Najveći zajednički djelitelj i najmanji zajednički višekratnik ključni su aritmetički koncepti koji olakšavaju rad obični razlomci... LCM i najčešće se koriste za pronalaženje zajedničkog nazivnika više razlomaka.
Osnovni koncepti
Djelitelj cijelog broja X je drugi cijeli broj Y koji dijeli X bez ostatka. Na primjer, djelitelj broja 4 je 2, a 36 je 4, 6, 9. Cjelobrojni višekratnik X je broj Y koji je djeljiv s X bez ostatka. Na primjer, 3 je višekratnik broja 15, a 6 je 12.
Za bilo koji par brojeva možemo pronaći njihove zajedničke djelitelje i višekratnike. Na primjer, za 6 i 9, zajednički višekratnik je 18, a zajednički djelitelj je 3. Očito, parovi mogu imati nekoliko djelitelja i višekratnika, stoga se najveći djelitelj GCD-a i najmanji djelitelj LCM-a koriste u izračuni.
Najmanji djelitelj nema smisla, jer je za bilo koji broj uvijek jedan. Najveći višekratnik je također besmislen, budući da niz višekratnika teži beskonačnosti.
Pronalaženje GCD
Postoje mnoge metode za pronalaženje najvećeg zajedničkog djelitelja, od kojih su najpoznatije:
- sekvencijalno nabrajanje djelitelja, izbor zajedničkog za par i traženje najvećeg od njih;
- razlaganje brojeva na nedjeljive faktore;
- Euklidov algoritam;
- binarni algoritam.
Danas u obrazovne ustanove najpopularnije su metode osnovne faktorizacije i Euklidov algoritam. Potonji se, pak, koristi pri rješavanju Diofantovih jednadžbi: traženje GCD-a potrebno je za provjeru jednadžbe na mogućnost njezinog rješavanja u cijelim brojevima.
Pronalaženje NOC-a
Najmanji zajednički višekratnik također se određuje sekvencijalnim nabrajanjem ili faktorizacijom. Osim toga, lako je pronaći LCM ako je najveći djelitelj već određen. Za brojeve X i Y, LCM i GCD povezani su sljedećim odnosom:
LCM (X, Y) = X × Y / GCD (X, Y).
Na primjer, ako je GCD (15.18) = 3, tada je LCM (15.18) = 15 × 18/3 = 90. Najočitiji primjer korištenja LCM je pronalaženje zajedničkog nazivnika, koji je najmanji zajednički višekratnik za dane razlomke.
Međusobno prosti brojevi
Ako par brojeva nema zajedničkih djelitelja, onda se takav par naziva koprostor. GCD za takve parove uvijek je jednak jedan, a na temelju veze djelitelja i višekratnika, LCM za koprime jednak je njihovom umnošku. Na primjer, brojevi 25 i 28 su relativno prosti, jer nemaju zajedničkih djelitelja, a LCM (25, 28) = 700, što odgovara njihovom umnošku. Bilo koja dva nedjeljiva broja uvijek će biti međusobno prosti.
Zajednički djelitelj i višestruki kalkulator
S našim kalkulatorom možete izračunati GCD i LCM za proizvoljan broj brojeva koje možete izabrati. Zadaci za izračunavanje zajedničkih djelitelja i višekratnika nalaze se u aritmetici u 5., 6. razredu, međutim, GCD i LCM su ključni pojmovi u matematici i koriste se u teoriji brojeva, planimetriji i komunikacijskoj algebri.
Primjeri iz stvarnog života
Zajednički nazivnik razlomaka
Najmanji zajednički višekratnik se koristi za pronalaženje zajedničkog nazivnika višestrukih razlomaka. Neka je u aritmetičkom zadatku potrebno zbrojiti 5 razlomaka:
1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.
Za zbrajanje razlomaka, izraz se mora svesti na zajednički nazivnik, koji se svodi na problem pronalaženja LCM. Da biste to učinili, odaberite 5 brojeva u kalkulatoru i unesite vrijednosti nazivnika u odgovarajuće ćelije. Program će izračunati LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Sada morate izračunati dodatne faktore za svaki razlomak, koji su definirani kao omjer LCM-a i nazivnika. Dakle, dodatni čimbenici će izgledati ovako:
- 360/8 = 45
- 360/9 = 40
- 360/12 = 30
- 360/15 = 24
- 360/18 = 20.
Nakon toga pomnožimo sve razlomke s odgovarajućim dodatnim faktorom i dobijemo:
45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.
