Ako vytiahnuť koreň z koreňa. Extrakcia odmocniny

V matematike sa otázka, ako extrahovať koreňa, sa považuje za relatívne jednoduchú. Ak postavíte množstvo čísel z prirodzeného radu na námestie: 1, 2, 3, 4, 5 ... n, potom budeme mať nasledujúci rad štvorcov: 1, 4, 9, 16 ... n 2. Počet štvorcov sú nekonečné, a ak sa na to pozeráte, uvidíte, že v ňom nie je veľa celé čísla. Prečo to tak vysvetľuje o niečo neskôr.

Číslo root: Pravidlá výpočtu a príklady

Takže sme zdvihli číslo 2 na námestie, to znamená, že to bolo vynásobené sám a dostal 4. a ako extrahovať koreň 4? Poďme okamžite povedzme, že korene môžu byť štvorcové, kubické a akýkoľvek stupeň do nekonečna.

Stupeň koreňa je vždy prirodzené číslo, to znamená, že taká rovnica nie je možné vyriešiť: koreň do stupňa 3,6 z N.

Odmocnina

Vráťme sa k otázke, ako odstrániť koreňové námestie z 4. Keďže sme boli postavení číslo 2 presne na námestí, potom sa koreň extrahuje námestie. Aby ste riadne odstránili koreň 4, stačí si vybrať číslo správne, čo by dalo číslo 4. A toto, samozrejme, 2. Pozrite sa na príklad:

• 2 2 =4
• Koreň 4 \u003d 2

Tento príklad je pomerne jednoduchý. Pokúsme sa extrahovať koreňové námestie zo 64. Aké číslo pri násobení dáva 64? Je zrejmé, že je to 8.

• 8 2 =64
• Root od 64 \u003d 8

Kubický koreň

Ako bolo uvedené vyššie, korene nie sú len námestí, budeme sa snažiť jasnejšie vysvetliť, ako extrahovať kubický koreň alebo koreň tretieho stupňa. Princíp extrakcie kubického koreňa je rovnaký ako na námestí, jediným rozdielom je, že požadované číslo bolo pôvodne vynásobené nie raz, ale dvakrát. To znamená, že povedzme, že sme vzali nasledujúci príklad:

• 3x3x3 \u003d 27.
• Samozrejme, že kubický koreň z 27 bude Troika:
• Root 3 z 27 \u003d 3

Predpokladajme, že je potrebné nájsť kubický koreň zo 64. Ak chcete vyriešiť túto rovnicu, postačuje na to, aby sa takéto číslo stalo, že v prípade, že je postavený do tretieho stupňa, dal 64.

• 4 3 =64
• Root 3 z 64 \u003d 4

Extrahovať koreň z čísla na kalkulačke

Samozrejme, je najlepšie sa naučiť extrahovať námestie, kubické a korene iného stupňa v praxi, pri riešení mnohých príkladov a pamäte stola štvorcov a kocky malých čísel. V budúcnosti to výrazne uľahčuje a skráti čas riešenia rovníc. Aj keď je potrebné poznamenať, že niekedy je potrebné extrahovať koreň takého veľkého počtu, že bude možné zvoliť správny počet postavený na štvorcový, bude to stáť veľmi veľké práce, ak je všeobecne možné. Bežná kalkulačka príde pomôcť pri extrahovaní odmocniny. Ako extrahovať koreň na kalkulačke? Veľmi jednoducho zadajte číslo, z ktorého chcete nájsť výsledok. Teraz sa pozeráte na tlačidlá kalkulačky. Dokonca aj v najjednoduchších z nich je kľúč s konektorovou ikonou. Kliknutím na ňu okamžite dostanete hotový výsledok.

Nie z každého čísla môžete extrahovať celý koreň, zvážte nasledujúci príklad:

Root z roku 1859 \u003d 43,116122 ...

Môžete sa pokúsiť vyriešiť tento príklad na kalkulačke. Ako vidíte, získané číslo nie je celé číslo, navyše, sada čísel po správe nie je finále. Presnejší výsledok môže byť na displeji poskytovať špeciálne inžinierske kalkulačky, zvyčajný plný výsledok sa jednoducho nezmestí. A ak budete pokračovať v množstve štvorcov, ktorí sa začali skôr, nájdete čísla 1859, pretože číslo, ktoré bolo na námestí, aby ste získali, nie je celé číslo.

Ak potrebujete extrahovať koreň tretieho stupňa na jednoduchú kalkulačku, musíte dvakrát kliknúť na tlačidlo s koreňovým znakom. Napríklad berieme vyššie uvedené číslo 1859 a extrakcia kubických koreňov sa extrahuje:

Root 3 z 1859 \u003d 6,5662867 ...

To znamená, že ak je číslo 6.5662867 ... vybudovať tretí titul, potom dostaneme približne 1859. Takže nie je ťažké extrahovať korene z čísel, stačí si zapamätať vyššie uvedené algoritmy.

Máš závislosť od kalkulačky? Alebo si myslíte, že okrem kalkulačky alebo pomocou štvorcového stola, je veľmi ťažké vypočítať, napríklad.

Stáva sa to, že školáci sú viazaní na kalkulačku a dokonca aj 0,7 až 0,5 sa množia kliknutím na chveného tlačidlami. Hovoria, dobre, stále viem, ako vypočítať, ale teraz ušetrím čas ... To je skúška ... potom a kmene ...

