Bir parçayı bir bütünün kesirleriyle ifade etmek için parçayı bir bütüne bölmeniz gerekir.
Amaç 1. Sınıfta 30 öğrenci var, dördü eksik. Kaç öğrenci kayıp?
Çözüm:
Yanıt vermek: sınıfta öğrenci yok.
Bir sayının kesirini bulma
Bütünün bir parçasını bulmanın gerekli olduğu problemleri çözmek için aşağıdaki kural doğrudur:
Bütünün bir parçası kesir olarak ifade edilirse, bu parçayı bulmak için bütünü kesrin paydasına bölebilir ve sonucu pay ile çarpabilirsiniz.
Amaç 1. 600 ruble vardı, bu miktar harcandı. Ne kadar para harcadın?
Çözüm: 600 rubleden bulmak için bu miktarı 4 parçaya bölmeniz gerekir, böylece ne kadar paranın dörtte biri olduğunu buluruz:
600: 4 = 150 (s.)
Yanıt vermek: 150 ruble harcadı.
Amaç 2. 1000 ruble vardı, bu miktar harcandı. Ne kadar para harcandı?
Çözüm: sorunun durumundan, 1000 rublenin beş eşit parçadan oluştuğunu biliyoruz. İlk önce, 1000'in beşte birinin kaç ruble olduğunu buluyoruz ve sonra kaç rublenin beşte iki olduğunu buluyoruz:
1) 1000: 5 = 200 (s.) - beşte biri.
2) 200 2 = 400 (s.) - beşte ikisi.
Bu iki eylem birleştirilebilir: 1000: 5 2 = 400 (s.).
Yanıt vermek: 400 ruble harcandı.
Bir bütünün bir parçasını bulmanın ikinci yolu:
Bir bütünün bir parçasını bulmak için, bütünü, bütünün o parçasını ifade eden kesir ile çarpabilirsiniz.
Amaç 3. Kooperatif tüzüğüne göre, raporlama toplantısının geçerli olması için en az organizasyon üyelerinin orada bulunması gerekir. Kooperatifin 120 üyesi var. Raporlama toplantısı hangi bileşim altında yapılabilir?
Çözüm: 
Yanıt vermek: kuruluşun 80 üyesi varsa raporlama toplantısı yapılabilir.
Bir sayıyı kesrine göre bulma
Bütünü parçasıyla bulmanın gerekli olduğu problemleri çözmek için aşağıdaki kural doğrudur:
İstenen tamsayının bir kısmı kesir olarak ifade edilirse, bu bütünü bulmak için, bu kısmı kesrin payına bölebilir ve sonucu paydasıyla çarpabilirsiniz.
Amaç 1. Orijinal miktara eşit olan 50 ruble harcadık. Orijinal para miktarını bulun.
Çözüm: sorunun açıklamasından, 50 rublenin ilk miktardan 6 kat daha az olduğunu, yani ilk miktarın 50 rubleden 6 kat daha fazla olduğunu görüyoruz. Bu miktarı bulmak için 50 ile 6'yı çarpmanız gerekir:
50 6 = 300 (s.)
Yanıt vermek: ilk miktar 300 ruble.
Amaç 2.İlk para miktarına eşit olan 600 ruble harcadık. Orijinal miktarı bulun.
Çözüm: gerekli sayının üç üçüncü bölümden oluştuğunu varsayacağız. Koşul olarak, sayının üçte ikisi 600 rubleye eşittir. İlk önce, orijinal miktarın üçte birini buluyoruz ve ardından üçte üçü kaç ruble (orijinal miktar):
1) 600: 2 3 = 900 (s.)
Yanıt vermek: ilk miktar 900 ruble.
Bütünü parçalarına göre bulmanın ikinci yolu:
Onu ifade eden parçanın değerine göre bir bütün bulmak için, bu değeri bu parçayı ifade eden kesre bölebilirsiniz.
Amaç 3. Bölüm AB 42 cm eşit parçanın uzunluğudur CD... Bir doğru parçasının uzunluğunu bulun CD.
Çözüm: 
Yanıt vermek: segment uzunluğu CD 70 cm.
Görev 4. Dükkana karpuz getirdiler. Öğle yemeğinden önce mağaza, öğle yemeğinden sonra - getirilen karpuzları sattı ve 80 karpuz satmaya devam ediyor. Mağazaya toplam kaç karpuz getirildi?
Çözüm:önce getirilen karpuzların hangi kısmının 80 olduğunu bulalım. Bunu yapmak için, getirilen toplam karpuz sayısını bir birim olarak alalım ve ondan satmayı (satmayı) başardığımız karpuz sayısını çıkaralım:
Böylece toplam ithal karpuzun 80 karpuzdan oluştuğunu öğrendik. Şimdi toplam miktarın kaç tane karpuz olduğunu ve sonra kaç tane karpuz olduğunu (getirilen karpuz sayısı) öğreniyoruz:
2) 80: 4 15 = 300 (karpuz)
Yanıt vermek: mağazaya toplamda 300 karpuz getirildi.
ders içeriğiAynı paydaya sahip kesirler ekleme
İki tür kesir toplama vardır:
- Paydaları aynı olan kesirler toplama;
- Farklı paydalara sahip kesirler ekleme.
Önce paydaları aynı olan kesirleri toplamayı öğrenelim. Burada her şey basit. Aynı paydaya sahip kesirler eklemek için paylarını ekleyin ve paydayı değiştirmeden bırakın.
Örneğin, kesirler ve ile çalışalım. Payları ekleyin ve paydayı değiştirmeden bırakın:
Dört parçaya bölünmüş pizzayı düşünürseniz bu örnek kolayca anlaşılabilir. Pizzaya pizza eklerseniz, pizza elde edersiniz:
Örnek 2. Kesirleri ekleyin ve.
Cevap yanlış bir kesirdir. Sorunun sonu gelirse, yanlış kesirlerden kurtulmak gelenekseldir. Yanlış kesirden kurtulmak için içindeki tüm parçayı seçmeniz gerekir. Bizim durumumuzda, tüm kısım kolayca ayırt edilir - ikiye bölünmüş iki bir olacaktır:
İki parçaya bölünmüş pizzayı düşünürseniz bu örnek kolayca anlaşılabilir. Pizzaya pizza eklerseniz, bir bütün pizza elde edersiniz:
Örnek 3... Kesirleri ekleyin ve.
