Nech je funkcia y = f(x) definovaná v intervale X. Derivát funkcia y = f(x) v bode x o sa nazýva limita
=
.
Ak tento limit konečný, potom sa zavolá funkcia f(x). diferencovateľné v bode X o; Navyše sa v tomto bode ukazuje byť nevyhnutne kontinuálny.
Ak sa uvažovaná hranica rovná (alebo - ), potom za predpokladu, že funkcia v bode X o je spojitá, povieme, že funkcia f(x) má v bode X o nekonečná derivácia.
Derivát je označený symbolmi
y , f (x o), , .
Nájdenie derivácie je tzv diferenciácia funkcie. Geometrický význam derivácie je, že derivát je sklon dotyčnica ku krivke y=f(x) v danom bode X o ; fyzický význam - je, že derivácia dráhy vzhľadom na čas je okamžitá rýchlosť pohybujúceho sa bodu pri priamy pohyb s = s(t) v čase t o.
Ak s - konštantné číslo, a u = u(x), v = v(x) sú teda niektoré diferencovateľné funkcie dodržiavanie pravidiel diferenciácia:
1) (c) " = 0, (cu) " = cu";
2) (u+v)" = u"+v";
3) (uv)" = u"v+v"u;
4) (u/v)" = (u"v-v"u)/v2;
5) ak y = f(u), u = (x), t.j. y = f((x)) - komplexná funkcia alebo superpozícia, zložený z diferencovateľných funkcií a f, potom , alebo
6) ak pre funkciu y = f(x) existuje inverzne diferencovateľná funkcia x = g(y) a 0, potom .
Na základe definície derivácie a pravidiel diferenciácie je možné zostaviť zoznam tabuľkových derivácií hlavných elementárnych funkcií.
1. (u )" = u 1 u" ( R).
2. (a u)" = a u lna u".
3. (e u)" = e u u".
4. (log a u)" = u"/(u ln a).
5. (ln u)" = u"/u.
6. (sin u)" = cos u u".
7. (cos u)" = - hriech u u".
8. (tg u)" = 1/ cos 2 u u".
9. (ctg u)" = - u" / hriech 2 u.
10. (arcsin u)" = u" / .
11. (arccos u)" = - u" / .
12. (arctg u)" = u"/(1 + u 2).
13. (arcctg u)" = - u"/(1 + u 2).
Vypočítajme deriváciu mocninno-exponenciálneho výrazu y=u v , (u>0), kde u A v podstata funkcie z X, ktoré majú v danom bode deriváty ty",v".
Logaritmovaním rovnosti y=u v dostaneme ln y = v ln u.
Zrovnoprávnenie derivátov vzhľadom na X z oboch strán výslednej rovnosti pomocou pravidiel 3, 5 a vzorca pre deriváciu logaritmickej funkcie budeme mať:
y"/y = vu"/u +v" ln u, odkiaľ y" = y (vu"/u +v" ln u).
(u v)"=u v (vu"/u+v" ln u), u > 0.
Napríklad, ak y = x sin x, potom y" = x sin x (sin x/x + cos x ln x).
Ak je funkcia y = f(x) v bode diferencovateľná X, t.j. má v tomto bode konečnú deriváciu y", potom = y"+, kde 0 pri х 0; teda y = y" х + x.
Zavolá sa hlavná časť prírastku funkcie, lineárna vzhľadom na x diferenciál funkcie a označuje sa dy: dy = y" х. Ak do tohto vzorca dáme y=x, dostaneme dx = x"х = 1х =х, teda dy=y"dx, t.j. symbol pretože Derivačný zápis si možno predstaviť ako zlomok.
Prírastok funkcie r je prírastok súradnice krivky a diferenciál d r je prírastok ordináty dotyčnice.
Nájdite pre funkciu y=f(x) jej deriváciu y = f (x). Derivát tohto derivátu je tzv derivát druhého rádu funkcie f(x), príp druhá derivácia, a je určený 
.
Nasledujúce sú definované a označené rovnakým spôsobom:
derivát tretieho rádu
-
,
derivát štvrtého rádu -
a všeobecne povedané derivát n-tého rádu
-
.
Príklad 3.15. Vypočítajte deriváciu funkcie y=(3x 3 -2x+1)sin x.
Riešenie. Podľa pravidla 3 y"=(3x 3 -2x+1)"hriech x + (3x 3 -2x+1)(hriech x)" = = (9x 2 -2)hriech x + (3x 3 -2x +1) cos x.
