Kök çıkarma işlemini pratikte başarılı bir şekilde kullanmak için, bu işlemin özelliklerine aşina olmanız gerekir.
Tüm özellikler formüle edilmiş ve sadece köklerin işaretleri altında yer alan değişkenlerin negatif olmayan değerleri için kanıtlanmıştır.
Teorem 1. Negatif olmayan iki çipselin çarpımının n'nci kökü (n = 2, 3, 4, ...), şu sayıların n'inci köklerinin çarpımına eşittir:
Yorum Yap:
1.
Teorem 1, radikal ifadenin ikiden fazla negatif olmayan sayının ürünü olduğu durumda geçerliliğini korur.
Teorem 2.Eğer,
ve n, 1'den büyük bir doğal sayıysa, eşitlik
Kısa bilgi Pratikte kullanımı daha uygun olan (kesin olmayan da olsa) formülasyon: kesrin kökü, köklerin kesrine eşittir.
Teorem 1, m'yi çarpmamıza izin verir sadece aynı dereceden kökler
, yani sadece aynı indekse sahip kökler.
Teorem 3 Eğer ,k bir doğal sayıdır ve n 1'den büyük bir doğal sayıdır, o zaman eşitlik
Yani bir kökü doğal bir dereceye yükseltmek için, kökten bir ifadeyi bu dereceye yükseltmek yeterlidir.
Bu Teorem 1'in bir sonucudur. Gerçekten de, örneğin, k = 3 için şunu elde ederiz: Aynı şekilde, k üssünün herhangi bir başka doğal değeri durumunda da akıl yürütebiliriz.
Teorem 4 Eğer ,k, n 1'den büyük doğal sayılardır, sonra eşitlik
Yani bir kökten kök çıkarmak için köklerin indislerini çarpmak yeterlidir.
Örneğin,
Dikkat olmak! Kökler üzerinde dört işlemin yapılabileceğini öğrendik: çarpma, bölme, üs alma ve kök çıkarma (kökten). Peki ya köklerin toplanması ve çıkarılması? Mümkün değil.
Örneğin, bunun yerine Gerçekten de yazmak mümkün değil, ancak şurası açık ki;
Teorem 5 Eğer kökün indisleri ve radikal ifade aynı doğal sayı ile çarpılır veya bölünürse kökün değeri değişmez, yani.
Görev çözme örnekleri
Örnek 1. Hesaplamak
Çözüm. Köklerin ilk özelliğini (Teorem 1) kullanarak şunu elde ederiz:
Örnek 2. Hesaplamak
Çözüm. Karışık sayıyı uygun olmayan bir kesre dönüştürün.
Köklerin ikinci özelliğini kullanıyoruz ( Teorem 2
), şunu elde ederiz:
Örnek 3. Hesaplamak: 
Çözüm. Cebirdeki herhangi bir formül, bildiğiniz gibi, sadece "soldan sağa" değil, aynı zamanda "sağdan sola" da kullanılır. Bu nedenle, köklerin ilk özelliği, formda gösterilebileceği ve tersine bir ifade ile değiştirilebileceği anlamına gelir. Aynısı köklerin ikinci özelliği için de geçerlidir. Bunu akılda tutarak, hesaplamaları yapalım.
Tebrikler: Bugün 8. sınıfın en çok kafa karıştıran konularından biri olan kökleri inceleyeceğiz. :)
Pek çok insanın kökler konusunda kafası karışır, karmaşık oldukları için değil (ki bu çok zordur - birkaç tanım ve birkaç özellik), çoğu okul ders kitabında kökler öyle bir ormanda belirlenir ki, sadece kitabın yazarları. ders kitaplarının kendileri bu karalamayı çözebilir. Ve o zaman bile sadece bir şişe iyi viskiyle. :)
Bu nedenle, şimdi kökün en doğru ve en yetkin tanımını vereceğim - gerçekten hatırlamanız gereken tek tanım. Ve ancak o zaman açıklayacağım: tüm bunların neden gerekli olduğunu ve pratikte nasıl uygulanacağını.
Ama önce, birçok ders kitabı derleyicisinin nedense "unuttuğu" önemli bir noktayı hatırlayın:
Kökler çift dereceli (en sevdiğimiz $ \ sqrt (a) $ yanı sıra her türlü $ \ sqrt (a) $ ve hatta $ \ sqrt (a) $) ve tek dereceli (her türlü $ \ sqrt) olabilir. (a) $, $ \ sqrt (a) $ vb.). Ve tek dereceli bir kökün tanımı, çift olandan biraz farklıdır.
İşte bu lanet olası "biraz farklı" gizli, muhtemelen köklerle ilgili tüm hataların ve yanlış anlamaların% 95'i. Bu nedenle, terminolojiyi bir kez ve herkes için ele alalım:
Tanım. Hatta kök n$ a $'dan herhangi biri negatif olmayan$ ((b) ^ (n)) = bir $ olacak şekilde bir $ b $ sayısı. Ve aynı $ a $ sayısının tek kökü, genellikle aynı eşitliğin geçerli olduğu herhangi bir $ b $ sayısıdır: $ ((b) ^ (n)) = a $.
