Racionalne korenine kvadratne enačbe. Kvadratne enačbe. Izčrpen vodnik (2019)

Še naprej preučujemo temo " reševanje enačb" Smo se že srečali z linearnimi enačbami in se odpravili na poznavanje kvadratne enačbe.

Najprej bomo analizirali, kaj je kvadratna enačba, kot je napisana general.in Dadim. sorodne opredelitve. Po tem, podrobno analiziramo podrobno, kako so rešene nepopolne kvadratne enačbe. Poleg tega se obrnemo, da bomo rešili polne enačbe, dobimo korensko formulo, se bomo seznanili z diskriminantno kvadratno enačbo in razmislili o rešitvah značilnih primerov. Končno sledite povezavi med koreninami in koeficienti.

Navigacijska stran.

Kaj je kvadratna enačba? Njihove vrste

Najprej morate jasno razumeti, kaj je kvadratna enačba. Zato se pogovor o kvadratnih enačbah logično zažene iz opredelitve kvadratne enačbe, kot tudi s tem povezane opredelitve. Po tem lahko upoštevate glavne vrste kvadratne enačbe: Predstavljena in neplačana, kot tudi popolne in nepopolne enačbe.

Opredelitev in primeri kvadratnih enačb

Opredelitev.

Kvadratna enačba - To je enačba tipa a · x 2 + b · x + c \u003d 0 kjer je X spremenljivka, A, B in C - nekatere številke in različna nič.

Takoj recimo, da se kvadratne enačbe pogosto imenujejo enačbe druge stopnje. To je posledica dejstva, da je kvadratna enačba algebraična enačba Druga stopnja.

Izražena definicija vam omogoča, da navedete primere kvadratnih enačb. Torej 2 · x 2 + 6 · x + 1 \u003d 0, 0,2 · x 2 + 2.5 · x + 0,03 \u003d 0, itd - To so kvadratne enačbe.

Opredelitev.

Številke a, B in C koeficienti kvadratne enačbe A · x 2 + B · x + c \u003d 0, in koeficient a se imenuje prvi ali starejši ali koeficient pri X2, B je drugi koeficient, ali koeficient z X, in s prostim članom .

Na primer, vzamemo kvadratno enačbo obrazca 5 · x 2 -2 · x-3 \u003d 0, tukaj višji koeficient je 5, drugi koeficient je -2, svobodni član pa -3. Opomba Ko so koeficienti B in / ali C negativni, kot v zgornjem primeru, se uporablja kratek obrazec Evidence kvadratne enačbe obrazca 5 · x 2 -2 · x-3 \u003d 0 in ne 5 · x 2 + (- 2) · x + (- 3) \u003d 0.

Omeniti je treba, da ko so koeficienti A in / ali B enak 1 ali -1, običajno niso prisotni v snemanju kvadratne enačbe izrecno, ki je povezana z značilnostmi evidence takega. Na primer, v kvadratnem enačbi y 2 -y + 3 \u003d 0, višji koeficient je enota, in koeficient pri Y je -1.

Določene in neporočene kvadratne enačbe

Odvisno od vrednosti starejšega koeficienta se razlikujejo zgoraj in neplačane kvadratne enačbe. Dajmo ustrezne opredelitve.

Opredelitev.

Kvadratno enačbo, v kateri je starejši koeficient 1, poklican glede na kvadratno enačbo. V nasprotnem primeru je kvadratna enačba nude..

Po navedbah ta opredelitev, kvadratne enačbe x 2 -3 · x + 1 \u003d 0, x 2 -x-2/3 \u003d 0, itd - Ti, v vsakem od njih je prvi koeficient enak enemu. 5 x 2-x-1 \u003d 0 in podobno. - ne-veljavne kvadratne enačbe, njihovi starejši koeficienti se razlikujejo od 1.

Od kakršne koli neplačane kvadratne enačbe z delitvijo obeh delov na višji koeficient, lahko greste na dano. Ta ukrep je enakovreden preoblikovanju, to pomeni, da je zmanjšana kvadratna enačba, dobljena s to metodo, enake korenine kot prvotno neparalno kvadratno enačbo, ali pa tudi nima korenin.

Analizirali bomo na primer, ko se izvede prehod iz integralne kvadratne enačbe na dano eno.

Primer.

Iz enačbe 3 · x 2 + 12 · x-7 \u003d 0 Pojdite na ustrezno predstavljeno kvadratno enačbo.

Sklep.

Dovolj je, da delimo oba dela začetne enačbe na višje koeficient 3, se razlikuje od nič, tako da lahko to dejanje izvajamo. Imamo (3 · x 2 + 12 · x-7): 3 \u003d 0: 3, ki je enaka, (3 · x 2): 3+ (12 · x): 3-7: 3 \u003d 0, in Nadalje (3: 3) · x 2 + (12: 3) · X-7: 3 \u003d 0, od koder. Torej smo dobili določeno kvadratno enačbo, kar ustreza viru.

Odgovor:

Polne in nepopolne kvadratne enačbe

V definiciji kvadratne enačbe je pogoj a ≠ 0. Ta pogoj je potreben po vrstnem redu enačbe A · x 2 + B · x + c \u003d 0, ki je natančno kvadratno, saj pri A \u003d 0 dejansko postane linearna enačba obrazec B · x + c \u003d 0.

Kar zadeva koeficiente B in C, so lahko nič, in tako ločeno kot skupaj. V teh primerih se kvadratna enačba imenuje nepopolna.

Opredelitev.

Kvadratno enačbo a · x 2 + b · x + c \u003d 0 nepopolnaČe je vsaj eden od koeficientov B, C je nič.

Po vrsti

Opredelitev.

Celotna kvadratna enačba - To je enačba, da so vsi koeficienti drugačni od nič.

Takšni naslovi niso naključni. Iz naslednjega razmišljanja bo postalo jasno.

Če je koeficient B nič, kvadratna enačba je obrazec A · x 2 + 0 · x + c \u003d 0, in je enakovredna enačbi A · x 2 + c \u003d 0. Če je C \u003d 0, to je kvadratna enačba obrazca A · x 2 + B · x + 0 \u003d 0, nato pa jo lahko ponovno napišete kot · x 2 + B · x \u003d 0. In za B \u003d 0 in C \u003d 0, dobimo kvadratno enačbo A · x 2 \u003d 0. Dobljene enačbe se razlikujejo od skupne kvadratne enačbe z dejstvom, da njihovi levi deli ne vsebujejo sestavnega dela iz spremenljivke X, ali prostega člana ali oboje. Zato njihovo ime - nepopolne kvadratne enačbe.

Torej enačbe x 2 + x + 1 \u003d 0 in -2 · x 2 -5 · x + 0,2 \u003d 0 so primeri celotnih kvadratnih enačb, in x 2 \u003d 0, -2 · x 2 \u003d 0, 5 x 2 + 3 \u003d 0, -X 2 -5 · X \u003d 0 so nepopolne kvadratne enačbe.

Odločitev nepopolnih kvadratnih enačb

Iz prejšnje točke izhaja, da obstaja tri vrste nepopolnih kvadratnih enačb:

a · x 2 \u003d 0, koeficienti B \u003d 0 in C \u003d 0 ustrezajo njemu;
a · x 2 + c \u003d 0, ko B \u003d 0;
in · x 2 + b · x \u003d 0, kadar C \u003d 0.

Analizirali bomo, da smo rešeni, kako so rešene nepopolne kvadratne enačbe vsake od teh vrst.

a · x 2 \u003d 0

Začnimo z rešitvijo nepopolnih kvadratnih enačb, v katerih so koeficienti B in C nič, to je iz enačb obrazca A · x 2 \u003d 0. Enačba A · X2 \u003d 0 je enaka enačbi x 2 \u003d 0, ki se pridobiva iz začetne delitve obeh delov na številko, ki se razlikuje od nič. Očitno je enačba x 2 \u003d 0 nič, kot 0 2 \u003d 0. Ta enačba nima nobenih drugih korenin, kot je pojasnjeno, za vsako različno številko števila P, neenakosti P 2\u003e 0, od koder sledi, da na P ≠ 0, enakost p 2 \u003d 0 ni nikoli dosežena.

Torej, nepopolna kvadratna enačba a · x 2 \u003d 0 ima edina koren x \u003d 0.

Kot primer, dajemo rešitev nepopolne kvadratne enačbe -4 · x 2 \u003d 0. To je enakovredno enačbo x 2 \u003d 0, njen edini koren je x \u003d 0, zato je začetna enačba edina koren nič.

Kratka rešitev v tem primeru se lahko izda na naslednji način:
-4 · x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x \u003d 0.

a · x 2 + c \u003d 0

Zdaj razmislite, kako so nepopolne kvadratne enačbe rešene, v katerih je koeficient B nič, in C ≠ 0, to je enačbe obrazca A · x 2 + C \u003d 0. Vemo, da je prenos mandata iz enega dela enačbe na drugega z nasprotnim znakom, kot tudi delitev obeh delov enačbe za različne od nič, je številka enakovredna enačba. Zato je mogoče izvesti naslednje enakovredne transformacije nepopolne kvadratne enačbe a · x 2 + c \u003d 0:

premestitev C v desni del, ki daje enačbo a · x 2 \u003d -C,
in razdelita oba dela na a, dobimo.

Nastala enačba vam omogoča, da sklepe o svojih koreninah. Odvisno od vrednosti A in C je lahko vrednost izraza negativna (na primer, če je \u003d 1 in C \u003d 2, nato) ali pozitivno, (na primer, če A \u003d -2 in C \u003d 6, nato) , to ni nič, ker pod pogojem C ≠ 0. Ločeno analiziramo primere in.

Če enačba nima korenin. Ta izjava izhaja iz dejstva, da je kvadrat katerega koli števila številka ne-negativna. Iz tega izhaja, da ko, za katero koli številko P, enakost ne more biti pravilna.

Če, potem je koren enačbe drugačen. V tem primeru, če se spomnite, koren enačbe takoj postane nemudoma postane številka, odkar. To je enostavno uganiti, da je številka tudi koren enačbe, res ,. Ta enačba nima drugih korenin, ki se lahko prikaže, na primer z metodo iz nasprotnega. Naredimo to.