Príklad 3.16 . Nájdite y", y = tan x + .
Riešenie. Pomocou pravidiel na diferenciáciu súčtu a kvocientu dostaneme: y"=(tgx + )" = (tgx)" + ()" = + 
=
.
Príklad 3.17. Nájdite deriváciu komplexnej funkcie y= , u=x 4 +1.
Riešenie. Podľa pravidla diferenciácie komplexnej funkcie dostaneme: y" x =y " u u" x =()" u (x 4 +1)" x =(2u +. Keďže u=x 4 +1, potom (2 x 4 + 2+ 
.
Dátum: 20.11.2014
Čo je derivát?
Tabuľka derivátov.
Derivát je jedným z hlavných pojmov vyššia matematika. V tejto lekcii predstavíme tento pojem. Spoznávajme sa, bez striktných matematických formulácií a dôkazov.
Toto zoznámenie vám umožní:
Pochopiť podstatu jednoduchých úloh s odvodeninami;
Úspešne vyriešiť práve tieto problémy ťažké úlohy;
Pripravte sa na vážnejšie lekcie o derivátoch.
Po prvé - príjemné prekvapenie.)
Striktná definícia derivátu vychádza z teórie limitov a vec je dosť komplikovaná. Toto je znepokojujúce. Praktická aplikácia derivátov však spravidla nevyžaduje také rozsiahle a hlboké znalosti!
Na úspešné splnenie väčšiny úloh v škole a na univerzite stačí vedieť len pár termínov- porozumieť úlohe a len pár pravidiel- vyriešiť to. To je všetko. Toto ma robí šťastným.
Začnime sa zoznamovať?)
Termíny a označenia.
V elementárnej matematike existuje veľa rôznych matematických operácií. Sčítanie, odčítanie, násobenie, umocňovanie, logaritmus atď. Ak k týmto operáciám pridáte ešte jednu operáciu, elementárna matematika bude vyššia. Toto nová prevádzka volal diferenciácie. Definíciu a význam tejto operácie budeme diskutovať v samostatných lekciách.
Tu je dôležité pochopiť, že diferenciácia je jednoducho matematická operácia s funkciou. Berieme akúkoľvek funkciu a podľa určité pravidlá, transformovať to. Výsledkom bude Nová funkcia. Táto nová funkcia sa nazýva: derivát.
Diferenciácia- pôsobenie na funkciu.
Derivát- výsledok tohto konania.
Tak ako napr. súčet- výsledok sčítania. Alebo súkromné- výsledok delenia.
Keď poznáte pojmy, môžete aspoň porozumieť úlohám.) Formulácie sú nasledovné: nájsť deriváciu funkcie; vziať derivát; rozlíšiť funkciu; vypočítať deriváciu a tak ďalej. To je všetko rovnaký. Samozrejme, existujú aj zložitejšie úlohy, kde nájdenie derivácie (diferenciácie) bude len jedným z krokov pri riešení úlohy.
Derivácia je označená pomlčkou v pravom hornom rohu funkcie. Páči sa ti to: y" alebo f"(x) alebo S"(t) a tak ďalej.
Čítanie ťah igrek, ťah ef od x, ťah es od te, no chápeš...)
Prvočíslo môže tiež označovať deriváciu konkrétnej funkcie, napríklad: (2x+3)", (X 3 )" , (sinx)" atď. Derivácie sa často označujú pomocou diferenciálov, ale v tejto lekcii sa takýmto zápisom nebudeme zaoberať.
Predpokladajme, že sme sa naučili chápať úlohy. Zostáva len naučiť sa ich riešiť.) Ešte raz vám pripomeniem: nájsť deriváciu je transformácia funkcie podľa určitých pravidiel. Prekvapivo je týchto pravidiel veľmi málo.
Ak chcete nájsť deriváciu funkcie, potrebujete vedieť iba tri veci. Tri piliere, na ktorých stojí všetka diferenciácia. Tu sú tieto tri piliere:
1. Tabuľka derivátov (diferenciačné vzorce).
3. Derivácia komplexnej funkcie.
Začnime pekne po poriadku. V tejto lekcii sa pozrieme na tabuľku derivátov.
Tabuľka derivátov.
Na svete existuje nekonečné množstvo funkcií. Medzi touto odrodou sú funkcie, ktoré sú najdôležitejšie praktické uplatnenie. Tieto funkcie sa nachádzajú vo všetkých prírodných zákonoch. Z týchto funkcií, podobne ako z tehál, môžete postaviť všetky ostatné. Táto trieda funkcií sa nazýva elementárne funkcie. Práve tieto funkcie sa študujú v škole - lineárne, kvadratické, hyperbola atď.
Diferenciácia funkcií „od nuly“, t.j. Na základe definície derivácie a teórie limitov ide o dosť pracnú vec. A matematici sú tiež ľudia, áno, áno!) Takže zjednodušili svoj (a nám) život. Pred nami vypočítali derivácie elementárnych funkcií. Výsledkom je tabuľka derivátov, kde je všetko pripravené.)
Tu je táto doska pre najobľúbenejšie funkcie. Vľavo je elementárna funkcia, vpravo jej derivácia.
| Funkcia r |
Derivácia funkcie y y" |
|
| 1 | C (konštantná hodnota) | C" = 0 |
| 2 | X | x" = 1 |
| 3 | x n (n - ľubovoľné číslo) | (x n)" = nx n-1 |
| x 2 (n = 2) | (x 2)" = 2x | |
 |
||
 |
 |
|
| 4 | hriech x | (hriech x)" = cosx |
| cos x | (cos x)" = - hriech x | |
| tg x |  |
|
| ctg x |  |
|
| 5 | arcsin x |  |
| arccos x |  |
|
| arctan x |  |
|
| arcctg x |  |
|
| 4 | a X |  |
| e X | ||
| 5 | log a X |  |
| ln x ( a = e) |
Odporúčam venovať pozornosť tretej skupine funkcií v tejto tabuľke derivácií. Derivácia mocninnej funkcie je jedným z najbežnejších vzorcov, ak nie najbežnejším! Rozumieš tej nápovede?) Áno, je vhodné poznať tabuľku derivátov naspamäť. Mimochodom, nie je to také ťažké, ako by sa mohlo zdať. Skúste vyriešiť viac príkladov, samotná tabuľka sa zapamätá!)
Ako viete, nájsť tabuľkovú hodnotu derivátu nie je najťažšia úloha. Preto veľmi často v takýchto úlohách existujú ďalšie čipy. Buď v znení úlohy, alebo v pôvodnej funkcii, ktorá v tabuľke akoby nebola...
Pozrime sa na niekoľko príkladov:
1. Nájdite deriváciu funkcie y = x 3
Takáto funkcia v tabuľke nie je. Existuje však derivát výkonovej funkcie všeobecný pohľad(tretia skupina). V našom prípade n=3. Namiesto n teda dosadíme tri a pozorne zapíšeme výsledok:
(X 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2
To je všetko.
odpoveď: y" = 3x 2
2. Nájdite hodnotu derivácie funkcie y = sinx v bode x = 0.
Táto úloha znamená, že najprv musíte nájsť deriváciu sínusu a potom nahradiť hodnotu x = 0 práve do tohto derivátu. Presne v tomto poradí! V opačnom prípade sa stane, že do pôvodnej funkcie okamžite dosadia nulu... Sme vyzvaní nájsť nie hodnotu pôvodnej funkcie, ale hodnotu jeho derivát. Pripomínam vám, že derivácia je nová funkcia.
Pomocou tabuľky nájdeme sínus a zodpovedajúcu deriváciu:
y" = (hriech x)" = cosx
Do derivácie dosadíme nulu:
y"(0) = cos 0 = 1
Toto bude odpoveď.
3. Diferencujte funkciu:
Čo, inšpiruje?) V tabuľke derivátov takáto funkcia nie je.
Dovoľte mi pripomenúť, že diferencovať funkciu znamená jednoducho nájsť deriváciu tejto funkcie. Ak zabudnete na elementárnu trigonometriu, hľadanie derivácie našej funkcie je dosť problematické. Tabuľka nepomôže...
Ale ak vidíme, že naša funkcia je dvojitý uhol kosínus, potom sa všetko hneď zlepší!
Áno áno! Pamätajte, že transformácia pôvodnej funkcie pred diferenciáciou celkom prijateľné! A stáva sa, že to značne uľahčuje život. Použitie kosínusového vzorca s dvojitým uhlom:
Tie. naša zložitá funkcia nie je nič iné ako y = cosx. A toto je tabuľková funkcia. Okamžite dostaneme:
odpoveď: y" = - hriech x.
Príklad pre pokročilých absolventov a študentov:
4. Nájdite deriváciu funkcie:
V tabuľke derivátov, samozrejme, takáto funkcia neexistuje. Ale ak si pamätáte elementárnu matematiku, operácie s mocninami... Potom je celkom možné túto funkciu zjednodušiť. Páči sa ti to:
A x v mocnine jednej desatiny je už tabuľková funkcia! Tretia skupina, n=1/10. Píšeme priamo podľa vzorca:
To je všetko. Toto bude odpoveď.
Dúfam, že s prvým pilierom diferenciácie - tabuľkou derivátov je všetko jasné. Zostáva sa vysporiadať s dvoma zostávajúcimi veľrybami. V ďalšej lekcii sa naučíme pravidlá diferenciácie.
Dôkaz a odvodenie vzorcov pre deriváciu exponenciály (e na x) a exponenciálnej funkcie (a na x). Príklady výpočtu derivácií e^2x, e^3x a e^nx. Vzorce pre deriváty vyšších rádov.
Derivácia exponentu sa rovná samotnému exponentu (derivácia e mocniny x sa rovná e mocniny x):
(1)
(e x)' = e x.
Derivácia exponenciálnej funkcie so základom stupňa a sa rovná samotnej funkcii vynásobenej prirodzený logaritmus od:
(2)
.
Odvodenie vzorca pre deriváciu exponenciály, e na x mocninu
Exponent je exponenciálna funkcia, ktorého základ sa rovná číslu e, čo je nasledujúca limita:
.
Tu to môže byť buď prirodzené číslo, alebo reálne číslo. Ďalej odvodíme vzorec (1) pre deriváciu exponenciály.
Odvodenie vzorca exponenciálnej derivácie
Uvažujme exponenciálnu mocninu e na x:
y = e x.
Táto funkcia je definovaná pre každého. Nájdime jej deriváciu vzhľadom na premennú x. Podľa definície je derivát nasledujúci limit:
(3)
.
Transformujme tento výraz, aby sme ho zredukovali na známe matematické vlastnosti a pravidlá. Na to potrebujeme nasledujúce fakty:
A) Vlastnosť exponentu:
(4)
;
B) Vlastnosť logaritmu:
(5)
;
IN) Spojitosť logaritmu a vlastnosť limity pre spojitú funkciu:
(6)
.
Tu je funkcia, ktorá má limit a tento limit je kladný.
G) Význam druhej pozoruhodnej hranice:
(7)
.
Aplikujme tieto fakty na náš limit (3). Používame majetok (4):
;
.
Urobme náhradu. Potom ;
.
.
Vzhľadom na kontinuitu exponenciály,
.
Preto, keď ,. V dôsledku toho dostaneme:
.
Urobme náhradu. Potom .
O , .
.
Použime vlastnosť (6). Pretože existuje kladný limit a logaritmus je spojitý, potom:
.
Tu sme použili aj druhú pozoruhodnú hranicu (7). Potom
.
Takto sme dostali vzorec (1) pre deriváciu exponenciály.
Odvodenie vzorca pre deriváciu exponenciálnej funkcie
Teraz odvodíme vzorec (2) pre deriváciu exponenciálnej funkcie so základom stupňa a. Veríme, že a . Potom exponenciálna funkcia
(8)
Definované pre každého.
Transformujme vzorec (8). Na to použijeme vlastnosti exponenciálnej funkcie a logaritmus.
;
.
Takže sme transformovali vzorec (8) do nasledujúceho tvaru:
.
Deriváty e vyššieho rádu k mocnine x
Teraz nájdime deriváty vyšších rádov. Najprv sa pozrime na exponent:
(14)
.
(1)
.
Vidíme, že derivácia funkcie (14) sa rovná samotnej funkcii (14). Diferencovaním (1) získame deriváty druhého a tretieho rádu:
;
.
To ukazuje, že derivácia n-tého rádu sa tiež rovná pôvodnej funkcii:
.
Derivácie vyššieho rádu exponenciálnej funkcie
Teraz zvážte exponenciálnu funkciu so základňou stupňa a:
.
Našli sme jeho derivát prvého rádu:
(15)
.
Diferencovaním (15) získame deriváty druhého a tretieho rádu:
;
.
Vidíme, že každá diferenciácia vedie k vynásobeniu pôvodnej funkcie číslom . Preto má derivácia n-tého rádu nasledujúci tvar:
.
Vytvorte pomer a vypočítajte limit.
Odkiaľ to prišlo? tabuľky derivátov a pravidiel diferenciácie? Vďaka jedinému limitu. Vyzerá to ako kúzlo, ale v skutočnosti ide o trik a žiadny podvod. Na lekcii Čo je derivát? Začal som sa pozerať konkrétne príklady, kde som pomocou definície našiel derivácie lineárnych a kvadratickej funkcie. Za účelom kognitívnej rozcvičky budeme ďalej rušiť tabuľku derivátov, zdokonaľovanie algoritmu a technika riešenia:
Príklad 1
V podstate musíte dokázať špeciálny prípad derivácia mocninnej funkcie, ktorá sa zvyčajne vyskytuje v tabuľke: .
Riešenie technicky formalizované dvoma spôsobmi. Začnime prvým, už známym prístupom: rebrík začína doskou a derivačná funkcia začína deriváciou v bode.
Uvažujme niektoré(konkrétny) bod patriaci do doména definície funkcia, v ktorej je derivácia. V tomto bode nastavíme prírastok (samozrejme v rámci možnostío/o
-ja) a zostavte zodpovedajúci prírastok funkcie:
Vypočítajme limit:
Neistota 0:0 je eliminovaná štandardnou technikou, uvažovanou už v prvom storočí pred naším letopočtom. Vynásobte čitateľa a menovateľa konjugovaným výrazom 
:
Technika riešenia takéhoto limitu je podrobne rozobratá v úvodnej lekcii. o limitoch funkcií.
Keďže si ako kvalitu môžete vybrať AKÝKOĽVEK bod intervalu, po výmene dostaneme:
Odpoveď
Ešte raz sa radujme z logaritmov:
Príklad 2
Nájdite deriváciu funkcie pomocou definície derivácie
Riešenie: Uvažujme o inom prístupe k podpore rovnakej úlohy. Je úplne rovnaký, no dizajnovo racionálnejší. Cieľom je zbaviť sa dolného indexu na začiatku riešenia a namiesto písmena použiť písmeno.
Uvažujme svojvoľný bod patriaci do doména definície funkciu (interval) a v nej nastavte prírastok. Ale tu, mimochodom, ako vo väčšine prípadov, môžete urobiť bez akýchkoľvek výhrad, pretože logaritmická funkcia je diferencovateľná v akomkoľvek bode v oblasti definície.
Potom je zodpovedajúci prírastok funkcie:
Poďme nájsť derivát:
Jednoduchosť dizajnu je vyvážená zmätkom, ktorý môže nastať pre začiatočníkov (nielen). Koniec koncov, sme zvyknutí, že písmeno „X“ sa v limite mení! Ale tu je všetko inak: - starožitná socha a - živý návštevník, svižne kráčajúci po chodbe múzea. To znamená, že „x“ je „ako konštanta“.
K odstraňovaniu neistoty sa vyjadrím krok za krokom:
(1) Používame vlastnosť logaritmu.
(2) V zátvorke vydeľte čitateľa menovateľom člen po člen.
(3) V menovateli umelo násobíme a delíme „x“, aby sme to využili pozoruhodný limit 
, zatiaľ čo ako nekonečne malý vyčnieva.
Odpoveď: podľa definície derivátu:
Alebo v skratke:
Navrhujem, aby ste si sami vytvorili dva ďalšie vzorce tabuľky:
Príklad 3
IN v tomto prípade je vhodné okamžite zredukovať zostavený prírastok na spoločného menovateľa. Približná vzorka dokončenie zadania na konci hodiny (prvá metóda).
Príklad 3:Riešenie
: zvážte nejaký bod
, patriaci do oblasti definície funkcie
. V tomto bode nastavíme prírastok
a zostavte zodpovedajúci prírastok funkcie:
Nájdime deriváciu v bode
:
Keďže ako a
môžete vybrať ľubovoľný bod
funkčná doména
, To
A
Odpoveď
:
podľa definície derivátu
Príklad 4
Nájdite derivát podľa definície
A tu je potrebné všetko zredukovať úžasná hranica. Riešenie je formalizované druhým spôsobom.
Množstvo ďalších tabuľkové deriváty. Úplný zoznam nájdete v školskej učebnici, alebo napríklad v 1. diele Fichtenholtza. Nevidím veľký zmysel v kopírovaní dôkazov o pravidlách diferenciácie z kníh - sú tiež generované vzorcom.
