Da biste dio izrazili u razlomcima cjeline, trebate dio podijeliti u cjelinu.
Cilj 1. U razredu je 30 učenika, četiri nedostaju. Koliko učenika nedostaje?
Riješenje:
Odgovor: u razredu nema učenika.
Pronalaženje razlomka broja
Za rješavanje problema u kojima je potrebno pronaći dio cjeline vrijedi sljedeće pravilo:
Ako je dio cjeline izražen kao razlomak, tada da biste pronašli ovaj dio, možete podijeliti cjelinu s nazivnikom razlomka i rezultat pomnožiti s brojnikom.
Cilj 1. Bilo je 600 rubalja, ovaj iznos je potrošen. Koliko ste novca potrošili?
Riješenje: da biste pronašli od 600 rubalja, ovaj iznos morate podijeliti na 4 dijela, čime ćemo saznati koliko je novca jedna četvrtina:
600: 4 = 150 (str.)
Odgovor: potrošio 150 rubalja.
Cilj 2. Bilo je 1000 rubalja, ovaj iznos je potrošen. Koliko je novca potrošeno?
Riješenje: iz uvjeta problema znamo da se 1000 rubalja sastoji od pet jednakih dijelova. Prvo saznajemo koliko je rubalja jedna petina od 1000, a zatim saznajemo koliko je rubalja dvije petine:
1) 1000: 5 = 200 (str.) - jedna petina.
2) 200 2 = 400 (str.) - dvije petine.
Ove dvije radnje mogu se kombinirati: 1000: 5 2 = 400 (str.).
Odgovor: Potrošeno je 400 rubalja.
Drugi način pronalaženja dijela cjeline:
Da biste pronašli dio cjeline, možete cjelinu pomnožiti s razlomkom koji izražava taj dio cjeline.
Cilj 3. Prema statutu zadruge, da bi izvještajni sastanak bio valjan, na njemu moraju biti nazočni najmanje članovi organizacije. Zadruga broji 120 članova. U kojem se sastavu može održati izvještajni sastanak?
Riješenje: 
Odgovor: izvještajni sastanak može se održati ako ima 80 članova organizacije.
Pronalaženje broja po njegovom razlomku
Za rješavanje problema u kojima je potrebno pronaći cjelinu po svom dijelu vrijedi sljedeće pravilo:
Ako je dio željenog cijelog broja izražen kao razlomak, tada da biste pronašli ovu cjelinu, ovaj dio možete podijeliti brojnikom razlomka i rezultat pomnožiti s nazivnikom.
Cilj 1. Potrošili smo 50 rubalja, što je bilo jednako izvornom iznosu. Pronađite izvorni iznos novca.
Riješenje: iz opisa problema vidimo da je 50 rubalja 6 puta manje od početnog iznosa, odnosno da je početni iznos 6 puta veći od 50 rubalja. Da biste pronašli ovaj iznos, trebate pomnožiti 50 sa 6:
50 6 = 300 (str.)
Odgovor: početni iznos je 300 rubalja.
Cilj 2. Potrošili smo 600 rubalja, što je bilo jednako početnom iznosu novca. Pronađite izvorni iznos.
Riješenje: pretpostavit ćemo da se traženi broj sastoji od tri treća dijela. Prema uvjetu, dvije trećine broja je jednako 600 rubalja. Prvo nalazimo jednu trećinu izvornog iznosa, a zatim koliko je rubalja tri trećine (izvorni iznos):
1) 600: 2 3 = 900 (str.)
Odgovor: početni iznos je 900 rubalja.
Drugi način pronalaženja cjeline po svom dijelu:
Da biste pronašli cjelinu po vrijednosti dijela koji je izražava, ovu vrijednost možete podijeliti s razlomkom koji izražava ovaj dio.
Cilj 3. Odjeljak AB jednaka 42 cm je duljina segmenta CD... Pronađite duljinu odsječka linije CD.
Riješenje: 
Odgovor: duljina segmenta CD 70 cm.
Zadatak 4. Donijeli su lubenice u dućan. Prije ručka trgovina je prodala, nakon ručka - donesene lubenice, a ostalo je prodati 80 lubenica. Koliko je lubenica ukupno doneseno u dućan?
Riješenje: najprije saznamo koliki je dio donesenih lubenica broj 80. Da bismo to učinili, uzmimo ukupan broj donesenih lubenica kao jedinicu i od njega oduzmemo broj lubenica koje smo uspjeli prodati (prodati):
I tako, saznali smo da 80 lubenica čini ukupan broj uvezenih lubenica. Sada saznajemo koliko je lubenica od ukupne količine, a zatim koliko je lubenica (broj donesenih lubenica):
2) 80: 4 15 = 300 (lubenice)
Odgovor: ukupno je u dućan doneseno 300 lubenica.
Sadržaj lekcijeZbrajanje razlomaka s istim nazivnikom
Postoje dvije vrste zbrajanja razlomaka:
- Zbrajanje razlomaka s istim nazivnicima;
- Zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima.
Najprije naučimo zbrajati razlomke s istim nazivnikom. Ovdje je sve jednostavno. Da biste zbrojili razlomke s istim nazivnikom, zbrojite njihove brojnike i ostavite nazivnik nepromijenjen.
Na primjer, poradimo s razlomcima i. Dodajte brojnike i ostavite nazivnik nepromijenjen:
Ovaj primjer možete lako razumjeti ako razmislite o pizzi koja je podijeljena na četiri dijela. Ako pizzi dodate pizze, dobit ćete pizze:
Primjer 2. Dodajte razlomke i.
Odgovor je netočan razlomak. Ako dođe kraj problema, uobičajeno je da se riješite netočnih razlomaka. Da biste se riješili netočnog razlomka, morate odabrati cijeli dio u njemu. U našem slučaju, cijeli dio se lako razlikuje - dva podijeljena na dva bit će jedan:
Ovaj primjer možete lako razumjeti ako razmislite o pizzi koja je podijeljena na dva dijela. Ako pizzi dodate pizzu, dobit ćete jednu cijelu pizzu:
Primjer 3... Dodajte razlomke i.