Označi samo edine izražene korenine enačbe kot x 1 in -X 1. Recimo, da ima enačba druga root x 2, drugačen od označenih korenin x 1 in -X 1. Znano je, da nadomestitev enačbe namesto x njene korenine črpa enačbo na pravo numerično enakost. Za X 1 in -X 1 imamo in za X2 imamo. Lastnosti numeričnih enakosti lahko dovolite, da izvedejo odštevanje tal zvestih numeričnih enakomernih, zato odštevanje ustreznih delov enakosti in daje x 1 2-x 22 \u003d 0. Lastnosti dejanj s številkami omogočajo, da ponovno napišete pridobljeno enakost kot (x 1-x 2) · (x 1 + x 2) \u003d 0. Vemo, da je delo dveh številk nič, če in samo če je vsaj eden od njih nič. Posledično iz dobljene enakosti sledi, da je X 1 -X2 \u003d 0 in / ali X1 + X2 \u003d 0, ki je enak, X2 \u003d X1 in / ali X2 \u003d -X1. Zato smo prišli do protislovja, saj smo na začetku rekli, da je koren enačbe X2 drugačen od x 1 in -X 1. To dokazuje, da enačba nima drugih korenin, razen.

Povzetek informacij tega elementa. Nepopolna kvadratna enačba A · x 2 + c \u003d 0 je enakovredna enačbi, ki

nima korenin, če
ima dve korenini in, če.

Razmislite o primerih raztopine nepopolnih kvadratnih enačb obrazca A · x 2 + C \u003d 0.

Začnimo s kvadratno enačbo 9 · x 2 + 7 \u003d 0. Po prenosu prostega dela na desni del enačbe bo vzel obrazec 9 · x 2 \u003d -7. Podaljšanje obeh delov pridobljene enačbe do 9. \\ t Ker se je negativno število izkazalo v desnem delu, ta enačba nima korenin, zato je začetna nepopolna kvadratna enačba 9 · x 2 + 7 \u003d 0 nima korenin.

Odločil sem se še ena nepopolna kvadratna enačba -x 2 + 9 \u003d 0. Nosimo devet na desno stran: -X 2 \u003d -9. Zdaj delimo oba dela na -1, dobimo x 2 \u003d 9. Pravi del vsebuje pozitivno število, kjer to zaključimo Or. Po pisanju končnega odgovora: nepopolna kvadratna enačba -x 2 + 9 \u003d 0 ima dve korenini x \u003d 3 ali x \u003d -3.

a · x 2 + b · x \u003d 0

Še vedno se ukvarjati z rešitvijo zadnje vrste nepopolnih kvadratnih enačb pri C \u003d 0. Nepopolne kvadratne enačbe obrazca A · x 2 + B · x \u003d 0 vam omogoča, da rešite metoda razgradnje multiplikatorjev. Očitno se lahko nahajamo v levem delu enačbe, za katere je dovolj, da nosi splošni multiplikator X za oklepaje. To vam omogoča, da se premaknete iz začetne nepopolne kvadratne enačbe na enakovredno enačbo obrazec X · (A · x + b) \u003d 0. In ta enačba je enaka celovitvi dveh enačb x \u003d 0 in · x + b \u003d 0, od katerih je zadnji linearni in ima koren X \u003d -b / a.

Torej, nepopolna kvadratna enačba a · x 2 + b · x \u003d 0 ima dve korenini x \u003d 0 in x \u003d -b / a.

Za zagotovitev materiala bomo analizirali rešitev poseben primer.

Primer.

Odloča o enačbi.

Sklep.

Izvajamo X za oklepaje, daje enačbo. Enakovredno dvema enačbama x \u003d 0 in. Rešujemo nastalo linearno enačbo:, in z izvajanjem delitve mešane številke običajna frakcijaNajti. Zato so korenine začetne enačbe X \u003d 0 in.

Po prejemu potrebne prakse se lahko na kratko zabeležijo rešitve takih enačb:

Odgovor:

x \u003d 0 ,.

Diskriminantno, korenine formule kvadratne enačbe

Za reševanje kvadratnih enačb, obstajajo formule korenine. Pišemo formula korenin kvadratne enačbe:, kje D \u003d B 2 -4 · C - tako imenovana diskriminalna kvadratna enačba. Zapis v bistvu pomeni.

Koristno je vedeti, kako je bila pridobljena formula korenin, in kako se uporablja, ko najdemo korenine kvadratnih enačb. Povej mi.

Izhod korenin kvadratne enačbe

Naj rešujemo kvadratno enačbo A · x 2 + b · x + c \u003d 0. Izvedite nekatere enakovredne transformacije:

Oba dela te enačbe lahko razdelimo številko, ki se razlikuje od nič, kot rezultat dobimo zmanjšano kvadratno enačbo.
Zdaj. highlight. celoten kvadrat V njegovem levem delu :. Po tem bo enačba vzela obliko.
Na tej stopnji lahko zadnji dve komponente prenesete na desno stran z nasprotnim znakom, imamo.
Še vedno pa preoblikovamo izraz, ki se je izkazalo, da je v desnem delu :.

Posledično smo prispeli na enačbo, ki je enakovredna prvotni kvadratni enačbi A · x 2 + B · x + c \u003d 0.

Podobno smo že rešili v obliki enačbe, ko so razstavljene. To omogoča naslednje sklepe, ki se nanašajo na korenine enačbe:

Če enačba nima veljavnih rešitev;
Če ima enačba obliko, zato, kjer je viden njegov edini koren;
Če, potem ali da je enaka ali, to je enačba ima dve korenine.

Tako je prisotnost ali odsotnost korenin enačbe, kar pomeni, da je začetna kvadratna enačba odvisna od znaka izraza, ki stoji na desni strani. Po drugi strani pa se znak tega izraza določa s številom števila števca, saj je imenovalec 4 · A 2 vedno pozitiven, to je znak izraza B 2 -4 · A · c. Ta izraz B 2 -4 · C, ki se imenuje diskriminalna kvadratna enačba in identificirala pismo D.. Od tu je bistvo diskriminanta jasno - glede na njegovo vrednost in znak se zaključi, ali ima kvadratna enačba veljavno korenino, in če je, kaj je njihovo število - eno ali dve.

Vrnemo se na enačbo, ga ponovno napišemo z uporabo diskriminacijske označbe :. In sklepamo:

Če D.<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
Če je D \u003d 0, ima ta enačba edina koren;
končno, če D\u003e 0 ima enačba dve korenini ali, ki jih je mogoče ponovno napisati v obliki ali po razkritju in prinesite frakcije skupnemu imenovalcu.

Torej smo izpeljali s formulo korenin kvadratne enačbe, imajo obliko, kjer se diskriminacijski D izračuna s formulo D \u003d B 2 -4 · · c.

S svojo pomočjo, s pozitivnim diskriminantom, se lahko izračunata tako veljavne korenine kvadratne enačbe. Z enako ničelno diskriminantno obe formule dajeta enako koreninsko vrednost, ki ustreza eni rešitvi kvadratne enačbe. Z negativnim diskriminatorjem, ko poskušamo uporabiti formulo korenin kvadratne enačbe, se soočamo z ekstrakcijo kvadratnega korena iz negativnega števila, ki nas prikaže preko okvira in šolskega učnega načrta. Z negativno diskriminantno, kvadratno enačbo nima veljavnih korenin, ampak ima par celovito konjugat. Korenine, ki jih je mogoče najti na istih korenskih formulah, ki smo jih prejeli.

Algoritem za reševanje kvadratnih enačb na korenskih formulah

V praksi pri reševanju kvadratnih enačb lahko takoj uporabite korensko formulo, s katero je mogoče izračunati njihove vrednosti. Vendar se bolj sklicuje na ugotovitev kompleksnih korenin.

Vendar, v šolskem letu, algebra ponavadi ne govorimo o kompleksnem, temveč na veljavnih korenin kvadratne enačbe. V tem primeru je priporočljivo, preden uporabljate formule korenin kvadratne enačbe, da bi našli diskriminantno, se prepričajte, da ni negativna (drugače je mogoče sklepati, da enačba nima veljavnih korenin) in po tem , za izračun vrednosti korenin.

Zgornje razmišljanje vam omogoča, da posnamete algoritem rešitve kvadratne enačbe. Rešiti kvadratno enačbo a · x 2 + b · x + c \u003d 0, je potrebno:

v skladu s formulo diskriminalnega d \u003d B 2 -4 · A · C izračuna njeno vrednost;
ugotovite, da kvadratna enačba nima veljavnih korenin, če je diskriminanta negativna;
izračunajte edini koren enačbe s formulo, če je D \u003d 0;
poiščite dve veljavni korenini kvadratne enačbe na korenski formuli, če je diskriminanta pozitivna.

Tukaj upoštevate samo, da lahko z enako ničelno diskriminacijo uporabite formulo, da bo dala enak pomen kot.

Nadaljujete lahko na primere algoritma za reševanje kvadratnih enačb.

Primeri rešitev kvadratnih enačb

Razmislite o raztopinah treh kvadratnih enačb s pozitivno, negativno in enakomerno z ničelno ničelno. Ob razumevanju njihove rešitve bo mogoče rešiti katero koli drugo kvadratno enačbo po analogiji. Začnimo.

Primer.

Poiščite korenine enačbe x 2 + 2 · x-6 \u003d 0.

Sklep.

V tem primeru imamo naslednje koeficiente kvadratne enačbe: A \u003d 1, B \u003d 2 in C \u003d -6. Po navedbah algoritma morate najprej izračunati diskriminantno, da bi to nadomestili to A, B in C v diskriminacijski formuli, imamo D \u003d B 2 -4 · A · C \u003d 22-4 · 1 · (-6) \u003d 4 + 24 \u003d 28. Od 28\u003e 0, to je, da je diskrimentart večja od nič, kvadratna enačba ima dve veljavni korenine. Ugotavljamo jih s formulo korenin, smo dobili, tukaj lahko poenostavite izraze, pridobljene z izvajanjem multiplikator za korenski znak Z naknadnim rezanjem frakcije:

Odgovor:

Pojdite na naslednji značilni primer.

Primer.

Odločite se na kvadratni enačbi -4 · x 2 + 28 · x-49 \u003d 0.

Sklep.

Začnemo z iskanjem diskriminant: D \u003d 28 2 -4 · (-4) · (-49) \u003d 784-784 \u003d 0. Posledično je ta kvadratna enačba edini koren, ki ga najdemo, kot je, to je,

Odgovor:

x \u003d 3.5.

Še vedno je razmisliti o rešitvi kvadratnih enačb z negativnim diskriminantom.

Primer.

Odločite se enačbo 5 · Y 2 + 6 · Y + 2 \u003d 0.

Sklep.

Takšni koeficienti kvadratne enačbe: A \u003d 5, B \u003d 6 in C \u003d 2. Te vrednosti nadomeščamo v diskriminacijski formuli, imamo D \u003d B 2 -4 · A · C \u003d 62-4 · 5 · 2 \u003d 36-40 \u003d -4. Diskrimernost je negativna, zato ta kvadratna enačba nima veljavnih korenin.