Lako možemo zbrojiti takve razlomke i dobiti rezultat u obliku 159/360. Smanjujemo razlomak za 3 i vidimo konačni odgovor - 53/120.
Rješavanje linearnih diofantovih jednadžbi
Linearne Diofantove jednadžbe su izrazi oblika ax + by = d. Ako je omjer d/gcd (a, b) cijeli broj, tada je jednadžba rješiva u cijelim brojevima. Provjerimo nekoliko jednadžbi za mogućnost cjelobrojnog rješenja. Prvo provjerite jednadžbu 150x + 8y = 37. Koristeći kalkulator, pronađite GCD (150,8) = 2. Podijelite 37/2 = 18,5. Broj nije cijeli broj, dakle, jednadžba nema cjelobrojne korijene.
Provjerimo jednadžbu 1320x + 1760y = 10120. Pomoću kalkulatora pronađimo GCD (1320, 1760) = 440. Podijelimo 10120/440 = 23. Kao rezultat, dobivamo cijeli broj, pa je Diofantov broj jednak u koeficijenti.
Zaključak
GCD i LCM igraju važnu ulogu u teoriji brojeva, a sami koncepti se široko koriste u različitim područjima matematike. Koristite naš kalkulator za izračunavanje najvećih djelitelja i najmanjih višekratnika bilo kojeg broja brojeva.
Matematički izrazi i zadaci zahtijevaju mnogo dodatnog znanja. NOO je jedan od glavnih, posebno se često koristi u Tema se izučava u srednjoj školi, dok gradivo nije osobito teško razumjeti, osobi koja je upoznata sa stupnjevima i tablicom množenja neće biti teško odabrati potrebne brojeve i pronađite rezultat.
Definicija
Zajednički višekratnik je broj koji se može u potpunosti podijeliti na dva broja u isto vrijeme (a i b). Najčešće se ovaj broj dobiva množenjem izvornih brojeva a i b. Broj mora biti djeljiv s oba broja odjednom, bez odstupanja.
NOC je prihvaćena oznaka kratko ime prikupljeno od prvih slova.
Načini dobivanja broja
Za pronalaženje LCM, metoda množenja brojeva nije uvijek prikladna; mnogo je prikladnija za jednostavne jednoznamenkaste ili dvoznamenkaste brojeve. uobičajeno je dijeliti po faktorima, što je broj veći, bit će više faktora.
Primjer br. 1
Za najjednostavniji primjer, škole obično koriste jednostavne, jednoznamenkaste ili dvoznamenkaste brojeve. Na primjer, trebate riješiti sljedeći problem, pronaći najmanji zajednički višekratnik brojeva 7 i 3, rješenje je prilično jednostavno, samo ih pomnožite. Kao rezultat toga, postoji broj 21, jednostavno nema manjeg broja.
Primjer br. 2
Druga varijanta zadatka je mnogo teža. S obzirom na brojeve 300 i 1260, pronalaženje LCM-a je obavezno. Za rješavanje zadatka pretpostavljaju se sljedeće radnje:
Razlaganje prvog i drugog broja na najjednostavnije faktore. 300 = 2 2 * 3 * 5 2; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Prva faza je završena.
Druga faza uključuje rad s već primljenim podacima. Svaki od dobivenih brojeva mora sudjelovati u izračunu konačnog rezultata. Za svaki faktor iz sastava izvornih brojeva, najviše veliki broj pojave. NOC je ukupni broj, dakle, faktori iz brojeva moraju se u njemu ponoviti na jedan, čak i oni koji su prisutni u jednom primjerku. Oba izvorna broja u svom sastavu imaju brojeve 2, 3 i 5, in različitih stupnjeva, 7 je samo u jednom slučaju.
Da biste izračunali konačni rezultat, trebate uzeti svaki broj u najvećoj od potencija predstavljenih u jednadžbi. Ostaje samo pomnožiti i dobiti odgovor, s ispravnim popunjavanjem, zadatak se uklapa u dva koraka bez objašnjenja:
1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.
2) LCM = 6300.
To je cijeli problem, ako pokušate izračunati traženi broj množenjem, onda odgovor definitivno neće biti točan, budući da je 300 * 1260 = 378 000.
pregled:
6300/300 = 21 - istina;
6300/1260 = 5 - točno.
Točnost dobivenog rezultata utvrđuje se provjerom - dijeljenjem LCM-a s oba početna broja, ako je broj u oba slučaja cijeli broj, onda je odgovor točan.