Yine, payları toplayın ve paydayı değiştirmeden bırakın:
Bu örnek, üç parçaya bölünmüş pizzayı düşünürseniz kolayca anlaşılabilir. Pizzaya pizza eklerseniz, pizza elde edersiniz:
Örnek 4. Bir ifadenin değerini bulun 
Bu örnek öncekilerle aynı şekilde çözülmüştür. Paylar eklenmeli ve payda değişmeden bırakılmalıdır:
Çözümümüzü bir resim kullanarak göstermeye çalışalım. Pizzaya pizza eklerseniz pizzaya pizza eklerseniz 1 bütün ve daha fazla pizza elde edersiniz.
Gördüğünüz gibi, aynı paydalara sahip kesirleri toplamanın zor bir tarafı yok. Aşağıdaki kuralları anlamak yeterlidir:
- Aynı paydalara sahip kesirler eklemek için, paylarını eklemeniz ve paydayı değiştirmeden bırakmanız gerekir;
Farklı paydalara sahip kesirler ekleme
Şimdi farklı paydalara sahip kesirlerin nasıl ekleneceğini öğrenelim. Kesirleri toplarken, bu kesirlerin paydaları aynı olmalıdır. Ama her zaman aynı değiller.
Örneğin, paydaları aynı olduğu için ve kesirleri toplayabilirsiniz.
Ancak kesirlerin paydaları farklı olduğundan kesirler hemen toplanamaz. Bu gibi durumlarda, kesirler aynı (ortak) paydaya indirgenmelidir.
Kesirleri aynı paydaya getirmenin birkaç yolu vardır. Bugün bunlardan sadece birini ele alacağız, çünkü yöntemlerin geri kalanı yeni başlayanlar için zor görünebilir.
Bu yöntemin özü, her iki kesrin paydaları için önce (LCM)'nin aranmasıdır. Daha sonra LCM, birinci fraksiyonun paydasına bölünür ve ilk ek faktör elde edilir. Aynısını ikinci kesir için yapın - LCM, ikinci kesrin paydasına bölünür ve ikinci bir ek faktör elde edilir.
Daha sonra kesirlerin payları ve paydaları ek çarpanlarıyla çarpılır. Bu işlemler sonucunda paydaları farklı olan kesirler, paydaları aynı olan kesirlere dönüştürülür. Ve bu tür kesirleri nasıl ekleyeceğimizi zaten biliyoruz.
örnek 1... Kesirleri ekleyin ve
Her şeyden önce, her iki kesrin paydalarının en küçük ortak katını buluyoruz. Birinci kesrin paydası 3, ikinci kesrin paydası 2'dir. Bu sayıların en küçük ortak katı 6'dır.
LCM (2 ve 3) = 6
Şimdi kesirlere dönüyoruz ve. İlk olarak, LCM'yi birinci kesrin paydasına bölün ve ilk ek faktörü alın. LCM 6 sayısıdır ve ilk kesrin paydası 3 sayısıdır. 6'yı 3'e bölersek 2 elde ederiz.
Ortaya çıkan sayı 2, ilk ek faktördür. İlk kısma yazıyoruz. Bunu yapmak için, kesrin üzerine küçük bir eğik çizgi çizin ve üzerinde bulunan ek faktörü yazın:
Aynı şeyi ikinci fraksiyonla da yapıyoruz. LCM'yi ikinci kesrin paydasına böleriz ve ikinci ek faktörü alırız. LCM 6 sayısıdır ve ikinci kesrin paydası 2 sayısıdır. 6'yı 2'ye bölersek 3 elde ederiz.
Ortaya çıkan sayı 3, ikinci ek faktördür. İkinci kısma yazıyoruz. Yine ikinci fraksiyonun üzerine küçük bir eğik çizgi çiziyoruz ve bunun üzerine bulunan ek çarpanı yazıyoruz:
Artık eklemeye hazırız. Kesirlerin paylarını ve paydalarını ek faktörlerinizle çarpmaya devam ediyor:
Geldiğimiz noktaya yakından bakın. Paydaları farklı olan kesirlerin paydaları aynı olan kesirlere dönüştüğü sonucuna vardık. Ve bu tür kesirleri nasıl ekleyeceğimizi zaten biliyoruz. Bu örneği sonuna kadar bitirelim:
Böylece örnek sona erer. Eklemek için çıkıyor.
Çözümümüzü bir resim kullanarak göstermeye çalışalım. Pizzaya pizza eklerseniz, bir bütün pizza ve başka bir altıncı pizza elde edersiniz:
Kesirlerin aynı (ortak) paydaya indirgenmesi de bir resim kullanılarak gösterilebilir. Kesirleri ve ortak bir paydaya indirgeyerek, kesirleri elde ettik ve. Bu iki kesir aynı pizza dilimleri ile temsil edilecektir. Tek fark, bu sefer eşit paylara (aynı paydaya indirgenmiş) bölünecek olmalarıdır.
İlk resim bir kesri (altı parçadan dördü) ve ikinci resim bir kesri (altı parçadan üçü) gösteriyor. Bu parçaları bir araya getirerek elde ederiz (altıda yedi parça). Bu kesir yanlış, bu yüzden içindeki tüm kısmı seçtik. Sonuç olarak, aldık (bir bütün pizza ve başka bir altıncı pizza).
Bu örneği çok ayrıntılı olarak açıkladığımızı unutmayın. Eğitim kurumlarında bu kadar ayrıntılı bir şekilde yazmak geleneksel değildir. Hem paydaların hem de bunlara ek faktörlerin LCM'sini hızlı bir şekilde bulabilmeniz ve bulunan ek faktörleri pay ve paydalarınızla hızla çarpabilmeniz gerekir. Okuldayken, bu örneği aşağıdaki gibi yazmamız gerekir:
Ancak madalyonun bir dezavantajı da var. Matematik çalışmanın ilk aşamalarında ayrıntılı notlar almazsanız, bu tür sorular ortaya çıkmaya başlar. "Bu rakam nereden geliyor?" "Kesirler neden birdenbire tamamen farklı kesirlere dönüşüyor? «.
Farklı paydalara sahip kesirler eklemeyi kolaylaştırmak için aşağıdaki adım adım talimatları kullanabilirsiniz:
- Kesirlerin paydalarının LCM'sini bulun;
- LCM'yi her kesrin paydasına bölün ve her kesir için ek bir faktör elde edin;
- Kesirlerin pay ve paydalarını ek çarpanlarınızla çarpın;
- Aynı paydaya sahip kesirler ekleyin;
- Cevap yanlış bir kesir olduğu ortaya çıkarsa, tüm kısmını seçin;
Örnek 2. Bir ifadenin değerini bulun 
.
Yukarıdaki talimatları kullanalım.