Če morate določiti kompleksne korenine, uporabljamo dobro znano formulo korenin kvadratne enačbe in izvedemo dejanja s kompleksnimi številkami:

Odgovor:

ni veljavnih korenin, kompleksne korenine so naslednje :.

Še enkrat, ugotovimo, da če je diskriminanta negativna, potem šola običajno nemudoma beleži odgovor, kar kaže, da ni veljavnih korenin, in ni kompleksnih korenin.

Formula korenin za celo drugi koeficienti

Korenska formula kvadratne enačbe, kjer D \u003d B 2-4 · A · C omogoča pridobitev formule bolj kompaktne oblike, ki vam omogoča reševanje kvadratnih enačb s celo koeficientom pri X (ali preprosto s faktorjem, ki ima a Obrazec 2 · N, na primer, ali 14 · ln5 \u003d 2 · 7 · ln5). Daj.

Recimo, da moramo rešiti kvadratno enačbo obrazca A · x 2 + 2 · n · x + c \u003d 0. Poiščite njegove korenine z uporabo formule, ki nam jo je znano. To naredite, izračunajte diskriminantno D \u003d (2 · N) 2 -4 · A · C \u003d 4 · N 2-4 · C \u003d 4 · (n2 -a · c)in nato uporabite korensko formulo:

Označuje izraz n 2 -a · c kot D 1 (včasih D "). Potem bo jedra formula kvadratne enačbe, ki se obravnava z drugim koeficientom 2 · n , kjer je D 1 \u003d n2 -a · c.

To je enostavno videti, da je D \u003d 4 · D 1, ali D1 \u003d D / 4. Z drugimi besedami, D 1 je četrti del diskriminant. Jasno je, da je znak D 1 enak znak D. To pomeni, znak D 1 je tudi kazalnik prisotnosti ali odsotnosti korenin kvadratne enačbe.

Torej, da bi rešili kvadratno enačbo z drugim koeficientom 2 · N, je to potrebno

Izračunajte D 1 \u003d N 2 -A · C;
Če D 1.<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
Če D 1 \u003d 0, nato izračunajte edini koren enačbe s formulo;
Če D 1\u003e 0 najdete dve veljavni korenini po formuli.

Razmislite o rešitvi zgledu z uporabo korenske formule, dobljene v tem odstavku.

Primer.

Odločite se na kvadratni enačbi 5 · x 2 -6 · x-32 \u003d 0.

Sklep.

Drugi koeficient te enačbe je lahko predstavljen kot 2 · (-3). To pomeni, da lahko ponovno napišete izvirno kvadratno enačbo v obliki 5 · x 2 + 2 · (-3) · X-32 \u003d 0, tukaj A \u003d 5, N \u003d -3 in C \u003d -32 in izračunajte četrto del diskriminanta: D 1 \u003d N 2 -A · C \u003d (- 3) 2 -5 · (-32) \u003d 9 + 160 \u003d 169. Ker je njegova vrednost pozitivna, ima enačba dve veljavni korenini. Poiščite jih z ustrezno korensko formulo:

Upoštevajte, da je bilo mogoče uporabiti običajno formulo korenin kvadratne enačbe, vendar v tem primeru bi morali izvesti večji obseg računalniškega delovanja.

Odgovor:

Poenostavitev vrste kvadratnih enačb

Včasih, pred odhodom na izračun korenin kvadratne enačbe po formulah, ne bo preprečilo vprašanje: "Ali je mogoče poenostaviti videz te enačbe"? Strinjam se, da je v smislu izračunov lažje rešiti kvadratno enačbo 11 · x 2 -4 · x-6 \u003d 0 od 1100 · x 2 -400 · x-600 \u003d 0.

Običajno poenostavitev vrste kvadratne enačbe se doseže z množenjem ali delitvijo obeh delov s številko. Na primer, v prejšnjem odstavku, je bilo mogoče poenostaviti enačbo 1100 · x 2-400 · X-600 \u003d 0, ločevanje obeh delov za 100.

Takšna transformacija se izvaja s kvadratnimi enačbami, katerih koeficienti niso. Hkrati sta oba dela enačbe o absolutnih vrednostih svojih koeficientov običajno razdeljena. Na primer, vzemite kvadratno enačbo 12 · x 2 -42 · x + 48 \u003d 0. Absolutne vrednosti koeficientov: vozlišče (12, 42, 48) \u003d vozlišče (vozlišče (12, 42), 48) \u003d vozlišče (6, 48) \u003d 6. Z razdelitvijo obeh delih izvirnega kvadratnega enačba do 6, bomo prišli na enakovredno kvadratno enačbo 2 · x 2 -7 · x + 8 \u003d 0.

Razmnoževanje obeh delov kvadratne enačbe je običajno narejeno, da se znebijo frakcijskih koeficientov. V tem primeru se množenje izvede na imenovalcih svojih koeficientov. Na primer, če sta oba dela kvadratne enačbe pomnožena z NOC (6, 3, 1) \u003d 6, potem bo poenostavljena oblika x 2 + 4 · X-18 \u003d 0.

V zaključku tega odstavka ugotavljamo, da se skoraj vedno znebite minus z višjim koeficientom kvadratne enačbe, ki spreminja znake vseh članov, ki ustrezajo množenju (ali delitvi) obeh delov na -1. Na primer, običajno iz kvadratne enačbe -2 · x 2 -3 · x + 7 \u003d 0, gredo na raztopino 2 · x 2 + 3 · x-7 \u003d 0.

Komunikacija med koreninami in koeficienti kvadratne enačbe

Formula korenin kvadratne enačbe izraža korenine enačbe s svojimi koeficienti. Odstranjevanje iz korenske formule, lahko dobite druge odvisnosti med koreninami in koeficienti.

Najbolj znane in uporabne formule iz Vieta View Therem in so najbolj dobro. Zlasti za zmanjšano kvadratno enačbo je količina korenin enaka drugemu koeficientu z nasprotnim znakom, proizvod korenin pa je prost član. Na primer, glede na vrsto kvadratne enačbe 3 · x 2 -7 · x + 22 \u003d 0, je možno takoj reči, da je vsota njegovih korenin 7/3, izdelek korenin pa 22 / 3.

Uporaba že posnetih formul, je mogoče dobiti več drugih povezav med koreninami in koeficienti kvadratne enačbe. Na primer, lahko izrazite vsoto kvadratov korenin kvadratne enačbe s svojimi koeficienti :.

Bibliografija.

ALGEBRA: študije. Za 8 Cl. Splošna izobrazba. Institucije / [yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorov]; Ed. S. A. Telikovsky. - 16. Ed. M.: Razsvetljenje, 2008. - 271 str. : IL. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Morkkovič A. G. Algebra. 8. razred. V 2 TSP. 1. Vadnica za študente splošnih izobraževalnih ustanov / A. Morkovicha. - 11. Ed., CED. M.: Mnemozina, 2009. - 215 P.: IL. ISBN 978-5-346-01155-2.

Preprosto. Po formulah in jasno preprostih pravilih. Na prvi fazi

potrebno je, da se določena enačba vodi do standardnega obrazca, t.j. Mind:

Če je enačba v tem obrazcu - prva faza ni potrebna. Najpomembnejša stvar je prav

določite vse koeficiente zvezek, b. in c..

Formulo za iskanje korenin kvadratne enačbe.

Izraz pod znakom korena se imenuje diskriminart. . Kot lahko vidite, za iskanje iqua, mi

z uporabo samo a, b in z. Ti. Koeficienti kvadratna enačba. Samo lepo substituiran

vrednote a, b in z V tej formuli in menimo. Nadomestite tako poredna Znaki!

na primer, v enačbi:

zvezek =1; b. = 3; c. = -4.

Nameravamo vrednote in pisanje:

Primer je praktično rešen:

To je odgovor.

Najpogostejše napake - zmedenost z znaki vrednot a, B.in Od. Namesto, z zamenjavo

negativne vrednosti v formuli za izračun korena. Tukaj je depo na podroben vnos formule

s posebnimi številkami. Če obstajajo težave z računalništvom, to storite!

Recimo, da je potrebno rešiti ta primer:

Tukaj a. = -6; b. = -5; c. = -1

Vse podrobno opisujemo, previdno, ne zamudim ničesar z vsemi znaki in oklepaji:

Pogosto se kvadratne enačbe nekoliko razlikujejo. Na primer, tako:

In zdaj upoštevajte praktične tehnike, ki dramatično zmanjšajo število napak.

Najprej recepcija. Ne bodite leni z reševanjem kvadratne enačbe prinesite na standardni obrazec.

Kaj to pomeni?

Recimo, da ste po vseh transformacijah prejeli takšno enačbo:

Ne hitite, da napišete korensko formulo! Skoraj verjetno zmedete koeficiente a, B in S.

Izgradite primer pravilno. Prvič, X je na trgu, nato brez kvadrata, potem prosti kurac. Všečkaj to:

Znebite se minus. Kako? Potrebno je pomnožiti celotno enačbo na -1. Dobimo:

Zdaj pa lahko varno beležite formulo za korenine, upoštevajte diskriminantni in primer.

Dore. Morate imeti korenine 2 in -1.

Sprejem dva. Preverite korenine! Z vieta Teorem..

Rešiti navedene kvadratne enačbe, tj. Če koeficient.

x 2 + BX + C \u003d 0,

potem x 1 x 2 \u003d C

x 1 + x 2 \u003d -b.

Za popolno kvadratno enačbo, v kateri a ≠ 1.:

x 2 +.b.x +.c.=0,

razdelimo vse enačbe ampak:

→ →

kje x 1. in x. 2 - Enačba korenin.

Tretje. Če so v vaši enačbi delno koeficienti, - se znebite frakcij! Doming.

enačba na skupnem imenovalo.

Izhod. Praktični nasvet:

1. Pred reševanjem dajemo kvadratno enačbo v standardni obliki, ga zgradite prav.

2. Če negativni koeficient stoji na trgu na trgu na trgu, ga odpravi z množenjem

enačbe na -1.

3. Če frakcijski koeficienti odpravijo frakcijo z množenjem celotne enačbe na ustrezno

faktor.

4. Če je X v kvadratu - čist, je koeficient enak eni, raztopino lahko enostavno preveri

Kvadratne enačbe se preučujejo v 8. razredu, zato tukaj ni nič težko. Sposobnost, da jih rešimo, je nujno potrebna.

Kvadrata enačba je enačba obrazca AX 2 + BX + C \u003d 0, kjer so koeficienti A, B in C poljubni številki, in ≠ 0.

