Talimatlar

Denklem şu şekilde sunuluyorsa: dy/dx = q(x)/n(y), bunları ayrılabilir değişkenlere sahip diferansiyel denklemler olarak sınıflandırın. Diferansiyellerdeki koşulu şu şekilde yazarak çözülebilirler: n(y)dy = q(x)dx. Daha sonra her iki tarafı da entegre edin. Bazı durumlarda çözüm bilinen fonksiyonlardan alınan integraller şeklinde yazılır. Örneğin dy/dx = x/y durumunda q(x) = x, n(y) = y elde ederiz. ydy = xdx şeklinde yazın ve integralini alın. y^2 = x^2 + c olmalıdır.

Doğrusala denklemler Denklemleri “birinci” ile ilişkilendirin. Bilinmeyen bir fonksiyon, türevleriyle birlikte böyle bir denklemin yalnızca birinci derecesine girer. Doğrusal, dy/dx + f(x) = j(x) biçimindedir; burada f(x) ve g(x), x'e bağlı fonksiyonlardır. Çözüm bilinen fonksiyonlardan alınan integraller kullanılarak yazılmıştır.

Lütfen unutmayın ki birçok diferansiyel denklemler- bunlar ikinci dereceden denklemlerdir (ikinci türevleri içerir). Örneğin, basit harmonik hareket denklemi şu genel formda yazılmıştır: md 2x/dt 2 = –kx. Bu tür denklemlerin belirli çözümleri vardır. Basit harmonik hareket denklemi oldukça önemli bir şeyin örneğidir: sabit katsayılı doğrusal diferansiyel denklemler.

Problem koşullarında yalnızca bir doğrusal denklem varsa, o zaman size verilmiştir. ek koşullar sayesinde bir çözüm bulunabilir. Bu koşulları bulmak için sorunu dikkatlice okuyun. Eğer değişkenler x ve y mesafeyi, hızı ve ağırlığı belirtir; x≥0 ve y≥0 sınırını ayarlamaktan çekinmeyin. X veya y'nin elma sayısını vb. gizlemesi oldukça olasıdır. – o zaman değerler yalnızca olabilir. Eğer x oğlunun yaşı ise babasından büyük olamayacağı açıktır, dolayısıyla bunu problemin koşullarında belirtin.

Kaynaklar:

tek değişkenli denklem nasıl çözülür

Diferansiyel ve integral hesap problemleri önemli unsurlar teorinin pekiştirilmesi matematiksel analiz, bölüm yüksek Matematik, üniversitelerde okudu. Diferansiyel denklemİntegral yöntemiyle çözüldü.

Talimatlar

Diferansiyel hesap .'nin özelliklerini araştırır. Ve tam tersi, bir fonksiyonun entegre edilmesi belirli özelliklere izin verir, yani. Bir fonksiyonun türevlerini veya diferansiyellerini kendisi bulmak için. Bu diferansiyel denklemin çözümüdür.

Herhangi bir şey, bilinmeyen bir miktar ile bilinen veriler arasındaki ilişkidir. Diferansiyel denklem durumunda, bilinmeyenin rolü bir fonksiyon tarafından, bilinen niceliklerin rolü ise onun türevleri tarafından oynanır. Ek olarak, ilişki bağımsız bir değişken içerebilir: F(x, y(x), y'(x), y''(x),…, y^n(x)) = 0, burada x bir bilinmeyendir değişken, y(x) belirlenecek fonksiyondur, denklemin sırası türevin (n) maksimum sırasıdır.

Böyle bir denkleme adi diferansiyel denklem denir. İlişki birkaç bağımsız değişken ve fonksiyonun bu değişkenlere göre kısmi türevlerini (diferansiyellerini) içeriyorsa, denklem kısmi diferansiyel denklem olarak adlandırılır ve şu şekilde olur: x∂z/∂y - ∂z/∂x = 0 burada z(x, y) gerekli fonksiyondur.

Dolayısıyla diferansiyel denklemlerin nasıl çözüleceğini öğrenmek için ters türevleri bulmanız gerekir; problemi farklılaşmanın tersi yönünde çözeriz. Örneğin: y’ = -y/x birinci dereceden denklemi çözün.

Çözüm Y' yerine dy/dx yazın: dy/dx = -y/x.

Denklemi entegrasyona uygun bir forma indirgeyin. Bunu yapmak için her iki tarafı dx ile çarpın ve y:dy/y = -dx/x'e bölün.

İntegral: ∫dy/y = - ∫dx/x + Сln |y| = - ln |x| +C.

Bu çözüme genel diferansiyel denklem denir. C, değerleri kümesi denklemin çözüm kümesini belirleyen bir sabittir. C'nin herhangi bir spesifik değeri için çözüm benzersiz olacaktır. Bu çözüm diferansiyel denklemin kısmi çözümüdür.

Yüksek mertebeden denklemlerin çoğunu çözme derece karekökleri bulmak için net bir formül yok denklemler. Ancak daha yüksek dereceli bir denklemi daha görsel bir forma dönüştürmenize olanak tanıyan çeşitli indirgeme yöntemleri vardır.

