Newton-Leibniz formülü
Analizin ana teoremi veya Newton - Leibniz formülü iki işlem arasındaki ilişkiyi verir: belirli bir integral almak ve ters türevi hesaplamak
Formülasyon
Fonksiyonun integralini düşünün sen = F(X) arasında değişen sabit sayı A sayıya kadar X değişken olarak ele alacağız. İntegrali aşağıdaki biçimde yazalım:
Bu tip integrale üst limiti değişken olan integral denir. Belirli bir integralde ortalama değer teoremini kullanarak bu fonksiyonun sürekli ve türevlenebilir olduğunu göstermek kolaydır. Ayrıca belirli bir fonksiyonun x noktasındaki türevi, integrallenebilir fonksiyonun kendisine eşittir. Bundan şu sonuç çıkıyor ki, herhangi sürekli fonksiyon karesel formda bir antiderivatifi vardır: . Ve f fonksiyonunun antiderivatif fonksiyonlarının sınıfı bir sabite göre farklılık gösterdiğinden, şunu göstermek kolaydır: f fonksiyonunun belirli integrali, b ve a noktalarındaki antitürevlerin değerlerindeki farka eşittir.
Wikimedia Vakfı. 2010.
- Toplam Olasılık Formülü
- Rayleigh-Jeans formülü
Diğer sözlüklerde “Newton-Leibniz formülünün” ne olduğuna bakın:
Newton-Leibniz formülü- Analizin ana teoremi veya Newton'un Leibniz formülü iki işlem arasındaki ilişkiyi verir: belirli bir integral almak ve ters türevi hesaplamak Formülasyon y = f(x) fonksiyonunun sabit bir a sayısı aralığındaki integralini ele alalım. ... Vikipedi
Sonlu Artış Formülü- Bu terimin başka anlamları da var, bkz. Lagrange Teoremi. Sonlu artış formülü veya Lagrange'ın ortalama değer teoremi, bir fonksiyonun belirli bir aralıkta sürekli olması durumunda... Vikipedi
Stokes formülü- Stokes teoremi diferansiyel geometrinin ana teoremlerinden biridir ve matematiksel analizÇeşitli analiz teoremlerini genelleştiren diferansiyel formların entegrasyonu üzerine. Adını J. G. Stokes'tan almıştır. İçindekiler 1 Genel formülasyon 2… … Vikipedi
NEWTON - LEIBNITZ FORMÜLÜ- belirli bir fonksiyon f'nin belirli bir integralinin değerini, bu fonksiyonun herhangi bir antiderivatif F'sinin segmentinin uçlarındaki değerler arasındaki fark şeklinde ifade eden bir formül.I. Newton ve G'den sonra isimlendirilmiştir Leibniz, çünkü kural … … Matematik Ansiklopedisi
NEWTON-LEIBNITZ FORMÜLÜ- İntegral hesabının temel formülü. Bir f(x) fonksiyonunun belirli bir integrali ile onun herhangi bir antitürevi F(x) arasındaki bağlantıyı ifade eder ... Büyük Ansiklopedik Sözlük
Leibniz formülü- Bu terimin başka anlamları da vardır, bkz. Leibniz'in adını taşıyan nesnelerin listesi. Bu terimin başka anlamları da vardır, bkz. Leibniz Formülü (anlamlar). İntegral hesabında Leibniz formülü kuraldır... ... Vikipedi
Newton-Leibniz formülü- Newton Leibniz formülü, integral hesabının temel formülü. f(x) fonksiyonunun belirli integrali ile onun herhangi bir antitürevi F(x) arasındaki bağlantıyı ifade eder. . * * * NEWTON LEIBNITZ FORMÜLÜ NEWTON LEIBNITZ FORMÜLÜ, temel formül... ... ansiklopedik sözlük
Dikdörtgen formülü
Yamuk formülü - Kesin integralşeklin alanı olarak Sayısal entegrasyon ( tarihi isim: karesel) integralin değerinin sayısal olarak alana eşit olduğu gerçeğine dayanarak belirli bir integralin (genellikle yaklaşık) değerinin hesaplanması ... ... Vikipedi
Newton teoremi- Newton'un Leibniz formülü veya temel analiz teoremi iki işlem arasındaki ilişkiyi verir: belirli bir integral almak ve ters türevi hesaplamak. Eğer bir doğru parçası üzerinde sürekli ise ve onun bu parça üzerindeki herhangi bir terstürevi ... Vikipedi
Ön izleme:
Sunum önizlemelerini kullanmak için kendiniz için bir hesap oluşturun ( hesap) Google'a gidin ve giriş yapın: https://accounts.google.com
Slayt başlıkları:
İntegral. Newton-Leibniz formülü. Derleyen: Devlet Eğitim Kurumu Eğitim Kurumu PU No. 27 Shchelyayur Semyashkina Irina Vasilievna'nın matematik öğretmeni
Dersin amacı: İntegral kavramını ve onun Newton-Leibniz formülünü kullanarak hesaplanmasını, antitürev hakkındaki bilgileri ve hesaplama kurallarını kullanarak tanıtmak; Eğri bir yamuğun alanını bulma örneklerini kullanarak integralin pratik uygulamasını gösterin; Egzersizler sırasında öğrendiklerinizi pekiştirin.
