Absoliutus ir santykinė klaida

Su apytiksliu numeriais turime susidoroti su bet kokių funkcijų skaičiavimais arba matuojant ir apdorojant fiziniai kiekiaigaunamas dėl eksperimentų. Tokiu atveju turite sugebėti teisingai parašyti apytikslės numerių vertes ir jų klaidą.

Apytikslis numeris bet vadinamas numeriu, kuris šiek tiek skiriasi nuo tikslaus skaičiaus Bet ir pakeičia pastarąjį skaičiavimais. Jei tai yra žinoma Bet< А T. bet vadinama apytiksliu numerio verte Bet dėl trūkumo; jeigu a.A., Tada viršija. Jeigu bet Yra apytikslė skaičiaus vertė Bet, tada rašyk a ≈ A..

Pagal klaidą ar klaidą Bet apytikslis numeris bet Paprastai reiškia skirtumą tarp atitinkamo tikslaus numerio Bet ir duomenys apytiksliai, i.e.

Norėdami gauti tikslų skaičių Bet, jums reikia pridėti savo klaidą į apytikslę numerio vertę, t.y.

Daugeliu atvejų klaidos ženklas nežinomas. Tada patartina naudoti absoliučią apytikslio numerio klaidą

Iš nurodyto įrašo išplaukia, kad absoliuti apytikslio numerio klaida bet vadinamas skirtumo moduliu tarp atitinkamo tikslaus numerio Bet ir jo apytikslė vertė bet.

Tikslus skaičius Bet Dažniausiai tai yra nežinoma, todėl neįmanoma rasti klaidos ar absoliučios klaidos. Šiuo atveju naudinga vietoj nežinomos teorinės klaidos įvesti savo sąmatą iš viršaus, vadinamoji ribinė absoliuti klaida.

Pagal didžiausią absoliučią apytikslio numerio klaidą bet Jis suprantamas bet kuriuo numeriu, ne mažiau absoliučios šio numerio klaidos, t.y.

Jei paskutiniame įraše vietoj formulės (1,1), galite įrašyti

(1.2)

Iš to išplaukia, kad tiksli numeris Bet Į sienas

Todėl skirtumas yra šio trūkumo skaičiaus požiūris ir - numerio derinimas Bet viršija. Šiuo atveju už trumpumą naudoja įrašą

Akivaizdu, kad ribojanti absoliuti klaida nustatoma dviprasmiškai: jei numeris yra absoliuti klaida, tada daugiau nei teigiamas skaičius, taip pat yra ribojanti absoliuti klaida. Praktiškai jis bando pasirinkti mažesnį ir lengvai rašyti numerį, atitinkančią nelygybę (1.2).

Pavyzdžiui, jei segmento ilgis buvo gautas kaip matavimo rezultatas l. \u003d 210 cm ± 0,5 cm, tada čia yra ribinė absoliuti klaida = 0,5 cm ir tiksli vertė l. Iškirpkite per 209,5 cm ≤L≤210,5 cm.

Absoliutinė klaida yra nepakankama matavimo ar skaičiavimo tikslumui apibūdinti. Taigi, pavyzdžiui, jei matuojant dviejų strypų ilgį, rezultatai buvo gauti l 1.\u003d 95,6 cm ± 0,1 cm ir l 2. \u003d 8,3 ± 0,1 cm, tada, nepaisant ribinių absoliutų klaidų sutapimo, pirmojo matavimo tikslumas yra didesnis nei antrasis. Galima matyti, kad tai yra svarbiau matavimo tikslumui, bet santykinė klaida, kuri priklauso nuo išmatuotų verčių verčių.

Santykinė klaida δ apytikslis numeris betvadinamas šio numerio įvykio absoliučios klaidos santykiu su atitinkamo tikslaus numerio moduliu Bet, bet,tie.

Be to, ribinė absoliuti klaida taip pat nustatoma ribojant santykinę klaidą. Maksimali santykinė šio apytikslio skaičiaus klaida bet vadinamas kiekvieną numerį, ne mažiau santykinę šio numerio klaidą

tie. kai tai yra

Taigi, už didžiausią absoliučią skaičių klaidą betgali užtrukti

Kaip praktikoje A≈a., vietoj formulės (1.3), dažnai mėgsta formulę

1.2 Dešimtainis skaičius apytiksliai

Bet koks teigiamas dešimtainis skaičius gali būti atstovaujamas baigtinės arba begalinės frakcijos pavidalu

kur - dešimtainių numerių skaičius bet (\u003d 0,1,2, ..., 9) ir eldest skaitmenis a m. - išleidimų skaičius visam skaičiui bet, bet n. - išleidimų skaičius įdarbinant skaičiaus skaičių bet. Pavyzdžiui:

5214,73 ... \u003d 5 · 10 3 + 2 · 10 2 + 1 · 10 1 + 4 · 10 0 +7 · 10 -1 + 3 · 10 -2 ... (1.5)

Kiekvienas skaitmuo, stovintis tam tikroje vietoje betparašyta forma (1.4), turi savo svorį. Taigi, skaičius pirmoje vietoje (t.e.), sveria 10 M., antrą kartą - 10 M. -1 ir tt

Praktiškai, mes paprastai nenaudojame įrašo forma (1.4), ir mes naudojame sutrumpintą įrašą apie koeficientų sekos forma atitinkamuose laipsniuose 10. Pavyzdžiui, įrašo (1,5) mes naudojame kairėje nuo formos lygybės ženklo, o ne dešinėje, atstovaujančioje šio numerio skilimui 10 laipsnių.

Praktiškai būtina spręsti apytikslę numerius baigtinių dešimtainių frakcijų forma. Dėl teisingo įvairių skaičiavimo ir eksperimentinių rezultatų palyginimo įvedama koncepcija reiškia skaitmenį Įrašant rezultatus. Viskas patvarus Dešimtainios vertės ( i \u003d M., M-1,…, m-n +1) išskyrus nulį ir nulį, jei jis stovi tarp prasmingų numerių arba yra išsaugoto dešimtainio išlydžio atstovas skaičius skaičius yra vadinamas prasmingais numeriais Bet. Šiuo atveju nuliai, susiję su daugikliu 10 N. Nesusiję su prasme.

Su padėties žymėjimo numeriu bet Dešimtainio skaičiaus sistemos sistemoje kartais turi įvesti papildomus nulius į numerio pradžioje arba pabaigoje. Pavyzdžiui,

bet \u003d 7 · 10 -3 + 0 · 10 -4 + 1 · 10 -5 + 0 · 10 -6 \u003d 0,00 7010

b. \u003d 2 · 10 9 + 0 · 10 8 + 0 · 10 7 + 3 · 10 6 + 0 · 10 5 \u003d 2003000000.

Tokie nuliai (pavyzdžiuose, jie yra pabraukti) nėra laikomi prasmingais numeriais.

Prasmingas skaičius apytikslio numerių yra vadinamas kiekvieną paveikslą dešimtainiu vaizdu, skiriasi nuo nulio, Taip pat nulis, jei jis yra tarp prasmingų numerių arba yra konservuoto dešimtainio išleidimo atstovas. Visi likusieji nuliai įtraukti į apytiksliai numerį ir tarnautojus tik paskirti savo dešimtainius išleidimus nėra skaičiuojami į prasmingą skaičių.

Pavyzdžiui, tarp 0,002080, pirmasis trys nulio nėra prasmingi numeriai, nes jie tarnauja tik nustatyti dešimtainius kitų numerių išleidimus. Likę du nuliai yra prasmingi numeriai, nes pirmasis iš jų yra tarp prasmės numerių 2 ir 8, o antrasis rodo, kad dešimtainis iškrovimas 10 -6 yra išsaugotas apytiksliu skaičiumi. Jei yra Šis numeris 0,002080 Paskutinis skaitmuo nėra prasmingas, šis skaičius turi būti įrašytas kaip 0,00208. Šiuo požiūriu 0,002080 ir 0,00208 skaičius nėra lygus, nes pirmojo iš jų yra keturi svarbūs skaičiai, o antrasis tik trys.

Be prasmingų duomenų sąvokos, sąvoka yra svarbi pagalbos numeriai. Pažymėtina, kad ši koncepcija egzistuoja dviem apibrėžimams siaurasir. \\ T platus protas.

Apibrėžimas(plačiąja prasme) . Jie sako n.pirmosios reikšmės numeriai numeriai (skaičiavimas į dešinę) yra lojalūs plačiaijausmas, jei šio numerio absoliutus paklaida neviršija vienetų (svorio) n.-Read. (Paaiškinimas: 1 10 1 - čia svoris 1 yra 10; 1 10 0 - čia svoris 1 yra 1; 1 10 -1 - čia svoris 1 yra 0,1; 1 10 -2 - čia svoris 1 yra 0,01 ir t .d. ).

Apibrėžimas(siaurai prasme). Jie sako n. Pirmieji svarbūs apytikslio skaičiaus skaitmenys yra teisingi, jei šio numerio absoliutus paklaida neviršija pusės. \\ T Vienetai (svoris) n.-Read. (Paaiškinimas: 1 10 1 - čia pusė 1 svoris yra 5; 1 10 0 - čia pusė 1 svoris yra 0,5; 1 10 -1 yra lygus 0,05 ir tt).

