Örnek 1. İlk torbada: üç kırmızı, bir beyaz top. İkinci torbada: bir kırmızı, üç beyaz top. Bir madeni para rastgele atılır: arması ilk torbadan seçilirse, aksi takdirde - ikinciden.
Karar:
a) kırmızı topun çekilme olasılığı
A - kırmızı top var
P 1 - arması düştü, P 2 - aksi halde
b) Kırmızı bir top seçilmiştir. İlk torbadan, ikinci torbadan alınma olasılığını bulun.
B 1 - ilk torbadan, B 2 - ikinci torbadan
,
Örnek 2. Bir kutuda 4 top var. Olabilir: yalnızca beyaz, yalnızca siyah veya beyaz ve siyah. (Kompozisyon bilinmiyor).
Karar:
A - beyaz topun olasılığı
a) Tamamen beyaz:
(üç seçenekten birinin beyaz seçeneklerin olduğu yerde yakalanma olasılığı)
(herkesin beyaz olduğu yerde beyaz bir topun görünme olasılığı)
b) Herkesin siyah olduğu yerden çekildi
c) hepsinin beyaz ve / veya siyah olduğu bir seçeneği çıkardı
- en az biri beyaz
P bir + P b + P c \u003d
Örnek 3. Torba 5 beyaz ve 4 siyah top içerir. Ondan arka arkaya 2 top çıkarılır. Her iki topun da beyaz olma olasılığını bulun.
Karar:
5 beyaz, 4 siyah top
P (A 1) - beyaz topu çıkardı
P (A 2) - ikinci topun da beyaz olma olasılığı
P (A) - arka arkaya beyaz toplar seçildi
Örnek 3a. Pakette 2 sahte ve 8 gerçek banknot var. Paketten arka arkaya 2 fatura çıkarıldı. Her ikisinin de sahte olma olasılığını bulun.
Karar:
P (2) \u003d 2/10 * 1/9 \u003d 1/45 \u003d 0.022
Örnek 4. 10 kutu vardır. 2 siyah ve 2 beyaz top içeren 9 torba vardır. 1 torbada 5 beyaz ve 1 siyah vardır. Rastgele alınan bir torbadan bir top çıkarıldı.
Karar:
P (A) -? beyaz top, 5'in beyaz olduğu torbadan alınır
B - 5'in beyaz olduğu torbadan çıkarılma olasılığı
, - diğerlerinden kaldırıldı
C 1 - beyaz topun 9 lvl'de görünme olasılığı.
С 2 - 5 olan beyaz bir topun ortaya çıkma olasılığı
P (A 0) \u003d P (B 1) P (C 1) + P (B 2) P (C 2)
Örnek 5. 20 silindirik silindir ve 15 konik. Toplayıcı 1 silindir alır ve ardından bir tane daha.
Karar:
a) her iki silindir de silindiriktir
P (Cı) \u003d; P (C 2) \u003d
Ц 1 - ilk silindir, Ц 2 - ikinci silindir
P (A) \u003d P (C 1) P (C 2) \u003d
b) En az bir silindir
K 1 - ilk koni.
K 2 - ikinci koni.
P (B) \u003d P (C 1) P (K 2) + P (C 2) P (K 1) + P (C 1) P (C 2)
;
c) birinci silindir ve ikinci silindir
P (C) \u003d P (C 1) P (K 2)
e) Tek bir silindir değil.
P (D) \u003d P (K 1) P (K 2)
f) Tam olarak 1 silindir
P (E) \u003d P (C 1) P (K 2) + P (K 1) P (K 2)
Örnek 6. Bir kutuda 10 standart parça ve 5 hatalı parça vardır.
Üç parça rastgele çekilir
a) Biri kusurlu
P n (K) \u003d C n k p k q n-k,
P, kusurlu ürünlerin olasılığıdır
q - standart parçaların olasılığı
n \u003d 3, üç bölüm
b) arızalı P'nin üç parçasından ikisi (2)
c) en az bir standart
P (0) - kusurlu değil
P \u003d P (0) + P (1) + P (2) - en az bir parçanın standart olma olasılığı
Örnek 7. 1. torbada 3 beyaz ve siyah top ve 2. - 3 beyaz ve 4 siyah top vardır. 2 top bakmadan 1. torbadan 2. torbaya kaydırılır ve ardından 2. torbadan 2 top çekilir. Farklı renklerde olma olasılığı nedir?
Karar:
Topları ilk torbadan transfer ederken aşağıdaki seçenekler mümkündür:
a) arka arkaya 2 beyaz top çıkardı
P BB 1 \u003d
İkinci adımda, her zaman bir top eksiği olacaktır, çünkü ilk adımda zaten bir top çıkarılmıştır.
b) bir beyaz ve bir siyah top çıkardı
Önce beyaz topun ardından siyah topun çıkarıldığı durum
P savaş başlığı \u003d
Önce siyah topun ardından beyaz topun çıkarıldığı durum
P BW \u003d
Toplam: P savaş başlığı 1 \u003d
c) arka arkaya 2 siyah top çıkardı
P HH 1 \u003d
İlk torbadan ikinci torbaya 2 top transfer edildiğinden, ikinci torbadaki toplam top sayısı 9 (7 + 2) olacaktır. Buna göre, tüm olası seçenekleri arayacağız:
a) önce beyaz, sonra ikinci torbadan siyah bir top çıkarıldı
P БЧ 2 P ББ 1 - Arka arkaya ilk torbadan 2 beyaz topun çıkarılması koşuluyla, önce beyaz, sonra siyah bir topun çıkarılma olasılığıdır. Bu nedenle bu durumda beyaz top sayısı 5'tir (3 + 2).
P CU 2 P CU 1 - Beyaz ve siyah topların ilk torbadan çıkarılması koşuluyla, önce beyazı sonra siyah topu çıkarma olasılıklarıdır. Bu nedenle bu durumda beyaz top sayısı 4 (3 + 1) ve siyah top sayısı beş (4 + 1).
P BCH 2 P HH 1 - her iki siyah topun arka arkaya ilk torbadan çıkarılması koşuluyla, önce beyazın, ardından siyah topun çıkarılma olasılığıdır. Bu nedenle bu durumda siyah top sayısı 6'dır (4 + 2).
Çıkarılan 2 topun farklı renklerde olma olasılığı:
Cevap: P \u003d 0.54
Örnek 7a. 5 beyaz ve 3 siyah top içeren 1. torbadan 2 top, 2 beyaz ve 6 siyah top içeren 2. torbaya rastgele transfer edildi. Sonra 2. torbadan rastgele 1 top alındı.
1) 2. torbadan atılan topun beyaz çıkma olasılığı nedir?
2) 2. torbadan çıkarılan top beyaz çıktı. 1. torbadan 2. torbaya farklı renkteki topların aktarılma olasılığını hesaplayın.
Karar.
1) Etkinlik A - 2. torbadan çıkarılan topun beyaz olduğu ortaya çıktı. Bu olayın meydana gelmesi için aşağıdaki seçenekleri değerlendirin.
a) İlk torbadan ikinciye iki beyaz top konuldu: P1 (bb) \u003d 5/8 * 4/7 \u003d 20/56.
İkinci torbada 4 beyaz top bulunmaktadır. Beyaz topu ikinci torbadan çıkarma olasılığı P2 (4) \u003d 20/56 * (2 + 2) / (6 + 2) \u003d 80/448
b) Beyaz ve siyah toplar ilk torbadan ikinciye yerleştirildi: P1 (bch) \u003d 5/8 * 3/7 + 3/8 * 5/7 \u003d 30/56.
