ja Výrazy, v ktorých možno spolu s písmenami použiť čísla, aritmetické symboly a zátvorky, sa nazývajú algebraické výrazy.
Príklady algebraické výrazy:
2 m - n; 3 · (2a + b); 0,24x; 0,3a-b · (4a + 2b); a 2 – 2ab;
Keďže písmeno v algebraickom výraze môže byť nahradené rôznymi číslami, písmeno sa nazýva premenná a samotný algebraický výraz sa nazýva výraz s premennou.
II. Ak sa v algebraickom výraze písmená (premenné) nahradia ich hodnotami a vykonajú sa zadané akcie, výsledné číslo sa nazýva hodnota algebraického výrazu.
Príklady. Nájdite význam výrazu:
1) a + 2b-c s a = -2; b = 10; c = -3,5.
2) |x| + |y| -|z| pri x = -8; y = -5; z = 6.
Riešenie.
1) a + 2b-c s a = -2; b = 10; c = -3,5. Namiesto premenných dosadíme ich hodnoty. Dostaneme:
— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.
2) |x| + |y| -|z| pri x = -8; y = -5; z = 6. Dosaďte uvedené hodnoty. Pamätáme si, že modul záporného čísla sa rovná jeho opačnému číslu a modul kladného čísla sa rovná tomuto samotnému číslu. Dostaneme:
|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.
III. Hodnoty písmena (premennej), pre ktoré má algebraický výraz zmysel, sa nazývajú prípustné hodnoty písmena (premenná).
Príklady. Pre aké hodnoty premennej nemá výraz zmysel?
Riešenie. Vieme, že nulou sa deliť nedá, preto každý z týchto výrazov nebude dávať zmysel vzhľadom na hodnotu písmena (premennej), ktorá mení menovateľa zlomku na nulu!
V príklade 1) je táto hodnota a = 0. V skutočnosti, ak namiesto a nahradíte 0, potom budete musieť vydeliť číslo 6 0, ale to sa nedá. Odpoveď: výraz 1) nedáva zmysel, keď a = 0.
V príklade 2) je menovateľ x 4 = 0 pri x = 4, preto túto hodnotu x = 4 nemožno vziať. Odpoveď: výraz 2) nedáva zmysel, keď x = 4.
V príklade 3) je menovateľ x + 2 = 0, keď x = -2. Odpoveď: výraz 3) nedáva zmysel, keď x = -2.
V príklade 4) je menovateľ 5 -|x| = 0 pre |x| = 5. A keďže |5| = 5 a |-5| = 5, potom nemôžete vziať x = 5 a x = -5. Odpoveď: výraz 4) nedáva zmysel pri x = -5 a pri x = 5.
IV. Hovorí sa, že dva výrazy sú identicky rovnaké, ak pre nejaký existuje prijateľné hodnoty premenné, zodpovedajúce hodnoty týchto výrazov sú rovnaké.
Príklad: 5 (a – b) a 5a – 5b sú tiež rovnaké, pretože rovnosť 5 (a – b) = 5a – 5b bude platiť pre všetky hodnoty a a b. Rovnosť 5 (a – b) = 5a – 5b je identita.
Identita je rovnosť, ktorá platí pre všetky prípustné hodnoty premenných v nej zahrnutých. Príkladmi už známych identít sú napríklad vlastnosti sčítania a násobenia a distributívna vlastnosť.
Nahradenie jedného výrazu iným identicky rovnakým výrazom sa nazýva transformácia identity alebo jednoducho transformácia výrazu. Identické transformácie výrazov s premennými sa vykonávajú na základe vlastností operácií s číslami.
Príklady.
a) preveďte výraz na identicky rovný pomocou distribučnej vlastnosti násobenia:
1) 10·(1,2x + 2,3y); 2) 1,5.(a-2b + 4c); 3) a·(6m-2n + k).
Riešenie. Pripomeňme si distribučnú vlastnosť (zákon) násobenia:
(a+b)c=ac+bc(distributívny zákon násobenia vzhľadom na sčítanie: ak chcete vynásobiť súčet dvoch čísel tretím číslom, môžete vynásobiť každý člen týmto číslom a výsledné výsledky sčítať).
(a-b) c=a c-b c(distributívny zákon násobenia vo vzťahu k odčítaniu: ak chcete vynásobiť rozdiel dvoch čísel tretím číslom, môžete vynásobiť minuend a odpočítať od tohto čísla oddelene a odpočítať druhé od prvého výsledku).
1) 10·(1,2x + 2,3r) = 10 · 1,2x + 10 · 2,3r = 12x + 23r.
2) 1,5.(a-2b + 4c) = 1,5a-3b + 6c.
3) a·(6m -2n + k) = 6am -2an +ak.
b) transformovať výraz na identicky rovnaký pomocou komutatívnych a asociatívnych vlastností (zákonov) sčítania:
4) x + 4,5 + 2 x + 6,5; 5) (3a + 2,1) + 7,8; 6) 5,4s -3 -2,5 -2,3s.
Riešenie. Aplikujme zákony (vlastnosti) sčítania:
a+b=b+a(komutatívne: preskupenie pojmov nezmení súčet).
(a+b)+c=a+(b+c)(kombinatívne: ak chcete k súčtu dvoch výrazov pridať tretie číslo, môžete k prvému číslu pridať súčet druhého a tretieho).
