Temel karar sistemi (özel örnek). Doğrusal homojen denklemler sistemine önemsiz ve temel bir çözüm nasıl bulunur?

Homojen bir sistem her zaman tutarlıdır ve önemsiz bir çözüme sahiptir
... Önemsiz bir çözümün var olması için, matrisin sırasının bilinmeyenlerin sayısından azdı:

Temel bir çözüm sistemi homojen sistem
sütun vektörleri şeklinde çözüm sistemi olarak adlandırılır
kanonik temele karşılık gelen, yani keyfi sabitlerin olduğu temel
geri kalanı sıfıra eşitlenirken dönüşümlü olarak bire eşit olarak ayarlanır.

O halde homojen sistemin genel çözümü şu şekildedir:

nerede
- keyfi sabitler. Başka bir deyişle, genel bir çözüm, temel bir çözüm sisteminin doğrusal bir kombinasyonudur.

Böylece, serbest bilinmeyenlere sırayla bir değeri verilirse, diğerlerinin sıfıra eşit olduğu varsayılarak, genel çözümden temel çözümler elde edilebilir.

Misal... Sisteme bir çözüm bulalım

Kabul edelim, sonra çözümü şu şekilde alıyoruz:

Şimdi temel bir karar sistemi oluşturalım:

Genel çözüm şu şekilde yazılacaktır:

Homojen doğrusal denklemler sisteminin çözümleri şu özelliklere sahiptir:

Başka bir deyişle, homojen bir sistemin çözümlerinin herhangi bir doğrusal kombinasyonu yine bir çözümdür.

Doğrusal denklem sistemlerini Gauss yöntemi ile çözme

Doğrusal denklem sistemlerinin çözümü, birkaç yüzyıldır matematikçilerin ilgisini çekmiştir. İlk sonuçlar 18. yüzyılda elde edildi. 1750'de G. Kramer (1704 –1752) kare matrislerin belirleyicileri üzerine çalışmalarını yayınladı ve ters matrisi bulmak için bir algoritma önerdi. 1809'da Gauss, eliminasyon yöntemi olarak bilinen yeni bir çözüm yönteminin ana hatlarını çizdi.

Gauss yöntemi veya bilinmeyenlerin art arda ortadan kaldırılması yöntemi, temel dönüşümler kullanılarak, bir denklem sisteminin bir adımlı (veya üçgen) formdaki eşdeğer bir sisteme indirgenmesi gerçeğinden oluşur. Bu tür sistemler, tüm bilinmeyenleri belirli bir sırayla sırayla bulmayı mümkün kılar.

Varsayalım ki sistem (1)
(ki bu her zaman mümkündür).

(1)

Sırayla ilk denklemi sözde ile çarparak uygun numaralar

ve çarpma sonucunu sistemin karşılık gelen denklemleriyle ekleyerek, birincisi hariç tüm denklemlerin bilinmeyenlerden yoksun olacağı eşdeğer bir sistem elde ederiz. x 1

(2)

Şimdi sistemin (2) ikinci denklemini uygun sayılarla çarparız.

ve onu ikincil olanlara ekleyerek, değişkeni hariç tutuyoruz üçüncü ile başlayan tüm denklemlerin.

Bu sürece devam etmek
aldığımız adım:

(3)

Numaralardan en az biri
sıfır değilse, karşılık gelen eşitlik tutarsızdır ve sistem (1) tutarsızdır. Tersine, herhangi bir tutarlı sayı sistemi için
sıfıra eşittir. Numara sistem (1) matrisinin rankından başka bir şey değildir.

Sistem (1) 'den (3)' e geçiş denir direkt kurs Gauss yöntemi ve (3) 'ten bilinmeyenleri bulma - tersine çevirmek .

Yorum Yap : Denklemlerin kendisiyle değil, sistemin (1) genişletilmiş matrisiyle dönüşüm yapmak daha uygundur.