İkinci torbada 3 beyaz top var. Beyaz topu ikinci torbadan çıkarma olasılığı P2 (3) \u003d 30/56 * (2 + 1) / (6 + 2) \u003d 90/448
c) İlk torbadan ikinciye iki siyah top konuldu: P1 (hh) \u003d 3/8 * 2/7 \u003d 6/56.
İkinci torbada 2 beyaz top var. Beyaz topu ikinci torbadan çıkarma olasılığı P2 (2) \u003d 6/56 * 2 / (6 + 2) \u003d 12/448
O zaman 2. torbadan çıkarılan topun beyaz çıkma olasılığı şuna eşittir:
P (A) \u003d 80/448 + 90/448 + 12/448 \u003d 13/32
2) 2. torbadan çıkarılan top beyaz çıktı, yani toplam olasılık P (A) \u003d 13/32.
Farklı renkteki topların (siyah ve beyaz) ikinci torbaya aktarılma ve beyaz seçilme olasılığı: P2 (3) \u003d 30/56 * (2 + 1) / (6 + 2) \u003d 90/448
P \u003d P2 (3) / P (A) \u003d 90/448 / 13/32 \u003d 45/91
Örnek 7b. İlk torbada 8 beyaz ve 3 siyah top bulunur, ikincisi 5 beyaz ve 3 siyah top içerir. Birinciden rastgele bir top, ikinciden iki top seçilir. Bundan sonra, seçilen üç toptan rastgele bir top alınır. Bu son topun siyah olduğu ortaya çıktı. İlk torbadan beyaz bir topun seçilme olasılığını bulun.
Karar.
A olayının tüm varyantlarını düşünün - üç toptan arasından çıkarılan top siyah çıktı. Üç topun arasında siyah olması nasıl olur?
a) İlk torbadan siyah bir top, ikinci torbadan iki beyaz top çıkarıldı.
P1 \u003d (3/11) (5/8 * 4/7) \u003d 15/154
b) İlk torbadan bir siyah top, ikinci torbadan iki siyah top çıkarıldı.
P2 \u003d (3/11) (3/8 * 2/7) \u003d 9/308
c) İlk torbadan bir siyah top, ikinci torbadan bir beyaz ve bir siyah top çıkarıldı.
P3 \u003d (3/11) (3/8 * 5/7 + 5/8 * 3/7) \u003d 45/308
d) İlk torbadan beyaz bir top, ikinci torbadan iki siyah top çıkarıldı.
P4 \u003d (8/11) (3/8 * 2/7) \u003d 6/77
e) İlk torbadan bir beyaz top, ikinci torbadan bir beyaz ve bir siyah top çıkarıldı.
P5 \u003d (8/11) (3/8 * 5/7 + 5/8 * 3/7) \u003d 30/77
Toplam olasılık: P \u003d P1 + P2 + P3 + P4 + P5 \u003d 15/154 + 9/308 + 45/308 + 6/77 + 30/77 \u003d 57/77
Beyaz bir torbadan beyaz bir topun seçilme olasılığı:
Pb (1) \u003d P4 + P5 \u003d 6/77 + 30/77 \u003d 36/77
Daha sonra, üç toptan siyah bir top seçilmesi koşuluyla, ilk torbadan beyaz bir topun seçilme olasılığı şuna eşittir:
Ph \u003d Pb (1) / P \u003d 36/77 / 57/77 \u003d 36/57
Örnek 7c. İlk torbada 12 beyaz ve 16 siyah top bulunur, ikincisi 8 beyaz ve 10 siyah top içerir. Aynı zamanda, 1. ve 2. torbadan bir top çekilir, karıştırılır ve her torbaya bir tane olmak üzere geri döndürülür. Daha sonra her torbadan bir top çekilir. Aynı renk olduğu ortaya çıktı. İlk torbada başlangıçta olduğu kadar çok sayıda beyaz topun kalması olasılığını belirleyin.
Karar.
Etkinlik A - 1. ve 2. torbadan aynı anda bir top çekilir.
İlk torbadan beyaz bir top çekme olasılığı: P1 (B) \u003d 12 / (12 + 16) \u003d 12/28 \u003d 3/7
İlk torbadan siyah bir top çekme olasılığı: P1 (H) \u003d 16 / (12 + 16) \u003d 16/28 \u003d 4/7
Beyaz topu ikinci torbadan çekme olasılığı: P2 (B) \u003d 8/18 \u003d 4/9
İkinci torbadan siyah bir top çekme olasılığı: P2 (H) \u003d 10/18 \u003d 5/9
Olay A gerçekleşti. Etkinlik B - her torbadan bir top çekilir. Karıştırdıktan sonra, topun beyaz veya siyah bir top torbasına dönme olasılığı ½'dur.
B olayının varyantlarını ele alalım - aynı renk oldukları ortaya çıktı.
İlk kavanoz için
1) ilk torbaya beyaz bir top koyun ve daha önce beyaz bir topun çekilmesi koşuluyla beyaz bir top çıkardı, P1 (BB \u200b\u200b/ A \u003d B) \u003d ½ * 12/28 * 3/7 \u003d 9/98
2) İlk torbaya beyaz bir top konuldu ve daha önce siyah bir top çekilmesi koşuluyla beyaz bir top çekildi, P1 (BB \u200b\u200b/ A \u003d H) \u003d ½ * 13/28 * 4/7 \u003d 13/98
3) ilk torbaya beyaz bir top koydular ve daha önce beyaz bir topun çekilmesi koşuluyla siyah bir top çıkardılar, P1 (BCH / A \u003d B) \u003d ½ * 16/28 * 3/7 \u003d 6/49
4) İlk torbaya beyaz bir top konuldu ve daha önce siyah bir top çekilmesi koşuluyla siyah bir top çıkarıldı, P1 (BCH / A \u003d H) \u003d ½ * 15/28 * 4/7 \u003d 15/98
5) ilk torbaya siyah bir top koyun ve daha önce beyaz bir topun çekilmesi koşuluyla beyaz bir top çıkardı, P1 (BW / A \u003d B) \u003d ½ * 11/28 * 3/7 \u003d 33/392
6) ilk torbaya siyah bir top koyun ve daha önce siyah bir topun çekilmesi koşuluyla beyaz bir top çıkardı, P1 (BW / A \u003d H) \u003d ½ * 12/28 * 4/7 \u003d 6/49
7) ilk torbaya siyah bir top koyun ve daha önce beyaz bir topun çekilmesi koşuluyla siyah bir top çıkardı, P1 (HH / A \u003d B) \u003d ½ * 17/28 * 3/7 \u003d 51/392
8) ilk torbaya siyah bir top koyun ve daha önce siyah bir top çekilmesi koşuluyla siyah bir top çıkardı, P1 (HH / A \u003d H) \u003d ½ * 16/28 * 4/7 \u003d 8/49
İkinci kavanoz için
1) ilk torbaya beyaz bir top koyun ve daha önce beyaz bir topun çekilmesi şartıyla beyaz bir top çıkardı, P1 (BB \u200b\u200b/ A \u003d B) \u003d ½ * 8/18 * 3/7 \u003d 2/21
2) ilk torbaya beyaz bir top koyun ve daha önce siyah bir top çekilmesi koşuluyla beyaz bir top çıkardı, P1 (BB \u200b\u200b/ A \u003d H) \u003d ½ * 9/18 * 4/7 \u003d 1/7
3) ilk sandığa beyaz bir top konuldu ve daha önce beyaz bir topun çekilmesi koşuluyla siyah bir top çekildi, P1 (BCH / A \u003d B) \u003d ½ * 10/18 * 3/7 \u003d 5/42