Opet zbrojite brojnike, a nazivnik ostavite nepromijenjen:
Ovaj primjer možete lako razumjeti ako razmislite o pizzi koja je podijeljena na tri dijela. Ako pizzi dodate pizzu, dobit ćete pizzu:
Primjer 4. Pronađite vrijednost izraza 
Ovaj primjer rješava se na isti način kao i prethodni. Moraju se zbrojiti brojnici, a nazivnik mora ostati nepromijenjen:
Pokušajmo dočarati naše rješenje pomoću slike. Ako pizzi dodate pizze, a pizzi dodate pizze, dobivate 1 cijelu i više pizze.
Kao što vidite, nema ništa teško u zbrajanju razlomaka s istim nazivnicima. Dovoljno je razumjeti sljedeća pravila:
- Da biste zbrojili razlomke s istim nazivnicima, trebate zbrojiti njihove brojnike, a nazivnik ostaviti nepromijenjen;
Zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima
Sada ćemo naučiti kako zbrajati razlomke s različitim nazivnicima. Prilikom zbrajanja razlomaka nazivnici tih razlomaka trebaju biti isti. Ali nisu uvijek isti.
Na primjer, možete zbrajati i razlomke jer imaju iste nazivnike.
Ali razlomci se ne mogu odmah zbrajati, jer ti razlomci imaju različite nazivnike. U takvim slučajevima, razlomci se moraju svesti na isti (zajednički) nazivnik.
Postoji nekoliko načina da se razlomci dovedu u isti nazivnik. Danas ćemo razmotriti samo jednu od njih, budući da se ostale metode početniku mogu činiti teškim.
Bit ove metode je da se najprije traži (LCM) za nazivnike oba razlomka. Zatim se LCM podijeli s nazivnikom prvog razlomka i dobije se prvi dodatni faktor. Učinite isto s drugim razlomkom - LCM se podijeli nazivnikom drugog razlomka i dobije se drugi dodatni faktor.
Tada se brojnici i nazivnici razlomaka množe s njihovim dodatnim faktorima. Kao rezultat ovih radnji, razlomci s različitim nazivnicima pretvaraju se u razlomke s istim nazivnicima. I već znamo kako zbrajati takve razlomke.
Primjer 1... Dodajte razlomke i
Prije svega, nalazimo najmanji zajednički višekratnik nazivnika oba razlomka. Nazivnik prvog razlomka je 3, a nazivnik drugog razlomka je 2. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 6
LCM (2 i 3) = 6
Sada se vraćamo na razlomke i. Najprije podijelite LCM s nazivnikom prvog razlomka i dobijete prvi dodatni faktor. LCM je broj 6, a nazivnik prvog razlomka je broj 3. Podijelimo 6 sa 3, dobivamo 2.
Rezultirajući broj 2 je prvi dodatni faktor. Zapisujemo ga na prvi razlomak. Da biste to učinili, napravite malu kosu crtu iznad razlomka i napišite dodatni faktor koji se nalazi iznad njega:
Isto radimo s drugim razlomkom. LCM podijelimo nazivnikom drugog razlomka i dobijemo drugi dodatni faktor. LCM je broj 6, a nazivnik drugog razlomka je broj 2. Podijelimo 6 sa 2, dobivamo 3.
Rezultirajući broj 3 je drugi dodatni faktor. Zapisujemo ga na drugi razlomak. Opet, nacrtamo malu kosu liniju iznad drugog razlomka i zapišemo dodatni faktor koji se nalazi iznad njega:
Sada smo spremni za dodavanje. Ostaje pomnožiti brojnike i nazivnike razlomaka s vašim dodatnim faktorima:
Pogledajte pomno do čega smo došli. Došli smo do zaključka da se razlomci s različitim nazivnicima pretvaraju u razlomke s istim nazivnicima. I već znamo kako zbrajati takve razlomke. Završimo ovaj primjer do kraja:
Tako se primjer završava. Ispada dodati.
Pokušajmo dočarati naše rješenje pomoću slike. Ako pizzi dodate pizzu, dobijete jednu cijelu pizzu i još jednu šestu pizzu:
Svođenje razlomaka na isti (zajednički) nazivnik također se može prikazati slikom. Svodeći razlomke i na zajednički nazivnik, dobili smo razlomke i. Ove dvije frakcije bit će predstavljene istim kriškama pizze. Jedina razlika je u tome što će se ovaj put podijeliti na jednake udjele (svedene na isti nazivnik).
Prva slika prikazuje razlomak (četiri od šest komada), a druga slika prikazuje razlomak (tri od šest komada). Stavljajući ove dijelove zajedno dobivamo (sedam komada od šest). Ovaj razlomak je netočan, pa smo u njemu odabrali cijeli dio. Kao rezultat, dobili smo (jednu cijelu pizzu i još jednu šestu pizzu).
Imajte na umu da smo ovaj primjer opisali previše detalja. U obrazovnim ustanovama nije uobičajeno pisati na tako detaljan način. Morate biti u mogućnosti brzo pronaći LCM za oba nazivnika i dodatne faktore uz njih, kao i brzo pomnožiti pronađene dodatne faktore svojim brojnicima i nazivnicima. Dok smo bili u školi, morali bismo ovaj primjer napisati na sljedeći način:
Ali postoji i loša strana novčića. Ako u prvim fazama studija matematike ne pišete detaljne bilješke, tada se počinju pojavljivati takva pitanja “Odakle taj broj?” “Zašto se razlomci odjednom pretvaraju u potpuno različite razlomke? «.
Da biste olakšali zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima, možete koristiti sljedeće upute korak po korak:
- Nađi LCM nazivnika razlomaka;
- Podijelite LCM nazivnikom svakog razlomka i dobijete dodatni faktor za svaki razlomak;
- Pomnožite brojnike i nazivnike razlomaka s vašim dodatnim faktorima;
- Dodajte razlomke koji imaju isti nazivnik;
- Ako se pokaže da je odgovor netočan razlomak, odaberite cijeli njegov dio;
Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza 
.
