Nájdite uzol a uzol troch čísel online. Najväčší spoločný deliteľ a najmenší spoločný násobok. Online kalkulačka

Násobok je číslo, ktoré je deliteľné číslom dané číslo bez stopy. Najmenší spoločný násobok (LCM) skupiny čísel je najmenšie číslo, ktoré je rovnomerne deliteľné každým číslom v skupine. Ak chcete nájsť najmenší spoločný násobok, musíte nájsť prvočísla daných čísel. LCM možno vypočítať aj pomocou množstva iných metód, ktoré sú použiteľné pre skupiny dvoch alebo viacerých čísel.

Kroky

Séria násobkov

Pozrite sa na tieto čísla. Tu opísanú metódu je najlepšie použiť, keď sú uvedené dve čísla, každé menšie ako 10. Ak je dané veľké čísla, použite inú metódu.

• Nájdite napríklad najmenší spoločný násobok čísel 5 a 8. Ide o malé čísla, preto je možné použiť túto metódu.

1. Násobok čísla je číslo, ktoré je deliteľné daným číslom bezo zvyšku. Viacnásobné čísla nájdete v tabuľke násobenia.

   • Napríklad čísla, ktoré sú násobkami 5, sú: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Napíšte sériu čísel, ktoré sú násobkami prvého čísla. Urobte to pod násobkami prvého čísla, aby ste porovnali dva riadky čísel.

   • Napríklad čísla, ktoré sú násobkami 8, sú: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 a 64.

3. Nájdite najmenšie číslo, ktoré sa vyskytuje v oboch radoch násobkov. Možno budete musieť napísať dlhé série násobkov, aby ste našli súčet. Najmenšie číslo, ktoré sa vyskytuje v oboch radoch násobkov, je najmenší spoločný násobok.

   • Napríklad najmenšie číslo, ktoré sa vyskytuje v rade násobkov 5 a 8, je 40. Preto je 40 najmenší spoločný násobok 5 a 8.

   Prvotná faktorizácia

   1. Pozrite sa na tieto čísla. Tu opísanú metódu je najlepšie použiť, ak sú zadané dve čísla, ktoré sú obe väčšie ako 10. Ak sú zadané menšie čísla, použite inú metódu.

      • Nájdite napríklad najmenší spoločný násobok čísel 20 a 84. Každé z čísel je väčšie ako 10, preto je možné použiť túto metódu.

   2. Faktorizujte prvé číslo. To znamená, že musíte nájsť také prvočísla, po vynásobení dostanete dané číslo. Po nájdení hlavných faktorov ich zapíšte ako rovnosť.

      • Napríklad, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\krát 10=20) a 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). Prvočísla čísla 20 sú teda čísla 2, 2 a 5. Zapíšte ich ako výraz: .

   3. Zlož druhé číslo do prvočísel. Urobte to rovnakým spôsobom, ako ste rozkladali prvé číslo, teda nájdite také prvočísla, ktoré po vynásobení dostanú toto číslo.

      • Napríklad, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42) a 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). Prvočísla čísla 84 sú teda čísla 2, 7, 3 a 2. Zapíšte ich ako výraz: .

   4. Napíšte spoločné faktory pre obe čísla. Napíšte také faktory ako operáciu násobenia. Pri zapisovaní každého faktora ho prečiarknite v oboch výrazoch (výrazoch, ktoré popisujú rozklad čísel na prvočísla).

      • Napríklad spoločný faktor pre obe čísla je 2, tak napíšte 2 × (\displaystyle 2\times ) a prečiarknite 2 v oboch výrazoch.
      • Spoločným faktorom pre obe čísla je ďalší faktor 2, tak napíšte 2 × 2 (\displaystyle 2\time 2) a prečiarknite druhé 2 v oboch výrazoch.

   5. Pridajte zostávajúce faktory do operácie násobenia. Ide o faktory, ktoré nie sú prečiarknuté v oboch výrazoch, teda faktory, ktoré nie sú spoločné pre obe čísla.

      • Napríklad vo výraze 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\krát 2\krát 5) obe dvojky (2) sú prečiarknuté, pretože ide o spoločné faktory. Faktor 5 nie je prečiarknutý, takže operáciu násobenia zapíšte takto: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\time 2\time 5)
      • Vo výraze 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\krát 7\krát 3\krát 2) obe dvojky (2) sú tiež prečiarknuté. Faktory 7 a 3 nie sú prečiarknuté, preto operáciu násobenia zapíšte takto: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\štýl zobrazenia 2\krát 2\krát 5\krát 7\krát 3).