Pred preučevanjem posebnih metod odločanja ugotavljamo, da lahko vse kvadratne enačbe razdelimo na tri razrede:

Nimajo korenin;
Imate točno eno koren;
Imajo dve različni korenini.

To je pomembna razlika med kvadratnimi enačbami iz linearnega, kjer je koren vedno obstaja in je edinstven. Kako ugotoviti, koliko korenin ima enačbo? Za to je čudovita stvar - diskriminart..

Diskriminart.

Naj kvadratni Equion AX 2 + BX + C \u003d 0. Potem je diskrifinanca le številka D \u003d B 2 - 4AC.

To formulo mora biti znano po srcu. Kjer vzame - zdaj ni pomembno. Drugo je pomembno: diskriminacijski znak je mogoče določiti, koliko korenin ima kvadratno enačbo. Namreč:

Če D.< 0, корней нет;
Če je D \u003d 0, je točno eno koren;
Če D\u003e 0, bodo dve korenini.

Prosimo, upoštevajte: diskrifinanca kaže na število korenin in sploh ne na njihovih znakih, kot iz nekega razloga, mnogi menijo. Oglejte si primere - in razumeli boste vse:

Nalogo. Koliko korenin so kvadratne enačbe:

x 2 - 8x + 12 \u003d 0;

5x 2 + 3x + 7 \u003d 0;

x 2 - 6x + 9 \u003d 0.

Odbilimo koeficiente za prvo enačbo in našli diskriminantno:
a \u003d 1, B \u003d -8, C \u003d 12;
D \u003d (-8) 2 - 4 · 1 · 12 \u003d 64 - 48 \u003d 16

Tako je diskriminanta pozitivna, zato ima enačba dve različni korenini. Podobno razstaviti drugo enačbo:
a \u003d 5; B \u003d 3; C \u003d 7;
D \u003d 3 2 - 4 · 5 · 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Diskriventa je negativna, brez korenin. Zadnja enačba ostaja:
a \u003d 1; B \u003d -6; C \u003d 9;
D \u003d (-6) 2 - 4 · 1 · 9 \u003d 36 - 36 \u003d 0.

Diskriventa je nič - koren bo eden.

Upoštevajte, da so za vsako enačbo koeficienti izpraznjeni. Da, to je dolgo, da, to je dolgočasno - vendar ne boste zamenjali koeficientov in ne dovolite neumnih napak. Izberite sebe: hitrost ali kakovost.

Mimogrede, če «napolnite roko", potem, dokler ne potrebujete več, da napišete vse koeficiente. Takšne operacije, ki jih boste izvajali v glavi. Večina ljudi začne to storiti nekje po 50-70 rešenih enačbah - na splošno, ne toliko.

Korenine kvadratne enačbe

Pravzaprav se pravzaprav obrnemo na odločitev. Če je diskriminalna d\u003e 0, lahko korenine najdemo s formulami:

Osnovna formula korenin kvadratne enačbe

Ko D \u003d 0 lahko uporabite katero koli od teh formul - to bo enaka številka, ki bo odgovor. Končno, če d< 0, корней нет — ничего считать не надо.

x 2 - 2x - 3 \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 12x + 36 \u003d 0.

Prva enačba:
x 2 - 2x - 3 \u003d 0 ⇒ A \u003d 1; B \u003d -2; C \u003d -3;
D \u003d (-2) 2 - 4 · 1 · (-3) \u003d 16.

D\u003e 0 ⇒ Enačba ima dve korenini. Najdi jih:

Druga enačba:
15 - 2x - x 2 \u003d 0 ⇒ a \u003d -1; B \u003d -2; C \u003d 15;
D \u003d (-2) 2 - 4 · (-1) · 15 \u003d 64.

D\u003e 0 ⇒ Equion je spet dve korenini. Najdemo jih

[Začetek (poravnava) in ((x) _ (1)) \u003d frac (2+ sqrt (64)) (2 cdot levo (-1 desno)) \u003d - 5; & ((x) _ (2)) \u003d frac (2- sqrt (64)) (2 cdot levo (-1 desno)) \u003d 3. End (poravnava) \\ t

Končno, tretja enačba:
x 2 + 12x + 36 \u003d 0 ⇒ a \u003d 1; B \u003d 12; C \u003d 36;
D \u003d 12 2 - 4 · 1 · 36 \u003d 0.

D \u003d 0 ⇒ Enačba ima eno koren. Uporabite lahko katero koli formulo. Na primer, prvi:

Kot je razvidno iz primerov, je vse zelo preprosto. Če poznate formulo in boste lahko razmislili, ne bodo težav. Najpogosteje se pojavijo napake pri zamenjavi v formuli negativnih koeficientov. Tukaj, spet, je opisana recepcija pomagala: pogledati na formulo dobesedno, barve vsak korak - in zelo kmalu se znebiti napak.

Nepopolne kvadratne enačbe

To se zgodi, da je kvadratna enačba nekoliko drugačna od tistega, kar je podano v opredelitvi. Na primer:

x 2 + 9x \u003d 0;
x 2 - 16 \u003d 0.

Enostavno je videti, da v teh enačbah ni nobenega izmed pogojev. Takšne kvadratne enačbe so še lažje kot standard: niti ne smejo razmisliti o diskriminantnih. Torej, uvajamo nov koncept:

AX 2 + BX + C \u003d 0 Enačba se imenuje nepopolna kvadratna enačba, če je B \u003d 0 ali C \u003d 0, t.j. Koeficient s spremenljivko X ali prostim elementom je nič.

Seveda je možen popolnoma težak primer, ko sta oba koeficienta nič: B \u003d C \u003d 0. V tem primeru enačba prevzame obrazec AX 2 \u003d 0. Očitno je, da ima taka enačba en sam koren: X \u003d 0 .

Preostale primere. Naj bo B \u003d 0 0, nato dobimo nepopolno kvadratno enačbo obrazca AX 2 + C \u003d 0. Pretvorimo ga malo:

Od aritmetika kvadratni koren Obstaja samo ne-negativno število, slednja enakost je smiselna izključno na (-C / A) ≥ 0. Zaključek:

Če je v nepopolnem kvadratnem enačbi obrazca AX 2 + C \u003d 0, se neenakost (-C / A) izvede ≥ 0, da bodo dve korenini. Formula je navedena zgoraj;
Če (-C / A)< 0, корней нет.

Kot lahko vidite, diskriminalna ni potrebna - na nepopolnih kvadratnih enačbah ni kompleksni izračuni. Pravzaprav ni treba zapomniti neenakosti (-C / a) ≥ 0. je dovolj, da se izrazi vrednost x 2 in si oglejte, kaj stoji na drugi strani znaka za enakost. Če je pozitivno število - korenine bodo dve. Če negativni - korenine ne bodo sploh.

Zdaj bomo razumeli z enačbami obrazca AX 2 + BX \u003d 0, v kateri je prosti element nič. Tukaj je vse preprosto: Korenine bodo vedno dva. Dovolj je razgraditi polinom na multiplikatorje:

Multiplikator za nosilec

Delo je nič, kadar je vsaj eden od množiteljev nič. Od tu so korenine. Na koncu bomo analizirali več takšnih enačb:

Nalogo. Enačbe kvadratnih kvadrov:

x 2 - 7x \u003d 0;

5x 2 + 30 \u003d 0;

4x 2 - 9 \u003d 0.

x 2 - 7x \u003d 0 ⇒ X · (X - 7) \u003d 0 ⇒ X 1 \u003d 0; X 2 \u003d - (- 7) / 1 \u003d 7.

5x 2 + 30 \u003d 0 ⇒ 5x 2 \u003d -30 ⇒ x 2 \u003d -6. Brez korenin, ker Kvadrat ne more biti enak negativnemu številu.

4x 2 - 9 \u003d 0 ⇒ 4x 2 \u003d 9 ⇒ x 2 \u003d 9/4 ⇒ x 1 \u003d 3/2 \u003d 1,5; x 2 \u003d -1.5.

V nadaljevanju teme "Odločba enačb" vas bo gradivo tega članka predstavilo kvadratne enačbe.

Razmislite o vsem, kar je podrobno: bistvo in evidenca kvadratne enačbe, nastavite spremne izraze, analizirali bomo shemo za rešitev nepopolnih in popolnih enačb, se seznanijo s formulo korenin in diskriminant, vzpostaviti povezave med koreninami in koeficienti, In seveda dajemo vizualno rešitev praktičnih primerov.

Yandex.rtb r-a-339285-1

Kvadratno enačbo, njene vrste

Opredelitev 1.

Kvadratna enačba - To je enačba, zabeležena kot a · x 2 + b · x + c \u003d 0kje X. - spremenljiva, A, B in C. - nekaj številk, medtem ko a.ni nič.

Pogosto imajo kvadratne enačbe tudi ime enačbe druge stopnje, saj je dejansko kvadratna enačba algebraična enačba Druga stopnja.

Naredimo primer za ponazoritev določene opredelitve: 9 · x 2 + 16 · x + 2 \u003d 0; 7, 5 x 2 + 3, 1 · x + 0, 11 \u003d 0 itd. - To so kvadratne enačbe.

Opredelitev 2.

Številke A, B in C. - To so koeficienti kvadratne enačbe a · x 2 + b · x + c \u003d 0s koeficientom A. Imenuje se prvi ali starejši ali koeficient pri X 2, B - drugi koeficient ali koeficient, ko X., Ampak C. Klic prostega člana.

Na primer, v kvadratnem enačbi 6 · x 2 - 2 · x - 11 \u003d 0 Višje koeficient je 6, drugi koeficient je − 2 in svobodni član je enak − 11 . Bodite pozorni na dejstvo, da ko koeficienti B.in / ali c so negativni, nato se uporablja kratka oblika snemanja pogleda. 6 · x 2 - 2 · x - 11 \u003d 0, vendar ne 6 · x 2 + (- 2) · x + (- 11) \u003d 0.

To vidik pojasnjujemo tudi: če koeficienti A. in / Or. B. enako 1 ali − 1 , nato izrecno sodelovanje pri evidentiranju kvadratne enačbe, se ne smejo sprejeti, kar je pojasnjeno z značilnostmi evidence teh številčnih koeficientov. Na primer, v kvadratnem enačbi Y 2 - y + 7 \u003d 0 Višje koeficient je 1, drugi koeficient pa je − 1 .

Določene in neporočene kvadratne enačbe

Z vrednostjo prvega koeficienta so kvadratne enačbe razdeljene na zgoraj navedeno in neplačano.

Opredelitev 3.

Zmanjšana kvadratna enačba - To je kvadratna enačba, kjer je starejši koeficient enak 1. Za druge vrednote starejšega koeficienta je kvadratna enačba nejasna.