Misal... Sisteme bir çözüm bulalım

Genişletilmiş sistem matrisini yazalım:

Sırasıyla (-2), (-3), (-2) ile çarpılarak 2,3,4 satırlarına ekleyin:

2. ve 3. satırları yerlerinde değiştirelim, sonra ortaya çıkan matriste 2. satırı 4. satıra ekleyelim, :

4. satıra 3. satırın çarpımı
:

Apaçık ortada
bu nedenle sistem uyumludur. Ortaya çıkan denklem sisteminden

çözümü ters ikame ile buluruz:

,
,
,
.

Örnek 2. Sisteme bir çözüm bulun:

Sistemin uyumsuz olduğu açıktır, çünkü
, ve
.

Gauss Yönteminin Avantajları :

Cramer'in yönteminden daha az emek yoğun.

Sistemin uyumluluğunu açık bir şekilde kurar ve bir çözüme izin verir.

Herhangi bir matrisin sırasını belirlemeyi mümkün kılar.

Homojen doğrusal cebirsel denklem sistemleri

Dersler içinde gauss yöntemi ve Ortak bir çözüme sahip uyumsuz sistemler / sistemlerdüşündük homojen olmayan doğrusal denklem sistemlerinerede Ücretsiz Üye(genellikle sağdadır) en az bir Denklemlerin yüzdesi sıfır değildi.
Ve şimdi, iyi bir ısınmadan sonra matrisin sıralaması, tekniği cilalamaya devam edeceğiz temel dönüşümler üzerinde homojen doğrusal denklem sistemi.
İlk paragraflarda malzeme sıkıcı ve sıradan görünebilir, ancak bu izlenim aldatıcıdır. Teknikleri daha da geliştirmenin yanı sıra birçok yeni bilgi de olacak, bu yüzden lütfen bu makaledeki örnekleri ihmal etmemeye çalışın.

Homojen bir doğrusal denklem sistemi nedir?

Cevap kendini gösteriyor. Doğrusal denklem sistemi, serbest terim ise homojendir. her biri sistemin denklemleri sıfıra eşittir. Örneğin:

Oldukça açık ki homojen bir sistem her zaman uyumluduryani her zaman bir çözümü vardır. Ve her şeyden önce sözde önemsiz karar ... Sıfatın anlamını hiç anlamayanlar için önemsiz, bespontov anlamına gelir. Elbette akademik değil, ama anlaşılır \u003d) ... Neden çalıların arasında dolaşıp, bu sistemin başka bir çözümü olup olmadığını öğrenelim:

örnek 1

Karar: homojen bir sistemi çözmek için yazmak gerekir sistem matrisi ve temel dönüşümlerin yardımıyla onu aşamalı bir forma getirin. Dikey çubuğu ve serbest üyelerin sıfır sütununu buraya yazmaya gerek olmadığını unutmayın - sonuçta, sıfırlarla ne yaparsanız yapın, sıfır olarak kalacaklar:

(1) –2 ile çarpılan ilk satır ikinci satıra eklenmiştir. Üçüncü satıra –3 ile çarpılan ilk satır eklenmiştir.

(2) -1 ile çarpılan ikinci satır üçüncü satıra eklenmiştir.

Üçüncü sırayı 3'e bölmek pek mantıklı değil.

Temel dönüşümler sonucunda eşdeğer homojen bir sistem elde edildi ve Gauss yönteminin tersini uygulayarak çözümün benzersiz olduğunu doğrulamak kolaydır.

Cevap:

Bariz bir kriter formüle edelim: homojen doğrusal denklem sistemi, sadece önemsiz çözüm, Eğer bir sistem matrisi sıralaması (bu durumda 3) değişken sayısına eşittir (bu durumda - 3 adet).

Radyo alıcımızı temel dönüşüm dalgasına göre ısıtıyoruz ve ayarlıyoruz:

Örnek 2

Homojen bir doğrusal denklem sistemi çözün

Makaleden Bir matrisin sırasını nasıl bulabilirim? matris sayılarını aynı anda azaltmanın rasyonel yöntemini hatırlayın. Aksi takdirde, büyük ve sık sık ısıran balıkları kesmeniz gerekecektir. Dersin sonundaki ödevin yaklaşık bir örneği.

