Genişletilmiş matrisin Gauss yöntemiyle çözümü. Gauss yöntemini tersine çevirin

Gauss'un yöntemi kolaydır! Niye ya? Ünlü Alman matematikçi Johann Karl Friedrich Gauss, yaşamı boyunca tüm zamanların en büyük matematikçisi, bir dahi ve hatta "matematiğin kralı" lakabıyla tanındı. Ve bildiğiniz gibi ustaca olan her şey basit! Bu arada, sadece piçler değil, dahiler de para için ödenir - Gauss'un portresi 10 Deutschmark banknotundaydı (euro'nun piyasaya sürülmesinden önce) ve Gauss hala Almanlara sıradan posta pullarından gizemli bir şekilde gülümsüyor.

Gauss yöntemi basittir, çünkü 5. sınıf bir öğrencinin bilgisi bu konuda uzmanlaşmak için YETERLİDİR. Toplama ve çarpma yapabilmelisiniz!Öğretmenlerin okul matematik seçmeli derslerinde bilinmeyenlerin ardışık olarak ortadan kaldırılması yöntemini sıklıkla düşünmeleri tesadüf değildir. Paradoksal olarak, Gauss yöntemi öğrenciler için en zor olanıdır. Hiç şüphe yok - tüm mesele metodolojide ve size yöntemin algoritmasını erişilebilir bir biçimde anlatmaya çalışacağım.

İlk olarak, sistemler hakkındaki bilgileri biraz sistematize ediyoruz. lineer denklemler... Bir lineer denklem sistemi şunları yapabilir:

1) Benzersiz bir çözüme sahip olun.
2) Sonsuz sayıda çözüme sahip olun.
3) Çözüm yok (olmak tutarsız).

Gauss yöntemi, bir çözüm bulmak için en güçlü ve çok yönlü araçtır herhangi lineer denklem sistemleri. hatırladığımız gibi Cramer kuralı ve matris yöntemi sistemin sonsuz sayıda çözüme sahip olduğu veya uyumsuz olduğu durumlarda uygun değildir. Ve bilinmeyenlerin art arda ortadan kaldırılması yöntemi her neyse bizi cevaba götürecek! Açık bu ders 1 numaralı durum için Gauss yöntemini tekrar ele alacağız (sistemin tek çözümü), 2-3 numaralı maddelerin durumu için bir makale ayrılmıştır. Yöntemin algoritmasının her üç durumda da aynı şekilde çalıştığını unutmayın.

Geri dön en basit sistem dersten Bir lineer denklem sistemi nasıl çözülür?
ve Gauss yöntemiyle çözün.

İlk aşamada yazmanız gerekir. genişletilmiş sistem matrisi:
... Katsayıların hangi prensibe göre yazıldığını herkesin görebileceğini düşünüyorum. Matrisin içindeki dikey çubuk herhangi bir matematiksel anlam taşımamaktadır - sadece tasarım kolaylığı için bir alt çizgidir.

referans :hatırlamanı tavsiye ederim şartlar lineer Cebir. Sistem Matrisi Yalnızca bilinmeyenli katsayılardan oluşan bir matristir, bu örnekte sistemin matrisi:. Genişletilmiş sistem matrisi Sistemin aynı matrisi artı bir serbest üye sütunu, bu durumda:. Matrislerden herhangi biri, kısaca kısalık için bir matris olarak adlandırılabilir.

Sistemin genişletilmiş matrisi yazıldıktan sonra, onunla bazı eylemlerin gerçekleştirilmesi gerekir. temel dönüşümler.

Aşağıdaki temel dönüşümler vardır:

1) Teller matrisler Yapabilmek yeniden düzenlemek yer. Örneğin, incelenen matriste, birinci ve ikinci satırları ağrısız bir şekilde yeniden düzenleyebilirsiniz:

2) Matris orantılı (özel bir durum olarak - aynı) satırlar içeriyorsa (veya görünüyorsa), o zaman şu şekildedir: silmek matristen biri hariç tüm bu satırlar. Örneğin, matrisi düşünün ... Bu matriste, son üç satır orantılıdır, bu nedenle bunlardan sadece birini bırakmak yeterlidir: .

3) Dönüşümler sırasında matriste bir sıfır satırı belirirse, o zaman aşağıdakileri de takip eder: silmek... Elbette çizmeyeceğim, sıfır çizgisi, içinde bulunduğu çizgidir. sadece sıfırlar.

4) Matrisin satırı şu şekilde olabilir: çarpmak (bölmek) herhangi bir sayı ile, sıfırdan farklı... Örneğin, bir matris düşünün. Burada ilk satırı –3'e bölmeniz ve ikinci satırı 2 ile çarpmanız önerilir. ... Bu eylem, daha fazla matris dönüşümünü basitleştirdiği için çok kullanışlıdır.

5) Bu dönüşüm en zorudur, ancak aslında karmaşık bir şey de yoktur. Bir matris satırına şunları yapabilirsiniz: bir sayı ile çarpılan başka bir dize ekleyin sıfır olmayan. Matrisimizi pratik bir örnekten düşünün: İlk önce, dönüşümü çok ayrıntılı olarak anlatacağım. İlk satırı –2 ile çarpın: , ve ikinci satıra –2 ile çarpılan ilk satırı ekleyin: ... Şimdi ilk satır –2: ile "geri" bölünebilir. Gördüğünüz gibi, ADD satırı LEE – değişmedi. Her zaman ARTIŞIN OLDUĞU satırı değiştirir UT.

Pratikte, elbette, bu kadar ayrıntılı olarak açıklamazlar, ancak daha kısa yazarlar:

Bir kez daha: ikinci satıra –2 ile çarpılan ilk satırı ekledi... Dize genellikle sözlü olarak veya bir taslak üzerinde çarpılırken, hesaplamaların zihinsel seyri şuna benzer:

“Matrisi yeniden yazıyorum ve ilk satırı yeniden yazıyorum: »

“Önce ilk sütun. Altta, sıfır almam gerekiyor. Bu yüzden en üstteki birimi –2: ile çarpıyorum ve birinciyi ikinci satıra ekliyorum: 2 + (–2) = 0. İkinci satıra sonucu yazıyorum: »

“Şimdi ikinci sütun için. Yukarıda –1 ile –2: çarpılır. İlk satırı ikinci satıra ekliyorum: 1 + 2 = 3. Sonucu ikinci satıra yazıyorum: »

"Ve üçüncü sütun. –5'in üzerinde, –2: ile çarpılır. İlk satırı ikinci satıra ekliyorum: –7 + 10 = 3. Sonucu ikinci satıra yazıyorum: »

Lütfen bu örneği dikkatlice anlayın ve sıralı hesaplama algoritmasını anlayın, eğer bunu anlarsanız, Gauss yöntemi pratik olarak "cebinizde". Ama elbette bu dönüşüm üzerinde çalışacağız.

Temel dönüşümler denklem sisteminin çözümünü değiştirmez

! DİKKAT: kabul edilen manipülasyonlar kullanılamaz, matrislerin "kendi başlarına" verildiği bir görev teklif edilirse. Örneğin, "klasik" ile matrislerle eylemler Hiçbir durumda matrislerin içindeki bir şeyi yeniden düzenlememelisiniz!

Sistemimize geri dönelim. Adeta parçalara ayrıldı.

Sistemin genişletilmiş matrisini yazıyoruz ve temel dönüşümleri kullanarak onu kademeli görünüm:

(1) –2 ile çarpılan ilk satır ikinci satıra eklendi. Ve yine: neden ilk satırı –2 ile çarpıyoruz? Altta sıfır almak için, yani ikinci satırdaki bir değişkenden kurtulun.

(2) İkinci satırı 3'e bölün.

Temel dönüşümlerin amacı – matrisi kademeli bir forma getirin: ... Ödevin tasarımında, "merdiven" basit bir kalemle işaretlenir ve "basamaklarda" bulunan sayılar daire içine alınır. "Adım tipi" teriminin kendisi tamamen teorik değildir; bilimsel ve eğitim literatüründe genellikle denir. yamuk görünümü veya üçgen görünüm.

Elementer dönüşümlerin bir sonucu olarak, elde ettiğimiz eş değer orijinal denklem sistemi:

Şimdi sistemin ters yönde "açılması" gerekiyor - aşağıdan yukarıya, bu işleme denir geriye doğru Gauss yöntemi.

Alt denklemde zaten hazır bir sonucumuz var:

Sistemin ilk denklemini düşünün ve yerine şimdiden koyun. bilinen anlam"Oyun":

Gauss yönteminin üç bilinmeyenli üç lineer denklem sistemini çözmeyi gerektirdiği en yaygın durumu ele alalım.

örnek 1

Gauss yöntemiyle denklem sistemini çözün:

Sistemin genişletilmiş matrisini yazalım:

Şimdi çözüm sürecinde varacağımız sonucu hemen çizeceğim:

Ve yine amacımız, temel dönüşümleri kullanarak matrisi basamaklı bir forma getirmektir. Eyleme nereden başlamalı?