Koristimo se gornjim uputama.
Korak 1. Pronađite LCM nazivnika razlomaka
Nađi LCM nazivnika oba razlomka. Nazivnici razlomaka su brojevi 2, 3 i 4.
Korak 2. Podijelite LCM nazivnikom svakog razlomka i dobijete dodatni faktor za svaki razlomak
LCM dijelimo nazivnikom prvog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik prvog razlomka je broj 2. Podijelimo 12 s 2, dobijemo 6. Dobili smo prvi dodatni faktor 6. Zapisujemo ga preko prvog razlomka:
Sada LCM dijelimo nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik drugog razlomka je broj 3. Podijelimo 12 sa 3, dobićemo 4. Dobili smo drugi dodatni faktor 4. Zapisujemo ga preko drugog razlomka:
Sada dijelimo LCM s nazivnikom trećeg razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik trećeg razlomka je broj 4. Podijelimo 12 s 4, dobijemo 3. Dobili smo treći dodatni faktor 3. Zapisujemo ga preko trećeg razlomka:
Korak 3. Pomnožite brojnike i nazivnike razlomaka s vašim dodatnim faktorima
Brojnike i nazivnike množimo našim dodatnim faktorima:
Korak 4. Dodajte razlomke s istim nazivnikom
Došli smo do zaključka da su se razlomci s različitim nazivnicima pretvorili u razlomke s istim (zajedničkim) nazivnicima. Ostaje dodati ove razlomke. Mi dodajemo:
Dodatak nije stao u jedan redak, pa smo preostali izraz premjestili u sljedeći redak. To je dopušteno u matematici. Kada izraz ne stane u jedan redak, on se prenosi u sljedeći redak i uvijek morate staviti znak jednakosti (=) na kraj prvog retka i na početak novog retka. Znak jednakosti u drugom retku označava da je ovo nastavak izraza koji je bio u prvom retku.
Korak 5. Ako se pokaže da je odgovor netočan razlomak, odaberite cijeli dio u njemu
Dobili smo pogrešan razlomak u našem odgovoru. Iz njega moramo odabrati cijeli dio. Istaknite:
Dobio odgovor
Oduzimanje razlomaka s istim nazivnikom
Postoje dvije vrste oduzimanja razlomaka:
- Oduzimanje razlomaka s istim nazivnikom
- Oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima
Prvo, proučimo oduzimanje razlomaka s istim nazivnikom. Ovdje je sve jednostavno. Da biste oduzeli drugi od jednog razlomka, trebate oduzeti brojnik drugog razlomka od brojnika prvog razlomka, a nazivnik ostaviti isti.
Na primjer, pronađimo vrijednost izraza. Da biste riješili ovaj primjer, oduzmite brojnik drugog razlomka od brojnika prvog razlomka, a nazivnik ostavite nepromijenjen. Pa napravimo to:
Ovaj primjer možete lako razumjeti ako razmislite o pizzi koja je podijeljena na četiri dijela. Ako od pizze izrežete pizze, dobit ćete pizze:
Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza.
Ponovno oduzmite brojnik drugog razlomka od brojnika prvog razlomka i ostavite nazivnik nepromijenjen:
Ovaj primjer možete lako razumjeti ako razmislite o pizzi koja je podijeljena na tri dijela. Ako od pizze izrežete pizze, dobit ćete pizze:
Primjer 3. Pronađite vrijednost izraza 
Ovaj primjer rješava se na isti način kao i prethodni. Od brojnika prvog razlomka trebate oduzeti brojnike preostalih razlomaka:
Kao što vidite, nema ništa teško u oduzimanju razlomaka s istim nazivnicima. Dovoljno je razumjeti sljedeća pravila:
- Da biste oduzeli drugi od jednog razlomka, trebate oduzeti brojnik drugog razlomka od brojnika prvog razlomka, a nazivnik ostaviti nepromijenjen;
- Ako se pokaže da je odgovor netočan razlomak, tada morate odabrati cijeli dio u njemu.
Oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima
Na primjer, možete oduzeti razlomak od razlomka, jer ti razlomci imaju isti nazivnik. Ali ne možete oduzeti razlomak od razlomka, budući da ti razlomci imaju različite nazivnike. U takvim slučajevima, razlomci se moraju svesti na isti (zajednički) nazivnik.
Zajednički nazivnik nalazimo prema istom principu koji smo koristili pri zbrajanju razlomaka s različitim nazivnicima. Prije svega, pronađite LCM nazivnika oba razlomka. Zatim se LCM podijeli nazivnikom prvog razlomka i dobije se prvi dodatni faktor koji se zapisuje preko prvog razlomka. Slično, LCM se podijeli nazivnikom drugog razlomka i dobije se drugi dodatni faktor koji se zapisuje preko drugog razlomka.
Razlomci se zatim množe s njihovim dodatnim faktorima. Kao rezultat ovih operacija, razlomci s različitim nazivnicima pretvaraju se u razlomke s istim nazivnicima. Takve razlomke već znamo oduzeti.
Primjer 1. Pronađite vrijednost izraza:
Ti razlomci imaju različite nazivnike, pa ih morate dovesti u isti (zajednički) nazivnik.