Sıfırlar iyi ve kullanışlıdır, ancak pratikte, sistemin matrisinin satırları olduğunda durum çok daha yaygındır. doğrusal bağımlı... Ve sonra ortak bir çözüm kaçınılmazdır:

Örnek 3

Homojen bir doğrusal denklem sistemi çözün

Karar: sistemin matrisini yazıyoruz ve temel dönüşümleri kullanarak onu aşamalı bir forma getiriyoruz. İlk işlem sadece tek bir değer elde etmeyi değil, aynı zamanda ilk sütundaki sayıları azaltmayı da amaçlamaktadır:

(1) -1 ile çarpılan üçüncü satır ilk satıra eklenmiştir. İkinci satır üçüncü satıra –2 ile çarpılarak eklenmiştir. Sol üstte, daha fazla dönüşüm için genellikle çok daha uygun olan "eksi" olan bir birim var.

(2) İlk iki satır aynı, biri silinmiş. Açıkçası, çözümü ayarlamadım - sadece oldu. Dönüşümleri bir şablonda gerçekleştirirseniz, o zaman doğrusal ilişki çizgiler biraz sonra görünecekti.

(3) İkinci sıra, 3 ile çarpılarak üçüncü sıraya eklenmiştir.

(4) İlk satırın işareti değiştirildi.

Temel dönüşümlerin bir sonucu olarak, eşdeğer bir sistem elde edildi:

Algoritma tam olarak aynı şekilde çalışır heterojen sistemler... "Basamaklar üzerinde oturan" değişkenler ana değişkenlerdir, "adımları" alamayan değişken ücretsizdir.

Temel değişkenleri bir serbest değişken cinsinden ifade edelim:

Cevap: ortak karar:

Genel formülde önemsiz bir çözüm bulunur ve bunu ayrı ayrı yazmak gereksizdir.

Kontrol ayrıca olağan şemaya göre yapılır: elde edilen genel çözüm sistemin her denkleminin sol tarafına ikame edilmelidir ve tüm ikameler için yasal bir sıfır elde edilir.

Bu konuda sessizce ve barışçıl bir şekilde bitirilebilirdi, ancak homojen bir denklem sisteminin çözümünün genellikle temsil edilmesi gerekir. vektör biçiminde vasıtasıyla temel karar sistemi... Lütfen geçici olarak unutun analitik Geometri, şimdi hakkında bir makalede biraz açtığım genel cebirsel anlamda vektörler hakkında konuşacağız. matris sıralaması... Terminolojiyi gölgelemeye gerek yok, her şey oldukça basit.

Doğrusal homojen denklem sistemleri - ∑a k i x i \u003d 0. m\u003e n veya m formundadır. RangA \u003d rangB olduğundan, homojen doğrusal denklem sistemi her zaman uyumludur. Kesinlikle sıfırlardan oluşan bir çözümü vardır ki buna önemsiz.

Servis amacı... Çevrimiçi hesaplayıcı, SLAE'ye önemsiz olmayan ve temel bir çözüm bulmak için tasarlanmıştır. Ortaya çıkan çözüm bir Word dosyasına kaydedilir (örnek çözüme bakın).

Talimat. Matrisin boyutunu seçin:

Doğrusal homojen denklem sistemlerinin özellikleri

Sistemin sahip olması için önemsiz çözümlermatrisinin sırasının bilinmeyenlerin sayısından az olması gerekli ve yeterlidir.

Teoremi... M \u003d n durumundaki sistem, ancak ve ancak bu sistemin determinantı sıfır ise, önemsiz bir çözüme sahiptir.

Teoremi... Sistem çözümlerinin herhangi bir doğrusal kombinasyonu da bu sistem için bir çözümdür.
Tanım... Doğrusal homojen denklemler sisteminin çözüm setine denir temel karar sistemibu set doğrusal olarak bağımsız çözümlerden oluşuyorsa ve sisteme yönelik herhangi bir çözüm, bu çözümlerin doğrusal bir kombinasyonuysa.

Teorem. Sistemin matrisinin rankı r, bilinmeyenlerin sayısından n daha az ise, o zaman (n-r) çözümlerinden oluşan temel bir çözüm sistemi vardır.