Adım 1. Kesirlerin paydalarının LCM'sini bulun
Her iki kesrin paydalarının LCM'sini bulun. Kesirlerin paydaları 2, 3 ve 4 sayılarıdır.
Adım 2. LCM'yi her fraksiyonun paydasına bölün ve her fraksiyon için ek bir faktör alın
LCM'yi ilk kesrin paydasına böleriz. LCM 12 sayısıdır ve ilk kesrin paydası 2 sayısıdır. 12'yi 2'ye bölersek 6 elde ederiz. İlk ek çarpanı 6 elde ederiz. İlk kesrin üzerine yazarız:
Şimdi LCM'yi ikinci kesrin paydasına bölüyoruz. LCM 12 sayısıdır ve ikinci kesrin paydası 3 sayısıdır. 12'yi 3'e bölersek 4 elde ederiz. İkinci ek çarpanı 4 elde ederiz. İkinci kesrin üzerine yazarız:
Şimdi LCM'yi üçüncü kesrin paydasına bölüyoruz. LCM 12 sayısıdır ve üçüncü fraksiyonun paydası 4 sayısıdır. 12'yi 4'e bölersek 3 elde ederiz. Üçüncü ek çarpanı elde ederiz 3'ü üçüncü fraksiyonun üzerine yazarız:
Adım 3. Kesirlerin paylarını ve paydalarını ek çarpanlarınızla çarpın
Payları ve paydaları ek çarpanlarımızla çarpıyoruz:
Adım 4. Aynı paydalara sahip kesirler ekleyin
Paydaları farklı olan kesirlerin aynı (ortak) paydalara sahip kesirlere dönüştüğü sonucuna vardık. Bu kesirleri eklemek için kalır. Ekleriz:
Ekleme bir satıra sığmadı, bu yüzden kalan ifadeyi bir sonraki satıra taşıdık. Matematikte buna izin verilir. Bir ifade bir satıra sığmadığında sonraki satıra aktarılır ve her zaman ilk satırın sonuna ve yeni satırın başına eşittir işareti (=) koymanız gerekir. İkinci satırdaki eşittir işareti, bunun ilk satırdaki ifadenin devamı olduğunu gösterir.
Adım 5. Cevabın yanlış bir kesir olduğu ortaya çıkarsa, içindeki tüm kısmı seçin
Cevabımızda yanlış kesir aldık. Bütün parçayı ondan seçmeliyiz. Vurgulamak:
bir cevap aldı
Paydaları aynı olan kesirleri çıkarma
İki tür kesir çıkarma işlemi vardır:
- Paydaları aynı olan kesirleri çıkarma
- Farklı paydalara sahip kesirleri çıkarma
İlk önce, aynı paydaya sahip kesirlerin çıkarılmasını inceleyelim. Burada her şey basit. Bir kesirden diğerini çıkarmak için, ikinci kesrin payını birinci kesrin payından çıkarmanız ve paydayı aynı bırakmanız gerekir.
Örneğin, bir ifadenin değerini bulalım. Bu örneği çözmek için, ikinci kesrin payını birinci kesrin payından çıkarın ve paydayı değiştirmeden bırakın. Öyleyse hadi yapalım:
Dört parçaya bölünmüş pizzayı düşünürseniz bu örnek kolayca anlaşılabilir. Pizzadan pizza keserseniz, pizza elde edersiniz:
Örnek 2. ifadesinin değerini bulunuz.
Yine, ikinci kesrin payını birinci kesrin payından çıkarın ve paydayı değiştirmeden bırakın:
Bu örnek, üç parçaya bölünmüş pizzayı düşünürseniz kolayca anlaşılabilir. Pizzadan pizza keserseniz, pizza elde edersiniz:
Örnek 3. Bir ifadenin değerini bulun 
Bu örnek öncekilerle aynı şekilde çözülmüştür. İlk kesrin payından, kalan kesirlerin paylarını çıkarmanız gerekir:
Gördüğünüz gibi, aynı paydalara sahip kesirleri çıkarmada zor bir şey yok. Aşağıdaki kuralları anlamak yeterlidir:
- Bir kesirden diğerini çıkarmak için, ikinci kesrin payını birinci kesrin payından çıkarmanız ve paydayı değiştirmeden bırakmanız gerekir;
- Cevabın yanlış bir kesir olduğu ortaya çıkarsa, içindeki tüm kısmı seçmeniz gerekir.
Farklı paydalara sahip kesirleri çıkarma
Örneğin, bu kesirlerin paydaları aynı olduğundan, bir kesirden bir kesir çıkarabilirsiniz. Ancak bu kesirlerin paydaları farklı olduğu için bir kesirden bir kesir çıkaramazsınız. Bu gibi durumlarda, kesirler aynı (ortak) paydaya indirgenmelidir.
Ortak payda, farklı paydalara sahip kesirleri toplarken kullandığımız prensibe göre bulunur. Her şeyden önce, her iki kesrin paydalarının LCM'sini bulun. Daha sonra LCM, birinci fraksiyonun paydasına bölünür ve ilk fraksiyonun üzerine yazılan ilk ek faktör elde edilir. Benzer şekilde, LCM ikinci fraksiyonun paydasına bölünür ve ikinci fraksiyonun üzerine yazılan ikinci bir ek faktör elde edilir.
Kesirler daha sonra ek faktörleriyle çarpılır. Bu işlemler sonucunda paydaları farklı olan kesirler, paydaları aynı olan kesirlere dönüştürülür. Bu tür kesirleri nasıl çıkaracağımızı zaten biliyoruz.
Örnek 1. Bir ifadenin değerini bulun:
Bu kesirlerin farklı paydaları vardır, bu yüzden onları aynı (ortak) paydaya getirmeniz gerekir.
İlk olarak, her iki kesrin paydalarının LCM'sini buluyoruz. Birinci kesrin paydası 3, ikinci kesrin paydası 4'tür. Bu sayıların en küçük ortak katı 12'dir.
LCM (3 ve 4) = 12
Şimdi kesirlere dönelim ve
İlk kesir için ek bir faktör bulalım. Bunu yapmak için, LCM'yi ilk kesrin paydasına böleriz. LCM 12 sayısıdır ve ilk kesrin paydası 3 sayısıdır. 12'yi 3'e bölersek 4 elde ederiz. İlk kesrin üzerine dördü yaz:
Aynı şeyi ikinci fraksiyonla da yapıyoruz. LCM'yi ikinci kesrin paydasına böleriz. LCM 12 sayısıdır ve ikinci kesrin paydası 4 sayısıdır. 12'yi 4'e bölersek 3 elde ederiz. Üçünü ikinci kesrin üzerine yazın:
Artık çıkarmaya hazırız. Kesirleri ek faktörleriyle çarpmaya devam ediyor:
Paydaları farklı olan kesirlerin paydaları aynı olan kesirlere dönüştüğü sonucuna vardık. Bu tür kesirleri nasıl çıkaracağımızı zaten biliyoruz. Bu örneği sonuna kadar bitirelim:
bir cevap aldı
Çözümümüzü bir resim kullanarak göstermeye çalışalım. Pizzadan pizza keserseniz pizza alırsınız.