İlk olarak, sol üstteki sayıya bakıyoruz:

Neredeyse her zaman burada olmalı birim... Genel olarak konuşursak, –1 iyi olacaktır (ve bazen diğer sayılar), ancak bir şekilde o kadar geleneksel oldu ki, birim genellikle oraya yerleştirilir. Bir birim nasıl organize edilir? İlk sütuna bakıyoruz - hazır bir birimimiz var! İlk dönüşüm: birinci ve üçüncü satırları değiştirin:

Şimdi ilk satır, çözümün sonuna kadar değişmeden kalacaktır.... Şimdi iyi.

Sol üstteki birim düzenlenmiştir. Şimdi bu yerlerde sıfır almanız gerekiyor:

Sıfırları sadece "zor" dönüşümün yardımıyla alıyoruz. İlk önce ikinci satırla ilgileniyoruz (2, –1, 3, 13). İlk konumda sıfır almak için ne yapılmalı? Gerekli ikinci satıra –2 ile çarpılan ilk satırı ekleyin... Zihinsel olarak veya taslakta, ilk satırı –2: (–2, –4, 2, –18) ile çarpın. Ve sürekli olarak (yine zihinsel olarak veya bir taslak üzerinde) ekleme yaparız, ikinci satıra, zaten -2 ile çarpılmış olan ilk satırı ekliyoruz:

Sonucu ikinci satıra yazıyoruz:

Üçüncü satırı da aynı şekilde ele alıyoruz (3, 2, –5, –1). İlk konumda sıfır almak için ihtiyacınız olan üçüncü satıra –3 ile çarpılan ilk satırı ekleyin... Zihinsel olarak veya bir taslakta, ilk satırı –3: (–3, –6, 3, –27) ile çarpın. VE üçüncü satıra –3 ile çarpılan ilk satırı ekleyin:

Sonucu üçüncü satıra yazıyoruz:

Uygulamada, bu eylemler genellikle sözlü olarak gerçekleştirilir ve tek adımda kaydedilir:

Her şeyi bir kerede ve aynı anda saymanıza gerek yok... Hesaplamaların sırası ve sonuçların "yazılması" tutarlı ve genellikle şöyledir: önce ilk satırı yeniden yazarız ve kendimizi sinsice şişiririz - SIRALI ve DİKKATLİCE:

Ve yukarıdaki hesaplamaların zihinsel seyrini zaten inceledim.

Bu örnekte bunu yapmak kolaydır, ikinci satır -5'e bölünür (çünkü tüm sayılar 5'e kalansız bölünebilir). Aynı zamanda üçüncü satırı –2'ye bölüyoruz, çünkü ne daha az sayı, Bu yüzden daha kolay çözüm:

Açık son aşama Burada başka bir sıfır almanız gereken temel dönüşümler:

Bunun için üçüncü satıra –2 ile çarpılan ikinci satırı ekleyin:

Bu eylemi kendiniz çözümlemeye çalışın - ikinci satırı zihinsel olarak –2 ile çarpın ve ekleyin.

Son gerçekleştirilen eylem, sonucun saç modelidir, üçüncü satırı 3'e bölün.

Temel dönüşümlerin bir sonucu olarak, eşdeğer bir başlangıç doğrusal denklem sistemi elde edildi:

Güzel.

Gauss yönteminin tersi şimdi devreye giriyor. Denklemler aşağıdan yukarıya "gevşetilir".

Üçüncü denklemde zaten hazır bir sonucumuz var:

İkinci denkleme bakıyoruz: "z"nin anlamı zaten biliniyor, yani:

Ve son olarak, ilk denklem:. "Y" ve "z" biliniyor, mesele küçük:

Cevap:

Daha önce birçok kez belirtildiği gibi, herhangi bir denklem sistemi için bulunan çözümü kontrol etmek mümkün ve gereklidir, neyse ki kolay ve hızlıdır.

Örnek 2

Bu bir örnek bağımsız karar, bir bitirme örneği ve dersin sonunda cevap.

Unutulmamalıdır ki, sizin karar kursu benim kararımla örtüşmeyebilir, ve bu Gauss yönteminin bir özelliğidir... Ama cevaplar aynı olmalı!

Örnek 3

Gauss yöntemiyle bir lineer denklem sistemini çözün

Sistemin genişletilmiş matrisini yazalım ve temel dönüşümleri kullanarak onu kademeli bir forma getirelim:

Sol üst "adım" a bakıyoruz. Orada bir birimimiz olmalı. Sorun şu ki, ilk sütunda hiç kimse yok, bu nedenle satırları yeniden düzenlemek hiçbir şeyi çözmeyecektir. Bu gibi durumlarda, birimin bir temel dönüşüm kullanılarak düzenlenmesi gerekir. Bu genellikle birkaç yolla yapılabilir. Bunu ben yaptım:
(1) İlk satıra -1 ile çarpılan ikinci satırı ekleyin... Yani ikinci satırı zihinsel olarak -1 ile çarpıp birinci ve ikinci satırları ekledik, ikinci satır değişmedi.

Şimdi sol üstte "eksi bir" var, bu bizim için iyi. +1 almak isteyen herkes ek bir vücut hareketi yapabilir: ilk satırı –1 ile çarpın (işaretini değiştirin).

(2) İkinci satıra 5 ile çarpılan ilk satır, üçüncü satıra 3 ile çarpılan ilk satır eklendi.

(3) İlk satır -1 ile çarpılmıştır, prensipte bu güzellik içindir. Üçüncü satırın işaretini de değiştirip ikinci sıraya taşıdık, böylece ikinci “adımda gerekli birime sahibiz.

(4) İkinci sıra, 2 ile çarpılarak üçüncü sıraya eklendi.

(5) Üçüncü satır 3'e bölündü.

Hesaplamalarda bir hatayı gösteren kötü bir işaret (daha az sıklıkla - bir yazım hatası) "kötü" alt satırdır. Yani, altta şöyle bir şeyimiz varsa ve buna göre, , o zaman yüksek bir olasılıkla, temel dönüşümler sırasında bir hata yapıldığı söylenebilir.

Örneklerin tasarımında ters vuruş yapıyoruz, sistemin kendisi genellikle yeniden yazılmaz ve denklemler "doğrudan verilen matristen alınır". Geriye doğru hareket, size hatırlatırım, aşağıdan yukarıya doğru çalışır. Evet, işte hediye çıktı:

Cevap: .

Örnek 4

Gauss yöntemiyle bir lineer denklem sistemini çözün

Bu bağımsız bir çözüm için bir örnektir, biraz daha karmaşıktır. Birinin kafası karışırsa sorun değil. Tam çözüm ve dersin sonunda örnek bir tasarım. Sizin çözümünüz benimkinden farklı olabilir.

Son bölümde Gauss algoritmasının bazı özelliklerini ele alacağız.
İlk özellik, bazen sistemin denklemlerinde bazı değişkenlerin eksik olmasıdır, örneğin:

Genişletilmiş sistem matrisi nasıl doğru yazılır? Derste bu an hakkında zaten konuştum. Cramer kuralı. matris yöntemi... Sistemin genişletilmiş matrisinde, eksik değişkenlerin yerine sıfırları koyduk:

Bu arada, bu oldukça kolay bir örnek çünkü ilk sütunda zaten bir sıfır var ve gerçekleştirilecek daha az temel dönüşüm var.

İkinci özellik aşağıdaki gibidir. Dikkate alınan tüm örneklerde, “adımlara” -1 veya +1 yerleştirdik. Başka numaralar orada olabilir mi? Bazı durumlarda, yapabilirler. Sistemi düşünün: .

Burada, sol üst "adım" da iki tane var. Ancak, ilk sütundaki tüm sayıların 2'ye kalansız bölünebildiğini görüyoruz - diğer iki ve altı. Ve sol üstteki ikili bize çok yakışacak! İlk adımda, aşağıdaki dönüşümleri yapmanız gerekir: ilk satırı –1 ile çarpıp ikinci satıra ekleyin; üçüncü satıra –3 ile çarpılan ilk satırı ekleyin. Bu bize ilk sütunda istenen sıfırları verecektir.

Veya başka bir koşullu örnek: ... Burada ikinci adımdaki üç de bize uyar, çünkü 12 (sıfır almamız gereken yer) 3'e kalansız bölünebilir. Aşağıdaki dönüşümü gerçekleştirmek gerekir: üçüncü satıra, ikinci satırı -4 ile çarparak ekleyin, bunun sonucunda ihtiyacımız olan sıfır elde edilir.

Gauss yöntemi evrenseldir, ancak bir özelliği vardır. Sistemleri diğer yöntemlerle (Cramer yöntemi, matris yöntemi) kelimenin tam anlamıyla ilk kez nasıl çözeceğinizi güvenle öğrenebilirsiniz - çok katı bir algoritma var. Ancak Gauss yöntemine güvenebilmek için “elinizi doldurun” ve en az 5-10 sistem çözmelisiniz. Bu nedenle, ilk başta karışıklık, hesaplamalarda hatalar olabilir ve bunda olağandışı veya trajik bir şey yoktur.

