Türev hesaplama kuralları. Türev hesaplama kuralları Karmaşık bir fonksiyonun türevi

Konuyla ilgili ders: "Türev nedir? Türevin tanımı"

Ilave malzemeler
Değerli kullanıcılar, yorumlarınızı, eleştirilerinizi, dileklerinizi bırakmayı unutmayın! Tüm materyaller bir antivirüs programı tarafından kontrol edilmiştir.

10. sınıf için Integral çevrimiçi mağazasında öğretim yardımcıları ve simülatörler
Parametrelerle ilgili cebirsel problemler, 9-11. sınıflar
Yazılım ortamı "1C: Matematiksel Yapıcı 6.1"

Ne öğreneceğiz:
1. Türev kavramına giriş.
2. Biraz tarih.

4. Fonksiyonun grafiğinde türev. Türevin geometrik anlamı.

6. Fonksiyonun farklılaşması.
7. Örnekler.

Türev kavramına giriş

Anlam olarak tamamen farklı birçok problem var ama aynı zamanda problemlerimizin çözümlerini tam olarak aynı şekilde hesaplamamızı sağlayan matematiksel modeller var. Örneğin, aşağıdaki gibi görevleri göz önünde bulundurursak:

A) Birkaç günde bir sürekli değişen belirli bir banka hesabı var, miktar sürekli artıyor, hesabın büyüme hızını bulmanız gerekiyor.
b) Fabrika şeker üretiyor, şeker üretiminde sürekli bir artış var, şekerdeki artışın ne kadar hızlı arttığını bulun.
c) Arabanın konumu biliniyorsa ve düz bir çizgide hareket ediyorsa, belirli bir t anında arabanın hızı.
d) Bize bir fonksiyonun grafiği verildi ve bir noktada ona bir teğet çizildi, teğete olan eğim açısının tanjantını bulmamız gerekiyor.
Problemlerimizin formülasyonu tamamen farklıdır ve görünüşe göre tamamen farklı şekillerde çözülebilirler, ancak matematikçiler tüm bu problemlerin tamamen aynı şekilde nasıl çözüleceğini bulmuşlardır. Türev kavramı tanıtıldı.

biraz tarih

Türev terimi büyük matematikçi - Lagrange tarafından tanıtıldı, Rusça'ya çeviri Fransızca türev kelimesinden elde edildi, ayrıca daha sonra ele alacağımız türev için modern gösterimi tanıttı.
Leibniz ve Newton çalışmalarında türev kavramını ele alarak, terimimizin sırasıyla geometri ve mekanikte uygulamasını buldular.
Biraz sonra türevin limit üzerinden belirlendiğini öğreneceğiz ama matematik tarihinde küçük bir paradoks var. Matematikçiler bir limit kavramını ortaya koymadan önce türev saymayı öğrendiler ve türevin ne olduğunu gerçekten anladılar.

y = f (x) fonksiyonu, bir x0 noktası içeren bir aralıkta tanımlansın. Δx - argümanının artışı aralığımızın dışına çıkmaz. Δy artışını bulalım ve Δy / Δx oranını oluşturalım, Δx sıfıra eğilimliyken bu oranın bir limiti varsa, o zaman bu limite y = f (x) fonksiyonunun x0 noktasında türevi denir ve f '(x0) ile gösterilir.

Matematiksel olmayan bir dilde türevin ne olduğunu açıklamaya çalışalım:
Matematik dilinde: türev, bir fonksiyonun artışının, argümanın artışı sıfıra yaklaştığında, argümanının artışına oranının sınırıdır.
Günlük dilde: türev, fonksiyonun x0 noktasındaki değişim oranıdır.
Şimdi üç fonksiyonun grafiğine bir göz atalım:

Beyler, sizce hangi eğri daha hızlı büyüyor?
Cevap herkese açık görünüyor, 1 eğri diğerlerinden daha hızlı büyüyor. Fonksiyon grafiğinin ne kadar dik yükseldiğine bakıyoruz. Başka bir deyişle, x değiştiğinde ordinatın ne kadar hızlı değiştiği. Farklı noktalarda aynı fonksiyon, türevin farklı bir değerine sahip olabilir - yani daha hızlı veya daha yavaş değişebilir.