4) ilk torbaya beyaz bir top koyun ve daha önce siyah bir top çekilmesi koşuluyla siyah bir top çıkardı, P1 (BCH / A \u003d H) \u003d ½ * 9/18 * 4/7 \u003d 1/7
5) ilk sandığa siyah bir top koyun ve daha önce beyaz bir topun çekilmesi koşuluyla beyaz bir top çıkardı, P1 (BW / A \u003d B) \u003d ½ * 7/18 * 3/7 \u003d 1/12
6) İlk torbaya siyah bir top konuldu ve daha önce siyah bir top çekilmesi koşuluyla beyaz bir top çıktı, P1 (BW / A \u003d H) \u003d ½ * 8/18 * 4/7 \u003d 8/63
7) ilk torbaya siyah bir top koyun ve daha önce beyaz bir topun çekilmesi koşuluyla siyah bir top çıkardı, P1 (HH / A \u003d B) \u003d ½ * 11/18 * 3/7 \u003d 11/84
8) ilk torbaya siyah bir top koyun ve daha önce siyah bir top çekilmesi koşuluyla siyah bir top çıkardı, P1 (HH / A \u003d H) \u003d ½ * 10/18 * 4/7 \u003d 10/63
Topların aynı renk olduğu ortaya çıktı:
bir beyaz
P1 (B) \u003d P1 (BB \u200b\u200b/ A \u003d B) + P1 (BB \u200b\u200b/ A \u003d H) + P1 (BW / A \u003d B) + P1 (BW / A \u003d H) \u003d 9/98 + 13/98 + 33 / 392 + 6/49 \u003d 169/392
P2 (B) \u003d P1 (BB \u200b\u200b/ A \u003d B) + P1 (BB \u200b\u200b/ A \u003d H) + P1 (Siyah Beyaz / A \u003d B) + P1 (Siyah Beyaz / A \u003d H) \u003d 2/21 + 1/7 + 1 / 12 + 8/63 \u003d 113/252
b) siyah
P1 (H) \u003d P1 (BCH / A \u003d B) + P1 (BCH / A \u003d H) + P1 (HH / A \u003d B) + P1 (HH / A \u003d H) \u003d 6/49 + 15/98 + 51 / 392 + 8/49 \u003d 223/392
P2 (H) \u003d P1 (BCH / A \u003d B) + P1 (BCH / A \u003d H) + P1 (HH / A \u003d B) + P1 (HH / A \u003d H) \u003d 5/42 + 1/7 + 11 / 84 + 10/63 \u003d 139/252
P \u003d P1 (B) * P2 (B) + P1 (H) * P2 (H) \u003d 169/392 * 113/252 + 223/392 * 139/252 \u003d 5/42
Örnek 7d. İlk kutuda sırasıyla ikinci 3 ve 1 ve üçüncü - 4 ve 5 olmak üzere 5 beyaz ve 4 mavi top vardır. Rastgele bir kutu seçildi ve içinden bir top mavi çıktı. Bu topun ikinci kutudan çıkma olasılığı nedir?
Karar.
A - mavi top çıkarma olayı. Böyle bir olayın sonucu için tüm seçenekleri göz önünde bulundurun.
H1 - ilk kutudan çıkan top,
H2 - ikinci kutudan çıkarılan top,
H3 - üçüncü kutudan çekilen top.
P (H1) \u003d P (H2) \u003d P (H3) \u003d 1/3
Problemin durumuna göre, A olayının koşullu olasılıkları şunlardır:
P (A | H1) \u003d 4 / (5 + 4) \u003d 4/9
P (A | H2) \u003d 1 / (3 + 1) \u003d 1/4
P (A | H3) \u003d 5 / (4 + 5) \u003d 5/9
P (A) \u003d P (H1) * P (A | H1) + P (H2) * P (A | H2) + P (H3) * P (A | H3) \u003d 1/3 * 4/9 + 1 / 3 * 1/4 + 1/3 * 5/9 \u003d 5/12
İkinci kutudaki bu topun şuna eşit olma olasılığı:
P2 \u003d P (H2) * P (A | H2) / P (A) \u003d 1/3 * 1/4/5/12 \u003d 1/5 \u003d 0,2
Örnek 8. Her biri 30 top içeren beş kutunun her biri 5 kırmızı top (bu bir H1 bileşim kutusudur), her biri 20 top içeren altı diğer kutuda 4 kırmızı top (bu bir H2 bileşimi kutusudur). İlk beş kutudan birinde rastgele bir kırmızı topun bulunma olasılığını bulun.
Çözüm: Toplam olasılık formülünü uygulama görevi.
P (H 1) \u003d 5/11
Olasılık hiç alınan top altı kutudan birinde yer alır:
P (H 2) \u003d 6/11
Olay oldu - kırmızı bir top çıkardılar. Bu nedenle, bu iki durumda olabilir:
a) ilk beş kutudan çıkarıldı.
P 5 \u003d 5 kırmızı top * 5 kutu / (30 top * 5 kutu) \u003d 1/6
P (P 5 / H 1) \u003d 1/6 * 5/11 \u003d 5/66
b) diğer altı kutudan çıkarıldı.
P 6 \u003d 4 kırmızı top * 6 kutu / (20 top * 6 kutu) \u003d 1/5
P (P 6 / H 2) \u003d 1/5 * 6/11 \u003d 6/55
Toplam: P (P 5 / H 1) + P (P 6 / H 2) \u003d 5/66 + 6/55 \u003d 61/330
Bu nedenle, ilk beş kutudan birinde rastgele bir kırmızı topun bulunma olasılığı:
P k.sh. (H1) \u003d P (P 5 / H 1) / (P (P 5 / H 1) + P (P 6 / H 2)) \u003d 5/66 / 61/330 \u003d 25/61
Örnek 9. Torba 2 beyaz, 3 siyah ve 4 kırmızı top içerir. Rastgele üç topu çıkarın. En az iki topun aynı renk olma olasılığı nedir?
Karar. Toplamda, olayların üç olası sonucu vardır:
a) Çekilen üç top arasında en az iki beyaz top vardır.
P b (2) \u003d P 2b
Bu testler için olası temel sonuçların toplam sayısı, 9'dan 3 topun çıkarılabileceği yolların sayısına eşittir:
Seçilen 3 top arasından 2'sinin beyaz olma olasılığını bulun.
2 beyaz toptan arasından seçim sayısı:
Üçüncü top 7 diğer top arasından seçim yapabileceğiniz seçenek sayısı:
b) çekilen üç top arasından en az ikisi siyahtır (yani, 2 siyah veya 3 siyah).
Seçilen 3 top arasından 2'sinin siyah olma olasılığını bulun.
3 siyah toptan arasından seçim sayısı:
Bir topun diğer 6 topundan seçim yapabileceğiniz seçenek sayısı:
P 2h \u003d 0.214
Seçilen tüm topların siyah olma olasılığını bulun.
P h (2) \u003d 0,214 + 0,0119 \u003d 0,2259
c) çekilen üç top arasında en az iki kırmızı top (yani, 2 kırmızı veya 3 kırmızı).
Seçilen 3 top arasından 2'sinin kırmızı olma olasılığını bulun.
4 siyah toptan arasından seçim sayısı:
Diğer 1 beyaz olmak üzere 5 beyaz top arasından seçim yapabileceğiniz seçenek sayısı:
Seçilen tüm topların kırmızı olma olasılığını bulun.
P k (2) \u003d 0,357 + 0,0476 \u003d 0,4046
O zaman en az iki topun aynı renkte olma olasılığı: P \u003d P b (2) + P h (2) + P k (2) \u003d 0.0833 + 0.2259 + 0.4046 \u003d 0.7138
Örnek 10. İlk torbada 7'si beyaz olmak üzere 10 top bulunur; ikinci torbada 5 tanesi beyaz olan 20 top vardır. Her torbadan rastgele bir top alındı \u200b\u200bve ardından bu iki toptan rastgele bir top alındı. Beyaz bir topun alınma olasılığını bulun.