Pavyzdžiui, apytiksliu numeriu Remiantis pirmuoju apibrėžimu, prasmingi 3,4 ir 5 skaičiai yra teisingi plačiąja prasme, o skaičius 6 yra abejotinas. Remiantis antra apibrėžtis, prasmingi 3 ir 4 skaičiai yra ištikimi siaurai, o 5 ir 6 numeriai yra abejotini. Svarbu pabrėžti, kad apytikslio numerio tikslumas priklauso nuo reikšmingų numerių skaičiaus, bet numeriu patikimas prasmės skaitmenys.

Tiek teorinių argumentais ir praktiniai taikymai Didesnė paraiška nustato dešiniojo skaičiaus apibrėžimą siaurai.

Taigi, jei už apytikslį skaičių a, pakeičiant numerį Bet, tai yra žinoma

(1.6)

tada pagal apibrėžimą pirmoji n. Skaičiai. \\ T Šis skaičius yra teisingas.

Pavyzdžiui, tiksliam skaičiui Bet \u003d 35,97 numeris bet \u003d 36.00 yra apytiksliai su trimis ištikimais ženklais. Šis rezultatas veda šiuos argumentus. Kadangi absoliuti mūsų apytikslio numerio klaida yra 0,03, tada pagal apibrėžimą jis turi atitikti sąlygą

(1.7)

Mūsų apytikslis skaičius, 36.00 skaitmens 3 yra pirmasis skaitmenų numeris (t.e.), todėl m.\u003d 1. Iš čia akivaizdu, kad sąlyga (1,7) bus vykdoma n. = 3.

Paprastai priimami su dešimtainiu skaičiumi apytikslio numeriu rašyti tik tikruosius numerius. Jei žinoma, kad šis apytikslė numeris įrašomas teisingai, tada galite apibrėžti ekstremalią absoliučią klaidą. Jis yra su teisingu įrašu, kad absoliutus paklaida neviršija pusės jaunesnių įvykdymo, kuris atitinka paskutinį teisingą išleidimą (arba pusę paskutinio teisingo išleidimo vieneto, kuris yra tas pats)

Pavyzdžiui, apytiksliai įrašomi neteisingai: a \u003d 3,8; b. \u003d 0,0283; C \u003d 4260. Pagal apibrėžimą apriboti absoliučias šių numerių klaidas bus: \u003d 0,05; \u003d 0,00005; \u003d 0,5.

Absoliutus ir santykinė klaida

Absoliutus tikslumas

Atsižvelgdama į skaičiavimus su begalinėmis dešimtimaliomis frakcijomis, būtina padaryti šių numerių derinimą patogumui, t.y. suapvalinti juos. Apytikslė numeriai taip pat gaunami skirtingais matmenimis.

Naudinga žinoti, kiek apytikslė skaičiaus vertė skiriasi nuo tikslios vertės. Akivaizdu, kad skirtumas yra mažesnis, tuo geriau, tikslesnis matavimas ar skaičiavimas.

Norint nustatyti matavimų tikslumą (skaičiavimus), tokia koncepcija įvedama kaip apytikslis klaida. Kitaip tai vadinama absoliučia klaida.

Absoliutinė klaida apytikslė. \\ T Skirtumo modulis yra vadinamas tarp tikslios numerio vertės ir apytikslio vertės.

kur h. - tai yra tiksli numerio vertė, bet - jos apytikslė vertė.

Pavyzdžiui, dėl matavimų rezultatas buvo gautas numeris. Tačiau apskaičiuojant tikslios šio numerio vertės formulę. Tada absoliuti suderinimo klaida

Begalinių frakcijų atveju tikslumo klaida nustatoma pagal tą pačią formulę. Tikslaus skaičiaus vieta yra parašyta begalinė frakcija. Pavyzdžiui, . Pasirodo, kad absoliutus apytikslis klaida išreiškiama neracionalu.

Derinimas gali būti atliekamas kaip pagal trūkumą , Taigi I. viršija .

Tas pats numeris π, kai trūkumas yra susijęs su 0,01 tikslumu, lygiu 3,14, o kai perviršis yra sumažintas iki 0,01, jis yra 3,15.

Taisyklė taisyklė: Jei pirmasis išmestinis skaitmuo yra penkis arba daugiau nei penkis, atliekamas perteklinis derinimas; Jei mažiau nei penki, tada trūksta.

Pavyzdžiui, nes Trečiasis skaitmuo po kablelio numerio π yra 1, tada artėjant su 0,01 tikslumu, jis atliekamas dėl trūkumo.

Apskaičiuojame absoliučias suderinimo klaidas iki 0,01 numerių π dėl pertekliaus trūkumo:

Kaip matome, absoliutus požiūris yra mažesnis nei perviršis. Taigi, požiūris į šiuo atveju trūkumą turi didesnį tikslumą.

Santykinė apytikslis klaida

Absoliutus klaida yra viena svarbus trūkumas - neleidžia įvertinti klaidos svarbos laipsnio.

Pavyzdžiui, mes perkame 5 kg bulvių rinkoje, o nesąžiningas pardavėjas, kai matavimo svoris buvo klaidingas 50 g savo naudai. Tie. Absoliutinė klaida buvo 50 g. Už mus, toks emboss bus smulkus ir mes net nebus dėmesio. Ir jei rengiate vaistą, ši klaida įvyks? Čia viskas bus daug rimtesnė. Ir įkeliant komercinį automobilį, tikriausiai nukrypimai įvyksta daug daugiau nei šią vertę.

Todėl pats absoliuti klaida yra nepagrįsta. Be to, tai labai dažnai apskaičiuojama pagal santykinį nuokrypį.

Santykinis suderinimo tikslumas absoliuto klaidos santykis vadinamas tiksli numerio verte.

Santykinė klaida yra matmenų vertė arba matuojama kaip procentinė dalis.

Mes pateikiame keletą pavyzdžių.

1 pavyzdys. Įmonėje 1284 darbuotojai ir darbuotojai. Aplink darbuotojų skaičių su visais su pernelyg dideliu ir nepalankiomis. Juos rasti absoliučios ir santykinės klaidos (procentais). Daryti išvadą.

Taigi ,.

Absoliutus klaida:

Santykinė klaida:

Tai reiškia, kad požiūrio su trūkumu tikslumas yra didesnis už požiūrį su pertekliumi tikslumu.

2 pavyzdys. Mokykloje 197 studentai. Aplink studentų skaičių su visais pertekliais ir nepalankiais. Juos rasti absoliučios ir santykinės klaidos (procentais). Daryti išvadą.

Taigi ,.

Absoliutus klaida:

Santykinė klaida:

Tai reiškia, kad požiūrio su pertekliniu tikslumu yra didesnis už trūkumo tikslumą su nepalankioje padėtimu.

Raskite absoliutų apytikslio klaidą:

1. 2.87 numeriai 2.9; 2,8;

   numeriai nuo 0,6595 iki 0,7 skaičiaus; numeris 0,6;

   numeriai;

   skaičiai 0,3;

   4,63 numeriai 4.6; 4.7 numeris;

   numeriai nuo 0,8535 iki 0,8 skaičiaus; numeris 0,9;

   numerio numeris;

   0,2 skaičiaus.

Apytikslė skaičiaus vertėh. vienodaibet . Raskite absoliutų apytikslio klaidą, jei:

Užsirašykite dvigubos nelygybės forma:

Raskite apytikslę numerio vertęh. lygus vidutiniams aritmetiniams apytiksliams su nepalankiomis ir pertekliomis, jei:

Įrodyti, kad vidutinis aritmetinis skaičiusbet ir. \\ Tb. Tai yra apytikslė kiekvieno iš šių numerių vertė su tikslumu.

Apvalios numeriai:

į vienetus

iki dešimtosios

iki tūkstančių

iki tūkstančių

iki šimto

į vienetus

dešimtis

iki dešimtosios

iki tūkstančių

šimtai

iki dešimties tūkstančių

Įsivaizduokite paprasta frakcija Dešimtainio ir apvalios formos iki tūkstančių ir rasti absoliuti klaidą:

Įrodyti, kad kiekvienas iš 0,368 ir 0,369 numerių yra apytikslė skaičiaus vertė su 0,001 tikslumu. Kuris iš jų yra apytikslė skaičiaus vertė su 0,0005 tikslumu?

Įrodyti, kad kiekvienas iš 0,38 ir 0,39 numerių yra apytikslė skaičiaus vertė su 0,01 tikslumu. Kuris iš jų yra apytikslė skaičiaus vertė su 0,005 tikslumu?

Aplink numerį į vienetus ir surasti santykinę apvalinimo klaidą:

5,12

9,736

49,54

1,7

9,85

5,314

99,83

Pateikti kiekvieną numerį ir formą dešimtainės frakcijos. Gautos frakcijų apvalinimas iki dešimtosios, suraskite absoliučią ir santykinę apytikslių paklaidą.

Žemės spindulys yra 6380 km su 10 km tikslumu. Įvertinkite santykinę apytikslės vertės klaidą.

Mažiausias atstumas nuo žemės iki Mėnulio yra 35 6400 km su 100 km tikslumu. Įvertinkite santykinę apytikslę klaidą.

Palyginkite masės matavimo kokybęM. Elektriniai lokomotyvai ir masėst. Narkotikų tabletės, jei t (su 0,5 tonų tikslumu) ir g (iki 0,01 g).

