Ak sa zdá, že vaše dieťa nevie prísť na to, ako deliť desatinné miesta, nie je to dôvod myslieť si, že nie je schopné matematiky.
S najväčšou pravdepodobnosťou mu jednoducho nevysvetlili, ako sa to stalo. Musíme dieťaťu pomôcť a povedať mu o zlomkoch a operáciách s nimi čo najjednoduchším, takmer hravým spôsobom. A na to si musíme niečo sami zapamätať.
Zlomkové výrazy sa používajú, keď hovoríme o neceločíselných číslach. Ak je zlomok menší ako jedna, potom opisuje časť niečoho, ak je viac, opisuje niekoľko celých častí a ďalší kus. Zlomky sú opísané 2 hodnotami: menovateľ, ktorý vysvetľuje, na koľko rovnakých častí je číslo rozdelené, a čitateľ, ktorý nám hovorí, koľko takýchto častí máme na mysli.
Povedzme, že ste koláč rozrezali na 4 rovnaké časti a jednu z nich dali svojim susedom. Menovateľ bude rovný 4. A čitateľ závisí od toho, čo chceme opísať. Ak hovoríme o tom, koľko bolo rozdaných susedom, potom je čitateľ 1, a ak hovoríme o tom, koľko zostalo, potom 3.
V príklade koláča je menovateľ 4 a vo výraze „1 deň je 1/7 týždňa“ je to 7. Zlomkový výraz s ľubovoľným menovateľom je spoločný zlomok.
Matematici, ako všetci ostatní, sa snažia uľahčiť si život. A preto boli vynájdené desatinné zlomky. V nich sa menovateľ rovná 10 alebo číslam, ktoré sú násobkami 10 (100, 1000, 10 000 atď.) a zapisujú sa takto: celočíselná zložka čísla sa oddeľuje od zlomkovej zložky čiarkou. Napríklad 5,1 je 5 celých a 1 desatina a 7,86 je 7 celých a 86 stotín.
Malé útočisko nie je pre vaše deti, ale pre vás. U nás je zvykom oddeľovať zlomkovú časť čiarkou. V zahraničí je podľa ustálenej tradície zvykom oddeľovať ho bodkou. Preto, ak na podobné označenie v cudzom texte narazíte, nečudujte sa.
Delenie zlomkov
Každá aritmetická operácia s podobnými číslami má svoje vlastné charakteristiky, ale teraz sa pokúsime naučiť, ako deliť desatinné zlomky. Je možné deliť zlomok o prirodzené číslo alebo do inej frakcie.
Na uľahčenie zvládnutia tejto aritmetickej operácie je dôležité zapamätať si jednu jednoduchú vec.
Keď sa naučíte používať čiarky, môžete použiť rovnaké pravidlá delenia ako pre celé čísla.
Zvážte delenie zlomku prirodzeným číslom. Technológia rozdelenia na stĺpec by vám mala byť známa už z predtým pokrytých materiálov. Postup je podobný. Dividenda sa delí znamienkom po znamienku deliteľ. Len čo obrat dosiahne posledné znamienko pred čiarkou, vloží sa do kvocientu čiarka a potom sa pokračuje v delení obvyklým spôsobom.
Teda okrem odstránenia čiarky - najviac pravidelné delenie, a čiarka nie je veľmi ťažká.
Delenie zlomku zlomkom
Príklady, v ktorých musíte vydeliť jednu zlomkovú hodnotu druhou, sa zdajú byť veľmi zložité. Ale v skutočnosti nie je o nič ťažšie sa s nimi vysporiadať. Delenie jedného desatinného zlomku druhým bude oveľa jednoduchšie, ak sa zbavíte čiarky v deliteľovi.
Ako to spraviť? Ak potrebujete dať 90 ceruziek do 10 škatúľ, koľko ceruziek bude v každej škatuľke? 9. Vynásobme obe čísla 10 - 900 ceruziek a 100 políčok. Koľko v každej? 9. Rovnaký princíp platí, keď potrebujete rozdeliť desatinný zlomok.
Deliteľ sa úplne zbaví čiarky a čiarka dividendy sa posunie doprava o toľko miest, koľko bolo predtým v deliteľovi. A potom sa uskutoční obvyklé rozdelenie do stĺpca, o ktorom sme hovorili vyššie. Napríklad:
25,6/6,4 = 256/64 = 4;
10,24/1,6 = 102,4/16 =6,4;
100,725/1,25 =10072,5/125 =80,58.
Dividenda sa musí násobiť a násobiť 10, kým sa deliteľ nestane celým číslom. Preto môže mať napravo nuly navyše.
40,6/0,58 =4060/58=70.
Nie je na tom nič zlé. Zapamätajte si príklad s ceruzkami – odpoveď sa nezmení, ak obe čísla zvýšite o rovnakú hodnotu. Spoločné zlomky sa delia ťažšie, najmä ak v čitateli a menovateli nie sú spoločné činitele.
Delenie desatinného čísla je v tomto smere oveľa pohodlnejšie. Najnáročnejší trik je tu trik s ovíjaním čiarkou, ale ako sme videli, je ľahké ho zvládnuť. Tým, že to budete môcť sprostredkovať svojmu dieťaťu, naučíte ho deliť desatinné čísla.