   6. Vypočítajte najmenší spoločný násobok. Ak to chcete urobiť, vynásobte čísla v písomnej operácii násobenia.

      • Napríklad, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\krát 2\krát 5\krát 7\krát 3=420). Takže najmenší spoločný násobok 20 a 84 je 420.

   Hľadanie spoločných deliteľov

   1. Nakreslite mriežku ako pri hre piškvorky. Takáto mriežka pozostáva z dvoch rovnobežných čiar, ktoré sa pretínajú (v pravom uhle) s dvoma ďalšími rovnobežnými čiarami. Výsledkom budú tri riadky a tri stĺpce (mriežka vyzerá veľmi podobne ako znak #). Napíšte prvé číslo do prvého riadku a druhého stĺpca. Napíšte druhé číslo do prvého riadku a tretieho stĺpca.

      • Nájdite napríklad najmenší spoločný násobok 18 a 30. Napíšte 18 do prvého riadka a druhého stĺpca a napíšte 30 do prvého riadka a tretieho stĺpca.

   2. Nájdite deliteľa spoločného pre obe čísla. Napíšte to do prvého riadku a prvého stĺpca. Je lepšie hľadať prvočíselníkov, ale nie je to podmienkou.

      • Napríklad 18 a 30 sú párne čísla, takže ich spoločný deliteľ je 2. Napíš teda 2 do prvého riadku a prvého stĺpca.

   3. Vydeľte každé číslo prvým deliteľom. Napíšte každý podiel pod príslušné číslo. Kvocient je výsledkom delenia dvoch čísel.

      • Napríklad, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), tak napíšte 9 pod 18.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), tak napíšte 15 pod 30.

   4. Nájdite deliteľa spoločného pre oba kvocienty. Ak takýto deliteľ neexistuje, preskočte nasledujúce dva kroky. V opačnom prípade zapíšte deliteľa do druhého riadku a prvého stĺpca.

      • Napríklad 9 a 15 sú deliteľné 3, preto napíšte 3 do druhého riadku a prvého stĺpca.

   5. Vydeľte každý podiel druhým deliteľom. Každý výsledok delenia zapíšte pod príslušný podiel.

      • Napríklad, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), tak napíšte 3 pod 9.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), tak napíšte 5 pod 15.

   6. V prípade potreby doplňte mriežku o ďalšie bunky. Opakujte vyššie uvedené kroky, kým podiely nebudú mať spoločného deliteľa.

   7. Zakrúžkujte čísla v prvom stĺpci a poslednom riadku mriežky. Potom napíšte zvýraznené čísla ako operáciu násobenia.

      • Napríklad čísla 2 a 3 sú v prvom stĺpci a čísla 3 a 5 sú v poslednom riadku, takže operáciu násobenia napíšte takto: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\krát 3\krát 3\krát 5).

   8. Nájdite výsledok násobenia čísel. Tým sa vypočíta najmenší spoločný násobok dvoch daných čísel.

      • Napríklad, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\krát 3\krát 3\krát 5=90). Takže najmenší spoločný násobok 18 a 30 je 90.

   Euklidov algoritmus

   1. Pamätajte na terminológiu spojenú s operáciou delenia. Dividenda je číslo, ktoré sa delí. Deliteľ je číslo, ktorým sa má deliť. Kvocient je výsledkom delenia dvoch čísel. Zvyšok je číslo, ktoré zostane po delení dvoch čísel.

      • Napríklad vo výraze 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) odpočinok. 3:
        15 je deliteľné
        6 je deliteľ
        2 je súkromný
        3 je zvyšok.

Pokračujme v diskusii o najmenšom spoločnom násobku, ktorú sme začali v časti LCM - Najmenší spoločný násobok, definícia, príklady. V tejto téme sa pozrieme na spôsoby, ako nájsť LCM pre tri alebo viac čísel, analyzujeme otázku, ako nájsť LCM záporného čísla.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Výpočet najmenšieho spoločného násobku (LCM) prostredníctvom gcd

Vzťah medzi najmenším spoločným násobkom a najväčším spoločným deliteľom sme už stanovili. Teraz sa naučíme, ako definovať LCM prostredníctvom GCD. Po prvé, poďme zistiť, ako to urobiť pre kladné čísla.