Talimatlar

Yüksek dereceli denklemleri çözmenin en yaygın yöntemi genişletmedir. Bu yaklaşım, tamsayı köklerinin, serbest terimin bölenlerinin seçilmesi ve ardından genel polinomun (x – x0) formuna bölünmesinin bir kombinasyonudur.

Örneğin x^4 + x³ + 2 x² – x – 3 = 0 denklemini çözün. Çözüm: Bu polinomun serbest terimi -3 olduğundan tamsayı bölenleri ±1 ve ±3 sayıları olabilir. Bunları denklemde birer birer yerine koyun ve özdeşliği elde edip etmediğinizi öğrenin: 1: 1 + 1 + 2 – 1 – 3 = 0.

İkinci kök x = -1. (x + 1) ifadesine bölün. Ortaya çıkan (x - 1)·(x + 1)·(x² + x + 3) = 0 denklemini yazın. Derece ikinciye indirgenmiştir, bu nedenle denklemin iki kökü daha olabilir. Bunları bulmak için ikinci dereceden denklemi çözün: x² + x + 3 = 0D = 1 – 12 = -11

Diskriminant negatif bir değerdir, bu da denklemin artık gerçek kökleri olmadığı anlamına gelir. Denklemin karmaşık köklerini bulun: x = (-2 + i·√11)/2 ve x = (-2 – i·√11)/2.

Daha yüksek dereceli bir denklemi çözmenin başka bir yöntemi de değişkenleri ikinci dereceden hale getirecek şekilde değiştirmektir. Bu yaklaşım denklemin tüm kuvvetleri çift olduğunda kullanılır, örneğin: x^4 – 13 x² + 36 = 0

Şimdi orijinal denklemin köklerini bulun: x1 = √9 = ±3; x2 = √4 = ±2.

İpucu 10: Redoks Denklemleri Nasıl Belirlenir?

Kimyasal reaksiyon, bileşimlerinde bir değişiklik olduğunda ortaya çıkan maddelerin dönüşüm sürecidir. Reaksiyona giren maddelere başlangıç maddeleri, bu işlem sonucunda oluşan maddelere ise ürünler denir. Bu sırasında olur Kimyasal reaksiyon Başlangıç maddelerini oluşturan elementler oksidasyon durumlarını değiştirir. Yani başkasının elektronlarını alıp kendi elektronlarını verebilirler. Her iki durumda da yükleri değişir. Bu tür reaksiyonlara redoks reaksiyonları denir.

Ders notları

diferansiyel denklemler

Diferansiyel denklemler

giriiş

Belirli olguları incelerken, genellikle sürecin y=f(x) veya F(x;y)=0 denklemi kullanılarak tanımlanamadığı bir durum ortaya çıkar. X değişkenine ve bilinmeyen fonksiyona ek olarak bu fonksiyonun türevi de denkleme girer.

Tanım: x değişkenini, bilinmeyen fonksiyon y(x) ve türevlerini birbirine bağlayan denklem denir diferansiyel denklem. İÇİNDE Genel görünüm diferansiyel denklem şuna benzer:

F(x;y(x); ;;...;y (n))=0

Tanım: Bir diferansiyel denklemin sırası, içerdiği en yüksek türevin mertebesidir.

–1. dereceden diferansiyel denklem

–3. dereceden diferansiyel denklem

Tanım: Bir diferansiyel denklemin çözümü, denklemde ikame edildiğinde onu bir kimliğe dönüştüren bir fonksiyondur.

1. dereceden diferansiyel denklemler

Tanım: Formun denklemi =f(x;y) veya F(x;y; )=01. dereceden diferansiyel denklem denir.

Tanım: 1. dereceden diferansiyel denklemin genel çözümü y=γ(x;c) fonksiyonudur; burada (c –const), denklemde yerine konulduğunda onu bir özdeşliğe dönüştürür. Geometrik olarak düzlemde genel çözüm, c parametresine bağlı bir integral eğriler ailesine karşılık gelir.

Tanım: Düzlemdeki (x 0 ;y 0) koordinatlı bir noktadan geçen integral eğrisi, başlangıç koşulunu sağlayan diferansiyel denklemin özel bir çözümüne karşılık gelir:

1. mertebeden bir diferansiyel denklemin çözümünün benzersizliğinin varlığına ilişkin teorem

1. dereceden bir diferansiyel denklem verildiğinde
ve f(x;y) fonksiyonu XOY düzleminin bazı D bölgelerinde kısmi türevlerle birlikte M 0 (x 0 ;y 0) noktası boyunca süreklidir. D, y(x 0)=y 0 başlangıç koşuluna karşılık gelen diferansiyel denklemin belirli bir çözümüne karşılık gelen tek eğriden geçer.

Bir integral eğri, verilen koordinatlara sahip düzlemdeki bir noktadan geçer.