Her durumda, kök şu şekilde belirtilir:
\ (a) \]
Böyle bir kayıttaki $ n $ sayısına kökün üssü, $ a $ sayısına ise radikal ifade denir. Özellikle, $ n = 2 $ için "favori" karekökümüzü alırız (bu arada, bu bir çift köktür) ve $ n = 3 $ - kübik (tek derece) için de sıklıkla problemlerde bulunur ve denklemler.
Örnekler. Klasik karekök örnekleri:
\ [\ başla (hizala) & \ sqrt (4) = 2; \\ & \ sqrt (81) = 9; \\ & \ kare (256) = 16. \\ \ bitiş (hizalama) \]
Bu arada, $ \ sqrt (0) = 0 $ ve $ \ sqrt (1) = 1 $. $ ((0) ^ (2)) = 0 $ ve $ ((1) ^ (2)) = 1 $ olduğundan bu oldukça mantıklıdır.
Kübik kökler de yaygındır - onlardan korkmayın:
\ [\ başla (hizala) & \ sqrt (27) = 3; \\ & \ kare (-64) = - 4; \\ & \ kare (343) = 7. \\ \ bitiş (hizalama) \]
Ve birkaç "egzotik örnek":
\ [\ başla (hizala) & \ sqrt (81) = 3; \\ & \ sqrt (-32) = - 2. \\ \ bitiş (hizalama) \]
Çift ve tek derece arasındaki farkın ne olduğunu anlamadıysanız, tanımı tekrar okuyun. Bu çok önemli!
Bu arada, çift ve tek göstergeler için ayrı bir tanım getirmemiz gerektiğinden, köklerin hoş olmayan bir özelliğini ele alacağız.
Neden köklere ihtiyacımız var?
Tanımı okuduktan sonra birçok öğrenci, "Matematikçiler bunu bulduklarında ne içtiler?" Diye soracaktır. Gerçekten de: neden tüm bu köklere ihtiyacımız var?
Bu soruyu cevaplamak için, bir dakikalığına ilkokul sınıflarına geri dönelim. Unutmayın: ağaçların daha yeşil ve köftelerin daha lezzetli olduğu o uzak zamanlarda, asıl meselemiz sayıları doğru bir şekilde çarpmaktı. Şey, "beşte beş - yirmi beş" gibi bir şey, hepsi bu. Ancak sayıları çiftlerle değil, üçlü, dörtlü ve genel olarak tam kümelerle çarpabilirsiniz:
\ [\ başla (hizala) & 5 \ cdot 5 = 25; \\ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 125; \\ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 625; \\ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 3125; \\ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 15 \ 625. \ bitiş (hizalama) \]
Ancak, mesele bu değil. İşin püf noktası farklı: matematikçiler tembel insanlar, bu yüzden on beşin çarpımını şöyle yazmak zorunda kaldılar:
Böylece derecelerle geldiler. Neden uzun bir dize yerine faktör sayısını üstlenmiyorsunuz? Bunun gibi:
Çok uygun! Tüm hesaplamalar zaman zaman azaltılır ve 5,183 not yazmak için bir sürü parşömen not defteri harcamanıza gerek yoktur. Böyle bir kayda bir sayının derecesi denildi, içinde bir sürü özellik buldular, ancak mutluluk kısa sürdü.
Derecelerin "keşfi" üzerine düzenlenen büyük bir içkiden sonra, özellikle inatçı bir matematikçi aniden sordu: "Ya bir sayının derecesini biliyorsak, ama sayının kendisini bilmiyorsak?" Şimdi, gerçekten, eğer belirli bir sayının $ b $ olduğunu biliyorsak, örneğin 5. kuvvette 243 verir, o zaman $ b $ sayısının neye eşit olduğunu nasıl tahmin edebiliriz?
Bu sorunun ilk bakışta göründüğünden çok daha küresel olduğu ortaya çıktı. Çünkü “hazır” derecelerin çoğu için böyle bir “başlangıç” sayısının olmadığı ortaya çıktı. Kendiniz için yargıç:
\ [\ start (align) & ((b) ^ (3)) = 27 \ Rightarrow b = 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ Rightarrow b = 3; \\ & ((b) ^ (3)) = 64 \ Rightarrow b = 4 \ cdot 4 \ cdot 4 \ Rightarrow b = 4. \\ \ bitiş (hizalama) \]
$ ((b) ^ (3)) = 50 $ ise ne olur? Üç kez çarpıldığında bize 50 verecek olan belirli bir sayıyı bulmanız gerektiği ortaya çıktı. Peki bu sayı nedir? 3 3 = 27 olduğundan açıkça 3'ten büyüktür.< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Yani. bu sayı üç ile dört arasında bir yerdedir, ancak neye eşittir - incir anlayacaksınız.
Bunun için matematikçiler $ n $ -th derecesinin köklerini icat ettiler. Bu nedenle $ \ sqrt (*) $ radikal sembolü tanıtıldı. Belirtilen dereceye kadar bize önceden bilinen bir değer verecek olan $ b $ sayısını belirtmek için
\ [\ sqrt [n] (a) = b \ Sağ Ok ((b) ^ (n)) = a \]
Tartışmıyorum: bu kökler genellikle kolayca sayılır - yukarıda buna benzer birkaç örnek gördük. Ama yine de, çoğu durumda, rastgele bir sayı tahmin ederseniz ve ondan keyfi bir kök çıkarmaya çalışırsanız, acımasız bir serseri içindesiniz.