Bu, çözümün ayrıntılı bir sürümüdür. Okulda bu örneği daha kısa yoldan çözmemiz gerekirdi. Böyle bir çözüm şöyle görünecektir:
Kesirlerin ve ortak bir paydaya indirgenmesi de şekil kullanılarak gösterilebilir. Bu kesirleri ortak bir paydaya getirerek, kesirleri elde ettik. Bu kesirler aynı pizza dilimleriyle temsil edilecek, ancak bu sefer eşit parçalara bölünecekler (aynı paydaya indirgenecek):
İlk çizim bir kesri (on iki parçadan sekizi) ve ikinci çizim bir kesri (on iki parçadan üçü) gösteriyor. Sekiz parçadan üç parça kesip on iki parçadan beş parça alıyoruz. Kesir ve bu beş parçayı açıklar.
Örnek 2. Bir ifadenin değerini bulun 
Bu kesirlerin farklı paydaları vardır, bu yüzden önce onları aynı (ortak) paydaya getirmeniz gerekir.
Bu kesirlerin paydalarının LCM'sini bulalım.
Kesirlerin paydaları 10, 3 ve 5'tir. Bu sayıların en küçük ortak katı 30'dur.
LCM (10, 3, 5) = 30
Şimdi her kesir için ek faktörler buluyoruz. Bunu yapmak için, LCM'yi her kesrin paydasına böleriz.
İlk kesir için ek bir faktör bulalım. LCM, 30 sayısıdır ve ilk kesrin paydası 10'dur. 30'u 10'a bölersek, ilk ek faktörü 3 elde ederiz. İlk kesrin üzerine yazarız:
Şimdi ikinci kesir için ek bir faktör buluyoruz. LCM'yi ikinci kesrin paydasına bölün. LCM 30 sayısıdır ve ikinci fraksiyonun paydası 3 sayısıdır. 30'u 3'e bölersek ikinci ek 10 faktörünü elde ederiz. İkinci fraksiyonun üzerine yazarız:
Şimdi üçüncü kesir için ek bir faktör buluyoruz. LCM'yi üçüncü kesrin paydasına bölün. LCM 30 sayısıdır ve üçüncü fraksiyonun paydası 5'tir. 30'u 5'e böleriz, üçüncü ek faktörü 6 alırız. Üçüncü fraksiyonun üzerine yazarız:
Artık her şey çıkarma işlemi için hazırdır. Kesirleri ek faktörleriyle çarpmaya devam ediyor:
Paydaları farklı olan kesirlerin aynı (ortak) paydalara sahip kesirlere dönüştüğü sonucuna vardık. Bu tür kesirleri nasıl çıkaracağımızı zaten biliyoruz. Bu örneği bitirelim.
Örneğin devamı bir satıra sığmayacağı için devamı bir sonraki satıra aktarıyoruz. Yeni bir satırda eşittir işaretini (=) unutmayın:
Cevapta, doğru kesri bulduk ve her şey bize uyuyor gibi görünüyor, ancak çok hantal ve çirkin. Bunu kolaylaştırmalıydık. Ne yapılabilir? Bu kısmı kısaltabilirsiniz.
Bir kesri azaltmak için payını ve paydasını 20 ve 30 (GCD) sayılarına bölmeniz gerekir.
Böylece, 20 ve 30 sayılarının GCD'sini buluyoruz:
Şimdi örneğimize dönüyoruz ve kesrin payını ve paydasını bulunan GCD'ye, yani 10'a bölüyoruz.
bir cevap aldı
Bir kesri bir sayı ile çarpma
Bir kesri bir sayı ile çarpmak için, bu kesrin payını bu sayı ile çarpmanız ve paydayı değiştirmeden bırakmanız gerekir.
örnek 1... Kesri 1 ile çarpın.
Kesrin payını 1 ile çarpın
Kayıt, yarım 1 kez almak olarak anlaşılabilir. Örneğin, 1 kez pizza alırsanız, pizza alırsınız.
Çarpma yasalarından, çarpan ve çarpan ters çevrilirse, ürünün değişmeyeceğini biliyoruz. İfade olarak yazılırsa, ürün yine eşit olacaktır. Yine, bir tamsayı ile bir kesri çarpma kuralı işe yarar:
Bu kayıt, birinin yarısını almak olarak anlaşılabilir. Örneğin, 1 bütün pizza varsa ve yarısını alırsak, o zaman pizzamız olur:
Örnek 2... Bir ifadenin değerini bulun
Kesirinizin payını 4 ile çarpın
Cevap yanlış bir kesirdir. İçindeki tüm parçayı seçelim:
İfade iki çeyrek 4 kez almak olarak anlaşılabilir. Örneğin, 4 kez pizza alırsanız, iki bütün pizza alırsınız.
Çarpanı ve çarpanı yer yer değiştirirsek, ifadeyi elde ederiz. Ayrıca 2'ye eşit olacaktır. Bu ifade, dört bütün pizzadan iki pizza almak olarak anlaşılabilir:
Bir kesirle ve bir kesrin paydasıyla çarpılan bir sayıya, ortak bir çarpanları birden büyükse izin verilir.
Örneğin, bir ifade iki şekilde değerlendirilebilir.
ilk yol... 4'ü kesrin payı ile çarpın ve kesrin paydasını değiştirmeden bırakın:
ikinci yol... Kesrin paydasındaki çarpılan dört ve dört iptal edilebilir. İki dördün en büyük ortak böleni dördün kendisi olduğundan, bu dörtleri 4 ile iptal edebilirsiniz:
Aynı sonuç elde edildi 3. Dörtlülerin azaltılmasından sonra, onların yerine yeni sayılar oluşur: iki tane. Ama bir ile üçü çarpıp bire bölmek hiçbir şeyi değiştirmez. Bu nedenle, çözüm daha kısa yazılabilir:
İndirgeme ilk yöntemi kullanmaya karar verdiğimizde bile yapılabilir, ancak 4 sayısı ile 3 payını çarpma aşamasında azaltmayı kullanmaya karar verdik:
Ancak, örneğin, ifade yalnızca ilk şekilde hesaplanabilir - kesrin paydasıyla 7'yi çarpın ve paydayı değiştirmeden bırakın:
Bunun nedeni, kesrin 7 sayısının ve paydasının birden büyük ortak bir böleni olmaması ve buna göre iptal olmamasıdır.