Tanım: Verilmesine izin verin pozitif fonksiyon f(x) sonlu parça [ a;b ] üzerinde tanımlıdır. Bir f(x) fonksiyonunun [ a;b ] üzerindeki integrali, eğrisel yamuğunun alanıdır. y=f(x) b a 0 x y
Gösterim: “a'dan b'ye eff x de x'ten integral”
Tarihsel referans: Leibniz integralin notasyonunu “Summa” kelimesinin ilk harfinden türetmiştir. Newton, eserlerinde integral için alternatif bir sembolizm önermemiş, ancak bunu denemiştir. Çeşitli seçenekler. İntegral terimi Jacob Bernoulli tarafından icat edildi. Özet Isaac Newton Gottfried Wilhelm von Leibniz Jacob Bernoulli
Euler belirsiz integralin gösterimini tanıttı. Jean Baptiste Joseph Fourier Leonard Euler Belirli integralin alışık olduğumuz formdaki tasarımı Fourier tarafından icat edildi.
Newton-Leibniz formülü
Örnek 1. Belirli integrali hesaplayın: = Çözüm:
Örnek 2. Belirli integralleri hesaplayın: 5 9 1
Örnek 3. S y x Çizgilerin ve x ekseninin sınırladığı şeklin alanını hesaplayın. Öncelikle fonksiyonun grafiği ile x ekseninin kesişim noktalarını bulalım. Bunu yapmak için denklemi çözelim. = Çözüm: S =
y x S A B D C Örnek 4. Doğruların sınırladığı şeklin alanını hesaplayın ve S=S BADC - S BAC S BADC = = S BAC = S = 9 – 4.5 = 4.5 denklemini çözerek bu doğruların kesişme noktalarını (apsis) bulun. örnek 1'e bakın Çözüm:
SINCWAIN KURALLARI 1 satır - senkwine teması 1 kelime 2 satır - konunun işaretlerini ve özelliklerini açıklayan 2 sıfat 3 satır - eylemin doğasını açıklayan 3 fiil 4 satır - kişisel tutumunuzu gösteren 4 kelimelik kısa bir cümle konu 5 satır - 1 kelime, eşanlamlısı veya konunun çağrıştırdığı tema.
İntegral 2. Belirli, pozitif Sayma, toplama, çarpma 4. Newton-Leibniz formülünü kullanarak hesaplama 5. Alan
Kullanılan literatürün listesi: A.N. Kolmagorov'un ders kitabı. ve diğerleri Cebir ve analizin başlangıcı 10 - 11. sınıflar.
İlginiz için teşekkür ederiz! "YETENEK emeğin %99'u, yeteneğin %1'idir" halk bilgeliği
Örnek 1. Belirli integrali hesaplayın: = Çözüm: örnek 4
Ön izleme:
Konu: matematik (cebir ve analizin başlangıcı), sınıf: 11. sınıf.
Ders konusu: "İntegral. Newton-Leibniz formülü."
Ders türü: Yeni materyal öğrenme.
Ders süresi: 45 dakika.
Dersin Hedefleri: Antitürev hakkındaki bilgileri ve hesaplama kurallarını kullanarak Newton-Leibniz formülünü kullanarak integral kavramını ve hesaplamasını tanıtmak; eğrisel bir yamuğun alanını bulma örneklerini kullanarak integralin pratik uygulamasını göstermek; Egzersizler sırasında öğrendiklerinizi pekiştirin.
Dersin Hedefleri:
Eğitici:
- İntegral kavramını oluşturur;
- belirli bir integralin hesaplanmasında becerilerin geliştirilmesi;
- becerilerin oluşumu pratik uygulama kavisli bir yamuğun alanını bulmak için integral.
Eğitici:
- gelişim bilişsel ilgiöğrenciler matematiksel konuşmayı, gözlemleme, karşılaştırma ve sonuç çıkarma yeteneğini geliştirir;
- BİT kullanarak konuya ilgi geliştirmek.
Eğitici:
- integrali hesaplarken ve çizim yaparken yeni bilgi edinme, doğruluk ve doğruluk geliştirme konusundaki ilgiyi yoğunlaştırmak.
