členovi našej série:
a 4 = a 3 + d
a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
5 = a 4 + d
5=0+(-2,5)= - 2,5
a 6 = 5 + d
a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
Počítajú sa teda termíny od tretieho do šiesteho. Výsledkom je takáto séria:
a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....
Zostáva nájsť prvý termín 1 podľa známeho druhého. Toto je krok opačným smerom, doľava.) Preto je rozdiel v aritmetickej progresii d netreba pridávať a 2, a zobrať:
1 = a 2 - d
1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
To je všetko. Odpoveď na úlohu:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
Cestou poznamenám, že sme túto úlohu vyriešili opakujúci spôsobom. Toto strašidelné slovo znamená iba hľadanie člena progresie. o predchádzajúce (susedné) číslo. Iné spôsoby práce s progresiou zvážime neskôr.
Z tejto jednoduchej úlohy možno vyvodiť jeden dôležitý záver.
Pamätajte:
Ak poznáme aspoň jeden člen a rozdiel aritmetickej postupnosti, môžeme nájsť ľubovoľného člena tejto postupnosti.
Pamätáš si? Tento jednoduchý záver vám umožňuje vyriešiť väčšinu úloh školského kurzu na túto tému. Všetky úlohy sa točia okolo troch hlavných parametrov: člen aritmetického postupu, rozdiel postupu, číslo člena postupu. Všetko.
Samozrejme, všetka predchádzajúca algebra nie je zrušená.) Nerovnice, rovnice a ďalšie veci sú spojené s postupnosťou. ale samotným vývojom- všetko sa točí okolo troch parametrov.
Pozrime sa ako príklad na niektoré z populárnych úloh na túto tému.
2. Zapíšte výslednú aritmetickú postupnosť ako sériu, ak n = 5, d = 0,4 a a 1 = 3,6.
Všetko je tu jednoduché. Všetko už bolo dané. Musíte si zapamätať, ako sa počítajú, počítajú a zapisujú členy aritmetického postupu. V podmienke zadania je vhodné nevynechať slová: „konečný“ a „ n = 5". Nepočítajte, kým úplne nezmodriete.) V tomto postupe je iba 5 (päť) členov:
a2 = a1 + d = 3,6 + 0,4 = 4
a3 = a2 + d = 4 + 0,4 = 4,4
a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8
5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2
Zostáva napísať odpoveď:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
Ďalšia úloha:
3. Určte, či číslo 7 je členom aritmetickej postupnosti (a n), ak a1 = 4,1; d = 1,2.
Hmm... Kto vie? Ako niečo definovať?
Ako-ako ... Áno, zapíšte si postup vo forme série a uvidíte, či tam bude sedmička alebo nie! Uvážime:
a2 = a1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3
a3 = a2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5
a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
Teraz je jasne vidieť, že sme len sedmička prekĺzol medzi 6,5 a 7,7! Sedmička sa nedostala do nášho číselného radu, a preto sedmička nebude členom daného postupu.
Odpoveď je nie.
A tu je úloha založená na skutočnej verzii GIA:
4. Vypíše sa niekoľko po sebe idúcich členov aritmetického postupu:
...; 15; X; 9; 6; ...
Je tu napísaný riadok bez konca a začiatku. Žiadne čísla členov, žiadny rozdiel d... Nič zlé. Na vyriešenie problému stačí pochopiť význam aritmetickej progresie. Pozeráme a rozmýšľame, čo je možné objaviť z tejto série? Aké sú tri hlavné parametre?
Členské čísla? Nie je tu ani jedno číslo.
Ale sú tam tri čísla a - pozor! - slovo "po sebe" v stave. To znamená, že čísla sú prísne v poriadku, bez medzier. Sú v tomto rade dvaja susedný známe čísla? Áno, mám! Toto je 9 a 6. Takže môžeme vypočítať rozdiel aritmetickej progresie! Odpočítame od šiestich predchádzajúcečíslo, t.j. deväť:
Zostávajú len maličkosti. Aké je predchádzajúce číslo pre X? Pätnásť. To znamená, že x možno ľahko nájsť jednoduchým sčítaním. Pridajte rozdiel aritmetickej progresie na 15:
To je všetko. odpoveď: x = 12
Nasledujúce problémy riešime sami. Poznámka: tieto problémy sa netýkajú vzorcov. Čisto pre pochopenie významu aritmetického postupu.) Len si zapíšeme sériu čísel-písmen, pozrieme sa a premýšľame.
5. Nájdite prvý kladný člen aritmetickej progresie, ak a 5 = -3; d = 1,1.
6. Je známe, že číslo 5,5 je členom aritmetickej postupnosti (a n), kde a 1 = 1,6; d = 1,3. Určte číslo n tohto člena.
7. Je známe, že v aritmetickej postupnosti a 2 = 4; a 5 = 15,1. Nájdite 3.
8. Zapíšte niekoľko po sebe idúcich členov aritmetického postupu:
...; 15,6; X; 3,4; ...
Nájdite člen v postupnosti označenej písmenom x.
9. Vlak sa dal zo stanice do pohybu a neustále zvyšoval rýchlosť o 30 metrov za minútu. Aká bude rýchlosť vlaku za päť minút? Svoju odpoveď uveďte v km/h.
10. Je známe, že v aritmetickej postupnosti a 2 = 5; a 6 = -5. Nájdite 1.
Odpovede (v neporiadku): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.
Všetko vyšlo? úžasné! Aritmetický postup môžete zvládnuť na vyššej úrovni v nasledujúcich lekciách.
Nevyšlo všetko? Žiaden problém. V špeciálnej sekcii 555 sú všetky tieto úlohy roztriedené na kúsky.) A samozrejme je popísaná jednoduchá praktická technika, ktorá riešenie takýchto úloh okamžite zvýrazní jasne, zreteľne, ako na dlani!
Mimochodom, v hádanke o vlaku sú dva problémy, o ktoré ľudia často narážajú. Jeden je čisto v postupe a druhý je bežný pre akékoľvek problémy v matematike a fyzike. Toto je preklad dimenzií z jednej do druhej. V ňom je uvedené, ako by sa tieto problémy mali riešiť.
V tejto lekcii sme skúmali elementárny význam aritmetickej progresie a jej hlavné parametre. To stačí na vyriešenie takmer všetkých problémov na túto tému. Pridať d k číslam napíšte sériu, všetko sa rozhodne.
Riešenie prstov funguje dobre pre veľmi krátke kusy v rade, ako v príkladoch v tejto lekcii. Ak je riadok dlhší, výpočty sú komplikovanejšie. Napríklad, ak máte problém 9 v otázke, nahraďte ho "päť minút" na "tridsaťpäť minút" problém bude výrazne nahnevaný.)
A existujú aj úlohy, ktoré sú v podstate jednoduché, ale neuveriteľné z hľadiska výpočtov, napríklad:
Dostanete aritmetický postup (a n). Nájdite 121, ak a 1 = 3 a d = 1/6.
A čo, pridáme veľa, veľa krát o 1/6?! Môžete to zabiť!?
Môžete.) Ak nepoznáte jednoduchý vzorec, podľa ktorého sa takéto úlohy dajú vyriešiť za minútu. Tento vzorec bude v ďalšej lekcii. A tam je tento problém vyriešený. O minútu.)
Ak sa vám táto stránka páči...
Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)
Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Okamžité overovacie testovanie. Učenie - so záujmom!)
môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.
