V tej lekciji bomo še naprej reševali racionalne neenakosti po presledkih za bolj zapletene neenakosti. Razmislite o rešitvi frakcijskih linearnih in frakcijskih-kvadratnih neenakosti in s tem povezanih nalog.
Zdaj se vrnemo na neenakost
Razmislite o nekaterih povezanih nalogah.
Najti najmanjšo rešitev neenakosti.
Poiščite število neenakosti naravnih rešitev
Poiščite dolžino intervalov, ki sestavljajo številne rešitve neenakosti.
2. portal. Naravne znanosti ().
3. Elektronski izobraževalni in metodični kompleks za pripravo 10-11 razredov do vstopnih izpitov na računalništvu, matematike, ruskega jezika ().
5. Izobraževalni center "Tehnologija usposabljanja" ().
6. Oddelek College.Ru v matematiki ().
1. Morkkovič A.G. in drugi. ALGEBRA 9 CL.: Naloga za študente splošnih izobraževalnih ustanov / a. Morkovich, T. N. Mishoustina, itd - 4. ed. M.: Mnemozina, 2002.-143 s.: IL. 28 (B, B, B); 29 (B, C); 35 (A, B); 37 (B, C); 38 (a).
Za začetek, malo besedila, da čutijo problem, da je intervalna metoda rešuje. Recimo, da moramo rešiti to neenakost:
(x - 5) (x + 3)\u003e 0
Kakšne so možnosti? Prva stvar, ki prihaja na vodja večine študentov, je pravila "plus plus daje plus" in "minus za minus daje plus." Zato je dovolj, da upoštevamo primer, ko sta obe oklepaji pozitivni: X - 5\u003e 0 in X + 3\u003e 0. Potem upoštevajte tudi primer, ko sta obe oklepaji negativni: X - 5< 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:
Več naprednih študentov bo odpoklic (morda), da je levo kvadratna funkcija, katere graf je parabola. Poleg tega ta parabola prečka os OX na točkah X \u003d 5 in X \u003d -3. Za nadaljnje delo je potrebno razkriti oklepaje. Imamo:
x 2 - 2x - 15\u003e 0
Zdaj je jasno, da so veje parabole usmerjene, ker Koeficient A \u003d 1\u003e 0. Poskusimo pripraviti shemo te parabole:
Funkcija je večja od nič, kjer prehaja nad osi OX. V našem primeru ti intervali (-∞ -3) in (5; + ∞) - to je odgovor.
Opomba: Slika se prikaže točno funkcijska shema, ne njen urnik. Ker je za to grafiko treba upoštevati koordinate, za izračun premika in drugega sranja, ki smo popolnoma nič.
Zakaj so te metode neučinkovite?
Torej smo pregledali dve odločitvi iste neenakosti. Oba sta bila zelo okorna. V prvi rešitvi se pojavi - samo pomislite na to! - kombinacija neenakosti. Druga rešitev ni še posebej enostavna: spomniti se morate na grafikonu Parabole in drugega kup manjših dejstev.
Bila je zelo preprosta neenakost. Ima samo 2 dejavnika. In zdaj si predstavljate, da ne bo multiplikatorjev in vsaj 4 na primer:
(x - 7) (x - 1) (x + 4) (x + 9)< 0
Kako rešiti takšno neenakost? Ujemite vse možne kombinacije prednosti in minuse? Da, enostavno bomo hitreje, kot smo našli rešitev. Narišite urnik tudi ni možnost, ker ni jasno, kako se taka funkcija obnaša na koordinatni ravnini.
Za takšne neenakosti je potreben poseben algoritem rešitev, ki smo danes in razmislimo.
Kakšna je metoda intervala
Intervalna metoda je poseben algoritem, namenjen reševanju kompleksnih neenakosti obrazca F (X)\u003e 0 in F (X)< 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:
- Rešite enačbo F (x) \u003d 0. Tako namesto neenakosti dobimo enačbo, ki je rešena veliko lažje;
- Označite vse pridobljene korenine na koordinat neposredno. Tako bo ravna črta razdeljena v več intervalov;
- Ugotovite znak (plus ali minus) Funkcija F (X) na najkrajšnjem intervalu. To storiti, je dovolj, da nadomestimo v F (x) poljubno številko, ki bo pravica do vseh označenih korenin;
- Označite znake na preostale intervalih. Če želite to narediti, je dovolj, da se spomnimo, da se pri premikanju skozi vsako korenino spremeni znak.
To je vse! Po tem pa bo potrebno le zapisati intervale, ki nas zanimajo. Označeni so z znakom "+", če je imela neenakost obrazec F (X)\u003e 0 ali znak "-", če je neenakost ogledana f (x)< 0.
Na prvi pogled se morda zdi, da je intervalna metoda nekakšna vrsta kositra. Toda v praksi bo vse zelo preprosto. Treba je malo vaditi - in vse bo postalo jasno. Oglejte si primere - in se prepričajte, da ste sami:
Nalogo. Rešite neenakost:
(x - 2) (x + 7)< 0
Delamo po metodi intervala. 1. korak: Zamenjajte neenakost na enačbo in jo rešite:
(x - 2) (x + 7) \u003d 0
Izdelek je nič, če in samo, če je vsaj eden od množiteljev nič:
x - 2 \u003d 0 ⇒ X \u003d 2;
x + 7 \u003d 0 ⇒ x \u003d -7.
Prejel dve korenini. Pojdite na 2. korak: Opažamo te korenine na koordinatni neposredni. Imamo:
Korak 3: Našli smo znak funkcije na skrajnemnem intervalu (ustrezna točka x \u003d 2). To naredite, vzemite katero koli številko več številk X \u003d 2. Na primer, vzamemo X \u003d 3 (vendar nihče ne prepoveduje jemanja X \u003d 4, X \u003d 10 in celo x \u003d 10.000). Dobimo:
f (x) \u003d (x - 2) (x + 7);
x \u003d 3;
f (3) \u003d (3 - 2) (3 + 7) \u003d 1 · 10 \u003d 10;
Pridobimo to f (3) \u003d 10\u003e 0, tako da v skrajnemnem intervalu postavite znak plus.
Pojdite na zadnjo točko - morate upoštevati znake v preostalih intervalih. Ne pozabite, da se mora pri prehodu skozi vsako koren znak spremeniti. Na primer, desno od korena X \u003d 2 je plus (smo bili prepričani o tem v prejšnjem koraku), zato je ostanek dolžan stati minus.
Ta minus velja za celoten interval (-7; 2), zato stane pravico koren X \u003d -7. Posledično je na levi strani koren X \u003d -7 plus. Ostajamo označevanje teh znakov na koordinatni osi. Imamo:
Vrnimo se na začetno neenakost, ki je bila podobna:
(x - 2) (x + 7)< 0
Torej mora biti funkcija manjša od nič. Torej, zanimamo za minus znak, ki se pojavi le na istem intervalu: (-7; 2). To bo odgovorilo.
Nalogo. Rešite neenakost:
(x + 9) (x - 3) (1 - x)< 0
Korak 1: Enako enačimo na nič:
(x + 9) (x - 3) (1 - x) \u003d 0;
x + 9 \u003d 0 ⇒ x \u003d -9;
x - 3 \u003d 0 ⇒ X \u003d 3;
1 - x \u003d 0 ⇒ x \u003d 1.
Ne pozabite: izdelek je nič, kadar je vsaj eden od množiteljev nič. Zato smo upravičeni do enači vsakega posameznega nosilca na nič.
2. korak: Praznovamo vse korenine na koordinat Direct:
3. korak: Ugotovite znak desne reže. Vzemimo katero koli številko, ki je večja od x \u003d 1. Na primer, lahko vzamete x \u003d 10. Imamo:
f (x) \u003d (x + 9) (x - 3) (1 - x);
x \u003d 10;
f (10) \u003d (10 + 9) (10 - 3) (1 - 10) \u003d 19 · 7 · (-9) \u003d - 1197;
f (10) \u003d -1197< 0.
