Ta članek vsebuje začetne informacije o sistemih neenakosti. Opredelitev sistema neenakosti se poda tukaj in določa rešitev sistema neenakosti. In navaja tudi glavne vrste sistemov, s katerimi se najpogosteje delajo v lekcijah algebre v šoli, in primeri.

Navigacijska stran.

Kaj je sistem neenakosti?

Sistemi neenakosti so primerno opredeljeni podobno, kako smo uvedli opredelitev sistema enačb, to je glede na vrsto evidentiranja in pomena, ki se vstavi v njej.

Opredelitev.

Sistem neenakosti - To je evidenca, ki je določeno število neenakosti, zabeleženih drug v drugem, skupaj na levi oporniki, in označuje številne rešitve, ki so istočasno rešitve za vsako neenakost sistema.

Naredimo primer sistema neenakosti. Vzemite dva poljubna, na primer, 2 · x-3\u003e 0 in 5 - x≥4 · x-11, ki jih napišemo eno pod drugo
2 · X-3\u003e 0,
5-x≥4 · x-11
In združite sistemski znak - nosilec slikov, zaradi česar dobimo sistem neenakosti tega tipa:

Podobno je podana ideja neenakosti v šolskih učbenikih. Treba je omeniti, da so opredelitve dane bolj ozko: za neenakosti z eno spremenljivko ali z dvema spremenljivkama.

Glavne vrste neenakosti

Jasno je, da lahko naredite neskončno veliko različni sistemi neenakosti. Da se ne bi izgubili v tem razdelitvi, je priporočljivo, da jih razmislite v skupinah, ki imajo svoje lastnosti. Vse neenakosti lahko razdelimo v skupine v skladu z naslednjimi merili:

• v številu neenakosti v sistemu;
• s številom spremenljivk, vključenih v zapis;
• v skladu z neenakostjo.

V številu neenakosti, vključenih v vnos, sta dva, tri, štiri sisteme itd. neenakosti. V prejšnjem odstavku smo pripeljali primer sistema, ki je sistem dveh neenakosti. Pokažimo še en primer sistema štirih neenakosti .

Ločeno, pravijo, da nima smisla govoriti o sistemu ene neenakosti, v tem primeru, pravzaprav govorimo o neenakosti, in ne o sistemu.

Če pogledate število spremenljivk, obstaja sistem neenakosti z enim, dvema, tremi itd. spremenljivke (ali, kot drugje, ki so neznani). Pogled na zadnji sistem neenakosti, ki jih zabeležita dva zgoraj navedena odstavka. To je sistem s tremi spremenljivkami X, Y in Z. Upoštevajte, da njegove dve prvi neenakosti ne vsebujejo vseh treh spremenljivk, ampak samo eden izmed njih. V okviru tega sistema je treba razumeti kot neenakosti s tremi spremenljivkami vrst x + 0 · y + 0 · z≥-2 in 0 · x + y + 0 · Z≤5. Upoštevajte, da je v šoli glavna pozornost namenjena neenakosti z eno spremenljivko.

Ostaja razpravljati o tem, katere vrste neenakosti so vključene v evidence sistemov. Šola obravnava predvsem sisteme dveh neenakosti (manj pogosto - tri, še manj pogosto - štiri ali več) z eno ali dvema spremenljivkama, neenakosti pa so običajno celotne neenakosti Prva ali druga stopnja (manj pogosto - višje stopnje ali delno racionalno). Vendar pa se ne preseneča, če v pripravi materialov, ki se naletijo na neenakostnih sistemih, ki vsebujejo nerazumejo, logaritmične, okvirne in druge neenakosti. Kot primer, dajemo sistem neenakosti Vzela je.

Kaj se imenuje rešitev sistema neenakosti?

Uvajamo drugo definicijo, povezano z sistemi neenakosti - določanje rešitve sistema neenakosti:

Opredelitev.

Z reševanjem sistema neenakosti z eno spremenljivko To se imenuje takšna variabilna vrednost, ki dodaja vsako od neenakosti sistema zveste, z drugimi besedami, ki je rešitev vsake sistemske neenakosti.

Razložimo na primer. Vzemite sistem dveh neenakosti z eno spremenljivko. Vzemi vrednost spremenljivke X, ki je enaka 8, je rešitev našega sistema neenakosti po definiciji, saj njegova zamenjava v sistemski neenakosti daje dve zvesti numerične neenakosti 8\u003e 7 in 2-3 · 8≤0. Nasprotno, enota ni rešitev sistema, saj se, ko je substituiran namesto spremenljivke X, se bo prva neenakost spremenila v napačno nujno neenakost 1\u003e 7.

Podobno lahko vnesete določitev rešitve sistema neenakosti z dvema, tri in veliko število Spremenljivke:

Opredelitev.

Z rešitvijo sistema neenakosti z dvema, tremi itd. spremenljivke imenovana Steam, Triple, itd Vrednosti teh spremenljivk, ki so hkrati rešitev za vsako neenakost sistema, to pomeni vsako neenakost sistema na pravo numerično neenakost.