Oradaki ne! En basit ve en tanıdık $ \ sqrt (2) $ bile her zamanki formumuzla temsil edilemez - bir tamsayı veya kesir olarak. Ve bu numarayı hesap makinesine yazarsanız şunu göreceksiniz:
\ [\ kare (2) = 1.414213562 ... \]
Gördüğünüz gibi virgülden sonra hiçbir mantığa uymayan sonsuz bir sayı dizisi var. Elbette, diğer sayılarla hızlı bir şekilde karşılaştırmak için bu sayıyı yuvarlayabilirsiniz. Örneğin:
\ [\ sqrt (2) = 1.4142 ... \ yaklaşık 1,4 \ lt 1,5 \]
Veya işte başka bir örnek:
\ [\ kare (3) = 1.73205 ... \ yaklaşık 1.7 \ gt 1.5 \]
Ancak tüm bu yuvarlamalar, öncelikle oldukça kaba; ve ikincisi, yaklaşık değerlerle de çalışabilmeniz gerekir, aksi takdirde bir sürü belirgin olmayan hatayı yakalayabilirsiniz (bu arada, profil sınavında karşılaştırma ve yuvarlama becerisi zorunludur).
Bu nedenle, ciddi matematikte, kökler olmadan yapamazsınız - bunlar, uzun zamandır bize aşina olan kesirler ve tam sayıların yanı sıra, $ \ mathbb (R) $ tüm gerçek sayılar kümesinin aynı eşit temsilcileridir.
Bir kökü $ \ frac (p) (q) $ formunun bir kesri olarak temsil etmenin imkansızlığı, bu kökün rasyonel bir sayı olmadığı anlamına gelir. Bu tür sayılara irrasyonel denir ve radikal veya diğer özel olarak tasarlanmış yapıların (logaritmalar, dereceler, limitler, vb.) yardımı olmadan doğru bir şekilde temsil edilemezler. Ama bunun hakkında başka bir zaman.
Tüm hesaplamalardan sonra irrasyonel sayıların hala cevapta kalacağı birkaç örnek düşünün.
\ [\ başla (hizala) & \ sqrt (2+ \ sqrt (27)) = \ sqrt (2 + 3) = \ sqrt (5) \ yaklaşık 2.236 ... \\ & \ sqrt (\ sqrt (-32) )) = \ sqrt (-2) \ yaklaşık -1.2599 ... \\ \ bitiş (hizalama) \]
Doğal olarak, kökün görünümüyle, ondalık noktadan sonra hangi sayıların geleceğini tahmin etmek neredeyse imkansızdır. Bununla birlikte, bir hesap makinesine güvenebilirsiniz, ancak en mükemmel tarih hesaplayıcı bile bize bir irrasyonel sayının yalnızca ilk birkaç basamağını verir. Dolayısıyla cevapları $\sqrt (5)$ ve $\sqrt(-2)$ şeklinde yazmak çok daha doğru olur.
Bu yüzden icat edildiler. Cevapları rahatça kaydetmek için.
Neden iki tanım gerekli?
Dikkatli okuyucu muhtemelen örneklerde verilen tüm kareköklerin pozitif sayılardan türetildiğini fark etmiştir. Eh, sıfırdan son çare olarak. Ancak küp kökleri, pozitif veya negatif olsun, kesinlikle herhangi bir sayıdan sakince çıkarılır.
Neden oluyor? $ y = ((x) ^ (2)) $ fonksiyonunun grafiğine bir göz atın:
İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiği iki kök verir: pozitif ve negatif Bu grafiği kullanarak $\sqrt (4) $ hesaplamaya çalışalım. Bunun için, grafikte (kırmızı ile işaretlenmiş) yatay bir çizgi $ y = 4 $ çizilir, bu parabol ile iki noktada kesişir: $ ((x) _ (1)) = 2 $ ve $ ((x) _ (2)) = -2 $. Bu oldukça mantıklı, çünkü
İlk sayı ile her şey açıktır - pozitiftir, bu nedenle köktür:
Ama o zaman ikinci nokta ile ne yapmalı? Dördünün aynı anda iki kökü olması gibi mi? Sonuçta, −2 sayısının karesini alırsak 4 elde ederiz. Neden $ \ sqrt (4) = - 2 $ yazmıyorsunuz? Ve öğretmenler neden bu tür kayıtlara sizi yutmak istiyorlarmış gibi bakıyorlar? :)
Sorun şu ki, herhangi bir ek koşul empoze edilmezse, dördünün iki karekökü olacaktır - pozitif ve negatif. Ve herhangi bir pozitif sayı da iki tane olacaktır. Ancak negatif sayıların hiçbir kökü olmayacaktır - bu aynı grafikten görülebilir, çünkü parabol asla eksenin altına düşmez. y, yani negatif değerleri kabul etmez.
Eşit üslü tüm kökler için benzer bir sorun oluşur:
- Kesin olarak söylemek gerekirse, her pozitif sayının iki kökü vardır ve üsleri çift $ n $'dır;
- Negatif sayılardan $ n $ bile olan kök hiç çıkarılmaz.
Bu nedenle $ n $ 'ın çift kuvvetinin kökü tanımında cevabın negatif olmayan bir sayı olması gerektiği özellikle şart koşulmuştur. Böylece belirsizlikten kurtuluruz.
