Učitelj višja kategorija: Minaichenko N.S., Gimnazija №24, Sevastopol
Lekcija v 8. razredu: "Kvadrat troecen in njene korenine"
Vrsta lekcije : Lekcijo novega znanja.
Namen lekcije:
organizirajte dejavnosti študentov o konsolidaciji in razvoju znanja o razgradnji kvadrata tri razgradnje na linearne dejavnike, zmanjšanje frakcij;
razviti spretnosti pri uporabi znanja vseh načinov razgradnje multiplikacij: Kartiranje kratic, z uporabo formul skrajšanega množenja in metode združevanja za namen priprave na uspešna predaja Algebra izpit;
ustvarite pogoje za razvoj kognitivnih interesov za predmet, oblikovanje logično razmišljanje in samokontrola pri uporabi razgradnje na multiplikatorjih.
Oprema: Multimedijski projektor, zaslon, predstavitev: "Korenine kvadratnih treh posnetkov", križanke, test, distribucijski material.
Osnovni pojmi . Razgradnja kvadratnega troja do multiplikatorjev.
Neodvisne dejavnosti študentov. Uporaba izreka o razgradnji kvadratnega trojanja do multiplikatorjev pri reševanju problemov.
Učni načrt
Reševanje nalog.Odgovori na vprašanja učencev
IV. Primarno preverjanje učenja znanja. Razmislek
Sporočilo učitelja.
Študent sporočila
Snemajte na Blackboard.
Metodična komentar:
Ta tema je temeljna v poglavju " Enake transformacije aLGEBRAIČNI IZRAŽI" Zato je pomembno, da bodo učenci samodejno lahko videli le v primerih formule razgradnje za multiplikatorje, temveč jih lahko uporabijo tudi v drugih nalogah: v tako kot reševanje enačb, preoblikovanje izrazov, dokazilo o identiteti.
V tej temi je poudarek na razgradnji kvadratnega troja do multiplikatorjev:
sekira. + BX + C \u003d A (X - X) (X - X
),
kjer je X in X - korenine kvadratna enačba AX + BX + C \u003d 0.
To vam omogoča, da razširite vidno polje učenca, ga naučite, da razmislite nestandardna situacijaZ uporabo gradiva v študiji, t.e. Uporaba razgradnje Formule kvadrata Triple do Multiplikatorjev:
sposobnost zmanjšanja algebrskih frakcij;
sposobnost poenostavitve algebrskih izrazov;
sposobnost reševanja enačb;
sposobnost dokazovanja identitet.
Glavna vsebina lekcije:
a) 3x + 5x - 2;
b) -x + 16x - 15;
c) x - 12x + 24;
d) -5x + 6x - 1.
№2. Zmanjšajte frakcijo:
№3. Poenostavite izraz:
№4. Odločite se enačba:
b) 
Med razredi:
I. Stopnja aktualizacije znanja.
Motivacija izobraževalnih dejavnosti.
a) iz zgodovine:
b) križanka:
Vadba WorkOut of Mind - Crossword:
Vodoravno:
1) Koren druge stopnje se imenuje .... (kvadrat)
2) Vrednosti spremenljivke, v kateri enačba postane zvesta enakost (korenine)
3) Enakost, ki vsebuje neznano, se imenuje ... (enačba)
4) Indijski znanstvenikki opisujejo splošno pravilo Rešitve kvadratnih enačb (Brahmagupta)
5) Koeficienti kvadratne enačbe so ... (številke)
6) Starodavni grški znanstvenik, ki je izumil geometrijsko metodo reševanja enačb (Euclid)
7) Teorem, ki povezuje koeficiente in korenine kvadratne enačbe (vieta)
8) "Razpoznavanje", ki določa korenine kvadratne enačbe - to je ... (diskriminant)
Poleg tega:
Če D\u003e 0, koliko korenin? (Dva)
Če je D \u003d 0, koliko korenin? (ena)
Če D.<0, сколько корней? (нет действительных корней)
Vodoravno in navpična tema lekcije: " Kvadrat Threehlen.»
b) Motivacija:
Ta tema je temeljna v poglavju "Enake transformacije algebrskih izrazov". Zato je pomembno, da se samodejno ne vidijo le v primerih formule opredelitve za multiplikatorje, temveč tudi, da jih uporabite v drugih nalogah: kot je zmanjšanje frakcij, reševanje enačb, preoblikovanje izrazov, dokazilo o identiteti .
Danes se bomo osredotočili na razgradnjo kvadratnih trotterjev na multiplikatorje:
II. Študij novega materiala.
Tema: Square Tranchlen in njegove korenine.
Splošna teorija polinomov številnih spremenljivk je daleč od šole. Zato se omejujemo na študijo polinomov z eno dejansko spremenljivko, in celo takrat v najpreprostejših primerih. Razmislite o polinomi ene spremenljivke, ki so navedene standardni obliki.
Root polinomial. Vrednost spremenljivke se imenuje vrednost polinoma je nič. To pomeni, da najdete korenine polinoma, je treba izenačiti na nič, t.e. Rešite enačbo.