Pencerenin dışında yağmurlu sonbahar havası .... Bu nedenle, herkes için daha fazlası karmaşık örnek bağımsız bir çözüm için:

Örnek 5

Dört bilinmeyenli dört lineer denklem sistemini Gauss yöntemiyle çözün.

Pratikte böyle bir görev çok nadir değildir. Bu sayfayı iyice inceleyen bir çaydanlık bile, böyle bir sistemi çözme algoritmasının sezgisel olarak açık olduğunu düşünüyorum. Temel olarak, her şey aynı - sadece daha fazla eylem var.

Bir sistemin çözümü olmadığı (tutarsız) veya sonsuz sayıda çözümü olduğu durumlar, Uyumsuz sistemler ve ortak bir çözümü olan sistemler dersinde ele alınır. Gauss yönteminin dikkate alınan algoritması da orada sabitlenebilir.

Başarılar dilerim!

Çözümler ve Cevaplar:

Örnek 2: Çözüm : Sistemin genişletilmiş matrisini yazalım ve temel dönüşümleri kullanarak onu kademeli bir forma getirelim.

Gerçekleştirilen temel dönüşümler:
(1) –2 ile çarpılan ilk satır ikinci satıra eklendi. -1 ile çarpılan ilk satır üçüncü satıra eklendi. Dikkat! Burada ilk satırı üçüncü satırdan çıkarmak cazip gelebilir, çıkarmayı kesinlikle önermiyorum - hata riski büyük ölçüde artar. Sadece ekle!
(2) İkinci satırın işareti değiştirildi (-1 ile çarpıldı). İkinci ve üçüncü satırlar değiştirildi. Not"adımlarda" sadece bir tanesinden değil, aynı zamanda daha da uygun olan –1'den de memnunuz.
(3) İkinci sıra, üçüncü sıraya 5 ile çarpılarak eklendi.
(4) İkinci satırın işareti değiştirildi (-1 ile çarpıldı). Üçüncü satır 14'e bölündü.

Ters:

Cevap: .

Örnek 4: Çözüm : Sistemin genişletilmiş matrisini yazalım ve temel dönüşümleri kullanarak onu kademeli bir forma getirelim:

Gerçekleştirilen dönüşümler:
(1) İkinci ilk satıra eklendi. Böylece istenen birim sol üst "basamak" üzerinde düzenlenir.
(2) İkinci satıra 7 ile çarpılan ilk satır, üçüncü satıra 6 ile çarpılan ilk satır eklendi.

İkinci adım kötüye gidiyor , "Adaylar" bunun için 17 ve 23 sayılarıdır ve bir veya -1'e ihtiyacımız var. (3) ve (4) numaralı dönüşümler, istenen birimin elde edilmesine yönelik olacaktır.

(3) İkinci satır, üçüncü satıra -1 ile çarpılarak eklendi.
(4) Üçüncü satır, ikinci satıra -3 ile çarpılarak eklendi.
(3) İkinci satır, üçüncü satıra 4 ile çarpılarak eklendi. İkinci satır, -1 ile çarpılarak dördüncü satıra eklendi.
(4) İkinci satırın işareti değiştirildi. Dördüncü satır 3'e bölündü ve üçüncü satırın yerine yerleştirildi.
(5) Dördüncü satıra -5 ile çarpılan üçüncü satır eklendi.

Ters:

Tüm çözümlerinin kümesi çakışırsa, iki lineer denklem sisteminin eşdeğer olduğu söylenir.

Denklem sisteminin temel dönüşümleri şunlardır:

Önemsiz denklemleri sistemden çıkarma, yani. tüm katsayıların sıfıra eşit olduğu;

Herhangi bir denklemin sıfırdan farklı bir sayı ile çarpımı;

Herhangi bir j'inci denklemin herhangi bir i -inci denklemine herhangi bir sayı ile çarpılması.

Bir x i değişkenine, bu değişkene izin verilmiyorsa serbest denir ve tüm denklem sistemine izin verilir.

Teorem. Temel dönüşümler, denklem sistemini eşdeğer bir sisteme dönüştürür.

Gauss yönteminin anlamı, orijinal denklem sistemini dönüştürmek ve eşdeğer bir çözümlenmiş veya eşdeğer tutarsız sistem elde etmektir.

Bu nedenle Gauss yöntemi aşağıdaki adımlardan oluşur:

İlk denklemi düşünün. İlk sıfır olmayan katsayıyı seçelim ve tüm denklemi ona bölelim. Bir x i değişkeninin 1 katsayısı ile girdiği bir denklem elde edelim;
Bu denklemi diğerlerinden çıkaralım, bu tür sayılarla çarpalım, böylece kalan denklemlerdeki x i değişkeninin katsayıları sıfır olur. x i değişkenine göre çözümlenen ve orijinal sisteme eşdeğer olan bir sistem elde ederiz;
Önemsiz denklemler ortaya çıkarsa (nadiren, ancak olur; örneğin, 0 = 0), bunları sistemden sileriz. Sonuç olarak, denklemler bir eksik olur;
Önceki adımları en fazla n kez tekrarlıyoruz, burada n sistemdeki denklem sayısıdır. Her seferinde "işleme" için yeni bir değişken seçiyoruz. Çakışan denklemler ortaya çıkarsa (örneğin, 0 = 8), sistem tutarsızdır.

Sonuç olarak, birkaç adımdan sonra, izin verilen bir sistem (muhtemelen serbest değişkenlerle) veya uyumsuz bir sistem elde ederiz. İzin verilen sistemler iki duruma ayrılır:

Değişken sayısı denklem sayısına eşittir. Bu, sistemin tanımlı olduğu anlamına gelir;
Değişken sayısı denklem sayısından fazladır. Sağdaki tüm serbest değişkenleri topluyoruz - izin verilen değişkenler için formüller alıyoruz. Bu formüller cevapta yazılmıştır.

Bu kadar! Lineer denklemler sistemi çözüldü! Bu oldukça basit bir algoritmadır ve ustalaşmak için bir lise matematik öğretmenine başvurmanız gerekmez. Bir örnek düşünelim:

Görev. Denklem sistemini çözün:

Adımların açıklaması:

İlk denklemi ikinci ve üçüncüden çıkarın - izin verilen x 1 değişkenini elde ederiz;
İkinci denklemi (−1) ile çarparız ve üçüncü denklemi (−3)'e böleriz - x 2 değişkeninin 1 katsayılı olduğu iki denklem elde ederiz;
İkinci denklemi birinciye ekleyip üçüncüden çıkarıyoruz. İzin verilen x 2 değişkenini alalım;
Son olarak, üçüncü denklemi birinciden çıkarırız - izin verilen x 3 değişkenini elde ederiz;
Yetkili bir sistem aldık, cevabı yazıyoruz.

Ortak bir lineer denklem sisteminin genel çözümü, izin verilen tüm değişkenlerin serbest olanlar cinsinden ifade edildiği orijinal sisteme eşdeğer yeni bir sistemdir.

Genel bir çözüme ne zaman ihtiyaç duyulabilir? k'den daha az adım atmanız gerekiyorsa (k, kaç tane denklem olduğudur). Ancak, sürecin bazı l. adımda sona ermesinin nedenleri< k , может быть две:

l -inci adımdan sonra (l+1) numaralı denklemi içermeyen bir sistem elde ettik. Bu aslında iyi çünkü izin verilen sistem yine de alındı - hatta birkaç adım önce.
l. adımdan sonra, değişkenler için tüm katsayıların sıfıra eşit olduğu ve serbest katsayıların sıfır olmadığı bir denklem elde edildi. Bu çelişkili bir denklemdir ve bu nedenle sistem tutarsızdır.

Çelişkili bir Gauss denkleminin ortaya çıkmasının tutarsızlık için yeterli bir neden olduğunu anlamak önemlidir. Aynı zamanda, l -inci adımın bir sonucu olarak, geriye hiçbir önemsiz denklem kalmayacağını - işlem sırasında hepsinin silindiğini not ediyoruz.

Adımların açıklaması:

4 ile çarpılan ilk denklemi ikinciden çıkarın. Ve ayrıca ilk denklemi üçüncüye ekliyoruz - izin verilen x 1 değişkenini alıyoruz;
2 ile çarpılan üçüncü denklemi ikinciden çıkararak, 0 = -5 çelişkili denklemini elde ederiz.

Yani sistem tutarsız çünkü çelişkili bir denklem bulundu.

Görev. Uyumluluğu araştırın ve sisteme ortak bir çözüm bulun:

Adımların açıklaması:

İlk denklemi ikinciden (önceden iki ile çarpılmış) ve üçüncüden çıkarın - izin verilen x 1 değişkenini elde ederiz;
İkinci denklemi üçüncüden çıkarın. Bu denklemlerdeki tüm katsayılar aynı olduğu için üçüncü denklem önemsiz hale gelir. Aynı zamanda ikinci denklemi (-1) ile çarpıyoruz;
İkinciyi ilk denklemden çıkararak - izin verilen x 2 değişkenini elde ederiz. Artık tüm denklem sistemi de çözülmüştür;
x 3 ve x 4 değişkenleri serbest olduğundan, izin verilen değişkenleri ifade etmek için onları sağa taşıyoruz. İşte cevap.