Karar. Beyaz bir topun ilk torbadan çıkarılma olasılığı P (b) 1 \u003d 7 / 10'dur. Buna göre siyah topu çekme olasılığı P (h) 1 \u003d 3 / 10'dur.
İkinci torbadan beyaz bir topun çıkarılma olasılığı P (b) 2 \u003d 5/20 \u003d 1 / 4'tür. Buna göre siyah topu çekme olasılığı P (h) 2 \u003d 15/20 \u003d 3/4'tür.
Etkinlik A - iki toptan beyaz bir top alınır
A olayının sonucu için seçenekleri düşünün.
- ilk torbadan beyaz bir top ve ikinci torbadan beyaz bir top çıkardılar. Sonra bu iki toptan beyaz bir top çıkarıldı. P1 \u003d 7/10 * 1/4 \u003d 7/40
- ilk torbadan beyaz bir top çıkardılar, ikinci torbadan siyah bir top çıkardılar. Sonra bu iki toptan beyaz bir top çıkarıldı. P2 \u003d 7/10 * 3/4 \u200b\u200b\u003d 21/40
- ilk torbadan siyah bir top çıkardılar, ikinci torbadan beyaz bir top çıkardılar. Sonra bu iki toptan beyaz bir top çıkarıldı. P3 \u003d 3/10 * 1/4 \u003d 3/40
P \u003d P1 + P2 + P3 \u003d 7/40 + 21/40 + 3/40 \u003d 31/40
Örnek 11. Kutuda n adet tenis topu var. Bunlardan m oynadı. İlk oyunda rastgele iki top alıp oyundan sonra geri koydular. İkinci oyun için de rastgele iki top seçtiler. İkinci oyunun yeni toplarla oynanma olasılığı nedir?
Karar. A olayını düşünün - oyun ikinci kez yeni toplarla oynandı. Bakalım hangi olaylar buna yol açabilir.
Çıkarılmadan önceki yeni topların sayısını g \u003d n-m ile gösterelim.
a) İlk oyun için iki yeni top çekildi.
P1 \u003d g / n * (g-1) / (n-1) \u003d g (g-1) / (n (n-1))
b) ilk oyun için, bir yeni top çekildi ve bir tanesi zaten oynandı.
P2 \u003d g / n * m / (n-1) + m / n * g / (n-1) \u003d 2 mg / (n (n-1))
c) ilk oyun için iki top çekildi.
P3 \u003d m / n * (m-1) / (n-1) \u003d m (m-1) / (n (n-1))
İkinci oyunun olaylarını düşünün.
a) P1 koşulu altında iki yeni top çıkardık: ilk oyunda zaten yeni toplar çıkardığımız için, ikinci oyunda sayıları 2, g-2 azaldı.
P (A / P1) \u003d (g-2) / n * (g-2-1) / (n-1) * P1 \u003d (g-2) / n * (g-2-1) / (n- 1) * g (g-1) / (n (n-1))
b) P2 koşulunda iki yeni top çıkardık: ilk oyun için daha önce yeni bir top çıkardığımızdan, ikinci oyunda sayıları 1, g-1 azaldı.
P (A / P2) \u003d (g-1) / n * (g-2) / (n-1) * P2 \u003d (g-1) / n * (g-2) / (n-1) * 2 mg / (n (n-1))
c) P3 koşulu altında iki yeni top çıkardık: ilk oyunda yeni toplar kullanılmadığından, sayıları ikinci oyunda değişmedi g.
P (A / P3) \u003d g / n * (g-1) / (n-1) * P3 \u003d g / n * (g-1) / (n-1) * m (m-1) / (n (n-1))
Toplam olasılık P (A) \u003d P (A / P1) + P (A / P2) + P (A / P3) \u003d (g-2) / n * (g-2-1) / (n-1) * g (g-1) / (n (n-1)) + (g-1) / n * (g-2) / (n-1) * 2mg / (n (n-1)) + g / n * (g-1) / (n-1) * m (m-1) / (n (n-1)) \u003d (n-2) (n-3) (nm-1) (nm) / (( n-1) ^ 2 * n ^ 2)
Cevap: P (A) \u003d (n-2) (n-3) (n-m-1) (n-m) / ((n-1) ^ 2 * n ^ 2)
Örnek 12. Birinci, ikinci ve üçüncü kutularda 2 beyaz ve 3 siyah top, dördüncü ve beşinci kutularda 1 beyaz ve 1 siyah top vardır. Rastgele bir kutu seçilir ve ondan bir top çıkarılır. Çizilen top beyazsa, dördüncü veya beşinci kutunun seçilmesi koşullu olasılığı nedir?
Karar.
Her kutuyu seçme olasılığı P (H) \u003d 1 / 5'tir.
Beyaz topun çıkarılması olan A olayının koşullu olasılıklarını düşünün.
P (A | H \u003d 1) \u003d 2/5
P (A | H \u003d 2) \u003d 2/5
P (A | H \u003d 3) \u003d 2/5
P (A | H \u003d 4) \u003d ½
P (A | H \u003d 5) \u003d ½
Toplam beyaz top çekme olasılığı:
P (A) \u003d 2/5 * 1/5 + 2/5 * 1/5 + 2/5 * 1/5 + 1/2 * 1/5 + 1/2 * 1/5 \u003d 0,44
Dördüncü kutunun seçildiği koşullu olasılık
P (H \u003d 4 | A) \u003d 1/2 * 1/5 / 0.44 \u003d 0.2273
Beşinci kutunun seçildiği koşullu olasılık
P (H \u003d 5 | A) \u003d 1/2 * 1/5 / 0.44 \u003d 0.2273
Toplamda, dördüncü veya beşinci kutunun seçilmesi koşullu olasılığı şu şekildedir:
P (H \u003d 4, H \u003d 5 | A) \u003d 0.2273 + 0.2273 \u003d 0.4546
Örnek 13. Torbada 7 beyaz ve 4 kırmızı top vardı. Daha sonra başka bir beyaz veya kırmızı veya siyah top torbaya kondu ve karıştırıldıktan sonra bir top çıkarıldı. Kırmızı çıktı. A) kırmızı bir topun yerleştirilme olasılığı nedir? b) siyah top?
Karar.
a) kırmızı top
Etkinlik A - kırmızı bir top çıkardı. Etkinlik H - kırmızı topu yere bırakın. Kırmızı bir topun torbaya konma olasılığı P (H \u003d K) \u003d 1/3
O halde P (A | H \u003d K) \u003d 1/3 * 5/12 \u003d 5/36 \u003d 0.139
b) siyah top
Etkinlik A - kırmızı bir top çıkardı. Etkinlik H - siyah topu koyun.
Torbaya siyah bir top konma olasılığı P (H \u003d H) \u003d 1/3
O halde P (A | H \u003d H) \u003d 1/3 * 4/12 \u003d 1/9 \u003d 0.111
Örnek 14. Topları olan iki vazo var. Birinde 10 kırmızı ve 5 mavi top var, ikincisinde 5 kırmızı ve 7 mavi top var. Birinci torbadan rastgele kırmızı bir top, ikinci torbadan mavi bir top çıkma olasılığı nedir?
Karar. Let olayı A1 - ilk torbadan kırmızı bir top çıkarılır; A2 - ikinci torbadan mavi bir top çıkarılır:
,
A1 ve A2 olayları bağımsızdır. A1 ve A2 olaylarının birlikte gerçekleşme olasılığı
Örnek 15. Bir deste kart var (36 adet). Üst üste iki kart rastgele çekilir. Çekilen her iki kartın da kırmızı olma olasılığı nedir?
Karar. A 1 etkinliği kırmızı renkte çekilen ilk kart olsun. Etkinlik A 2 - Çekilen ikinci kırmızı kart. B - her iki çekilmiş kırmızı renkli kart. Hem A 1 olayı hem de A 2 olayı meydana gelmesi gerektiğinden, B \u003d A 1 · A 2 olur. Olaylar A 1 ve A 2 bağımlıdır, bu nedenle P (B):
,
Buradan
Örnek 16. İki torbada yalnızca renk olarak farklılık gösteren toplar vardır ve ilk torbada 5 beyaz, 11 siyah ve 8 kırmızı top ve ikincisinde sırasıyla 10, 8, 6 top vardır. Her iki torbadan rastgele bir top çekilir. Her iki topun da aynı renk olma olasılığı nedir?
Karar. İndeks 1 beyaz, indeks 2 - siyah olsun; 3 - kırmızı. A i - i-inci renkli bir top ilk torbadan çıkarılsın; B olayı j - ikinci torbadan j-inci renkli bir top çıkarıldı; olay A - aynı renkteki her iki top.
A \u003d A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3. A i ve B j olayları bağımsızdır ve A i B i ve A j B j i ≠ j için tutarsızdır. Dolayısıyla
P (A) \u003d P (A 1) P (B 1) + P (A 2) P (B 2) + P (A 3) P (B 3) \u003d
Örnek 17. 3 beyaz ve 2 siyah top içeren torbadan siyah görünene kadar tek tek çekilir. Torbadan 3 top çıkma olasılığını buldunuz mu? 5 top mu?
Karar.
1) 3 topun torbadan çıkma olasılığı (yani üçüncü top siyah ve ilk ikisi beyaz olacak).
P \u003d 3/5 * 2/4 * 2/3 \u003d 1/5
2) torbadan 5 topun çekilme olasılığı
böyle bir durum mümkün değil çünkü sadece 3 beyaz top.
P \u003d 0
Her iki ana teoremin sonucu - olasılıkların toplanması teoremi ve olasılıkların çarpımı teoremi - sözde toplam olasılık formülüdür.
Olaylardan biriyle birlikte meydana gelebilecek bazı olayların olasılığının belirlenmesi gerekmesine izin verin:
tam bir uyumsuz olaylar grubu oluşturmak. Bu olaylara hipotez diyeceğiz.
Bunu bu durumda kanıtlayalım
, (3.4.1)
şunlar. Bir olayın olasılığı, bu hipotez altındaki bir olayın olasılığı ile her bir hipotezin olasılığının çarpımlarının toplamı olarak hesaplanır.
Formül (3.4.1), toplam olasılık formülü olarak adlandırılır.
Kanıt. Hipotezler tam bir grup oluşturduğundan, bir olay yalnızca bu hipotezlerden herhangi biriyle birlikte ortaya çıkabilir:
Hipotezler tutarsız olduğu için kombinasyonlar 
ayrıca tutarsız; onlara toplama teoremini uygulayarak şunu elde ederiz:
Çarpma teoremini olaya uygulayarak şunu elde ederiz:
,
q.E.D.
Örnek 1. Birbirine benzeyen üç çömleği vardır; ilk torbada iki beyaz ve bir siyah top bulunur; ikincisinde - üç beyaz ve bir siyah; üçüncü sırada - iki beyaz ve iki siyah top. Biri torbalardan birini rastgele seçer ve ondan bir top çıkarır. Bu topun beyaz olma olasılığını bulun.
Karar. Üç hipotezi düşünün:
İlk torbayı seçmek,
İkinci torbanın seçimi,
Üçüncü torbayı seçmek
ve olay beyaz bir topun ortaya çıkmasıdır.
Hipotezler, problemin durumuna göre eşit derecede mümkün olduğu için,
.
Bu hipotezler altındaki bir olayın koşullu olasılıkları sırasıyla eşittir:
Toplam olasılık formülüne göre
.
Örnek 2. Uçakta üç tek atış yapıldı. İlk atışı vurma olasılığı 0,4, ikinci - 0,5 ve üçüncü 0,7'dir. Bir uçağı devre dışı bırakmak için üç vuruş açıkça yeterlidir; uçak bir vuruşla 0,2 olasılıkla başarısız olur, iki vuruşla - 0,6 olasılıkla. Üç atış sonucunda uçağın yetersiz kalması olasılığını bulun.
Karar. Dört hipotezi düşünün:
Uçağa tek bir mermi çarpmadı
Bir mermi uçağa çarptı
Uçağa iki mermi çarptı
Uçağa üç mermi çarptı.
Toplama ve çarpma teoremlerini kullanarak bu hipotezlerin olasılıklarını buluruz:
Bu hipotezler altında bir olayın (uçak arızası) koşullu olasılıkları şunlardır:
Toplam olasılık formülünü uygulayarak şunu elde ederiz:
Toplam olasılık formülündeki karşılık gelen terim ortadan kalktığından, ilk hipotezin dikkate alınmamış olabileceğini unutmayın. Bu genellikle toplam olasılık formülünü uygularken yapılır, tutarsız hipotezlerin tamamı değil, yalnızca bu olayın mümkün olduğu hipotezler dikkate alınır.
Örnek 3. Motorun çalışması iki regülatör tarafından kontrol edilmektedir. Motorun sorunsuz çalışmasını sağlamanın istendiği belirli bir süre dikkate alınır. Her iki düzenleyicinin de varlığında, motor, yalnızca birincisi çalışırken - bir olasılıkla, yalnızca ikincisi çalışırken - ve her iki düzenleyici de arızalandığında - bir olasılıkla reddeder. Düzenleyicilerin ilki güvenilir, ikincisi. Tüm unsurlar birbirinden bağımsız olarak başarısız olur. Motorun tam güvenilirliğini (arızasız çalışma olasılığı) bulun.
Düşünmek bağımlı olay , yalnızca uyumsuz olanlardan birinin uygulanması sonucunda ortaya çıkabilir. hipotezler
Hangi şekilde tam grup... Olasılıklarının ve karşılık gelen koşullu olasılıklarının bilinmesine izin verin. O zaman olayın meydana gelme olasılığı şuna eşittir:
Bu formül denir toplam olasılık formülleri... Ders kitaplarında, kanıtı temel olan bir teoremle formüle edilmiştir: olayların cebiri, (olay oldu ve veya bir olay oldu ve olay geldikten sonra veyabir olay oldu ve olay geldikten sonra veya …. veya bir olay oldu ve olay geldikten sonra)... Hipotezlerden beri uyumsuzdur ve olay bağımlıdır. tutarsız olayların olasılıkları için ek teorem (ilk adım) ve bağımlı olayların olasılıkları için çarpma teoremi (ikinci adım):
Problem 1
Üç özdeş vazo var. İlk torbada 4 beyaz ve 7 siyah top vardır, ikincisinde - sadece beyaz ve üçüncü - sadece siyah top. Rasgele bir torba seçilir ve ondan rasgele bir top çekilir. Bu topun siyah olma olasılığı nedir?
Karar: olayı düşünün - rastgele seçilen bir torbadan siyah bir top çıkarılacaktır. Bu olay, aşağıdaki hipotezlerden birinin uygulanmasının bir sonucu olarak ortaya çıkabilir:
- 1. torbanın seçilmesi;
- 2. kutu seçilecektir;
- 3. kutu seçilecektir.