Definícia 1

Nájdite najmenší spoločný násobok po najväčší spoločný deliteľ môžete použiť vzorec LCM (a, b) = a b: GCD (a, b) .

Príklad 1

Je potrebné nájsť LCM čísel 126 a 70.

rozhodnutie

Vezmime si a = 126 , b = 70 . Dosaďte hodnoty vo vzorci na výpočet najmenšieho spoločného násobku cez najväčšieho spoločného deliteľa LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Nájde GCD čísel 70 a 126. Na to potrebujeme Euklidov algoritmus: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , teda gcd (126 , 70) = 14 .

Vypočítajme LCM: LCM (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70 : 14 = 630.

odpoveď: LCM (126, 70) = 630.

Príklad 2

Nájdite číslo 68 a 34.

rozhodnutie

GCD v tento prípad Nájdenie je ľahké, pretože 68 je deliteľné 34. Vypočítajte najmenší spoločný násobok pomocou vzorca: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

odpoveď: LCM(68,34) = 68.

V tomto príklade sme použili pravidlo na nájdenie najmenšieho spoločného násobku kladných celých čísel a a b: ak je prvé číslo deliteľné druhým, potom sa LCM týchto čísel bude rovnať prvému číslu.

Nájdenie LCM rozdelením čísel na hlavné faktory

Teraz sa pozrime na spôsob, ako nájsť LCM, ktorý je založený na rozklade čísel na prvočísla.

Definícia 2

Aby sme našli najmenší spoločný násobok, musíme vykonať niekoľko jednoduchých krokov:

• zostaviť produkt všetkých hlavné faktoryčísla, pre ktoré musíme nájsť LCM;
• z ich získaných produktov vylúčime všetky hlavné faktory;
• produkt získaný po odstránení spoločných prvočísel sa bude rovnať LCM daných čísel.

Tento spôsob hľadania najmenšieho spoločného násobku je založený na rovnosti LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) . Ak sa pozriete na vzorec, bude jasné: súčin čísel a a b sa rovná súčinu všetkých faktorov, ktoré sa podieľajú na rozširovaní týchto dvoch čísel. V tomto prípade sa GCD dvoch čísel rovná súčinu všetkých prvočísel, ktoré sú súčasne prítomné v rozkladoch týchto dvoch čísel.

Príklad 3

Máme dve čísla 75 a 210 . Môžeme ich vypočítať takto: 75 = 3 5 5 a 210 = 2 3 5 7. Ak vytvoríte súčin všetkých faktorov dvoch pôvodných čísel, dostanete: 2 3 3 5 5 5 7.

Ak vylúčime faktory spoločné pre čísla 3 a 5, dostaneme súčin v nasledujúcom tvare: 2 3 5 5 7 = 1050. Tento produkt bude naším LCM pre čísla 75 a 210.

Príklad 4

Nájdite LCM čísel 441 a 700 , rozklad oboch čísel na prvočíselné faktory.

rozhodnutie

Nájdite všetky prvočísla čísel uvedených v podmienke:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Dostaneme dva reťazce čísel: 441 = 3 3 7 7 a 700 = 2 2 5 5 7 .

Súčin všetkých faktorov, ktoré sa podieľali na rozšírení týchto čísel, bude vyzerať takto: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Poďme nájsť spoločné faktory. Toto číslo je 7. Vylučujeme ho zo všeobecného produktu: 2 2 3 3 5 5 7 7. Ukazuje sa, že NOC (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

odpoveď: LCM (441, 700) = 44100.

Uveďme ešte jednu formuláciu metódy na nájdenie LCM rozkladom čísel na prvočiniteľa.

Definícia 3

Predtým sme z celkového počtu vylúčili faktory spoločné pre obe čísla. Teraz to urobíme inak:

• Rozložme obe čísla na prvočísla:
• doplniť k súčinu prvočísel prvého čísla chýbajúce činitele druhého čísla;
• dostaneme súčin, ktorým bude požadovaná LCM dvoch čísel.