Po zvládnutí tohto jednoduchého pravidla sa váš syn alebo dcéra budú cítiť na hodinách matematiky oveľa sebavedomejšie a ktovie, možno ho tento predmet začne zaujímať. Matematické myslenie sa zriedkavo prejavuje od raného detstva, niekedy je potrebný tlak a záujem.
Tým, že budete dieťaťu pomáhať s domácimi úlohami, zlepšíte nielen jeho študijné výsledky, ale aj rozšírite okruh jeho záujmov, za čo vám bude po čase vďačné.
Zlomok je jedna alebo viac častí celku, zvyčajne jedna (1). Rovnako ako pri prirodzených číslach, aj so zlomkami môžete vykonávať všetky základné aritmetické operácie (sčítanie, odčítanie, delenie, násobenie), na to potrebujete poznať vlastnosti práce so zlomkami a rozlišovať ich typy. Existuje niekoľko typov zlomkov: desiatkové a obyčajné alebo jednoduché. Každý typ zlomku má svoje špecifiká, ale keď dôkladne pochopíte, ako s nimi zaobchádzať, budete vedieť vyriešiť akékoľvek príklady so zlomkami, pretože budete poznať základné princípy vykonávania aritmetických výpočtov so zlomkami. Pozrime sa na príklady, ako rozdeliť zlomok celým číslom pomocou odlišné typy zlomky.
Ako vydeliť jednoduchý zlomok prirodzeným číslom?Obyčajné alebo jednoduché zlomky sú zlomky, ktoré sú zapísané vo forme pomeru čísel, v ktorých je dividenda (čitateľ) uvedená v hornej časti zlomku a deliteľ (menovateľ) zlomku je uvedený v dolnej časti. Ako vydeliť takýto zlomok celým číslom? Pozrime sa na príklad! Povedzme, že potrebujeme vydeliť 8/12 2.
Aby sme to dosiahli, musíme vykonať niekoľko akcií:
Ak teda stojíme pred úlohou vydeliť zlomok celým číslom, schéma riešenia bude vyzerať asi takto: 
Podobným spôsobom môžete rozdeliť ľubovoľný obyčajný (jednoduchý) zlomok celým číslom.
Ako vydeliť desatinné číslo celým číslom?
Desatinné číslo je zlomok, ktorý sa získa rozdelením jednotky na desať, tisíc atď. Aritmetické operácie s desatinnými zlomkami sú celkom jednoduché.
Pozrime sa na príklad, ako rozdeliť zlomok celým číslom. Povedzme, že potrebujeme rozdeliť desatinný zlomok 0,925 prirodzeným číslom 5.
Aby sme to zhrnuli, zastavme sa pri dvoch hlavných bodoch, ktoré sú dôležité pri vykonávaní operácie delenia desatinné miesta podľa celého čísla: - na delenie desatinného zlomku prirodzeným číslom sa používa dlhé delenie;
- Po dokončení delenia celej časti dividendy sa do podielu umiestni čiarka.
V škole sa tieto činnosti študujú od jednoduchých po zložité. Preto je nevyhnutné dôkladne pochopiť algoritmus na vykonávanie týchto operácií jednoduché príklady. Takže neskôr nebudú žiadne ťažkosti s delením desatinných zlomkov do stĺpca. Veď toto je najviac ťažká možnosť podobné úlohy.
Tento predmet si vyžaduje dôsledné štúdium. Medzery vo vedomostiach sú tu neprijateľné. Tento princíp by si mal osvojiť každý žiak už na prvom stupni. Ak teda vynecháte niekoľko lekcií za sebou, budete si musieť látku osvojiť sami. V opačnom prípade nastanú neskoršie problémy nielen s matematikou, ale aj s inými predmetmi, ktoré s ňou súvisia.
Po druhé požadovaný stav úspešné štúdium matematika - na príklady na dlhé delenie prejdite až po zvládnutí sčítania, odčítania a násobenia.
Pre dieťa bude ťažké deliť, ak sa nenaučilo násobilku. Mimochodom, je lepšie to naučiť pomocou Pytagorovej tabuľky. Nie je nič zbytočné a násobenie sa v tomto prípade ľahšie učí.
Ako sa násobia prirodzené čísla v stĺpci?
Ak sa vyskytnú ťažkosti pri riešení príkladov v stĺpci na delenie a násobenie, mali by ste problém začať riešiť násobením. Pretože delenie je inverzná operácia násobenia:
- Pred vynásobením dvoch čísel sa na ne musíte dôkladne pozrieť. Vyberte si ten s viacerými číslicami (dlhší) a najskôr si ho zapíšte. Položte pod ňu druhú. Okrem toho čísla zodpovedajúcej kategórie musia byť v rovnakej kategórii. To znamená, že číslica úplne vpravo prvého čísla by mala byť nad číslicou úplne vpravo druhého čísla.
- Vynásobte číslicu úplne vpravo spodného čísla každou číslicou horného čísla, začnite sprava. Odpoveď napíšte pod čiaru tak, aby jej posledná číslica bola pod tou, ktorou ste vynásobili.
- Opakujte to isté s ďalšou číslicou nižšieho čísla. Ale výsledok násobenia musí byť posunutý o jednu číslicu doľava. V tomto prípade bude jeho posledná číslica pod tou, ktorou bola vynásobená.