Što LCM znači u matematici
Kao što znate, u matematici ne postoji niti jedna beskorisna funkcija, ovo nije iznimka. Najčešća upotreba za ovaj broj je dovođenje razlomaka na zajednički nazivnik. Ono što se obično uči u 5-6 razredima Srednja škola... Također je i zajednički djelitelj za sve višekratnike, ako su takvi uvjeti u zadatku. Sličan izraz može pronaći višekratnik ne samo dva broja, već i mnogo većeg broja - tri, pet i tako dalje. Kako više brojeva- što je više radnji u zadatku, ali složenost se od toga ne povećava.
Na primjer, s obzirom na brojeve 250, 600 i 1500, morate pronaći njihov ukupni LCM:
1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 - ovaj primjer detaljno opisuje faktorizaciju, bez poništavanja.
2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;
3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;
Za sastavljanje izraza potrebno je spomenuti sve faktore, u ovom slučaju su dati 2, 5, 3, - za sve te brojeve potrebno je odrediti maksimalni stupanj.
Pažnja: svi množitelji moraju biti dovedeni do potpunog pojednostavljenja, ako je moguće, proširivši se na razinu nedvosmislenih.
pregled:
1) 3000/250 = 12 - istina;
2) 3000/600 = 5 - istina;
3) 3000/1500 = 2 - istina.
Ova metoda ne zahtijeva nikakve trikove ili sposobnosti na razini genija, sve je jednostavno i jasno.
Drugi način
U matematici je puno toga povezano, puno se može riješiti na dva ili više načina, isto vrijedi i za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika, LCM. Sljedeća metoda se može koristiti u slučaju jednostavnih dvoznamenkastih i jednoznamenkastih brojeva. Sastavlja se tablica u koju se množitelj upisuje okomito, množitelj vodoravno, a umnožak je naznačen u stanicama stupca koji se presijecaju. Tablicu možete prikazati linijom, uzima se broj i rezultati množenja tog broja cijelim brojevima, od 1 do beskonačnosti, zapisuju se u nizu, ponekad je dovoljno 3-5 bodova, drugi i sljedeći brojevi su podvrgnuti istom računskom procesu. Sve se događa dok se ne pronađe zajednički višekratnik.
S obzirom na brojeve 30, 35, 42, morate pronaći LCM koji povezuje sve brojeve:
1) Višekratnici 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 itd.
2) Višekratnici 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245, itd.
3) Višekratnici 42: 84, 126, 168, 210, 252, itd.
Primjetno je da su svi brojevi dosta različiti, jedini zajednički broj među njima je 210, pa će to biti LCM. Među procesima povezanim s ovim proračunom nalazi se i najveći zajednički djelitelj, koji se izračunava prema sličnim principima i često se susreće u susjednim problemima. Razlika je mala, ali dovoljno značajna, LCM pretpostavlja izračun broja koji je podijeljen sa svim ovim početnim vrijednostima, a GCD pretpostavlja izračun najveća vrijednost kojim se dijele izvorni brojevi.
Nastavimo s razgovorom o najmanjem zajedničkom višekratniku, koji smo započeli u odjeljku "LCM - Najmanji zajednički višekratnik, definicija, primjeri". U ovoj temi ćemo pogledati načine kako pronaći LCM za tri ili više brojeva, analizirat ćemo pitanje kako pronaći LCM negativnog broja.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Izračunavanje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM) u smislu gcd
Već smo utvrdili odnos između najmanjeg zajedničkog višekratnika i najvećeg zajedničkog djelitelja. Sada ćemo naučiti kako odrediti LCM kroz GCD. Idemo prvo shvatiti kako to učiniti za pozitivne brojeve.
Definicija 1
Najmanji zajednički višekratnik možete pronaći u smislu najvećeg zajedničkog djelitelja po formuli LCM (a, b) = a b: GCD (a, b).
Primjer 1
Pronađite LCM brojeve 126 i 70.
Riješenje
Uzmimo a = 126, b = 70. Zamijenite vrijednosti u formulu za izračun najmanjeg zajedničkog višekratnika kroz najveći zajednički djelitelj LCM (a, b) = a b: GCD (a, b).
Pronalazi gcd brojeva 70 i 126. Da bismo to učinili, trebamo Euklidov algoritam: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, dakle, GCD (126 , 70) = 14 .
Izračunavamo LCM: LCM (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.
Odgovor: LCM (126, 70) = 630.
Primjer 2
Pronađite kucanje brojeva 68 i 34.