Na primer, par vrednosti x \u003d 1, y \u003d 2 ali drug zapis (1, 2) je raztopina sistema neenakosti z dvema spremenljivkama, kot 1 + 2<7 и 1−2<0 - верные числовые неравенства. А пара (3,5, 3) не является решением этой системы, так как второе неравенство при этих значениях переменных дает неверное числовое неравенство 3,5−3<0 .

Sistemi neenakosti ne smejo imeti rešitev, imajo lahko končno število rešitev, in imajo lahko neskončno veliko rešitev. Pogosto govorimo o nizu rešitev sistema neenakosti. Ko sistem nima rešitev, potem je na voljo prazen niz njenih rešitev. Ko so rešitve končna številka, se nabor raztopin vsebuje končno število elementov, in ko so raztopine neskončno veliko, potem niza raztopin je sestavljena iz neskončnega števila elementov.

V nekaterih virih se uvedejo opredelitve zasebne in splošne rešitve sistema neenakosti, kot na primer v Morkkovič učbenikih. Spodaj zasebna rešitev sistema neenakosti Razumeti njeno posebno odločbo. Po vrsti splošna rešitev sistema neenakosti - To je vse njene zasebne rešitve. Vendar pa je v teh smislu smiselno le, če je treba poudariti, da je jasno, kakšna je odločitev, vendar je običajno razvidno iz konteksta, toliko pogosteje pravijo, da preprosto "reševanje sistema neenakosti".

Iz definicij neenakosti in rešitev, vnesenih v ta člen, sledi, da je rešitev sistema neenakosti križišče sklopov rešitev vseh neenakosti tega sistema.

Bibliografija.

1. ALGEBRA: študije. Za 8 Cl. Splošna izobrazba. Institucije / [yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorov]; Ed. S. A. Telikovsky. - 16. Ed. M.: Razsvetljenje, 2008. - 271 str. : IL. - ISBN 978-5-09-019243-9.
2. ALGEBRA: 9. razred: Študije. Za splošno izobraževanje. Institucije / [yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorov]; Ed. S. A. Telikovsky. - 16. Ed. M.: Razsvetljenje, 2009. - 271 str. : IL. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. Morkkovič A. G. Algebra. 9. razred. V 2 TSP. 1. Vadnica za študente splošnih izobraževalnih ustanov / A. Morkovicha, P. V. Semenov. - 13. Ed., Tudi. M.: Mnemozina, 2011. - 222 C.: IL. ISBN 978-5-346-01752-3.
4. Morkkovič A. G. Algebra in začetek matematične analize. 11. razred. V 2 TSP. 1. učbenik za študente splošnih izobraževalnih ustanov (raven profila) / A. Morkkovich, P. V. Semenos. - 2. ed., CED. M.: Mnemozina, 2008. - 287 P.: IL. ISBN 978-5-346-01027-2.
5. Ege.-2013. Matematika: Tipični pregledi: 30 možnosti / ED. A. L. SEMENOVA, I. V. YASHCHENKO. - M.: Založba "Nacionalno izobraževanje", 2012. - 192 str. - (EGE-2013. Šola FIPI).

Lekcija Tema: Rešitev Rešitev linearne neenakosti z eno spremenljivo

Datum: _______________

Razred: 6a, 6b, 6b

Vrsta lekcije: Preučevanje novega materiala in primarne konsolidacije.

Didaktični cilj: Ustvarite pogoje za ozaveščanje in razumevanje bloka novih izobraževalnih informacij.

Cilji: 1) Izobraževanje: Uvesti koncepte: reševanje sistemov neenakosti, enakovredne sisteme neenakosti in njihove lastnosti; Pri reševanju najpreprostejših sistemov neenakosti z eno spremenljivko učite te koncepte.

2) Razvoj: spodbujati razvoj elementov ustvarjalnih, neodvisnih dejavnosti študentov; Razviti govor, sposobnost razmišljanja, analizirati, povzeti, izraziti svoje misli jasno, jedrnato.

3) Izobraževalna:izobraževanje spoštovanja drug drugega in odgovornega odnosa do učnega dela.

Naloge:

teorijo ponovite na temo numeričnih neenakosti in numeričnih intervalov;

ustvarite primer naloge, ki jo rešuje sistem neenakosti;

razmislite o primerih rešitev sistemov neenakosti;

opravljajo samostojno delo.

Oblike organizacije dejavnosti usposabljanja: - frontalni - kolektivni - posameznik.

Metode: Pojasnjeno - ponaredljivo.

Učni načrt:

1. Organizacijski trenutek, motivacija, namen

2. Aktualizacija študije teme

3. Preučevanje novega gradiva

4. Primarna pritrditev in uporaba novega materiala

5. Uspešnost neodvisnega dela

7. Povzetek lekcije. Razmišljanje.

Med razredi:

1. Organizacijski trenutek

Neenakost je lahko dobra pomočnica. Samo vedeti, kdaj je potrebno, da ga poiščete za pomoč. Jezik neenakosti je pogosto formuliran z nastavitvijo nalog v številnih aplikacijah matematike. Na primer, številne gospodarske naloge se zmanjšajo na študijo linearnih neenakosti. Zato je pomembno rešiti neenakosti. In kaj to pomeni, da "rešite sistem neenakosti"? To bomo analizirali danes na lekciji.