Príklad 5

Vráťme sa k číslam 75 a 210 , pre ktoré sme už LCM hľadali v jednom z predchádzajúcich príkladov. Rozdeľme ich na jednoduché faktory: 75 = 3 5 5 a 210 = 2 3 5 7. Na súčin faktorov 3 , 5 a 5 číslo 75 doplniť chýbajúce faktory 2 a 7 čísla 210. Dostaneme: 2 3 5 5 7 . Toto je LCM čísel 75 a 210.

Príklad 6

Je potrebné vypočítať LCM čísel 84 a 648.

rozhodnutie

Rozložme čísla z podmienky na prvočísla: 84 = 2 2 3 7 a 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Pridajte k súčinu faktorov 2 , 2 , 3 a 7 čísla 84 chýbajúce faktory 2 , 3 , 3 a
3 čísla 648 . Dostaneme produkt 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 . Toto je najmenší spoločný násobok 84 a 648.

odpoveď: LCM (84, 648) = 4536.

Nájdenie LCM troch alebo viacerých čísel

Bez ohľadu na to, s koľkými číslami máme čo do činenia, algoritmus našich akcií bude vždy rovnaký: postupne nájdeme LCM dvoch čísel. Pre tento prípad existuje veta.

Veta 1

Predpokladajme, že máme celé čísla a 1 , a 2 , ... , k. NOC m k z týchto čísel sa zistí sekvenčný výpočet m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), …, m k = LCM (m k − 1, ak) .

Teraz sa pozrime na to, ako sa dá veta aplikovať na konkrétne problémy.

Príklad 7

Musíte vypočítať najmenší spoločný násobok štyroch čísel 140 , 9 , 54 a 250 .

rozhodnutie

Predstavme si notáciu: a 1 \u003d 140, a 2 \u003d 9, a 3 \u003d 54, a 4 \u003d 250.

Začnime výpočtom m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) . Použime euklidovský algoritmus na výpočet GCD čísel 140 a 9: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . Získame: GCD(140, 9) = 1, LCM(140, 9) = 140 9: GCD(140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Preto m 2 = 1 260.

Teraz vypočítajme podľa rovnakého algoritmu m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) . V priebehu výpočtov dostaneme m 3 = 3 780.

Zostáva nám vypočítať m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) . Postupujeme podľa rovnakého algoritmu. Získame m 4 \u003d 94 500.

LCM štyroch čísel z príkladu podmienky je 94500.

odpoveď: LCM (140, 9, 54, 250) = 94 500.

Ako vidíte, výpočty sú jednoduché, ale dosť pracné. Ak chcete ušetriť čas, môžete ísť iným spôsobom.

Definícia 4

Ponúkame vám nasledujúci algoritmus akcií:

• rozložiť všetky čísla na prvočísla;
• k súčinu faktorov prvého čísla doplňte chýbajúce faktory súčinu druhého čísla;
• pridať chýbajúce faktory tretieho čísla k produktu získanému v predchádzajúcej fáze atď.;
• výsledný súčin bude najmenší spoločný násobok všetkých čísel z podmienky.

Príklad 8

Je potrebné nájsť LCM piatich čísel 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

rozhodnutie

Rozložme všetkých päť čísel na prvočiniteľa: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . Prvočísla, čo je číslo 7, nemožno zahrnúť do prvočísel. Takéto čísla sa zhodujú s ich rozkladom na prvočísla.

Teraz zoberme súčin prvočiniteľov 2, 2, 3 a 7 čísla 84 a pripočítajme k nim chýbajúce činitele druhého čísla. Rozložili sme číslo 6 na 2 a 3. Tieto faktory sú už v súčine prvého čísla. Preto ich vynechávame.

Pokračujeme v dopĺňaní chýbajúcich násobiteľov. Obrátime sa na číslo 48, zo súčinu prvočiniteľov, z ktorých vezmeme 2 a 2. Potom pridáme jednoduchý faktor 7 zo štvrtého čísla a faktory 11 a 13 z piateho. Získame: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48 048. Toto je najmenší spoločný násobok z piatich pôvodných čísel.

odpoveď: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48 048.

Nájdenie najmenšieho spoločného násobku záporných čísel

Aby sa našiel najmenší spoločný násobok záporných čísel, tieto čísla musia byť najskôr nahradené číslami s opačným znamienkom a potom by sa mali výpočty vykonať pomocou vyššie uvedených algoritmov.

Príklad 9

LCM(54,-34) = LCM(54,34) a LCM(-622,-46,-54,-888) = LCM(622,46,54,888).