Doğrusal homojen denklem sistemlerini çözmek için algoritma

Matrisin sırasını bulun.
Baz minörünü vurgulayın. Bağımlı (temel) ve özgür bilinmeyenleri seçelim.
Katsayıları temel minöre dahil edilmeyen sistemin denklemlerini sileriz, çünkü bunlar diğerlerinin sonuçlarıdır (temel minör teoremi ile).
Serbest bilinmeyenleri içeren denklemlerin terimleri sağ tarafa aktarılır. Sonuç olarak, r bilinmeyenli, verilene eşdeğer, determinantı sıfır olmayan bir r denklem sistemi elde ederiz.
Ortaya çıkan sistemi bilinmeyenleri ortadan kaldırarak çözüyoruz. Bağımlı değişkenleri özgür olanlar cinsinden ifade eden ilişkileri buluyoruz.
Matrisin sıralaması değişkenlerin sayısına eşit değilse, o zaman sistem için temel çözümü buluruz.
Rang \u003d n durumunda, önemsiz bir çözümümüz var.

Bir örnek. Vektör sisteminin temelini bulun (a 1, a 2, ..., a m), vektörleri tabana göre sıralayın ve ifade edin. 1 \u003d (0,0,1, -1), a 2 \u003d (1,1,2,0), a 3 \u003d (1,1,1,1) ve 4 \u003d (3,2,1 , 4) ve 5 \u003d (2,1,0,3).
Sistemin ana matrisini yazalım:

3. satırı (-3) ile çarpın. 4. satırı 3. satıra ekleyin:

0	0	1	-1
0	0	-1	1
0	-1	-2	1
3	2	1	4
2	1	0	3

4. satırı (-2) ile çarpın. 5. satırı (3) ile çarpın. 4. satıra 5. satırı ekleyelim:
1. satıra 2. satırı ekleyelim:
Matrisin rankını bulalım.
Bu matrisin katsayılarına sahip sistem, orijinal sisteme eşdeğerdir ve şu şekle sahiptir:
- x 3 \u003d - x 4
- x 2 - 2x 3 \u003d - x 4
2x 1 + x 2 \u003d - 3x 4
Bilinmeyenleri ortadan kaldırarak önemsiz bir çözüm buluyoruz:
Bağımlı değişkenler x 1, x 2, x 3 ile serbest x 4'ü ifade eden oranları aldık, yani genel bir çözüm bulduk:
x 3 \u003d x 4
x 2 \u003d - x 4
x 1 \u003d - x 4

Verilen matrisler

Bulun: 1) aA - bB,

Karar: 1) Matris çarpımı ve matris toplama kurallarını kullanarak sıralı olarak bulun.

2. Aşağıdaki durumlarda A * B'yi bulun

Karar: Matris çarpım kuralını kullanma

Cevap:

3. Belirli bir matris için minör M 31'i bulun ve determinantı hesaplayın.

Karar: Minor M 31, A'dan elde edilen matrisin determinantıdır.

3. satırı ve 1. sütunu sildikten sonra

1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.

A matrisini determinantını değiştirmeden dönüştürüyoruz (1. satırda sıfırlar yapıyoruz)





-3, -, -4

-10			-15
-20			-25
-4			-5

Şimdi A matrisinin determinantını 1. satırdaki ayrıştırma ile hesaplıyoruz

Cevap: М 31 \u003d 0, detA \u003d 0

Gauss yöntemi ve Cramer yöntemi ile çözün.

2x 1 + x 2 + x 3 \u003d 2

x 1 + x 2 + 3x 3 \u003d 6

2x 1 + x 2 + 2x 3 \u003d 5

Karar: Kontrol

Cramer yöntemi uygulanabilir

Sistem çözümü: x 1 \u003d D 1 / D \u003d 2, x 2 \u003d D 2 / D \u003d -5, x 3 \u003d D 3 / D \u003d 3

Gauss yöntemini uygulayalım.

Sistemin genişletilmiş matrisini üçgen bir forma getirelim.