Pokračujte v tomto násobení v stĺpci, kým sa nevyčerpajú čísla v druhom faktore. Teraz ich treba zložiť. Toto bude odpoveď, ktorú hľadáte.
Algoritmus na násobenie desatinných miest
Najprv si treba predstaviť, že dané zlomky nie sú desatinné, ale prirodzené. To znamená, odstráňte z nich čiarky a potom postupujte podľa popisu v predchádzajúcom prípade.
Rozdiel začína, keď je odpoveď zapísaná. V tejto chvíli je potrebné spočítať všetky čísla, ktoré sa objavia za desatinnými čiarkami v oboch zlomkoch. Presne toľko ich treba spočítať od konca odpovede a dať tam čiarku.
Tento algoritmus je vhodné ilustrovať na príklade: 0,25 x 0,33:
Kde začať s delením učenia?
Pred riešením príkladov dlhého delenia si musíte zapamätať názvy čísel, ktoré sa vyskytujú v príklade dlhého delenia. Prvý z nich (ten, ktorý je rozdelený) je deliteľný. Druhý (delený) je deliteľ. Odpoveď je súkromná.
Potom na jednoduchom každodennom príklade vysvetlíme podstatu tejto matematickej operácie. Napríklad, ak si vezmete 10 sladkostí, je ľahké ich rozdeliť rovnomerne medzi mamu a otca. Ale čo ak ich potrebujete dať svojim rodičom a bratovi?
Potom sa môžete zoznámiť s pravidlami delenia a osvojiť si ich konkrétne príklady. Najprv jednoduché a potom prejdite na ďalšie a zložitejšie.
Algoritmus na delenie čísel do stĺpca
Najprv si predstavme postup pre prirodzené čísla deliteľné jednociferným číslom. Budú tiež základom pre viacciferné delitele alebo desatinné zlomky. Až potom by ste mali vstúpiť malé zmeny, ale o tom neskôr:
- Pred dlhým delením musíte zistiť, kde sa nachádza dividenda a deliteľ.
- Zapíšte si dividendu. Napravo od nej je oddeľovač.
- Nakreslite roh vľavo a dole blízko posledného rohu.
- Určte neúplnú dividendu, teda číslo, ktoré bude minimálne na rozdelenie. Zvyčajne pozostáva z jednej číslice, maximálne z dvoch.
- Vyberte číslo, ktoré bude v odpovedi napísané ako prvé. Mal by to byť počet, koľkokrát sa deliteľ zmestí do dividendy.
- Zapíšte výsledok vynásobenia tohto čísla deliteľom.
- Napíšte to pod neúplnú dividendu. Vykonajte odčítanie.
- Pridajte k zvyšku prvú číslicu po časti, ktorá už bola rozdelená.
- Znova vyberte číslo odpovede.
- Opakujte násobenie a odčítanie. Ak je zvyšok nula a dividenda sa skončila, potom je príklad hotový. V opačnom prípade zopakujte kroky: odstráňte číslo, vyberte číslo, vynásobte, odčítajte.
Ako vyriešiť dlhé delenie, ak má deliteľ viac ako jednu číslicu?
Samotný algoritmus sa úplne zhoduje s tým, čo bolo opísané vyššie. Rozdiel bude v počte číslic v neúplnej dividende. Teraz by mali byť aspoň dvaja, ale ak sa ukáže, že sú menší ako deliteľ, potom by ste mali pracovať s prvými tromi číslicami.
V tomto rozdelení je ešte jedna nuansa. Faktom je, že zvyšok a k nemu pripočítané číslo niekedy nie sú deliteľné deliteľom. Potom musíte pridať ďalšie číslo v poradí. Ale odpoveď musí byť nula. Ak sa uskutoční rozdelenie trojciferné čísla v stĺpci možno budete musieť odstrániť viac ako dve číslice. Potom sa zavedie pravidlo: v odpovedi by malo byť o jednu nulu menej, ako je počet odstránených číslic.
Toto rozdelenie môžete zvážiť pomocou príkladu - 12082: 863.
- Neúplná dividenda v ňom sa ukazuje ako číslo 1208. Číslo 863 je v ňom umiestnené iba raz. Preto má byť odpoveď 1 a pod 1208 napíšte 863.
- Po odčítaní je zvyšok 345.
- K tomu treba pridať číslo 2.
- Číslo 3452 obsahuje 863 štyrikrát.
- Ako odpoveď treba zapísať štyri. Navyše, keď sa vynásobí 4, dostaneme presne toto číslo.
- Zvyšok po odčítaní je nula. To znamená, že rozdelenie je dokončené.
Odpoveď v príklade by bola číslo 14.
Čo ak dividenda skončí na nule?
Alebo pár núl? V tomto prípade je zvyšok nula, ale dividenda stále obsahuje nuly. Netreba zúfať, všetko je jednoduchšie, ako by sa mohlo zdať. Stačí k odpovedi jednoducho doplniť všetky nuly, ktoré zostanú nerozdelené.
Napríklad 400 musíte vydeliť 5. Neúplná dividenda je 40. Päťka sa do nej zmestí 8-krát. To znamená, že odpoveď by mala byť napísaná ako 8. Pri odčítaní nezostáva žiadny zvyšok. To znamená, že rozdelenie je dokončené, ale v dividende zostáva nula. Bude potrebné doplniť odpoveď. Takže delenie 400 číslom 5 sa rovná 80.