Fonksiyonun grafiğindeki türev. Türevin geometrik anlamı

Şimdi fonksiyon grafiklerini kullanarak türevi nasıl bulacağımızı görelim:


Fonksiyon grafiğimize bakalım: Fonksiyonun grafiğine apsisi x0 olan noktada bir teğet çizin. Teğet doğrusu ve fonksiyonumuzun grafiği A noktasında temas ediyor. Fonksiyonun grafiğinin ne kadar dik yükseldiğini tahmin etmemiz gerekiyor. Bunun için uygun bir değer, tanjantın eğim açısının tanjantıdır.

Tanım. Fonksiyonun x0 noktasındaki türevi, bu noktada fonksiyonun grafiğine çizilen tanjantın eğim açısının tanjantına eşittir.

Teğetin eğim açısı, teğet ile apsis ekseninin pozitif yönü arasındaki açı olarak seçilir.
Ve böylece fonksiyonumuzun türevi:

Ve böylece x0 noktasındaki türev, tanjantın eğim açısının tanjantına eşittir, bu türevin geometrik anlamıdır.

y = f (x) fonksiyonunun türevini bulmak için algoritma.
a) x'in değerini sabitleyin, f(x)'i bulun.
b) x + Δx argümanının artışını ve f (x + Δx) fonksiyonunun artış değerini bulun.
c) Δy = f (x + Δx) -f (x) fonksiyonunun artışını bulun.
d) Oranı oluşturun: Δy / Δx
e) Hesapla

Bu, fonksiyonumuzun türevidir.

Fonksiyon farklılaşması

y = f (x) fonksiyonunun x noktasında bir türevi varsa, buna x noktasında türevlenebilir denir. Türevi bulma işlemine y = f (x) fonksiyonunun türevi denir.
Fonksiyonun sürekliliği sorusuna dönelim. Eğer fonksiyon bir noktada türevlenebilirse, bu noktada fonksiyonun grafiğine bir teğet çizilebilir, fonksiyonun bu noktada süreksizliği olamaz, o zaman bir teğet çizmek imkansızdır.
Ve böylece yukarıdakileri bir tanım olarak yazıyoruz:
Tanım. Bir fonksiyon x noktasında türevlenebilirse, bu noktada süreklidir.
Ancak bir fonksiyon bir noktada sürekli ise bu o noktada türevlenebilir olduğu anlamına gelmez. Örneğin, y = | x | işlevi x = 0 noktasında süreklidir, ancak teğet doğru çizilemez ve dolayısıyla türev mevcut değildir.

türev örnekleri

Fonksiyonun Türevini Bulun: y = 3x
Çözüm:
Türev arama algoritmasını kullanacağız.
1) Sabit değer x için, fonksiyon değeri y = 3x
2) x + Δx noktasında, y = f (x + Δx) = 3 (x + Δx) = 3x + 3 Δx

3) Fonksiyonun artışını bulun: Δy = f (x + Δx) -f (x) = 3x + 3 Δx-3x = 3Δ

Tanımı takip edersek, bir noktada bir fonksiyonun türevi, Δ fonksiyonunun artış oranının sınırıdır. yΔ argümanının artışına x:

Her şey açık görünüyor. Ancak bu formülü kullanarak hesaplamaya çalışın, diyelim ki bir fonksiyonun türevi F(x) = x 2 + (2x+ 3) e x Günah x... Her şeyi tanım gereği yaparsanız, birkaç sayfa hesaplamadan sonra uykuya dalarsınız. Bu nedenle, daha basit ve daha etkili yollar vardır.