Hesaplamaların rahatlığı için satırları değiştirelim:

2. satırı (k \u003d -1 / 2 \u003d -1 / 2 ) ve 3'üne ekleyin:



	1 / 2		7 / 2

1. satırı (k \u003d -2 / 2 \u003d -1 ) ve 2.'ye ekleyin:

Orijinal sistem artık şu şekilde yazılabilir:

x 1 \u003d 1 - (1/2 x 2 + 1/2 x 3)

x 2 \u003d 13 - (6x 3)

2. satırdan ifade ediyoruz

1. satırdan ifade ediyoruz

Çözüm aynı.

Cevap: (2; -5; 3)

Sistem ve SDG'ye genel bir çözüm bulun

13x 1 - 4x 2 - x 3 - 4x 4 - 6x 5 \u003d 0

11x 1 - 2x 2 + x 3 - 2x 4 - 3x 5 \u003d 0

5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 4x 4 + 6x 5 \u003d 0

7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 \u003d 0

Karar: Gauss yöntemini uygulayalım. Sistemin genişletilmiş matrisini üçgen bir forma getirelim.

	-4	-1	-4	-6
	-2		-2	-3


x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

1. satırı (-11) ile çarpın. 2. satırı (13) ile çarpın. 1. satıra 2. satırı ekleyelim:


-2	-2	-3

2. satırı (-5) ile çarpın. 3. satırı (11) ile çarpın. 3. satırı 2. satıra ekleyelim:

3. satırı (-7) ile çarpın. 4. satırı (5) ile çarpın. 4. satırı 3. satıra ekleyin:

İkinci denklem, geri kalanının doğrusal bir kombinasyonudur

Matrisin rankını bulalım.

	-18	-24	-18	-27

x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

Vurgulanan küçük, en yüksek dereceye (olası küçükler arasında) sahiptir ve sıfırdan farklıdır (zıt köşegen üzerindeki elemanların çarpımına eşittir), bu nedenle, çaldı (A) \u003d 2.

Bu minör temeldir. Bilinmeyenler x 1, x 2 için katsayıları içerir, bu da x 1, x 2 bilinmeyenlerin bağımlı (temel) ve x 3, x 4, x 5'in serbest olduğu anlamına gelir.

Bu matrisin katsayılarına sahip sistem, orijinal sisteme eşdeğerdir ve şu şekle sahiptir:

18x 2 \u003d 24x 3 + 18x 4 + 27x 5

7x 1 + 2x 2 \u003d - 5x 3 - 2x 4 - 3x 5

Bilinmeyenleri ortadan kaldırarak buluyoruz ortak karar:

x 2 \u003d - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5

x 1 \u003d - 1/3 x 3

(N-r) çözümlerinden oluşan temel karar sistemini (FDS) bulun. Bizim durumumuzda, n \u003d 5, r \u003d 2, bu nedenle, temel çözüm sistemi 3 çözümden oluşur ve bu çözümler doğrusal olarak bağımsız olmalıdır.

Satırların doğrusal olarak bağımsız olabilmesi için satır elemanlarından oluşan matrisin rankının satır sayısına, yani 3'e eşit olması gerekli ve yeterlidir.

Sıfırdan farklı 3. mertebeden determinantın satırlarından serbest bilinmeyenler x 3, x 4, x 5 değerleri vermek ve x 1, x 2 hesaplamak yeterlidir.

En basit sıfırdan farklı belirleyici, kimlik matrisidir.

Ama burada almak daha uygun

Genel çözümü kullanarak buluyoruz:

a) x 3 \u003d 6, x 4 \u003d 0, x 5 \u003d 0 Þ x 1 \u003d - 1/3 x 3 \u003d -2, x 2 \u003d - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 \u003d - 4 Þ

I çözüm FSR: (-2; -4; 6; 0; 0)

b) x 3 \u003d 0, x 4 \u003d 6, x 5 \u003d 0 Þ x 1 \u003d - 1/3 x 3 \u003d 0, x 2 \u003d - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 \u003d - 6 Þ

II çözüm FSR: (0; -6; 0; 6; 0)

c) x 3 \u003d 0, x 4 \u003d 0, x 5 \u003d 6 Þ x 1 \u003d - 1/3 x 3 \u003d 0, x 2 \u003d - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 \u003d -9 Þ