Takéto akcie sú prípustné vzhľadom na skutočnosť, že ak sa prijme, že a a − a- opačné čísla
potom množina násobkov a sa zhoduje s množinou násobkov čísla − a.

Príklad 10

Je potrebné vypočítať LCM záporných čísel − 145 a − 45 .

rozhodnutie

Zmeňme čísla − 145 a − 45 na ich opačné čísla 145 a 45 . Teraz pomocou algoritmu vypočítame LCM (145, 45) = 145 45: GCD (145, 45) = 145 45: 5 = 1 305, pričom sme predtým určili GCD pomocou Euklidovho algoritmu.

Dostaneme, že LCM čísel − 145 a − 45 rovná sa 1 305 .

odpoveď: LCM (- 145 , - 45) = 1 305 .

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Definícia. Najväčší prirodzené číslo, ktorými sa čísla a a b bezo zvyšku delia, sa nazývajú najväčší spoločný deliteľ (gcd) tieto čísla.

Nájdite najväčšieho spoločného deliteľa čísel 24 a 35.
Deliteľmi 24 budú čísla 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 a deliteľmi 35 budú čísla 1, 5, 7, 35.
Vidíme, že čísla 24 a 35 majú len jedného spoločného deliteľa – číslo 1. Takéto čísla sa nazývajú nesúdeliteľné.

Definícia. Prirodzené čísla sa nazývajú nesúdeliteľné ak ich najväčší spoločný deliteľ (gcd) je 1.

Najväčší spoločný deliteľ (GCD) možno nájsť bez vypisovania všetkých deliteľov daných čísel.

Rozložením čísel 48 a 36 dostaneme:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Z faktorov zahrnutých do rozšírenia prvého z týchto čísel vypúšťame tie, ktoré nie sú zahrnuté do rozšírenia druhého čísla (t. j. dve dvojky).
Zostávajú faktory 2 * 2 * 3. Ich súčin je 12. Toto číslo je najväčším spoločným deliteľom čísel 48 a 36. Nájdeme aj najväčšieho spoločného deliteľa troch alebo viacerých čísel.

Nájsť najväčší spoločný deliteľ

2) z faktorov zahrnutých do rozšírenia jedného z týchto čísel prečiarknite tie, ktoré nie sú zahrnuté do rozšírenia iných čísel;
3) nájdite súčin zostávajúcich faktorov.

Ak sú všetky dané čísla deliteľné jedným z nich, potom toto číslo je najväčší spoločný deliteľ dané čísla.
Napríklad najväčší spoločný deliteľ 15, 45, 75 a 180 je 15, pretože delí všetky ostatné čísla: 45, 75 a 180.

Najmenší spoločný násobok (LCM)

Definícia. Najmenší spoločný násobok (LCM) prirodzené čísla a a b sú najmenšie prirodzené číslo, ktoré je násobkom oboch a a b. Najmenší spoločný násobok (LCM) čísel 75 a 60 možno nájsť bez vypisovania násobkov týchto čísel za sebou. Aby sme to dosiahli, rozložíme 75 a 60 na jednoduché faktory: 75 \u003d 3 * 5 * 5 a 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Vypíšme si faktory zahrnuté v expanzii prvého z týchto čísel a pridajme k nim chýbajúce faktory 2 a 2 z rozšírenia druhého čísla (t. j. faktory skombinujeme).
Dostaneme päť faktorov 2 * 2 * 3 * 5 * 5, ktorých súčin je 300. Toto číslo je najmenší spoločný násobok čísel 75 a 60.

Nájdite tiež najmenší spoločný násobok troch alebo viacerých čísel.

Komu nájsť najmenší spoločný násobok niekoľko prirodzených čísel, potrebujete:
1) rozložiť ich na hlavné faktory;
2) napíšte faktory zahrnuté do rozšírenia jedného z čísel;
3) pridajte k nim chýbajúce faktory z expanzií zostávajúcich čísel;
4) nájdite súčin výsledných faktorov.

Všimnite si, že ak je jedno z týchto čísel deliteľné všetkými ostatnými číslami, potom je toto číslo najmenším spoločným násobkom týchto čísel.
Napríklad najmenší spoločný násobok 12, 15, 20 a 60 by bol 60, pretože je deliteľný všetkými danými číslami.