Başlangıç ​​olarak, sözde temel işlevlerin tüm işlevlerden ayırt edilebileceğini not ediyoruz. Bunlar, türevleri uzun süredir hesaplanan ve tabloya girilen nispeten basit ifadelerdir. Bu tür işlevlerin türevleriyle birlikte hatırlanması yeterince kolaydır.

Temel fonksiyonların türevleri

Temel işlevler aşağıda listelenen her şeydir. Bu fonksiyonların türevlerini ezbere bilmeniz gerekir. Ayrıca, onları ezberlemek hiç de zor değil - bu yüzden temeldirler.

Böylece, temel fonksiyonların türevleri:

İsim	İşlev	Türev
Devamlı	F(x) = C, C ∈ r	0 (evet, sıfır!)
rasyonel not	F(x) = x n	n · x n − 1
Sinüs	F(x) = günah x	çünkü x
Kosinüs	F(x) = çünkü x	- günah x(eksi sinüs)
Teğet	F(x) = tg x	1 / çünkü 2 x
Kotanjant	F(x) = ctg x	- 1 / günah 2 x
Doğal logaritma	F(x) = ln x	1/x
keyfi logaritma	F(x) = günlük a x	1/(x ln a)
üstel fonksiyon	F(x) = e x	e x(hiçbirşey değişmedi)

Temel işlev keyfi bir sabitle çarpılırsa, yeni işlevin türevi de kolayca hesaplanır:

(C · F)’ = C · F ’.

Genel olarak, sabitler türevin işaretinin dışına taşınabilir. Örneğin:

(2x 3) '= 2 · ( x 3) '= 2 3 x 2 = 6x 2 .

Açıkçası, temel işlevler birbirine eklenebilir, çarpılabilir, bölünebilir - ve çok daha fazlası. Böylece, artık özellikle temel olmayan, aynı zamanda belirli kurallara göre türevlenebilen yeni işlevler ortaya çıkacaktır. Bu kurallar aşağıda tartışılmaktadır.

Toplamın ve farkın türevi

Fonksiyonlara izin ver F(x) ve G(x), türevleri bizim tarafımızdan bilinmektedir. Örneğin, yukarıda tartışılan temel işlevleri alabilirsiniz. Sonra bu fonksiyonların toplamının ve farkının türevini bulabilirsiniz:

1. (F + G)’ = F ’ + G ’
2. (F − G)’ = F ’ − G ’

Yani, iki fonksiyonun toplamının (farkının) türevi, türevlerin toplamına (farkına) eşittir. Daha fazla terim olabilir. Örneğin, ( F + G + H)’ = F ’ + G ’ + H ’.

Açıkçası, cebirde "çıkarma" kavramı yoktur. "Negatif unsur" kavramı var. Bu nedenle fark F − G toplamı olarak yeniden yazılabilir F+ (−1) G ve sonra yalnızca bir formül kalır - toplamın türevi.

F(x) = x 2 + günah x; G(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

İşlev F(x) Bu nedenle, iki temel işlevin toplamıdır:

F ’(x) = (x 2 + günah x)’ = (x 2) '+ (günah x)’ = 2x+ çünkü x;

İşlev için benzer şekilde tartışıyoruz G(x). Sadece zaten üç terim var (cebir açısından):

G ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Cevap:
F ’(x) = 2x+ çünkü x;
G ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

İşin türevi

Matematik mantıksal bir bilimdir, o kadar çok kişi, toplamın türevi türevlerin toplamına eşitse, o zaman ürünün türevinin olduğuna inanır. çarpmak"> türevlerin çarpımına eşittir. Ama incir seni! Ürünün türevi tamamen farklı bir formül kullanılarak hesaplanır. Yani:

(F · G) ’ = F ’ · G + F · G ’

Formül basittir, ancak çoğu zaman gözden kaçar. Ve sadece okul çocukları değil, aynı zamanda öğrenciler. Sonuç, yanlış çözülmüş problemlerdir.

Bir görev. Fonksiyonların türevlerini bulun: F(x) = x 3 çünkü x; G(x) = (x 2 + 7x- 7) e x .

İşlev F(x) iki temel fonksiyonun ürünüdür, bu nedenle her şey basittir:

F ’(x) = (x 3 çünkü x)’ = (x 3) çünkü x + x 3 (çünkü x)’ = 3x 2 çünkü x + x 3 (- günah x) = x 2 (3cos x − x Günah x)

İşlev G(x) ilk faktör biraz daha karmaşıktır, ancak genel şema bundan değişmez. Açıkçası, fonksiyonun ilk faktörü G(x) bir polinomdur ve türevi toplamın türevidir. Sahibiz:

G ’(x) = ((x 2 + 7x- 7) e x)’ = (x 2 + 7x- 7)' e x + (x 2 + 7x- 7) ( e x)’ = (2x+ 7) e x + (x 2 + 7x- 7) e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) e x .

Cevap:
F ’(x) = x 2 (3cos x − x Günah x);
G ’(x) = x(x+ 9) e x .

Son adımda türevin çarpanlara ayrıldığına dikkat edin. Resmi olarak, bunu yapmanız gerekmez, ancak çoğu türev kendi başına değil, fonksiyonu araştırmak için hesaplanır. Bu, türevin sıfıra eşitleneceği, işaretlerinin netleşeceği vb. anlamına gelir. Böyle bir durumda, çarpanlara ayrılmış bir ifadeye sahip olmak daha iyidir.

iki fonksiyon varsa F(x) ve G(x), ve G(x) ≠ 0 kümesinde bizi ilgilendiriyor, yeni bir fonksiyon tanımlayabiliriz H(x) = F(x)/G(x). Böyle bir fonksiyon için bir türev de bulabilirsiniz:

Zayıf değil, ha? Eksi nereden geldi? Neden G 2? Bu nasıl! Bu en zor formüllerden biridir - bir şişe olmadan çözemezsiniz. Bu nedenle, belirli örneklerle çalışmak daha iyidir.

Bir görev. Fonksiyonların türevlerini bulun:

Her kesrin payı ve paydası temel fonksiyonlar içerir, bu yüzden tek ihtiyacımız olan bölümün türevi formülü:

Geleneğe göre, payı çarpanlara ayırmak, cevabı büyük ölçüde basitleştirecektir:

Karmaşık bir fonksiyon mutlaka yarım kilometre uzunluğunda bir formül değildir. Örneğin, işlevi almak yeterlidir. F(x) = günah x ve değişkeni değiştirin x hadi diyelim x 2 + l x... ortaya çıkacak F(x) = günah ( x 2 + l x) Karmaşık bir fonksiyondur. Aynı zamanda bir türevi de vardır, ancak yukarıda tartışılan kurallara göre onu bulmak işe yaramaz.

Nasıl olunur? Bu gibi durumlarda, değişken değiştirme ve karmaşık bir fonksiyonun türevi formülü aşağıdakilere yardımcı olur:

F ’(x) = F ’(T) · T', Eğer x ile değiştirilir T(x).

Kural olarak, bu formülün anlaşılmasıyla durum, bölümün türevinden daha da üzücü. Bu nedenle, her adımın ayrıntılı bir açıklaması ile belirli örneklerle açıklamak da daha iyidir.

Bir görev. Fonksiyonların türevlerini bulun: F(x) = e 2x + 3 ; G(x) = günah ( x 2 + l x)

İşlevde ise F(x) ifadesi yerine 2 x+ 3 kolay olacak x, sonra bir temel fonksiyon elde ederiz F(x) = e x... Bu nedenle, bir ikame yaparız: 2'ye izin ver x + 3 = T, F(x) = F(T) = e T... Karmaşık bir fonksiyonun türevini şu formülle arıyoruz:

F ’(x) = F ’(T) · T ’ = (e T)’ · T ’ = e T · T ’

Ve şimdi - dikkat! Ters değiştirmeyi gerçekleştiriyoruz: T = 2x+ 3. Şunları elde ederiz:

F ’(x) = e T · T ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Şimdi fonksiyonla ilgilenelim G(x). Açıkçası, değiştirmeniz gerekir x 2 + l x = T... Sahibiz:

G ’(x) = G ’(T) · T'= (Günah T)’ · T'= Çünkü T · T ’

Ters değiştirme: T = x 2 + l x... Sonra:

G ’(x) = çünkü ( x 2 + l x) · ( x 2 + l x) '= Cos ( x 2 + l x) (2 x + 1/x).

Bu kadar! Son ifadeden de görebileceğiniz gibi, tüm problem türetilmiş toplamı hesaplamaya indirgendi.

Cevap:
F ’(x) = 2 e 2x + 3 ;
G ’(x) = (2x + 1/x) Çünkü ( x 2 + l x).

Derslerimde çok sık “türev” terimi yerine “stroke” kelimesini kullanırım. Örneğin, toplamın asal değeri, vuruşların toplamına eşittir. Bu daha net mi? Tamam bu harika.

Böylece, türevin hesaplanması, yukarıda tartışılan kurallara göre bu vuruşlardan kurtulmaya indirgenir. Son bir örnek olarak, üslü sayının rasyonel üslü türevine dönelim:

(x n)’ = n · x n − 1

Rolün ne olduğunu çok az kişi biliyor n kesirli bir sayı olabilir. Örneğin, kök x 0,5. Ama ya kökün altında süslü bir şey varsa? Yine karmaşık bir işlev ortaya çıkacak - bu tür yapıları testlerde ve sınavlarda vermeyi seviyorlar.

Bir görev. Bir fonksiyonun türevini bulun:

İlk olarak, kökü rasyonel üslü bir kuvvet olarak yeniden yazalım:

F(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Şimdi bir değiştirme yapıyoruz: izin ver x 2 + 8x − 7 = T... Türevi aşağıdaki formülle buluruz:

F ’(x) = F ’(T) · T ’ = (T 0,5)' T'= 0,5 T−0.5 T ’.

Ters değiştirme yapıyoruz: T = x 2 + 8x- 7. Bizde:

F ’(x) = 0,5 ( x 2 + 8x- 7) −0.5 ( x 2 + 8x- 7) '= 0,5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Son olarak, köklere geri dönelim:

Türev

Matematiksel bir fonksiyonun türevini hesaplamak (farklılaştırma), yüksek matematik çözmede çok yaygın bir görevdir. Basit (temel) matematiksel fonksiyonlar için, bu oldukça basit bir konudur, çünkü temel fonksiyonlar için türev tabloları uzun zamandır derlenmiştir ve hazırdır. Bununla birlikte, karmaşık bir matematiksel fonksiyonun türevini bulmak basit bir iş değildir ve çoğu zaman önemli ölçüde çaba ve zaman gerektirir.

Çevrimiçi bir türev bulun

Çevrimiçi hizmetimiz, anlamsız uzun hesaplamalardan kurtulmanızı sağlar ve çevrimiçi türev bul anında. Ayrıca, web sitesinde yer alan hizmetimizi kullanarak www.site, hesaplayabilirsiniz çevrimiçi türev hem temel bir işlevden hem de analitik biçimde bir çözümü olmayan çok karmaşık bir işlevden. Sitemizin diğerlerine kıyasla başlıca avantajları şunlardır: 1) türevi hesaplamak için matematiksel bir fonksiyon girme yöntemi için katı bir gereklilik yoktur (örneğin, sinüs x fonksiyonuna girerken, onu sin x olarak girebilirsiniz veya günah (x) veya günah [x], vb.); vb.); 2) çevrimiçi türevin hesaplanması, modda anında gerçekleşir Online ve kesinlikle bedava; 3) fonksiyonun türevini bulmaya izin veriyoruz herhangi bir sipariş, türevin sırasını değiştirmek çok kolay ve anlaşılır; 4) diğer hizmetler tarafından çözüm için erişilemeyen, çok karmaşık olsa bile, hemen hemen her matematiksel fonksiyonun türevini çevrimiçi olarak bulmanızı sağlıyoruz. Döndürülen cevap her zaman doğrudur ve hata içeremez.

Sunucumuzu kullanmak, 1) türevi sizin için çevrimiçi olarak hesaplamanıza olanak tanıyacak ve sizi hata veya yazım hatası yapabileceğiniz zaman alıcı ve sıkıcı hesaplamalardan kurtaracak; 2) Bir matematiksel fonksiyonun türevini kendiniz hesaplarsanız, size hizmetimizin hesaplamalarıyla elde edilen sonucu karşılaştırma ve çözümün doğru olduğundan emin olma veya içeri giren hatayı bulma fırsatı sunuyoruz; 3) istenen fonksiyonu bulmanın genellikle zaman aldığı basit fonksiyonların türev tablolarını kullanmak yerine hizmetimizi kullanın.

Senden istenen her şey çevrimiçi türev bul hizmetimizi kullanmaktır

Hatırlaması çok kolay.

Pekala, fazla ileri gitmeyelim, hemen ters fonksiyonu ele alacağız. Üstel fonksiyonun tersi hangi fonksiyondur? Logaritma:

Bizim durumumuzda, taban bir sayıdır:

Böyle bir logaritma (yani, tabanlı bir logaritma) "doğal" olarak adlandırılır ve bunun için özel bir notasyon kullanırız: yazmak yerine.

Neye eşittir? Elbette, .

Doğal logaritmanın türevi de çok basittir:

Örnekler:

1. Fonksiyonun türevini bulun.
2. fonksiyonunun türevi nedir?

Yanıtlar: Üs ve doğal logaritma, türev açısından benzersiz basit fonksiyonlardır. Başka bir tabana sahip üstel ve logaritmik fonksiyonların farklı bir türevi olacaktır, bunu daha sonra türev kurallarını inceledikten sonra inceleyeceğiz.

farklılaşma kuralları

Neyin kuralları? Yine yeni bir terim, yine mi?! ...

farklılaşma türev bulma işlemidir.

Bu kadar. Bu süreci tek kelimeyle başka nasıl adlandırabilirim? Bir türetme değil... Matematiğin diferansiyeline de bir fonksiyonun aynı artışı denir. Bu terim Latin farklılığından gelir - farklılık. Buraya.

Tüm bu kuralları türetirken, örneğin ve gibi iki işlev kullanacağız. Ayrıca artışları için formüllere ihtiyacımız var:

Toplamda 5 kural vardır.

Sabit, türevin işaretinin dışına taşınır.

Eğer bir sabit sayı ise (sabit), o zaman.

Açıkçası, bu kural şu ​​fark için de geçerlidir:.

Hadi kanıtlayalım. İzin ver ya da daha kolay.

Örnekler.

Fonksiyonların türevlerini bulun:

1. noktada;
2. noktada;
3. noktada;
4. noktada.

Çözümler:

1. (türev, doğrusal bir fonksiyon olduğu için tüm noktalarda aynıdır, hatırladınız mı?);

İşin türevi

Burada her şey aynı: yeni bir fonksiyon tanıtıyoruz ve artışını buluyoruz:

Türev:

Örnekler:

1. Fonksiyonların türevlerini bulun ve;
2. noktasında fonksiyonun türevini bulunuz.

Çözümler:

Üstel fonksiyonun türevi

Artık bilginiz, sadece üssü değil, herhangi bir üstel fonksiyonun türevini nasıl bulacağınızı öğrenmek için yeterlidir (ne olduğunu unuttunuz mu?).

Peki, bir sayı nerede.

Fonksiyonun türevini zaten biliyoruz, bu yüzden fonksiyonumuzu yeni bir sayı tabanına dönüştürmeye çalışalım:

Bunu yapmak için basit bir kural kullanacağız: Sonra:

İşe yaradı. Şimdi türevi bulmaya çalışın ve bu fonksiyonun zor olduğunu unutmayın.

Olmuş?

İşte, kendinizi kontrol edin:

Formülün, üssün türevine çok benzer olduğu ortaya çıktı: olduğu gibi, sadece bir sayı olan, ancak bir değişken olmayan sadece bir faktör ortaya çıktı.

Örnekler:
Fonksiyonların türevlerini bulun:

Yanıtlar:

Bu sadece hesap makinesi olmadan hesaplanamayan bir sayıdır, yani daha basit bir biçimde yazılamaz. Bu nedenle, cevapta bu formda bırakıyoruz.

Burada iki fonksiyonun bölümü olduğuna dikkat edin, bu nedenle ilgili türev alma kuralını uygularız:

Bu örnekte, iki fonksiyonun çarpımı:

Logaritmik bir fonksiyonun türevi

İşte benzer: doğal logaritmanın türevini zaten biliyorsunuz:

Bu nedenle, farklı bir tabana sahip logaritmalardan keyfi bir tane bulmak için, örneğin:

Bu logaritmayı tabana getirmeniz gerekiyor. Logaritmanın tabanını nasıl değiştirirsiniz? Umarım bu formülü hatırlarsınız:

Sadece şimdi bunun yerine yazacağız:

Payda sadece bir sabittir (sabit sayı, değişken yok). Türev çok basittir:

Üstel ve logaritmik fonksiyonların türevleri USE'de neredeyse hiç bulunmaz, ancak bunları bilmek gereksiz olmayacaktır.

Karmaşık bir fonksiyonun türevi.

"Karmaşık işlev" nedir? Hayır, bu bir logaritma değil ve bir arktanjant değil. Bu işlevleri anlamak zor olabilir (logaritma size zor görünüyorsa, "Logaritmalar" konusunu okuyun ve her şey geçecek), ancak matematik açısından "zor" kelimesi "zor" anlamına gelmez.

Küçük bir taşıma bandı düşünün: iki kişi oturuyor ve bazı nesnelerle bir tür hareket yapıyor. Örneğin, ilki bir çikolatayı bir ambalaja sarar ve ikincisi onu bir kurdele ile bağlar. Böyle bir kompozit nesne ortaya çıkıyor: bir kurdele ile sarılmış ve bağlanmış bir çikolata. Bir çikolatayı yemek için ters adımları ters sırada yapmanız gerekir.

Benzer bir matematiksel işlem hattı oluşturalım: önce bir sayının kosinüsünü bulacağız ve sonra elde edilen sayının karesini alacağız. Yani, bize bir numara verildi (çikolata çubuğu), kosinüsünü (sarmalayıcı) buluyorum ve sonra sahip olduğum şeyin karesini alıyorsunuz (bir kurdele ile bağlıyorsunuz). Ne oldu? İşlev. Bu, karmaşık bir işleve bir örnektir: değerini bulmak için ilk eylemi doğrudan değişkenle ve ardından ilkinin sonucuyla başka bir eylemi yaptığımızda.

Diğer bir deyişle, karmaşık bir işlev, argümanı başka bir işlev olan bir işlevdir: .

Örneğimiz için,

Aynı işlemleri ters sırada da yapabiliriz: önce sen kare, sonra ben ortaya çıkan sayının kosinüsünü ararım:. Sonucun neredeyse her zaman farklı olacağını tahmin etmek kolaydır. Karmaşık işlevlerin önemli bir özelliği: Eylemlerin sırasını değiştirdiğinizde işlev değişir.