III FSR çözümü: (0; - 9; 0; 0; 6)

Þ FSR: (-2; -4; 6; 0; 0), (0; -6; 0; 6; 0), (0; - 9; 0; 0; 6)

6. Verilen: z 1 \u003d -4 + 5i, z 2 \u003d 2 - 4i. Bulun: a) z 1 - 2z 2 b) z 1 z 2 c) z 1 / z 2

Karar: a) z 1 - 2z 2 \u003d -4 + 5i + 2 (2-4i) \u003d -4 + 5i + 4-8i \u003d -3i

b) z 1 z 2 \u003d (-4 + 5i) (2-4i) \u003d -8 + 10i + 16i-20i 2 \u003d (i 2 \u003d -1) \u003d 12 + 26i

Cevap: a) -3i b) 12 + 26i c) -1.4 - 0.3i

Okula geri döndüğümüzde, her birimiz denklemleri ve tabii ki denklem sistemlerini inceledik. Ancak pek çok insan bunları çözmenin birkaç yolu olduğunu bilmiyor. Bugün, ikiden fazla eşitlikten oluşan bir doğrusal cebirsel denklem sistemini çözmek için tüm yöntemleri ayrıntılı olarak analiz edeceğiz.

Tarih

Bugün denklem çözme sanatının ve sistemlerinin eski Babil ve Mısır'dan kaynaklandığı bilinmektedir. Bununla birlikte, 1556'da İngiliz matematikçi Record tarafından tanıtılan "\u003d" eşittir işaretinin ortaya çıkmasından sonra her zamanki formlarındaki eşitlikler ortaya çıktı. Bu arada, bu işaret bir nedenden dolayı seçildi: iki paralel eşit bölüm anlamına geliyor. Doğrusu, eşitliğin daha iyi bir örneği yoktur.

Bilinmeyenlerin modern harf atamalarının ve derece işaretlerinin kurucusu Fransız bir matematikçidir, ancak onun atamaları günümüzdekilerden önemli ölçüde farklıydı. Örneğin, bilinmeyen bir sayının karesini Q harfiyle (Latince "quadratus") ve küpü C harfiyle (Latince "cubus") gösterdi. Bu gösterimler şimdi garip görünüyor, ancak o zaman doğrusal cebirsel denklem sistemlerini yazmanın en anlaşılır yolu buydu.

Bununla birlikte, o zamanki çözüm yöntemlerinin dezavantajı, matematikçilerin yalnızca pozitif kökleri düşünmesiydi. Belki de bunun nedeni, negatif değerlerin pratik bir uygulamasının olmamasıdır. Öyle ya da böyle, 16. yüzyılda negatif kökleri ilk düşünenler İtalyan matematikçiler Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano ve Rafael Bombelli idi. Ve modern görünüm, ana çözme yöntemi (ayrımcı aracılığıyla), Descartes ve Newton'un çalışmaları sayesinde yalnızca 17. yüzyılda yaratıldı.

18. yüzyılın ortalarında İsviçreli matematikçi Gabriel Kramer, doğrusal denklem sistemlerini çözmeyi kolaylaştırmanın yeni bir yolunu buldu. Bu yönteme daha sonra onun adı verildi ve bugüne kadar onu kullanıyoruz. Ancak Cramer'in yönteminden biraz sonra bahsedeceğiz, ancak şimdilik çözümleri için lineer denklemleri ve yöntemleri sistemden ayrı olarak tartışacağız.

Doğrusal Denklemler

Doğrusal denklemler, değişken (ler) ile en basit eşitliklerdir. Cebirsel olarak sınıflandırılırlar. aşağıdaki gibi genel biçimde yazılmıştır: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... a n * x n \u003d b. Sistemleri ve matrisleri daha fazla derlerken bu formdaki temsillerine ihtiyacımız olacak.