Teçhizat: bilgisayar, işletim sistemi Microsoft Windows 2000/XP, MS Office 2007: Power Point, Microsoft Word; multimedya projektörü, ekran.
Edebiyat: Kolmagorov A.N.'nin ders kitabı ve diğerleri Cebir ve analizin başlangıcı 10-11. sınıflar.
Teknolojiler: BİT, bireysel eğitim.
DERSLER SIRASINDA
Ders aşaması | Öğretmen faaliyetleri | Öğrenci aktiviteleri | Zaman |
|
Giriş kısmı | ||||
Zamanı organize etmek | Selam verir, öğrencilerin derse hazır olup olmadıklarını kontrol eder, dikkati düzenler. Destekleyici notlar dağıtır. | Dinle, tarihi yaz. | 3 dakika |
|
Dersin konusunu ve hedeflerini aktarma | Dersin hedeflerine erişimle birlikte temel bilgilerin ve öznel deneyimlerin güncellenmesi. | Dinleyiniz ve dersin konusunu not defterinize yazınız.Zihinsel aktiviteye aktif olarak katılmak. Dersin hedeflerine ulaşmak için analiz edin, karşılaştırın, sonuçlar çıkarın. | Sunum BİT 3 dakika |
|
Dersin ana kısmı Yeni materyalin, geçmiş konulara ilişkin bilgi testiyle birlikte sunulması. | ||||
İntegralin tanımı (slayt 3) | Bir tanım verir. BİT Kavisli yamuk nedir? | Bir fonksiyonun, bir doğru parçasının ve x=a ve x=b düz çizgilerinin grafiğiyle sınırlanan bir şekil. | 10 dk |
|
İntegral gösterimi (slayt 4) | İntegralin gösterimini ve nasıl okunduğunu tanıtır. | Dinle, yaz. | ||
İntegralin tarihçesi (slayt 5 ve 6) | İntegral teriminin tarihçesini anlatır. | Dinleyin ve kısaca yazın. | ||
Newton-Leibniz formülü (slayt 7) | Newton-Leibniz formülünü verir. Formülde F ne anlama geliyor? | Dinleyin, not alın, öğretmenin sorularını yanıtlayın. Antiderivatif. | ||
Dersin son kısmı. | ||||
Malzemenin sabitlenmesi. Çalışılan materyali kullanarak örnekleri çözme | ||||
Örnek 1 (slayt 8) | İntegrallerin ters türevlerinin bulunmasıyla ilgili sorular sorarak örneğin çözümünü analiz eder. | Dinleyin, yazın, antitürev tablosu hakkındaki bilgilerinizi gösterin. | 20 dakika |
|
Örnek 2 (slayt 9). Örnekler bağımsız kararöğrenciler. | Örneklerin çözümünü denetler. | Yorum yaparak görevi tek tek tamamlayın (bireysel öğrenme teknolojisi), birbirinizi dinleyin, yazın, geçmiş konulara ilişkin bilginizi gösterin. | ||
Örnek 3 (slayt 10) | Örneğin çözümünü analiz eder. Bir fonksiyonun grafiğiyle x ekseninin kesişim noktaları nasıl bulunur? | Dinlerler, soruları yanıtlarlar, geçmiş konulara ilişkin bilgilerini gösterirler ve yazarlar. İntegrali 0'a eşitleyin ve denklemi çözün. | ||
Örnek 4 (slayt 11) | Örneğin çözümünü analiz eder. Fonksiyon grafiklerinin kesişim noktaları (apsis) nasıl bulunur? ABC üçgeninin türünü belirleyiniz. Dik üçgenin alanı nasıl bulunur? | Soruları dinliyor ve cevaplıyorlar. Fonksiyonları birbirine eşitleyin ve elde edilen denklemi çözün. Dikdörtgen. burada a ve b bir dik üçgenin bacaklarıdır. | ||
Dersin özeti (slayt 12 ve 13) | Syncwine'ın derlenmesiyle ilgili çalışmaları düzenler. | Senkronize şarabın hazırlanmasına katılın. Konuyu analiz edin, karşılaştırın, sonuçlar çıkarın. | 5 dakika. |
|
Zorluk seviyesine göre ev ödevi. | Ödev verir ve açıklar. | Dinle, yaz. | 1 dakika. |
|
Öğrencilerin sınıftaki çalışmalarını değerlendirmek. | Öğrencilerin dersteki çalışmalarını değerlendirir ve analiz eder. | Dinliyorlar. | 1 dakika |
Ön izleme:
“İntegral” konusuyla ilgili temel özet. Newton-Leibniz formülü."