Dolayısıyla, izin verilen iki değişken (x 1 ve x 2) ve iki serbest değişken (x 3 ve x 4) olduğu için sistem uyumlu ve belirsizdir.

1. Doğrusal sistem cebirsel denklemler

1.1 Lineer cebirsel denklemler sistemi kavramı

Bir denklem sistemi, birkaç değişkende birkaç denklemin aynı anda yürütülmesinden oluşan bir durumdur. m denklem ve n bilinmeyen içeren bir lineer cebirsel denklem sistemi (bundan sonra - SLAE olarak anılacaktır), şu şekilde bir sistemdir:

a ij sayıları sistemin katsayıları olarak adlandırılırken, b i sayıları serbest terimlerdir, bir ij ve ben(i = 1, ..., m; b = 1, ..., n) bilinen bazı sayılardır ve x 1, ..., x n- Bilinmeyen. Katsayıların belirlenmesinde bir ij ilk alt simge i, denklemin numarasını ve ikinci j - bu katsayının bulunduğu bilinmeyenin sayısını gösterir. x n sayısını bulmak için Böyle bir sistemi kompakt bir matris biçiminde yazmak uygundur: AX = B. Burada A, ana matris olarak adlandırılan sistemin katsayılarının matrisidir;

xj bilinmeyenlerin bir sütun vektörüdür.
Bi serbest terimlerin bir sütun vektörüdür.

A * X matrislerinin çarpımı tanımlanır, çünkü A matrisinde X matrisindeki satır sayısı kadar sütun vardır (n adet).

Sistemin genişletilmiş matrisi, serbest terimler sütunu ile desteklenen sistemin A matrisidir.

1.2 Lineer cebirsel denklemler sistemini çözme

Bir denklem sisteminin çözümü, sıralı bir sayı kümesidir (değişkenlerin değerleri), değişkenler yerine ikame edildiğinde, sistemin denklemlerinin her biri gerçek bir eşitliğe dönüşür.

Sistemin çözümü denir bilinmeyenlerin n değerleri х1 = c1, x2 = c2,…, xn = cn, ikame edildiğinde sistemin tüm denklemleri gerçek eşitliklere dönüşür. Sisteme herhangi bir çözüm, bir sütun matrisi şeklinde yazılabilir.

Bir denklem sistemine en az bir çözümü varsa tutarlı, çözümü yoksa uyumsuz denir.

Ortak bir sisteme, tek bir çözümü varsa kesin, birden fazla çözümü varsa belirsiz denir. İkinci durumda, çözümlerinin her birine sistemin belirli bir çözümü denir. Tüm özel çözümlerin toplamına genel çözüm denir.

Bir sistemi çözmek demek, onun uyumlu mu yoksa tutarsız mı olduğunu bulmak demektir. Sistem uyumluysa, genel çözümünü bulun.

Aynı genel çözüme sahiplerse iki sistem eşdeğer (eşdeğer) olarak adlandırılır. Başka bir deyişle, birinin çözümü diğerinin çözümüyse ve bunun tersi de sistemler eşdeğerdir.

Uygulanması bir sistemi orijinal sisteme eşdeğer yeni bir sisteme dönüştüren bir dönüşüme eşdeğer veya eşdeğer dönüşüm denir. Eşdeğer dönüşümlerin örnekleri aşağıdaki dönüşümlerdir: sistemin iki denkleminin permütasyonu, iki bilinmeyenin tüm denklemlerin katsayılarıyla birlikte permütasyonu, sistemin herhangi bir denkleminin her iki bölümünün sıfır olmayan bir sayı ile çarpımı.

Tüm serbest terimler sıfıra eşitse, bir lineer denklem sistemine homojen denir:

Homojen bir sistem her zaman uyumludur, çünkü x1 = x2 = x3 =… = xn = 0 sistemin bir çözümüdür. Bu çözüme boş veya önemsiz denir.

2. Gauss eleme yöntemi

2.1 Gauss eleme yönteminin özü

Lineer cebirsel denklem sistemlerini çözmek için klasik yöntem, bilinmeyenlerin art arda ortadan kaldırılması yöntemidir - Gauss yöntemi(Gauss eleme yöntemi olarak da adlandırılır). Bu, temel dönüşümler kullanılarak, bir denklem sistemi, diğer tüm değişkenlerin sondan başlayarak sırayla bulunduğu kademeli (veya üçgen) bir formun eşdeğer bir sistemine indirgendiğinde, değişkenlerin art arda ortadan kaldırılması için bir yöntemdir. sayı) değişkenler.

Gauss çözüm süreci iki aşamadan oluşur: ileri ve geri hareketler.

1. Doğrudan kurs.

İlk aşamada, sözde doğrudan hareket, hatlar üzerinde temel dönüşümler yoluyla sistem kademeli veya üçgen şekle getirildiğinde veya sistemin uyumsuz olduğu tespit edildiğinde gerçekleştirilir. Yani, matrisin ilk sütununun elemanları arasından sıfır olmayan bir tane seçin, satırları değiştirerek en üst konuma taşıyın ve permütasyondan sonra elde edilen ilk satırı kalan satırlardan çıkararak, buna eşit bir değerle çarparak, bu satırların her birinin ilk elemanının ilk satırın ilk elemanına oranı, böylece altındaki sütunu sıfırlar.

Belirtilen dönüşümler yapıldıktan sonra, ilk satır ve ilk sütun zihinsel olarak çizilir ve matris kalana kadar devam edilir. sıfır boyut... Bazı iterasyonlarda ilk sütunun öğeleri arasında sıfırdan farklı bir değer bulunamazsa, bir sonraki sütuna gidin ve benzer bir işlem yapın.

İlk aşamada (doğrudan çalıştırma), sistem kademeli (özellikle üçgen) bir forma indirgenir.

Aşağıdaki sistem kademelidir:

aii katsayılarına sistemin ana (öncü) elemanları denir.

(eğer a11 = 0 ise, matrisin satırlarını şu şekilde yeniden düzenleriz: a 11, 0'a eşit değildi. Bu her zaman mümkündür, aksi halde matris bir sıfır sütunu içerir, determinantı sıfırdır ve sistem tutarsızdır).

İlk denklem dışındaki tüm denklemlerde bilinmeyen x1'i ortadan kaldırarak sistemi dönüştürüyoruz (sistemin temel dönüşümlerini kullanarak). Bunu yapmak için, ilk denklemin her iki tarafını ile çarpın.

ve sistemin ikinci denklemi ile terim terim ekleyin (veya ikinci denklemden birinci terimin çarpımını çıkaracağız). Sonra ilk denklemin her iki tarafını da çarparız ve bunları sistemin üçüncü denklemine ekleriz (veya üçüncüden birinciyi çarparız). Böylece, ilk satırı sırayla bir sayı ile çarpar ve ekleriz. ben inci satır, için ben = 2, 3, …,n.

Bu işleme devam ederek eşdeğer bir sistem elde ederiz:

- formüllerle belirlenen sistemin son m-1 denklemlerindeki bilinmeyenler ve serbest terimler için katsayıların yeni değerleri:

Böylece, ilk adımda, birinci pivot elemanının altında yatan tüm katsayılar a 11

0, ikinci adım, ikinci pivot elemanı a 22 (1) (eğer 22 (1) 0 ise), vb. altında bulunan elemanları yok eder. Bu işlemi daha da devam ettirerek, nihayet (m-1) adımında orijinal sistemi üçgen bir sisteme indirgiyoruz.

Sistemi kademeli bir forma indirgeme sürecinde sıfır denklem ortaya çıkarsa, yani. 0 = 0 biçimindeki eşitlikler atılır. Formun bir denklemi görünürse

o zaman bu, sistemin uyumsuzluğunu gösterir.

Gauss yönteminin doğrudan seyri burada sona erer.

2. Ters.

İkinci aşamada, özü, ortaya çıkan tüm temel değişkenleri temel olmayanlar cinsinden ifade etmek ve temel bir çözüm sistemi oluşturmak olan veya tüm değişkenler temel ise, sözde ters hareket gerçekleştirilir. sonra lineer denklemler sisteminin tek çözümünü sayısal biçimde ifade edin.

Bu prosedür, karşılık gelen temel değişkenin ifade edildiği (içinde sadece bir tane vardır) ve önceki denklemlere ikame edildiği son denklemle başlar ve "adımlara" çıkarak devam eder.

Her satır tam olarak bir temel değişkene karşılık gelir, bu nedenle son (en üstteki) hariç her adımda durum son satırın durumunu tam olarak tekrarlar.

Not: pratikte, sistemle değil, genişletilmiş matrisiyle çalışmak, satırlarında tüm temel dönüşümleri gerçekleştirmek daha uygundur. a11 katsayısının 1'e eşit olması uygundur (denklemleri yeniden düzenleyin veya denklemin her iki tarafını a11'e bölün).

2.2 Gauss yöntemiyle SLAE'leri çözme örnekleri

Bu bölümde, üç farklı örnek kullanarak, Gauss yönteminin SLAE'leri çözmek için nasıl kullanılabileceğini gösteriyoruz.