Doğrusal cebirsel denklem sistemleri

Bu terimin tanımı şu şekildedir: ortak bilinmeyenleri ve ortak bir çözümü olan bir dizi denklemdir. Kural olarak, okulda herkes iki hatta üç denklemli sistemlerle çözüldü. Ancak dört veya daha fazla bileşenli sistemler var. Önce bunları nasıl yazacağımızı bulalım, böylece daha sonra çözmek daha uygun olur. İlk olarak, doğrusal cebirsel denklem sistemleri, tüm değişkenler uygun indeks 1,2,3 ve benzeri ile x olarak yazılırsa daha iyi görünecektir. İkinci olarak, tüm denklemler kanonik biçime getirilmelidir: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... a n * x n \u003d b.

Tüm bu adımlardan sonra, doğrusal denklem sistemlerine nasıl bir çözüm bulacağımızı anlatmaya başlayabiliriz. Matrisler bunun için çok kullanışlıdır.

Matrisler

Matris, satır ve sütunlardan oluşan bir tablodur ve öğeleri kesişme noktasındadır. Bunlar belirli değerler veya değişkenler olabilir. Çoğu zaman, öğeleri belirtmek için alt simgeler bunların altına yerleştirilir (örneğin, 11 veya 23). İlk indeks satır numarası ve ikincisi sütundur. Matrisler üzerinde ve diğer herhangi bir matematiksel eleman üzerinde çeşitli işlemler gerçekleştirilebilir. Böylece şunları yapabilirsiniz:

2) Matrisi herhangi bir sayı veya vektör ile çarpın.

3) Transpoze: matrisin satırlarını sütunlara ve sütunları satırlara dönüştürün.

4) Birinin satır sayısı diğerinin sütun sayısına eşitse matrisleri çarpın.

Gelecekte bizim için faydalı olacakları için tüm bu teknikleri daha detaylı tartışacağız. Matrislerin çıkarılması ve toplanması çok basittir. Aynı boyutta matrisler aldığımız için, bir tablonun her bir öğesi diğerinin her bir öğesine karşılık gelir. Bu nedenle, bu iki elemanı ekleriz (çıkarırız) (matrislerinde aynı yerde durmaları önemlidir). Bir matrisi bir sayı veya vektörle çarparken, matrisin her bir öğesini bu sayı (veya vektör) ile çarpmanız yeterlidir. Aktarma çok ilginç bir süreçtir. Bazen, örneğin bir tabletin veya telefonun yönünü değiştirirken, gerçek hayatta görmek çok ilginçtir. Masaüstündeki simgeler bir matristir ve konumu değiştirdiğinizde, yeri değiştirilir ve genişler, ancak yüksekliği azalır.

Böyle bir süreci de inceleyelim: Bizim için yararlı olmasa da, yine de bilmekte fayda var. İki matrisi ancak bir tablodaki sütun sayısı diğerindeki satır sayısına eşitse çarpabilirsiniz. Şimdi bir matrisin bir satırının elemanlarını ve diğerinin karşılık gelen sütununun elemanlarını alalım. Bunları birbirleriyle çarpıyoruz ve sonra ekliyoruz (yani, örneğin, a 11 ve a 12'nin b 12 ve b 22 öğelerinin çarpımı şuna eşit olacaktır: a 11 * b 12 + a 12 * b 22). Böylece tablonun bir öğesi elde edilir ve benzer şekilde daha fazla doldurulur.

Şimdi bir doğrusal denklem sisteminin nasıl çözüldüğüne bakmaya başlayabiliriz.

Gauss yöntemi

Bu konu okulda tartışılmaya başlandı. "İki doğrusal denklem sistemi" kavramını iyi biliyoruz ve çözebiliyoruz. Peki ya denklem sayısı ikiden fazlaysa? Bu bize yardımcı olacak

Elbette, sistemden bir matris yaparsanız bu yöntemi kullanmak uygundur. Ama onu dönüştüremez ve en saf haliyle çözemezsiniz.