İkinci örnek: (aynı). ...

En son yaptığımız eylem çağrılacak "Harici" işlev, ve ilk yapılan işlem - sırasıyla "Dahili" işlev(bunlar resmi olmayan isimlerdir, bunları sadece materyali basit bir dille açıklamak için kullanıyorum).

Hangi işlevin harici, hangisinin dahili olduğunu kendiniz belirlemeye çalışın:

Yanıtlar:İç ve dış işlevleri ayırmak, değişkenleri değiştirmeye çok benzer: örneğin, bir işlevde

1. Yapılacak ilk işlem nedir? İlk önce sinüsü hesaplayacağız ve ancak o zaman onu bir küp haline getireceğiz. Bu, dahili bir işlev olduğu, ancak harici bir işlev olduğu anlamına gelir.
   Ve orijinal işlev onların bileşimidir:.
2. Dahili:; harici:.
   Muayene: .
3. Dahili:; harici:.
   Muayene: .
4. Dahili:; harici:.
   Muayene: .
5. Dahili:; harici:.
   Muayene: .

değişkenleri değiştirip bir fonksiyon elde ederiz.

Peki, şimdi çikolatamızı çıkaracağız - bir türev arayın. Prosedür her zaman tersidir: önce dış fonksiyonun türevini ararız, sonra sonucu iç fonksiyonun türeviyle çarparız. Orijinal örnekle ilgili olarak, şöyle görünür:

Başka bir örnek:

Öyleyse nihayet resmi bir kural formüle edelim:

Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulmak için algoritma:

Her şey basit görünüyor, değil mi?

Örneklerle kontrol edelim:

Çözümler:

1) Dahili:;

Harici:;

2) Dahili:;

(şimdi kesmeye çalışmayın! Kosinüsün altından hiçbir şey çıkarılamaz, hatırladınız mı?)

3) Dahili:;

Harici:;

Burada üç seviyeli bir kompleks fonksiyonun olduğu hemen anlaşılır: sonuçta bu zaten başlı başına karmaşık bir fonksiyondur ve ondan da kökü çıkarıyoruz yani üçüncü eylemi gerçekleştiriyoruz (içine çikolata koyuyoruz) bir paket ve bir portföyde bir kurdele ile). Ancak korkmak için bir neden yok: yine de, bu işlevi her zamanki gibi aynı sırayla "açacağız": sondan.

Yani, önce kökü, sonra kosinüsü ve ancak o zaman parantez içindeki ifadeyi ayırt ederiz. Ve sonra tüm bunları çarpıyoruz.

Bu gibi durumlarda, eylemleri numaralandırmak uygundur. Yani, bildiklerimizi hayal edelim. Bu ifadenin değerini hesaplamak için işlemleri hangi sırayla gerçekleştireceğiz? Bir örnek verelim:

Eylem ne kadar geç gerçekleştirilirse, ilgili işlev o kadar “harici” olacaktır. Eylemlerin sırası - daha önce olduğu gibi:

Burada yuvalama genellikle 4 seviyelidir. Bir hareket tarzı tanımlayalım.

1. Radikal bir ifade. ...

2. Kök. ...

3. Sinüs. ...

4. Kare. ...

5. Her şeyi bir araya getirmek:

TÜREV. KISACA ANA HAKKINDA

Bir fonksiyonun türevi- sonsuz küçük bir argüman artışında fonksiyon artışının argüman artışına oranı:

Temel türevler:

Farklılaşma kuralları:

Sabit, türev işaretinin dışına taşınır:

Tutarın türevi:

İşin türevi:

Bölümün türevi:

Karmaşık bir fonksiyonun türevi:

Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulmak için algoritma:

1. "İç" işlevi tanımlarız, türevini buluruz.
2. "Dış" işlevi tanımlarız, türevini buluruz.
3. Birinci ve ikinci noktaların sonuçlarını çarpıyoruz.