Örnek 1. 3. dereceden SLAE'yi çözün.

Katsayıları sıfırlayalım

ikinci ve üçüncü satırlarda. Bunu yapmak için sırasıyla 2/3 ve 1 ile çarpın ve ilk satıra ekleyin:

Bu makalede, yöntem lineer denklem sistemlerini (SLAE) çözmenin bir yolu olarak ele alınmaktadır. Yöntem analitiktir, yani bir çözüm algoritması yazmanıza izin verir. Genel görünüm ve ardından oradaki belirli örneklerden değerleri değiştirin. Matris yönteminin veya Cramer formüllerinin aksine, Gauss yöntemiyle bir doğrusal denklem sistemini çözerken, sonsuz sayıda çözümü olanlarla çalışabilirsiniz. Ya da hiç sahip değil.

Gauss yöntemiyle çözmek ne anlama gelir?

İlk önce denklem sistemimizi şu şekilde yazmanız gerekiyor. Sistem alınır:

Katsayılar tablo şeklinde ve sağda ayrı bir sütunda serbest terimlerle yazılır. Kolaylık sağlamak için serbest üyeli sütun ayrılır.Bu sütunu içeren matrise genişletilmiş denir.

Ayrıca, katsayıları olan ana matris, üst üçgen forma indirgenmelidir. Gauss yöntemini kullanarak sistemi çözmenin ana noktası budur. Basitçe söylemek gerekirse, belirli manipülasyonlardan sonra matris, sol alt kısmında yalnızca sıfırlar olacak şekilde görünmelidir:

Ardından, yeni matrisi tekrar bir denklem sistemi olarak yazarsanız, son satırın zaten köklerden birinin değerini içerdiğini ve daha sonra yukarıdaki denklemde ikame edildiğini, bir kök daha olduğunu fark edeceksiniz. üzerinde.

Bu, çoğu durumda Gauss yöntemiyle çözümün bir açıklamasıdır. Genel taslak... Sistem birdenbire çözüm bulamazsa ne olur? Yoksa sonsuz sayıda var mı? Bu ve daha birçok soruyu cevaplamak için Gauss yönteminin çözümünde kullanılan tüm unsurları ayrı ayrı ele almak gerekir.

Matrisler, özellikleri

Matriste gizli bir anlam yoktur. Daha sonra işlemek için verileri kaydetmenin uygun bir yolu. Okul çocuklarının bile onlardan korkmasına gerek yok.

Matris her zaman dikdörtgendir, çünkü bu şekilde daha uygundur. Her şeyin üçgen bir matris oluşturmaya geldiği Gauss yönteminde bile, kayıtta yalnızca sayıların olmadığı yerde sıfırlarla birlikte bir dikdörtgen görünür. Sıfırların yazılmasına gerek yoktur, ancak ima edilirler.

Matris boyutlandırılmıştır. "Genişliği" satır sayısıdır (m), "uzunluğu" sütun sayısıdır (n). Sonra A matrisinin boyutu (genellikle büyük harfle gösterilirler) Edebiyat) A m × n olarak gösterilecektir. m = n ise, bu matris karedir ve m = n onun sırasıdır. Buna göre, A matrisinin herhangi bir elemanı, satır ve sütun sayısı ile gösterilebilir: a xy; x - satır numarası, değiştirme, y - sütun numarası, değiştirme.

B, kararın ana noktası değildir. Prensip olarak, tüm işlemler doğrudan denklemlerin kendileriyle yapılabilir, ancak kayıt çok daha hantal olacak ve içinde kafa karıştırmak çok daha kolay olacaktır.

determinant

Matrisin de bir determinantı vardır. Bu çok önemli bir özelliktir. Şimdi anlamını bulmaya değmez, sadece nasıl hesaplandığını gösterebilir ve ardından matrisin hangi özelliklerini tanımladığını söyleyebilirsiniz. Determinantı bulmanın en kolay yolu köşegenlerden geçer. Matriste hayali köşegenler çizilir; her birinin üzerindeki elemanlar çarpılır ve daha sonra elde edilen ürünler eklenir: sağa eğimli köşegenler - artı işaretli, sola eğimli - eksi işaretli.

Determinantın yalnızca bir kare matris için hesaplanabileceğini belirtmek son derece önemlidir. Dikdörtgen bir matris için şunları yapabilirsiniz: satır ve sütun sayısından en azını seçin (k olsun) ve ardından matriste k sütunu ve k satırı keyfi bir şekilde işaretleyin. Seçili sütun ve satırların kesişim noktasındaki elemanlar yeni bir Kare matris... Böyle bir matrisin determinantı sıfır olmayan bir sayı ise, orijinal dikdörtgen matrisin taban minörü olarak adlandırılacaktır.

Gauss yöntemiyle denklem sisteminin çözümüne geçmeden önce determinantın hesaplanmasına müdahale etmez. Sıfır olduğu ortaya çıkarsa, hemen matrisin sonsuz sayıda çözümü olduğunu veya hiç olmadığını söyleyebiliriz. Böyle üzücü bir durumda, daha ileri gitmeniz ve matrisin sıralamasını öğrenmeniz gerekir.

Sistem sınıflandırması

Matrisin rankı diye bir şey var. Bu, sıfır olmayan determinantının maksimum mertebesidir (temel minör hatırlarsak, bir matrisin rankının temel minörün mertebesi olduğunu söyleyebiliriz).

Bu arada, işler rütbeye göre, SLAE ayrılabilir:

Eklem yeri. Sahip olmak uyumlu sistemlerde, ana matrisin sırası (yalnızca katsayılardan oluşur), genişletilmiş olanın sırası ile (bir serbest üye sütunu ile) çakışır. Bu tür sistemlerin bir çözümü vardır, ancak mutlaka bir tane olması gerekmez, bu nedenle ortak sistemler ayrıca aşağıdakilere ayrılır:
- belirli- tek bir çözüme sahip olmak. Bazı sistemlerde, matrisin rankı ve bilinmeyenlerin sayısı (veya aynı olan sütunların sayısı) eşittir;
- Tanımsız - sonsuz sayıda çözümle. Bu tür sistemler için matrislerin sırası, bilinmeyenlerin sayısından daha azdır.
Uyumsuz. Sahip olmak bu tür sistemlerin ana ve genişletilmiş matrislerinin sıraları çakışmaz. Uyumsuz sistemlerin çözümleri yoktur.

Gauss yöntemi iyidir çünkü ya sistemin uyumsuzluğunun açık bir kanıtını (büyük matrislerin determinantlarını hesaplamadan) ya da sonsuz sayıda çözümü olan bir sistem için genel bir çözüm elde etmeyi sağlar.

Temel dönüşümler

Doğrudan sistemin çözümüne geçmeden önce daha az hantal ve hesaplamalar için daha uygun hale getirebilirsiniz. Bu, temel dönüşümler yoluyla elde edilir - öyle ki bunların uygulanması nihai cevabı hiçbir şekilde değiştirmez. Yukarıdaki temel dönüşümlerin bazılarının yalnızca kaynağı tam olarak SLAE olan matrisler için geçerli olduğuna dikkat edilmelidir. İşte bu dönüşümlerin bir listesi:

Çizgilerin permütasyonu. Açıkçası, sistem notasyonundaki denklemlerin sırasını değiştirirseniz, bu, çözümü hiçbir şekilde etkilemeyecektir. Sonuç olarak, bu sistemin matrisinde, elbette, ücretsiz üyeler sütununu unutmadan, satırları da değiştirebilirsiniz.
Doğrunun tüm elemanlarının bir faktörle çarpımı. Çok yararlı! kısaltmak için kullanılabilir büyük sayılar matriste veya sıfırları kaldırın. Her zamanki gibi birçok çözüm değişmeyecek ve daha fazla işlem daha uygun hale gelecektir. Ana şey, katsayının sıfıra eşit olmamasıdır.
Orantılı katsayılı satırları silin. Bu kısmen önceki noktadan kaynaklanmaktadır. Matristeki iki veya daha fazla satırın orantılı katsayıları varsa, o zaman satırlardan birini orantılılık katsayısıyla çarparken / bölerken, iki (veya yine, daha fazla) kesinlikle aynı satır elde edilir ve fazlalıkları kaldırabilir, yalnızca bir.
Boş bir satırı kaldırma. Dönüşümler sırasında, serbest terim de dahil olmak üzere tüm öğelerin sıfır olduğu bir yerde bir dize ortaya çıkarsa, böyle bir dize sıfır olarak adlandırılabilir ve matristen atılabilir.
Belirli bir katsayı ile çarpılarak (karşılık gelen sütunlara göre) bir sıradaki öğelerin öğelerine ekleme. En belirsiz ve en önemli dönüşüm tümünden. Daha ayrıntılı olarak üzerinde durmaya değer.

Bir faktörle çarpılan bir satır ekleme

Anlama kolaylığı için, bu süreci adım adım atmaya değer. Matristen iki satır alınır:

11 a 12 ... 1n | b1

21 a 22 ... 2n | b2

Birinciyi ikinciye eklemeniz gerektiğini varsayalım, "-2" katsayısı ile çarpılır.

bir "21 = bir 21 + -2 × bir 11

a "22 = 22 + -2 × 12

a "2n = a 2n + -2 × bir 1n

Ardından matristeki ikinci satır yenisiyle değiştirilir ve birincisi değişmeden kalır.