Palyginkite Volgos upės ilgio matavimo kokybę ir rutulio teniso skersmenį, jei km (5 km tikslumu) ir mm (su 1 mm tikslumu).

Su tiesioginiais matavimais

1. Leiskite dviem įtammams matuoti voltmeteriui vieną kartą U. 1 \u003d 10 V, U. 2 \u003d 200 V. Voltmeter turi šias charakteristikas: tikslumo klasė D Cl t \u003d 0,2, U. Max \u003d 300 V.

Mes apibrėžiame absoliučią ir santykinę šių matavimų klaidą.

Kadangi abu matavimai gaminami viename įrenginyje, tada d U. 1 \u003d D. U. 2 ir apskaičiuojamas pagal formulę (V.4)

Pagal santykinių klaidų apibrėžimą U. 1 I. U. 2 yra vienodi

ε 1 \u003d 0,6 ∙ į / 10 v \u003d 0,06 \u003d 6%,

ε 2 \u003d 0,6 ∙ į / 200 v \u003d 0,003 \u003d 0,3%.

Iš pirmiau pateiktų skaičiavimų rezultatų ε 1 ir ε 2, tai galima matyti, kad ε 1 yra žymiai didesnis nei ε 2.

Tai atitinka taisyklę: turėtumėte pasirinkti tokį matavimo ribą, kad rodmenys būtų paskutiniai trečdalyje.

2. Leiskite tam tikra vertė, išmatuota pakartotinai, tai yra pagaminta n. individualūs šio dydžio matavimai A H. 1 Ir H. 2 ,..., A H. 3 .

Tada šias operacijas pateikia šias operacijas, kad būtų galima apskaičiuoti absoliučią klaidą:

1) Pagal formulę (V.5) nustatyti vidurkį aritmetinė vertė Bet 0 išmatuota vertė;

2) Apskaičiuokite atskirų matavimų nuokrypių kvadratų sumą nuo nustatyto vidutinio aritmetinio ir pagal formulę (V.6) nustato vidutinę kvadratinę klaidą, kuri apibūdina absoliučią vieneto matavimo paklaidą keliuose tiesioginiuose matmenyse suma;

3) Santykinė klaida ε apskaičiuojama pagal formulę (B.2).

Absoliuto ir santykinės klaidos skaičiavimas

Su netiesioginiais matavimais

Netiesioginių matavimų klaidų skaičiavimas - daugiau sudėtinga užduotisKadangi šiuo atveju norima vertė yra kitų pagalbinių verčių funkcija, kurios matavimas lydi klaidų atsiradimą. Paprastai, kai matuojama, išskyrus praleistus, atsitiktinės klaidos pasirodo labai mažas, palyginti su išmatuota verte. Jie yra tokie maži, kad antrasis ir didesnis klaidų laipsnis yra už matavimo tikslumo ir jie gali būti apleisti. Dėl klaidų, kad gautumėte klaidų formulę
Diferencialo skaičiavimo metodai naudojami netiesiogiai matuojami. Su netiesioginiu dydžiu, kai vertybės, susijusios su kai kuriais matematine priklausomybe, yra tiesiogiai matuojamos, yra patogiau pirmiausia nustatyti santykinę klaidą ir jau
Pagal gautą santykinę klaidą apskaičiuokite absoliučią matavimo klaidą.

Diferencinis skaičiavimas suteikia paprasčiausią būdą nustatyti santykinę netiesioginio matavimo klaidą.

Tegul norima vertė Bet susijęs su funkcine priklausomybe su keliais nepriklausomais tiesiogiai išmatuota verte x. 1 ,
x. 2 , ..., x K., t.y.

A.= f.(x. 1 , x. 2 , ..., x K.).

Nustatyti santykinę dydį Bet Natūralus logaritmas yra paimtas iš abiejų lygybės dalių

ln. A.\u003d ln. f.(x. 1 , x. 2 , ..., x K.).

Tada skaičiuojamas diferencialas natūralus logaritmas Funkcijos. \\ T
A.= f.(x. 1 ,x. 2 , ..., x K.),

dln. A.\u003d DLN. f.(x. 1 , x. 2 , ..., x K.)

Visa įmanoma išraiška algebrinių transformacijų supaprastinta. Po to visi skirtumų simboliai d pakeičiami klaidos simboliais ir neigiami ženklai Prieš nepriklausomų kintamųjų skirtumus pakeičiami teigiamais, t.y., labiausiai nepalankiausias atvejis yra priimtas, kai visos klaidos prideda. Šiuo atveju apskaičiuojamas didžiausias rezultatų klaida.

Atsižvelgiant į tai, kas išdėstyta

bet ε \u003d d Bet / Bet

Ši išraiška yra santykinės dydies klaidos formulė Bet Su netiesioginiais matavimais lemia santykinę pageidaujamos vertės klaidą per santykines klaidas, išmatuotas vertes. Apskaičiuojamas pagal formulę (11) santykinę klaidą, \\ t
Apibrėžkite absoliučią dydį Bet Kaip apskaičiuotos vertės santykinės klaidos produktas Bet t.y.

D. Bet = ε Bet, (12)

kur ε yra išreikštas matmeniu.

Taigi, santykinės ir absoliučios netiesiogiai išmatuotų vertės klaidos turėtų būti apskaičiuotos tokioje sekoje:

1) formulė yra imtasi, pagal kurią apskaičiuojama norima vertė (apskaičiuota formulė);

2) natūralus logaritmas yra paimtas iš abiejų apskaičiuotos formulės dalių;

3) apskaičiuojamas visas norimos vertės natūralaus logaritmas;

4) gautomis sąlygomis visos galimos algebrinių transformacijos ir supaprastinimai;

5) diferencialų d simbolis D pakeičiamas klaidos simboliu D, o visi neigiami ženklai prieš nepriklausomų kintamųjų skirtumus pakeičiami teigiamai (santykinės klaidos vertė bus maksimali) ir gaunama santykinės klaidos formulė ;

6) apskaičiuojama santykinė išmatuoto vertės paklaida;

7) Pagal apskaičiuotą santykinę klaidą apskaičiuojama absoliuti netiesioginio matavimo klaida pagal formulę (B.12).

Apsvarstykite keletą pavyzdžių apskaičiuojant santykines ir absoliučias klaidas netiesioginio matavimo.

1. Pageidaujama vertė Bet susiję su tiesiogiai išmatuota verte h., w., z. Pagal santykius

kur a. ir. \\ T b. - nuolatinės vertės.

2. Paimkite natūralų logaritmą nuo išraiškos (B.13)

3. Apskaičiuokite visą norimo dydžio natūralaus logaritmo skirtumą Bet, tai yra, diferencijavimas (B.13)

4. Gaminame konversiją. Atsižvelgiant į tai, kad D. bet \u003d 0, nes bet\u003d Const, cos w./ Sin y. \u003d Ctg. y.Mes gauname:

5. Mes pakeisime skirtumų simbolius su klaidomis ir "minus" ženklu prieš diferencialą "Plus" ženklu

6. Apskaičiuokite santykinę išmatuotos vertės klaidą.

7. Pagal apskaičiuotą santykinę klaidą absoliutus netiesioginio matavimo paklaida apskaičiuojama pagal formulę (B.12), t.y.

Nustatyta bangos ilgis geltona spalva Gyvsidabrio spektrinė linija naudojant difrakcijos groteles (naudojant priimtą seką apskaičiuojant santykines ir absoliučias klaidas geltonos spalvos bangos ilgiui).

1. Šiu atveju geltonos bangos ilgis nustatomas pagal formulę:

kur Nuo. - nuolatinis difrakcijos grotelės (netiesiogiai išmatuota vertė); F - geltonos linijos difrakcijos kampas šioje spektro tvarka (tiesiogiai išmatuota vertė); K. Na - spektro tvarka, kurioje buvo atlikta stebėjimas.

Difrakcijos grotelės konstanta apskaičiuojama pagal formulę

kur K. H - žaliosios linijos spektro tvarka; λ Z - žinomas žalios (λ З - pastovios) bangos ilgis; φ з yra žalios linijos difrakcijos kampas šioje spektro tvarka (tiesiogiai išmatuota vertė).

Tada, atsižvelgiant į išraišką (B.15)

(B.16)

kur K. S. K. Gerai stebimi, kurie laikomi pastoviais; φ Z, φ F -
tiesiogiai išmatuotos vertės.

Išraiška (B.16) - apskaičiuota geltonos spalvos bangos ilgio formulė, nustatoma naudojant difrakcijos groteles.

4. D. K. z \u003d 0; D. K. g \u003d 0; dλ z \u003d 0, nes K. S. K. G ir λ Z - nuolatinės vertės;

Tada

5. (B.17)

kur dφ g, dφ З - absoliučios klaidų matuojant difrakcijos kampą
ir žalios spektro linijos.

6. Apskaičiuokite geltoną geltonos spalvos bangos ilgio klaidą.

7. Apskaičiuokite absoliučią geltonos spalvos bangos ilgio paklaidą:

Dλ g \u003d ελ g.