Öyleyse, doğrusal Gauss denklem sistemi bu yöntemle nasıl çözülür? Bu arada, bu yönteme onun adı verilmesine rağmen, antik çağda keşfedildi. Gauss şunları önerir: eninde sonunda tüm seti adım adım bir forma getirmek için denklemlerle işlemler gerçekleştirmek. Yani, yukarıdan aşağıya (doğru yerleştirilmişse) ilk denklemden sonuncuya bilinmeyen bir durumda azalması gerekir. Başka bir deyişle, diyelim ki üç denklem elde ettiğimizden emin olmalıyız: ilkinde - üç bilinmeyen, ikinci - iki, üçüncü - bir. Sonra son denklemden ilk bilinmeyeni buluruz, değerini ikinci veya birinci denkleme koyarız ve sonra kalan iki değişkeni buluruz.

Cramer yöntemi

Bu yöntemde ustalaşmak için, matrisleri toplama, çıkarma becerilerine sahip olmak çok önemlidir ve ayrıca determinantları bulabilmeniz gerekir. Bu nedenle, tüm bunları kötü yaparsanız veya nasıl yapacağınızı bilmiyorsanız, öğrenmek ve pratik yapmak zorunda kalacaksınız.

Bu yöntemin özü nedir ve doğrusal Cramer denklem sisteminin elde edilmesi için nasıl yapılır? Her şey çok basit. Doğrusal cebirsel denklemler sisteminin sayısal (hemen hemen her zaman) katsayılarından bir matris oluşturmalıyız. Bunu yapmak için, bilinmeyenlerin önündeki sayıları alıp sistemde yazıldıkları sıraya göre tabloya diziyoruz. Sayıdan önce "-" işareti varsa, negatif bir katsayı yazın. Bu yüzden, bilinmeyenler için katsayıların ilk matrisini derledik, eşit işaretlerden sonraki sayılar hariç (tabii ki, denklem yalnızca bir sayı sağda ve katsayıları olan tüm bilinmeyenler solda olduğunda kanonik forma indirgenmelidir). O zaman birkaç tane daha matris oluşturmanız gerekir - her değişken için bir tane. Bunu yapmak için, ilk matrisi sırayla her sütunu katsayılarla ve eşittir işaretinden sonra sayılar sütunuyla değiştirin. Böylece, birkaç matris elde ederiz ve ardından bunların determinantlarını buluruz.

Niteleyicileri bulduktan sonra mesele küçük. Bir başlangıç \u200b\u200bmatrisimiz var ve farklı değişkenlere karşılık gelen birkaç sonuç matrisimiz var. Sistem çözümleri elde etmek için, ortaya çıkan tablonun determinantını ilk tablonun determinantına böleriz. Ortaya çıkan sayı, değişkenlerden birinin değeridir. Benzer şekilde, tüm bilinmeyenleri buluruz.

Öbür metodlar

Doğrusal denklem sistemlerine bir çözüm elde etmek için birkaç yöntem daha vardır. Örneğin, ikinci dereceden bir denklem sistemine çözümler bulmak için kullanılan ve aynı zamanda matrislerin kullanımıyla ilişkilendirilen sözde Gauss-Jordan yöntemi. Bir lineer cebirsel denklem sistemini çözmek için Jacobi'nin yöntemi de vardır. Bir bilgisayara adapte edilmesi en kolay olanıdır ve bilgi işlemde kullanılır.

Zor vakalar

Zorluk genellikle denklem sayısı değişken sayısından az olduğunda ortaya çıkar. O zaman kesin olarak, sistemin uyumsuz olduğunu (yani, köklerinin olmadığını) veya çözümlerinin sayısının sonsuza doğru gittiğini söyleyebiliriz. İkinci durumumuz varsa, o zaman bir doğrusal denklem sisteminin genel çözümünü yazmamız gerekir. En az bir değişken içerecektir.

Sonuç

İşte sonuna geliyoruz. Özetlemek gerekirse: Bir sistemin ve matrisin ne olduğunu analiz ettik, bir doğrusal denklemler sistemine genel bir çözüm bulmayı öğrendik. Ek olarak, diğer seçenekleri de değerlendirdik. Doğrusal denklem sisteminin nasıl çözüldüğünü bulduk: Gauss yöntemi ve Zor durumlar ve diğer çözüm bulma yolları hakkında konuştuk.

Aslında, bu konu çok daha kapsamlıdır ve daha iyi anlamak istiyorsanız, daha özel literatür okumanızı tavsiye ederiz.