Çocuğunuz ondalık sayıları nasıl böleceğini bilmiyorsa, bu onun matematikten aciz olduğunu düşünmeniz için bir neden değildir.
Büyük olasılıkla, bunun nasıl yapıldığını ona açıkça açıklamadılar. Çocuğa yardım etmeli ve ona kesirleri ve onlarla yapılan işlemleri mümkün olan en basit, neredeyse eğlenceli bir şekilde anlatmalıyız. Bunun için de kendimiz bir şeyi hatırlamamız gerekiyor.
Tam sayı olmayan sayılardan bahsederken kesirli ifadeler kullanılır. Kesir birden az ise bir şeyin bir kısmını, fazla ise birkaç tam parçayı ve başka bir parçayı anlatır. Kesirler 2 değerle tanımlanır: sayının kaç eşit parçaya bölündüğünü açıklayan payda ve bu tür parçalardan kaçını kastettiğimizi söyleyen pay.
Diyelim ki pastayı 4 eşit parçaya böldünüz ve 1 parçasını komşularınıza verdiniz. Payda 4'e eşit olacaktır. Pay ise neyi anlatmak istediğimize bağlıdır. Komşulara ne kadar verildiğinden bahsediyorsak pay 1, ne kadar kaldığından bahsediyorsak 3'tür.
Pasta örneğinde payda 4, “1 gün haftanın 1/7’sidir” ifadesinde ise 7’dir. Herhangi bir paydaya sahip kesirli ifade; ortak kesir.
Herkes gibi matematikçiler de hayatlarını kolaylaştırmaya çalışırlar. İşte bu yüzden ondalık kesirler icat edildi. Bunlarda payda 10'a eşit veya 10'un katı olan sayılar (100, 1000, 10.000 vb.) olup, şu şekilde yazılırlar: Sayının tam sayı bileşeni kesirli bileşenden virgülle ayrılır. Örneğin 5,1, 5 tam ve 1 onda biri, 7,86 ise 7 tam ve 86 yüzdedir.
Küçük bir inziva çocuklarınız için değil kendiniz içindir. Ülkemizde kesirli kısmı virgülle ayırmak adettir. Yurt dışında yerleşik bir geleneğe göre onu noktayla ayırmak gelenekseldir. Bu nedenle yabancı bir metinde benzer bir işaretlemeyle karşılaşırsanız şaşırmayın.
Kesirlerin bölünmesi
Benzer sayılarla yapılan her aritmetik işlemin kendine has özellikleri vardır, ancak şimdi ondalık kesirlerin nasıl bölüneceğini öğrenmeye çalışacağız. Bir kesri şu şekilde bölmek mümkündür: doğal sayı veya başka bir fraksiyona.
Bu aritmetik işlemde ustalaşmayı kolaylaştırmak için basit bir şeyi hatırlamak önemlidir.
Virgül kullanmayı öğrendikten sonra tam sayılarda olduğu gibi bölme kurallarının aynısını kullanabilirsiniz.
Bir kesri bir doğal sayıya bölmeyi düşünün. Bir sütuna bölme teknolojisi, daha önce kapsanan materyalden sizin tarafınızdan zaten bilinmelidir. Prosedür benzerdir. Temettü, bölenin işaretine göre bölünür. Sıra virgülden önceki son işarete ulaştığında bölüme virgül konur ve ardından bölme olağan şekilde devam eder.
Yani, virgülün kaldırılması dışında - en çok düzenli bölme ve virgül çok zor değil.
Bir kesri bir kesire bölmek
Bir kesirli değeri diğerine bölmeniz gereken örnekler çok karmaşık görünüyor. Ama aslında onlarla baş etmek artık zor değil. Bölendeki virgülden kurtulursanız, bir ondalık kesri diğerine bölmek çok daha kolay olacaktır.
Nasıl yapılır? 10 kutuya 90 kalem koyarsak her kutuda kaç kalem olur? 9. Her iki sayıyı da 10 - 900 kalem ve 100 kutu ile çarpalım. Her birinde kaç tane var? 9. Ondalık kesri bölmeniz gerektiğinde de aynı prensip geçerlidir.
Bölen virgülden tamamen kurtulur ve bölenin virgülü daha önce bölende olduğu kadar sağa kaydırılır. Ve sonra yukarıda tartıştığımız olağan sütuna bölünme gerçekleştirilir. Örneğin:
25,6/6,4 = 256/64 = 4;
10,24/1,6 = 102,4/16 =6,4;
100,725/1,25 =10072,5/125 =80,58.
Bölen tam sayı oluncaya kadar bölünen payın 10 ile çarpılması gerekir. Bu nedenle sağda fazladan sıfır olabilir.
40,6/0,58 =4060/58=70.
Bunda yanlış bir şey yok. Kalemlerle ilgili örneği hatırlayın; her iki sayıyı da aynı miktarda artırırsanız cevap değişmeyecektir. Ortak kesirleri bölmek daha zordur, özellikle de pay ve paydada ortak çarpan yoksa.
Ondalık sayıyı bölmek bu bakımdan çok daha uygundur. Buradaki en zor püf noktası virgül kaydırma hilesidir ancak gördüğümüz gibi işlenmesi kolaydır. Bunu çocuğunuza aktararak ona ondalık sayıların nasıl bölüneceğini öğretmiş olacaksınız.
Bu basit kurala hakim olan oğlunuz veya kızınız matematik derslerinde kendini çok daha güvende hissedecek ve kim bilir belki de bu konuya ilgi duyacaktır. Matematiksel bir zihniyet nadiren erken çocukluktan itibaren kendini gösterir; bazen bir itme ve ilgiye ihtiyaç vardır.