Ancak tek $ n $ için böyle bir sorun yoktur. Bunu doğrulamak için $ y = ((x) ^ (3)) $ fonksiyonunun grafiğine bir göz atalım:
Kübik parabol herhangi bir değer alır, bu nedenle küp kökü herhangi bir sayıdan çıkarılır. Bu grafikten iki sonuç çıkarılabilir:
- Kübik bir parabolün dalları, alışılmışın aksine, her iki yönde de sonsuza gider - hem yukarı hem de aşağı. Bu nedenle, hangi yükseklikte yatay bir çizgi çizersek çizelim, bu çizgi mutlaka grafiğimizle kesişecektir. Bu nedenle, küp kökü her zaman kesinlikle herhangi bir sayıdan çıkarılabilir;
- Ek olarak, böyle bir kesişme her zaman tek olacaktır, bu nedenle hangi sayının "doğru" kökü dikkate alınacağını ve hangisini puanlayacağınızı düşünmeye gerek yoktur. Bu nedenle, tek bir derece için köklerin tanımı, çift bir dereceye göre daha basittir (negatif olmama şartı yoktur).
Bu basit şeylerin çoğu ders kitabında açıklanmaması üzücü. Bunun yerine, beyin her türlü aritmetik kök ve özellikleriyle bize doğru yüzmeye başlar.
Evet, tartışmıyorum: aritmetik kök nedir - ayrıca bilmeniz gerekir. Ve bunu ayrı bir eğitimde ayrıntılı olarak ele alacağım. Bugün bunun hakkında da konuşacağız, çünkü onsuz $ n $ -th çokluğunun kökleri hakkındaki tüm düşünceler eksik olurdu.
Ama önce yukarıda verdiğim tanımı net bir şekilde anlamanız gerekiyor. Aksi takdirde, terimlerin bolluğu nedeniyle kafanızda öyle bir karmaşa başlar ki sonunda hiçbir şey anlamazsınız.
Tek yapmanız gereken, çift ve tek göstergeler arasındaki farkı anlamaktır. Öyleyse bir kez daha kökler hakkında gerçekten bilmeniz gereken her şeyi bir araya getirelim:
- Bir çift kök yalnızca negatif olmayan bir sayıdan gelir ve kendisi her zaman negatif olmayan bir sayıdır. Negatif sayılar için böyle bir kök tanımsızdır.
- Ancak tek bir derecenin kökü herhangi bir sayıdan gelir ve kendisi herhangi bir sayı olabilir: pozitif sayılar için pozitiftir ve negatif olanlar için, üst sınırın ima ettiği gibi, negatiftir.
Zor mu? Hayır, zor değil. Açık? Evet, genel olarak, açıktır! Şimdi bazı hesaplamalar yapacağız.
Temel özellikler ve sınırlamalar
Köklerin birçok garip özelliği ve sınırlaması vardır - bununla ilgili ayrı bir ders olacak. Bu nedenle, şimdi yalnızca eşit üslü kökler için geçerli olan yalnızca en önemli "numarayı" ele alacağız. Bu özelliği bir formül şeklinde yazalım:
\ [\ sqrt (((x) ^ (2n))) = \ sol | x \ sağ | \]
Başka bir deyişle, bir sayıyı eşit bir kuvvete yükseltirseniz ve daha sonra bundan aynı gücün kökünü çıkarırsanız, orijinal sayıyı değil, modülünü elde ederiz. Bu, kanıtlanması kolay basit bir teoremdir (negatif olmayan $ x $'ı ayrı ayrı ve ardından negatif olanları ayrı ayrı düşünmek yeterlidir). Öğretmenler sürekli bunun hakkında konuşurlar, her okul ders kitabında verirler. Ancak, irrasyonel denklemleri (yani, kök işaretini içeren denklemleri) çözmeye gelir gelmez, öğrenciler bu formülü dostane bir şekilde unuturlar.
Soruyu detaylı anlamak için tüm formülleri bir dakikalığına unutalım ve iki sayıyı dümdüz saymaya çalışalım:
\ [\ sqrt (((3) ^ (4))) =? \ dörtlü \ sqrt (((\ sol (-3 \ sağ)) ^ (4))) =? \]
Bunlar çok basit örnekler. İlk örnek çoğu kişi tarafından çözülecek, ancak ikincisinde çoğu kişi kalacak. Bu tür saçmalıkları sorunsuz bir şekilde çözmek için, her zaman eylem sırasını göz önünde bulundurun:
- İlk olarak, sayı dördüncü güce yükseltilir. Bu biraz kolay. Çarpım tablosunda bile bulunabilecek yeni bir sayı alacaksınız;
- Ve şimdi, bu yeni sayıdan dördüncü kökü çıkarmak gerekiyor. Onlar. köklerde ve derecelerde "indirgenme" olmaz - bunlar sıralı eylemlerdir.