Prvo, nalazimo LCM nazivnika oba razlomka. Nazivnik prvog razlomka je 3, a nazivnik drugog razlomka 4. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 12
LCM (3 i 4) = 12
Sada se vratimo na razlomke i
Nađimo dodatni faktor za prvi razlomak. Da bismo to učinili, LCM podijelimo nazivnikom prvog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik prvog razlomka je broj 3. Podijelimo 12 s 3, dobićemo 4. Napiši četiri preko prvog razlomka:
Isto radimo s drugim razlomkom. LCM dijelimo nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik drugog razlomka je broj 4. Podijelimo 12 sa 4, dobićemo 3. Napiši tri preko drugog razlomka:
Sada smo spremni za oduzimanje. Ostaje pomnožiti razlomke s njihovim dodatnim faktorima:
Došli smo do zaključka da se razlomci s različitim nazivnicima pretvaraju u razlomke s istim nazivnicima. Takve razlomke već znamo oduzeti. Završimo ovaj primjer do kraja:
Dobio odgovor
Pokušajmo dočarati naše rješenje pomoću slike. Ako od pizze izrežete pizzu, dobijete pizzu
Ovo je detaljna verzija rješenja. U školi bismo ovaj primjer morali riješiti na kraći način. Takvo rješenje bi izgledalo ovako:
Smanjenje razlomaka i na zajednički nazivnik također se može prikazati pomoću slike. Dovodeći ove razlomke na zajednički nazivnik, dobili smo razlomke i. Ti razlomci bit će predstavljeni istim kriškama pizze, ali ovaj put će biti podijeljeni na jednake dijelove (svedene na isti nazivnik):
Prvi crtež prikazuje razlomak (osam od dvanaest komada), a drugi crtež prikazuje razlomak (tri od dvanaest komada). Odrezavši tri komada od osam komada, dobivamo pet komada od dvanaest. Razlomak i opisuje ovih pet komada.
Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza 
Ti razlomci imaju različite nazivnike, pa ih prvo trebate dovesti do istog (zajedničkog) nazivnika.
Nađimo LCM nazivnika tih razlomaka.
Nazivnici razlomaka su 10, 3 i 5. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 30
LCM (10, 3, 5) = 30
Sada ćemo pronaći dodatne faktore za svaki razlomak. Da bismo to učinili, LCM podijelimo nazivnikom svakog razlomka.
Nađimo dodatni faktor za prvi razlomak. LCM je broj 30, a nazivnik prvog razlomka je 10. Podijelite 30 s 10, dobivamo prvi dodatni faktor 3. Zapisujemo ga preko prvog razlomka:
Sada nalazimo dodatni faktor za drugi razlomak. LCM podijelite nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 30, a nazivnik drugog razlomka je broj 3. Podijelimo 30 s 3, dobivamo drugi dodatni faktor 10. Zapisujemo ga preko drugog razlomka:
Sada nalazimo dodatni faktor za treći razlomak. LCM podijelite nazivnikom trećeg razlomka. LCM je broj 30, a nazivnik trećeg razlomka je 5. Podijelite 30 s 5, dobit ćemo treći dodatni faktor 6. Zapisujemo ga preko trećeg razlomka:
Sve je sada spremno za oduzimanje. Ostaje pomnožiti razlomke s njihovim dodatnim faktorima:
Došli smo do zaključka da su se razlomci s različitim nazivnicima pretvorili u razlomke s istim (zajedničkim) nazivnicima. Takve razlomke već znamo oduzeti. Završimo ovaj primjer.
Nastavak primjera neće stati u jedan redak pa nastavak prenosimo u sljedeći redak. Ne zaboravite na znak jednakosti (=) na novom retku:
U odgovoru smo dobili točan razlomak, i čini se da nam sve odgovara, ali je preglomazno i ružno. Trebali smo to olakšati. Što može biti učinjeno? Možete skratiti ovaj razlomak.
Da biste smanjili razlomak, trebate njegov brojnik i nazivnik podijeliti s (GCD) brojevima 20 i 30.
Dakle, nalazimo GCD brojeva 20 i 30:
Sada se vraćamo na naš primjer i dijelimo brojnik i nazivnik razlomka s pronađenim GCD, odnosno s 10
Dobio odgovor
Množenje razlomka brojem
Da biste razlomak pomnožili brojem, trebate pomnožiti brojnik ovog razlomka s ovim brojem, a nazivnik ostaviti nepromijenjen.
Primjer 1... Pomnožite razlomak s 1.
Brojnik razlomka pomnožite s 1
Snimanje se može shvatiti kao uzimanje pola 1 puta. Na primjer, ako uzmete pizze 1 put, dobit ćete pizze
Iz zakona množenja znamo da ako se množitelj i faktor obrnu, onda se umnožak neće promijeniti. Ako je izraz napisan kao, tada će proizvod i dalje biti jednak. Opet funkcionira pravilo za množenje cijelog broja i razlomka:
Ovaj zapis se može shvatiti kao uzimanje polovice jednog. Na primjer, ako postoji 1 cijela pizza i uzmemo polovicu, tada ćemo imati pizzu:
Primjer 2... Pronađite vrijednost izraza
Pomnožite brojnik vašeg razlomka sa 4
Odgovor je netočan razlomak. Odaberimo cijeli dio u njemu:
Izraz se može shvatiti kao uzimanje dvije četvrtine 4 puta. Na primjer, ako uzmete pizze 4 puta, dobit ćete dvije cijele pizze.
A ako zamijenimo množitelj i množitelj na mjestima, dobivamo izraz. Također će biti jednako 2. Ovaj izraz se može shvatiti kao uzimanje dvije pizze od četiri cijele pizze:
Broj koji se množi razlomkom i nazivnik razlomka dopušten je ako imaju zajednički faktor veći od jedan.
Na primjer, izraz se može procijeniti na dva načina.
Prvi način... Pomnožite 4 s brojnikom razlomka, a nazivnik razlomka ostavite nepromijenjen:
Drugi način... Pomnoženo četiri i četiri u nazivniku razlomka može se poništiti. Ove četvorke možete poništiti za 4, budući da je najveći zajednički djelitelj za dvije četvorke sama četvorka:
Dobiven je isti rezultat 3. Nakon smanjenja četvorki na njihovom mjestu se formiraju novi brojevi: dva jedinica. Ali množenjem jedan s tri, a zatim dijeljenjem s jednim, ništa se ne mijenja. Dakle, rješenje se može napisati kraće:
Smanjenje se može izvesti čak i kada smo odlučili koristiti prvu metodu, ali u fazi množenja broja 4 i brojnika 3 odlučili smo se za smanjenje:
Ali, na primjer, izraz se može izračunati samo na prvi način - pomnožite 7 s nazivnikom razlomka i ostavite nazivnik nepromijenjen:
To je zbog činjenice da broj 7 i nazivnik razlomka nemaju zajednički djelitelj, veći od jedan, i, prema tome, ne poništavaju se.