Pytagoras (VI. storočie pred Kristom) a jeho študenti študovali problematiku deliteľnosti čísel. číslo, rovná súčtu všetkých jeho deliteľov (bez samotného čísla), nazývali dokonalé číslo. Napríklad čísla 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) sú dokonalé. Ďalšie dokonalé čísla sú 496, 8128, 33 550 336. Pytagorejci poznali iba prvé tri dokonalé čísla. Štvrtý - 8128 - sa stal známym v 1. storočí. n. e. Piata - 33 550 336 - bola nájdená v 15. storočí. Do roku 1983 už bolo známych 27 dokonalých čísel. Doteraz však vedci nevedia, či existujú nepárne dokonalé čísla, či existuje najväčšie dokonalé číslo.
Záujem starovekých matematikov o prvočísla je spôsobený tým, že každé číslo je buď prvočíslo, alebo môže byť reprezentované ako súčin prvočísel, to znamená, že prvočísla sú ako tehly, z ktorých sa skladá zvyšok prirodzených čísel.
Pravdepodobne ste si všimli, že prvočísla v rade prirodzených čísel sa vyskytujú nerovnomerne – v niektorých častiach radu je ich viac, v iných menej. Ale čím ďalej sa v číselnom rade pohybujeme, tým sú prvočísla zriedkavejšie. Vynára sa otázka: existuje posledné (najväčšie) prvočíslo? Staroveký grécky matematik Euclid (3. storočie pred Kristom) vo svojej knihe „Začiatky“, ktorá bola dvetisíc rokov hlavnou učebnicou matematiky, dokázal, že prvočísel je nekonečne veľa, teda za každým prvočíslom je párne číslo. väčšie prvočíslo.
Na nájdenie prvočísel prišiel s takouto metódou iný grécky matematik tej istej doby, Eratosthenes. Zapísal si všetky čísla od 1 po nejaké číslo a potom prečiarkol jednotku, ktorá nie je prvočíslom ani zloženým číslom, potom prečiarkol cez jednotku všetky čísla po 2 (čísla, ktoré sú násobkom 2, t.j. 4, 6, 8 atď.). Prvé zostávajúce číslo po 2 bolo 3. Potom sa po dvojke prečiarkli všetky čísla po 3 (čísla, ktoré sú násobkami 3, t.j. 6, 9, 12 atď.). nakoniec ostali neprečiarknuté len prvočísla.

Druhé číslo: b=

Oddeľovač číslicŽiadny oddeľovač medzery „ “

výsledok:

Najväčší spoločný deliteľ gcd( a,b)=6

Najmenší spoločný násobok LCM( a,b)=468

Nazýva sa najväčšie prirodzené číslo, ktorým sú čísla a a b deliteľné bezo zvyšku najväčší spoločný deliteľ(gcd) týchto čísel. Označuje sa gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) alebo hcf(a,b).

Najmenší spoločný násobok(LCM) dvoch celých čísel aab je najmenšie prirodzené číslo, ktoré je deliteľné aab bezo zvyšku. Označuje sa LCM(a,b) alebo lcm(a,b).

Celé čísla a a b sa nazývajú nesúdeliteľné ak nemajú iných spoločných deliteľov ako +1 a -1.

Najväčší spoločný deliteľ

Nech sú dané dve kladné čísla a 1 a a 2 1). Je potrebné nájsť spoločného deliteľa týchto čísel, t.j. nájsť také číslo λ , ktorý delí čísla a 1 a a 2 v rovnakom čase. Poďme si popísať algoritmus.

1) V tomto článku bude slovo číslo znamenať celé číslo.

Nechať byť a 1 ≥ a 2 a nechať

kde m 1 , a 3 sú nejaké celé čísla, a 3 <a 2 (zvyšok z rozdelenia a 1 na a 2 by malo byť menej a 2).

Predstierajme to λ rozdeľuje a 1 a a 2 potom λ rozdeľuje m 1 a 2 a λ rozdeľuje a 1 −m 1 a 2 =a 3 (2. tvrdenie článku "Deliteľnosť čísel. Znak deliteľnosti"). Z toho vyplýva, že každý spoločný deliteľ a 1 a a 2 je spoločný deliteľ a 2 a a 3. Opak platí aj vtedy, ak λ spoločný deliteľ a 2 a a 3, potom m 1 a 2 a a 1 =m 1 a 2 +a 3 sa tiež delia na λ . Preto spoločný deliteľ a 2 a a 3 je tiež spoločný deliteľ a 1 a a 2. Ako a 3 <a 2 ≤a 1 , potom môžeme povedať, že riešenie problému nájdenia spoločného deliteľa čísel a 1 a a 2 zredukovaný na jednoduchší problém hľadania spoločného deliteľa čísel a 2 a a 3 .