Podajamo primere: kvadratne enačbe x 2 - 4 · x + 3 \u003d 0, x 2 - x - 4 5 \u003d 0 so prikazane v vsakem od katerih je starejši koeficient 1.

9 · x 2 - x - 2 \u003d 0 - integralno kvadratno enačbo, kjer je prvi koeficient drugačen od 1 .

Vsaka neobičajna kvadratna enačba je možna za pretvorbo v dano enačbo, če je razdeljena iz obeh delov na prvi koeficient (enakovredna transformacija). Preoblikovana enačba bo imela enake korenine kot določeno inteligentno enačbo ali da ne bodo imeli korenin.

Upoštevanje posebnega primera nam bo omogočilo, da bomo jasno pokazali prehod iz integralne kvadratne enačbe na dano.

Primer 1.

Enačba je nastavljena 6 · x 2 + 18 · x - 7 \u003d 0 . Začetno enačbo je treba pretvoriti v zgornji obliki.

Sklep

Shema zgoraj navedenega je ločena z obema deloma začetne enačbe na višje koeficient 6. Potem dobimo: (6 · x 2 + 18 · x - 7): 3 \u003d 0: 3In to je enako kot: (6 · x 2): 3 + (18 · x): 3 - 7: 3 \u003d 0 In nadalje: (6: 6) · x 2 + (18: 6) · X - 7: 6 \u003d 0. Od tod: x 2 + 3 · X - 1 1 6 \u003d 0. Zato se šteje, da je enačba določena.

Odgovor: x 2 + 3 · X - 1 1 6 \u003d 0.

Polne in nepopolne kvadratne enačbe

Obrnite se na definicijo kvadratne enačbe. V njej smo to pojasnili A ≠ 0.. Tak pogoj je potreben za enačbo a · x 2 + b · x + c \u003d 0 Bilo je ravno kvadrat, ker A \u003d 0. V bistvu se pretvori v linearno enačbo B · x + c \u003d 0.

V primeru koeficientov B. in C.enaka nič (kar je možno, posamezno in skupaj), se kvadratna enačba imenuje nepopolna.

Opredelitev 4.

Nepopolna kvadratna enačba - Takšna kvadratna enačba a · x 2 + b · x + c \u003d 0,kjer je vsaj eden od koeficientov B.in C.(ali oboje) ni nič.

Celotna kvadratna enačba - kvadratno enačbo, v kateri vsi numerični koeficienti niso nič.

Vadujemo se, zakaj so vrste kvadratnih enačb dajo natančno imena.

Za b \u003d 0 kvadratnih enačb je pogled A · x 2 + 0 · x + c \u003d 0da je ista stvar a · x 2 + c \u003d 0. Za C \u003d 0. Kvadratno enačbo se zabeleži kot a · x 2 + b · x + 0 \u003d 0To je enakovredno a · x 2 + b · x \u003d 0. Za B \u003d 0. in C \u003d 0. Enačba bo pogledala A · x 2 \u003d 0. Enačbe, ki smo jih prejeli, se razlikujejo od celotne kvadratne enačbe, ker njihovi levi deli niso sestavljeni iz komponente X spremenljivke ali prostega člana ali oba takoj. Pravzaprav je bilo to dejstvo zastavljeno ime takšne vrste enačb - nepopolna.

Na primer, x 2 + 3 · x + 4 \u003d 0 in - 7 · x 2 - 2 · x + 1, 3 \u003d 0 so popolne kvadratne enačbe; x 2 \u003d 0, - 5 · x 2 \u003d 0; 11 · x 2 + 2 \u003d 0, - x 2 - 6 · x \u003d 0 - nepopolna kvadratna enačba.

Odločitev nepopolnih kvadratnih enačb

Zgornja definicija omogoča razlikovanje naslednjih vrst nepopolnih kvadratnih enačb:

A · x 2 \u003d 0Ta enačba ustreza koeficientom B \u003d 0. in c \u003d 0;
a · x 2 + c \u003d 0 za b \u003d 0;
a · x 2 + B · x \u003d 0 na C \u003d 0.

Razmislite o odločitvi o vsaki vrsti nepopolne kvadratne enačbe.

Rešitev enačbe A · x 2 \u003d 0

Kot je navedeno zgoraj, enačba ustreza koeficientom B. in C.enaka nič. Enačba A · x 2 \u003d 0 Enačbo je mogoče pretvoriti na enakovredno x 2 \u003d 0ki jih dobimo, delimo oba dela izvornega enačbe za številko A.ni enaka nič. Očitno dejstvo, da je koren enačbe x 2 \u003d 0 To je nič, ker 0 2 = 0 . Druge korenine, ta enačba nima, kar je pojasnjeno z lastnostmi stopnje: za katero koli številko P,ni enaka nič, zvest neenakost P 2\u003e 0kaj sledi, ko P ≠ 0. enakost P 2 \u003d 0nikoli ne bo dosežen.

Opredelitev 5.

Tako je za nepopolno kvadratno enačbo a · x 2 \u003d 0 obstaja edina koren X \u003d 0..

Primer 2.

Na primer, rešimo nepopolno kvadratno enačbo - 3 x 2 \u003d 0. Enaka enačbi x 2 \u003d 0, njegov edini koren je X \u003d 0., Potem je začetna enačba edina korenina - nič.

Na kratko se odločitev sestavlja tako:

- 3 · x 2 \u003d 0, X2 \u003d 0, X \u003d 0.

Rešitev enačbe A · x 2 + c \u003d 0

Na čakalni vrsti - rešitev nepopolnih kvadratnih enačb, kjer je B \u003d 0, C ≠ 0, to je enačba obrazca a · x 2 + c \u003d 0. To enačbo pretvorimo izveden izraz iz enega dela enačbe na drugo, spreminjanje znaka na nasprotno in razdelil oba dela enačbe na številko, ki ni enaka nič:

prenos C. v desnem delu, ki daje enačbo A · x 2 \u003d - c;
oba dela enačbe delimo A., Dobim na koncu x \u003d - c a.

Naše transformacije so enakovredne, zato je nastala enačba enakovredna tudi viru, to dejstvo pa omogoča sklenitev korenin enačbe. Od tega, kar je pomen A. in C.vrednost izraza je odvisna - C A: Morda ima znak minus (recimo, če A \u003d 1. in C \u003d 2., potem - C A \u003d - 2 1 \u003d - 2) ali znak plus (na primer, če A \u003d - 2 in C \u003d 6., potem - C A \u003d - 6 - 2 \u003d 3); To ni nič, ker C ≠ 0.. Podrobneje se zavedamo v situacijah, ko - C A< 0 и - c a > 0 .

V primeru, ko - C A< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа Str. Enakost P 2 \u003d - C A ne more biti res.

V nasprotnem primeru, ko - C A\u003e 0: Spomnimo kvadratni koren, in to bo očitno, da bo enačba x 2 \u003d - C a številka - C A, od - C A 2 \u003d - C a. Ni težko razumeti, da je številka - C A je tudi koren enačbe X 2 \u003d - C A: res, - - C A 2 \u003d - C a.

Druge korenine enačbe ne bodo imele. Mi lahko dokažemo z uporabo grde metode. Za začetek nastavite oznake, ki jih najdete nad koreninami kot X 1. in - x 1.. Predlagam, da enačba x 2 \u003d - C A je tudi koren X 2.ki se razlikuje od korenin X 1. in - x 1.. To vemo, da namesto tega zamenjamo v enačbo X. Njegove korenine, pretvorimo enačbo v pošteno numerično enakost.

Za X 1. in - x 1. Pišemo: x 1 2 \u003d - C A, in za X 2. - x 2 2 \u003d - C a. Zanašanje na lastnosti numeričnih enakosti, polni eno pravo enakost od drugega, ki nam bo dala: x 1 2 - x 2 2 \u003d 0. Uporabite lastnosti dejanj s številkami, da ponovno napišete najnovejšo enakost kot (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) \u003d 0. Znano je, da je delo dveh številk nič in samo, če je vsaj ena od številk nič. Iz tega sledi, da x 1 - x 2 \u003d 0 in / Or. x 1 + x 2 \u003d 0da je ista stvar x 2 \u003d x 1 in / Or. x 2 \u003d - x 1. Bilo je očitno protislovje, ker je bilo sprva dogovorjeno, da je koren enačbe X 2. se razlikuje od X 1. in - x 1.. Torej, dokazali smo, da enačba nima drugih korenin, razen X \u003d - C A in X \u003d - - C a.

Povzemamo vse zgoraj navedene utemeljitve.

Opredelitev 6.

Nepopolna kvadratna enačba a · x 2 + c \u003d 0 enakovredna enačbi x 2 \u003d - C A, ki:

ne bo imel korenin, ko - C A< 0 ;
obstajajo dve korenini X \u003d - C A in X \u003d - - C A z - C A\u003e 0.

Naredimo primere reševanja enačb a · x 2 + c \u003d 0.

Primer 3.

Podana je kvadratna enačba 9 · x 2 + 7 \u003d 0.Potrebno je najti njegovo odločitev.

Sklep

Prenesemo prosti članico na desni del enačbe, potem bo enačba vzela obliko 9 · x 2 \u003d - 7.
Oba dela pridobljene enačbe delimo 9 , Pridite na x 2 \u003d - 7 9. V desnem delu vidimo številko z minus znak, kar pomeni: določena enačba nima korenin. Potem izvirna nepopolna kvadratna enačba 9 · x 2 + 7 \u003d 0 Ne bo imel korenin.

Odgovor: enačba 9 · x 2 + 7 \u003d 0nima korenin.

Primer 4.

Treba je rešiti enačbo - x 2 + 36 \u003d 0.

Sklep

Premikamo se 36 na desno stran: - x 2 \u003d - 36.
Razdelili smo oba dela − 1 , Get. X 2 \u003d 36. V desnem delu - pozitivno število, od tu lahko zaključimo x \u003d 36 ali X \u003d - 36.
Odstranite koren in zapišite končni rezultat: nepopolna kvadratna enačba - x 2 + 36 \u003d 0 Ima dve korenini X \u003d 6. ali X \u003d - 6.

Odgovor: X \u003d 6. ali X \u003d - 6.

Rešitev enačbe A · x 2 + B · x \u003d 0

Preučili bomo tretjo vrsto nepopolnih kvadratnih enačb, ko bomo C \u003d 0.. Da bi našli odločitev nepopolne kvadratne enačbe a · x 2 + b · x \u003d 0, Uporabljamo metodo razgradnje na multiplikatorjih. Širjenje na multiplikatorjih polinoma, ki je v levem delu enačbe, s tem, da je splošni multiplikator za oklepaje X.. Ta korak bo priložnost za pretvorbo prvotne nepopolno kvadratno enačbo na ekvivalent x · (a · x + b) \u003d 0. In to enačbo, nato pa ustreza celovitosti enačb X \u003d 0. in A · x + b \u003d 0. Enačba A · x + b \u003d 0 Linearna in njegova koren: x \u003d - b a.