Tanım: Pozitif bir fonksiyon verilsin f(x) , sonlu bir segment üzerinde tanımlıdır.f(x) fonksiyonunun integralieğrisel yamuğunun alanı denir. | ||
Tanım: Okunur: “a'dan b ef'ye x de x'e integral” | ||
Newton-Leibniz formülü | ||
Örnek 1. Belirli integrali hesaplayın: Çözüm: | ||
Örnek 3. ve x ekseni. Çözüm: | ||
Örnek 3. Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin alanını hesaplayın Ve . |
Belirli bir integralle sürekli bir fonksiyondan F(X) son segmentte [ A, B] (burada ) bu segmentteki bazı antitürevlerinin artışıdır. (Genel olarak belirsiz integral konusunu tekrarlarsanız anlaşılması daha kolay olacaktır) Bu durumda notasyon kullanılır
Aşağıdaki grafiklerde görülebileceği gibi (antiderivatif fonksiyonun artışı ile gösterilmiştir), Belirli bir integral pozitif ya da negatif bir sayı olabilir(Anttürevin üst limitteki değeri ile alt limitteki değeri arasındaki fark olarak hesaplanır; F(B) - F(A)).
Sayılar A Ve B sırasıyla entegrasyonun alt ve üst sınırları olarak adlandırılır ve segment [ A, B] – entegrasyon segmenti.
Böylece eğer F(X) – bazı antiderivatif fonksiyonlar F(X), o zaman, tanıma göre,
(38)
Eşitlik (38) denir Newton-Leibniz formülü . Fark F(B) – F(A) kısaca şu şekilde yazılır:
Bu nedenle Newton-Leibniz formülünü şu şekilde yazacağız:
(39)
Belirli integralin, hesaplanırken integralin hangi antitürevinin alındığına bağlı olmadığını kanıtlayalım. İzin vermek F(X) ve F( X) integralin keyfi antitürevleridir. Bunlar aynı fonksiyonun ters türevleri olduğundan sabit bir terimle farklılık gösterirler: Ф( X) = F(X) + C. Bu yüzden
Bu, segmentte [ A, B] hepsini artırır antiderivatif fonksiyonlar F(X) eşleştir.
Bu nedenle, belirli bir integrali hesaplamak için integralin herhangi bir antitürevini bulmak gerekir; İlk önce belirsiz integrali bulmanız gerekir. Devamlı İLE sonraki hesaplamalara dahil edilmemiştir. Daha sonra Newton-Leibniz formülü uygulanır: üst limitin değeri ters türev fonksiyonuna yerleştirilir B , ayrıca - alt sınırın değeri A ve fark hesaplanır F(b) - F(a) . Ortaya çıkan sayı belirli bir integral olacaktır..
Şu tarihte: A = B tanım gereği kabul edildi
Örnek 1.
Çözüm. İlk önce belirsiz integrali bulalım:
Newton-Leibniz formülünün antiderivatife uygulanması
(saatte İLE= 0), şunu elde ederiz
Ancak belirli bir integral hesaplanırken antiderivatifi ayrı ayrı bulmak değil, integrali hemen (39) formuna yazmak daha iyidir.
Örnek 2. Belirli integrali hesaplayın
Çözüm. Formül kullanma
Belirli integralin özellikleri
Teorem 2.Belirli integralin değeri, integral değişkeninin tanımına bağlı değildir yani
(40)
İzin vermek F(X) – için antiderivatif F(X). İçin F(T) antiderivatif aynı fonksiyondur F(T), burada bağımsız değişken yalnızca farklı şekilde belirtilir. Buradan,
Formül (39)'a göre son eşitlik, integrallerin eşitliği anlamına gelir.
Teorem 3.Sabit faktör belirli integralin işaretinden çıkarılabilir yani
(41)
Teorem 4.Sonlu sayıda fonksiyonun cebirsel toplamının belirli integrali, bu fonksiyonların belirli integrallerinin cebirsel toplamına eşittir yani
(42)
Teorem 5.İntegrasyon segmenti parçalara bölünmüşse, tüm segment üzerindeki belirli integral toplamına eşit parçaları üzerinde belirli integraller yani Eğer
(43)
Teorem 6.İntegral limitleri yeniden düzenlenirken belirli integralin mutlak değeri değişmez, yalnızca işareti değişir yani
(44)
Teorem 7(ortalama değer teoremi). Belirli bir integral, integral parçasının uzunluğu ile integralin içindeki bir noktadaki değerinin çarpımına eşittir. yani
(45)
Teorem 8.İntegralin üst sınırı alt sınırdan büyükse ve integral negatif değilse (pozitif), o zaman belirli integral de negatif değildir (pozitif), yani. Eğer
Teorem 9.İntegralin üst sınırı alt sınırdan büyükse ve fonksiyonlar sürekli ise eşitsizlik
dönem dönem entegre edilebilir yani
(46)
Belirli integralin özellikleri, integrallerin doğrudan hesaplanmasını basitleştirmeyi mümkün kılar.