Prva stopnja številne korena 
Enostavno iskanje 
. Preverite: 
.
Korenine kvadratnih treh dekarjev je mogoče najti z reševanjem enačbe: 
.
Glede na korenine Formule kvadratne enačbe, smo našli:
; 
Če 
in 
Znanih kvadratnih treh posnetkov 
kje 
≠ 0,
potem.
Dokazi:
Izvedite naslednjo pretvorbo kvadratnih treh izklapljanj:
=
=
=
=
=
=
=
=
Od diskriminant. 
Dobili bomo:
=
=
Uporabljamo se v oklepajih v formuli razlike kvadratov in dobite:
=
=
,
sodišče ; . Izkazalo se je izrek.
Nastala formula se imenuje formularazgradnja trga je tri razgradnje za multiplikatorje.
III. Oblikovanje spretnosti in spretnosti.
№1. Razširite se na Multiplikatorji Square Treech:
a) 3x + 5x - 2;Sklep:
Odgovor: 3x + 5x-2 \u003d 3 (x + 2) (x -) \u003d (x + 2) (3x-1)
Na mizi:
b) -5x + 6x - 1;
Poleg tega:
c) x - 12x + 24;
d) -X + 16x - 15.
№2. Zmanjšajte frakcijo:
vendar)
№4. Odločite se enačba:
b)
IV. Primarno preverjanje učenja znanja.
vendar) Test.
Možnost 1.
1. Poiščite korenine kvadratnih treh čevljev: 2x. 2 -9x-5.
Odgovor:
2. Kakšen polinom mora biti substituiran namesto pik, da so zvesti enakosti:
b) Medsebojni preskus (Odgovori in parametre ocenjevanja so prikazane).
c) Razmišljanje.
V. Domača naloga.
Študija številnih fizičnih in geometrijskih vzorcev pogosto vodi do reševanja problemov s parametri. Nekatere univerze vključujejo tudi izpitne vstopnice, neenakosti in njihove sisteme, ki so pogosto zelo zapletene in zahtevajo nestandardni pristop k rešitvi. V šoli se ta izmed najtežjih odsekov šolskega leta algebre šteje le za nekaj izbirnih ali predmetnih tečajev.
Po mojem mnenju je funkcionalna grafična metoda priročen in hiter način za reševanje enačb s parametrom.
Kot veste, obstajata dve nastavitvi za enačbe s parametri.
- Rešite enačbo (za vsako vrednost parametra, da najdete vse rešitve enačbe).
- Poišči vse vrednosti parametrov, pri čemer vsaka od katerih enačba rešitev izpolnjujejo določene pogoje.
V tem dokumentu menimo in preučujemo nalogo druge vrste v zvezi z koreninami kvadratnih treh napak, katerih ugotovitev se zmanjša na reševanje kvadratne enačbe.
Avtor upa, da bo to delo pomagalo učiteljem pri razvoju lekcij in pri pripravi učencev na izpit.
1. Kaj je parameter
Izraz tipa ah. 2 + BX + Cv šolskem letu se algebra imenuje kvadratna tri-melana x,kje a, B,c - Nastavite veljavne številke in a. \u003d / \u003d 0. Vrednosti spremenljivke X, v kateri se izraz pritožuje na nič, se imenuje korenine kvadratnega tri-čevlja. Da bi našli korenine kvadratnih treh dekarjev, je potrebno rešiti kvadratno enačbo ah. 2 + BX + C \u003d0.
Spomnite se iz šolskega leta algebre osnovne enačbe aH + B \u003d0;
aH2 + BX + C \u003d 0. Pri iskanju njihovih korenin, variabilnih vrednosti a, B, C,enačba, vključena v enačbo, se šteje za fiksno in določeno. Spremenljivke se imenujejo parameter. Ker v šolskih učbenikih ni opredelitve parametra, predlagam naslednjo najpreprostejšo možnost kot osnovo.
Opredelitev.Parameter se imenuje neodvisna spremenljivka, katere vrednost velja za določeno fiksno ali poljubno dejansko število, ali številko, ki pripada vnaprej določeni niz.
2. Glavne vrste in metode za reševanje problemov s parametri
Med nalogami s parametri je mogoče razlikovati naslednje glavne vrste nalog.
- Enačbe, ki jih je treba rešiti bodisi za vsako vrednost parametra (parametrov), ali za vrednosti parametrov, ki spadajo v predhodno določeni niz. Na primer. Rešite enačbe: ah \u003d.1, (a -2)x \u003d A. 2 – 4.
- Enačbe, za katere želite določiti število rešitev, odvisno od vrednosti parametra (parametri). Na primer. Pod kakšnimi vrednostmi parametra a.enačba 4h. 2 – 4 Ah + 1 \u003d 0ali edini koren?
- Enačbe, za katere, z želenimi vrednostmi parametrov, niz rešitev izpolnjuje določene pogoje v območju definicije.