Vazo rastgele seçildiğinden, üç torbadan herhangi birinin seçimi eşit derecede mümkün, dolayısıyla: 
Listelenen hipotezlerin oluştuğunu unutmayın. tam etkinlik grubuyani, duruma göre, siyah bir top sadece bu kavanozlardan görünebilir ve örneğin bilardo masasından uçamaz. Basit bir ara kontrol yapalım: 
Tamam, devam edelim:
İlk torbada 4 beyaz + 7 siyah \u003d 11 top bulunur, her biri klasik tanım:
- siyah bir top çıkarma olasılığı verilen1. torbanın seçileceğini.
İkinci torbada yalnızca beyaz toplar bulunur, bu nedenle seçilirse siyah topun görünümü imkansız: .
Ve son olarak, üçüncü torbada yalnızca siyah toplar vardır, bu da karşılık gelen şartlı olasılık siyah topu çıkarmak (etkinlik geçerli).
Toplam olasılık formülüne göre:
- Siyah bir topun rastgele seçilen bir torbadan çıkarılma olasılığı.
Cevap:
Problem 2
Atış poligonunda çeşitli hassasiyette 5 tüfek var. Belirli bir atıcı için hedefi vurma olasılıkları sırasıyla eşittir 
ve 0.4. Atıcı rastgele seçilen bir tüfekle tek atış yaparsa hedefi vurma olasılığı nedir?
Sorun 3
Piramitte, üçü teleskopik görüş ile donatılmış 5 tüfek var. Teleskopik nişangahla tüfekle ateş edildiğinde atıcının hedefi vurma olasılığı 0,95'tir; görüş açısı olmayan bir tüfek için bu olasılık 0.7'dir. Atıcı rastgele alınan bir tüfekle bir atış yaparsa hedefin vurulma olasılığını bulun.
Karar: Bu problemde tüfek sayısı bir öncekiyle tamamen aynıdır, ancak sadece iki hipotez vardır:
- atıcı, teleskopik görüşe sahip bir tüfek seçecektir;
- atıcı optik görüş olmadan bir tüfek seçerse.
Tarafından klasik olasılık tanımı: 
.
Kontrol:
Görev 4
Motor üç modda çalışır: normal, zorunlu ve boşta. Boş modda, başarısızlık olasılığı normal çalışmada 0,05, - 0,1 ve zorunlu modda - 0,7'dir. Motorun normal modda çalıştığı sürenin% 70'i ve zorunlu modda% 20'si. Çalışma sırasında motor arızası olasılığı nedir?
Aynı türden üç torba vardır; ilk torbada 2 beyaz ve 1 siyah top bulunur; ikinci torbada 3 beyaz ve 1 siyah top vardır; üçüncü sırada 2 beyaz ve 2 siyah top var.
Biri torbalardan birini rastgele seçer ve ondan bir top çıkarır. Bu topun beyaz olma olasılığını bulun.
Üç hipotezi düşünün:
İlk torbanın urn1 seçimi
İkinci torbanın H2 seçimi
Üçüncü torbanın H3 seçimi
tam bir tutarsız olaylar grubu.
A olayı beyaz bir topun görünümü olsun. Çünkü Problemin durumuna göre hipotezler eşit derecede mümkündür, bu durumda P (H1) \u003d P (H2) \u003d P (H3) \u003d 1 \\ 3
Bu hipotezler altında A olayının koşullu olasılıkları sırasıyla eşittir: P (A / H1) \u003d 2 \\ 3; P (A / H2) \u003d 3/4; P (A / H3) \u003d 1/2.
Toplam olasılık formülüne göre
P (A) \u003d 1 \\ 3 * 3 \\ 2 + 1 \\ 3 * 3 \\ 4 + 1 \\ 3 * 1 \\ 2 \u003d 23 \\ 36
Cevap: 23 \\ 36
A.2. Varsayım teoremi.
Çarpma teoreminin ve toplam olasılık formülünün bir sonucu, sözde hipotez teoremi veya Bayes'in formülüdür.
Aşağıdaki sorunu ortaya koyalım.
H1, H2 gibi tam bir tutarsız hipotez grubu vardır. ... Hn. bu hipotezlerin deneylerden önceki olasılıkları sırasıyla bilinmekte ve eşittir, P (H1), P (H2) ..., P (Hn). A olayının ortaya çıkmasının gözlendiği bir deney gerçekleştirildi.Soru, bu olayın ortaya çıkmasıyla bağlantılı olarak hipotezlerin olasılıkları nasıl değiştirilmelidir?
Burada, özünde, her bir hipotez için koşullu olasılık P (H1 / A) bulmaktan bahsediyoruz.
Çarpma teoreminden elimizde:
P (A * Hi) \u003d P (A) P (Hi / A) \u003d P (Hi) P (A / Hi), (i \u003d 1,2,3 ,. N) veya sol taraftaki Nutrend enduro bcaa 120caps'ı atarak satın al.
P (A) P (Yüksek / A) \u003d P (Yüksek) P (A / Yüksek), (i \u003d 1,2, .., N)
P (Hi / A) \u003d P (Hi) P (A / Hi) ÷ P (A), (i \u003d 1,2,3 ,. N)
Toplam olasılığı kullanarak P (A) ile ifade edersek, elimizde
P (Hi / A) \u003d P (Hi) P (A / Hi) ÷ ∑P (Hi) P (A \\ Hi), (i \u003d 1,2,3 ,. N) (2)
Formül (2), Bays formülü veya hipotez teoremi olarak adlandırılır
Örnek 2. Bir fabrikada, üretimin% 30'u makine I ile, üretimin% 25'i makine II ile, üretimin geri kalanı makine III ile yapılmaktadır. Makine I üretiminin% 1'ini hurdaya ayırıyor, makine II -% 1.5, makine III -% 2, rastgele seçilen üretim biriminin evlilik olduğu ortaya çıktı. Makine I tarafından üretilme olasılığı nedir?
Olaylar için gösterim sunalım.
A ile seçilmiş ürünün kusur olduğu ortaya çıktı
Makine I tarafından üretilen H1 ürünü
H2 - makine tarafından yapılan ürün II
H3 - makine tarafından yapılan ürün III
P (H1) \u003d 0.30; P (H2) \u003d 0.25; P (H3) \u003d 0,45
P (A / H1) \u003d 0.01,
P (A / H2) \u003d 0,015
P (A / H3) \u003d 0,02
P (A) \u003d 0,01 * 0,30 + 0,015 * 0,25 + 0,02 * 0,45 \u003d 0,015,
P (H1 / A) \u003d 0.01 * 0.30 ÷ 0.015 \u003d 0.20
Cevap: Kusurlu tüm ürünlerin% 20'si makine I'de üretilmektedir.
§dokuz. Bernoulli formülü
Büyük sayılar yasası
A, bazı σ deneyimleriyle ilişkili olarak rastgele bir olay olsun. Sadece deney sonucunda A olayının meydana gelip gelmediğiyle ilgileneceğiz, bu nedenle aşağıdaki bakış açısını ele alıyoruz: σ deneyiyle ilişkili temel olayların uzayı yalnızca iki unsurdan oluşur - A ve A. Bu elementlerin olasılıklarını sırasıyla p ve q ile gösterelim. , (p + q \u003d 1).