Örnek 5. Belirli integrali hesaplayın
Teorem 4 ve 3'ü kullanarak ve antitürevleri - tablo integralleri (7) ve (6) bulurken, şunu elde ederiz:
Değişken üst limitli belirli integral
İzin vermek F(X) – segmentte sürekli [ A, B] işlevi ve F(X) onun terstürevidir. Belirli integrali düşünün
(47)
Ve aracılığıyla T entegrasyon değişkeni, onu karıştırmayacak şekilde belirlenmiştir. üst sınır. Değiştiğinde X belirli integral (47) de değişir, yani. entegrasyonun üst sınırının bir fonksiyonudur X ile gösterdiğimiz F(X), yani.
(48)
Fonksiyonun olduğunu kanıtlayalım F(X) için bir ters türevdir F(X) = F(T). Aslında farklılaşan F(X), elde ederiz
Çünkü F(X) – için antiderivatif F(X), A F(A) sabit bir değerdir.
İşlev F(X) – sonsuz sayıda antiderivatiften biri F(X), yani X = A sıfıra gider. Bu ifade, (48) eşitliğini koyarsak elde edilir. X = A ve önceki paragraftaki Teorem 1'i kullanın.
Belirli integrallerin parçalara göre entegrasyon yöntemi ve değişken değişimi yöntemiyle hesaplanması
tanım gereği nerede, F(X) – için antiderivatif F(X). İntegraldeki değişkeni değiştirirsek
o zaman formül (16)'ya uygun olarak şunu yazabiliriz:
Bu ifadede
için antiderivatif fonksiyon
Aslında ona göre türevi karmaşık fonksiyonların türevlenmesi kuralı, eşittir
α ve β değişkenin değerleri olsun T, bunun için fonksiyon
değerleri buna göre alır A Ve B yani
Ancak Newton-Leibniz formülüne göre fark F(B) – F(A) Orada
Ox ekseninin belirli bir bölümünde sürekli bir f fonksiyonu verilsin. Bu fonksiyonun tüm parça boyunca işaretinin değişmediğini varsayalım.
Eğer f, belirli bir segmentte sürekli ve negatif olmayan bir fonksiyonsa ve F, bunun bu segmentteki bir türevi ise, o zaman eğrisel yamuk S'nin alanı, bu segmentteki antiderivatifin artışına eşittir.
Bu teorem şu şekilde yazılabilir:
S = F(b) - F(a)
f(x) fonksiyonunun a'dan b'ye integrali S'ye eşit olacaktır. Burada ve ayrıca, a'dan b'ye integral limitleriyle birlikte bir f(x) fonksiyonunun belirli integralini belirtmek için, şu ifadeyi kullanacağız: (a;b)∫f( x) gösterimini takip ediyoruz. Aşağıda nasıl görüneceğine dair bir örnek verilmiştir.
Newton-Leibniz formülü
Bu, bu iki sonucu eşitleyebileceğimiz anlamına gelir. Şunu elde ederiz: (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a), şu şartla ki F, f fonksiyonu için bir terstürevdir. Bu formül denir Newton - Leibniz formülleri. Bir aralıktaki herhangi bir sürekli f fonksiyonu için bu doğru olacaktır.
İntegralleri hesaplamak için Newton-Leibniz formülü kullanılır. Birkaç örneğe bakalım:
örnek 1: integrali hesaplayın. İntegral fonksiyonu x 2'nin ters türevini bulun. Terstürevlerden biri (x 3)/3 fonksiyonu olacaktır.
Şimdi Newton-Leibniz formülünü kullanıyoruz:
(-1;2)∫x 2 dx = (2 3)/3 - ((-1) 3)/3 = 3
Cevap: (-1;2)∫x 2 dx = 3.
Örnek 2: (0;pi)∫sin(x)dx integralini hesaplayın.
Sin(x) integral fonksiyonunun terstürevini bulun. Terstürevlerden biri -cos(x) fonksiyonu olacaktır. Newton-Leibniz formülünü kullanalım:
(0;pi)∫cos(x)dx = -cos(pi) + cos(0) = 2.
Cevap: (0;pi)∫sin(x)dx=2
Bazen, kaydetmenin basitliği ve rahatlığı için, (F(b)-F(a)) segmentindeki F fonksiyonunun artışı şu şekilde yazılır:
Artış için bu gösterimi kullanarak Newton-Leibniz formülü aşağıdaki şekilde yeniden yazılabilir:
Yukarıda belirtildiği gibi bu sadece kayıt kolaylığının kısaltmasıdır; bu kayıt başka hiçbir şeyi etkilemez. Bu gösterim ve (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a) formülü eşdeğer olacaktır.