Neki učenici pogrešno skraćuju broj množenja i brojnik razlomka. To se ne može učiniti. Na primjer, sljedeće nije točno:
Smanjenje razlomaka podrazumijeva da te brojnik i nazivnik bit će podijeljena istim brojem. U situaciji s izrazom, dijeljenje se vrši samo u brojniku, jer je zapisivanje isto što i zapisivanje. Vidimo da se dijeljenje vrši samo u brojniku, a u nazivniku ne dolazi do dijeljenja.
Množenje razlomaka
Da biste pomnožili razlomke, morate pomnožiti njihove brojnike i nazivnike. Ako se pokaže da je odgovor netočan razlomak, u njemu morate odabrati cijeli dio.
Primjer 1. Pronađite vrijednost izraza.
Dobili smo odgovor. Poželjno je skratiti ovu frakciju. Razlomak se može smanjiti za 2. Tada će konačna odluka imati sljedeći oblik:
Izraz se može shvatiti kao uzimanje pizze od polovice pizze. Recimo da imamo pola pizze:
Kako dobiti dvije trećine ove polovice? Prvo morate ovu polovicu podijeliti na tri jednaka dijela:
I uzmi dva od ova tri komada:
Napravit ćemo pizzu. Zapamtite kako pizza izgleda kada je podijeljena na tri dijela:
Jedna kriška ove pizze i dvije kriške koje smo uzeli imat će iste dimenzije:
Drugim riječima, govorimo o istoj veličini pizze. Stoga je vrijednost izraza
Primjer 2... Pronađite vrijednost izraza
Brojnik prvog razlomka množimo brojnikom drugog razlomka, a nazivnik prvog razlomka nazivnikom drugog razlomka:
Odgovor je netočan razlomak. Odaberimo cijeli dio u njemu:
Primjer 3. Pronađite vrijednost izraza
Brojnik prvog razlomka množimo brojnikom drugog razlomka, a nazivnik prvog razlomka nazivnikom drugog razlomka:
Odgovor je točan razlomak, ali bit će dobro ako ga smanjite. Da biste smanjili ovaj razlomak, trebate podijeliti brojnik i nazivnik ovog razlomka s najvećim zajedničkim djeliteljem (GCD) od 105 i 450.
Dakle, pronađimo GCD brojeva 105 i 450:
Sada dijelimo brojnik i nazivnik našeg odgovora na GCD, koji smo sada pronašli, to jest, sa 15
Razlomak cijelog broja
Bilo koji cijeli broj može se predstaviti kao razlomak. Na primjer, broj 5 može se predstaviti kao. Iz ovoga pet neće promijeniti svoju vrijednost, jer izraz znači "broj pet podijeljen s jednim", a ovo je, kao što znate, jednako pet:
Obrnuti brojevi
Sada ćemo se upoznati s vrlo zanimljivom temom iz matematike. Zove se "povratni brojevi".
Definicija. Inverzni broja je broj koji, kada se pomnoži saa daje jedan.
Zamijenimo u ovoj definiciji umjesto varijable a broj 5 i pokušajte pročitati definiciju:
Inverzni broj 5 je broj koji, kada se pomnoži sa 5 daje jedan.
Možete li pronaći broj koji, kada se pomnoži s 5, daje jedan? Ispostavilo se da možete. Predstavimo pet kao razlomak:
Zatim pomnožite ovaj razlomak sam po sebi, samo promijenite mjesta brojnika i nazivnika. Drugim riječima, množimo razlomak sam po sebi, samo obrnuto:
Što će biti rezultat ovoga? Ako nastavimo rješavati ovaj primjer, dobit ćemo jedan:
To znači da je inverz od 5 broj, jer kada se 5 pomnoži s, dobiva se jedan.
Recipročna vrijednost se također može naći za bilo koji drugi cijeli broj.
Također možete pronaći recipročnu vrijednost za bilo koji drugi razlomak. Da biste to učinili, samo ga okrenite.
Dijeljenje razlomka brojem
Recimo da imamo pola pizze:
Podijelimo ga na dva dijela. Koliko će svaki dobiti pizze?
Vidi se da nakon cijepanja polovice pizze postoje dvije jednake kriške od kojih svaka čini pizzu. Tako svi dobivaju pizzu.
Ciljevi lekcije:
- Promicati razvoj vještina uspoređivanja razlomaka,
- zbrajanja i oduzimanja razlomaka s različitim nazivnicima,
- Učvrstiti znanje o pronalaženju najmanjeg zajedničkog višekratnika brojeva.
Danas na satu nastavljamo s radom na temi “Zbrajanje i oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima”.
Ovo je naša druga lekcija na tu temu, imat ćete cilj:
Ako smo se u prvoj lekciji bavili razlomcima čiji su nazivnici međusobno prosti ili višekratnici, danas je naš zadatak postao kompliciraniji, za neke ćemo slučajeve morati pronaći zajednički nazivnik tako što ćemo nazivnike proširiti u proste faktore prema pravilu za pronalaženje LCM-a.
Na kraju lekcije trebali biste se upoznati s pravilom:
kako se zbrajaju razlomci s različitim nazivnicima i kako to pravilo primijeniti pri rješavanju zadataka.
Nakon 3 lekcije slijedi test u kojem će biti zadaci kojima se provjerava kako ste naučili temu. Na testu će biti 2 zadatka na našu temu: treći zadatak - zbrajanje i oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima i četvrti zadatak: rješavanje zadatka za primjenu pravila. Dakle, danas radimo zadatke za standard.
1. a) Radimo usmeno.
| 42 | 48 | 6 |
| 36 | 54 | 12 |
| 30 | 24 | 18 |
Pažljivo pogledajte ovaj pravokutnik i pokušajte se sjetiti položaja brojeva, možda ćete primijetiti neki uzorak.
Sada pokušajte vratiti ove brojeve u skicu.
Tko se sjetio kojih brojeva?
Kako ste mogli dobro zapamtiti lokaciju ovih brojeva?