Čo robiť, ak potrebujete rozdeliť desatinný zlomok?
Toto číslo opäť vyzerá ako prirodzené číslo, ak nie čiarka oddeľujúca celú časť od zlomkovej časti. To naznačuje, že rozdelenie desatinných zlomkov do stĺpca je podobné tomu, ktoré je opísané vyššie.
Jediným rozdielom bude bodkočiarka. Predpokladá sa, že sa vloží do odpovede hneď, ako sa odstráni prvá číslica z zlomkovej časti. Ďalším spôsobom, ako to povedať, je toto: ak ste dokončili delenie celej časti, vložte čiarku a pokračujte v riešení ďalej.
Pri riešení príkladov dlhého delenia desatinnými zlomkami treba pamätať na to, že do časti za desatinnou čiarkou možno pridať ľubovoľný počet núl. Niekedy je to potrebné na doplnenie čísel.
Delenie na dve desatinné miesta
Môže sa to zdať komplikované. Ale len na začiatku. Koniec koncov, ako rozdeliť stĺpec zlomkov prirodzeným číslom, je už jasné. To znamená, že tento príklad musíme zredukovať na už známu formu.
Je to jednoduché. Oba zlomky musíte vynásobiť 10, 100, 1 000 alebo 10 000 a možno aj miliónom, ak si to problém vyžaduje. Násobiteľ sa má zvoliť podľa toho, koľko núl je v desatinnej časti deliteľa. To znamená, že výsledkom bude, že budete musieť rozdeliť zlomok prirodzeným číslom.
A toto bude ten najhorší scenár. Môže sa totiž stať, že dividenda z tejto operácie sa stane celým číslom. Potom sa riešenie príkladu s rozdelením na stĺpec zlomkov zredukuje na veľmi jednoduchá možnosť: operácie s prirodzenými číslami.
Napríklad: vydeľte 28,4 číslom 3,2:
- Najprv ich treba vynásobiť 10, keďže druhé číslo má za desatinnou čiarkou iba jednu číslicu. Vynásobením získate 284 a 32.
- Vraj sú oddelení. Navyše, celé číslo je 284 x 32.
- Prvé číslo zvolené pre odpoveď je 8. Vynásobením dostaneme 256. Zvyšok je 28.
- Delenie celej časti sa skončilo a v odpovedi je potrebná čiarka.
- Odstráňte do zvyšku 0.
- Vezmite znova 8.
- Zvyšok: 24. Pridajte k tomu ďalšiu 0.
- Teraz musíte vziať 7.
- Výsledok násobenia je 224, zvyšok je 16.
- Zložte ďalšiu 0. Vezmite si každý 5 a dostanete presne 160. Zvyšok je 0.
Rozdelenie je dokončené. Výsledok príkladu 28,4:3,2 je 8,875.
Čo ak je deliteľ 10, 100, 0,1 alebo 0,01?
Rovnako ako pri násobení, ani tu nie je potrebné dlhé delenie. Stačí jednoducho posunúť čiarku v požadovanom smere o určitý počet číslic. Navyše pomocou tohto princípu môžete riešiť príklady s celými číslami aj desatinnými zlomkami.
Ak teda potrebujete deliť 10, 100 alebo 1 000, desatinná čiarka sa posunie doľava o rovnaký počet číslic, o koľko je núl v deliteľovi. To znamená, že keď je číslo deliteľné 100, desatinná čiarka sa musí posunúť doľava o dve číslice. Ak je dividenda prirodzené číslo, potom sa predpokladá, že čiarka je na konci.
Táto akcia dáva rovnaký výsledok, ako keby sa číslo malo vynásobiť 0,1, 0,01 alebo 0,001. V týchto príkladoch je čiarka tiež posunutá doľava o počet číslic, ktorý sa rovná dĺžke zlomkovej časti.
Pri delení 0,1 (atď.) alebo násobení 10 (atď.) by sa desatinná čiarka mala posunúť doprava o jednu číslicu (alebo dve, tri, v závislosti od počtu núl alebo dĺžky zlomkovej časti).
Je potrebné poznamenať, že počet číslic uvedených v dividende nemusí byť dostatočný. Potom možno chýbajúce nuly doplniť doľava (v celej časti) alebo doprava (za desatinnou čiarkou).
Delenie periodických zlomkov
V tomto prípade nebude možné získať presnú odpoveď pri rozdelení do stĺpca. Ako vyriešiť príklad, ak sa stretnete so zlomkom s bodkou? Tu musíme prejsť k obyčajným zlomkom. A potom ich rozdeľte podľa predtým naučených pravidiel.
Napríklad musíte vydeliť 0.(3) číslom 0,6. Prvá časť je periodická. Prevedie sa na zlomok 3/9, ktorý po zmenšení dáva 1/3. Druhý zlomok je posledné desatinné miesto. Ešte jednoduchšie je zapísať si to ako obvykle: 6/10, čo sa rovná 3/5. Pravidlo delenia obyčajných zlomkov vyžaduje nahradiť delenie násobením a deliteľa prevráteným. To znamená, že v príklade ide o vynásobenie 1/3 5/3. Odpoveď bude 5/9.
Ak príklad obsahuje rôzne zlomky...