Su praktiniu matavimo proceso įgyvendinimu, neatsižvelgiant į matavimo priemonių tikslumą, technikos ir priežiūros teisingumą
Matavimo matavimai Matavimo rezultatai skiriasi nuo tikrosios išmatuoto vertės vertės, t.y. Neišvengiamos matavimo klaidos. Vertinant klaidą, o ne tikra prasmė yra priimta; Todėl galima pateikti tik apytikslį matavimo klaidų įvertinimą. Matavimo rezultato patikimumo vertinimas, t.y. Matavimo klaidų apibrėžimas yra vienas iš pagrindinių metrologijos tikslų.
Klaida yra matavimo rezultato nuokrypis nuo tikrosios išmatuotos vertės vertės. Klaidos gali būti suskirstytos į matavimo priemonių ir matavimo klaidų klaidas.
Matavimo klaidos Buvo peržiūrėti 3 skyriuje.
Matavimo rezultatų klaida - Tai numeris, rodantis galimas išmatos vertės neapibrėžtumo vertės ribas.
Bus laikoma klasifikuojama ir įvertinti matavimo rezultato klaidas.
Keliui skaitmeninė išraiška išskirti absoliučios ir santykinės klaidos.
Priklausomai nuo įvykio šaltinio Ten yra klaida instrumentinis, metodinis, skaičiavimas ir montavimas.
Pagal pasireiškimo įstatymus Matavimo klaidos yra padalintos iš sistemingas, progresuojamas, atsitiktinis ir šiurkštus.
Išsamiau nurodykite nurodytas matavimo klaidas.

4.1. Absoliučios ir santykinės klaidos

Absoliutinė klaida D yra skirtumas tarp išmatuotos X ir tikrosios X ir išmatuotos vertės vertės. Absoliutinė klaida išreiškiama išmatuoto vertės vienetais: D \u003d X - Hee.
Kadangi tikroji išmatuoto vertės vertė neįmanoma nustatyti, o ne praktiškai naudojama galiojanti išmatuotos HD vertės vertė. Faktinė vertė yra eksperimentiškai, taikant pakankamai tikslūs metodai ir matavimo prietaisai. Jis skiriasi nuo tikrosios vertės ir išspręsti užduotį galima naudoti vietoj. Kai kalibravimas, galiojanti vertė paprastai priimami bandant matavimus. Taigi, praktiškai absoliuti klaida randama pagal formulę D "X - HD. Santykinė klaida D yra absoliučios matavimo klaidos santykis siekiant išmatuoto vertės tikrosios (galiojančios) (paprastai išreikštas procentais) :. \\ t

4.2. Klaidos yra instrumentinės ir metodinės,
skaičiavimas ir diegimas

Instrumentinis(Priemonės ar aparatūros) klaidos vadinamos tokiu, kad priklauso šiam matavimo priemonei, galima nustatyti bandant jį ir išvardyti jo pase.
Šios klaidos yra dėl konstruktyvių ir technologinių matavimo priemonių trūkumų, taip pat jų nusidėvėjimo, senėjimo ar gedimo pasekmė. Įrankių klaidosNaudojamų matavimo įrankių klaidos buvo apsvarstytos 3 skyriuje.
Tačiau, be instrumentinių klaidų, taip pat yra tokių klaidų, kurios negali būti priskirtos prie šio prietaiso, negali būti nurodyta jo pase ir vadinami metodiškas tie. Nesusijęs su pat pačiu įrenginiu, bet su jo naudojimo metodu.
Metodinės klaidos Jie gali kilti dėl to, kad reiškinių teorijos kūrimo netobulumas, pagrįstas matavimų metodu, santykių netikslumus, naudojamus išmatuotos vertės įvertinimui, taip pat dėl \u200b\u200bišmatuotos vertės nenuoseklumo ir jos modelis.
Apsvarstykite pavyzdžių, iliustruojančius metodinę matavimo klaidą.
Tyrimo objektas yra kintamos įtampos šaltinis, kurio amplitudės vertė Um. Reikia matuoti. Remiantis preliminariu tyrimo tyrimo dėl savo modelio objekto, buvo priimtas sinusoidinės įtampos generatorius. Naudojant voltmetrą, skirtą matuoti aktyvių įtampos kintamųjų vertes ir žinant sinusoidinės įtampos aktyvių ir amplitudės santykį, gauname matavimo rezultatus Um \u003d. × UV, Kur UV -voltmeterio liudijimas. Atsargesnis objekto tyrimas gali atskleisti, kad išmatuotos įtampos forma skiriasi nuo sinusoidinio ir teisingesnio ryšio tarp išmatuotos vertės vertės ir voltmetro liudijimo Um \u003d.k.× UV, Kur k.¹ . Taigi, priimto tyrimo objekto modelio netobulumas sukelia metodinę matavimo klaidą D.U \u003d. × UV -k.× UV.
Ši klaida gali būti sumažinta arba apskaičiuota k. Remiantis išmatuotos įtampos kreivės formos analize arba keičiant matavimo priemones, priveržiant voltmetrą, skirtą naudoti įtampos kintamųjų amplitudės reikšmes.
Labai dažna metodologinių klaidų atsiradimo priežastis yra ta, kad, organizuojant matavimus, mes esame priversti matuoti (arba sąmoningai matuoti) ne vertę, kuri turėtų būti matuojama, bet kai kurie kiti, arti, bet ne lygūs.

Tokios metodinės klaidos pavyzdys gali būti įtampos matavimo vertinimo klaida su ribiniais atsparumais (4.1 pav.).
Dėl tos grandinės skirsnio voltmet-romo, ant kurio matuojamas įtampa, pasirodo, kad jis yra mažesnis nei voltmetro priedas. Ir iš tiesų, įtampa, kuri parodys voltmetrą, bus nustatyta išraiška U \u003d I.× R.v.. Jei manote, kad srovė grandinėje I \u003d.E / (RI +.Rv) Tam. \\ T
< .
Todėl tie patys voltmetras pridedamas pakaitomis į skirtingas tyrimo grandinės sritis, ši klaida yra kitokia: tai yra nereikšminga žemo lygio skyriuose, o dideliam atsparumui gali būti labai didelė. Ši klaida gali būti pašalinta, jei voltmetras buvo nuolat prijungtas prie šio grandinės skyriuje visais prietaiso laikais (kaip ant elektrinės skydo), tačiau ji yra nepelninga dėl daugelio priežasčių.
Nėra jokių atvejų, kai paprastai sunku nurodyti matavimo metodą, kuris neapima metodinės klaidos. Leiskite, pavyzdžiui, karštų nuobodulių temperatūra iš krosnies į valcavimo malūną yra matavimo. Paklausta, kur įdėti temperatūros jutiklį (pavyzdžiui, termoporą): po tuščiu, šonu arba virš tuščiu? Kur mes jį įdėjome, mes ne matuojame vidinės kūno temperatūros ruošinių, t.y. Mes turėsime didelę metodinę klaidą, nes ji nėra matuojama tuo, kas reikalinga, bet tai, kas yra lengviau (ne gręžti kanalą kiekviename vežime įdėti termoporą savo centre).
Taigi, pagrindinis skiriamasis bruožas Metodinės klaidos yra tai, kad jie negali būti nurodyti prietaiso pase, bet turėtų būti įvertintas paties eksperimento rengiant pasirinktą matavimo metodiką, todėl ji privalo aiškiai atskirti iš tikrųjų išmatuotas. \\ T Jie vertina nuo būti matuojamas.
Klaidų skaičiavimas Ateina iš nepakankamo tikslaus skaitymo. Būtent dėl \u200b\u200bsubjektyvių stebėtojo savybių (pvz., Interpoliacinė klaida, t. Y. Netiksli prietaiso skyriaus nuoroda į prietaiso skalę) ir skaitymo įrenginio tipą (pvz., Paralakso tikslumą). Naudojant skaitmenines matavimo priemones skaičiavimo klaidos, kurios yra viena iš pastarųjų perspektyvų priežasčių.
Įrengimo klaida dėl matavimo sąlygų nukrypimas nuo normalaus, t.y. Sąlygos, kuriomis buvo atlikta matavimo priemonių kalibravimas ir tikrinimas. Tai apima, pavyzdžiui, klaidą iš neteisingo įrenginio įrenginio įrenginio arba jo rodyklės į nulinį ženklą, nuo temperatūros, maitinimo įtampos ir kitų įtakos verčių pakeitimo.
Apsvarstytos klaidos rūšys yra vienodai tinkamos tiek individualių matavimo rezultatų ir matavimo priemonių tikslumui.