Opredelitev 7.

Tako je nepopolna kvadratna enačba a · x 2 + b · x \u003d 0 bo imel dve korenini X \u003d 0. in x \u003d - b a.

Material pritrdite z zgledom.

Primer 5.

Potrebno je najti rešitev enačbe 2 3 x 2 - 2 2 7 · x \u003d 0.

Sklep

Vodimo X. Za oklepaje in pridobite enačbo x · 2 3 · x - 2 2 7 \u003d 0. Ta enačba je enaka enačbam X \u003d 0. in 2 3 · x - 2 2 7 \u003d 0. Zdaj je potrebno rešiti nastalo linearno enačbo: 2 3 · x \u003d 2 2 7, X \u003d 2 2 7 2 3.

Na kratko reševanje enačbe, da napisati ta način:

2 3 · x 2 - 2 2 7 · x \u003d 0 x · 2 3 · x - 2 2 7 \u003d 0

x \u003d 0 ali 2 3 x - 2 2 7 \u003d 0

x \u003d 0 ali x \u003d 3 3 7

Odgovor: X \u003d 0, X \u003d 3 3 7.

Diskriminantno, korenine formule kvadratne enačbe

Če želite najti rešitev kvadratnih enačb, je formula za korenine:

Opredelitev 8.

x \u003d - B ± D 2 · A Kje D \u003d B 2 - 4 · C - tako imenovano diskriminacijo kvadratne enačbe.

Snemanje X \u003d - B ± D 2 · A v bistvu pomeni, da X1 \u003d - B + D 2 · A, X2 \u003d - B - D 2 · A.

Koristno bo razumeti, kako je bila izpeljana določena formula in kako jo uporabljati.

Izhod korenin kvadratne enačbe

Izzvati nas, da rešimo kvadratno enačbo a · x 2 + b · x + c \u003d 0. Izvedite več enakovrednih transformacij:

razdelili smo oba dela enačbe za številko a.Razen nič, smo dobili zmanjšano kvadratno enačbo: x 2 + b a · x + c a \u003d 0;
poudarimo celoten kvadrat na levi strani prejete enačbe:
x 2 + ba · x + ca \u003d x 2 + 2 · b 2 · x + b2 · a 2 - b2 · a 2 + ca \u003d x + b2 · a 2 - b2 · a 2 + ca .
Po tem bo enačba v obliki: X + B 2 · A 2 - B 2 · A 2 + C A \u003d 0;
zdaj je mogoče prenesti prehod zadnjih dveh izrazov na desno stran, ki spreminja znak na nasprotno, po katerem dobimo: X + B 2 · A 2 \u003d B 2 · A 2 - C A;
končno, spremenimo izraz, ki je zapisan na desni strani zadnje enakosti:
B 2 · A 2 - C A \u003d B 2 4 · A 2 - C A \u003d B 2 4 · A 2 - 4 · A · C4 · A 2 \u003d B 2 - 4 · A · C4 · A 2.

Tako smo prišli na enačbo X + B 2 · A 2 \u003d B 2 - 4 · A · C4 · A 2, enakovredna izvor enačba a · x 2 + b · x + c \u003d 0.

Rešitev takih enačb smo razumeli v prejšnjih odstavkih (odločitev nepopolnih kvadratnih enačb). Pridobljene izkušnje omogočajo zaključek glede korenin enačbe X + B 2 · A 2 \u003d B 2 - 4 · A · C4 · A 2:

pri B 2 - 4 · C4 · A 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
za B 2 - 4 · A · C4 · A 2 \u003d 0, enačba ima obrazec x + b2 · a 2 \u003d 0, nato x + b 2 · a \u003d 0.

Zato je edini koren X \u003d - B 2 · A je očiten;

za B 2 - 4 · A · C4 · A 2\u003e 0, bo pravilno: X + B 2 · A \u003d B 2 - 4 · A · C4 · A 2 ali X \u003d B 2 · A-B 2 - 4 · A · C4 · A 2, ki je enaka kot X + - B2 · A \u003d B 2 - 4 · A · C4 · A 2 ali X \u003d - B 2 · A-B 2 - 4 · A · C4 · 2, i.e. Enačba ima dve korenini.

Možno je ugotoviti, da je prisotnost ali odsotnost korenin enačbe X + B 2 · A 2 \u003d B 2 - 4 · A · C4 · A 2 (in s tem začetno enačbo) je odvisna od znaka izraza B 2 - 4 · A · C4 · A 2, zapisana na desni strani. In znak tega izraza je nastavljen s številom števila števca (imenovalec 4 · A 2 bo vedno pozitivna), to je znak izraza B 2 - 4 · C. Ta izraz B 2 - 4 · C Ime je diskriminanta kvadratnega evakuacije in je opredeljena kot oznaka črke D. Tukaj lahko posnamete bistvo diskriminanta - po njeni vrednosti in znak se zaključi, ali bo kvadratna enačba imela veljavne korenine, in če je, kakšno je število korenin - enega ali dveh.

Vračanje na enačbo X + B 2 · A 2 \u003d B 2 - 4 · A · C4 · A 2. Ponovno napišite z uporabo diskriminantne oznake: X + B 2 · A 2 \u003d D 4 · A 2.

Ponovno bomo oblikovali sklepe:

Opredelitev 9.

za D.< 0 Enačba nima veljavnih korenin;
za D \u003d 0. Enačba ima edini koren X \u003d - B 2 · A;
za D\u003e 0. Enačba ima dve korenini: X \u003d - B 2 · A + D 4 · A 2 ali X \u003d - B 2 · A-D 4 · A 2. Te korenine, ki temeljijo na lastnostih radikalov, je mogoče napisati v obliki: X \u003d - B2 · A + D 2 · A OR-B 2 · A-D 2 · A. In ko bomo razkrili module in dajo frakcije skupnemu imenovalu, dobimo: X \u003d - B + D 2 · A, X \u003d - B - D 2 · A.

Zato je bil rezultat našega razmišljanja odstranitev formule korenin kvadratne enačbe:

x \u003d - B + D 2 · A, X \u003d - B - D 2 · A, diskriminant D. Izračunana s formulo D \u003d B 2 - 4 · C.

Te formule omogočajo, da je diskriminacija večja, da določimo tako veljavne korenine. Ko je diskrifinanca nič, bo uporaba obeh formul dala enako korenino kot edino rešitev kvadratne enačbe. V primeru, ko je diskriminanta negativna, poskušamo uporabiti korensko formulo kvadratne enačbe, se bomo soočili s potrebo po odstranitvi kvadratnega korena iz negativnega števila, ki nas bo vodil preko dejanskih številk. Z negativno diskriminantno, kvadratno enačbo ne bo veljavna korenine, ampak par celovito konjugiranih korenin, določenih z istimi koreninskimi formulami, pridobljenimi z nami, možno.

Algoritem za reševanje kvadratnih enačb na korenskih formulah

Možno je rešiti kvadratno enačbo, takoj kolesariti s formulo korenin, vendar v bistvu, če je potrebno, poiščite kompleksne korenine.

V glavni masi primerov se običajno implicira za iskanje nedeflekske, vendar veljavne korenine kvadratne enačbe. Potem optimalno pred uporabo formul korenin kvadratne enačbe, najprej določite diskriminantno in se prepričajte, da ni negativen (drugače sklepamo, da enačba nima veljavnih korenin), nato pa nadaljuje z izračunom vrednosti korenin.

Zgornji argumenti omogočajo oblikovanje algoritma za reševanje kvadratne enačbe.

Opredelitev 10.

Rešiti kvadratno enačbo a · x 2 + b · x + c \u003d 0, potrebno je:

po formuli D \u003d B 2 - 4 · C najti vrednost diskriminanta;
z D.< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
pri d \u003d 0 poiščite edini koren enačbe v skladu s formulo X \u003d - B 2 · A;
za D\u003e 0 določite dve veljavni korenini kvadratne enačbe v skladu s formulo X \u003d - B ± D 2 · a.

Upoštevajte, da lahko, ko je diskrifinanca nič, lahko uporabite formulo X \u003d - B ± D 2 · A, ki bo dala enak rezultat kot formulo X \u003d - B 2 · A.

Razmislite o primerih.

Primeri rešitev kvadratnih enačb

Rešitev primerov, ko različne vrednosti diskriminantno.

Primer 6.

Potrebno je najti korenine enačbe x 2 + 2 · x - 6 \u003d 0.

Sklep

Pišemo številske koeficiente kvadratne enačbe: a \u003d 1, b \u003d 2 in C \u003d - 6. Nato delujemo na algoritmu, tj. Nadaljevali bomo z izračunom diskriminantnega, za katerega bomo nadomestili koeficiente A, B in C. V formuli diskriminant: D \u003d B 2 - 4 · C \u003d 22-4 · 1 · (- 6) \u003d 4 + 24 \u003d 28.

Torej smo dobili D\u003e 0, kar pomeni, da bo začetna enačba imela dve veljavni korenin.
Da bi jih našli, uporabljamo korensko formulo X \u003d - B ± D 2 · A in, ki nadomešča ustrezne vrednosti, dobimo: X \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Poenostavljamo nastalega izraza, zaradi česar je multiplikator za korenski znak, ki mu sledi rezanje frakcije:

x \u003d - 2 ± 2 · 7 2

x \u003d - 2 + 2 · 7 2 ali X \u003d - 2 - 2,7 2

x \u003d - 1 + 7 ali X \u003d - 1 - 7

Odgovor: X \u003d - 1 + 7, X \u003d - 1 - 7.

Primer 7.

Potrebno je rešiti kvadratno enačbo - 4 · x 2 + 28 · x - 49 \u003d 0.

Sklep

Ugotavljanje diskriminanta: D \u003d 28 2 - 4 · (- 4) · (- 49) \u003d 784 - 784 \u003d 0. S to diskriminantno vrednostjo bo začetna enačba imela samo en koren, ki ga določa formula X \u003d - B 2 · A.

x \u003d - 28 2 · (- 4) x \u003d 3, 5

Odgovor: X \u003d 3, 5.

Primer 8.