Potom je možných niekoľko riešení. Najprv sa môžete pokúsiť previesť bežný zlomok na desatinné číslo. Potom vydeľte dve desatinné miesta pomocou vyššie uvedeného algoritmu.
Po druhé, každý posledný desatinný zlomok možno zapísať ako spoločný zlomok. Ale to nie je vždy pohodlné. Najčastejšie sa takéto zlomky ukážu ako obrovské. A odpovede sú ťažkopádne. Preto sa prvý prístup považuje za vhodnejší.
V minulej lekcii sme sa naučili sčítať a odčítať desatinné miesta (pozri lekciu „Sčítanie a odčítanie desatinných miest“). Zároveň sme zhodnotili, o koľko sú výpočty zjednodušené v porovnaní s bežnými „dvojposchodovými“ zlomkami.
Žiaľ, pri násobení a delení desatinných miest tento efekt nenastáva. V niektorých prípadoch desiatkový zápis dokonca tieto operácie komplikuje.
Najprv si predstavme novú definíciu. Budeme ho vídať pomerne často a nielen v tejto lekcii.
Významná časť čísla je všetko medzi prvou a poslednou nenulovou číslicou vrátane koncov. Hovoríme len o číslach, desatinná čiarka sa neberie do úvahy.
Číslice obsiahnuté vo významnej časti čísla sa nazývajú významné číslice. Môžu sa opakovať a dokonca sa rovnať nule.
Zvážte napríklad niekoľko desatinných zlomkov a napíšte zodpovedajúce významné časti:
- 91,25 → 9125 (významné čísla: 9; 1; 2; 5);
- 0,008241 → 8241 (významné čísla: 8; 2; 4; 1);
- 15,0075 → 150075 (významné čísla: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
- 0,0304 → 304 (významné čísla: 3; 0; 4);
- 3000 → 3 (existuje len jedno platné číslo: 3).
Upozornenie: nuly vo vnútri významnej časti čísla nikam nevedú. S niečím podobným sme sa už stretli, keď sme sa učili prevádzať desatinné zlomky na obyčajné (pozri lekciu “ Desatinné čísla”).
Tento bod je taký dôležitý a chyby sa tu robia tak často, že v blízkej budúcnosti zverejním test na túto tému. Určite cvičte! A my, vyzbrojení konceptom významnej časti, v skutočnosti pristúpime k téme hodiny.
Násobenie desatinných miest
Operácia násobenia pozostáva z troch po sebe nasledujúcich krokov:
- Pre každý zlomok zapíšte významnú časť. Získate dve obyčajné celé čísla – bez menovateľov a desatinných čiarok;
- Vynásobte tieto čísla akýmkoľvek vhodným spôsobom. Priamo, ak sú čísla malé, alebo v stĺpci. Získame významnú časť požadovanej frakcie;
- Zistite, kde a o koľko číslic je posunutá desatinná čiarka v pôvodných zlomkoch, aby ste získali zodpovedajúcu významnú časť. Vykonajte spätné posuny pre významnú časť získanú v predchádzajúcom kroku.
Ešte raz pripomeniem, že nuly po stranách významnej časti sa nikdy neberú do úvahy. Ignorovanie tohto pravidla vedie k chybám.
- 0,28 ± 12,5;
- 6,3 · 1,08;
- 132,5 · 0,0034;
- 0,0108 1600,5;
- 5,25 · 10 000.
Pracujeme s prvým výrazom: 0,28 · 12,5.
- Zapíšme si významné časti pre čísla z tohto výrazu: 28 a 125;
- Ich súčin: 28 · 125 = 3500;
- V prvom faktore je desatinná čiarka posunutá o 2 číslice doprava (0,28 → 28) av druhom je posunutá o ďalšiu 1 číslicu. Celkovo potrebujete posun doľava o tri číslice: 3500 → 3 500 = 3,5.
Teraz sa pozrime na výraz 6,3 · 1,08.
- Zapíšme si významné časti: 63 a 108;
- Ich súčin: 63 · 108 = 6804;
- Opäť dva posuny doprava: o 2 a 1 číslicu. Celkom - opäť 3 číslice doprava, takže spätný posun bude 3 číslice doľava: 6804 → 6,804. Tentoraz nie sú žiadne koncové nuly.
Dosiahli sme tretí výraz: 132,5 · 0,0034.
- Významné časti: 1325 a 34;
- Ich súčin: 1325 · 34 = 45 050;
- V prvom zlomku sa desatinná čiarka posunie doprava o 1 číslicu a v druhej - až o 4. Celkom: 5 doprava. Posúvame sa o 5 doľava: 45 050 → ,45050 = 0,4505. Nula bola na konci odstránená a pridaná dopredu, aby nezostala „holá“ desatinná čiarka.
Nasledujúci výraz je: 0,0108 · 1600,5.
- Významné časti píšeme: 108 a 16 005;
- Vynásobíme ich: 108 · 16 005 = 1 728 540;
- Spočítame čísla za desatinnou čiarkou: v prvom čísle sú 4, v druhom 1. Súčet je opäť 5. Máme: 1 728 540 → 17,28540 = 17,2854. Na konci bola „extra“ nula odstránená.
Nakoniec posledný výraz: 5,25 10 000.