Takže fakt je, že na skúške, a tak tam bude veľa "napätých momentov" ... Ako sa hovorí, voda je ostrenie. Takže na skúšku skúšku, ak je mnoho z nich, schopné rezanie ...

Minimalizujeme počet možných ťažkostí.

Odstráňte druhú odmocninu veľkého počtu

Teraz budeme hovoriť len o prípade, keď je výsledok ťažby druhého odmocniny celé číslo.

Prípad 1.

Nechajte nás v čomkoľvek (napríklad pri výpočte diskriminácie), je potrebné vypočítať odmocninu z 86436.

Uložíme číslo 86436 pre jednoduché multiplikátory. Rozdeľujeme sa na 2, - dostaneme 43218; Opäť sa rozdelíme na 2, "dostaneme 21609. 2 viac nie je rozdelené číslo. Ale pretože množstvo čísel je rozdelený na 3, potom sa číslo samotné je rozdelené na 3 (všeobecne hovoriť, možno ho vidieť, že je rozdelený na 9). . Opäť sa rozdelíme na 3, - dostaneme 2401. 2401 do 3, nie je rozdelené. Nie je rozdelený do piatich (nie končí číslom 0 alebo 5).

Podozrenie divízie 7. Vskutku a

Takže, plná objednávka!

Prípad 2.

Potrebujeme sa vypočítať. Pôsobiť rovnako ako je opísané vyššie, nepohodlné. Snažíme sa rozkladať na jednoduchých faktoroch ...

Na 2 číslo 1849 nie je rozdelený (ani) ...

3 nie je rozdelená (množstvo čísel nie je viacero 3) ...

5 nie je rozdelený 5 (posledná číslica - nie 5 a nie 0) ...

Na 7, nie je rozdelená do 7, nie je rozdelená do 11, nie je rozdelená do 13 ... no, a na dlhú dobu, sme tak triedenie všetkých jednoduchých čísel?

Budeme trochu argumentovať.

Chápeme to

Zúžili sme vyhľadávací kruh. Teraz presunieme čísla od 41 do 49. Okrem toho je jasné, že keďže posledná číslica čísla je 9, potom stojí za to zastaviť na možnostiach 43 alebo 47, - len tieto čísla v stavebníctve poskytnú poslednú číslicu 9 .

No, samozrejme, zastavujeme sa na 43. V skutočnosti,

P.S. A ako, Ksatati, vynásobíme 0,7 až 0,5?

Malo by sa násobiť 5 až 7, nevenuje sa pozornosti na nuly a príznaky, a potom oddeliť, ísť do pravej doľava, dve príznaky čiarky. Dostaneme 0,35.

Je čas rozobrať metódy extrakcií koreňov. Sú založené na vlastnostiach koreňov, najmä na rovnosť, ktorá platí pre akékoľvek negatívne číslo B.

Nižšie si vezmeme, pozrite sa na základné spôsoby, ako extrahovať korene.

Začnime s najjednoduchším prípadom - s ťažbou koreňov z prírodných čísel pomocou štvorcového stola, kocky tabuliek atď.

Ak sú štvorcové stoly, kocky atď. Neexistuje žiadna ruka, je logické použiť spôsob extrakcie koreňa, ktorý znamená rozklad čísla podkladu na jednoduché faktory.

Samostatne stojí za to zastaviť, čo je možné pre korene s nepárnymi indikátormi.

Nakoniec zvážte spôsob, ktorý vám umožní postupne nájsť hodnoty vypúšťania koreňa.

Pokračujme.

Používanie štvorcového stola, tabuľky Cubes atď.

V najjednoduchších prípadoch, odstránenie koreňov umožňujú tabuľky štvorcov, kocky atď. Aké sú tieto tabuľky?

Tabuľka štvorcov celých čísel od 0 do 99 vrátane (je uvedený nižšie) pozostáva z dvoch zón. Prvá zóna tabuľky sa nachádza na sivom pozadí, používa sa určitý reťazec a konkrétny stĺpec vám umožňuje vytvoriť číslo od 0 do 99. Vyberte si napríklad reťazec 8 desiatok a stĺpec 3 jednotiek, opravili sme číslo 83. Druhá zóna zaberá zostávajúcu časť tabuľky. Každá bunka je na križovatke určitého riadku a špecifického stĺpca, a obsahuje štvorec zodpovedajúceho čísla od 0 do 99. Na križovatke zvoleného riadku 8 sú tucet a stĺpci 3 bunka s množstvom 6 889, čo je štvorec čísla 83.

Tabuľky kocky, tabuľky štvrtého stupňov čísel od 0 do 99 a tak na podobnom stole štvorcov, len v druhej zóne obsahujú Kuba, štvrté tituly atď. Zodpovedajúce čísla.

Štvorcové stoly, kocky, štvrté tituly atď. Povoliť štvorcové korene, kubické korene, korene štvrtého stupňa atď. V súlade s tým, z čísel v týchto tabuľkách. Vysvetlite zásadu ich aplikácie pri extrahovaní koreňov.

Predpokladajme, že potrebujeme extrahovať koreň N-stupňa z čísla A a číslo A je obsiahnuté v tabuľke N-Thre. Na tejto tabuľke nájdeme číslo B také, že A \u003d B n. Potom Číslo B preto bude požadovaný koreň N-stupňa.