4. korak: Nastavite preostale znake. Ne pozabite, da se pri prehodu skozi vsako korenino spremeni znak. Kot rezultat, bo naša slika izgledala takole:
To je vse. Ostaja le, da napišem odgovor. Ponovno si oglejte prvotno neenakost:
(x + 9) (x - 3) (1 - x)< 0
To je neenakost obrazca F (x)< 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:
x ∈ (-9; 1) ∪ (3; + ∞)
To je odgovor.
Opomba o znakih funkcije
Praksa kaže, da se največje težave v intervalni metodi pojavijo v zadnjih dveh korakih, t.j. Pri pisanju. Mnogi učenci začnejo zmedeni: kaj morate vzeti številke in kje dati znake.
Za končno razvrščanje metode intervala, upoštevajte dve pripombi, na katerih je zgrajena:
- Neprekinjena funkcija spremeni znak samo na teh točkah, kjer je enaka nič. Takšne točke razbijejo koordinatno os na koščke, znotraj katerih se znak ne spremeni. Zato smo rešili enačbo F (x) \u003d 0 in praznujemo najdene korenine na ravni liniji. Številne številke so "meje" točke, ki ločujejo prednosti minuse.
- Če želite izvedeti znak funkcije v vsakem intervalu, je dovolj, da nadomestite poljubno število iz tega intervala. Na primer, za interval (-5; 6), imamo pravico vzeti X \u003d -4, X \u003d 0, X \u003d 4 in celo x \u003d 1,29374, če želimo. Zakaj je pomembno? Da, ker mnogi učenci začnejo gripe. Pravijo, da če za x \u003d -4 dobimo plus, in za x \u003d 0 - minus? In nič - to ne bo nikoli. Vse točke na istem intervalu dajejo isti znak. Zapomni si to.
To je vse, kar morate vedeti o metodi intervala. Seveda smo ga razstavili v samem enostavna različica. Obstajajo bolj zapletene neenakosti - neverjetne, frakcinske in ponavljajoče se korenine. Za njih se lahko uporabi tudi intervalna metoda, vendar je to tema za ločeno veliko lekcijo.
Zdaj bi rad razstavil napreden sprejem, ki močno poenostavlja metodo intervala. Natančneje, poenostavitev vpliva le na tretji korak - izračun znaka na desnem kosu neposredno. Iz neznanega razloga ta tehnika ne gre v šolah (vsaj nihče ne pojasnjuje). In zaman - navsezadnje je ta algoritem zelo preprost.
Torej, znak funkcije na desnem kosu številske osi. Ta kos ima obrazec (A; + ∞), kjer je A največji koren enačbe F (X) \u003d 0. Da ne razstrelimo možganov, upoštevajte poseben primer:
(x - 1) (2 + x) (7 - x)< 0;
f (x) \u003d (x - 1) (2 + x) (7 - x);
(x - 1) (2 + x) (7 - x) \u003d 0;
x - 1 \u003d 0 ⇒ X \u003d 1;
2 + x \u003d 0 ⇒ x \u003d -2;
7 - x \u003d 0 ⇒ x \u003d 7;
Imamo 3 korenine. Nanašamo jih v naraščajočem vrstnem redu: x \u003d -2, x \u003d 1 in x \u003d 7. Očitno je, da je največji koren X \u003d 7.
Za tiste, ki se lažje prepirajo grafično, bom te korenine opozoril na koordinatno neposredno. Poglejmo, kaj se zgodi:
Potrebno je najti funkcijo funkcije F (X) na najkrajšnji intervalu, t.j. na (7; + ∞). Ampak kot smo že ugotovili, lahko iz tega intervala vzamete katero koli številko, da ugotovite znak. Na primer, lahko vzamete x \u003d 8, x \u003d 150 itd. In zdaj - sam sprejem, ki ne gre v šolah: vzemimo neskončnost kot številko. Natančneje plus neskončnost. + ∞.
»Ste se prevarali? Kako lahko nadomestim neskončnost? " - Lahko vprašate. Toda pomislite: ne potrebujemo vrednosti funkcije, potrebujemo le znak. Zato, na primer, vrednosti f (x) \u003d -1 in f (x) \u003d -938 740 576 215 pomenijo enako: funkcija v tem intervalu je negativna. Zato je vse, kar je potrebno, je, da najdete znak, ki se pojavi na neskončnosti, in ne vrednosti funkcije.
Dejstvo je, da nadomesti neskončnost zelo preprosto. Vrnimo se na našo funkcijo:
f (x) \u003d (x - 1) (2 + x) (7 - x)
Predstavljajte si, da je x zelo velika številka. Milijarde ali celo bilijona. Zdaj pa poglejmo, kaj se bo zgodilo v vsakem nosilcu.
Prvi nosilec: (X - 1). Kaj se bo zgodilo, če se od milijarda odbije enoto? Izkazalo se je, da se številka, ki se ne razlikuje od milijarda, in ta številka bo pozitivna. Podobno z drugim nosilcem: (2 + x). Če dodate milijardo na dvakrat, bomo dobili milijardo s peni - to je pozitivno število. Nazadnje, tretji nosilec: (7 - x). Tam bo milijardo minus, od katerih bo "razpada" žalosten kos v obliki sedem. Ti. Nastalo število se ne razlikuje od minus milijarde - to bo negativno.
Še vedno je najti znak vsa dela. Ker smo imeli plus v prvih oklepajih, in v slednjem - minus, dobimo naslednjo obliko:
(+) · (+) · (−) = (−)
Končni znak - minus! In ne glede na to, kaj je enako vrednosti same funkcije. Glavna stvar je, da je ta vrednost negativna, t.j. V pravem intervalu je znak minus. Še naprej izvajati četrti korak metode intervala: razširiti vse znake. Imamo:
Začetna neenakost je opisana:
(x - 1) (2 + x) (7 - x)< 0
Zato nas zanimajo intervali, ki jih označujejo minus. Odgovor pišemo:
x ∈ (-2; 1) ∪ (7; + ∞)
To je celotna tehnika, ki sem jo želel povedati. Na koncu je druga neenakost, ki je rešena z metodo intervalih z vključitvijo neskončnosti. Vizualno zmanjšati rešitev, ne bom napisal števila korakov in razporejenih pripomb. Napisal bom samo tisto, kar resnično morate pisati pri reševanju resničnih nalog:
Nalogo. Rešite neenakost:
x (2x + 8) (X - 3)\u003e 0
Neenakost nadomestimo enačbi in jo rešimo:
x (2x + 8) (X - 3) \u003d 0;
x \u003d 0;
2x + 8 \u003d 0 ⇒ X \u003d -4;
x - 3 \u003d 0 ⇒ X \u003d 3.
Vse tri korenine praznujemo na koordinatni ravni (takoj z znaki):
Na desni na koordinatni osi je plus, ker Funkcija ima obrazec:
f (x) \u003d x (2x + 8) (x - 3)
In če nadomestimo neskončnosti (na primer milijardo), dobimo tri pozitivne oklepaje. Ker mora biti začetni izraz večji od nič, nas zanima le prednosti. Ostaja, da napišete odgovor:
x ∈ (-4; 0) ∪ (3; + ∞)
Intervalna metoda - preprost način za reševanje frakcijskih racionalnih neenakosti. Tako imenovane neenakosti, ki vsebujejo racionalne (ali frakcijsko-racionalne) izraze, odvisno od spremenljivke.
1. Razmislite, na primer, takšno neenakost
Intervalna metoda vam omogoča, da jo rešite v nekaj minutah.
Na levi strani te neenakosti - delna racionalna funkcija. Racionalno, ker ne vsebuje korenin, niti sinusov, brez logaritmov - samo racionalnih izrazov. V desni - nič.
Intervalna metoda temelji na naslednji lastnini frakcionalne racionalne funkcije.