Bazı öğrenciler, kesrin çarpımını ve payını yanlışlıkla kısaltır. Bu yapılamaz. Örneğin, aşağıdakiler doğru değildir:
Kesir azaltma şu anlama gelir: ve pay ve payda aynı sayıya bölünecektir. Bir ifadenin olduğu bir durumda, bölme sadece payda yapılır, çünkü onu yazmak, yazmakla aynı şeydir. Bölmenin sadece payda yapıldığını, paydada bölme yapılmadığını görüyoruz.
kesirlerin çarpımı
Kesirleri çarpmak için pay ve paydalarını çarpmanız gerekir. Cevap yanlış bir kesir olduğu ortaya çıkarsa, içindeki tüm kısmı seçmeniz gerekir.
Örnek 1. ifadesinin değerini bulunuz.
Bir cevap aldık. Bu fraksiyonu kısaltmak arzu edilir. Kesir 2 azaltılabilir. Daha sonra nihai karar aşağıdaki şekli alacaktır:
İfade, pizzanın yarısından pizza almak olarak anlaşılabilir. Diyelim ki yarım pizzamız var:
Bu yarının üçte ikisi nasıl elde edilir? İlk önce, bu yarıyı üç eşit parçaya bölmeniz gerekir:
Ve bu üç parçadan ikisini alın:
Pizza yapacağız. Üç parçaya bölündüğünde bir pizzanın nasıl göründüğünü hatırlayın:
Bu pizzadan bir dilim ve aldığımız iki dilim aynı ölçülere sahip olacak:
Başka bir deyişle, aynı pizza büyüklüğünden bahsediyoruz. Bu nedenle, ifadenin değeri
Örnek 2... Bir ifadenin değerini bulun
Birinci fraksiyonun payını ikinci fraksiyonun payı ile ve birinci fraksiyonun paydasını ikinci fraksiyonun paydası ile çarparız:
Cevap yanlış bir kesirdir. İçindeki tüm parçayı seçelim:
Örnek 3. Bir ifadenin değerini bulun
Birinci fraksiyonun payını ikinci fraksiyonun payı ile ve birinci fraksiyonun paydasını ikinci fraksiyonun paydası ile çarparız:
Cevap doğru bir kesir, ancak onu azaltırsanız iyi olur. Bu kesri azaltmak için, bu kesrin payını ve paydasını 105 ve 450'nin en büyük ortak bölenine (GCD) bölmeniz gerekir.
Öyleyse, 105 ve 450 sayılarının GCD'sini bulalım:
Şimdi OBEB'e verdiğimiz cevabın payını ve paydasını şimdi bulduğumuz yani 15'e bölelim.
Bir tamsayının kesir gösterimi
Herhangi bir tam sayı kesir olarak gösterilebilir. Örneğin, 5 sayısı olarak temsil edilebilir. Bundan, beş, değerini değiştirmeyecektir, çünkü ifade "bire bölünen beş sayısı" anlamına gelir ve bu, bildiğiniz gibi, beşe eşittir:
ters sayılar
Şimdi matematikte çok ilginç bir konu ile tanışacağız. Buna "arka sayılar" denir.
Tanım. sayının tersia ile çarpıldığında bir sayıdıra bir verir.
Bu tanımda değişken yerine yerine koyalım a 5 numara ve tanımı okumaya çalışın:
sayının tersi 5 ile çarpıldığında bir sayıdır 5 bir verir.
5 ile çarpıldığında 1 veren bir sayı bulabilir misiniz? Yapabileceğin ortaya çıktı. Beşi bir kesir olarak gösterelim:
Sonra bu kesri kendisiyle çarpın, sadece pay ve paydanın yerlerini değiştirin. Başka bir deyişle, kesri kendisiyle çarparız, sadece ters çevrilir:
Bunun sonucu ne olacak? Bu örneği çözmeye devam edersek, bir tane elde ederiz:
Bu, 5'in tersinin bir sayı olduğu anlamına gelir, çünkü 5 ile çarpıldığında bir elde edilir.
Karşılıklı, başka herhangi bir tamsayı için de bulunabilir.
Diğer kesirlerin tersini de bulabilirsiniz. Bunu yapmak için, sadece ters çevirin.
Bir kesri sayıya bölme
Diyelim ki yarım pizzamız var:
Eşit olarak ikiye bölelim. Her biri ne kadar pizza alacak?
Pizzanın yarısını böldükten sonra her biri bir pizza oluşturan iki eşit dilim olduğu görülüyor. Böylece herkes bir pizza alır.
Dersin Hedefleri:
- Kesirleri karşılaştırma becerilerinin gelişimini teşvik etmek,
- Paydaları farklı olan kesirlerde toplama ve çıkarma işlemleri,
- Sayıların en az ortak katını bulma bilgisini pekiştirin.
Bugün derste “Farklı paydalara sahip kesirlerde toplama ve çıkarma” konusu üzerinde çalışmaya devam ediyoruz.
Bu konuyla ilgili ikinci dersimiz, amaç:
İlk derste paydaları birbirinin asal veya katları olan kesirleri ele aldıysak, bugün işimiz daha karmaşık hale geliyor, bazı durumlarda paydaları asal çarpanlara genişleterek ortak bir payda bulmamız gerekecek. LCM'yi bulma.
Dersin sonunda, kurala aşina olmalısınız:
paydaları farklı olan kesirlerin nasıl eklendiği ve bu kuralın problem çözerken nasıl uygulanacağı.
3 dersten sonra, konuyu nasıl öğrendiğinizi kontrol eden görevlerin olacağı bir test yapılacaktır. Testte konumuzla ilgili 2 görev olacak: üçüncü görev - farklı paydalara sahip kesirlerde toplama ve çıkarma yapmak ve dördüncü görev: kuralı uygulamak için problemi çözmek. Bu nedenle, bugün standart için görevler üzerinde çalışıyoruz.
1. a) Sözlü çalışalım.
| 42 | 48 | 6 |
| 36 | 54 | 12 |
| 30 | 24 | 18 |
Bu dikdörtgene yakından bakın ve sayıların yerini hatırlamaya çalışın, belki bir desen fark edeceksiniz.
Şimdi bu sayıları bir taslakta geri yüklemeyi deneyin.
Kim hangi sayıları hatırladı?
Bu sayıların yerini nasıl iyi hatırlayabilirsin?