Uygulamalı problemlerin çözümü integralin hesaplanmasına bağlıdır ancak bunu doğru bir şekilde yapmak her zaman mümkün değildir. Bazen belirli bir integralin değerini belirli bir doğruluk derecesiyle, örneğin binde birine kadar bilmek gerekir.
Belirli bir integralin yaklaşık değerini gerekli doğrulukla bulmanın gerekli olduğu problemler vardır, bu durumda Simposny yöntemi, yamuklar ve dikdörtgenler gibi sayısal entegrasyon kullanılır. Her durum bunu belirli bir doğrulukla hesaplamamıza izin vermez.
Bu makale Newton-Leibniz formülünün uygulamasını incelemektedir. Belirli integralin doğru hesaplanması için bu gereklidir. Verilmiş olacak detaylı örnekler Belirli integraldeki değişken değişiklikleri dikkate alınır ve kısmi integral alırken belirli integralin değerlerini buluruz.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Newton-Leibniz formülü
Tanım 1y = y(x) fonksiyonu [ a ; b ] ve F(x) bu parçanın fonksiyonunun ters türevlerinden biridir, o zaman Newton-Leibniz formülü adil sayılır. Şöyle yazalım: ∫ a b f (x) d x = F (b) - F (a) .
Bu formül dikkate alınır İntegral hesabının temel formülü.
Bu formülün bir kanıtını üretmek için, değişken bir üst limiti olan bir integral kavramını kullanmak gerekir.
y = f(x) fonksiyonu [ a ; b ], bu durumda x ∈ a argümanının değeri; b ve integral ∫ a x f (t) d t biçimindedir ve üst sınırın bir fonksiyonu olarak kabul edilir. ∫ a x f (t) d t = Φ (x) formunu alacak fonksiyonun gösterimini almak gerekir, süreklidir ve ∫ a x f (t) d t " = Φ " (x) = formunda bir eşitsizlik vardır f(x) bunun için geçerlidir.
Φ(x) fonksiyonunun artışının ∆ x argümanının artışına karşılık geldiğini sabitleyelim, belirli integralin beşinci ana özelliğini kullanmak gerekir ve şunu elde ederiz:
Φ (x + ∆ x) - Φ x = ∫ a x + ∆ x f (t) d t - ∫ a x f (t) d t = = ∫ a x + ∆ x f (t) d t = f (c) x + ∆ x - x = f(c) ∆ x
burada değer c ∈ x; x + ∆ x .
Eşitliği Φ (x + ∆ x) - Φ (x) ∆ x = f (c) formunda sabitleyelim. Bir fonksiyonun türevinin tanımı gereği ∆ x → 0 limitine gitmek gerekir, sonra Φ " (x) = f (x) formunda bir formül elde ederiz. Φ (x)'in şu şekilde olduğunu buluruz: [a;b] üzerinde yer alan y = f (x) formundaki bir fonksiyonun antiderivatiflerinden biri.Aksi takdirde ifade şu şekilde yazılabilir:
F (x) = Φ (x) + C = ∫ a x f (t) d t + C, burada C'nin değeri sabittir.
Belirli integralin birinci özelliğini kullanarak F(a)'yı hesaplayalım. O zaman bunu anlıyoruz
F (a) = Φ (a) + C = ∫ a a f (t) d t + C = 0 + C = C, dolayısıyla C = F (a) sonucunu elde ederiz. Sonuç, F (b) hesaplanırken uygulanabilir ve şunu elde ederiz:
F (b) = Φ (b) + C = ∫ a b f (t) d t + C = ∫ a b f (t) d t + F (a), başka bir deyişle, F (b) = ∫ a b f (t) d t + F ( A) . Eşitlik Newton-Leibniz formülüyle kanıtlanmıştır: ∫ a b f (x) d x + F (b) - F (a) .
Fonksiyonun artışını F x a b = F (b) - F (a) olarak alıyoruz. Gösterimi kullanarak Newton-Leibniz formülü ∫ a b f (x) d x = F x a b = F (b) - F (a) formunu alır.
Formülü uygulamak için, [ a ; segmentinden y = f (x) integral fonksiyonunun y = F (x) anti türevlerinden birini bilmek gerekir. b ], bu bölümden antiderivatifin artışını hesaplayın. Newton-Leibniz formülünü kullanan birkaç hesaplama örneğine bakalım.
örnek 1
Newton-Leibniz formülünü kullanarak belirli integrali ∫ 1 3 x 2 dx'i hesaplayın.