Ako príklad ukážeme, ako sa kubický koreň od 19,683 extrahuje s použitím kubického tabuľky. Nájdeme číslo 19,683 v tabuľke kociek, z toho zistíme, že toto číslo je kocka čísel 27, .

Je zrejmé, že tabuľky n-nite sú veľmi vhodné, keď sa korene odstránia. Často však nie sú po ruke a ich kompilácia si vyžaduje určitý čas. Okrem toho je často potrebné extrahovať korene z čísel, ktoré nie sú obsiahnuté v príslušných tabuľkách. V týchto prípadoch sa musíte uchýliť k iným metódam extrakovania koreňov.

Rozklad podvýrobného čísla na jednoduchých faktoroch

Dostatočne pohodlný spôsob, čo umožňuje odstrániť koreň z prirodzeného čísla (ak je samozrejme extrahovaný koreň), je rozklad podceného čísla do jednoduchých faktorov. Jeho podstatou je nasledovné: Potom, čo je dosť jednoduché, že si predstavte vo forme stupňa s požadovaným indikátorom, ktorý vám umožní získať hodnotu koreňa. Vysvetlime tento okamih.

Nech je koreň N-stupňa z prirodzeného čísla A a jeho hodnota sa rovná b. V tomto prípade je rovnosť A \u003d B N. Číslo B, ako akékoľvek prirodzené číslo môže byť zastúpené ako produkt všetkých svojich jednoduchých multiplikátorov P 1, P 2, ..., PM vo formulári P 1 · P 2 · ... · pm a Zdá sa, že tento prípad je (p 1 · p 2 · · pm) n. Vzhľadom k tomu, rozklad čísla na jednoduché faktory je jediný, potom rozklad krveného čísla A na jednoduchých faktoroch bude formulár (P 1 · P 2 · · p) n, čo umožňuje vypočítať koreňovú hodnotu ako.

Všimnite si, že ak rozklad na jednoduchých továrňach guľatého čísla A nemôže byť zastúpený vo forme (P1 · P 2 · · p) n, potom koreň N-stupňa nie je extrahovaný z takejto číslo.

Budeme sa s tým zaoberať pri riešení príkladov.

Príklad.

Odstráňte odmocninu zo 144.

Rozhodnutie.

Ak sa obrátite na tabuľku štvorcov uvedených v predchádzajúcom odseku, je jasne vidieť, že 144 \u003d 122, z ktorého je zrejmé, že druhá odmocnina 144 je rovná 12.

Vo svetle tejto položky sa však zaujímame o to, ako je koreň extrahovaný rozkladom vedeného čísla 144 na jednoduché multiplikátory. Túto metódu riešení analyzujeme.

Vyhlásenie 144 na jednoduchých multiplikátoroch:

To znamená, že 144 \u003d 2 · 2 · 2 · 3 · 3. Na základe získanej rozkladu sa tieto transformácie môžu vykonávať: 144 \u003d 2 · 2,2 · 2 · 3 · 3 \u003d (2 · 2) 2 · 3 2 \u003d (2,2 · 3) 2 \u003d 12 2. Teda, .

Pomocou stupňa a vlastností koreňov môže byť riešenie usporiadané a trochu odlišné :.

Odpoveď:

Na zabezpečenie materiálu zvážte riešenia pre ďalšie príklady.

Príklad.

Vypočítajte hodnotu korenia.

Rozhodnutie.

Rozklad na jednoduchých továrňach kŕmneho čísla 243 má formu 243 \u003d 3 5. Touto cestou, .

Odpoveď:

Príklad.

Je hodnota koreňovej hodnoty v celomegu?

Rozhodnutie.

Ak chcete reagovať na túto otázku, rozložíme riadené číslo na jednoduchých multiplikátoroch a zistime, či si to predstaviť celé číslo kocky.

Máme 285 768 \u003d 2 3 · 3 6 · 7 2. Výsledný rozklad sa nezdá sa, že vo forme kocky celé číslo, pretože stupeň jednoduchého multiplikátora 7 nie je viacnásobný. V dôsledku toho nie je kubický koreň z 285,768 zameraný zameraný.

Odpoveď:

Nie.

Odstránenie koreňov z frakčných čísel

Je čas zistiť, ako sa extrahuje koreň frakčného čísla. Nechajte frakčné krmivo zaznamenané ako p / Q. Podľa majetku koreňa zo súkromného je táto rovnosť spravodlivá. Z tejto rovnosti nasleduje pravidlo koreň koreň z ovocia: Koreň frakcie sa rovná súkromnému od štiepenia koreňa z čitateľa do koreňa z denominátora.

Analyzujeme príklad extrakcie koreňa z frakcie.

Príklad.

Čo sa rovná druhú odmocninu z bežnej frakcie 25/169.

Rozhodnutie.

Na stole námestí zistíme, že druhá odmocnina z čitateľa pôvodnej frakcie je 5 a druhá odmocnina z denominátora je 13. Potom . Na tejto koreňovej extrakcii z bežnej frakcie 25/169 dokončená.

Odpoveď:

Koreň desatinnej frakcie alebo zmiešaného čísla sa extrahuje po výmene čísel v bežných frakciách.

Príklad.

Odstráňte kubický koreň z desatinnej frakcie 474,552.

Rozhodnutie.