Na primer, poiščite vrednosti parametra, v katerem korenine enačbe ( a -2)h. 2
–
2aH + A +3 =
0
pozitivno.
Glavni načini za reševanje problemov s parametrom: Analitična in grafična.
Analitična- To je način tako imenovane neposredne rešitve, ki ponavlja standardne postopke za iskanje odgovora na nalogah brez parametra. Razmislite o primeru take naloge.
Naloga številka 1.
Na kakšnih vrednostih parametra in enačbe H. 2 – 2ah + A. 2 - 1 \u003d 0 ima dve različni korenini, ki pripadajo vrzeli (1; 5)?
Sklep
h. 2 –
2ah + A. 2 –
1 = 0.
Po pogodbi problema mora enačba imeti dve različni korenini, kar je možno le pod pogojem: D\u003e 0.
Imamo: D \u003d 4 a. 2 – 2(zvezek 2 - 1) \u003d 4. Kot vidimo, da diskriminanta ni odvisna od a, zato enačba ima dve različni korenini na vseh vrednostih parametra A. Poiščite korenine enačbe: h. 1 = zvezek + 1, h. 2
= zvezek – 1
Korenine enačbe morajo pripadati vrzeli (1; 5), t.j.
Torej, ob 2< zvezek < 4 данное уравнение имеет
два различных корня, принадлежащих промежутку (1;
5)
Odgovor: 2.< zvezek < 4.
Ta pristop k reševanju ciljev obravnavanega tipa je možen in racionalen v primerih, ko je diskriminanta kvadratne enačbe "dobro", tj. To je natančen kvadrat katere koli številke ali izraza ali koren enačbe je mogoče najti na izreku obrnjene postaje. Potem korenine ne predstavljajo iracionalnih izrazov. V nasprotnem primeru je reševanje problemov te vrste povezan z precej zapletenimi postopki s tehničnega vidika. Da, in rešitev iracionalnih neenakosti zahteva študenta novega znanja.
Grafika - To je metoda, na kateri se grafi uporabljajo v koordinatni ravnini (x; y) ali (x; a). Vizualnost in lepota te metode rešitve pomaga najti hiter način za rešitev problema. Rešili bomo težavo številko 1 grafično.
Kot je znano iz tečaja algebre korenin kvadratne enačbe (kvadrat tri-sasred), so ničle ustreznega kvadratna funkcija: U \u003d. h. 2
– 2ohr + zvezek 2 - 1. Graf funkcije je parabola, veje so usmerjene navzgor (prvi koeficient je 1). Geometrični model, ki izpolnjuje vse zahteve opravila, izgleda tako.
Zdaj ostaja, da "popravi" parabola v želenem položaju s potrebnimi pogoji.
- Ker ima parabola dve presečilni točki z osjo h., potem D\u003e 0.
- Vrh parabole je med navpično naravnost h. \u003d 1 I. h. \u003d 5, torej abscisa vozlišča parabole X o spada v vrzel (1; 5), t.j.
1 <h. približno< 5. - To smo opazili w.(1) > 0, w.(5) > 0.
Torej, ki se premika od geometrijskega modela problema na analitično, dobimo sistem neenakosti.
Odgovor: 2.< zvezek < 4.
Kot je razvidno iz primera, je grafična metoda za reševanje nalog obravnavanega tipa možna v primeru, ko so korenine "slabe", t.j. Vsebujejo parameter pod znakom radikala (v tem primeru diskriminalna enačba ni popoln kvadrat).
Na drugi način smo upravljali s koeficienti enačbe in območju vrednosti funkcije w. = h. 2 – 2ohr + zvezek 2
– 1.
Te rešitve ni mogoče imenovati samo grafične, ker Tukaj morate rešiti sistem neenakosti. Namesto tega se ta metoda združi: Funkcionalna grafika. Od teh dveh načinov, slednja pa ni le elegantna, temveč tudi najpomembnejša, saj jo obravnava odnos med vsemi vrstami matematičnega modela: verbalni opis problema, geometrični model - tabela kvadratnih treh deklariranih, analitičnih Model - Opis geometrijskega modela sistema neenakosti.
Torej, obravnavali smo nalogo, v kateri so korenine kvadratnih treh zmanjšane, izpolnjujejo določene pogoje v območju definicije z želenimi vrednostmi parametra.
In kaj lahko drugi možni pogoji zadovoljijo korenine kvadratnih treh izbranih z želenimi vrednostmi parametra?
Iskanje korenin kvadratnih treh
Cilji: uvesti koncept kvadratnih treh razrezanih in njenih korenin; Oblikovanje sposobnosti, da najdete korenine kvadratnih treh posnetkov.
Med razredi
I. Organizacijski trenutek.
II. Ustno delo.
Katere številke: -2; -one; eno; 2 - Ali so korenine enačb?
a) 8. h. + 16 \u003d 0; v) h. 2 + 3h. – 4 = 0;
b) 5. h. 2 - 5 \u003d 0; d) h. 3 – 3h. – 2 = 0.