Çözüm
y = x 2 formunun integralinin [ 1; 3 ] ise bu aralıkta integrallenebilirdir. Tabloya göre belirsiz integraller y = x 2 fonksiyonunun, x'in tüm gerçek değerleri için bir dizi antiderivatife sahip olduğunu görüyoruz, bu da x ∈ 1 anlamına gelir; 3 F(x) = ∫ x 2 d x = x 3 3 + C olarak yazılacaktır. C = 0 ile antiderivatifi almak gerekir, sonra F (x) = x 3 3 elde ederiz.
Newton-Leibniz formülünü kullanıyoruz ve belirli integralin hesaplanmasının ∫ 1 3 x 2 d x = x 3 3 1 3 = 3 3 3 - 1 3 3 = 26 3 biçimini aldığını görüyoruz.
Cevap:∫ 1 3 x 2 dx = 26 3
Örnek 2
Belirli integrali ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x'i Newton-Leibniz formülünü kullanarak hesaplayın.
Çözüm
Verilen fonksiyon [ - 1 ; 2 ], bu da onun üzerine entegre edilebilir olduğu anlamına gelir. ∫ x · e x 2 + 1 d x belirsiz integralinin değerini diferansiyel işareti altına alma yöntemini kullanarak bulmak gerekir, sonra ∫ x · e x 2 + 1 d x = 1 2 ∫ e x 2 + 1 d ( x 2 + 1) = 1 2 e x 2 + 1 + C .
Dolayısıyla elimizde y = x · e x 2 + 1 fonksiyonunun tüm x, x ∈ - 1; 2.
C=0'da terstürevi alıp Newton-Leibniz formülünü uygulamak gerekir. Daha sonra formun bir ifadesini elde ederiz.
∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x = 1 2 e x 2 + 1 - 1 2 = = 1 2 e 2 2 + 1 - 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e 2 (e 3 - 1)
Cevap:∫ - 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e 2 (e 3 - 1)
Örnek 3
∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x ve ∫ - 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x integrallerini hesaplayın.
Çözüm
Bölüm - 4; - 1 2, integral işareti altındaki fonksiyonun sürekli olduğunu, yani integrallenebilir olduğunu söylüyor. Buradan y = 4 x 3 + 2 x 2 fonksiyonunun ters türevleri kümesini buluyoruz. Bunu anlıyoruz
∫ 4 x 3 + 2 x 2 d x = 4 ∫ x d x + 2 ∫ x - 2 d x = 2 x 2 - 2 x + C
F (x) = 2 x 2 - 2 x'in ters türevini almak gerekir, ardından Newton-Leibniz formülünü uygulayarak hesapladığımız integrali elde ederiz:
∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = 2 x 2 - 2 x - 4 - 1 2 = 2 - 1 2 2 - 2 - 1 2 - 2 - 4 2 - 2 - 4 = 1 2 + 4 - 32 - 1 2 = - 28
İkinci integralin hesaplanmasına geçiyoruz.
Segmentten [ - 1 ; 1 ] integral fonksiyonunun sınırsız olduğu kabul edilir, çünkü lim x → 0 4 x 3 + 2 x 2 = + ∞, o zaman şu çıkar: gerekli bir durum bir segmentten entegre edilebilirlik. O halde F(x) = 2 x 2 - 2 x, y = 4 x 3 + 2 x 2'nin [ - 1 ; 1 ], çünkü O noktası segmente aittir ancak tanım alanına dahil değildir. Bu, y = 4 x 3 + 2 x 2 fonksiyonu için [ - 1 ; aralığından itibaren belirli bir Riemann ve Newton-Leibniz integralinin olduğu anlamına gelir. 1 ] .
Cevap: ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = - 28 , y = 4 x 3 + 2 x 2 fonksiyonu için [ - 1 ; aralığından itibaren belirli bir Riemann ve Newton-Leibniz integrali vardır; 1 ] .
Newton-Leibniz formülünü kullanmadan önce belirli bir integralin varlığını tam olarak bilmeniz gerekir.
Belirli bir integraldeki değişkeni değiştirme
y = f(x) fonksiyonu tanımlı ve [ a ; b], ardından mevcut set [a; b], a segmentinde tanımlanan x = g (z) fonksiyonunun değer aralığı olarak kabul edilir; g (α) = a ve g β = b olan mevcut sürekli türev ile β, bundan ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z'yi elde ederiz.
Bu formül, belirsiz integralin ∫ f (x) d x biçiminde olduğu ∫ a b f (x) d x integralini hesaplamanız gerektiğinde kullanılır, ikame yöntemini kullanarak hesaplarız.
Örnek 4
∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x formunun belirli bir integralini hesaplayın.