İlk ifadeyle çalışıyoruz: $ \ sqrt (((3) ^ (4))) $. Açıkçası, önce kök altındaki ifadeyi hesaplamanız gerekir:
\ [((3) ^ (4)) = 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 3 = 81 \]
Sonra 81 sayısının dördüncü kökünü çıkarırız:
Şimdi aynısını ikinci ifadeyle yapalım. İlk olarak, -3 sayısını, 4 kez kendisiyle çarpmamız gereken dördüncü güce yükseltiyoruz:
\ [((\ sol (-3 \ sağ)) ^ (4)) = \ sol (-3 \ sağ) \ cdot \ sol (-3 \ sağ) \ cdot \ sol (-3 \ sağ) \ cdot \ sol (-3 \ sağ) = 81 \]
Üründeki toplam eksi sayısı 4 parça olduğu için pozitif bir sayı aldık ve hepsi karşılıklı olarak yok edilecek (sonuçta eksi eksi artı bir artı verir). Sonra kökü tekrar çıkarıyoruz:
Prensipte bu satır yazılamazdı, çünkü cevabın aynı olması hiç de mantıklı değil. Onlar. aynı çift gücün çift kökü eksileri “yakıp gider” ve bu anlamda sonuç olağan modülden ayırt edilemez:
\ [\ başla (hizala) & \ sqrt (((3) ^ (4))) = \ sol | 3 \ sağ | = 3; \\ & \ sqrt (((\ sol (-3 \ sağ)) ^ (4))) = \ sol | -3 \ sağ | = 3. \\ \ bitiş (hizalama) \]
Bu hesaplamalar, bir çift kökün tanımıyla iyi bir uyum içindedir: sonuç her zaman negatif değildir ve kök işaretinin altında her zaman negatif olmayan bir sayı vardır. Aksi takdirde, kök tanımsızdır.
Prosedür notu
- $ \ sqrt (((a) ^ (2))) $ gösterimi, önce $ a $ sayısının karesini aldığımız ve ardından elde edilen değerden karekökü çıkardığımız anlamına gelir. Bu nedenle, her durumda $ ((a) ^ (2)) \ ge 0 $ olduğundan, negatif olmayan bir sayının her zaman kök işaretinin altında olduğundan emin olabiliriz;
- Ancak $ ((\ left (\ sqrt (a) \ right)) ^ (2)) $ kaydı, aksine, önce belirli bir $ a $ sayısından kökü çıkardığımız ve ancak daha sonra sonucun karesini aldığımız anlamına gelir. Bu nedenle, $ a $ sayısı hiçbir durumda negatif olamaz - bu tanımda zorunlu bir gerekliliktir.
Bu nedenle, hiçbir durumda kökleri ve dereceleri düşüncesizce azaltmamalısınız, böylece orijinal ifadeyi iddia ettiği gibi "basitleştirmemelisiniz". Çünkü kökün altında negatif bir sayı varsa ve üssü çift ise, bir sürü sorunla karşılaşırız.
Bununla birlikte, tüm bu problemler sadece göstergeler için geçerlidir.
Kök işaretinden eksi kaldırma
Doğal olarak, tek göstergeli köklerin, prensipte çiftler için mevcut olmayan kendi sayaçları da vardır. Yani:
\ [\ sqrt (-a) = - \ sqrt (a) \]
Kısacası, eksiyi tek dereceli köklerin işaretinin altından çıkarabilirsiniz. Bu, tüm eksileri "atmanıza" izin veren çok kullanışlı bir özelliktir:
\ [\ başla (hizala) & \ sqrt (-8) = - \ sqrt (8) = - 2; \\ & \ sqrt (-27) \ cdot \ sqrt (-32) = - \ sqrt (27) \ cdot \ sol (- \ sqrt (32) \ sağ) = \\ & = \ sqrt (27) \ cdot \ sqrt (32) = \\ & = 3 \ cdot 2 = 6. \ bitiş (hizalama) \]
Bu basit özellik, birçok hesaplamayı büyük ölçüde basitleştirir. Şimdi endişelenmeye gerek yok: Ya kökün altına olumsuz bir ifade girdiyse ve kökteki derece eşitse? Sadece köklerin dışındaki tüm eksileri "atmak" yeterlidir, bundan sonra birbirleriyle çarpılabilir, bölünebilir ve genellikle "klasik" kökler söz konusu olduğunda bizi yönlendireceği garanti edilen birçok şüpheli şey yapar. bir hata.
Ve burada bir tanım daha devreye giriyor - çoğu okulda irrasyonel ifadelerin incelenmesinin başladığı tanım. Ve bunlar olmadan akıl yürütmemiz eksik kalır. Lütfen hoş geldiniz!
aritmetik kök
Bir an için kök işaretinin altında sadece pozitif sayıların veya en fazla sıfır olabileceğini varsayalım. Çift / tek göstergelerini unutalım, yukarıda verilen tüm tanımları unutalım - sadece negatif olmayan sayılarla çalışacağız. Sonra ne?
Ve sonra aritmetik kökü alıyoruz - kısmen "standart" tanımlarımızla örtüşüyor, ancak yine de onlardan farklı.
Tanım. Negatif olmayan bir $ a $ sayısının $ n $ inci derecesinin aritmetik kökü, $ ((b) ^ (n)) = a $ olacak şekilde negatif olmayan bir $ b $ sayısıdır.
Gördüğünüz gibi artık parite ile ilgilenmiyoruz. Bunun yerine, yeni bir kısıtlama ortaya çıktı: radikal ifade artık her zaman negatif değildir ve kökün kendisi de negatif değildir.