Çocuğunuzun ödevlerine yardımcı olarak, sadece akademik performansını artırmakla kalmayacak, aynı zamanda ilgi alanlarını da genişleteceksiniz ve zamanla size minnettar kalacaktır.
Kesir, bir bütünün bir veya daha fazla parçası olup genellikle bir (1) olarak alınır. Doğal sayılarda olduğu gibi kesirlerle de tüm temel aritmetik işlemleri (toplama, çıkarma, bölme, çarpma) gerçekleştirebilirsiniz; bunun için kesirlerle çalışmanın özelliklerini bilmeniz ve türlerini ayırt etmeniz gerekir. Birkaç kesir türü vardır: ondalık ve sıradan veya basit. Her kesir türünün kendine has özellikleri vardır, ancak bunları nasıl ele alacağınızı iyice anladığınızda, kesirlerle aritmetik hesaplamalar yapmanın temel ilkelerini bileceğiniz için kesirlerle her türlü örneği çözebileceksiniz. Bir kesirin tam sayıya nasıl bölüneceğine ilişkin örneklere bakalım: farklı şekiller kesirler.
Basit bir kesir doğal sayıya nasıl bölünür?Sıradan veya basit kesirler, kesirin üst kısmında bölenin (pay) ve alt kısımda bölenin (payda) belirtildiği sayıların oranı şeklinde yazılan kesirlerdir. Böyle bir kesir bir tam sayıya nasıl bölünür? Bir örneğe bakalım! Diyelim ki 8/12'yi 2'ye bölmemiz gerekiyor.
Bunu yapmak için bir dizi eylem gerçekleştirmeliyiz:
Dolayısıyla, bir kesri bir tam sayıya bölme göreviyle karşı karşıya kalırsak, çözüm diyagramı şöyle görünecektir: 
Benzer şekilde herhangi bir sıradan (basit) kesri bir tam sayıya bölebilirsiniz.
Ondalık sayı bir tam sayıya nasıl bölünür?
Ondalık sayı, bir birimin on, bin vb. parçalara bölünmesiyle elde edilen kesirdir. Aritmetik işlemler ondalık kesirlerle oldukça basittir.
Bir kesirin bir tam sayıya nasıl bölüneceğine ilişkin bir örneğe bakalım. Diyelim ki 0,925 ondalık kesirini 5 doğal sayısına bölmemiz gerekiyor.
Özetlemek gerekirse bölme işlemini gerçekleştirirken önemli olan iki ana nokta üzerinde duralım. ondalık sayılar tamsayıya göre: - ondalık kesri bir doğal sayıya bölmek için uzun bölme kullanılır;
- Payın tamamının bölünmesi tamamlandığında bölüme virgül konur.
Okulda bu eylemler basitten karmaşığa doğru incelenir. Bu nedenle, bu işlemleri gerçekleştirmek için algoritmanın iyice anlaşılması zorunludur. basit örnekler. Böylece daha sonra ondalık kesirleri bir sütuna bölmede herhangi bir zorluk yaşanmayacaktır. Sonuçta bu en zor seçenek benzer görevler.
Bu konu tutarlı bir çalışma gerektirir. Bilgideki boşluklar burada kabul edilemez. Her öğrenci bu prensibi birinci sınıfta öğrenmelidir. Bu nedenle, arka arkaya birkaç dersi kaçırırsanız, materyale kendi başınıza hakim olmanız gerekecektir. Aksi takdirde daha sonra sadece matematikte değil, matematikle ilgili diğer konularda da sorunlar ortaya çıkacaktır.
Saniye gerekli koşul başarılı çalışma matematik - ancak toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerine hakim olduktan sonra uzun bölme örneklerine geçin.
Bir çocuğun çarpım tablosunu öğrenmemesi durumunda bölme işlemi yapması zor olacaktır. Bu arada, bunu Pisagor tablosunu kullanarak öğretmek daha iyidir. Gereksiz hiçbir şey yoktur ve bu durumda çarpma işlemini öğrenmek daha kolaydır.
Bir sütunda doğal sayılar nasıl çarpılır?
Bölme ve çarpma için bir sütundaki örnekleri çözmede zorluk çıkarsa, o zaman sorunu çarpma ile çözmeye başlamalısınız. Bölme çarpmanın ters işlemi olduğundan:
- İki sayıyı çarpmadan önce onlara dikkatlice bakmanız gerekir. Rakamları daha fazla olan (daha uzun) olanı seçin ve önce onu yazın. İkincisini altına yerleştirin. Ayrıca ilgili kategoriye ait numaraların da aynı kategori altında olması gerekmektedir. Yani birinci sayının en sağdaki rakamı, ikinci sayının en sağdaki rakamının üzerinde olmalıdır.
- Sağdan başlayarak alttaki sayının en sağdaki basamağını üstteki sayının her basamağıyla çarpın. Cevabı, son rakamı çarptığınız rakamın altında olacak şekilde satırın altına yazın.
- Aynı işlemi alt sayının başka bir rakamıyla tekrarlayın. Ancak çarpma sonucunun bir basamak sola kaydırılması gerekir. Bu durumda son rakamı çarpıldığı rakamın altında olacaktır.
İkinci faktördeki sayılar bitene kadar bu çarpma işlemine bir sütunda devam edin. Şimdi katlanmaları gerekiyor. Aradığınız cevap bu olacaktır.
Ondalık sayıları çarpma algoritması
Öncelikle verilen kesirlerin ondalık sayılar değil doğal olduğunu hayal etmeniz gerekir. Yani, virgülleri onlardan kaldırın ve ardından önceki durumda anlatıldığı gibi devam edin.
Fark, cevabın yazılmasıyla başlar. Şu anda her iki kesirde de virgülden sonra çıkan tüm sayıları saymak gerekiyor. Cevabın sonundan itibaren tam olarak kaç tanesinin sayılması ve oraya virgül konulması gerekiyor.
Bu algoritmayı bir örnek kullanarak göstermek uygundur: 0,25 x 0,33:
Bölmeyi öğrenmeye nereden başlamalı?
Uzun bölme örneklerini çözmeden önce uzun bölme örneğinde çıkan sayıların isimlerini hatırlamanız gerekir. Bunlardan ilki (bölünen) bölünebilir. İkincisi (bölünen) bölendir. Cevap özeldir.
Bundan sonra, günlük basit bir örnek kullanarak bu matematiksel işlemin özünü açıklayacağız. Örneğin, 10 şeker alırsanız, bunları anne ve baba arasında eşit olarak bölmek kolaydır. Peki ya bunları anne babanıza ve erkek kardeşinize vermeniz gerekiyorsa?
Bundan sonra bölme kurallarını öğrenebilir ve bu kurallara hakim olabilirsiniz. spesifik örnekler. Önce basit olanlar, sonra giderek daha karmaşık olanlara geçin.
Sayıları bir sütuna bölmek için algoritma
Öncelikle tek basamaklı bir sayıya bölünebilen doğal sayılara ilişkin işlemi anlatalım. Bunlar aynı zamanda çok basamaklı bölenlerin veya ondalık kesirlerin de temelini oluşturacaktır. Ancak o zaman girmelisiniz küçük değişiklikler, ancak bunun hakkında daha sonra daha fazlası:
- Uzun bölme işlemi yapmadan önce bölenin ve bölenin nerede olduğunu bulmanız gerekir.
- Temettüyü yazın. Sağında bölücü var.
- Solda ve altta son köşeye yakın bir köşe çizin.
- Eksik temettüyü, yani bölme için minimum olacak sayıyı belirleyin. Genellikle bir rakamdan, en fazla iki rakamdan oluşur.
- Cevapta ilk yazılacak sayıyı seçin. Bölenin temettüye sığma sayısı olmalıdır.
- Bu sayıyı bölenle çarpmanın sonucunu yazın.
- Tamamlanmamış temettü altına yazın. Çıkarma işlemini gerçekleştirin.
- Bölünen kısımdan sonraki ilk rakamı kalana ekleyin.
- Cevap için numarayı tekrar seçin.
- Çarpma ve çıkarma işlemini tekrarlayın. Kalan sıfırsa ve bölüştürme bittiyse örnek yapılır. Aksi takdirde adımları tekrarlayın: sayıyı kaldırın, sayıyı alın, çarpın, çıkarın.
Bölen birden fazla rakama sahipse uzun bölme işlemi nasıl çözülür?
Algoritmanın kendisi yukarıda anlatılanlarla tamamen örtüşmektedir. Fark, tamamlanmamış temettüdeki basamak sayısı olacaktır. Şimdi en az iki tane olmalı, ama eğer ortaya çıkarlarsa bölenden daha az, o zaman ilk üç rakamla çalışmalısınız.
Bu bölümde bir nüans daha var. Gerçek şu ki, kalan ve ona eklenen sayı bazen bölene bölünemez. Daha sonra sırayla başka bir numara eklemelisiniz. Ama cevap sıfır olmalı. Bölme işlemi yapılırsa üç basamaklı sayılar bir sütunda ikiden fazla rakamı kaldırmanız gerekebilir. Daha sonra bir kural getirilir: Cevapta, kaldırılan basamak sayısından bir eksik sıfır olmalıdır.
Bu bölümü - 12082: 863 örneğini kullanarak düşünebilirsiniz.
- İçindeki eksik temettü 1208 sayısı olarak ortaya çıkıyor. 863 sayısı yalnızca bir kez yer alıyor. Bu nedenle cevabın 1 olması ve 1208'in altına 863 yazılması gerekiyor.
- Çıkarma işleminden sonra kalan 345'tir.
- Buna 2 sayısını da eklemeniz gerekiyor.
- 3452 sayısının dört katı 863'tür.
- Dört tanesi cevap olarak yazılmalıdır. Üstelik 4 ile çarpıldığında tam olarak elde edilen sayı budur.
- Çıkarma işleminden sonra kalan sıfırdır. Yani bölme işlemi tamamlandı.
Örnekteki cevap 14 sayısı olacaktır.
Ya temettü sıfırla biterse?
Yoksa birkaç sıfır mı? Bu durumda kalan sıfırdır ancak temettüde hala sıfırlar bulunmaktadır. Umutsuzluğa kapılmanıza gerek yok, her şey göründüğünden daha basit. Bölünmemiş kalan tüm sıfırları cevaba eklemek yeterlidir.
Örneğin 400'ü 5'e bölmeniz gerekiyor. Eksik bölüştürücü 40'tır. Beş, buna 8 kez sığar. Yani cevabın 8 olarak yazılması gerekiyor. Çıkarma işleminde kalan kalmıyor. Yani bölme işlemi tamamlanır ancak payda sıfır kalır. Cevaba eklenmesi gerekecek. Yani 400'ü 5'e bölmek 80'e eşittir.
Ondalık kesri bölmeniz gerekirse ne yapmalısınız?
Bu sayı da yine tam kısmı kesirli kısımdan ayıran virgül olmasa doğal bir sayıya benziyor. Bu, ondalık kesirlerin bir sütuna bölünmesinin yukarıda açıklanana benzer olduğunu göstermektedir.