Çözüm
İntegral fonksiyonu, entegrasyon aralığında sürekli olarak kabul edilir; bu, belirli bir integralin var olduğu anlamına gelir. 2 x - 9 = z ⇒ x = g (z) = z 2 + 9 2 notasyonunu verelim. x = 9 değeri, z = 2 9 - 9 = 9 = 3 anlamına gelir ve x = 18 için z = 2 18 - 9 = 27 = 3 3 sonucunu elde ederiz, bu durumda g α = g (3) = 9, g β = g 3 3 = 18. Elde edilen değerleri ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z formülüne yerleştirdiğimizde şunu elde ederiz:
∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z 2 + 9 2 " d z = = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z d z = ∫ 3 3 3 2z 2 + 9dz
Belirsiz integraller tablosuna göre 2 z 2 + 9 fonksiyonunun ters türevlerinden birinin 2 3 a r c t g z 3 değerini aldığını görüyoruz. Daha sonra Newton-Leibniz formülünü uygularken şunu elde ederiz:
∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 3 3 3 = 2 3 a r c t g 3 3 3 - 2 3 a r c t g 3 3 = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 1 = 2 3 π 3 - π 4 = π 18
Bulgu, ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) · g " (z) d z formülü kullanılmadan yapılabilir.
Yerine koyma yöntemini kullanarak ∫ 1 x 2 x - 9 d x biçiminde bir integral kullanırsak, o zaman ∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C sonucuna ulaşabiliriz.
Buradan Newton-Leibniz formülünü kullanarak hesaplamalar yapıp belirli integrali hesaplayacağız. Bunu anlıyoruz
∫ 9 18 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 9 18 = = 2 3 a r c t g 2 18 - 9 3 - a r c t g 2 9 - 9 3 = = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 1 = 2 3 π 3 - π 4 = π18
Sonuçlar aynıydı.
Cevap: ∫ 9 18 2 x 2 x - 9 d x = π 18
Belirli bir integral hesaplanırken parçalara göre entegrasyon
Eğer [ a ; b ] u (x) ve v (x) fonksiyonları tanımlı ve süreklidir, bu durumda bunların birinci dereceden türevleri v " (x) · u (x) integrallenebilirdir, dolayısıyla integrallenebilir u " (x) fonksiyonu için bu parçadan · v ( x) eşitliği ∫ a b v " (x) · u (x) d x = (u (x) · v (x)) a b - ∫ a b sen " (x) · v (x) d x doğrudur.
O halde formül kullanılabilir, ∫ a b f (x) d x ve ∫ f (x) d x integralini hesaplamak gerekir, bunu parçalara göre entegrasyon kullanarak aramak gerekir.
Örnek 5
Belirli integrali ∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x'i hesaplayın.
Çözüm
x · sin x 3 + π 6 fonksiyonu - π 2 aralığında integrallenebilir; 3 π 2, yani süreklidir.
u (x) = x olsun, o zaman d (v (x)) = v " (x) d x = sin x 3 + π 6 d x ve d (u (x)) = u " (x) d x = d x, ve v (x) = - 3 çünkü π 3 + π 6 . ∫ a b v " (x) · u (x) d x = (u (x) · v (x)) a b - ∫ a b sen " (x) · v (x) d x formülünden şunu elde ederiz:
∫ - π 2 3 π 2 x · günah x 3 + π 6 d x = - 3 x · çünkü x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 - ∫ - π 2 3 π 2 - 3 çünkü x 3 + π 6 d x = = - 3 · 3 π 2 · çünkü π 2 + π 6 - - 3 · - π 2 · çünkü - π 6 + π 6 + 9 günah x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 günah π 2 + π 6 - günah - π 6 + π 6 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 3 2 = 3 π 4 + 9 3 2
Örnek başka şekilde de çözülebilir.
Newton-Leibniz formülünü kullanarak parçalara göre entegrasyon kullanarak x · sin x 3 + π 6 fonksiyonunun ters türevleri kümesini bulun:
∫ x · sin x x 3 + π 6 d x = sen = x , d v = sin x 3 + π 6 d x ⇒ d sen = d x , v = - 3 çünkü x 3 + π 6 = = - 3 çünkü x 3 + π 6 + 3 ∫ çünkü x 3 + π 6 d x = = - 3 x çünkü x 3 + π 6 + 9 günah x 3 + π 6 + C ⇒ ∫ - π 2 3 π 2 x günah x 3 + π 6 d x = - 3 çünkü x 3 + π 6 + 9 sincos x 3 + π 6 - - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 sin - π 6 + π 6 = = 9 π 4 + 9 3 2 - 3 π 2 - 0 = 3 π 4 + 9 3 2
Cevap: ∫ x · sin x x 3 + π 6 d x = 3 π 4 + 9 3 2
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