III. Pojasnilo novega materiala.
Pojasnilo novega gradiva za izvedbo naslednjega iz naslednjega: \\ t
1) Vnesite koncept korena polinoma.
2) Vnesite koncept kvadratnih treh zdrobljenih in njegovih korenin.
3) Razstavite vprašanje možnega števila kvadratnih treh koščkov.
Vprašanje izbire kvadrata Bicker iz kvadratnih treh izbranih je bolje razstaviti v naslednji lekciji.
Na vsaki fazi razlage novega gradiva je treba študentom ponuditi ustno nalogo za preverjanje asimilacije glavnih točk teorije.
CA D in N in E 1. Katere številke so: -1; eno; ; 0 - Ali so korenine polinoma h. 4 + 2h. 2 – 3?
CA D in N in E 2. Katera od naslednjih polinomov sta kvadratna tri-vložka?
1) 2h. 2 + 5h. – 1; 6) h. 2 – h. – ;
2) 2h. – ; 7) 3 – 4h. + h. 2 ;
3) 4h. 2 + 2h. + h. 3 ; 8) h. + 4h. 2 ;
4) 3h. 2 – ; 9) 
+ 3h. – 6;
5) 5h. 2 – 3h.; 10) 7h. 2 .
Kateri od kvadratnih trojnic imajo koren 0?
W in d a n e e 3. bi lahko kvadratni trije tri korenine? Zakaj? Koliko korenin ima kvadrat h. 2 + h. – 5?
IV. Oblikovanje spretnosti in spretnosti.
Vaje:
1. № 55, № 56, № 58.
2. št. 59 (A, B, D), št. 60 (A, B).
V tej nalogi vam ni treba iskati kvadratnih treh postalnih korenin. Dovolj je najti njihovo diskriminantno in odgovoriti na vprašanje.
a) 5. h. 2 – 8h. + 3 = 0;
D. 1 = 16 – 15 = 1;
D. 1 0, to pomeni, da ima ta kvadrat tri znižanje dve korenini.
b) 9. h. 2 + 6h. + 1 = 0;
D. 1 = 9 – 9 = 0;
D. 1 \u003d 0, to pomeni, da ima kvadrat tri znižanje eno koren.
ob 7. h. 2 + 6h. – 2 = 0;
7h. 2 – 6h. + 2 = 0;
D. 1 = 9 – 14 = –5;
Če čas ostane, lahko izvedete № 63.
Sklep
Naj bo. sekira. 2 + bX. + c. To kvadratno trojno. Kolikor a.+ b. +
+ C. \u003d 0, potem je ena od korenin te tri zmanjšuje 1. Na izreku Vieta je drugi koren enak. Glede na stanje od = 4zvezek, zato je drugi koren tega kvadrata tri dekara enak 
.
O t v e t: 1 in 4.
V. Rezultati lekcije.
V P R je na H in U in M \u200b\u200bz mano:
- Kaj je koren polinoma?
- Kakšna so polinom, imenovana kvadratna tri-kap?
Kako najti korenine kvadratnih treh čevljev?
- Kaj je diskriminacijski kvadrat tri-čevlje?
- Koliko korenin ima lahko kvadratnih treh zastarelih? O čem je odvisno?
Domača naloga: 57, št. 59 (B, G, E), št. 60 (B, D), št. 62.
Lekcija teme: "Kvadrat tri polovice in njegove korenine."
Namen lekcije: Seznaniti študente s konceptom kvadratnih treh razrezanih in njegovih korenin, izboljšati svoje sposobnosti in spretnosti pri reševanju nalog za izbor kvadrata trga kvadratnih treh izbranih.
Lekcija vključuje Štiri glavne faze:
Nadzor znanja
Pojasnilo novega materiala
Reproduktivna konsolidacija.
Usposabljanje konsolidacija.
Razmišljanje.
1. faza. Nadzor znanja.
Učitelj izvaja matematični narekovanje "pod kopijo" z materialom prejšnjega cikla. Za narekovanje se uporabljajo kartice dveh barv: modra - za 1 možnost, rdeča -2 možnost.
Iz teh analitičnih modelov funkcij izberite samo kvadratno.
Utelešenje 1. U \u003d ah + 4, y \u003d 45-4x, y \u003d x² + 4x-5, y \u003d x³ + x²-1.
Utelešenje 2. U \u003d 8x-b, y \u003d 13 + 2x, y \u003d -x² + 4x, y \u003d -x³ + 4x²-1.
Schematične sheme kvadratne funkcije. Možno je nedvoumno določiti položaj kvadratne funkcije na koordinatni ravnini. Odgovor Poskusite trditi.
Odločite se enačbe.