- Významné časti: 525 a 1;
- Vynásobíme ich: 525 · 1 = 525;
- Prvý zlomok je posunutý o 2 číslice doprava a druhý zlomok je posunutý o 4 číslice doľava (10 000 → 1 0000 = 1). Celkom 4 − 2 = 2 číslice vľavo. Prevedieme spätný posun o 2 číslice doprava: 525, → 52 500 (museli sme pridať nuly).
Poznámka v poslednom príklade: keďže sa desatinná čiarka pohybuje rôznymi smermi, celkový posun sa zistí cez rozdiel. Toto je veľmi dôležitý bod! Tu je ďalší príklad:
Zoberme si čísla 1,5 a 12 500. Máme: 1,5 → 15 (posun o 1 doprava); 12 500 → 125 (posun 2 doľava). „Vykročíme“ o 1 číslicu doprava a potom o 2 doľava. V dôsledku toho sme ustúpili 2 − 1 = 1 číslica doľava.
Desatinné delenie
Divízia je snáď najviac zložitá operácia. Samozrejme, tu môžete konať analogicky s násobením: rozdeliť významné časti a potom „presunúť“ desatinnú čiarku. Ale v tomto prípade existuje veľa jemností, ktoré negujú potenciálne úspory.
Preto sa pozrime na univerzálny algoritmus, ktorý je o niečo dlhší, ale oveľa spoľahlivejší:
- Preveďte všetky desatinné zlomky na obyčajné zlomky. S trochou cviku vám tento krok zaberie pár sekúnd;
- Výsledné zlomky rozdeľte klasickým spôsobom. Inými slovami, vynásobte prvý zlomok „prevrátenou“ sekundou (pozri lekciu „Násobenie a delenie číselných zlomkov“);
- Ak je to možné, uveďte výsledok znova ako desatinný zlomok. Tento krok je tiež rýchly, keďže menovateľom je často už mocnina desať.
Úloha. Nájdite význam výrazu:
- 3,51: 3,9;
- 1,47: 2,1;
- 6,4: 25,6:
- 0,0425: 2,5;
- 0,25: 0,002.
Zoberme si prvý výraz. Najprv prevedieme zlomky na desatinné miesta:
Urobme to isté s druhým výrazom. Čitateľ prvého zlomku bude opäť rozdelený na faktor:
V treťom a štvrtom príklade je dôležitý bod: po zbavení sa desatinného zápisu sa objavia redukovateľné zlomky. Toto zníženie však nevykonáme.
Posledný príklad je zaujímavý, pretože čitateľ druhého zlomku obsahuje prvočíslo. Jednoducho tu nie je čo faktorizovať, takže to zvážime priamo:
Niekedy výsledkom delenia je celé číslo (hovorím o poslednom príklade). V tomto prípade sa tretí krok vôbec nevykoná.
Okrem toho pri delení často vznikajú „škaredé“ zlomky, ktoré sa nedajú previesť na desatinné miesta. Toto odlišuje delenie od násobenia, kde sú výsledky vždy vyjadrené v desatinnej forme. Samozrejme, v tomto prípade sa posledný krok opäť nevykoná.
Venujte pozornosť aj 3. a 4. príkladu. V nich zámerne neskracujeme obyčajné zlomky, odvodené od desatinných miest. V opačnom prípade to skomplikuje inverznú úlohu - predstavuje konečnú odpoveď opäť v desiatkovej forme.
Pamätajte: základná vlastnosť zlomku (ako každé iné pravidlo v matematike) sama o sebe neznamená, že sa musí aplikovať všade a vždy, pri každej príležitosti.
V tomto článku sa na to pozrieme dôležitá akcia s desatinnými miestami, ako je delenie. Najprv formulujme všeobecné zásady, potom sa pozrieme na to, ako správne rozdeliť desatinné zlomky po stĺpcoch inými zlomkami aj prirodzenými číslami. Ďalej si rozoberieme delenie obyčajných zlomkov na desatinné miesta a naopak a na záver sa pozrieme na to, ako správne deliť zlomky končiace na 0, 1, 0, 01, 100, 10 atď.
Tu budeme brať len prípady s kladnými zlomkami. Ak je pred zlomkom mínus, musíte si s ním preštudovať materiál o delení racionálnych a reálnych čísel.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Všetky desatinné zlomky, konečné aj periodické, sú len špeciálnou formou zápisu obyčajných zlomkov. V dôsledku toho podliehajú rovnakým princípom ako ich zodpovedajúce obyčajné zlomky. Celý proces delenia desatinných zlomkov tak zredukujeme na ich nahradenie obyčajnými, po čom nasleduje výpočet pomocou nám už známych metód. Uveďme si konkrétny príklad.
Príklad 1
Vydeľte 1,2 číslom 0,48.
Riešenie
Desatinné zlomky píšme ako obyčajné zlomky. Dostaneme:
1 , 2 = 12 10 = 6 5
0 , 48 = 48 100 = 12 25 .
Musíme teda vydeliť 6 5 číslom 12 25. Počítame:
1, 2: 0, 48 = 6 2: 12 25 = 6 5 25 12 = 6 25 5 12 = 5 2
Z výsledného nesprávny zlomok môžete vybrať celú časť a získať zmiešané číslo 2 1 2, alebo ho môžete reprezentovať ako desatinný zlomok tak, aby zodpovedalo pôvodným číslam: 5 2 = 2, 5. O tom, ako to urobiť, sme už písali skôr.
odpoveď: 1 , 2: 0 , 48 = 2 , 5 .