4.3. Sistemingos, progresuojančios, atsitiktinės ir neapdorotos klaidos

Sistemingas matavimo klaida DC yra matavimo klaidos, likęs pastovus arba natūraliai kintamas, komponentas, kai pakartotiniai tos pačios vertės matavimai.
Sisteminių klaidų priežastys paprastai gali būti įdiegtos rengiant ir įgyvendinant matavimus. Šios priežastys yra labai įvairios: naudojamų įrankių ir matavimo metodų netobulumas, neteisingas matavimo priemonių įrengimas, poveikis išoriniai veiksniai (įtakos vertės) matavimo prietaisų parametrams ir pačiam matavimo objektui, matavimo metodo trūkumai (metodinės klaidos), \\ t individualios savybės Operatorius (subjektyvios klaidos) ir kt. Pagal pasireiškimo pobūdį sistemingos klaidos yra suskirstytos į nuolatinius ir kintamuosius. Nuolatinis priklauso, pavyzdžiui, klaidų, kurias sukelia priemonės matavimo priemonė, netinkamai baigiant prietaiso mastą, netinkamai diegiant prietaisą, palyginti su magnetinių laukų kryptimi ir kt. Kintamieji sistemos yra dėl poveikio matavimo procesui įtakos vertės ir gali pasireikšti, pavyzdžiui, keičiant elektros energijos tiekimo įtaiso, išorinių magnetinių laukų, išmatuotos įtampos dažnis ir tt Pagrindinis sisteminių klaidų bruožas yra tai, kad jų priklausomybė nuo įtakos vertėms taikoma tam tikra teisė. Šis įstatymas gali būti tiriamas, o matavimo rezultatas yra išaiškintas keičiant, jei apibrėžiamos šių klaidų skaitinės vertės. Kitas būdas sumažinti sisteminių klaidų įtaką yra tokių matavimo metodų naudojimas, leidžiantis pašalinti sisteminių klaidų įtaką nenustatytant jų vertes (pvz., Pakaitinio metodo).
Matavimų rezultatas yra arčiau tikrosios išmatuotos vertės vertės, tuo mažesnės likusios nesuteiktos išskirtinės sisteminės klaidos. Iš atmestų sisteminių klaidų buvimas lemia matavimų teisingumą, kokybė, atspindintį artumą nuliui sistemingas klaidas. Matavimo rezultatas bus toks teisingas, nes jis yra sistemingas klaidų ir tuo teisingesnis, tuo mažesnės šios klaidos.
Progressive. (arba dreifas) vadinami nenuspėjamomis klaidomis, lėtai keičiasi laiku. Šias klaidas paprastai sukelia tam tikrų įrangos dalių senėjimo procesas (maitinimo šaltiniai, rezistorių senėjimas, kondensatoriai, mechaninių dalių deformacija, susitraukimo popieriaus juosta savarankiškuose įrenginiuose ir kt.). Progresyvių klaidų ypatumas yra tai, kad jie gali būti koreguojami įvedant pakeitimą tik tam tikru momentu, o tada vėl nenuspėjamai padidėja. Todėl, priešingai nei sistemingų klaidų, kurias galima reguliuoti pakeitimu, nustatyta vieną kartą už visą įrenginio tarnavimo laiką, progresuojančias klaidas reikalauja nuolatinio korekcijos pasikartojimo ir dažniau turėtų būti jų likusioji vertė. Kitas progresuojančių klaidų bruožas yra tai, kad jų pakeitimas yra ne stacionarus atsitiktinis procesas, todėl, kaip dalis gerai išvystytos stacionarių atsitiktinių procesų teorijos, jie gali būti aprašyti tik su rezervacijomis.
Atsitiktinė matavimo klaida - Sudėtinė matavimo klaida atsitiktinai keičiasi pakartotiniais tos pačios vertės matavimais. Neįmanoma nustatyti atsitiktinių klaidų vertės ir požymių, jie negali būti tiesiogiai atskaitingi dėl jų chaotiškų pokyčių dėl tuo pačiu metu poveikio įvairių veiksnių matavimo rezultatams. Atsitiktinės klaidos randamos pakartotiniuose tos pačios vertės matavimuose (individualūs matavimai šiuo atveju yra vadinami stebėjimu) vien tik tomis pačiomis sąlygomis tomis pačiomis sąlygomis su tuo pačiu stebėtoju, t.y. Su matavimais (pusiausvyra). Atsitiktinių klaidų poveikis matavimo rezultatus atsižvelgiama pagal matematinės statistikos metodus ir tikimybės teoriją.
Neapdorotos matavimo klaidos -atsitiktinės matavimo klaidos, žymiai viršija šias sąlygas tikėtiną klaidą.
Nurodytos klaidos (praleistos) paprastai atsiranda dėl neteisingo mėginio įrenginio, rašymo klaida, tvirtai paveikti vertę, matavimo priemonių veikimą ir kitas priežastis. Paprastai neatsižvelgiama į matavimo rezultatus, kuriuose yra neapdorotos klaidos, todėl neapdorota klaida daro įtaką matavimo tikslumui. Aptikti slydimą ne visada lengva, ypač su vienu dimensija; Dažnai sunku atskirti didelę atsitiktinės klaidos vertę. Jei dažnai atsiranda grubus klaidų, mes abejinsime visus matavimo rezultatus. Todėl grubios klaidos veikia matavimų tinkamumo laiką.
Apibūdinant aprašytą priemonę ir matavimo rezultatus dėl atsitiktinių, progresyvių ir sisteminių komponentų klaidų, būtina atkreipti dėmesį į tai, ką padalijimas yra labai supaprastintas pripažinimas jų analizės. Todėl visada turėtų būti prisiminta, kad realioje tikrovėje šie klaidų komponentai pasireiškia kartu ir sudaro vieną ne sationary atsitiktinį procesą. Matavimo rezultato klaida gali būti pateikiama kaip atsitiktinių ir sisteminių DC klaidų suma: D C. +. Matavimo klaidos, atsitiktinis komponentas yra įtrauktas, todėl reikėtų apsvarstyti atsitiktinis kintamasis.
Apžvelgimas apie matavimo klaidų apraiškos pobūdį rodo, kad vienintelis teisingas būdas įvertinti klaidas suteikia mums tikimybių ir matematinės statistikos teoriją.

4.4. Tikimybinis požiūris į klaidų aprašymą

Atsitiktinių klaidų paskirstymo įstatymai. Atsitiktinės klaidos aptinkamos per tos pačios vertės matavimus. Matavimo rezultatai paprastai nesutampa tarpusavyje, nes dėl viso daugelio skirtingų veiksnių, kurie nesuteikia, kiekvienas naujas dimensija suteikia naują atsitiktinę prasmę išmatuotos vertės. Su teisingu matavimu, pakankamu skaičiumi ir sistemingų klaidų ir pralaimėjimu, galima teigti, kad tikroji išmatuotos vertės vertė neviršija šių matavimų gautų verčių. Jis lieka nežinomas, kol nustatoma teoriškai tikėtina atsitiktinės klaidos vertė.
Leiskite vertinti ir matuoti p laikais ir stebėjo A1, A2, A3, ... ir i., ..., аn. Atsitiktinis absoliutus vienos matavimo paklaida nustatomas pagal skirtumą
Di \u003d ai - a. (4.1)
Grafiškai atskirų matavimų rezultatai pateikiami Fig. 4.2.
Pakankamai didelis skaičius p Tos pačios klaidos, jei jie turi daug atskirų verčių, yra pakartotinai ir todėl galite nustatyti santykinį jų išvaizdos dažnį (dažnumą), t.y. Gautų identiškų duomenų skaičiaus santykis mi. iki iš viso Išmatuotas. \\ T p. Tęsiant masto matavimus Bet Šis dažnis nepasikeis, todėl gali būti laikomas šių matmenų klaidų atsiradimo tikimybe: p.(Ai.) = mi. / n..

Skambinama statistinė priklausomybė nuo atsitiktinių klaidų tikimybės iš jų reikšmės klaidų paskirstymo įstatymas tikimybės paskirstymo įstatymas. Šis įstatymas apibrėžia išvaizdos pobūdį. Įvairūs rezultatai Atskiri matavimai. Yra dviejų tipų platinimo įstatymų aprašymas: neatskiriama ir. \\ T diferencialas.
Integruota teisė, Or tikimybės paskirstymo funkcijaF (D. ) Atsitiktinės klaidos di aTaŠ.patirtis, paskambinkite funkcija, kurių vertė kiekvienam nuspręstų įvykio tikimybę R (D)daryti išvadą, kad atsitiktinė klaida yra mažesnė už tam tikrą vertę d, i.e. Funkcija F (D. ) \u003d P [Di. < D. ]. Ši funkcija keičiant tašką - ¥ iki + ¥ trunka nuo 0 iki 1 ir yra nesuderinamas. Jis egzistuoja visiems atsitiktiniams diskretiškiems ir nuolatiniams kintamoms (4.3 a.).
Jeigu F (D) Simetriškas palyginti su tašku Bet, bet, Atitinkama tikimybė yra 0,5, tada stebėjimo rezultatų pasiskirstymas bus simetriškai palyginti su tikros vertės Bet. Šiuo atveju patartina F (D)perkelti palei abscisą ašį į da vertę, t.y. Pašalinkite sistemingą komponento klaidą (Da \u003d.Dc) ir gaukite atsitiktinio klaidos komponento paskirstymo funkciją D \u003d (4.3 b pav.). Klaidos tikimybės paskirstymo funkcija D. skiriasi nuo tikimybės pasiskirstymo atsitiktinio komponento klaidos tik per poslinkį palei abscisa ašį į sisteminio komponento klaidos vertę DC..
Diferencialinis įstatymas tikimybių pasiskirstymasdėl atsitiktinės klaidos su nuolatine ir diferencine paskirstymo funkcija F (D) Skambučių funkcija . Šis priklausomybė yra tikimybių paskirstymo tankis. Gali būti, kad tikimybių paskirstymo tankio grafikas Įvairios formos Priklausomai nuo klaidų paskirstymo. Dėl F (D)parodyta Fig. 4.3 B, Paskirstymo kreivė f (D)jis turi formą arti varpinės formos (4.3 V).
Atsitiktinių klaidų atsiradimo tikimybę lemia ribotos kreivės sritis f (D)arba jos dalis ir abscisa ašis (4.3 C pav.). Priklausomai nuo nagrinėjamo intervalo intervalo .