2. Aktualizacija znanja.

Ustno delo z razredom tri študent dela na posameznih karticah.

Če želite ponoviti teorijo teorije »neenakosti in njihovih lastnosti«, izvajamo testiranje z naknadnim testom in pogovorom na temo te teme. Vsaka naloga preskusa vključuje odgovor "da" - številka, "ne" - slika ____

Zaradi testa bi moralo biti nekakšna številka.

(Odgovor :).

Vzpostavitev skladnosti med neenakostjo in številčno vrzeli

1. (– ; – 0,3)

2. (3; 18)

3. [ 12; + )

4. (– 4; 0]

5. [ 4; 12]

6. [ 2,5; 10)

"Matematika uči, da bi premagala težave in popravila svoje napake."Poiščite napako pri reševanju neenakosti, pojasnite, zakaj je na voljo napaka, zapišite pravilno rešitev prenosnika.

2x.<8-6

x\u003e -1.

3. Preučevanje novega gradiva.

Kaj menite, da se imenuje rešitev sistema neenakosti?

(Rešitev sistema neenakosti z eno spremenljivko je vrednost spremenljivke, v kateri je vsaka od neenakosti sistema) resnična)

Kaj pomeni "rešiti sistem neenakosti"?

(Rešite sistem neenakosti - pomeni najti vse svoje odločitve ali dokazati, da ni rešitev)

Kaj je treba storiti, da bi odgovorili na vprašanje "je podana številka

z reševanjem sistema neenakosti? "

(Za nadomestitev tega števila v obeh neenakostih sistema, če se pridobijo zveste neenakosti, je podana številka rešitev sistema neenakosti, če dobimo napačne neenakosti, podana številka ni rešitev sistema neenakosti)

Oblikujte rešitve algoritma do sistemov neenakosti

1. Rešite vsako neenakost sistema.

2. Za prikaz grafično reševanja vsake neenakosti na koordinat neposredno.

3. Poiščite presečišče neenakosti na koordinat neposredno.

4. Zabeležite odgovor v obliki številčne vrzeli.

Razmislite o primerih:

Odgovor:

Odgovor: Ni rešitev

4. Pritrditev teme.

Delo z učbenikom št 1016, № 1018, № 1022

5. Neodvisno deloz možnostmi (nalog za študente na tabelah)

Neodvisno delo

Možnost 1.

Odloči o sistemu neenakosti:

Program za reševanje linearnih, kvadratnih in frakcijskih neenakosti ne daje preprosto nalogo odgovora, pripelje podrobno rešitev z razlagi, t.j. Prikaže postopek rešitve za spremljanje znanja matematike in / ali algebre.

Poleg tega, če je v procesu reševanja ene od neenakosti, je treba rešiti, na primer, kvadratno enačbo, nato pa se prikaže tudi njegova podrobna rešitev (leži v spojleru).

Ta program je lahko koristen za srednješolce v pripravi na testno delo, starši, da nadzorujejo odločitev neenakosti svojih otrok.

Ta program je lahko koristen za študente srednješolskih šol v splošnih šolskih šolah, ko se pripravljajo na teste in izpite, pri preverjanju znanja pred izpitom, starši za spremljanje rešitve številnih težav v matematiki in algebri. Ali pa ste predragi, da najamete mentorja ali kupite nove učbenike? Ali pa samo želite narediti svojo domačo nalogo v matematiki ali algebri, kot je mogoče? V tem primeru lahko naše programe uporabljate tudi s podrobno rešitev.

Tako lahko izvedete svoje usposabljanje in / ali usposabljanje vaših mlajših bratov ali sester, medtem ko se stopnja izobrazbe na področju rešenih nalog poveča.

Neenakost vhodnih pravil

Kot spremenljivka je lahko katera koli latinska črka.
Na primer: (x, y, z, a, b, c, o, p, q) itd.

Številke lahko vstopajo v celotno ali delno.
Poleg tega se lahko delne številke dajemo ne le v obliki decimalnega, ampak tudi v obliki običajnega frakcije.

Pravila za vnos decimalnih frakcij.
V decimalnih frakcijah se lahko del celote loči kot točka in vejico.
Na primer, lahko vnesete decimalne frakcije, kot je ta: 2.5x - 3.5x ^ 2

Pravila za vnos običajnih frakcij.
Samo celo število lahko deluje kot števec, imenovalec in celoten del frakcije.

Imenovalnik ne more biti negativen.