1. dereceden bir diferansiyel denklemin genel çözümünü açık biçimde elde etmek mümkün değilse;
, o zaman örtülü olarak elde edilebilir:

F(x; y; c) =0 – örtülü form

Bu formdaki genel çözüm denir genel integral diferansiyel denklem.

1. dereceden diferansiyel denklemle ilgili olarak 2 problem ortaya çıkar:

1) Genel çözümü bulun (genel integral)

2) Verilen başlangıç koşulunu sağlayan özel bir çözüm (kısmi integral) bulun. Bu probleme diferansiyel denklem için Cauchy problemi denir.

Ayrılabilir değişkenli diferansiyel denklemler

Formun denklemleri:
ayrılabilir değişkenli diferansiyel denklem denir.

Hadi değiştirelim

dx ile çarpmak

değişkenleri ayıralım

bölünür

Not: özel durumu dikkate almak gerekir

değişkenler ayrılır

denklemin her iki tarafını da entegre edelim

- ortak karar

Ayrılabilir değişkenlere sahip bir diferansiyel denklem şu şekilde yazılabilir:

İzole bir vaka
!

Denklemin her iki tarafını da entegre edelim:

2)
başlangıç koşullar:

1. mertebeden homojen diferansiyel denklemler

Tanım:İşlev
eğer n mertebeden homojen denir

Örnek: - ordern=2'nin homojen fonksiyonu

Tanım: 0 mertebesinde homojen bir fonksiyona denir homojen.

Tanım: Diferansiyel denklem
eğer homojen denir
- homojen fonksiyon, yani

Böylece homojen diferansiyel denklem şu şekilde yazılabilir:

Değiştirmeyi kullanma t, x değişkeninin bir fonksiyonu olduğunda, homojen diferansiyel denklem ayrılabilir değişkenlere sahip bir denkleme indirgenir.

- denklemde yerine koyma

Değişkenler ayrıldı, denklemin her iki tarafını da entegre edelim

Ters yerine koyma işlemini yaparak yapalım örtülü biçimde genel bir çözüm elde ederiz.

Homojen bir diferansiyel denklem diferansiyel formda yazılabilir.

M(x;y)dx+N(x;y)dy=0, burada M(x;y) ve N(x;y) aynı mertebeden homojen fonksiyonlardır.

Dx'e böl ve ifade et

Adi diferansiyel denklem bağımsız bir değişkeni, bu değişkenin bilinmeyen bir fonksiyonunu ve onun çeşitli derecelerdeki türevlerini (veya diferansiyellerini) ilişkilendiren bir denklemdir.

Diferansiyel denklemin sırası içerdiği en yüksek türevin mertebesine denir.

Sıradan olanlara ek olarak kısmi diferansiyel denklemler de incelenmektedir. Bunlar bağımsız değişkenlerle ilgili denklemler, bu değişkenlerin bilinmeyen bir fonksiyonu ve aynı değişkenlere göre kısmi türevleridir. Ama biz sadece dikkate alacağız adi diferansiyel denklemler ve bu nedenle konuyu kısaltmak adına "sıradan" kelimesini çıkaracağız.

Diferansiyel denklem örnekleri:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Denklem (1) dördüncü dereceden, denklem (2) üçüncü dereceden, denklemler (3) ve (4) ikinci dereceden, denklem (5) birinci derecedendir.

Diferansiyel denklem N Bu mertebenin mutlaka açık bir fonksiyon içermesi gerekmez; birinciden ikinciye tüm türevleri N-inci dereceden ve bağımsız değişken. Belirli derecelerin türevlerini, bir fonksiyonu veya bağımsız bir değişkeni açıkça içeremez.

Örneğin, denklem (1)'de açıkça üçüncü ve ikinci dereceden türevler ve bir fonksiyon yoktur; denklem (2)'de - ikinci dereceden türev ve fonksiyon; denklem (4)'te - bağımsız değişken; denklemde (5) - fonksiyonlar. Yalnızca denklem (3) açıkça tüm türevleri, fonksiyonu ve bağımsız değişkeni içerir.

Diferansiyel denklem çözme her fonksiyon çağrılır y = f(x) denklemde yerine konulduğunda bir kimliğe dönüşür.

Bir diferansiyel denklemin çözümünü bulma işlemine denir entegrasyon.

Örnek 1. Diferansiyel denklemin çözümünü bulun.

Çözüm. Bu denklemi formda yazalım. Çözüm, fonksiyonu türevinden bulmaktır. İntegral hesabından bilindiği gibi orijinal fonksiyon, bir antiderivatiftir;

İşte bu bu diferansiyel denklemin çözümü . İçinde değişiklik C farklı çözümler elde edeceğiz. Birinci mertebeden diferansiyel denklemin sonsuz sayıda çözümü olduğunu öğrendik.

Diferansiyel denklemin genel çözümü N sıra, bilinmeyen fonksiyona göre açıkça ifade edilen ve aşağıdakileri içeren çözümdür: N bağımsız keyfi sabitler, yani

Örnek 1'deki diferansiyel denklemin çözümü geneldir.