Ak a 3 ≠0, potom môžeme deliť a 2 na a 3. Potom

,

kde m 1 a a 4 sú nejaké celé čísla, ( a 4 zvyšok divízie a 2 na a 3 (a 4 <a 3)). Podobným uvažovaním dospejeme k záveru, že spoločné deliče čísel a 3 a a 4 je rovnaký ako spoločný deliteľ čísel a 2 a a 3 a tiež so spoločnými deliteľmi a 1 a a 2. Ako a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , ... čísla, ktoré neustále klesajú a keďže medzi nimi je konečný počet celých čísel a 2 a 0, potom v určitom kroku n, zvyšok divízie a n na a n+1 sa bude rovnať nule ( a n+2=0).

.

Každý spoločný deliteľ λ čísla a 1 a a 2 je tiež deliteľ čísel a 2 a a 3 , a 3 a a 4 , .... a n a a n+1. Platí to aj naopak, spoločné deliče čísel a n a a n+1 sú tiež deliče čísel a n-1 a a n , .... , a 2 a a 3 , a 1 a a 2. Ale spoločný deliteľ a n a a n+1 je číslo a n+1, pretože a n a a n+1 sú deliteľné a n+1 (pripomeňme si to a n+2=0). Preto a n+1 je tiež deliteľ čísel a 1 a a 2 .

Všimnite si, že číslo a n+1 je najväčší deliteľ čísla a n a a n+1 , keďže najväčší deliteľ a n+1 je samo o sebe a n+1. Ak a n + 1 môže byť reprezentované ako súčin celých čísel, potom sú tieto čísla tiež spoločnými deliteľmi čísel a 1 a a 2. číslo a n+1 sa nazývajú najväčší spoločný deliteľčísla a 1 a a 2 .

čísla a 1 a a 2 môžu byť kladné aj záporné čísla. Ak sa jedno z čísel rovná nule, potom sa najväčší spoločný deliteľ týchto čísel bude rovnať absolútnej hodnote druhého čísla. Najväčší spoločný deliteľ nulových čísel nie je definovaný.

Vyššie uvedený algoritmus sa nazýva Euklidov algoritmus nájsť najväčšieho spoločného deliteľa dvoch celých čísel.

Príklad nájdenia najväčšieho spoločného deliteľa dvoch čísel

Nájdite najväčšieho spoločného deliteľa dvoch čísel 630 a 434.

• Krok 1. Vydeľte číslo 630 číslom 434. Zvyšok je 196.
• Krok 2. Vydeľte číslo 434 číslom 196. Zvyšok je 42.
• Krok 3. Vydeľte číslo 196 číslom 42. Zvyšok je 28.
• Krok 4. Vydeľte číslo 42 číslom 28. Zvyšok je 14.
• Krok 5. Vydeľte číslo 28 číslom 14. Zvyšok je 0.

V kroku 5 je zvyšok delenia 0. Preto je najväčší spoločný deliteľ čísel 630 a 434 14. Všimnite si, že čísla 2 a 7 sú tiež deliteľmi čísel 630 a 434.

Coprime čísla

Definícia 1. Nech je najväčší spoločný deliteľ čísel a 1 a a 2 sa rovná jednej. Potom sa volajú tieto čísla coprime čísla ktoré nemajú spoločného deliteľa.

Veta 1. Ak a 1 a a 2 relatívne prvočísla, a λ nejaké číslo, potom ľubovoľný spoločný deliteľ čísel λa 1 a a 2 je tiež spoločný deliteľ čísel λ a a 2 .

Dôkaz. Zvážte Euklidov algoritmus na nájdenie najväčšieho spoločného deliteľa čísel a 1 a a 2 (pozri vyššie).

.

Z podmienok vety vyplýva, že najväčší spoločný deliteľ čísel a 1 a a 2, a preto a n a a n+1 je 1. T.j. a n+1=1.

Všetky tieto rovnosti vynásobme λ , potom

.