Pri vnosu številske frakcije se števec, ločen od imenovalca do oznake fisije: /
Celoten del je ločen od Fraraty ampersand znak: &
Vhod: 3 & 1/3 - 5 in 6/5Y + 1 / 7Y ^ 2
Rezultat: \\ t (3 Frac (1) (3) - 5 Frac (6) (5) Y + Frac (1) (7) Y ^ 2 \\ t

Pri vnosu izrazov lahko uporabite oklepaje. V tem primeru se pri reševanju neenakosti izraza najprej poenostavimo.
Na primer: 5 (A + 1) ^ 2 + 2 & 3/5 + A\u003e 0,6 (A-2) (A + 3)

Izberite želeni znak neenakosti in vnesite polinome v spodnje polja.

Prva neenakost sistema.

Kliknite na gumb, da spremenite vrsto prve neenakosti.

> >= < <=

Rešiti sistem neenakosti

Ugotovljeno je, da nekatere skripte, potrebne za rešitev te naloge, niso naložene, program pa ne sme delovati.
Morda imate vključeno Adblock.
V tem primeru ga odklopite in posodobite stran.

V brskalniku imate izvršitev JavaScripta.
Če želite, da se prikaže rešitev, morate omogočiti JavaScript.
Tu so navodila, kako omogočiti JavaScript v brskalniku.

Ker V želji, da bi rešili nalogo, je vaša zahteva v vrsti.
Po nekaj sekundah se bo raztopina prikazala spodaj.
Prosim počakaj Sec ...

Če ti opazil napako pri reševanjuO tem lahko pišete v obliki povratnih informacij.
Ne pozabi določite, katero nalogo Odločite se in kaj vnesite na polje.

Naše igre, uganke, emulatorji:

Malo teorije.

Sistemi neenakosti z enim neznanim. Numerični intervali

S konceptom sistema ste se srečali v 7. razredu in se naučili, kako rešiti sisteme linearnih enačb z dvema neznanma. Nato bodo upoštevane linearne neenakosti z enim neznanim. Z vrzeli (intervali, pol-intervali, segmenti, žarki) se lahko zabeležijo z več rešitvami neenakosti. Prav tako se seznanite z oznakami numeričnih intervalov.

Če je v neenakosti (4x\u003e 2000) in (5x LEQ 4000), je neznana številka X enaka, potem te neenakosti štejejo skupaj in pravijo, da tvorijo sistem neenakosti: $$ \\ t Začetek (LETRY) (L) 4x\u003e 2000 \\ t 5x LEQ 4000 END (ARRAY) \\ t

Curly Brace kaže, da je treba najti takšne vrednosti X, v kateri se obe sistemske neenakosti obravnavajo v pravih numeričnih neenakosti. Ta sistem je primer sistema linearnih neenakosti z enim neznanim.

Rešitev sistema neenakosti z enim neznanim se imenuje vrednost neznanega, v katerem se vse neenakosti sistemov obravnavajo s pravimi numeričnimi neenakostmi. Rešite sistem neenakosti je, da najdete vse rešitve za ta sistem ali ugotovite, da niso.

Neenakost (X GEQ -2) in (X LEQ 3) se lahko zapiše v obliki dvojne neenakosti: \\ t (- 2 LEQ X LEQ 3).

Rešitve sistemov neenakosti z enim neznanim so različni Številski kompleti. Ti sklopi imajo imena. Tako je na številski osi, niz številk X, kot je (- 2 Leq X LEQ 3), prikazuje segment s konci na točkah -2 in 3.

-2

3

Če je (segment označen [a; b]

Če je interval označen (a; b)

Nastavite številke (x), ki izpolnjujejo neenale (A LEQ X za pol interval in so označeni [A; B) in (A; B]

Segmenti, intervali, pol-intervali in žarki se imenujejo numerični intervali.

Tako lahko številčne vrzeli nastavite v obliki neenakosti.

Raztopina neenakosti z dvema neznanostma je par številk (x; y), ki dodaja to neenakost na pravo numerično neenakost. Rešite neenakost je najti veliko njegovih rešitev. Torej, Rešitve Neenakost X\u003e Y, na primer pari številk (5; 3), (-1; -1), ker \\ t (5 GEQ 3) in (- 1 geq -1

Reševanje sistemov neenakosti

Naučili ste se, da rešite linearne neenakosti z enim neznanim. Veste, kaj sistem neenakosti in sistemska rešitev. Zato proces reševanja sistemov neenakosti z enim neznanim ne bo povzročil težav.

In vendar bomo spomnili: rešiti sistem neenakosti, morate rešiti vsako neenakost posebej, nato pa poiščite presečišče teh rešitev.

Na primer, začetni sistem neenakosti je bil izkazan v mislih:
$$ Levo (Začetek (Array) (L) x Geq -2 \\ t

Če želite rešiti ta sistem neenakosti, upoštevamo rešitev vsake neenakosti na številski osi in poiščite njihovo križišče:

-2

3

Križišče je segment [-2; 3] - To je rešitev začetnega sistema neenakosti.

1. Koncept neenakosti z eno spremenljivko

2. Oprema neenakosti. Teoremi o enakosti neenakosti

3. Raztopina neenakosti z eno spremenljivko

4. Grafična raztopina neenakosti z eno spremenljivko

5. Neenakosti, ki vsebujejo spremenljivko pod znakom modula

6. OSNOVNI ZAKLJUČKI

Neenakosti z eno spremenljivko

Ponuja 2. h. + 7 > 10, x 2 + 7x< 2,(х + 2)(2х-3)> 0 se imenuje neenakosti z eno spremenljivko.

V general. Ta koncept se določi na naslednji način:

Opredelitev. Naj f (x) in g (x) sta dva izraza iz spremenljivke X in območje definicije X. nato neenakost obrazca F (x)\u003e g (x) ali f (x)< g(х) называется неравенством с одной переменной. Мно­жество X называется областью его определения.

Varedna vrednost x. Iz Set. X.v kateri neenakosti se pritožuje na pravo numerično neenakost, ki jo je imenovala sklep.Rešite neenakost je najti veliko njegovih rešitev.

Torej, z odločitvijo neenakosti 2 X. + 7 > 10 -H.? R. je številka x. \u003d 5, AS 2,5 + 7\u003e 10 - 5 - True numerična neenakost. In niz njenih rešitev je interval (1, ∞), ki ga najdemo z izvajanjem konverzije neenakosti: 2 X. + 7 > 10- X. => 3 X. >3 => x. >1.

Enakovredne neenakosti. Teoremi o enakosti neenakosti

Rešitev neenakosti z eno spremenljivko je koncept enakovrednosti.

Opredelitev. Dve neenakosti se imenujejo enakovredna, če so njihovi sklopi enaki.

Na primer, neenakosti 2 x. + 7\u003e 10 in 2 X. \u003e 3 so enakovredne, saj so njihovi kompleti rešitev enake in predstavljajo vrzel (2/3, ∞).

Teoremi o enakosti neenakosti in posledice njih so podobni ustreznim izrekom na enakost enačb. Z njihovim dokazom se uporabljajo lastnosti resničnih numeričnih neenakosti.

Teorem 3. Naj neenakost f (x)\u003e g (x)nastavite na set X.in h.(x.) - izraz, ki je definiran na istem nizu. Potem neenakost f (x)\u003e g (x) in f (x) + h (x)\u003e g (x) + h (x)enakovredne na nizu X.

Tega izreka se izmerijo posledice, ki se pogosto uporabljajo pri reševanju neenakosti: \\ t

1) Če v oba dela neenakosti f (x)\u003e g (x)dodajte eno in isto številko d,dobim neenakost f (x) + d\u003e g (x) + d,enakovreden vir.

2) Če kateri koli izraz (numerični izraz ali izraz s spremenljivko) izstopite iz enega dela neenakosti na drugega, spreminjanje znaka komponente na nasprotno, potem dobimo neenakost, kar ustreza temu.

Teorem 4. Naj neenakost F (x)\u003e g (x) nastavite na set X.in h.(h. h.iz Set. X.izraz h (x)sprejmi pozitivni pomen. Potem neenakost f (x)\u003e g (x) in f (x) · h (x)\u003e g (x) · h (x)enakovredne na nizu X.

f (x)\u003e g (x)pomnožite na isto pozitivno število d,dobim neenakost f (x) · d\u003e g (x) · d,enakovredno.

Teorem 5. Naj neenakost f (x)\u003e g (x)nastavite na set X.in h.(h.) - izraz, ki je določen na istem nizu in za vse h. Njihove komplete X.izraz h.(h.) negativne vrednosti. Potem neenakost f (x)\u003e g (x) in f (x) · h (x)\u003e g (x) · h (x)enakovredne na nizu X..

Posledica tega teremo sledi: če sta oba dela neenakosti f (x)\u003e g (x)pomnožite na isto negativno število d.in znak neenakosti, da se spremeni v nasprotno, potem dobimo neenakost f (x) · d\u003e g (x) · d,enakovredno.

Rešitev neenakosti z eno spremenljivko

Rešil bom neenakost 5. h. - 5 < 2х - 16, h.? R.in utemeljite vse transformacije, ki jih bomo nastopili v procesu rešitve.

Z odločbo neenakosti h. < 7 является промежуток (-∞, 7) и, сле­довательно, множеством решений неравенства 5h. - 5 < 2x +.16 je interval (-∞, 7).

Vaje

1. Namestite kateri od naslednjih vnosov so neenakosti z eno spremenljivko:

a) -12 - 7 h.< 3x. + 8; d) 12. x +.3(h.- 2);

b) 15 ( x. + 2)\u003e 4; e) 17-12 · 8;

c) 17- (13 + 8)< 14-9; е) 2x 2.+ 3x.-4> 0.

2. Je številka 3 po rešitvi neenakosti 6 (2x +7) < 15(h. + 2), h.? R.? In številko 4.25?

3. So naslednji pari neenakosti na nizu realnih številk:

a) -17. h.< -51 и h. > 3;

b) (3 x.-1) / 4\u003e 0 in 3 h.-1>0;

c) 6-5 x. \u003e -4 I. h.<2?

4. Katera od naslednjih trditev je res:

a) -7. h. < -28 => x.>4;

b) x. < 6 => x. < 5;

v) h.< 6 => h.< 20?

5. Rešite neenakost 3 ( x. - 2) - 4(h. + 1) < 2(х - 3) - 2 in utemeljite vse transformacije, ki jih boste nastopili hkrati.

6. Dokazati, da je odločitev neenakosti 2 (H.+ 1) + 5 > 3 - (1 - 2h.) je vsaka veljavna številka.

7. Dokaži, da ni veljavne številke, ki bi bila rešitev neenakosti 3 (2 - h.) - 2 > 5 - 3h..

8. Ena stran trikotnika je 5 cm, in še 8 cm. Kaj bi lahko bila dolžina tretje osebe, če je obseg trikotnika:

a) manj kot 22 cm;

b) Več kot 17 cm?

Grafična rešitev neenakosti z eno spremenljivko.Za grafična rešitev neenakosti f (x)\u003e g (x) izgradnjo grafov funkcij

y \u003d f (x) \u003d g (x)in izberite tiste vrzeli Abscissa, na katerih je graf funkcije y \u003d f (x)nahaja se nad grafom funkcije y \u003d g (x).

Primer 17.8.Odloča o grafično neenakosti x 2.- 4 > 3x.

Y - X * - 4

Sklep.Zgradili bomo v enem sistemu koordinat grafov funkcij

y \u003d x 2 -4 I. y \u003d.ZH (Sl. 17.5). Iz slike je jasno, da grafi funkcij w.= x 2.- 4 nad grafom funkcije y \u003d 3 h.za h.< -1 I. x\u003e4, i.e. Številne rešitve začetne neenakosti so mnogi

(- ¥; -1) è (4; + oo) .

Odgovor: X î(- oo; -1) in (4; + OO).

Urnik kvadratna funkcija w.= aH 2 + BX + zje parabola z vejami usmerjena, če a\u003e.0, in navzdol, če zvezek< 0. V tem primeru je mogoče tri primere: parabola prečka os Ohr(tj. Enačba ah 2.+ bX.+ c \u003d.0 ima dve različni korenini); Parabola se dotakne osi h.(tj. Enačba aH 2 + BX+ C \u003d 0 ima eno koren); Parabola ne prečka osi Ohr(tj. Enačba ah 2.+ bX.+ c \u003d.0 nima korenin). Tako, šest položajev parabole, ki služi kot graf funkcije y \u003d ah 2.+ B. x + S.(Sl. 17.6). Z uporabo teh ilustracij lahko rešite kvadratne neenakosti.

Primer 17.9.Rešite neenakost: a) 2 x G.+ 5x - 3\u003e 0; B) -ZH 2 - 2x.- 6 < 0.

Sklep,a) enačba 2x 2 + 5x -3 \u003d 0 ima dve korenini: X, \u003d -3, x 2 \u003d.0,5. PARABOLA, Funkcija urnik urnik w.= 2x 2.+ 5x -3, prikazano na sl. ampak.Neenakost. 2x 2.+ 5x -3\u003e 0 se izvaja pri teh vrednostih x,v katerih točkah parabola ležijo nad osjo OH:bo h.< х х ali za h.> x R\u003eti. za h.< -3 ali kdaj. x\u003e0,5. To pomeni, da se nastavijo številne rešitve prvotne neenakosti (- ¥; -3) in (0,5; + ¥).

b) Enačba -ZH 2 + 2x.6 \u003d 0 nima veljavnih korenin. PARABOLA, Funkcija urnik urnik w.= - 3x 2 - 2x -6 je prikazan na sl. 17.6 Neenakost. -3x 2 - 2x -6 < О выполняется при тех значениях x,v katerih točkah parabola ležijo pod osjo Oh.Ker je celotna parabola pod osjo OH,potem je nabor rešitev prvotne neenakosti veliko r .

Neenakosti, ki vsebujejo spremenljivko pod znakom modula.Pri reševanju teh neenakosti je treba upoštevati, da:

| F (x) | =

f (x) , če f (x) ³ 0,

- f (x) , če f (x) < 0,

V tem območju dovoljene vrednosti Neenakost je treba razdeliti v intervale, na vsakem od katerih izrazov pod znakom modula ohranijo znak. Nato odpiranje modulov (ob upoštevanju znakov izrazov), je treba reševati neenakost v vsakem intervalu in pridobljene odločitve se združijo v številne rešitve začetne neenakosti.

Primer 17.10.Rešite neenakost:

| x -1 | + | 2- x | \u003e 3 + x.

Sklep. Točke X \u003d 1 in X \u003d 2 so razdeljene s številsko osjo (neenakost ODZ (17,9) za tri intervale: X< 1, 1 £ х £.2, х > 2. Ta neenakost bom rešila vsakega od njih. Če je H.< 1, то х - 1 < 0 и 2 – х > 0; Zato | x -1 | \u003d - (X - I), | 2 - x | \u003d 2 - x. To pomeni, da je neenakost (17,9) v obliki: 1- x + 2 - x\u003e 3 + x, t.e. H.< 0. Таким образом, в этом случае решениями неравенства (17.9) являются все отрицательные числа.

Če je 1 x £ x £ .2, potem x - 1 ³ 0 in 2 - x ³ 0; Zato | X- 1 | \u003d x - 1, | 2 - x | \u003d 2 - x. . Primerna, sistem poteka:

x - 1 + 2 - x\u003e 3 + x,

Nastali sistem rešitev neenakosti nima rešitve. Zato, v intervalu [1; 2] Številne rešitve neenakosti (17,9) prazna.

Če je X\u003e 2, X - 1\u003e 0 in 2 - X<0; поэтому | х - 1| = х- 1, |2-х| = -(2- х). Значит, имеет место система:

x -1 + X - 2\u003e 3 + X,

x\u003e 6 ali

Združevanje najdenih rešitev v vseh delih neenakosti OI (17,9), smo dobili njeno rešitev - set (- ¥; 0) è (6; + oo).

Včasih je koristno izkoristiti geometrično interpretacijo dejanskega števila modula, v skladu s katerim | A | pomeni razdaljo točke koordinata neposredno od začetka referenčnega o, a | A - B | pomeni razdaljo med točkami A in B na koordinatni neposredni. Poleg tega lahko uporabite metodo izgradnje kvadrata obeh delov neenakosti.

Teorem 17.5. Če izrazi f (x) in g (x)z vsemi x jemljejo samo ne-negativne vrednosti, potem neenakosti f (x)\u003e g (x)in f (x) ²\u003e g (x) ²ekvivalent.

58. Osnovni zaključki § 12

V tem odstavku smo določili naslednje koncepti:

Numerični izraz;

Vrednost numerični izraz;

Izraz, ki ne pomeni;

Izraz s spremenljivo (spremenljivo);

Obseg izražanja;

Enake enake izraze;

Identiteta;

Enaka pretvorba izrazi;

Numerična enakost;

Numerična neenakost;

Enačba z eno spremenljivo;

Koren enačbe;

Kaj pomeni rešiti enačbo;

Enakovredne enačbe;

Neenakost z eno spremenljivko;

Raztopina neenakosti;

Kaj pomeni rešiti neenakost;

Enakovredne neenakosti.

Poleg tega smo obravnavali izreke na enakost enačb in neenakosti, ki so osnova za njihovo rešitev.

Poznavanje opredelitev vseh zgoraj navedenih konceptov in izrekov o enakosti enačb in neenakosti - predpogoji metodično usposobljena študija mlajši šolarji Algebraični material.

Danes, na lekciji, smo posplošili naše znanje pri reševanju sistemov neenakosti in preučiti odločitev o nizu neenakosti.

Najprej definicija..

Rečeno je, da je več neenakosti z eno spremenljivostjo tvori sistem neenakosti, če je naloga najti vse splošne rešitve določenih neenakosti.

Vrednost spremenljivke, v kateri vsaka od neenakosti sistema obravnava pravilno numerično neenakost, se imenuje zasebna rešitev sistema neenakosti.

Set vseh zasebnih rešitev sistema neenakosti je splošna rešitev sistema neenakosti (pogosteje pravijo, da preprosto - rešitev sistema neenakosti).

Rešite sistem neenakosti - pomeni najti vse svoje zasebne odločitve ali dokazati, da ta sistem nima rešitev.

Ne pozabite! Rešitev sistema neenakosti je presečišče rešitev neenakosti v sistemu.

Neenakosti, ki so vključene v sistem, se kombinirajo s kodrastim nosilcem.

Algoritem za reševanje sistema neenakosti z eno spremenljivko:

Pero - ločeno rešiti vsako neenakost.

Drugič - najti presečišče najdenih rešitev.

To križišče je množica rešitev sistema neenakosti

Vaja 1.

Rešite sistem neenakosti sedem x minus štirideset dve manj ali enako nič in dva x minus sedem več nič.

Odločitev prve neenakosti - X je manjša ali enaka šest, druga neenakost - X je več kot sedem sekund. Te vrzeli smo opazili na koordinat neposredno. Odločitev prve neenakosti je označena z izvalitvijo z dna, druga neenakost se izvalina od zgoraj. Raztopina sistema neenakosti se bo presečila neenakosti, to je vrzel, na kateri sta oba valitve sovpadala. Na koncu dobimo pol-interval od sedem sekund do šestih, vključno s šestimi.

Naloga 2.

Rešite sistem neenakosti: x kvadrat plus x minus šest več nič in x kvadrat plus x plus šest več nič.

Sklep

Odločil sem se prve neenakosti - X Square Plus X minus Šest več nič.

Razmislite o funkcijah IGREKA, ki je enaka x kvadratu plus x minus šest. Zeros funkcij: X je prvi enak minus tri, druga je druga enaka dva. Za prikaz shematske parabole smo ugotovili, da je rešitev prve neenakosti združevanje odprtih številskih žarkov od minus neskončnosti do minus tri in dve do in neskončnosti.