Možnost 1. a) x² + 11x-12 \u003d 0
B) x² + 11x \u003d 0
Možnost 2. a) x² -9x + 20 \u003d 0
B) x 20 x \u003d 0
4. Ne reševanje enačb, ugotovite, ali ima korenine.
Možnost 1. a) x² + x + 12 \u003d 0
Možnost 2. a) x² + x - 12 \u003d 0
Odgovori učitelja so prejeli preverjanje prvih dveh parov. Prejetih napačnih odgovorov obravnava celoten razred.
| Možnost 1. | Možnost 2. |
| 1. y \u003d x² + 4x-5 | 1. y \u003d -x² + 4x |
| 2. Podružnice, vendar ni mogoče vsekakor določiti položaja ni dovolj podatkov. | podružnice, vendar vsekakor določajo položaj, ki ga ni mogoče manjkati. |
| 3. a) -12; 1 b) -11; 0 | 3. a) 4; 5 b) 9; 0 |
| 4. D0, obstajata dve korenini |
2. faza. Naredimo grozda. Katera združenja imate pri razmišljanju s kvadratnim tremi melanom?
Zbiranje grozda.
Možni odgovori:
square tri-vložki se uporabljajo za razmislek o tem. funkcije;
lahko najdete Zeros SQ. Funkcije
vrednost diskriminantne ocene število korenin.
Opišite resnične procese itd.
Pojasnilo novega materiala.
Odstavek 2. Klavzula 3 str. 19-22.
Izrazi se upoštevajo in opredelitev kvadratnega tri-zdrobljenega in korena polinoma (med razpravo o predhodno pregledanih izrazih)
Določitev korena polinoma je formulirana.
Opredelitev kvadratnih treh deklariranih je oblikovana.
Primeri rešitve treh odločb se razlikujejo:
Poiščite korenine kvadratnih treh čevljev.
Osvetlimo kvadrat odboja na trgu treh dekarjev.
3x²-36x + 140 \u003d 0.
Pripravljen je diagram ocenjenega ukrepanja.
Algoritem za sprostitev Twisted s kvadratnimi tremi legosami.
1. Postavite numerično vrednost starejšega kvadratnega koeficienta tri.
2. Opravite identično in 2. pretvorite izraz,
enakovredne transformacije s formulo
(Za skupni dejavnik za oklepajem; kvadratnega zneska in razlika.
pretvarjanje izraza v oklepajih
dokončati vsoto vsote vsote
ali razlika)
a² + 2AV + C² \u003d (A + C) ² A²-2av + C² \u003d (A-B) ²
3 faza. Raztopina tipičnih nalog iz učbenika (št. 60 A, B; 61 A, 64 A, B) so narejena na odboru in komentar.
4 faza. Neodvisno delo na 2 običajani (št. 60a, B; 65 A, B). Študenti se preverijo z vzorčnimi rešitvami na plošči.
Domača naloga: P.3 (učenje učenja, № 56, 61G, 64 g)
Razmišljanje. Učitelj daje nalogo: oceniti vaš napredek na vsaki stopnji lekcije z uporabo risbe in prenesti učitelja. (Naloga se izvede na ločenih listih, vzorec se izda).
Vzorec: 
Naročilo elementov na sliki, ugotoviti, na kateri stopnji lekcije je vaša nevednost prevladala. Označite to stopnjo v rdeči barvi.
Praksa izpitov matematike kaže, da naloge s parametri predstavljajo največjo kompleksnost tako v logičnem kot tehničnem načrtu, zato je zmožnost reševanja, da jih rešuje v veliki meri vnaprej opredeljuje uspešen pregled izpita katere koli ravni.
V nalogah s parametri, skupaj z neznanimi vrednotami, so vključene vrednosti, katerih numerične vrednosti, čeprav niso posebej določene, se štejejo za znane in določene na nekaterih numeričnih napravah. V tem primeru so parametri vključeni v stanje, ki znatno vplivajo na logični in tehnični potek rešitve in obliko odgovora. Takšne naloge lahko najdete v knjigi "514 nalog s parametri" v literaturi o osnovni matematiki veliko učbenikov, nalog, smernic, kjer so podane nalog s parametri. Toda večina jih pokriva ozko paleto vprašanj, kar je glavni poudarek na formulaciji in ne na logiki reševanja problemov. Poleg tega je najuspešnejše od knjig dolgo postala bibliografska redkost. Ob koncu dela, seznam knjig, katerih izdelki so pomagali pripraviti klasifikacijo obtožb na temo dela. Najpomembnejši je dodatek Šamesterja A. Kh. Enačbe in neenakosti s parametri.
Glavni namen tega dela je dopolnitev nekaterih pomembnih vrzeli glavnega tečaja algebre in ugotavlja uporabo lastnosti kvadratne funkcije, ki omogočajo bistveno poenostavitev rešitve problemov, povezanih z lokacijo korenin kvadratno enačbo glede na nekatere karakteristične točke.
Naloge dela:
Vzpostaviti možne primere lokacije korenin kvadratnih treh dekarov na številčni liniji;
Opredelite algoritme, ki vam omogočajo reševanje kvadratnih enačb s parametrom, ki temelji na uporabi lokacije korenin kvadratnih treh zmanjšanja na številčni ravni liniji;
Naučite se rešiti probleme višje, v primerjavi z obvezno raven, kompleksnostjo; Huda številna tehnična in inteligentna matematična znanja na ravni proste uporabe; Izboljšajte matematično kulturo kot del šolskega poguma matematike.