Riješenje
GCD u ovaj slučaj Nije teško, jer je 68 djeljivo sa 34. Najmanji zajednički višekratnik izračunavamo pomoću formule: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.
Odgovor: LCM (68, 34) = 68.
U ovom primjeru koristili smo pravilo pronalaženja najmanjeg zajedničkog višekratnika za pozitivne cijele brojeve a i b: ako je prvi broj djeljiv s drugim, LCM ovih brojeva bit će jednak prvom broju.
Pronalaženje LCM-a razlaganjem brojeva u proste faktore
Pogledajmo sada način pronalaženja LCM-a, koji se temelji na faktoriranju brojeva u proste faktore.
Definicija 2
Da bismo pronašli najmanji zajednički višekratnik, moramo izvršiti nekoliko jednostavnih koraka:
- sastaviti proizvod svih primarni faktori brojevi za koje trebamo pronaći LCM;
- iz dobivenih proizvoda isključujemo sve primarne faktore;
- umnožak dobiven nakon eliminacije zajedničkih prostih faktora bit će jednak LCM-u ovih brojeva.
Ova metoda pronalaženja najmanjeg zajedničkog višekratnika temelji se na jednakosti LCM (a, b) = a b: GCD (a, b). Ako pogledate formulu, postaje jasno: umnožak brojeva a i b jednak je umnošku svih čimbenika koji sudjeluju u razgradnji ova dva broja. U ovom slučaju, GCD dvaju brojeva jednak je umnošku svih prostih čimbenika koji su istovremeno prisutni u faktorizaciji ta dva broja.
Primjer 3
Imamo dva broja, 75 i 210. Možemo ih faktorirati na sljedeći način: 75 = 3 5 5 i 210 = 2 3 5 7... Ako sastavite umnožak svih faktora dva izvorna broja, dobit ćete: 2 3 3 5 5 5 7.
Ako izuzmemo faktore 3 i 5 zajedničke za oba broja, dobit ćemo umnožak sljedećeg oblika: 2 3 5 5 7 = 1050... Ovaj proizvod će biti naš LCM za brojeve 75 i 210.
Primjer 4
Pronađite LCM brojeva 441 i 700 proširivanjem oba broja u proste faktore.
Riješenje
Nađimo sve proste faktore brojeva danih u uvjetu:
441 147 49 7 1 3 3 7 7
700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7
Dobivamo dva lanca brojeva: 441 = 3 · 3 · 7 · 7 i 700 = 2 · 2 · 5 · 5 · 7.
Umnožak svih čimbenika koji su sudjelovali u dekompoziciji ovih brojeva imat će oblik: 2 2 3 3 5 5 7 7 7... Pronađite zajedničke čimbenike. Ovaj broj je 7. Isključimo to iz općeg rada: 2 2 3 3 5 5 7 7... Ispada da je NOO (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.
Odgovor: LCM (441, 700) = 44 100.
Navedimo još jednu formulaciju metode za pronalaženje LCM-a razlaganjem brojeva na proste faktore.
Definicija 3
Prethodno smo isključili iz ukupnog broja čimbenika koji su zajednički za oba broja. Sada ćemo to učiniti drugačije:
- oba broja rastavljamo na proste faktore:
- zbroji čimbenike koji nedostaju drugog broja umnošku prostih faktora prvog broja;
- dobivamo proizvod, koji će biti željeni LCM od dva broja.
Primjer 5
Vratimo se na brojeve 75 i 210, za koje smo već tražili LCM u jednom od prethodnih primjera. Razložimo ih na primarne faktore: 75 = 3 5 5 i 210 = 2 3 5 7... Na umnožak faktora 3, 5 i 5 broju 75 dodaj faktore koji nedostaju 2 i 7 broj 210. dobivamo: 2 · 3 · 5 · 5 · 7. Ovo je LCM brojeva 75 i 210.
Primjer 6
Izračunaj LCM brojeva 84 i 648.
Riješenje
Razložimo brojeve iz uvjeta na proste faktore: 84 = 2 2 3 7 i 648 = 2 2 2 3 3 3 3... Dodajte u proizvod faktore 2, 2, 3 i 7
broj 84 nedostaju faktori 2, 3, 3 i
3
broj 648. Dobijamo posao 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. Ovo je najmanji zajednički višekratnik 84 i 648.
Odgovor: LCM (84,648) = 4,536.