4) x + 4,5 + 2x + 6,5 = (x + 2x) + (4,5 + 6,5) = 3x + 11.
5) (3a + 2,1) + 7,8 = 3a + (2,1 + 7,8) = 3a + 9,9.
6) 6) 5,4 s -3 -2,5 -2,3 s = (5,4 s -2,3 s) + (-3 -2,5) = 3,1 s -5,5.
V) Preveďte výraz na identicky rovný pomocou komutatívnych a asociatívnych vlastností (zákonov) násobenia:
7) 4 · X · (-2,5); 8) -3,5 · 2у · (-1); 9) 3a · (-3) · 2s.
Riešenie. Aplikujme zákony (vlastnosti) násobenia:
a·b=b·a(komutatívne: preskupenie faktorov nemení súčin).
(a b) c=a (b c)(kombinačný: ak chcete vynásobiť súčin dvoch čísel tretím číslom, môžete prvé číslo vynásobiť súčinom druhého a tretieho).
Ministerstvo školstva Bieloruskej republiky
Vzdelávacia inštitúcia
„Gomeľ Štátna univerzita ich. F. Skorina"
Matematická fakulta
Katedra MPM
Identické premeny výrazov a metódy výučby žiakov, ako ich vykonávať
vykonávateľ:
Študent Starodubová A.Yu.
Vedecký poradca:
Cand. fyzika a matematika vedy, docent Lebedeva M.T.
Gomel 2007
Úvod
1 Hlavné typy premien a štádiá ich štúdia. Etapy zvládnutia používania transformácií
Záver
Literatúra
Úvod
Najjednoduchšie transformácie výrazov a vzorcov na základe vlastností aritmetických operácií sa vykonávajú v Základná škola a 5. a 6. ročníka. Formovanie zručností a schopností vykonávať transformácie prebieha v kurze algebry. Je to spôsobené prudkým nárastom počtu a rôznorodosti uskutočňovaných transformácií, ako aj komplikovanosťou činností na ich zdôvodnenie a objasnením podmienok použiteľnosti, identifikáciou a štúdiom zovšeobecnených pojmov identity, identickej transformácie, ekvivalentná transformácia.
1. Hlavné typy transformácií a štádiá ich štúdia. Etapy zvládnutia používania transformácií
1. Začiatky algebry
Používa sa nedelený systém transformácií, reprezentovaný pravidlami na vykonávanie akcií na jednej alebo oboch častiach vzorca. Cieľom je dosiahnuť plynulosť pri dokončovaní úloh na riešenie jednoduchých rovníc, zjednodušenie vzorcov, ktoré definujú funkcie, a racionálne vykonávanie výpočtov na základe vlastností akcií.
Typické príklady:
Riešte rovnice:
A); b) ; V).
Identická transformácia (a); ekvivalentné a identické (b).
2. Formovanie zručností pri uplatňovaní špecifických typov transformácií
Závery: skrátené vzorce násobenia; transformácie spojené s umocňovaním; transformácie spojené s rôznymi triedami elementárnych funkcií.
Organizácia integrálneho systému transformácií (syntéza)
Cieľom je vytvoriť flexibilný a výkonný aparát vhodný na použitie pri riešení rôznych vzdelávacích úloh. Prechod do tejto fázy sa uskutočňuje pri záverečnom opakovaní kurzu v rámci porozumenia už známej látky preberanej po častiach, pre určité typy transformácií sa k predtým študovaným typom pridávajú transformácie goniometrických výrazov. Všetky tieto transformácie možno nazvať „algebraické“, medzi „analytické“ transformácie patria tie, ktoré sú založené na pravidlách diferenciácie a integrácie a transformácie výrazov obsahujúcich prechody do limitov. Rozdiel tohto typu je v povahe množiny, ktorou prechádzajú premenné v identitách (určité množiny funkcií).
Študované identity sú rozdelené do dvoch tried:
I – identity abreviačného násobenia platné v komutatívnom kruhu a identity
férovosť v teréne.
II – identity spájajúce aritmetické operácie a základné elementárne funkcie.
2 Vlastnosti organizácie systému úloh pri štúdiu transformácií identity
Hlavným princípom organizácie systému úloh je ich prezentácia od jednoduchých po zložité.
Cvičebný cyklus– spojenie viacerých aspektov štúdia a techník na usporiadanie materiálu v slede cvičení. Pri štúdiu premien identity sa so štúdiom jednej identity spája cyklus cvičení, okolo ktorých sa zoskupujú ďalšie identity, ktoré sú s ňou v prirodzenom spojení. Cyklus spolu s výkonnými zahŕňa úlohy, vyžadujúce uznanie použiteľnosti predmetnej identity. Študovaná identita sa používa na vykonávanie výpočtov na rôznych numerických doménach. Úlohy v každom cykle sú rozdelené do dvoch skupín. TO najprv Patria sem úlohy vykonávané pri prvotnom oboznámení sa s identitou. Slúžia vzdelávací materiál na niekoľko po sebe nasledujúcich vyučovacích hodín spojených jednou témou.
Druhá skupina cvičenia spájajú skúmanú identitu s rôznymi aplikáciami. Táto skupina netvorí kompozičnú jednotu – cvičenia sú tu roztrúsené na rôzne témy.
Popísané štruktúry cyklu odkazujú na štádium rozvoja zručností pre aplikáciu špecifických transformácií.
V štádiu syntézy sa cykly menia, skupiny úloh sa kombinujú v smere komplikácií a zlučovania cyklov súvisiacich s rôznymi identitami, čo pomáha zvyšovať úlohu akcií pri rozpoznávaní použiteľnosti konkrétnej identity.
Príklad.
Cyklus úloh pre identitu:
I skupina úloh:
a) prítomný vo forme produktu:
b) Skontrolujte rovnosť:
c) Rozšírte zátvorky vo výraze:
.
d) Vypočítajte:
e) Faktorizovať:
f) zjednodušiť výraz:
.
Študenti sa práve oboznámili s formuláciou identity, jej zápisom vo forme identity a jej preukazovaním.
Úloha a) je spojená s fixovaním štruktúry skúmanej identity, s nadviazaním spojenia s číselné sady(porovnanie znakových štruktúr identity a transformovaného prejavu; nahradenie písmena číslicou v identite). V poslednom príklade ho ešte musíme zredukovať na skúmanú formu. V nasledujúcich príkladoch (e a g) je komplikácia spôsobená uplatnenou úlohou identity a komplikáciou štruktúry znaku.
Úlohy typu b) sú zamerané na rozvoj náhradných zručností 
na . Úloha c) je podobná.
Príklady typu d), v ktorých je potrebné zvoliť jeden zo smerov transformácie, dotvárajú vývoj tejto myšlienky.
Úlohy skupiny I sú zamerané na zvládnutie štruktúry identity, fungovanie substitúcie v najjednoduchších, zásadne najdôležitejších prípadoch a myšlienku reverzibilnosti transformácií uskutočňovaných identitou. Veľmi dôležité je aj obohatenie jazykových prostriedkov ukazujúcich rôzne aspekty identity. Texty úloh poskytujú predstavu o týchto aspektoch.
II skupina úloh.
g) Pomocou identity pre , faktor polynóm .
h) Odstráňte iracionalitu v menovateli zlomku.
i) Dokážte, že ak je nepárne číslo, potom je deliteľné 4.
j) Funkcia je daná analytickým výrazom
.
Zbavte sa znamienka modulu zvážením dvoch prípadov: , .
k) Vyriešte rovnicu 
.
Tieto úlohy sú zamerané čo najviac plné využitie a berúc do úvahy špecifiká tejto konkrétnej identity, predpokladať formovanie zručností pri používaní skúmanej identity pre rozdiel štvorcov. Cieľom je prehĺbiť pochopenie identity zvážením jej rôznych aplikácií v rôzne situácie, v kombinácii s použitím materiálu súvisiaceho s inými témami v kurze matematiky.
alebo 
.
Vlastnosti cyklov úloh súvisiacich s identitami pre elementárne funkcie:
1) študujú sa na základe funkčného materiálu;
2) identity prvej skupiny sa objavia neskôr a študujú sa pomocou už rozvinutých zručností na vykonávanie transformácií identity.
Prvá skupina úloh v cykle by mala zahŕňať úlohy na vytvorenie spojení medzi týmito novými číselnými oblasťami a pôvodnou oblasťou racionálnych čísel.
Príklad.
Vypočítať:
;
.
Účelom takýchto úloh je osvojiť si vlastnosti záznamov vrátane symbolov nových operácií a funkcií a rozvíjať matematické rečové schopnosti.
Významná časť využitia transformácií identity spojených s elementárnymi funkciami pripadá na riešenie iracionálnych a transcendentálnych rovníc. Postupnosť krokov:
a) nájdite funkciu φ, pre ktorú možno danú rovnicu f(x)=0 znázorniť ako:
b) dosaďte y=φ(x) a vyriešte rovnicu
c) vyriešte každú z rovníc φ(x)=y k, kde y k je množina koreňov rovnice F(y)=0.
Pri použití opísanej metódy sa krok b) často vykonáva implicitne bez zavedenia zápisu pre φ(x). Študenti navyše často preferujú rôzne cestyčo vedie k nájdeniu odpovede, vyberte tú, ktorá vedie k algebraickej rovnici rýchlejšie a jednoduchšie.
Príklad. Vyriešte rovnicu 4 x -3*2=0.
2)(2 2) x -3 x 2 x = 0 (krok a)
(2 x) 2-3 x 2 x = 0; 2 x (2 x -3) = 0; 2 x -3 = 0. (krok b)
Príklad. Vyriešte rovnicu:
a) 22x-3x2x+2=0;
b) 22x-3*2x-4=0;
c) 2 2 x -3 x 2 x + 1 = 0.
(Navrhnite nezávislé riešenie.)
Klasifikácia úloh v cykloch súvisiacich s riešením transcendentálnych rovníc vrátane exponenciálna funkcia:
1) rovnice, ktoré sa redukujú na rovnice v tvare a x = y 0 a majú jednoduchú všeobecnú odpoveď:
2) rovnice, ktoré sa redukujú na rovnice v tvare a x = a k, kde k je celé číslo, alebo a x = b, kde b≤0.
3) rovnice, ktoré sa redukujú na rovnice tvaru a x = y 0 a vyžadujú explicitnú analýzu tvaru, v ktorom je číslo y 0 explicitne zapísané.
Veľkým prínosom sú úlohy, v ktorých sa transformácie identity používajú na zostavenie grafov a zároveň zjednodušujú vzorce, ktoré definujú funkcie.
a) Nakreslite graf funkcie y=;
b) Vyriešte rovnicu lgx+lg(x-3)=1
c) na akej množine je vzorec log(x-5)+ log(x+5)= log(x 2 -25) identita?
Využitie transformácií identity vo výpočtoch (Journal of Mathematics at School, č. 4, 1983, s. 45)
Úloha č.1. Funkcia je daná vzorcom y=0,3x 2 +4,64x-6. Nájdite hodnoty funkcie pri x = 1,2
y(1,2)=0,3*1,22+4,64*1,2-6=1,2(0,3*1,2+4,64)-6=1,2(0,36+4,64)-6=1,2*5-6=0.
Úloha č.2. Vypočítajte dĺžku jednej vetvy pravouhlého trojuholníka, ak je dĺžka jeho prepony 3,6 cm a druhá vetva je 2,16 cm.
Úloha č.3. Aká je plocha obdĺžnikového pozemku s rozmermi a) 0,64 m a 6,25 m; b) 99,8 m a 2,6 m?
a)0,64*6,25=0,82*2,52=(0,8*2,5)2;
b)99,8*2,6=(100-0,2)2,6=100*2,6-0,2*2,6=260-0,52.
Tieto príklady umožňujú identifikovať praktické využitie transformácie identity. Študent by mal byť oboznámený s podmienkami realizovateľnosti transformácie (pozri schémy).
| |
- obrázok polynómu, kde akýkoľvek polynóm zapadá do okrúhlych obrysov. (Obrázok 1)
-
je daná podmienka realizovateľnosti transformácie súčinu jednočlenu a výrazu, ktorý umožňuje transformáciu na rozdiel štvorcov. (schéma 2)
-
tu tieňovanie znamená rovnaké monomiály a je daný výraz, ktorý možno previesť na rozdiel štvorcov. (Schéma 3)
| |
| |
- výraz, ktorý umožňuje spoločný činiteľ.
Zručnosti študentov v identifikácii podmienok možno rozvíjať pomocou nasledujúcich príkladov:
Ktorý z nasledujúcich výrazov možno transformovať odstránením spoločného činiteľa zo zátvoriek:
2) 
3) 0,7a2 + 0,2b2;
5) 6,3*0,4+3,4*6,3;
6) 2x2+3x2+5y2;
7) 0,21+0,22+0,23.
Väčšina výpočtov v praxi nespĺňa podmienky splniteľnosti, preto študenti potrebujú zručnosti na ich redukciu do formy, ktorá umožňuje výpočet transformácií. V tomto prípade sú vhodné nasledujúce úlohy:
pri štúdiu vyňatia spoločného činiteľa zo zátvoriek:
preveďte tento výraz, ak je to možné, na výraz, ktorý je znázornený v diagrame 4:
4) 2a*a2*a2;
5) 2n4+3n6+n9;
8) 15ab2+5a2b;
10) 12,4*-1,24*0,7;
11) 4,9*3,5+1,7*10,5;
12) 10,8 2 -108;
13) 
14) 5*2 2 +7*2 3 -11*2 4 ;
15) 2*3 4 -3*2 4 +6;
18) 3,2/0,7-1,8*
Pri vytváraní konceptu „identickej transformácie“ by sa malo pamätať na to, že to znamená nielen to, že daný a výsledný výraz v dôsledku transformácie nadobúdajú rovnaké hodnoty pre akékoľvek hodnoty písmen, ktoré sú v ňom obsiahnuté, ale aj to, že pri identickej transformácii prechádzame od výrazu, ktorý definuje jeden spôsob výpočtu, k výrazu definujúcemu iný spôsob výpočtu tej istej hodnoty.
Schému 5 (pravidlo na prepočet súčinu jednočlenu a mnohočlenu) možno ilustrovať na príkladoch
0,5a(b+c) alebo 3,8(0,7+).
Cvičenia, v ktorých sa dozviete, ako zo zátvoriek odstrániť spoločný faktor:
Vypočítajte hodnotu výrazu:
a) 4,59*0,25+1,27*0,25+2,3-0,25;
b) a+bc pri a=0,96; b = 4,8; c = 9,8.
c) a(a+c)-c(a+b) s a=1,4; b = 2,8; c = 5,2.
Ukážme si na príkladoch formovanie zručností vo výpočtoch a transformáciách identity (Journal of Mathematics at School, č. 5, 1984, s. 30)
1) zručnosti a schopnosti sa získavajú rýchlejšie a dlhšie sa udržujú, ak k ich formovaniu dochádza na vedomom základe (didaktický princíp vedomia).
1) Môžete sformulovať pravidlo na sčítanie zlomkov s rovnakých menovateľov alebo predtým konkrétne príklady zvážiť podstatu pridania rovnakých podielov.
2) Pri faktoringu vyňatím spoločného faktora zo zátvoriek je dôležité vidieť tento spoločný faktor a potom aplikovať distribučný zákon. Pri vykonávaní prvých cvičení je užitočné napísať každý člen polynómu ako súčin, ktorého jeden z faktorov je spoločný pre všetky termíny:
3a3-15a2b+5ab2 = a3a2-a15ab+a5b2.
Je to užitočné najmä vtedy, keď je jeden z monomov polynómu vyňatý zo zátvoriek:
II. Prvé štádium formovanie zručností – zvládnutie zručnosti (cvičenia sú vykonávané s podrobným vysvetlením a poznámkami)
(prvá je vyriešená otázka označenia)
Druhá fáza– štádium automatizácie zručnosti odstránením niektorých medziľahlých operácií
III. Sila zručností sa dosahuje riešením príkladov, ktoré sú obsahovo aj formálne rôznorodé.
Téma: „Vypustenie spoločného faktora zo zátvoriek.“
1. Zapíšte chýbajúci faktor namiesto polynómu:
2. Faktorizujte tak, aby pred zátvorkami bol jednočlen so záporným koeficientom:
3. Faktor tak, že polynóm v zátvorkách má celočíselné koeficienty:
4. Vyriešte rovnicu:
IV. Rozvoj zručností je najefektívnejší, keď sa niektoré medzivýpočty alebo transformácie vykonávajú ústne.
(ústne);
V. Rozvíjané zručnosti a schopnosti musia byť súčasťou vopred vytvoreného systému vedomostí, zručností a schopností žiakov.
Napríklad, keď učíte, ako faktorizovať polynómy pomocou skrátených vzorcov násobenia, ponúkajú sa tieto cvičenia:
Faktorizovať:
VI. Potreba racionálneho vykonávania výpočtov a transformácií.
V) zjednodušiť výraz:
Racionalita spočíva v otváraní zátvoriek, pretože
VII. Prevod výrazov obsahujúcich exponenty.
č. 1011 (Alg.9) Zjednodušte výraz:
Č. 1012 (Alg.9) Odstráňte násobiteľ spod koreňového znaku:
Č. 1013 (Alg.9) Zadajte faktor pod znamienko koreňa:
č. 1014 (Alg.9) Zjednodušte výraz:
Vo všetkých príkladoch najskôr vykonajte buď faktorizáciu, alebo odčítanie spoločného faktora, alebo „pozrite“ zodpovedajúci redukčný vzorec.
Č. 1015 (Alg.9) Znížte zlomok:
Mnoho študentov má určité ťažkosti pri transformácii výrazov obsahujúcich korene, najmä pri štúdiu rovnosti:
Preto buď podrobne popíšte výrazy formulára resp 
alebo ísť na stupeň s racionálnym exponentom.
Č. 1018 (Alg.9) Nájdite hodnotu výrazu:
č. 1019 (Alg.9) Zjednodušte výraz:
2.285 (Skanavi) Zjednodušte výraz
a potom nakreslite funkciu r Pre
Č. 2.299 (Skanavi) Skontrolujte platnosť rovnosti:
Transformácia výrazov obsahujúcich stupeň je zovšeobecnením získaných zručností a schopností pri štúdiu identických transformácií polynómov.
č. 2.320 (Skanavi) Zjednodušte výraz:
Kurz Algebra 7 poskytuje nasledujúce definície.
Def. Dva výrazy, ktorých zodpovedajúce hodnoty sú rovnaké pre hodnoty premenných, sa považujú za identicky rovnaké.
Def. Rovnosť platí pre všetky hodnoty premenných nazývaných. identity.
Č. 94 (Alg.7) Je rovnosť:
a) 
c) 
d) 
Definícia popisu: Nahradenie jedného výrazu iným identicky rovnakým výrazom sa nazýva identická transformácia alebo jednoducho transformácia výrazu. Identické transformácie výrazov s premennými sa vykonávajú na základe vlastností operácií s číslami.
č (Alg.7) Medzi výrazmi
nájsť tie, ktoré sú identicky rovnaké.
Téma: „Identické transformácie výrazov“ (technika otázok)
Prvá téma „Algebra-7“ - „Výrazy a ich transformácie“ pomáha upevniť výpočtové zručnosti získané v ročníkoch 5-6, systematizovať a zovšeobecniť informácie o transformáciách výrazov a riešení rovníc.
Nájdenie hodnôt číselných a doslovné výrazy umožňuje zopakovať si so žiakmi pravidlá fungovania s racionálnymi číslami. Schopnosť vystupovať aritmetické operácie s racionálnymi číslami sú základom pre celý kurz algebry.
Pri zvažovaní transformácií výrazov zostávajú formálne a operačné zručnosti na rovnakej úrovni, aká bola dosiahnutá v 5.-6.
Tu však študenti stúpajú na novú úroveň v zvládnutí teórie. Zavádzajú sa pojmy „identicky rovnaké výrazy“, „identita“, „identické transformácie výrazov“, ktorých obsah sa bude neustále odhaľovať a prehlbovať pri štúdiu transformácií rôznych algebraických výrazov. Zdôrazňuje sa, že základom transformácií identity sú vlastnosti operácií s číslami.
Pri štúdiu témy „Polynómy“ sa formujú formálne operačné zručnosti identických transformácií algebraických výrazov. Vzorce na skrátené násobenie prispievajú k ďalšiemu procesu rozvoja schopnosti vykonávať identické transformácie celých výrazov, schopnosť aplikovať vzorce na skrátené násobenie aj na faktorizáciu polynómov sa využíva nielen pri transformácii celých výrazov, ale aj pri operáciách so zlomkami, koreňmi , mocniny s racionálnym exponentom .
V 8. ročníku sa nadobudnuté zručnosti transformácií identity precvičujú na operáciách s algebraickými zlomkami, odmocnina a výrazy obsahujúce mocniny s celočíselným exponentom.
V budúcnosti sa techniky transformácií identity odrážajú vo výrazoch obsahujúcich stupeň s racionálnym exponentom.
Špeciálna skupina identické transformácie sú goniometrické výrazy a logaritmické výrazy.
Medzi povinné študijné výsledky pre kurz algebry v ročníkoch 7-9 patria:
1) transformácie identity celočíselných výrazov
a) otváracie a uzatváracie konzoly;
b) privedenie podobných členov;
c) sčítanie, odčítanie a násobenie polynómov;
d) faktorizácia polynómov vyradením spoločného činiteľa zo zátvoriek a skrátených vzorcov na násobenie;
e) rozklad kvadratická trojčlenka pomocou násobiteľov.
„Matematika v škole“ (B.U.M.) s.110
2) identické transformácie racionálnych výrazov: sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie zlomkov, ako aj aplikovať uvedené zručnosti pri vykonávaní jednoduchých kombinovaných transformácií [s. 111]
3) študenti by mali byť schopní vykonávať transformácie jednoduchých výrazov obsahujúcich stupne a odmocniny. (str. 111 – 112)
Zvažovali sa hlavné typy problémov, schopnosť riešiť, ktorá umožňuje študentovi získať kladnú známku.
Jedným z najdôležitejších aspektov metodológie na štúdium transformácií identity je študentský rozvoj cieľov na vykonávanie transformácií identity.
1) 
- zjednodušenie číselnej hodnoty výrazu
2) ktorá z transformácií by sa mala vykonať: (1) 
alebo (2) Analýza týchto možností je motiváciou (uprednostňuje sa (1), pretože v (2) je rozsah definície zúžený)
3) Vyriešte rovnicu:
Faktoring pri riešení rovníc.
4) Vypočítajte:
Použime skrátený vzorec násobenia:
(101-1) (101+1)=100102=102000
5) Nájdite hodnotu výrazu:
Ak chcete zistiť hodnotu, vynásobte každý zlomok jeho konjugátom:
6) Nakreslite graf funkcie:
Vyberieme celú časť: .
Prevenciu chýb pri vykonávaní transformácií identity možno dosiahnuť rôznymi príkladmi ich implementácie. V tomto prípade sa praktizujú „malé“ techniky, ktoré sú ako komponenty zahrnuté do väčšieho transformačného procesu.
Napríklad:
V závislosti od smerov rovnice možno uvažovať o niekoľkých problémoch: násobenie polynómov sprava doľava; zľava doprava - faktorizácia. Ľavá strana je násobkom jedného z faktorov na pravej strane atď.
Okrem obmieňania príkladov môžete použiť apológia medzi identitami a numerickými rovnosťami.
Ďalšie stretnutie– vysvetlenie identít.
Pre zvýšenie záujmu študentov môžeme zaradiť zisťovanie rôznymi spôsobmi riešenie problémov.
Lekcie o štúdiu transformácií identity budú zaujímavejšie, ak sa im budete venovať hľadanie riešenia problému .
Napríklad: 1) znížte zlomok:
3) dokážte vzorec „komplexného radikálu“
Zvážte:
Transformujme pravú stranu rovnosti:
-
súčet konjugovaných výrazov. Dali by sa vynásobiť a rozdeliť ich konjugátom, ale takáto operácia by nás priviedla k zlomku, ktorého menovateľom je rozdiel radikálov.
Všimnite si, že prvý výraz v prvej časti identity je číslo väčšie ako druhý, takže obe časti môžeme odmocniť:
Praktická lekcia №3.
Téma: Identické transformácie výrazov (technika otázok).
Literatúra: “Workshop o MPM”, s. 87-93.
Znakom vysokej kultúry výpočtov a transformácií identity u študentov je silná znalosť vlastností a algoritmov operácií s presnými a približnými veličinami a ich zručná aplikácia; racionálne metódy výpočtov a transformácií a ich overovanie; schopnosť zdôvodniť použitie metód a pravidiel výpočtov a transformácií, automatické zručnosti bezchybného vykonávania výpočtových operácií.
V ktorom ročníku by mali študenti začať pracovať na rozvoji uvedených zručností?
Rad identických transformácií výrazov začína aplikáciou racionálnych výpočtových techník. Začína aplikáciou racionálnych výpočtových techník pre hodnoty číselných výrazov. (5. ročník)
Pri štúdiu takýchto tém v školskom kurze matematiky im musíte venovať pozornosť. Osobitná pozornosť!
Uvedomelú realizáciu transformácií identity študentom uľahčuje pochopenie skutočnosti, že algebraické výrazy neexistujú samy o sebe, ale v nerozlučnom spojení s určitou číselnou množinou sú to zovšeobecnené záznamy číselných výrazov. Analógie medzi algebraickým a číselné výrazy(a ich premeny) sú v logickom zmysle zákonné, ich používanie vo vyučovaní pomáha predchádzať chybám u žiakov.
Transformácie identity nie sú žiadne samostatná téma kurz školskej matematiky, študujú sa počas celého kurzu algebry a začiatkov matematickej analýzy.
Matematický program pre ročníky 1-5 je propedeutický materiál na štúdium identických transformácií výrazov s premennou.
V kurze algebry 7. ročníka. zavádza sa definícia identity a premien identity.
Def. Zavolajú sa dva výrazy, ktorých zodpovedajúce hodnoty sú rovnaké pre akékoľvek hodnoty premenných. identicky rovnaké.
ODA. Rovnosť, ktorá platí pre akékoľvek hodnoty premenných, sa nazýva identita.
Hodnota identity spočíva v tom, že umožňuje nahradiť daný výraz iným, ktorý je mu identicky rovný.
Def. Nahradenie jedného výrazu iným identicky rovnakým výrazom sa nazýva identická transformácia alebo jednoducho transformácia výrazov.
Identické transformácie výrazov s premennými sa vykonávajú na základe vlastností operácií s číslami.
Za základ premien identity možno považovať premeny ekvivalentné.
ODA. Nazývajú sa dve vety, z ktorých každá je logickým dôsledkom druhej. ekvivalent.
ODA. Veta s premennými A sa nazýva. dôsledok vety s premennými B, ak je doména pravdy B podmnožinou domény pravdy A.
Môže byť uvedená iná definícia ekvivalentných viet: dve vety s premennými sú ekvivalentné, ak sa ich pravdivostné domény zhodujú.
a) B: x-l=0 nad R; A: (x-1) 2 nad R => A~B, pretože oblasti pravdy (riešenia) sa zhodujú (x=1)
b) A: x = 2 nad R; B: x 2 = 4 nad R => doména pravdy A: x = 2; pravdivostná doména B: x=-2, x=2; pretože oblasť pravdivosti A je obsiahnutá v B, potom: x 2 = 4 je dôsledkom výroku x = 2.
Základom premien identity je schopnosť reprezentovať to isté číslo v rôznych formách. Napríklad,
-
Toto znázornenie pomôže pri štúdiu témy „základné vlastnosti zlomkov“.
Zručnosti pri vykonávaní transformácií identity sa začínajú rozvíjať pri riešení príkladov podobných týmto: „Nájdite číselnú hodnotu výrazu 2a 3 +3ab+b 2 s a = 0,5, b = 2/3“, ktoré sú ponúkané žiakom v ročníku. 5 a umožňujú propedeutický koncept funkcie.
Pri štúdiu vzorcov skráteného násobenia by ste mali venovať pozornosť ich hlbokému pochopeniu a silnej asimilácii. Na tento účel môžete použiť nasledujúce grafické znázornenie:
| |
(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 a 2 -b 2 = (a-b) (a+b)
Otázka: Ako na základe týchto nákresov vysvetliť žiakom podstatu daných vzorcov?
Bežnou chybou je zamieňanie výrazov „druhá mocnina súčtu“ a „súčet štvorcov“. Indikácia učiteľa, že tieto výrazy sa líšia v poradí operácií, sa nezdá byť významná, pretože študenti veria, že tieto akcie sa vykonávajú na rovnakých číslach, a preto sa výsledok nemení zmenou poradia akcií.
Zadanie: Vytvorte ústne cvičenia na rozvoj zručností študentov v používaní vyššie uvedených vzorcov bez chýb. Ako môžeme vysvetliť, ako sú si tieto dva výrazy podobné a ako sa od seba líšia?
Široká škála identických transformácií sťažuje študentom orientáciu v tom, za akým účelom sa vykonávajú. Nejasná znalosť účelu vykonávania transformácií (v každom konkrétnom prípade) má negatívny vplyv na ich informovanosť a slúži ako zdroj masívnych chýb medzi študentmi. To naznačuje, že vysvetľovanie cieľov vykonávania rôznych identických transformácií študentom je dôležitou súčasťou metodológie ich štúdia.
Príklady motivácií pre transformáciu identity:
1. zjednodušenie zisťovania číselnej hodnoty výrazu;
2. výber transformácie rovnice, ktorá nevedie k strate koreňa;
3. Pri vykonávaní transformácie môžete označiť oblasť jej výpočtu;
4. použitie transformácií vo výpočtoch, napríklad 99 2 -1=(99-1)(99+1);
Na zvládnutie rozhodovacieho procesu je dôležité, aby mal učiteľ schopnosť presne opísať podstatu chyby, ktorej sa študent dopustil. Kľúčom je presná charakterizácia chýb správna voľba následné kroky učiteľa.
Príklady chýb študentov:
1. vykonanie násobenia: študent dostal -54abx 6 (7 buniek);
2. Zvýšením na mocninu (3x 2) 3 žiak dostal 3x 6 (7 známok);
3. premenou (m + n) 2 na polynóm, žiak dostal m 2 + n 2 (7. ročník);
4. Znížením zlomku, ktorý žiak dostal (8 známok);
5. vykonanie odčítania: 
, žiak si zapíše (8. ročník)
6. Znázornenie zlomku v tvare zlomkov žiak dostal: 
(8 ročníkov);
7. Odstránenie aritmetický koreňštudent dostal x-1 (9. stupeň);
8. riešenie rovnice (9. ročník);
9. Premenou výrazu žiak získa: (9. ročník).
Záver
Štúdium transformácií identity sa uskutočňuje v úzkom spojení s numerickými súbormi študovanými v konkrétnej triede.
Najprv by ste mali požiadať študenta, aby vysvetlil každý krok transformácie, aby sformuloval pravidlá a zákony, ktoré platia.
Pri identických transformáciách algebraických výrazov sa používajú dve pravidlá: substitúcia a nahradenie rovným. Najčastejšie sa používa substitúcia, pretože Z nej vychádza výpočet pomocou vzorcov, t.j. nájdite hodnotu výrazu a*b s a=5 a b=-3. Študenti veľmi často zanedbávajú zátvorky pri vykonávaní operácií násobenia a veria, že znak násobenia je implikovaný. Napríklad je možný nasledujúci záznam: 5*-3.
Literatúra
1. A.I. Azarov, S.A. Barvenov „Funkčné a grafické metódy riešenia problémov skúšania“, Mn..Aversev, 2004
2. O.N. Piryutko “Typické chyby v centralizovanom testovaní”, Mn..Aversev, 2006
3. A.I. Azarov, S.A. Barvenov „Úlohy na pasce v centralizovanom testovaní“, Mn..Aversev, 2006
4. A.I. Azarov, S.A. Barvenov „Metódy riešenia goniometrických problémov“, Mn..Aversev, 2005
Medzi rôznymi výrazmi, ktoré sa berú do úvahy v algebre, zaujímajú dôležité miesto súčty monomilov. Tu sú príklady takýchto výrazov:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5r - 2\)
Súčet monočlenov sa nazýva polynóm. Termíny v polynóme sa nazývajú členy polynómu. Monómy sú tiež klasifikované ako polynómy, pričom monomály považujú za polynóm pozostávajúci z jedného člena.
Napríklad polynóm
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
možno zjednodušiť.
Predstavme si všetky termíny vo forme monomílov štandardného tvaru:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)
Uveďme podobné výrazy vo výslednom polynóme:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Výsledkom je polynóm, ktorého všetky členy sú monomály štandardného tvaru a medzi nimi neexistujú žiadne podobné. Takéto polynómy sa nazývajú polynómy štandardného tvaru.
vzadu stupeň polynómuštandardnej formy preberajú najvyššie právomoci svojich členov. Dvojčlenka \(12a^2b - 7b\) má teda tretí stupeň a trojčlenka \(2b^2 -7b + 6\) druhý stupeň.
Termíny polynómov štandardnej formy obsahujúce jednu premennú sú zvyčajne usporiadané v zostupnom poradí podľa exponentov. Napríklad:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)
Súčet viacerých polynómov možno transformovať (zjednodušiť) na polynóm štandardného tvaru.
Niekedy je potrebné členy polynómu rozdeliť do skupín, pričom každú skupinu uzatvoríme do zátvoriek. Keďže uzatváranie zátvoriek je inverznou transformáciou otváracích zátvoriek, je ľahké ho formulovať pravidlá otvárania zátvoriek:
Ak je znamienko „+“ umiestnené pred zátvorkami, výrazy v zátvorkách sú napísané rovnakými znamienkami.
Ak je pred zátvorkami umiestnený znak „-“, potom sú výrazy v zátvorkách napísané opačnými znakmi.
Transformácia (zjednodušenie) súčinu jednočlenu a mnohočlenu
Používaním distribučné vlastnosti násobenia možno previesť (zjednodušiť) na mnohočlen, súčin jednočlenu a mnohočlenu. Napríklad:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
Súčin monočlenu a mnohočlenu sa zhodne rovná súčtu súčinov tohto monočlenu a každého z členov mnohočlenu.
Tento výsledok je zvyčajne formulovaný ako pravidlo.
Ak chcete vynásobiť monočlen polynómom, musíte tento monočlen vynásobiť každým z členov polynómu.
Toto pravidlo sme už niekoľkokrát použili na násobenie súčtom.
Súčin polynómov. Transformácia (zjednodušenie) súčinu dvoch polynómov
Vo všeobecnosti sa súčin dvoch polynómov rovná súčtu súčinu každého člena jedného polynómu a každého člena druhého.
Zvyčajne sa používa nasledujúce pravidlo.
Ak chcete vynásobiť polynóm polynómom, musíte vynásobiť každý člen jedného polynómu každým členom druhého a pridať výsledné produkty.
Skrátené vzorce násobenia. Súčet druhých mocnín, rozdiely a rozdiel druhých mocnín
S niektorými výrazmi v algebraické transformácie musia riešiť častejšie ako ostatní. Snáď najbežnejšie výrazy sú \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) a \(a^2 - b^2 \), t.j. druhá mocnina súčtu, druhá mocnina rozdiel a rozdiel štvorcov. Všimli ste si, že názvy týchto výrazov sa zdajú byť neúplné, napríklad \((a + b)^2 \) samozrejme nie je len druhá mocnina súčtu, ale druhá mocnina súčtu a a b . Druhá mocnina súčtu a a b sa však nevyskytuje príliš často, spravidla namiesto písmen a a b obsahuje rôzne, niekedy dosť zložité výrazy.
Výrazy \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) sa dajú jednoducho previesť (zjednodušiť) na polynómy štandardného tvaru, v skutočnosti ste sa s touto úlohou už stretli pri násobení polynómov:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
Je užitočné zapamätať si výsledné identity a použiť ich bez medzivýpočtov. Pomáhajú tomu stručné slovné formulácie.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - druhá mocnina súčtu rovná súčtuštvorčeky a zdvojnásobte súčin.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - druhá mocnina rozdielu sa rovná súčtu druhých mocnín bez zdvojeného súčinu.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - rozdiel štvorcov sa rovná súčinu rozdielu a súčtu.
Tieto tri identity umožňujú nahradiť jeho ľavé časti pravostrannými v transformáciách a naopak - pravé časti ľavostrannými. Najťažšie je vidieť zodpovedajúce výrazy a pochopiť, ako sa v nich nahrádzajú premenné a a b. Pozrime sa na niekoľko príkladov použitia skrátených vzorcov na násobenie.