Tek fark noktalı virgül olacak. Kesirli kısımdan ilk rakam kaldırılır kaldırılmaz cevaba konulması gerekiyor. Bunu söylemenin bir başka yolu da şudur: Eğer parçanın tamamını bölmeyi bitirdiyseniz virgül koyup çözüme devam edin.
Ondalık kesirlerle uzun bölme örneklerini çözerken, ondalık noktadan sonraki kısma istediğiniz sayıda sıfır eklenebileceğini hatırlamanız gerekir. Bazen sayıları tamamlamak için bu gereklidir.
İki ondalık sayıyı bölme
Karmaşık görünebilir. Ama sadece başlangıçta. Sonuçta, bir kesir sütununun doğal bir sayıya nasıl bölüneceği zaten açıktır. Bu, bu örneği zaten tanıdık bir forma indirgememiz gerektiği anlamına geliyor.
Bunu yapmak kolaydır. Her iki kesri de 10, 100, 1.000 veya 10.000 ile ve eğer sorun gerektiriyorsa belki bir milyonla çarpmanız gerekir. Çarpan, bölenin ondalık kısmında kaç sıfır olduğuna göre seçilmelidir. Yani sonuç, kesri doğal bir sayıya bölmeniz gerektiği olacaktır.
Ve bu en kötü senaryo olacak. Sonuçta, bu işlemden elde edilen temettü tam sayı haline gelebilir. Daha sonra bir kesir sütununa bölme örneğinin çözümü en aza indirilecektir. basit seçenek: doğal sayılarla işlemler.
Örnek olarak: 28,4'ü 3,2'ye bölün:
- İkinci sayının virgülden sonra yalnızca bir rakamı olduğundan, önce bunların 10 ile çarpılması gerekir. Çarpmak 284 ve 32'yi verecektir.
- Ayrılmaları gerekiyor. Üstelik tam sayı 284'e 32'dir.
- Cevap için seçilen ilk sayı 8'dir. Bu rakamın çarpılması 256 sonucunu verir. Geriye kalan 28'dir.
- Bütün parçanın bölünmesi sona erdi ve cevapta virgül gerekiyor.
- Kalan 0'a kadar çıkar.
- Tekrar 8'i al.
- Kalan: 24. Buna bir 0 daha ekleyin.
- Şimdi 7'yi almanız gerekiyor.
- Çarpma sonucu 224, kalan 16 olur.
- Bir 0 daha al. Her birinden 5 al ve tam olarak 160 elde et. Geri kalan 0.
Bölme tamamlandı. Örnek 28.4:3.2'nin sonucu 8.875'tir.
Ya bölen 10, 100, 0,1 veya 0,01 ise?
Çarpma işleminde olduğu gibi burada da uzun bölmeye gerek yoktur. Belirli sayıda basamak için virgülü istenilen yönde hareket ettirmeniz yeterlidir. Üstelik bu prensibi kullanarak hem tamsayılı hem de ondalık kesirli örnekleri çözebilirsiniz.
Dolayısıyla, 10, 100 veya 1.000'e bölmeniz gerekiyorsa, bölende sıfırlar olduğu için virgül aynı sayıda basamak sola kaydırılır. Yani bir sayı 100'e bölünüyorsa virgülün iki basamak sola gitmesi gerekir. Bölünen doğal sayı ise virgülün sonunda olduğu varsayılır.
Bu işlem, sayının 0,1, 0,01 veya 0,001 ile çarpılmasıyla aynı sonucu verir. Bu örneklerde virgül de kesirli kısmın uzunluğuna eşit sayıda basamak kadar sola kaydırılır.
0,1 (vb.) ile bölerken veya 10 (vb.) ile çarparken, ondalık nokta bir basamak (veya sıfır sayısına veya kesirli kısmın uzunluğuna bağlı olarak iki, üç) sağa doğru hareket etmelidir.
Kâr payında verilen rakam sayısının yeterli olmayabileceğini belirtmekte fayda var. Daha sonra eksik sıfırlar sola (tüm kısımda) veya sağa (ondalık noktadan sonra) eklenebilir.
Periyodik kesirlerin bölünmesi
Bu durumda sütuna bölme işleminde doğru bir cevap almak mümkün olmayacaktır. Noktalı bir kesirle karşılaşırsanız bir örneği nasıl çözebilirsiniz? Burada sıradan kesirlere geçmemiz gerekiyor. Daha sonra bunları önceden öğrenilen kurallara göre bölün.
Örneğin 0,(3)'ü 0,6'ya bölmeniz gerekir. İlk fraksiyon periyodiktir. 3/9 kesrine dönüşür, indirgendiğinde 1/3 verir. İkinci kesir son ondalık sayıdır. Her zamanki gibi yazmak daha da kolay: 6/10, yani 3/5. Sıradan kesirleri bölme kuralı, bölmenin çarpmayla, bölenin de karşılıklıyla değiştirilmesini gerektirir. Yani örnek 1/3'ü 5/3 ile çarpmak şeklindedir. Cevap 5/9 olacaktır.
Örnek farklı kesirler içeriyorsa...
O zaman birkaç çözüm mümkündür. İlk olarak, ortak bir kesri ondalık sayıya dönüştürmeyi deneyebilirsiniz. Daha sonra yukarıdaki algoritmayı kullanarak iki ondalık sayıyı bölün.
İkinci olarak, her son ondalık kesir ortak bir kesir olarak yazılabilir. Ancak bu her zaman uygun değildir. Çoğu zaman, bu tür kesirler çok büyük olur. Ve cevaplar hantal. Bu nedenle ilk yaklaşımın daha çok tercih edildiği düşünülmektedir.
Son derste ondalık sayıların nasıl toplanıp çıkarılacağını öğrendik (“Ondalık Sayılarda Toplama ve Çıkarma” dersine bakın). Aynı zamanda sıradan "iki katlı" kesirlere kıyasla hesaplamaların ne kadar basitleştirildiğini de değerlendirdik.
Ne yazık ki ondalık sayılarda çarpma ve bölme işlemlerinde bu etki oluşmaz. Bazı durumlarda ondalık gösterim bu işlemleri bile karmaşık hale getirir.
Öncelikle yeni bir tanım verelim. Onu sadece bu derste değil, sık sık göreceğiz.
Bir sayının anlamlı kısmı, sonlar da dahil olmak üzere sıfırdan farklı ilk rakam ile son rakam arasındaki her şeydir. Sadece rakamlardan bahsediyoruz, virgül dikkate alınmıyor.
Bir sayının anlamlı kısmında yer alan rakamlara anlamlı rakamlar denir. Tekrarlanabilirler ve hatta sıfıra eşit olabilirler.
Örneğin, birkaç ondalık kesri düşünün ve karşılık gelen önemli kısımları yazın:
- 91,25 → 9125 (önemli rakamlar: 9; 1; 2; 5);
- 0,008241 → 8241 (önemli rakamlar: 8; 2; 4; 1);
- 15,0075 → 150075 (önemli rakamlar: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
- 0,0304 → 304 (anlamlı rakamlar: 3; 0; 4);
- 3000 → 3 (yalnızca tek bir anlamlı rakam vardır: 3).
Lütfen dikkat: Sayının önemli kısmının içindeki sıfırlar hiçbir yere gitmez. Ondalık kesirleri sıradan kesirlere dönüştürmeyi öğrendiğimizde zaten benzer bir şeyle karşılaştık (“ Ondalık Sayılar” dersine bakın).
Bu nokta o kadar önemli ki ve burada o kadar sık hata yapılıyor ki, yakın gelecekte bu konuyla ilgili bir test yayınlayacağım. Mutlaka pratik yapın! Ve biz, önemli kısım kavramıyla donanmış olarak, aslında dersin konusuna geçeceğiz.
Ondalık Sayıların Çarpılması
Çarpma işlemi birbirini takip eden üç adımdan oluşur:
- Her kesir için önemli kısmı yazın. Herhangi bir payda ve ondalık nokta olmadan iki sıradan tamsayı elde edeceksiniz;
- Bu sayıları uygun bir şekilde çarpın. Sayılar küçükse veya bir sütun halindeyse doğrudan. İstenilen fraksiyonun önemli bir kısmını elde ediyoruz;
- İlgili anlamlı kısmı elde etmek için orijinal kesirlerdeki ondalık noktanın nereye ve kaç basamak kaydırıldığını öğrenin. Önceki adımda elde edilen önemli kısım için ters kaydırmalar yapın.
Önemli kısmın kenarlarındaki sıfırların asla dikkate alınmadığını bir kez daha hatırlatayım. Bu kuralın göz ardı edilmesi hatalara yol açar.
- 0,28 12,5;
- 6,3 · 1,08;
- 132,5 · 0,0034;
- 0,0108 1600,5;
- 5,25 · 10.000.
İlk ifadeyle çalışıyoruz: 0,28 · 12,5.
- Bu ifadedeki sayıların anlamlı kısımlarını yazalım: 28 ve 125;
- Çarpımları: 28 · 125 = 3500;
- İlk faktörde virgül 2 basamak sağa kaydırılır (0,28 → 28), ikincisinde ise 1 basamak daha kaydırılır. Toplamda üç haneli sola kaydırmanız gerekir: 3500 → 3.500 = 3,5.
Şimdi 6.3 · 1.08 ifadesine bakalım.
- Önemli kısımları yazalım: 63 ve 108;
- Çarpımları: 63 · 108 = 6804;
- Yine sağa iki kaydırma: sırasıyla 2 ve 1 basamak. Toplam - yine sağa 3 hane, yani ters kaydırma 3 hane sola olacaktır: 6804 → 6,804. Bu sefer sonunda sıfır yok.
Üçüncü ifadeye ulaştık: 132,5 · 0,0034.
- Önemli parçalar: 1325 ve 34;
- Çarpımları: 1325 · 34 = 45.050;
- İlk kesirde, ondalık nokta 1 basamak sağa, ikincisinde ise 4'e kadar hareket eder. Toplam: 5 sağa. 5 birim sola kaydırıyoruz: 45,050 → 0,45050 = 0,4505. Sıfır sondan çıkarıldı ve “çıplak” bir ondalık nokta bırakmayacak şekilde öne eklendi.
Aşağıdaki ifade: 0,0108 · 1600,5.
- Önemli kısımları yazıyoruz: 108 ve 16 005;
- Bunları çarpıyoruz: 108 · 16,005 = 1,728,540;
- Virgülden sonraki sayıları sayıyoruz: İlk sayıda 4, ikinci sayıda 1. Toplam yine 5. Elimizde: 1,728,540 → 17,28540 = 17,2854 var. Sonunda “ekstra” sıfır kaldırıldı.
Son olarak son ifade: 5,25 10.000.
- Önemli parçalar: 525 ve 1;
- Bunları çarpıyoruz: 525 · 1 = 525;
- İlk kesir 2 basamak sağa, ikinci kesir ise 4 basamak sola kaydırılır (10.000 → 1.0000 = 1). Toplam 4 − 2 = sola doğru 2 basamak. Sağa 2 basamak ters kaydırma yapıyoruz: 525, → 52.500 (sıfır eklemek zorunda kaldık).
Son örneğe dikkat edin: virgül farklı yönlerde hareket ettiğinden toplam kayma fark üzerinden bulunur. Bu çok önemli nokta! İşte başka bir örnek:
1,5 ve 12.500 sayılarını ele alalım: 1,5 → 15 (sağa 1 kaydırma); 12.500 → 125 (2'yi sola kaydırın). 1 rakamı sağa, ardından 2 rakamını sola “adımlıyoruz”. Sonuç olarak 2 − 1 = 1 basamak sola adım attık.
Ondalık bölme
Bölünme belki de en karmaşık operasyon. Elbette burada çarpma işlemine benzeterek hareket edebilirsiniz: önemli kısımları bölün ve ardından ondalık noktayı "hareket ettirin". Ancak bu durumda potansiyel tasarrufları ortadan kaldıran birçok incelik vardır.
Bu nedenle, biraz daha uzun ama çok daha güvenilir olan evrensel bir algoritmaya bakalım:
- Tüm ondalık kesirleri sıradan kesirlere dönüştürün. Biraz pratik yaparsanız bu adım birkaç saniyenizi alacaktır;
- Ortaya çıkan kesirleri klasik şekilde bölün. Başka bir deyişle, ilk kesri “tersine çevrilmiş” ikinciyle çarpın (“Sayısal kesirlerle çarpma ve bölme” dersine bakın);
- Mümkünse sonucu tekrar ondalık kesir olarak sunun. Bu adım aynı zamanda hızlıdır çünkü payda genellikle zaten onun katıdır.
Görev. İfadenin anlamını bulun:
- 3,51: 3,9;
- 1,47: 2,1;
- 6,4: 25,6:
- 0,0425: 2,5;
- 0,25: 0,002.
İlk ifadeyi ele alalım. Öncelikle kesirleri ondalık sayıya çevirelim:
Aynı işlemi ikinci ifade için de yapalım. İlk kesrin payı yine çarpanlara ayrılacaktır:
Üçüncü ve dördüncü örneklerde önemli bir nokta var: Ondalık gösterimden kurtulduktan sonra indirgenebilir kesirler ortaya çıkıyor. Ancak bu indirimi yapmayacağız.
Son örnek ilginçtir çünkü ikinci kesrin payı bir asal sayı içermektedir. Burada çarpanlara ayıracak hiçbir şey yok, bu yüzden bunu doğrudan ele alıyoruz:
Bazen bölme işlemi tam sayıyla sonuçlanır (son örnekten bahsediyorum). Bu durumda üçüncü adım hiç gerçekleştirilmez.
Ek olarak, bölerken genellikle ondalık sayılara dönüştürülemeyen "çirkin" kesirler ortaya çıkar. Bu, sonuçların her zaman ondalık biçimde temsil edildiği çarpma işleminden bölmeyi ayırır. Elbette bu durumda son adım yine gerçekleştirilmez.
3. ve 4. örneklere de dikkat edin. Onlarda kasıtlı olarak kısaltmıyoruz sıradan kesirler, ondalık sayılardan türetilmiştir. Aksi takdirde, bu, son cevabı tekrar ondalık biçimde temsil eden ters görevi karmaşıklaştıracaktır.
Unutmayın: Bir kesrin temel özelliği (matematiğin diğer kuralları gibi) kendi başına onun her yerde, her zaman, her fırsatta uygulanması gerektiği anlamına gelmez.
Bu yazımızda buna bakacağız önemli eylem bölme gibi ondalık sayılarla. İlk önce formüle edelim Genel İlkeler, daha sonra ondalık kesirleri hem diğer kesirlere hem de doğal sayılara göre sütunlara doğru şekilde nasıl böleceğimize bakacağız. Daha sonra, sıradan kesirlerin ondalık sayılara ve tam tersi şekilde bölünmesini analiz edeceğiz ve sonunda 0, 1, 0, 01, 100, 10 vb. ile biten kesirlerin nasıl doğru şekilde bölüneceğine bakacağız.
Burada sadece pozitif kesirli durumları ele alacağız. Kesirin önünde bir eksi varsa, onunla çalışmak için rasyonel ve gerçek sayıları bölmeyle ilgili materyali incelemeniz gerekir.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Hem sonlu hem de periyodik tüm ondalık kesirler, sıradan kesirleri yazmanın sadece özel bir biçimidir. Bu nedenle, karşılık gelen adi kesirlerle aynı ilkelere tabidirler. Böylece, ondalık kesirleri sıradan olanlarla değiştirmeye yönelik tüm süreci kısaltıyoruz, ardından zaten bildiğimiz yöntemleri kullanarak hesaplama yapıyoruz. Belirli bir örnek alalım.
örnek 1
1,2'yi 0,48'e bölün.
Çözüm
Ondalık kesirleri sıradan kesirler olarak yazalım. Alacağız:
1 , 2 = 12 10 = 6 5
0 , 48 = 48 100 = 12 25 .
Bu nedenle 6 5'i 12 25'e bölmemiz gerekir. Sayarız:
1, 2: 0, 48 = 6 2: 12 25 = 6 5 25 12 = 6 25 5 12 = 5 2
Ortaya çıkan sonuçtan uygunsuz kesir parçanın tamamını seçip 2 1 2 karışık sayısını elde edebilir veya orijinal sayılara karşılık gelecek şekilde bunu ondalık kesir olarak gösterebilirsiniz: 5 2 = 2, 5. Bunun nasıl yapılacağını daha önce yazmıştık.
Cevap: 1 , 2: 0 , 48 = 2 , 5 .
Örnek 2
0 , (504) 0 , 56'nın ne kadar olacağını hesaplayın.
Çözüm
İlk olarak, periyodik bir ondalık kesiri ortak bir kesire dönüştürmemiz gerekir.
0 , (504) = 0 , 504 1 - 0 , 001 = 0 , 504 0 , 999 = 504 999 = 56 111
Bundan sonra son ondalık kesri de başka bir forma dönüştüreceğiz: 0, 56 = 56,100. Artık gerekli hesaplamaları yapmamızı kolaylaştıracak iki sayımız var:
0 , (504) : 1 , 11 = 56 111: 56 100 = 56 111 100 56 = 100 111
Ondalık sayıya da dönüştürebileceğimiz bir sonucumuz var. Bunu yapmak için sütun yöntemini kullanarak payı paydaya bölün:
Cevap: 0 , (504) : 0 , 56 = 0 , (900) .
Bölme örneğinde periyodik olmayan ondalık kesirlerle karşılaşırsak, biraz farklı davranacağız. Bunları sıradan kesirlere indirgeyemeyiz, bu nedenle bölerken önce onları belirli bir rakama yuvarlamamız gerekir. Bu eylem hem bölünen hem de bölen ile gerçekleştirilmelidir: doğruluk adına mevcut sonlu veya periyodik kesri de yuvarlayacağız.
Örnek 3
0,779... / 1,5602'nin ne kadar olduğunu bulun.
Çözüm
Öncelikle her iki kesri de en yakın yüzlüğe yuvarlıyoruz. Sonsuz periyodik olmayan kesirlerden sonlu ondalık kesirlere bu şekilde geçiyoruz:
0 , 779 … ≈ 0 , 78
1 , 5602 ≈ 1 , 56
Hesaplamalara devam ederek yaklaşık bir sonuç elde edebiliriz: 0, 779 ...: 1, 5602 ≈ 0, 78: 1, 56 = 78,100: 156,100 = 78,100 100,156 = 78,156 = 1 2 = 0, 5.
Sonucun doğruluğu yuvarlama derecesine bağlı olacaktır.
Cevap: 0 , 779 … : 1 , 5602 ≈ 0 , 5 .
Doğal bir sayı ondalık sayıya nasıl bölünür ve bunun tersi de geçerlidir
Bu durumda bölmeye yaklaşım hemen hemen aynıdır: Sonlu ve periyodik kesirleri sıradan olanlarla değiştiririz ve sonsuz periyodik olmayan kesirleri yuvarlarız. Doğal sayı ve ondalık kesirle bölme örneğiyle başlayalım.
Örnek 4
2,5'u 45'e bölün.
Çözüm
2, 5'i sıradan bir kesir haline getirelim: 255 10 = 51 2. Daha sonra bunu bir doğal sayıya bölmemiz gerekiyor. Bunu nasıl yapacağımızı zaten biliyoruz:
25, 5: 45 = 51 2: 45 = 51 2 1 45 = 17 30
Sonucu ondalık gösterime dönüştürürsek 0,5 (6) elde ederiz.
Cevap: 25 , 5: 45 = 0 , 5 (6) .
Uzun bölme yöntemi yalnızca doğal sayılar için iyi değildir. Benzetme yaparak bunu kesirler için kullanabiliriz. Aşağıda bunun için yapılması gereken eylemlerin sırasını belirtiyoruz.
Tanım 1
Ondalık kesirlerden oluşan bir sütunu doğal sayılara bölmek için ihtiyacınız olan:
1. Sağdaki ondalık kesre birkaç sıfır ekleyin (bölme için ihtiyacımız olan herhangi bir sayıda sıfır ekleyebiliriz).
2. Bir algoritma kullanarak ondalık kesri bir doğal sayıya bölün. Kesrin tamamının bölünmesi sona erdiğinde ortaya çıkan bölüme virgül koyup saymaya devam ederiz.
Böyle bir bölmenin sonucu, sonlu veya sonsuz bir periyodik ondalık kesir olabilir. Kalana bağlıdır: sıfırsa sonuç sonlu olacaktır ve geri kalanlar tekrarlanmaya başlarsa cevap periyodik bir kesir olacaktır.
Örnek olarak birkaç problemi ele alalım ve bu adımları belirli sayılarla gerçekleştirmeye çalışalım.
Örnek 5
65, 14 4'ün ne kadar olacağını hesaplayın.
Çözüm
Sütun yöntemini kullanıyoruz. Bunu yapmak için kesire iki sıfır ekleyin ve orijinaline eşit olacak olan 65, 1400 ondalık kesirini elde edin. Şimdi 4'e bölmek için bir sütun yazıyoruz:
Ortaya çıkan sayı, tamsayı kısmını bölerek ihtiyacımız olan sonuç olacaktır. Virgül koyup ayırıyoruz ve devam ediyoruz:
Sıfır kalana ulaşıldığı için bölme işlemi tamamlanmıştır.
Cevap: 65 , 14: 4 = 16 , 285 .
Örnek 6
164,5'i 27'ye bölün.
Çözüm
Önce kesirli kısmı böleriz ve şunu elde ederiz:
Ortaya çıkan sayıyı virgülle ayırın ve bölmeye devam edin:
Kalanların periyodik olarak tekrarlanmaya başladığını ve bölümde dokuz, iki ve beş rakamlarının değişmeye başladığını görüyoruz. Burada durup cevabı periyodik kesir 6, 0 (925) şeklinde yazacağız.
Cevap: 164 , 5: 27 = 6 , 0 (925) .
Bu bölme, daha önce yukarıda açıklanan ondalık kesir ile doğal sayının bölümünü bulma sürecine indirgenebilir. Bunu yapmak için böleni ve böleni 10, 100 vb. ile çarpmamız gerekir, böylece bölen doğal sayıya dönüşür. Daha sonra yukarıda açıklanan eylem sırasını gerçekleştiriyoruz. Bu yaklaşım bölme ve çarpma özelliklerinden dolayı mümkündür. Bunları şu şekilde yazdık:
a: b = (a · 10) : (b · 10) , a: b = (a · 100) : (b · 100) vb.
Bir kural formüle edelim:
Tanım 2
Son bir ondalık kesri diğerine bölmek için:
1. Bölen ve bölendeki virgülü, böleni doğal sayıya dönüştürmek için gerekli basamak sayısı kadar sağa taşıyın. Bölünmede yeterli işaret yoksa sağ tarafa sıfır ekleriz.
2. Bundan sonra, kesri bir sütuna göre elde edilen doğal sayıya bölün.
Belirli bir soruna bakalım.
Örnek 7
7,287'yi 2,1'e bölün.
Çözüm: Böleni doğal sayı yapmak için ondalık basamağı bir basamak sağa kaydırmamız gerekir. Böylece 72, 87 ondalık kesirini 21'e bölmeye geçtik. Ortaya çıkan sayıları bir sütuna yazıp hesaplayalım
Cevap: 7 , 287: 2 , 1 = 3 , 47
Örnek 8
16.30.021'i hesaplayın.
Çözüm
Virgülü üç yere taşımamız gerekecek. Bunun için bölende yeterli rakam yok, bu da ek sıfır kullanmanız gerektiği anlamına geliyor. Sonucun şöyle olacağını düşünüyoruz:
4, 19, 1, 10, 16, 13 numaralı kalıntıların periyodik tekrarını görüyoruz. Bölümde 1, 9, 0, 4, 7 ve 5 tekrarlanıyor. O zaman sonucumuz periyodik ondalık kesir 776, (190476) olur.
Cevap: 16 , 3: 0 , 021 = 776 , (190476)
Açıkladığımız yöntem bunun tersini yapmanıza, yani doğal bir sayıyı son ondalık kesre bölmenize olanak tanır. Nasıl yapıldığını görelim.
Örnek 9
3 5, 4'ün ne kadar olduğunu hesaplayın.
Çözüm
Açıkçası, virgülü doğru bir yere taşımamız gerekecek. Bundan sonra 30, 0'ı 54'e bölmeye devam edebiliriz. Verileri bir sütuna yazıp sonucu hesaplayalım:
Geri kalanı tekrarlamak bize periyodik bir ondalık kesir olan son sayı olan 0 (5)'i verir.
Cevap: 3: 5 , 4 = 0 , (5) .
Ondalık sayılar 1000, 100, 10 vb. sayılara nasıl bölünür?
Sıradan kesirleri bölmek için daha önce incelenen kurallara göre, bir kesri onlara, yüzlere, binlere bölmek, onu 1/1000, 1/100, 1/10 vb. ile çarpmaya benzer. Bölmeyi gerçekleştirmek için ortaya çıktı , bu durumda Virgülü gerekli sayıda basamağa taşımanız yeterlidir. Aktarılacak sayıda yeterli değer yoksa gerekli sayıda sıfır eklemeniz gerekir.
Örnek 10
Yani, 56, 21: 10 = 5, 621 ve 0, 32: 100.000 = 0,0000032.
Sonsuz ondalık kesirler durumunda da aynısını yaparız.
Örnek 11
Örneğin, 3, (56): 1,000 = 0, 003 (56) ve 593, 374...: 100 = 5, 93374....
Ondalık sayılar 0,001, 0,01, 0,1 vb. ile nasıl bölünür?
Aynı kuralı kullanarak kesirleri de belirtilen değerlere bölebiliriz. Bu işlem sırasıyla 1000, 100, 10 ile çarpmaya benzer olacaktır. Bunun için virgülü problemin durumuna göre bir, iki veya üç haneye kaydırıyoruz, rakamda yeterli rakam yoksa sıfır ekliyoruz.
Örnek 12
Örneğin, 5,739: 0,1 = 57,39 ve 0,21: 0,00001 = 21.000.
Bu kural aynı zamanda sonsuz ondalık kesirler için de geçerlidir. Sadece cevapta görünen kesrin periyoduna dikkat etmenizi tavsiye ederiz.
Yani, 7, 5 (716) : 0, 01 = 757, (167) çünkü ondalık kesirdeki virgülü 7, 5716716716... iki basamak sağa kaydırdıktan sonra 757, 167167 elde ederiz....
Örnekte periyodik olmayan kesirler varsa, o zaman her şey daha basittir: 394, 38283...: 0, 001 = 394382, 83....
Karışık bir sayı veya kesir ondalık sayıya nasıl bölünür ve bunun tersi de geçerlidir
Bu eylemi aynı zamanda sıradan kesirlerle yapılan işlemlere de indirgedik. Bunu yapmak için, ondalık sayıları karşılık gelen sıradan kesirlerle değiştirmeniz ve karışık sayıyı uygunsuz bir kesir olarak yazmanız gerekir.
Periyodik olmayan bir kesri sıradan veya karışık bir sayıya bölersek, normal kesir veya karışık sayıyı karşılık gelen ondalık kesirle değiştirerek tam tersini yapmamız gerekir.
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