Pronalaženje LCM-a tri ili više brojeva
Bez obzira na to s koliko brojeva imamo posla, algoritam naših radnji uvijek će biti isti: sekvencijalno ćemo pronaći LCM dvaju brojeva. Za ovaj slučaj postoji teorem.
Teorem 1
Pretpostavimo da imamo cijele brojeve a 1, a 2,…, a k... NOO m k ovih brojeva nalazi se sekvencijalnim izračunom m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3),..., m k = LCM (m k - 1, a k).
Pogledajmo sada kako se teorem može primijeniti na specifične probleme.
Primjer 7
Izračunajte najmanji zajednički višekratnik četiri broja 140, 9, 54 i 250 .
Riješenje
Uvedemo oznaku: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.
Počnimo s izračunom m 2 = LCM (a 1, a 2) = LCM (140, 9). Za izračunavanje GCD brojeva 140 i 9 primjenjujemo Euklidov algoritam: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Dobivamo: GCD (140, 9) = 1, LCM (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1 260. Prema tome, m 2 = 1,260.
Sada izračunavamo po istom algoritmu m 3 = LCM (m 2, a 3) = LCM (1 260, 54). Tijekom izračuna dobivamo m 3 = 3 780.
Ostaje nam izračunati m 4 = LCM (m 3, a 4) = LCM (3 780, 250). Pratimo isti algoritam. Dobivamo m 4 = 94 500.
LCM od četiri broja iz primjera uvjeta je 94500.
Odgovor: LCM (140, 9, 54, 250) = 94 500.
Kao što vidite, izračuni su jednostavni, ali prilično naporni. Da biste uštedjeli vrijeme, možete ići drugim putem.
Definicija 4
Nudimo vam sljedeći algoritam radnji:
- rastaviti sve brojeve na proste faktore;
- umnošku faktora prvog broja dodaj čimbenike koji nedostaju iz umnoška drugog broja;
- dodajte faktore trećeg broja koji nedostaju proizvodu dobivenom u prethodnoj fazi, itd .;
- rezultirajući umnožak bit će najmanji zajednički višekratnik svih brojeva iz uvjeta.
Primjer 8
Potrebno je pronaći LCM od pet brojeva 84, 6, 48, 7, 143.
Riješenje
Razložimo svih pet brojeva na proste faktore: 84 = 2 · 2 · 3 · 7, 6 = 2 · 3, 48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3, 7, 143 = 11 · 13. Prosti brojevi, a to je broj 7, ne mogu se rastaviti na proste faktore. Takvi se brojevi poklapaju s njihovom pra faktorizacijom.
Sada uzmite umnožak prostih faktora 2, 2, 3 i 7 od 84 i dodajte im faktore koji nedostaju drugog broja. Podijelimo broj 6 na 2 i 3. Ovi faktori su već u umnošku prvog broja. Stoga ih izostavljamo.
Nastavljamo dodavati čimbenike koji nedostaju. Prelazimo na broj 48, od umnoška prostih faktora od kojih uzimamo 2 i 2. Zatim dodajte prosti faktor 7 četvrtog broja i faktore 11 i 13 za peti. Dobivamo: 2 · 2 · 2 · 3 · 7 · 11 · 13 = 48.048. Ovo je najmanji zajednički višekratnik od pet izvornih brojeva.
Odgovor: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48,048.
Pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika negativnih brojeva
Da bi se pronašao najmanji zajednički višekratnik negativnih brojeva, te brojeve prvo treba zamijeniti brojevima suprotnog predznaka, a zatim izvršiti izračune pomoću gore navedenih algoritama.
Primjer 9
LCM (54, - 34) = LCM (54, 34) i LCM (- 622, - 46, - 54, - 888) = LCM (622, 46, 54, 888).
Takvi postupci su dopušteni zbog činjenice da ako to prihvatimo a i - a- suprotni brojevi,
zatim skup višekratnika a odgovara skupu višekratnika - a.
Primjer 10
Potrebno je izračunati LCM negativnih brojeva − 145 i − 45 .
Riješenje
Zamijenimo brojeve − 145 i − 45 na suprotnim brojevima 145 i 45 ... Sada, koristeći algoritam, izračunavamo LCM (145, 45) = 145 45: GCD (145, 45) = 145 45: 5 = 1 305, nakon što smo prethodno odredili GCD prema Euklidovom algoritmu.
Dobili smo da je LCM brojeva 145 i − 45 jednaki 1 305 .
Odgovor: LCM (- 145, - 45) = 1.305.
Ako primijetite grešku u tekstu, odaberite je i pritisnite Ctrl + Enter