Aritmetik kökün normalden nasıl farklı olduğunu daha iyi anlamak için, zaten bilinen kare ve kübik parabol grafiklerine bir göz atın:
Aritmetik kök arama alanı - negatif olmayan sayılar Gördüğünüz gibi, şu andan itibaren grafiklerin yalnızca ilk koordinat çeyreğinde yer alan kısımlarıyla ilgileniyoruz - burada $ x $ ve $ y $ koordinatları pozitif (veya en az sıfır). Negatif bir sayıyı köklendirme hakkımız olup olmadığını anlamak için artık göstergeye bakmanıza gerek yok. Çünkü negatif sayılar artık prensipte dikkate alınmamaktadır.
Şunu sorabilirsiniz: "Peki, neden böyle hadım edilmiş bir tanıma ihtiyacımız var?" Veya: "Neden yukarıda verilen standart tanımla anlaşamıyorsunuz?"
Pekala, yeni tanımın uygun hale geldiği için sadece bir özellik vereceğim. Örneğin, üs alma kuralı:
\ [\ sqrt [n] (a) = \ sqrt (((a) ^ (k))) \]
Lütfen dikkat: radikal ifadeyi herhangi bir güce yükseltebiliriz ve aynı zamanda kök üssü aynı güçle çarpabiliriz - ve sonuç aynı sayı olacaktır! İşte bazı örnekler:
\ [\ start (hizalama) & \ sqrt (5) = \ sqrt (((5) ^ (2))) = \ sqrt (25) \\ & \ sqrt (2) = \ sqrt (((2) ^ (4))) = \ sqrt (16) \\ \ bitiş (hizalama) \]
Önemli olan ne? Bunu neden daha önce yapamadık? İşte neden. Basit bir ifade düşünün: $ \ sqrt (-2) $ - bu sayı klasik anlamda oldukça normaldir, ancak aritmetik kök açısından kesinlikle kabul edilemez. Onu dönüştürmeye çalışalım:
$ \ start (hizalama) & \ sqrt (-2) = - \ sqrt (2) = - \ sqrt (((2) ^ (2))) = - \ sqrt (4) \ lt 0; \\ & \ sqrt (-2) = \ sqrt (((\ sol (-2 \ sağ)) ^ (2))) = \ sqrt (4) \ gt 0. \\ \ bitiş (hiza) $
Gördüğünüz gibi, ilk durumda, eksiyi radikalin altından çıkardık (gösterge tek olduğu için her hakkımız var) ve ikincisinde yukarıdaki formülü kullandık. Onlar. matematik açısından her şey kurallara göre yapılır.
O NE LAN ?! Aynı sayı nasıl hem pozitif hem de negatif olabilir? Mümkün değil. Sadece pozitif sayılar ve sıfır için harika çalışan üs formülü, negatif sayılar söz konusu olduğunda sapkın olmaya başlar.
Bu belirsizlikten kurtulmak için aritmetik kökler buldular. Tüm özelliklerini ayrıntılı olarak ele aldığımız onlara ayrı bir büyük ders ayrılmıştır. Şimdi onlar üzerinde durmayacağız - ders zaten çok uzun çıktı.
Cebirsel kök: daha fazlasını bilmek isteyenler için
Bu konuyu ayrı bir paragrafa alıp almama konusunda uzun süre düşündüm. Sonunda buradan ayrılmaya karar verdim. Bu materyal, kökleri daha da iyi anlamak isteyenler için tasarlanmıştır - ortalama bir "okul" düzeyinde değil, Olimpiyat düzeyine yakın bir düzeyde.
Yani: bir sayının $ n $ -th kökünün "klasik" tanımına ve bununla ilişkili çift ve tek göstergelere bölünmesine ek olarak, pariteye ve diğer inceliklere hiç bağlı olmayan daha "yetişkin" bir tanım vardır. . Buna cebirsel kök denir.
Tanım. Herhangi bir $ a $'ın $ n $ inci derecesinin cebirsel kökü, $ ((b) ^ (n)) = a $ olacak şekilde tüm $ b $ sayılarının kümesidir. Bu tür kökler için yerleşik bir tanım yoktur, bu yüzden üstüne bir tire koyduk:
\ [\ üst çizgi (\ sqrt [n] (a)) = \ sol \ (b \ sol | b \ in \ mathbb (R); ((b) ^ (n)) = a \ sağ. \ sağ \) \]
Dersin başında verilen standart tanımdan temel farkı, cebirsel kökün belirli bir sayı değil, bir küme olmasıdır. Gerçek sayılarla çalıştığımız için bu kümenin yalnızca üç türü vardır:
- Boş küme. Negatif bir sayıdan çift dereceli bir cebirsel kök bulmak gerektiğinde oluşur;
- Tek bir elemandan oluşan bir küme. Tek derecelerin tüm kökleri ve sıfırdan çift derecelerin kökleri bu kategoriye girer;
- Son olarak, küme iki sayı içerebilir - üzerinde gördüğümüz aynı $ ((x) _ (1)) $ ve $ ((x) _ (2)) = - ((x) _ (1)) $ grafik ikinci dereceden fonksiyon. Buna göre, böyle bir hizalama ancak pozitif bir sayıdan çift kök çıkarıldığında mümkündür.