Predstavte si originálnu desatinnú frakciu vo forme bežnej frakcie: 474,552 \u003d 474552/1000. Potom . Zostáva extrahovať kubické korene umiestnené v čitateľovi a denominátor výslednej frakcie. Ako 474 552 \u003d 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 13 · 13 · 13 \u003d (2 · 3 · 13) 3 \u003d 78 3 a 1 000 \u003d 10 3, potom a . Zostáva len na dokončenie výpočtov .

Odpoveď:

.

Odstránenie koreňa negatívneho čísla

Samostatne stojí za zastavenie pri extrakcii koreňov záporných čísel. Pri štúdiu koreňov sme povedali, že keď je koreňová frekvencia nepárne číslo, potom môže byť záporné číslo pod koreňovým znakom. Takéto záznamy sme dali nasledujúci význam: pre negatívny počet -A a nepárny indikátor root 2 · n-1 spravodlivo . Táto rovnosť dáva pravidlo pre extrahovanie koreňov nepárnej stupňa z negatívnych čísel: Ak chcete extrahovať koreň záporného čísla, je potrebné extrahovať koreň z opačného čísla oproti tomu, a aby ste pred výsledkom vytvorili mínus.

Zvážte riešenie príkladu.

Príklad.

Nájsť hodnotu koreňa.

Rozhodnutie.

Transformujeme počiatočný výraz tak, že pod znakom koreňa sa ukázalo byť kladné číslo: . Teraz je zmiešané číslo nahradené obyčajným záberom: . Aplikovať Rating pravidlo z obyčajného fraci: . Zostáva vypočítať korene v čitateľovi a denomotéri výsledného fraci: .

Uveďte stručný záznam riešenia: .

Odpoveď:

.

Istič

Všeobecne platí, že pod koreňom je číslo, ktoré s pomocou demontovaných metód, nie je možné byť reprezentovaný ako n-stupňové ľubovoľné číslo. Ale zároveň je potrebné poznať hodnotu tohto koreňa, aspoň s presnosťou nejakého znaku. V tomto prípade, na extrahovanie koreňa, môžete použiť algoritmus, ktorý vám umožní postupne získať dostatočný počet hodnôt vypúšťania požadovaného čísla.

V prvom kroku tohto algoritmu je potrebné zistiť, čo je staršia číslica koreňovej hodnoty. Aby ste to urobili, sú dôsledne postavené do stupňa n číslo 0, 10, 100, ... až do čísla, keď sa získa číslo presahujúceho číslo kŕmenia. Potom číslo, ktoré sme boli postavení do stupňa N v predchádzajúcom štádiu, uvedie príslušný vyšší absolutórium.

Zvážte napríklad tento krok algoritmu pri odstraňovaní odmocniny piatich. Vezmeme si čísla 0, 10, 100, ... a postavme ich na štvorcový, kým nedostaneme číslo, ktoré presahuje 5. Máme 0 2 \u003d 0<5 , 10 2 =100>5, preto vysoké vypúšťanie bude vypúšťanie jednotiek. Význam tohto vypúšťania, ako aj mladšieho, sa nachádza v nasledujúcich krokoch algoritmu ťažby koreňového extrakcie.

Všetky nasledujúce kroky algoritmu sú určené na konzistentne spresniť koreňovú hodnotu z dôvodu skutočnosti, že hodnoty nasledujúcich číslic požadovanej hodnoty koreňov začínajú starším a presunutím do mladšieho. Napríklad hodnota koreňa v prvom kroku sa získa 2, na druhej - 2.2, na treťom - 2.23, a tak na 2,236067977 .... Popíšeme, ako sa nájdu hodnoty vypúšťania.

Hľadanie výbojov sa vykonáva prichádzajúcimi možnými hodnotami 0, 1, 2, ..., 9. Súčasne sa počítajú policové stupne zodpovedajúcich čísel sú vypočítané paralelne, a porovnajú sa s vnútorným číslom. Ak v určitom štádiu, hodnota stupňa prekonáva číslo, potom sa hodnota vypúšťania zodpovedajúce predchádzajúcej hodnote považuje za zistené, a prechod sa vykoná na ďalší krok algoritmu koreňového extrakcie, ale ak je to nevyskytuje, hodnota tohto vypúšťania je 9.

Vysvetlime všetky tieto momenty na rovnaký príklad extrakcie odmocniny z piatich.

Najprv nájdeme hodnotu vypúšťania jednotiek. Budeme vyriešiť hodnoty 0, 1, 2, ..., 9, výpočtu 0 2, 1 2, ..., 9 2 do okamihu, kým nedostaneme hodnotu, viac podkladových čísel 5 . Všetky tieto výpočty sú vhodné reprezentovať vo forme tabuľky:

Takže hodnota vypúšťania jednotiek je 2 (od 22<5 , а 2 3 >päť ). Choďte na nájdenie hodnoty vypúšťania desatiny. Zároveň budeme postavený do námestia čísla 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, porovnaním získaných hodnôt s vyšetrovacím číslom 5:

Ako 2.2 2 2<5 , а 2,3 2 >5, hodnota vypúšťania desiaty je 2. Môžete pokračovať v hľadaní hodnoty vypúšťania stotín:

Toto je ďalšia hodnota koreňa piatich, je rovná 2,23. A tak môžete pokračovať ďalej nájsť hodnoty: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Na zabezpečenie materiálu budeme analyzovať extrakciu koreňa s presnosťou stotín s pomocou uvažovaného algoritmu.