Vertė f (D)d.D. Yra tikimybės elementas, lygus stačiakampio ploto su baze d.D I.absessum. D1,D2,vadinamas kiekybėmis. Nes. F (+.¥)= 1, tada lygus ,
tie. Aikštė pagal Krivoy. f (D) Pasak rationing valdovo valdovo, vienas yra lygus vienai ir atspindi visų galimų įvykių tikimybę.
Praktikoje elektros matavimai. \\ T Vienas iš labiausiai paplitusių atsitiktinių klaidų paskirstymo įstatymų normalus įstatymas (Gauss).
Normalios teisės matematinė išraiška yra
,
Kur f (D) - tikimybės tankio atsitiktinė klaida D \u003d A.i -A.; S yra antrinis kvadratinis nuokrypis. Vidutinis kvadratinis nuokrypis gali būti išreikštas atsitiktiniais DI stebėjimo rezultatų nukrypimais (žr. Formulę (4.1)):
.
Šios dviejų verčių lygties aprašytų kreivių pobūdis parodytas Fig. 4.4. Iš šių kreivių aišku, kad mažiau s, tuo dažniau rastos mažos atsitiktinės klaidos, t.y. Pateikiami tikslesni matavimai. Matavimų praktikoje yra ir kitų platinimo įstatymų, kuriuos galima įdiegti remiantis statistiniu apdorojimu

patyrę duomenys. Kai kurie iš labiausiai paplitusių paskirstymo įstatymų pateikiami GOST 8.011-84 "Matavimo tikslumo rodikliai ir matavimo rezultatų forma".
Pagrindinės paskirstymo įstatymų charakteristikos yra tikėtina vertėir. \\ T dispersija.
Atsitiktinio kintamojo matematinis lūkesčius - tai yra jos vertė, aplink kurią atskirų stebėjimų rezultatai yra sugrupuoti. Mate matic laukia atskiros atsitiktinės vertės M [x] Nustatoma kaip visų gamybos dydis galimos vertybės Atsitiktinis kintamasis dėl šių vertybių tikimybės .
Dėl nuolatinių atsitiktinių kintamųjų, būtina pasinaudoti integracija, dėl kurių būtina žinoti tikimybės tankio priklausomybę nuo x, t.y. f (x),kur x \u003d.D. Tada .
Ši išraiška reiškia, kad matematinis lūkesčius yra lygus begalinio skaičiaus visų galimų atsitiktinių kintamojo vertėms h. Dėl be galo mažo aikštės f (x)dx, Kur f (x) -užsisakykite visus x, A. dx -elementiniai abscisos ašies segmentai.
Jei yra normalus atsitiktinių klaidų pasiskirstymas, tada atsitiktinės klaidos matematinis lūkesčius yra nulis (4.4 pav.). Jei laikote įprastą rezultatų pasiskirstymą, matematiniai lūkesčiai atitiks tikrąją išmatuotos vertės vertę, kurią mes žymime A.
Sisteminga klaida yra nuokrypis matematinis lūkesčius Stebėjimo rezultatai iš tikros reikšmės Betišmatuota vertė: Dc \u003d m [X] -A.ir atsitiktinė klaida - skirtumas tarp vieno stebėjimo ir lūkesčių rezultato: .
Atskirų stebėjimų dispersija apibūdina atskirų stebėjimų rezultatų sklaidos laipsnį: matematiniais lūkesčiais:
D [X] \u003d.Dx \u003d.M [(ai -mx) 2].
Kuo mažesnis dispersija, tuo mažesnis atskirų rezultatų sklaida, tikslesni matavimai atliekami. Tačiau dispersija išreiškiama vienetais, esančiais išmatuotos vertės kvadratūros vienetais. Todėl, kaip daugelio stebėjimų tikslumo charakteristika, vidutinis kvadratinis nuokrypis yra labiausiai paplitęs (suderinimas), lygus šaknų aikštei nuo dispersijos: .
Laikomas įprastu atsitiktinių kintamųjų pasiskirstymu, įskaitant atsitiktines klaidas, yra teorinis, todėl įprastas paskirstymas turėtų būti laikomas "tobulu", t.y. kaip teorinis pamatas Mokytis atsitiktinių klaidų ir jų įtakos matavimo rezultatams.
Be to, apibūdina būdus, kaip taikyti šį pasiskirstymą praktikoje su konkrečiu suderinimo laipsniu. Taip pat manoma, kad kitas paskirstymas (studento platinimas), naudojamas mažoms pastaboms.
Tiesioginių matavimų rezultatų klaidų įvertinimai.Leiskite jam atlikti p tiesioginiai to paties dydžio matavimai. Apskritai, kiekviename iš matavimų aktų, klaida bus kitokia:
D.i \u003d.ai -A.
kur yra I-ojo dimensijos klaida; ai - I-ojo dimensijos rezultatas.
Nuo tikrosios išmatuotos vertės vertės A. Nežinoma, tiesiogiai negalima apskaičiuoti atsitiktinės absoliučios klaidos. Praktiniais skaičiavimais, tai yra būtina vietoj A. Naudokite jį su įvertinimu. Paprastai trunka, kad tikroji vertė yra lygi vidutinė aritmetinė vertė daugelio matavimų skaičius:
. (4.2)
Kur beti -atskirų matavimų rezultatai; p Matavimų skaičius.
Dabar, panašus į išraišką (4.1), galite nustatyti kiekvieno matavimo rezultato nuokrypį nuo vidutinės vertės :
(4.3)
Kur v. i. - vieno aspekto rezultato nuokrypis nuo vidutinės vertės. Reikėtų nepamiršti, kad matavimo rezultatų nuokrypių suma nuo vidutinės vertės yra nulis, o jų kvadratų suma yra minimali, t.y.
ir min.
Šios savybės naudojamos apdorojant matavimo rezultatus, kad būtų galima stebėti skaičiavimų teisingumą.
Tada apskaičiuokite vertinimo vertes vidutinis kvadratinė klaida Dėl daugelio matavimų

. (4.4)
Pagal tikimybės teoriją su pakankamai dideliu skaičiumi matavimų su nepriklausomomis atsitiktinėmis klaidomis, vertinimas S. tikimybės konvergai s. Šiuo būdu,

. (4.5)
Dėl to, kad vidutinė aritmetinė vertė taip pat yra atsitiktinė vertė, tai yra prasminga vidutiniškai kvadratinis nuokrypis Vidurinė aritmetinė vertė. Ši vertė Mes žymi SSR simbolį. Galite parodyti, kad nepriklausomos klaidos
. (4.6)
Ser vertė apibūdina sklaidos laipsnį . Kaip paminėta aukščiau veikia kaip tikrosios išmatuoto vertės vertės vertinimas, t.y. Tai yra atlikto matavimų galutinis rezultatas. Todėl SSR taip pat vadinama vidutine kvadratine vertinimo rezultato klaida.
Praktikoje S, apskaičiuotos pagal formulę (4.5), naudojimas Jei būtina nurodyti naudojamo matavimo metodo tikslumą: jei metodas yra tikslus, tada atskirų matavimų rezultatų sklaida yra maža, t.y. Maža vertė S. . Vertė SSR , Apskaičiuotas pagal (4.6), yra naudojamas apibūdinti matavimo rezultato tam tikros sumos, t.y. Rezultatas, gautas per matematinį apdorojimą apie daugelio atskirų tiesioginių matavimų rezultatų.
Vertinant matavimo rezultatus, kartais naudoja koncepciją maksimalus arba. \\ T didžiausia leistina klaida Vertė yra nustatoma S arba S akcijų. Šiuo metu yra skirtingų kriterijų nustatyti maksimalią klaidą, t.y. tolerancijos lauko ribos ± D, kuriose turėtų būti įvykdyti atsitiktinės klaidos. Paprastai priimta yra didžiausios klaidos D \u003d 3S (arba 3) apibrėžimas S.). AT pastaruoju metu Remiantis informacija apie matavimų teoriją, profesorius P. V. Novitsky rekomenduoja naudoti vertę d \u003d 2s.
Pristatome svarbias sąvokas pasitikėjimo tikimybėir. \\ T Konfidenciali intervalas. Kaip minėta pirmiau, aritmetinis vidurkis , gautas dėl matavimų skaičiaus yra tikrosios vertės įvertinimas Betir, kaip taisyklė, nesutampa su juo, bet skiriasi nuo klaidos prasme. Leisti Rd. yra galimybė skiriasi nuo Bet ne daugiau kaip d, i.e. R (-D.< Bet< + D.) \u003d Rd.. Tikimybė Rd. vadinamas konfidenciali tikimybė ir išmatuotos vertės verčių intervalas nuo - D Be + D - konfidenciali intervalas.
Pirmiau minėta nelygybė reiškia, kad su tikimybe Rd.pasitikėjimo intervalas OT. - D Be + D prisideda tikrąja prasme Bet. Taigi, tiksliai apibūdinti atsitiktinę klaidą, būtina turėti du numerius - patikimą tikimybę ir atitinkamą pasitikėjimo intervalą. Jei yra žinoma klaidų tikimybės pasiskirstymo teisė, tada konfidenciali intervalą gali būti nustatyta pagal tam tikrą pasitikėjimo tikimybę. Visų pirma, su pakankamai dideliu matavimų skaičiumi, įprastos teisės naudojimas dažnai yra pateisinamas, o su nedideliu skaičiumi matavimų (P.< 20), kurių rezultatai priklauso įprastam platinimui, turėtų būti naudojama studento platinimui. Šis platinimas turi tikimybės tankį, beveik sutampa su normaliu p, bet smarkiai skiriasi nuo įprastos mažos p.
Tab. 4.1 Ar vadinamasis mokinio kiekio pasiskirstymas ½ t (\\ tn)½ Rd. Dėl matavimų skaičiaus p \u003d 2 - 20 ir pasitikėjimo tikimybės R. = 0,5 - 0,999.
Tačiau nurodome, kad paprastai neskiriame skirstymo lentelės vertėms. p ir. \\ T Rd, Ir vertybes m \u003d.n-1.ir. \\ T a \u003d 1 - RD,ką reikėtų apsvarstyti naudojant juos. Norėdami nustatyti pasitikėjimo intervalą, tai yra būtina duomenims p ir. \\ T Rd. Rasti kiekį ½. t (\\ tn)½ ir apskaičiuoti vertes . = - sSR.× ½ t (\\ tn)½RDI. Au = + sSR.× ½ t (\\ tn)½, kuris bus mažesnis ir viršutinės ribos Konfidenciali intervalas.