İkinci durum daha ayrıntılı bir değerlendirmeyi hak ediyor. Farkı anlamak için birkaç örnek sayalım.
Örnek. İfadeleri değerlendirin:
\ [\ üst çizgi (\ sqrt (4)); \ dörtlü \ üst çizgi (\ sqrt (-27)); \ dörtlü \ üst çizgi (\ sqrt (-16)). \]
Çözüm. İlk ifade basittir:
\ [\ üst çizgi (\ sqrt (4)) = \ sol \ (2; -2 \ sağ \) \]
Kümeyi oluşturan iki sayıdır. Çünkü her biri karede dört veriyor.
\ [\ üst çizgi (\ sqrt (-27)) = \ sol \ (-3 \ sağ \) \]
Burada sadece bir sayıdan oluşan bir küme görüyoruz. Kök üs tek olduğu için bu oldukça mantıklı.
Son olarak, son ifade:
\ [\ üst çizgi (\ sqrt (-16)) = \ varnothing \]
Boş bir setimiz var. Çünkü dördüncü (yani çift!) Dereceye yükseltildiğinde bize eksi -16 verecek olan tek bir gerçek sayı yoktur.
Son açıklama. Lütfen dikkat: Gerçek sayılarla çalıştığımızı her yerde not etmem tesadüf değildi. Karmaşık sayılar da olduğu için - orada $ \ sqrt (-16) $ ve diğer birçok garip şeyi hesaplamak oldukça mümkündür.
Ancak, modern okul matematik dersinde karmaşık sayılar neredeyse hiç bulunmaz. Yetkililerimiz bu konuyu "anlaşılması çok zor" bulduğu için çoğu ders kitabından silindiler.
Bu kadar. Bir sonraki derste, köklerin tüm temel özelliklerine bakacağız ve sonunda irrasyonel ifadeleri nasıl sadeleştireceğimizi öğreneceğiz. :)
Konuyla ilgili ders ve sunum: "n'inci kökün özellikleri. Teoremler"
Ek materyaller
Değerli kullanıcılar, yorumlarınızı, eleştirilerinizi, dileklerinizi bırakmayı unutmayın! Tüm materyaller bir antivirüs programı tarafından kontrol edilmiştir.
11. sınıf için "Integral" çevrimiçi mağazasında öğretim yardımcıları ve simülatörler
9-11 "Trigonometri" sınıfları için etkileşimli eğitim
10-11 "Logaritmalar" için etkileşimli eğitim
n'inci kökün özellikleri. teoremler
Beyler, gerçek sayının n'inci köklerini incelemeye devam ediyoruz. Hemen hemen tüm matematiksel nesneler gibi, n'inci derecenin kökleri de bazı özelliklere sahiptir, bugün onları inceleyeceğiz.Ele alacağımız tüm özellikler, yalnızca kök işaretinin altında yer alan değişkenlerin negatif olmayan değerleri için formüle edilmiş ve kanıtlanmıştır.
Tek bir kök üssü olması durumunda, negatif değişkenler için de gerçekleştirilir.
Teorem 1. İki negatif olmayan sayının çarpımının n'inci kökü, bu sayıların n'inci köklerinin çarpımına eşittir: $ \ sqrt [n] (a * b) = \ sqrt [n] (a) * \ sqrt [ n] (b) $.
Teoremi ispatlayalım.
Kanıt. Beyler, teoremi kanıtlamak için yeni değişkenler tanıtalım, şunu belirtin:
$ \ sqrt [n] (a * b) = x $.
$ \ sqrt [n] (a) = y $.
$ \ sqrt [n] (b) = z $.
$ x = y * z $ olduğunu kanıtlamamız gerekiyor.
Aşağıdaki kimliklerin de geçerli olduğunu unutmayın:
$ a * b = x ^ n $.
$ a = y ^ n $.
$ b = z ^ n $.
O zaman aşağıdaki özdeşlik tutar: $ x ^ n = y ^ n * z ^ n = (y * z) ^ n $.
Negatif olmayan iki sayının üsleri ve üsleri eşittir, o zaman kuvvetlerin tabanları da eşittir. Dolayısıyla $ x = y * z $, kanıtlanması gereken buydu.
Teorem 2. $ a≥0 $, $ b> 0 $ ve n 1'den büyük bir doğal sayıysa, aşağıdaki eşitlik geçerlidir: $ \ sqrt [n] (\ frac (a) (b)) = \ frac (\ sqrt [ n] (a)) (\ sqrt [n] (b)) $.
Yani, bölümün n'inci derecesinin kökü, n'inci derecenin köklerinin bölümüne eşittir.
Kanıt.
Kanıt için basitleştirilmiş tablo benzeri bir şema kullanıyoruz:
n'inci gücün kökünü hesaplama örnekleri
Örnek.Hesaplayın: $ \ sqrt (16 * 81 * 256) $.
Çözüm. Teorem 1'i kullanalım: $ \ sqrt (16 * 81 * 256) = \ sqrt (16) * \ sqrt (81) * \ sqrt (256) = 2 * 3 * 4 = 24 $.
Örnek.
Hesapla: $ \ sqrt (7 \ frac (19) (32))) $.
Çözüm. Radikal ifadeyi uygun olmayan bir kesir olarak gösterelim: $ 7 \ frac (19) (32) = \ frac (7 * 32 + 19) (32) = \ frac (243) (32) $.