Diferansiyel denklemin kısmi çözümü keyfi sabitlerin belirli sayısal değerlerin verildiği bir çözüme denir.

Örnek 2. Diferansiyel denklemin genel çözümünü ve özel çözümünü bulun. .

Çözüm. Denklemin her iki tarafının diferansiyel denklemin mertebesine eşit sayıda integralini alalım.

Sonuç olarak genel bir çözüm elde ettik -

Verilen bir üçüncü dereceden diferansiyel denklemin

Şimdi belirtilen koşullar altında belirli bir çözüm bulalım. Bunu yapmak için keyfi katsayılar yerine değerlerini değiştirin ve elde edin

Diferansiyel denkleme ek olarak başlangıç koşulu da verilirse, böyle bir problem denir. Cauchy sorunu . Değerleri ve denklemin genel çözümüne yerleştirin ve keyfi bir sabitin değerini bulun C ve sonra bulunan değer için denklemin özel bir çözümü C. Cauchy sorununun çözümü budur.

Örnek 3.Örnek 1'deki diferansiyel denklem için Cauchy problemini çözün.

Çözüm. Başlangıç koşulundaki değerleri genel çözüme koyalım sen = 3, X= 1. Bunu elde ederiz

Bu birinci dereceden diferansiyel denklem için Cauchy probleminin çözümünü yazıyoruz:

Diferansiyel denklemleri çözmek, en basit olanları bile, karmaşık fonksiyonlar da dahil olmak üzere iyi entegrasyon ve türev becerileri gerektirir. Bu, aşağıdaki örnekte görülebilir.

Örnek 4. Diferansiyel denklemin genel çözümünü bulun.

Çözüm. Denklem öyle bir biçimde yazılmıştır ki, her iki tarafı da hemen entegre edebilirsiniz.

Değişkeni değiştirerek (ikame) entegrasyon yöntemini uyguluyoruz. O zaman olsun.

Almak için gerekli dx ve şimdi - dikkat - bunu karmaşık bir fonksiyonun farklılaşma kurallarına göre yapıyoruz, çünkü X ve orada karmaşık fonksiyon("elma" - çıkarma kare kök veya aynı şey nedir - "yarım" gücüne yükseltmek ve "kıyma" kökün altındaki ifadenin ta kendisidir):

İntegrali buluyoruz:

Değişkene geri dönelim X, şunu elde ederiz:

Bu, birinci dereceden diferansiyel denklemin genel çözümüdür.

Diferansiyel denklemlerin çözümünde yalnızca yüksek matematiğin önceki bölümlerinden alınan beceriler değil, aynı zamanda ilkokul, yani okul matematiği becerileri de gerekli olacaktır. Daha önce de belirtildiği gibi, herhangi bir mertebeden bir diferansiyel denklemde bağımsız bir değişken, yani bir değişken olmayabilir. X. Okuldan unutulmamış (ancak kime bağlı olarak) oranlar hakkında bilgi sahibi olmak bu sorunun çözülmesine yardımcı olacaktır. Bu bir sonraki örnek.

Ya türeve göre çözülmüşlerdir ya da türeve göre çözülebilirler. .

Aralıktaki türdeki diferansiyel denklemlerin genel çözümü X Verilen bu eşitliğin her iki tarafının integrali alınarak bulunabilir.

Aldık .

Özelliklere bakarsanız belirsiz integral, sonra istenen genel çözümü buluruz:

y = F(x) + C,

Nerede F(x)- biri antiderivatif fonksiyonlar f(x) arasında X, A İLE- keyfi sabit.

Lütfen çoğu problemde aralığın X belirtmeyin. Bu, herkes için bir çözüm bulunması gerektiği anlamına geliyor. X, bunun için ve istenen işlev sen ve orijinal denklem anlamlıdır.

Başlangıç koşulunu karşılayan bir diferansiyel denklemin belirli bir çözümünü hesaplamanız gerekiyorsa y(x 0) = y 0 genel integrali hesapladıktan sonra y = F(x) + C sabitin değerini belirlemek hala gereklidir C = C 0, başlangıç koşulunu kullanarak. Yani bir sabit C = C 0 denklemden belirlenir F(x 0) + C = y 0 ve diferansiyel denklemin istenen kısmi çözümü şu şekli alacaktır:

y = F(x) + C 0.

Bir örneğe bakalım:

Diferansiyel denklemin genel çözümünü bulalım ve sonucun doğruluğunu kontrol edelim. Bu denklemin başlangıç koşulunu sağlayacak özel bir çözümünü bulalım.

Çözüm:

Verilen diferansiyel denklemin integralini aldıktan sonra şunu elde ederiz:

Parçalara göre entegrasyon yöntemini kullanarak bu integrali alalım:

O., diferansiyel denklemin genel çözümüdür.

Sonucun doğru olduğundan emin olmak için bir kontrol yapalım. Bunu yapmak için bulduğumuz çözümü verilen denklemde yerine koyarız:

Yani, ne zaman orijinal denklem bir kimliğe dönüşür:

dolayısıyla diferansiyel denklemin genel çözümü doğru olarak belirlendi.

Bulduğumuz çözüm, argümanın her gerçek değeri için diferansiyel denklemin genel bir çözümüdür. X.

Geriye ODE'nin başlangıç koşulunu sağlayacak özel bir çözümünün hesaplanması kalıyor. Başka bir deyişle sabitin değerini hesaplamak gerekir. İLE eşitliğin doğru olacağı yer:

Daha sonra yerine C = 2 ODE'nin genel çözümünde, diferansiyel denklemin başlangıç koşulunu karşılayan özel bir çözümünü elde ederiz:

Adi diferansiyel denklem Türev için denklemin 2 tarafı şu şekilde bölünerek çözülebilir: f(x). Bu dönüşüm şu durumda eşdeğer olacaktır: f(x) hiçbir koşulda sıfıra dönmez X diferansiyel denklemin entegrasyon aralığından X.

Argümanın bazı değerleri için olası durumlar vardır. X ∈ X işlevler f(x) Ve g(x) aynı anda sıfır olur. Benzer değerler için X bir diferansiyel denklemin genel çözümü herhangi bir fonksiyondur sen, bunlarda tanımlanmış, çünkü .

Bazı argüman değerleri için ise X ∈ X koşulun karşılanması, bu durumda ODE'nin hiçbir çözümü olmadığı anlamına gelir.

Diğer herkes için X aralıktan X diferansiyel denklemin genel çözümü dönüştürülen denklemden belirlenir.

Örneklere bakalım:

Örnek 1.

ODE'ye genel bir çözüm bulalım: .

Çözüm.

Temel temel fonksiyonların özelliklerinden, fonksiyonun olduğu açıktır. doğal logaritma negatif olmayan bağımsız değişken değerleri için tanımlanır, dolayısıyla ifadenin kapsamı ln(x+3) bir aralık var X > -3 . Bu, verilen diferansiyel denklemin anlamlı olduğu anlamına gelir. X > -3 . Bu bağımsız değişken değerleri için ifade x+3 kaybolmaz, dolayısıyla türevin ODE'sini 2 parçaya bölerek çözebilirsiniz. x + 3.

Aldık .

Daha sonra, türevine göre çözülmüş, elde edilen diferansiyel denklemi entegre ediyoruz: . Bu integrali almak için onu diferansiyel işaret altına alma yöntemini kullanırız.

Makalenin içeriği

DİFERANSİYEL DENKLEMLER. Belirli olayları yöneten birçok fiziksel yasa şu şekilde yazılmıştır: matematiksel denklem, bazı büyüklükler arasındaki belirli bir ilişkiyi ifade eder. Genellikle zamanla değişen miktarlar arasındaki ilişkiden bahsediyoruz; örneğin, bir arabanın bir litre yakıtla kat edebileceği mesafeyle ölçülen motor verimliliği, arabanın hızına bağlıdır. Karşılık gelen denklem bir veya daha fazla fonksiyonu ve bunların türevlerini içerir ve diferansiyel denklem olarak adlandırılır. (Mesafenin zaman içindeki değişim oranı hız tarafından belirlenir; bu nedenle hız, mesafenin bir türevidir; benzer şekilde, ivme hızın bir türevidir, çünkü ivme, hızın zamanla değişim oranını belirler.) Büyük önem Diferansiyel denklemlerin matematik ve özellikle uygulamaları için sahip olduğu, birçok fiziksel ve teknik problemin incelenmesinin bu tür denklemlerin çözülmesine indirgenmesiyle açıklanmaktadır. Diferansiyel denklemler ayrıca biyoloji, ekonomi ve elektrik mühendisliği gibi diğer bilimlerde de önemli bir rol oynar; aslında, fenomenlerin niceliksel (sayısal) bir tanımına ihtiyaç duyulan her yerde ortaya çıkarlar (çünkü Dünya zamanla değişir ve koşullar bir yerden diğerine değişir).

Örnekler.

Aşağıdaki örnekler diferansiyel denklemler dilinde çeşitli problemlerin nasıl formüle edildiğinin daha iyi anlaşılmasını sağlar.

1) Bazı radyoaktif maddelerin bozunma kanunu, bozunma hızının bu maddenin mevcut miktarıyla orantılı olmasıdır. Eğer X– belirli bir zaman noktasındaki madde miktarı T ise bu yasa şu şekilde yazılabilir:

Nerede dx/dt bozunma oranıdır ve k– belirli bir maddeyi karakterize eden bazı pozitif sabitler. (Sağ taraftaki eksi işareti şunu gösterir: X zamanla azalır; işaret açıkça belirtilmediğinde her zaman ima edilen bir artı işareti şu anlama gelir: X zamanla artar.)

2) Kapta başlangıçta 100 m3 suda çözünmüş 10 kg tuz bulunmaktadır. Eğer saf su dakikada 1 m3 hızla kaba dökülür ve çözeltiyle eşit şekilde karışırsa ve elde edilen çözelti aynı hızla kaptan dışarı akarsa, daha sonraki herhangi bir zamanda kapta ne kadar tuz olacaktır? Eğer X– kapta bir defada bulunan tuz miktarı (kg cinsinden) T, herhangi bir zamanda T Kaptaki 1 m3 çözelti içerir X/100 kg tuz; dolayısıyla tuz miktarı bir oranda azalır X/100 kg/dak veya

3) Vücutta kitleler olsun M Yayın ucundan asılı olan bir geri getirme kuvveti, yaydaki gerilim miktarıyla orantılı olarak etki eder. İzin vermek X– Vücudun denge konumundan sapma miktarı. Daha sonra, ivmenin (ikinci türevi) olduğunu belirten Newton'un ikinci yasasına göre X zamana göre belirlenmiş D 2 X/dt 2) kuvvetle orantılı:

Sağ tarafta eksi işareti vardır çünkü geri getirme kuvveti yayın esnemesini azaltır.

4) Vücut soğuma kanunu, vücut sıcaklığı farkıyla orantılı olarak vücuttaki ısı miktarının azaldığını ve çevre. Sıcaklığı 20°C olan bir odada 90°C sıcaklığa kadar ısıtılan bir fincan kahve varsa, o zaman

Nerede T– o andaki kahve sıcaklığı T.

5) Blefuscu Eyaleti Dışişleri Bakanı, Lilliput'un benimsediği silah programının ülkesini askeri harcamaları mümkün olduğunca artırmaya zorladığını iddia ediyor. Lilliput Dışişleri Bakanı da benzer açıklamalarda bulunuyor. Ortaya çıkan durum (en basit yorumuyla) iki diferansiyel denklemle doğru bir şekilde tanımlanabilir. İzin vermek X Ve sen- Lilliput ve Blefuscu'nun silahlanma masrafları. Lilliput'un silahlanma harcamalarını Blefuscu'nun silahlanma harcamalarındaki artış oranıyla orantılı bir oranda arttırdığını (ve bunun tersinin de geçerli olduğunu) varsayarak şunu elde ederiz:

üyeler nerede balta Ve - ile Her ülkenin askeri harcamalarını açıklamak, k Ve ben pozitif sabitlerdir. (Bu sorun ilk kez 1939'da L. Richardson tarafından bu şekilde formüle edildi.)

Problem diferansiyel denklemler dilinde yazıldıktan sonra çözmeye çalışmalısınız. Denklemlerde değişim oranları yer alan büyüklükleri bulun. Bazen çözümler açık formüller şeklinde bulunur, ancak çoğu zaman sadece yaklaşık olarak sunulabilir veya bunlar hakkında niteliksel bilgi elde edilebilir. Bırakın bir çözüm bulmayı, bir çözümün var olup olmadığını belirlemek bile çoğu zaman zor olabilir. Diferansiyel denklemler teorisinin önemli bir bölümü, bir veya başka tür diferansiyel denklem için bir çözümün varlığının kanıtlandığı "varlık teoremleri" olarak adlandırılanlardan oluşur.

Fiziksel bir problemin orijinal matematiksel formülasyonu genellikle basitleştirici varsayımlar içerir; makul olmalarının kriteri, matematiksel çözümün mevcut gözlemlerle tutarlılık derecesi olabilir.

Diferansiyel denklemlerin çözümleri.

Örneğin diferansiyel denklem ölmek/dx = X/sen, bir sayıyla değil, bir fonksiyonla karşılanır; bu özel durumda, grafiği herhangi bir noktada, örneğin koordinatları (2,3) olan bir noktada, şuna teğet olacak şekildedir: eğim, koordinatların oranına eşittir (örneğimizde 2/3). Oluşturursanız bunu doğrulamak kolaydır Büyük sayı noktalar ve her birinden karşılık gelen eğime sahip kısa bir bölüm ayrılır. Çözüm, grafiği her noktasına karşılık gelen parçaya dokunan bir fonksiyon olacaktır. Yeterli nokta ve bölüm varsa, çözüm eğrilerinin seyrini yaklaşık olarak özetleyebiliriz (bu tür üç eğri Şekil 1'de gösterilmektedir). Her noktadan geçen tam olarak bir çözüm eğrisi vardır. sen Hayır. 0. Her bireysel çözüme diferansiyel denklemin kısmi çözümü denir; eğer tüm özel çözümleri içeren bir formül bulmak mümkünse (birkaç özel çözüm hariç), o zaman genel bir çözümün elde edildiğini söylerler. Belirli bir çözüm bir fonksiyonu temsil ederken, genel bir çözüm bunların tüm ailesini temsil eder. Bir diferansiyel denklemi çözmek, onun özel veya genel çözümünü bulmak anlamına gelir. Düşündüğümüz örnekte genel çözüm şu şekildedir: sen 2 – X 2 = C, Nerede C- herhangi bir numara; (1,1) noktasından geçen özel bir çözüm şu şekildedir: sen = X ve ne zaman ortaya çıkıyor C= 0; (2,1) noktasından geçen özel bir çözüm şu şekildedir: sen 2 – X 2 = 3. Çözüm eğrisinin örneğin (2,1) noktasından geçmesini gerektiren koşula başlangıç koşulu denir (çünkü çözüm eğrisinin başlangıç noktasını belirtir).

Örnek (1)'de genel çözümün şu şekilde olduğu gösterilebilir: X = ce –kt, Nerede C– örneğin belirli bir seviyedeki madde miktarının belirtilmesiyle belirlenebilen bir sabit. T= 0. Örnek (2)'deki denklem, örnek (1)'deki denklemin özel bir durumudur; k= 1/100. Başlangıç koşulu X= 10 T= 0 belirli bir çözüm verir X = 10e –T/100 . Örnek (4)'teki denklemin genel bir çözümü vardır T = 70 + ce –kt ve özel çözüm 70 + 130 – kt; değeri belirlemek için k, ek verilere ihtiyaç vardır.

Diferansiyel denklem ölmek/dx = X/sen birinci dereceden denklem olarak adlandırılır, çünkü birinci türevi içerir (bir diferansiyel denklemin derecesi genellikle içerdiği en yüksek türevin derecesi olarak kabul edilir). Pratikte ortaya çıkan birinci türden diferansiyel denklemlerin çoğu (hepsi olmasa da) için, her noktadan yalnızca bir çözüm eğrisi geçer.

Yalnızca temel fonksiyonları (kuvvetler, üsler, logaritmalar, sinüsler ve kosinüsler vb.) içeren formüller biçiminde çözülebilen birkaç önemli birinci dereceden diferansiyel denklem türü vardır. Bu tür denklemler aşağıdakileri içerir.

Ayrılabilir değişkenli denklemler.

Formun denklemleri ölmek/dx = F(X)/G(sen) diferansiyellere yazılarak çözülebilir G(sen)ölmek = F(X)dx ve her iki parçanın entegre edilmesi. En kötü durumda çözüm bilinen fonksiyonların integralleri şeklinde temsil edilebilir. Örneğin denklem durumunda ölmek/dx = X/sen sahibiz F(X) = X, G(sen) = sen. Bunu forma yazarak ydy = xdx ve entegre edersek şunu elde ederiz: sen 2 = X 2 + C. Ayrılabilir değişkenlere sahip denklemler, örnek (1), (2), (4)'teki denklemleri içerir (yukarıda açıklanan şekilde çözülebilirler).

Toplam diferansiyellerdeki denklemler.

Diferansiyel denklem şu şekilde ise ölmek/dx = M(X,sen)/N(X,sen), Nerede M Ve N verilen iki fonksiyondur, o zaman şu şekilde temsil edilebilir: M(X,sen)dx – N(X,sen)ölmek= 0. Eğer sol taraf bir fonksiyonun diferansiyeli ise F(X,sen), o zaman diferansiyel denklem şu şekilde yazılabilir: dF(X,sen) = 0, bu denkleme eşdeğerdir F(X,sen) = sabit. Dolayısıyla denklemin çözüm eğrileri, fonksiyonun "sabit düzey çizgileri" veya denklemleri karşılayan noktaların geometrik yeridir. F(X,sen) = C. Denklem ydy = xdx(Şekil 1) - ayrılabilir değişkenlerle ve aynı - toplam diferansiyellerde: ikincisinden emin olmak için bunu formda yazıyoruz ydy – xdx= 0, yani D(sen 2 – X 2) = 0. Fonksiyon F(X,sen) bu durumda (1/2)('ye eşittir. sen 2 – X 2); Sabit seviye çizgilerinden bazıları Şekil 2'de gösterilmektedir. 1.

Doğrusal denklemler.

Doğrusal denklemler "birinci dereceden" denklemlerdir - bilinmeyen fonksiyon ve türevleri bu tür denklemlerde yalnızca birinci derecede görünür. Böylece, birinci dereceden doğrusal diferansiyel denklem şu şekildedir: ölmek/dx + P(X) = Q(X), Nerede P(X) Ve Q(X) – yalnızca şunlara bağlı olan işlevler X. Çözümü her zaman bilinen fonksiyonların integralleri kullanılarak yazılabilir. Diğer birçok birinci dereceden diferansiyel denklem türü özel teknikler kullanılarak çözülür.

Yüksek mertebeden denklemler.

Fizikçilerin karşılaştığı çoğu diferansiyel denklem ikinci dereceden denklemlerdir (yani ikinci türevleri içeren denklemler). Örneğin, örnek (3)'teki basit harmonik hareket denklemi böyledir, MD 2 X/dt 2 = –kx. Genel olarak konuşursak, ikinci dereceden bir denklemin iki koşulu karşılayan kısmi çözümlere sahip olmasını bekleyebiliriz; örneğin, çözüm eğrisinin belirli bir noktadan belirli bir yönde geçmesi gerekebilir. Diferansiyel denklemin belirli bir parametre (değeri koşullara bağlı olan bir sayı) içerdiği durumlarda, gerekli türde çözümler yalnızca bu parametrenin belirli değerleri için mevcuttur. Örneğin, denklemi düşünün MD 2 X/dt 2 = –kx ve bunu talep edeceğiz sen(0) = sen(1) = 0. Fonksiyon senє 0 açıkça bir çözümdür, ancak bir tamsayı katı ise P yani k = M 2 N 2 P 2, nerede N bir tam sayıdır, ancak gerçekte yalnızca bu durumda başka çözümler de vardır: sen= günah npx. Denklemin özel çözümlerine sahip olduğu parametre değerlerine karakteristik veya denir. özdeğerler; birçok görevde önemli rol oynarlar.

Basit harmonik hareket denklemi, önemli bir denklem sınıfına, yani sabit katsayılı doğrusal diferansiyel denklemlere bir örnektir. Daha genel bir örnek (yine ikinci dereceden) denklemdir

Nerede A Ve B– verilen sabitler, F(X) verilen bir fonksiyondur. Bu tür denklemler çözülebilir Farklı yollarörneğin integral Laplace dönüşümünü kullanarak. Aynı şey sabit katsayılı yüksek dereceli doğrusal denklemler için de söylenebilir. Onlar da önemli bir rol oynuyorlar doğrusal denklemler değişken oranlarla.

Doğrusal olmayan diferansiyel denklemler.

Bilinmeyen fonksiyonlar ve bunların türevlerini birinciden daha yüksek veya daha karmaşık bir şekilde içeren denklemlere doğrusal olmayan denklemler denir. İÇİNDE son yıllar giderek daha fazla ilgi çekiyorlar. Gerçek şu ki, fiziksel denklemler genellikle yalnızca ilk yaklaşıma göre doğrusaldır; Daha ileri ve daha doğru araştırmalar, kural olarak, doğrusal olmayan denklemlerin kullanılmasını gerektirir. Ayrıca birçok problem doğası gereği doğrusal değildir. Doğrusal olmayan denklemlerin çözümleri genellikle çok karmaşık olduğundan ve basit formüllerle temsil edilmesi zor olduğundan, çözümlerin önemli bir kısmı modern teori e adanmış nitel analiz davranışları, yani Denklemi çözmeden, bir bütün olarak çözümlerin doğası hakkında önemli bir şeyler söylemeyi mümkün kılan yöntemlerin geliştirilmesi: örneğin, hepsinin sınırlı olduğu veya periyodik bir yapıya sahip olduğu veya belirli bir şekilde çözümlerin doğasına bağlı olduğu. katsayılar.

Diferansiyel denklemlerin yaklaşık çözümleri sayısal olarak bulunabilir, ancak bu çok zaman gerektirir. Yüksek hızlı bilgisayarların ortaya çıkmasıyla bu süre büyük ölçüde azaldı ve bu, daha önce böyle bir çözümle çözülemeyen birçok problemin sayısal çözümü için yeni olanaklar açtı.

Varlık teoremleri.

Varlık teoremi, belirli koşullar altında belirli bir diferansiyel denklemin bir çözümü olduğunu belirten bir teoremdir. Çözümleri olmayan veya beklenenden daha fazla çözümü olan diferansiyel denklemler vardır. Varlık teoreminin amacı, bizi belirli bir denklemin gerçekten bir çözümü olduğuna ikna etmek ve çoğu zaman da gerekli türden tam olarak bir çözümü olduğuna bizi temin etmektir. Örneğin daha önce karşılaştığımız denklem ölmek/dx = –2sen Düzlemin her noktasından geçen tam olarak bir çözüm var ( X,sen) ve zaten böyle bir çözüm bulduğumuz için bu denklemi tamamen çözmüş olduk. Öte yandan denklem ( ölmek/dx) 2 = 1 – sen 2'nin birçok çözümü var. Bunların arasında düz sen = 1, sen= –1 ve eğriler sen= günah( X + C). Çözüm, temas noktalarında birbirine geçen bu düz çizgilerin ve eğrilerin birkaç bölümünden oluşabilir (Şekil 2).

Kısmi diferansiyel denklemler.

Sıradan bir diferansiyel denklem, bir değişkenin bilinmeyen bir fonksiyonunun türevi hakkında bir ifadedir. Kısmi diferansiyel denklem, iki veya daha fazla değişkenden oluşan bir fonksiyonu ve bu fonksiyonun en az iki farklı değişkene göre türevlerini içerir.

Fizikte bu tür denklemlerin örnekleri Laplace denklemidir

X, sen) eğer değerler dairenin içindeyse sen sınırlayıcı dairenin her noktasında belirtilir. Fizikte birden fazla değişkenli problemler istisna değil kural olduğundan, kısmi diferansiyel denklemler teorisinin konusunun ne kadar geniş olduğunu tahmin etmek kolaydır.