Príklad 2
Vypočítajte, koľko bude 0 , (504) 0 , 56.
Riešenie
Najprv musíme previesť periodický desatinný zlomok na bežný zlomok.
0 , (504) = 0 , 504 1 - 0 , 001 = 0 , 504 0 , 999 = 504 999 = 56 111
Potom tiež prevedieme konečný desatinný zlomok do iného tvaru: 0, 56 = 56 100. Teraz máme dve čísla, s ktorými bude pre nás ľahké vykonať potrebné výpočty:
0 , (504) : 1 , 11 = 56 111: 56 100 = 56 111 100 56 = 100 111
Máme výsledok, ktorý vieme previesť aj do desiatkovej podoby. Ak to chcete urobiť, rozdeľte čitateľa menovateľom pomocou stĺpcovej metódy:
odpoveď: 0 , (504) : 0 , 56 = 0 , (900) .
Ak sme sa v príklade delenia stretli s neperiodickými desatinnými zlomkami, potom budeme postupovať trochu inak. Nevieme ich zredukovať na bežné obyčajné zlomky, preto ich pri delení musíme najskôr zaokrúhliť na určitú cifru. Táto akcia sa musí vykonať s dividendou aj deliteľom: v záujme presnosti zaokrúhlime aj existujúci konečný alebo periodický zlomok.
Príklad 3
Zistite, koľko je 0,779... / 1,5602.
Riešenie
Najprv oba zlomky zaokrúhlime na najbližšiu stotinu. Takto prejdeme od nekonečných neperiodických zlomkov k konečným desatinným:
0 , 779 … ≈ 0 , 78
1 , 5602 ≈ 1 , 56
Môžeme pokračovať vo výpočtoch a získať približný výsledok: 0, 779 ...: 1, 5602 ≈ 0, 78: 1, 56 = 78 100: 156 100 = 78 100 100 156 = 78 156 = 1 52 = 0, 1 52 = 0.
Presnosť výsledku bude závisieť od stupňa zaokrúhľovania.
odpoveď: 0 , 779 … : 1 , 5602 ≈ 0 , 5 .
Ako deliť prirodzené číslo desatinnou čiarkou a naopak
Prístup k deleniu je v tomto prípade takmer rovnaký: konečné a periodické zlomky nahrádzame obyčajnými a nekonečné neperiodické zaokrúhľujeme. Začnime príkladom delenia prirodzeným číslom a desatinným zlomkom.
Príklad 4
Vydeľte 2,5 číslom 45.
Riešenie
Zredukujeme 2, 5 na obyčajný zlomok: 255 10 = 51 2. Ďalej to musíme vydeliť prirodzeným číslom. Už vieme, ako na to:
25, 5: 45 = 51 2: 45 = 51 2 1 45 = 17 30
Ak výsledok prevedieme na desiatkový zápis, dostaneme 0,5 (6).
odpoveď: 25 , 5: 45 = 0 , 5 (6) .
Metóda dlhého delenia je dobrá nielen pre prirodzené čísla. Analogicky to môžeme použiť pre zlomky. Nižšie uvádzame postupnosť akcií, ktoré je potrebné vykonať.
Definícia 1
Na rozdelenie stĺpca desatinných zlomkov prirodzenými číslami potrebujete:
1. K desatinnému zlomku vpravo pridajte niekoľko núl (na delenie ich môžeme pridať ľubovoľný počet).
2. Vydeľte desatinný zlomok prirodzeným číslom pomocou algoritmu. Keď sa delenie celej časti zlomku skončí, dáme do výsledného podielu čiarku a počítame ďalej.
Výsledkom takéhoto delenia môže byť buď konečný alebo nekonečný periodický desatinný zlomok. Závisí to od zvyšku: ak je nula, výsledok bude konečný a ak sa zvyšky začnú opakovať, odpoveď bude periodický zlomok.
Zoberme si niekoľko problémov ako príklad a skúsme tieto kroky vykonať s konkrétnymi číslami.
Príklad 5
Vypočítajte, koľko bude 65, 14 4.
Riešenie
Používame stĺpcovú metódu. Ak to chcete urobiť, pridajte k zlomku dve nuly a získate desatinný zlomok 65, 1400, ktorý sa bude rovnať pôvodnému. Teraz napíšeme stĺpec na delenie 4:
Výsledné číslo bude výsledkom, ktorý potrebujeme z delenia celočíselnej časti. Dáme čiarku, oddelíme ju a pokračujeme:
Dosiahli sme nulový zvyšok, preto je proces rozdelenia dokončený.
odpoveď: 65 , 14: 4 = 16 , 285 .
Príklad 6
Vydeľte 164,5 číslom 27.
Riešenie
Najprv rozdelíme zlomkovú časť a dostaneme:
Výsledné číslo oddeľte čiarkou a pokračujte v delení:
Vidíme, že zvyšky sa začali periodicky opakovať a v kvociente sa začali striedať čísla deväť, dva a päť. Tu sa zastavíme a odpoveď napíšeme v tvare periodického zlomku 6, 0 (925).
odpoveď: 164 , 5: 27 = 6 , 0 (925) .