Príklad 4:Riešenie
, patriaci
a nastavte v ňom prírastok
Poďme nájsť derivát:
Použitie úžasného limitu
Odpoveď
:
a-priorstvo
Príklad 5
Nájdite deriváciu funkcie pomocou definície derivácie
Riešenie: používame prvý štýl dizajnu. Zoberme si nejaký bod patriaci do , a špecifikujme prírastok argumentu v ňom. Potom je zodpovedajúci prírastok funkcie:
Možno niektorí čitatelia ešte úplne nepochopili princíp, podľa ktorého je potrebné robiť prírastky. Vezmite bod (číslo) a nájdite v ňom hodnotu funkcie: 
, teda do funkcie namiesto"X" by sa malo nahradiť. Teraz tiež vezmeme veľmi špecifické číslo a dosadíme ho do funkcie namiesto"iksa": . Rozdiel zapíšeme a je to potrebné vložte do zátvoriek úplne.
Kompilovaný prírastok funkcie Okamžité zjednodušenie môže byť prospešné. Prečo? Uľahčiť a skrátiť riešenie na ďalší limit.
Používame vzorce, otvárame zátvorky a znižujeme všetko, čo sa dá znížiť: 
Morka je vypitvaná, žiadny problém s pečením:
Keďže si ako hodnotu môžeme vybrať akékoľvek reálne číslo, vykonáme náhradu a dostaneme 
.
Odpoveď: a-priorstvo.
Na účely overenia nájdime derivát pomocou diferenciačné pravidlá a tabuľky:
Vždy je užitočné a príjemné poznať správnu odpoveď vopred, preto je lepšie navrhnutú funkciu „rýchlo“ či už mentálne alebo v náčrte hneď na začiatku riešenia odlíšiť.
Príklad 6
Nájdite deriváciu funkcie podľa definície derivácie
Toto je príklad pre nezávislé rozhodnutie. Výsledok je zrejmý:
Príklad 6:Riešenie
: zvážte nejaký bod
, patriaci
, a nastavte v ňom prírastok argumentu
. Potom je zodpovedajúci prírastok funkcie:
Vypočítajme deriváciu:
Takto: 
Pretože ako
potom si môžete vybrať akékoľvek reálne číslo
A
Odpoveď
:
a-priorstvo.
Vráťme sa k štýlu #2:
Príklad 7
Poďme okamžite zistiť, čo by sa malo stať. Autor: pravidlo diferenciácie komplexných funkcií:
Riešenie: zvážte ľubovoľný bod patriaci do , nastavte naň prírastok argumentu a vytvorte prírastok funkcie:
Poďme nájsť derivát: 
(1) Použitie trigonometrický vzorec
.
(2) Pod sínusom otvárame zátvorky, pod kosínusom uvádzame podobné pojmy.
(3) Pod sínusom redukujeme členy, pod kosínusom delíme čitateľa menovateľom člen členmi.
(4) Kvôli zvláštnosti sínusu vyberáme „mínus“. Pod kosínusom uvádzame, že výraz .
(5) Umelé násobenie vykonávame v menovateli s cieľom použiť prvá úžasná limitka. Neistota je teda eliminovaná, urobme poriadok vo výsledku.
Odpoveď: a-priorita
Ako vidíte, hlavná náročnosť uvažovaného problému spočíva v zložitosti samotného limitu + miernej jedinečnosti balenia. V praxi sa vyskytujú oba spôsoby navrhovania, preto oba prístupy popisujem čo najpodrobnejšie. Sú ekvivalentné, ale podľa môjho subjektívneho dojmu je pre figuríny vhodnejšie držať sa možnosti 1 s „X-nula“.
Príklad 8
Pomocou definície nájdite deriváciu funkcie
Príklad 8:Riešenie
: zvážiť svojvoľný bod
, patriaci
, nastavíme v ňom prírastok
a zostavte prírastok funkcie:
Poďme nájsť derivát:
Používame trigonometrický vzorec
a prvý pozoruhodný limit:
Odpoveď
:
a-priorstvo
Pozrime sa na zriedkavejšiu verziu problému:
Príklad 9
Nájdite deriváciu funkcie v bode pomocou definície derivácie.
Po prvé, aký by mal byť základ? číslo
Vypočítajme odpoveď štandardným spôsobom: 
Riešenie: z hľadiska prehľadnosti je táto úloha oveľa jednoduchšia, pretože vzorec namiesto toho zohľadňuje konkrétnu hodnotu.