Treba je rešiti enačbo 5 · Y 2 + 6 · Y + 2 \u003d 0

Sklep

Številčni koeficienti te enačbe bodo: A \u003d 5, B \u003d 6 in C \u003d 2. Te vrednosti uporabljamo, da bi našli diskriminantno: D \u003d B 2 - 4 · A · C \u003d 62 - 4 · 5 · 2 \u003d 36 - 40 \u003d - 4. Izračunana diskrifinanca je negativna, zato začetna kvadratna enačba nima veljavnih korenin.

V primeru, ko je naloga, da določite kompleksne korenine, uporabite korensko formulo, izvajajo dejanja s kompleksnimi številkami:

x \u003d - 6 ± 42 · 5,

x \u003d - 6 + 2 · I 10 ali X \u003d - 6 - 2 · I 10,

x \u003d - 3 5 + 1 5 · I ali X \u003d - 3 5 - 1 5 · I.

Odgovor: Ni veljavnih korenin; Kompleksne korenine so naslednje: - 3 5 + 1 5 · I, - 3 5 - 1 5 · I.

V Šolski program Standardno ni potrebe po iskanju kompleksnih korenin, zato, če je med rešitvami diskriminanta opredeljena kot negativna, se odgovor nemudoma zabeleži, da ni veljavnih korenin.

Formula korenin za celo drugi koeficienti

Formula korenin X \u003d - B ± D 2 · A (D \u003d B 2 - 4 · A · C) omogoča pridobitev druge formule, bolj kompaktne, kar omogoča iskanje rešitev kvadratnih enačb s celo koeficientom pri X (ali s koeficientom tipa 2, na primer, 2 · 3 ali 14 · ln 5 \u003d 2 · 7 · ln 5). Pokažemo, kako se prikaže ta formula.

Naj bo naloga iskanja rešitve kvadratne enačbe a · x 2 + 2 · n · x + c \u003d 0. Delujemo na algoritem: določi diskriminacijski D \u003d (2 · N) 2 - 4 · A · C \u003d 4 · N 2 - 4 · A · C \u003d 4 · (N 2 - A · C) in nato uporabite Korenska formula:

x \u003d - 2 · N ± D 2 · A, X \u003d - 2 · N ± 4 · N 2 - A · C2 · A, X \u003d - 2 · N ± 2 N 2 - A · C2 · A, X \u003d - n ± n 2 - · ca.

Naj se izraz n 2 - a · · c, ki se prikaže kot D 1 (včasih D "). Potem bo formula korenin kvadratne enačbe, ki se obravnavajo z drugim koeficientom 2 · N, bo v obliki:

x \u003d - N ± D 1 A, kjer je D 1 \u003d N 2 - A · c.

To je enostavno videti, da je D \u003d 4 · D 1, ali D1 \u003d D 4. Z drugimi besedami, D 1 je četrtina diskriminanta. Očitno je, da je znak D 1 enak znak D, kar pomeni znak D 1, lahko služi tudi kot kazalnik prisotnosti ali odsotnosti korenin kvadratne enačbe.

Opredelitev 11.

Torej, da bi našli rešitev kvadratne enačbe z drugim koeficientom 2 · N, je potrebno:

najdi D 1 \u003d N 2 - A · C;
z D 1.< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
za D 1 \u003d 0 določite edini koren enačbe v skladu s formulo X \u003d - N A;
za D 1\u003e 0 določite dve veljavni korenini v skladu s formulo X \u003d - N ± D 1 A.

Primer 9.

Potrebno je rešiti kvadratno enačbo 5 x 2 - 6 · x - 32 \u003d 0.

Sklep

Drugi koeficient določene enačbe je lahko zastopan kot 2 · (- 3). Nato ponovno napišite določeno kvadratno enačbo kot 5 · x 2 + 2 · (- 3) · X - 32 \u003d 0, kjer je \u003d 5, N \u003d - 3 in C \u003d 32.

Izračunamo četrti del diskriminantnega: D 1 \u003d N 2 - A · C \u003d (- 3) 2 - 5 · (- 32) \u003d 9 + 160 \u003d 169. Vrednost je pozitivno, to pomeni, da ima enačba dve veljavni korenini. Opredelimo jih po ustrezni korenski formuli:

x \u003d - N ± D 1 A, X \u003d - - 3 ± 169 5, X \u003d 3 ± 13 5, \\ t

x \u003d 3 + 13 5 ali X \u003d 3 - 13 5

x \u003d 3 1 5 ali X \u003d - 2

Možno bi bilo izračunati in z običajno formulo korenin kvadratne enačbe, vendar v tem primeru bi bila rešitev bolj okorna.

Odgovor: X \u003d 3 1 5 ali X \u003d - 2.

Poenostavitev vrste kvadratnih enačb

Včasih je mogoče optimizirati vrsto enačbe vira, ki bo poenostavila postopek izračuna korenin.

Na primer, kvadratna enačba 12 · x 2 - 4 · x - 7 \u003d 0 je očitno bolj primerna za reševanje od 1200 · x 2 - 400 · x - 700 \u003d 0.

Bolj pogosto poenostavitev vrst kvadratne enačbe se izvaja z množenjem ali delitev obeh delov v nekakšno število. Na primer, pokazali smo poenostavljeno evidenco enačbe 1200 · x 2 - 400 · x - 700 \u003d 0, pridobljeno z delitvijo obeh delov s 100.

Takšna pretvorba je možna, če koeficienti kvadratne enačbe niso medsebojno preprosta številke. Potem običajno delijo oba dela enačbe na največji general Divisor. absolutne vrednosti njegovih koeficientov.

Kot primer uporabite kvadratno enačbo 12 · x 2 - 42 · x + 48 \u003d 0. Opredelimo vozlišče absolutnih vrednosti njegovih koeficientov: vozlišča (12, 42, 48) \u003d vozlišče (vozlišče (12, 42), 48) \u003d vozlišče (6, 48) \u003d 6. Dva dela prvotnega kvadratnega enačba bomo razdelili na 6 in dobimo ekvivalentno kvadratno enačbo 2 · x 2 - 7 · x + 8 \u003d 0.

Razmnoževanje obeh delov kvadratne enačbe se običajno znebimo frakcijskih koeficientov. Hkrati se pomnoži z najmanjšim splošnim imenovalcem njegovih koeficientov. Na primer, če vsak del kvadratne enačbe 1 6,2 x 2 + 2 3 · x - 3 \u003d 0 pomnožimo iz NOC (6, 3, 1) \u003d 6, potem se bo zabeležila v več enostavno vidno x 2 + 4 · x - 18 \u003d 0.

Nazadnje ugotavljamo, da se skoraj vedno znebite minus na prvem koeficientu kvadratne enačbe, ki spreminja znake vsakega člana enačbe, ki se doseže z množenjem (ali delitve) obeh delov 1. Na primer, iz kvadratne enačbe - 2 · x 2 - 3 · x + 7 \u003d 0, lahko greste na njeno poenostavljeno različico 2 · x 2 + 3 · x - 7 \u003d 0.

Komunikacija med koreninami in koeficientom

Formula korenin kvadratnih enačb X \u003d - B ± D 2 · A, ki je že znana, izraža korenine enačbe s svojimi numeričnimi koeficienti. Zanašamo na to formulo, imamo priložnost, da določimo druge odvisnosti med koreninami in koeficienti.

Najbolj znana in uporabna so formule Therema Vieta:

x 1 + x 2 \u003d - b A in x 2 \u003d C a.

Zlasti za zmanjšano kvadratno enačbo je količina korenin drugi koeficient z nasprotnim znakom, izdelek korenin pa je brezplačen. Na primer, glede na vrsto kvadratne enačbe 3 · x 2 - 7 · x + 22 \u003d 0, je mogoče takoj ugotoviti, da je vsota njenih korenin 7 3, in proizvod korenin je 22 3.

Prav tako lahko najdete številne druge povezave med koreninami in koeficienti kvadratne enačbe. Na primer, vsota kvadratov korenin kvadratne enačbe se lahko izrazi skozi koeficiente:

x 1 2 + x 2 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - 2 · x 1 · x 2 \u003d - ba 2 - 2 · CA \u003d B 2 A 2 - 2 · CA \u003d B 2 - 2 · A · CA 2. \\ T

Če opazite napako v besedilu, jo izberite in pritisnite Ctrl + Enter

V sodobni družbi je lahko sposobnost izvajanja ukrepov z enačbami, ki vsebujejo spremenljivko, dvignjeno na trg, lahko koristno na številnih področjih dejavnosti in se pogosto uporablja v praksi na področju znanstvenega in tehničnega razvoja. Dokazi o tem lahko služijo zasnovi morskih in rečnih plovil, zrakoplovov in raket. S takimi izračuni, trajektorije, ki se gibljejo največ drugačna TEL., vključno s vesoljskimi objekti. Primeri z raztopino kvadratnih enačb se uporabljajo ne samo v gospodarskem napovedu, pri oblikovanju in gradnji stavb, ampak tudi v najbolj navadnih vsakodnevnih okoliščinah. Morda bodo potrebni v turističnih kampanjah, v športu, v nakupovalnih trgovinah in v drugih zelo pogostih situacijah.

Zlomimo izraz na komponent multiplikatorjev

Stopnja enačbe je določena največja vrednost Diplomo iz spremenljivke, ki jo vsebuje ta izraz. V primeru, da je 2, potem je taka enačba samo kvadrata.

Če je jezik formul izraža, potem na navedene izraze, ne glede na to, kako izgledajo, lahko vedno povzroči obrazec, ko je levi del izraza sestavljen iz treh pogojev. Med njimi: AX 2 (to je spremenljivka, postavljena na kvadrat s koeficientom), BX (neznana brez kvadrata s koeficientom) in C (prosto komponente, to je normalno število.). Vse to na desni strani je enako 0. V primeru, ko ni nobene njegove komponente izrazov, razen AX 2, se imenuje nepopolna kvadratna enačba. Primeri z reševanjem takih nalog, vrednost spremenljivk, v katerih je enostavno najti, je treba najprej obravnavati.

Če se izraz pojavi v obrazcu, izgleda tako, da sta dva, natančneje, AX 2 in BX, izraz na ekspresijo na ekspresijo na desni strani, najlažje najti spremenljivko za oklepaje. Zdaj bo naša enačba izgledala tako: x (AX + B). Nato postane očitno, da ali x \u003d 0 ali je naloga zmanjšana na iskanje spremenljivke od naslednjega izraza: AX + B \u003d 0. Podana narekuje ena od množenja lastnosti. Pravilo pravi, da je proizvod dveh dejavnikov kot rezultat 0 le, če je eden od njih nič.

Primer

x \u003d 0 ali 8x - 3 \u003d 0

Posledično dobimo dve korenini enačbe: 0 in 0,375.