Odločil sem se druge neenakosti X Square System Plus X Plus Šest več nič.

Razmislite o funkciji IGREKA, ki je enaka x kvadratu plus x plus šest. Diskriventa je minus dvajset, ki je manj kot nič, to pomeni, da funkcija nima ničle. Parabola nima skupnih točk z osi oh. Prikazuje shematsko parabolo, ugotovimo, da je raztopina neenakosti niz vseh številk.

Pokazal bom na koordinatni neposredni rešitvi neenakosti sistema.

To je razvidno iz slike, da je raztopina sistema združiti odprte številske žarke od minus neskončnosti do minus tri in dve do in neskončnosti.

Odgovor: Združevanje odprtih številskih žarkov od minus neskončnosti do minus tri in dve do in neskončnosti.

Ne pozabite! Če je ena posledica drugega (ali drugega) v sistemu več neenakosti, se lahko neenakost preiskava zavrže.

Razmislite o primeru reševanja neenakosti s sistemom.

Naloga 3.

Rešite neenakost logaritma izraza X kvadrata minus trinajst x plus štirideset in dve na osnovi dva bolj enaka enemu.

Sklep

Neenakost Onze je podana s pogojem X Square Minus Trinajst X plus štirideset in dve več nič. Predstavljajte si, da je številka ena kot logaritem dveh na podlagi dveh in dobimo neenakost - logaritem izraza X kvadrata minus trinajst x plus štirideset in dva na podlagi še dva, bodisi enaka logaritmu dveh na Osnova dva.

Vidimo, da je baza logaritma enaka dve večji od enega, nato pa pridemo do enakovredne neenakosti X Square Minus Trinajst X plus štirideset in še dva, bodisi enaka dva. Posledično je rešitev te logaritmične neenakosti zmanjšana na reševanje sistema dveh kvadratnih neenakosti.

Poleg tega je enostavno opaziti, če je izpolnjena druga neenakost, se izvede prva neenakost. Zato je prva neenakost preiskava drugega, in jo je mogoče zavreči. Druga neenakost je preoblikovanje in pisanje v obliki: x kvadrat minus trinajst x plus štirideset več nič. Raztopina je združiti dve številski žarki od minus neskončnosti do pet in od osmih do plus neskončnosti.

Odgovor: Združevanje dveh številskih žarkov od minus neskončnosti do pet in osem do in neskončnost plus.

odprte številske žarke

Opredelitev drugega.

Rečeno je, da je več neenakosti z eno spremenljivo obliko neenakosti, če je naloga nastavljena na iskanje vseh vrednosti spremenljivke, od katerih je vsaka rešitev, vsaj ena od navedenih neenakosti.

Vsaka taka vrednost spremenljivke se imenuje zasebna rešitev kombinacije neenakosti.

Niz vseh zasebnih rešitev skupnega neenakosti je celotna rešitev zbiranja neenakosti.

Ne pozabite! Odločitev zbiranja neenakosti je združitev odločitev neenakosti v agregatu.

Neenakosti, vključene v agregat, se kombinirajo s kvadratnim oklepajem.

Algoritem za reševanje kombinacije neenakosti: \\ t

Prvi je rešiti vsako neenakost posebej.

Drugič - najti kombinacijo najdenih rešitev.

To je združenje in je rešitev za kombinacijo neenakosti.

Naloga 4.

nič toliko kot dve desetini, pomnoženi z razliko od dveh x in tri manj x minus dva;

pet x minus sedem več x minus šest.

Sklep

Vsak od neenakosti spremenimo. Dobimo enakovredno celovitosti

x je več kot sedem tretjin;

x je več kot četrtina.

Za prvo neenakost, množico rešitev služi vrzel od sedmih tretjin do plus neskončnosti, in za drugi - interval od četrtega do plus neskončnosti.

Prikazali bomo na koordinat neposredni nabor številk, ki izpolnjujejo X-enakosti več kot sedem tretjin in X je več kot četrtino.

Ugotavljamo, da združenje teh sklopov, tj. Z rešitvijo tega niza neenakosti je odprt numerični žarek iz četrtega do in neskončnosti.

Odgovor: Odprite številčni žarek od četrtega do in neskončnosti.

Naloga 5.

Rešite kombinacijo neenakosti:

dva x minus ena manj kot tri in tri x je minus še dva bodisi enaka deset.

Sklep

Vsak od neenakosti spremenimo. Dobimo enakovreden niz neenakosti: X je več kot dva in X je bolj enaka štiri.

Pokazali bomo na koordinat neposredni nabor številk, ki izpolnjujejo te neenakosti.

Ugotavljamo, da združenje teh sklopov, tj. Z rešitvijo tega niza neenakosti, je odprt numerični žarek od dveh do plus neskončnosti.

Odgovor: Zunanji numerični žarek od dveh do in neskončnosti.