(6'nın katı olan sayılar, sağ üstteki dikdörtgenden başlayarak saat yönünde artan sıradadır)
Paydaları farklı ve payları eşit olan kesirlerin karşılaştırmasını tekrarlayalım.
Aşağıdaki kesirleri karşılaştırın:; ...
Bunları artan sırada düzenleyin.
b) Aşağıdaki sayı sırasına yakından bakın:
16, 10, 8, , 2007, 1961.
Toplam kaç sayı yazılır?
Kaç çift sayı? Onlara isim verin.
Üçüncü sayı nedir?
Sondan ikinci sayı.
Üç basamaklı sayı.
5'in katı.
Çoklu 10
3'ün katı.
9'a tam bölünür 1961 sayısı ne işe yarar?
Hangi sayı diğerlerinden farklıdır, yani bir dizi sayıya uymaz?
Bu kesir doğru mu yanlış mı?
Kısaltılmış mı yoksa indirgenemez mi?
Bu oranı azaltın.
2. Ödev kontrolü.
Paydaları farklı olan iki kesir nasıl karşılaştırılır?
Paydaları farklı olan kesirler nasıl toplanır?
Farklı paydalara sahip kesirleri nasıl çıkarırsınız?
Herhangi bir ödev sorunuz var mı? Öğretmen tarafından satırların kontrol edilmesi.
3. Kuralla çalışmaköğrencilerin yanlış cevaplarından sonra ders kitabına göre.
Matematikte, bazı kurallarda tek bir kelimeyi kaçıramazsınız. Ortak payda ve en küçük ortak payda her zaman aynı değildir.
Bir belediye başkanının benzetmesini dinleyin.
Hala elektrik yokken, bir şehrin belediye başkanı akşamları şehrin sokaklarında yürümeyi severdi. Bir şehirliyle karşılaştığında alnında bir yumru belirdi. ertesi gün bir kararname yayınladı: "Karanlıkta, bir fenerle sokağa çıkın." Ve akşam aynı şehir sakini ona rastladı. Belediye başkanı ondan bir el feneri istedi.
İşte, - dedi yoldan geçen biri.
mum nerede? Belediye başkanı sordu.
Ve ferman, fenerde bir mum olması gerektiğini söylemiyor ”diye yanıtladı.
Belediye başkanı ikinci bir kararname yayınladı: "Karanlıkta, bir fener ve bir mumla sokağa çıkın."
Üçüncü gün tarih tekerrür etti.
Belediye başkanı şimdiden kendini kaybetti.
Sence yoldan geçen biri belediye başkanına cevap mı verdi?
Emir, fenerin mumunun yakılması gerektiğini söylemiyor.
Belediye başkanı üçüncü kez bir kararname çıkarmak zorunda kaldı, ancak bundan sonra yoldan geçenler onu yalnız bıraktı.
Görevimiz kuralı iyi bilmek ve uygulayabilmektir. Bir kez daha tekrarlıyorum, bir standart üzerinde çalışıyoruz.
4. Egzersiz yapın.
Aşağıdaki kara tahta örneklerini istediğiniz gibi çözün.
Paydaların karşılıklı olarak asal sayılar olduğu ve büyük paydanın küçük olanın katı olduğu örnekleri çözdünüz.
Bu derste, farklı paydalara sahip kesirlerde toplama ve çıkarma işlemleri için daha karmaşık görevleri çözeceğiz.
Görevi kaydedin:
Öğrenci bizim karar verdiğimiz şekilde karar verirse, iki sayının LCM'sini nasıl bulacağını iyi bildiği ve bir tamsayı kısmı yanlış bir kesirden nasıl ayıracağını bildiği anlamına gelir, paydaların asal sayı olmadığını bilir.
Ve eğer bir öğrenci paydaları çarparak ortak bir payda bulursa, LCM'yi, yani kuralları, yani farklı paydalara sahip kesirlerin nasıl eklendiğini bilmediğini gösterir. Bu nedenle öncelikle paydalar asal sayılar ve birbirinin katı değilse paydaların LCM'sini bulmak gerekir.
Sınıfta çözülmesi gereken sayılar tahtaya yazılır: 309 d - i, 328, 340 (tekrar)
e) 
; tahtada gerçekleştirmek,
e) 
; kesrin indirgemesini tekrarladılar, testte bu görev var, standardın asimilasyonunu kontrol ediyor.
G) 
(kendi başına)
H) 
; LCM'yi (21,15) = 3 * 7 * 5 = 105 buluyoruz.
6. 327 numaralı sorunu kendiniz çözün.
7. Daha önce çalışılan materyalin tekrarı. 340.
Kesirleri azaltın:
Testte kesirlerde de bir azalma var, bu standart için bir görevdir.
8. Ders özeti.
a) Paydaları farklı olan kesirler nasıl toplanır ve çıkarılır?
b) İşaretleme.
c) Ev ödevleri: s.11,
Kesirli işlemler.
Dikkat!
ek var
Özel Bölüm 555'teki malzemeler.
Çok "çok değil ..." olanlar için
Ve "çok eşit ..." olanlar için
Öyleyse, kesirler nelerdir, kesir türleri, dönüşümler - hatırladık. Gelelim asıl meseleye.
Kesirlerle ne yapabilirsiniz? Evet, sıradan sayılarla olan her şey. Toplama, çıkarma, çarpma, bölme.
Tüm bu eylemlerle ondalık kesirler tamsayılı işlemlerden farklı değildir. Aslında, bu yüzden iyiler, ondalık. Tek şey, virgülü doğru koymanız gerektiğidir.
karışık sayılar, dediğim gibi, çoğu eylem için çok az kullanışlıdır. Hala kesirlere dönüştürülmeleri gerekiyor.
Ama ile eylemler sıradan kesirler daha kurnaz olacak. Ve çok daha önemli! Hatırlatmama izin ver: Harfler, sinüsler, bilinmeyenler vb. ile kesirli ifadelere sahip tüm eylemler, sıradan kesirli eylemlerden farklı değildir.! Kesirli işlemler tüm cebirin temelidir. Bu nedenle, tüm bu aritmetiği burada ayrıntılı olarak analiz edeceğiz.
Kesirlerde toplama ve çıkarma.
Herkes aynı paydalara sahip kesirler ekleyebilir (çıkarabilir) (umarım gerçekten!). Peki, tamamen unutkan olduğunuzu hatırlatmama izin verin: eklerken (çıkarırken) payda değişmez. Sonucun payını vermek için paylar eklenir (çıkarılır). Tip:
Kısacası, genel anlamda:
Peki paydalar farklıysa? Ardından, kesrin temel özelliğini kullanarak (burada yine işe yaradı!), Paydaları aynı yapıyoruz! Örneğin:
Burada 2/5 oranından 4/10 yapmamız gerekiyordu. Sadece paydaları aynı yapmak amacıyla. Her ihtimale karşı, 2/5 ve 4/10'un aynı kesir! Sadece 2/5 bizim için rahatsız edici ve 4/10 hiç bir şey değil.