Nastavíme prírastok v bode a zostavíme zodpovedajúci prírastok funkcie:
Vypočítajme deriváciu v bode:
Používame veľmi zriedkavý vzorec tangens rozdielu 
a ešte raz znížime riešenie na prvá úžasná hranica:
Odpoveď: podľa definície derivácie v bode.
Problém nie je tak ťažké vyriešiť „vo všeobecnosti“ - stačí nahradiť alebo jednoducho v závislosti od metódy návrhu. V tomto prípade je jasné, že výsledkom nebude číslo, ale odvodená funkcia.
Príklad 10
Pomocou definície nájdite deriváciu funkcie 
v bode (z ktorých jeden sa môže ukázať ako nekonečný), o ktorom hovorím všeobecný prehľad už bolo povedané teoretická lekcia o derivácii.
Niektoré po častiach dané funkcie sú tiež diferencovateľné v „spojných“ bodoch grafu, napríklad mačací pes má spoločnú deriváciu a spoločnú tangentu (os x) v bode. Krivka, ale rozlíšiteľná podľa ! Záujemcovia si to môžu overiť na práve vyriešenom príklade.
©2015-2019 stránka
Všetky práva patria ich autorom. Táto stránka si nenárokuje autorstvo, ale poskytuje bezplatné používanie.
Dátum vytvorenia stránky: 2017-06-11
Problém nájdenia derivácie danej funkcie je jedným z hlavných v kurze matematiky stredná škola a vo vyššom vzdelávacie inštitúcie. Nie je možné úplne preskúmať funkciu a zostaviť jej graf bez toho, aby sme vzali jej deriváciu. Deriváciu funkcie možno ľahko nájsť, ak poznáte základné pravidlá diferenciácie, ako aj tabuľku derivácií základných funkcií. Poďme zistiť, ako nájsť deriváciu funkcie.
Derivácia funkcie je hranica pomeru prírastku funkcie k prírastku argumentu, keď má prírastok argumentu tendenciu k nule.
Pochopenie tejto definície je dosť ťažké, keďže pojem limit v naplno neštudoval v škole. Ale s cieľom nájsť deriváty rôzne funkcie, definícii nie je potrebné rozumieť, nechajme to na matematikov a prejdime rovno k hľadaniu derivácie.
Proces hľadania derivátu sa nazýva diferenciácia. Keď derivujeme funkciu, dostaneme novú funkciu.
Na ich označenie použijeme písmená f, g atď.
Existuje mnoho rôznych označení pre deriváty. Použijeme ťah. Napríklad písanie g“ znamená, že nájdeme deriváciu funkcie g.
Tabuľka derivátov
Aby bolo možné odpovedať na otázku, ako nájsť deriváciu, je potrebné poskytnúť tabuľku derivácií hlavných funkcií. Na výpočet derivácií elementárnych funkcií nie je potrebné vykonávať zložité výpočty. Stačí sa len pozrieť na jeho hodnotu v tabuľke derivátov.
- (sin x)"=cos x
- (cos x)"= -sin x
- (x n)" = n x n-1
- (e x)" = e x
- (ln x)" = 1/x
- (a x)"=a x ln a
- (log a x)"=1/x ln a
- (tg x)" = 1/cos 2 x
- (ctg x)"= – 1/sin 2 x
- (arcsin x)"= 1/√(1-x 2)
- (arccos x)"= - 1/√ (1-x 2)
- (arctg x)"= 1/(1+x 2)
- (arcctg x)"= - 1/(1+x 2)
Príklad 1. Nájdite deriváciu funkcie y=500.
Vidíme, že toto je konštanta. Z tabuľky derivácií je známe, že derivácia konštanty sa rovná nule (vzorec 1).
Príklad 2. Nájdite deriváciu funkcie y=x 100.
Toto výkonová funkcia ktorého exponent je 100 a na nájdenie jeho derivácie je potrebné funkciu vynásobiť exponentom a znížiť ju o 1 (vzorec 3).
(x 100)" = 100 x 99
Príklad 3. Nájdite deriváciu funkcie y=5 x
Toto je exponenciálna funkcia, vypočítajme jej deriváciu pomocou vzorca 4.
Príklad 4. Nájdite deriváciu funkcie y= log 4 x
Deriváciu logaritmu nájdeme pomocou vzorca 7.