11 a 12 ... 1n | b1

a "21 a" 22 ... a "2n | b 2

Çarpma faktörünün, iki satırın eklenmesi sonucunda yeni satırın elemanlarından birinin sıfıra eşit olacağı şekilde seçilebileceğine dikkat edilmelidir. Bu nedenle, bir bilinmeyenin daha az olacağı bir sistemde bir denklem elde etmek mümkündür. Ve böyle iki denklem alırsanız, işlem tekrar yapılabilir ve zaten iki bilinmeyen daha az içeren bir denklem elde edilebilir. Ve orijinalden daha düşük olan tüm satırlar için her sıfıra bir katsayıyı döndürürseniz, adımlar gibi, matrisin en altına inebilir ve bir bilinmeyenli bir denklem elde edebilirsiniz. Buna Gauss yöntemini kullanarak sistemi çözme denir.

Genel olarak

Bir sistem olsun. m tane denklemi ve n tane bilinmeyen kökü var. Aşağıdaki gibi yazılabilir:

Ana matris, sistem katsayılarından oluşur. Genişletilmiş matrise bir serbest üyeler sütunu eklenir ve kolaylık olması için bir çizgi ile ayrılır.

matrisin ilk satırı k = (-a 21 / a 11) katsayısı ile çarpılır;
matrisin ilk değiştirilmiş satırı ve ikinci satırı eklenir;
ikinci satır yerine, önceki paragraftaki toplamanın sonucu matrise eklenir;
şimdi yeni ikinci satırdaki ilk katsayı 11 × (-a 21 / a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0'dır.

Şimdi aynı dönüşüm serisi gerçekleştirilir, sadece birinci ve üçüncü satırlar dahil edilir. Buna göre, algoritmanın her adımında, a 21 öğesi, 31 ile değiştirilir. Sonra her şey 41, ... m1 için tekrarlanır. Sonuç, satırlardaki ilk elemanın sıfıra eşit olduğu bir matristir. Şimdi birinci satırı unutup aynı algoritmayı ikinci satırdan başlayarak uygulamamız gerekiyor:

katsayısı k = (-a 32 / 22);
ikinci değiştirilmiş satır "geçerli" satıra eklenir;
toplamanın sonucu üçüncü, dördüncü vb. satırlarda değiştirilirken birinci ve ikinci satırlar değişmeden kalır;
matrisin satırlarında, ilk iki eleman zaten sıfıra eşittir.

Algoritma, k = (-a m, m-1 / a mm) katsayısı görünene kadar tekrarlanmalıdır. Bu, algoritmanın yalnızca alt denklem için en son yürütüldüğü anlamına gelir. Matris şimdi bir üçgen gibi görünüyor veya kademeli bir şekle sahip. Alt satırda a mn × x n = b m eşitliği bulunur. Katsayı ve kesişim bilinir ve kök bunlar aracılığıyla ifade edilir: x n = b m / a mn. Elde edilen kök, x n-1 = (b m-1 - a m-1, n × (b m / a mn)) ÷ a m-1, n-1'i bulmak için üst sıraya yerleştirilir. Ve benzer şekilde devam eder: sonraki her satırda yeni bir kök vardır ve sistemin "tepesine" ulaştığınızda birçok çözüm bulabilirsiniz. Tek olacak.

Çözüm olmadığında

Matris satırlarından birinde serbest terim hariç tüm elemanlar sıfıra eşitse, bu satıra karşılık gelen denklem 0 = b gibi görünür. Çözümü yok. Ve böyle bir denklem bir sisteme dahil edildiğinden, tüm sistemin çözüm kümesi boştur, yani dejeneredir.

Çözümler sonsuz olduğunda

İndirgenmiş üçgen matriste, denklemin bir eleman katsayısına ve bir serbest terime sahip hiçbir satır olmadığı ortaya çıkabilir. Yalnızca, yeniden yazıldığında iki veya daha fazla değişkenli bir denklem biçimine sahip olacak satırlar vardır. Bu, sistemin sonsuz sayıda çözümü olduğu anlamına gelir. Bu durumda cevap genel bir çözüm şeklinde verilebilir. Nasıl yapılır?

Matristeki tüm değişkenler temel ve serbest olarak ayrılmıştır. Temel, basamaklı matristeki satırların "kenarında" olanlardır. Gerisi ücretsizdir. Genel çözümde, temel değişkenler serbest olanlar cinsinden yazılır.

Kolaylık sağlamak için, matris önce denklem sistemine yeniden yazılır. Sonra, sonuncusunda, tam olarak sadece bir temel değişkenin kaldığı yerde, bir tarafta kalır ve diğer her şey diğerine aktarılır. Bu, bir temel değişkenli her denklem için yapılır. Ardından, mümkün olduğunda, bunun için elde edilen ifade, mümkün olduğunda, temel değişken yerine denklemlerin geri kalanına değiştirilir. Sonuç olarak, yalnızca bir temel değişken içeren bir ifade tekrar ortaya çıkarsa, buradan tekrar ifade edilir ve her bir temel değişken serbest değişkenli bir ifade olarak yazılana kadar bu böyle devam eder. Bu, SLAE'nin genel çözümüdür.

Ayrıca sisteme temel bir çözüm de bulabilirsiniz - serbest değişkenlere herhangi bir değer verin ve ardından bu özel durum için temel değişkenlerin değerlerini hesaplayın. Sonsuz sayıda özel çözüm vardır.

Belirli örneklere dayalı çözüm

İşte bir denklem sistemi.

Kolaylık sağlamak için matrisini hemen oluşturmak daha iyidir

Gauss yöntemi ile çözerken, dönüşümlerin sonunda ilk satıra karşılık gelen denklemin değişmeden kalacağı bilinmektedir. Bu nedenle, matrisin sol üst öğesinin en küçük olması daha karlı olacaktır - o zaman işlemlerden sonra kalan satırların ilk öğeleri kaybolacaktır. Bu, derlenmiş matriste ilk satırı ikinciyle değiştirmenin avantajlı olacağı anlamına gelir.

ikinci satır: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3

a "21 = 21 + k × 11 = 3 + (-3) × 1 = 0

a "22 = a 22 + k × a 12 = -1 + (-3) × 2 = -7

a "23 = a 23 + k × a 13 = 1 + (-3) × 4 = -11

b "2 = b 2 + k × b 1 = 12 + (-3) × 12 = -24

üçüncü satır: k = (-a 3 1 / a 11) = (-5/1) = -5

a "3 1 = a 3 1 + k × a 11 = 5 + (-5) × 1 = 0

a "3 2 = a 3 2 + k × a 12 = 1 + (-5) × 2 = -9

a "3 3 = a 33 + k × a 13 = 2 + (-5) × 4 = -18

b "3 = b 3 + k × b 1 = 3 + (-5) × 12 = -57

Şimdi kafa karıştırmamak için dönüşümlerin ara sonuçlarını içeren bir matris yazmak gerekiyor.

Böyle bir matrisin bazı işlemler yardımıyla daha okunaklı hale getirilebileceği aşikardır. Örneğin, ikinci satırdan, her bir elemanı "-1" ile çarparak tüm "eksileri" kaldırabilirsiniz.

Ayrıca üçüncü satırda tüm öğelerin üçün katları olduğunu belirtmekte fayda var. Ardından, dizeyi bu sayı ile kısaltabilir, her bir öğeyi "-1/3" ile çarpabilirsiniz (eksi - aynı anda kaldırmak için negatif değerler).

Çok daha güzel görünüyor. Şimdi ilk satırı kendi haline bırakıp ikinci ve üçüncü ile çalışmamız gerekiyor. Görev, üçüncü satıra ikinciyi eklemek, böyle bir katsayı ile çarpılarak a 32 öğesinin sıfıra eşit olması.

k = (-a 32 / 22) = (-3 / 7) = -3 / 7 ortak kesir ve ancak o zaman, cevaplar alındığında, yuvarlamaya ve başka bir gösterim biçimine çevirmeye değip değmeyeceğine karar verin)

a "32 = 32 + k × 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a "33 = a 33 + k × a 23 = 6 + (-3/7) × 11 = -9/7

b "3 = b 3 + k × b 2 = 19 + (-3/7) × 24 = -61/7

Matris yeni değerlerle tekrar yazılır.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Gördüğünüz gibi, ortaya çıkan matris zaten kademeli bir forma sahip. Bu nedenle, sistemin Gauss yöntemiyle daha fazla dönüştürülmesi gerekli değildir. Burada yapabileceğiniz şey, "-1/7" genel katsayısını üçüncü satırdan çıkarmaktır.