Bu arada, matematikteki herhangi bir problemi çözmenin özü budur. biz ne zaman rahatsız ifadeler yapar aynı, ancak çözüm için zaten uygun.
Başka bir örnek:
Durum benzer. Burada 16'nın 48'ini yapıyoruz. 3 ile basit bir çarpma ile her şey açık. Ama burada şöyle bir şeyle karşılaştık:
Nasıl olunur?! Yediden dokuzunu yapmak zor! Ama biz akıllıyız, kuralları biliyoruz! dönüştürüyoruz Her kesir, böylece paydalar aynı olur. Buna "ortak bir paydaya dönüştürme" denir:
Nasıl! 63'ü nasıl bildim? Çok basit! 63, 7 ve 9 ile aynı anda bölünebilen bir sayıdır. Böyle bir sayı her zaman paydaları çarparak elde edilebilir. Örneğin, bir sayıyı 7 ile çarparsak, sonuç kesinlikle 7'ye bölünebilir olacaktır!
Birkaç kesir eklemeniz (çıkarmanız) gerekiyorsa, bunu çiftler halinde, adım adım yapmanıza gerek yoktur. Tüm kesirlerde ortak bir payda bulmanız ve her kesri bu paydaya getirmeniz yeterlidir. Örneğin:
Ve ortak payda nedir? Elbette 2, 4, 8 ve 16'yı çarpabilirsiniz. 1024'ü elde ederiz. Kabus. 16 sayısının 2, 4 ve 8'e tam bölünebildiğini bulmak daha kolaydır. Dolayısıyla bu sayılardan 16 almak kolaydır. Bu sayı ortak payda olacaktır. 1/2, 8/16'ya, 3/4'ü 12/16'ya, vb.
Bu arada 1024'ü ortak payda olarak alırsak her şey de yoluna girecek, sonunda her şey küçülecek. Hesaplamalar nedeniyle sadece herkes bu amaca ulaşamayacak ...
Örneği kendiniz tamamlayın. Logaritma değil ... 29/16 olmalı.
Öyleyse, kesirleri eklemek (çıkarmak) açıktır, umarım? Elbette, ek faktörlerle kısaltılmış bir versiyonda çalışmak daha kolaydır. Ancak bu zevk, dürüstçe alt sınıflarda çalışanlar için geçerlidir ... Ve hiçbir şeyi unutmamıştır.
Ve şimdi aynı eylemleri yapacağız, ancak kesirlerle değil, kesirli ifadeler... Burada yeni bir komisyon olacak, evet ...
Bu nedenle, iki kesirli ifade eklememiz gerekiyor:
Paydaları aynı yapmamız gerekiyor. Ve sadece yardımla çarpma işlemi! Yani bir kesrin temel özelliği dikte eder. Bu nedenle, paydadaki ilk kesire x'e bir ekleyemem. (ama güzel olurdu!). Ama paydaları çarparsan, görüyorsun, her şey birlikte büyüyecek! Yani kesrin bir satırını yazıyoruz, üstte bir boşluk bırakıyoruz, sonra onu ekliyoruz ve aşağıya unutmamak için paydaların çarpımını yazıyoruz:
Ve tabii ki sağ tarafta hiçbir şeyi çarpmıyoruz, parantezleri açmıyoruz! Ve şimdi sağ tarafın ortak paydasına bakarak şunu anlıyoruz: ilk kesirde payda x (x + 1) almak için, bu kesrin payı ve paydası (x + 1) ile çarpılmalıdır. . Ve ikinci kesirde - x ile. İşte olanlar:
Not! Parantezler burada göründü! Bu, birçoğunun bastığı tırmık. Tabii ki parantez değil, onların yokluğu. Parantezler çarptığımız için görünüyor bütün pay ve bütün payda! Ve onların ayrı parçaları değil ...
Sağ taraftaki payda payların toplamını yazıyoruz, her şey sayısal kesirlerde olduğu gibi, sonra sağ taraftaki payda parantezleri açıyoruz, yani. her şeyi çarparız ve benzerlerini veririz. Paydalarda parantez açmanıza, bir şeyleri çarpmanıza gerek yok! Genel olarak, bir çalışma paydalarda (herhangi bir) her zaman daha hoştur! Alırız:
Böylece cevabı aldık. Süreç uzun ve zor görünüyor, ancak uygulamaya bağlı. Örnekleri çözün, alışın, her şey basitleşecek. Kesirlere zamanında hakim olanlar, tüm bu işlemleri tek elle, makinede yapıyor!
Ve bir not daha. Pek çoğu ünlü olarak kesirlerle ilgilenir, ancak tüm sayılar. Beğen: 2 + 1/2 + 3/4 =? İkili nereye sabitlenir? Herhangi bir yere tutturmanıza gerek yok, ikiden bir kesir yapmanız gerekiyor. Kolay değil, ama çok basit! 2 = 2/1. Bunun gibi. Herhangi bir tam sayı kesir olarak yazılabilir. Pay sayının kendisidir, payda birdir. 7, 7/1'dir, 3, 3/1'dir, vb. Harflerde de durum aynıdır. (a + b) = (a + b) / 1, x = x / 1, vb. Ve sonra bu kesirler ile tüm kurallara göre çalışıyoruz.
Ek olarak - kesirlerin çıkarılması, bilgi yenilendi. Kesirlerin bir türden diğerine dönüşümünü tekrarladık. Yapabilir ve kontrol edebilirsiniz. Biraz çözelim mi?)
Hesaplamak:
Cevaplar (kargaşa içinde):
71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6
Kesirlerin çarpması / bölünmesi - sonraki derste. Kesirli tüm eylemler için de görevler vardır.
Bu siteyi beğendiyseniz...
Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)
Örnekleri çözme alıştırması yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama testi. Öğrenme - ilgiyle!)
fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.
Gerçek bir eğitim sürecinde, aynı paydalara sahip kesirlerin toplanması ve çıkarılması için çok fazla problem gerekli değildir - burada ders kitabından yeterli problem olacaktır. Tüm değeri bir birim olarak alınan çözümde sorunlara daha fazla dikkat edeceğiz. Ayrıca, ilk başta 2/2, 3/3, vb. olarak temsil etmek daha iyidir. büyüklükler.