Predmet študije: lokacija korenin kvadrata je tri prijavljena na koordinatni neposredni.
Raziskovalna tema: kvadratne enačbe s parametrom.
Metode raziskave. Glavni načini preučevanja nalog s parametrom: analitične, grafične in kombinirane (funkcionalne grafične). Analitična je način tako imenovane neposredne rešitve, ki ponavlja standardne odzive na opravila brez parametra. Grafična je metoda, na kateri grafi uporabljajo v koordinatni ravnini (x; y). Jasnost grafičnega načina pomaga najti hiter način za rešitev problema. Od teh dveh načinov, slednja pa ni le elegantna, temveč tudi najpomembnejša, saj jo obravnava odnos med vsemi vrstami matematičnega modela: verbalni opis problema, geometrični model - kvadratni troslojski graf, a Analitični model - opis geometrijskega modela sistema neenakosti, ki je sestavljen na podlagi matematičnih izjav, opredeljenih z grafikonom kvadratne funkcije.
V mnogih primerih je rešitev kvadratnih enačb s parametrom vodi do obsežnih transformacij. Hipoteza: uporaba lastnosti kvadratne funkcije bo bistveno poenostavila odločbo in jo zmanjšala za reševanje racionalnih neenakosti.
Glavni del. Lokacijo korenin kvadratnih treh dekarov na koordinat
Razmislite o nekaterih trditvah, povezanih z lokacijo korenin kvadratnih treh zmanjša F (x) \u003d AX2 + BX + C na numeričnem neposrednem koraku točk M in P, kot je m
x1 in X2 - kvadratnih trosojnih korenin,
D \u003d B2-4Ac- diskriminacijski kvadrat tri prijavljeni, D≥0.
m, N, M1, M2, N1, N2 - Nastavite številke.
Vsa utemeljitev velja za A\u003e 0, primer za a
Izjava je prva
Da se številka M locira med koreninami kvadratnega tri-čevlja (X1
Dokaz.
pod pogojem X1.
Geometrijska interpretacija
Naj bo X1 in X2 korenine enačbe. Ko a\u003e 0 f (x)
Naloga 1. Na kakšne vrednosti K EQUATION X2- (2K + 1) X + 3K-4 \u003d 0 ima dve korenini, od katerih je eden manjša od 2, druga pa je večja od 2?
Sklep. f (x) \u003d x2- (2k + 1) x + 3k-4; X1.
Ko K\u003e -2, enačba X2- (2K + 1) X + 3K-4 \u003d 0 ima dve korenini, od katerih je eden manjši od 2, drugi pa je več kot 2.
Odgovor: K\u003e -2.
Naloga 2. Na katere vrednosti K EQUATION KX2 + (3K-2) X + K-3 \u003d 0 ima korenine različnih znakov?
To nalogo je mogoče oblikovati na naslednji način: Na katere vrednosti K, številka 0 leži med koreninami te enačbe.
Raztopina (1 metoda) F (X) \u003d KX2 + (3K-2) x + K-3; X1.
2 Metoda raztopine (z uporabo teorema Vieta). Če ima kvadratna enačba koren (D\u003e 0) in C / A
Naloga 3. Na katere vrednosti K EQUATION (K2-2) X2 + (K2 + K-1) X - K3 + K2 \u003d 0 ima dve korenini, od katerih je eden manj kot K, in druga več k?
f (x) \u003d (k2-2) x2 + (k2 + k - 1) x - k3 + k2; X1 Namestitev vrednosti K od najdenega nita, se prepričajte, da s temi vrednostmi K D\u003e 0.
Odobritev sekundo (a)
Da bi korenine kvadratnih treh čevljev manjše številke M (x1.
Dokaz: X1-M\u003e 0, X2-M 0; M2-MX1-MX2 + X1X2\u003e 0; M2- (X1 + X2) M + X1X2
Naloga 4. Na kakšnih vrednostih parametra korena enačbe X2- (3K + 1) X + 2K2 + 4K-6 \u003d 0 manj -1?
D≥0; (3k + 1) 2-4 (2k2 + 4k-6) ≥0; (K-5) 2≥0; K - vse; X0-3 / 2; K0. 1+ (3K + 1) + (2k2 + 4k-6)\u003e 0. 2 (K + 4) (K-1/2)\u003e 0. K1 / 2.
Odobritev drugega (b)
Da bi korenine kvadratnih treh čevljev več številk M (M.
D ≥0; x0\u003e m; AF (m)\u003e 0.
Če je stanje M M izpolnjeno. Ker m ne pripada vrzeli (X1; X2), potem F (M)\u003e O, ko A\u003e 0 in F (M)
Nazaj, naj se izvaja sistem neenakosti. Iz stanja D\u003e 0, obstoj korenin X1 in X2 (X1 m.