Şimdi her şey güzel. Mesele küçük - matrisi tekrar bir denklem sistemi şeklinde yazmak ve kökleri hesaplamak

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

Şimdi köklerin bulunacağı algoritmaya Gauss yönteminde ters hareket denir. Denklem (3) z değerini içerir:

y = (24 - 11 × (61/9)) / 7 = -65/9

Ve ilk denklem x'i bulmanızı sağlar:

x = (12 - 4z - 2y) / 1 = 12 - 4 × (61/9) - 2 × (-65/9) = -6/9 = -2/3

Böyle bir sisteme eklem ve hatta kesin, yani benzersiz bir çözüme sahip olmak deme hakkımız var. Cevap aşağıdaki formda yazılmıştır:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Tanımsız bir sistem örneği

Gauss yöntemiyle belirli bir sistemi çözmenin varyantı analiz edildi, şimdi sistemin belirsiz olup olmadığını, yani bunun için sonsuz sayıda çözüm bulunabileceğini düşünmek gerekiyor.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Sistemin biçimi zaten endişe vericidir, çünkü bilinmeyenlerin sayısı n = 5 ve sistemin matrisinin sırası zaten bu sayıdan tam olarak daha azdır, çünkü satır sayısı m = 4'tür, yani Belirleyici karenin en büyük mertebesi 4'tür. Dolayısıyla sonsuz sayıda çözüm vardır ve genel görünümünü aramak gerekir. Gauss'un lineer denklemler yöntemi bunu yapmanızı sağlar.

İlk olarak, her zamanki gibi genişletilmiş bir matris derlenir.

İkinci satır: k katsayısı = (-a 21 / a 11) = -3. Üçüncü satırda birinci eleman dönüşümlerden bile önce olduğundan hiçbir şeye dokunmanıza gerek yok, olduğu gibi bırakmanız gerekiyor. Dördüncü satır: k = (-a 4 1 / a 11) = -5

İlk satırın elemanlarını sırasıyla katsayılarının her biri ile çarparak ve gerekli satırlarla toplayarak aşağıdaki formda bir matris elde ederiz:

Gördüğünüz gibi ikinci, üçüncü ve dördüncü satırlar birbiriyle orantılı öğelerden oluşuyor. İkinci ve dördüncü genellikle aynıdır, bu nedenle bunlardan biri hemen kaldırılabilir ve geri kalanı "-1" katsayısı ile çarpılabilir ve 3 numaralı satır elde edilebilir. Ve yine iki özdeş satırdan birini bırakın.

Sonuç böyle bir matristir. Sistem henüz yazılmadı, burada temel değişkenleri belirlemek gerekiyor - 11 = 1 ve 22 = 1 katsayılarıyla ayakta ve serbest - geri kalan her şey.

İkinci denklemde yalnızca bir temel değişken vardır - x 2. Dolayısıyla buradan serbest olan x 3, x 4, x 5 değişkenleri cinsinden yazılarak ifade edilebilir.

Ortaya çıkan ifadeyi ilk denklemde değiştirin.

Sonuç, tek temel değişkenin x 1 olduğu bir denklemdir. Aynısını x2 ile de yapalım.

İki tane olan tüm temel değişkenler üç serbest değişken cinsinden ifade edilir, şimdi cevabı genel formda yazabilirsiniz.

Ayrıca sistemin özel çözümlerinden birini de belirtebilirsiniz. Bu gibi durumlarda, kural olarak, serbest değişkenler için değerler olarak sıfırlar seçilir. O zaman cevap şöyle olurdu:

16, 23, 0, 0, 0.

Tutarsız bir sistem örneği

Tutarsız denklem sistemlerinin Gauss yöntemiyle çözümü en hızlı olanıdır. Hemen sona erer, aşamalardan birinde çözümü olmayan bir denklem elde edilir. Yani oldukça uzun ve kasvetli olan köklerin hesaplanması aşaması ortadan kalkar. Aşağıdaki sistem kabul edilir:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Her zamanki gibi, bir matris hazırlanır:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

Ve kademeli bir görünüme indirgenir:

k 1 = -2k 2 = -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

İlk dönüşümden sonra, üçüncü satır formun bir denklemini içerir.

çözümü olmayan. Bu nedenle sistem tutarsızdır ve cevap boş kümedir.

Yöntemin avantajları ve dezavantajları

SLAE'leri kağıt üzerinde bir kalemle çözmek için hangi yöntemi seçerseniz, bu makalede tartışılan yöntem en çekici görünüyor. Temel dönüşümleri karıştırmak, bir determinantı veya akıllı bir ters matrisi manuel olarak aramanız gerektiğinden çok daha zordur. Bununla birlikte, örneğin elektronik tablolar gibi bu tür verilerle çalışmak için programlar kullanırsanız, bu tür programların zaten matrislerin ana parametrelerini hesaplamak için algoritmalara sahip olduğu ortaya çıkar - belirleyici, küçükler, ters vb. Ve makinenin bu değerleri kendisinin hesaplayacağından ve yanılmadığından eminseniz, matris yöntemini veya Cramer formüllerini kullanmak daha uygundur, çünkü uygulamaları determinantların hesaplanmasıyla başlar ve biter ve ters matrisler.

Başvuru

Gauss çözümü bir algoritma olduğundan ve matris aslında iki boyutlu bir dizi olduğundan, programlamada kullanılabilir. Ancak makale kendisini "aptallar için" bir rehber olarak konumlandırdığından, yöntemin uygulanabileceği en basit yerin elektronik tablolar, örneğin Excel olduğu söylenmelidir. Yine, bir tabloya matris biçiminde girilen herhangi bir SLAE, Excel tarafından iki boyutlu bir dizi olarak kabul edilecektir. Ve bunlarla yapılan işlemler için birçok güzel komut vardır: toplama (sadece aynı boyuttaki matrisler eklenebilir!), Sayı ile çarpma, matris çarpması (belli kısıtlamalarla), ters ve devrik matrisleri bulma ve çoğu daha da önemlisi, determinantın hesaplanması. Bu zahmetli görevin yerini tek bir komut alırsa, matrisin derecesini çok daha hızlı belirlemek ve dolayısıyla uyumluluğunu veya tutarsızlığını belirlemek mümkündür.

Bu makalede, yöntem lineer denklem sistemlerini (SLAE) çözmenin bir yolu olarak ele alınmaktadır. Yöntem analitiktir, yani genel bir biçimde bir çözüm algoritması yazmanıza ve ardından orada belirli örneklerden değerleri değiştirmenize izin verir. Matris yönteminin veya Cramer formüllerinin aksine, Gauss yöntemiyle bir doğrusal denklem sistemini çözerken, sonsuz sayıda çözümü olanlarla çalışabilirsiniz. Ya da hiç sahip değil.

Gauss yöntemiyle çözmek ne anlama gelir?

İlk önce denklem sistemimizi şu şekilde yazmanız gerekiyor. Sistem alınır:

Katsayılar tablo şeklinde ve sağda ayrı bir sütunda serbest terimlerle yazılır. Kolaylık sağlamak için serbest üyeli sütun ayrılır.Bu sütunu içeren matrise genişletilmiş denir.

Bu, Gauss çözümünün çok genel bir açıklamasıdır. Sistem birdenbire çözüm bulamazsa ne olur? Yoksa sonsuz sayıda var mı? Bu ve daha birçok soruyu cevaplamak için Gauss yönteminin çözümünde kullanılan tüm unsurları ayrı ayrı ele almak gerekir.

Matrisler, özellikleri

Matriste gizli bir anlam yoktur. Daha sonra işlemek için verileri kaydetmenin uygun bir yolu. Okul çocuklarının bile onlardan korkmasına gerek yok.

Matris boyutlandırılmıştır. "Genişliği" satır sayısıdır (m), "uzunluğu" sütun sayısıdır (n). Daha sonra A matrisinin boyutu (belirlemeleri için genellikle büyük Latin harfleri kullanılır) A m × n olarak gösterilecektir. m = n ise, bu matris karedir ve m = n onun sırasıdır. Buna göre, A matrisinin herhangi bir elemanı, satır ve sütun sayısı ile gösterilebilir: a xy; x - satır numarası, değiştirme, y - sütun numarası, değiştirme.

determinant

Determinantın yalnızca bir kare matris için hesaplanabileceğini belirtmek son derece önemlidir. Dikdörtgen bir matris için şunları yapabilirsiniz: satır ve sütun sayısından en azını seçin (k olsun) ve ardından matriste k sütunu ve k satırı keyfi bir şekilde işaretleyin. Seçili sütunların ve satırların kesişimindeki elemanlar yeni bir kare matris oluşturacaktır. Böyle bir matrisin determinantı sıfır olmayan bir sayı ise, orijinal dikdörtgen matrisin taban minörü olarak adlandırılacaktır.

Sistem sınıflandırması

Bu arada, işler rütbeye göre, SLAE ayrılabilir:

Eklem yeri. Sahip olmak uyumlu sistemlerde, ana matrisin sırası (yalnızca katsayılardan oluşur), genişletilmiş olanın sırası ile (bir serbest üye sütunu ile) çakışır. Bu tür sistemlerin bir çözümü vardır, ancak mutlaka bir tane olması gerekmez, bu nedenle ortak sistemler ayrıca aşağıdakilere ayrılır:
- belirli- tek bir çözüme sahip olmak. Bazı sistemlerde, matrisin rankı ve bilinmeyenlerin sayısı (veya aynı olan sütunların sayısı) eşittir;
- Tanımsız - sonsuz sayıda çözümle. Bu tür sistemler için matrislerin sırası, bilinmeyenlerin sayısından daha azdır.
Uyumsuz. Sahip olmak bu tür sistemlerin ana ve genişletilmiş matrislerinin sıraları çakışmaz. Uyumsuz sistemlerin çözümleri yoktur.