163 ... Kız, kitabın 2/5'ini, ardından kitabın 1/5'ini daha okudu. Kitabın hangi bölümünü okudu?
164 ... Turistler tüm rotanın 1/7'sini, ardından 3/7'sini daha yürüdüler. Gidecekleri yolun ne kadarı kaldı?
165 ... İki traktör sürücüsü çayırların 5/9'unu, ilk traktör sürücüsü ise çayırların 2/9'unu biçmiştir. İkinci traktör sürücüsü çayırın hangi bölümünü biçti?
166 ... İlk traktör sürücüsü tarlanın 2/7'sini, ikincisi - tarlanın 3/7'sini sürdü. Birlikte 10'u sürdüler Ha... Alanın alanını belirleyin.
167 ... 150 (a – c) problemlerini kesirlerin çıkarılmasını kullanarak çözün.
168 ... 154 (1-2) problemlerini kesirlerin çıkarılmasını kullanarak çözün.
169 ... 1) Serçeler bir dalda oturuyordu. Serçelerin üçüncü kısmı uçup gittiğinde geriye 6 tane kalmıştır.Başlangıçta dalda kaç serçe vardı?
2) Biri parasının 3/4'ünü harcadı ve geriye 200'ü kaldı R. Ne kadar parası vardı?
3) İlk gün turistler planlanan rotanın 2/5'ini yürüdüler ve ikinci gün kalan 15 rotayı yürüdüler. km... Rota ne kadar?
4) Vasya'nın koleksiyonunda 200 pul bulunmaktadır. Son bir yılda koleksiyondaki pul sayısı 1/4 oranında arttı. Bir yıl önce koleksiyonda kaç pul vardı?
170 ... Öğle yemeğinden önce, tornacı görevlerin 2/8'ini tamamladı, öğleden sonra - görevlerin 3/8'ini tamamladı, ardından dönmesi için 24 parçası kaldı. Kaç parça öğütmesi gerekiyordu?
171 . İtibaren « Aritmetik » L.N. Tolstoy... Karı koca aynı sandıktan para aldı ve hiçbir şey kalmadı. Koca tüm paranın 7/10'unu aldı ve karısı 690 R. Bütün para ne kadardı?
172 ... Mısır papirüslerindeki sorunları iki şekilde çözün.
1) Miktar ve dördüncü kısmı birlikte 15 verir.
numara.
2) Sayı ve yarısı 9'dur. Sayıyı bulun.
173 ... Mısır problemlerine benzer bir problem yaratın ve iki şekilde çözün.
Bir sonraki problemden başlayarak, çözümler farklı paydalara sahip kesirlerin toplanması ve çıkarılmasını içerir. Bu materyal 5. sınıfta çalışılmamışsa, kesirlerle ilgili kalan görevler 6. sınıfa ertelenmelidir.
174 ... a) Her saat başı ilk boru havuzun 1/2'sini, ikinci boru ise havuzun 1/3'ünü doldurur. Her iki boru da havuzun hangi bölümünü doldurur 1 H Birlikte çalışma?
b) İlk tugay görevin 1/12'sini günde, ikinci - 1/8'ini tamamlayabilir. İki ekip 1 günlük ortak çalışmada görevin hangi bölümünü tamamlayacak?
c) Bir binek araç, şehirler arası mesafenin 1/10'unu bir saatte, bir kamyon ise bu mesafenin 1/12'sini kat etmektedir. 1'de bu mesafenin ne kadarına yaklaşıyorlar? H arabalar birbirine doğru giderken?
175 ... a) İki traktör sürücüsü 1 günlük ortak çalışmada tarlaların 2/3'ünü sürmüş. İlk traktör sürücüsü tarlanın 1/2'sini sürdü. İkinci traktör sürücüsü tarlanın hangi bölümünü sürdü?
b) Birbirine doğru giden iki araba 1'de yaklaştı H 1/3 iki şehir arasındaki mesafe. İlk araba bu mesafenin 1/8'ini sürdü. İkinci araba toplam yolun ne kadarını kapladı?
c) İki boru ile her saat havuzun 1/3'ü doldurulur. 1'deki ilk borudan H Havuzun 1/10'u dolmuştur. Havuzun hangi kısmı doldurulur 1 H ikinci borudan mı?
176 ... Namludan, içindeki suyun ilk 1/2'si, ardından 1/3, 1/15 ve 1/10'u döküldü. Suyun hangi kısmı döküldü?
177 * Yarım fincan sade kahve içtim ve üstüne süt ekledim. Daha sonra 1/3 su bardağı içtim ve üzerine süt ekledim. Sonra bardağın 1/6'sını içtim ve üzerine süt ekledim. Sonunda bardağın içindekileri bitirdim. Daha çok ne içtim: kahve mi süt mü?
178 . Eski görevler... 1) İki köyden aynı anda iki yaya birbirine doğru çıktı. Birincisi iki köy arasındaki mesafeyi 8'de kapsayabilir. H, ve ikincisi 6 için H. 1'de mesafenin hangi kısmına yaklaşıyorlar? H?
2) Hamamı inşa etmek için üç marangoz tutuldu; ilki tüm işin 2/33. gününde, ikincisi 1/11, üçüncüsü 7/55'te yaptı. Hepsi bir günde tüm işin hangi bölümünü yaptılar?
3) Makalenin yazışması için 4 katip tutuldu; ilki makaleyi 24 günde, ikincisi 36 günde, üçüncüsü 20 günde ve dördüncüsü 18 günde yeniden yazabiliyordu. Birlikte çalışırlarsa, denemenin hangi bölümünü bir günde yeniden yazacaklar?
179 ... 1) Daktilo, müsveddenin üçüncü bölümünü, ardından 10 sayfa daha bastı. Sonuç olarak, tüm el yazmasının yarısını yeniden bastı. El yazmasında kaç sayfa var?
2) eski sorun... Diğerine yetişen yoldan geçen bir kişi sordu: « Köy önümüzde ne kadar var? » Yoldan geçen başka bir kişi cevap verdi: « Yürüdüğünüz köye olan mesafe, köyler arasındaki toplam mesafenin üçte birine eşittir ve hala 2 verst yürürseniz, köylerin tam ortasında olursunuz. » ... İlk yoldan geçen kişinin yürümesi için hala kaç mil kaldı?
180 . Adam Riese (16. yüzyıl) sorunu.Üçü biraz para kazandı. İlki bu miktarın 1/4'ünü, ikinci 1/7'nin payını ve üçüncü 17 florinin payını oluşturuyordu. Toplam kazanç ne kadar büyük?