Najprv definujeme najstaršie absolutórium. Aby sme to urobili, sme postavení do zoznamu čísel 0, 10, 100 atď. Kým dostaneme číslo, ktoré je lepšie ako 2 151 186. Máme 0 3 \u003d 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151 186, teda, že senior výtok je vypúšťaním desiatok.

Určiť jeho hodnotu.

Od 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2 151,186, hodnota vypúšťania desiatok je rovná 1. Prejdite na jednotky.

Hodnota vypúšťania jednotiek je teda 2. Choďte do desiaty.

Vzhľadom k tomu, že aj 12,9 3 je menší ako PUNDED číslo 2 151,186, hodnota vypúšťania desiaty je 9. Zostáva vykonávať posledný krok algoritmu, dá nám hodnotu koreňa s požadovanou presnosťou.

V tomto štádiu sa hodnota koreňov nachádza s presnosťou na stotiny: .

Na záver tohto článku by som chcel povedať, že existuje mnoho ďalších spôsobov, ako získať korene. Ale pre väčšinu úloh existuje dosť tých, ktoré sme študovali vyššie.

Bibliografia.

• Makrychev yu.n., Mindyuk N.G., Nebkov K.I., SUVOROVA S.B. ALGEBRA: NÁVOD PRE 8 CL. Všeobecné vzdelávacie inštitúcie.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. a kol. ALGEBRA A START ANALÝZA: Učebnica pre 10 - 11 tried všeobecných vzdelávacích inštitúcií.
• GUSEV V.A., Mordkovich A.G. Matematika (príspevok pre žiadateľov o technické školy).

Pred objavovaním kalkulačiek, študenti a učitelia prišli na štvorcové korene manuálne. Existuje niekoľko spôsobov, ako manuálne vypočítať štvorcové číslo. Niektoré z nich ponúkajú len približné riešenie, iné dávajú presnú odpoveď.

Kroky

Rozklad jednoduchých faktorov

Šíriť počet multiplikátorov, ktoré sú štvorcové čísla. V závislosti od posledného čísla dostanete približnú alebo presnú odpoveď. Štvorcité čísla sú čísla, z ktorých je možné odstrániť celý druhca. Multiplikátory - čísla, ktoré sú uvedené v násobení. Napríklad multiplikátory čísla 8 sú 2 a 4, ako 2 x 4 \u003d 8, čísla 25, 36, 49 sú štvorcové čísla, pretože √25 \u003d 5, √36 \u003d 6, √49 \u003d 7. štvorcové multiplikátory sú multiplikátory, ktoré sú štvorcové čísla. Najprv sa pokúste rozložiť číslo podávača do štvorcových multiplikátorov.

• Napríklad vypočítajte odmocninu 400 (manuálne). Najprv sa pokúste rozkladať 400 za mozgové chyby. 400 Viacnásobok 100, to znamená, že je rozdelený na 25 - Toto je štvorcové číslo. Rozdelenie 400 až 25, dostanete 16. Číslo 16 je tiež štvorcové číslo. Tak, 400 môže byť rozložená do štvorcových porúch 25 a 16, to znamená 25 x 16 \u003d 400.
• To môže byť napísané takto: √400 \u003d √ (25 x 16).

1. Druhý koreň z produktu niektorých členov sa rovná produkt štvorcových koreňov od každého člena, to znamená √ (A x b) \u003d √a x √b. Využite toto pravidlo a vyberte odmocninu z každého štvorcového multiplikátora a vynásobte výsledky získané na nájdenie odpovede.

   • V našom príklade odstráňte koreň 25 a mimo 16.
     • √ (25 x 16)
     • √25 x √16.
     • 5 x 4 \u003d 20

2. Ak nie je kŕmne číslo upravené dvoma štvorcový faktor (a to sa deje vo väčšine prípadov), nebudete môcť nájsť presnú odpoveď vo forme celého čísla. Túto úlohu však môžete zjednodušiť, ktorým sa založíte kŕmne číslo na štvorcový faktor a obyčajný multiplikátor (číslo, z ktorého nie je možné extrahovať celú druhú odmocninu). Potom odstránite druhú odmocninu zo štvorcového multiplikátora a získajte koreň z bežného faktora.

   • Napríklad vypočítajte druhú odmocninu spomedzi čísla 147. Číslo 147 sa nedá rozložiť na dva štvorcový faktor, ale môže sa rozkladať do nasledovných faktorov: 49 a 3. Rozhodnúť úlohu takto:
     • \u003d √ (49 x 3)
     • \u003d √49 x √3
     • = 7√3

3. V prípade potreby si uvedomte hodnotu koreňa. Teraz môžete odhadnúť hodnotu koreňa (nájsť približnú hodnotu) porovnaním s hodnotami štvorcových čísel, ktoré sú najbližšie (na oboch stranách na číselnej čiare) na riadené číslo. Dostanete hodnotu koreňa vo forme desatinnej frakcie, ktorá sa musí vynásobiť číslom za koreňovým znakom.