Şimdi, sabit koşullar altında σ deneyinin belirli sayıda, örneğin 3 kez tekrarlandığını varsayalım. Σ'nun üç katlı gerçekleşmesini yeni bir deney η olarak ele alalım. Daha önce olduğu gibi, sadece A.'nın hücumuyla ilgileniyorsak ya da değilsek, o zaman açıkça kabul edilmelidir ki, deney η'ye karşılık gelen temel olayların alanı 3 uzunluktaki tüm olası dizilerden oluşur: (A, A, A), (A, A, A), ( A, A, A), (A, A, A), (A, A, A), (A, A, A), (A, A, A), (A, A, A) A ve A'dan
Belirtilen dizilerin her biri, üç deneyde A olaylarının bir veya daha fazla meydana geldiği veya gerçekleşmediği anlamına gelir, örneğin, (A, A, A) dizisi, ilk deneyde A'nın geldiği ve ikinci ve üçüncü - A'da olduğu anlamına gelir. dizilerin her birine hangi olasılıklar atanmalıdır (1)
Σ deneyinin üç kez de değişmemiş koşullar altında gerçekleştirilmesi koşulu şu anlama gelmelidir - üç deneyin her birinin sonucu, diğer iki deneyde hangi sonuçların gerçekleştiğine bağlı değildir. Şunlar. üç deneyin sonuçlarının herhangi bir kombinasyonu, bağımsız olayların üçlüsüdür. Bu durumda, temel bir olaya (A, A, A) p * q * q'ya eşit bir olasılığı bir olaya (A, A, A) - olasılık q * y * y, vb. Atfetmek doğaldır.
T. hakkında. deney için olasılık modelinin aşağıdaki açıklamasına ulaşıyoruz η (yani, deney σ'nun üç katı için). Temel olayların alanı space, 2 ila 3 güç dizisinden oluşan bir kümedir. (1). Her sekans, p sayısı ile k'nin kuvveti, q ve e'nin kuvveti arasında bir olasılık olarak eşleştirilir; burada üsler, A ve A sembollerinin bu sekans için ifadede kaç kez göründüğünü belirler.
Bu tür olasılık modellerine Bernoulli şemaları denir. Genel durumda, Bernoulli şeması, n ve p sayılarının değeriyle belirlenir; burada n, ilk deneyin σ tekrar sayısıdır (önceki deneyde n \u003d 3 olarak düşündük) ve p, deney σ ile ilişkili olarak A olayının olasılığıdır.
Teorem 1. A olayının olasılığını p olsun ve bu olayın bir dizi n bağımsız denemede bu olayın m kez meydana gelmesi Pmn olasılığını kabul edin.
O halde Bernoulli'nin formülü geçerlidir.
Pmn \u003d Cn'den m'ye * P'ye m * q'ya n-m'ye
Bozuk para 10 kez atıldı. Armanın tam olarak 3 kez düşme olasılığı nedir?
Bu durumda, amblem bir başarı olarak kabul edilir, bu olayın her deneydeki olasılığı p 1 / 2'dir.
Dolayısıyla: P10.3 \u003d C10 3 derece * (1 \\ 2) 3 derece * (1 \\ 2) 7 derece \u003d 10 * 9 * 8 ÷ 1 * 2 * 3 * (10 derecede 1 ÷ 2) \u003d 15 \\ 128
Cevap: 15 \\ 128
Çok sayıda test ile, bir olayın meydana gelme sıklığı, bu olayın olasılığından çok az farklılık gösterir. Bu nitel ifadenin matematiksel formülasyonu, Bernoulli'nin Chebyshev tarafından rafine edilen büyük sayılar yasasıyla verilmiştir.
Teorem 2. Test p'deki A olayının olasılığının p'ye eşit olmasına izin verin ve bu testin bir dizi n bağımsız tekrarının gerçekleştirilmesine izin verin.
M ile, A olayının meydana geldiği denemelerin sayısını gösteririz. Sonra, herhangi bir pozitif α sayısı için, aşağıdaki eşitsizlik geçerlidir:
З (| m \\ n-p |\u003e α) Bu eşitsizliğin anlamı, m ÷ n ifadesinin bir dizi deneyde A olayının göreceli sıklığına eşit olmasıdır ve | m \\ n-p |\u003e α, bu göreceli p'nin teorik değerinden sapması anlamına gelir. Eşitsizlik | m \\ n-p |\u003e α, sapmanın α'dan daha büyük olduğu anlamına gelir. Ancak n arttıkça sabit bir α değerinde, eşitsizliğin (3) sağ tarafı sıfıra meyillidir. Başka bir deyişle, deneysel frekansın teorikten sapmasının büyük olduğu seriler, tüm olası test serilerinin küçük bir bölümünü oluşturur. Teorem, Bernoulli tarafından elde edilen ifadeyi ifade eder: teorem koşulları altında, herhangi bir α\u003e 0 değeri için, elimizde Karar... Olayları belirleyelim: A - "seçilen parça kusurlu", H i - "seçilen parça i-inci tedarikçiden alındı", i \u003d 1, 2, 3 Hipotezler H 1, H 2, H 3 tam bir uyumsuz olaylar grubu oluşturur. Koşula göre Toplam olasılık formülüne (1.11) göre, A olayının olasılığı şuna eşittir: Önceki örnek olayında A olayının zaten gerçekleştiğini varsayalım: seçilen parçanın kusurlu olduğu ortaya çıktı. İlk tedarikçiden alınmış olma olasılığı nedir? Bu sorunun cevabı Bayes formülü ile verilmektedir. Hipotez yeniden değerlendirme şeması Bu formüllerin doğru taraflarını eşitleyelim dolayısıyla, H k hipotezinin posterior olasılığı Tablo 1.3 - Hipotezlerin yeniden değerlendirilmesi H 1 - ilk tedarikçiden alınan parça H 2 - ikinci bir tedarikçiden alınan parça H 3 - üçüncü bir tedarikçiden alınan parça Örnek No. 3. Üç özdeş kavanoz vardır; ilk torbada iki beyaz ve bir siyah top bulunur; ikincisinde - üç beyaz ve bir siyah; üçüncü sırada - iki beyaz ve iki siyah top. Deney için rastgele bir urn seçildi ve içinden bir top çıkarıldı. Bu topun beyaz olma olasılığını bulun. Örnek No.4. Piramitte 3 tanesi teleskopik görüşlü 19 tüfek bulunmaktadır. Teleskopik görüşlü bir tüfekle ateş eden bir atıcı, hedefi 0,81 olasılıkla vurabilir ve 0,46 olasılıkla optik görüş olmadan bir tüfekle ateş edebilir. Rastgele alınan bir tüfek kullanarak atıcının hedefi vurma olasılığını bulun. Örnek No.5. 2 beyaz ve 3 siyah top içeren bir torbadan rastgele iki top alınır ve torbaya 1 beyaz top eklenir. Rastgele bir topun beyaz olma olasılığını bulun. Örnek No. 6. Hedefe iki el ateş edilir. İlk atışla vurma olasılığı 0.2, ikincisi ise 0.6'dır. Bir hedefi tek vuruşla yok etme olasılığı 0,3, iki - 0,9. Hedefin yok edilme olasılığını bulun.
Tedarik edilen parçaların kalitesinin farklı olduğu ve ilk tedarikçinin ürünlerinde kusur yüzdesinin% 4, ikinci -% 5, üçüncü -% 2 olduğu bilinmektedir. Alınan tüm parçalardan rastgele seçilen bir parçanın kusurlu olma olasılığını belirleyin.
P (H1) \u003d 0.5; P (H2) \u003d 0.2; P (H 3) \u003d 0.3
P (A | H1) \u003d 0,04; P (A | H2) \u003d 0,05; P (A | H 3) \u003d 0,02
P (A) \u003d P (H 1) P (A | H 1) + P (H 2) P (A | H 2) + P (H 3) P (A | H 3) \u003d 0,5 0,04 + 0.2 0.05 + 0.3 0.02 \u003d 0.036
Rastgele seçilen bir parçanın kusurlu çıkma olasılığı 0,036'dır.