Toto delenie možno zredukovať na proces hľadania podielu desatinného zlomku a prirodzeného čísla, ktorý už bol opísaný vyššie. Aby sme to urobili, musíme vynásobiť deliteľa a deliteľa 10, 100 atď., aby sa deliteľ zmenil na prirodzené číslo. Ďalej vykonáme postupnosť akcií opísaných vyššie. Tento prístup je možný vďaka vlastnostiam delenia a násobenia. Zapísali sme ich takto:
a: b = (a · 10) : (b · 10), a: b = (a · 100) : (b · 100) a tak ďalej.
Sformulujme pravidlo:
Definícia 2
Ak chcete rozdeliť jeden posledný desatinný zlomok druhým:
1. Posuňte čiarku v deliteľovi a deliteľovi doprava o počet číslic potrebných na to, aby sa deliteľ zmenil na prirodzené číslo. Ak v dividende nie je dostatok znakov, na pravej strane k nej pridáme nuly.
2. Potom vydeľte zlomok po stĺpci výsledným prirodzeným číslom.
Pozrime sa na konkrétny problém.
Príklad 7
Vydeľte 7,287 číslom 2,1.
Riešenie: Aby bol deliteľ prirodzeným číslom, musíme posunúť desatinné miesto o jedno miesto doprava. Prešli sme teda k deleniu desatinného zlomku 72, 87 číslom 21. Výsledné čísla zapíšeme do stĺpca a vypočítame
odpoveď: 7 , 287: 2 , 1 = 3 , 47
Príklad 8
Vypočítajte 16.30.021.
Riešenie
Budeme musieť posunúť čiarku o tri miesta. Na to nie je dostatok číslic v deliteľovi, čo znamená, že musíte použiť ďalšie nuly. Myslíme si, že výsledkom bude:
Vidíme periodické opakovanie zvyškov 4, 19, 1, 10, 16, 13. V kvociente sa opakujú 1, 9, 0, 4, 7 a 5. Potom je naším výsledkom periodický desatinný zlomok 776, (190476).
odpoveď: 16 , 3: 0 , 021 = 776 , (190476)
Metóda, ktorú sme opísali, vám umožňuje urobiť opak, teda rozdeliť prirodzené číslo konečným desatinným zlomkom. Pozrime sa, ako sa to robí.
Príklad 9
Vypočítajte, koľko je 3 5, 4.
Riešenie
Je zrejmé, že budeme musieť presunúť čiarku na správne miesto. Potom môžeme pristúpiť k deleniu 30, 0 číslom 54. Údaje zapíšeme do stĺpca a vypočítame výsledok:
Opakovaním zvyšku dostaneme konečné číslo 0, (5), čo je periodický desatinný zlomok.
odpoveď: 3: 5 , 4 = 0 , (5) .
Ako deliť desatinné miesta 1000, 100, 10 atď.
Podľa už preštudovaných pravidiel delenia obyčajných zlomkov je delenie zlomku desiatkami, stovkami, tisíckami podobné ako násobenie 1/1000, 1/100, 1/10 atď. Ukazuje sa, že na delenie , v tomto prípade Jednoducho posuňte čiarku na požadovaný počet číslic. Ak v čísle nie je dostatok hodnôt na prenos, musíte pridať požadovaný počet núl.
Príklad 10
Takže 56, 21: 10 = 5, 621 a 0, 32: 100 000 = 0, 0000032.
V prípade nekonečných desatinných zlomkov postupujeme rovnako.
Príklad 11
Napríklad 3, (56): 1 000 = 0, 003 (56) a 593, 374...: 100 = 5, 93374....
Ako deliť desatinné miesta 0,001, 0,01, 0,1 atď.
Rovnakým pravidlom môžeme rozdeliť aj zlomky na uvedené hodnoty. Táto akcia bude podobná násobeniu 1000, 100, 10, resp. Aby sme to dosiahli, posunieme čiarku na jednu, dve alebo tri číslice v závislosti od podmienok problému a pridáme nuly, ak v čísle nie je dostatok číslic.
Príklad 12
Napríklad 5,739: 0,1 = 57,39 a 0,21: 0,00001 = 21 000.
Toto pravidlo platí aj pre nekonečné desatinné zlomky. Odporúčame vám len dávať si pozor na periódu zlomku, ktorá sa objaví v odpovedi.
Takže, 7, 5 (716) : 0, 01 = 757, (167), pretože potom, čo sme posunuli čiarku v desatinnom zlomku 7, 5716716716... o dve miesta doprava, dostali sme 757, 167167....
Ak máme v príklade neperiodické zlomky, tak je všetko jednoduchšie: 394, 38283...: 0, 001 = 394382, 83....
Ako rozdeliť zmiešané číslo alebo zlomok desatinnou čiarkou a naopak
Tento úkon redukujeme aj na operácie s obyčajnými zlomkami. Aby ste to dosiahli, musíte nahradiť desatinné čísla zodpovedajúcimi bežnými zlomkami a napísať zmiešané číslo ako nesprávny zlomok.
Ak delíme neperiodický zlomok obyčajným alebo zmiešaným číslom, musíme to urobiť opačne a nahradiť obyčajný zlomok alebo zmiešané číslo zodpovedajúcim desatinným zlomkom.
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter
