Apsolutne i relativne pogreške

Moramo se nositi s približnim brojevima kada izračunavamo vrijednosti bilo koje funkcije ili kada mjerimo i obrađujemo fizikalne veličine dobivenih kao rezultat pokusa. U oba slučaja morate znati ispravno zapisati vrijednosti približnih brojeva i njihovu pogrešku.

Približan broj A je broj koji se malo razlikuje od točnog broja A i zamjenjuje potonje u proračunima. Ako se zna da A< А , To A naziva se približna vrijednost broja A nedostatkom; Ako a > A, – onda u višku. Ako A je približna vrijednost broja A, onda pišu a ≈ A.

Pod greškom ili greškom A približan broj A obično se odnosi na razliku između odgovarajućeg točnog broja A i vama bliskih, tj.

Da bismo dobili točan broj A, potrebno je dodati njegovu grešku približnoj vrijednosti broja, tj.

U mnogim slučajevima znak greške je nepoznat. Tada je preporučljivo koristiti apsolutnu pogrešku približnog broja

Iz gornjeg zapisa proizlazi da je apsolutna pogreška približnog broja A naziva se modul razlike između odgovarajućeg točnog broja A i njegovu približnu vrijednost A, tj.

Točan broj A najčešće je nepoznata, pa nije moguće pronaći pogrešku ili apsolutnu pogrešku. U tom je slučaju korisno uvesti procjenu odozgo, tzv. najveću apsolutnu pogrešku, umjesto nepoznate teorijske pogreške.

Pod maksimalnom apsolutnom pogreškom približnog broja A podrazumijeva se svaki broj koji nije manji od apsolutne pogreške tog broja, tj.

Ako u zadnjem unosu umjesto toga koristimo formulu (1.1), tada možemo pisati

(1.2)

Iz toga proizlazi da točan broj A sadržano unutar granica

Prema tome, razlika je aproksimacija broja A zbog njegovog nedostatka, i – aproksimacija broja A prekomjernošću. U ovom slučaju, radi sažetosti, koristite oznaku

Jasno je da se najveća apsolutna pogreška određuje višeznačno: ako je određeni broj najveća apsolutna pogreška, tada je svaki broj veći od pozitivnog broja također najveća apsolutna pogreška. U praksi se pokušava odabrati najmanji i najjednostavniji mogući broj koji zadovoljava nejednadžbu (1.2).

Na primjer, ako smo kao rezultat mjerenja dobili duljinu segmenta l= 210 cm ± 0,5 cm, onda je ovdje najveća apsolutna pogreška = 0,5 cm, te točnu vrijednost l segment je sadržan unutar granica od 209,5 cm ≤l≤ 210,5 cm.

Apsolutna pogreška nije dovoljna za karakterizaciju točnosti mjerenja ili izračuna. Tako npr. ako se pri mjerenju duljina dva štapa dobiju rezultati l 1= 95,6 cm ± 0,1 cm i l 2=8,3 ± 0,1 cm, tada je, unatoč podudarnosti maksimalnih apsolutnih pogrešaka, točnost prvog mjerenja veća od drugog. To pokazuje da za točnost mjerenja nije važnija apsolutna, već relativna pogreška, koja ovisi o vrijednostima mjerenih veličina.

Relativna greška δ približan broj A je omjer apsolutne pogreške ovog broja i modula odgovarajućeg točnog broja A, oni.

Slično maksimalnoj apsolutnoj pogrešci, koristi se i definicija za najveću relativnu pogrešku. Najveća relativna pogreška ovog približnog broja A naziva se bilo koji broj koji nije manji od relativne pogreške tog broja

oni. odakle slijedi

Dakle, izvan najveće apsolutne pogreške broja A može se prihvatiti

Pošto u praksi A≈a, tada umjesto formule (1.3) često koriste formulu

1.2 Decimalni zapis približnih brojeva

Svaki pozitivni decimalni broj a može se prikazati kao konačni ili beskonačni razlomak

gdje su decimalne znamenke broja A( = 0,1,2,...,9), s najvišom znamenkom a m– broj znamenki u zapisu cjelobrojnog dijela broja A, A n– broj znamenki u zapisu razlomačkog dijela broja A. Na primjer:

5214,73... = 5 10 3 + 2 10 2 + 1 10 1 + 4 10 0 +7 10 -1 + 3 10 -2 ... (1,5)

Svaka znamenka stoji na određenom mjestu u broju A, napisano u obliku (1.4), ima svoju težinu. Dakle, broj koji je prvi (tj.) teži 10 m, na drugom – 10 m-1 itd.

U praksi se obično ne koristimo zapisom u obliku (1.4), već koristimo skraćeni zapis brojeva u obliku niza koeficijenata pri odgovarajućim potencijama broja 10. Tako npr. u zapisu (1.5) koristimo oblik s lijeve strane znaka jednakosti, a ne s desne strane, predstavljajući proširenje ovog broja u potencije od 10.

U praksi se primarno radi s približnim brojevima u obliku konačnih decimalnih razlomaka. Za ispravnu usporedbu različitih računskih i eksperimentalnih rezultata, koncept značajna brojka u rezultatskom zapisniku. svi spremljeno decimalne vrijednosti ( i = m,m- 1,…, m-n+ 1), osim nule, i nula ako se pojavljuje između značajnih znamenki ili je predstavnik pohranjenog decimalnog mjesta na kraju broja nazivaju se značajnim znamenkama približnog broja A. U ovom slučaju, nule povezane s faktorom 10 n ne smatraju se značajnim.

Prilikom označavanja broja A U decimalnom sustavu brojeva ponekad morate unijeti dodatne nule na početku ili kraju broja. Na primjer,

A= 7·10 -3 + 0·10 -4 + 1·10 -5 + 0·10 -6 = 0,00 7010

b= 2·10 9 + 0·10 8 + 0·10 7 + 3·10 6 + 0·10 5 = 2003000000.

Takve nule (podvučene su u danim primjerima) ne smatraju se značajnim brojkama.

Značajna znamenka približnog broja je svaka znamenka u njegovom decimalnom prikazu koja je različita od nule,a također i nula ako se nalazi između značajnih znamenki ili je predstavnik pohranjenog decimalnog mjesta. Sve ostale nule koje su dio približnog broja i služe samo za označavanje njegovih decimalnih mjesta ne računaju se kao značajni brojevi.

Na primjer, u broju 0,002080 prve tri nule nisu značajne znamenke jer služe samo za određivanje decimalnih mjesta ostalih znamenki. Preostale dvije nule su značajne znamenke, budući da je prva između značajnih znamenki 2 i 8, a druga označava da je decimalno mjesto 10 -6 zadržano u približnom broju. U slučaju da u dati broj 0,002080 zadnja znamenka nije značajna, tada ovaj broj treba napisati kao 0,00208. S ove točke gledišta, brojevi 0,002080 i 0,00208 nisu ekvivalentni, jer prvi od njih sadrži četiri značajne brojke, a drugi samo tri.

Uz pojam značajne figure, važan pojam je točan broj. Treba napomenuti da ovaj koncept postoji u dvije definicije - u suziti I u širem smislu.

Definicija(u širem smislu) . To kažu n Prve značajne znamenke broja (brojeći s lijeva na desno) su vjeran u širokom smislu, ako apsolutna greška ovog broja ne prelazi jedinicu (težinu) n-visoko pražnjenje. (Objašnjenje: 1 10 1 - ovdje je težina 1 10; 1 10 0 - ovdje težina 1 je 1; 1 10 -1 - ovdje je težina 1 0,1; 1 10 -2 - ovdje težina 1 je 0,01, itd.d.).

Definicija(V u užem smislu). To kažu n prve značajne znamenke približnog broja su točne ako apsolutna pogreška ovog broja ne prelazi pola jedinice (težina) n-visoko pražnjenje. (Objašnjenje: 1 10 1 – ovdje je težina polovice 1 5; 1 10 0 – ovdje je težina polovice 1 0,5; 1 10 -1 – 0,05, itd.).

Na primjer, u približnom broju Na temelju prve definicije, značajne brojke 3, 4 i 5 su točne u širem smislu, ali je broj 6 dvojben. Na temelju druge definicije, znakovne brojke 3 i 4 su točne u užem smislu, a znakovne brojke 5 i 6 su dvojbene. Važno je naglasiti da točnost približnog broja ne ovisi o broju značajnih znamenki, već o broju ispraviti značajne brojke.

Kako u teorijskom promišljanju tako i u praktične aplikacije Definicija ispravne figure u užem smislu se više koristi.

Dakle, ako za približan broj a zamjenjuje broj A, poznato je da

(1.6)

zatim, po definiciji, prvi n brojevima ovi brojevi su točni.

Na primjer, za točan broj A= 35,97 broj A= 36,00 je aproksimacija s tri točna predznaka. Sljedeće razmišljanje dovodi do ovog rezultata. Budući da je apsolutna pogreška našeg približnog broja 0,03, tada po definiciji mora zadovoljiti uvjet

(1.7)

U našoj aproksimaciji od 36,00, znamenka 3 je prva značajna znamenka (tj.), tako da m= 1. Odavde je očito da će uvjet (1.7) biti zadovoljen za n = 3.

Obično se prihvaća pri pisanju približnog broja u decimalnom obliku piši samo točne brojeve. Ako se zna da je zadani približni broj točno napisan, tada se iz zapisa može odrediti najveća apsolutna pogreška. Kod ispravnog bilježenja apsolutna pogreška ne prelazi polovicu najmanje značajne znamenke koja slijedi iza zadnje točne znamenke (ili polovicu jedinice zadnje točne znamenke, što je isto)

Na primjer, dani su približni pravilno napisani brojevi: a = 3,8; b= 0,0283; c = 4260. Prema definiciji, najveće apsolutne pogreške ovih brojeva bit će: = 0,05; = 0,00005; = 0,5.

Apsolutne i relativne pogreške

Apsolutna pogreška aproksimacije

Kada imate posla s beskonačnim decimalnim razlomcima u izračunima, te brojeve morate približiti, odnosno zaokružiti ih radi praktičnosti. Približne brojke također se dobivaju iz raznih mjerenja.

Može biti korisno znati koliko se približna vrijednost broja razlikuje od njegove točne vrijednosti. Jasno je da što je ova razlika manja, to bolje, točnije se mjerenje ili izračun izvodi.

Da bi se utvrdila točnost mjerenja (izračunavanja), uvodi se takav koncept kao pogreška aproksimacije. Na drugi način to se naziva apsolutna pogreška.

Apsolutna pogreška približavanje Naziva se modul razlike između točne vrijednosti broja i njegove približne vrijednosti.

Gdje x - ovo je točna vrijednost broja, A - njegova približna vrijednost.

Na primjer, kao rezultat mjerenja dobiven je broj. Međutim, kao rezultat izračuna pomoću formule, točna vrijednost ovog broja je. Zatim apsolutna pogreška aproksimacije

U slučaju beskonačnih razlomaka, pogreška aproksimacije određena je istom formulom. Umjesto točnog broja napisan je sam beskonačni razlomak. Na primjer, . Ovdje se pokazuje da je apsolutna pogreška aproksimacije izražena iracionalnim brojem.

Aproksimacija se može izvesti kao nedostatkom , dakle prekomjernošću .

Isti broj π pri aproksimaciji manjkom s točnošću od 0,01 jednak je 3,14, a pri aproksimaciji viškom s točnošću od 0,01 jednak je 3,15.

Pravilo zaokruživanja: ako je prva znamenka koju treba odbaciti pet ili veća od pet, tada se vrši aproksimacija viška; ako je manje od pet, onda zbog nedostatka.

Na primjer, jer treća znamenka nakon decimalne točke broja π je 1, tada se pri aproksimaciji s točnošću od 0,01 provodi nedostatkom.

Izračunajmo apsolutne pogreške aproksimacije do 0,01 broja π manjkom i viškom:

Kao što vidimo, apsolutna pogreška aproksimacije za manjak je manja nego za višak. To znači da aproksimacija nedostatkom u ovom slučaju ima veću točnost.

Relativna pogreška aproksimacije

Apsolutna greška ima jednu važan nedostatak– ne dopušta procjenu ozbiljnosti pogreške.

Primjerice, na tržnici kupujemo 5 kg krumpira, a nesavjesni prodavač je prilikom mjerenja težine pogriješio 50 g u svoju korist. Oni. apsolutna pogreška iznosila je 50 g. Za nas će takav propust biti obična sitnica i na to se nećemo ni obazirati. Što ako se slična greška dogodi tijekom pripreme lijeka? Ovdje će sve biti mnogo ozbiljnije. A kod utovara teretnog vagona vjerojatno će se pojaviti odstupanja mnogo veća od ove vrijednosti.

Stoga sama apsolutna pogreška nije jako informativna. Uz to se često dodatno izračunava relativno odstupanje.

Relativna pogreška aproksimacije naziva se omjerom apsolutne pogreške i točne vrijednosti broja.

Relativna pogreška je bezdimenzionalna veličina ili izmjerena kao postotak.

Navedimo nekoliko primjera.

Primjer 1. Tvrtka ima 1.284 radnika i zaposlenika. Zaokružite broj zaposlenih na najbliži cijeli broj s viškom i manjkom. Nađite njihove apsolutne i relativne pogreške (u postocima). Izvući zaključak.

Dakle, .

Apsolutna pogreška:

Relativna greška:

To znači da je točnost aproksimacije s manjkom veća od točnosti aproksimacije s viškom.

Primjer 2. Školu pohađa 197 učenika. Zaokružite broj učenika na najbliži cijeli broj s viškom i manjkom. Nađite njihove apsolutne i relativne pogreške (u postocima). Izvući zaključak.

Dakle, .

Apsolutna pogreška:

Relativna greška:

To znači da je točnost aproksimacije s viškom veća od točnosti aproksimacije s manjkom.

Odredite apsolutnu pogrešku aproksimacije:

Približna vrijednost brojax jednakiA . Odredite apsolutnu pogrešku aproksimacije ako je:

Napiši to kao dvostruku nejednadžbu:

Odredite približnu vrijednost brojax , jednaka aritmetičkoj sredini aproksimacija s manjkom i viškom, ako:

Dokažite da je aritmetička sredina brojevaA Ib je približna vrijednost svakog od ovih brojeva, točna do.

Zaokružite brojeve:

do jedinica

do desetinki

na tisućinke

do tisuća

do stotisućitog

do jedinica

do desetaka

do desetinki

na tisućinke

do stotine

do desettisućitog

Zamisliti obični razlomak kao decimalu i zaokružite je na tisućinke i pronađite apsolutnu pogrešku:

Dokažite da je svaki od brojeva 0,368 i 0,369 aproksimacija broja unutar 0,001. Koja je od njih približna vrijednost broja točna do 0,0005?

Dokažite da je svaki od brojeva 0,38 i 0,39 približna vrijednost broja s točnošću 0,01. Koja je približna vrijednost broja unutar 0,005?

Zaokružite broj na jedinice i pronađite relativnu pogrešku zaokruživanja:

5,12

9,736

49,54

1,7

9,85

5,314

99,83

Predstavite svaki od brojeva u obrascu decimal. Zaokruživši dobivene razlomke na desetinke, pronađite apsolutne i relativne pogreške aproksimacija.

Polumjer Zemlje je 6380 km s točnošću od 10 km. Procijenite relativnu pogrešku približne vrijednosti.

Najkraća udaljenost od Zemlje do Mjeseca je 356 400 km s točnošću od 100 km. Procijenite relativnu pogrešku aproksimacije.

Usporedite kvalitete mjerenja maseM električna lokomotiva i masaT tablete lijeka, ako je t (na najbližih 0,5 t) i g (na najbližih 0,01 g).

Usporedite kvalitetu mjerenja duljine rijeke Volge i promjera loptice za stolni tenis, ako je km (s točnošću od 5 km) i mm (s točnošću od 1 mm).

Za izravna mjerenja

1. Neka se na voltmetru jednom izmjere dva napona U 1 = 10 V, U 2 = 200 V. Voltmetar ima sljedeće karakteristike: klasa točnosti d klasa t = 0,2, U max = 300 V.

Odredimo apsolutne i relativne pogreške ovih mjerenja.

Budući da su oba mjerenja napravljena na istom uređaju, D U 1 = D U 2 i izračunavaju se pomoću formule (B.4)

Prema definiciji, relativne pogreške U 1 i U 2 su redom jednaki

ε 1 = 0,6 ∙ V / 10 V = 0,06 = 6%,

ε 2 = 0,6 ∙ V / 200 V = 0,003 = 0,3%.

Iz danih rezultata izračuna ε 1 i ε 2 jasno je da je ε 1 značajno veće od ε 2.

To dovodi do pravila: trebali biste odabrati uređaj s takvom granicom mjerenja da očitanja budu u zadnjoj trećini ljestvice.

2. Neka se neka količina mnogo puta mjeri, odnosno proizvodi n pojedinačna mjerenja ove količine A x 1 , A x 2 ,...,A x 3 .

Zatim se za izračunavanje apsolutne pogreške izvode sljedeće operacije:

1) pomoću formule (B.5) odredite prosjek aritmetička vrijednost A 0 izmjerena vrijednost;

2) izračunati zbroj kvadrata odstupanja pojedinačnih mjerenja od nađene aritmetičke sredine i pomoću formule (B.6) odrediti srednju kvadratnu pogrešku, koja karakterizira apsolutnu pogrešku jednog mjerenja za više izravnih mjerenja određene vrijednosti. ;

3) relativna pogreška ε izračunava se pomoću formule (B.2).

Izračun apsolutne i relativne pogreške

S neizravnim mjerenjem

Izračun pogrešaka u neizravnim mjerenjima – više težak zadatak, budući da je u ovom slučaju željena veličina funkcija drugih pomoćnih veličina, čije je mjerenje popraćeno pojavom pogrešaka. Obično se kod mjerenja, osim pogrešaka, slučajne pogreške pokažu vrlo malima u usporedbi s izmjerenom vrijednošću. Toliko su male da drugi i viši stupnjevi pogreške leže izvan točnosti mjerenja i mogu se zanemariti. Zbog malenkosti grešaka za dobivanje formule greške
metode diferencijalnog računa koriste se za mjerenje neizravno mjerene veličine. Kada se veličina mjeri neizravno, kada se izravno mjere količine povezane sa željenim matematičkim odnosom, prikladnije je prvo odrediti relativnu pogrešku, a zatim
Pomoću pronađene relativne pogreške izračunajte apsolutnu pogrešku mjerenja.

Diferencijalni račun daje najjednostavniji način za određivanje relativne pogreške u neizravnom mjerenju.

Neka potrebna količina A povezan je funkcionalnom ovisnošću s više neovisnih neposredno mjerljivih veličina x 1 ,
x 2 , ..., x k, tj.

A= f(x 1 , x 2 , ..., x k).

Za određivanje relativne pogreške vrijednosti A uzeti prirodni logaritam obje strane jednakosti

ul A= log f(x 1 , x 2 , ..., x k).

Zatim se izračunava razlika prirodni logaritam funkcije
A= f(x 1 ,x 2 , ..., x k),

dln A=dln f(x 1 , x 2 , ..., x k)

U dobivenom izrazu sve moguće algebarske transformacije i pojednostavljenje. Nakon toga, svi diferencijalni simboli d zamjenjuju se simbolima greške D, i negativni predznaci prije nego što se diferencijali nezavisnih varijabli zamijene pozitivnima, tj. uzme se najnepovoljniji slučaj, kada se sve pogreške zbroje. U tom slučaju izračunava se najveća pogreška rezultata.

Rekavši to

ali ε = D A / A

Ovaj izraz je formula za relativnu pogrešku vrijednosti A kod neizravnih mjerenja utvrđuje relativnu pogrešku željene vrijednosti, kroz relativne pogreške mjernih vrijednosti. Izračunavši relativnu pogrešku pomoću formule (B.11),
odrediti apsolutnu pogrešku vrijednosti A kao umnožak relativne pogreške i izračunate vrijednosti A tj.

D A = ε A, (AT 12)

gdje je ε izražen kao bezdimenzionalni broj.

Dakle, relativne i apsolutne pogreške neizravno mjerene veličine treba izračunati sljedećim redoslijedom:

1) uzeti formulu kojom se izračunava željena vrijednost (formula za izračun);

2) uzmite prirodni logaritam obje strane formule za izračun;

3) izračunava se ukupni diferencijal prirodnog logaritma željene količine;

4) sve moguće algebarske transformacije i pojednostavljenja se izvode u rezultirajućem izrazu;

5) simbol diferencijala d zamijenjen je simbolom pogreške D, dok su svi negativni predznaci ispred diferencijala nezavisnih varijabli zamijenjeni pozitivnim (vrijednost relativne pogreške bit će maksimalna), a formula relativne pogreške je dobiveno;

6) izračunava se relativna pogreška izmjerene veličine;

7) na temelju izračunate relativne pogreške izračunava se apsolutna pogreška neizravnog mjerenja pomoću formule (B.12).

Pogledajmo nekoliko primjera izračuna relativnih i apsolutnih pogrešaka u neizravnim mjerenjima.

1. Potrebna količina A vezane uz izravno mjerljive veličine x, na, z omjer

Gdje a I b– konstantne vrijednosti.

2. Uzmite prirodni logaritam izraza (B.13)

3. Izračunajte ukupni diferencijal prirodnog logaritma željene količine A, odnosno razlikujemo (B.13)

4. Izvodimo transformacije. S obzirom da d A= 0, jer A= const,cos na/grijeh g=ctg g, dobivamo:

5. Zamijenite simbole diferencijala simbolima greške i znak minus ispred diferencijala znakom plus.

6. Izračunavamo relativnu pogrešku izmjerene veličine.

7. Na temelju izračunate relativne pogreške izračunava se apsolutna pogreška neizravnog mjerenja prema formuli (B.12), tj.

Određuje se valna duljina žuta boja spektralna linija žive pomoću difrakcijske rešetke (koristeći prihvaćeni niz za izračunavanje relativnih i apsolutnih pogrešaka za žutu valnu duljinu).

1. Valna duljina žute boje u ovom slučaju određena je formulom:

Gdje S– konstanta difrakcijske rešetke (neizravno mjerena vrijednost); φ f – ogibni kut žute linije u zadanom spektralnom poretku (izravno mjerena vrijednost); K g – redoslijed spektra u kojem je promatrano.

Konstanta ogibne rešetke izračunava se formulom

Gdje K h – redoslijed spektra zelene linije; λ z – poznata valna duljina zelene boje (λ z – konstanta); φz – ogibni kut zelene linije u zadanom spektralnom poretku (izravno mjerena vrijednost).

Zatim, uzimajući u obzir izraz (B.15)

(B.16)

Gdje K h, K g – observable, koje se smatraju konstantama; φ h, φ w – su
neposredno mjerljive veličine.

Izraz (B.16) je formula za izračun za žutu valnu duljinu određenu pomoću difrakcijske rešetke.

4. d K z = 0; d K w = 0; dλ z = 0, jer K h, K g i λ h – konstantne vrijednosti;

Zatim

5. (B.17)

gdje su Dφ w, Dφ h – apsolutne pogreške u mjerenju ogibnog kuta žute boje
i zelene linije spektra.

6. Izračunajte relativnu pogrešku žute valne duljine.

7. Izračunajte apsolutnu pogrešku žute valne duljine:

Dλ f = ελ f.

U praktičnoj provedbi mjernog procesa, bez obzira na točnost mjernih instrumenata, ispravnost metodologije i temeljitost
Prilikom izvođenja mjerenja rezultati mjerenja razlikuju se od prave vrijednosti izmjerene veličine, tj. pogreške mjerenja su neizbježne. Pri procjeni pogreške uzima se stvarna vrijednost umjesto stvarne vrijednosti; stoga se može dati samo približna procjena pogreške mjerenja. Procjena pouzdanosti rezultata mjerenja, tj. utvrđivanje pogreške mjerenja jedna je od glavnih zadaća mjeriteljstva.
Pogreška je odstupanje rezultata mjerenja od prave vrijednosti izmjerene vrijednosti. Pogreške se mogu grubo podijeliti na pogreške mjernih instrumenata i pogreške rezultata mjerenja.
Pogreške mjernih instrumenata raspravljalo se u 3. poglavlju.
Greška rezultata mjerenja je broj koji označava moguće granice nesigurnosti u vrijednosti mjerene veličine.
U nastavku ćemo dati klasifikaciju i razmotriti pogreške rezultata mjerenja.
Po metodi brojčani izraz razlikovati apsolutne i relativne greške.
Ovisno o izvoru nastanka ima grešaka instrumentalne, metodičke, brojačke i instalacije.
Prema obrascima očitovanja pogreške mjerenja dijele se na sustavno, progresivno, nasumično i grubo.
Razmotrimo ove pogreške mjerenja detaljnije.

4.1. Apsolutne i relativne pogreške

Apsolutna pogreška D je razlika između izmjerenog X i stvarnog X i vrijednosti izmjerene veličine. Apsolutna pogreška se izražava u jedinicama izmjerene vrijednosti: D = X - Chi.
Budući da se prava vrijednost izmjerene veličine ne može odrediti, u praksi se umjesto nje koristi stvarna vrijednost izmjerene veličine Xd. Stvarna vrijednost nalazi se eksperimentalno primjenom dovoljne količine precizne metode i mjernih instrumenata. Malo se razlikuje od stvarne vrijednosti i može se koristiti umjesto njega za rješavanje problema. Tijekom ovjeravanja obično se kao stvarna vrijednost uzimaju očitanja standardnih mjernih instrumenata. Stoga se u praksi apsolutna pogreška nalazi pomoću formule D » X - Xd. Relativna greška d je omjer apsolutne pogreške mjerenja prema pravoj (stvarnoj) vrijednosti mjerene veličine (obično se izražava u postocima): .

4.2. Instrumentalne i metodološke pogreške,
brojanje i postavljanje

instrumental(instrumentalne ili instrumentalne) pogreške su one koje pripadaju određenom mjerilu, mogu se utvrditi tijekom njegovih ispitivanja i upisuju se u njegovu putovnicu.
Te su pogreške posljedica konstrukcijskih i tehnoloških nedostataka mjernih instrumenata, kao i posljedica njihove istrošenosti, starenja ili neispravnosti. Instrumentalne pogreške, uzrokovane pogreškama korištenih mjernih instrumenata, raspravljalo se u 3. poglavlju.
Međutim, osim instrumentalnih pogrešaka, tijekom mjerenja postoje i pogreške koje se ne mogu pripisati određenom uređaju, ne mogu se navesti u njegovoj putovnici i nazivaju se metodičan, oni. nije povezan sa samim uređajem, već s načinom njegove uporabe.
Metodološke pogreške može nastati zbog nesavršenog razvoja teorije pojava na kojima se temelji mjerna metoda, netočnosti odnosa korištenih za iznalaženje procjene izmjerene vrijednosti, kao i zbog neslaganja između izmjerene vrijednosti i njezinog modela.
Razmotrimo primjere koji ilustriraju metodološku pogrešku mjerenja.
Predmet proučavanja je izvor izmjeničnog napona čija vrijednost amplitude Hm treba izmjeriti. Na temelju preliminarnog proučavanja predmeta istraživanja kao model je usvojen generator sinusnog napona. Pomoću voltmetra namijenjenog mjerenju efektivnih vrijednosti izmjeničnih napona, a poznavajući odnos između efektivnih i amplitudnih vrijednosti sinusoidnog napona, dobivamo rezultat mjerenja u obliku Hm = × UV, Gdje UV- očitavanje voltmetra. Temeljitijim proučavanjem objekta moglo bi se otkriti da se oblik izmjerenog napona razlikuje od sinusoidnog i točniji odnos između vrijednosti izmjerene veličine i očitanja voltmetra Hm =k× UV, Gdje k¹ . Dakle, nesavršenost usvojenog modela objekta istraživanja dovodi do metodološke pogreške mjerenja DU = × UV-k× Uv.
Ova se pogreška može smanjiti ili izračunavanjem vrijednosti k na temelju analize oblika izmjerene krivulje napona ili zamjenom mjernog instrumenta uzimanjem voltmetra namijenjenog mjerenju amplitudnih vrijednosti izmjeničnih napona.
Vrlo čest razlog za pojavu metodoloških pogrešaka je činjenica da smo prilikom organiziranja mjerenja prisiljeni mjeriti (ili svjesno mjeriti) ne vrijednost koju treba mjeriti, već neku drugu vrijednost koja joj je bliska, ali joj nije jednaka. .

Primjer takve metodološke pogreške je pogreška u mjerenju napona voltmetrom s konačnim otporom (slika 4.1).
Zbog voltmetra koji ranžira dio kruga na kojem se mjeri napon, ispada da je manji nego što je bio prije spajanja voltmetra. Doista, napon koji će pokazati voltmetar određen je izrazom U = ja×Rv. S obzirom na to da struja u krugu ja =E/(Ri +Rv), Da
< .
Stoga je za isti voltmetar, naizmjenično spojen na različite dijelove kruga koji se proučava, ova pogreška drugačija: u dijelovima s niskim otporom zanemariva je, ali u dijelovima s visokim otporom može biti vrlo velika. Ova pogreška bi se mogla otkloniti ako bi voltmetar bio stalno priključen na ovaj dio kruga cijelo vrijeme rada uređaja (kao na razvodnoj ploči elektrane), ali to je neisplativo iz više razloga.
Česti su slučajevi kada je općenito teško naznačiti metodu mjerenja koja isključuje metodološku pogrešku. Neka se, na primjer, izmjeri temperatura vrućih ingota koji dolaze iz peći u valjaonicu. Pitanje je gdje postaviti temperaturni senzor (na primjer, termoelement): ispod uloška, sa strane ili iznad umetka? Gdje god da ga postavimo, nećemo mjeriti unutarnju temperaturu tijela blanka, tj. imat ćemo značajnu metodološku pogrešku, budući da ne mjerimo ono što je potrebno, već ono što je jednostavnije (nije moguće izbušiti kanal u svakom utoru da bi se u njegovo središte postavio termoelement).
Dakle glavni razlikovna značajka metodološke pogreške je činjenica da se one ne mogu naznačiti u putovnici instrumenta, već ih mora procijeniti sam eksperimentator prilikom organiziranja odabrane tehnike mjerenja, stoga mora jasno razlikovati stvarne mjerljiv veličine su predmet mjerenja.
Pogreška čitanja nastaje zbog nedovoljno točnih očitanja. To je zbog subjektivnih svojstava promatrača (primjerice, pogreška interpolacije, tj. netočno očitavanje razlomaka podjela na skali instrumenta) i vrste uređaja za očitavanje (primjerice, pogreška paralakse). Kod korištenja digitalnih mjernih instrumenata nema pogrešaka u očitanju, što je jedan od razloga perspektivnosti potonjih.
Greška pri instalaciji uzrokovan odstupanjem uvjeta mjerenja od normalnih, tj. uvjeti pod kojima je izvršeno umjeravanje i ovjeravanje mjerila. To uključuje, primjerice, pogreške zbog nepravilne ugradnje uređaja u prostor ili njegove kazaljke na nultu oznaku, zbog promjena temperature, napona napajanja i drugih utjecajnih veličina.
Vrste pogrešaka koje se razmatraju jednako su prikladne za karakterizaciju točnosti i pojedinačnih rezultata mjerenja i mjernih instrumenata.

4.3. Sustavne, progresivne, slučajne i grube pogreške

Sustavna pogreška mjerenja Dc je komponenta pogreške mjerenja koja ostaje konstantna ili se prirodno mijenja s ponavljanjem mjerenja iste veličine.
Uzroci sustavnih pogrešaka obično se mogu ustanoviti tijekom pripreme i provođenja mjerenja. Ti su razlozi vrlo različiti: nesavršenost mjernih instrumenata i metoda koje se koriste, nepravilna ugradnja mjernog instrumenta, utjecaj vanjski faktori(utjecajne veličine) na parametre mjernih instrumenata i na sam objekt mjerenja, nedostatke metode mjerenja (metodološke pogreške), individualne karakteristike operator (subjektivne greške) itd. Sustavne se pogreške prema prirodi manifestacije dijele na stalne i promjenjive. Konstante uključuju, na primjer, pogreške uzrokovane netočnim podešavanjem mjerne vrijednosti, neispravnom kalibracijom skale instrumenta, nepravilnom ugradnjom instrumenta u odnosu na smjer magnetskih polja itd. Promjenjive sustavne pogreške uzrokovane su utjecajem utjecajnih veličina na proces mjerenja i mogu nastati npr. pri promjeni napona napajanja uređaja, vanjskih magnetskih polja, frekvencije mjerenog izmjeničnog napona itd. Glavna značajka sustavne pogreške je da je njihova ovisnost o utjecajnim veličinama podložna određenom zakonu. Ovaj se zakon može proučavati, a rezultat mjerenja može se pojasniti uvođenjem izmjena ako se odrede numeričke vrijednosti ovih pogrešaka. Drugi način smanjenja utjecaja sustavnih pogrešaka je korištenje mjernih metoda koje omogućuju eliminiranje utjecaja sustavnih pogrešaka bez određivanja njihovih vrijednosti (na primjer, metoda zamjene).
Rezultat mjerenja je što je bliži stvarnoj vrijednosti izmjerene vrijednosti što su preostale neisključene sustavne pogreške manje. Prisutnost isključenih sustavnih pogrešaka određuje točnost mjerenja, a kvaliteta odražava blizinu nule sustavnih pogrešaka. Rezultat mjerenja bit će točan onoliko koliko nije iskrivljen sustavnim pogreškama, a što su te pogreške manje, to je ispravniji.
Progresivna(ili drift) su nepredvidive pogreške koje se sporo mijenjaju tijekom vremena. Ove pogreške, u pravilu, nastaju zbog procesa starenja pojedinih dijelova opreme (pražnjenje izvora napajanja, starenje otpornika, kondenzatora, deformacija mehaničkih dijelova, skupljanje papirnate trake u snimačima itd.). Značajka progresivnih pogrešaka jest da se one mogu ispraviti uvođenjem izmjene samo u određenom vremenskom trenutku, a zatim se opet nepredvidivo povećavaju. Dakle, za razliku od sustavnih pogrešaka, koje se mogu ispraviti jednom utvrđenom korekcijom za cijeli životni vijek uređaja, progresivne pogreške zahtijevaju kontinuirano ponavljanje korekcije i što češće, to im rezidualna vrijednost treba biti manja. Još jedna značajka progresivnih grešaka je da je njihova promjena tijekom vremena nestacionarni slučajni proces i stoga se, u okviru dobro razvijene teorije stacionarnih slučajnih procesa, mogu opisati samo s rezervom.
Slučajna pogreška mjerenja— sastavnica pogreške mjerenja koja se nasumično mijenja tijekom ponovljenih mjerenja iste veličine. Vrijednost i predznak slučajnih pogrešaka nije moguće odrediti, ne mogu se izravno uzeti u obzir zbog njihovih kaotičnih promjena uzrokovanih istodobnim utjecajem različitih čimbenika neovisnih jedni o drugima na rezultat mjerenja. Slučajne pogreške otkrivaju se tijekom ponovljenih mjerenja iste veličine (pojedinačna mjerenja u ovom slučaju nazivaju se opažanjima) pomoću istih mjernih instrumenata pod istim uvjetima od strane istog promatrača, tj. za jednako precizna (ekvidisperzna) mjerenja. Utjecaj slučajnih pogrešaka na rezultat mjerenja uzima se u obzir metodama matematičke statistike i teorije vjerojatnosti.
Grube pogreške mjerenja - slučajne pogreške mjerenja koje znatno premašuju pogreške očekivane u danim uvjetima.
Grube pogreške (promašaji) najčešće su uzrokovane netočnim očitanjem s instrumenta, pogreškom u zapisu opažanja, prisustvom jako utjecajne veličine, kvarom mjernih instrumenata i drugim razlozima. U pravilu se ne uzimaju u obzir rezultati mjerenja koji sadrže grube pogreške, tako da grube pogreške malo utječu na točnost mjerenja. Nije uvijek lako otkriti pogrešku, osobito kod jednog mjerenja; Često je teško razlikovati grubu grešku od velike slučajne pogreške. Ako se velike pogreške često pojavljuju, dovodimo u pitanje sve rezultate mjerenja. Stoga velike pogreške utječu na valjanost mjerenja.
U zaključku opisane podjele pogrešaka instrumenata i rezultata mjerenja na slučajne, progresivne i sustavne komponente, potrebno je obratiti pozornost na činjenicu da je takva podjela vrlo pojednostavljena metoda njihove analize. Stoga uvijek treba imati na umu da se u stvarnosti te komponente pogreške pojavljuju zajedno i tvore jedan nestacionarni slučajni proces. Pogreška rezultata mjerenja može se prikazati u obliku zbroja slučajnih i sustavnih pogrešaka Dc: D = Ds +. Pogreške mjerenja uključuju slučajnu komponentu, pa je treba uzeti u obzir nasumična varijabla.
Razmatranje prirode manifestacije pogrešaka mjerenja pokazuje nam da jedini ispravan način vrednovanja pogrešaka daje teorija vjerojatnosti i matematička statistika.

4.4. Probabilistički pristup opisivanju pogrešaka

Zakoni raspodjele slučajnih pogrešaka. Slučajne pogreške otkrivaju se kada se provodi više mjerenja iste količine. Rezultati mjerenja se u pravilu međusobno ne poklapaju, jer zbog ukupnog utjecaja mnoštva različitih čimbenika koji se ne mogu uzeti u obzir, svako novo mjerenje daje i novu slučajnu vrijednost mjerene veličine. Ako su mjerenja pravilno obavljena, ako ih je dovoljan broj i isključene su sustavne pogreške i pogreške, može se tvrditi da stvarna vrijednost izmjerene veličine ne prelazi vrijednosti dobivene ovim mjerenjima. Ostaje nepoznata dok se ne utvrdi teoretski vjerojatna vrijednost slučajne pogreške.
Neka se izmjeri veličina A P puta i promatrali vrijednosti a1, a2, a3,...,a ja,...,an. Slučajna apsolutna pogreška jednog mjerenja određena je razlikom
Di = ai - A. (4.1)
Grafički su rezultati pojedinačnih mjerenja prikazani na sl. 4.2.
Kad dosta veliki broj P iste se pogreške, ako imaju više diskretnih vrijednosti, ponavljaju i stoga je moguće utvrditi relativnu učestalost (učestalost) njihovog pojavljivanja, tj. omjer broja primljenih identičnih podataka mi Do ukupni broj izvršena mjerenja P. Prilikom nastavka mjerenja vrijednosti A ova se frekvencija neće promijeniti, pa se može smatrati vjerojatnošću pojave pogreške u ovim mjerenjima: str(Ai) = mi / n.

Statistička ovisnost vjerojatnosti pojave slučajnih pogrešaka o njihovoj vrijednosti naziva se zakon raspodjele grešaka ili zakon distribucije vjerojatnosti. Ovaj zakon određuje prirodu izgleda različite rezultate individualna mjerenja. Postoje dvije vrste opisa zakona distribucije: sastavni I diferencijal.
Integralni zakon, ili funkcija distribucije vjerojatnostiF( D ) slučajna pogreška Di Vi-ti iskustvo, nazovite funkciju čija je vrijednost za svaki D vjerojatnost događaja R(D), koji se sastoji u činjenici da slučajna pogreška Di poprima vrijednosti manje od određene vrijednosti D, tj. funkcija F( D ) = P[ Di < D ]. Kada se D mijenja od -¥ do +¥, ova funkcija uzima vrijednosti od 0 do 1 i ne opada. Postoji za sve slučajne varijable, diskretne i kontinuirane (slika 4.3 a).
Ako F(D) simetričan u odnosu na točku A, odgovarajuća vjerojatnost je 0,5, tada će distribucija rezultata opažanja biti simetrična u odnosu na pravu vrijednost A. U ovom slučaju preporučljivo je F(D) pomak duž x-osi za vrijednost DA, tj. eliminirati sustavnu grešku (DA =Ds) te dobiti funkciju raspodjele slučajne komponente pogreške D=(Slika 4.3 b). Funkcija distribucije vjerojatnosti pogreške D razlikuje se od funkcije distribucije vjerojatnosti slučajne komponente pogreške samo pomakom duž x-osi za vrijednost sustavne komponente pogreške Ds.
Diferencijalni zakon distribucije vjerojatnosti za slučajnu pogrešku s kontinuiranom i diferencijabilnom funkcijom raspodjele F(D) pozvati funkciju . Ova ovisnost postoji gustoća distribucije vjerojatnosti. Grafikon gustoće vjerojatnosti može imati drugačiji oblik ovisno o zakonu raspodjele pogreške. Za F(D), prikazano na sl. 4.3 b, krivulja distribucije f(D) ima oblik blizak obliku zvona (sl. 4.3 c).
Vjerojatnost slučajnih pogrešaka određena je površinom omeđenom krivuljom f(D) ili njezin dio i apscisnu os (sl. 4.3 c). Ovisno o razmatranom intervalu pogreške .

Značenje f(D)dD postoji element vjerojatnosti jednak površini pravokutnika s bazom dD i apscisa D1,D2, nazvani kvantilima. Jer F(+¥)= 1, onda je jednakost istinita ,
oni. površina ispod krivulje f(D) prema pravilu normalizacije jednaka je jedinici i odražava vjerojatnost svih mogućih događaja.
U praksi električna mjerenja jedan od najčešćih zakona distribucije slučajnih grešaka je normalno pravo(Gauss).
Matematički izraz normalnog zakona ima oblik
,
Gdje f(D)- gustoća vjerojatnosti slučajne pogreške D = aja-A; s - standardna devijacija. Standardna devijacija može se izraziti u smislu slučajnih odstupanja rezultata promatranja Di (vidi formulu (4.1)):
.
Priroda krivulja opisanih ovom jednadžbom za dvije vrijednosti s prikazana je na slici. 4.4. Iz ovih krivulja je jasno da što je s manji, to se češće pojavljuju male slučajne pogreške, tj. što su mjerenja točnija. U mjernoj praksi postoje i drugi zakoni raspodjele koji se mogu utvrditi na temelju statističke obrade

eksperimentalni podaci. Neki od najčešćih zakona distribucije navedeni su u GOST 8.011-84 "Pokazatelji točnosti mjerenja i oblici prikaza rezultata mjerenja."
Glavne karakteristike zakona distribucije su očekivana vrijednost I disperzija.
Očekivanje slučajne varijable- to je njegova vrijednost oko koje se grupiraju rezultati pojedinih promatranja. Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable M[X] se definira kao zbroj umnožaka svih moguće vrijednosti slučajna varijabla o vjerojatnosti ovih vrijednosti .
Za kontinuirane slučajne varijable potrebno je pribjeći integraciji, za što je potrebno znati ovisnost gustoće vjerojatnosti o X, tj. f(x), Gdje x=D. Zatim .
Ovaj izraz znači da je matematičko očekivanje jednako zbroju beskonačno velikog broja umnožaka svih mogućih vrijednosti slučajne varijable x na infinitezimalna područja f(x)dx, Gdje f(x) — ordinate za svaki X, a dx - elementarni segmenti apscisne osi.
Ako se promatra normalna raspodjela slučajnih pogrešaka, tada je matematičko očekivanje slučajne pogreške nula (slika 4.4). Ako uzmemo u obzir normalnu raspodjelu rezultata, tada će matematičko očekivanje odgovarati pravoj vrijednosti izmjerene veličine koju označavamo s A.
Sustavna pogreška je odstupanje matematičko očekivanje promatranje proizlazi iz prave vrijednosti A izmjerena količina: Dc = M[X]-A, a slučajna pogreška je razlika između rezultata jednog promatranja i matematičkog očekivanja: .
Disperzija niza promatranja karakterizira stupanj disperzije (raspršenosti) rezultata pojedinačnih promatranja oko matematičkog očekivanja:
D[X] =Dx=M[(ai-mx)2].
Što je manja disperzija, to je manji rasip pojedinačnih rezultata, to su mjerenja točnija. Međutim, disperzija se izražava u jedinicama na kvadrat izmjerene vrijednosti. Stoga se standardna devijacija (MSD), jednaka kvadratnom korijenu varijance, najčešće koristi za karakterizaciju točnosti određenog broja opažanja: .
Razmatrana normalna distribucija slučajnih varijabli, uključujući slučajne pogreške, je teoretska, stoga opisanu normalnu distribuciju treba smatrati "idealnom", tj. teorijska osnova proučavati slučajne pogreške i njihov utjecaj na rezultat mjerenja.
Slijedi opis kako primijeniti ovu distribuciju u praksi s različitim stupnjevima aproksimacije. Druga distribucija (Studentova distribucija), koja se koristi za mali broj promatranja, također je uzeta u obzir.
Procjene pogrešaka u rezultatima izravnih mjerenja. Neka se provede P izravna mjerenja iste količine. Općenito, u svakom mjernom činu pogreška će biti drugačija:
Dja =ai-A,
gdje je Di greška i-tog mjerenja; ai- rezultat i-tog mjerenja.
Budući da je prava vrijednost mjerene veličine A nepoznato, slučajna apsolutna pogreška ne može se izravno izračunati. U praktičnim proračunima, umjesto A koristiti njegovu procjenu. Obično se pretpostavlja da je prava vrijednost aritmetička sredina određenog broja mjerenja:
. (4.2)
Gdje Aja- rezultati pojedinačnih mjerenja; P - broj mjerenja.
Sada, slično izrazu (4.1), možemo odrediti odstupanje rezultata svakog mjerenja od prosječne vrijednosti :
(4.3)
Gdje v ja- odstupanje rezultata pojedinačnog mjerenja od prosječne vrijednosti. Treba imati na umu da je zbroj odstupanja rezultata mjerenja od prosječne vrijednosti nula, a zbroj njihovih kvadrata minimalan, tj.
i min.
Ova se svojstva koriste pri obradi rezultata mjerenja za kontrolu točnosti izračuna.
Zatim izračunajte procjenu vrijednosti srednja kvadratna greška za datu seriju mjerenja

. (4.4)
Prema teoriji vjerojatnosti, s dovoljno velikim brojem mjerenja koja imaju neovisne slučajne pogreške, procjena S konvergira u vjerojatnosti da s. Tako,

. (4.5)
Zbog činjenice da aritmetička sredina je također slučajna varijabla, koncept prosjeka ima smisla kvadratno odstupanje aritmetička sredina. Ovu vrijednost označavamo simbolom sav. Može se pokazati da za nezavisne pogreške
. (4.6)
Sr vrijednost karakterizira stupanj raspršenja . Kao što je gore navedeno, djeluje kao procjena stvarne vrijednosti izmjerene veličine, tj. je konačni rezultat obavljenih mjerenja. Stoga se sr naziva i srednja kvadratna pogreška rezultata mjerenja.
U praksi se vrijednost s, izračunata pomoću formule (4.5), koristi ako je potrebno karakterizirati točnost korištene metode mjerenja: ako je metoda točna, tada je raspršenost rezultata pojedinačnih mjerenja mala, tj. mala vrijednost s . Vrijednost sr , izračunata prema (4.6), koristi se za karakterizaciju točnosti mjernog rezultata određene veličine, tj. rezultat dobiven matematičkom obradom rezultata određenog broja pojedinačnih izravnih mjerenja.
Pri procjeni rezultata mjerenja ponekad se koristi koncept maksimum ili najveća dopuštena greška,čija je vrijednost određena u razlomcima s ili S. Trenutačno postoje različiti kriteriji za određivanje maksimalne pogreške, tj. granice tolerancijskog polja ±D, u koje se moraju uklopiti slučajne pogreške. Općenito prihvaćena definicija maksimalne pogreške je D = 3 s (ili 3 S). U U zadnje vrijeme Na temelju informacijske teorije mjerenja, profesor P. V. Novitsky preporučuje korištenje vrijednosti D = 2s.
Uvedimo sada važne pojmove povjerenje vjerojatnost I interval pouzdanosti. Kao što je gore navedeno, aritmetička sredina , dobivena kao rezultat određenog niza mjerenja je procjena prave vrijednosti A i, u pravilu, ne podudara se s njim, već se razlikuje po vrijednosti pogreške. Neka Rd postoji mogućnost da razlikuje se od A ne više od D, tj. R(-D< A< + D)=Rd. Vjerojatnost Rd nazvao vjerojatnost povjerenja, a raspon vrijednosti mjerene veličine je od - D do + D- interval pouzdanosti.
Gornje nejednakosti znače da s vjerojatnošću Rd interval pouzdanosti od - D do + D sadrži pravo značenje A. Dakle, da bi se sasvim potpuno okarakterizirala slučajna pogreška, potrebno je imati dva broja - vjerojatnost pouzdanosti i odgovarajući interval pouzdanosti. Ako je poznat zakon distribucije vjerojatnosti pogreške, tada se interval pouzdanosti može odrediti iz dane vjerojatnosti pouzdanosti. Konkretno, kod dovoljno velikog broja mjerenja često je opravdano koristiti normalni zakon, dok je kod malog broja mjerenja (str< 20), čiji rezultati pripadaju normalnoj distribuciji, treba koristiti Studentovu distribuciju. Ova distribucija ima gustoću vjerojatnosti koja se praktički podudara s normalnom općenito P, ali bitno različita od normalne kod male P.
U tablici 4.1 prikazuje takozvane kvantile Studentove distribucije ½ t(n)½ Rd za broj mjerenja P= 2 - 20 i vjerojatnosti pouzdanosti R = 0,5 - 0,999.
Ističemo, međutim, da se za vrijednosti obično ne daju tablice Studentove distribucije P I Rd, i za vrijednosti m =n-1 I a =1 - Rd, o čemu treba voditi računa pri njihovoj uporabi. Za određivanje intervala pouzdanosti potrebno je podatke P I Rd pronađite ½ kvantila t(n)½Rd i izračunajte vrijednosti An = - sr× ½ t(n)½Rdi Av = + sr× ½ t(n)½Rd, koji će biti dno i gornje granice interval pouzdanosti.

Nakon pronalaženja intervala pouzdanosti za danu vjerojatnost pouzdanosti u skladu s gornjom metodom, zabilježite rezultat mjerenja u obrazac ; D=Dn¸ Dv; Rd,
Gdje - ocjenu prave vrijednosti mjernog rezultata u jedinicama mjerne vrijednosti; D - pogreška mjerenja; Dv = + sr× ½ t(n)½Rd i Dn = - sr× ½ t(n)½Rd - gornja i donja granica pogreške mjerenja; Rd - vjerojatnost povjerenja.

Tablica 4.1

	Vrijednosti kvantila Studentove distribucije t(n) s pouzdanošću vjerojatnosti Rd

Procjena pogrešaka u rezultatima neizravnih mjerenja. U neizravnim mjerenjima, željena količina A funkcionalno povezane s jednom ili više izravno mjerenih veličina: X,g,..., t. Razmotrimo najjednostavniji slučaj određivanja pogreške s jednom varijablom, kada A= F(x). Odredivši apsolutnu grešku mjerenja veličine x kroz ±Dx, dobivamo A+ D A= F(x± D x).
Proširujući desnu stranu ove jednakosti u Taylorov niz i zanemarujući članove proširenja koji sadrže Dx na potenciju veću od prve, dobivamo
A+DA » F(x) ± Dx ili DA » ± Dx.
Relativna pogreška mjerenja funkcije određena je iz izraza
.
Ako se mjerena količina A je funkcija nekoliko varijabli: A=F(x,y,...,t), zatim apsolutna pogreška rezultata neizravnih mjerenja
.
Djelomične relativne pogreške neizravnog mjerenja određuju se formulama ; itd. Relativna greška rezultata mjerenja
.
Zadržimo se i na značajkama procjene rezultata neizravnog mjerenja u prisutnosti slučajne pogreške.
Za procjenu slučajne pogreške rezultata neizravnih mjerenja veličine A pretpostavit ćemo da sustavne pogreške u mjerenju veličina x, y,…, t isključene su, a slučajne pogreške u mjerenju istih veličina ne ovise jedna o drugoj.
Kod neizravnih mjerenja vrijednost izmjerene veličine nalazi se pomoću formule ,
gdje su prosječne ili ponderirane prosječne vrijednosti količina x, y,…, t.
Za izračunavanje standardne devijacije izmjerene vrijednosti A preporučljivo je koristiti standardna odstupanja dobivena mjerenjima x, y,…, t.
U opći pogled za određivanje standardne devijacije s neizravnog mjerenja koristite sljedeću formulu:
, (4.7)
Gdje Dx ;Dy ;…;Dt— takozvane djelomične pogreške neizravnog mjerenja ; ; …; ; ; ; … ; — parcijalne derivacije A Po x, y,…, t ;sx; sy ,…,st , …— standardne devijacije rezultata mjerenja x, y,…, t.
Razmotrimo neke posebne slučajeve primjene jednadžbe (4.7), kada se funkcionalni odnos između neizravno i izravno mjerenih veličina izražava formulom A=k× xa× gb× zg, Gdje k- numerički koeficijent (bez dimenzija).
U tom slučaju formula (4.7) će imati sljedeći oblik:
.
Ako a =b =g = 1 I A=k× x× g× z, tada se formula relativne pogreške pojednostavljuje na oblik .
Ova formula je primjenjiva, na primjer, za izračunavanje standardne devijacije rezultata mjerenja volumena od rezultata mjerenja visine, širine i dubine spremnika u obliku pravokutnog paralelopipeda.

4.5. Pravila za zbrajanje slučajnih i sustavnih pogrešaka
Pogreška složenih mjernih instrumenata ovisi o pogreškama pojedinih njegovih sastavnih dijelova (blokova). Pogreške se zbrajaju prema određenim pravilima.
Neka se, na primjer, mjerni uređaj sastoji od m blokova, od kojih svaki ima slučajne pogreške neovisne jedna o drugoj. U ovom slučaju, apsolutne vrijednosti srednjeg kvadrata sk ili maksimuma Mk greške svakog bloka.
Aritmetičko zbrajanje ili daje maksimalnu pogrešku uređaja, koja ima zanemarivo malu vjerojatnost i stoga se rijetko koristi za ocjenu točnosti uređaja u cjelini. Prema teoriji pogreške, nastala pogreška sre i Mrez određuje se zbrajanjem prema kvadratnom zakonu ili .
Rezultirajuća relativna pogreška mjerenja određuje se na sličan način: . (4.8)
Jednadžba (4.8) može se koristiti za određivanje dopuštenih pogrešaka pojedinih jedinica uređaja koji se razvijaju uz zadanu ukupnu pogrešku mjerenja. Prilikom projektiranja uređaja obično se navode jednake pogreške za pojedinačne blokove koji su u njemu uključeni. Ako postoji više izvora pogreške koje konačni rezultat mjerenja različito utječu (ili se uređaj sastoji od nekoliko blokova s različitim pogreškama), težinske koeficijente treba uvesti u formulu (4.8) ki :
, (4.9)
gdje su d1, d2, …, dm relativne pogreške pojedinih jedinica (blokova) mjernog uređaja; k1,k2, …,km- koeficijenti koji uzimaju u obzir stupanj utjecaja slučajne pogreške danog bloka na rezultat mjerenja.
Ako mjerni uređaj (ili njegove jedinice) ima i sustavne pogreške, ukupna pogreška određena je njihovim zbrojem:. Isti pristup vrijedi i za više komponente.
Pri procjeni utjecaja pojedinih pogrešaka treba uzeti u obzir da točnost mjerenja uglavnom ovisi o pogreškama koje su apsolutne vrijednosti velike, a neke od najmanjih pogrešaka uopće se ne mogu uzeti u obzir. Djelomična pogreška se procjenjuje na temelju tzv kriterij zanemarive pogreške, koji je kako slijedi. Pretpostavimo da je ukupna pogreška dres određena formulom (4.8) uzimajući u obzir sve m privatne pogreške, među kojima je neka pogreška di male važnosti. Ako se ukupna pogreška d¢res, izračunata bez uzimanja u obzir pogreške di, razlikuje od dresa za najviše 5%, tj. drez-d¢rez< 0,05×dрез или 0,95×dрезU praksi tehničkih izračuna često se koristi manje strogi kriterij - u ove formule uvodi se koeficijent 0,4.

4.6. Obrasci za prikaz rezultata mjerenja

Rezultat mjerenja ima vrijednost samo kada se može procijeniti njegov interval nesigurnosti, tj. stupanj povjerenja. Stoga rezultat mjerenja mora sadržavati vrijednost mjerene veličine i karakteristike točnosti te vrijednosti, a to su sustavne i slučajne pogreške. Kvantitativni pokazatelji pogrešaka, metode njihovog izražavanja, kao i oblici prikaza rezultata mjerenja regulirani su GOST 8.011-72 "Pokazatelji točnosti mjerenja i oblici prikaza rezultata mjerenja." Razmotrimo glavne oblike predstavljanja rezultata mjerenja.
Pogreška rezultata izravnog pojedinačnog mjerenja ovisi o mnogim čimbenicima, ali prvenstveno je određena pogreškom korištenih mjernih instrumenata. Stoga se u prvoj aproksimaciji pogreška rezultata mjerenja može uzeti jednakom
pogreška koja karakterizira mjerni instrument koji se koristi u određenoj točki mjernog područja.
Pogreške mjernih instrumenata variraju u rasponu mjerenja. Stoga je u svakom slučaju za svako mjerenje potrebno izračunati pogrešku mjernog rezultata pomoću formula (3.19) - (3.21) za normalizaciju pogreške odgovarajućeg mjernog instrumenta. Moraju se izračunati i apsolutne i relativne pogreške rezultata mjerenja, budući da je prva potrebna za zaokruživanje rezultata i njegovo ispravno bilježenje, a druga - za nedvosmislen usporedni opis njegove točnosti.
Za različite karakteristike normalizacije SI pogrešaka, ovi izračuni se izvode različito, pa ćemo razmotriti tri tipična slučaja.
1. Klasa uređaja označena je jednim brojem q, zatvoren u krug. Tada je relativna pogreška rezultata (u postocima) g = q, i njegova apsolutna greška D x =q× x/ 100.
2. Klasa uređaja označena je jednim brojem str(bez kruga). Tada je apsolutna pogreška rezultata mjerenja D x =str× xk/ 100, gdje xk je granica mjerenja na kojoj je provedeno, a relativna pogreška mjerenja (u postocima) nalazi se formulom ,
tj. U ovom slučaju pri mjerenju osim očitavanja izmjerene vrijednosti x Granica mjerenja također mora biti fiksna xk, inače će biti nemoguće naknadno izračunati pogrešku rezultata.
3. Klasa uređaja označena je s dva broja u obrascu CD. U ovom slučaju je prikladnije izračunati relativnu pogrešku d rezultat pomoću formule (3.21), a tek onda pronađite apsolutnu pogrešku kao Dx =d× x/100.
Nakon izračuna pogreške upotrijebite jedan od oblika prikaza rezultata mjerenja u sljedećem obliku: X;± D I d, Gdje x- izmjerena vrijednost; D- apsolutna greška mjerenja; d-relativna greška mjerenja. Na primjer, unosi se sljedeći unos: "Mjerenje je izvršeno s relativnom pogreškom d= …%. Izmjerena vrijednost x = (A± D), Gdje A- rezultat mjerenja.”
Međutim, jasnije je naznačiti granice intervala nesigurnosti izmjerene vrijednosti u obliku: x = (A-D)¸(A+D) ili (A-D)< х < (A+D) označavanje mjernih jedinica.
Drugi oblik prikaza rezultata mjerenja postavljen je na sljedeći način: x; D iz Dn prije Dv; R, Gdje x- rezultat mjerenja u jedinicama mjerene veličine; DDn,Dv- pogrešku mjerenja s donjom i gornjom granicom u istim jedinicama; R- vjerojatnost s kojom je greška mjerenja unutar ovih granica.
GOST 8.011-72 dopušta druge oblike prikaza rezultata mjerenja koji se razlikuju od danih oblika u tome što zasebno pokazuju karakteristike sustavne i slučajne komponente pogreške mjerenja. Istodobno, za sustavnu pogrešku naznačene su njezine vjerojatnosne karakteristike. U ovom slučaju glavne karakteristike sustavne pogreške su matematičko očekivanje M [ Dxc], standardna devijacija s[ Dxc] i njegov interval pouzdanosti. Izdvajanje sustavne i slučajne komponente pogreške preporučljivo je ako će se rezultat mjerenja koristiti u daljnjoj obradi podataka, na primjer, pri određivanju rezultata neizravnih mjerenja i ocjenjivanju njegove točnosti, pri zbrajanju pogrešaka itd.

Svaki oblik prikaza rezultata mjerenja predviđen GOST 8.011-72 mora sadržavati potrebne podatke na temelju kojih se može odrediti interval pouzdanosti za pogrešku rezultata mjerenja. Općenito, interval pouzdanosti može se uspostaviti ako je poznata vrsta zakona raspodjele pogreške i glavne numeričke karakteristike tog zakona.

U našem dobu čovjek je izumio i koristi ogroman izbor svih vrsta mjernih instrumenata. No koliko god tehnologija njihove izrade bila savršena, svi imaju veću ili manju grešku. Ovaj je parametar u pravilu naznačen na samom instrumentu, a da biste procijenili točnost utvrđene vrijednosti, morate razumjeti što znače brojevi navedeni na oznaci. Osim toga, relativne i apsolutne pogreške neizbježno nastaju tijekom složenih matematičkih izračuna. Široko se koristi u statistici, industriji (kontrola kvalitete) iu brojnim drugim područjima. Kako se izračunava ova vrijednost i kako tumačiti njezinu vrijednost - upravo o tome će biti riječi u ovom članku.

Apsolutna pogreška

Označimo s x približnu vrijednost veličine, dobivenu npr. jednim mjerenjem, a s x 0 njezinu točnu vrijednost. Izračunajmo sada veličinu razlike između ova dva broja. Apsolutna pogreška je upravo ona vrijednost koju smo dobili kao rezultat ove jednostavne operacije. Izražena jezikom formula, ova se definicija može napisati u sljedećem obliku: Δ x = | x - x 0 |.

Relativna greška

Apsolutno odstupanje ima jedan važan nedostatak - ne dopušta procjenu stupnja važnosti pogreške. Primjerice, na tržnici kupujemo 5 kg krumpira, a nesavjesni prodavač je prilikom mjerenja težine pogriješio 50 grama u svoju korist. Odnosno, apsolutna pogreška bila je 50 grama. Za nas će takav previd biti obična sitnica i na to se nećemo ni obazirati. Zamislite što će se dogoditi ako se slična pogreška dogodi tijekom pripreme lijeka? Ovdje će sve biti mnogo ozbiljnije. A kod utovara teretnog vagona vjerojatno će se pojaviti odstupanja mnogo veća od ove vrijednosti. Stoga sama apsolutna pogreška nije jako informativna. Uz njega, vrlo često dodatno izračunavaju relativno odstupanje, koje je jednako omjeru apsolutne pogreške i točne vrijednosti broja. To je zapisano sljedećom formulom: δ = Δ x / x 0 .

Svojstva pogreške

Pretpostavimo da imamo dvije neovisne veličine: x i y. Moramo izračunati odstupanje približne vrijednosti njihovog zbroja. U ovom slučaju možemo izračunati apsolutnu pogrešku kao zbroj prethodno izračunatih apsolutnih odstupanja svakog od njih. U nekim mjerenjima može se dogoditi da se pogreške u određivanju vrijednosti x i y međusobno ponište. Ili se može dogoditi da se kao rezultat dodavanja odstupanja maksimalno pojačaju. Stoga, kada se izračunava ukupna apsolutna pogreška, mora se uzeti u obzir najgori mogući scenarij. Isto vrijedi i za razliku između pogrešaka nekoliko veličina. Ovo svojstvo je karakteristično samo za apsolutnu grešku, a ne može se primijeniti na relativno odstupanje, jer će to neizbježno dovesti do netočnog rezultata. Pogledajmo ovu situaciju na sljedećem primjeru.

Pretpostavimo da su mjerenja unutar cilindra pokazala da je unutarnji radijus (R 1) 97 mm, a vanjski radijus (R 2) 100 mm. Potrebno je odrediti debljinu njegove stijenke. Najprije pronađimo razliku: h = R 2 - R 1 = 3 mm. Ako problem ne pokazuje kolika je apsolutna pogreška, tada se ona uzima kao polovica podjele skale mjernog uređaja. Dakle, Δ(R 2) = Δ(R 1) = 0,5 mm. Ukupna apsolutna pogreška je: Δ(h) = Δ(R 2) + Δ(R 1) = 1 mm. Sada izračunajmo relativno odstupanje svih vrijednosti:

δ(R 1) = 0,5/100 = 0,005,

δ(R 1) = 0,5/97 ≈ 0,0052,

δ(h) = Δ(h)/h = 1/3 ≈ 0,3333>> δ(R 1).

Kao što vidite, pogreška u mjerenju oba radijusa ne prelazi 5,2%, a pogreška u izračunavanju njihove razlike - debljine stijenke cilindra - bila je čak 33,(3)%!

Sljedeće svojstvo glasi: relativno odstupanje umnoška nekoliko brojeva približno je jednako zbroju relativnih odstupanja pojedinačnih faktora:

δ(xy) ≈ δ(x) + δ(y).

Štoviše, ovo pravilo vrijedi bez obzira na broj vrijednosti koje se procjenjuju. Treće i posljednje svojstvo relativne pogreške je relativna procjena k-ti brojevi stupanj približno u | k | puta relativna pogreška izvornog broja.