   • Vráťme sa k nášmu príkladu. Číslo 3. Najbližšie štvorcové čísla budú čísla 1 (√1 \u003d 1) a 4 (√4 \u003d 2). Hodnota √3 je teda umiestnená medzi 1 a 2. Je to ako hodnota √3, pravdepodobne bližšie k 2 ako 1, potom naše hodnotenie: √3 \u003d 1.7. Túto hodnotu vynásobíme podľa čísla v koreňovom znamení: 7 x 1,7 \u003d 11,9. Ak urobíte výpočty na kalkulačke, potom dostanete 12.13, čo je veľmi blízko k našej odpovedi.
     • Táto metóda funguje aj s veľkým počtom. Zvážte napríklad √35. Vydané číslo 35. Štvorcové čísla najbližšie k tomu budú čísla 25 (√25 \u003d 5) a 36 (√36 \u003d 6). Hodnota √35 je teda umiestnená medzi 5 a 6. Pretože hodnota √35 je oveľa bližšie k 6 ako K 5 (pretože 35 len 1 je menšia ako 36), potom sa dá vyhlásiť, že √35 je o niečo menej ako 6. Kontrola kalkulačky nám dáva odpoveď 5.92 - mali sme pravdu.

4. Ďalším spôsobom je šíriť číslo pre bežné faktory. Jednoduché faktory sú čísla, ktoré zdieľajú len 1 a samotné. Zapíšte si jednoduché multiplikátory v rade a nájdite pár rovnakých multiplikátorov. Takéto multiplikátory môžu byť dosiahnuté pre koreňové znamenie.

   • Napríklad vypočítajte odmocninu 45. Odomknite číslo podávača na jednoduchých multiplikátoroch: 45 \u003d 9 x 5, a 9 \u003d 3 x 3. teda √45 \u003d √ (3 x 3 x 5). 3 môže byť dosiahnuté podľa koreňového znaku: √45 \u003d 3√5. Teraz môžete odhadnúť √5.
   • Zvážte ďalší príklad: √88.
     • \u003d √ (2 x 44)
     • \u003d √ (2 x 4 x 11)
     • \u003d √ (2 x 2 x 2 x 11). Dostali ste tri faktory 2; Vezmite si ich pár a root.
     • \u003d 2√ (2 x 11) \u003d 2√2 x √11. Teraz môžete odhadnúť √2 a √11 a nájsť približnú odpoveď.

   Výpočet manuálne

   Použitie rozdelenia v stĺpci

   1. Táto metóda obsahuje proces podobný rozdeleniu do stĺpca a poskytuje presnú odpoveď. Po prvé, stráviť vertikálnu čiaru, ktorá rozdeľuje list na dve polovice, a potom doprava a mierne pod horným okrajom listu k zvislej čiare. Otočte horizontálnu čiaru. Teraz rozdeliť vedené číslo do párov čísel, počnúc frakčnou časťou po čiaste. Číslo 79520789182,47897 je teda napísané ako "7 95 20 78 91 82, 47,89 70".

      • Napríklad vypočítajte druhú odmocninu čísla číslo 780.14. Nakreslite dva riadky (ako je znázornené na obrázku) a vľavo hore, napíšte toto číslo do formulára "7 80, 14". Je normálne, že prvé ľavé číslo je nepárou číslicou. Odpoveď (koreň tohto čísla) bude zaznamenaná vpravo.

   2. Pre prvé ľavé páry čísel (alebo jedného čísla) nájdete najväčšie celé číslo n, ktorých námestie je menšie alebo sa rovná pár čísla (alebo jedno číslo). Inými slovami, nájsť štvorcové číslo, ktoré je najbližšie k prvému ľavému páru čísel (alebo jedného čísla), ale menej ako je, a odstrániť odmocný koreň z tohto štvorcového čísla; Dostanete číslo N. Napíšte našiel n z vyššie uvedeného doprava a námestie n sa zaregistrujte sa z pravého doprava.

      • V našom prípade bude prvé ľavé číslo číslo 7. Ďalej, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Odstráňte štvorec n číslo, ktoré ste práve našli, z prvého ľavého dvojice čísel (alebo jedného čísla). Výsledok výpočtu je zaznamenaný odčítateľným (Square N).

      • V našom príklade odpočítava 4 zo 7 a získajte 3.

   4. Sneake druhý pár čísel a napíšte ho okolo hodnoty získanej v predchádzajúcom kroku. Potom zdvojnásobte číslo na vrchole doprava a vypíšte výsledok zdola na dno s pridaním "_ × _ \u003d".

      • V našom príklade je druhý pár čísel "80". Zapíšte si "80" po 3. Potom sa zdvojnásobil na hornej časti pravej strany. Zaznamenajte "4_ × _ \u003d" zdola doprava.

   5. Naplňte palivo na pravej strane.

      • V našom prípade, ak namiesto výstuh dajte číslo 8, potom 48 x 8 \u003d 384, čo je viac ako 380. Preto je 8 príliš veľa, ale 7 bude vyhovovať. Napíšte 7 namiesto výstuh a získajte: 47 x 7 \u003d 329. Nahrávanie 7 zhora na pravej strane - to je druhá číslica v koreňovom odmocnici čísla 780.14.

   6. Vymažte výsledné číslo z aktuálneho čísla vľavo. Zapíšte si výsledok z predchádzajúceho kroku v aktuálnom čísle vľavo, nájdite rozdiel a napíšte ho pod pripravený.

      • V našom príklade odpočítava 329 z 380, ktorý sa rovná 51.