(log 4 x)" = 1/x ln 4
Pravidlá diferenciácie
Poďme teraz zistiť, ako nájsť deriváciu funkcie, ak nie je v tabuľke. Väčšina skúmaných funkcií nie je elementárna, ale ide o kombinácie elementárnych funkcií pomocou jednoduchých operácií (sčítanie, odčítanie, násobenie, delenie a násobenie číslom). Ak chcete nájsť ich deriváty, musíte poznať pravidlá diferenciácie. Písmená f a g nižšie označujú funkcie a C je konštanta.
1. Konštantný koeficient možno vyňať zo znamienka derivácie
Príklad 5. Nájdite deriváciu funkcie y= 6*x 8
Vyberieme konštantný faktor 6 a diferencujeme iba x 4. Ide o mocninnú funkciu, ktorej deriváciu nájdeme pomocou vzorca 3 v tabuľke derivácií.
(6*x 8)" = 6*(x 8)"=6*8*x 7 = 48* x 7
2. Derivácia súčtu sa rovná súčtu derivátov
(f + g)"=f" + g"
Príklad 6. Nájdite deriváciu funkcie y= x 100 +sin x
Funkcia je súčet dvoch funkcií, ktorých derivácie môžeme nájsť z tabuľky. Pretože (x 100)"=100 x 99 a (sin x)"=cos x. Derivát súčtu sa bude rovnať súčtu týchto derivátov:
(x 100 + hriech x)"= 100 x 99 + cos x
3. Derivácia rozdielu sa rovná rozdielu derivácií
(f – g)"=f" – g"
Príklad 7. Nájdite deriváciu funkcie y= x 100 – cos x
Táto funkcia je rozdielom dvoch funkcií, ktorých derivácie nájdeme aj z tabuľky. Potom sa derivácia rozdielu rovná rozdielu derivácií a nezabudnite zmeniť znamienko, pretože (cos x)"= – sin x.
(x 100 – cos x)"= 100 x 99 + hriech x
Príklad 8. Nájdite deriváciu funkcie y=e x +tg x– x 2.
Táto funkcia má súčet aj rozdiel; nájdime deriváty každého výrazu:
(e x)"=e x, (tg x)"=1/cos 2 x, (x 2)"=2 x. Potom sa derivácia pôvodnej funkcie rovná:
(e x + tg x– x 2)"= e x +1/cos 2 x –2 x
4. Derivát produktu
(f * g)"=f" * g + f * g"
Príklad 9. Nájdite deriváciu funkcie y= cos x *e x
Aby sme to dosiahli, najprv nájdeme deriváciu každého faktora (cos x)"=–sin x a (e x)"=e x. Teraz nahraďme všetko do vzorca produktu. Deriváciu prvej funkcie vynásobíme druhou a súčin prvej funkcie pripočítame deriváciou druhej.
(cos x* e x)"= e x cos x – e x *sin x
5. Derivácia kvocientu
(f / g) "= f" * g - f * g" / g 2
Príklad 10. Nájdite deriváciu funkcie y= x 50 /sin x
Aby sme našli deriváciu kvocientu, najprv nájdeme deriváciu čitateľa a menovateľa oddelene: (x 50)"=50 x 49 a (sin x)"= cos x. Dosadením derivácie kvocientu do vzorca dostaneme:
(x 50 /sin x)"= 50x 49 *sin x – x 50 *cos x/sin 2 x
Derivácia komplexnej funkcie
Komplexná funkcia je funkcia reprezentovaná zložením viacerých funkcií. Existuje aj pravidlo na nájdenie derivácie komplexnej funkcie:
(u (v))"=u"(v)*v"
Poďme zistiť, ako nájsť deriváciu takejto funkcie. Nech y= u(v(x)) - komplexná funkcia. Nazvime funkciu u externá a v - vnútorná.
Napríklad:
y=sin (x 3) je komplexná funkcia.
Potom y=sin(t) je externá funkcia
t=x 3 - interné.
Skúsme vypočítať deriváciu tejto funkcie. Podľa vzorca musíte vynásobiť deriváty vnútorných a vonkajších funkcií.
(sin t)"=cos (t) - derivácia vonkajšej funkcie (kde t=x 3)
(x 3)"=3x 2 - derivácia vnútornej funkcie
Potom (sin (x 3))"= cos (x 3)* 3x 2 je derivácia komplexnej funkcie.