(Brojevi koji su višestruki od 6 su u rastućem redoslijedu u smjeru kazaljke na satu, počevši od pravokutnika u gornjem desnom kutu)
Ponovimo usporedbu razlomaka s različitim nazivnicima i s jednakim brojnicima.
Usporedi sljedeće razlomke:; ...
Rasporedite ih uzlaznim redoslijedom.
b) Pažljivo pogledajte sljedeći red brojeva:
16, 10, 8, , 2007, 1961.
Koliko je brojeva ukupno napisano?
Koliko parnih brojeva? Imenujte ih.
Koji je treći broj?
Drugi broj s kraja.
Troznamenkasti broj.
Višekratnik od 5.
Višestruko 10
Višestruko od 3.
Djeljivo s 9 Čemu služi slavni broj 1961?
Koji se broj razlikuje od ostalih, odnosno ne uklapa se u niz brojeva?
Je li ovaj razlomak točan ili netočan?
Skraćeno ili nesvodljivo?
Smanjite ovaj razlomak.
2. Provjera domaće zadaće.
Kako se uspoređuju dva razlomka s različitim nazivnicima?
Kako se zbrajaju razlomci s različitim nazivnicima?
Kako oduzimate razlomke s različitim nazivnicima?
Imate li pitanja za domaću zadaću? Provjera redova od strane učitelja.
3. Rad s pravilom prema udžbeniku nakon netočnih odgovora učenika.
U matematici ne smijete propustiti niti jednu riječ u nekom od pravila. Zajednički nazivnik i najmanji zajednički nazivnik nisu uvijek isti.
Poslušajte prispodobu o gradonačelniku.
Kad još nije bilo struje, gradonačelnik jednog grada volio je navečer šetati gradskim ulicama. Jednom je naletio na jednog stanovnika grada, na čelu mu je iskočila kvrga. sutradan je izdao dekret: "U mraku izađite na ulicu s fenjerom". A navečer je na njega naletio isti gradski stanovnik. Gradonačelnik je od njega tražio svjetiljku.
Evo, - rekao je prolaznik.
Gdje je svijeća? - upitao je gradonačelnik.
A uredba ne kaže da u fenjeru treba biti svijeća - odgovorio je.
Gradonačelnik je izdao drugi dekret: „U mraku izađite na ulicu s fenjerom i svijećom“.
Trećeg dana povijest se ponovila.
Gradonačelnik je već izgubio živce.
Mislite li da je gradonačelniku odgovorio prolaznik?
Naredba ne kaže da se svijeća fenjera mora upaliti.
Gradonačelnik je po treći put morao izdati dekret, tek nakon toga ga je prolaznik ostavio na miru.
Naš zadatak je dobro poznavati pravilo i znati ga primijeniti. Još jednom ponavljam, radimo na standardu.
4. Vježba.
Riješite sljedeće primjere na ploči kako želite.
Riješili ste primjere gdje su nazivnici međusobno prosti brojevi i kada je veći nazivnik višekratnik manjeg.
U ovoj lekciji rješavat ćemo složenije zadatke za zbrajanje i oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima.
Zabilježite zadatak:
Ako učenik odlučuje na način na koji smo ti i ja odlučili, to znači da on dobro zna pronaći LCM dvaju brojeva i zna odvojiti cijeli broj od nepravilnog razlomka, zna da nazivnici nisu međusobno prosti brojevi.
A ako učenik pronađe zajednički nazivnik množenjem nazivnika, pokazuje neznanje pronalaženja LCM-a, odnosno pravila: kako se zbrajaju razlomci s različitim nazivnicima. Stoga, prije svega, ako nazivnici nisu međusobno prosti brojevi i nisu međusobno višekratnici, potrebno je pronaći LCM nazivnika.
Na ploči su napisani brojevi koje je potrebno riješiti u razredu: 309 d - i, 328, 340 (ponavljanje)
e) 
; nastupiti na ploči,
e) 
; ponovili su smanjenje razlomka, na testu je ovaj zadatak, provjerava asimilaciju standarda.
g) 
(na svoju ruku)
h) 
; nalazimo LCM (21,15) = 3 * 7 * 5 = 105.
6. Sami riješite zadatak broj 327.
7. Ponavljanje prethodno proučenog gradiva. broj 340.
Smanjite razlomke:
U testu postoji i smanjenje frakcija, ovo je zadatak za standard.
8. Sažetak lekcije.
a) Kako se zbrajaju i oduzimaju razlomci s različitim nazivnicima?
b) Označavanje.
c) Domaći zadaci: str. 11,
Radnje s razlomcima.
Pažnja!
Postoje dodatni
materijala u Posebnom odjeljku 555.
Za one koji su jako "ne baš ..."
I za one koji su "vrlo ujednačeni...")
Dakle, što su razlomci, vrste razlomaka, transformacije – prisjetili smo se. Prijeđimo na glavno pitanje.
Što možete učiniti s razlomcima? Da, sve što je s običnim brojevima. Zbrajajte, oduzimajte, množite, dijelite.
Sve ove radnje sa decimal razlomci se ne razlikuju od operacija s cijelim brojevima. Zapravo, zato su i dobri, decimalni. Jedina stvar je da morate ispravno staviti zarez.
Mješoviti brojevi, kao što sam rekao, od male su koristi za većinu radnji. Još ih je potrebno pretvoriti u razlomke.
Ali radnje s obični razlomci bit će lukaviji. I puno važnije! da te podsjetim: sve radnje s razlomcima sa slovima, sinusima, nepoznanicama i tako dalje i tako dalje ne razlikuju se od radnji s običnim razlomcima! Frakcijske operacije su temelj za svu algebru. Iz tog razloga ćemo ovdje vrlo detaljno analizirati svu ovu aritmetiku.
Zbrajanje i oduzimanje razlomaka.