Tovrstne enačbe lahko opisujejo gibanje organov pod vplivom gravitacije, ki je začela gibanje z določene točke, sprejete na začetku koordinat. Tukaj, matematični zapis zajema naslednjo obliko: Y \u003d V 0 T + GT 2/2. Zamenjava potrebnih vrednosti, izenačevanje desne strani 0 in iskanje možnih neznank, lahko ugotovite čas, ki poteka od trenutka dviga telesa, dokler ni padec, kot tudi mnoge druge vrednosti. Toda o tem bomo govorili kasneje.

Razgradnjo izraza na multiplikatorjih

Zgoraj opisano pravilo vam omogoča reševanje določenih nalog in več kompleksni primeri. Razmislite o primerih z reševanjem kvadratnih enačb tega tipa.

X 2 - 33x + 200 \u003d 0

To square Treechlen. To je končano. Za začetek, pretvorimo izraz in ga razgradimo za multiplikatorje. Pridobili so dva: (X-8) in (X-25) \u003d 0. Kot rezultat imamo dve korenini 8 in 25.

Primeri z reševanjem kvadratnih enačb v razredu 9 omogočajo, da ta metoda najde spremenljivko v izrazih ne le drugi, ampak celo tretje in četrte naročila.

Na primer: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 \u003d 0. Z razgradnjo desnega dela multiplikatorjev s spremenljivko, ki jih dobijo tri, to je (X + 1), (X-3) in ( x + 3).

Posledično postane očitno, da ima ta enačba tri korenine: -3; -one; 3.

Ekstrakt kvadratnega korena

Še en primer nepopolna enačba Drugo naročilo je izraz, v jeziku črk, predstavljenih na tak način, da je desna stran zgrajena iz komponent AX 2 in C. Tu, za vrednost spremenljivke, se prosti član prenese na desna stranIn potem se kvadratni koren ekstrahira iz obeh delov enakosti. Pozornost je treba nameniti kot v ta primer Korenine enačbe običajno dva. Izjema je lahko enaka enako enakosti, ki na splošno ne vsebuje izraza C, kjer je spremenljivka nič, kot tudi možnosti za izraze, ko se desna stran izkaže, da je negativna. V slednjem primeru rešitve sploh ne obstajajo, saj zgoraj navedenih ukrepov ni mogoče izdelati s koreninami. Upoštevati je treba primere rešitev kvadratnih enačb tega tipa.

V tem primeru bodo korenine enačbe -4 in 4.

Izračun zemljišča

Potreba po takšnih izračunih se je pojavila v globoki antiki, saj je bil razvoj matematike v mnogih pogledih v teh oddaljenih časih posledica potrebe po ugotavljanju najbolj natančnosti območja in oboda zemljišč zemljišč.

Primeri z reševanjem kvadratnih enačb, sestavljenih na podlagi te vrste nalog, je treba obravnavati kot nas.

Torej, recimo, da obstaja pravokotna zemljišča, od katerih je dolžina 16 metrov več kot širina. Treba je najti dolžino, širino in obseg spletnega mesta, če je znano, da je njeno območje enako 612 m 2.

Začetek zadeve, najprej naredite potrebno enačbo. Označimo x širino spletnega mesta, potem bo njegova dolžina (x + 16). Iz pisma izhaja, da je območje določena z izrazom X (X + 16), ki je v skladu s pogojem našega problema 612. To pomeni, da je X (X + 16) \u003d 612.

Rešitev popolnih kvadratnih enačb in ta izraz je natančno taka, ni mogoče izvesti na enak način. Zakaj? Čeprav leva stran še vedno vsebuje dva dejavnika, izdelek sploh ni enak 0, zato se tukaj uporabljajo druge metode.

Diskriminart.

Najprej bomo izdelali potrebno pretvorbo, nato pa bo videz tega izraza izgledal tako: x 2 + 16x - 612 \u003d 0. To pomeni, da imamo izraz v obliki, ki ustreza predhodno določenemu standardu, kjer je a \u003d 1, B \u003d 16, C \u003d -612.

To je lahko primer reševanja kvadratnih enačb z diskriminantno. Tukaj se zahtevani izračuni izvedejo v skladu s shemo: D \u003d B 2 - 4AC. Ta pomožna vrednost ne omogoča le iskanje želenih vrednosti v enačbi drugih naročil, določa število možnih možnosti. V primeru D\u003e 0 sta dva; Ko je D \u003d 0, obstaja eno koren. V primeru D.<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

O koreninah in njihovi formuli

V našem primeru je diskriminanta: 256 - 4 (-612) \u003d 2704. To nakazuje, da obstaja odgovor iz naše naloge. Če veste, K, rešitev kvadratnih enačb je treba nadaljevati z uporabo spodnji formulo. Omogoča vam izračun korenin.

To pomeni, da je v primeru predstavljen: x 1 \u003d 18, X2 \u003d -34. Druga različica v tej dilemi ne more biti rešitev, ker dimenzije zemljišča ni mogoče izmeriti v negativnih vrednostih, to pomeni X (tj. Širina mesta) je 18 m. Od tu izračunamo dolžino: 18 + 16 \u003d 34 in obseg 2 (34+ 18) \u003d 104 (m 2).

Primeri in cilji

Še naprej študiramo kvadratne enačbe. Primeri in podrobno raztopino več jih bo danih.

1) 15x 2 + 20x + 5 \u003d 12x 2 + 27x + 1

Prenesemo vse v levo del enakosti, bomo naredili preoblikovanje, to je, smo dobili obliko enačbe, ki se imenuje standard, in ga izenači z ničlo.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 \u003d 0

Po zlaganju, kot smo, definiramo diskriminantno: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Torej, naša enačba bo imela dve korenine. Izračunamo jih po zgornji formuli, kar pomeni, da je prva od njih 4/3, druga pa.

2) Zdaj razkrijejo uganke druge vrste.

Ugotovite, ali obstajajo korenine X 2 - 4x + 5 \u003d 1? Da bi dobili celovit odziv, dajemo polinom na ustrezno poznavanje in izračunamo diskriminantno. Na določenem primeru raztopina kvadratne enačbe ni potrebna, ker bistvo naloge sploh ni to. V tem primeru D \u003d 16 - 20 \u003d 4, kar pomeni, da ni nobenih korenin.

Vieta Teorem.

Kvadratne enačbe so prikladno rešene skozi zgoraj navedene formule in diskriminant, ko se kvadratni koren ekstrahira iz zadnje vrednosti. Vendar se to ne zgodi vedno. Vendar pa je v tem primeru veliko načinov za pridobitev spremenljivk. Primer: rešitve kvadratnih enačb na izreku Vieta. Imenovana je po kateri je živela v XVI stoletju v Franciji in je zaradi matematičnega talenta in dvostranskih karierov naredila briljantno kariero. Portret je mogoče videti v članku.

Vzorec, ki ga je znani francoski, je bil naslednji. Dokazal je, da so korenine enačbe v količini numerično enaka -P \u003d b / a, njihov proizvod pa ustreza Q \u003d C / a.

Zdaj upoštevajte posebne naloge.

3x 2 + 21x - 54 \u003d 0

Zaradi enostavnosti spremenimo izraz:

x 2 + 7x - 18 \u003d 0

Uporabljamo teorem Vieta, nam bo dala naslednje: znesek korenin je -7, in njihovo delo -18. Od tu pa smo pridobili, da so korenine enačbe številke -9 in 2. ko je opravilo preverjanje, se prepričajte, da so te vrednosti spremenljivk res primerna v izrazu.

Graf in enačba parabole

Koncepti kvadratne funkcije in kvadratne enačbe so tesno povezani. Primeri tega so že prikazani prej. Zdaj razmislite o nekaterih matematičnih ugankih. Vsaka enačba opisane vrste si lahko predstavljate. Podobna odvisnost v obliki grafa se imenuje parabola. Njene različne vrste so prikazane na spodnji sliki.

Vsaka parabola ima tocko, to je točka, iz katere pridejo njene veje. V primeru A\u003e 0 pustijo visoko v neskončnosti in ko<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Vizualne podobe funkcij pomagajo rešiti vse enačbe, vključno s kvadratom. Ta metoda se imenuje grafika. In vrednost spremenljivke X je koordinata abscisa na točkah, kjer se graf grafa prečka iz 0x. Koordinate tockov je mogoče najti v skladu z edino dano formulo X 0 \u003d -B / 2a. In, ki nadomešča nastalo vrednost za začetno enačbo funkcije, se lahko naučite Y 0, to je druga koordinata peanabol vozlišča, ki pripada osi osi.

Prečkanje veje parabole z osi abscisa

Primeri z rešitvami kvadratnih enačb so zelo, vendar obstajajo splošni vzorci. Razmislite o njih. Jasno je, da je presečišče grafa z osi 0x na A\u003e 0 mogoče le, če 0 prejme negativne vrednosti. In za A.<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. V nasprotnem primeru D.<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Glede na tabelo se lahko določijo parabolas in korenine. Prav tako je res. To je, če dobite vizualno podobo kvadratne funkcije, ni enostavno, lahko izenačite desno stran izraza na 0 in rešiti pridobljeno enačbo. Poznavanje križičnih točk z osjo 0x, je lažje zgraditi urnik.

Iz zgodovine

S pomočjo enačb, ki vsebujejo spremenljivko, dvignjeno na kvadrat, v starih dneh niso samo matematične izračune in določili območje geometrijskih podatkov. Podobni izračuni starodavnega so bili potrebni za velika odkritja na področju fizike in astronomije, pa tudi za pripravo astroloških napovedi.

Kot sodobne znanstvene številke kažejo, med prvimi rešitvami kvadratnih enačb, prebivalci Babilona prevzeli. To se je zgodilo v štirih stoletjih pred začetkom našega obdobja. Seveda so se njihovi izračuni v korenu razlikovali od sedaj, ki so bili sprejeti in se izkazali za veliko primitivno. Na primer, mezopotamijski matematiki niso imeli pojma o obstoju negativnih številk. Tujci so imeli tudi druge pododdelke od tistih, ki poznajo vsakega študenta našega časa.

Morda celo prejšnja znanstveniki Babilona, \u200b\u200brešitve kvadratnih enačb, je bil zarodek Indije Budhoyama. To se je zgodilo v približno osmih stoletjih pred Kristusovi dobi. Res je, enačba drugega reda, metode reševanja, ki jo je vodila, je bila najbolj sočasna. Poleg tega so se ta vprašanja zanimala za stare in kitajske matematike. V Evropi so se kvadratne enačbe začele rešiti le v zgodnjem XIII stoletju, kasneje pa so bile uporabljene v svojem delu tako veliki znanstveniki kot Newton, Descartes in mnogi drugi.