   7. Opakujte krok 4. Ak je zlomková dvojica čísel frakcionálnou súčasťou pôvodného čísla, potom oddeľte separátor (čiarka) celej a frakčnej časti do vyhľadávaného oddývaného koreňa na pravej strane. Na ľavej strane zbúrajte nasledujúci pár čísel. Dvojité číslo zhora na pravej strane a zápis výsledok zdola do spodnej časti na pridanie "_ × _ \u003d".

      • V našom príklade bude ďalším predloženým párom čísel frakčnou súčasťou čísla 780.14, takže oddeľte separátor celej a zlomeniny častí do artikulárneho odmocniny na vrchu vpravo. Zaregistrujte sa 14 a zapíšte doľava. Zdvojnásobiť číslo zhora na pravej strane (27) bude 54, takže píšete "54_ × _ \u003d" zdola doprava.

   8. Opakujte kroky 5 a 6. Nájdite také najväčšie číslo do satelitu na pravej strane (namiesto tuhov, musíte nahradiť rovnaké číslo), aby bol výsledok multiplikácie menší alebo rovný aktuálnemu číslu vľavo.

      • V našom príklade 549 x 9 \u003d 4941, ktorý je menší ako aktuálne číslo vľavo (5114). Napíšte 9 na vrchole doprava a odpočítava výsledok násobenia z aktuálneho čísla doľava: 5114 - 4941 \u003d 173.

   9. Ak pre druhého koreňa, musíte nájsť viac vykĺzaných značiek, napísať pár nuly z aktuálneho čísla vľavo a opakujte kroky 4, 5 a 6. Opakujte kroky, kým nedostanete presnosť odpovede (počet bodkočiariek).

   Pochopenie procesu

   Aby ste mohli asimovať túto metódu, predstavte si, že druhá odmocnina, ktorej je potrebné nájsť ako štvorcový námestie S. V tomto prípade budete hľadať dĺžku boku l takého štvorca. Vypočítajte takú hodnotu L, v ktorom L² \u003d S.

   Nastavte písmeno pre každú číslicu v reakcii. Označujú prvou číslicou v hodnote L (požadovaný koreň odmluvy). B bude druhá číslica, c je tretia a tak ďalej.

   Nastavte písmeno pre každý pár prvých číslic. Naznačujú sa s prvou dvojicou čísel v hodnote S, cez S B - druhý pár čísel a tak ďalej.

   Vypočítajte pripojenie tejto metódy s rozdelením do stĺpca. Rovnako ako v operácii rozdelenia, kde zakaždým, keď sa zaujímame len o ďalšiu číslicu čísla rozdelenia, pri výpočte odmocniny, sme konzistentne pracujú s dvojicou čísel (aby sme získali jednu ďalšiu číslicu v hodnotám koreňa.

   1. Zvážte prvú dvojicu čísla SA (SA \u003d 7 v našom príklade) a nájdite jeho odmocninu. V tomto prípade bude prvá číslica A na požadovanú hodnotu odmocniny, taká číslica, ktorej námestie je menšie alebo rovné (to znamená, že hľadáme takýto, v ktorom sa vykonáva A² ≤ SA< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Predpokladajme, že musíte rozdeliť 88962 o 7; Tu bude prvý krok podobný: Domnievame sa, že prvá číslica rozdeľovača číslo 88962 (8) a vyberieme také najväčšie číslo, ktoré pri násobení poskytuje hodnotu menej alebo rovnú 8. To znamená, že hľadáme Pre takéto číslo D, pri ktorom je nerovnosť pravdivá: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. Mentálne si predstavte námestie, ktorej je potrebné vypočítať. Hľadáte L, to znamená, že dĺžka strán námestia, ktorej oblasť je S. A, B, C - čísla medzi L. Napíšte možné inak: 10A + B \u003d L (pre dvojciferné číslo) alebo 100A + 10V + c \u003d l (pre tri číslice) a tak ďalej.

      • Byť (10a + b) ² \u003d L² \u003d S \u003d 100A² + 2 × 10A × B + B². Nezabudnite, že 10A + B je také číslo, v ktorom Obrázok B znamená jednotky a obrázok A je desiatky. Napríklad, ak A \u003d 1 a B \u003d 2, potom 10A + B sa rovná číslu 12. (10a + b) ² - Toto je oblasť celého štvorca, 100A² - námestie veľkého vnútorného námestia, B² - štvorcový malý vnútorný námestie, 10A × B. - oblasť každého z dvoch obdĺžnikov. Skladacia námestie opísaných obrázkov nájdete zdrojový štvorcový priestor.

Výučba

Vyberte takýto multiplikátor vybrať takýto multiplikátor z pod root Naozaj výraz - inak stratí operácia. Napríklad, ak pod označením root s indikátorom rovným tromi (kubickým koreňom), číslo 128, potom z označenia môže byť vyrobené napríklad, číslo 5. Zároveň číslo 128 bude musieť byť rozdelený do 5 na Kube: ³√128 \u003d 5 * ³√ (128/5³) \u003d 5 * ³√ (128/125) \u003d 5 * ³√1.024. Ak je prítomnosť frakčného čísla známe root Neporušuje podmienky úlohy, potom v tomto formulári. Ak potrebujete jednoduchšiu možnosť, potom najprv rozptyl výraz na takýchto integerových multiplikátoroch, kubický koreň jedného z nich bude číslom. napríklad: ³√128 \u003d ³√ (64 * 2) \u003d ³√ (4³ * 2) \u003d 4 * ³√2.

Použitie pre výber tovární na krmivo, ak je výpočet stupňa čísla, nie je možné. To platí najmä rootm s indikátorom stupňa viac ako dve. Ak máte prístup k internetu, potom môžete vypočítať počítače Google a NIGMA zabudované do vyhľadávačov. Napríklad, ak potrebujete nájsť najväčší integer multiplikátor, ktorý môže byť vyňatý zo znamenia kubických root Pre číslo 250 a potom kliknite na stránku Google, zadajte požiadavku "6 ^ 3", aby ste skontrolovali, či nie je možné vykonať z označenia root Šesť. Vyhľadávač zobrazí výsledok rovný 216. Bohužiaľ, 250 nemôže byť rozdelená bez rovnováhy číslo. Potom zadajte požiadavku 5 ^ 3. Výsledkom bude 125, čo vám umožní rozdeliť 250 na multiplikátoroch 125 a 2, čo znamená vykonať z pod označením root číslo 5, takže tam číslo 2.

Zdroje:

• ako priniesť koreň
• Druhá koreň práce

Odložiť z pod root Jeden z faktorov je potrebný v situáciách, keď je potrebné zjednodušiť matematický výraz. Existujú prípady, keď nie je možné vykonať požadované výpočty pomocou kalkulačky. Ak sa napríklad používajú namiesto čísel, používajú sa napríklad abecedné označenia premenných.

Výučba

Rozprestrite na bežné chyby. Pozrite sa na ktoré z faktorov sa opakuje v rovnakom čase, uvádzané v ukazovateľoch root, alebo viac. Napríklad, musíte extrahovať koreň spomedzi štvrtého stupňa. V tomto prípade môže byť číslo reprezentované ako * A * A * A \u003d A * (A * A * A) \u003d A * A3. Indikátor root V tomto prípade bude zodpovedať faktor A3. Je potrebné ju vybrať.

Odstráňte koreň z výslednej cestoviny oddelene, kde je to možné. Extrakcia root Je to algebraický efekt, zvrátiť cvičenie. Extrakcia root Náhodný titul z čísla, ktorý nájde také číslo, ktoré pri zostavovaní v tomto svojvoľnom stupni bude mať za následok daný počet. Ak extrakcia root Je nemožné vyrábať, zanechať výraz kŕmne pod označením root ako to je. V dôsledku uvedených akcií, urobíte zvodu z znamenie root.

Video na tému

Poznámka

Buďte opatrní pri písaní kŕmneho výrazu vo forme faktorov - chyba v tomto štádiu povedie k nesprávnym výsledkom.

Užitočné rady

Pri odstraňovaní koreňov je vhodné použiť špeciálne tabuľky alebo tablety logaritmických koreňov - týmto výrazne skrátite čas, aby ste našli správne riešenie.

Zdroje:

• koreňové extrakčné znamenie v roku 2019

Zjednodušenie algebraických výrazov sa vyžaduje v mnohých častiach matematiky, vrátane pri riešení rovníc vyšších stupňov, diferenciácie a integrácie. To používa niekoľko metód, vrátane rozkladu na multiplikátoroch. Ak chcete použiť túto metódu, musíte nájsť a urobiť spoločnú faktor za zátvorky.

Výučba

Spoločného faktora zátvorky - jeden z najbežnejších spôsobov rozkladu. Táto technika sa používa na zjednodušenie štruktúry dlhých algebraických výrazov, t.j. Polynómy. Časté môže byť číslo, jednorazové alebo skrútené a vlastnosť rozmnožovania sa používa na vyhľadávanie.

Číslo. Pozorne sa pozerá na koeficienty pri každom polynómov, je možné ich rozdeliť na rovnaké číslo. Napríklad v expresii 12 Z³ + 16 Z² - 4 je zrejmé faktor 4. Po transformácii 4 (3 Z³ + 4 Z² je 1). Ostatné, toto číslo je najmenším spoločným deličom všetkých koeficientov.

Single. Podrobnosti, či už rovnaká premenná v každej zložke polynómu. Predpokladajme, že je to tak, teraz sa pozrite na koeficienty, ako v predchádzajúcom prípade. Príklad: 9 z ^ 4 - 6 Z³ + 15 Z² - 3 z.

Každý prvok tohto polynómu obsahuje variabilnú Z. Okrem toho všetky koeficienty sú čísla, viacnásobné. 3. V dôsledku toho sa celkový faktor bude obklopený s 3 z: 3 Z (3 Z³ - 2 Z² + 5 Z - 1).

Vyhadzovač zátvorky spoločný faktor Dvoch, variabilných a počtu, čo je celkový polynóm. Preto, ak faktor- Nie je to zrejmé, potom musíte nájsť aspoň jeden koreň. Zvýraznite voľný člen polynómu, je to koeficient bez premennej. Teraz aplikujte substitučnú metódu do celkovej expresie všetkých deliteľských devizorov.

Zvážte: Z ^ 4 - 2 Z³ + Z² - 4 Z + 4. Skontrolujte, či ktorýkoľvek z celých deličovných čísiel 4 Z ^ 4 - 2 Z³ + Z² je 4 z + 4 \u003d 0. Nájdite jednoduchú substitúciu Z1 \u003d 1 a Z2 \u003d 2, to znamená zátvorky Môžete vydržať krútené (Z - 1) a (Z - 2). Ak chcete nájsť zostávajúci výraz, použite postupné rozdelenie do stĺpca.