Svatko može zbrajati (oduzeti) razlomke s istim nazivnicima (stvarno se nadam!). Pa, da vas podsjetim potpuno zaboravno: pri zbrajanju (oduzimanju) nazivnik se ne mijenja. Brojnici se zbrajaju (oduzimaju) kako bi se dobio brojnik rezultata. Tip:
Ukratko, općenito:
A ako su nazivnici različiti? Zatim, koristeći osnovno svojstvo razlomka (ovdje je opet dobro došlo!), nazivnike činimo istim! Na primjer:
Ovdje smo morali napraviti 4/10 od razlomka 2/5. Jedinu svrhu da nazivnici budu isti. Imajte na umu, za svaki slučaj, da su 2/5 i 4/10 isti razlomak! Samo 2/5 nam je neugodno, a 4/10 je ništa.
Usput, to je bit rješavanja bilo kakvih problema iz matematike. Kad smo iz neugodno izrazi čine isto, ali već zgodno za rješenje.
Još jedan primjer:
Situacija je slična. Ovdje činimo 48 od 16. Jednostavnim množenjem s 3. Sve je jasno. Ali ovdje smo naišli na nešto poput:
Kako biti ?! Teško je napraviti devet od sedam! Ali mi smo pametni, znamo pravila! Mi transformiramo svaki razlomak tako da nazivnici postanu isti. To se zove "pretvaranje u zajednički nazivnik":
Kako! Kako sam znao za 63? Jako jednostavno! 63 je broj koji je jednako djeljiv sa 7 i 9 u isto vrijeme. Takav se broj uvijek može dobiti množenjem nazivnika. Ako bismo neki broj pomnožili na primjer sa 7, onda će rezultat sigurno biti djeljiv sa 7!
Ako trebate zbrajati (oduzeti) nekoliko razlomaka, nema potrebe to raditi u parovima, u koracima. Vi samo trebate pronaći nazivnik koji je zajednički svim razlomcima, i dovesti svaki razlomak upravo na ovaj nazivnik. Na primjer:
A koji je zajednički nazivnik? Možete, naravno, pomnožiti 2, 4, 8 i 16. Dobivamo 1024. Noćna mora. Lakše je shvatiti da je broj 16 savršeno djeljiv s 2, 4 i 8. Stoga je iz ovih brojeva lako dobiti 16. Ovaj broj će biti zajednički nazivnik. 1/2 će se pretvoriti u 8/16, 3/4 u 12/16 i tako dalje.
Inače, ako za zajednički nazivnik uzmemo 1024, i sve će uspjeti, na kraju će se sve skupiti. Samo neće svi doći do ovog kraja, zbog kalkulacija ...
Sami dopunite primjer. Nije logaritam ... Trebalo bi biti 29/16.
Dakle, zbrajanje (oduzimanje) razlomaka je jasno, nadam se? Naravno, lakše je raditi u skraćenoj verziji, uz dodatne faktore. Ali ovo zadovoljstvo je dostupno onima koji su pošteno radili u nižim razredima... I nisu ništa zaboravili.
A sada ćemo učiniti iste radnje, ali ne s razlomcima, već s frakcijski izrazi... Ovdje će biti nove grablje, da...
Dakle, moramo dodati dva frakcijska izraza:
Trebamo nazivnike učiniti istim. I to samo uz pomoć množenje! Dakle, osnovno svojstvo razlomka diktira. Stoga, ne mogu dodati jedan prvom razlomku u nazivniku x. (ali bilo bi lijepo!). Ali ako pomnožite nazivnike, vidite, sve će rasti zajedno! Dakle, zapišemo, liniju razlomka, ostavimo prazan prostor na vrhu, zatim ga dodamo, a ispod upišemo umnožak nazivnika, da ne zaboravimo:
I, naravno, ne množimo ništa s desne strane, ne otvaramo zagrade! A sada, gledajući zajednički nazivnik desne strane, shvaćamo: da bismo dobili nazivnik x (x + 1) u prvom razlomku, brojnik i nazivnik ovog razlomka moraju se pomnožiti s (x + 1) . I u drugom razlomku - po x. Evo što se događa:
Bilješka! Ovdje su se pojavile zagrade! To su grablje na koje mnogi gaze. Ne zagrade, naravno, već njihov nedostatak. Zagrade se pojavljuju jer se množimo cjelina brojnik i cjelina nazivnik! A ne njihovi zasebni komadi...
U brojnik desne strane upisujemo zbroj brojnika, sve je kao u brojčanim razlomcima, zatim otvaramo zagrade u brojniku desne strane, t.j. sve množimo i dajemo slične. Ne trebate otvarati zagrade u nazivnicima, ne trebate nešto množiti! Općenito, djelo je uvijek ugodnije u nazivnicima (bilo koje)! dobivamo:
Tako smo dobili odgovor. Proces se čini dugim i teškim, ali ovisi o praksi. Riješite primjere, naviknite se, sve će postati jednostavno. Oni koji su svojevremeno svladali razlomke sve te operacije rade jednom rukom, na stroju!
I još jedna napomena. Mnogi se slavno bave razlomcima, ali se drže primjera cijeli brojevima. Kao: 2 + 1/2 + 3/4 =? Gdje pričvrstiti dvojku? Ne trebate ga nigdje pričvrstiti, trebate napraviti razlomak od dva. Nije lako, ali vrlo jednostavno! 2 = 2/1. Kao ovo. Bilo koji cijeli broj može se napisati kao razlomak. Brojnik je sam broj, nazivnik je jedan. 7 je 7/1, 3 je 3/1 i tako dalje. Isto je i sa slovima. (a + b) = (a + b) / 1, x = x / 1, itd. I onda radimo s tim razlomcima prema svim pravilima.
Pa uz to – oduzimanje razlomaka, osvježeno je znanje. Ponovili smo pretvorbu razlomaka iz jedne vrste u drugu. Možete i provjeriti. Hoćemo li malo riješiti?)
Izračunati:
Odgovori (u neredu):
71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6
Množenje / dijeljenje razlomaka - u sljedećoj lekciji. Tu su i zadaci za sve radnje s razlomcima.
Ako vam se sviđa ova stranica...
Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)
Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Trenutno testiranje valjanosti. Učenje - sa zanimanjem!)
možete se upoznati s funkcijama i izvedenicama.
U stvarnom obrazovnom procesu nije potrebno toliko zadataka za zbrajanje i oduzimanje razlomaka s istim nazivnicima - ovdje će biti dovoljno zadataka iz udžbenika. Više ćemo pažnje posvetiti problemima u čijem se rješavanju cijela vrijednost uzima kao jedinica. Štoviše, u početku ga je bolje predstaviti kao 2/2, 3/3, itd. veličine.
163 ... Djevojka je pročitala 2/5, zatim još 1/5 knjige. Koji je dio knjige pročitala?
164 ... Turisti su pješačili 1/7, zatim još 3/7 cijele rute. Koliki im je dio puta preostao?
165 ... Dva traktorista pokosila su 5/9 livada, s tim da je prvi traktorist pokosio 2/9 livada. Koji dio livade je pokosio drugi traktorist?
166 ... Prvi traktorist je preorao 2/7 polja, drugi - 3/7 polja. Zajedno su orali 10 Ha... Odredite površinu polja.
167 ... Riješite zadatke 150 (a – c) oduzimanjem razlomaka.
168 ... Riješite zadatke 154 (1-2) pomoću oduzimanja razlomaka.
169 ... 1) Vrapci su sjedili na grani. Kad je treći dio vrabaca odletio, ostalo ih je 6. Koliko je vrabaca u početku bilo na grani?
2) Netko je potrošio 3/4 svog novca i ostalo mu je 200 R. Koliko je novca imao?
3) Prvi dan turisti su pješačili 2/5 planirane rute, a drugi dan preostalih 15 km... Koliko je duga ruta?
4) Vasya u svojoj kolekciji ima 200 maraka. Tijekom protekle godine broj maraka u zbirci povećan je za 1/4. Koliko je maraka bilo u kolekciji prije godinu dana?
170 ... Prije ručka tokar je obavio 2/8 zadataka, poslijepodne - 3/8 zadataka, nakon čega su mu ostala 24 dijela za okretanje. Koliko je dijelova morao samljeti?
171 . Iz « Aritmetika » L.N. Tolstoj... Muž i žena uzeli su novac iz iste škrinje, a ništa nije ostalo. Muž je uzeo 7/10 svega novca, a žena 690 R. Koliko je bio sav novac?
172 ... Riješite probleme iz egipatskih papirusa na dva načina.
1) Količina i njezin četvrti dio zajedno daju 15. Nađi
broj.
2) Broj i njegova polovica su 9. Pronađite broj.
173 ... Napravite problem sličan egipatskim problemima i riješite ga na dva načina.
Počevši od sljedećeg problema, rješenja sadrže zbrajanje i oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima. Ako se ovo gradivo nije proučavalo u 5. razredu, preostale zadatke vezane uz razlomke treba odgoditi do 6. razreda.
174 ... a) Svaki sat prva cijev ispuni 1/2 bazena, a druga - 1/3 bazena. Koji dio bazena pune obje cijevi 1 h raditi zajedno?
b) Prva brigada može izvršiti 1/12 zadatka u danu, a druga - 1/8 zadatka. Koji dio zadatka će dva tima obaviti u 1 danu zajedničkog rada?
c) Osobni automobil prijeđe 1/10 udaljenosti između gradova na sat, a kamion - 1/12 ove udaljenosti. Kojoj se udaljenosti približavaju za 1 h auta kada se voze jedan prema drugome?
175 ... a) Dva traktorista su za 1 dan zajedničkog rada preorala 2/3 polja. Prvi traktorista je preorao 1/2 polja. Koji je dio njive preorao drugi traktorist?
b) Dva automobila koja su se kretala jedan prema drugom približila su se u 1 h 1/3 udaljenosti između dva grada. Prvi automobil je prešao 1/8 ove udaljenosti. Koliki je dio ukupne udaljenosti prešao drugi automobil?
c) Kroz dvije cijevi puni se 1/3 bazena svakih sat vremena. Kroz prvu cijev u 1 h 1/10 bazena je popunjeno. Koji dio bazena je popunjen 1 h kroz drugu cijev?
176 ... Iz bačve ulijte prvo 1/2 vode u nju, zatim 1/3, 1/15 i 1/10. Koji dio vode je izliven?
177 * Popio sam pola šalice crne kave i dolio je mlijekom. Zatim sam popio 1/3 šalice i dolio mlijeko. Zatim sam popio 1/6 šalice i dolio mlijeko. Konačno sam dovršio sadržaj šalice. Što sam više pio: kavu ili mlijeko?
178 . Drevni zadaci... 1) Dva pješaka izašla su u isto vrijeme jedan prema drugom iz dva sela. Prvi može preći udaljenost između dva sela za 8 h, a drugi za 6 h. Koji dio udaljenosti se približavaju za 1 h?
2) Za gradnju kupelji angažirana su tri stolara; prvi je obavio 2/33 dana svih radova, drugi 1/11, treći 7/55. Koji su dio posla svi obavili u jednom danu?
3) za dopisivanje eseja angažirana su 4 prepisivača; prvi je mogao sam prepisati esej za 24 dana, drugi za 36 dana, treći za 20, a četvrti za 18 dana. Koji će dio eseja prepisati u jednom danu ako rade zajedno?
179 ... 1) Daktilograf je ponovno tiskao treći dio rukopisa, zatim još 10 stranica. Kao rezultat toga, ponovno je tiskala polovicu cijelog rukopisa. Koliko stranica ima rukopis?
2) Stari problem... Pitao je prolaznik koji je sustigao onog drugog: « Koliko je selo ispred nas? » Drugi prolaznik je odgovorio: « Udaljenost od sela iz kojeg hodate jednaka je jednoj trećini ukupne udaljenosti između sela, a ako i dalje hodate 2 versta, tada ćete biti točno u sredini između sela » ... Koliko milja je još preostalo prvom prolazniku da prijeđe?
180 . Problem Adama Riesea (16. stoljeće). Trojica su osvojila nešto novca. Prvi je činio 1/4 ovog iznosa, drugi 1/7, a treći 17 florina. Koliki je ukupan dobitak?