Pasibaigus tam tikram pasitikėjimo intervalui, atsižvelgiant į pirmiau minėtą metodą, matavimo rezultatas įrašomas į formą ; D \u003dDn.¸ Db; Rd.,
Kur - tikrosios matavimo vertės vertinimas lemia išmatuoto vertės vienetus; D - matavimo klaida; Db \u003d +. sSR.× ½ t (\\ tn)½ RD ir DN \u003d - sSR.× ½ t (\\ tn)½, viršutinės ir apatinės matavimo klaidos ribos; RD - pasitikėjimo tikimybė.

4.1 lentelė.

	Studentų T (n) kiekio pasiskirstymo vertės su pasitikėjimu tikimybė Rd.

Netiesioginių matavimų rezultatų klaidų vertinimas.Su netiesioginiais matavimais, norima verte Bet Funkcionaliai susiję su viena ar daugiau tiesiogiai išmatuotų verčių: x,y.,..., t.. Apsvarstykite paprasčiausią klaidos atvejį viename kintamuoju metu A.= F.(x.). Absoliutus matavimo matavimo matas h. per ± DX, mes gauname A +.D. A.\u003d F (x ±D. x).
Dekutuojant dešinę šios lygybės pusę taylor serijoje ir nepaisydami skilimo nario, kuriame yra DX iki pirmojo laipsnio, gauname
A + da "f (x) ± DX arba da" ± DX.
Santykinė funkcijos matavimo klaida nustatoma nuo išraiškos
.
Jei išmatuota vertė Bet Tai kelių kintamųjų funkcija: A \u003d.F (x.y, ...,t) Kad absoliutus netiesioginių matavimų rezultatas
.
Privačios santykinės netiesioginės matavimo klaidos nustatomos formulėmis ; ir tt Santykinė matavimo rezultatų klaida
.
Taip pat gyvename netiesioginio matavimo rezultato įvertinimo funkcijomis atsižvelgiant į atsitiktinę klaidą.
Įvertinti atsitiktinę netiesioginių dydžio matavimų rezultatus Bet Mes manome, kad sistemingos vertinimo klaidos vertybių x, y, ..., t neįtrauktos ir atsitiktinės tų pačių dydžių matavimo klaidos nepriklauso vienas nuo kito.
Su netiesioginiais matavimais, išmatuoto vertės vertė randama pagal formulę ,
kur - vidutinės arba vidutinės svertinės vertės x, y, ..., t.
Apskaičiuoti vidutinį matuojamos vertės vertės kvadratinį nuokrypį Bet Patartina naudoti vidutinius kvadratinius nuokrypius, gautus matavimų metu. x, y, ..., t.
AT apskritai. \\ T Nustatyti vidutinį kvadratinį nuokrypį netiesioginio matavimo, ši formulė yra įteikta:
, (4.7)
Kur Dx;Dy; ...;Dt - Vadinamosios privačios netiesioginės matavimo klaidos ; ; …; ; ; ; … ; — privatūs dariniai Bet Iki dalies x, y, ..., t;sx.; s.y, ...,st, ... - Vidutinis kvadratinių matavimo rezultatų nukrypimai x, y, ..., t.
Apsvarstykite kai kuriuos konkrečius atvejus, kai naudojate lygtį (4.7), kai funkcinė priklausomybė tarp netiesiogiai ir tiesiogiai išmatuotų verčių išreiškiama formulėje A \u003d.k.× x.a.× y.b.× z.g, Kur k -skaitmeninis koeficientas (dimensija).
Šiuo atveju formulė (4.7) bus tokia forma:
.
Jeigu a \u003d.b \u003d.g \u003d 1.ir. \\ T A \u003d.k.× x.× y.× z, Tada santykinės klaidos formulė supaprastinta į rūšį .
Ši formulė yra taikoma, pavyzdžiui, apskaičiuoti vidutinį kvadratinį nuokrypį tūrio matavimo pagal matavimo aukščio, pločio ir gylio bako, kurio stačiakampio lygiagreažai formą rezultatus.

4.5. Atsiliepimų atsitiktinių ir sisteminių klaidų sumavimo taisyklės
Sudėtingų matavimo priemonių klaida priklauso nuo atskirų mazgų (blokų) klaidų. Klaidos apibendrinamos tam tikros taisyklės.
Leiskite, pavyzdžiui, matavimo įtaisas susideda iš m. Blokai, kurių kiekvienas turi nepriklausomas atsitiktines klaidas. Tuo pačiu metu, absoliučios vidutinio kvadratinio SK arba maksimalios vertės M.k.kiekvieno bloko klaidos.
Aritmetinis apibendrinimas arba suteikia maksimalią klaidą instrumento, kuris yra nereikšmingas ir todėl retai naudojamas įvertinti prietaiso tikslumą apskritai. Pagal klaidų teoriją, gautą klaidą SREC ir Mrez. nustatoma pridedant kvadratinę teisę arba. \\ T .
Panašiai nustatoma gauta matavimo klaida: . (4.8)
(4.8) lygtis gali būti naudojama siekiant nustatyti leistinas atskirus išsivysčiusių įrenginių blokų klaidas su konkrečiu matavimo klaida. Projektuojant prietaisą, jie paprastai nustatomi vienodomis klaidomis atskirų blokų, įtrauktų į jį. Jei yra keletas klaidų šaltinių galutinis rezultatas Matavimus įtakoja Unenochnakovo (arba prietaisas susideda iš kelių blokų su skirtingų klaidų), formulės (4.8) turėtų būti įvestas pagal svorio koeficientus ki. :
, (4.9)
kur D1, D2, ... DM yra matavimo prietaiso atskirų surinkimo (blokų) klaidų; k1.k2, ...,km. - koeficientai, kuriuose atsižvelgiama į šio bloko atsitiktinės klaidos įtakos lygį matavimo rezultatuose.
Jei matavimo įtaisas (arba jo blokai) taip pat turi sistemingų klaidų, bendra klaida nustatoma pagal jų sumą:. Tas pats požiūris yra teisingas daugiau. komponentai.
Vertinant privačių klaidų poveikį, reikėtų nepamiršti, kad matavimų tikslumas daugiausia priklauso nuo didelių absoliučios vertės klaidų, o kai kurios mažiausios klaidos negali būti apsvarstytos visai. Asmeninė klaida apskaičiuojama remiantis vadinamuoju nagrinėjamos klaidos kriterijuskuris yra toliau. Tarkime, kad bendra klaida apibrėžiama pagal formulę (4.8), atsižvelgiant į visus m. Privačios klaidos, tarp kurių kai kurios klaidos di turi mažą reikšmę. Jei bendra klaida D ¢ supjaustyti, apskaičiuojami neatsižvelgiant į DI, skiriasi nuo ne daugiau kaip 5%, t.y. "Tresh-D ¢ supjaustytas< 0,05×dрез или 0,95×dрез Praktiškai techniniai skaičiavimai dažnai naudoja mažiau sunkių kriterijų - į šias formules įvedamas 0,4 koeficientas.