Ostaja, da pokažem, da X1\u003e m. Če je D \u003d 0, potem x1 \u003d x2\u003e m. Če D\u003e 0, potem F (X0) \u003d -D / 4A in AF (X0) O, torej na točkah X0 in M, funkcija prevzame vrednosti nasprotnih znakov in X1 pripada vrzeli (M; x0 ).
Naloga 5. Na kakšnih vrednostih parametra M korena X2- (3M + 1) X + 2M2 + 4M-6 \u003d 0 A) je večja od 1? b) manj -1?
Rešitev a) d≥0; D≥0; (3M + 1) 2-4 (2M2 + 4M-6) ≥0; x0\u003e m; x0\u003e 1; ½ (3M + 1)\u003e 1; F (m)\u003e 0. F (1)\u003e 0. 1- (3M + 1) + (2M2 + 4M-6)\u003e 0.
(M-5) 2≥0; M - vsak m\u003e 1/3; M\u003e 1/3;
(2km-3) (M + 2)\u003e 0. M3 / 2. Odgovor: M\u003e 3/2.
b) d≥0; (3M + 1) 2-4 (2M2 + 4M-6) ≥0; (M-5) 2 ≥0; M - vsak X0-3 / 2; M0. 1+ (3M + 1) + (2M2 + 4M-6)\u003e 0. 2 (M + 4) (M-1/2)\u003e 0. M1 / 2.
Naloga 6. Pod kakšnimi vrednostmi korenskega parametra KX2- (2k +1) x + 3 K -1 \u003d 0 več kot 1?
Sklep. Očitno je naloga enakovredna naslednjemu: pri katerih vrednostih parametra M korena kvadratnih treh legosov več kot 1?
D≥0; D≥0 (2k + 1) 2-4K (3K-1) ≥0; 8K2-8K-1≤0; x0\u003e m; X0\u003e 1 (2K + 1) / (2K)\u003e 1; 2k + 1\u003e 2k; AF (m)\u003e 0. AF (1)\u003e 0. k (k- (2k + 1) + (3K-1))\u003e 0. 2K2-2K\u003e 0.
Odločanje tega sistema, to najdemo
Tretja izjava
Da bi bile korenine kvadratnih treh koščkov večje od števila m in manj n (m
D ≥0; M 0 AF (N)\u003e 0.
Opomba posebne lastnosti Grafika.
1) Enačba ima koren, kar pomeni D\u003e 0.
2) Os simetrije se nahaja med ravnim X \u003d M in X \u003d N, kar pomeni m
3) Na točkah X \u003d M in X \u003d N, se graf nahaja nad osi OH, zato F (M)\u003e 0 in F (N)\u003e 0 (pri M M
Zgoraj navedeni pogoji (1; 2; 3) so potrebni in zadostni za želene vrednosti parametrov.
Naloga 7. Na kateri M X2-2MMX + M2-2M + 5 \u003d 0, številke 4 ne presegajo modula?
Sklep. Pogoj problema je mogoče oblikovati na naslednji način: na katerem se izvede razmerje
V vrednosti, ki jih najdemo iz sistema
D\u003e 0; M2 - (M2 - 2M + 5) ≥ 0;
4 ≤ x0 ≤ 4; -4 ≤ M≤ 4; f (-4) ≥ 0; 16 + 8M + M2 - 2M + 5 ≥ 0; f (4) ≥0; 16-8M + M2-2M + 5 ≥0; Rešitev katere je segment. Odgovor: m.
Naloga 8. Pod kakšnimi vrednostmi so korenine s tremi čevlji
(2M - 2) X2 + (M + 1) x + 1 več -1, vendar manj kot 0?
Sklep. M vrednosti najdete iz sistema
D≥0; (M + 1) 2-4 (2M-2) ≥ 0;
(2M - 2) / (- 1)\u003e 0 (2M -2) (2M -2-M-1 +1)\u003e 0;
(2M-2) F (0)\u003e 0; (2M-2)\u003e 0;
Odgovor: M\u003e 2.
Četrta trditev (a)
Da bi manjši koren kvadratnega tri stopnje na interval (M; N), in večja je pripadala (M
D ≥0; AF (M)\u003e 0 AF (N)
Graf kvadratnih tri-koščkov točno enkrat prečka osi oh na interval (m; n). To pomeni, da je na točkah X \u003d M in X \u003d N, kvadratnih treh se razlikuje od vrednosti vrednosti.
Naloga 10. Pod kakšnimi vrednostmi parametra, vendar le manjši koren kvadratne enačbe X2 + 2Ach + A \u003d 0 spada v interval X (0; 3).
Sklep. Razmislite o kvadratnih treh starih v (x) \u003d x2-2Ach + a. Urnik je parabola. Podružnice parabole so usmerjene. Naj bo X1 manjši od korena kvadratnih treh dekarov. Pod pogojem naloge X1 spada v vrzel (0; 3). Pokazal bom geometrični model problema, ki ustreza pogojem problema.