Olasılıkların analizine olayların olasılıklarının sadece ön, önsel değerleriyle başladık. Sonra bir deney yapıldı (bir bölüm seçildi) ve bizi ilgilendiren olay hakkında ek bilgi aldık. Bu yeni bilgilerle, önceki olasılıkların değerlerini iyileştirebiliriz. Aynı olayların olasılıklarının yeni değerleri zaten hipotezlerin posterior (deney sonrası) olasılıkları olacaktır (Şekil 1.5).
A olayının yalnızca H 1, H 2,…, H n hipotezlerinden biriyle (uyumsuz olayların tam grubu) birlikte gerçekleştirilmesine izin verin. Hipotezlerin a priori olasılıkları P (H i) A - P (A | H i), i \u003d 1, 2,…, n olayının koşullu olasılıklarını ifade etti. Deney zaten gerçekleştirilmişse ve bunun sonucunda A olayı meydana gelmişse, hipotezlerin son olasılıkları koşullu olasılıklar P (H i | A), i \u003d 1, 2,…, n olacaktır. Bir önceki örneğin gösteriminde P (H 1 | A), hatalı olduğu ortaya çıkan seçilen parçanın ilk tedarikçiden alınmış olma olasılığıdır.
H k | A olayının olasılığıyla ilgileniyoruz H k ve A olaylarının, yani AH k olayının birlikte meydana gelmesini düşünün. Olasılığı, çarpım formülleri (1.5) ve (1.6) kullanılarak iki şekilde bulunabilir:
P (AH k) \u003d P (H k) P (A | H k);
P (AH k) \u003d P (A) P (H k | A).
P (H k) P (A | H k) \u003d P (A) P (H k | A),
Payda A olayının toplam olasılığını içerir.P (A) yerine değerini toplam olasılık formülüne göre (1.11) değiştirerek şunu elde ederiz: 
(1.12)
Formül (1.12) denir bayes'in formülü
ve hipotezlerin olasılıklarını yeniden değerlendirmek için kullanılır.
Önceki örnekteki koşullar altında, arızalı parçanın ilk tedarikçiden alınmış olma olasılığını bulduk. P (A | H i) koşulu ile bildiğimiz P (H i) hipotezlerinin önceki olasılıklarını, P (AH i) \u003d P (H i) P (A | H i) ortak olasılıklarını bir tabloda özetleyelim. ve formül (1.12) ile hesaplanan son olasılıklar P (H k | A), i, k \u003d 1, 2,…, n'dir (Tablo 1.3).
Bu tablonun son satırını düşünün. İkinci sütun, tam bir grup oluşturan tutarsız olayların H 1, H 2, H 3 olasılıklarının toplamını içerir: Hipotezler Selam Olasılıklar
A priori P (H i) Koşullu P (A | H i) Ortak P (AH i) Posterior P (H i | A)
1
2
3
4
5
0.5
0.04
0.02
0.2
0.05
0.01
0.3
0.02
0.006
Miktar 1.0
-
0.036
1
P (Ω) \u003d P (H 1 + H 2 + H 3) \u003d P (H 1) + P (H 2) + P (H 3) \u003d 0,5 + 0,2 + 0,3 \u003d 1
Dördüncü sütunda, her satırdaki değer (ortak olasılıklar), ikinci ve üçüncü sütunlardaki karşılık gelen değerleri çarparak olasılıkları çarpma kuralı ile elde edilir ve son satırda 0,036, A olayının toplam olasılığıdır (toplam olasılık formülüne göre).
Sütun 5, Bayes'in formülünü (1.12) kullanarak hipotezlerin son olasılıklarını hesaplar:
Son olasılıklar P (H 2 | A) ve P (H 3 | A) benzer şekilde hesaplanır, kesirin payı 4. sütunun karşılık gelen satırlarına yazılan ortak olasılıklar ve payda, 4. sütunun son satırına yazılan A olayının toplam olasılığıdır.
Deney sonrası hipotezlerin olasılıklarının toplamı 1'e eşittir ve beşinci sütunun son satırına kaydedilir.
Yani arızalı parçanın ilk tedarikçiden alınmış olma olasılığı 0.555'tir. Deneyim sonrası olasılık, öncekinden daha yüksektir (büyük teslimat hacmi nedeniyle). İkinci bir tedarikçiden kusurlu bir parçanın alınmış olması deneyim sonrası olasılığı 0,278'dir ve aynı zamanda önceden deneyimlenen olandan daha yüksektir (çok sayıda kusur nedeniyle). Üçüncü bir tedarikçiden kusurlu bir parçanın alınmış olması deneyim sonrası olasılığı 0,167'dir.
Karar. Üç hipotezi düşünün: H 1 - ilk torba seçilir, H 2 - ikinci torba seçilir, H 3 - üçüncü torba seçilir ve A olayı - beyaz top çıkarılır.
Problemin durumuna göre hipotezler eşit derecede mümkün olduğundan, o zaman
Bu hipotezler altında A olayının koşullu olasılıkları sırasıyla eşittir:
Toplam olasılık formülüne göre 
Karar. Burada ilk test rastgele tüfek seçimi, ikincisi ise hedefe atış. Aşağıdaki olayları düşünün: A - atıcı hedefi vurur; H 1 - atıcı, teleskopik görüşe sahip bir tüfek alacaktır; H 2 - atıcı, optik görüş olmadan bir tüfek alacaktır. Toplam olasılık formülünü kullanıyoruz. Sahibiz
Tüfeklerin birer birer seçildiğini ve klasik olasılık formülünü kullanarak şunu elde ederiz: P (H 1) \u003d 3/19, P (H 2) \u003d 16/19.
Koşullu olasılıklar problem ifadesinde belirtilir: P (A | H 1) \u003d 0; 81 ve P (A | H 2) \u003d 0; 46. Dolayısıyla
Karar. "Beyaz topun çıkarılması" olayı A ile gösterilecektir. Etkinlik H 1 - rastgele iki beyaz top alınmıştır; H 2 - rastgele iki siyah top çekildi; H 3 - bir beyaz top ve bir siyah kaldırıldı. Daha sonra hipotezlerin olasılıkları öne sürülür
Bu hipotezler altındaki koşullu olasılıklar sırasıyla eşittir: P (A | H 1) \u003d 1/4 - urn şu anda bir beyaz ve üç siyah top içeriyorsa beyaz bir top çıkarma olasılığı, P (A | H 2) \u003d 3 / 4 - Torbada şu anda üç beyaz ve bir siyah top varsa beyaz bir top çıkarma olasılığı, P (A | H 3) \u003d 2/4 \u003d 1/2 - urnde halihazırda iki beyaz varsa beyaz bir top çıkarma olasılığı ve iki siyah top. Toplam olasılık formülüne göre 
Karar. Let olayı A - hedef yok edilir. Bunu yapmak için, ikiden tek atışla vurmak veya hedefi ıskalamadan iki atışla arka arkaya vurmak yeterlidir. Hipotezler öne sürelim: H 1 - her iki atış da hedefi vurur. O halde P (H 1) \u003d 0,2 · 0,6 \u003d 0; 12. H 2 - ya ilk seferde ya da ikinci seferde bir ıskalama oldu. O zaman P (H 2) \u003d 0,2 0,4 + 0,8 0,6 \u003d 0,56. Hipotez H 3 - her iki atış da kaçırılmıştır - hedefi yok etme olasılığı sıfır olduğundan hesaba katılmaz. O zaman koşullu olasılıklar sırasıyla eşittir: Her iki başarılı atış koşulunda hedefi yok etme olasılığı P (A | H 1) \u003d 0,9 ve yalnızca bir başarılı atış durumunda hedefi yok etme olasılığı P (A | H 2) \u003d 0,3'tür. Daha sonra toplam olasılık formülüne göre hedefi yok etme olasılığıdır.