4.6. Matavimo rezultatų atstovavimo formos

Matavimo rezultatas galioja tik tada, kai galima įvertinti savo neapibrėžtumo intervalą, t.y. Patikimumo laipsnis. Todėl matavimo rezultatas turi būti išmatuotos vertės ir šios vertės tikslumo charakteristikos, kurios yra sistemingos ir atsitiktinės klaidos. Kiekybiniai klaidų rodikliai, jų išraiškos metodai, taip pat matavimo rezultatų atstovavimo formą reglamentuoja GOST 8.011-72 "matavimo tikslumo rodikliai ir matavimo rezultatų atstovavimo forma". Apsvarstykite pagrindines matavimo rezultatų pateikimo formas.
Tiesioginio vieno matavimo rezultato klaida priklauso nuo daugelio veiksnių, tačiau visų pirma nustatoma naudojamų matavimo įrankių klaida. Todėl, pirmuoju suderinimu, matavimo rezultato klaida gali būti lygi
Klaidos, kurios šiuo matavimo diapazono tašku pasižymi matavimo priemone.
Matavimo diapazone keičiami matavimo klaidos. Todėl kiekvienu atveju kiekvienam matavimui būtina apskaičiuoti matavimo rezultato klaidą, naudojant formules (3.19) - (3.21) atitinkamų matavimo priemonių paklaidą. Ji turėtų būti apskaičiuojama tiek absoliutus ir santykinis matavimo klaida, nes pirmoji iš jų reikia apvalinti rezultatus ir jo teisingą įrašymą, o antrasis - unikalios lyginamosios jo tikslumo charakteristikos.
Dėl skirtingų charakteristikų klaidų, šie skaičiavimai yra skirtingai, todėl mes manome, tris būdingus atvejus.
1. Instrumento klasė nurodoma kaip vienas numeris. q, kalinys apskritime. Tada santykinė rezultato klaida (procentais) g \u003d q, Ir absoliuti klaida d x \u003d.q.× x /100.
2. Prietaisų klasė nurodyta vienu numeriu. p. (be puodelio). Tada absoliuti matavimo rezultato klaida d x \u003d.p.× xk /100, kur x.k. - matavimo riba, kuria ji buvo pagaminta, ir santykinė matavimo klaida (procentais) yra formulė ,
T e. Šiuo atveju, matuojant, be išmatuoto vertės skaičiavimo h. Turi būti nustatyta ir matavimo riba x.k, Priešingu atveju, vėliau nebus galima apskaičiuoti rezultato klaidos.
3. Instrumento klasė nurodoma dviem skaičiais c / D.. Šiuo atveju patogiau apskaičiuoti santykinę klaidą d. lemia formulę (3.21), ir tada suraskite absoliučią klaidą D.x \u003d.d.× x / 100..
Po klaidos skaičiavimų naudokite vieną iš matavimo rezultatų pateikimo formas šiomis formomis: x;± D. ir. \\ T d.kur h.- išmatuota vertė; D. - absoliuti matavimo klaida; d. - Nuimamas matavimo klaida. Pavyzdžiui, šis įrašas yra: "Matavimas atliekamas su santykine klaida d. \u003d ...%. Išmatuota vertė x \u003d (ir± D) kur Bet - matavimo rezultatas. "
Tačiau aiškiau nurodykite išmatuoto vertės neapibrėžtumo intervalo ribas: x \u003d (A-D)¸(A +.D) arba. \\ T (A-D)< х < (A +.D)nurodant matavimo vienetus.
Kita matavimo atstovavimo forma nustatoma taip: h.; D.nuo. Dn.anksčiau Db; R,kur H.- matavimas lemia išmatuoto vertės vienetus; D,Dn,Db.- atitinkamai, matavimo klaida nuo apatinių ir viršutinių ribų tose pačiose vienetuose; R. - tikimybė, su kuria matavimo klaida yra šiose ribose.
GOST 8.011-72 pripažįsta kitas matavimo rezultatų atstovavimo formas, skiriasi nuo faktų pateiktų formų, kad jie atskirai nurodo sisteminių ir atsitiktinių matavimo klaidų komponentų charakteristikas. Tuo pačiu metu, už sistemingą klaidą, jos tikimybinės charakteristikos rodo. Šiuo atveju pagrindinės charakteristikos sisteminės klaidos yra matematinis lūkesčius m [ DXS.], RMS nukrypimas s [ DXS.] Ir jo pasitikėjimo intervalas. Sisteminių ir atsitiktinių klaidų sudedamųjų dalių išskyrimas patartina, jei matavimo rezultatas bus naudojamas tolesniam duomenų tvarkymui, pavyzdžiui, nustatant netiesioginių matavimų rezultatus ir jo tikslumą įvertinant klaidų sumavimą, \\ t ir tt

Bet kuri iš matavimo rezultato formų, numatytų GOST 8.011-72 turi būti būtini duomenys, kurių pagrindu patikimumo intervalas gali būti nustatomas dėl matavimo klaidos. Bendru atveju patikimumo intervalas gali būti nustatytas, jei žinoma, kad klaidos paskirstymo įstatymo tipas ir pagrindinės šio įstatymo skaitinės charakteristikos.

Mūsų amžiuje žmogus atėjo su ir naudoja didžiulį visų matavimo priemonių rūšių rinkinį. Bet kokia tobula technologija jų gamybos, jie visi turi didesnę ar mažiau klaidų. Šis parametras paprastai nurodomas pačioje priemonėje ir įvertinti nustatytos vertės tikslumą, turite sugebėti suprasti, ką nurodyti ant ženklo skaičiai. Be to, santykinė ir absoliuti klaida neišvengiamai atsiranda su sudėtingais matematiniais skaičiavimais. Jis plačiai naudojamas statistikoje, pramonėje (kokybės kontrolėje) ir daugelyje kitų regionų. Kaip apskaičiuojama ši vertė ir kaip interpretuoti jo vertę - tai bus aptarta šiame straipsnyje.

Absoliutinė klaida

Nurodykite x apytikslę bet kokios vertės vertę, pavyzdžiui, naudojant vieną matavimą, o per X 0 yra jos tiksli vertė. Dabar apskaičiuojame skirtumo modulį tarp šių dviejų numerių. Absoliutinė klaida yra tik vertė, kurią mes įvyksime nuo mūsų dėl šio paprasto veikimo. Nurodyta formulės kalba, ši apibrėžtis gali būti parašyta šioje formoje: Δ X \u003d | X - X 0 |.

Santykinė klaida

Absoliutus nuokrypis turi vieną svarbų trūkumą - neleidžia įvertinti klaidos svarbos laipsnio. Pavyzdžiui, mes perkame 5 kg bulvių rinkoje ir nesąžiningai pardavėjas, kai matavimo svoris buvo klaidingas 50 gramų savo naudai. Tai yra absoliuti klaida buvo 50 gramų. Už mus, tokia priežiūra bus smulkmenos ir mes net ne atkreipti dėmesį į jį. Ir įsivaizduokite, kas atsitinka, jei vaistas atsiranda panaši klaida? Čia viskas bus daug rimtesnė. Ir įkeliant komercinį automobilį, tikriausiai nukrypimai įvyksta daug daugiau nei šią vertę. Todėl pats absoliuti klaida yra nepagrįsta. Be to, labai dažnai apskaičiuojami santykiniai nukrypimai, lygūs absoliučios klaidos santykiui link tikslios skaičiaus vertės. Tai parašyta tokia formulė: Δ \u003d Δ x / x 0.

Klaidų savybės

Tarkime, mes turime dvi nepriklausomas vertybes: x ir y. Turime apskaičiuoti apytikslės jų sumos vertės nuokrypį. Tokiu atveju galime apskaičiuoti absoliučią klaidą kaip iš anksto apskaičiuotų absoliutaus kiekvieno iš jų nukrypimų sumą. Kai kuriuose matavimuose gali atsirasti, kad klaidos nustatant x ir y reikšmes bus kompensuoti vieni kitiems. Ir tai gali atsitikti, kad dėl to, kad nuokrypis padidės kiek įmanoma. Todėl, kai apskaičiuojama bendra absoliuti klaida, reikėtų atsižvelgti į blogiausią iš visų variantų. Tas pats pasakytina ir apie kelių kiekių klaidų skirtumą. Šis turtas yra būdingas tik absoliučioje klaida, ir ji negali būti taikoma santykiniam nukrypimui, nes jis neišvengiamai lemia neteisingą rezultatą. Apsvarstykite šią situaciją tokiu pavyzdžiu.

Tarkime, matavimai cilindro viduje parodė, kad vidinis spindulys (R1) yra 97 mm, o išorinis (R2) yra 100 mm. Reikia nustatyti jos sienos storį. Pirmiausia randame skirtumą: H \u003d R2 - R1 \u003d 3 mm. Jei problema nenurodo, kad absoliuti klaida yra lygi, tada jis perima daugiau kaip pusė matavimo priemonės skalės padalijimo. Taigi, Δ (R2) \u003d Δ (R1) \u003d 0,5 mm. Bendra absoliuti klaida yra: Δ (h) \u003d Δ (R2) + Δ (R1) \u003d 1 mm. Dabar apskaičiuojame santykinai nuokrypius visų vertybių:

Δ (R1) \u003d 0,5 / 100 \u003d 0,005,

Δ (R1) \u003d 0,5 / 97 ≈ 0,0052,

Δ (h) \u003d Δ (h) / h \u003d 1/3 ≈ 0.3333 \u003e\u003e Δ (R1).

Kaip matome, abiejų spindulių matavimo paklaida neviršija 5,2%, tačiau apskaičiuojant jų skirtumą klaida - cilindro sienos storis - sudarė net 33, (3)%!

Šis turtas skaito: santykinis nuokrypis kelių skaičių yra apie lygus santykinių nukrypimų atskirų veiksnių sumai:

Δ (hu) ≈ Δ (x) + Δ (Y).

Be to, ši taisyklė galioja neatsižvelgiant į vertingų verčių sumą. Trečiasis ir paskutinis santykinės klaidos turtas yra tas santykinis vertinimas numbers k-oji laipsniai maždaug | K |. Vieną kartą viršija santykinę klaidą pradiniame numeriu.