Frakcijska racionalna funkcija lahko spremeni znak samo pri teh točkah, v katerih je nič ali ne obstaja.
Tako se bomo spomnili, saj je zložen na multiplikatorje, kvadrat tri zmanjšuje, to je izraz oblike.
Kje in - korenine kvadratna enačba.
Narišemo os in nastavimo točke, na katerih se števec in imenovalec uporabita na nič.
ZEROS imenovalca in - neresničnih točk, saj na teh točkah funkcija na levi strani neenakosti ni definirana (ni mogoče razdeliti na nič). Ničle številke in - naslikane, kot neenakost nestorja. Naše neenakost se izvaja, saj sta oba dela nič nič.
Te točke prekinejo os v vrzeli.
Določite znak frakcialne racionalne funkcije na levi strani naše neenakosti na vsaki od teh vrzeli. Spomnimo se, da lahko delna racionalna funkcija spremeni znak samo pri teh točkah, v katerih je nič ali ne obstaja. To pomeni, da bo na vsaki od vrzeli med točkami, kjer se števca ali imenovalca spremeni v nič, bo znak izraza na levi strani neenakosti trajno - bodisi "plus" ali "minus".
Zato, da se določi znak funkcije na vsakem takem intervalu, vzamemo katero koli točko, ki pripada tej vrzeli. Tisti, ki nas je primeren.
. Vzemite, na primer in preverite znak izraza na levi strani neenakosti. Vsak od "oklepajev" je negativen. Leva stran ima znak.
Naslednja vrzel :. Preverite znak. Dobimo, da je levi del spremenil znak.
Vzemite. Ko je pozitivno izražanje, je posledično pozitivno na celotnem območju od do.
Na levem delu neenakosti je negativen.
In končno, razred \u003d "Tex" Alt \u003d "(! Lang: X\u003e 7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}
Našli smo v kakšnih obdobjih je izraz pozitiven. Ostaja, da zapišete odgovor:
Odgovor :.
Opomba: Signs v intervalih se izmenjujejo. To se je zgodilo, ker. ko se premaknete skozi vsako točko, je točno eden izmed linearnih multiplikatov spremenil znak, ostalo pa ga je ostalo nespremenjeno.
Vidimo, da je intervalna metoda zelo preprosta. Za reševanje delno racionalno metodo intervaličin v intervalih, dajte mu:
Ali Razred \u003d "Tex" Alt \u003d "(! Lang: Genfrac () () () () (0) (DisplayStyle P levo (X desno)) (Displaystyle Q \\ T levo (x \\ t"> !}, ali ali.
(Na levi strani - delna racionalna funkcija, v desni - nič).
Potem - Opomba na številski neposredni točki, na kateri se števec ali imenovalec nanese na nič.
Te točke prekinejo celotno številko neposredne na vrzeli, na vsaki od katerih delno racionalno funkcijo shrani svoj znak.
Ostaja le, da bi ugotovili svoj znak v vsakem intervalu.
To počnemo s preverjanjem znaka izražanja kjerkoli pripada temu vrzeli. Po tem napišite odgovor. To je vse.
Toda vprašanje se pojavi: Ali je vedno znamenje nadomestnih? Ne vedno! Potrebno je biti pozorno in ne uredite znakov mehansko in brezumno.
2. Razmislite o drugi neenakosti.
Razred \u003d "Tex" ALT \u003d "(! LANG: GENFRAC () () () () (0) (DisplayStyle levo (X-2 desno) ^ 2) (DisplayStyle levo (X-1 desno) Levo (X-3 desno))\u003e 0"> !}
Ponovno odprte točke na osi. Točke in - pajkanje, ker je to ničlos imenovalca. Bistvo je prav tako pobarvano, ker je neenakost stroga.
Števec je pozitiven, tako multiplikator v imenovalcu sta negativna. Enostavno preverite, če vzamete katero koli številko iz tega intervala, na primer. Leva stran ima znak:
Z števcem je pozitiven; Prvi dejavnik v imenu je pozitiven, drugi dejavnik je negativen. Leva stran ima znak:
S stanjem enako! Števec je pozitiven, prvi dejavnik v imenu je pozitiven, druga je negativna. Leva stran ima znak:
Končno, z razredom \u003d "Tex" Alt \u003d "(! Lang: X\u003e 3">
все множители положительны, и левая часть имеет знак :!} 
Odgovor :.
Zakaj je bila izmenjava znakov? Ker se pri premikanju skozi točko "odgovorni" za njen multiplikator ni spremenil znaka. Zato ni spremenila znaka in celotnega levega dela naše neenakosti.
Izhod: Če je linearni multiplikator v jasni meri (na primer na trgu), nato, ko preklapljate skozi točko, se znak izraza v levem delu ne spremeni. V primeru pogostega znaka seveda sprememb.
3. Razmislite več težko. Od prejšnjega, je odlikuje dejstvo, da je neenakost neenakost:
Levi del je enak kot pri prejšnji nalogi. Enako bo slika znakov:
Mogoče bo odgovor enak? Ne! Raztopino dodamo, ker je z levim in desnimi deli neenakosti nič - zato je ta točka rešitev.
Odgovor :.
V nalogi izpita v matematiki je ta situacija skupna. Tukaj, prosilci padejo v past in izgubijo točke. Bodi previden!
4. Kaj, če se števec ali imenovalec ne razgradi na linearnih multiplikatorjev? Razmislite o taki neenakosti:
Square tri-vložki za razgradnjo je nemogoče: diskriminalna je negativna, ni korenin. Ampak to je dobro! To pomeni, da je znak izražanja sploh enak, in posebej - je pozitiven. Več o tem lahko preberete v članku o lastnostih kvadratne funkcije.
In zdaj lahko delimo oba dela naše neenakosti za vrednost pozitivne. Enakovredna neenakost:
Ki jo je mogoče zlahka rešiti med intervalno metodo.
Prosimo, upoštevajte, da smo delili oba dela neenakosti z zneskom, od katerih so vedeli, da je pozitivno. Seveda, na splošno, ni treba razmnoževati ali razdeliti neenakosti na variabilno vrednost, katerega znak ni znan.
5 . Razmislite o drugi neenakosti, je zelo preprosto:
Zato ga želim pomnožiti. Ampak smo že pametni, in tega ne bomo storili. Pravzaprav je lahko pozitivno in negativno. In vemo, da se oba dela neenakosti pomnoži z negativno vrednostjo - znak spremembe neenakosti.
To bomo storili drugače - bomo zbrali vse v enem delu in dajemo splošni imenovalec. Pravi del bo ostal nič:
Razred \u003d "Tex" Alt \u003d "(! Lang: Genfrac () () () (0) (DisplayStyle X-2) (Displaystyle X)\u003e 0"> !}
In po tem - velja intervalna metoda.
Pomembne komentarje!
1. Če namesto formulas vidite Abracadabra, očistite predpomnilnik. Kako to storiti v vašem brskalniku je napisano tukaj:
2. Preden začnete brati članek, bodite pozorni na naš navigator najbolj koristen vir. za
Ta metoda morate razumeti in vedeti kot pet prstov! Če se samo zato, ker se uporablja za reševanje racionalnih neenakosti in ker, saj vedo, da ta metoda, kot bi morala, reševanje teh neenakosti presenetljivo preprosto. Malo kasneje bom razkril nekaj skrivnosti, kako prihraniti čas pri reševanju teh neenakosti. No, zanimiv? Potem smo šli!
Bistvo metode v razgradnji neenakosti multiplikatorjev (zamenjajte temo) in definicijo OTZ in znaka tovarne, zdaj bom razložil vse. Vzemite najpreprostejši primer :.
Regija dovoljene vrednosti () Tukaj ni treba pisati, ker ni nobenih oddelkov na spremenljivki, radikali (korenine) pa tukaj ne upoštevamo. Dejavniki so tukaj razčlenjeni. Ampak ne sprostite se, da je vse, da spomnite osnove in razumete bistvo!
Recimo, da ne poznate metode intervalih, kako bi se odločili za to neenakost? Pridite logično in narišite, kaj že veste. Prvič, leva stran bo večja od nič, če sta obe izrazi v oklepajih bolj nič, ali manj nič, ker Plus na plus daje "plus" in "minus" do "minus" daje "plus", kajne? In če se znaki v izrazih v oklepajih razlikujejo, potem bo na koncu levni del manjša od nič. In kaj moramo poznati pomen, v katerem bodo izrazi v oklepajih negativni ali pozitivni?
Rešiti moramo enačbo, prav tako kot neenakost, le namesto znaka, bo znak, da bodo korenine te enačbe omogočile določitev teh mejnih vrednosti, med umikom, iz katerega bodo množitelji večji ali manj kot nič.
In zdaj sami intervali. Kaj je interval? To je numerična ravna linija, to je vse možne številke, sklenjene med dvema številkama, so konci intervala. Ti intervali niso tako enostavni za predložitev, zato se štejejo intervali, ki bodo pripravljeni, zdaj znanstveni.
Narišemo os, vsebuje celotno numerično serijo od in do. Na osi se nanesejo točke, najbolj tako imenovane ničle funkcij, vrednosti, v katerih je izraz nič. Te točke "uvajajo", kar pomeni, da ne veljajo za število teh vrednosti, v katerih je neenakost resnična. At. ta primer, se ujamejo, ker Znak v neenakosti in ne, to je strogo večje in nič več ali enako.
Hočem reči, da ni treba omeniti nič, je brez krogov tukaj, in tako, za razumevanje in orientacijo vzdolž osi. Ok, os naslikata, točke (natančneje vrč), ki so podrobneje dali, kako bi mi pomagala pri reševanju? - Vprašaš te. Sedaj samo vzemite vrednost za ICA iz intervalov, da jih postavite v svojo neenakost in si oglejte, kateri znak bo kot posledica množenja.
Skratka, samo vzemite, na primer, ga nadomestimo tukaj, se izkaže, in to pomeni na celotnem intervalu (v celotnem intervalu), od katere smo vzeli, neenakost bo poštena. Z drugimi besedami, če je X pred tem, potem je neenakost resnična.
Enako delam s presledkom pred tem, vzamemo ali na primer nadomestimo, smo opredelili znak, oznaka bo "minus". Enako pa s podiplomskim podizdom, tretjim intervalom od do, kjer bo znak "plus". Prišel je tako veliko besedila, vendar je malo jasnosti res?
Ponovno gledam na neenakost.
Zdaj se vse uporablja tudi za isto osi in znake, ki bodo povzročili rezultat. Zlomljena črta, v mojem primeru, kažemo pozitivne in negativne dele osi.
Poglejte neenakost - na risbi, spet za neenakost - in spet na risboJe nekaj jasno? Poskusite zdaj povedati v kakšnih intervalih ICA, bo neenakost resnična. Tako je, od neenakosti bo resnična in od prej, v intervalu od do neenakosti nič, in ta vrzel je malo interesov, ker imamo znak v neenakosti.
No, ker si to ugotovil, potem je majhen, da napišete odgovor! V odgovor, pišemo te vrzeli, na katerih je leva stran več kot nič, ki je branje kot X-LINE pripada od minus neskončnosti do minus ene in dva do in neskončnosti. Treba je pojasniti, da oklepaje pomenijo, da vrednosti, ki jih omejujejo interval, niso rešitve neenakosti, to je, da niso vključeni v odgovor, ampak le kažejo, da pred, na primer, ne pa tudi rešitev.
Zdaj primer, v katerem boste imeli ne le interval za risanje:
Kaj misliš, kaj je treba storiti, preden se prijavi točka na osi? Ja, dejavniki razgradijo:
Narisamo intervale in nastavimo znake, opazimo točke od nas, da se zamrznejo, ker je znak strogo manj kot nič:
Čas je, da vam razkrije eno skrivnost, ki sem jo obljubil na začetku te teme! In kaj vam, če vam povem, da ne morete nadomestiti vrednosti iz vsakega intervala, da določite znak, vendar pa lahko določite znak v enem od intervalov, in v drugih samo nadomestnih znakov!
Tako smo prihranili malo časa na pritrjevanje znakov - mislim, da ta čas, ki je zmagal na izpitu, ne preprečuje!
Napišemo odgovor:
Zdaj razmislite o primeru frakcionalne racionalne neenakosti - neenakost, katerih deli so racionalni izrazi (glej).
Kaj lahko rečete o tej neenakosti? In ga pogledate kot frakcijsko racionalno enačbo, kaj počnemo najprej? Takoj vidimo, da ni korenin, to pomeni vsekakor racionalno, vendar takoj frakcijo, in tudi z neznanim v imenovalcu!
TRUE, OTZ potrebuje!
Torej, nadalje šlo, vsi dejavniki, razen enega, imajo spremenljivko prve stopnje, vendar je multiplikator, kjer je X druga stopnja. Običajno se je znak po prehodu spremenil skozi eno od točk, v katerih levi del neenakosti vzame ničelno vrednost, za katero smo ugotovili, kaj je X enak ex v vsakem multiplikatorju. In tukaj, zato je vedno pozitivno, ker Vsako število na trgu\u003e nič in pozitivno.
Kaj misliš, da bo vplival na pomen neenakosti? Desno - ne bo vplivalo! Lahko se varno delimo na oba dela neenakosti in s tem odstranite ta multiplikator, da oči ne kličejo.
Čas je, da narišete intervale, da bi narisali, za to je potrebno opredeliti te mejne vrednosti, med umikom, iz katerega bodo množitelji večji in manj kot nič. Vendar bodite pozorni, da ta znak pomeni točko, v kateri levi del neenakosti vzame ničelno vrednost, ne bomo črpali, je med rešitvami, takšna točka, ki jo imamo eno, je točka, kjer je X enak Ena. In točka, kjer je imenovalec negativen za jedro? - Seveda ne!
Imenovalec ne sme biti nič, zato bo interval izgledal tako:
Za to shemo lahko preprosto napišete odgovor, pravim, da imate zdaj na voljo nova vrsta nosilca - kvadrat! Tukaj je taka nosilec [ Pravi, da je vrednost vključena v interval rešitev, t.j. To je del odgovora, ta nosilec ustreza pobarvani (ne pobarvani) točke na osi.
Tukaj, ste dobili isti odgovor?
Razgradimo se na dejavnike in prenesemo vse v eno smer, moramo le prepustiti desni, da se primerja z njo:
Potegnil sem vašo pozornost, da v zadnjem preobrazbi, da bi se v števcu, kot v imenovalcu, pomnožim oba dela neenakosti. Ne pozabite, da pri množenju obeh delov neenakosti, znak neenakosti se spremeni v nasprotno !!!
Pišemo ...
V nasprotnem primeru se bo imenovalec obrnil na nič, na nič, kot se spomnite, je nemogoče deliti!
Strinjam se, da je na nastalo neenakost, je vabljen, da se razreže v števca in imenovalca! To nemogoče je, da lahko izgubite nekaj odločitev ali ...
Zdaj poskusite uporabiti točke na osi. Upoštevam samo, da je treba pri uporabi točk, ki je potrebna, bodite pozorni na dejstvo, da je treba točko z vrednostjo, ki izhaja iz znaka, navidezno uporabiti za os, kot je pobarvana, ne bo pobarvana, bo poizvedovanje! Zakaj sprašuješ? In si se spomnite, da ga ne boste delili za nič?
Ne pozabite, da je vse več! Če vsa neenakost in znaki enakosti pravijo, je ena stvar, in Otz je še ena, zaupajte ost, super in mogočno! No, zgradili ste intervale, prepričan sem, da ste izkoristili moj namig o izmenjavi in \u200b\u200bsi to storil tako (glej risbo spodaj), zdaj pa kajenje, in ne ponovite te napake več! Kakšno napako? - Vprašaš te.
Dejstvo je, da se je v tej neenakosti večkrat ponovila multiplikacija (spomnite se, kako ste ga še vedno hitili?). Torej, če se multiplikator ponovi v neenakosti, celo število časa, nato, ko preklapljate s točko na osi, ki nariše ta multiplikator na nič (v tem primeru, točka) ne bo spremenila znaka, če je piho, potem znak se spremeni!
To bo zvesto naslednje os z intervali in znaki:
In, bodite pozorni, da znak ne zanima, da ni tisti, ki je bil na začetku (ko smo videli le neenakost, znak je bil), po transformacijah, znak je bil spremenjen v, kar pomeni, da nas zanima vrzeli z a znak.
Odgovor:
Rekel bom, da obstajajo situacije, v katerih obstajajo korenine neenakosti, ki niso vključene v nobeno interval, kot odgovor, ki so zabeleženi v kodrastih oklepajih, kot je ta, na primer :. Več o takih situacijah lahko preberete na srednjem nivoju članka.
Povzetek, kako rešiti neenakosti z intervalno metodo:
- Vse nosimo v levi strani, pustimo le nič na desni;
- Najdemo ...
- Na osi veljamo vse korenine neenakosti;
- Vzamemo samovoljno od ene od vrzel in določimo znak v intervalu, na katerega pripada korenin, nadomestne znake, posvečajo pozornost na korenine, ponavljajoče se v neenakosti večkrat, od paritete ali štejejo znesek njihove ponavljanja, spremeni znak, ko ali ne;
- V odgovor, pišemo intervale, opazovanje čistilnika in ne barve točk (glej OTZ), ki med njimi postavljate potrebne vrste nosilcev.
No, končno, naša najljubša tarifna številka, "to storite sami"!
Primeri:
Odgovori:
Intervalna metoda. Srednja raven
Linearna funkcija
Linear se imenuje funkcija obrazca. Razmislite o funkciji. Pozitivno je in negativno, kdaj. Točka ni nič funkcija (). Pokažimo znake te funkcije na številski osi:
Pravimo, da "funkcija spremeni znak pri premikanju skozi točko."
Vidimo lahko, da funkcije funkcije ustrezajo položaju funkcije funkcije: če je urnik nad osi, znak "", če je spodaj - "".
Če generalno pravilo posplošimo na samovoljno linearna funkcija, Dobim tak algoritem:
- Našli smo nič funkcij;
- Opažamo ga na številski osi;
- Določite znak funkcije na različnih straneh nič.
Kvadratna funkcija
Upam, da se spomnite, kako so rešene kvadratne neenakosti? Če ne, preberite temo. Spomnim splošen pogled kvadratna funkcija: .
Spomnimo se, kateri znaki prejmejo kvadratno funkcijo. Njegov graf - parabola in funkcija ima znak "" s takšnimi, v kateri je parabola nad osjo, in "" - če je parabola pod osjo:
Če ima funkcija ničla (vrednosti, v katerih), parabola prečka os na dveh točkah - korenine ustrezne kvadratne enačbe. Tako je os razdeljena na tri intervale in se znaki funkcije izmenično spremenijo pri premikanju skozi vsako korenino.
Ali je mogoče nekako nekako opredeliti znake, ne da bi se risali vsakič parabola?
Spomnimo se, da se kvadratnega tretjega zmanjšanja mogoče razgraditi na dejavnike:
Na primer :.
Opomba korenin na osi:
Spomnimo se, da se lahko znak funkcije spremeni le, ko se premika skozi koren. To dejstvo uporabljamo: za vsakega od treh intervalov, na katere je os razdeljena s koreninami, je dovolj, da se funkcija funkcije določi samo v eni samovoljno izbrani točki: na drugih točkah intervala bo znak enak .
V našem primeru: ko sta oba izraza v oklepajih pozitivna (nadomestimo, na primer :). Postavili smo znak osi "":
No, ko (na primer predloži, sta obe oklepaji negativni, to pomeni, da je delo pozitivno:
To je tisto, kar je intervalna metoda: Poznavanje znakov dejavnikov v vsakem intervalu, definiramo znak vsa dela.
Razmislite tudi o primerih, ko ni ničle, ali pa je samo ena.
Če ni, potem ni korenin. Torej, ne bo "prehod skozi koren". Torej, funkcija na celotni številski osi traja le en znak. To je enostavno določiti, zamenjati v funkcijo.
Če je koren samo eden, se parabol dotakne z osjo, tako da se znak funkcije ne spremeni pri premikanju skozi koren. Kakšno pravilo bo prišlo do takih situacij?
Če razgradite takšno funkcijo na multiplikatorjih, se bosta dva enaka multiplikata izkazala:
In vsak izraz na trgu je nenegenven! Zato se funkcija funkcije ne spremeni. V takih primerih bomo namenili koren, ko se premaknete, skozi katerega se znak ne spremeni, obkrožen s kvadratom:
Takšen ročaj se imenuje več.
Intervalna metoda neenakosti
Zdaj je mogoče rešiti vsako kvadratno neenakost, ne da bi risali parabola. Dovolj je samo, da postavite znake kvadratne funkcije na os in izberite intervale, odvisno od znaka neenakosti. Na primer:
Upoštevana korenine na osi in laične znake:
Potrebujemo del osi z znakom ""; Ker je neenakost nemirov, so korenine vključene tudi v rešitev:
Zdaj razmislite o racionalni neenakosti - neenakost, oba dela sta racionalni izrazi (glej).
Primer:
Vsi dejavniki, razen enega - - tu "linearne", to pomeni spremenljivko samo v prvi stopnji. Takšni linearni multiplikatorji so potrebni za uporabo metode intervala - znak, ko se premikate s spremembami korenin. Vendar multiplikator sploh nima korenin. To pomeni, da je vedno pozitivno (preverite sami), zato ne vpliva na znak vse neenakosti. To pomeni, da se lahko razdeli z levo in desno stran neenakosti, in se tako znebite:
Zdaj je vse enako, kot je bilo kvadratne neenakosti: Ugotovite, katere točke vsak od množiteljev dodamo na nič, označite te točke na osi in uredite znake. Pozorno sem zelo pomembno:
Odgovor :. Primer:
Če želite uporabiti metodo intervalih, je potrebno, da je bil v enem od delov neenakosti. Zato prenesemo desno stran na levo:
V številu in imenovalcu, iste multiplikator, vendar ne v naglici, da ga razrežemo! Konec koncev, potem lahko pozabimo kupiti to točko. Bolje je opozoriti ta koren kot večkrat, to je, ko se premaknete skozi njega, znak ne bo spremenil: 
Odgovor :.
In še en demonstracijski primer:
Ponovno, ne zmanjšujemo istih multiplikatorjev številke in imenovalca, saj če bomo zmanjšali, bomo morali posebej zapomniti, da morate kupiti točko.
- : ponovi čas;
- : čas;
- : Časi (v številu in eni v imenovalcu).
V primeru celo številke, smo enake kot prej: Dobavljamo točko na trgu in ne spreminjamo znaka, ko se premaknete skozi koren. Toda v primeru neparnega zneska se to pravilo ne izvaja: znak se bo še vedno spremenil med prehodom skozi koren. Zato s takšnim korenom ne ne storimo ničesar, kot da to ni večkrat. Zgornja pravila se nanašajo na vse celo in neparne stopnje. 
Kaj pišemo v odgovoru?
Če obstaja kršitev izmenjave znakov, je treba biti zelo pozoren, ker z nerazumljivo neenakostjo v odgovor vse naslikane točke. Toda nekateri od Nah pogosto stojijo v dvorcu, ki je, ki ni vključen v pobarvano območje. V tem primeru jih dodamo na sprejem kot izolirane točke (v kodrastih oklepajih):
Primeri (reševanje sebe):
Odgovori:
- Če je med multiplikatorji preprosto koren, ker je mogoče zastopati kot.
.
Intervalna metoda. Na kratko o glavni stvari
Metoda intervala se uporablja za reševanje racionalnih neenakosti. Leži pri določanju znaka dela na znakih dejavnikov v različnih intervalih.
Algoritem za reševanje racionalnih neenakosti po intervalih.
- Vse nosimo v levi strani, pustimo le nič na desni;
- Najdemo ...
- Na osi veljamo vse korenine neenakosti;
- Vzamemo samovoljno od ene od vrzel in določimo znak v intervalu, na katerega pripada korenin, nadomestne znake, posvečajo pozornost na korenine, ponavljajoče se v neenakosti večkrat, od paritete ali štejejo znesek njihove ponavljanja, spremeni znak, ko ali ne;
- V odgovor, pišemo intervale, opazovanje čistilnika in ne barve točk (glej OTZ), ki med njimi postavljate potrebne vrste nosilcev.
No, tema je končana. Če ste prebrali te vrstice, potem ste zelo kul.
Ker je samo 5% ljudi sposobno obvladati nekaj. In če ste prebrali do konca, potem ste prišli v te 5%!
Zdaj najpomembnejša stvar.
Opravili ste teorijo na to temo. In ponavljam, ... Samo super! Boljša si od absolutne večine vaših vrstnikov.
Problem je, da to morda ni dovolj ...
Za kaj?
Za uspešno dostavo EGE, za sprejem v Inštitut na proračun in, kar je najpomembneje, za življenje.
Ne bom vas prepričal, samo rekel bom eno stvar ...
Ljudi, ki so prejeli dobra izobrazbaStroj veliko več kot tisti, ki so ga niso prejeli. To so statistični podatki.
Ampak to ni glavna stvar.
Glavna stvar je, da so srečnejši (takšne raziskave). Morda zato, ker je veliko več možnosti v korist in življenje postane svetlejši? Ne vem...
Ampak, mislim, da ...
Kaj morate biti prepričani, da je boljši od drugih na izpitu in bodite na koncu ... srečnejši?
Izpolnite roko z reševanjem nalog na to temo.
Teorijo na izpitu ne boste vprašali.
Boste potrebovali naloge za nekaj časa rešite.
In če jih nisi rešil (veliko!), Zagotovo ste neumno napačno ali pa nimajo časa.
To je kot v športu - morate večkrat ponoviti, da boste zagotovo zmagali.
Najdete, kje želite zbirko, nujno z rešitvami, podrobna analiza In se odločite, se odločite, se odločite!
Naše naloge lahko uporabite (ne nujno) in seveda jih priporočamo.
Da bi zapolnili roko s pomočjo naših nalog, morate pomagati razširiti življenje na učbeniku, ki ga berete zdaj.
Kako? Obstajata dve možnosti:
- Odprt dostop do vseh skritih nalog v tem členu -
- Odprt dostop do vseh skritih nalog v vseh 99 izdelkih učbenika - Kupi učbenik - 499 rubljev
Da, imamo 99 takih člankov v našem učbeniku in dostop do vseh nalog in vsa skrita besedila je mogoče takoj odpreti.
Dostop do vseh skritih nalog je na voljo za celoten obstoj spletnega mesta.
V zaključku...
Če naše naloge ne marajo, poiščite druge. Samo ne ustavite na teoriji.
"Razumem" in "Lahko se odločim", je popolnoma drugačna veščina. Potrebujete oboje.
Poiščite nalogo in se odločite!
Metoda intervala se domneva, da je univerzalna za reševanje neenakosti. Včasih se ta metoda imenuje tudi metoda intervalov. Uporabljamo tako za reševanje racionalnih neenakosti z eno spremenljivo in neenakosti drugih vrst. V našem materialu smo poskušali pozornost nameniti vsem vidikom tega vprašanja.
Kaj vas čaka v tem razdelku? Analizirali bomo metodo vrzeli in razmislili o algoritmih za sevali. Towrine. teoretični vidikina kateri je uporaba metode.
Posebno pozornost namenjamo temi nianse, ki jih običajno ne vpliva na Šolski program. Na primer, upoštevajte pravila za namestitev znakov v intervalih in metodi intervala general. Brez zavezujočega na racionalne neenakosti.
Yandex.rtb r-a-339285-1
Algoritem.
Kdo se spomni, kako se seznaniti z načinom vrzeli v šolskem letu algebre? Običajno se vse začne z raztopino neenakosti obrazca F (x)< 0 (знак неравенства может быть использован любой другой, например, ≤ , > ali ≥). Tukaj je lahko f (x) polinomsko ali polinomsko razmerje. Polinom, nato pa lahko zastopamo kot:
- produkt linearnih biccinov s koeficientom 1 s spremenljivko X;
- sestava kvadratnih hujših Z višjim koeficientom 1 in z negativnim diskriminantom svojih korenin.
Mi dajemo več primerov takih neenakosti:
(x + 3) · (x 2 - x + 1) · (x + 2) 3 ≥ 0,
(x - 2) · (x + 5) x + 3\u003e 0,
(x - 5) · (x + 5) ≤ 0,
(x 2 + 2 · x + 7) · (x - 1) 2 (x 2-7) 5 · (x - 1) · (x - 3) 7 ≤ 0.
Algoritem pišemo, da rešimo neenakosti te vrste, saj smo privedli na primere, metoda intervalov:
- našli smo ničle številke in imenovalca, za ta števec in imenovalec izraza na levi strani neenakosti, ki je enaka nič in rešijo pridobljene enačbe;
- določamo točke, ki ustrezajo najdenim ničlom in jih označijo v osi koordinat;
- določite znake izražanja F (x) z leve strani neenakosti, ki jo je treba rešiti v vsakem intervalu in jih postavite na grafikon;
- nanesite valjenje na želenih delih urnika, ki ga vodi naslednje pravilo: V primeru, da ima neenakost znake< или ≤ изображается, штрихуются «минусовые» промежутки, если же мы работаем с неравенством, имеющим знаки > ali ≥, nato pa izpostavljamo območja gibanja, označena z znakom "+".
Celrezh, s katerim bomo delali, lahko ima shematski pogled. Nepotrebne podrobnosti lahko preobremenijo risbo in jih je težko rešiti. Mi bomo malo zanimanje. Dovolj bo, da se držimo prava lokacija Točke, saj rastejo vrednote njihovih koordinat.
Pri delu s strogimi neenakostmi bomo uporabili oznako točke v obliki kroga z nezrelim (praznim) centrom. V primeru neverjetnih neenakosti, točke, ki ustrezajo ničlam imenovalca, bomo upodobljeni prazni, in vsi ostali so navadni črni.
Navedene točke so koordinata neposredno razdelile v več številčnih vrzeli. To nam omogoča, da dobimo geometrično predstavitev numeričnega niza, ki je pravzaprav rešitev za to neenakost.
Znanstvene osnove metode intervalih
Na podlagi metode vrzeli na podlagi naslednjega premoženja. neprekinjeno delovanje: Funkcija ohranja trajni znak v intervalu (A, B), na kateri je ta funkcija neprekinjena in se ne uporablja za nič. Ta lastnost je značilna za numerične žarke (- ∞, a) in (a, + ∞).
Navedeno funkcijo funkcije potrjuje bolzano-kavčni teorem, ki je podan v številnih priročnikih za pripravo na uvodne preskuse.
Utemeljitev stanja znaka v intervalih lahko temelji na lastnosti numeričnih neenakosti. Na primer, vzamemo neenakost X - 5 x + 1\u003e 0. Če najdemo ničle številke in imenovalca in jih pripeljemo na numerično neposredno, dobimo vrsto vrzeli: (− ∞ , − 1) , (- 1, 5) in (5, + ∞).
Vzemite katerokoli od vrzeli in pokazati, da bo v celotnem razponu izraz z leve strani neenakosti stalni znak. Naj bo vrzel (- ∞, - 1). Vzemite katero koli številko T od te vrzeli. To bo zadovoljilo pogoje t< − 1 , и так как − 1 < 5 , то по свойству транзитивности, оно же будет удовлетворять и неравенству t < 5 .
Z uporabo pridobljenih neenakosti in lastnine numeričnih neenakosti lahko domnevamo, da T + 1< 0 и t − 5 < 0 . Это значит, что t + 1 и t − 5 – это отрицательные числа независимо от значения t. V intervalu (- ∞, - 1).
Z uporabo pravila za odbitek negativnih števil, lahko trdimo, da bo vrednost izraza T - 5 T + 1 pozitivna. To pomeni, da bo vrednost izraza X - 5 x + 1 pozitivna v vsakem pomenu x.iz vrzeli (− ∞ , − 1) . Vse to nam omogoča, da trdimo, da je v intervalu, vzet na primer, izraz ima stalen znak. V našem primeru je to znak "+".
Iskanje Zerlov številke in imenovalca
Algoritem za iskanje ničel je preprost: izenačiti izraze iz števca in imenovalca na nič in rešiti pridobljene enačbe. V primeru težav se lahko sklicuje na temo "Rešitev enačb po metodi razgradnje na multiplikatorjih". V tem razdelku bomo omejeni le obravnava primera.
Razmislite o frakciji x · (x - 0, 6) x 7 · (x 2 + 2 · x + 7) 2 · (x + 5) 3. Da bi našli ničelne številke številke in imenovalca, jih izenačimo na nič, da bi dobili in rešili enačbe: X · (X - 0, 6) \u003d 0 in x 7 · (x 2 + 2 · x + 7) 2 · (x + 5) 3 \u003d 0.
V prvem primeru se lahko premaknemo v kombinacijo dveh enačb X \u003d 0 in X - 0, 6 \u003d 0, ki nam daje dvema koreninama 0 in 0, 6. To so ničle številke.
Druga enačba je enaka celovitvi treh enačb x 7 \u003d 0, (x 2 + 2 · x + 7) 2 \u003d 0, (x + 5) 3 \u003d 0. Izvajamo vrsto transformacij in dobite x \u003d 0, x 2 + 2 · x + 7 \u003d 0, x + 5 \u003d 0. Koren prve enačbe 0, ni koren v drugi enačbi, saj ima negativno diskriminantno, koren tretje enačbe je 5. To je ničlos imenovalca.
0 V tem primeru je hkrati in nič v številu, in z ničelnim imenovalcem.
Na splošno, ko je v levem delu neenakosti, je del, ki ni nujno racionalno, števec in imenovalec enaka nič za pridobitev enačb. Rešitev enačb vam omogoča, da najdete ničle številke in imenovalca.
Preprosto določite znak intervala. V ta namen lahko najdete vrednost izraza z leve strani neenakosti za vsako samovoljno izbrano točko iz tega intervala. Nastalo vrednost znaka izraza v samovoljno izbrani točki vrzeli bo sovpadala z znakom celotne vrzeli.
Razmislite o tej izjavi na primer.
Vzemite neenakost x 2 - x + 4 x + 3 ≥ 0. Zeros iz izraza števca, ki se nahaja na levi strani neenakosti, nima nič. Zero, imenovalec bo številka - 3. Dobimo dve vrzeli na številčni ravni (− ∞ , − 3) in (- 3, + ∞).
Da bi določili oznake vrzeli, izračunamo vrednost ekspresije x 2 - x + 4 x + 3 za točke, ki so bile poljubne na vsaki od vrzeli.
Iz prvega intervala (− ∞ , − 3) Vzemite - 4. Za X \u003d - 4 Imamo (- 4) 2 - (- 4) + 4 (- 4) + 3 \u003d - 24. Imamo negativni pomenTorej bo celoten interval z znakom "-".
Za vrzel (− 3 , + ∞) izračunajte izračune s točko z ničelno koordinato. Pri x \u003d 0 imamo 0 2 - 0 + 4 0 + 3 \u003d 4 3. Prejeto pozitivna vrednostČeprav to pomeni, da bo celoten interval imel znak "+".
Lahko uporabite drug način za identifikacijo znakov. Če želite to narediti, lahko najdemo znak na enem od intervalov in ga shranite ali jo spremenite med prehodom skozi ničlo. Da bi naredili vse pravilno, je treba slediti pravilu: pri prehodu skozi ničlo imenovalca, vendar ne številka, ali številkar, vendar ne imenovalca, lahko spremenimo znak na nasprotno, če je stopnja izraza Dajanje to nič, nenavadno in ne more spremeniti znaka, če je stopnja celo. Če smo prejeli točko, ki je hkrati nič, je števec in imenovalec, potem lahko spremenite znak na nasprotno, če je vsota stopenj izrazov, ki dajejo to nič, je čudno.
Če se spomnite neenakosti, ki smo jih obravnavali na začetku prve točke tega materiala, potem lahko na skrajni desni strani desnega intervala, lahko postavimo znak "+".
Zdaj pa zavijemo na primere.
Vzemite neenakost (x - 2) · (x - 3) 3 (x - 4) 2 (x - 1) 4 · (x - 3) 5 · (x - 4) ≥ 0 in ga rešuje z metodo intervala . Če želite to narediti, moramo najti ničle številke številke in imenovalca ter jih opazili na koordinat neposredno. Ničle številke bodo točke 2 , 3 , 4 , denominatorska točka 1 , 3 , štiri. Upoštevamo jih na osi koordinatnih inbassov.
Zeros imenovalca Opomba Prazne točke.
Ker se ukvarjamo z neverjetno neenakostjo, potem preostale pomišljaje zamenjamo običajne točke.
Zdaj postavite točke v intervalih. Ekstremna desna vrzel (4, + ∞) bo A +.
Premikanje na desno na levo, bomo dvignili znake preostalih intervalov. Pojdite skozi točko s koordinato 4. To je hkrati nič, števec in imenovalec. Skupaj ti ničle daroje dajejo izrazi (X - 4) 2 in X - 4.. Mešajte svoje stopnje 2 + 1 \u003d 3 in dobimo liho število. To pomeni, da se znak, ko se premakne v tem primeru, se spremeni v nasprotno. Interval (3, 4) bo znak minus.
Pojdite v interval (2, 3) skozi točko s koordinato 3. To je tudi nič in števec, imenovalec. Zahvaljujemo se z dvema izrazoma (X - 3) 3 in (X - 3) 5, vsota stopenj, od katerih je 3 + 5 \u003d 8. Pridobitev celo število nam omogoča, da zapustimo znak intervala nespremenjene.
Bistvo s koordinato 2 je nič od števec. Stopnja izraza x - 2 je 1 (liho). To pomeni, da je treba pri prehodu skozi to točko znak spremeniti v nasprotno.
Zapustili smo zadnji interval (- ∞, 1). Bistvo s koordinato 1 je nič imenovalec. Pridobljeno je bilo iz izraza (x - 1) 4s celo stopnjo 4 . Posledično znak ostaja enak. Končna risba bo tovrstna:
Uporaba metode intervala je še posebej učinkovita v primerih, ko je izračun vrednosti izraza povezana z veliko delom. Primer je morda potreba po izračunu vrednosti izraza.
x + 3 - 3 4 3 · x 2 + 6 · x + 11 2 · x + 2 - 3 4 (x - 1) 2 · x - 2 3 5 · (x - 12)
na kateri koli točki intervala 3 - 3 4, 3 - 2 4.
Zdaj se bomo ukvarjali z uporabo pridobljenih znanj in spretnosti v praksi.
Primer 1.
Rešite neenakost (X - 1) · (x + 5) 2 (X - 7) · (X - 1) 3 ≤ 0.
Sklep
Priporočljivo je uporabiti metodo intervala za reševanje neenakosti. Našli smo ničle številke in imenovalca. Ničela števca 1 in - 5, ničle imenovalca 7 in 1. Upoštevamo jih na številčni ravni. Ukvarjamo se z neverjetno neenakostjo, zato ničle imenovalca, smo opazili prazne točke, nič v številka - 5, opazimo običajno pobarvano točko.
Poljsko oznake vrzeli z uporabo pravil za spreminjanje znaka pri premikanju skozi nič. Začnimo z ekstremno desno vrzel, za katero izračunamo vrednost izraza z leve strani neenakosti na točki, ki je samovoljno vzeta iz vrzeli. Dobimo znak "+". Pojdimo po naslednjem skozi vse točke na koordinat neposredno, prirejanje znakov, in dobimo:
Delamo z neverjetno neenakostjo, ki ima znak ≤. To pomeni, da moramo upoštevati izvalitvene vrzeli, ki jih označuje znak "-".
Odgovor: (- ∞ , 1) ∪ (1 , 7) .
Rešitev racionalnih neenakosti v večini primerov zahteva njihovo predhodno preobrazbo poslušam. Šele po tem se pojavi sposobnost uporabe metode intervala. Algoritmi za vodenje takih transformacij se upoštevajo v materialu "Sklep racionalnih neenakosti".
Razmislite o primeru pretvorbe kvadratnih treh stavkov pri evidentiranju neenakosti.
Primer 2.
Poiščite rešitev neenakosti (x 2 + 3 x + 3) (x + 3) x 2 + 2 · x - 8\u003e 0.
Sklep
Poglejmo, ali so diskrannarska sredstva resnično kvadratna tri-vložka v evidentiranju neenakosti negativne. To nam bo omogočilo, da ugotovimo, ali nam je vrsta neenakosti, da rešimo metodo intervala.
Izračunajte diskriminantno za trojno x 2 + 3 · x + 3: D \u003d 3 2 - 4 · 1 · 3 \u003d - 3< 0 . Zdaj izračunamo diskriminantno za tri posnetke x 2 + 2 · x - 8: D '\u003d 1 2 - 1 · (- 8) \u003d 9\u003e 0. Kot lahko vidite, neenakost zahteva predhodno preobrazbo. Za to si predstavljate tri faze x 2 + 2 · x - 8 kot (x + 4) · (x - 2), nato pa uporabimo metodo intervala za reševanje neenakosti (x 2 + 3 · x + 3) · (x + 3) (x + 4) · (x - 2)\u003e 0.
Odgovor: (- 4 , - 3) ∪ (2 , + ∞) .
Generalizirana metoda intervalov se uporablja za reševanje neenakosti obrazca F (x)< 0 (≤ , > , ≥), kjer je F (x) poljuben izraz z eno spremenljivko X..
Vsi ukrepi se izvajajo v skladu s posebnim algoritmom. Hkrati pa se algoritem za raztopine sevali za splošni metodi intervalov nekoliko razlikuje od tega, kar smo prej razstavili:
- mi najdemo področje določanja funkcije F in ničle te funkcije;
- opozarjamo na mejne točke koordinatnih osi;
- uporabljamo se za numerične neposredne ničle funkcij;
- določite znake vrzeli;
- nanesite valjenje;
- zabeležite odgovor.
O številčni neposredni, je treba omeniti posamezne točke območja opredelitve. Na primer, obseg definicije funkcije je niz (- 5, 1] \u200b\u200b∪ (3) ∪ [4, 7) ∪ (10) . To pomeni, da moramo opozoriti na točke s koordinatami - 5, 1, 3, 4 , 7 in 10 . Točke − 5 in 7 bo prazen, ostalo se lahko izolira z barvnim svinčnikom, da jih ločimo od ničle funkcije.
Ničelna funkcija V primeru neverjetnih neenakosti se uporabljajo z običajnimi (barvanimi) pikami, strogimi praznimi točkami. Če ZEROS sovpadajo z mejnimi točkami ali ločenimi točkami območja opredelitve, jih je mogoče prebarvati v črni barvi, zaradi česar je prazen ali pobarvan glede na vrsto neenakosti.
Snemanje odgovora je numerični nastavitevkar vsebuje:
- skedenj z valitvijo;
- ločene točke območja opredelitve z znakom plus, če se ukvarjamo z neenakostjo, znak, ki ga\u003e ali ≥ ali z minus znak, če obstajajo znaki v neenakosti< или ≤ .
Zdaj je postalo jasno, da je algoritem, ki smo ga vodili na samem začetku teme, poseben primer algoritma za uporabo splošne metode intervala.
Razmislite o primeru uporabe splošne metode intervala.
Primer 3.
Odločite se neenakosti X 2 + 2 · X - 24 - 3 4 · X - 3 x - 7< 0 .
Sklep
Vnesemo funkcijo F (X) \u003d x 2 + 2 · X - 24 - 3 4 · X-3 x - 7. Poiščite območje definicije funkcije F.:
x 2 + 2 · X - 24 ≥ 0 x ≠ 7 D (f) \u003d (- ∞, - 6] ∪ [4, 7) ∪ (7, + ∞).
Zdaj najdemo ničle funkcije. To naredimo, bomo izvedli rešitev iracionalne enačbe:
x 2 + 2 · X - 24 - 3 4 · X - 3 \u003d 0
Dobimo koren X \u003d 12.
Za označevanje mejnih točk na koordinatnih oseh, ki jih uporabljamo oranžna barva. Točke - 6, 4 bomo poslikali, 7 pa pustite prazno. Dobimo:
Opomba ničelna funkcija s prazno točko črne barve, kot delamo s strogo neenakostjo.
Določite znake v posameznih intervalih. To storiti, vzemite na eni točki iz vsakega intervala, na primer, 16 , 8 , 6 in − 8 in izračuna vrednost funkcije F.:
f (16) \u003d 16 2 + 2 · 16 - 24 - 3 4 · 16 - 3 16 - 7 \u003d 264 - 15 9\u003e 0 F (8) \u003d 8 2 + 2 · 8 - 24 - 3 4 · 8 - 3 8 - 7 \u003d 56 - 9< 0 f (6) = 6 2 + 2 · 6 - 24 - 3 4 · 6 - 3 6 - 7 = 24 - 15 2 - 1 = = 15 - 2 · 24 2 = 225 - 96 2 > 0 F (- 8) \u003d - 8 2 + 2 · (- 8) - 24 - 3 4 · (- 8) - 3 - 8 - 8 - 7 \u003d 24 + 3 - 15< 0
Določamo samo določene znake, in uporabljamo valjenje v intervalih z minus znak:
Odgovor bo zveza dveh intervalov z znakom "-": (- ∞, - 6] ∪ (7, 12).
V odgovor, smo vklopili točko s koordinato - 6. To ni nič funkcija, ki bi se ne bi bila vključena v odgovor, ko reševanje stroge neenakosti, in mejno točko območja opredelitve, ki vstopa v območje opredelitve. Vrednost funkcije na tej točki je negativna, to pomeni, da izpolnjuje neenakost.
Točka 4 Nismo bili v odgovor, tako kot niso vključevali celotnega intervala [4, 7). Na tej točki, prav tako na celotnem določenem vrzeli, je vrednost funkcije pozitivna, kar ne izpolnjuje neenakosti, ki jo je treba rešiti.
Ponovno ga pišemo za več jasno razumevanje: Barvne točke morajo biti vključene v odgovor v naslednjih primerih:
- te točke so del vrzeli z valitvijo,
- te točke so ločene točke funkcije določanja funkcije, vrednosti funkcije, v kateri so zadovoljni z neenakostjo.
Odgovor: (− ∞ , − 6 ] ∪ (7 , 12) .
Če opazite napako v besedilu, jo izberite in pritisnite Ctrl + Enter