Obrnimo se na sistem neenakosti.
1) Opazimo, da (0)\u003e 0 in (3) 0. Zato ta pogoj ni treba zabeležiti v sistemu neenakosti.
Torej, dobimo naslednji sistem neenakosti:
Odgovor: A\u003e 1.8.
Četrta trditev (B)
Da bi večji koren kvadratnega tri-čevlja v interval (M; N), in manjša ni pripadala (X1
D ≥0; AF (m) 0.
Četrta izjava (kombinirana)
Komentar. Recimo, da je naloga oblikovana na naslednji način, na katere vrednosti parametra Ena koren enačbe spada v interval (B; t), druga pa ne pripada? Da bi rešili ta problem, ni treba razlikovati med dvema subloblitorji, odgovor najdemo iz neenakosti f (m) · f (n)
D ≥0; f (m) · f (n)
Naloga 11. Na kateri je samo en koren X2-MX + 6 \u003d 0 enačbo izpolnjuje pogoj 2
Sklep. Na podlagi trditve 4 (b) se vrednosti M najdejo iz pogoja F (2) F (5) (10 - 2 m) (31 - 5m) M2 - 24 \u003d 0, tj. Pri M \u003d ± 2√ 6, z M \u003d -2√6 x \u003d - √6, ki ne pripada intervalu (2; 5), pri M \u003d 2√6 x \u003d √6, ki pripada intervali (2; 5).
Odgovor: M (2√6) U (5; 31/5).
Peta trditev
Da bi korenine kvadrata tri zmanjšuje, izpolnjujejo razmerje (X1
D ≥0; AF (M) Naloga 12. Poišči vse vrednosti m, ki je neenakost X2 + 2 (M-3) x + M2-6M
Sklep. V intervalnem stanju (0; 2) mora biti vsebovana v nastavljenih raztopinah neenakosti X2 + 2 (M - 3) x + M2 - 6m na osnovi trditve 5 vrednosti M, najdemo iz sistema neenakosti f (0) ≤ 0; m2-6m ≤ 0; M F (2) ≤ 0,4 + 4 (M-3) + M2-6m ≤ 0 m [-2; 4], kjer je M.
Odgovor: m.
Šesta izjava
Da bi manjši koren kvadratnega tri-čevlja v interval (M1; m2), in večja je pripadala interval (N1; N2) (m2
D ≥0; AF (m1)\u003e 0; AF (M2) Ta izjava je kombinacija obtožb 4a in 4b. Prva dva neenakosti zagotavljata, da je X1 (M1, N1) in zadnji dve neenakosti, da X2 (M2, N2),
Naloga 13. Z ne, eno od korenin enačbe X2 - (2M + L) X + M2 + M-2 \u003d 0 je med številkami 1 in 3, drugi pa med številkami 4 in 6?
Sklep. 1 WAY. Glede na to, da lahko vrednosti A \u003d 1, lahko najdete iz sistema F (1)\u003e 0; 1 -2M- 1 + M2 + T-2\u003e 0; M2-M-2\u003e 0 m (-∞; -1) u (2; + ∞) f (3)
4 (4) 0; 36-12M-6 + M2 + M-2 0 M (-∞; 4) U (7; + ∞), od koder M (2; 4).
Odgovor: M (2; 4).
Tako smo postavili trditve, povezane z lokacijo korenin kvadrata tri zmanjšuje f (x) \u003d AX2 + BX + na numeričnem neposrednem Correidju in nekaterih točkah.
Zaključek
Med delom sem prevzel številne tehnične in matematične sposobnosti na ravni proste uporabe in povečali matematično kulturo v okviru šolskega pomena matematike.
Zaradi uspešnosti dela je bil določen niz: lastnosti kvadratne funkcije so bile ugotovljene, zaradi česar je mogoče bistveno poenostaviti rešitev težav, povezanih z lokacijo korenin kvadratne enačbe na nekaterih karakterističnih točkah . Možni primeri lokacije korenin kvadratnih treh dekarov na številski liniji. Algoritmi se razkrijejo, da rešijo kvadratne enačbe s parametrom, ki temelji na uporabi lokacije korenin kvadratnih treh dekarov na številčni ravni; Rešene naloge višje, v primerjavi z obvezno raven, kompleksnost. Prispevek predstavlja rešitev le 12 nalog glede na omejeno število strani dela. Seveda se lahko naloge, ki se obravnavajo v delu, rešijo na druge načine: z uporabo koreninskih formul kvadratne enačbe, nanašanje korenske nepremičnine (vita teorem).
Pravzaprav je bilo rešeno veliko število nalog. Zato je bilo odločeno, da se ustvari zbirko nalog na temo oblikovalskega dela "Reshebnik nalog za uporabo lastnosti kvadratnih treh uredb, povezanih z lokacijo njenih korenin na koordinat neposredno". Poleg tega je rezultat dela (produkt oblikovalskega dela) računalniška predstavitev, ki se lahko uporablja v razredu električnega predmeta "Rešitev nalog s parametri".