Teoremi 2'yi kullanalım: $ \ sqrt (\ frac (243) (32)) = \ frac (\ sqrt (243)) (\ sqrt (32)) = \ frac (3) (2) = 1 \ frac (1 ) (2) $.
Örnek.
Hesaplamak:
a) $ \ kare (24) * \ kare (54) $.
b) $ \ frac (\ sqrt (256)) (\ sqrt (4)) $.
Çözüm:
a) $ \ kare (24) * \ kare (54) = \ kare (24 * 54) = \ kare (8 * 3 * 2 * 27) = \ kare (16 * 81) = \ kare (16) * \ kare (81) = 2 * 3 = 6 $.
b) $ \ frak (\ sqrt (256)) (\ sqrt (4)) = \ sqrt (\ frak (256) (4)) = \ sqrt (64) = 24 $.
Teorem 3. $ a≥0 $, k ve n 1'den büyük doğal sayılarsa, eşitlik doğrudur: $ (\ sqrt [n] (a)) ^ k = \ sqrt [n] (a ^ k) $.
Bir kökü doğal bir dereceye yükseltmek için radikal bir ifadeyi bu dereceye yükseltmek yeterlidir.
Kanıt.
$ k = 3 $ için özel bir durum düşünelim. Teorem 1'i kullanacağız.
$ (\ sqrt [n] (a)) ^ k = \ sqrt [n] (a) * \ sqrt [n] (a) * \ sqrt [n] (a) = \ sqrt [n] (a * bir * a) = \ sqrt [n] (a ^ 3) $.
Aynı şey başka bir durum için de kanıtlanabilir. Beyler, $ k = 4 $ ve $ k = 6 $ olduğu durumda kendiniz kanıtlayın.
Teorem 4. $ a≥0 $ b n, k 1'den büyük doğal sayılarsa, eşitlik doğrudur: $ \ sqrt [n] (\ sqrt [k] (a)) = \ sqrt (a) $.
Kökten kökü çıkarmak için köklerin indislerini çarpmak yeterlidir.
Kanıt.
Tabloyu kullanarak kısaca tekrar ispatlayalım. Kanıt için basitleştirilmiş tablo benzeri bir şema kullanacağız: 
Örnek.
$ \ kare (\ kare (a)) = \ kare (a) $.
$ \ kare (\ kare (a)) = \ kare (a) $.
$ \ kare (\ kare (a)) = \ kare (a) $.
Teorem 5. Kökün üsleri ve kök ifadesi aynı doğal sayı ile çarpılırsa, kökün değeri değişmez: $ \ sqrt (a ^ (kp)) = \ sqrt [n] (a) $.
Kanıt.
Teoremimizin ispat ilkesi diğer örneklerdekiyle aynıdır. Yeni değişkenleri tanıtalım:
$ \ sqrt (a ^ (k * p)) = x => bir ^ (k * p) = x ^ (n * p) $ (tanım gereği).
$ \ sqrt [n] (a ^ k) = y => y ^ n = bir ^ k $ (tanım gereği).
Son eşitliği p kuvvetine yükseltiyoruz
$ (y ^ n) ^ p = y ^ (n * p) = (bir ^ k) ^ p = bir ^ (k * p) $.
NS:
$ y ^ (n * p) = bir ^ (k * p) = x ^ (n * p) => x = y $.
Yani, $ \ sqrt (a ^ (k * p)) = \ sqrt [n] (a ^ k) $, gerektiği gibi.
Örnekler:
$ \ sqrt (a ^ 5) = \ sqrt (a) $ (5'e bölünür).
$ \ sqrt (a ^ (22)) = \ sqrt (a ^ (11)) $ (2'ye bölünür).
$ \ sqrt (a ^ 4) = \ sqrt (a ^ (12)) $ (3 ile çarpılır).
Örnek.
Eylemleri gerçekleştirin: $ \ sqrt (a) * \ sqrt (a) $.
Çözüm.
Köklerin üsleri farklı sayılardır, bu nedenle Teorem 1'i kullanamayız, ancak Teorem 5'i uygulayarak eşit üsler elde edebiliriz.
$ \ sqrt (a) = \ sqrt (a ^ 3) $ (3 ile çarpılır).
$ \ sqrt (a) = \ sqrt (a ^ 4) $ (4 ile çarpılır).
$ \ sqrt (a) * \ sqrt (a) = \ sqrt (a ^ 3) * \ sqrt (a ^ 4) = \ sqrt (a ^ 3 * bir ^ 4) = \ sqrt (a ^ 7) $.
Bağımsız çözüm için görevler
1. Hesaplayın: $ \ sqrt (32 * 243 * 1024) $.2. Hesaplayın: $ \ sqrt (7 \ frac (58) (81)) $.
3. Hesaplayın:
a) $ \ kare (81) * \ kare (72) $.
b) $ \ frac (\ sqrt (1215)) (\ sqrt (5)) $.
4. Basitleştirin:
a) $ \ sqrt (\ sqrt (a)) $.
b) $ \ sqrt (\ sqrt (a)) $.
c) $ \ sqrt (\ sqrt (a)) $.
5. Eylemleri gerçekleştirin: $ \ sqrt (a ^ 2) * \ sqrt (a ^ 4) $.