Nech je spoločný deliteľ a 1 λ a a 2 je δ . Potom δ vstupuje ako faktor v a 1 λ , m 1 a 2 λ a v a 1 λ -m 1 a 2 λ =a 3 λ (Pozri "Deliteľnosť čísel", vyhlásenie 2). Ďalej δ vstupuje ako faktor v a 2 λ a m 2 a 3 λ , a teda vstupuje ako faktor do a 2 λ -m 2 a 3 λ =a 4 λ .

Takýmto uvažovaním sme o tom presvedčení δ vstupuje ako faktor v a n-1 λ a m n-1 a n λ , a teda v a n-1 λ −m n-1 a n λ =a n+1 λ . Ako a n+1 = 1, potom δ vstupuje ako faktor v λ . Preto to číslo δ je spoločný deliteľ čísel λ a a 2 .

Zvážte špeciálne prípady vety 1.

Dôsledok 1. Nechať byť a a c prvočísla sú relatívne b. Potom ich produkt ac je prvočíslo vzhľadom na b.

naozaj. Z vety 1 ac a b majú rovnakých spoločných deliteľov ako c a b. Ale čísla c a b coprime, t.j. majú jediného spoločného deliteľa 1. Potom ac a b majú tiež jediného spoločného deliteľa 1. Preto ac a b obojstranne jednoduché.

Dôsledok 2. Nechať byť a a b coprime čísla a nech b rozdeľuje ak. Potom b rozdeľuje a k.

naozaj. Z podmienky tvrdenia ak a b majú spoločného deliteľa b. Na základe vety 1, b musí byť spoločným deliteľom b a k. Preto b rozdeľuje k.

Dôsledok 1 možno zovšeobecniť.

Dôsledok 3. 1. Nechajte čísla a 1 , a 2 , a 3 , ..., a m sú prvočísla vzhľadom na číslo b. Potom a 1 a 2 , a 1 a 2 · a 3 , ..., a 1 a 2 a 3 ··· a m , súčin týchto čísel je prvočíslo vzhľadom na číslo b.

2. Nech máme dva rady čísel

tak, že každé číslo v prvom rade je prvočíslo vzhľadom na každé číslo v druhom rade. Potom produkt

Je potrebné nájsť také čísla, ktoré sú deliteľné každým z týchto čísel.

Ak je číslo deliteľné a 1, potom to vyzerá sa 1, kde s nejaké číslo. Ak q je najväčší spoločný deliteľ čísel a 1 a a 2 potom

kde s 1 je nejaké celé číslo. Potom

je najmenší spoločný násobok čísel a 1 a a 2 .

a 1 a a 2 coprime, potom najmenší spoločný násobok čísel a 1 a a 2:

Nájdite najmenší spoločný násobok týchto čísel.

Z uvedeného vyplýva, že ľubovoľný násobok čísel a 1 , a 2 , a 3 musí byť násobkom čísel ε a a 3 a naopak. Nech je najmenší spoločný násobok čísel ε a a 3 je ε jeden . Ďalej násobok čísel a 1 , a 2 , a 3 , a 4 musí byť násobkom čísel ε 1 a a 4. Nech je najmenší spoločný násobok čísel ε 1 a a 4 je ε 2. Zistili sme teda, že všetky násobky čísel a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m sa zhodujú s násobkami nejakého konkrétneho čísla ε n , ktorý sa nazýva najmenší spoločný násobok daných čísel.

V konkrétnom prípade, keď čísla a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m coprime, potom najmenší spoločný násobok čísel a 1 , a 2, ako je znázornené vyššie, má tvar (3). Ďalej od r a 3 prvočíslo vzhľadom na čísla a 1 , a 2 potom a 3 je prvočíslo relatívne číslo a jeden · a 2 (dôsledok 1). Čiže najmenší spoločný násobok čísel a 1 ,a 2 ,a 3 je číslo a jeden · a 2 · a 3. Argumentujúc podobným spôsobom, dospejeme k nasledujúcim tvrdeniam.

Vyhlásenie 1. Najmenší spoločný násobok prvočíselných čísel a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m sa rovná ich súčinu a jeden · a 2 · a 3 ··· a m .

Vyhlásenie 2. Akékoľvek číslo, ktoré je deliteľné každým zo základných čísel a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m je deliteľné aj ich súčinom a jeden · a 2 · a 3 ··· a m .