Temel dönüşümler

Çizgilerin permütasyonu. Açıkçası, sistem notasyonundaki denklemlerin sırasını değiştirirseniz, bu, çözümü hiçbir şekilde etkilemeyecektir. Sonuç olarak, bu sistemin matrisinde, elbette, ücretsiz üyeler sütununu unutmadan, satırları da değiştirebilirsiniz.
Doğrunun tüm elemanlarının bir faktörle çarpımı. Çok yararlı! Matristeki büyük sayıları azaltmak veya sıfırları kaldırmak için kullanılabilir. Her zamanki gibi birçok çözüm değişmeyecek ve daha fazla işlem daha uygun hale gelecektir. Ana şey, katsayının sıfıra eşit olmamasıdır.
Orantılı katsayılı satırları silin. Bu kısmen önceki noktadan kaynaklanmaktadır. Matristeki iki veya daha fazla satırın orantılı katsayıları varsa, o zaman satırlardan birini orantılılık katsayısıyla çarparken / bölerken, iki (veya yine, daha fazla) kesinlikle aynı satır elde edilir ve fazlalıkları kaldırabilir, yalnızca bir.
Boş bir satırı kaldırma. Dönüşümler sırasında, serbest terim de dahil olmak üzere tüm öğelerin sıfır olduğu bir yerde bir dize ortaya çıkarsa, böyle bir dize sıfır olarak adlandırılabilir ve matristen atılabilir.
Belirli bir katsayı ile çarpılarak (karşılık gelen sütunlara göre) bir sıradaki öğelerin öğelerine ekleme. En ince ve en önemli dönüşüm. Daha ayrıntılı olarak üzerinde durmaya değer.

Bir faktörle çarpılan bir satır ekleme

Anlama kolaylığı için, bu süreci adım adım atmaya değer. Matristen iki satır alınır:

11 a 12 ... 1n | b1

21 a 22 ... 2n | b2

Birinciyi ikinciye eklemeniz gerektiğini varsayalım, "-2" katsayısı ile çarpılır.

bir "21 = bir 21 + -2 × bir 11

a "22 = 22 + -2 × 12

a "2n = a 2n + -2 × bir 1n

Ardından matristeki ikinci satır yenisiyle değiştirilir ve birincisi değişmeden kalır.

11 a 12 ... 1n | b1

a "21 a" 22 ... a "2n | b 2

Genel olarak

Bir sistem olsun. m tane denklemi ve n tane bilinmeyen kökü var. Aşağıdaki gibi yazılabilir:

Ana matris, sistem katsayılarından oluşur. Genişletilmiş matrise bir serbest üyeler sütunu eklenir ve kolaylık olması için bir çizgi ile ayrılır.

matrisin ilk satırı k = (-a 21 / a 11) katsayısı ile çarpılır;
matrisin ilk değiştirilmiş satırı ve ikinci satırı eklenir;
ikinci satır yerine, önceki paragraftaki toplamanın sonucu matrise eklenir;
şimdi yeni ikinci satırdaki ilk katsayı 11 × (-a 21 / a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0'dır.

katsayısı k = (-a 32 / 22);
ikinci değiştirilmiş satır "geçerli" satıra eklenir;
toplamanın sonucu üçüncü, dördüncü vb. satırlarda değiştirilirken birinci ve ikinci satırlar değişmeden kalır;
matrisin satırlarında, ilk iki eleman zaten sıfıra eşittir.

Çözüm olmadığında

Çözümler sonsuz olduğunda

Belirli örneklere dayalı çözüm

İşte bir denklem sistemi.

Kolaylık sağlamak için matrisini hemen oluşturmak daha iyidir

ikinci satır: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3

a "21 = 21 + k × 11 = 3 + (-3) × 1 = 0

a "22 = a 22 + k × a 12 = -1 + (-3) × 2 = -7

a "23 = a 23 + k × a 13 = 1 + (-3) × 4 = -11

b "2 = b 2 + k × b 1 = 12 + (-3) × 12 = -24

üçüncü satır: k = (-a 3 1 / a 11) = (-5/1) = -5

a "3 1 = a 3 1 + k × a 11 = 5 + (-5) × 1 = 0

a "3 2 = a 3 2 + k × a 12 = 1 + (-5) × 2 = -9

a "3 3 = a 33 + k × a 13 = 2 + (-5) × 4 = -18

b "3 = b 3 + k × b 1 = 3 + (-5) × 12 = -57

Şimdi kafa karıştırmamak için dönüşümlerin ara sonuçlarını içeren bir matris yazmak gerekiyor.

Ayrıca üçüncü satırda tüm öğelerin üçün katları olduğunu belirtmekte fayda var. Ardından, her bir elemanı "-1/3" ile çarparak (eksi - negatif değerleri kaldırmak için aynı anda) dizeyi bu sayı ile kısaltabilirsiniz.

k = (-a 32 / a 22) = (-3 / 7) = -3/7 kesirler ve ancak daha sonra, cevaplar alındığında, yuvarlamaya ve başka bir gösterim biçimine çevirmeye değip değmeyeceğine karar verin)

a "32 = 32 + k × 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a "33 = a 33 + k × a 23 = 6 + (-3/7) × 11 = -9/7

b "3 = b 3 + k × b 2 = 19 + (-3/7) × 24 = -61/7

Matris yeni değerlerle tekrar yazılır.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Şimdi her şey güzel. Mesele küçük - matrisi tekrar bir denklem sistemi şeklinde yazmak ve kökleri hesaplamak

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

Şimdi köklerin bulunacağı algoritmaya Gauss yönteminde ters hareket denir. Denklem (3) z değerini içerir:

y = (24 - 11 × (61/9)) / 7 = -65/9

Ve ilk denklem x'i bulmanızı sağlar:

x = (12 - 4z - 2y) / 1 = 12 - 4 × (61/9) - 2 × (-65/9) = -6/9 = -2/3

Böyle bir sisteme eklem ve hatta kesin, yani benzersiz bir çözüme sahip olmak deme hakkımız var. Cevap aşağıdaki formda yazılmıştır:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Tanımsız bir sistem örneği

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

İlk olarak, her zamanki gibi genişletilmiş bir matris derlenir.

İlk satırın elemanlarını sırasıyla katsayılarının her biri ile çarparak ve gerekli satırlarla toplayarak aşağıdaki formda bir matris elde ederiz:

Sonuç böyle bir matristir. Sistem henüz yazılmadı, burada temel değişkenleri belirlemek gerekiyor - 11 = 1 ve 22 = 1 katsayılarıyla ayakta ve serbest - geri kalan her şey.

İkinci denklemde yalnızca bir temel değişken vardır - x 2. Dolayısıyla buradan serbest olan x 3, x 4, x 5 değişkenleri cinsinden yazılarak ifade edilebilir.

Ortaya çıkan ifadeyi ilk denklemde değiştirin.

Sonuç, tek temel değişkenin x 1 olduğu bir denklemdir. Aynısını x2 ile de yapalım.

İki tane olan tüm temel değişkenler üç serbest değişken cinsinden ifade edilir, şimdi cevabı genel formda yazabilirsiniz.

Ayrıca sistemin özel çözümlerinden birini de belirtebilirsiniz. Bu gibi durumlarda, kural olarak, serbest değişkenler için değerler olarak sıfırlar seçilir. O zaman cevap şöyle olurdu:

16, 23, 0, 0, 0.

Tutarsız bir sistem örneği

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Her zamanki gibi, bir matris hazırlanır:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

Ve kademeli bir görünüme indirgenir:

k 1 = -2k 2 = -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

İlk dönüşümden sonra, üçüncü satır formun bir denklemini içerir.

çözümü olmayan. Bu nedenle sistem tutarsızdır ve cevap boş kümedir.

Yöntemin avantajları ve dezavantajları

SLAE'leri kağıt üzerinde bir kalemle çözmek için hangi yöntemi seçerseniz, bu makalede tartışılan yöntem en çekici görünüyor. Temel dönüşümleri karıştırmak, bir determinantı veya akıllı bir ters matrisi manuel olarak aramanız gerektiğinden çok daha zordur. Bununla birlikte, örneğin elektronik tablolar gibi bu tür verilerle çalışmak için programlar kullanırsanız, bu tür programların zaten matrislerin ana parametrelerini hesaplamak için algoritmalara sahip olduğu ortaya çıkar - belirleyici, küçükler, ters vb. Ve makinenin bu değerleri kendisinin hesaplayacağından ve yanılmadığından eminseniz, matris yöntemini veya Cramer formüllerini kullanmak daha uygundur, çünkü uygulamaları determinantların ve ters matrislerin hesaplanmasıyla başlar ve biter.